{"paper":{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","variant":"stara","exam_pdf":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":34,"source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (0-1)\nLiczba 0,1 jest jednym z przybliżeń liczby 1\n8\nBłąd względny tego przybliżenia, wyrażony w procentach, jest równy\nA. 0,2%\nB. 0,25%\nC. 20%\nD. 25%","answer":"C","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nWymagania określone w podstawie programowej1\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\nZdający:\n1.7) oblicza […] błąd względny przybliżenia.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (0-1)\nLiczba 256 ⋅√82\n3\njest równa\nA. 28\nB. 210\nC. 216\nD. 236","answer":"B","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n1.4) oblicza potęgi o wykładnikach\nwymiernych i stosuje prawa działań na\npotęgach o wykładnikach wymiernych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\n1 Rozporządzenie Ministra Edukacji Narodowej z dnia 27 sierpnia 2012 r. w sprawie podstawy programowej\nwychowania przedszkolnego oraz kształcenia ogólnego w poszczególnych typach szkół (Dz.U. z 2012 r. poz.\n977, z późn. zm., tj. Dz.U. z 2014 r. poz. 803, Dz.U. z 2016 r. poz. 895).\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (0-1)\nLiczba (√3 + 1)\n2 -√12 jest równa\nA. 4 -4√3\nB. 4 -2√3\nC. 2\nD. 4","answer":"D","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n2.1) używa wzorów skróconego mnożenia\nna (𝑎± 𝑏)2 oraz 𝑎2 -𝑏2.\n1.3) posługuje się w obliczeniach\npierwiastkami dowolnego stopnia i stosuje\nprawa działań na pierwiastkach.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (0-1)\nLiczba 2 + log3 5 jest równa\nA. log3 7\nB. log3 10\nC. log3 25\nD. log3 45","answer":"D","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n1.6) wykorzystuje definicję logarytmu\ni stosuje w obliczeniach wzory na logarytm\niloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi\no wykładniku naturalnym.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (0-1)\nDana jest nierówność\n8 -1 -2𝑥\n2\n≥3𝑥\nNajwiększą liczbą całkowitą, która spełnia tę nierówność, jest\nA. 1\nB. 2\nC. 3\nD. 4\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100","answer":"C","answer_text":"Zadanie 5. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n3.3) rozwiązuje nierówności pierwszego\nstopnia z jedną niewiadomą.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (0-1)\nRównanie 4(𝑥-1)2(𝑥2 -25) = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie\nA. dwa rozwiązania.\nB. trzy rozwiązania.\nC. cztery rozwiązania.\nD. pięć rozwiązań.\nInformacja do zadań 7.-8.\nNa rysunku, w układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦), przedstawiono wykres funkcji 𝑓.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 6. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n3.7) korzysta z własności iloczynu przy\nrozwiązywaniu równań typu\n𝑥(𝑥+ 1)(𝑥-7) = 0.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (0-1)\nDziedziną funkcji 𝑓 jest przedział\nA. (-5, 3⟩\nB. ⟨-5, 3)\nC. ⟨-1, 2)\nD. ⟨-1, 2⟩","answer":"A","answer_text":"Zadanie 7. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\nZdający:\n4.3) odczytuje z wykresu własności funkcji\n(dziedzinę […]).\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (0-1)\nZbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 𝑓(𝑥) < 𝑓(-3) jest przedział\nA. (-5, -3)\nB. (-5, -3⟩\nC. ⟨-3, 1)\nD. (-3, 1⟩\n1 2 3 4\n-1\n-2\n5\n0\n𝑥\n-5 -4 -3\n1\n2\n3\n4\n𝑦\n5\n-1\n-2\n-3\n-4\n-5\n𝑦= 𝑓(𝑥)\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100","answer":"D","answer_text":"Zadanie 8. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\nZdający:\n4.3) odczytuje z wykresu własności funkcji\n([…] maksymalne przedziały, w których\nfunkcja […] ma stały znak […]).\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (0-1)\nFunkcja liniowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 1\n2 𝑥-𝑘, gdzie 𝑘 jest liczbą rzeczywistą.\nMiejsce zerowe funkcji 𝑓 jest liczbą większą od 2.\nLiczba 𝑘 należy do przedziału\nA. (-∞, -1)\nB. (-1, 0)\nC. (0, 1)\nD. (1, +∞)","answer":"D","answer_text":"Zadanie 9. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n4.7) interpretuje współczynniki występujące\nwe wzorze funkcji liniowej.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (0-1)\nFunkcja liniowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 5𝑥. W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦)\nwykres funkcji 𝑓 przesunięto o jedną jednostkę w prawo wzdłuż osi 𝑂𝑥 i w wyniku tego\nprzesunięcia otrzymano wykres funkcji liniowej 𝑔.\nFunkcja 𝑔 jest określona wzorem\nA. 𝑔(𝑥) = 5𝑥-5\nB. 𝑔(𝑥) = 5𝑥-1\nC. 𝑔(𝑥) = 5𝑥+ 1\nD. 𝑔(𝑥) = 5𝑥+ 5","answer":"A","answer_text":"Zadanie 10. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n4.4) na podstawie wykresu funkcji\n𝑦= 𝑓(𝑥) szkicuje wykresy funkcji\n𝑦= 𝑓(𝑥+ 𝑎) […];\n4.6) wyznacza wzór funkcji liniowej na\npodstawie informacji o funkcji lub o jej\nwykresie.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (0-1)\nFunkcja kwadratowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = (500 + 50𝑥)(16 -𝑥).\nNajwiększa wartość funkcji 𝑓 w przedziale 〈0, 14〉 jest równa\nA. 𝑓(3)\nB. 𝑓(4)\nC. 𝑓(7)\nD. 𝑓(14)","answer":"A","answer_text":"Zadanie 11. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n4.11) wyznacza […] wartość największą\nfunkcji kwadratowej w przedziale\ndomkniętym.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (0-1)\nFunkcja 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 64𝑥 dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥.\nLiczba 𝑓(-2\n3) jest równa\nA. 1\n512\nB. 1\n16\nC. 16\nD. 512\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100","answer":"B","answer_text":"Zadanie 12. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n4.2) oblicza ze wzoru wartość funkcji dla\ndanego argumentu […];\n4.15) posługuje się funkcjami wykładniczymi\n[…].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (0-1)\nCiąg (𝑎𝑛) jest określony wzorem 𝑎𝑛= 3𝑛2 -3𝑛 dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.\nSuma 𝑆3 trzech początkowych kolejnych wyrazów ciągu (𝑎𝑛) jest równa\nA. 18\nB. 24\nC. 60\nD. 90","answer":"B","answer_text":"Zadanie 13. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n5.1) wyznacza wyrazy ciągu określonego\nwzorem ogólnym.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (0-1)\nTrzywyrazowy ciąg (4, 𝑚, 𝑚-1) jest geometryczny, gdy liczba 𝑚 jest równa\nA. (-3)\nB. (-2)\nC. 2\nD. 3","answer":"C","answer_text":"Zadanie 14. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n5.4) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz […] ciągu\ngeometrycznego.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (0-1)\nDany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych 𝛼 oraz 𝛽 (zobacz rysunek).\nSinus kąta 𝛼 jest równy 4\n7\nCosinus kąta 𝛽 jest równy\nA. 3\n7\nB. 4\n7\nC.\n√33\n7\nD. 4\n√33","answer":"B","answer_text":"Zadanie 15. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n6.1) wykorzystuje definicje i wyznacza\nwartości funkcji sinus, cosinus […] kątów\no miarach od 0° do 180°;\n6.4) stosuje proste zależności między\nfunkcjami trygonometrycznymi: […]\nsin(90° -𝛼) = cos 𝛼 .\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (0-1)\nLiczba sin3 25° + sin 25° ⋅cos2 25°\ncos 25°\njest równa\nA. sin 25°\nB. cos 25°\nC. tg 25°\nD. 1\n𝛼\n𝛽\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nInformacja do zadań 17.-18.\nDany jest trójkąt prostokątny o bokach długości 10, 24, 26 (zobacz rysunek).","answer":"C","answer_text":"Zadanie 16. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\nZdający:\n6.4) stosuje proste zależności między\nfunkcjami trygonometrycznymi:\nsin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1, tg 𝛼= sin𝛼\ncos𝛼 […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (0-1)\nDługość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równa\nA. 10\n3\nB. 4\nC. 5\nD. 80\n13","answer":"B","answer_text":"Zadanie 17. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\nZdający:\nG10.21) konstruuje […] okrąg wpisany\nw trójkąt;\nG10.3) korzysta z faktu, że styczna do\nokręgu jest prostopadła do promienia\npoprowadzonego do punktu styczności.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (0-1)\nDługość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie jest równa\nA. 80\n13\nB. 20\n3\nC. 12\nD. 13\n10\n24\n26\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100","answer":"D","answer_text":"Zadanie 18. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\nZdający:\nG10.21) konstruuje okrąg opisany na\ntrójkącie […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (0-1)\nNa dziesięciokącie foremnym 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻𝐼𝐽 opisano okrąg o środku w punkcie 𝑆\n(zobacz rysunek).\nMiara kąta wpisanego 𝐴𝐺𝐷 jest równa\nA. 18°\nB. 36°\nC. 54°\nD. 60°","answer":"C","answer_text":"Zadanie 19. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\nZdający:\n7.1) stosuje zależności między kątem\nśrodkowym i kątem wpisanym.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (0-1)\nKwadrat 𝒦2 jest podobny do kwadratu 𝒦1 w skali 5 (zobacz rysunek).\nSuma pól tych kwadratów jest równa 78.\nDługość boku kwadratu 𝒦1 jest równa\nA. √3\nB. 3\nC. √13\nD. 13\n𝐵\n𝑆\n𝐴\n𝐶\n𝐷\n𝐹\n𝐸\n𝐺\n𝐻\n𝐼\n𝐽\n𝒦1\n𝒦2\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100","answer":"A","answer_text":"Zadanie 20. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\nZdający:\nG10.11) oblicza wymiary wielokąta\npowiększonego lub pomniejszonego\nw danej skali;\nG10.12) oblicza stosunek pól wielokątów\npodobnych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (0-1)\nW układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dana jest prosta 𝑘 o równaniu 𝑦= 𝑥-4.\nProsta 𝑙 jest obrazem prostej 𝑘 w symetrii osiowej względem osi 𝑂𝑦 układu\nwspółrzędnych.\nProsta 𝑙 jest określona równaniem\nA. 𝑦= 𝑥-4\nB. 𝑦= 𝑥+ 4\nC. 𝑦= -𝑥-4\nD. 𝑦= -𝑥+ 4","answer":"C","answer_text":"Zadanie 21. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n8.7) znajduje obrazy niektórych figur\ngeometrycznych ([…] prostej […]) w symetrii\nosiowej względem osi układu\nwspółrzędnych […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":16,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (0-1)\nPole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 20.\nPole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy.\nDługość krawędzi podstawy tego ostrosłupa jest równa\nA. 2\nB. √5\nC. √10\nD. 4","answer":"A","answer_text":"Zadanie 22. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\nG11.2) oblicza pole powierzchni […]\nostrosłupa […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":16,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (0-1)\nTworząca stożka ma długość 6. Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę 60°.\nWysokość tego stożka jest równa\nA. 3\nB. 2√3\nC. 3√3\nD. 3√5","answer":"C","answer_text":"Zadanie 23. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n9.3) rozpoznaje […] w stożkach kąt między\nodcinkami oraz kąt między odcinkami\ni płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka,\nkąt między tworzącą a podstawą) […];\n9.6) stosuje trygonometrię do obliczeń\ndługości odcinków […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":16,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (0-1)\nWszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych parzystych, w których zapisie dziesiętnym\nwystępuje dokładnie jeden raz cyfra 0, jest\nA. 108\nB. 117\nC. 126\nD. 162","answer":"B","answer_text":"Zadanie 24. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n10.2) […] stosuje regułę mnożenia i regułę\ndodawania.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":16,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (0-1)\nŚrednia arytmetyczna trzech liczb: 𝑎, 𝑏, 𝑐, jest równa 12.\nŚrednia arytmetyczna sześciu liczb: 2𝑎, 3𝑎, 2𝑏, 3𝑏, 2𝑐, 3𝑐, jest równa\nA. 10\nB. 12\nC. 30\nD. 60\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100","answer":"C","answer_text":"Zadanie 25. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\nG9.4) wyznacza średnią arytmetyczną […]\nzestawu danych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC\nZADANIA OTWARTE\nUwagi ogólne:\n1. Akceptowane są wszystkie rozwiązania merytorycznie poprawne i spełniające warunki\nzadania.\n2. Jeżeli zdający poprawnie rozwiąże zadanie i otrzyma poprawny wynik, lecz w końcowym\nzapisie przekształca ten wynik i popełnia przy tym błąd, to może uzyskać maksymalną\nliczbę punktów.\n3. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe, które na żadnym etapie rozwiązania nie\nupraszczają i nie zmieniają danego zagadnienia, lecz stosuje poprawną metodę\ni konsekwentnie do popełnionych błędów rachunkowych rozwiązuje zadanie, to może\notrzymać co najwyżej (𝑛-1) punktów (gdzie 𝑛 jest maksymalną możliwą do uzyskania\nliczbą punktów za dane zadanie).","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"26","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-2)\nRozwiąż nierówność\n𝑥(𝑥+ 4) < 𝑥-2\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 26. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n3.5) rozwiązuje nierówności kwadratowe\nz jedną niewiadomą.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i zapisanie zbioru rozwiązań nierówności:\n𝑥∈(-2, -1)\nALBO\n- zastosowanie poprawnej metody i przedstawienie zbioru rozwiązań nierówności\nw postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziału, np.\n1 pkt - obliczenie/zapisanie pierwiastków trójmianu kwadratowego 𝑥2 + 3𝑥+ 2:\n𝑥1 = -2 oraz 𝑥2 = -1 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający, obliczając pierwiastki trójmianu 𝑥2 + 3𝑥+ 2, popełni błędy (ale otrzyma\ndwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do popełnionych błędów zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego, w przypadku gdy błędnie\nobliczony przez zdającego wyróżnik Δ jest ujemny, to otrzymuje 0 punktów za całe\nrozwiązanie.\n-2\n-1\n𝑥\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n3. Jeżeli zdający rozpatruje inny niż podany w zadaniu trójmian kwadratowy, który nie wynika\nz błędu przekształcenia (np. 𝑥(𝑥+ 4)), i w konsekwencji rozpatruje inną nierówność\n(np. 𝑥(𝑥+ 4) < 0), to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n4. Jeżeli zdający poda zbiór rozwiązań w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi\nkońcami przedziału i jednocześnie zapisze niewłaściwy przedział jako zbiór rozwiązań (np.\n𝑥∈[-2, -1]), to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\nKryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nJeśli zdający spełni kryterium za 1 punkt, a następnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności\nw postaci (-1, -2), to otrzymuje 2 punkty.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nZapisujemy nierówność w postaci 𝑥2 + 3𝑥+ 2 < 0 i obliczamy miejsca zerowe funkcji\n𝑦= 𝑥2 + 3𝑥+ 2.\nObliczamy wyróżnik trójmianu 𝑥2 + 3𝑥+ 2:\nΔ = 32 -4 ⋅1 ⋅2 = 1\nStąd\n𝑥1 = -3 -√1\n2 ⋅1\n= -2\n𝑥2 = -3 + √1\n2 ⋅1\n= -1\nSzkicujemy wykres funkcji 𝑦= 𝑥2 + 3𝑥+ 2.\nOdczytujemy argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne.\nZbiorem rozwiązań nierówności jest przedział (-2, -1).\n-2\n-1\n𝑥","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (0-2)\nWykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥≠2 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦\nprawdziwa jest nierówność\n𝑥2 + 𝑦2 > 4(𝑥+ 𝑦-2)\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 27. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\nZdający:\n2.1) używa wzorów skróconego mnożenia\nna (𝑎± 𝑏)2 oraz 𝑎2 -𝑏2.\nZasady oceniania\n2 pkt - przekształcenie nierówności 𝑥2 + 𝑦2 > 4(𝑥+ 𝑦-2) do postaci\n(𝑥-2)2 + (𝑦-2)2 > 0 oraz powołanie się na założenie i stwierdzenie, że\n(𝑥-2)2 jest liczbą dodatnią i suma (𝑥-2)2 + (𝑦-2)2 jest liczbą dodatnią,\nALBO\n- obliczenie wyróżnika trójmianu kwadratowego 𝑥2 -4𝑥+ (𝑦2 -4𝑦+ 8)\nzmiennej 𝑥 oraz uzasadnienie, że jest on niedodatni, oraz uzasadnienie\nprawdziwości nierówności 𝑥2 + 𝑦2 > 4(𝑥+ 𝑦-2) dla 𝑦= 2,\nALBO\n- obliczenie wyróżnika trójmianu kwadratowego 𝑦2 -4𝑦+ (𝑥2 -4𝑥+ 8)\nzmiennej 𝑦 oraz uzasadnienie, że ten wyróżnik jest ujemny dla każdego 𝑥≠2,\nALBO\n- przekształcenie nierówności do postaci 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑦) oraz poprawne uzasadnienie\nprawdziwości nierówności 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑦) dla każdego 𝑥≠2 i 𝑦∈ℝ na podstawie\nanalizy zbiorów wartości obu funkcji.\n1 pkt - przekształcenie nierówności 𝑥2 + 𝑦2 > 4(𝑥+ 𝑦-2) do postaci\n(𝑥-2)2 + (𝑦-2)2 > 0\nALBO\n- obliczenie wyróżnika Δ trójmianu kwadratowego 𝑥2 -4𝑥+ (𝑦2 -4𝑦+ 8)\nzmiennej 𝑥 oraz przekształcenie tego wyróżnika do postaci Δ = -(2𝑦-4)2 bądź\nΔ = -4(𝑦-2)2 lub (zamiast przekształcenia wyróżnika) zbadanie znaku tego\nwyróżnika (np. obliczenie wyróżnika trójmianu -4𝑦2 + 16𝑦-16),\nALBO\n- obliczenie wyróżnika Δ trójmianu kwadratowego 𝑦2 -4𝑦+ (𝑥2 -4𝑥+ 8)\nzmiennej 𝑦 oraz przekształcenie tego wyróżnika do postaci Δ = -(2𝑥-4)2 bądź\nΔ = -4(𝑥-2)2 lub (zamiast przekształcenia wyróżnika) zbadanie znaku tego\nwyróżnika (np. obliczenie wyróżnika trójmianu -4𝑥2 + 16𝑥-16),\nALBO\n- przekształcenie nierówności do postaci 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑦) oraz zbadanie zbioru wartości\njednej z funkcji: 𝑓 albo 𝑔.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nUwaga:\nJeśli zdający sprawdza prawdziwość nierówności tylko dla wybranych wartości 𝑥 i 𝑦, to\notrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzekształcamy nierówność 𝑥2 + 𝑦2 > 4(𝑥+ 𝑦-2) w sposób równoważny:\n𝑥2 -4𝑥+ 4 + 𝑦2 -4𝑦 + 4 > 0\nZauważamy, że lewą stronę nierówności można zapisać w postaci sumy dwóch kwadratów\n(𝑥-2)2 + (𝑦-2)2 > 0\nZ założenia wiadomo, że 𝑥≠2, więc (𝑥-2)2 jest liczbą dodatnią. Liczba (𝑦-2)2 jest\nnieujemna, zatem suma (𝑥-2)2 + (𝑦-2)2 jest liczbą dodatnią.\nTo należało wykazać.\nSposób II (trójmian kwadratowy zmiennej 𝑥 z parametrem 𝑦)\nPrzekształcamy równoważnie nierówność 𝑥2 + 𝑦2 > 4(𝑥+ 𝑦-2) i otrzymujemy\n𝑥2 -4𝑥+ 𝑦2 -4𝑦+ 8 > 0.\nWyrażenie 𝑥2 -4𝑥+ (𝑦2 -4𝑦+ 8) traktujemy jako trójmian kwadratowy zmiennej 𝑥.\nObliczamy wyróżnik Δ trójmianu:\nΔ = (-4)2 -4 ⋅(𝑦2 -4𝑦+ 8)\nΔ = 16 -4𝑦2 + 16𝑦-32\nΔ = -4𝑦2 + 16𝑦-16\nΔ = -4(𝑦2 -4𝑦+ 4)\nΔ = -4(𝑦-2)2\nGdy 𝑦≠2, to Δ < 0 i funkcja kwadratowa 𝑓(𝑥) = 𝑥2 -4𝑥+ (𝑦2 -4𝑦+ 8) zmiennej 𝑥\nnie ma miejsc zerowych, a ponieważ współczynnik przy drugiej potędze zmiennej jest\ndodatni, więc wykres funkcji 𝑓 leży powyżej osi odciętych. Zatem funkcja przyjmuje tylko\nwartości dodatnie.\nGdy 𝑦= 2, to Δ = 0 i funkcja 𝑓 ma dokładnie jedno miejsce zerowe: 𝑥= 2. Ponieważ\nwspółczynnik przy drugiej potędze zmiennej jest dodatni, więc żaden fragment wykresu\nfunkcji 𝑓 nie leży poniżej osi odciętych. Zatem funkcja 𝑓 przyjmuje wartości dodatnie dla\nkażdego 𝑥≠2.\nOznacza to, że dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥≠2 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦\nnierówność 𝑥2 -4𝑥+ 𝑦2 -4𝑦+ 8 > 0 jest prawdziwa.\nZatem nierówność 𝑥2 + 𝑦2 > 4(𝑥+ 𝑦-2) również jest prawdziwa dla każdej liczby\nrzeczywistej 𝑥≠2 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦. To należało wykazać.\nSposób III (poprzez analizę zbiorów wartości dwóch funkcji)\nPrzekształcamy równoważnie nierówność 𝑥2 + 𝑦2 > 4(𝑥+ 𝑦-2) do postaci\n𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑦), następnie analizujemy zbiory wartości funkcji 𝑓 (określonej dla każdej liczby\nrzeczywistej 𝑥≠ 2) oraz funkcji 𝑔 (określonej dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦). Takie\nprzekształcenie równoważne nierówności można wykonać na różne sposoby, np. tak:\n𝑥2 -4𝑥+ 4 > -𝑦2 + 4𝑦-4 oraz 𝑥≠2 i 𝑦∈ℝ\nOtrzymaną postać nierówności przekształcamy do postaci\n(𝑥-2)2 > -(𝑦-2)2 oraz 𝑥≠2 i 𝑦∈ℝ\nRozważamy funkcje 𝑓 i 𝑔 takie, że\n𝑓(𝑥) = (𝑥-2)2 dla 𝑥≠2 oraz 𝑔(𝑦) = -(𝑦-2)2 dla 𝑦∈ℝ\nZbiorami wartości tych funkcji są przedziały: 𝑍𝑊𝑓= (0, +∞) oraz 𝑍𝑊𝑔= (-∞, 0⟩.\nZauważmy, że każda wartość funkcji 𝑓 jest większa od każdej wartości funkcji 𝑔.\nTo oznacza, że dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥≠2 oraz dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦\nzachodzi nierówność 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑦).\nZatem nierówność 𝑥2 + 𝑦2 > 4(𝑥+ 𝑦-2) jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej\n𝑥≠2 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦. To należało wykazać.","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":19,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"28","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (0-2)\nW maju 2024 roku założono dwa sady: posadzono w nich łącznie 1410 drzew.\nPo roku stwierdzono, że uschło 20% drzew w pierwszym sadzie i 15% drzew w drugim\nsadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzano.\nLiczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła 70% liczby drzew, które\npozostały w pierwszym sadzie.\nOblicz, ile drzew posadzono w pierwszym sadzie w maju 2024 roku.\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 28. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\nG7.7) za pomocą równań lub układów\nrównań opisuje i rozwiązuje zadania\nosadzone w kontekście praktycznym.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 850.\n1 pkt - zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć liczby drzew posadzonych\nw pierwszym i drugim sadzie, np.\n𝑥+ 𝑦= 1 410 oraz 0,85𝑦= 0,70 ⋅0,80𝑥,\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą pozwalającego obliczyć liczbę drzew\nposadzonych w pierwszym sadzie, np.\n0,85 ⋅(1 410 -𝑥) = 0,70 ⋅0,80𝑥,\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą pozwalającego obliczyć liczbę drzew\nposadzonych w drugim sadzie, np.\n0,85𝑦= 0,70 ⋅0,80 ⋅(1 410 -𝑦).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający sprawdza warunki zadania dla wybranych par liczb 𝑥 oraz 𝑦 i wskaże\nwłaściwą odpowiedź, ale nie uzasadni, że jest to jedyne rozwiązanie zadania, to otrzymuje\n1 punkt za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający w rozwiązaniu używa wartości przybliżonych i otrzymuje wynik różny od\n850, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nOznaczmy:\n𝑥 - liczba drzew posadzonych w pierwszym sadzie,\n𝑦 - liczba drzew posadzonych w drugim sadzie.\nPo uwzględnieniu warunków zadania otrzymujemy:\n𝑥+ 𝑦= 1 410 oraz 0,85𝑦= 0,70 ⋅0,80𝑥\nZ pierwszego z tych równań wyznaczamy 𝑦= 1 410 -𝑥 i podstawiamy w miejsce 𝑦 do\ndrugiego z równań, dzięki czemu otrzymujemy\n0,85 ⋅(1 410 -𝑥) = 0,70 ⋅0,80𝑥\n1 198,5 -0,85𝑥= 0,56𝑥\n1,41𝑥= 1 198,5\n𝑥= 850\nW maju 2024 roku w pierwszym sadzie posadzono 850 drzew.","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (0-2)\nCiąg arytmetyczny ma dwadzieścia pięć wyrazów, a suma wszystkich jego wyrazów jest\nrówna 2025. Ostatni wyraz tego ciągu jest 17 razy większy od pierwszego wyrazu tego\nciągu.\nOblicz pierwszy wyraz tego ciągu.\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 29. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n5.3) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz i na sumę\n𝑛 początkowych wyrazów ciągu\narytmetycznego.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑎1 = 9.\n1 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑎1, np. 𝑎1 + 17𝑎1\n2\n⋅25 = 2025\nALBO\n- zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć 𝑎1, np.:\n𝑎1 + 𝑎25\n2\n⋅25 = 2025 oraz 𝑎25 = 17𝑎1 ,\n2𝑎1 + 24𝑟\n2\n⋅25 = 2025 oraz 17𝑎1 = 𝑎1 + 24𝑟 ,\n2𝑎1 + 24𝑟\n2\n⋅25 = 2025 oraz 𝑎25 = 17𝑎1 oraz 𝑎25 = 𝑎1 + 24𝑟 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający myli ciąg arytmetyczny z geometrycznym, to otrzymuje 0 punktów za całe\nrozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.\n2. Jeżeli zdający błędnie interpretuje liczbę 2025 jako dwudziesty piąty wyraz ciągu, to\notrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający zapisze tylko 𝑎1 = 9, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n4. Jeżeli zdający zapisze wszystkie wyrazy ciągu (𝑎𝑛), to otrzymuje 2 punkty za całe\nrozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nOznaczmy pierwszy wyraz rozważanego ciągu przez 𝑎1, natomiast ostatni wyraz - przez 𝑎25\nOstatni wyraz rozważanego ciągu jest 17 razy większy od pierwszego wyrazu tego ciągu,\nwięc\n𝑎25 = 17𝑎1\nKorzystamy ze wzoru na sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego\ni otrzymujemy:\n𝑎1 + 𝑎25\n2\n⋅25 = 2025\n𝑎1 + 17𝑎1\n2\n⋅25 = 2025\n225𝑎1 = 2025\n𝑎1 = 9\nSposób II\nOznaczmy:\n𝑎1 - pierwszy wyraz rozważanego ciągu,\n𝑟 - różnica rozważanego ciągu,\n𝑎25- ostatni wyraz rozważanego ciągu.\nKorzystamy ze wzoru na sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego\ni otrzymujemy:\n2𝑎1 + 24𝑟\n2\n⋅25 = 2025\nstąd\n𝑎1 + 12𝑟= 81\nOstatni wyraz rozważanego ciągu jest 17 razy większy od pierwszego wyrazu tego ciągu,\nwięc\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑎25 = 17𝑎1\nstąd\n𝑎1 + 24𝑟= 17𝑎1\n12𝑟= 8𝑎1\nZ uzyskanych równań obliczamy 𝑎1:\n𝑎1 + 12𝑟= 81\n𝑎1 + 8𝑎1 = 81\n9𝑎1 = 81\n𝑎1 = 9","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":21,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (0-2)\nW tabeli zestawiono liczbę punktów uzyskanych przez 32 uczniów pewnej klasy za\nrozwiązanie jednego z zadań ze sprawdzianu z matematyki.\nLiczba punktów\n0\n1\n2\n3\n4\n5\nLiczba uczniów,\nktórzy otrzymali\ndaną liczbę punktów\n4\n2\n5\n5\n11\n5\nOblicz średnią arytmetyczną oraz medianę liczby punktów otrzymanych przez tych uczniów\nza rozwiązanie tego zadania.\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\nZdający:\nG9.4) wyznacza średnią arytmetyczną\ni medianę zestawu danych.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawne wyniki: 𝑥= 3 oraz 𝑀𝑒= 3,5.\n1 pkt - obliczenie średniej arytmetycznej liczby otrzymanych punktów: 𝑥= 3\nALBO\n- obliczenie mediany liczby otrzymanych punktów: 𝑀𝑒= 3,5.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nObliczamy średnią arytmetyczną liczby otrzymanych punktów:\n𝑥= 4 ⋅0 + 2 ⋅1 + 5 ⋅2 + 5 ⋅3 + 11 ⋅4 + 5 ⋅5\n32\n= 96\n32 = 3\nMedianą ciągu 32 liczb uporządkowanych niemalejąco jest średnia arytmetyczna dwóch\nśrodkowych wyrazów tego ciągu (tzn. średnia arytmetyczna wyrazów szesnastego i\nsiedemnastego). Zatem\n𝑀𝑒= 3 + 4\n2\n= 3,5","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (0-2)\nDane są dwa zbiory: 𝑋= {-3, -2, -1, 0, 1, 2} oraz 𝑌= {-2, -1, 0, 1}.\nLosujemy jedną liczbę ze zbioru 𝑋, a następnie losujemy jedną liczbę ze zbioru 𝑌\ni tworzymy uporządkowaną parę liczb (𝑥, 𝑦), gdzie 𝑥 jest liczbą wylosowaną ze zbioru 𝑋\noraz 𝑦 jest liczbą wylosowaną ze zbioru 𝑌.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 polegającego na tym, że wylosujemy parę liczb\n(𝑥, 𝑦), która będzie spełniać warunek 𝑥⋅𝑦≥0.\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 31. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n10.3) oblicza prawdopodobieństwa\nw prostych sytuacjach, stosując klasyczną\ndefinicję prawdopodobieństwa.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑃(𝐴) = 17\n24\n1 pkt - wypisanie wszystkich zdarzeń elementarnych LUB obliczenie/podanie liczby tych\nzdarzeń: |Ω| = 6 ⋅4, LUB sporządzenie tabeli o 24 polach odpowiadających\nzdarzeniom elementarnym, LUB sporządzenie pełnego drzewa stochastycznego\nALBO\n- wypisanie (lub zaznaczenie w tabeli) wszystkich zdarzeń elementarnych\nsprzyjających zdarzeniu 𝐴 i niewypisanie żadnego niewłaściwego,\nALBO\n- podanie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴:\n|𝐴| = 17, o ile nie zostały zliczone błędne pary,\nALBO\n- sporządzenie fragmentu drzewa stochastycznego, który zawiera wszystkie gałęzie\nsprzyjające zdarzeniu 𝐴, oraz zapisanie prawdopodobieństwa na co najmniej\njednym odcinku każdego z etapów doświadczenia,\nALBO\n- podanie prawdopodobieństwa jednoelementowego zdarzenia (elementarnego): 1\n24\n,\nALBO\n- zapisanie tylko 𝑃(𝐴) = 17\n24\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający zapisuje tylko liczby 17 lub 24 i z rozwiązania nie wynika znaczenie tych\nliczb, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑥, 𝑦), gdzie\n𝑥∈{-3, -2, -1, 0, 1, 2} oraz 𝑦∈{-2, -1, 0, 1}.\nLiczbę wszystkich zdarzeń elementarnych obliczamy z wykorzystaniem reguły mnożenia.\nMoc zbioru Ω jest równa 6 ⋅4 = 24.\nZdarzeniu 𝐴 sprzyjają następujące zdarzenia elementarne:\n(-3, -2), (-3, -1), (-3, 0), (-2, -2), (-2, -1), (-2, 0), (-1, -2), (-1, -1), (-1, 0),\n(0, -2), (0, -1), (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (2, 0), (2, 1),\nwięc moc zbioru 𝐴 jest równa 17.\nZatem prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe 17\n24 .\nSposób II\nW tabeli literą 𝒜 zaznaczamy zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu 𝐴.\n-2\n-1\n0\n1\n-3\n𝒜\n𝒜\n𝒜\n-2\n𝒜\n𝒜\n𝒜\n-1\n𝒜\n𝒜\n𝒜\n0\n𝒜\n𝒜\n𝒜\n𝒜\n1\n𝒜\n𝒜\n2\n𝒜\n𝒜\nMoc zbioru Ω jest równa 24.\nZdarzeń sprzyjających zdarzeniu 𝐴 jest 17.\nZatem prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe 17\n24 .\n𝑌\n𝑋\nSposób III\nRysujemy fragment drzewa stochastycznego rozważanego doświadczenia,\nz uwzględnieniem wszystkich istotnych gałęzi.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe:\n𝑃(𝐴) = 3\n6 ⋅3\n4 + 1\n6 ⋅4\n4 + 2\n6 ⋅2\n4 = 17\n24","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":23,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"32","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (0-4)\nW układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) wykres funkcji kwadratowej 𝑓 przechodzi przez\npunkt (2, 15). Osią symetrii tego wykresu jest prosta o równaniu 𝑥= -1.\nJednym z miejsc zerowych funkcji 𝑓 jest liczba 1.\nWyznacz wzór funkcji 𝑓 w postaci kanonicznej oraz zbiór wartości funkcji 𝑓.\n\nEMAP-P0_100\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 32. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n4.9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na\npodstawie pewnych informacji o tej funkcji\nlub o jej wykresie.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawne wyniki: 𝑓(𝑥) = 3(𝑥+ 1)2 -12 oraz\n𝑍𝑊𝑓= ⟨-12, +∞).\n3 pkt - zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci kanonicznej: 𝑓(𝑥) = 3(𝑥+ 1)2 -12\nALBO\n- obliczenie współczynnika 𝑞: 𝑞= -12 oraz zapisanie zbioru wartości funkcji 𝑓:\n𝑍𝑊𝑓= ⟨-12, +∞).\n2\n6\n3\n6\n1\n6\n1\n2\n0\n-3\n-2\n-1\n-2\n-1\n0\n-2\n-1\n0\n1\n0\n1\n3\n4\n4\n4\n2\n4\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n2 pkt - obliczenie współczynnika 𝑎: 𝑎= 3\nALBO\n- obliczenie współczynnika 𝑞: 𝑞= -12.\n1 pkt - zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥+ 1)2 + 𝑞\nALBO\n- zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-1)(𝑥+ 3),\nALBO\n- zapisanie układu trzech niezależnych równań z trzema niewiadomymi 𝑎, 𝑏, 𝑐\nprowadzącego do obliczenia wartości współczynników 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐, np.\n4𝑎+ 2𝑏+ 𝑐= 15 oraz -𝑏\n2𝑎= -1 oraz 𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 0.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nWykres funkcji 𝑓 jest symetryczny względem prostej o równaniu 𝑥= -1, zatem drugie\nmiejsce zerowe funkcji 𝑓 jest równe 𝑥2 = -3.\nKorzystamy ze wzoru na postać iloczynową funkcji kwadratowej i zapisujemy:\n𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-1)(𝑥+ 3), gdzie 𝑎≠0\nPunkt (2, 15) leży na wykresie funkcji 𝑓, zatem dla argumentu 2 funkcja 𝑓 przyjmuje\nwartość 15. Stąd otrzymujemy:\n𝑓(2) = 15\n𝑎(2 -1)(2 + 3) = 15\n5𝑎= 15\n𝑎= 3\nZapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci iloczynowej:\n𝑓(𝑥) = 3(𝑥-1)(𝑥+ 3)\nPrzekształcamy wzór funkcji 𝑓 do postaci kanonicznej:\n𝑓(𝑥) = 3(𝑥-1)(𝑥+ 3) = 3(𝑥2 + 2𝑥-3) = 3(𝑥2 + 2𝑥+ 1 -4) =\n= 3[(𝑥+ 1)2 -4] = 3(𝑥+ 1)2 -12\nWyrażenie (𝑥+ 1)2 jest liczbą nieujemną dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥. Stąd wyrażenie\n3(𝑥+ 1)2 -12 przyjmuje wartości nie mniejsze niż (-12), więc zbiorem wartości funkcji\n𝑓 jest przedział ⟨-12, +∞).\nUwaga.\nPostać kanoniczną funkcji 𝑓 możemy też uzyskać, obliczając współrzędne wierzchołka\nparaboli będącej wykresem tej funkcji. Ponieważ osią symetrii tej paraboli jest prosta\no równaniu 𝑥= -1, więc pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli jest równa 𝑝= -1.\nDruga współrzędna wierzchołka paraboli jest równa\n𝑞= 𝑓(-1) = 3(-1 -1)(-1 + 3) = -12\nStąd otrzymujemy postać kanoniczną funkcji 𝑓: 𝑓(𝑥) = 3(𝑥+ 1)2 -12.\nSposób II\nPonieważ osią symetrii wykresu funkcji 𝑓 jest prosta o równaniu 𝑥= -1, więc pierwszą\nwspółrzędną wierzchołka paraboli, która jest wykresem tej funkcji, jest 𝑝= -1.\nKorzystamy ze wzoru na postać kanoniczną funkcji kwadratowej i zapisujemy:\n𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥+ 1)2 + 𝑞, gdzie 𝑎≠0\nMiejscem zerowym funkcji 𝑓 jest liczba 1, zatem punkt (1, 0) leży na wykresie tej funkcji.\nStąd i z tego, że wykres funkcji 𝑓 przechodzi przez punkt (2, 15), otrzymujemy układ\nrównań:\n{ 𝑓(1) = 0\n𝑓(2) = 15\n{ 𝑎(1 + 1)2 + 𝑞= 0\n𝑎(2 + 1)2 + 𝑞= 15\n{ 4𝑎+ 𝑞= 0\n9𝑎+ 𝑞= 15\nOdejmujemy równania stronami i otrzymujemy:\n-5𝑎= -15\n𝑎= 3\nStąd:\n𝑞= -4𝑎= -12\nZatem 𝑓(𝑥) = 3(𝑥+ 1)2 -12.\nPonieważ 𝑞= -12 oraz współczynnik 𝑎 jest liczbą dodatnią, więc zbiorem wartości\nfunkcji 𝑓 jest przedział ⟨-12, +∞).\nSposób III\nKorzystamy ze wzoru na postać ogólną funkcji kwadratowej i zapisujemy:\n𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐, gdzie 𝑎≠0\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPonieważ osią symetrii wykresu funkcji 𝑓 jest prosta o równaniu 𝑥= -1, więc pierwszą\nwspółrzędną wierzchołka paraboli, która jest wykresem tej funkcji, jest 𝑝= -1.\nStąd:\n-𝑏\n2𝑎= -1\n𝑏= 2𝑎\nMiejscem zerowym funkcji 𝑓 jest liczba 1, zatem:\n𝑓(1) = 0\n𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 0\nPodstawiamy do równania w miejsce 𝑏 wyrażenie 2𝑎 i otrzymujemy:\n𝑎+ 2𝑎+ 𝑐= 0\n𝑐= -3𝑎\nPunkt (2, 15) leży na wykresie funkcji 𝑓, zatem dla argumentu 2 funkcja 𝑓 przyjmuje\nwartość 15. Stąd otrzymujemy:\n𝑓(2) = 15\n4𝑎+ 2𝑏+ 𝑐= 15\nPodstawiamy do równania w miejsce 𝑏 wyrażenie 2𝑎 oraz w miejsce 𝑐 wyrażenie (-3𝑎)\ni otrzymujemy:\n4𝑎+ 2 ⋅(2𝑎) -3𝑎= 15\n5𝑎= 15\n𝑎= 3\nZatem:\n𝑏= 2𝑎= 6 oraz 𝑐= -3𝑎= -9\nZapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci ogólnej:\n𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 6𝑥-9\nPrzekształcamy wzór funkcji 𝑓 do postaci kanonicznej:\n𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 6𝑥-9 = 3(𝑥2 + 2𝑥-3) = 3(𝑥2 + 2𝑥+ 1 -4) =\n= 3[(𝑥+ 1)2 -4] = 3(𝑥+ 1)2 -12\nWyrażenie (𝑥+ 1)2 jest liczbą nieujemną dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥. Stąd wyrażenie\n3(𝑥+ 1)2 -12 przyjmuje wartości nie mniejsze niż (-12), więc zbiorem wartości funkcji\n𝑓 jest przedział ⟨-12, +∞).","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":24,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"33","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (0-4)\nPole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe 94,5.\nDługości trzech krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu\ntworzą ciąg geometryczny o ilorazie równym 4.\nOblicz objętość tego prostopadłościanu.\n\nEMAP-P0_100\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 33. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\nG11.2) oblicza pole powierzchni i objętość\ngraniastosłupa prostego […].\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑉= 27.\n3 pkt - obliczenie długości (lub kwadratu długości) jednej z krawędzi prostopadłościanu, np.\n𝑎= 3\n4 (lub 𝑎2 = 9\n16\n).\n2 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑎, np.\n94,5 = 2 ⋅(𝑎⋅4𝑎+ 𝑎⋅16𝑎+ 4𝑎⋅16𝑎)\nALBO\n- zapisanie objętości prostopadłościanu w zależności od jednej zmiennej, np. 𝑉= 64𝑎3.\n1 pkt - zapisanie długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z jednego wierzchołka\nw zależności od jednej zmiennej, np. 𝑎, 4𝑎, 16𝑎.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający myli ciąg geometryczny z arytmetycznym (przyjmuje, że długości krawędzi\nprostopadłościanu są równe 𝑎, 𝑎+ 4, 𝑎+ 8), to może otrzymać co najwyżej 2 punkty\nza całe rozwiązanie (za - konsekwentnie do popełnionego błędu - obliczenie długości\njednej z krawędzi prostopadłościanu i za obliczenie objętości prostopadłościanu).\n2. Jeżeli zdający rozwiązuje równanie 94,5 = 𝑎⋅4𝑎+ 𝑎⋅16𝑎+ 4𝑎⋅16𝑎 (tzn. pomija\nczynnik 2 we wzorze na pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu), to może\notrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za zapisanie długości krawędzi\nprostopadłościanu wychodzących z jednego wierzchołka w zależności od jednej zmiennej\noraz za - konsekwentnie do popełnionego błędu - obliczenie objętości\nprostopadłościanu).\n3. Jeżeli zdający odgadnie długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z tego\nsamego wierzchołka: 3\n4\n, 3, 12, oraz sprawdzi rachunkiem, że spełniają one warunki\nzadania, a następnie obliczy objętość ostrosłupa 𝑉= 27, to otrzymuje 1 punkt za całe\nrozwiązanie.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku, przy czym niech 𝑎< 𝑏< 𝑐.\nZ warunków zadania otrzymujemy: 𝑏= 4𝑎, 𝑐= 16𝑎. Stąd i z tego, że pole powierzchni\ncałkowitej prostopadłościanu jest równe 94,5, otrzymujemy równanie:\n2 ⋅(𝑎⋅4𝑎+ 𝑎⋅16𝑎+ 4𝑎⋅16𝑎) = 94,5\n2 ⋅(4𝑎2 + 16𝑎2 + 64𝑎2) = 94,5\n168𝑎2 = 94,5\n𝑎2 = 0,5625\n𝑎= 0,75 = 3\n4\nObliczamy objętość prostopadłościanu:\n𝑉= 𝑎𝑏𝑐= 𝑎⋅4𝑎⋅16𝑎= 64𝑎3 = 64 ⋅(3\n4)\n3\n= 64 ⋅27\n64 = 27","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":26,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"34","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 34. (0-5)\nW układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (0, 1) oraz 𝐶= (6, 4) są przeciwległymi\nwierzchołkami kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷. Prosta 𝑘 o równaniu 𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏 przechodzi przez\nwierzchołki 𝐵 oraz 𝐷 tego kwadratu.\nOblicz pole tego kwadratu oraz wyznacz współczynniki 𝑎 oraz 𝑏 w równaniu prostej 𝑘.\n\nEMAP-P0_100\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\n\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2015\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2015\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2015","answer":null,"answer_text":"Zadanie 34. (0-5)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n8.1) wyznacza równanie prostej\nprzechodzącej przez dwa dane punkty\n(w postaci kierunkowej lub ogólnej);\n8.3) wyznacza równanie prostej, która jest\n[…] prostopadła do prostej danej w postaci\nkierunkowej i przechodzi przez dany punkt;\n8.6) oblicza odległość dwóch punktów.\nZasady oceniania\nCzęść I (Obliczenie pola kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷)\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i obliczenie pola kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷: 𝑃= 45\n2\n𝑎\n𝑏\n𝑐\n1 pkt - obliczenie długości przekątnej 𝐴𝐶 (lub kwadratu tej długości): |𝐴𝐶| = √45\n(lub |𝐴𝐶|2 = 45).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nCzęść II (Wyznaczenie współczynników 𝑎 oraz 𝑏 w równaniu prostej 𝑘)\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i wyznaczenie współczynników 𝑎 oraz 𝑏\nw równaniu prostej 𝑘: 𝑎= -2, 𝑏= 17\n2 .\n2 pkt - wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej 𝑘: 𝑎= -2 ,\nALBO\n- zapisanie współrzędnych środka 𝑆 odcinka 𝐴𝐶: 𝑆= (3, 5\n2) oraz wyznaczenie\nwspółczynnika kierunkowego prostej 𝐴𝐶: 𝑎𝐴𝐶= 1\n2\n,\nALBO\n- zapisanie równania prostej 𝑘 w postaci ogólnej: 4𝑥+ 2𝑦-17 = 0,\nALBO\n- zapisanie równości: 6(𝑥-3) + 3 (𝑦-5\n2) = 0 (dla sposobu II),\nALBO\n- zapisanie równości: 𝑥2 + 𝑦2 -2𝑦+ 1 = 𝑥2 -12𝑥+ 36 + 𝑦2 -8𝑦+ 16\n(dla sposobu III).\n1 pkt - zapisanie współrzędnych środka 𝑆 odcinka 𝐴𝐶: 𝑆= (3, 5\n2),\nALBO\n- wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej 𝐴𝐶: 𝑎𝐴𝐶= 1\n2\n,\nALBO\n- zapisanie równania prostej 𝐴𝐶 w postaci ogólnej: 𝑥-2𝑦+ 2 = 0,\nALBO\n- obliczenie współrzędnych wektora 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ : 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = [6, 3] (dla sposobu II),\nALBO\n- zapisanie równości: √(𝑥-0)2 + (𝑦-1)2 = √(𝑥-6)2 + (𝑦-4)2\n(dla sposobu III).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli jedynym błędem zdającego jest:\na) zastosowanie niepoprawnego wzoru na współczynnik kierunkowy prostej,\nb) zastosowanie niepoprawnego związku między współczynnikami kierunkowymi\nprostych prostopadłych,\ni rozwiązanie zostanie doprowadzone konsekwentnie do końca, to zdający może otrzymać\n1 punkt za tę część rozwiązania.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzekątna 𝐴𝐶 ma długość:\n|𝐴𝐶| = √(6 -0)2 + (4 -1)2 = √36 + 9 = √45\nZatem pole kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równe:\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 1\n2 ⋅(√45)\n2 = 45\n2\nŚrodek odcinka 𝐴𝐶 ma współrzędne 𝑆= (0+6\n2 , 1+4\n2 ) = (3, 5\n2)\nWyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej 𝐴𝐶:\n𝑎𝐴𝐶= 4 -1\n6 -0 = 3\n6 = 1\n2\nProsta 𝑘 jest prostopadła do prostej 𝐴𝐶, zatem współczynnik kierunkowy prostej 𝑘 jest\nrówny (-2). Ponadto punkt 𝑆= (3, 5\n2) leży na prostej 𝑘. Stąd otrzymujemy równanie\nkierunkowe prostej 𝑘:\n𝑦= -2(𝑥-3) + 5\n2\n𝑦= -2𝑥+ 17\n2\nZatem współczynniki 𝑎 oraz 𝑏 w równaniu prostej 𝑘 są równe: 𝑎= -2, 𝑏= 17\n2 .\nSposób II\nPrzekątna 𝐴𝐶 ma długość:\n|𝐴𝐶| = √(6 -0)2 + (4 -1)2 = √36 + 9 = √45\nZatem pole kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równe:\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 1\n2 ⋅(√45)\n2 = 45\n2\nŚrodek odcinka 𝐴𝐶 ma współrzędne 𝑆= (0+6\n2 , 1+4\n2 ) = (3, 5\n2)\nObliczamy współrzędne wektora 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ :\n𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = [6 -0, 4 -1] = [6, 3]\nProsta 𝑘 jest prostopadła do wektora 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ i przechodzi przez punkt 𝑆= (3, 5\n2), więc jej\nrównanie ma postać:\n6(𝑥-3) + 3 (𝑦-5\n2) = 0\n6𝑥-18 + 3𝑦-15\n2 = 0\n3𝑦= -6𝑥+ 51\n2\n𝑦= -2𝑥+ 17\n2\nZatem współczynniki 𝑎 oraz 𝑏 w równaniu prostej 𝑘 są równe: 𝑎= -2, 𝑏= 17\n2 .\nSposób III\nPrzekątna 𝐴𝐶 ma długość:\n|𝐴𝐶| = √(6 -0)2 + (4 -1)2 = √36 + 9 = √45\nZatem pole kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równe:\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 1\n2 ⋅(√45)\n2 = 45\n2\nProsta 𝑘 jest symetralną odcinka 𝐴𝐶, więc punkt o współrzędnych 𝑃= (𝑥, 𝑦) leży na\nprostej 𝑘 tylko wtedy, gdy |𝐴𝑃| = |𝐵𝑃|. Stąd i ze wzoru na odległość między dwoma\npunktami otrzymujemy równanie:\n√(𝑥-0)2 + (𝑦-1)2 = √(𝑥-6)2 + (𝑦-4)2\n(𝑥-0)2 + (𝑦-1)2 = (𝑥-6)2 + (𝑦-4)2\n𝑥2 + 𝑦2 -2𝑦+ 1 = 𝑥2 -12𝑥+ 36 + 𝑦2 -8𝑦+ 16\n6𝑦= -12𝑥+ 51\n𝑦= -2𝑥+ 17\n2\nZatem współczynniki 𝑎 oraz 𝑏 w równaniu prostej 𝑘 są równe: 𝑎= -2, 𝑏= 17\n2 .\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nOcena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią\nObowiązują Zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez\nstwierdzonej dyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:\na) ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną\ndyskalkulią (punkty 1.-12.);\nb) dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy\nosób ze stwierdzoną dyskalkulią - egzamin maturalny z matematyki, poziom podstawowy,\ntermin dodatkowy 2025.\nI. Ogólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną\ndyskalkulią\n1. Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek, wynikających z:\nbłędnego przepisania\nprzestawienia cyfr\nzapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie\nprzestawienia położenia przecinka\nprzestawienia położenia znaku liczby.\n2. W przypadku błędów, wynikających ze zmiany znaku liczby, należy w każdym zadaniu\noddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza\numiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania\nbadanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.\n3. We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę rozwiązania,\nczęści lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej 1 punkt, zgodnie\nz kryteriami do poszczególnych zadań.\n4. Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub zapisuje\nnawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne rozumowanie lub\nstosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt za rozwiązanie\nzadania.\n5. W przypadku zadania wymagającego wyznaczenia pierwiastków trójmianu\nkwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę\nwyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania\nwartościach liczbowych.\n6. W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający\nmoże otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności\nkwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.\n7. W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej zdający\nmoże otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji kwadratowej,\nistotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.\n8. W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych\nlub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie\ntakiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania.\n9. W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na\npłaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu\nrozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur\ngeometrycznych lub zapisze zależności, pozwalające rozwiązać zadanie.\n10. W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać\nprzynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających\nrozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje prawidłową metodę\nwyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.\n11. W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli\npodaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia\nrozwiązania.\n12. W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub\ngeometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która\nwyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać\n1 punkt.\nII. Dodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób\nze stwierdzoną dyskalkulią\nZadanie 26.\n1 pkt - zastosowanie poprawnej metody obliczenia pierwiastków trójmianu kwadratowego\n𝑥2 + 3𝑥+ 2, tzn. zastosowanie wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego\ni obliczenie tych pierwiastków\nALBO\n- konsekwentne (do otrzymanego w wyniku popełnienia błędów o charakterze\ndyskalkulicznym ujemnego wyróżnika) narysowanie paraboli,\nALBO\n- poprawne rozwiązanie nierówności 𝑥(𝑥+ 4) < 0 (tzn. stosuje się punkt 6. ogólnych\nzasad oceniania),\nALBO\n- konsekwentne (do wyznaczonych przez siebie pierwiastków oraz rozpatrywanego\ntrójmianu i nierówności) wyznaczenie zbioru rozwiązań nierówności.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający, rozwiązując nierówność, pomyli porządek liczb na osi liczbowej i zapisze\nzbiór rozwiązań nierówności w postaci (-1, -2), to może otrzymać 2 punkty za całe\nrozwiązanie.\n2. Nie stosuje się uwag 2. i 3. z zasad oceniania arkusza standardowego.\n3. Akceptowane jest zapisanie pierwiastków trójmianu w postaci 𝑎+ 𝑏√𝑐, gdzie 𝑎, 𝑏, 𝑐 są\nliczbami wymiernymi.\nZadanie 27.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZadanie 28.\n1 pkt - zapisanie równania 85% ⋅𝑦= 70% ⋅80% ⋅𝑥.\nZadanie 29.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 30.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 31.\n1 pkt - zapisanie jedynie liczby 24 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich\nzdarzeń elementarnych).\nUwagi:\n1. W ocenie rozwiązania tego zadania (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi ze\nstandardowych zasad oceniania.\n2. Jeżeli zdający poprawnie wypisze/zaznaczy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające\nzdarzeniu 𝐴, lecz popełni błąd w ich zliczeniu (np. |𝐴| = 16) i konsekwentnie zapisze\nwynik (np. 16\n24), to otrzymuje 2 punkty\nZadanie 32.\n1 pkt - zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-𝑝)2 + 𝑞 oraz zapisanie 𝑝= -1\nALBO\n- wyznaczenie drugiego miejsca zerowego funkcji 𝑓: 𝑥2 = -3.\nZadanie 33.\n3 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑎, np.\n94,5 = 2 ⋅(𝑎⋅4𝑎+ 𝑎⋅16𝑎+ 4𝑎⋅16𝑎) oraz\nzapisanie objętości prostopadłościanu w postaci 𝑉= 64𝑎3.\nZadanie 34.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-34.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":28,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}