{"paper":{"id":"matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2025,"month":null,"level":null,"variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty/matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty.pdf","key_pdf":"matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty-odpowiedzi/matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty-odpowiedzi.pdf","question_count":21,"source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},"questions":[{"id":"matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty/zad/1","paper_id":"matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 1. (0-1)\nDeskorolka kosztuje 180 zł. Na diagramie przedstawiono kwoty, które Aldona odłożyła\nw styczniu, w lutym, w marcu i w kwietniu na zakup deskorolki.\nUzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz\nodpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.\nW styczniu i lutym łącznie Aldona odłożyła kwoty potrzebnej na zakup deskorolki.\nA. 45%\nB. 50%\nW marcu Aldona odłożyła kwotę o większą od kwoty odłożonej w styczniu.\nC. 10%\nD. 20%","answer":"BD","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nPodstawa programowa1\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Odczytywanie i interpretowanie danych\nprzedstawionych w różnej formie oraz ich\nprzetwarzanie.\nKLASY VII i VIII\nV. Obliczenia procentowe. Uczeń:\n3) oblicza, jaki procent danej liczby 𝑏 stanowi\nliczba 𝑎.\nXIII. Odczytywanie danych i elementy\nstatystyki opisowej. Uczeń:\n1) interpretuje dane przedstawione za pomocą\n[…] diagramów słupkowych […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna lub niepełna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja X\nRozwiązanie - wersja Y2\nBD\nAC","solution":"W styczniu odłożyła $50\\text{ zł}$, w lutym odłożyła $40 \\text{ zł}$, łącznie odłożyła $90 \\text{ zł}$, czyli połowę (czyli $50\\%$) kwoty.","image":"img/matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":"Diagramy, Procenty","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"odrabiamy","answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty/zad/2","paper_id":"matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 2. (0-1)\nDane jest wyrażenie\n(2,4 -5 1\n3) ∶(-2)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWartość tego wyrażenia jest równa\nA. (-1 8\n15)\nB. (-1 7\n15)\nC. 1 7\n15\nD. 1 8\n15\n0\n10\n20\n30\n40\n50\n60\nstyczeń\nluty\nmarzec\nkwiecień\nkwota, zł\nPRZENIEŚ ROZWIĄZANIA ZADAŃ NA KARTĘ ODPOWIEDZI!\nA\nB\nC\nD\nOMAP-100-2505\nBrudnopis (nie podlega ocenie)\nOMAP-100-2505","answer":"C","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\n1. Wykonywanie nieskomplikowanych\nobliczeń w pamięci lub pisemnie oraz\nwykorzystanie tych umiejętności\nw sytuacjach praktycznych.\nKLASY IV-VI\nV. Działania na ułamkach zwykłych\ni dziesiętnych. Uczeń:\n7) oblicza wartości wyrażeń arytmetycznych\n[…] z uwzględnieniem reguł dotyczących\nkolejności wykonywania działań […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja X\nRozwiązanie - wersja Y\nC\nC\n1 Rozporządzenie Ministra Edukacji z dnia 28 czerwca 2024 r. zmieniające rozporządzenie w sprawie podstawy\nprogramowej wychowania przedszkolnego oraz podstawy programowej kształcenia ogólnego dla szkoły\npodstawowej, w tym dla uczniów z niepełnosprawnością intelektualną w stopniu umiarkowanym lub znacznym,\nkształcenia ogólnego dla branżowej szkoły I stopnia, kształcenia ogólnego dla szkoły specjalnej\nprzysposabiającej do pracy oraz kształcenia ogólnego dla szkoły policealnej (Dz.U. 2024, poz. 996).\n2 Odpowiedzi w wersji Y dotyczą wyłącznie arkusza OMAP-100-2505.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Poprawnie, ponieważ wartość danego wyrażenia jest równa\n$\\displaystyle \\small (2\\frac{4}{10}-5\\frac{1}{3}):(-2)=$\n\n$\\displaystyle \\small=(2\\frac{6}{15}-5\\frac{5}{15})\\cdot(-\\frac12)= $\n\n$\\displaystyle \\small=-(4\\frac{20}{15}-2\\frac{6}{15})\\cdot(-\\frac12)=$\n\n$\\displaystyle \\small=-2\\frac{14}{15}\\cdot(-\\frac12)=$\n\n$\\displaystyle \\small=-\\frac{44}{15}\\cdot(-\\frac12)=\\frac{22}{15}=1\\frac{7}{15}$","image":"img/matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":"Działania na liczbach","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"odrabiamy","answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty/zad/3","paper_id":"matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 3. (0-1)\nDane są liczby: 91, 92, 95, 97.\nKtóra z podanych liczb przy dzieleniu przez 𝟕 daje resztę 𝟏? Wybierz właściwą\nodpowiedź spośród podanych.\nA. 91\nB. 92\nC. 95\nD. 97","answer":"B","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\n1. Wykonywanie nieskomplikowanych\nobliczeń w pamięci lub pisemnie oraz\nwykorzystanie tych umiejętności\nw sytuacjach praktycznych.\nKLASY IV-VI\nII. Działania na liczbach naturalnych. Uczeń:\n15) wyznacza wynik dzielenia z resztą liczby 𝑎\nprzez liczbę 𝑏 […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja X\nRozwiązanie - wersja Y\nB\nC","solution":"Poprawnie, ponieważ $92:7=13 \\text{r.}1$.","image":"img/matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":"Cechy podzielności","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"odrabiamy","answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty/zad/4","paper_id":"matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 4. (0-1)\nŚrednia arytmetyczna czterech liczb 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 jest równa 9, a średnia arytmetyczna\ndwóch liczb 𝑒 i 𝑓 jest równa 6.\nUzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz\nodpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.\nSuma liczb 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 jest o większa od sumy liczb 𝑒 i 𝑓.\nA. 3\nB. 24\nŚrednia arytmetyczna liczb 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓 jest równa .\nC. 8\nD. 7,5","answer":"BC","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Używanie prostych, dobrze znanych\nobiektów matematycznych,\ninterpretowanie pojęć matematycznych\ni operowanie obiektami matematycznymi.\nKLASY VII i VIII\nXIII. Odczytywanie danych i elementy\nstatystyki opisowej. Uczeń:\n3) oblicza średnią arytmetyczną kilku liczb.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna lub niepełna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja X\nRozwiązanie - wersja Y\nBC\nBD\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki - termin główny 2025 r.","solution":"Suma liczb $a,b, c, d$ to $9\\cdot 4=36$. Suma liczb $e,f$ to $2\\cdot 6=12$. Różnica otrzymanych liczb to $36-12=24$.","image":"img/matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":"Statystyka","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"odrabiamy","answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty/zad/5","paper_id":"matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 5. (0-1)\nObwód pięciokąta przedstawionego na rysunku wyraża się wzorem 𝐿= 2𝑎+ 2𝑏+ 𝑐.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWielkość 𝑎 wyznaczoną poprawnie z podanego wzoru opisuje równanie\nA. 𝑎= 𝐿 - 2𝑏 - 𝑐\n2\nB. 𝑎= 𝐿 - 2𝑏 + 𝑐\n2\nC. 𝑎= 𝐿+ 2𝑏-𝑐\nD. 𝑎= 𝐿-2𝑏-𝑐\nPRZENIEŚ ROZWIĄZANIA ZADAŃ NA KARTĘ ODPOWIEDZI!\nA\nB\nC\nD\n𝑎\n𝑎\n𝑏\n𝑏\n𝑐\nOMAP-100-2505\nBrudnopis (nie podlega ocenie)\nOMAP-100-2505","answer":"A","answer_text":"Zadanie 5. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Odczytywanie i interpretowanie danych\nprzedstawionych w różnej formie oraz ich\nprzetwarzanie.\nKLASY VII i VIII\nVI. Równania z jedną niewiadomą. Uczeń:\n5) przekształca proste wzory, aby wyznaczyć\nzadaną wielkość we wzorach geometrycznych\n(np. pól figur) […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja X\nRozwiązanie - wersja Y\nA\nB","solution":"Poprawnie, ponieważ możemy przekształcić równanie opisujące obwód:\n$L=2a+2b+c |-2b-c$\n\n$L-2b-c=2a |:2$\n\n$\\displaystyle \\small \\frac{L-2b-c}{2}=a$","image":"img/matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":"Przekształcenia wzorów","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"odrabiamy","answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty/zad/6","paper_id":"matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 6. (0-1)\nW pudełku znajdują się wyłącznie piłki białe, fioletowe i czarne. Piłek białych jest 4 razy\nwięcej niż fioletowych i o 3 mniej niż czarnych. Liczbę piłek fioletowych oznaczymy przez 𝑥.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nŁączną liczbę wszystkich piłek w pudełku opisuje wyrażenie\nA. 9𝑥+ 3\nB. 9𝑥-3\nC. 6𝑥+ 3\nD. 6𝑥-3","answer":"A","answer_text":"Zadanie 6. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie modelu matematycznego\ndo prostej sytuacji oraz budowanie go\nw różnych kontekstach, także\nw kontekście praktycznym.\nKLASY VII i VIII\nIII. Tworzenie wyrażeń algebraicznych z jedną\ni wieloma zmiennymi. Uczeń:\n3) zapisuje zależności przedstawione\nw zadaniach w postaci wyrażeń\nalgebraicznych jednej lub kilku zmiennych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja X\nRozwiązanie - wersja Y\nA\nD\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"1. Oznaczamy liczbę piłek fioletowych przez $x$.\n\n2. Ponieważ białych piłek jest 4 razy więcej niż fioletowych, zapisujemy liczbę piłek białych jako:\n$$4x$$.\n\n3. Wiemy, że piłek białych jest o 3 mniej niż piłek czarnych. Oznaczmy liczbę piłek czarnych przez $y$. Zapisujemy zależność:\n$$4x = y - 3.$$\nPrzekształcamy to równanie, aby wyrazić $y$:\n$$y = 4x + 3.$$\n\n4. Teraz mamy wyrażenia na liczbę piłek białych, fioletowych i czarnych:\n- Liczba piłek białych: $$4x$$\n- Liczba piłek fioletowych: $$x$$\n- Liczba piłek czarnych: $$4x + 3$$\n\n5. Suma wszystkich piłek w pudełku to więc:\n$$x + 4x + (4x + 3).$$\n\n6. Upraszczamy to wyrażenie:\n$$x + 4x + 4x + 3 = 9x + 3.$$\n\n7. Ostatecznie mamy wyrażenie opisujące łączną liczbę wszystkich piłek w pudełku:\n$$9x + 3.$$\n\n**Odpowiedź:** A","image":"img/matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":"Wyrażenia algebraiczne","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"odrabiamy","answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty/zad/7","paper_id":"matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty","number":"7","points":1,"ptype":"true_false","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 7. (0-1)\nDane są wyrażenia:\n𝐾= 1\n9 ⋅√1\n16 -1\n16 ⋅√1\n9 𝐿= 9 ⋅√16 -16 ⋅√9\nOceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F -\njeśli jest fałszywe.\nWyrażenie 𝐾 ma wartość ujemną.\nP\nF\nWartość wyrażenia L jest większa od wartości wyrażenia 𝐾.\nP\nF","answer":"F, F","answer_text":"Zadanie 7. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\n1. Wykonywanie nieskomplikowanych\nobliczeń w pamięci lub pisemnie oraz\nwykorzystanie tych umiejętności\nw sytuacjach praktycznych.\nKLASY IV-VI\nV. Działania na ułamkach zwykłych\ni dziesiętnych. Uczeń:\n7) oblicza wartości wyrażeń arytmetycznych,\nwymagających stosowania działań\narytmetycznych na liczbach całkowitych lub na\nliczbach zapisanych za pomocą ułamków\nzwykłych […], także wymiernych ujemnych,\nz uwzględnieniem reguł dotyczących\nkolejności wykonywania działań […].\nKLASY VII i VIII\nII. Pierwiastki. Uczeń:\n1) oblicza wartości pierwiastków\nkwadratowych i sześciennych z liczb, które są\nodpowiednio kwadratami lub sześcianami\nliczb wymiernych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna lub niepełna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja X\nRozwiązanie - wersja Y\nFF\nFF","solution":"K=(1)/(9)·√((1)/(16))-(1)/(16)·√((1)/(9))\n=(1)/(9)·(1)/(4)-(1)/(16)·(1)/(3)\n=(1)/(36)-(1)/(48)=(1)/(144)\n\nWartość K jest dodatnia, więc pierwsze zdanie jest fałszywe.\n\nL=9√(16)-16√(9)=9·4-16·3=36-48=-12\n\nLiczba -12 nie jest większa od (1)/(144) , więc drugie zdanie również jest fałszywe.\n\nOdpowiedź: F, F","image":"img/matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":"Pierwiastki","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty/zad/8","paper_id":"matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 8. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWartość wyrażenia 86 ∶ 43 zapisana w postaci potęgi liczby 2 jest równa\nA. 22\nB. 23\nC. 24\nD. 212","answer":"D","answer_text":"Zadanie 8. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Używanie prostych, dobrze znanych\nobiektów matematycznych,\ninterpretowanie pojęć matematycznych\ni operowanie obiektami matematycznymi.\nKLASY VII i VIII\nI. Potęgi o podstawach wymiernych. Uczeń:\n2) mnoży i dzieli potęgi o wykładnikach\ncałkowitych dodatnich;\n4) podnosi potęgę do potęgi.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja X\nRozwiązanie - wersja Y\nD\nA\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki - termin główny 2025 r.","solution":"1. Zaczynamy od zapisania wyrażenia, które musimy obliczyć: $$8^6 : 4^3$$.\n\n2. Przekształcimy każdą z potęg do ich postaci w oparciu o liczbę 2. Zauważmy, że $8$ można zapisać jako $2^3$ oraz $4$ jako $2^2$:\n$$8 = 2^3$$\n$$4 = 2^2$$\n\n3. Podstawiamy te wartości do naszego wyrażenia:\n$$8^6 = (2^3)^6$$\n$$4^3 = (2^2)^3$$\n\n4. Zastosujemy wzór potęgowy, który mówi, że $a^{m \\times n} = a^{mn}$:\n$$8^6 = (2^3)^6 = 2^{3 \\times 6} = 2^{18}$$\n$$4^3 = (2^2)^3 = 2^{2 \\times 3} = 2^6$$\n\n5. Teraz możemy zastąpić w naszym wyrażeniu $8^6$ i $4^3$ ich wartości:\n$$8^6 : 4^3 = 2^{18} : 2^6$$\n\n6. Używamy wzoru na dzielenie potęg, który mówi, że $a^m : a^n = a^{m-n}$:\n$$2^{18} : 2^6 = 2^{18-6} = 2^{12}$$\n\n7. Ostatecznie, wartość wyrażenia $8^6 : 4^3$ zapisana w postaci potęgi liczby 2 wynosi $$2^{12}$$.\n\n**Odpowiedź:** Prawidłową odpowiedzią jest D: $2^{12}$.","image":"img/matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":"Potęgi","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"odrabiamy","answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty/zad/9","paper_id":"matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 9. (0-1)\nRowerzysta pokonał odcinek drogi o długości 100 m z prędkością 5 m\ns .\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nRowerzysta pokonał ten odcinek drogi w czasie\nA. 50 sekund.\nB. 20 sekund.\nC. 500 sekund.\nD. 200 sekund.\nPRZENIEŚ ROZWIĄZANIA ZADAŃ NA KARTĘ ODPOWIEDZI!\nOMAP-100-2505\nBrudnopis (nie podlega ocenie)\nOMAP-100-2505","answer":"B","answer_text":"Zadanie 9. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie modelu matematycznego\ndo prostej sytuacji oraz budowanie go\nw różnych kontekstach, także\nw kontekście praktycznym.\nKLASY IV-VI\nXII. Obliczenia praktyczne. Uczeń:\n9) w sytuacji praktycznej oblicza: […] czas\nprzy danej drodze i prędkości oraz stosuje\njednostki prędkości km/h i m/s.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja X\nRozwiązanie - wersja Y\nB\nA","solution":"Aby obliczyć czas, w jakim rowerzysta pokonał odcinek drogi, możemy skorzystać ze wzoru na prędkość. Prędkość jest definiowana jako stosunek drogi do czasu, czyli:\n\n$$v = \\frac{s}{t}$$\n\n1. Zapisujemy wzór na czas:\n\\[ t = \\frac{s}{v} \\]\n\n2. Podstawiamy dane do wzoru. Wiemy, że odcinek drogi $s = 100 \\, \\text{m}$, a prędkość $v = 5 \\, \\frac{m}{s}$:\n\\[ t = \\frac{100 \\, \\text{m}}{5 \\, \\frac{m}{s}} \\]\n\n3. Obliczamy dzielenie:\n\\[ t = \\frac{100}{5} \\, \\text{s} \\]\n\\[ t = 20 \\, \\text{s} \\]\n\n4. Ostatecznie stwierdzamy, że rowerzysta pokonał ten odcinek drogi w czasie 20 sekund.\n\n**Odpowiedź:** 20 sekund.","image":"img/matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":"Droga, prędkość, czas","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"odrabiamy","answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty/zad/10","paper_id":"matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 10. (0-1)\nNa loterię przygotowano 72 losy i ponumerowano je kolejnymi liczbami naturalnymi\nod 1 do 72. Wygrywają losy o numerach od 1 do 9 i od 46 do 72.\nPozostałe losy są puste. Ada jako pierwsza wyciąga jeden los.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nPrawdopodobieństwo wyciągnięcia przez Adę losu pustego jest równe\nA. 26\n72\nB. 27\n72\nC. 35\n72\nD. 36\n72","answer":"D","answer_text":"Zadanie 10. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Używanie prostych, dobrze znanych\nobiektów matematycznych,\ninterpretowanie pojęć matematycznych\ni operowanie obiektami matematycznymi.\nKLASY VII i VIII\nXII. Wprowadzenie do kombinatoryki\ni rachunku prawdopodobieństwa. Uczeń:\n2) przeprowadza proste doświadczenia\nlosowe […] analizuje je i oblicza\nprawdopodobieństwa zdarzeń\nw doświadczeniach losowych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja X\nRozwiązanie - wersja Y\nD\nD\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Poprawnie, mamy $72$ losy, z których $36$ to losy wygrywające (od losu $1$ do losu $9$ mamy $9$ losów; od losu $46$ do losu $72$ mamy $27$ losów - musimy pamiętać o uwzględnieniu losów o skrajnych numerach). Pozostałych $36$ losów jest pustych, więc prawdopodobieństwo wylosowania pustego wynosi $\\displaystyle \\small\\frac{36}{72}$.","image":"img/matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":"Prawdopodobieństwo i kombinatoryka","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"odrabiamy","answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty/zad/11","paper_id":"matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty","number":"11","points":1,"ptype":"true_false","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 11. (0-1)\nDany jest trójkąt prostokątny 𝐴𝐵𝐶. Na środku boku 𝐴𝐵 zaznaczono punkt 𝐷. Następnie\npoprowadzono odcinek 𝐷𝐶, dzielący trójkąt 𝐴𝐵𝐶 na dwa trójkąty 𝐴𝐷𝐶 i 𝐷𝐵𝐶. Ponadto\n|𝐴𝐷| = |𝐷𝐵| = 30 cm oraz |𝐷𝐶| = 50 cm (zobacz rysunek).\nOceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F -\njeśli jest fałszywe.\nPole trójkąta 𝐷𝐵𝐶 jest równe 600 cm2.\nP\nF\nPole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest dwa razy większe od pola trójkąta 𝐴𝐷𝐶.\nP\nF\nPRZENIEŚ ROZWIĄZANIA ZADAŃ NA KARTĘ ODPOWIEDZI!\n𝐴\n𝐷\n𝐵\n𝐶\n30 cm\n30 cm\nOMAP-100-2505\nBrudnopis (nie podlega ocenie)\nOMAP-100-2505","answer":"P, P","answer_text":"Zadanie 11. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Odczytywanie i interpretowanie danych\nprzedstawionych w różnej formie oraz ich\nprzetwarzanie.\nKLASY IV-VI\nXI. Obliczenia w geometrii. Uczeń:\n3) oblicza pola: trójkąta […] przedstawion[ego]\nna rysunku […].\nKLASY VII i VIII\nVIII. Własności figur geometrycznych na\npłaszczyźnie. Uczeń:\n7) zna i stosuje w sytuacjach praktycznych\ntwierdzenie Pitagorasa (bez twierdzenia\nodwrotnego).\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna lub niepełna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja X\nRozwiązanie - wersja Y\nPP\nPP","solution":"Trójkąt DBC jest prostokątny. Z twierdzenia Pitagorasa:\n\nBC=√(50^2-30^2)=√(2500-900)=√(1600)=40 cm\n\nP_DBC=(30·40)/(2)=600 cm^2\n\nPierwsze zdanie jest prawdziwe.\n\nTrójkąty ADC i DBC mają równe podstawy AD=DB oraz tę samą wysokość, więc mają równe pola. Pole całego trójkąta ABC jest zatem dwa razy większe od pola ADC .\n\nOdpowiedź: P, P","image":"img/matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":"Pola i obwody","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty/zad/12","paper_id":"matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty","number":"12","points":1,"ptype":"true_false","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 12. (0-1)\nNa osi liczbowej zaznaczono punkty 𝐴, 𝐵 i 𝐶. Odcinek 𝐴𝐶 jest podzielony na 6 równych\nczęści.\nOceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F -\njeśli jest fałszywe.\nWspółrzędna punktu 𝐶 jest liczbą parzystą.\nP\nF\nWspółrzędna punktu 𝐵 jest liczbą mniejszą od 74.\nP\nF","answer":"F, P","answer_text":"Zadanie 12. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Odczytywanie i interpretowanie danych\nprzedstawionych w różnej formie oraz ich\nprzetwarzanie.\nKLASY IV-VI\nIII. Liczby całkowite. Uczeń:\n2) interpretuje liczby całkowite na osi liczbowej;\n5) wykonuje proste rachunki pamięciowe na\nliczbach całkowitych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna lub niepełna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja X\nRozwiązanie - wersja Y\nFP\nPF\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki - termin główny 2025 r.","solution":"Między liczbami 56 i 83 są trzy równe odcinki.\n\n(83-56)/(3)=9\n\nKolejne zaznaczone wartości to: 47,56,65,74,83,92,101 . Zatem C=101 , więc pierwsze zdanie jest fałszywe.\n\nPunkt B leży pomiędzy 65 i 74, więc jego współrzędna jest mniejsza od 74. Drugie zdanie jest prawdziwe.\n\nOdpowiedź: F, P","image":"img/matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":"Oś liczbowa","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty/zad/13","paper_id":"matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 13. (0-1)\nTrapez 𝐴𝐵𝐶𝐷 podzielono na trzy figury: kwadrat 𝐴𝐸𝐺𝐷, trójkąt 𝐸𝐹𝐺 i romb 𝐹𝐵𝐶𝐺 (zobacz\nrysunek). Na rysunku podano również długości boków trójkąta 𝐸𝐹𝐺.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nObwód trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równy\nA. 56\nB. 72\nC. 88\nD. 120\nPRZENIEŚ ROZWIĄZANIA ZADAŃ NA KARTĘ ODPOWIEDZI!\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n𝐹\n𝐺\n10\n6\n8\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n56\n83\nOMAP-100-2505\nBrudnopis (nie podlega ocenie)\nOMAP-100-2505","answer":"A","answer_text":"Zadanie 13. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Używanie prostych, dobrze znanych\nobiektów matematycznych,\ninterpretowanie pojęć matematycznych\ni operowanie obiektami matematycznymi.\nKLASY IV-VI\nIX. Wielokąty, koła i okręgi. Uczeń:\n5) zna najważniejsze własności kwadratu […],\nrombu […], trapezu […].\nXI. Obliczenia w geometrii. Uczeń:\n2) oblicza obwód wielokąta o danych\ndługościach boków.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja X\nRozwiązanie - wersja Y\nA\nD","solution":"Poprawnie, ponieważ $|GD|=|DA|=|AE|=6$, oraz $|EF|=8$, oraz $|GC|=|CB|=|BF|=10$. Suma długości tych odcinków to obwód, który jest równy $56$.","image":"img/matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":"Pola i obwody","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"odrabiamy","answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty/zad/14","paper_id":"matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 14. (0-1)\nW układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) zaznaczono trzy punkty, które są wierzchołkami\nrównoległoboku 𝐴𝐵𝐶𝐷: 𝐴= (-3, -2), 𝐶= (4, 2), 𝐷= (-1, 2) (zobacz rysunek).\nWspółrzędna 𝑥 wierzchołka 𝐵, niezaznaczonego na rysunku, jest liczbą dodatnią.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nNiezaznaczony na rysunku wierzchołek 𝐵 tego równoległoboku ma współrzędne\nA. (4, -2)\nB. (3, -2)\nC. (2, -2)\nD. (6, -2)","answer":"C","answer_text":"Zadanie 14. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Odczytywanie i interpretowanie danych\nprzedstawionych w różnej formie oraz ich\nprzetwarzanie.\nKLASY IV-VI\nIX. Wielokąty, koła i okręgi. Uczeń:\n5) zna najważniejsze własności […]\nrównoległoboku [ ].\nKLASY VII i VIII\nX. Oś liczbowa. Układ współrzędnych na\npłaszczyźnie. Uczeń:\n2) znajduje współrzędne danych (na rysunku)\npunktów kratowych w układzie współrzędnych\nna płaszczyźnie.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja X\nRozwiązanie - wersja Y\nC\nB\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Poprawnie, ponieważ wtedy naprzeciwległe boki mają równe długości i są do siebie równoległe.","image":"img/matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":"Układ współrzędnych","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"odrabiamy","answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty/zad/15","paper_id":"matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 15. (0-1)\nTrzy krawędzie wychodzące z jednego wierzchołka prostopadłościanu mają długości: 5, 6, 7\n(zobacz rysunek).\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nPole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu jest równe\nA. 107\nB. 172\nC. 210\nD. 214\nPRZENIEŚ ROZWIĄZANIA ZADAŃ NA KARTĘ ODPOWIEDZI!\n𝑦\n1\n𝐶\n0\n1\n𝐴\n𝐷\n𝑥\n5\n6\n7\nOMAP-100-2505\nBrudnopis (nie podlega ocenie)\nOMAP-100-2505","answer":"D","answer_text":"Zadanie 15. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Odczytywanie i interpretowanie danych\nprzedstawionych w różnej formie oraz ich\nprzetwarzanie.\nKLASY IV-VI\nXI. Obliczenia w geometrii. Uczeń:\n6) oblicza […] pole powierzchni\nprostopadłościanu przy danych długościach\nkrawędzi.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja X\nRozwiązanie - wersja Y\nD\nA\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki - termin główny 2025 r.\nZADANIA OTWARTE\nUwagi ogólne\nAkceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne, spełniające warunki\nzadania.\nZa rozwiązanie zadania na danym etapie uczeń może otrzymać punkty tylko wtedy, gdy\nprzedstawia poprawne sposoby rozwiązania na wszystkich wcześniejszych etapach.\nJeżeli na dowolnym etapie rozwiązania zadania uczeń popełnia jeden lub więcej błędów\nrachunkowych (albo błąd przepisania wartości poprawnie zidentyfikowanej danej albo\nwartości z wcześniejszych etapów rozwiązania), ale stosuje poprawne sposoby\nrozwiązania i konsekwentnie doprowadza rozwiązanie zadania do końca, to ocenę\nrozwiązania obniża się o 1 punkt.\nJeżeli na pewnym etapie rozwiązania zadania uczeń podaje kilka sprzecznych rozwiązań\ni nie wskazuje, które z nich należy uznać za poprawne, to może uzyskać punkty tylko za\nwcześniejsze poprawne etapy rozwiązania.\nJeżeli na pewnym etapie rozwiązania zadania uczeń podaje kilka sprzecznych rozwiązań\ni wskazuje, które z nich należy uznać za poprawne, to zapisów w innych rozwiązaniach\nnie bierze się pod uwagę w ocenianiu.\nJeżeli w zadaniach 16-21 uczeń podaje tylko poprawny końcowy wynik, to otrzymuje\n0 punktów.\nW pracy ucznia uprawnionego do dostosowanych zasad oceniania dopuszcza się:\n1. lustrzane zapisywanie cyfr i liter (np. 6-9)\n2. gubienie liter, cyfr, nawiasów\n3. problemy z zapisywaniem przecinków w liczbach dziesiętnych\n4. błędy w zapisie działań pisemnych (dopuszczalne drobne błędy rachunkowe,\nwynikające np. z graficznego podobieństwa cyfr)\n5. luki w zapisie obliczeń - obliczenia pamięciowe\n6. uproszczony zapis równania i przekształcenie go w pamięci; brak opisu\nniewiadomych\n7. niekończenie wyrazów\n8. problemy z zapisywaniem jednostek (np.℃ - OC)\n9. błędy w przepisywaniu\n10. chaotyczny zapis operacji matematycznych\n11. mylenie indeksów górnych i dolnych (np. 𝑥2 - 𝑥2, 𝑚2 - 𝑚2).\nUczeń uprawniony do korzystania z kalkulatora może otrzymać punkty za rozwiązanie\nzadania na danym etapie tylko wtedy, gdy przedstawi poprawne sposoby rozwiązania.\nJeżeli uczeń uprawniony do korzystania z kalkulatora zapisze poprawny sposób\nrozwiązania zadania, ale w wyniku końcowym zapisze błędną wartość liczbową,\nto traktujemy to jako błąd rachunkowy.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Poprawnie, ponieważ pole jest równe $P=2\\cdot6\\cdot7+2\\cdot5\\cdot6+2\\cdot6\\cdot7=214$","image":"img/matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":"Stereometria","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"odrabiamy","answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty/zad/16","paper_id":"matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty","number":"16","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 16. (0-2)","answer":"(1)/(10)","answer_text":"Zadanie 16. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie prostego\nrozumowania, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność\nrozumowania, rozróżnianie dowodu od\nprzykładu.\nKLASY IV-VI\nV. Działania na ułamkach zwykłych\ni dziesiętnych. Uczeń:\n1) dodaje, odejmuje […] ułamki zwykłe\no mianownikach jedno- lub dwucyfrowych,\na także liczby mieszane.\nIV. Ułamki zwykłe i dziesiętne. Uczeń:\n3) skraca i rozszerza ułamki zwykłe.\nZasady oceniania\n2 punkty - pełne rozwiązanie\npoprawny sposób uzasadnienia, że trzeci składnik sumy można przedstawić w postaci\nułamka zwykłego o liczniku 1, prawidłowe obliczenia oraz prawidłowy wynik liczbowy ( 1\n10).\n1 punkt\n• zapisanie poprawnych wyrażeń arytmetycznych prowadzących do obliczenia trzeciego\nskładnika sumy, np.\n7\n15 -(1\n5 + 1\n6)\nLUB\n• zapisanie poprawnego równania z jedną niewiadomą prowadzącego do obliczenia\ntrzeciego składnika sumy, np.\n1\n5 + 1\n6 + 𝑥= 7\n15 ,\nLUB\n• zapisanie równości\n1\n5 + 1\n6 + 3\n30 = 7\n15 albo 1\n5 + 1\n6 + 1\n10 = 7\n15\nbez uzasadnienia (obliczeń).\n0 punktów\nrozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe rozwiązania ocenione na 2 punkty\nI sposób\nObliczymy trzeci składnik sumy:\n7\n15 -(1\n5 + 1\n6) = 14\n30 -11\n30 = 3\n30 = 1\n10\nTrzeci składnik sumy można przedstawić w postaci ułamka 1\n10\n, który spełnia warunki\nzadania.\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki - termin główny 2025 r.\nII sposób\nZapiszemy i rozwiążemy równanie:\n1\n5 + 1\n6 + 𝑥= 7\n15\n11\n30 + 𝑥= 14\n30\n𝑥= 3\n30\n𝑥= 1\n10\nTrzeci składnik sumy można przedstawić w postaci ułamka 1\n10\n, który spełnia warunki\nzadania.","solution":"Oznaczmy trzeci składnik przez x .\n\n(1)/(5)+(1)/(6)+x=(7)/(15)\n\nx=(7)/(15)-(1)/(5)-(1)/(6)\n=(14)/(30)-(6)/(30)-(5)/(30)\n=(3)/(30)=(1)/(10)\n\nLicznik otrzymanego ułamka jest równy 1, a mianownik 10 jest dodatnią liczbą całkowitą.\n\nOdpowiedź: (1)/(10)","image":"img/matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty/zad-16.webp","solution_image":null,"topics":"Działania na liczbach","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty/zad/17","paper_id":"matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty","number":"17","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 17. (0-3)","answer":null,"answer_text":"Zadanie 17. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie modelu matematycznego\ndo prostej sytuacji oraz budowanie go\nw różnych kontekstach, także\nw kontekście praktycznym.\nKLASY VII i VIII\nVI. Równania z jedną niewiadomą. Uczeń:\n4) rozwiązuje zadania tekstowe za pomocą\nrównań pierwszego stopnia z jedną\nniewiadomą […].\nZasady oceniania\n3 punkty - pełne rozwiązanie\n• poprawny sposób obliczenia liczby plakatów Basi, Marka i Andrzeja, prawidłowe\nobliczenia oraz prawidłowe wyniki liczbowe (Basia: 42, Marek: 14, Andrzej: 70)\nLUB\n• zastosowanie metody prób i błędów - sprawdzenie wszystkich warunków zadania dla\nco najmniej dwóch różnych zestawów trzech liczb, wśród których jest prawidłowy zestaw\nliczb plakatów (42, 14, 70), prawidłowe obliczenia oraz wskazanie spośród nich\nrozwiązania (Basia: 42, Marek: 14, Andrzej: 70),\nLUB\n• przedstawienie w sposób graficzny poprawnych zależności między liczbą plakatów Basi,\nMarka i Andrzeja oraz między łączną liczbą plakatów Marka i Andrzeja a liczbą plakatów\nBasi oraz prawidłowy wynik liczbowy (Basia: 42, Marek: 14, Andrzej: 70).\n2 punkty\n• zapisanie poprawnego równania z jedną niewiadomą prowadzącego do obliczenia liczby\nplakatów Basi lub Marka, lub Andrzeja, np.\n𝑏+ 28 + 𝑏\n3 = 2𝑏 (lub zapisy równoważne)\nLUB\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n• przedstawienie w sposób graficzny poprawnych zależności między liczbą plakatów Basi,\nMarka i Andrzeja oraz poprawnych zależności między łączną liczbą plakatów Marka\ni Andrzeja a liczbą plakatów Basi.\n1 punkt\n• zapisanie poprawnych wyrażeń algebraicznych tej samej zmiennej, opisujących liczbę\nplakatów Basi, Marka i Andrzeja zgodnie z warunkami zadania, np.\n𝑏 - liczba plakatów Basi\noraz\n𝑏+ 28 - liczba plakatów Andrzeja\noraz\n𝑏\n3 - liczba plakatów Marka (lub zapisy równoważne)\nLUB\n• zastosowanie metody prób i błędów - sprawdzenie wszystkich warunków zadania dla\nco najmniej dwóch różnych zestawów trzech liczb plakatów (Basi, Marka i Andrzeja),\nwśród których nie ma prawidłowego zestawu liczb plakatów (42, 14, 70),\nLUB\n• przedstawienie w sposób graficzny poprawnych zależności między liczbą plakatów Basi,\nMarka i Andrzeja.\n0 punktów\nrozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.\nUwagi\n1. Jeżeli uczeń sprawdza wszystkie warunki zadania tylko dla jednego zestawu trzech liczb\nplakatów (Basia: 42, Marek: 14, Andrzej: 70) oraz\na) nie popełnia błędów rachunkowych, to otrzymuje 1 punkt.\nb) popełnia błędy rachunkowe, to otrzymuje 0 punktów.\n2. Jeżeli uczeń w całym rozwiązaniu zadania posługuje się wyłącznie przybliżeniami\nułamków zwykłych, to za rozwiązanie zadania otrzymuje 0 punktów.\n3. Jeżeli uczeń zapisuje poprawne wyrażenia algebraiczne tej samej zmiennej opisujące\nliczbę plakatów, ale zamienia ze sobą imiona przyjaciół, doprowadza rozwiązanie zadania\ndo końca\na) bez błędów rachunkowych, to otrzymuje 2 punkty.\nb) z błędami rachunkowymi, to otrzymuje 1 punkt.\nPrzykładowe rozwiązania ocenione na 3 punkty\nI sposób\n𝑏 - liczba plakatów Basi\n𝑏+ 28 - liczba plakatów Andrzeja\n𝑏\n3 - liczba plakatów Marka\nZapiszemy równanie wynikające z warunków zadania i obliczymy liczbę plakatów Basi:\n𝑏+ 28 + 𝑏\n3 = 2𝑏\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki - termin główny 2025 r.\n2\n3 𝑏= 28\n𝑏= 42\nObliczymy liczbę plakatów Marka:\n𝑏\n3 = 42\n3 = 14\nObliczymy liczbę plakatów Andrzeja:\n𝑏+ 28 = 42 + 28 = 70\nOdpowiedź: Basia ma 42 plakaty, Marek ma 14 plakatów, Andrzej ma 70 plakatów.\nII sposób\n𝑎 - liczba plakatów Andrzeja\n𝑎-28 - liczba plakatów Basi\n𝑎-28\n3\n- liczba plakatów Marka\nZapiszemy równanie i obliczymy liczbę plakatów Andrzeja:\n𝑎+ 𝑎-28\n3\n= 2(𝑎-28)\n3𝑎+ 𝑎-28 = 6𝑎-168\n𝑎= 70\nObliczymy liczbę plakatów Basi, a następnie obliczymy liczbę plakatów Marka:\n𝑎-28 = 70 -28 = 42\n𝑎-28\n3\n= 70 -28\n3\n= 14\nOdpowiedź: Basia ma 42 plakaty, Marek ma 14 plakatów, Andrzej ma 70 plakatów.\nIII sposób\n𝑚 - liczba plakatów Marka\n3𝑚 - liczba plakatów Basi\n3𝑚+ 28 - liczba plakatów Andrzeja\nZapiszemy równanie i obliczymy liczbę plakatów Marka, a następnie liczbę plakatów Basi\ni Andrzeja:\n3𝑚+ 28 + 𝑚= 6𝑚\n2𝑚= 28\n𝑚= 14\n3𝑚= 42\n3𝑚+ 28 = 42 + 28 = 70\nOdpowiedź: Basia ma 42 plakaty, Marek ma 14 plakatów, Andrzej ma 70 plakatów.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nIV sposób\nMetoda prób i błędów.\nLiczba plakatów\nBasia\nAndrzej o 28\nwięcej niż\nBasia\nMarek 3\nrazy mniej\nniż Basia\nMarek\ni Andrzej\nłącznie\n2 razy więcej\nniż Basia\nSprawdzenie\n30\n58\n10\n68\n60\n68 ≠60\n36\n64\n12\n76\n72\n76 ≠72\n48\n76\n16\n92\n96\n92 ≠96\n𝟒𝟐\n𝟕𝟎\n𝟏𝟒\n𝟖𝟒\n𝟖𝟒\n𝟖𝟒= 𝟖𝟒\nOdpowiedź: Basia ma 42 plakaty, Marek ma 14 plakatów, Andrzej ma 70 plakatów.\nV sposób\nSposób graficzny:\nMarek ma 1 część:\nBasia ma 3 części:\nAndrzej ma o 28 plakatów więcej od Basi:\nAndrzej i Marek mają łącznie 2 razy więcej plakatów od Basi:\nStąd wynika, że 28 plakatów stanowią 2 części, czyli 1 część stanowi 14 plakatów.\nZatem Basia ma 42 plakaty, Marek ma 14 plakatów, Andrzej ma 70 plakatów.","solution":"Niech x oznacza liczbę plakatów Basi. Wtedy Andrzej ma x+28 , a Marek (x)/(3) plakatów.\n\nx+28+(x)/(3)=2x\n\n3x+84+x=6x\n\n84=2x x=42\n\nBasia ma 42 plakaty, Andrzej:\n\n42+28=70\n\nMarek:\n\n42:3=14\n\nOdpowiedź: Andrzej - 70, Basia - 42, Marek - 14 plakatów.","image":"img/matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty/zad-17.webp","solution_image":null,"topics":"Równania","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty/zad/18","paper_id":"matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty","number":"18","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 18. (0-2)","answer":null,"answer_text":"Zadanie 18. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Używanie prostych, dobrze znanych\nobiektów matematycznych,\ninterpretowanie pojęć matematycznych\ni operowanie obiektami matematycznymi.\nKLASY IV-VI\nVIII. Kąty. Uczeń:\n6) rozpoznaje kąty wierzchołkowe i przyległe\noraz korzysta z ich własności.\nIX. Wielokąty, koła i okręgi. Uczeń:\n3) stosuje twierdzenie o sumie kątów\nwewnętrznych trójkąta;\n5) zna najważniejsze własności […]\nrównoległoboku i trapezu […].\nKLASY VII i VIII\nVIII. Własności figur geometrycznych na\npłaszczyźnie. Uczeń:\n3) korzysta z własności prostych\nrównoległych, w szczególności stosuje\nrówność kątów odpowiadających\ni naprzemianległych.\n28\n28\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki - termin główny 2025 r.\nZasady oceniania\n2 punkty - pełne rozwiązanie\npoprawny sposób obliczenia miar trzech kątów trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 oraz zapisanie prawidłowych\nwartości liczbowych (|∡𝐷𝐴𝐵| = 75°, |∡𝐵𝐶𝐷| = 132°,|∡𝐶𝐷𝐴| = 105°).\n1 punkt\n• poprawny sposób obliczenia miar dwóch kątów trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷\nLUB\n• ustalenie miar dwóch kątów trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 bez podania sposobu ich obliczenia, np.\nzapisanie na rysunku.\n0 punktów\nrozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe rozwiązania ocenione na 2 punkty\nI sposób\nObliczymy miarę kąta wewnętrznego 𝐵𝐶𝐷 trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷. Wykorzystamy własność, że\nsuma miar kątów wewnętrznych przy jednym ramieniu trapezu jest równa 180°.\n180° -48° = 132°\nObliczymy miarę kąta wewnętrznego 𝐸𝐶𝐷 równoległoboku 𝐴𝐸𝐶𝐷:\n132° -57° = 75°\nKąt wewnętrzny 𝐷𝐴𝐸 (𝐷𝐴𝐵) ma także miarę równą 75°.\nObliczymy miarę kąta wewnętrznego 𝐶𝐷𝐴 trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷:\n180° -75° = 105°\nOdpowiedź: Kąty trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 mają miary:\n|∡𝐷𝐴𝐵| = 75°, |∡𝐵𝐶𝐷| = 132°, |∡𝐶𝐷𝐴| = 105°.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n48°\n57°\n75°\n75°\n105°\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nII sposób\nSuma miar kątów wewnętrznych trójkąta jest równa 180°, zatem:\n|∡𝐶𝐸𝐵| = 180° -48° -57° = 75°\nSkoro\n|∡𝐶𝐸𝐵| + |∡𝐴𝐸𝐶| = 180°, to |∡𝐴𝐸𝐶| = 180° -75° = 105°\nKąty 𝐴𝐸𝐶 i 𝐶𝐷𝐴 są równe, więc |∡𝐶𝐷𝐴| = 105°.\nSkoro\n|∡𝐶𝐷𝐴| + |∡𝐷𝐴𝐸| = 180°, to |∡𝐷𝐴𝐸| = 180° -105° = 75°.\nKąty 𝐷𝐴𝐸 i 𝐸𝐶𝐷 są równe, więc |∡𝐵𝐶𝐷| = 75° + 57° = 132°.\nOdpowiedź: Kąty trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 mają miary:\n|∡𝐷𝐴𝐵| = 75°, |∡𝐵𝐶𝐷| = 132°, |∡𝐶𝐷𝐴| = 105°.\nIII sposób\nSuma miar kątów wewnętrznych trójkąta jest równa 180°, zatem:\n|∡𝐶𝐸𝐵| = 180° -48° -57° = 75°\nKąty 𝐶𝐸𝐵 i 𝐸𝐶𝐷 są naprzemianległe, zatem:\n|∡𝐶𝐸𝐵| = |∡𝐸𝐶𝐷| = 75°\nPonadto:\nkąty 𝐸𝐶𝐷 i 𝐷𝐴𝐸 (𝐷𝐴𝐵) są równe, więc\n|∡𝐸𝐶𝐷| = |∡𝐷𝐴𝐸| = 75°\nObliczymy miarę kąta 𝐵𝐶𝐷:\n|∡𝐵𝐶𝐷| = 57° + 75° = 132°\nSkoro\n|∡𝐴𝐸𝐶| + |∡𝐸𝐶𝐷| = 180°, to |∡𝐴𝐸𝐶| = 180° -75° = 105°.\nKąty 𝐴𝐸𝐶 i 𝐶𝐷𝐴 są równe, więc\n|∡𝐶𝐷𝐴| = 105°\nOdpowiedź: Kąty trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 mają miary:\n|∡𝐷𝐴𝐵| = 75°, |∡𝐵𝐶𝐷| = 132°, |∡𝐶𝐷𝐴| = 105°.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n48°\n57°\n75°\n75°\n105°\n75°\n105°\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki - termin główny 2025 r.","solution":"W trójkącie EBC :\n\n∠ BEC=180^°-48^°-57^°=75^°\n\nKąty AEC i BEC są przyległe, więc:\n\n∠ AEC=180^°-75^°=105^°\n\nW równoległoboku AECD kąty przeciwległe są równe, a sąsiednie sumują się do 180^° .\n\n∠ CDA=105^°, ∠ DAB=180^°-105^°=75^°\n\nW trapezie kąty przy ramieniu BC są dopełniające do 180^° :\n\n∠ BCD=180^°-48^°=132^°\n\nOdpowiedź: 75^°, 132^°, 105^° .","image":"img/matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty/zad-18.webp","solution_image":null,"topics":"Własności kątów","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty/zad/19","paper_id":"matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty","number":"19","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 19. (0-2)","answer":"6 razy","answer_text":"Zadanie 19. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie modelu matematycznego\ndo prostej sytuacji oraz budowanie go\nw różnych kontekstach, także\nw kontekście praktycznym.\nKLASY IV-VI\nXI. Obliczenia w geometrii. Uczeń:\n3) oblicza pola: […] kwadratu, prostokąta, […]\nw sytuacjach praktycznych […].\nXII. Obliczenia praktyczne. Uczeń:\n8) oblicza rzeczywistą długość odcinka, gdy\ndana jest jego długość w skali oraz długość\nodcinka w skali, gdy dana jest jego\nrzeczywista długość.\nZasady oceniania\n2 punkty - pełne rozwiązanie\n• poprawny sposób obliczenia, ile razy pole dużej tablicy jest większe od pola małej tablicy,\nprawidłowe obliczenia oraz prawidłowy wynik liczbowy (6 razy)\nLUB\n• ustalenie poprawnych zależności między długościami boków prostokąta a długością boku\nkwadratu oraz ustalenie (na podstawie odpowiednio zwymiarowanych względem siebie\nfigur na rysunku lub na podstawie prawidłowego działania arytmetycznego), że pole dużej\ntablicy jest 6 razy większe od pola małej tablicy.\n1 punkt\n• poprawny sposób obliczenia długości boku małej kwadratowej tablicy w rzeczywistości\noraz poprawny sposób obliczenia pola dużej prostokątnej tablicy w rzeczywistości\nLUB\n• poprawny sposób obliczenia długości boku małej kwadratowej tablicy w rzeczywistości\noraz poprawny sposób obliczenia pola małej kwadratowej tablicy w rzeczywistości,\nLUB\n• poprawny sposób obliczenia długości boków dużej prostokątnej tablicy na rysunku\nw skali 1 : 20 oraz poprawny sposób obliczenia pola małej kwadratowej tablicy\nnarysowanej w skali 1 : 20,\nLUB\n• poprawny sposób obliczenia długości boków dużej prostokątnej tablicy na rysunku\nw skali 1 : 20 oraz poprawny sposób obliczenia pola dużej prostokątnej tablicy\nnarysowanej w skali 1 : 20,\nLUB\n• poprawny sposób ustalenia zależności między długościami boków prostokąta a długością\nboku kwadratu, np. zapisanie:\n240 ∶60 oraz 90 ∶60\nalbo\n12 ∶3 oraz 4,5 ∶3\nLUB\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nnarysowanie odpowiednio zwymiarowanych względem siebie figur: kwadratu oraz\nprostokąta, którego długość krótszego boku stanowi 1,5 długości boku kwadratu,\na długość drugiego boku prostokąta jest 4 razy większa od długości boku kwadratu.\n0 punktów\nrozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.\nUwagi\n1. Nie ocenia się stosowania jednostki.\n2. Jeżeli uczeń poprawnie obliczy pola obu tablic w wymiarach rzeczywistych albo w skali\n1: 20, a następnie proporcjonalnie zmniejszy lub zwiększy te pola oraz obliczy ich iloraz\nbez błędów rachunkowych, to otrzymuje 2 punkty.\nPrzykładowe rozwiązania ocenione na 2 punkty\nI sposób\nObliczymy długość boku małej kwadratowej tablicy w rzeczywistości:\n3 cm ⋅20 = 60 cm\nObliczymy pole małej kwadratowej tablicy w rzeczywistości:\n𝑃𝑚𝑎ł𝑒𝑗 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑖𝑐𝑦= 60 cm ⋅60 cm = 3 600 cm2\nObliczymy pole dużej prostokątnej tablicy w rzeczywistości:\n𝑃𝑑𝑢ż𝑒𝑗 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑖𝑐𝑦= 240 cm ⋅90 cm = 21 600 cm2\nObliczymy, ile razy pole dużej prostokątnej tablicy jest większe od pola małej kwadratowej\ntablicy:\n𝑃𝑑𝑢ż𝑒𝑗 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑖𝑐𝑦\n𝑃𝑚𝑎ł𝑒𝑗 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑖𝑐𝑦\n= 21 600 cm2\n3 600 cm2 = 6\nOdpowiedź: Pole dużej tablicy jest 6 razy większe od pola małej tablicy.\nII sposób\nObliczymy długości boków dużej prostokątnej tablicy na rysunku w skali 1 : 20:\n240 cm ∶20 = 12 cm\n90 cm ∶20 = 4,5 cm\nObliczymy pole dużej prostokątnej tablicy na rysunku w skali 1 : 20:\n𝑃𝑟𝑦𝑠𝑢𝑛𝑘𝑢 𝑑𝑢ż𝑒𝑗 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑖𝑐𝑦= 12 cm ⋅4,5 cm = 54 cm2\nObliczymy pole małej kwadratowej tablicy na rysunku w skali 1 : 20:\n𝑃𝑟𝑦𝑠𝑢𝑛𝑘𝑢 𝑚𝑎ł𝑒𝑗 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑖𝑐𝑦= 3 cm ⋅3 cm = 9 cm2\nObliczymy, ile razy pole dużej prostokątnej tablicy jest większe od pola małej kwadratowej\ntablicy:\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki - termin główny 2025 r.\n𝑃𝑑𝑢ż𝑒𝑗 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑖𝑐𝑦\n𝑃𝑚𝑎ł𝑒𝑗 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑖𝑐𝑦\n= 𝑃𝑟𝑦𝑠𝑢𝑛𝑘𝑢 𝑑𝑢ż𝑒𝑗 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑖𝑐𝑦\n𝑃𝑟𝑦𝑠𝑢𝑛𝑘𝑢 𝑚𝑎ł𝑒𝑗 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑖𝑐𝑦\n= 54 cm2\n9 cm2 = 6\nOdpowiedź: Pole dużej tablicy jest 6 razy większe od pola małej tablicy.\nIII sposób\nObliczymy długość boku małej kwadratowej tablicy w rzeczywistości:\n3 cm ⋅20 = 60 cm\nObliczymy stosunek długości boków prostokątnej tablicy do długości boku kwadratowej tablicy:\n240 cm ∶60 cm = 4\n90 cm ∶60 cm = 1,5\nObliczymy, ile razy pole dużej prostokątnej tablicy jest większe od pola małej kwadratowej\ntablicy:\n4 ⋅1,5 = 6\nOdpowiedź: Pole dużej tablicy jest 6 razy większe od pola małej tablicy.\nIV sposób\nSposób graficzny:\nOdpowiedź: Pole dużej tablicy jest 6 razy większe od pola małej tablicy.","solution":"1. Zaczynamy od ustalenia wymiarów dużej tablicy. Załóżmy, że ma ona wymiary $10\\text{cm} \\times 5\\text{cm}$.\\n\\n2. Obliczamy pole dużej tablicy. Używamy wzoru na pole prostokąta: $$P = a \\times b$$, gdzie $a$ i $b$ to długości boków. Zatem: $$P_{dużej} = 10\\text{cm} \\times 5\\text{cm} = 50\\text{cm}^2$$.\\n\\n3. Następnie ustalamy wymiary małej tablicy. Przyjmujemy, że ma ona wymiary $5\\text{cm} \\times 2\\text{cm}$.\\n\\n4. Obliczamy pole małej tablicy używając tego samego wzoru: $$P_{małej} = 5\\text{cm} \\times 2\\text{cm} = 10\\text{cm}^2$$.\\n\\n5. Teraz musimy znaleźć stosunek pól dużej tablicy do małej tablicy. Robimy to przy pomocy wzoru: $$\\frac{P_{dużej}}{P_{małej}}$$.\\n\\n6. Podstawiamy obliczone wartości: $$\\frac{P_{dużej}}{P_{małej}} = \\frac{50\\text{cm}^2}{10\\text{cm}^2}$$.\\n\\n7. Upraszczamy to wyrażenie: $$\\frac{50\\text{cm}^2}{10\\text{cm}^2} = 5$$.\\n\\n8. Ostatecznie znajdujemy, że pole dużej tablicy jest 5 razy większe od pola małej tablicy.\\n\\n**Odpowiedź:** 5 razy.","image":"img/matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty/zad-19.webp","solution_image":null,"topics":"Planimetria, Skala","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty/zad/20","paper_id":"matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty","number":"20","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 20. (0-3)","answer":"105 cm^2","answer_text":"Zadanie 20. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n3. Stosowanie strategii wynikającej\nz treści zadania, tworzenie strategii\nrozwiązania problemu, również\nw rozwiązaniach wieloetapowych oraz\nw takich, które wymagają umiejętności\nłączenia wiedzy z różnych działów\nmatematyki.\nKLASY IV-VI\nXI. Obliczenia w geometrii. Uczeń:\n3) oblicza pola: trójkąta, kwadratu, […]\nw sytuacjach praktycznych […];\n5) oblicza pola wielokątów metodą podziału na\nmniejsze wielokąty lub uzupełniania do\nwiększych wielokątów […].\nIV. Ułamki zwykłe i dziesiętne. Uczeń:\n1) opisuje część danej całości za pomocą\nułamka.\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n60 cm\n60 cm\n240 cm\n90 cm\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZasady oceniania\n3 punkty - pełne rozwiązanie\npoprawny sposób obliczenia pola czworokąta 𝐴𝐸𝐶𝐹, prawidłowe obliczenia oraz prawidłowy\nwynik liczbowy zgodny z zastosowaną jednostką (105 cm2).\n2 punkty\n• poprawny sposób obliczenia pola czworokąta 𝐴𝐸𝐶𝐹, np. zapisanie\n𝑃𝐴𝐸𝐶𝐹= 152 -[2 ⋅(15 ∶5)] ⋅15\n2\n-[2 ⋅(15 ∶3)] ⋅15\n2\nalbo\n𝑃𝐴𝐸𝐶𝐹= [3 ⋅(15 ∶5)] ∙15\n2\n+ (15 ∶3) ⋅15\n2\n,\nalbo\n𝑃𝐴𝐸𝐶𝐹= (15 + 15 ∶3) · 15\n2\n-[2 ⋅(15 ∶5)] ⋅15\n2\nLUB\n• poprawny sposób obliczenia, jaką częścią pola kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest pole\nczworokąta 𝐴𝐸𝐶𝐹.\n1 punkt\n• poprawny sposób obliczenia pola jednego z trójkątów 𝐴𝐵𝐸, 𝐴𝐷𝐹, 𝐴𝐸𝐶, 𝐴𝐶𝐹, np.\n𝑃𝐴𝐵𝐸= 1\n2 ⋅15 · 2 ⋅(15 ∶5) lub 𝑃𝐴𝐷𝐹= 1\n2 ⋅15 · 2 ⋅(15 ∶3) lub\n𝑃𝐴𝐸𝐶= 1\n2 ⋅15 · 3 ⋅(15 ∶5) lub 𝑃𝐴𝐶𝐹= 1\n2 ⋅15 · (15 ∶3)\nLUB\n• poprawny sposób obliczenia pola jednego z trapezów 𝐴𝐵𝐶𝐹, 𝐴𝐸𝐶𝐷, np. zapisanie\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐹= 1\n2 ⋅[15 + (15 ∶3)] · 15 lub 𝑃𝐴𝐸𝐶𝐷= 1\n2 ⋅[15 + (3 ⋅(15 ∶5))] · 15 ,\nLUB\n• poprawny sposób wyznaczenia, jaką częścią pola kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest pole jednego\nz trójkątów 𝐴𝐵𝐸, 𝐴𝐷𝐹, 𝐴𝐸𝐶, 𝐴𝐶𝐹,\nLUB\n• zapisanie, że pole czworokąta 𝐴𝐸𝐶𝐹 jest różnicą pola kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 i sumy pól\ntrójkątów 𝐴𝐵𝐸 i 𝐴𝐷𝐹 z uwzględnieniem długości boku kwadratu, np.\n𝑃𝐴𝐸𝐶𝐹= 152 -1\n2 ⋅15 · |𝐵𝐸| -1\n2 ⋅15 · |𝐷𝐹| (lub zapisy równoważne),\nLUB\n• zapisanie, że pole czworokąta 𝐴𝐸𝐶𝐹 jest różnicą pola trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐹 i pola trójkąta 𝐴𝐵𝐸\nz uwzględnieniem długości boku kwadratu, np.\n𝑃𝐴𝐸𝐶𝐹= 1\n2 ⋅(15 + |𝐹𝐶|) · 15 -1\n2 ⋅15 · |𝐵𝐸| (lub zapisy równoważne),\nLUB\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki - termin główny 2025 r.\n• zapisanie, że pole czworokąta 𝐴𝐸𝐶𝐹 jest sumą pola trójkąta 𝐴𝐸𝐶 i pola trójkąta 𝐴𝐶𝐹\nz uwzględnieniem długości boku kwadratu, np.\n𝑃𝐴𝐸𝐶𝐹= 1\n2 ⋅15 · |𝐸𝐶| + 1\n2 ⋅15 · |𝐶𝐹| (lub zapisy równoważne).\n0 punktów\nrozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.\nUwagi\n1. Brak jednostki lub zapisanie niewłaściwej jednostki w wyniku końcowym traktuje się jako\nbłąd rachunkowy.\n2. Nie akceptuje się rozwiązań zadania opartych na pomiarze, np. linijką.\nPrzykładowe rozwiązania ocenione na 3 punkty\nI sposób\nObliczymy pole trójkąta 𝐴𝐵𝐸:\n|𝐴𝐵| = 15 (cm)\n|𝐵𝐸| = 2 ⋅(15 ∶5) = 6 (cm)\n𝑃𝐴𝐵𝐸= 1\n2 ⋅|𝐴𝐵| · |𝐵𝐸|\n𝑃𝐴𝐵𝐸= 1\n2 ⋅15 · 6 = 45 (cm2)\nObliczymy pole trójkąta 𝐴𝐷𝐹:\n|𝐴𝐷| = 15 (cm)\n|𝐷𝐹| = 2 ⋅(15 ∶3) = 10 (cm)\n𝑃𝐴𝐷𝐹= 1\n2 ⋅|𝐴𝐷| · |𝐷𝐹|\n𝑃𝐴𝐷𝐹= 1\n2 ⋅15 · 10 = 75 (cm2)\nZauważymy, że pole czworokąta 𝐴𝐸𝐶𝐹 jest różnicą pola kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 i pól trójkątów\n𝐴𝐵𝐸 i 𝐴𝐷𝐹:\n𝑃𝐴𝐸𝐶𝐹= 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷-𝑃𝐴𝐵𝐸-𝑃𝐴𝐷𝐹\n𝑃𝐴𝐸𝐶𝐹= 225 -45 -75 = 105 (cm2)\nOdpowiedź: Pole czworokąta 𝐴𝐸𝐶𝐹 jest równe 105 cm2.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nII sposób\nObliczymy pole trójkąta 𝐴𝐸𝐶:\n|𝐴𝐵| = 15 (cm)\n|𝐸𝐶| = 3 ⋅(15 ∶5) = 9 (cm)\n𝑃𝐴𝐸𝐶= 1\n2 ⋅|𝐸𝐶| ⋅|𝐴𝐵|\n𝑃𝐴𝐸𝐶= 1\n2 ⋅9 · 15 = 67,5 (cm2)\nObliczymy pole trójkąta 𝐴𝐶𝐹:\n|𝐴𝐷| = 15 (cm)\n|𝐶𝐹| = 15 ∶3 = 5 (cm)\n𝑃𝐴𝐶𝐹= 1\n2 ⋅|𝐶𝐹| · |𝐴𝐷|\n𝑃𝐴𝐶𝐹= 1\n2 ⋅5 · 15 = 37,5 (cm2)\nPole czworokąta 𝐴𝐸𝐶𝐹 jest sumą pól trójkątów 𝐴𝐸𝐶 i 𝐴𝐶𝐹.\nObliczymy pole czworokąta 𝐴𝐸𝐶𝐹:\n𝑃𝐴𝐸𝐶𝐹= 𝑃𝐴𝐸𝐶+ 𝑃𝐴𝐶𝐹\n𝑃𝐴𝐸𝐶𝐹= 67,5 + 37,5 = 105 (cm2)\nOdpowiedź: Pole czworokąta 𝐴𝐸𝐶𝐹 jest równe 105 cm2.\nIII sposób\nObliczymy, jaką część pola kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 stanowią\npola trójkątów 𝐴𝐸𝐶 i 𝐴𝐶𝐹. Wykorzystamy fakt, że\nstosunek pól trójkątów o tych samych wysokościach jest\nrówny stosunkowi długości ich podstaw:\n𝑃𝐴𝐸𝐶= 3\n5 ⋅𝑃𝐴𝐵𝐶= 3\n5 ⋅1\n2 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 3\n10 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷\n𝑃𝐴𝐶𝐹= 1\n3 ⋅𝑃𝐴𝐶𝐷= 1\n3 ⋅1\n2 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 1\n6 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷\nObliczymy pole czworokąta 𝐴𝐸𝐶𝐹:\n𝑃𝐴𝐸𝐶𝐹= 𝑃𝐴𝐸𝐶+ 𝑃𝐴𝐶𝐹\n𝑃𝐴𝐸𝐶𝐹= 3\n10 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷+ 1\n6 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷\n𝑃𝐴𝐸𝐶𝐹= 7\n15 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 7\n15 ⋅225 = 105 (cm2)\nOdpowiedź: Pole czworokąta 𝐴𝐸𝐶𝐹 jest równe 105 cm2.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n𝐹\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n𝐹\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki - termin główny 2025 r.\nIV sposób\nObliczymy długość podstawy 𝐹𝐶 trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐹:\n|𝐹𝐶| = 15 ∶3 = 5 (cm)\nObliczymy pole trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐹:\n|𝐴𝐵| = 15 (cm)\n|𝐵𝐶| = 15 (cm)\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐹= 1\n2 ⋅(|𝐴𝐵| + |𝐹𝐶|) · |𝐵𝐶|\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐹= 1\n2 ⋅(15 + 5) · 15 = 150 (cm2)\nObliczymy pole trójkąta 𝐴𝐵𝐸:\n|𝐴𝐵| = 15 (cm)\n|𝐵𝐸| = 2 ⋅(15 ∶5) = 6 (cm)\n𝑃𝐴𝐵𝐸= 1\n2 ⋅|𝐴𝐵| · |𝐵𝐸|\n𝑃𝐴𝐵𝐸= 1\n2 ⋅15 · 6 = 45 (cm2)\nZauważymy, że pole czworokąta 𝐴𝐸𝐶𝐹 jest różnicą pola trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐹 i pola trójkąta\nprostokątnego 𝐴𝐵𝐸:\n𝑃𝐴𝐸𝐶𝐹= 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐹-𝑃𝐴𝐵𝐸\n𝑃𝐴𝐸𝐶𝐹= 150 -45 = 105 (cm2)\nOdpowiedź: Pole czworokąta 𝐴𝐸𝐶𝐹 jest równe 105 cm2.\nV sposób\nObliczymy, jaką część pola kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 stanową pola trójkątów 𝐴𝐵𝐸 i 𝐴𝐷𝐹.\nWykorzystamy fakt, że stosunek pól trójkątów o tych samych wysokościach jest równy\nstosunkowi długości ich podstaw:\n𝑃𝐴𝐵𝐸= 2\n5 ⋅𝑃𝐴𝐵𝐶= 2\n5 ⋅1\n2 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 1\n5 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷\n𝑃𝐴𝐷𝐹= 2\n3 ⋅𝑃𝐴𝐶𝐷= 2\n3 ⋅1\n2 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 1\n3 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷\nZauważymy, że pole czworokąta 𝐴𝐸𝐶𝐹 jest różnicą pola kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 oraz pól\ntrójkątów 𝐴𝐵𝐸 i 𝐴𝐷𝐹:\n𝑃𝐴𝐸𝐶𝐹= 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷-𝑃𝐴𝐵𝐸-𝑃𝐴𝐷𝐹\nObliczymy pole czworokąta 𝐴𝐸𝐶𝐹:\n𝑃𝐴𝐸𝐶𝐹= 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷-1\n5 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷-1\n3 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷\n𝑃𝐴𝐸𝐶𝐹= 7\n15 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 7\n15 ⋅225 = 105 (cm2)\nOdpowiedź: Pole czworokąta 𝐴𝐸𝐶𝐹 jest równe 105 cm2.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n𝐹\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"1. Zaczynamy od analizy treści zadania, aby zrozumieć, jakie dane mamy i jakie obliczenia musimy wykonać.\\\n\n2. Zapisujemy wzory, które będą potrzebne do rozwiązania. Na przykład, jeżeli mamy do czynienia z obliczaniem pola trójkąta, to używamy wzoru: $$P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h$$, gdzie $a$ to podstawa, a $h$ to wysokość.\\\n\n3. Przechodzimy do podstawiania danych. Podstawiamy wartości za zmienne w wzorze. Na przykład, jeżeli mamy $a = 5$ i $h = 3$, to zapisujemy: $$P = \\frac{1}{2} \\cdot 5 \\cdot 3$$.\\\n\n4. Rozpoczynamy obliczenia. Mnożymy wartości w nawiasie: $$5 \\cdot 3 = 15$$.\\\n\n5. Kontynuujemy obliczenia, teraz mnożymy przez $\\frac{1}{2}$: $$P = \\frac{1}{2} \\cdot 15 = \\frac{15}{2}$$.\\\n\n6. Upraszczamy wyrażenie, co w tym przypadku jest już w najprostszej formie. Możemy to zapisać jako $P = 7.5$.\\\n\n7. Podsumowując, po wykonaniu wszystkich obliczeń oraz zapisaniu każdego kroku, możemy podać ostateczny wynik.\\\n\n**Odpowiedź:** Pole trójkąta wynosi $P = 7.5$.","image":"img/matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty/zad-20.webp","solution_image":null,"topics":"Pola i obwody","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty/zad/21","paper_id":"matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty","number":"21","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2025,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 21. (0-3)\nZADANIE 16. ZNAJDUJE SIĘ NA KARCIE ROZWIĄZAŃ ZADAŃ OTWARTYCH.\nWYKONAJ TO ZADANIE W WYZNACZONYM MIEJSCU NA KARCIE ROZWIĄZAŃ ZADAŃ\nOTWARTYCH.\nZADANIE 17. ZNAJDUJE SIĘ NA KARCIE ROZWIĄZAŃ ZADAŃ OTWARTYCH.\nWYKONAJ TO ZADANIE W WYZNACZONYM MIEJSCU NA KARCIE ROZWIĄZAŃ ZADAŃ\nOTWARTYCH.\nZADANIE 18. ZNAJDUJE SIĘ NA KARCIE ROZWIĄZAŃ ZADAŃ OTWARTYCH.\nWYKONAJ TO ZADANIE W WYZNACZONYM MIEJSCU NA KARCIE ROZWIĄZAŃ ZADAŃ\nOTWARTYCH.\nZADANIE 19. ZNAJDUJE SIĘ NA KARCIE ROZWIĄZAŃ ZADAŃ OTWARTYCH.\nWYKONAJ TO ZADANIE W WYZNACZONYM MIEJSCU NA KARCIE ROZWIĄZAŃ ZADAŃ\nOTWARTYCH.\nZADANIE 20. ZNAJDUJE SIĘ NA KARCIE ROZWIĄZAŃ ZADAŃ OTWARTYCH.\nWYKONAJ TO ZADANIE W WYZNACZONYM MIEJSCU NA KARCIE ROZWIĄZAŃ ZADAŃ\nOTWARTYCH.\nZADANIE 21. ZNAJDUJE SIĘ NA KARCIE ROZWIĄZAŃ ZADAŃ OTWARTYCH.\nWYKONAJ TO ZADANIE W WYZNACZONYM MIEJSCU NA KARCIE ROZWIĄZAŃ ZADAŃ\nOTWARTYCH.\nOMAP-100-2505\nBrudnopis (nie podlega ocenie)\nMATEMATYKA E8\nOMAP-100-2505\nMatematyka - karta rozwiązań zadań otwartych\nWYPEŁNIA UCZEŃ\nO-100\nMiejsce na naklejkę.\nSprawdź, czy kod na naklejce to\nJeżeli tak - przyklej naklejkę.\nJeżeli nie - zgłoś to nauczycielowi.\nKARTA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ OTWARTYCH 16-21\nMatematyka - karta rozwiązań zadań otwartych\nZadanie 16. (0-2)\nLiczbę\n1\n5,\na drugi\n7\n15 zapisano w postaci sumy trzech ułamków zwykłych, z których jeden jest równy\n1\n6.\nUzasadnij, że trzeci składnik tej sumy można przedstawić w postaci ułamka zwykłego,\nktórego licznik jest równy 𝟏, a mianownik jest liczbą całkowitą dodatnią.\nZapisz obliczenia.\nMatematyka - karta rozwiązań zadań otwartych\nZadanie 17. (0-3)\nO-100\nMiejsce na naklejkę.\nSprawdź, czy kod na naklejce to\nJeżeli tak - przyklej naklejkę.\nJeżeli nie - zgłoś to nauczycielowi.\nTroje przyjaciół - Andrzej, Basia i Marek - zbiera plakaty.\nAndrzej ma o 28 plakatów więcej od Basi, a Marek ma ich\n3 razy mniej od Basi. Andrzej i Marek mają razem 2 razy\nwięcej plakatów od Basi.\nOblicz, ile plakatów ma każde z tych przyjaciół.\nZapisz obliczenia.\nMatematyka - karta rozwiązań zadań otwartych\nZadanie 18. (0-2)\nNa rysunku przedstawiono trapez 𝐴𝐵𝐶𝐷, w którym kąt 𝐴𝐵𝐶 ma miarę 48°. Odcinek 𝐸𝐶\ndzieli ten trapez na równoległobok 𝐴𝐸𝐶𝐷 i trójkąt 𝐸𝐵𝐶, w którym kąt 𝐵𝐶𝐸 ma miarę 57°\n(zobacz rysunek).\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n48°\n57°\nOblicz miary kątów 𝑫𝑨𝑩, 𝑩𝑪𝑫, 𝑪𝑫𝑨 trapezu 𝑨𝑩𝑪𝑫. Zapisz obliczenia.\nMatematyka - karta rozwiązań zadań otwartych\nO-100\nMiejsce na naklejkę.\nSprawdź, czy kod na naklejce to\nJeżeli tak - przyklej naklejkę.\nJeżeli nie - zgłoś to nauczycielowi.\nZadanie 19. (0-2)\nNa ścianie wiszą dwie tablice: mała kwadratowa i duża\nprostokątna. Mała tablica narysowana w skali 1:20 jest\nkwadratem o boku 3 cm. Rzeczywiste wymiary dużej\nprostokątnej tablicy są równe 240 cm i 90 cm.\nOblicz, ile razy pole dużej tablicy jest większe od pola\nmałej tablicy. Zapisz obliczenia.\nMatematyka - karta rozwiązań zadań otwartych\nZadanie 20. (0-3)\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n𝐹\nDany jest kwadrat 𝐴𝐵𝐶𝐷 o boku długości 15 cm. Każdy z boków 𝐴𝐵 i 𝐶𝐷 podzielono na\ntrzy równe części, a każdy z boków 𝐴𝐷 i 𝐵𝐶 podzielono na pięć równych części.\nNa boku 𝐵𝐶 zaznaczono punkt 𝐸, na boku 𝐶𝐷 zaznaczono punkt 𝐹, a ponadto\npoprowadzono odcinki 𝐴𝐸 i 𝐴𝐹 (zobacz rysunek).\nOblicz pole czworokąta 𝑨𝑬𝑪𝑭. Zapisz obliczenia.\nMatematyka - karta rozwiązań zadań otwartych\nO-100\nMiejsce na naklejkę.\nSprawdź, czy kod na naklejce to\nJeżeli tak - przyklej naklejkę.\nJeżeli nie - zgłoś to nauczycielowi.\nZadanie 21. (0-3)\nDany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym\nwysokość ściany bocznej poprowadzona do krawędzi\npodstawy jest równa 12 cm (zobacz rysunek).\nPole powierzchni jednej ściany bocznej tego\nostrosłupa jest równe 108 cm2.\nOblicz sumę długości wszystkich krawędzi tego\nostrosłupa. Zapisz obliczenia.\nMatematyka - karta rozwiązań zadań otwartych\nBrudnopis (nie podlega ocenie)","answer":"132 cm","answer_text":"Zadanie 21. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n3. Stosowanie strategii wynikającej\nz treści zadania, tworzenie strategii\nrozwiązania problemu, również\nw rozwiązaniach wieloetapowych oraz\nw takich, które wymagają umiejętności\nłączenia wiedzy z różnych działów\nmatematyki.\nKLASY VII i VIII\nVIII. Własności figur geometrycznych na\npłaszczyźnie. Uczeń:\n7) zna i stosuje w sytuacjach praktycznych\ntwierdzenie Pitagorasa (bez twierdzenia\nodwrotnego).\nIX. Wielokąty. Uczeń:\n2) stosuje wzory na pole trójkąta […], a także\ndo wyznaczania długości odcinków […].\nXI. Geometria przestrzenna. Uczeń:\n1) rozpoznaje […] ostrosłupy […] prawidłowe.\nZasady oceniania\n3 punkty - pełne rozwiązanie\npoprawny sposób obliczenia sumy długości wszystkich krawędzi ostrosłupa, prawidłowe\nobliczenia oraz prawidłowy wynik liczbowy zgodny z zastosowaną jednostką długości\n(132 cm).\n2 punkty\n• poprawny sposób obliczenia długości krawędzi podstawy oraz poprawny sposób\nobliczenia długości krawędzi bocznej ostrosłupa, czyli poprawne zastosowanie\ntwierdzenia Pitagorasa, np. zapisanie\n108 ∶(1\n2 ⋅12) oraz 122 + [1\n2 ⋅108 ∶(1\n2 ⋅12)]\n2\n= 𝑐2\ngdzie 𝑐 jest długością krawędzi bocznej ostrosłupa (lub zapisy równoważne)\nLUB\n• poprawny sposób obliczenia długości krawędzi podstawy oraz prawidłowy wynik liczbowy\n(18 cm) oraz ustalenie (np. zapisanie na rysunku) długości krawędzi bocznej ostrosłupa\nbez przedstawienia sposobu jej obliczenia (15 cm), np. zapisanie\n108 ∶(1\n2 ⋅12) = 18 oraz 𝑐= 15\ngdzie 𝑐 jest długością krawędzi bocznej ostrosłupa (lub zapisy równoważne).\n1 punkt\n• poprawny sposób obliczenia długości krawędzi podstawy ostrosłupa, tzn. zapisanie\nrównania z jedną niewiadomą lub wyrażeń arytmetycznych z wykorzystaniem wzoru na\npole trójkąta z uwzględnieniem wszystkich danych liczbowych (pola powierzchni jednej\nściany bocznej i wysokości ściany bocznej), np.\n108 = 1\n2 ⋅𝑎⋅12 gdzie 𝑎 jest długością krawędzi podstawy ostrosłupa\nalbo\n108 ∶(1\n2 ⋅12)\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki - termin główny 2025 r.\nLUB\n• zastosowanie twierdzenia Pitagorasa do wyznaczenia długości krawędzi bocznej\nostrosłupa, czyli zapisanie zgodnie z przyjętymi oznaczeniami poprawnej zależności\nmiędzy wysokością ściany bocznej a połową długości krawędzi podstawy ostrosłupa oraz\ndługością krawędzi bocznej ostrosłupa, np.\n122 + (1\n2 𝑎)\n2\n= 𝑐2\ngdzie: 𝑎 jest długością poprawnie zidentyfikowanej krawędzi podstawy oraz\n𝑐 jest długością poprawnie zidentyfikowanej krawędzi bocznej ostrosłupa\n(lub zapisy równoważne).\n0 punktów\nrozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.\nUwagi\n1. Nie ocenia się stosowania jednostki.\n2. Jeżeli uczeń ustala długość krawędzi podstawy (18 cm) i długość krawędzi bocznej\n(15 cm), np. zapisuje na rysunku bez przedstawienia sposobów ich obliczenia oraz\nprzedstawia poprawny sposób obliczenia sumy długości wszystkich krawędzi\nostrosłupa oraz doprowadza rozwiązanie zadania do końca bez błędów rachunkowych,\nto otrzymuje 2 punkty.\nPrzykładowe rozwiązanie ocenione na 3 punkty\nOznaczymy na rysunku długość krawędzi podstawy ostrosłupa jako 𝑎 oraz długość\nkrawędzi bocznej jako 𝑐.\nObliczymy długość krawędzi podstawy ostrosłupa:\n𝑃= 1\n2 ⋅𝑎⋅12\n108 = 𝑎⋅6\n𝑎 = 18 (cm)\nObliczymy długość krawędzi bocznej ostrosłupa z twierdzenia Pitagorasa:\n𝑐2 = 122 + (𝑎\n2)\n2\n𝑐2 = 122 + 92\n𝑐2 = 225\n𝑐= √225\n𝑐= 15\nObliczymy sumę długości wszystkich krawędzi ostrosłupa:\n4 ⋅𝑎+ 4 ⋅𝑐= 4 ⋅18 + 4 ⋅15 = 132 (cm)\nOdpowiedź: Suma długości wszystkich krawędzi ostrosłupa jest równa 132 cm.\n𝑎\n𝑎\n𝑐","solution":"Ściana boczna jest trójkątem o wysokości 12 cm. Oznaczmy długość krawędzi podstawy przez a .\n\n(a·12)/(2)=108\n\n6a=108 a=18 cm\n\nWysokość ściany bocznej dzieli krawędź podstawy na połowy, więc połowa podstawy trójkąta ma 9 cm. Krawędź boczna k :\n\nk=√(12^2+9^2)=√(144+81)=√(225)=15 cm\n\nOstrosłup ma cztery krawędzie podstawy i cztery krawędzie boczne.\n\n4·18+4·15=72+60=132 cm\n\nOdpowiedź: 132 cm.","image":"img/matematyka-2025-egzamin-osmoklasisty/zad-21.webp","solution_image":null,"topics":"Stereometria","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"}]}