{"paper":{"id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","variant":null,"exam_pdf":null,"key_pdf":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":38,"source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba (√32 -√2 )\n2 jest równa\nA. 16\nB. 18\nC. 30\nD. 34\nLiczba (√32 - √2)² jest równa A. 16 B. 18 C. 30 D. 34","answer":"B","answer_text":null,"solution":"1. Zaczynamy od zapisania wyrażenia do obliczenia:\n$$\n\\text{Liczba } = \\big(\\\\sqrt{32} - \\\\sqrt{2}\\big)^2\n$$\n\n2. Następnie przypominamy sobie wzór skróconego mnożenia, który mówi, że:\n$$\n(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\n$$\nW tym przypadku:\n- $a = \\\\\\sqrt{32}$\n- $b = \\\\\\sqrt{2}$\n\n3. Podstawiamy te wartości do wzoru:\n$$\n\\big(\\\\sqrt{32} - \\\\sqrt{2}\\big)^2 = (\\\\sqrt{32})^2 - 2 \\\\sqrt{32} \\\\sqrt{2} + (\\\\sqrt{2})^2\n$$\n\n4. Obliczamy każdy z członów:\n- $\\\\(\\\\sqrt{32})^2 = 32$\n- $\\\\(\\\\sqrt{2})^2 = 2$\n- Obliczamy również $2 \\\\sqrt{32} \\\\sqrt{2}$:\n$$\n2 \\\\sqrt{32} \\\\sqrt{2} = 2 \\\\sqrt{32 \\times 2} = 2 \\\\sqrt{64} = 2 \\times 8 = 16\n$$\n\n5. Wstawiamy obliczone wartości do wzoru:\n$$\n32 - 16 + 2\n$$\n\n6. Wykonujemy obliczenia krok po kroku:\n$$\n32 - 16 = 16\n$$\n$$\n16 + 2 = 18\n$$\n\n7. Zatem końcowy wynik obliczenia to:\n$$\n\\big(\\\\sqrt{32} - \\\\sqrt{2}\\big)^2 = 18\n$$\n\n**Odpowiedź:** B. 18","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/sol-1.svg","topics":null,"page_from":null,"source":"odrabiamy","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"odrabiamy","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba 512 + 513 + 514\n512\njest równa\nA. 30\nB. 31\nC. 512\nD. 527\n\nMMAP-P0_100\nLiczba 5^12 + 5^13 + 5^14 / 5^12 jest równa A. 30 B. 31 C. 5^12 D. 5^27","answer":"B","answer_text":null,"solution":"1. Zaczynamy od zdefiniowania wyrażenia, które chcemy uprościć. Mamy dane wyrażenie: $$\\frac{5^{12} + 5^{13} + 5^{14}}{5^{12}}$$.\n\n2. Przekształcamy licznik w wyrażeniu. Możemy to zrobić, wyciągając $5^{12}$ przed nawias:\n$$5^{12} + 5^{13} + 5^{14} = 5^{12} + 5^{12} \\times 5 + 5^{12} \\times 5^2 = 5^{12}(1 + 5 + 5^2)$$.\n\n3. Zastępujemy licznik w oryginalnym wyrażeniu. Otrzymujemy:\n$$\\frac{5^{12}(1 + 5 + 5^2)}{5^{12}}$$.\n\n4. Skracamy $5^{12}$ w liczniku z $5^{12}$ w mianowniku. Otrzymujemy:\n$$1 + 5 + 5^2$$.\n\n5. Obliczamy wartość wyrażenia $1 + 5 + 5^2$. Najpierw obliczamy $5^2$:\n$$5^2 = 25$$.\n\n6. Teraz dodajemy wszystkie składniki:\n$$1 + 5 + 25 = 31$$.\n\n7. Zatem liczba $$\\frac{5^{12} + 5^{13} + 5^{14}}{5^{12}}$$ jest równa 31, co odpowiada opcji B.\n\n**Odpowiedź:** 31","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/sol-2.svg","topics":null,"page_from":null,"source":"odrabiamy","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"odrabiamy","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba log3 108 -2log3 2 jest równa\nA. 3\nB. 9\nC. log3 104\nD. 2log3 54\nLiczba log_3 108 - 2log_3 2 jest równa A. 3 B. 9 C. log_3 104 D. 2log_3 54","answer":"A","answer_text":null,"solution":"1. Zaczynamy od zapisania wyrażenia, które chcemy uprościć:\n$$\\text{Wyrażenie: } \\\\ \\text{ } \\\\ \\\\log_3 108 - 2 \\log_3 2$$\n\n2. Zastosujemy wzór na logarytm potęgi, który mówi, że $a \\log_b c = \\log_b c^a$. Zatem przekształcamy $2 \\log_3 2$:\n$$2 \\log_3 2 = \\log_3 2^2 = \\log_3 4$$\n\n3. Teraz możemy podstawić tę wartość z powrotem do naszego wyrażenia:\n$$\\log_3 108 - \\log_3 4$$\n\n4. Użyjemy wzoru na różnicę logarytmów, który mówi, że $\\log_b a - \\log_b c = \\log_b \\frac{a}{c}$. Zatem:\n$$\\log_3 108 - \\log_3 4 = \\log_3 \\frac{108}{4}$$\n\n5. Teraz obliczamy wartość $\\frac{108}{4}$:\n$$\\frac{108}{4} = 27$$\n\n6. Wstawiamy tę wartość do naszego logarytmu:\n$$\\log_3 \\frac{108}{4} = \\log_3 27$$\n\n7. Znamy również, że $27 = 3^3$. Możemy to wykorzystać do przekształcenia logarytmu:\n$$\\log_3 27 = \\log_3 3^3$$\n\n8. Znowu stosujemy wzór na logarytm potęgi:\n$$\\log_3 3^3 = 3$$\n\n9. Podsumowując, otrzymaliśmy:\n$$\\log_3 108 - 2 \\log_3 2 = 3$$\n\n**Odpowiedź:** 3","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/sol-3.svg","topics":null,"page_from":null,"source":"odrabiamy","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"odrabiamy","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nDla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 wartość wyrażenia (3𝑥+ 2)2 -(2𝑥-3)2 jest równa\nwartości wyrażenia\nA. 5𝑥2 -5\nB. 5𝑥2 + 13\nC. 5𝑥2 + 24𝑥-5\nD. 5𝑥2 + 24𝑥-13\n\nMMAP-P0_100\nDla każdej liczby rzeczywistej x wartość wyrażenia (3x+2)²-(2x-3)² jest równa wartości wyrażenia A. 5x²-5 B. 5x²+13 C. 5x²+24x-5 D. 5x²+24x-13","answer":"C","answer_text":null,"solution":"Poprawnie, ponieważ mamy korzystając ze wzorów skróconego mnożenia $(3x + 2)^2 - (2x - 3)^2=9x^2+12x+4-4x^2+12x-9=5x^2+24x-5$.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/sol-4.svg","topics":null,"page_from":null,"source":"odrabiamy","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"odrabiamy","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa","number":"5","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (0-2)\nWykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej 𝒏 liczba 𝟑𝒏𝟐+ 𝟐𝒏+ 𝟕 jest\npodzielna przez 𝟒.\n5.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\nWykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej n liczba 3n²+2n+7 jest podzielna przez 4.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/sol-5.svg","topics":null,"page_from":null,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (0-1)\nDana jest nierówność\n3 -2(1 -2𝑥) ≥2𝑥-17\nNa którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb\nrzeczywistych spełniających powyższą nierówność? Wybierz właściwą odpowiedź\nspośród podanych.\nA.\nB.\nC.\nD.\n𝑥\n0 1\n3\n𝑥\n0 1\n3\n𝑥\n0 1\n-9\n𝑥\n0 1\n-9\n\nMMAP-P0_100\nDana jest nierówność 3-2(1-2x) ≥ 2x-17 Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność? A. [rysunek] B. [rysunek] C. [rysunek] D. [rysunek]","answer":"D","answer_text":null,"solution":"Poprawnie, po przekształceniu $3 - 2(1 - 2x) \\geq 2x - 17$ otrzymujemy $2x\\ge -18$, czyli $x\\ge-9$ co jest zaznaczone na osi na rysunku D.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/sol-6.svg","topics":null,"page_from":null,"source":"odrabiamy","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"odrabiamy","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nRównanie 2𝑥(𝑥+ 3)(𝑥2 + 25) = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie\nA. dwa rozwiązania: (-3) oraz 0.\nB. dwa rozwiązania: (-3) oraz 2.\nC. trzy rozwiązania: (-5), (-3) oraz 0.\nD. cztery rozwiązania: (-5), (-3), 0 oraz 5.\nRównanie 2x(x+3)(x²+25)=0 w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie A. dwa rozwiązania: (-3) oraz 0. B. dwa rozwiązania: (-3) oraz 2. C. trzy rozwiązania: (-5), (-3) oraz 0. D. cztery rozwiązania: (-5), (-3), 0 oraz 5.","answer":"A","answer_text":null,"solution":"Poprawnie, równanie $2x(x + 3)(x^2 + 25) = 0$ ma dwa rzeczywiste rozwiązania: $x = -3$ i $x = 0$, ponieważ $x^2 + 25=0$ nie ma rzeczywistych miejsc zerowych.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/sol-7.svg","topics":null,"page_from":null,"source":"odrabiamy","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"odrabiamy","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nDla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 różnej od (-2) oraz różnej od 0 wartość wyrażenia\n𝑥2 + 𝑥\n𝑥2 + 4𝑥 + 4 ⋅ 𝑥 + 2\n𝑥\njest równa wartości wyrażenia\nA. 𝑥 + 2\n4𝑥 + 4\nB. 𝑥 + 1\n4𝑥 + 5\nC. 𝑥 + 1\n𝑥 + 2\nD. 2𝑥\n𝑥 + 2\n\nMMAP-P0_100\nDla każdej liczby rzeczywistej x różnej od (-2) oraz różnej od 0 wartość wyrażenia x^2+x/x^2+4x+4 ⋅ x+2/x jest równa wartości wyrażenia A. x+2/4x+4 B. x+1/4x+5 C. x+1/x+2 D. 2x/x+2","answer":"C","answer_text":null,"solution":"Poprawnie, upraszczamy wyrażenie$ {\\small \\displaystyle\\frac{x^2 + x}{x^2 + 4x + 4}} \\cdot {\\small \\displaystyle\\frac{x + 2}{x}} = {\\small \\displaystyle\\frac{x(x+1)(x+2)}{x(x+2)^2}}={\\small \\displaystyle\\frac{x+1}{x+2}}$.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/sol-8.svg","topics":null,"page_from":null,"source":"odrabiamy","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"odrabiamy","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa","number":"9","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (0-2)\nZarząd firmy wydzielił z budżetu kwotę 1 200 000 złotych łącznie na projekty badawcze dla\ndwóch zespołów: A i B. W pierwszym półroczu realizacji tych projektów oba zespoły\nwykorzystały łącznie 146 700 złotych - zespół A wykorzystał 13% przyznanych mu\nśrodków, a zespół B wykorzystał 11% przyznanych mu środków.\nOblicz kwotę przyznaną zespołowi A na realizację projektu badawczego.\nZapisz obliczenia.\n9.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\nZarząd firmy wydzielił z budżetu kwotę 1200000 złotych łącznie na projekty badawcze dla dwóch zespołów: A i B. W pierwszym półroczu realizacji tych projektów oba zespoły wykorzystały łącznie 146700 złotych - zespół A wykorzystał 13% przyznanych mu środków, a zespół B wykorzystał 11% przyznanych mu środków. Oblicz kwotę przyznaną zespołowi A na realizację projektu badawczego.","answer":"A","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/sol-9.svg","topics":null,"page_from":null,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa","number":"10","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (0-2)\nRozwiąż nierówność\n𝟑(𝟐𝒙𝟐+ 𝟏) < 𝟏𝟏𝒙\nZapisz obliczenia.\n10.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\nRozwiąż nierówność 3(2x^2+1) < 11x","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/sol-10.svg","topics":null,"page_from":null,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa","number":"11","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (0-4)\nFunkcja 𝑓 jest określona następująco:\n𝑓(𝑥) = {\n𝑥+ 5\ndla 𝑥∈[-4, -2]\n3\ndla 𝑥∈(-2, 2]\n-3𝑥+ 9\ndla 𝑥∈(2, 4)\nWykres funkcji 𝑦= 𝑓(𝑥) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦)\nna rysunku poniżej.\nUzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby\nzdania były prawdziwe.\n1. Dziedziną funkcji 𝑓 jest przedział\n2. Zbiorem wartości funkcji 𝑓 jest przedział\n3. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja 𝑓 przyjmuje wartości dodatnie, jest\nprzedział\n4. Zbiorem wszystkich rozwiązań równania 𝑓(𝑥) = 3 jest przedział\n1 2 3 4\n-1\n-2\n5\n0\n𝑥\n-5 -4 -3\n1\n2\n3\n4\n𝑦\n5\n-1\n-2\n-3\n-4\n-5\n𝑦= 𝑓(𝑥)\n11.\n0-1-\n2-3-4\n\nMMAP-P0_100\n6\n5\n𝑦\n3\n1\n4\n2\n-1\n-2\n4 5\n2\n1\n𝑥\n3\n-1\n-2\n-3\n𝑦= 𝑓(𝑥)\n0\nFunkcja f jest określona następująco: f(x) = {x+5 dla x∈<-4,-2>; 3 dla x∈(-2,2>; -3x+9 dla x∈(-2,4). Wykres funkcji y=f(x) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) na rysunku poniżej. [rysunek] Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. 1. Dziedziną funkcji f jest przedział ..................................... . 2. Zbiorem wartości funkcji f jest przedział ..................................... . 3. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości dodatnie, jest przedział ..................................... . 4. Zbiorem wszystkich rozwiązań równania f(x)=3 jest przedział ..................................... .","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/sol-11.svg","topics":null,"page_from":null,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa","number":"12","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12.\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) przedstawiono fragment paraboli, która jest\nwykresem funkcji kwadratowej 𝑓 (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli ma\nwspółrzędne (3, 6). Ta parabola przecina oś 𝑂𝑦 w punkcie o współrzędnych (0, 3).\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej f (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne (3,6). Ta parabola przecina oś Oy w punkcie o współrzędnych (0,3). [rysunek] Wyznacz wzór funkcji f w postaci kanonicznej.","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/sol-12.svg","topics":null,"page_from":null,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad/12.1","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa","number":"12.1","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12.1. (0-2)\nWyznacz wzór funkcji 𝒇 w postaci kanonicznej. Zapisz obliczenia.\n12.1.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":null,"solution":"1. Rozpoczynamy od ogólnej postaci funkcji kwadratowej, którą możemy zapisać jako:\n$$ f(x) = a(x - p)^2 + q $$\ngdzie $(p, q)$ to wierzchołek paraboli.\n\n2. Znamy wierzchołek naszej funkcji, który jest dany przez punkt $(3, 6)$, więc wpisujemy to do wzoru:\n$$ f(x) = a(x - 3)^2 + 6 $$\n\n3. Musimy teraz znaleźć wartość parametru $a$. Wiemy, że punkt $(0, 3)$ leży na wykresie funkcji, więc:\n$$ f(0) = 3 $$\nPodstawiamy $x = 0$ do wzoru funkcji:\n$$ f(0) = a(0 - 3)^2 + 6 $$\n\n4. Uproszczamy równanie:\n$$ 3 = a(9) + 6 $$\n$$ 3 = 9a + 6 $$\n\n5. Teraz izolujemy $a$ poprzez odjęcie $6$ od obu stron równania:\n$$ 3 - 6 = 9a $$\n$$ -3 = 9a $$\n\n6. Dzielimy przez $9$:\n$$ a = -\\frac{3}{9} $$\n$$ a = -\\frac{1}{3} $$\n\n7. Mamy już wartość $a$, więc możemy zapisać naszą funkcję w postaci kanonicznej:\n$$ f(x) = -\\frac{1}{3}(x - 3)^2 + 6 $$\n\n**Odpowiedź:** $$ f(x) = -\\frac{1}{3}(x - 3)^2 + 6 $$","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad-12.1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"odrabiamy","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"odrabiamy","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad/12.2","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa","number":"12.2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12.2. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nOsią symetrii wykresu funkcji 𝑓 jest prosta o równaniu\nA. 𝑥= 3\nB. 𝑥= -3\nC. 𝑦= 6\nD. 𝑦= -6\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej f (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne (3,6). Ta parabola przecina oś Oy w punkcie o współrzędnych (0,3). [rysunek] Osią symetrii wykresu funkcji f jest prosta o równaniu A. x=3 B. x=-3 C. y=6 D. y=-6","answer":"A","answer_text":null,"solution":"Poprawnie, prosta o równaniu $x = 3$ jest osią symetrii wykresu funkcji, widzimy, że wierzchołek paraboli ma współrzędną $x=3$.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad-12.2.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/sol-12.2.svg","topics":null,"page_from":null,"source":"odrabiamy","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"odrabiamy","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad/12.3","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa","number":"12.3","points":1,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12.3. (0-1)\nFunkcja 𝑔 jest określona dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 wzorem 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) -3.\nLiczby 𝑥1 oraz 𝑥2 są różnymi miejscami zerowymi funkcji 𝑔.\nUzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie\nbyło prawdziwe.\nSuma 𝑥1 + 𝑥2 jest równa\n12.3.\n0-1\n\nMMAP-P0_100\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej f (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne (3,6). Ta parabola przecina oś Oy w punkcie o współrzędnych (0,3). [rysunek] Funkcja g jest określona dla każdej liczby rzeczywistej x wzorem g(x)=f(x)-3. Liczby x_1 oraz x_2 są różnymi miejscami zerowymi funkcji g. Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe. Suma x_1 + x_2 jest równa ............ .","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad-12.3.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/sol-12.3.svg","topics":null,"page_from":null,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (0-1)\nFunkcja liniowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = (3 -𝑚)𝑥-4.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nFunkcja 𝑓 nie ma miejsca zerowego dla 𝑚 równego\nA. (-3)\nB. 0\nC. 3\nD. 4\n\nMMAP-P0_100\nFunkcja liniowa f jest określona wzorem f(x)=(3-m)x-4. Funkcja f {nie ma} miejsca zerowego dla m równego A. (-3) B. 0 C. 3 D. 4","answer":"C","answer_text":null,"solution":"Poprawnie, dla $m = 3$ współczynnik przy $a=0$, co oznacza, że funkcja $f(x)$ nie ma miejsca zerowego, ponieważ jest prostą poziomą, przy czym $b\\ne0$.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/sol-13.svg","topics":null,"page_from":null,"source":"odrabiamy","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"odrabiamy","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa","number":"14","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14.\nCiąg (𝑎𝑛) jest określony następująco:\n{𝑎1 = 2\n𝑎𝑛+1 = 2𝑎𝑛+ 1 dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad/14.1","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa","number":"14.1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14.1. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nTrzeci wyraz ciągu (𝑎𝑛) jest równy\nA. 4\nB. 5\nC. 7\nD. 11\nCiąg (a_n) jest określony następująco: {a_1 = 2; a_{n+1} = 2a_n + 1 dla każdej liczby naturalnej n≥1. Trzeci wyraz ciągu (a_n) jest równy A. 4 B. 5 C. 7 D. 11","answer":"D","answer_text":null,"solution":"Poprawnie, obliczając drugi wyraz mamy $a_2=2\\cdot2+1=5$, a trzeci $a_3=2\\cdot5+1=11$.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad-14.1.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/sol-14.1.svg","topics":null,"page_from":null,"source":"odrabiamy","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"odrabiamy","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad/14.2","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa","number":"14.2","points":1,"ptype":"true_false","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14.2. (0-1)\nOceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest\nprawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.\nCiąg (𝑎𝑛) jest arytmetyczny.\nP\nF\nCiąg (𝑎𝑛) jest geometryczny.\nP\nF\n\nMMAP-P0_100\nCiąg (a_n) jest określony następująco: {a_1 = 2; a_{n+1} = 2a_n + 1 dla każdej liczby naturalnej n≥1. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F -- jeśli jest fałszywe. Ciąg (a_n) jest arytmetyczny. | P | F | Ciąg (a_n) jest geometryczny. | P | F |","answer":"FF","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad-14.2.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/sol-14.2.svg","topics":null,"page_from":null,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa","number":"15","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (0-3)\nWyznacz wartość 𝒎, dla której trzywyrazowy ciąg\n(𝟐𝒎+ 𝟏𝟏, 𝒎𝟐+ 𝟑, 𝟓-𝒎)\njest arytmetyczny i malejący. Zapisz obliczenia.\n15.\n0-1-\n2-3\n\nMMAP-P0_100\nWyznacz wartość m, dla której trzywyrazowy ciąg (2m+11, m²+3, 5-m) jest arytmetyczny i malejący.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/sol-15.svg","topics":null,"page_from":null,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (0-1)\nDany jest ciąg geometryczny (𝑎𝑛) określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1, w którym\n𝑎1 = 27 oraz 𝑎2 = 9.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nCzwarty wyraz ciągu (𝑎𝑛) jest równy\nA. 1\n3\nB. 1\nC. 3\nD. 729\nDany jest ciąg geometryczny (a_n) określony dla każdej liczby naturalnej n≥1, w którym a_1=27 oraz a_2=9. Czwarty wyraz ciągu (a_n) jest równy A. 1/3 B. 1 C. 3 D. 729","answer":"B","answer_text":null,"solution":"Poprawnie, aby znaleźć czwarty wyraz ciągu geometrycznego, należy obliczyć iloraz $q = {\\displaystyle\\small\\frac{a_2}{a_1}} = {\\displaystyle\\small\\frac{9}{27}} = {\\displaystyle\\small\\frac{1}{3}}$. Czwarty wyraz to $a_4 = a_3 \\cdot q = a_3 \\cdot {\\displaystyle\\small\\frac{1}{3}} = 3 \\cdot {\\displaystyle\\small\\frac{1}{3}} = 1$.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/sol-16.svg","topics":null,"page_from":null,"source":"odrabiamy","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"odrabiamy","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (0-1)\nKąt 𝛼 jest ostry i spełnia warunek √3 tg 𝛼= 2 sin 𝛼.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nCosinus kąta 𝛼 jest równy\nA. 1\n2\nB.\n√2\n2\nC.\n√3\n2\nD.\n√3\n3\n\nMMAP-P0_100\nKąt α jest ostry i spełnia warunek √3tgα = 2sinα. Cosinus kąta α jest równy A. 1/2 B. √2/2 C. √3/2 D. √3/3","answer":"C","answer_text":null,"solution":"Poprawnie, cosinus odpowiada temu równaniu. Istotnie, należy przekształcić podane równanie korzystając ze wzoru $\\displaystyle \\tg \\alpha ={\\small\\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}}$.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/sol-17.svg","topics":null,"page_from":null,"source":"odrabiamy","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"odrabiamy","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa","number":"18","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18.\nDany jest trójkąt prostokątny 𝐴𝐵𝐶, w którym bok 𝐵𝐶 jest przeciwprostokątną,\nprzyprostokątna 𝐴𝐵 ma długość 6, a środkowa 𝐶𝐷 ma długość 5.\nOznaczmy kąt 𝐴𝐷𝐶 przez 𝛼, natomiast kąt 𝐴𝐵𝐶 - przez 𝛽 (zobacz rysunek).\nDany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym bok BC jest przeciwprostokątną, przyprostokątna AB ma długość 6, a środkowa CD ma długość 5. Oznaczmy kąt ADC przez α, natomiast kąt ABC - przez β (zobacz rysunek). [rysunek] Tangens kąta α jest równy A. 2/3 B. 3/4 C. 4/5 D. 4/3","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/sol-18.svg","topics":null,"page_from":null,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad/18.1","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa","number":"18.1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18.1. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nTangens kąta 𝛼 jest równy\nA. 2\n3\nB. 3\n4\nC. 4\n5\nD. 4\n3","answer":"D","answer_text":null,"solution":"1. Zaczynamy od zdefiniowania tangensa kąta. Tangens kąta $\\theta$ w trójkącie prostokątnym jest stosunkiem długości przeciwprostokątnej do długości przyprostokątnej. Zapisujemy wzór: $$\\tan(\\alpha) = \\frac{\\text{przeciwprostokątna}}{\\text{przyprostokątna}}.$$\n\n2. W kontekście tego zadania, mamy podane cztery różne wartości tangensa. Będziemy musieli zidentyfikować, która z tych wartości jest największa. Wybieramy opcje: $\\frac{2}{3}$, $\\frac{3}{4}$, $\\frac{4}{5}$ i $\\frac{4}{3}$.\n\n3. Rozpoczynamy od porównania wartości poszczególnych opcji. Obliczamy wartość dla każdej z opcji:\n- $\\frac{2}{3} \\approx 0.67$\n- $\\frac{3}{4} = 0.75$\n- $\\frac{4}{5} = 0.8$\n- $\\frac{4}{3} \\approx 1.33$\n\n4. Zauważamy, że największa wartość występuje w opcji $D$, czyli $\\frac{4}{3}$, co wskazuje, że stosunek długości przeciwprostokątnej do długości przyprostokątnej wynosi w tym przypadku więcej niż 1.\n\n5. Stąd, odpowiedź prawidłowa to $D$.\n\n**Odpowiedź:** Tangens kąta $\\alpha$ jest równy $\\frac{4}{3}$.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad-18.1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"odrabiamy","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"odrabiamy","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad/18.2","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa","number":"18.2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18.2. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nSinus kąta 𝛽 jest równy\nA. 2\n√13\nB. 3\n√13\nC.\n5\n2√13\nD. 4\n5\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n5\n6\n𝛼\n𝛽\n\nMMAP-P0_100\nDany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym bok BC jest przeciwprostokątną, przyprostokątna AB ma długość 6, a środkowa CD ma długość 5. Oznaczmy kąt ADC przez α, natomiast kąt ABC - przez β (zobacz rysunek). [rysunek] Sinus kąta β jest równy A. 2/√13 B. 3/√13 C. 5/2√13 D. 4/5","answer":"A","answer_text":null,"solution":"Poprawnie, sinus kąta $\\beta$ wynosi $\\displaystyle\\small\\frac{2}{\\sqrt{13}}$, jest to stosunek przeciwległej przyprostokątnej do przeciwprostokątnej w trójkącie $ABC$.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad-18.2.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/sol-18.2.svg","topics":null,"page_from":null,"source":"odrabiamy","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"odrabiamy","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (0-1)\nPunkty 𝐴, 𝐵 oraz 𝐶 leżą na okręgu o środku w punkcie 𝑂.\nMiara kąta 𝐵𝐶𝐴 jest równa 50° (zobacz rysunek).\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nMiara kąta ostrego 𝐴𝐵𝑂 jest równa\nA. 20°\nB. 35°\nC. 40°\nD. 50°\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝑂\n50°\n\nMMAP-P0_100\nPunkty A, B oraz C leżą na okręgu o środku w punkcie O. Miara kąta BCA jest równa 50° (zobacz rysunek). [rysunek] Miara kąta ostrego ABO jest równa A. 20° B. 35° C. 40° D. 50°","answer":"C","answer_text":null,"solution":"Poprawnie, wiemy, że $|\\sphericalangle AOB|=2|\\sphericalangle ACB|=100^{\\circ}$, a trójkąt $ABO$ jest równoramienny. Stąd $|\\sphericalangle ABO|=\\frac{1}{2}\\cdot 80^{\\circ}=40^{\\circ}$.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/sol-19.svg","topics":null,"page_from":null,"source":"odrabiamy","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"odrabiamy","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (0-1)\nW trójkącie równoramiennym 𝐴𝐵𝐶 dane są: |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶| = 4 i |𝐴𝐵| = 3.\nNa boku 𝐵𝐶, między punktami 𝐵 i 𝐶, wybrano taki punkt 𝐷, że trójkąty 𝐴𝐵𝐶 i 𝐵𝐷𝐴 są\npodobne (zobacz rysunek).\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nOdcinek 𝐵𝐷 ma długość\nA. 2\nB. 2,25\nC. 2,5\nD. 3\n𝐴\n𝐵\n𝐷\n𝐶\n3\n4\n\nMMAP-P0_100\nW trójkącie równoramiennym ABC dane są: |AC|=|BC|=4 i |AB|=3. Na boku BC, między punktami B i C, wybrano taki punkt D, że trójkąty ABC i BDA są podobne (zobacz rysunek). [rysunek] Odcinek BD ma długość A. 2 B. 2,25 C. 2,5 D. 3","answer":"B","answer_text":null,"solution":"Poprawnie, z podobieństwa trójkątów $|AD|=3$. Następnie korzystając z $ \\displaystyle \\small\\frac{\\left|BD\\right|}{\\left|AB\\right|}=\\frac{\\left|AB\\right|}{\\left|AC\\right|} $ otrzymujemy $|BD|=2{,}25$ .","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/sol-20.svg","topics":null,"page_from":null,"source":"odrabiamy","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"odrabiamy","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"true_false","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (0-1)\nDany jest trójkąt 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐴𝐵| = 11, |𝐵𝐶| = 12 oraz |∡𝐴𝐵𝐶| = 60° (zobacz\nrysunek).\nOceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest\nprawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.\nTrójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest równoramienny.\nP\nF\nPole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest równe 33√3 .\nP\nF\n60°\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n11\n12\n\nMMAP-P0_100\nDany jest trójkąt ABC, w którym |AB|=11, |BC|=12 oraz |∠ ABC|=60° (zobacz rysunek). [rysunek] Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. | Trójkąt ABC jest równoramienny. | P | F | Pole trójkąta ABC jest równa 33√3. | P | F |","answer":"FP","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/sol-21.svg","topics":null,"page_from":null,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (0-1)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest kwadrat 𝐴𝐵𝐶𝐷, w którym\n𝐴= (4, -1). Przekątne tego kwadratu przecinają się w punkcie 𝑆= (1, 3).\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nPrzekątna kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 ma długość\nA. 5\nB. 7\nC. 10\nD. 14\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dany jest kwadrat ABCD, w którym A=(4,-1). Przekątne tego kwadratu przecinają się w punkcie S=(1,3). Przekątna kwadratu ABCD ma długość A. 5 B. 7 C. 10 D. 14","answer":"C","answer_text":null,"solution":"Poprawnie, przekątne w kwadracie się połowią, stąd długość przekątnej kwadratu obliczamy jako dwa razy długość $|AS|$, czyli $2|AS|=2\\sqrt{(1-4)^2+(3+1)^2}=2\\sqrt{9+16}=2\\sqrt{25}=10$.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/sol-22.svg","topics":null,"page_from":null,"source":"odrabiamy","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"odrabiamy","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (0-1)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) proste 𝑘 oraz 𝑙 są określone równaniami\n𝑘: 𝑦= (𝑚-2)𝑥+ 5\n𝑙: 𝑦= -4𝑥+ (𝑚+ 3)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nProste 𝑘 oraz 𝑙 są równoległe, gdy liczba 𝑚 jest równa\nA. (-4)\nB. (-2)\nC. 2\nD. 5\n\nMMAP-P0_100\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) proste k oraz l są określone równaniami k: y=(m-2)x+5; y=-4x+(m+3) Proste k oraz l są równoległe, gdy liczba m jest równa A. (-4) B. (-2) C. 2 D. 5","answer":"B","answer_text":null,"solution":"1. Zapisujemy równania prostych $k$ i $l$ w formie ogólnej:\\\n$$k: y = (m - 2)x + 5$$\\\n$$l: y = -4x + (m + 3)$$\\\n\n2. Zauważamy, że proste są równoległe wtedy, gdy mają takie same współczynniki kierunkowe.\\\nWspółczynnik kierunkowy prostej $k$ to $m - 2$.\\\nWspółczynnik kierunkowy prostej $l$ to $-4$.\\\n\n3. Ustawiamy współczynniki kierunkowe równych do siebie:\\\n$$m - 2 = -4$$\\\n\n4. Rozwiązujemy równanie dla $m$:\\\n$$m - 2 + 2 = -4 + 2$$\\\n$$m = -2$$\\\n\n5. Zauważamy, że znaleźliśmy wartość $m$, dla której proste są równoległe.\\\n\n**Odpowiedź:** -2","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/sol-23.svg","topics":null,"page_from":null,"source":"odrabiamy","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"odrabiamy","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (0-1)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkt 𝑃= (0, 0) leży na okręgu 𝒪\no środku w punkcie 𝑆= (2, 4).\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nOkrąg 𝒪 jest określony równaniem\nA. (𝑥-2)2 + (𝑦-4)2 = 2√5\nB. (𝑥-2)2 + (𝑦-4)2 = 20\nC. (𝑥+ 2)2 + (𝑦+ 4)2 = 2√5\nD. (𝑥+ 2)2 + (𝑦+ 4)2 = 20\n\nMMAP-P0_100\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) punkt P=(0,0) leży na okręgu O o środku w punkcie S=(2,4). Okrąg O jest określony równaniem A. (x-2)²+(y-4)² = 2√5 B. (x-2)²+(y-4)² = 20 C. (x+2)²+(y+4)² = 2√5 D. (x+2)²+(y+4)² = 20","answer":"B","answer_text":null,"solution":"Poprawnie, równanie okręgu ma postać $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$, gdzie $(a, b)$ to współrzędne środka, a $r$ to promień. W tym przypadku $S = (2, 4)$, a odległość od $S$ do $P$ wynosi $r = \\sqrt{(2 - 0)^2 + (4 - 0)^2} = \\sqrt{20}$.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/sol-24.svg","topics":null,"page_from":null,"source":"odrabiamy","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"odrabiamy","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa","number":"25","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (0-3)\nTworząca stożka ma długość 8. Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę 120°.\nOblicz objętość tego stożka. Zapisz obliczenia.\n25.\n0-1-\n2-3\n\nMMAP-P0_100\nTworząca stożka ma długość 8. Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę 120°. Oblicz objętość tego stożka.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/sol-25.svg","topics":null,"page_from":null,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa","number":"26","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-1)\nObjętość sześcianu jest równa 729.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nDługość przekątnej tego sześcianu jest równa\nA. 9√3\nB. 9√2\nC. 3√3\nD. 3√2\nObjętość sześcianu jest równa 729. Długość przekątnej tego sześcianu jest równa A. 9√3 B. 9√2 C. 3√3 D. 3√2","answer":"A","answer_text":null,"solution":"1. Zapisujemy wzór na objętość sześcianu. Wzór ten jest dany przez: $$V = a^3$$ gdzie $V$ to objętość, a $a$ to długość krawędzi sześcianu.\\\n\n2. Podstawiamy dane do wzoru. Wiemy, że objętość sześcianu wynosi $729$: $$729 = a^3$$\\\n\n3. Rozwiązujemy równanie $a^3 = 729$ w celu znalezienia długości krawędzi. Aby znaleźć $a$, musimy obliczyć pierwiastek sześcienny z $729$: $$a = \\text{pierwiastek sześcienny z } 729$$\\\n\n4. Obliczamy pierwiastek sześcienny: $729 = 9^3$, więc mamy $$a = 9$$. Teraz znamy długość krawędzi sześcianu.\\\n\n5. Zapisujemy wzór na długość przekątnej sześcianu. Długość przekątnej $d$ sześcianu obliczamy ze wzoru: $$d = a \\sqrt{3}$$\\\n\n6. Podstawiamy znaną długość krawędzi do wzoru na przekątną: $$d = 9 \\sqrt{3}$$\\\n\n7. Otrzymujemy ostateczny wynik. Długość przekątnej sześcianu wynosi $$d = 9 \\sqrt{3}$$.\\\n\n**Odpowiedź:** Długość przekątnej tego sześcianu jest równa $9\\sqrt{3}$.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/sol-26.svg","topics":null,"page_from":null,"source":"odrabiamy","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"odrabiamy","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa","number":"27","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym\nwystępuje dokładnie jeden raz cyfra 0, jest\nA. 45\nB. 50\nC. 54\nD. 81\n\nMMAP-P0_100\nWszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jeden raz cyfra 0, jest A. 45 B. 50 C. 54 D. 81","answer":"A","answer_text":null,"solution":"Poprawnie, aby znaleźć liczby trzycyfrowe nieparzyste z jedną cyfrą $0$, musimy wybrać cyfrę setek: $1$-$9$, cyfrę jedności tak by była nieparzysta: $1$, $3$, $5$, $7$, $9$ oraz wstawić $0$ w miejsce dziesiątek, co daje nam $9\\cdot5=45$ możliwości.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/sol-27.svg","topics":null,"page_from":null,"source":"odrabiamy","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"odrabiamy","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa","number":"28","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (0-1)\nDoświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry,\nktóra na każdej ściance ma inną liczbę oczek - od jednego oczka do sześciu oczek.\nZdarzenie 𝐴 polega na tym, że suma liczb wyrzuconych oczek będzie równa 11.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe\nA. 1\n36\nB. 6\n36\nC. 11\n36\nD. 2\n36\nDoświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek - od jednego oczka do sześciu oczek. Zdarzenie A polega na tym, że suma liczb wyrzuconych oczek będzie równa 11. Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe A. 1/36 B. 6/36 C. 11/36 D. 2/36","answer":"D","answer_text":null,"solution":"Poprawnie, prawdopodobieństwo $\\displaystyle\\small\\frac{2}{36}$ odpowiada liczbie sposobów na uzyskanie sumy $11$ z dwóch rzutów kostką. Możliwe pary to $(5, 6)$ oraz $(6, 5)$.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/sol-28.svg","topics":null,"page_from":null,"source":"odrabiamy","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"odrabiamy","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa","number":"29","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (0-1)\nŚrednia arytmetyczna siedmiu liczb: 1, 2, 3, 4, 5, 𝑥, 𝑦, jest równa 3.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nSuma 𝑥+ 𝑦 jest równa\nA. 4\nB. 5\nC. 6\nD. 7\n\nMMAP-P0_100\nŚrednia arytmetyczna siedmiu liczb: 1,2,3,4,5,x,y, jest równa 3. Suma x+y jest równa A. 4 B. 5 C. 6 D. 7","answer":"C","answer_text":null,"solution":"1. Zaczynamy od wzoru na średnią arytmetyczną. Średnia arytmetyczna siedmiu liczb jest obliczana według wzoru: $$\\text{Średnia} = \\frac{S}{n},$$ gdzie $S$ to suma liczb, a $n$ to liczba liczb. W naszym przypadku $n = 7$.\n\n2. Wiemy, że średnia arytmetyczna wynosi $3$. Zatem możemy zapisać równanie dla średniej:\n$$\\frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + x + y}{7} = 3.$$\n\n3. Aby pozbyć się ułamka, mnożymy obie strony równania przez $7$:\n$$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + x + y = 3 \\times 7.$$\n\n4. Obliczamy prawą stronę równania:\n$$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + x + y = 21.$$\n\n5. Teraz obliczamy sumę liczb $1,\\, 2,\\, 3,\\, 4,\\, 5$:\n$$1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15.$$\n\n6. Podstawiamy tę wartość do równania:\n$$15 + x + y = 21.$$\n\n7. Aby znaleźć $x + y$, przekształcamy równanie:\n$$x + y = 21 - 15.$$\n\n8. Obliczamy prawą stronę:\n$$x + y = 6.$$\n\n9. Teraz widzimy, że suma $x + y$ wynosi $6.$\n\n**Odpowiedź:** suma $x + y$ jest równa 6.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/sol-29.svg","topics":null,"page_from":null,"source":"odrabiamy","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"odrabiamy","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (0-2)\nNa diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej\nliczącej 24 uczniów. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy,\na na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.\nUzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania\nbyły prawdziwe.\n1. Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa\n2. Dominanta ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa\n0\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n1\n2\n3\n4\n5\n6\nliczba\nuczniów\nocena\n30.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\nNa diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej liczącej 24 uczniów. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę. [rysunek] Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. 1. Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa .......... . 2. Dominanta ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa .......... .","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/sol-30.svg","topics":null,"page_from":null,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-podstawowa","number":"31","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (0-4)\nRozważamy wszystkie prostopadłościany 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻, w których krawędź 𝐵𝐶 ma długość 4\noraz suma długości wszystkich krawędzi wychodzących z wierzchołka 𝐵 jest równa 15\n(zobacz rysunek).\nNiech 𝑃(𝑥) oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu\nw zależności od długości 𝑥 krawędzi 𝐴𝐵.\nWyznacz wzór i dziedzinę funkcji 𝑷. Oblicz długość 𝒙 krawędzi 𝑨𝑩 tego\nz rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest\nnajwiększe. Zapisz obliczenia.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐺\n𝐻\n𝐸\n𝐹\n𝑥\n4\n31.\n0-1-\n2-3-4\n\nMMAP-P0_100\n\nMMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMAP-P0_100\n\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nRozważamy wszystkie prostopadłościany ABCDEFGH, w których krawędź BC ma długość 4 oraz suma długości wszystkich krawędzi wychodzących z wierzchołka B jest równa 15 (zobacz rysunek). Niech P(x) oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości x krawędzi AB. [rysunek] Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji P. Oblicz długość x krawędzi AB tego z rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest największe.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-maj-matura-podstawowa/sol-31.svg","topics":null,"page_from":null,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}