{"paper":{"id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona.pdf","key_pdf":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona-odpowiedzi/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona-odpowiedzi.pdf","question_count":35,"source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/1","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona","number":"1","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1. (0-2)\nW warunkach laboratoryjnych obserwowano dynamikę wzrostu liczebności populacji\npewnego gatunku bakterii. Liczebność 𝑁 populacji bakterii zmienia się w czasie zgodnie\nz zależnością wykładniczą\n𝑁(𝑡) = 𝑁0 ⋅𝑘𝑡 dla 𝑡≥0\ngdzie:\n𝑁0 - liczebność populacji w chwili 𝑡= 0 rozpoczęcia obserwacji,\n𝑘 - stała dodatnia, charakterystyczna dla danego gatunku bakterii i dla warunków\nprzeprowadzenia obserwacji,\n𝑡 - czas wyrażony w godzinach, liczony od chwili 𝑡= 0 rozpoczęcia obserwacji.\nW chwili rozpoczęcia obserwacji liczebność populacji była równa 10 000, a po dwóch\ngodzinach była równa 15 625.\nOblicz, o ile procent wzrastała liczebność populacji tej bakterii w ciągu każdej godziny.\nZapisz obliczenia.\n1.\n0-1-2\n\nMMAP-R0_100\nW warunkach laboratoryjnych obserwowano dynamikę wzrostu liczebności populacji pewnego gatunku bakterii. Liczebność N populacji bakterii zmienia się w czasie zgodnie z zależnością wykładniczą N(t) = N_0⋅k^t dla t≥0 gdzie: N_0 - liczebność populacji w chwili t=0 rozpoczęcia obserwacji, k - stała dodatnia, charakterystyczna dla danego gatunku bakterii i dla warunków przeprowadzenia obserwacji, t - czas wyrażony w godzinach, liczony od chwili t=0 rozpoczęcia obserwacji. W chwili rozpoczęcia obserwacji liczebność populacji była równa 10000, a po dwóch godzinach była równa 15624. Oblicz, o ile procent wzrastała liczebność populacji tej bakterii w ciągu każdej godziny. Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 1. (0-2)\nWymagania określone w podstawie programowej1\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nV.14) posługuje się funkcjami wykładniczą\ni logarytmiczną […] do opisu i interpretacji\nzagadnień związanych z zastosowaniami\npraktycznymi.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 25%.\n1 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑘, np. 15 625 = 10 000 ⋅𝑘2.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga.\nJeżeli zdający odgadnie wynik i sprawdzi, że wartość 25% spełnia warunki zadania oraz\nuzasadni, że jest to jedyne rozwiązanie (np. powołując się na to, że funkcja wykładnicza jest\nrosnąca), to otrzymuje 2 punkty; natomiast jeżeli takiego uzasadnienia nie przedstawi, to\notrzymuje 1 punkt.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nZ warunków zadania 𝑁(0) = 10 000, więc 10 000 = 𝑁0 ⋅𝑘0 i stąd 𝑁0 = 10 000.\nPonieważ 𝑁(2) = 15 625, więc 15 625 = 10 000 ⋅𝑘2 i stąd 𝑘= 1,25. Zatem\n𝑁(𝑡+ 1)\n𝑁(𝑡)\n= 𝑁0 ⋅𝑘𝑡+1\n𝑁0 ⋅𝑘𝑡= 𝑘= 1,25\ndla każdego 𝑡≥0. To oznacza, że w ciągu każdej godziny liczebność populacji zwiększała\nsię o 25% .\n1Rozporządzenie Ministra Edukacji z dnia 28 czerwca 2024 r. zmieniające rozporządzenie w sprawie podstawy\nprogramowej kształcenia ogólnego dla liceum ogólnokształcącego, technikum oraz branżowej szkoły II stopnia\n(Dz.U. z 2024 r. poz. 1019).\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Odpowiedź: Wzrost o **25%** w ciągu każdej godziny ($k = 1{,}25$).\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nStrategia\n\nW modelu $N(t) = N_0 \\cdot k^t$ stała $k$ to mnożnik godzinny — każda godzina mnoży liczebność przez $k$. Wzrost procentowy to $(k - 1) \\cdot 100\\%$.\n\nZ warunku po dwóch godzinach wyznaczymy $k^2$, potem $k$ (przez pierwiastek).\n\nZapisz warunek $N(2) = 15\\,625$:\n\n$$10\\,000 \\cdot k^2 = 15\\,625$$\n\n$$k^2 = \\frac{15\\,625}{10\\,000} = \\frac{15625}{10000} = 1{,}5625$$\n\nOblicz $k$. Skoro $k$ jest dodatnia (z założeń modelu):\n\n$$k = \\sqrt{1{,}5625} = 1{,}25$$\n\n(bo $1{,}25^2 = 1{,}5625$).\n\nPrzelicz na wzrost procentowy.\n\n$$k - 1 = 1{,}25 - 1 = 0{,}25 = 25\\%$$\n\nSprawdzenie\n\nStart: $10\\,000$.\n\n- Po 1 h: $10\\,000 \\cdot 1{,}25 = 12\\,500$\n- Po 2 h: $12\\,500 \\cdot 1{,}25 = 15\\,625$ ✓\n\nIdealne dopasowanie.\n\nPunktacja CKE\n\n- 1 pkt — obliczenie $k^2 = 1{,}5625$ ALBO $k = 1{,}25$.\n- 2 pkt — pełna metoda + wynik $25\\%$.\n\nKlucz — modele wykładnicze na rozszerzonej\n\nW zadaniach typu „wzrost wykładniczy ze stałym mnożnikiem\":\n\n1. Zapisz model: $N(t) = N_0 \\cdot k^t$.\n2. Wyznacz $k^T$ z warunku w czasie $T$ (zwykle 2, 5, 10 godzin).\n3. Pierwiastek $T$-ego stopnia daje $k$ — mnożnik za jednostkę czasu.\n4. Procent wzrostu to $(k - 1) \\cdot 100\\%$.\n\nCzas trwania, w jakim podany jest warunek, ma znaczenie. Pisz wszystkie podstawienia explicite, żeby nie zgubić indeksu.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to obliczenie $k^2 = 1{,}5625$ i wpisanie \"wzrost o 56,25%\" (czyli $k^2 - 1$ jako procent). To wzrost przez **dwie godziny**, nie przez jedną. Trzeba wziąć $\\sqrt{k^2} = k$ i obliczyć $k - 1 = 0{,}25$.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/sol-1.svg","topics":"funkcja wykładnicza, procent składany, wykladnicza","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/2","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona","number":"2","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2. (0-3)\nWykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej 𝒂 i dla każdej dodatniej liczby\nrzeczywistej 𝒃 takich, że 𝒃≠𝟏\n𝟐𝒂, prawdziwa jest nierówność\n(𝒂+ 𝟐𝒃)𝟑> 𝟖𝒂𝟐𝒃+ 𝟏𝟔𝒂𝒃𝟐\n2.\n0-1-\n2-3\n\nMMAP-R0_100\nWykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej a i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej b takich, że b ≠ 1/2a, prawdziwa jest nierówność (a+2b)³ > 8a²b + 16ab².","answer":null,"answer_text":"Zadanie 2. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nII.R5) korzysta ze wzorów na: […] (𝑎+ 𝑏)𝑛\n[…].\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania (tj. spełnienie\nkryterium za 2 punkty oraz zapisanie, że 𝑎+ 2𝑏> 0 oraz uzasadnienie, że dla liczb\nspełniających warunek 𝑏≠1\n2 𝑎 zachodzi (𝑎-2𝑏)2 > 0).\n2 pkt - przekształcenie nierówności do postaci (𝑎-2𝑏)2(𝑎+ 2𝑏) > 0\nALBO\n- przekształcenie nierówności do postaci (𝑎-2𝑏)2 > 0,\nALBO\n- uzasadnienie, że funkcja 𝑓 osiąga wartość najmniejszą dla 𝑎= 2𝑏.\n1 pkt - zastosowanie wzoru na sześcian sumy i przekształcenie nierówności do postaci\n𝑎2(𝑎-2𝑏) -4𝑏2(𝑎-2𝑏) > 0\nALBO\n- przekształcenie nierówności do postaci (𝑎+ 2𝑏)[(𝑎+ 2𝑏)2 -8𝑎𝑏] > 0,\nALBO\n- przekształcenie nierówności do postaci (𝑎+ 2𝑏)2 > 8𝑎𝑏,\nALBO\n- rozważenie funkcji 𝑓(𝑎) = 𝑎3 -2𝑏𝑎2 -4𝑏2𝑎+ 8𝑏3 określonej dla 𝑎> 0 oraz\nobliczenie pochodnej tej funkcji i miejsca zerowego tej pochodnej:\n𝑓′(𝑎) = 3𝑎2 -4𝑏𝑎-4𝑏2 oraz 𝑎= 2𝑏.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga.\nJeżeli zdający sprawdza prawdziwość nierówności jedynie dla wybranych wartości 𝑎 i 𝑏, to\notrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzekształcamy równoważnie nierówność, korzystając ze wzoru na sześcian sumy:\n(𝑎+ 2𝑏)3 > 8𝑎2𝑏+ 16𝑎𝑏2\n𝑎3 + 6𝑎2𝑏+ 12𝑎𝑏2 + 8𝑏3 -8𝑎2𝑏-16𝑎𝑏2 > 0\n𝑎3 -2𝑎2𝑏-4𝑎𝑏2 + 8𝑏3 > 0\n𝑎2(𝑎-2𝑏) -4𝑏2(𝑎-2𝑏) > 0\n(𝑎-2𝑏)(𝑎2 -4𝑏2) > 0\n(𝑎-2𝑏)2(𝑎+ 2𝑏) > 0\nZ założenia 𝑎> 0 i 𝑏> 0, więc 𝑎+ 2𝑏> 0.\nPonieważ 𝑏≠1\n2 𝑎, więc 𝑎-2𝑏≠0 i wtedy (𝑎-2𝑏)2 > 0 jako kwadrat liczby\nrzeczywistej różnej od zera.\nZatem (𝑎-2𝑏)2(𝑎+ 2𝑏) jest dodatnie jako iloczyn liczb dodatnich, więc nierówność\n(𝑎-2𝑏)2(𝑎+ 2𝑏) > 0 jest prawdziwa dla każdej liczby dodatniej 𝑎 i każdej liczby\ndodatniej 𝑏 takich, że 𝑏≠1\n2 𝑎. To oznacza, że również nierówność\n(𝑎+ 2𝑏)3 > 8𝑎2𝑏+ 16𝑎𝑏2 jest prawdziwa dla każdej dla każdej liczby dodatniej 𝑎\ni każdej liczby dodatniej 𝑏 takich, że 𝑏≠1\n2 𝑎. To należało wykazać.\nSposób II\nPrzekształcamy równoważnie nierówność, korzystając ze wzorów na kwadrat sumy i różnicy:\n(𝑎+ 2𝑏)3 > 8𝑎2𝑏+ 16𝑎𝑏2\n(𝑎+ 2𝑏)3 > 8𝑎𝑏(𝑎+ 2𝑏)\n(𝑎+ 2𝑏)3 -8𝑎𝑏(𝑎+ 2𝑏) > 0\n(𝑎+ 2𝑏)[(𝑎+ 2𝑏)2 -8𝑎𝑏] > 0\n(𝑎+ 2𝑏)(𝑎2 -4𝑎𝑏+ 4𝑏2) > 0\n(𝑎-2𝑏)2(𝑎+ 2𝑏) > 0\nZ założenia 𝑎> 0 i 𝑏> 0, więc 𝑎+ 2𝑏> 0.\nPonieważ 𝑏≠1\n2 𝑎, więc 𝑎-2𝑏≠0 i wtedy (𝑎-2𝑏)2 > 0 jako kwadrat liczby\nrzeczywistej różnej od zera.\nZatem (𝑎-2𝑏)2(𝑎+ 2𝑏) jest dodatnie jako iloczyn liczb dodatnich, więc nierówność\n(𝑎-2𝑏)2(𝑎+ 2𝑏) > 0 jest prawdziwa dla każdej liczby dodatniej 𝑎 i każdej liczby\ndodatniej 𝑏 takich, że 𝑏≠1\n2 𝑎. To oznacza, że również nierówność\n(𝑎+ 2𝑏)3 > 8𝑎2𝑏+ 16𝑎𝑏2 jest prawdziwa dla każdej dla każdej liczby dodatniej 𝑎\ni każdej liczby dodatniej 𝑏 takich, że 𝑏≠1\n2 𝑎. To należało wykazać.\nSposób III\nNiech 𝑓 będzie funkcją określoną wzorem 𝑓(𝑎) = (𝑎+ 2𝑏)3 -8𝑎2𝑏-16𝑎𝑏2 dla\nkażdego 𝑎∈(0, +∞).\nObliczamy pochodną funkcji 𝑓 oraz jej miejsca zerowe:\n𝑓′(𝑎) = 3(𝑎+ 2𝑏)2 -16𝑏𝑎-16𝑏2\n3𝑎2 + 12𝑎𝑏+ 12𝑏2 -16𝑏𝑎-16𝑏2 = 0 ∧ 𝑎> 0\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n3𝑎2 -4𝑏𝑎-4𝑏2 = 0 ∧ 𝑎> 0\n(𝑎= -2\n3 𝑏 ∨ 𝑎= 2𝑏) ∧ 𝑎> 0\nGdy 𝑏> 0, to 𝑓′(𝑎) > 0 dla 𝑎∈(2𝑏, +∞) oraz 𝑓′(𝑎) < 0 dla 𝑎∈(0, 2𝑏). Zatem przy\n𝑏 dodatnim funkcja 𝑓 jest malejąca w przedziale (0, 2𝑏] oraz rosnąca w przedziale\n[2𝑏, +∞), czyli funkcja 𝑓 osiąga wartość najmniejszą dla argumentu dodatniego 𝑎= 2𝑏.\nTa najmniejsza wartość jest równa 𝑓(2𝑏) = (2𝑏+ 2𝑏)3 -8 ⋅(2𝑏)2 ⋅𝑏-16 ⋅2𝑏⋅𝑏2 = 0.\nZatem dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej 𝑎 i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej 𝑏\ntakich, że 𝑎≠2𝑏, prawdziwa jest nierówność\n(𝑎+ 2𝑏)3 -8𝑎2𝑏-16𝑎𝑏2 > 0\nTo należało wykazać.","solution":"Odpowiedź: Dowód — patrz Sposób I (rozkład $(a-2b)^2 (a+2b) > 0$).\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nStrategia\n\nPrzenieś wszystko na jedną stronę i pokaż, że różnica jest dodatnia dla każdego dopuszczalnego $a, b$. Cel: rozłożyć tę różnicę na iloczyn czynników o znanych znakach.\n\nRozwiń $(a + 2b)^3$ z wzoru $(x + y)^3 = x^3 + 3x^2 y + 3 x y^2 + y^3$ dla $x = a$, $y = 2b$:\n\n$$(a + 2b)^3 = a^3 + 3 a^2 (2b) + 3 a (2b)^2 + (2b)^3$$\n\n$$= a^3 + 6 a^2 b + 12 a b^2 + 8 b^3$$\n\nOdejmij prawą stronę nierówności od lewej. Tworzę różnicę $L - R$, którą trzeba wykazać $> 0$:\n\n$$L - R = (a^3 + 6 a^2 b + 12 a b^2 + 8 b^3) - (8 a^2 b + 16 a b^2)$$\n\n$$L - R = a^3 + 6 a^2 b - 8 a^2 b + 12 a b^2 - 16 a b^2 + 8 b^3$$\n\n$$L - R = a^3 - 2 a^2 b - 4 a b^2 + 8 b^3$$\n\nRozłóż na czynniki grupowaniem. Wyciągnij wspólne czynniki z par:\n\n$$a^3 - 2 a^2 b - 4 a b^2 + 8 b^3 = a^2 (a - 2b) - 4 b^2 (a - 2b)$$\n\nW obu nawiasach pojawia się ten sam dwumian $(a - 2b)$. Wyciągnij go:\n\n$$= (a - 2b)(a^2 - 4b^2)$$\n\nDrugi czynnik to różnica kwadratów — rozłóż dalej:\n\n$$a^2 - 4b^2 = (a - 2b)(a + 2b)$$\n\nStąd:\n\n$$L - R = (a - 2b) \\cdot (a - 2b) \\cdot (a + 2b) = (a - 2b)^2 \\cdot (a + 2b)$$\n\nZbadaj znak każdego czynnika.\n\n- $(a - 2b)^2$: kwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze $\\geq 0$, z równością tylko gdy $a = 2b$, czyli $b = \\tfrac{a}{2}$. Z założenia $b \\neq \\tfrac{a}{2}$, więc $(a - 2b)^2 > 0$.\n- $(a + 2b)$: skoro $a > 0$ i $b > 0$, to $a + 2b > 0$.\n\nIloczyn dwóch wielkości dodatnich jest dodatni:\n\n$$L - R = (a - 2b)^2 \\cdot (a + 2b) > 0$$\n\nWniosek. $L > R$, czyli:\n\n$$(a + 2b)^3 > 8 a^2 b + 16 a b^2 \\quad\\blacksquare$$\n\nPunktacja CKE\n\n- 1 pkt — przekształcenie $(a+2b)^3 - 8a^2 b - 16 ab^2$ do postaci $a^3 - 2a^2 b - 4 ab^2 + 8b^3$.\n- 2 pkt — rozkład na iloczyn $(a - 2b)^2 (a + 2b)$.\n- 3 pkt — pełne rozumowanie + uzasadnienie znaków obu czynników (kluczowe! wymagane przez treść warunki $a, b > 0$ i $b \\neq \\tfrac{a}{2}$).\n\nKlucz — schemat dowodów nierówności\n\nProcedura uniwersalna:\n\n1. Przenieś wszystko na jedną stronę — różnica $L - R$.\n2. Rozłóż na iloczyn czynników, których znaki łatwo określić (typowo: kwadraty, sumy z dodatnimi liczbami, dwumiany ze znanym znakiem).\n3. Określ znak każdego czynnika używając założeń.\n4. Wnioskuj — iloczyn niezerowych dodatnich liczb jest dodatni.\n\nW tym zadaniu kluczowy moment to dostrzeżenie wzorca grupowania $a^2(a - 2b) - 4 b^2 (a - 2b)$. To wymaga wprawy — warto poćwiczyć na podobnych zadaniach.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: rozwiązać \"ostrą\" nierówność $\\geq$ zamiast $>$, czyli zapomnieć, że warunek $b \\neq a/2$ wymusza ostry znak. Drugi błąd: zła ekspansja $(a+2b)^3$ (najczęściej człon $12ab^2$ pomylony z $8ab^2$).","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/sol-2.svg","topics":"nierówności, wzory skróconego mnożenia, rozkład na czynniki, algebra","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/3","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona","number":"3","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3. (0-3)\nW trójkącie równobocznym 𝐴𝐵𝐶 punkt 𝐷 leży na boku 𝐵𝐶. Stosunek pola trójkąta 𝐴𝐵𝐷\ndo pola trójkąta 𝐴𝐷𝐶 jest równy\n√3-1\n2\nOblicz miarę kąta 𝑫𝑨𝑪. Zapisz obliczenia.\n3.\n0-1-\n2-3\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nW trójkącie równobocznym ABC punkt D leży na boku BC. Stosunek pola trójkąta ABD do pola trójkąta ADC jest równy √3-1/2. Oblicz miarę kąta DAC. Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 3. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVII.R8) oblicza kąty trójkąta i długości jego\nboków przy odpowiednich danych\n(rozwiązuje trójkąty).\nZasady oceniania (dla sposobów I oraz VI)\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 45°.\n2 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą - jednym z kątów: 𝐶𝐴𝐷, 𝐵𝐴𝐷, 𝐶𝐷𝐴, 𝐴𝐷𝐵,\nw którym wszystkie funkcje trygonometryczne są tego samego argumentu, np.\nsin60°⋅cos𝛼 - cos60°⋅sin𝛼\nsin𝛼\n√3 - 1\n2\n, gdzie 𝛼= |∡𝐶𝐴𝐷|,\nALBO\n- obliczenie współczynnika kierunkowego prostej 𝐴𝐷: 2 -√3.\n1 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą - jednym z kątów: 𝐶𝐴𝐷, 𝐵𝐴𝐷, 𝐶𝐷𝐴, 𝐴𝐷𝐵,\nnp. sin(60° - 𝛼)\nsin𝛼\n√3 - 1\n2\n, gdzie 𝛼= |∡𝐶𝐴𝐷|,\nALBO\n- zapisanie związku |𝐵𝐷|\n|𝐶𝐷| =\n√3-1\n2\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania (dla sposobu II)\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 45°.\n2 pkt - wyznaczenie długości czterech spośród pięciu odcinków: 𝐵𝐷, 𝐶𝐷, 𝐶𝐸, 𝐷𝐸, 𝐴𝐸,\nw zależności od jednej zmiennej, np. |𝐶𝐷| = 𝑥 i |𝐵𝐷| =\n√3 - 1\n2\n𝑥 i |𝐶𝐸| = 1\n2 𝑥\ni |𝐴𝐸| =\n√3\n2 𝑥\nALBO\n- wyznaczenie długości odcinków: 𝐵𝐷, 𝐶𝐷, 𝐶𝐸, w zależności od długości odcinka 𝐴𝐸\ni tangensa kąta 𝐷𝐴𝐶, np. |𝐶𝐸| = 1\n√3 ⋅|𝐴𝐸| ⋅tg 𝛼 i |𝐶𝐷| = 2√3\n3 ⋅|𝐴𝐸| ⋅tg 𝛼\ni |𝐵𝐷| = |𝐴𝐸| -\n√3\n3 ⋅|𝐴𝐸| ⋅tg 𝛼, gdzie 𝛼 jest kątem 𝐷𝐴𝐶.\n1 pkt - zapisanie związku |𝐵𝐷|\n|𝐶𝐷| =\n√3 - 1\n2\n,\nALBO\n- wyznaczenie długości dwóch odcinków spośród 𝐵𝐷, 𝐵𝐶 i 𝐶𝐷 w zależności od\njednej zmiennej, np. |𝐶𝐷| = 𝑥 i |𝐵𝐷| =\n√3 - 1\n2\n𝑥,\nALBO\n- wyznaczenie długości boków trójkąta 𝐶𝐸𝐷 w zależności od jednej zmiennej, np.\n|𝐶𝐷| = 𝑥, |𝐶𝐸| = 1\n2 𝑥, |𝐷𝐸| =\n√3\n2 𝑥,\nALBO\n- wyznaczenie długości odcinka 𝐶𝐸 (albo 𝐶𝐷) w zależności od długości odcinka 𝐴𝐸\ni tangensa kąta 𝐷𝐴𝐶: |𝐶𝐸| =\n√3\n3 ⋅|𝐴𝐸| ⋅tg 𝛼 (albo |𝐶𝐷| = 2√3\n3 ⋅|𝐴𝐸| ⋅tg 𝛼), gdzie\n𝛼 jest kątem 𝐷𝐴𝐶.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania (dla sposobów III-V)\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 45°.\n2 pkt - obliczenie |𝐵𝐷|\n|𝐷𝐹| oraz |𝐴𝐵|\n|𝐴𝐹| : |𝐵𝐷|\n|𝐷𝐹| = 2\n√3 oraz |𝐴𝐵|\n|𝐴𝐹| = 2\n√3\nALBO\n- wyznaczenie długości odcinków 𝐴𝐷 oraz 𝐶𝐷 w zależności od jednej zmiennej, np.\n|𝐴𝐷| = √6𝑚 oraz |𝐶𝐷| = 2𝑚.\n1 pkt - wyznaczenie długości odcinków 𝐵𝐷 i 𝐶𝐷 w zależności od jednej zmiennej, np.\n|𝐶𝐷| = 2𝑚 i |𝐵𝐷| = (√3 -1)𝑚.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia:\n𝑎 - długość boku trójkąta 𝐴𝐵𝐶,\n𝑏 - długość odcinka 𝐴𝐷,\n𝛼 - miara kąta 𝐷𝐴𝐶\n(zobacz rysunek).\n𝛼\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n60° -𝛼\n𝑎\n𝑏\n𝑎\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nKorzystając ze wzoru na pole trójkąta oraz uwzględniając warunki zadania, otrzymujemy:\n𝑃𝐴𝐵𝐷\n𝑃𝐴𝐷𝐶\n= √3 -1\n2\n1\n2 ⋅𝑎⋅𝑏⋅sin(60° -𝛼)\n1\n2 ⋅𝑎⋅𝑏⋅sin 𝛼\n= √3 -1\n2\nsin(60° -𝛼)\nsin 𝛼\n= √3 -1\n2\nStąd i ze wzoru na sinus różnicy kątów otrzymujemy kolejno:\nsin 60° ⋅cos 𝛼-cos 60° ⋅sin 𝛼\nsin 𝛼\n= √3 -1\n2\nsin 60° ⋅cos 𝛼\nsin 𝛼-cos 60° = √3 -1\n2\ncos 𝛼\nsin 𝛼= 1\ntg 𝛼= 1\n𝛼= 45°\nZatem kąt 𝐷𝐴𝐶 ma miarę 45°.\nSposób II\nTrójkąty 𝐴𝐵𝐷 i 𝐴𝐶𝐷 mają wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka 𝐴, więc\n𝑃𝐴𝐵𝐷\n𝑃𝐴𝐷𝐶\n= |𝐵𝐷|\n|𝐶𝐷|\nzatem\n|𝐵𝐷|\n|𝐶𝐷| = √3 -1\n2\nOznaczmy 𝑥= |𝐶𝐷|. Wtedy |𝐵𝐷| =\n√3 -1\n2\n𝑥. Niech 𝐸 będzie spodkiem wysokości\ntrójkąta 𝐴𝐷𝐶 poprowadzonej z wierzchołka 𝐷 (zobacz rysunek).\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n𝑥\nξ3 -1\n2\n𝑥\nZ własności trójkąta o kątach 30°, 60°, 90° otrzymujemy |𝐷𝐸| =\n√3\n2 𝑥 oraz |𝐸𝐶| = 1\n2 𝑥.\nPonieważ |𝐴𝐸| + |𝐸𝐶| = |𝐶𝐷| + |𝐷𝐵|, więc\n|𝐴𝐸| + 1\n2 𝑥= 𝑥+ √3 -1\n2\n𝑥\n|𝐴𝐸| = √3\n2 𝑥\nZatem |𝐴𝐸| = |𝐷𝐸|. To oznacza, że trójkąt prostokątny 𝐷𝐸𝐴 jest równoramienny i kąt\n𝐷𝐴𝐶 ma miarę 45°.\nSposób III (z twierdzenia o dwusiecznej)\nNiech 𝐹 będzie spodkiem wysokości trójkąta 𝐴𝐵𝐶 poprowadzonej z wierzchołka 𝐴.\nTrójkąty 𝐴𝐵𝐷 i 𝐴𝐷𝐶 mają wspólną wysokość 𝐴𝐹, więc stosunek pól tych trójkątów jest\nrówny stosunkowi długości odpowiednich podstaw. Zatem |𝐵𝐷| = (√3 -1)𝑚 oraz\n|𝐶𝐷| = 2𝑚, przy pewnym 𝑚> 0 (zobacz rysunek).\nWtedy |𝐴𝐵| = |𝐵𝐶| = (√3 + 1)𝑚, |𝐴𝐹| =\n(√3 + 1) ⋅ √3\n2\n𝑚 oraz\n|𝐵𝐹| = 1\n2 ⋅|𝐴𝐵| = √3 + 1\n2\n𝑚. Stąd\n|𝐷𝐹| = |𝐵𝐹| -|𝐵𝐷| = √3 + 1\n2\n𝑚-(√3 -1)𝑚= 3 -√3\n2\n𝑚\nPonieważ |𝐵𝐷|\n|𝐷𝐹| =\n(√3 - 1)𝑚\n(3 - √3)𝑚\n2\n= 2\n√3 oraz |𝐴𝐵|\n|𝐴𝐹| =\n(√3 + 1)𝑚\n(√3 + 1) ⋅ √3𝑚\n2\n= 2\n√3 , więc półprosta 𝐴𝐷\njest dwusieczną kąta 𝐵𝐴𝐹. To oznacza, że\n|∡𝐷𝐴𝐹| = 1\n2 ⋅|∡𝐵𝐴𝐹| = 1\n2 ⋅30° = 15° oraz |∡𝐷𝐴𝐶| = 30° + |∡𝐷𝐴𝐹| = 45°.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐹\n2𝑚\n(ξ3 -1)𝑚\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób IV (z twierdzenia cosinusów i sinusów / dwukrotnie z twierdzenia cosinusów)\nOznaczmy kąt 𝐶𝐴𝐷 przez 𝛼, natomiast długość odcinka 𝐴𝐷 oznaczmy przez 𝑏.\nTrójkąty 𝐴𝐵𝐷 i 𝐴𝐷𝐶 mają wspólną wysokość poprowadzoną z wierzchołka 𝐴 na\nprostą 𝐵𝐶, więc stosunek pól tych trójkątów jest równy stosunkowi długości odpowiednich\npodstaw. Zatem |𝐵𝐷| = (√3 -1)𝑚 oraz |𝐶𝐷| = 2𝑚, przy pewnym 𝑚> 0 (zobacz\nrysunek).\nWtedy |𝐴𝐵| = |𝐵𝐶| = |𝐶𝐴| = (√3 + 1)𝑚.\nStosujemy twierdzenie cosinusów do trójkąta 𝐴𝐷𝐶:\n𝑏2 = |𝐴𝐶|2 + |𝐶𝐷|2 -2 ⋅|𝐴𝐶| ⋅|𝐶𝐷| ⋅cos 60°\n𝑏2 = [(√3 + 1)𝑚]\n2 + (2𝑚)2 -2 ⋅(√3 + 1)𝑚⋅2𝑚⋅1\n2\n𝑏2 = (4 + 2√3 + 4 -2√3 -2) ⋅𝑚2\n𝑏= √6𝑚\nStosujemy twierdzenie sinusów do trójkąta 𝐴𝐷𝐶 i otrzymujemy\n𝑏\nsin 60° = 2𝑚\nsin 𝛼\n√6𝑚\nsin 60° = 2𝑚\nsin 𝛼\nsin 𝛼= √2\n2\nZatem |∡𝐷𝐴𝐶| = 45°.\nUwaga.\nZamiast sin 𝛼 możemy też obliczyć cos 𝛼, korzystając po raz drugi z twierdzenia\ncosinusów dla trójkąta 𝐴𝐷𝐶:\n|𝐶𝐷|2 = |𝐴𝐶|2 + 𝑏2 -2 ⋅|𝐴𝐶| ⋅𝑏⋅cos 𝛼\n(2𝑚)2 = [(√3 + 1)𝑚]\n2 + (√6𝑚)\n2 -2 ⋅(√3 + 1)𝑚⋅√6𝑚⋅cos 𝛼\n𝛼\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n൫ξ3 -1൯𝑚\n2𝑚\n𝑏\n2 ⋅(√3 + 1)𝑚⋅√6𝑚⋅cos 𝛼= [(√3 + 1)𝑚]\n2 + (√6𝑚)\n2 -(2𝑚)2\ncos 𝛼= (3 + 2√3 + 1) + 6 -4\n2√6 ⋅(√3 + 1)\n6 + 2√3\n2√6 ⋅(√3 + 1)\n= 2√3(√3 + 1)\n2√6 ⋅(√3 + 1)\n= √2\n2\nZatem |∡𝐷𝐴𝐶| = 45°.\nSposób V (z twierdzenia Stewarta)\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia:\n𝑎 - długość boku trójkąta 𝐴𝐵𝐶,\n𝑏 - długość odcinka 𝐴𝐷,\n𝑥 - długość odcinka 𝐵𝐷,\n𝑦 - długość odcinka 𝐶𝐷,\n𝛼 - miara kąta 𝐷𝐴𝐶\n(zobacz rysunek).\nTrójkąty 𝐴𝐵𝐷 i 𝐴𝐷𝐶 mają wspólną wysokość poprowadzoną z wierzchołka 𝐴 na\nprostą 𝐵𝐶, więc stosunek pól tych trójkątów jest równy stosunkowi długości odpowiednich\npodstaw. Zatem 𝑥= (√3 -1)𝑚 oraz 𝑦= 2𝑚, przy pewnym 𝑚> 0.\nWtedy 𝑎= (√3 + 1)𝑚.\nStosujemy twierdzenie Stewarta\n𝑎2 ⋅𝑥+ 𝑎2 ⋅𝑦= (𝑥+ 𝑦)(𝑏2 + 𝑥𝑦)\n𝑎2 = 𝑏2 + 𝑥𝑦\n[(√3 + 1)𝑚]\n2 = 𝑏2 + (√3 -1)𝑚⋅2𝑚\n𝑏= √6𝑚\nStosujemy twierdzenie cosinusów do trójkąta 𝐴𝐷𝐶 i otrzymujemy:\n𝑦2 = 𝑏2 + 𝑎2 -2𝑎𝑏⋅cos 𝛼\n(2𝑚)2 = (√6𝑚)\n2 + [(√3 + 1)𝑚]\n2 -2 ⋅(√3 + 1)𝑚⋅√6𝑚⋅cos 𝛼\n4𝑚2 = 6𝑚2 + (4 + 2√3)𝑚2 -2(3√2 + √6) ⋅𝑚2 ⋅cos 𝛼\n𝛼\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝑥\n𝑦\n𝑏\n𝑎\nZasady oceniania rozwiązań zadań\ncos 𝛼=\n(6 + 2√3)\n2(3√2 + √6)\ncos 𝛼= √2(3√2 + √6)\n2(3√2 + √6)\nZatem cos 𝛼=\n√2\n2 i 𝛼= 45°.\nSposób VI (analitycznie)\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia:\n𝑎 - długość boku trójkąta 𝐴𝐵𝐶,\n𝛼 - miara kąta 𝐷𝐴𝐶,\n𝛽 - miara kąta 𝐵𝐴𝐷.\nUmieszczamy trójkąt 𝐴𝐵𝐶 w układzie współrzędnych tak, żeby 𝐴= (0, 0), 𝐵= (𝑎, 0) i 𝐶\nleżał w I ćwiartce układu współrzędnych. Wtedy 𝐶= (𝑎\n2 , 𝑎√3\n2 ).\nTrójkąty 𝐴𝐵𝐷 i 𝐴𝐶𝐷 mają wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka 𝐴, więc\n𝑃𝐴𝐵𝐷\n𝑃𝐴𝐷𝐶\n= |𝐵𝐷|\n|𝐶𝐷|\nzatem\n|𝐵𝐷|\n|𝐶𝐷| = √3 -1\n2\nOznaczmy teraz rzuty prostokątne punktów 𝐶 i 𝐷 na oś odciętych przez - odpowiednio -\n𝐾 oraz 𝐿, a rzuty prostokątne punktów 𝐶 i 𝐷 na oś rzędnych przez - odpowiednio - 𝑀\noraz 𝑁 (zobacz rysunek).\nZ twierdzenia Talesa otrzymujemy\n|𝐾𝐿|\n|𝐾𝐵| = |𝐶𝐷|\n|𝐵𝐶| =\n2\n2 + √3 - 1 = √3 -1 oraz |𝐴𝑁|\n|𝐴𝑀| = |𝐵𝐷|\n|𝐵𝐶| =\n√3 - 1\n2 + √3 - 1 = 2 -√3\n𝛼\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝑎\n𝐾\n𝛽\n𝑥\n𝑦\n𝐿\n𝑀\n𝑁\nzatem\n|𝐾𝐿| = (√3 -1) ⋅|𝐾𝐵| = (√3 -1) ⋅𝑎\n2 oraz |𝐴𝑁| = (2 -√3) ⋅|𝐴𝑀| = (2 -√3) ⋅𝑎√3\n2\nStąd\n𝐷= (𝑎\n2 + (√3 -1) ⋅𝑎\n2 , (2 -√3) ⋅𝑎√3\n2 ) = (𝑎√3\n2 , 𝑎√3(2 -√3)\n2\n)\nWspółczynnik kierunkowy prostej 𝐴𝐷 jest równy\n𝑎𝐴𝐷=\n𝑎√3(2 -√3)\n2\n𝑎√3\n2\n= 2 -√3\nZatem\ntg 𝛽= 𝑎𝐴𝐷= 2 -√3\nZe wzoru na tangens różnicy kątów otrzymujemy\ntg 𝛼= tg(60° -𝛽) =\ntg 60° -tg 𝛽\n1 + tg 60° ⋅tg 𝛽=\n√3 -(2 -√3)\n1 + √3 ⋅(2 -√3)\n= 2√3 -2\n2√3 -2\n= 1\nZatem 𝛼= 45°.","solution":"Odpowiedź: $\\angle DAC = 45°$\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nStrategia\n\nTrójkąt równoboczny ma wszystkie kąty $60°$. Niech $\\angle DAC = \\alpha$. Wtedy $\\angle BAD = 60° - \\alpha$ (bo cały $\\angle BAC = 60°$).\n\nTrójkąty $ABD$ i $ADC$ mają wspólny bok $AD$ (długość niech będzie $d$) i wspólny wierzchołek $A$. Możemy więc wyrazić ich pola przez sinusy odpowiednich kątów przy $A$.\n\nWzór na pole z dwóch boków i kąta między nimi: $P = \\dfrac{1}{2} \\cdot b_1 \\cdot b_2 \\cdot \\sin \\gamma$.\n\nDla trójkąta $ABD$: boki $AB = a$ (bok trójkąta równobocznego) i $AD = d$, kąt $\\angle BAD = 60° - \\alpha$.\n\n$$P_{ABD} = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot d \\cdot \\sin(60° - \\alpha)$$\n\nDla trójkąta $ADC$: boki $AC = a$ i $AD = d$, kąt $\\angle DAC = \\alpha$.\n\n$$P_{ADC} = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot d \\cdot \\sin \\alpha$$\n\nStosunek pól = stosunek sinusów (czynniki $\\tfrac{1}{2} \\cdot a \\cdot d$ skracają się):\n\n$$\\frac{P_{ABD}}{P_{ADC}} = \\frac{\\sin(60° - \\alpha)}{\\sin \\alpha} = \\frac{\\sqrt{3} - 1}{2}$$\n\nRozwiń $\\sin(60° - \\alpha)$ ze wzoru na sinus różnicy: $\\sin(x - y) = \\sin x \\cos y - \\cos x \\sin y$.\n\n$$\\sin(60° - \\alpha) = \\sin 60° \\cos \\alpha - \\cos 60° \\sin \\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\cos \\alpha - \\frac{1}{2} \\sin \\alpha$$\n\nPodstaw do równania:\n\n$$\\frac{\\tfrac{\\sqrt{3}}{2} \\cos \\alpha - \\tfrac{1}{2} \\sin \\alpha}{\\sin \\alpha} = \\frac{\\sqrt{3} - 1}{2}$$\n\nPomnóż licznik i mianownik lewej strony przez 2 — równanie pozostaje równoważne:\n\n$$\\frac{\\sqrt{3} \\cos \\alpha - \\sin \\alpha}{\\sin \\alpha} = \\sqrt{3} - 1$$\n\nRozdziel ułamek:\n\n$$\\frac{\\sqrt{3} \\cos \\alpha}{\\sin \\alpha} - 1 = \\sqrt{3} - 1$$\n\n$$\\sqrt{3} \\cdot \\cot \\alpha = \\sqrt{3}$$\n\n$$\\cot \\alpha = 1$$\n\nWyznacz $\\alpha$. $\\cot \\alpha = 1$ oznacza $\\tan \\alpha = 1$. Dla kąta w trójkącie (czyli $0 < \\alpha < 60°$, bo $\\alpha$ to część kąta $60°$):\n\n$$\\alpha = 45°$$\n\nSprawdzenie\n\nJeśli $\\alpha = 45°$, to $\\angle BAD = 60° - 45° = 15°$.\n\n$$\\frac{P_{ABD}}{P_{ADC}} = \\frac{\\sin 15°}{\\sin 45°}$$\n\n$\\sin 15° = \\sin(45° - 30°) = \\tfrac{\\sqrt{2}}{2} \\cdot \\tfrac{\\sqrt{3}}{2} - \\tfrac{\\sqrt{2}}{2} \\cdot \\tfrac{1}{2} = \\tfrac{\\sqrt{6} - \\sqrt{2}}{4}$.\n\n$$\\frac{P_{ABD}}{P_{ADC}} = \\frac{(\\sqrt{6} - \\sqrt{2})/4}{\\sqrt{2}/2} = \\frac{\\sqrt{6} - \\sqrt{2}}{4} \\cdot \\frac{2}{\\sqrt{2}} = \\frac{\\sqrt{6} - \\sqrt{2}}{2 \\sqrt{2}} = \\frac{\\sqrt{3} - 1}{2}$$\n\n(po uproszczeniu: $\\sqrt{6}/\\sqrt{2} = \\sqrt{3}$, $\\sqrt{2}/\\sqrt{2} = 1$). ✓ Pasuje.\n\nPunktacja CKE\n\n- 1 pkt — zapisanie równania $\\sin(60° - \\alpha) / \\sin \\alpha = (\\sqrt{3} - 1)/2$ albo równoważne (np. przez stosunek podstaw $BD/DC$).\n- 2 pkt — sprowadzenie równania do postaci $\\sqrt{3} \\cot \\alpha = \\sqrt{3}$ (lub równoważnej z $\\tan \\alpha = 1$).\n- 3 pkt — pełna metoda + wynik $\\alpha = 45°$.\n\nKlucz — sinus różnicy\n\nWzory na sinus i cosinus sumy/różnicy są w „Wybranych wzorach matematycznych\" CKE:\n\n- $\\sin(x \\pm y) = \\sin x \\cos y \\pm \\cos x \\sin y$\n- $\\cos(x \\pm y) = \\cos x \\cos y \\mp \\sin x \\sin y$\n\nUżywaj ich, gdy w równaniu pojawia się $\\sin/\\cos$ z różnicą lub sumą zmiennej i znanego kąta (jak tu $60° - \\alpha$). Sprowadzasz wtedy równanie do funkcji samej $\\alpha$, którą można rozwiązać przez $\\tan$ / $\\cot$.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to mylenie sin(α) z cos(α) we wzorze na pole (P = ½ab sin γ — sinus, nie cosinus). Druga pułapka: stosunek pól trójkątów o wspólnej wysokości to stosunek PODSTAW — to klucz pozwalający szybko dojść do równania.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/sol-3.svg","topics":"planimetria, trójkąt równoboczny, twierdzenie sinusów","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/4","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona","number":"4","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4. (0-3)\nDoświadczenie losowe polega na czterokrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do\ngry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek - od jednego oczka do sześciu oczek.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy co\nnajmniej jeden raz sześć oczek, pod warunkiem że otrzymamy dokładnie dwa razy\npięć oczek. Zapisz obliczenia.\n4.\n0-1-\n2-3\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nDoświadczenie losowe polega na czterokrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek - od jednego oczka do sześciu oczek. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy co najmniej jeden raz sześć oczek, pod warunkiem że otrzymamy dokładnie dwa razy pięć oczek. Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 4. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nXII.R1) oblicza prawdopodobieństwo\nwarunkowe […].\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 9\n25 (lub 54\n150).\n2 pkt - wyznaczenie mocy zdarzeń 𝐵 oraz 𝐴∩𝐵, np. |𝐵| = (4\n2) ⋅5 ⋅5 oraz\n|𝐴∩𝐵| = (4\n2) ⋅(2\n1) ⋅4 + (4\n2).\n1 pkt - wyznaczenie mocy zdarzenia 𝐵, np. |𝐵| = (4\n2) ⋅5 ⋅5,\nALBO\n- wyznaczenie mocy zdarzenia 𝐴∩𝐵, np. |𝐴∩𝐵| = (4\n2) ⋅(2\n1) ⋅4 + (4\n2).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nUwaga.\nJeżeli zdający, obliczając 𝑃(𝐴∩𝐵)\n𝑃(𝐵) (lub |𝐴∩𝐵|\n|𝐵| ), pominie w liczniku i mianowniku czynnik\n(4\n2) bez stosownego komentarza, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe\nrozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie czteroelementowe wariacje z powtórzeniami ze\nzbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Niech Ω oznacza zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych.\nOznaczmy przez 𝐴 zdarzenie polegające na tym, że otrzymamy co najmniej jeden raz\nsześć oczek, natomiast przez 𝐵 - że otrzymamy dokładnie dwa razy pięć oczek.\nObliczamy moc zdarzenia 𝐵: |𝐵| = (4\n2) ⋅5 ⋅5 = 150.\nObliczamy moc zdarzenia 𝐴∩𝐵: |𝐴∩𝐵| = (4\n2) ⋅(2\n1) ⋅4 + (4\n2) = 54.\nObliczamy prawdopodobieństwo warunkowe 𝑃(𝐴|𝐵):\n𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴∩𝐵)\n𝑃(𝐵)\n|𝐴∩𝐵|\n|Ω|\n|𝐵|\n|Ω|\n= |𝐴∩𝐵|\n|𝐵|\n= 54\n150 = 9\n25","solution":"Odpowiedź: $P(A | B) = \\dfrac{9}{25}$\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nKlucz teoretyczny\n\nWzór na prawdopodobieństwo warunkowe:\n\n$$P(A | B) = \\frac{P(A \\cap B)}{P(B)} = \\frac{|A \\cap B|}{|B|}$$\n\n(w modelu klasycznym — drugie wyrażenie z mocami zbiorów).\n\nTutaj:\n\n- $A$ = „co najmniej raz 6 oczek w 4 rzutach\"\n- $B$ = „dokładnie 2 razy 5 oczek w 4 rzutach\" (warunek)\n\nŁatwiej liczyć moce zbiorów $|A \\cap B|$ i $|B|$ niż prawdopodobieństwa.\n\nKrok 1 — $|B|$ (dokładnie dwa razy 5)\n\nWybierz pozycje, na których wypadną piątki. W 4 rzutach wybieramy 2 pozycje z 4:\n\n$$\\binom{4}{2} = 6$$\n\nPozostałe dwa rzuty nie mogą być 5 — każdy z nich może przyjąć wartość z $\\{1, 2, 3, 4, 6\\}$ (5 możliwości):\n\n$$5 \\cdot 5 = 25$$\n\nWymnóż.\n\n$$|B| = 6 \\cdot 25 = 150$$\n\nKrok 2 — $|A \\cap B|$ (dokładnie dwa razy 5 i co najmniej raz 6)\n\nW zdarzeniu $A \\cap B$ wciąż mamy dokładnie dwa razy 5, ale dodatkowo wśród pozostałych dwóch rzutów co najmniej jeden to 6.\n\nPozycje piątek — bez zmian: $\\binom{4}{2} = 6$ sposobów.\n\nPozostałe dwa rzuty z co najmniej jedną szóstką. Każdy może być z $\\{1, 2, 3, 4, 6\\}$ (5 możliwości), a chcemy, by co najmniej raz wypadła 6.\n\nŁatwiej odejmować dopełnienie:\n\n- wszystkich par $(a, b)$ z $a, b \\in \\{1, 2, 3, 4, 6\\}$: $5 \\cdot 5 = 25$\n- par bez szóstki ($a, b \\in \\{1, 2, 3, 4\\}$): $4 \\cdot 4 = 16$\n- par z co najmniej jedną szóstką: $25 - 16 = 9$\n\nWymnóż:\n\n$$|A \\cap B| = 6 \\cdot 9 = 54$$\n\nKrok 3 — prawdopodobieństwo warunkowe\n\n$$P(A | B) = \\frac{|A \\cap B|}{|B|} = \\frac{54}{150}$$\n\nSkróć $\\frac{54}{150}$: NWD$(54, 150) = 6$, więc:\n\n$$P(A | B) = \\frac{9}{25}$$\n\nSprawdzenie przez wzór\n\nMożna też policzyć inaczej:\n\n$$P(A | B) = \\frac{P(A \\cap B)}{P(B)} = \\frac{54/1296}{150/1296} = \\frac{54}{150} = \\frac{9}{25}$$\n\n(skala $1296 = 6^4$ skraca się — co potwierdza, że w modelu klasycznym dzielenie mocami jest równoważne dzieleniu prawdopodobieństw).\n\nPunktacja CKE\n\n- 1 pkt — zapisanie wzoru $P(A | B) = \\tfrac{|A \\cap B|}{|B|}$ albo identyfikacja zbiorów $A$ i $B$.\n- 2 pkt — obliczenie $|B| = 150$ ALBO $|A \\cap B| = 54$.\n- 3 pkt — pełne rozwiązanie + wynik $\\tfrac{9}{25}$.\n\nKlucz — schemat prawdopodobieństwa warunkowego\n\nDla zadań „P(A pod warunkiem B)\":\n\n1. Zidentyfikuj zdarzenia $A$ i $B$ osobno z treści.\n2. Policz $|B|$ — często mniej rzutów/elementów do uwzględnienia, bo warunek ogranicza.\n3. Policz $|A \\cap B|$ — zdarzenia spełniające oba warunki.\n4. Iloraz $\\tfrac{|A \\cap B|}{|B|}$ to odpowiedź.\n\nW modelu klasycznym (równo prawdopodobne zdarzenia) liczenie mocami zbiorów jest najczystsze — unika ułamków z dużymi mianownikami ($6^4 = 1296$).\n\nTypowy błąd: Klasyczny błąd to liczenie P(A) zamiast P(A|B). Warunek B (dokładnie dwa razy 5) zawęża przestrzeń próbną — dzielisz |A∩B| przez |B|, nie przez 6⁴. Drugi błąd: pomylenie \"co najmniej jeden raz 6\" z \"dokładnie raz 6\".","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/sol-4.svg","topics":"prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobienstwo","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona","number":"5","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (0-4)\nRozwiąż nierówność\n|𝒙-𝟐| -𝟐⋅|𝒙+ 𝟑| < -𝟐\nZapisz obliczenia.\n5.\n0-1-\n2-3-4\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nRozwiąż nierówność |x-2|-2⋅|x+3| < -2. Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 5. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIII.R4) rozwiązuje równania i nierówności\nz wartością bezwzględną.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑥∈(-∞, -10) ∪(-2\n3 , +∞).\n3 pkt - zapisanie trzech przedziałów: (-∞, -3) i [-3, 2) i [2, +∞) (z dokładnością do\ndomknięcia) oraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej\nw każdym z tych przedziałów oraz rozwiązanie nierówności w dwóch spośród tych\nprzedziałów - tj. wyznaczenie części wspólnych zbiorów rozwiązań zapisanych\nnierówności z rozpatrywanymi przedziałami,\nALBO\n- zapisanie czterech przypadków: 𝑥+ 3 < 0 i 𝑥-2 < 0, 𝑥+ 3 < 0 i 𝑥-2 ≥0,\n𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 < 0, 𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 ≥0 (z dokładnością do domknięcia)\noraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym\nz tych przypadków oraz rozwiązanie nierówności w dwóch spośród trzech\nnastępujących przypadków: 𝑥+ 3 < 0 i 𝑥-2 < 0, 𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 < 0,\n𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 ≥0 - tj. wyznaczenie części wspólnych zbiorów rozwiązań\nzapisanych nierówności,\nALBO\n- zapisanie, że przypadek 𝑥+ 3 < 0 i 𝑥-2 ≥0 jest sprzeczny oraz zapisanie\ntrzech przypadków: 𝑥+ 3 < 0 i 𝑥-2 < 0, 𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 < 0,\n𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 ≥0 (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie nierówności\nbez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym z tych przypadków oraz\nrozwiązanie nierówności w dwóch spośród tych trzech przypadków - tj. wyznaczenie\nczęści wspólnych zbiorów rozwiązań zapisanych nierówności,\nALBO\n- zapisanie nierówności w postaci równoważnej koniunkcji dwóch nierówności:\n𝑥-2 < -2 + 2 ⋅|𝑥+ 3| i 𝑥-2 > -(-2 + 2 ⋅|𝑥+ 3|), a następnie w postaci\nrównoważnej koniunkcji alternatyw nierówności bez użycia symbolu wartości\nbezwzględnej:\n(𝑥+ 3 > 1\n2 𝑥 lub 𝑥+ 3 < -1\n2 𝑥) i (𝑥+ 3 > 4-𝑥\n2 lub 𝑥+ 3 < -4-𝑥\n2 ),\nALBO\n- odczytanie z wykresów funkcji 𝑓 oraz 𝑔 pierwszych współrzędnych punktów ich\nprzecięcia: 𝑥= -2\n3 oraz 𝑥= -10 i sprawdzenie rachunkiem poprawności\nodczytanych współrzędnych.\n2 pkt - zapisanie trzech przedziałów: (-∞, -3) i [-3, 2) i [2, +∞) (z dokładnością do\ndomknięcia) oraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej\nw każdym z tych przedziałów\nALBO\n- zapisanie czterech przypadków: 𝑥+ 3 < 0 i 𝑥-2 < 0, 𝑥+ 3 < 0 i 𝑥-2 ≥0,\n𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 < 0, 𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 ≥0 (z dokładnością do domknięcia)\noraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym\nz tych przypadków,\nALBO\n- zapisanie trzech przypadków: 𝑥+ 3 < 0 i 𝑥-2 < 0, 𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 < 0,\n𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 ≥0 (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie nierówności\nbez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym z tych przypadków oraz\nzapisanie, że przypadek 𝑥+ 3 < 0 i 𝑥-2 ≥0 jest sprzeczny,\nALBO\n- zapisanie nierówności w postaci równoważnej koniunkcji dwóch nierówności:\n𝑥-2 < -2 + 2 ⋅|𝑥+ 3| i 𝑥-2 > -(-2 + 2 ⋅|𝑥+ 3|),\nALBO\n- narysowanie wykresów funkcji 𝑓(𝑥) = |𝑥-2| oraz 𝑔(𝑥) = 2 ⋅|𝑥+ 3| -2.\n1 pkt - zapisanie trzech przedziałów: (-∞, -3) i [-3, 2) i [2, +∞) (z dokładnością do\ndomknięcia) oraz zapisanie danej nierówności w jednym z tych przedziałów bez\nużycia symbolu wartości bezwzględnej\nALBO\n- zapisanie jednego z przedziałów: (-∞, -3), [-3, 2), [2, +∞) (z dokładnością do\ndomknięcia) oraz rozwiązanie danej nierówności w tym przedziale - tj. wyznaczenie\nczęści wspólnej zbioru rozwiązań zapisanej nierówności z rozpatrywanym\nprzedziałem,\nALBO\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n- zapisanie czterech przypadków: 𝑥+ 3 < 0 i 𝑥-2 < 0, 𝑥+ 3 < 0 i 𝑥-2 ≥0,\n𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 < 0, 𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 ≥0 (z dokładnością do domknięcia)\noraz zapisanie danej nierówności w jednym z tych przypadków bez użycia wartości\nbezwzględnej,\nALBO\n- zapisanie jednego z trzech przypadków: 𝑥+ 3 < 0 i 𝑥-2 < 0,\n𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 < 0, 𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 ≥0 (z dokładnością do domknięcia)\noraz rozwiązanie danej nierówności w tym przypadku - tj. wyznaczenie części\nwspólnej zbiorów rozwiązań zapisanych nierówności.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający, zapisując nierówność bez użycia wartości bezwzględnej, popełni błąd,\nktóry nie jest rachunkowy, tylko w jednym z rozpatrywanych przypadków/przedziałów\ni rozwiąże zadanie do końca, to może uzyskać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie,\no ile nie nabył prawa do innej punktacji zgodnej z zasadami oceniania.\n2. Jeżeli zdający nie rozpatruje przedziałów, które wyczerpują zbiór wszystkich liczb\nrzeczywistych i w których nierówność ma różne postaci (lub rozpatruje przypadki\nwyznaczone jedynie przez nierówności ostre, które nie wyczerpują zbioru ℝ), to może\notrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający przy rozwiązaniu graficznym poda zbiór rozwiązań\n(-∞, -10) ∪(-2\n3 , +∞), ale nie sprawdzi rachunkiem pierwszych współrzędnych\npunktów przecięcia wykresów funkcji 𝑓 i 𝑔, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za\ncałe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nWyznaczamy przedziały, które wyczerpują zbiór wszystkich liczb rzeczywistych i w których\nnierówność ma różne postaci: (-∞, -3) i [-3, 2) i [2, +∞).\nRozważamy trzy przypadki.\nPrzypadek 1. (gdy 𝑥∈(-∞, -3))\nW tym przypadku nierówność ma postać -𝑥+ 2 + 2(𝑥+ 3) < -2, czyli 𝑥< -10.\nStąd otrzymujemy 𝑥∈(-∞, -10).\nPrzypadek 2. (gdy 𝑥∈[-3, 2))\nW tym przypadku nierówność ma postać -𝑥+ 2 -2(𝑥+ 3) < -2, czyli 𝑥> -2\n3 .\nStąd otrzymujemy 𝑥∈(-2\n3 , 2).\nPrzypadek 3. (gdy 𝑥∈[2, +∞))\nW tym przypadku nierówność ma postać 𝑥-2 -2(𝑥+ 3) < -2, czyli 𝑥> -6.\nStąd otrzymujemy 𝑥∈[2, +∞).\nOstatecznie rozwiązaniami nierówności |𝑥-2| -2 ⋅|𝑥+ 3| < -2 są wszystkie liczby ze\nzbioru (-∞, -10) ∪(-2\n3 , +∞).\nSposób II (poprzez koniunkcję nierówności)\nDla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑎 prawdziwe są\nrównoważności:\n(1) |𝑥| < 𝑎 wtedy i tylko wtedy, gdy 𝑥< 𝑎 i 𝑥> -𝑎\noraz\n(2) |𝑥| > 𝑎 wtedy i tylko wtedy, gdy 𝑥> 𝑎 lub 𝑥< -𝑎.\nPrzekształcamy nierówność |𝑥-2| -2 ⋅|𝑥+ 3| < -2 , korzystając z równoważności (1):\n𝑥-2 < -2 + 2 ⋅|𝑥+ 3| i 𝑥-2 > -(-2 + 2 ⋅|𝑥+ 3|)\n|𝑥+ 3| > 1\n2 𝑥 i |𝑥+ 3| > 4 -𝑥\n2\nRozwiązujemy każdą z otrzymanych nierówności, korzystając z równoważności (2):\n(𝑥+ 3 > 1\n2 𝑥 lub 𝑥+ 3 < -1\n2 𝑥) i (𝑥+ 3 > 4 -𝑥\n2\nlub 𝑥+ 3 < -4 -𝑥\n2\n)\n(𝑥> -6 lub 𝑥< -2) i (𝑥> -2\n3 lub 𝑥< -10)\n𝑥∈ℝ i (𝑥> -2\n3 lub 𝑥< -10)\n𝑥> -2\n3 lub 𝑥< -10\nRozwiązaniami nierówności |𝑥-2| -2 ⋅|𝑥+ 3| < -2 są wszystkie liczby ze zbioru\n(-∞, -10) ∪(-2\n3 , +∞).","solution":"Odpowiedź: $x \\in (-\\infty,\\ -10) \\cup \\left(-\\dfrac{2}{3},\\ +\\infty\\right)$\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nStrategia — rozważ przypadki według znaków modułów\n\nModuły $|x - 2|$ i $|x + 3|$ zmieniają znak w punktach $x = 2$ i $x = -3$. Te dwa punkty dzielą oś liczbową na trzy przedziały:\n\n1. $x < -3$\n2. $-3 \\leq x < 2$\n3. $x \\geq 2$\n\nW każdym przedziale moduły rozwijają się jednoznacznie (z odpowiednim znakiem). Rozwiązujemy nierówność osobno w każdym przedziale i łączymy wyniki.\n\nPrzypadek 1: $x < -3$\n\nW tym przedziale $x - 2 < 0$ i $x + 3 < 0$, więc:\n\n- $|x - 2| = -(x - 2) = 2 - x$\n- $|x + 3| = -(x + 3) = -x - 3$\n\nPodstaw do nierówności:\n\n$$(2 - x) - 2 \\cdot (-x - 3) < -2$$\n\n$$2 - x + 2x + 6 < -2$$\n\n$$x + 8 < -2 \\quad\\Rightarrow\\quad x < -10$$\n\nŁącząc z warunkiem przypadku ($x < -3$): rozwiązanie tutaj to $x < -10$ (bo $-10 < -3$, więc $x < -10$ jest mocniejszym warunkiem).\n\nWynik przypadku 1: $x \\in (-\\infty, -10)$.\n\nPrzypadek 2: $-3 \\leq x < 2$\n\nW tym przedziale $x - 2 < 0$ ale $x + 3 \\geq 0$, więc:\n\n- $|x - 2| = 2 - x$\n- $|x + 3| = x + 3$\n\nPodstaw:\n\n$$(2 - x) - 2 (x + 3) < -2$$\n\n$$2 - x - 2x - 6 < -2$$\n\n$$-3x - 4 < -2 \\quad\\Rightarrow\\quad -3x < 2 \\quad\\Rightarrow\\quad x > -\\frac{2}{3}$$\n\n(uwaga: dzielenie przez $-3$ odwraca nierówność).\n\nŁącząc z warunkiem przypadku ($-3 \\leq x < 2$): rozwiązanie to przecięcie $x > -\\tfrac{2}{3}$ z $\\langle -3, 2)$:\n\nWynik przypadku 2: $x \\in \\left(-\\tfrac{2}{3},\\ 2\\right)$.\n\nPrzypadek 3: $x \\geq 2$\n\nW tym przedziale oba moduły rozwijają się „bez minusa\":\n\n- $|x - 2| = x - 2$\n- $|x + 3| = x + 3$\n\nPodstaw:\n\n$$(x - 2) - 2(x + 3) < -2$$\n\n$$x - 2 - 2x - 6 < -2$$\n\n$$-x - 8 < -2 \\quad\\Rightarrow\\quad -x < 6 \\quad\\Rightarrow\\quad x > -6$$\n\nTo zawsze prawda dla $x \\geq 2$ (bo $2 > -6$).\n\nWynik przypadku 3: $x \\in \\langle 2,\\ +\\infty)$.\n\nŁączenie wyników\n\nSuma rozwiązań ze wszystkich trzech przypadków:\n\n$$(-\\infty, -10) \\cup \\left(-\\frac{2}{3}, 2\\right) \\cup \\langle 2, +\\infty)$$\n\nDrugi i trzeci przedział sklejają się w $\\left(-\\tfrac{2}{3}, +\\infty\\right)$ (bo $2$ należy do trzeciego przedziału).\n\n$$x \\in (-\\infty, -10) \\cup \\left(-\\frac{2}{3}, +\\infty\\right)$$\n\nSprawdzenie liczbowe\n\nSprawdźmy „punkty kontrolne\" z różnych części rozwiązania:\n\n- $x = -11$ (z pierwszego przedziału): $|-11 - 2| - 2 |-11 + 3| = 13 - 16 = -3 < -2$ ✓\n- $x = -5$ (poza rozwiązaniem): $|-5 - 2| - 2 |-5 + 3| = 7 - 4 = 3$, NIE $< -2$ ✓ (nie należy)\n- $x = 0$ (z drugiego rozwiązania): $|0 - 2| - 2 |0 + 3| = 2 - 6 = -4 < -2$ ✓\n- $x = -1$ (poza, $-1 < -\\tfrac{2}{3}$): $|-3| - 2|2| = 3 - 4 = -1$, NIE $< -2$ ✓ (nie należy)\n\nGranice sprawdzone — rozwiązanie pasuje.\n\nPunktacja CKE\n\n- 1 pkt — wyznaczenie przedziałów dla rozwiązania (lub zapisanie nierówności w jednym z przypadków).\n- 2 pkt — rozwiązanie nierówności w jednym z trzech przypadków.\n- 3 pkt — rozwiązanie w dwóch z trzech przypadków.\n- 4 pkt — pełne rozwiązanie + złączony zbiór $(-\\infty, -10) \\cup (-\\tfrac{2}{3}, +\\infty)$.\n\nKlucz uniwersalny\n\nProcedura dla nierówności z wartościami bezwzględnymi:\n\n1. Wyznacz punkty zerowania każdego modułu — to granice przedziałów.\n2. Rozwiąż w każdym przedziale osobno — w każdym moduły rozwijają się jednoznacznie.\n3. Połącz wyniki — suma zbiorów rozwiązań z każdego przedziału.\n\nLiczba przedziałów = liczba modułów + 1.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: rozważenie tylko dwóch przypadków zamiast trzech. Z dwoma modułami |x-2| i |x+3| mamy DWA punkty zerowania: x=2 i x=-3, czyli TRZY przedziały na osi: x<-3, -3≤x<2, x≥2. Każdy wymaga osobnego rozważenia znaków modułów.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/sol-5.svg","topics":"nierówności z wartością bezwzględną, bezwgledna","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona","number":"6","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (0-4)\nCiąg (𝑎𝑛), określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1, jest geometryczny i zbieżny.\nW tym ciągu 𝑎1 + 𝑎3 = 20 i 𝑎1\n2 + 𝑎3\n2 = 328.\nOblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu. Rozważ wszystkie przypadki.\nZapisz obliczenia.\n6.\n0-1-\n2-3-4\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nCiąg (a_n), określony dla każdej liczby naturalnej n≥1, jest geometryczny i zbieżny. W tym ciągu a_1 + a_3 = 20 i a_1² + a_3² = 328. Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu. Rozważ wszystkie przypadki. Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 6. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nVI.R2) rozpoznaje zbieżne szeregi\ngeometryczne i oblicza ich sumę.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 27\n2 lub 27.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n3 pkt - obliczenie 𝑎1 oraz 𝑞: (𝑎1, 𝑞) = (18, 1\n3), (𝑎1, 𝑞) = (18, -1\n3), (𝑎1, 𝑞) = (2, 3),\n(𝑎1, 𝑞) = (2, -3)\nALBO\n- obliczenie 𝑎3 oraz 𝑞: (𝑎3, 𝑞) = (2, 1\n3), (𝑎3, 𝑞) = (2, -1\n3), (𝑎3, 𝑞) = (18, 3),\n(𝑎3, 𝑞) = (18, -3),\nALBO\n- obliczenie 𝑎2 oraz 𝑞: (𝑎2, 𝑞) = (-6, -3), (𝑎2, 𝑞) = (-6, -1\n3), (𝑎2, 𝑞) = (6, 1\n3),\n(𝑎2, 𝑞) = (6, 3) (dla sposobu III),\nALBO\n- wyznaczenie jednej z par (𝑎1, 𝑞), dla której szereg geometryczny jest zbieżny\ni obliczenie sumy tego szeregu, np. (𝑎1, 𝑞) = (18, 1\n3) i 𝑆= 27, (𝑎1, 𝑞) = (18, -1\n3)\ni 𝑆= 27\n2 ,\nALBO\n- wyznaczenie jednej z par (𝑎3, 𝑞), dla której szereg geometryczny jest zbieżny\ni obliczenie sumy tego szeregu, np. (𝑎3, 𝑞) = (2, 1\n3) i 𝑆= 27, (𝑎3, 𝑞) = (2, -1\n3)\ni 𝑆= 27\n2 ,\nALBO\n- wyznaczenie jednej z par (𝑎2, 𝑞), dla której szereg geometryczny jest zbieżny\ni obliczenie sumy tego szeregu, np. (𝑎2, 𝑞) = (6, 1\n3) i 𝑆= 27, (𝑎2, 𝑞) = (-6, -1\n3)\ni 𝑆= 27\n2 (dla sposobu III).\n2 pkt - obliczenie 𝑎1 : 𝑎1 = 2 oraz 𝑎1 = 18\nALBO\n- obliczenie 𝑎3 : 𝑎3 = 18 oraz 𝑎3 = 2,\nALBO\n- obliczenie 𝑞2: 𝑞2 = 9 oraz 𝑞2 = 1\n9 ,\nALBO\n- zapisanie alternatywy równań -6\n𝑞-6𝑞= 20 lub 6\n𝑞+ 6𝑞= 20 (dla sposobu III),\nALBO\n- zapisanie równania 36\n𝑞2 + 36𝑞2 = 328 (dla sposobu III).\n1 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą (𝑎1 lub 𝑎3 , lub 𝑞), np.\n𝑎1\n2 + (20 -𝑎1)2 = 328, (20 -𝑎3)2 + 𝑎3\n2 = 328,\n400\n(𝑞2 + 1)\n2 ⋅(1 + 𝑞4) = 328\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑎2 , np. 𝑎2\n2 = 36, 202 -2𝑎2\n2 = 328 (dla\nsposobu III).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający odrzuci otrzymane wartości 𝑞= 3 oraz 𝑞= -3 (lub parę\n(𝑎1 , 𝑎3) = (2, 18) ) bez komentarza, to może otrzymać 4 punkty za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający nie odrzuci wartości 𝑞= 3 oraz 𝑞= -3 i zastosuje wzór na sumę\nszeregu geometrycznego dla 𝑞= 3 (albo dla 𝑞= -3), to może otrzymać co najwyżej\n3 punkty za całe rozwiązanie.\n3. a) Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy, ale otrzyma co najmniej jeden iloraz\nspełniający warunek |𝑞| < 1 oraz co najmniej jeden iloraz spełniający warunek |𝑞| ≥1\ni rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie\n(2 punkty za pary (𝑎1, 𝑞) oraz 1 punkt za obliczenie sum szeregów dla wszystkich\notrzymanych ilorazów 𝑞 spełniających warunek |𝑞| < 1, o ile nie obliczy sumy szeregu\ndla ilorazu spełniającego warunek |𝑞| ≥1).\n3. b) Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy, ale otrzyma co najmniej dwa ilorazy\ni wszystkie z nich spełniają warunek |𝑞| < 1 oraz rozwiąże zadanie do końca, to może\notrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za pary (𝑎1, 𝑞) oraz 1 punkt\nza obliczenie sum szeregów dla wszystkich otrzymanych ilorazów 𝑞), o ile nie nabył\nprawa do innej punktacji zgodnej z zasadami oceniania.\n4. Jeżeli zdający popełni błąd, który nie jest rachunkowy, ale otrzyma co najmniej jeden\niloraz spełniający warunek |𝑞| < 1 i rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co\nnajwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za pary (𝑎1, 𝑞) oraz 1 punkt za\nobliczenie sum szeregów dla wszystkich otrzymanych ilorazów 𝑞 spełniających warunek\n|𝑞| < 1, o ile nie obliczy sumy szeregu dla ilorazu spełniającego warunek |𝑞| ≥1), o ile\nnie nabył prawa do innej punktacji zgodnej z zasadami oceniania.\n5. Jeżeli zdający odgadnie rozwiązanie układu równań 𝑎1 + 𝑎3 = 20 i 𝑎1\n2 + 𝑎3\n2 = 328:\n(𝑎1 , 𝑎3) = (18, 2) oraz obliczy poprawnie obie sumy szeregu: 𝑆= 27 i 𝑆= 27\n2 i nie\nobliczy sumy szeregu dla ilorazu spełniającego warunek |𝑞| ≥1, to otrzymuje 1 punkt za\ncałe rozwiązanie.\n6. Jeżeli zdający odgadnie rozwiązania układu równań 𝑎1 + 𝑎3 = 20 i 𝑎1\n2 + 𝑎3\n2 = 328:\n(𝑎1 , 𝑎3) = (18, 2) oraz (𝑎1 , 𝑎3) = (2, 18), ale nie obliczy poprawnie obu sum szeregu:\n𝑆= 27 i 𝑆= 27\n2 lub obliczy sumę szeregu dla ilorazu spełniającego warunek |𝑞| ≥1,\nto otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nNiech 𝑞 oznacza iloraz ciągu (𝑎𝑛). Z warunków 𝑎1 + 𝑎3 = 20 i 𝑎1\n2 + 𝑎3\n2 = 328\notrzymujemy:\n𝑎1\n2 + (20 -𝑎1)2 = 328\n2𝑎1\n2 -40𝑎1 + 72 = 0\n𝑎1 = 2 ∨ 𝑎1 = 18\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nGdy 𝑎1 = 2, to 𝑎3 = 20 -𝑎1 = 18 i wtedy 𝑞2 = 9, więc 𝑞= -3 lub 𝑞= 3. Dla każdej\nz tych wartości ilorazu ciąg (𝑎𝑛) jest rozbieżny i tym samym nie są spełnione warunki\nzadania.\nGdy 𝑎1 = 18, to 𝑎3 = 20 -𝑎1 = 2 i wtedy 𝑞2 = 1\n9 , więc 𝑞= -1\n3 lub 𝑞= 1\n3 . Dla każdej\nz tych wartości 𝑞 ciąg (𝑎𝑛) jest zbieżny, a ponieważ |-1\n3| < 1 oraz |1\n3| < 1, więc dla\nobu tych wartości ilorazu istnieje suma wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego (𝑎𝑛).\nDla 𝑎1 = 18 i 𝑞= -1\n3 suma 𝑆 wszystkich wyrazów ciągu (𝑎𝑛) jest równa\n𝑆=\n𝑎1\n1 -𝑞=\n18\n1 -(-1\n3)\n= 27\n2\nDla 𝑎1 = 18 i 𝑞= 1\n3 suma 𝑆 wszystkich wyrazów ciągu (𝑎𝑛) jest równa\n𝑆=\n𝑎1\n1 -𝑞=\n18\n1 -1\n3\n= 27\nSposób II\nNiech 𝑞 oznacza iloraz ciągu (𝑎𝑛). Z warunku 𝑎1 + 𝑎3 = 20 otrzymujemy\n𝑎1 + 𝑎1𝑞2 = 20, więc 𝑎1 =\n20\n𝑞2+1 i 𝑎1 ≠0.\nStąd i z warunku 𝑎1\n2 + 𝑎3\n2 = 328 otrzymujemy:\n𝑎1\n2 + (𝑎1𝑞2)2 = 328\n𝑎1\n2 ⋅(1 + 𝑞4) = 328\n400\n(𝑞2 + 1)2 ⋅(1 + 𝑞4) = 328\n72𝑞4 -656𝑞2 + 72 = 0\n9𝑞4 -82𝑞2 + 9 = 0\nΔ = (-82)2 -4 ⋅9 ⋅9 = 6400\n𝑞2 = 82 -80\n2 ⋅9\n= 1\n9 ∨ 𝑞2 = 82 + 80\n2 ⋅9\n= 9\n𝑞= -1\n3 ∨ 𝑞= 1\n3 ∨ 𝑞= -3 ∨ 𝑞= 3\nPonieważ 𝑎1 ≠0, więc dla 𝑞= -3 oraz 𝑞= 3 ciąg (𝑎𝑛) nie jest zbieżny.\nGdy 𝑞= -1\n3 , to 𝑎1 =\n20\n𝑞2+1 = 18 i ciąg (𝑎𝑛) jest zbieżny. Ponadto |-1\n3| < 1, więc\nistnieje suma 𝑆 wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego i jest ona równa\n𝑆=\n𝑎1\n1 -𝑞=\n18\n1 -(-1\n3)\n= 27\n2\nGdy 𝑞= 1\n3 , to 𝑎1 =\n20\n𝑞2+1 = 18 i ciąg (𝑎𝑛) jest zbieżny. Ponadto |1\n3| < 1, więc istnieje\nsuma 𝑆 wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego i jest ona równa\n𝑆=\n𝑎1\n1 -𝑞=\n18\n1 -1\n3\n= 27\nSposób III (poprzez 𝑎2)\nNiech 𝑞 oznacza iloraz ciągu (𝑎𝑛). Z warunków 𝑎1 + 𝑎3 = 20 i 𝑎1\n2 + 𝑎3\n2 = 328\notrzymujemy:\n𝑎1\n2 + 𝑎3\n2 = 328\n(𝑎1 + 𝑎3)2 -2𝑎1 ⋅𝑎3 = 328\n202 -2𝑎1 ⋅𝑎3 = 328\nStąd, po zastosowaniu własności ciągu geometrycznego, dostajemy\n202 -2𝑎2\n2 = 328\n𝑎2 = -6 ∨ 𝑎2 = 6\nPrzypadek 1. (gdy 𝑎2 = -6).\nWarunek 𝑎1 + 𝑎3 = 20 zapisujemy w postaci 𝑎2\n𝑞+ 𝑎2 ⋅𝑞= 20 i obliczamy iloraz ciągu:\n-6\n𝑞-6𝑞= 20\n-6𝑞2 -20𝑞-6 = 0\n𝑞= 20 -16\n-12\n= -1\n3 ∨ 𝑞= 20 + 16\n-12\n= -3\nGdy 𝑞= -1\n3 i 𝑎2 = -6, to ciąg (𝑎𝑛) jest zbieżny. Ponadto |-1\n3| < 1, więc istnieje\nsuma 𝑆 wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego i jest ona równa\n𝑆=\n𝑎2\n𝑞\n1 -𝑞=\n18\n1 -(-1\n3)\n= 27\n2\nGdy 𝑞= -3 i 𝑎2 = -6, to ciąg (𝑎𝑛) jest rozbieżny, więc warunki zadania nie są\nspełnione.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzypadek 2. (gdy 𝑎2 = 6).\nWarunek 𝑎1 + 𝑎3 = 20 zapisujemy w postaci 𝑎2\n𝑞+ 𝑎2 ⋅𝑞= 20 i obliczamy iloraz ciągu:\n6\n𝑞+ 6𝑞= 20\n6𝑞2 -20𝑞+ 6 = 0\n𝑞= 20 -16\n12\n= 1\n3 ∨ 𝑞= 20 + 16\n12\n= 3\nGdy 𝑞= 1\n3 i 𝑎2 = 6, to ciąg (𝑎𝑛) jest zbieżny. Ponadto |1\n3| < 1, więc istnieje suma 𝑆\nwszystkich wyrazów ciągu geometrycznego i jest ona równa\n𝑆=\n𝑎2\n𝑞\n1 -𝑞=\n18\n1 -1\n3\n= 27\nGdy 𝑞= 3 i 𝑎2 = 6, to ciąg (𝑎𝑛) jest rozbieżny, więc warunki zadania nie są spełnione.","solution":"Odpowiedź: $S = 27$ (dla $q = \\tfrac{1}{3}$) lub $S = \\dfrac{27}{2}$ (dla $q = -\\tfrac{1}{3}$).\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nKlucz teoretyczny\n\nSzereg geometryczny zbieżny istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy $|q| < 1$. Suma:\n\n$$S = \\frac{a_1}{1 - q}$$\n\nDla $|q| \\geq 1$ szereg jest rozbieżny (suma nieskończona).\n\nW ciągu geometrycznym: $a_3 = a_1 \\cdot q^2$.\n\nWyraź warunki przez $a_1$ i $q$.\n\nZ $a_3 = a_1 q^2$:\n\n$$a_1 + a_1 q^2 = 20 \\quad\\Rightarrow\\quad a_1(1 + q^2) = 20$$\n\n$$a_1^2 + a_1^2 q^4 = 328 \\quad\\Rightarrow\\quad a_1^2 (1 + q^4) = 328$$\n\nWyeliminuj $a_1$. Z pierwszego: $a_1 = \\dfrac{20}{1 + q^2}$. Podstaw do drugiego:\n\n$$\\left( \\frac{20}{1 + q^2} \\right)^2 \\cdot (1 + q^4) = 328$$\n\n$$\\frac{400 (1 + q^4)}{(1 + q^2)^2} = 328$$\n\n$$\\frac{1 + q^4}{(1 + q^2)^2} = \\frac{328}{400} = \\frac{41}{50}$$\n\nWprowadź podstawienie $t = q^2$ (gdzie $t \\geq 0$):\n\n$$\\frac{1 + t^2}{(1 + t)^2} = \\frac{41}{50}$$\n\n$$50 (1 + t^2) = 41 (1 + t)^2$$\n\n$$50 + 50 t^2 = 41 + 82 t + 41 t^2$$\n\n$$9 t^2 - 82 t + 9 = 0$$\n\nRozwiąż równanie kwadratowe.\n\n$$\\Delta = 82^2 - 4 \\cdot 9 \\cdot 9 = 6724 - 324 = 6400, \\quad \\sqrt{\\Delta} = 80$$\n\n$$t = \\frac{82 \\pm 80}{18}$$\n\n$$t_1 = \\frac{162}{18} = 9, \\quad t_2 = \\frac{2}{18} = \\frac{1}{9}$$\n\nWybierz $t$ spełniające warunek zbieżności $|q| < 1$, czyli $t = q^2 < 1$:\n\n- $t = 9$ → $q^2 = 9$, $|q| = 3$ — rozbieżny, odrzucamy.\n- $t = \\tfrac{1}{9}$ → $q^2 = \\tfrac{1}{9}$, $|q| = \\tfrac{1}{3}$ — zbieżny ✓\n\nCzyli $q = \\tfrac{1}{3}$ albo $q = -\\tfrac{1}{3}$.\n\nWyznacz $a_1$ dla obu przypadków. Dla $q^2 = \\tfrac{1}{9}$:\n\n$$a_1 = \\frac{20}{1 + \\tfrac{1}{9}} = \\frac{20}{\\tfrac{10}{9}} = \\frac{20 \\cdot 9}{10} = 18$$\n\nDla obu znaków $q$ to samo $a_1 = 18$ (bo zależy od $q^2$).\n\nOblicz sumę dla każdego przypadku.\n\nPrzypadek 1: $q = \\tfrac{1}{3}$\n\n$$S_1 = \\frac{a_1}{1 - q} = \\frac{18}{1 - \\tfrac{1}{3}} = \\frac{18}{\\tfrac{2}{3}} = 27$$\n\nPrzypadek 2: $q = -\\tfrac{1}{3}$\n\n$$S_2 = \\frac{a_1}{1 - q} = \\frac{18}{1 + \\tfrac{1}{3}} = \\frac{18}{\\tfrac{4}{3}} = \\frac{54}{4} = \\frac{27}{2}$$\n\nSprawdzenie\n\nDla $q = \\tfrac{1}{3}$: $a_1 = 18$, $a_2 = 6$, $a_3 = 2$. Suma $a_1 + a_3 = 20$ ✓, $a_1^2 + a_3^2 = 324 + 4 = 328$ ✓.\n\nDla $q = -\\tfrac{1}{3}$: $a_1 = 18$, $a_2 = -6$, $a_3 = 2$. Suma $a_1 + a_3 = 20$ ✓, $a_1^2 + a_3^2 = 324 + 4 = 328$ ✓.\n\nOba przypadki spełniają warunki — oba muszą być w odpowiedzi.\n\nPunktacja CKE\n\n- 1 pkt — zapisanie układu równań $a_1(1 + q^2) = 20$ oraz $a_1^2(1 + q^4) = 328$.\n- 2 pkt — sprowadzenie do równania kwadratowego $9t^2 - 82t + 9 = 0$ (lub równoważnego).\n- 3 pkt — rozwiązanie $q^2 = \\tfrac{1}{9}$ z odrzuceniem $q^2 = 9$ (warunek zbieżności).\n- 4 pkt — pełne rozwiązanie + obie sumy.\n\nKlucz uniwersalny\n\nSchemat dla zadań „szereg geometryczny zbieżny + dwa warunki\":\n\n1. Wyraź wszystkie wyrazy przez $a_1$ i $q$ (zwykle $a_n = a_1 q^{n-1}$).\n2. Wyeliminuj $a_1$ dzieląc/podstawiając, dostajesz równanie tylko z $q$ (zwykle kwadratowe po podstawieniu $t = q^2$).\n3. Rozwiąż na $q$, odrzuć te, dla których $|q| \\geq 1$.\n4. Rozważ obie wartości $\\pm q$ jeśli dotyczy.\n5. Suma $S = \\tfrac{a_1}{1 - q}$ — osobno dla każdego $q$.\n\nTypowy błąd: Najgorszy błąd: zapomnieć warunku \"zbieżny\" → $|q| < 1$. Bez tego przyjąłbyś też $q^2 = 9$, czyli $q = \\pm 3$, ale taki ciąg jest rozbieżny (suma nieskończona nie istnieje). Drugi błąd: jedna odpowiedź zamiast obu — treść wprost mówi \"rozważ wszystkie przypadki\".","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/sol-6.svg","topics":"szereg geometryczny, sumowanie nieskończone, ciagi","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona","number":"7","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (0-4)\nW trapezie 𝐴𝐵𝐶𝐷 o podstawach 𝐴𝐵 i 𝐶𝐷 punkt 𝐸 jest środkiem ramienia 𝐴𝐷,\na punkt 𝐹 jest środkiem ramienia 𝐵𝐶 trapezu. Stosunek pola trapezu 𝐸𝐹𝐶𝐷 do pola\ntrapezu 𝐴𝐵𝐹𝐸 jest równy 1\n2 .\nWykaż, że |𝑪𝑫|\n|𝑨𝑩| = 𝟏\n𝟓 .\n7.\n0-1-\n2-3-4\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nW trapezie ABCD o podstawach AB i CD punkt E jest środkiem ramienia AD, a punkt F jest środkiem ramienia BC trapezu. Stosunek pola trapezu EFCD do pola trapezu ABFE jest równy 1/2. Wykaż, że |CD|/|AB| = 1/5.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 7. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nVIII.11) przeprowadza dowody\ngeometryczne.\nZasady oceniania (dla sposobów I oraz Ia)\n4 pkt - poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.\n3 pkt - zapisanie związku między długościami podstaw trapezu, np.\n1\n2 ⋅ (𝑎 + 𝑏\n2 + 𝑏)\n1\n2 ⋅ (𝑎 + 𝑎 + 𝑏\n2\n) = 1\n2 .\n2 pkt - zapisanie równań 𝑃𝐸𝐹𝐶𝐷\n𝑃𝐴𝐵𝐹𝐸=\n1\n2 ⋅ (𝑑 + 𝑏) ⋅ ℎ\n2\n1\n2 ⋅ (𝑎 + 𝑑) ⋅ ℎ\n2\noraz 𝑃𝐸𝐹𝐶𝐷\n𝑃𝐴𝐵𝐹𝐸= 1\n2 oraz 𝑑= 𝑎 + 𝑏\n2\nALBO\n- spełnienie dwóch spośród czterech poniższych warunków:\n1) zapisanie równań 𝑃𝐸𝐹𝐶𝐷\n𝑃𝐴𝐵𝐹𝐸=\n1\n2 ⋅ (𝑑 + 𝑏) ⋅ ℎ\n2\n1\n2 ⋅ (𝑎 + 𝑑) ⋅ ℎ\n2\nalbo\n1\n2 ⋅ (𝑑 + 𝑏) ⋅ ℎ\n2\n1\n2 ⋅ (𝑎 + 𝑑) ⋅ ℎ\n2\n= 1\n2 ,\n2) zapisanie równań 𝑃𝐸𝐹𝐶𝐷\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷=\n1\n2 ⋅ (𝑑 + 𝑏) ⋅ ℎ\n2\n1\n2 ⋅ (𝑎 + 𝑏) ⋅ℎ\nalbo\n1\n2 ⋅ (𝑑 + 𝑏) ⋅ ℎ\n2\n1\n2 ⋅ (𝑎 + 𝑏) ⋅ℎ= 1\n3 ,\n3) zapisanie równań 𝑃𝐴𝐵𝐹𝐸\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷=\n1\n2 ⋅ (𝑎 +𝑑) ⋅ ℎ\n2\n1\n2 ⋅ (𝑎 + 𝑏) ⋅ℎ\nalbo\n1\n2 ⋅ (𝑎 +𝑑) ⋅ ℎ\n2\n1\n2 ⋅ (𝑎 + 𝑏) ⋅ℎ= 2\n3 ,\n4) zapisanie równania 1\n2 ⋅(𝑎+ 𝑑) ⋅ℎ\n2 + 1\n2 ⋅(𝑏+ 𝑑) ⋅ℎ\n2 = 1\n2 ⋅(𝑎+ 𝑏) ⋅ℎ.\n1 pkt - spełnienie jednego spośród czterech poniższych warunków:\n1) zapisanie równań 𝑃𝐸𝐹𝐶𝐷\n𝑃𝐴𝐵𝐹𝐸=\n1\n2 ⋅ (𝑑 + 𝑏) ⋅ ℎ\n2\n1\n2 ⋅ (𝑎 + 𝑑) ⋅ ℎ\n2\nalbo\n1\n2 ⋅ (𝑑 + 𝑏) ⋅ ℎ\n2\n1\n2 ⋅ (𝑎 + 𝑑) ⋅ ℎ\n2\n= 1\n2 ,\n2) zapisanie równań 𝑃𝐸𝐹𝐶𝐷\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷=\n1\n2 ⋅ (𝑑 + 𝑏) ⋅ ℎ\n2\n1\n2 ⋅ (𝑎 + 𝑏) ⋅ℎ\nalbo\n1\n2 ⋅ (𝑑 + 𝑏) ⋅ ℎ\n2\n1\n2 ⋅ (𝑎 + 𝑏) ⋅ℎ= 1\n3 ,\n3) zapisanie równań 𝑃𝐴𝐵𝐹𝐸\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷=\n1\n2 ⋅ (𝑎 +𝑑) ⋅ ℎ\n2\n1\n2 ⋅ (𝑎 + 𝑏) ⋅ℎ\nalbo\n1\n2 ⋅ (𝑎 +𝑑) ⋅ ℎ\n2\n1\n2 ⋅ (𝑎 + 𝑏) ⋅ℎ= 2\n3 ,\n4) zapisanie równania 1\n2 ⋅(𝑎+ 𝑑) ⋅ℎ\n2 + 1\n2 ⋅(𝑏+ 𝑑) ⋅ℎ\n2 = 1\n2 ⋅(𝑎+ 𝑏) ⋅ℎ,\nALBO\n- zapisanie równania 𝑑= 𝑎 + 𝑏\n2\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli w rozwiązaniu zdający błędnie zakłada, że trapezy 𝐴𝐵𝐹𝐸 i 𝐸𝐹𝐶𝐷 są podobne\ni na tym opiera rozwiązanie, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za zapisanie związku\nmiędzy długościami podstaw trapezu i odcinka łączącego środki jego ramion.\n2. Jeżeli zdający rozpatruje trapez o konkretnych wymiarach i na tym opiera całe\nrozwiązanie, to otrzymuje 0 punktów, o ile nie nabył prawa do innej punktacji zgodnej\nz zasadami oceniania.\n3. Jeżeli zdający zapisze jednocześnie 𝑃𝐸𝐹𝐶𝐷\n𝑃𝐴𝐵𝐹𝐸=\n1\n2 ⋅ (𝑎 + 𝑏\n2 + 𝑏)\n1\n2 ⋅ (𝑎 + 𝑎 + 𝑏\n2\n)\noraz 𝑃𝐸𝐹𝐶𝐷\n𝑃𝐴𝐵𝐹𝐸= 1\n2 , to może\notrzymać 3 punkty.\nZasady oceniania (dla sposobu II)\n4 pkt - poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.\n3 pkt - wyznaczenie stosunku pól trójkątów 𝐴𝐾𝐸 i 𝐾𝐹𝐶: 1 ∶5.\n2 pkt - zapisanie pól trapezów 𝐸𝐹𝐶𝐷 i 𝐴𝐵𝐹𝐸 w zależności od pól trójkątów 𝐴𝐾𝐸 i 𝐾𝐹𝐶.\n1 pkt - zapisanie zależności pomiędzy polami trójkątów podobnych 𝐴𝐶𝐷 i 𝐴𝐾𝐸 oraz\nzapisanie zależności pomiędzy polami trójkątów podobnych 𝐴𝐵𝐶 i 𝐾𝐹𝐶.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia:\n𝑎, 𝑏 - długość - odpowiednio - dłuższej i krótszej podstawy trapezu,\n𝑑 - długość odcinka łączącego środki ramion trapezu,\nℎ - wysokość trapezu.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZ własności trapezu otrzymujemy 𝑑= 𝑎 + 𝑏\n2\n. Trapezy 𝐸𝐹𝐶𝐷 i 𝐴𝐵𝐹𝐸 mają równe\nwysokości oraz stosunek pola trapezu 𝐸𝐹𝐶𝐷 do pola trapezu 𝐴𝐵𝐹𝐸 jest równy 1\n2 , więc\n1\n2 ⋅(𝑑+ 𝑏) ⋅ℎ\n2\n1\n2 ⋅(𝑎+ 𝑑) ⋅ℎ\n2\n= 1\n2\n𝑑+ 𝑏\n𝑎+ 𝑑= 1\n2\n2𝑑+ 2𝑏= 𝑎+ 𝑑\n𝑑+ 2𝑏= 𝑎\nStąd i z zależności 𝑑= 𝑎 + 𝑏\n2\notrzymujemy\n𝑎+ 𝑏+ 4𝑏= 2𝑎\n5𝑏= 𝑎\n𝑏\n𝑎= 1\n5\nTo należało wykazać.\nSposób Ia\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia:\n𝑎, 𝑏 - długość - odpowiednio - dłuższej i krótszej podstawy trapezu,\n𝑑 - długość odcinka łączącego środki ramion trapezu,\nℎ - wysokość trapezu.\nTrapezy 𝐸𝐹𝐶𝐷 i 𝐴𝐵𝐹𝐸 mają równe wysokości oraz stosunek pola trapezu 𝐸𝐹𝐶𝐷 do pola\ntrapezu 𝐴𝐵𝐹𝐸 jest równy 1\n2 , więc\n1\n2 ⋅(𝑑+ 𝑏) ⋅ℎ\n2\n1\n2 ⋅(𝑎+ 𝑑) ⋅ℎ\n2\n= 1\n2\n𝑑+ 𝑏\n𝑎+ 𝑑= 1\n2\n2𝑑+ 2𝑏= 𝑎+ 𝑑\n𝑑= 𝑎-2𝑏\nPonadto stosunek pola trapezu 𝐸𝐹𝐶𝐷 do pola trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równy 1\n3 , więc\n1\n2 ⋅(𝑑+ 𝑏) ⋅ℎ\n2\n1\n2 ⋅(𝑎+ 𝑏) ⋅ℎ\n= 1\n3\n𝑑+ 𝑏\n2(𝑎+ 𝑏) = 1\n3\n3𝑑+ 3𝑏= 2𝑎+ 2𝑏\n3𝑑= 2𝑎-𝑏\nStąd i zależności 𝑑= 𝑎-2𝑏 otrzymujemy\n3(𝑎-2𝑏) = 2𝑎-𝑏\n𝑎= 5𝑏\n𝑏\n𝑎= 1\n5\nTo należało wykazać.\nSposób II (przez pola trójkątów podobnych)\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia:\n𝑎, 𝑏 - długość - odpowiednio - dłuższej i krótszej podstawy trapezu,\n𝐾 - punkt przecięcia przekątnej 𝐴𝐶 z odcinkiem 𝐸𝐹,\n𝑛, 𝑚 - pole - odpowiednio - trójkąta 𝐴𝐾𝐸 i 𝐾𝐹𝐶.\nTrójkąty 𝐴𝐶𝐷 i 𝐴𝐾𝐸 oraz trójkąty 𝐴𝐵𝐶 i 𝐾𝐹𝐶 są podobne (cecha kkk), a skala każdego\nz tych podobieństw jest równa 2, gdyż 𝐸 i 𝐹 to środki boków 𝐴𝐷 oraz 𝐵𝐶. Zatem\n𝑃𝐴𝐶𝐷= 22 ⋅𝑃𝐴𝐾𝐸= 4𝑛 oraz 𝑃𝐴𝐵𝐶= 22 ⋅𝑃𝐾𝐹𝐶= 4𝑚\nStąd\n𝑃𝐸𝐾𝐶𝐷= 3𝑛 oraz 𝑃𝐴𝐵𝐹𝐾= 3𝑚\n(zobacz rysunek).\nZatem\n𝑃𝐸𝐹𝐶𝐷= 3𝑛+ 𝑚 oraz 𝑃𝐴𝐵𝐹𝐸= 𝑛+ 3𝑚\n𝑎\n𝑏\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n𝐹\n𝐾\n𝑚\n𝑛\n3𝑛\n3𝑚\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nTrójkąty 𝐴𝐶𝐷 i 𝐴𝐵𝐶 mają wspólną wysokość, więc\n𝑃𝐴𝐶𝐷\n𝑃𝐴𝐵𝐶\n= 𝑏\n𝑎= 4𝑛\n4𝑚= 𝑛\n𝑚\nZ warunków zadania otrzymujemy\n𝑃𝐸𝐹𝐶𝐷\n𝑃𝐴𝐵𝐹𝐸\n= 3𝑛+ 𝑚\n𝑛+ 3𝑚= 1\n2\nStąd\n6𝑛+ 2𝑚= 𝑛+ 3𝑚\n5𝑛= 𝑚\nZatem\n𝑏\n𝑎= 𝑛\n𝑚= 𝑛\n5𝑛= 1\n5\nTo należało wykazać.","solution":"Odpowiedź: Dowód: $\\dfrac{|CD|}{|AB|} = \\dfrac{1}{5}$ ✓ — patrz pełny wywód poniżej.\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nKlucz teoretyczny — linia środkowa trapezu\n\nTwierdzenie: w trapezie $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ odcinek łączący środki ramion $AD$ i $BC$ jest:\n\n- równoległy do podstaw $AB$ i $CD$\n- ma długość średniej arytmetycznej podstaw\n\n$$|EF| = \\frac{|AB| + |CD|}{2}$$\n\nLinia $EF$ dzieli trapez na dwa mniejsze trapezy — $ABFE$ i $EFCD$ — które oba mają tę samą wysokość (równą połowie wysokości całego trapezu).\n\nOznaczenia\n\nNiech:\n\n- $|AB| = a$ (większa podstawa)\n- $|CD| = b$ (mniejsza podstawa, $b < a$)\n- $h$ — wysokość trapezu $ABCD$\n\nZ linii środkowej: $|EF| = \\dfrac{a + b}{2}$.\n\nKażdy z mniejszych trapezów ($EFCD$ i $ABFE$) ma wysokość $\\dfrac{h}{2}$.\n\nPola obu mniejszych trapezów\n\nPole trapezu $EFCD$ (podstawy $CD$ i $EF$, wysokość $\\tfrac{h}{2}$):\n\n$$P_{EFCD} = \\frac{|CD| + |EF|}{2} \\cdot \\frac{h}{2} = \\frac{b + \\tfrac{a+b}{2}}{2} \\cdot \\frac{h}{2}$$\n\nUprość licznik średniej:\n\n$$b + \\frac{a + b}{2} = \\frac{2b + a + b}{2} = \\frac{a + 3b}{2}$$\n\nStąd:\n\n$$P_{EFCD} = \\frac{(a + 3b)/2}{2} \\cdot \\frac{h}{2} = \\frac{(a + 3b) h}{8}$$\n\nPole trapezu $ABFE$ (podstawy $AB$ i $EF$, wysokość $\\tfrac{h}{2}$):\n\n$$P_{ABFE} = \\frac{|AB| + |EF|}{2} \\cdot \\frac{h}{2} = \\frac{a + \\tfrac{a+b}{2}}{2} \\cdot \\frac{h}{2}$$\n\nUprość:\n\n$$a + \\frac{a + b}{2} = \\frac{2a + a + b}{2} = \\frac{3a + b}{2}$$\n\n$$P_{ABFE} = \\frac{(3a + b) h}{8}$$\n\nZapisz stosunek pól (czynniki $\\tfrac{h}{8}$ skracają się):\n\n$$\\frac{P_{EFCD}}{P_{ABFE}} = \\frac{a + 3b}{3a + b}$$\n\nZ warunku zadania $\\dfrac{P_{EFCD}}{P_{ABFE}} = \\dfrac{1}{2}$:\n\n$$\\frac{a + 3b}{3a + b} = \\frac{1}{2}$$\n\n$$2(a + 3b) = 3a + b$$\n\n$$2a + 6b = 3a + b$$\n\n$$5b = a$$\n\nWyciągnij wniosek:\n\n$$\\frac{b}{a} = \\frac{1}{5}, \\quad \\text{czyli} \\quad \\frac{|CD|}{|AB|} = \\frac{1}{5} \\quad \\blacksquare$$\n\nSprawdzenie liczbowe\n\nJeśli $a = 5$ i $b = 1$, to:\n\n- $|EF| = \\dfrac{5 + 1}{2} = 3$\n- $P_{EFCD} = \\dfrac{(5 + 3) \\cdot h}{8} = h$ (przy $h = 1$ to 1)\n- $P_{ABFE} = \\dfrac{(15 + 1) \\cdot h}{8} = 2h$ (przy $h = 1$ to 2)\n- Stosunek: $\\dfrac{h}{2h} = \\dfrac{1}{2}$ ✓\n\nWzór się sprawdza.\n\nPunktacja CKE\n\n- 1 pkt — zapisanie $|EF| = \\tfrac{|AB| + |CD|}{2}$ (linia środkowa).\n- 2 pkt — wyprowadzenie wzoru na pole obu mniejszych trapezów.\n- 3 pkt — sprowadzenie do równania $2(a + 3b) = 3a + b$ (lub równoważnego).\n- 4 pkt — pełne rozumowanie + wniosek $b/a = 1/5$.\n\nKlucz pamięciowy\n\nElement | Wzór\nPole trapezu | $P = \\dfrac{a + b}{2} \\cdot h$\nLinia środkowa | $\\dfrac{a + b}{2}$ (równa średniej podstaw)\nLinia środkowa w 1/3 odległości | $\\dfrac{2a + b}{3}$ (od podstawy $a$)\n\nPamiętaj: nazwa „linia środkowa\" odnosi się do tej konkretnej linii w połowie wysokości. Inne linie równoległe do podstaw mają inne wzory.\n\nTypowy błąd: Najgorszy błąd to pomijanie LINII ŚRODKOWEJ trapezu — odcinka EF, który ma długość średniej arytmetycznej obu podstaw: |EF| = (|AB| + |CD|)/2. To kluczowe twierdzenie dla tego dowodu.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/sol-7.svg","topics":"planimetria, trapez, linia środkowa, dowody_geometryczne","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona","number":"8","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (0-5)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dane są okręgi 𝒪1 oraz 𝒪2 o równaniach:\n𝒪1: (𝑥-1)2 + (𝑦+ 3)2 = 5\n𝒪2: (𝑥-2)2 + (𝑦-4)2 = 45.\nTe okręgi przecinają się w punktach 𝐴 oraz 𝐵. Punkt 𝐴 ma pierwszą współrzędną\ndodatnią. Punkt 𝑀 spełnia warunek 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = -2 ⋅𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .\nOblicz współrzędne punktów 𝑨, 𝑩 oraz 𝑴. Zapisz obliczenia.\n8.\n0-1-\n2-3-\n4-5\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dane są okręgi O_1 oraz O_2 o równaniach: ⋅ O_1: (x-1)² + (y+3)² = 5, ⋅ O_2: (x-2)² + (y-4)² = 45 Te okręgi przecinają się w punktach A oraz B. Punkt A ma pierwszą współrzędną dodatnią. Punkt M spełnia warunek AM ⃗ = -2⋅BM ⃗. Oblicz współrzędne punktów A, B oraz M. Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 8. (0-5)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nIX.R2) znajduje punkty wspólne dwóch\nokręgów;\nIX.R3) zna pojęcie wektora i oblicza jego\nwspółrzędne oraz długość, dodaje wektory\ni mnoży wektor przez liczbę, oba te\ndziałania wykonuje zarówno analitycznie,\njak i geometrycznie.\nZasady oceniania\n5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝐴= (16\n5 , -13\n5 ), 𝐵= (-1, -2)\noraz 𝑀= ( 2\n5 , -11\n5 ).\n4 pkt - zapisanie równania [𝑥𝑀-16\n5 , 𝑦𝑀-(-13\n5 )] = -2 ⋅[𝑥𝑀-(-1), 𝑦𝑀-(-2)]\nALBO\n- zapisanie układu równań z dwiema niewiadomymi, który pozwala obliczyć\nwspółrzędne punktu 𝑀, np. √(-1 -𝑥𝑀)2 + (-2 -𝑦𝑀)2 = √2 oraz\n√(𝑥𝑀-3,2)2 + (𝑦𝑀+ 2,6)2 = 2√2,\nALBO\n- obliczenie współrzędnych punktów 𝐴 oraz 𝐵: 𝐴= (16\n5 , -13\n5 ) i 𝐵= (-1, -2)\noraz zapisanie równości 𝑥𝑀= 1\n3 𝑥𝐴+ 2\n3 𝑥𝐵 oraz 𝑦𝑀= 1\n3 𝑦𝐴+ 2\n3 𝑦𝐵 .\n3 pkt - obliczenie współrzędnych punktów 𝐴 oraz 𝐵: 𝐴= (16\n5 , -13\n5 ) oraz\n𝐵= (-1, -2)\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą, pozwalającego obliczyć pierwsze (lub\ndrugie) współrzędne punktów przecięcia okręgów, np.\n(-7𝑦-15 -2)2 + (𝑦-4)2 = 45 oraz zapisanie równości 𝑥𝑀= 1\n3 𝑥𝐴+ 2\n3 𝑥𝐵 oraz\n𝑦𝑀= 1\n3 𝑦𝐴+ 2\n3 𝑦𝐵 .\n2 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą, pozwalającego obliczyć pierwsze (lub\ndrugie) współrzędne punktów przecięcia okręgów, np.\n(-7𝑦-15 -2)2 + (𝑦-4)2 = 45,\nALBO\n- wyznaczenie równania prostej 𝐴𝐵, np. 2𝑥+ 14𝑦= -30 oraz zapisanie równości\n𝑥𝑀= 1\n3 𝑥𝐴+ 2\n3 𝑥𝐵 oraz 𝑦𝑀= 1\n3 𝑦𝐴+ 2\n3 𝑦𝐵 ,\nALBO\n- zapisanie współrzędnych punktu 𝐵: 𝐵= (-1, -2) i sprawdzenie rachunkiem, że\npunkt 𝐵 jest punktem przecięcia okręgów oraz wyznaczenie równania prostej 𝐴𝐵,\nALBO\n- zapisanie współrzędnych punktu 𝐵: 𝐵= (-1, -2) i sprawdzenie rachunkiem, że\npunkt 𝐵 jest punktem przecięcia okręgów oraz obliczenie współrzędnych środka\nodcinka 𝐴𝐵: (11\n10 , -23\n10).\n1 pkt - wyznaczenie równania prostej 𝐴𝐵, np. 2𝑥+ 14𝑦= -30\nALBO\n- zapisanie równości 𝑥𝑀= 1\n3 𝑥𝐴+ 2\n3 𝑥𝐵 oraz 𝑦𝑀= 1\n3 𝑦𝐴+ 2\n3 𝑦𝐵 ,\nALBO\n- zapisanie współrzędnych punktu 𝐵: 𝐵= (-1, -2) i sprawdzenie rachunkiem, że\npunkt 𝐵 jest punktem przecięcia okręgów oraz zapisanie/obliczenie współczynnika\nkierunkowego prostej przechodzącej przez środki okręgów: 7.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający błędnie identyfikuje punkt 𝐴 jako (-1, -2), to może otrzymać co najwyżej\n4 punkty za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe i otrzyma punkty 𝐴 oraz 𝐵, których pierwsze\nwspółrzędne są liczbami dodatnimi, i konsekwentnie do popełnionych błędów rozwiązuje\nzadanie do końca, rozważając dwa przypadki, to może otrzymać co najwyżej 4 punkty za\ncałe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe i otrzyma punkty 𝐴 oraz 𝐵, których pierwsze\nwspółrzędne są liczbami ujemnymi, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe\nrozwiązanie (trzeci punkt otrzymuje za zapisanie równości 𝑥𝑀= 1\n3 𝑥𝐴+ 2\n3 𝑥𝐵 oraz\n𝑦𝑀= 1\n3 𝑦𝐴+ 2\n3 𝑦𝐵).\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nObliczamy współrzędne punktów 𝐴 oraz 𝐵, w których przecinają się okręgi 𝒪1 oraz 𝒪2:\n{ (𝑥-1)2 + (𝑦+ 3)2 = 5\n(𝑥-2)2 + (𝑦-4)2 = 45\n{ (𝑥-1)2 + (𝑦+ 3)2 -(𝑥-2)2 -(𝑦-4)2 = 5 -45\n(𝑥-2)2 + (𝑦-4)2 = 45\n{ 𝑥2 -2𝑥+ 1 + 𝑦2 + 6𝑦+ 9 -𝑥2 + 4𝑥-4 -𝑦2 + 8𝑦-16 = -40\n(𝑥-2)2 + (𝑦-4)2 = 45\n{ 2𝑥+ 14𝑦= -30 /: 2\n(𝑥-2)2 + (𝑦-4)2 = 45\n{ 𝑥+ 7𝑦= -15\n(𝑥-2)2 + (𝑦-4)2 = 45\n{ 𝑥= -7𝑦-15\n(𝑥-2)2 + (𝑦-4)2 = 45\n{ 𝑥= -7𝑦-15\n(-7𝑦-15 -2)2 + (𝑦-4)2 = 45\n{ 𝑥= -7𝑦-15\n50𝑦2 + 230𝑦+ 260 = 0\nStąd\n𝑦= -13\n5 lub 𝑦= -2\nGdy 𝑦= -13\n5 to wtedy 𝑥= -7 ⋅(-13\n5 ) -15 = 16\n5 .\nGdy 𝑦= -2 to wtedy 𝑥= -7 ⋅(-2) -15 = -1.\nPonieważ pierwsza współrzędna punktu 𝐴 jest dodatnia, więc 𝐴= (16\n5 , -13\n5 )\noraz 𝐵= (-1, -2).\nOznaczmy przez 𝑥𝑀 i 𝑦𝑀 odpowiednie współrzędne punktu 𝑀, tj. 𝑀= (𝑥𝑀, 𝑦𝑀). Wtedy\n𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = -2 ⋅𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗\n[𝑥𝑀-16\n5 , 𝑦𝑀-(-13\n5 )] = -2 ⋅[𝑥𝑀-(-1), 𝑦𝑀-(-2)]\n[𝑥𝑀-16\n5 , 𝑦𝑀+ 13\n5 ] = [-2𝑥𝑀-2, -2𝑦𝑀-4]\n𝑥𝑀-16\n5 = -2𝑥𝑀-2 ∧ 𝑦𝑀+ 13\n5 = -2𝑦𝑀-4\n𝑥𝑀= 2\n5 ∧ 𝑦𝑀= -11\n5\nZatem 𝑀= (2\n5 , -11\n5 ).","solution":"Odpowiedź: $A = \\left(\\dfrac{16}{5},\\ -\\dfrac{13}{5}\\right)$, $B = (-1, -2)$, $M = \\left(\\dfrac{2}{5},\\ -\\dfrac{11}{5}\\right)$.\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nStrategia\n\nPunkty przecięcia okręgów spełniają oba równania jednocześnie. Najszybsza droga:\n\n1. Odejmij oba równania okręgów → otrzymasz równanie prostej zawierającej cięciwę $AB$ (oś radykalna).\n2. Z tej prostej wyznacz jedną zmienną przez drugą, podstaw do jednego z okręgów — równanie kwadratowe na drugą zmienną.\n3. Z punktów wybierz ten z dodatnią pierwszą współrzędną jako $A$.\n4. Z warunku wektorowego wyznacz $M$.\n\nKrok 1 — znajdź $A$ i $B$\n\nRozwiń oba równania.\n\n$\\mathcal{O}_1$: $(x-1)^2 + (y+3)^2 = 5$\n$x^2 - 2x + 1 + y^2 + 6y + 9 = 5$\n$x^2 + y^2 - 2x + 6y + 5 = 0 \\quad$ (I)\n\n$\\mathcal{O}_2$: $(x-2)^2 + (y-4)^2 = 45$\n$x^2 - 4x + 4 + y^2 - 8y + 16 = 45$\n$x^2 + y^2 - 4x - 8y - 25 = 0 \\quad$ (II)\n\nOdejmij (II) od (I) — wyrazy $x^2$ i $y^2$ znikają:\n\n$$(-2x + 6y + 5) - (-4x - 8y - 25) = 0$$\n\n$$2x + 14y + 30 = 0$$\n\n$$x + 7y + 15 = 0 \\quad\\Rightarrow\\quad x = -7y - 15$$\n\n(to prosta zawierająca oba punkty przecięcia $A$ i $B$).\n\nPodstaw do równania (I).\n\n$$x^2 + y^2 - 2x + 6y + 5 = 0$$\n\nZ $x = -7y - 15$: $x^2 = (7y + 15)^2 = 49y^2 + 210y + 225$ oraz $-2x = 14y + 30$.\n\n$$49y^2 + 210y + 225 + y^2 + 14y + 30 + 6y + 5 = 0$$\n\n$$50y^2 + 230y + 260 = 0$$\n\nPodziel przez $10$:\n\n$$5 y^2 + 23 y + 26 = 0$$\n\nRozwiąż równanie kwadratowe.\n\n$$\\Delta = 23^2 - 4 \\cdot 5 \\cdot 26 = 529 - 520 = 9, \\quad \\sqrt{\\Delta} = 3$$\n\n$$y_1 = \\frac{-23 - 3}{10} = -\\frac{26}{10} = -\\frac{13}{5}$$\n\n$$y_2 = \\frac{-23 + 3}{10} = -\\frac{20}{10} = -2$$\n\nWyznacz odpowiadające $x$.\n\nDla $y_1 = -\\tfrac{13}{5}$: $x_1 = -7 \\cdot (-\\tfrac{13}{5}) - 15 = \\tfrac{91}{5} - \\tfrac{75}{5} = \\tfrac{16}{5}$.\n\nDla $y_2 = -2$: $x_2 = -7 \\cdot (-2) - 15 = 14 - 15 = -1$.\n\nMamy dwa punkty: $\\left(\\tfrac{16}{5},\\, -\\tfrac{13}{5}\\right)$ oraz $(-1, -2)$.\n\nWybierz $A$ z dodatnią pierwszą współrzędną.\n\n$\\tfrac{16}{5} = 3{,}2 > 0$ ✓ — to $A$.\n\n$-1 < 0$ — to $B$.\n\n$$A = \\left(\\frac{16}{5},\\ -\\frac{13}{5}\\right), \\qquad B = (-1, -2)$$\n\nKrok 2 — wyznacz $M$ z warunku wektorowego\n\nWarunek: $\\overrightarrow{AM} = -2 \\cdot \\overrightarrow{BM}$.\n\nZapisz wektory.\n\n$\\overrightarrow{AM} = M - A$ — wektor od $A$ do $M$.\n$\\overrightarrow{BM} = M - B$ — wektor od $B$ do $M$.\n\nWarunek: $M - A = -2 (M - B)$.\n\nRozwiąż na $M$.\n\n$$M - A = -2M + 2B$$\n\n$$M + 2M = A + 2B$$\n\n$$3M = A + 2B \\quad\\Rightarrow\\quad M = \\frac{A + 2B}{3}$$\n\nOblicz $A + 2B$:\n\n$$A + 2B = \\left(\\tfrac{16}{5},\\, -\\tfrac{13}{5}\\right) + 2 \\cdot (-1, -2) = \\left(\\tfrac{16}{5} - 2,\\, -\\tfrac{13}{5} - 4\\right)$$\n\n$$= \\left(\\tfrac{16}{5} - \\tfrac{10}{5},\\, -\\tfrac{13}{5} - \\tfrac{20}{5}\\right) = \\left(\\tfrac{6}{5},\\, -\\tfrac{33}{5}\\right)$$\n\nPodziel przez 3:\n\n$$M = \\frac{1}{3} \\cdot \\left(\\tfrac{6}{5},\\, -\\tfrac{33}{5}\\right) = \\left(\\tfrac{6}{15},\\, -\\tfrac{33}{15}\\right) = \\left(\\tfrac{2}{5},\\, -\\tfrac{11}{5}\\right)$$\n\nSprawdzenie warunku wektorowego\n\n$\\overrightarrow{AM} = M - A = \\left(\\tfrac{2}{5} - \\tfrac{16}{5},\\, -\\tfrac{11}{5} + \\tfrac{13}{5}\\right) = \\left(-\\tfrac{14}{5},\\, \\tfrac{2}{5}\\right)$\n\n$\\overrightarrow{BM} = M - B = \\left(\\tfrac{2}{5} + 1,\\, -\\tfrac{11}{5} + 2\\right) = \\left(\\tfrac{7}{5},\\, -\\tfrac{1}{5}\\right)$\n\n$-2 \\cdot \\overrightarrow{BM} = -2 \\cdot \\left(\\tfrac{7}{5},\\, -\\tfrac{1}{5}\\right) = \\left(-\\tfrac{14}{5},\\, \\tfrac{2}{5}\\right) = \\overrightarrow{AM}$ ✓\n\nPunktacja CKE\n\n- 1 pkt — odjęcie równań i zapisanie równania prostej zawierającej $AB$: $x + 7y + 15 = 0$.\n- 2 pkt — zapisanie równania kwadratowego z jedną niewiadomą (np. $5y^2 + 23y + 26 = 0$).\n- 3 pkt — obliczenie współrzędnych $A$ ALBO $B$.\n- 4 pkt — obliczenie obu punktów $A$ i $B$ z prawidłowym rozróżnieniem (dodatnia pierwsza dla $A$).\n- 5 pkt — pełne rozwiązanie + obliczenie $M$.\n\nKlucz uniwersalny\n\nSchemat dla „punkty przecięcia dwóch okręgów\":\n\n1. Rozwiń oba równania do postaci ogólnej $x^2 + y^2 + \\ldots = 0$.\n2. Odejmij stronami — wyrazy kwadratowe się skrócą, zostanie liniowe równanie (oś radykalna).\n3. Wyznacz jedną zmienną przez drugą z tej prostej.\n4. Podstaw do jednego z okręgów → równanie kwadratowe.\n5. Wyznacz oba punkty przecięcia.\n\nSchemat dla „wektor $\\overrightarrow{PQ} = k \\cdot \\overrightarrow{RS}$\":\n\n1. Zapisz wektory jako różnice współrzędnych ($Q - P$, $S - R$).\n2. Otrzymaj równanie wektorowe $Q - P = k(S - R)$.\n3. Rozwiąż na nieznany punkt — wynik to kombinacja liniowa znanych punktów.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to pomylenie wektora $\\overrightarrow{AM}$ z $\\overrightarrow{MA}$ (zwrot przeciwny). $\\overrightarrow{AM} = M - A$, NIE $A - M$. Drugi błąd: nie sprawdzić \"która pierwsza współrzędna dodatnia\" — jest A albo B w zależności od interpretacji.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/sol-8.svg","topics":"geometria analityczna, okręgi, wektor, analityczna","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona","number":"9","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (0-5)\nRozwiąż równanie\n𝟑𝐜𝐨𝐬𝟐𝒙+ √𝟑𝐬𝐢𝐧(𝟐𝒙) -𝟑𝐬𝐢𝐧𝟐𝒙= 𝟎\nw przedziale [-𝝅, 𝝅]. Zapisz obliczenia.\n9.\n0-1-\n2-3-\n4-5\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nRozwiąż równanie 3cos²x + √3sin(2x) - 3sin²x = 0 w przedziale <-π,π>. Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9. (0-5)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nVII.R6) rozwiązuje równania\ntrygonometryczne.\nZasady oceniania (dla sposobów I-III)\n5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: (-2𝜋\n3 ), (-𝜋\n6), 𝜋\n3 , 5𝜋\n6 .\n4 pkt - zapisanie założenia cos 𝑥≠0 oraz rozwiązanie alternatywy równań tg 𝑥= √3 lub\ntg 𝑥= -\n√3\n3 w przedziale [-𝜋 , 𝜋]: (-2𝜋\n3 ), (-𝜋\n6), 𝜋\n3 , 5𝜋\n6 (dla sposobów I oraz III)\nALBO\n- rozwiązanie jednego z równań alternatywy tg 𝑥= √3 lub tg 𝑥= -\n√3\n3 , gdzie\n𝑥≠𝜋\n2 + 𝜋𝑘 i 𝑘∈ℤ, w przedziale [-𝜋 , 𝜋], np.\n(-2𝜋\n3 ) i 𝜋\n3 (rozwiązania równania tg 𝑥= √3 w przedziale [-𝜋, 𝜋]),\n(-𝜋\n6) oraz 5𝜋\n6 (rozwiązania równania tg 𝑥= -\n√3\n3 w przedziale [-𝜋, 𝜋]),\noraz uzasadnienie, że liczby postaci 𝜋\n2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ, nie spełniają równania\n3cos2𝑥+ 2√3 sin 𝑥cos 𝑥-3sin2𝑥= 0 (dla sposobów I oraz III),\nALBO\n- rozwiązanie alternatywy równań tg 𝑥= √3 lub tg 𝑥= -\n√3\n3 w zbiorze ℝ:\n𝑥= 𝜋\n3 + 𝜋𝑘 oraz 𝑥= -𝜋\n6 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ, oraz uzasadnienie, że liczby postaci\n𝜋\n2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ, nie spełniają równania\n3cos2𝑥+ 2√3 sin 𝑥cos 𝑥-3sin2𝑥= 0 (dla sposobów I oraz III),\nALBO\n- zapisanie założenia cos(2𝑥) ≠0 oraz rozwiązanie równania tg(2𝑥) = -√3\nw przedziale [-𝜋, 𝜋]: (-2𝜋\n3 ), (-𝜋\n6), 𝜋\n3 , 5𝜋\n6 (dla sposobu II),\nALBO\n- rozwiązanie równania tg(2𝑥) = -√3 w zbiorze ℝ: 𝑥= -𝜋\n6 + 𝜋𝑘\n2 , gdzie 𝑘∈ℤ,\noraz uzasadnienie, że liczby postaci 𝜋\n4 + 𝜋𝑘\n2 , gdzie 𝑘∈ℤ, nie spełniają równania\n3 cos(2𝑥) + √3 sin(2𝑥) = 0 (dla sposobu II).\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n3 pkt - zapisanie założenia cos 𝑥≠0 oraz rozwiązanie alternatywy równań tg 𝑥= √3 lub\ntg 𝑥= -\n√3\n3 w zbiorze ℝ:\n𝑥= 𝜋\n3 + 𝜋𝑘 oraz 𝑥= -𝜋\n6 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ (dla sposobów I oraz III)\nALBO\n- przekształcenie równania do postaci alternatywy równań tg 𝑥= √3 lub tg 𝑥= -\n√3\n3\noraz rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy w przedziale [-𝜋, 𝜋], np.\n(-2𝜋\n3 ) i 𝜋\n3 (rozwiązania równania tg 𝑥= √3 w przedziale [-𝜋, 𝜋]),\n(-𝜋\n6) i 5𝜋\n6 (rozwiązania równania tg 𝑥= -\n√3\n3 w przedziale [-𝜋, 𝜋]),\n(dla sposobów I oraz III),\nALBO\n- przekształcenie równania do postaci alternatywy równań tg 𝑥= √3 lub tg 𝑥= -\n√3\n3\noraz uzasadnienie, że liczby postaci 𝜋\n2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ, nie spełniają równania\n3cos2𝑥+ 2√3 sin 𝑥cos 𝑥-3sin2𝑥= 0 (dla sposobów I oraz III)\nALBO\n- zapisanie założenia cos(2𝑥) ≠0 oraz rozwiązanie równania tg(2𝑥) = -√3\nw zbiorze ℝ: 𝑥= -𝜋\n6 + 𝜋𝑘\n2 , gdzie 𝑘∈ℤ (dla sposobu II),\nALBO\n- przekształcenie równania do postaci tg(2𝑥) = -√3 oraz uzasadnienie, że liczby\npostaci 𝜋\n4 + 𝜋𝑘\n2 , gdzie 𝑘∈ℤ, nie spełniają równania 3 cos(2𝑥) + √3 sin(2𝑥) = 0\n(dla sposobu II).\n2 pkt - przekształcenie równania do alternatywy równań tg 𝑥= √3 lub tg 𝑥= -\n√3\n3 (dla\nsposobów I oraz III)\nALBO\n- przekształcenie równania do postaci -3 tg2 𝑥+ 2√3 tg 𝑥+ 3 = 0 oraz\nuzasadnienie, że liczby postaci 𝜋\n2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ, nie spełniają równania\n3cos2𝑥+ 2√3 sin 𝑥cos 𝑥-3sin2𝑥= 0 (dla sposobu I),\nALBO\n- przekształcenie równania do postaci tg(2𝑥) = -√3 (dla sposobu II).\n1 pkt - przekształcenie równania do postaci -3 tg2 𝑥+ 2√3 tg 𝑥+ 3 = 0 (dla sposobu I)\nALBO\n- zastosowanie wzoru na cosinus podwojonego kąta i zapisanie równania\n3 cos(2𝑥) + √3 sin(2𝑥) = 0 (dla sposobu II),\nALBO\n- zastosowanie wzoru na sinus podwojonego kąta oraz wzorów skróconego mnożenia\ni przekształcenie równania do postaci\n(√3 cos 𝑥+ sin 𝑥-2 sin 𝑥)(√3 cos 𝑥+ sin 𝑥+ 2 sin 𝑥) = 0 (dla sposobu III),\nALBO\n- uzasadnienie, że liczby postaci 𝜋\n2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ, nie spełniają równania\n3cos2𝑥+ 2√3 sin 𝑥cos 𝑥-3sin2𝑥= 0 (dla sposobów I oraz III).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania (dla sposobów IV-V)\n5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: (-2𝜋\n3 ), (-𝜋\n6), 𝜋\n3 , 5𝜋\n6 .\n4 pkt - rozwiązanie równania sin (𝜋\n3 + 2𝑥) = 0 w zbiorze ℝ: 𝑥= -𝜋\n6 + 𝜋𝑘\n2 , gdzie 𝑘∈ℤ\n(dla sposobu IV),\nALBO\n- rozwiązanie równania cos (𝜋\n6 -2𝑥) = 0 w zbiorze ℝ: 𝑥= -𝜋\n6 -𝜋𝑘\n2 , gdzie 𝑘∈ℤ\n(dla sposobu IV),\nALBO\n- rozwiązanie obydwu równań alternatywy cos (𝜋\n6 + 𝑥) = 0 lub sin (𝜋\n6 + 𝑥) = 0\nw zbiorze ℝ:\n𝑥= 𝜋\n3 + 𝜋𝑘 oraz 𝑥= -𝜋\n6 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ (dla sposobu V),\nALBO\n- przekształcenie równania do postaci alternatywy równań cos (𝜋\n6 + 𝑥) = 0 lub\n√3 cos 𝑥+ 3 sin 𝑥= 0 oraz rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy\nw przedziale [-𝜋, 𝜋], np.\n(-2𝜋\n3 ) i 𝜋\n3 (rozwiązania równania cos (𝜋\n6 + 𝑥) = 0 w przedziale [-𝜋, 𝜋]),\n(-𝜋\n6) oraz 5𝜋\n6 (rozwiązania równania √3 cos 𝑥+ 3 sin 𝑥= 0 w przedziale\n[-𝜋, 𝜋]),\n(dla sposobu V),\nALBO\n- przekształcenie równania do postaci alternatywy równań √3 cos 𝑥-sin 𝑥= 0 lub\nsin (𝜋\n6 + 𝑥) = 0 oraz rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy w przedziale\n[-𝜋, 𝜋], np.\n(-2𝜋\n3 ) i 𝜋\n3 (rozwiązania równania √3 cos 𝑥-sin 𝑥= 0 w przedziale [-𝜋, 𝜋]),\n(-𝜋\n6) oraz 5𝜋\n6 (rozwiązania równania sin (𝜋\n6 + 𝑥) = 0 w przedziale [-𝜋, 𝜋]),\n(dla sposobu V).\n3 pkt - przekształcenie równania do postaci sin (𝜋\n3 + 2𝑥) = 0 (dla sposobu IV)\nALBO\n- przekształcenie równania do postaci cos (𝜋\n6 -2𝑥) = 0 (dla sposobu IV),\nALBO\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n- przekształcenie równania do postaci alternatywy równań cos (𝜋\n6 + 𝑥) = 0 lub\n√3 cos 𝑥+ 3 sin 𝑥= 0 oraz rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy\nw zbiorze ℝ, np.\n𝑥= 𝜋\n3 + 𝜋𝑘 (rozwiązania równania cos (𝜋\n6 + 𝑥) = 0 w zbiorze ℝ),\n𝑥= -𝜋\n6 + 𝜋𝑘 (rozwiązania równania √3 cos 𝑥+ 3 sin 𝑥= 0 w zbiorze ℝ),\ngdzie 𝑘∈ℤ (dla sposobu V),\n- przekształcenie równania do postaci alternatywy równań √3 cos 𝑥-sin 𝑥= 0 lub\nsin (𝜋\n6 + 𝑥) = 0 oraz rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy w zbiorze ℝ,\nnp.\n𝑥= 𝜋\n3 + 𝜋𝑘 (rozwiązania równania √3 cos 𝑥-sin 𝑥= 0 w zbiorze ℝ),\n𝑥= -𝜋\n6 + 𝜋𝑘 (rozwiązania równania sin (𝜋\n6 + 𝑥) = 0 w zbiorze ℝ), gdzie 𝑘∈ℤ\n(dla sposobu V).\n2 pkt - przekształcenie równania do postaci\n√3\n2 cos(2𝑥) + 1\n2 sin(2𝑥) = 0 (dla sposobu IV)\nALBO\n- przekształcenie równania do postaci alternatywy równań\ncos (𝜋\n6 + 𝑥) = 0 lub √3 cos 𝑥+ 3 sin 𝑥= 0 (dla sposobu V),\nALBO\n- przekształcenie równania do postaci alternatywy równań\n√3 cos 𝑥-sin 𝑥= 0 lub sin (𝜋\n6 + 𝑥) = 0 (dla sposobu V).\n1 pkt - zastosowanie wzoru na cosinus podwojonego kąta i zapisanie równania\n3 cos(2𝑥) + √3 sin(2𝑥) = 0 (dla sposobu IV)\nALBO\n- zastosowanie wzoru na sinus podwojonego kąta oraz wzorów skróconego mnożenia\ni przekształcenie równania do postaci\n(√3 cos 𝑥+ sin 𝑥-2 sin 𝑥)(√3 cos 𝑥+ sin 𝑥+ 2 sin 𝑥) = 0 (dla sposobu V),\nALBO\n- zastosowanie wzoru na sinus podwojonego kąta i obliczenie wyróżnika Δ trójmianu\nkwadratowego 3cos2𝑥+ 2√3 sin 𝑥cos 𝑥-3sin2𝑥 zmiennej np. cos 𝑥:\nΔ = (4√3 sin 𝑥)\n2.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli jedynym błędem zdającego jest:\na) niepoprawne zastosowanie wzoru na sumę/różnicę cosinusów/sinusów,\nb) niepoprawne zastosowanie wzoru na iloczyn cosinusów/sinusów,\nc) błędne zastosowanie nieparzystości/parzystości funkcji trygonometrycznej,\nale zdający otrzyma elementarne równania trygonometryczne postaci sin(𝑎𝑥+ 𝑏) = 𝑐,\ncos(𝑎𝑥+ 𝑏) = 𝑐, gdzie 𝑎≠0, 𝑎2 ≠1, 𝑏≠0, 𝑐∈[-1, 1], i rozwiązanie doprowadzi\nkonsekwentnie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie,\no ile nie nabył prawa do innej punktacji zgodnej z zasadami oceniania.\n2. Jeżeli zdający błędnie stosuje metodę analizy starożytnych, np. podnosi obie strony\nrównania 3 cos(2𝑥) = -√3 sin(2𝑥) do kwadratu i nie sprawdza rachunkiem, czy\nwszystkie otrzymane liczby są rozwiązaniami, to za całe rozwiązanie może otrzymać co\nnajwyżej 3 punkty; natomiast jeżeli odrzuci co najmniej jedno rozwiązanie „obce” (ale nie\nodrzuci wszystkich rozwiązań „obcych”), to może otrzymać co najwyżej 4 punkty za całe\nrozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający dzieli obie strony równania przez wyrażenie 𝑎(𝑥) zawierające niewiadomą\n𝑥 i nie zapisze założenia 𝑎(𝑥) ≠0, ani też nie rozważa przypadku 𝑎(𝑥) = 0, to może\notrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I (poprzez sinus podwojonego kąta i tangens)\nStosujemy wzory na sinus podwojonego kąta i przekształcamy równanie\n3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 do postaci\n3cos2𝑥+ 2√3 sin 𝑥cos 𝑥-3sin2𝑥= 0\nNależy rozważyć dwa przypadki.\nPrzypadek 1. (gdy 𝑥≠𝜋\n2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ).\nDzielimy obie strony równania 3cos2𝑥+ 2√3 sin 𝑥cos 𝑥-3sin2𝑥= 0 przez cos2 𝑥\ni otrzymujemy\n3 + 2√3 sin 𝑥\ncos 𝑥\n-3sin2𝑥\ncos2 𝑥= 0\n3 + 2√3 tg 𝑥-3 tg2 𝑥= 0\n-3 tg2 𝑥+ 2√3 tg 𝑥+ 3 = 0\nΔ = (2√3)\n2 -4 ⋅(-3) ⋅3 = 48\ntg 𝑥= √3 ∨ tg 𝑥= -√3\n3\nRozwiązaniami równania tg 𝑥= √3 w zbiorze ℝ są wszystkie liczby postaci 𝜋\n3 + 𝜋𝑘,\ngdzie 𝑘∈ℤ. Zatem rozwiązaniami tego równania w przedziale [-𝜋 , 𝜋] są liczby\n(-2𝜋\n3 ) i 𝜋\n3 .\nRozwiązaniami równania tg 𝑥= -\n√3\n3 w zbiorze ℝ są wszystkie liczby postaci -𝜋\n6 + 𝜋𝑘,\ngdzie 𝑘∈ℤ. Zatem rozwiązaniami tego równania w przedziale [-𝜋 , 𝜋] są liczby (-𝜋\n6)\noraz 5𝜋\n6 .\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzypadek 2. (gdy 𝑥= 𝜋\n2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ).\nPonieważ cos (𝜋\n2 + 𝜋𝑘) = 0 dla każdego 𝑘∈ℤ oraz sin2 (𝜋\n2 + 𝜋𝑘) = 1 dla każdego\n𝑘∈ℤ, więc równanie 3cos2𝑥+ 2√3 sin 𝑥cos 𝑥-3sin2𝑥= 0 przyjmuje postać\n3 ⋅02 + 2√3 ⋅sin (𝜋\n2 + 𝜋𝑘) ⋅0 -3 ⋅1 = 0\nczyli -3 = 0. To oznacza, że wśród liczb postaci 𝜋\n2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ, nie ma rozwiązań\nrównania 3cos2𝑥+ 2√3 sin 𝑥cos 𝑥-3sin2𝑥= 0.\nOstatecznie rozwiązaniami równania 3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 w przedziale\n[-𝜋 , 𝜋] są liczby: (-2𝜋\n3 ), (-𝜋\n6), 𝜋\n3 oraz 5𝜋\n6 .\nSposób II (poprzez cosinus podwojonego kąta i tangens)\nStosujemy wzory na cosinus podwojonego kąta i przekształcamy równanie\n3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 do postaci\n3 cos(2𝑥) + √3 sin(2𝑥) = 0\nNależy rozważyć dwa przypadki.\nPrzypadek 1. (gdy 2𝑥≠𝜋\n2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ).\nDzielimy obie strony równania 3 cos(2𝑥) + √3 sin(2𝑥) = 0 przez cos(2𝑥) i otrzymujemy\n3 + √3 ⋅sin(2𝑥)\ncos(2𝑥) = 0\ntg(2𝑥) = -√3\n2𝑥= -𝜋\n3 + 𝜋𝑘\n𝑥= -𝜋\n6 + 𝜋𝑘\n2\ngdzie 𝑘∈ℤ. Stąd otrzymujemy cztery rozwiązania w przedziale [-𝜋 , 𝜋]: (-2𝜋\n3 ), (-𝜋\n6), 𝜋\n3\noraz 5𝜋\n6 .\nPrzypadek 2. (gdy 2𝑥= 𝜋\n2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ).\nPonieważ cos (𝜋\n2 + 𝜋𝑘) = 0 dla każdego 𝑘∈ℤ, więc równanie\n3 cos(2𝑥) + √3 sin(2𝑥) = 0 przyjmuje postać\n3 ⋅0 + √3 ⋅sin (𝜋\n2 + 𝜋𝑘) = 0\ni stąd sin (𝜋\n2 + 𝜋𝑘) = 0, gdzie 𝑘∈ℤ. Korzystając z jedynki trygonometrycznej,\notrzymujemy\nsin2 (𝜋\n2 + 𝜋𝑘) + cos2 (𝜋\n2 + 𝜋𝑘) = 1\n02 + 02 = 1\nczyli 0 = 1. To oznacza, że wśród liczb postaci 𝜋\n4 + 𝜋𝑘\n2 , gdzie 𝑘∈ℤ, nie ma rozwiązań\nrównania 3 cos(2𝑥) + √3 sin(2𝑥) = 0.\nOstatecznie rozwiązaniami równania 3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 w przedziale\n[-𝜋 , 𝜋] są liczby: (-2𝜋\n3 ), (-𝜋\n6), 𝜋\n3 oraz 5𝜋\n6 .\nSposób III\nPrzekształcamy równanie 3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 równoważnie, stosując wzór\nna sinus podwojonego kąta i wzory skróconego mnożenia:\n3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0\n3 cos2 𝑥+ 2√3 sin 𝑥cos 𝑥-3sin2 𝑥= 0\n(√3 cos 𝑥+ sin 𝑥)\n2 -4 sin2 𝑥= 0\n(√3 cos 𝑥+ sin 𝑥-2 sin 𝑥)(√3 cos 𝑥+ sin 𝑥+ 2 sin 𝑥) = 0\n√3 cos 𝑥-sin 𝑥= 0 ∨ √3 cos 𝑥+ 3 sin 𝑥= 0\nsin 𝑥= √3 cos 𝑥 ∨ sin 𝑥= -√3\n3 cos 𝑥\nPrzypadek 1. (gdy 𝑥≠𝜋\n2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ).\nDzielimy strony równań alternatywy przez cos 𝑥 i otrzymujemy\ntg 𝑥= √3 ∨ tg 𝑥= -√3\n3\nRozwiązaniami równania tg 𝑥= √3 w zbiorze ℝ są wszystkie liczby postaci 𝜋\n3 + 𝜋𝑘,\ngdzie 𝑘∈ℤ. Zatem rozwiązaniami tego równania w przedziale [-𝜋 , 𝜋] są liczby\n(-2𝜋\n3 ) i 𝜋\n3 .\nRozwiązaniami równania tg 𝑥= -\n√3\n3 w zbiorze ℝ są wszystkie liczby postaci -𝜋\n6 + 𝜋𝑘,\ngdzie 𝑘∈ℤ. Zatem rozwiązaniami alternatywy równań tg 𝑥= √3 lub tg 𝑥= -\n√3\n3\nw przedziale [-𝜋 , 𝜋] są liczby (-𝜋\n6) oraz 5𝜋\n6 .\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzypadek 2. (gdy 𝑥= 𝜋\n2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ).\nPonieważ cos (𝜋\n2 + 𝜋𝑘) = 0, więc równania alternatywy sin 𝑥= √3 cos 𝑥 lub\nsin 𝑥= -\n√3\n3 cos 𝑥 przyjmują postać\nsin (𝜋\n2 + 𝜋𝑘) = √3 ⋅0 oraz sin (𝜋\n2 + 𝜋𝑘) = -√3\n3 ⋅0\ni stąd sin (𝜋\n2 + 𝜋𝑘) = 0, gdzie 𝑘∈ℤ. Korzystając z jedynki trygonometrycznej,\notrzymujemy\nsin2 (𝜋\n2 + 𝜋𝑘) + cos2 (𝜋\n2 + 𝜋𝑘) = 1\n02 + 02 = 1\nczyli 0 = 1. To oznacza, że wśród liczb postaci 𝜋\n2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ, nie ma rozwiązań\nrównania sin 𝑥= √3 cos 𝑥 i nie ma rozwiązań równania sin 𝑥= -\n√3\n3 cos 𝑥.\nOstatecznie rozwiązaniami równania 3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 w przedziale\n[-𝜋 , 𝜋] są liczby: (-2𝜋\n3 ), (-𝜋\n6), 𝜋\n3 oraz 5𝜋\n6 .\nSposób IV (poprzez cosinus podwojonego kąta i sinus sumy)\nPrzekształcamy równanie 3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 równoważnie, stosując wzór\nna cosinus podwojonego kąta i sinus sumy kątów:\n3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0\n3 cos(2𝑥) + √3 sin(2𝑥) = 0 /: 2√3\n√3\n2 cos(2𝑥) + 1\n2 sin(2𝑥) = 0\nsin (𝜋\n3 + 2𝑥) = 0\n2𝑥+ 𝜋\n3 = 𝜋𝑘\n𝑥= -𝜋\n6 + 𝜋𝑘\n2\ngdzie 𝑘∈ℤ.\nRozwiązaniami równania 3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 w przedziale [-𝜋 , 𝜋] są\nliczby: (-2𝜋\n3 ), (-𝜋\n6), 𝜋\n3 oraz 5𝜋\n6 .\nSposób V\nPrzekształcamy równanie 3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 równoważnie, stosując wzór\nna sinus podwojonego kąta i wzory skróconego mnożenia:\n3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0\n3 cos2 𝑥+ 2√3 sin 𝑥cos 𝑥-3sin2 𝑥= 0\n(√3 cos 𝑥+ sin 𝑥)\n2 -4 sin2 𝑥= 0\n(√3 cos 𝑥+ sin 𝑥-2 sin 𝑥)(√3 cos 𝑥+ sin 𝑥+ 2 sin 𝑥) = 0\n√3 cos 𝑥-sin 𝑥= 0 ∨ √3 cos 𝑥+ 3 sin 𝑥= 0\nRozwiązujemy równanie √3 cos 𝑥-sin 𝑥= 0 w zbiorze ℝ:\n√3 cos 𝑥-sin 𝑥= 0 /: 2\n√3\n2 cos 𝑥-1\n2 sin 𝑥= 0\ncos (𝜋\n6 + 𝑥) = 0\n𝑥+ 𝜋\n6 = 𝜋\n2 + 𝜋𝑘\n𝑥= 𝜋\n3 + 𝜋𝑘\ngdzie 𝑘∈ℤ.\nStąd rozwiązaniami równania √3 cos 𝑥-sin 𝑥= 0 w przedziale [-𝜋 , 𝜋] są liczby:\n(-2𝜋\n3 ) oraz 𝜋\n3 .\nRozwiązujemy równanie √3 cos 𝑥+ 3 sin 𝑥= 0 w zbiorze ℝ:\n√3 cos 𝑥+ 3 sin 𝑥= 0 /: 2√3\n1\n2 cos 𝑥+ √3\n2 sin 𝑥= 0\nsin (𝜋\n6 + 𝑥) = 0\n𝑥+ 𝜋\n6 = 𝜋𝑘\n𝑥= -𝜋\n6 + 𝜋𝑘\ngdzie 𝑘∈ℤ.\nStąd rozwiązaniami równania √3 cos 𝑥+ 3 sin 𝑥= 0 w przedziale [-𝜋 , 𝜋] są liczby:\n(-𝜋\n6) oraz 5𝜋\n6 .\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nOstatecznie rozwiązaniami równania 3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 w przedziale\n[-𝜋 , 𝜋] są liczby: (-2𝜋\n3 ), (-𝜋\n6), 𝜋\n3 oraz 5𝜋\n6 .","solution":"Odpowiedź: $x \\in \\left\\{ -\\dfrac{2\\pi}{3},\\ -\\dfrac{\\pi}{6},\\ \\dfrac{\\pi}{3},\\ \\dfrac{5\\pi}{6} \\right\\}$\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nStrategia\n\nCel: doprowadzić równanie do jednego argumentu (tu: $2x$). Wzory pomocnicze:\n\n- $\\cos^2 x - \\sin^2 x = \\cos(2x)$ (cosinus podwojonego kąta)\n- $\\sin(2x) = 2 \\sin x \\cos x$ (sinus podwojonego)\n\nZgrupuj wyrazy z $\\sin^2$ i $\\cos^2$.\n\n$$3 \\cos^2 x - 3 \\sin^2 x + \\sqrt{3} \\sin(2x) = 0$$\n\n$$3 (\\cos^2 x - \\sin^2 x) + \\sqrt{3} \\sin(2x) = 0$$\n\nZastosuj wzór $\\cos^2 x - \\sin^2 x = \\cos(2x)$.\n\n$$3 \\cos(2x) + \\sqrt{3} \\sin(2x) = 0$$\n\nTeraz wszystko jest w argumencie $2x$ — dużo łatwiej.\n\nPodziel obie strony przez $\\cos(2x)$ (z założeniem $\\cos(2x) \\neq 0$):\n\n$$3 + \\sqrt{3} \\tan(2x) = 0$$\n\n$$\\tan(2x) = -\\frac{3}{\\sqrt{3}} = -\\sqrt{3}$$\n\nSprawdź założenie $\\cos(2x) \\neq 0$. Gdyby $\\cos(2x) = 0$, to z oryginalnego równania $\\sqrt{3} \\sin(2x) = 0$, czyli $\\sin(2x) = 0$. Ale $\\cos^2(2x) + \\sin^2(2x) = 1$ — nie mogą być oba zerowe jednocześnie. Sprzeczność, więc $\\cos(2x) \\neq 0$ ✓ (dzielenie dozwolone).\n\nRozwiąż $\\tan(2x) = -\\sqrt{3}$. Wartość $\\tan \\theta = -\\sqrt{3}$ ma rozwiązania $\\theta = -\\dfrac{\\pi}{3} + k\\pi$, $k \\in \\mathbb{Z}$.\n\n$$2x = -\\frac{\\pi}{3} + k\\pi \\quad\\Rightarrow\\quad x = -\\frac{\\pi}{6} + \\frac{k \\pi}{2}$$\n\nWybierz $x$ z przedziału $[-\\pi, \\pi]$. Sprawdzam kolejne $k$:\n\n- $k = -1$: $x = -\\tfrac{\\pi}{6} - \\tfrac{\\pi}{2} = -\\tfrac{4\\pi}{6} = -\\tfrac{2\\pi}{3}$ ✓\n- $k = 0$: $x = -\\tfrac{\\pi}{6}$ ✓\n- $k = 1$: $x = -\\tfrac{\\pi}{6} + \\tfrac{\\pi}{2} = \\tfrac{2\\pi}{6} = \\tfrac{\\pi}{3}$ ✓\n- $k = 2$: $x = -\\tfrac{\\pi}{6} + \\pi = \\tfrac{5\\pi}{6}$ ✓\n- $k = -2$: $x = -\\tfrac{\\pi}{6} - \\pi = -\\tfrac{7\\pi}{6} < -\\pi$ — poza przedziałem ✗\n- $k = 3$: $x = -\\tfrac{\\pi}{6} + \\tfrac{3\\pi}{2} = \\tfrac{8\\pi}{6} = \\tfrac{4\\pi}{3} > \\pi$ — poza ✗\n\nCztery rozwiązania.\n\nSprawdzenie liczbowe\n\nDla $x = \\tfrac{\\pi}{3}$: $2x = \\tfrac{2\\pi}{3}$, $\\cos(2x) = -\\tfrac{1}{2}$, $\\sin(2x) = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2}$.\n\n$$3 \\cos(2x) + \\sqrt{3} \\sin(2x) = 3 \\cdot (-\\tfrac{1}{2}) + \\sqrt{3} \\cdot \\tfrac{\\sqrt{3}}{2} = -\\tfrac{3}{2} + \\tfrac{3}{2} = 0 \\quad✓$$\n\nDla $x = -\\tfrac{\\pi}{6}$: $2x = -\\tfrac{\\pi}{3}$, $\\cos(2x) = \\tfrac{1}{2}$, $\\sin(2x) = -\\tfrac{\\sqrt{3}}{2}$.\n\n$$3 \\cdot \\tfrac{1}{2} + \\sqrt{3} \\cdot (-\\tfrac{\\sqrt{3}}{2}) = \\tfrac{3}{2} - \\tfrac{3}{2} = 0 \\quad✓$$\n\nPunktacja CKE\n\n- 1 pkt — przekształcenie do postaci $3\\cos(2x) + \\sqrt{3} \\sin(2x) = 0$.\n- 2 pkt — sprowadzenie do równania trygonometrycznego elementarnego (np. $\\tan(2x) = -\\sqrt{3}$).\n- 3 pkt — zapisanie ogólnego wzoru rozwiązań w $\\mathbb{R}$ ($x = -\\tfrac{\\pi}{6} + \\tfrac{k\\pi}{2}$).\n- 4 pkt — wybranie co najmniej trzech rozwiązań z $[-\\pi, \\pi]$.\n- 5 pkt — wszystkie cztery rozwiązania.\n\nKlucz uniwersalny\n\nSchemat dla „równanie trygonometryczne z $\\sin^2$, $\\cos^2$, $\\sin(2x)$, $\\cos(2x)$\":\n\n1. Rozpoznaj wzory podwojonego kąta: $\\cos^2 x - \\sin^2 x = \\cos(2x)$, $2\\sin x \\cos x = \\sin(2x)$.\n2. Sprowadź wszystkie wyrazy do argumentu $2x$.\n3. Otrzymujesz równanie liniowe w $\\sin(2x), \\cos(2x)$ — podziel przez jedno z nich (z założeniem) lub użyj wzoru z $R$.\n4. Otrzymujesz $\\tan(2x) = c$ — rozwiąż na $2x$, potem na $x$.\n5. Wybierz rozwiązania z przedziału.\n\nTypowy błąd: Najszybsza droga to dostrzeżenie, że $3\\cos^2 x - 3\\sin^2 x = 3(\\cos^2 x - \\sin^2 x) = 3\\cos(2x)$. Bez tego dostajesz dłuższe rozwiązanie. Druga pułapka: pomylenie znaków przy szukaniu rozwiązań $\\tan(2x) = -\\sqrt{3}$.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/sol-9.svg","topics":"równanie trygonometryczne, wzór na cosinus podwojonego kąta, trygonometria","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona","number":"10","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (0-5)\nPodstawą ostrosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆 jest kwadrat 𝐴𝐵𝐶𝐷. Krawędź boczna 𝑆𝐴 jest wysokością\nostrosłupa, natomiast krawędź podstawy ma długość 3√34. Cosinus kąta 𝛽 między\nścianami bocznymi 𝐶𝐷𝑆 i 𝐵𝐶𝑆 tego ostrosłupa jest równy (-9\n25).\nOblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.\n10.\n0-1-\n2-3-\n4-5\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nPodstawą ostrosłupa ABCDS jest kwadrat ABCD. Krawędź boczna SA jest wysokością ostrosłupa, natomiast krawędź podstawy ma długość 3√34. Cosinus kąta β między ścianami bocznymi CDS i BCS tego ostrosłupa jest równy (-9/25). Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 10. (0-5)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nX.3) rozpoznaje w […] ostrosłupach kąty\nmiędzy odcinkami […] oraz kąty między\nścianami, oblicza miary tych kątów;\nX.5) oblicza […] pola powierzchni […]\nostrosłupów […].\nZasady oceniania\n5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 918.\n4 pkt - obliczenie długości krawędzi 𝑆𝐶 i 𝐵𝐸: |𝑆𝐶| = 34 i |𝐵𝐸| = 15\nALBO\n- obliczenie długości krawędzi 𝑆𝐶 i 𝐵𝑆: |𝑆𝐶| = 34 i |𝐵𝑆| = 5√34,\nALBO\n- obliczenie długości krawędzi 𝐵𝑆: |𝐵𝑆| = 5√34 i zapisanie, że trójkąt 𝑆𝐵𝐶 jest\nprostokątny (albo z rozwiązania wynika, że zdający rozpatruje trójkąt 𝑆𝐵𝐶 jako\nprostokątny),\nALBO\n- obliczenie długości krawędzi 𝐴𝑆 i 𝑆𝐵: |𝐴𝑆| = 4√34 i |𝐵𝑆| = 5√34,\nALBO\n- obliczenie długości krawędzi 𝐴𝑆 i 𝑆𝐶: |𝐴𝑆| = 4√34 i |𝑆𝐶| = 34,\nALBO\n- obliczenie długości krawędzi 𝐴𝑆 i 𝐵𝐸: |𝐴𝑆| = 4√34 i |𝐵𝐸| = 15,\nALBO\n- obliczenie długości krawędzi 𝐴𝑆: |𝐴𝑆| = 4√34 i zapisanie, że trójkąt 𝑆𝐵𝐶 jest\nprostokątny (albo z rozwiązania wynika, że zdający rozpatruje trójkąt 𝑆𝐵𝐶 jako\nprostokątny).\n3 pkt - obliczenie długości odcinka 𝐶𝐸: |𝐶𝐸| = 9 oraz zapisanie równania pozwalającego\nobliczyć długość jednego z odcinków: 𝑆𝐶, 𝑆𝐵, 𝑆𝐴, 𝑆𝐸, np.:\n|𝐶𝐸|\n|𝐵𝐶| =\n|𝐵𝐶|\n|𝑆𝐶| (|𝑆𝐶| z podobieństwa trójkątów 𝐵𝐶𝑆 i 𝐸𝐶𝐵),\n|𝐶𝐸|\n|𝑂𝐶| =\n|𝐴𝐶|\n|𝑆𝐶| (|𝑆𝐶| z podobieństwa trójkątów 𝐸𝐶𝑂 i 𝐴𝐶𝑆),\n|𝐶𝐸|\n|𝐵𝐸| =\n|𝐵𝐶|\n|𝑆𝐵| (|𝑆𝐵| z podobieństwa trójkątów 𝐵𝐶𝑆 i 𝐸𝐶𝐵),\n|𝐶𝐸|\n|𝐵𝐶| =\n|𝐵𝐸|\n|𝑆𝐵| (|𝑆𝐵| z podobieństwa trójkątów 𝐸𝑆𝐵 i 𝐸𝐵𝐶),\n|𝐶𝐸|\n|𝑂𝐸| =\n|𝐴𝐶|\n|𝑆𝐴| (|𝑆𝐴| z podobieństwa trójkątów 𝐸𝐶𝑂 i 𝐴𝐶𝑆),\n|𝑆𝐸| ⋅|𝐶𝐸| = |𝐵𝐸|2 (|𝑆𝐸| z podobieństwa trójkątów 𝐸𝑆𝐵 i 𝐸𝐵𝐶),\nALBO\n- zapisanie układu dwóch równań z dwiema niewiadomymi, w którym jedną\nz niewiadomych jest długość krawędzi 𝐵𝑆, a drugą długość krawędzi 𝑆𝐶, np.\n|𝐵𝑆|2 + (3√34)\n2 = |𝑆𝐶|2 i 15\n3√34 =\n|𝐵𝑆|\n|𝑆𝐶| ,\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą (długością krawędzi 𝐵𝑆 albo długością\nkrawędzi 𝑆𝐶, albo długością krawędzi 𝐴𝑆), np. ( 15\n|𝐵𝑆|)\n2\n+ ( 15\n3√34)\n2\n= 1,\n(3√34\n|𝑆𝐶| )\n2\n+ ( 15\n3√34)\n2\n= 1, (\n6√2\n1\n2 ⋅3√34⋅√2)\n2\n+ (12√2\n|𝐴𝑆| )\n2\n= 1.\n2 pkt - obliczenie długości 𝑥 odcinka 𝐵𝐸 (lub 𝐷𝐸): 𝑥= 15\nALBO\n- obliczenie długości 𝑦 odcinka 𝐸𝑂: 𝑦= 6√2,\nALBO\n- spełnienie warunku 2) i jednego z warunków 3),4) określonych w zasadach\noceniania za 1 punkt.\n1 pkt - spełnienie jednego z poniższych warunków 1)-4):\n1) obliczenie wartości funkcji trygonometrycznej kąta 𝛽\n2 = |∡𝐵𝐸𝑂| (gdzie 𝑂 jest\npunktem przecięcia przekątnych podstawy 𝐴𝐵𝐶𝐷), np.: sin 𝛽\n2 =\n√17\n5 ,\ntg 𝛽\n2 =\n√34\n4 , cos 𝛽\n2 = 2√2\n5 ;\n2) zastosowanie twierdzenia cosinusów do trójkąta 𝐵𝐸𝐷 i zapisanie równania\n(3√34 ⋅√2)\n2 = 𝑥2 + 𝑥2 -2𝑥2 ⋅(-9\n25);\n3) zdający zapisze, że trójkąt 𝑆𝐵𝐶 (lub 𝑆𝐷𝐶) jest prostokątny i wskaże właściwy\nwierzchołek kąta prostego lub wynika to z rozwiązania, np.:\nzapisze równość wynikającą z twierdzenia Pitagorasa: |𝑆𝐶|2 = |𝐵𝑆|2 + |𝐵𝐶|2,\nzapisze, że trójkąty 𝐶𝐵𝑆 oraz 𝐶𝐸𝐵 są podobne,\nzapisze równość wynikającą z podobieństwa trójkątów 𝐶𝐵𝑆 oraz 𝐶𝐸𝐵, np.:\n|𝐵𝑆|\n|𝐵𝐶| = |𝐵𝐸|\n|𝐸𝐶|,\nzapisze, że trójkąty 𝐵𝐸𝑆 oraz 𝐶𝐸𝐵 są podobne,\nzapisze równość wynikającą z podobieństwa trójkątów 𝐵𝐸𝑆 oraz 𝐶𝐸𝐵, np.:\n|𝐸𝑆|\n|𝐵𝐸| = |𝐵𝐸|\n|𝐸𝐶|;\n4) zapisze, że trójkąt 𝑂𝐸𝐶 jest prostokątny lub wynika to z rozwiązania, np.:\nzdający zapisze równość |𝑂𝐶|2 = |𝑂𝐸|2 + |𝐸𝐶|2 ,\nzapisze, że trójkąty 𝑂𝐸𝐶 oraz 𝑆𝐴𝐶 są podobne,\nzapisze równość wynikającą z podobieństwa trójkątów 𝑂𝐸𝐶 oraz 𝑆𝐴𝐶, np.:\n|𝑂𝐸|\n|𝑂𝐶| = |𝐴𝑆|\n|𝐶𝑆| .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający w rozwiązaniu rozpatruje ostrosłup prawidłowy czworokątny, to otrzymuje\nco najwyżej 1 punkt (za poprawną interpretację kąta między ścianami bocznymi oraz za\nzapisanie równania wynikającego z twierdzenia cosinusów dla trójkąta 𝐵𝐷𝐸).\n2. Jeżeli zdający w rozwiązaniu błędnie interpretuje kąt między ścianami bocznymi 𝐵𝐶𝑆\ni 𝐶𝐷𝑆, np. zakłada, że jest to kąt 𝐵𝑆𝐷, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt (za\nspełnienie warunku 3) z kryterium za 1 punkt).\n3. Jeżeli zdający w rozwiązaniu rozpatruje inną bryłę i nie jest nią ostrosłup prawidłowy\nczworokątny, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I (poprzez 𝐵𝐸, 𝐶𝑆, 𝐴𝑆)\nNiech 𝐸 będzie spodkiem wysokości ściany bocznej 𝐵𝐶𝑆 poprowadzonej\nz wierzchołka 𝐵. Oznaczmy 𝑥= |𝐵𝐸| (zobacz rysunek).\nPonieważ ściany boczne 𝐵𝐶𝑆 i 𝐶𝐷𝑆 są trójkątami przystającymi, więc |𝐷𝐸| = |𝐵𝐸| = 𝑥.\nStosujemy do trójkąta 𝐵𝐸𝐷 twierdzenie cosinusów i otrzymujemy\n|𝐵𝐷|2 = 𝑥2 + 𝑥2 -2 ⋅𝑥⋅𝑥⋅cos 𝛽\n(3√34 ⋅√2)\n2 = 𝑥2 + 𝑥2 -2𝑥2 ⋅(-9\n25)\n𝑥= 15\nStosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta 𝐵𝐸𝐶 i obliczamy długość odcinka 𝐶𝐸:\n|𝐶𝐸|2 = |𝐵𝐶|2 -|𝐵𝐸|2\n|𝐶𝐸|2 = (3√34)\n2 -152\n|𝐶𝐸| = 9\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝑆\n𝐸\n𝛽\n𝑥\n3ξ34\n3ξ34\nTrójkąt 𝐵𝐶𝑆 jest prostokątny, co wynika z twierdzenia o trzech prostych prostopadłych,\ngdyż 𝐴𝐵⊥𝐵𝐶 i odcinek 𝐴𝐵 jest rzutem prostokątnym odcinka 𝑆𝐵 na płaszczyznę\n𝐴𝐵𝐶𝐷.\nTrójkąty 𝐵𝐶𝑆 i 𝐸𝐶𝐵 są podobne (na podstawie cechy kkk podobieństwa trójkątów), więc\n|𝐶𝐸|\n|𝐵𝐶| = |𝐵𝐶|\n|𝑆𝐶|\n9\n3√34\n= 3√34\n|𝑆𝐶|\n|𝑆𝐶| = 34\nStosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta 𝐴𝐶𝑆 i obliczamy długość odcinka 𝐴𝑆:\n|𝐴𝑆|2 = |𝑆𝐶|2 -|𝐴𝐶|2\n|𝐴𝑆|2 = 342 -(3√34 ⋅√2)\n2\n|𝐴𝑆| = 4√34\nObliczamy pole 𝑃𝑏 powierzchni bocznej ostrosłupa:\n𝑃𝑏= 2 ⋅1\n2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅|𝐴𝑆| + 2 ⋅1\n2 ⋅𝑥⋅|𝑆𝐶| = 3√34 ⋅4√34 + 15 ⋅34 = 918\nSposób Ia (poprzez 𝐵𝐸, 𝐶𝐸, 𝐵𝑆, 𝐴𝑆)\nNiech 𝐸 będzie spodkiem wysokości ściany bocznej 𝐵𝐶𝑆 poprowadzonej\nz wierzchołka 𝐵. Oznaczmy 𝑥= |𝐵𝐸| (zobacz rysunek).\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝑆\n𝐸\n𝛽\n𝑥\n3ξ34\n3ξ34\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPonieważ ściany boczne 𝐵𝐶𝑆 i 𝐶𝐷𝑆 są trójkątami przystającymi, więc |𝐷𝐸| = |𝐵𝐸| = 𝑥.\nStosujemy do trójkąta 𝐵𝐸𝐷 twierdzenie cosinusów i otrzymujemy\n|𝐵𝐷|2 = 𝑥2 + 𝑥2 -2 ⋅𝑥⋅𝑥⋅cos 𝛽\n(3√34 ⋅√2)\n2 = 𝑥2 + 𝑥2 -2𝑥2 ⋅(-9\n25)\n𝑥= 15\nStosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta 𝐵𝐸𝐶 i obliczamy długość odcinka 𝐶𝐸:\n|𝐶𝐸|2 = |𝐵𝐶|2 -|𝐵𝐸|2\n|𝐶𝐸|2 = (3√34)\n2 -152\n|𝐶𝐸| = 9\nTrójkąt 𝐵𝐶𝑆 jest prostokątny, co wynika z twierdzenia o trzech prostych prostopadłych,\ngdyż 𝐴𝐵⊥𝐵𝐶 i odcinek 𝐴𝐵 jest rzutem prostokątnym odcinka 𝑆𝐵 na płaszczyznę\n𝐴𝐵𝐶𝐷. Ponieważ kąt ostry przy wierzchołku 𝐶 jest wspólnym kątem trójkątów\nprostokątnych 𝐵𝐶𝐸 i 𝐵𝐶𝑆, więc są to trójkąty podobne. Stąd otrzymujemy:\n|𝐵𝑆|\n|𝐵𝐶| =\n|𝐵𝐸|\n|𝐸𝐶|\n|𝐵𝑆|\n3√34\n= 15\n9\n|𝐵𝑆| = 5√34\nZ twierdzenia Pitagorasa zastosowanego dla trójkąta 𝐴𝐵𝑆 obliczamy długość odcinka 𝐴𝑆:\n|𝐴𝑆|2 = |𝐵𝑆|2 -|𝐴𝐵|2\n|𝐴𝑆|2 = (5√34)\n2 -(3√34)\n2 = (4√34)\n2\n|𝐴𝑆| = 4√34\nObliczamy pole 𝑃𝑏 powierzchni bocznej ostrosłupa:\n𝑃𝑏= 2 ⋅1\n2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅|𝐴𝑆| + 2 ⋅1\n2 ⋅|𝐵𝑆| ⋅|𝐵𝐶| = 3√34 ⋅4√34 + 5√34 ⋅3√34 = 918\nSposób II (poprzez 𝐸𝑂, 𝑆𝐶, 𝐴𝑆, 𝐵𝑆)\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia:\n𝐸 - spodek wysokości ściany bocznej 𝐵𝐶𝑆 poprowadzonej z wierzchołka 𝐵,\n𝑂 - punkt przecięcia przekątnych podstawy 𝐴𝐵𝐶𝐷,\n𝑦 - długość odcinka 𝐸𝑂\n(zobacz rysunek).\nPonieważ ściany boczne 𝐵𝐶𝑆 i 𝐶𝐷𝑆 są trójkątami przystającymi, więc |𝐷𝐸| = |𝐵𝐸|.\nObliczamy sinus i cosinus kąta ostrego 𝐵𝐸𝑂:\ncos 𝛽= -9\n25\n1 -2 sin2 𝛽\n2 = - 9\n25 oraz 2 cos2 𝛽\n2 -1 = -9\n25\nsin 𝛽\n2 =\n√17\n5 oraz cos 𝛽\n2 = 2√2\n5\nObliczamy tangens kąta ostrego 𝐵𝐸𝑂:\ntg 𝛽\n2 =\nsin 𝛽\n2\ncos 𝛽\n2\n√17\n5\n2√2\n5\n= √34\n4\nObliczamy długość 𝑦 odcinka 𝐸𝑂:\ntg 𝛽\n2 = |𝐵𝑂|\n|𝐸𝑂|\n√34\n4\n1\n2 ⋅3√34 ⋅√2\n𝑦\n𝑦= 6√2\nPonieważ kąty 𝑆𝐶𝐴 i 𝑂𝐶𝐸 mają równe miary, więc korzystając z jedynki\ntrygonometrycznej oraz definicji sinusa i cosinusa, otrzymujemy\nsin2|∡𝑂𝐶𝐸| + cos2|∡𝑆𝐶𝐴| = 1\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝑆\n𝐸\n𝑂\n𝑦\n𝛽\n3ξ34\n3ξ34\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n( 𝑦\n|𝑂𝐶|)\n2\n+ (\n|𝐴𝐶|\n|𝑆𝐶|)\n2\n= 1\n(\n6√2\n1\n2 ⋅3√34 ⋅√2\n)\n2\n+ (3√34 ⋅√2\n|𝑆𝐶|\n)\n2\n= 1\n(6√17\n|𝑆𝐶| )\n2\n= 9\n17\n|𝑆𝐶| = 34\nStosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta 𝐴𝐶𝑆 i obliczamy długość krawędzi 𝐴𝑆:\n|𝐴𝑆|2 + |𝐴𝐶|2 = |𝑆𝐶|2\n|𝐴𝑆|2 = 342 -(3√34 ⋅√2)\n2\n|𝐴𝑆| = 4√34\nStosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta 𝐴𝐵𝑆 i obliczamy długość krawędzi 𝐵𝑆:\n|𝐵𝑆|2 = |𝐴𝑆|2 + |𝐴𝐵|2\n|𝐵𝑆|2 = (4√34)\n2 + (3√34)\n2\n|𝐵𝑆| = 5√34\nObliczamy pole 𝑃𝑏 powierzchni bocznej ostrosłupa:\n𝑃𝑏= 2 ⋅1\n2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅|𝐴𝑆| + 2 ⋅1\n2 ⋅|𝐵𝑆| ⋅|𝐵𝐶| = 3√34 ⋅4√34 + 5√34 ⋅3√34 = 918","solution":"Odpowiedź: Pole powierzchni bocznej $P_b = 918$.\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nKonfiguracja w układzie współrzędnych\n\nUstaw kwadrat $ABCD$ w płaszczyźnie $z = 0$, z wierzchołkiem $A$ w początku układu:\n\n- $A = (0, 0, 0)$\n- $B = (a, 0, 0)$\n- $C = (a, a, 0)$\n- $D = (0, a, 0)$\n- $S = (0, 0, h)$ — bo $SA$ jest wysokością ostrosłupa (prostopadłą do podstawy w wierzchołku $A$)\n\nTu $a = 3\\sqrt{34}$, a $h$ — niewiadoma.\n\nKrok 1 — wyznacz $h$ z warunku $\\cos \\beta = -\\tfrac{9}{25}$\n\nKąt $\\beta$ to kąt dwuścienny między ścianami $CDS$ i $BCS$, o wspólnej krawędzi $CS$. Najszybsza droga: cosinus kąta między wektorami normalnymi do tych ścian.\n\nWektory rozpinające ściany.\n\nŚciana $CDS$: $\\vec{CD} = D - C = (-a, 0, 0)$ oraz $\\vec{CS} = S - C = (-a, -a, h)$.\n\nŚciana $BCS$: $\\vec{CB} = B - C = (0, -a, 0)$ oraz $\\vec{CS} = (-a, -a, h)$.\n\nWektor normalny do ściany $CDS$ = $\\vec{CD} \\times \\vec{CS}$:\n\n$$\\vec{n_1} = (-a, 0, 0) \\times (-a, -a, h) = (0 \\cdot h - 0 \\cdot (-a),\\ 0 \\cdot (-a) - (-a) \\cdot h,\\ (-a)(-a) - 0 \\cdot (-a))$$\n\n$$\\vec{n_1} = (0,\\ ah,\\ a^2)$$\n\nWektor normalny do ściany $BCS$ = $\\vec{CB} \\times \\vec{CS}$:\n\n$$\\vec{n_2} = (0, -a, 0) \\times (-a, -a, h)$$\n\n$$\\vec{n_2} = ((-a) h - 0 \\cdot (-a),\\ 0 \\cdot (-a) - 0 \\cdot h,\\ 0 \\cdot (-a) - (-a)(-a))$$\n\n$$\\vec{n_2} = (-ah,\\ 0,\\ -a^2)$$\n\nCosinus kąta między wektorami:\n\n$$\\vec{n_1} \\cdot \\vec{n_2} = 0 \\cdot (-ah) + ah \\cdot 0 + a^2 \\cdot (-a^2) = -a^4$$\n\n$$|\\vec{n_1}| = \\sqrt{0 + a^2 h^2 + a^4} = a \\sqrt{h^2 + a^2}$$\n\n$$|\\vec{n_2}| = \\sqrt{a^2 h^2 + 0 + a^4} = a \\sqrt{h^2 + a^2}$$\n\n$$\\cos \\beta = \\frac{\\vec{n_1} \\cdot \\vec{n_2}}{|\\vec{n_1}| \\cdot |\\vec{n_2}|} = \\frac{-a^4}{a^2 (h^2 + a^2)} = \\frac{-a^2}{h^2 + a^2}$$\n\nZ warunku $\\cos \\beta = -\\tfrac{9}{25}$:\n\n$$\\frac{-a^2}{h^2 + a^2} = -\\frac{9}{25}$$\n\n$$\\frac{a^2}{h^2 + a^2} = \\frac{9}{25}$$\n\n$$25 a^2 = 9 (h^2 + a^2) = 9 h^2 + 9 a^2$$\n\n$$16 a^2 = 9 h^2$$\n\n$$h^2 = \\frac{16 a^2}{9} \\quad\\Rightarrow\\quad h = \\frac{4 a}{3}$$\n\nDla $a = 3\\sqrt{34}$: $h = \\dfrac{4 \\cdot 3\\sqrt{34}}{3} = 4\\sqrt{34}$.\n\nKrok 2 — pole powierzchni bocznej\n\nOstrosłup ma cztery ściany boczne: $\\triangle ABS$, $\\triangle ADS$, $\\triangle BCS$, $\\triangle CDS$.\n\nPole $\\triangle ABS$. Wierzchołki $A = (0,0,0)$, $B = (a,0,0)$, $S = (0,0,h)$ — wszystkie w płaszczyźnie $y = 0$. Trójkąt jest prostokątny przy $A$ (boki $AB = a$ i $AS = h$).\n\n$$P_{ABS} = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h$$\n\nPole $\\triangle ADS$. Analogicznie — w płaszczyźnie $x = 0$, prostokątny przy $A$ z bokami $AD = a$ i $AS = h$.\n\n$$P_{ADS} = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h$$\n\nPole $\\triangle BCS$. Bok $BC = a$ leży w płaszczyźnie $z = 0$ (na prostej $x = a$). Wysokość trójkąta opuszczona z $S$ na $BC$ — szukamy odległości od $S = (0, 0, h)$ do prostej $\\{(a, y, 0) : y \\in [0, a]\\}$:\n\n$$\\text{odległość} = \\sqrt{a^2 + h^2}$$\n\n(Pythagoras: $a$ w poziomie + $h$ w pionie, prostopadłe do prostej).\n\n$$P_{BCS} = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot \\sqrt{a^2 + h^2}$$\n\nPole $\\triangle CDS$ — analogicznie przez symetrię (zamiana rólek $B$ i $D$):\n\n$$P_{CDS} = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot \\sqrt{a^2 + h^2}$$\n\nSuma pól bocznych:\n\n$$P_b = 2 \\cdot \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h + 2 \\cdot \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot \\sqrt{a^2 + h^2} = a h + a \\sqrt{a^2 + h^2}$$\n\nPodstaw $h = \\tfrac{4a}{3}$.\n\n$$h^2 + a^2 = \\frac{16 a^2}{9} + a^2 = \\frac{16 a^2 + 9 a^2}{9} = \\frac{25 a^2}{9}$$\n\n$$\\sqrt{a^2 + h^2} = \\frac{5 a}{3}$$\n\nStąd:\n\n$$P_b = a \\cdot \\frac{4 a}{3} + a \\cdot \\frac{5 a}{3} = \\frac{4 a^2 + 5 a^2}{3} = \\frac{9 a^2}{3} = 3 a^2$$\n\nPodstaw $a = 3 \\sqrt{34}$ — czyli $a^2 = 9 \\cdot 34 = 306$.\n\n$$P_b = 3 \\cdot 306 = 918$$\n\nSprawdzenie warunku $\\cos \\beta$\n\nDla $a^2 = 306$, $h^2 = \\tfrac{16 \\cdot 306}{9} = 544$, $h^2 + a^2 = 544 + 306 = 850$.\n\n$$\\cos \\beta = \\frac{-a^2}{h^2 + a^2} = \\frac{-306}{850} = \\frac{-9}{25}$$\n\n(bo $\\tfrac{306}{850} = \\tfrac{9}{25}$, bo $850 = \\tfrac{306 \\cdot 25}{9}$, sprawdź: $\\tfrac{850 \\cdot 9}{25} = \\tfrac{7650}{25} = 306$ ✓).\n\nPunktacja CKE\n\n- 1 pkt — wyznaczenie wzoru na $\\cos \\beta$ w zależności od $a$ i $h$ (np. $\\cos \\beta = -\\tfrac{a^2}{h^2 + a^2}$).\n- 2 pkt — wyznaczenie zależności $h$ od $a$ ($h = \\tfrac{4a}{3}$).\n- 3 pkt — obliczenie pól dwóch typów ścian bocznych.\n- 4 pkt — zapisanie wzoru na pole boczne $P_b = a h + a \\sqrt{a^2 + h^2}$ i jego uproszczenie do $3 a^2$.\n- 5 pkt — pełne rozwiązanie + wynik $P_b = 918$.\n\nKlucz uniwersalny — ostrosłup z wysokością w wierzchołku podstawy\n\nSpecjalna konfiguracja: ostrosłup, w którym jedna z krawędzi bocznych ($SA$) jest jednocześnie wysokością.\n\nGeometryczne właściwości:\n\n1. Dwie ściany boczne ($\\triangle ABS$ i $\\triangle ADS$) są prostokątne przy $A$.\n2. Dwie ściany boczne ($\\triangle BCS$ i $\\triangle CDS$) są inne — z kątem rozwartym w niektórych przypadkach.\n3. Idealne dla układu współrzędnych z $A$ w początku — dużo zer w obliczeniach.\n\nKlucz: ustaw układ tak, by jak najwięcej wierzchołków miało zerowe współrzędne. Wtedy iloczyny wektorowe są łatwe.\n\nTypowy błąd: Klucz: kąt MIĘDZY ŚCIANAMI (dwuścienny) to kąt między wektorami normalnymi do tych ścian, albo równoważnie kąt między dwoma odcinkami prostopadłymi do wspólnej krawędzi CS (jeden w każdej ścianie). Mylenie z kątem między KRAWĘDZIAMI ścian (sąsiadującymi krawędziami) → zła odpowiedź.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/sol-10.svg","topics":"stereometria, kąt dwuścienny, ostrosłup","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona","number":"11","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (0-6)\nFunkcja 𝑓 jest określona wzorem\n𝑓(𝑥) = (2 -𝑚)𝑥2 -2(2𝑚+ 1)𝑥+ 𝑚+ 8\ndla każdej liczby rzeczywistej 𝑥, gdzie 𝑚 jest liczbą rzeczywistą różną od 2.\nWyznacz wszystkie wartości parametru 𝒎, dla których funkcja 𝒇 ma dokładnie dwa\nmiejsca zerowe 𝒙𝟏 oraz 𝒙𝟐 tego samego znaku, które spełniają warunek\n(𝒙𝟏-𝒙𝟐)𝟐≤𝟏𝟖𝟎\nZapisz obliczenia.\n11.\n0-1-\n2-3-\n4-5-6\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nFunkcja f jest określona wzorem f(x) = (2-m)x² - 2(2m+1)x + m + 8 dla każdej liczby rzeczywistej x, gdzie m jest liczbą rzeczywistą różną od 2. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których funkcja f ma dokładnie dwa miejsca zerowe x_1 oraz x_2 tego samego znaku, które spełniają warunek (x_1-x_2)² ≤ 180. Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 11. (0-6)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\n3. Tworzenie pomocniczych obiektów\nmatematycznych na podstawie istniejących,\nw celu przeprowadzenia argumentacji lub\nrozwiązania problemu.\nZdający:\nIII.R3) stosuje wzory Viète’a dla równań\nkwadratowych;\nIII.R5) analizuje równania i nierówności\nliniowe z parametrami oraz równania\ni nierówności kwadratowe z parametrami\n[…].\nZasady oceniania\nRozwiązanie zadania składa się z czterech etapów.\nPierwszy etap polega na rozwiązaniu nierówności ∆ > 0. Za poprawne wykonanie tego\netapu zdający otrzymuje 1 punkt.\n1 pkt - poprawne rozwiązanie nierówności ∆ > 0: 𝑚∈(-∞, -3) ∪(1, +∞).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga.\nJeżeli zdający rozwiązuje warunek ∆ ≥0, to za tę część rozwiązania otrzymuje 0 punktów.\nDrugi etap polega na wyznaczeniu tych wartości parametru 𝑚, dla których miejsca zerowe\nfunkcji 𝑓 są tego samego znaku. Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje\n1 punkt.\n1 pkt - zapisanie i poprawne rozwiązanie nierówności 𝑚 + 8\n2 - 𝑚> 0: 𝑚∈(-8, 2).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nTrzeci etap polega na wyznaczeniu tych wartości parametru 𝑚, dla których jest spełniony\nwarunek (𝑥1 -𝑥2)2 ≤180. Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje\n3 punkty.\nPodział punktów za trzeci etap rozwiązania:\n3 pkt - rozwiązanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚 równoważnej warunkowi\n(𝑥1 -𝑥2)2 ≤180: 𝑚∈(-∞, 3\n2] ∪[13\n4 , +∞).\n2 pkt - zapisanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚 równoważnej warunkowi\n(𝑥1 -𝑥2)2 ≤180, np.\n[2(2𝑚 + 1)\n2 - 𝑚\n]\n2\n-4 ⋅𝑚 + 8\n2 - 𝑚≤180\n1 pkt - przekształcenie nierówności (𝑥1 -𝑥2)2 ≤180 do postaci pozwalającej na\nbezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a, np. (𝑥1 + 𝑥2)2 -4𝑥1𝑥2 ≤180\nALBO\n- przekształcenie nierówności (𝑥1 -𝑥2)2 ≤180 do postaci Δ\n𝑎2 ≤180 (lub\n𝑏2- 4𝑎𝑐\n𝑎2\n≤180).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nCzwarty etap polega na wyznaczeniu wszystkich wartości parametru 𝑚, które spełniają\njednocześnie warunki: 𝑚≠2 oraz 𝑚∈(-∞, -3) ∪(1, +∞) oraz 𝑚∈(-8, 2) oraz\n𝑚∈(-∞, 3\n2] ∪[13\n4 , +∞):\n𝑚∈(-8, -3) ∪(1, 3\n2].\nZa poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n1 pkt - poprawne wyznaczenie wszystkich wartości parametru 𝑚, które spełniają\njednocześnie warunki 𝑚≠2 oraz 𝑚∈(-∞, -3) ∪(1, +∞) oraz 𝑚∈(-8, 2)\noraz 𝑚∈(-∞, 3\n2] ∪[13\n4 , +∞): 𝑚∈(-8, -3) ∪(1, 3\n2].\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający w którymś z etapów I-III popełni błąd, który nie jest błędem rachunkowym,\nto za IV etap otrzymuje 0 punktów.\n2. Jeżeli zdający w etapach I-III nie popełni błędów innych niż rachunkowe i otrzyma zbiory\nrozwiązań, które nie są rozłączne i żaden z nich nie jest zbiorem liczb rzeczywistych,\na następnie poprawnie wyznaczy część wspólną zbiorów rozwiązań z etapów I-III\ni warunku 𝑚≠2, to za IV etap otrzymuje 1 punkt; natomiast jeżeli otrzyma zbiory\nrozwiązań, które są rozłączne lub co najmniej jeden z nich jest zbiorem liczb\nrzeczywistych, to za IV etap otrzymuje 0 punktów.\n3. Jeżeli zdający w III etapie rozwiązania popełni błąd - przyjmie, że\n𝑥1 + 𝑥2 = ± 𝑚 + 8\n2 - 𝑚 lub 𝑥1 ⋅𝑥2 = ± 2(2𝑚 + 1)\n2 - 𝑚\n, lub 𝑥1 + 𝑥2 = ± 𝑏\n2𝑎 , to za III etap może\notrzymać co najwyżej 2 punkty (1 punkt za przekształcenie nierówności\n(𝑥1 -𝑥2)2 ≤180 do postaci pozwalającej na bezpośrednie zastosowanie wzorów\nViète’a oraz 1 punkt za konsekwentne rozwiązanie nierówności do końca), a za IV etap\notrzymuje 0 punktów.\n4. Jeżeli zdający wprowadza dodatkowe założenie, które nie wynika z warunków zadania\n(np. 𝑥1 + 𝑥2 > 0), to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 5 punktów (co\nnajwyżej 1 punkt za I etap, co najwyżej 1 punkt za II etap i co najwyżej 3 punkty za III\netap).\n5. Jeżeli zdający podczas przekształcania nierówności (𝑥1 -𝑥2)2 ≤180 do postaci\npozwalającej na zastosowanie wzorów Viète’a popełni błąd, który nie jest błędem\nrachunkowym, ale otrzyma nierówność postaci (𝑥1 + 𝑥2)2 + 𝑘⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ≤180, gdzie\n𝑘≠-4, to za III etap może otrzymać co najwyżej 2 punkty (1 punkt za poprawne\nzastosowanie wzorów Viète’a oraz 1 punkt za konsekwentne rozwiązanie nierówności do\nkońca), a za IV etap otrzymuje 0 punktów.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nFunkcja 𝑓 ma dokładnie dwa miejsca zerowe tylko wówczas, gdy 2 -𝑚≠0 i wyróżnik Δ\ntrójmianu (2 -𝑚)𝑥2 -2(2𝑚+ 1)𝑥+ 𝑚+ 8 jest dodatni. Rozwiązujemy warunek Δ > 0:\n[-2(2𝑚+ 1)]2 -4 ⋅(2 -𝑚)(𝑚+ 8) > 0\n16𝑚2 + 16𝑚+ 4 + 4𝑚2 + 24𝑚-64 > 0\n20𝑚2 + 40𝑚-60 > 0\n20(𝑚-1)(𝑚+ 3) > 0\n𝑚∈(-∞, -3) ∪(1, +∞)\nMiejsca zerowe funkcji 𝑓 mają ten sam znak tylko wtedy, gdy 𝑥1 ⋅𝑥2 > 0. Rozwiązujemy tę\nnierówność, korzystając ze wzorów Viète’a:\n𝑚+ 8\n2 -𝑚> 0\n(𝑚+ 8)(2 -𝑚) > 0 ∧ 𝑚≠2\n𝑚∈(-8, 2)\nPrzekształcamy warunek (𝑥1 -𝑥2)2 ≤180 do postaci pozwalającej na bezpośrednie\nzastosowanie wzorów Viète’a i rozwiązujemy uzyskaną nierówność z niewiadomą 𝑚:\n(𝑥1 -𝑥2)2 ≤180\n(𝑥1 + 𝑥2)2 -4 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ≤180\n[-2(2𝑚+ 1)\n2 -𝑚\n]\n2\n-4 ⋅𝑚+ 8\n2 -𝑚≤180\n16𝑚2 + 16𝑚+ 4\n(𝑚-2)2\n+ 4 ⋅\n(𝑚+ 8)(𝑚-2)\n(𝑚-2)2\n-180(𝑚-2)2\n(𝑚-2)2\n≤0\n16𝑚2 + 16𝑚+ 4 + 4𝑚2 + 24𝑚-64 -180𝑚2 + 720𝑚-720\n(𝑚-2)2\n≤0\n-160𝑚2 + 760𝑚-780\n(𝑚-2)2\n≤0\n-160𝑚2 + 760𝑚-780 ≤0 ∧ 𝑚≠2\n8𝑚2 -38𝑚+ 39 ≥0 ∧ 𝑚≠2\nΔ𝑚= (-38)2 -4 ⋅8 ⋅39 = 196\n𝑚= 38 -14\n16\n= 3\n2 ∨ 𝑚= 38 + 14\n16\n= 13\n4\n8 (𝑚-3\n2) (𝑚-13\n4 ) ≥0 ∧ 𝑚≠2\n𝑚∈(-∞, 3\n2] ∪[13\n4 , +∞)\nWyznaczamy wszystkie wartości parametru 𝑚, które jednocześnie spełniają warunki:\n𝑚≠2\n𝑚∈(-∞, -3) ∪(1, +∞)\n𝑚∈(-8, 2)\n𝑚∈(-∞, 3\n2] ∪[13\n4 , +∞):\n𝑚∈(-8, -3) ∪(1, 3\n2]\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nFunkcja 𝑓 ma dokładnie dwa miejsca zerowe 𝑥1 oraz 𝑥2 tego samego znaku, które\nspełniają warunek (𝑥1 -𝑥2)2 ≤180, tylko wtedy, gdy 𝑚∈(-8, -3) ∪(1, 3\n2].","solution":"Odpowiedź: $m \\in (-8, -3) \\cup (1, \\tfrac{3}{2}\\rangle$\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nStrategia — trzy warunki\n\nZadanie wymaga trzech etapów:\n\n1. Δ &gt; 0 — funkcja ma dokładnie dwa różne miejsca zerowe.\n2. $x_1 \\cdot x_2 > 0$ — miejsca tego samego znaku (Viète).\n3. $(x_1 - x_2)^2 \\leq 180$ — dodatkowy warunek na różnicę miejsc.\n\nNa końcu — część wspólna wszystkich trzech zbiorów wartości $m$.\n\nKlucz: funkcja jest kwadratowa (warunek $a = 2 - m \\neq 0$, czyli $m \\neq 2$ — z treści).\n\nWzory Viète'a\n\nDla równania $(2 - m) x^2 - 2(2m + 1) x + (m + 8) = 0$:\n\n$$x_1 + x_2 = \\frac{2(2m + 1)}{2 - m}, \\qquad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{m + 8}{2 - m}$$\n\nEtap 1 — Δ &gt; 0\n\nOblicz wyróżnik.\n\n$$\\Delta = [2(2m+1)]^2 - 4 \\cdot (2-m) \\cdot (m+8)$$\n\n$$\\Delta = 4 \\left[ (2m+1)^2 - (2-m)(m+8) \\right]$$\n\nRozwiń kolejno:\n\n$(2m+1)^2 = 4m^2 + 4m + 1$\n\n$(2-m)(m+8) = 2m + 16 - m^2 - 8m = -m^2 - 6m + 16$\n\nRóżnica:\n\n$$4m^2 + 4m + 1 - (-m^2 - 6m + 16) = 5m^2 + 10m - 15 = 5(m^2 + 2m - 3)$$\n\nRozłóż na czynniki: $m^2 + 2m - 3 = (m + 3)(m - 1)$.\n\n$$\\Delta = 20 (m + 3)(m - 1)$$\n\nWarunek $\\Delta > 0$:\n\n$$(m + 3)(m - 1) > 0$$\n\n$$m \\in (-\\infty,\\ -3) \\cup (1,\\ +\\infty)$$\n\nEtap 2 — $x_1 \\cdot x_2 > 0$\n\n$$x_1 \\cdot x_2 = \\frac{m + 8}{2 - m} > 0$$\n\nIloraz dodatni gdy licznik i mianownik mają ten sam znak:\n\n- Oba dodatnie: $m + 8 > 0$ i $2 - m > 0$, czyli $m > -8$ i $m < 2$ → $m \\in (-8, 2)$.\n- Oba ujemne: $m < -8$ i $m > 2$ — sprzeczne, brak rozwiązań.\n\nStąd: $m \\in (-8, 2)$.\n\nEtap 3 — $(x_1 - x_2)^2 \\leq 180$\n\nTożsamość: $(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4 x_1 x_2$.\n\nPodstaw Viète'a:\n\n$$(x_1 - x_2)^2 = \\left[ \\frac{2(2m+1)}{2-m} \\right]^2 - 4 \\cdot \\frac{m+8}{2-m}$$\n\nSprowadź do wspólnego mianownika $(2 - m)^2$:\n\n$$(x_1 - x_2)^2 = \\frac{4(2m+1)^2 - 4(m+8)(2-m)}{(2-m)^2}$$\n\nLicznik upraszcza się jak w Etapie 1:\n\n$$4 (2m+1)^2 - 4(m+8)(2-m) = 4 \\cdot 5(m^2 + 2m - 3) = 20(m^2 + 2m - 3)$$\n\nStąd:\n\n$$(x_1 - x_2)^2 = \\frac{20(m^2 + 2m - 3)}{(2-m)^2}$$\n\nWarunek $(x_1 - x_2)^2 \\leq 180$:\n\n$$\\frac{20(m^2 + 2m - 3)}{(2-m)^2} \\leq 180$$\n\nPomnóż obie strony przez $(2-m)^2 > 0$ (mnożnik dodatni, nierówność bez zmian):\n\n$$20(m^2 + 2m - 3) \\leq 180 (2-m)^2$$\n\n$$m^2 + 2m - 3 \\leq 9 (2-m)^2$$\n\nRozwiń prawą stronę: $(2-m)^2 = 4 - 4m + m^2$, więc $9(2-m)^2 = 9m^2 - 36m + 36$.\n\n$$m^2 + 2m - 3 \\leq 9m^2 - 36m + 36$$\n\n$$0 \\leq 8m^2 - 38m + 39$$\n\nRozwiąż nierówność $8m^2 - 38m + 39 \\geq 0$.\n\n$$\\Delta' = 38^2 - 4 \\cdot 8 \\cdot 39 = 1444 - 1248 = 196$$\n\n$$\\sqrt{\\Delta'} = 14$$\n\n$$m_{1,2} = \\frac{38 \\pm 14}{16}$$\n\n$$m_1 = \\frac{24}{16} = \\frac{3}{2}, \\quad m_2 = \\frac{52}{16} = \\frac{13}{4}$$\n\nParabola $8m^2 - 38m + 39$ otwiera się w górę ($a = 8 > 0$), więc $\\geq 0$ poza pierwiastkami:\n\n$$m \\in \\left( -\\infty,\\ \\tfrac{3}{2} \\right\\rangle \\cup \\left\\langle \\tfrac{13}{4},\\ +\\infty \\right)$$\n\nEtap 4 — część wspólna wszystkich trzech warunków\n\nZ etapów 1, 2, 3:\n\n- (1) $m \\in (-\\infty, -3) \\cup (1, +\\infty)$\n- (2) $m \\in (-8, 2)$\n- (3) $m \\in (-\\infty, \\tfrac{3}{2}\\rangle \\cup \\langle\\tfrac{13}{4}, +\\infty)$\n\nNajpierw (1) ∩ (2):\n\n$$\\left[ (-\\infty, -3) \\cup (1, +\\infty) \\right] \\cap (-8, 2) = (-8, -3) \\cup (1, 2)$$\n\nTeraz [(1) ∩ (2)] ∩ (3):\n\n- $(-8, -3) \\cap (-\\infty, \\tfrac{3}{2}\\rangle = (-8, -3)$ ✓ (cały lewy fragment się mieści, bo $-3 < \\tfrac{3}{2}$)\n- $(-8, -3) \\cap \\langle\\tfrac{13}{4}, +\\infty) = \\emptyset$ (bo $-3 < \\tfrac{13}{4}$)\n- $(1, 2) \\cap (-\\infty, \\tfrac{3}{2}\\rangle = (1, \\tfrac{3}{2}\\rangle$\n- $(1, 2) \\cap \\langle\\tfrac{13}{4}, +\\infty) = \\emptyset$ (bo $2 < \\tfrac{13}{4} = 3{,}25$)\n\nSuma:\n\n$$m \\in (-8, -3) \\cup \\left( 1, \\tfrac{3}{2} \\right\\rangle$$\n\nSprawdzenie\n\nDla $m = -5$ (w $(-8, -3)$):\n\n- $a = 7$, $b = 18$, $c = 3$\n- $\\Delta = 324 - 84 = 240 > 0$ ✓\n- $x_1 x_2 = 3/7 > 0$ ✓\n- $(x_1 - x_2)^2 = (18/7)^2 - 12/7 = 324/49 - 84/49 = 240/49 \\approx 4{,}9 \\leq 180$ ✓\n\nDla $m = \\tfrac{3}{2}$ (graniczne):\n\n- $a = 1/2$, $b = -8$, $c = 19/2$\n- $\\Delta = 64 - 19 = 45 > 0$ ✓\n- $x_1 x_2 = (19/2)/(1/2) = 19 > 0$ ✓\n- $(x_1 - x_2)^2 = 16^2 - 4 \\cdot 19 = 256 - 76 = 180$ ✓ (dokładnie równa)\n\nWszystko pasuje.\n\nPunktacja CKE (zwykle 3 etapy)\n\nEtap 1 ($\\Delta > 0$): 1 pkt.\n\nEtap 2 ($x_1 x_2 > 0$): 1 pkt (lub kontekst dodatkowy w innych klasyfikacjach).\n\nEtap 3 (nierówność z $(x_1 - x_2)^2$): 3-4 pkt zależnie od dokładności.\n\nEtap 4 (część wspólna): 1 pkt za końcowy zbiór.\n\nRazem 6 pkt.\n\nKlucz uniwersalny\n\nStandardowy schemat dla zadań „parametr $m$ + warunki na miejsca zerowe\":\n\n1. Wyznacz dziedzinę istnienia dwóch miejsc zerowych ($\\Delta > 0$ lub $\\geq 0$).\n2. Zapisz Viète'a dla $x_1 + x_2$ i $x_1 x_2$.\n3. Każdy dodatkowy warunek (znak, suma, różnica, kwadrat) → przekształć przez Viète'a do nierówności tylko w $m$.\n4. Część wspólna wszystkich zbiorów rozwiązań.\n\nCzęsto najtrudniejszy element to algebra przekształcania $(x_1 - x_2)^2$ przez Viète'a — pamiętaj tożsamość $(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4 x_1 x_2$.\n\nTypowy błąd: Trzy warunki, każdy daje przedział. Klucz: precyzyjnie POŁĄCZ wszystkie trzy. Pułapka 1: pominięcie $\\Delta > 0$ (dwa różne miejsca zerowe → ostry znak). Pułapka 2: pomyłka znaku przy $(x_1 - x_2)^2 \\leq 180$ — to po przekształceniu daje $8m^2 - 38m + 39 \\geq 0$, NIE $\\leq 0$.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/sol-11.svg","topics":"funkcja kwadratowa z parametrem, wzory Viète'a, parametr","page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona","number":"12","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12.\nRozważamy wszystkie stożki, których wysokość jest większa od 5, a odległość środka\npodstawy od tworzącej jest równa 5.\nRozważamy wszystkie stożki, których wysokość jest większa od 5, a odległość środka podstawy od tworzącej jest równa 5. Wykaż, że objętość V stożka, jako funkcja wysokości h stożka, wyraża się wzorem V(h) = π/3 ⋅ 25h^3 / h^2-25.","answer":null,"answer_text":"12","solution":"Odpowiedź: 12.2: $h = 5\\sqrt{3}$, $V_{\\min} = \\dfrac{125\\sqrt{3}}{2} \\pi$\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nKonfiguracja\n\nStożek z podstawą o promieniu $r$, wysokością $h$, tworzącą $l$. Z Pitagorasa:\n\n$$l = \\sqrt{r^2 + h^2}$$\n\nOdległość środka podstawy $O$ od tworzącej: rozpatrujemy trójkąt prostokątny utworzony przez wierzchołek stożka $S$ (góra), środek podstawy $O$ (dół) i dowolny punkt $P$ na obwodzie podstawy. Trójkąt $SOP$ jest prostokątny przy $O$ (wysokość prostopadła do promienia).\n\nOdległość $O$ od przeciwprostokątnej $SP$ (czyli tworzącej) to klasyczna wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego na przeciwprostokątną. Wzór:\n\n$$d = \\frac{r \\cdot h}{l} = \\frac{r h}{\\sqrt{r^2 + h^2}}$$\n\nZ warunku zadania: $d = 5$.\n\n12.1 — wykaż wzór $V(h)$ (2 pkt)\n\nZapisz warunek $d = 5$:\n\n$$\\frac{r h}{\\sqrt{r^2 + h^2}} = 5$$\n\nPodnieś obie strony do kwadratu:\n\n$$\\frac{r^2 h^2}{r^2 + h^2} = 25$$\n\n$$r^2 h^2 = 25 (r^2 + h^2) = 25 r^2 + 25 h^2$$\n\nWyznacz $r^2$.\n\n$$r^2 h^2 - 25 r^2 = 25 h^2$$\n\n$$r^2 (h^2 - 25) = 25 h^2$$\n\n$$r^2 = \\frac{25 h^2}{h^2 - 25}$$\n\n(dla $h^2 > 25$, czyli $h > 5$ — zgodnie z treścią).\n\nWstaw do wzoru na objętość stożka $V = \\tfrac{1}{3} \\pi r^2 h$:\n\n$$V(h) = \\frac{1}{3} \\pi \\cdot \\frac{25 h^2}{h^2 - 25} \\cdot h = \\frac{\\pi}{3} \\cdot \\frac{25 h^3}{h^2 - 25}$$\n\nTo należało wykazać. $\\blacksquare$\n\n12.2 — minimum $V(h)$ dla $h \\in (5, +\\infty)$ (4 pkt)\n\nOblicz pochodną $V'(h)$. Wygodne uproszczenie: niech $C = \\tfrac{25 \\pi}{3}$ (stała). Wtedy:\n\n$$V(h) = C \\cdot \\frac{h^3}{h^2 - 25}$$\n\nPochodna ilorazu $\\left(\\tfrac{u}{v}\\right)' = \\tfrac{u'v - uv'}{v^2}$:\n\n$$V'(h) = C \\cdot \\frac{3 h^2 (h^2 - 25) - h^3 \\cdot 2h}{(h^2 - 25)^2}$$\n\nUprość licznik.\n\n$$3 h^2 (h^2 - 25) - 2 h^4 = 3 h^4 - 75 h^2 - 2 h^4 = h^4 - 75 h^2 = h^2 (h^2 - 75)$$\n\nStąd:\n\n$$V'(h) = C \\cdot \\frac{h^2 (h^2 - 75)}{(h^2 - 25)^2}$$\n\nWyznacz miejsca zerowe pochodnej. Licznik = 0:\n\n$$h^2 (h^2 - 75) = 0$$\n\n- $h = 0$: poza dziedziną ($h > 5$)\n- $h^2 = 75$: $h = \\sqrt{75} = 5\\sqrt{3} \\approx 8{,}66$ — w dziedzinie ✓\n\nZbadaj znak $V'(h)$ w dziedzinie $(5, +\\infty)$.\n\nW mianowniku $(h^2 - 25)^2 > 0$ zawsze. Licznik $h^2 (h^2 - 75)$:\n\n- dla $h \\in (5, 5\\sqrt{3})$: $h^2 < 75$ → $h^2 - 75 < 0$, czyli $V'(h) < 0$ — funkcja malejąca\n- dla $h = 5\\sqrt{3}$: $V'(h) = 0$ — punkt ekstremalny\n- dla $h > 5\\sqrt{3}$: $h^2 > 75$ → $V'(h) > 0$ — funkcja rosnąca\n\nZatem $h = 5\\sqrt{3}$ to minimum globalne $V$ w dziedzinie $(5, +\\infty)$.\n\nOblicz $V(5\\sqrt{3})$.\n\n$(5\\sqrt{3})^2 = 25 \\cdot 3 = 75$, $(5\\sqrt{3})^3 = 125 \\cdot 3\\sqrt{3} = 375\\sqrt{3}$.\n\n$$V(5\\sqrt{3}) = \\frac{\\pi}{3} \\cdot \\frac{25 \\cdot 375 \\sqrt{3}}{75 - 25} = \\frac{\\pi}{3} \\cdot \\frac{9375 \\sqrt{3}}{50}$$\n\nUprość: $\\dfrac{9375}{150} = \\dfrac{9375}{150} = 62{,}5 = \\dfrac{125}{2}$:\n\n$$V(5\\sqrt{3}) = \\frac{125 \\sqrt{3}}{2} \\pi$$\n\nPunktacja CKE\n\n12.1 (2 pkt):\n- 1 pkt — wyznaczenie $r^2 = \\dfrac{25 h^2}{h^2 - 25}$ (lub równoważne).\n- 2 pkt — pełne wyprowadzenie wzoru $V(h) = \\tfrac{\\pi}{3} \\cdot \\tfrac{25 h^3}{h^2 - 25}$.\n\n12.2 (4 pkt):\n- 1 pkt — obliczenie pochodnej $V'(h)$.\n- 2 pkt — znalezienie miejsca zerowego $h = 5\\sqrt{3}$ w dziedzinie.\n- 3 pkt — uzasadnienie, że to minimum (badanie znaku pochodnej).\n- 4 pkt — obliczenie $V_{\\min} = \\tfrac{125\\sqrt{3}}{2} \\pi$.\n\nKlucz uniwersalny — optymalizacja brył obrotowych\n\nSchemat dla zadań „wśród stożków/walców/ostrosłupów o ustalonym warunku znajdź ten o ekstremalnej V/P\":\n\n1. Wyraź jeden wymiar przez drugi używając warunku z treści (najczęściej Pitagoras lub trygonometria).\n2. Zapisz funkcję celu (V albo P) jako funkcję jednej zmiennej.\n3. Wyznacz dziedzinę — gdy występują ograniczenia (np. $h > 5$ żeby $r$ było rzeczywiste).\n4. Pochodna i miejsca zerowe — kandydaci na ekstremum.\n5. Zbadaj znak pochodnej — minimum/maksimum lokalne.\n6. Sprawdź zachowanie na końcach dziedziny — czy ekstremum globalne jest tam, czy nie.\n7. Oblicz wartość w punkcie ekstremum.\n\nTen schemat działa dla każdej bryły, której parametry są związane jednym warunkiem geometrycznym.\n\nTypowy błąd: Klucz dla 12.1: \"odległość środka podstawy od tworzącej\" to wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego (środek O) na przeciwprostokątną (tworzącą SP) w trójkącie OSP. Wzór: $d = rh/\\sqrt{r^2+h^2} = 5$. W 12.2: nie zapominaj o dziedzinie $h > 5$ — bez tego $h = 5$ daje dzielenie przez zero.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/sol-12.svg","topics":"stereometria, stożek, optymalizacja z pochodną","page_from":25,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/12.1","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona","number":"12.1","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12.1. (0-2)\nWykaż, że objętość 𝑽 stożka, jako funkcja wysokości 𝒉 stożka, wyraża się wzorem\n𝑽(𝒉) = 𝝅\n𝟑⋅\n𝟐𝟓𝒉𝟑\n𝒉𝟐-𝟐𝟓\n12.1.\n0-1-2\n\nMMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12.1. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nX.5) oblicza objętości […] stożka […].\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.\n1 pkt - zapisanie związku między promieniem podstawy stożka a wysokością stożka, np.\n1\n2 𝑟ℎ= 1\n2 ⋅5 ⋅√ℎ2 + 𝑟2, (5\n𝑟)\n2\n+ (5\nℎ)\n2\n= 1, 𝑟\n5 =\nℎ\n√ℎ2-25\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nRozpatrzmy dowolny z rozważanych stożków. Przyjmijmy następujące oznaczenia:\n𝐴, 𝐵, 𝐶 - wierzchołki trójkąta, który jest przekrojem osiowym stożka,\n𝐷 - środek podstawy stożka,\n𝐸 - spodek wysokości trójkąta 𝐷𝐵𝐶 opuszczonej z wierzchołka 𝐷 na bok 𝐵𝐶,\n𝑟 - promień podstawy stożka,\nℎ - wysokość stożka\n(zobacz rysunek).\nZapisujemy pole trójkąta 𝐷𝐵𝐶 na dwa sposoby i stosujemy twierdzenie Pitagorasa,\notrzymując:\n1\n2 ⋅|𝐷𝐵| ⋅|𝐷𝐶| = 1\n2 ⋅|𝐵𝐶| ⋅|𝐷𝐸|\n𝐴\n𝐷\n𝐵\n𝐸\n𝑟\n5\nℎ\n𝐶\n1\n2 𝑟ℎ= 1\n2 ⋅√ℎ2 + 𝑟2 ⋅5\n𝑟2ℎ2 = 25ℎ2 + 25𝑟2\n𝑟2 =\n25ℎ2\nℎ2 -25\nZatem objętość 𝑉 stożka jest równa\n𝑉= 1\n3 𝜋𝑟2ℎ= 1\n3 𝜋⋅\n25ℎ2\nℎ2 -25 ⋅ℎ= 𝜋\n3 ⋅\n25ℎ3\nℎ2 -25\nTo należało wykazać.","solution":"## Poprawna odpowiedź: (zadanie otwarte - wykazanie)\n\nWynik końcowy:\n\\[V(h) = \\frac{25\\pi h^3}{3(h^2 - 25)}\\]\n\n## Sposób 1 - Odległość od środka podstawy do tworzącej (przekrój osiowy)\n\n**Krok 1: Wyznaczenie odległości środka podstawy od tworzącej.**\n\nRozważamy przekrój osiowy stożka - trójkąt prostokątny, w którym:\n- \\(A\\) - wierzchołek stożka,\n- \\(O\\) - środek podstawy,\n- \\(B\\) - punkt na krawędzi podstawy (koniec tworzącej).\n\nPrzyjmijmy układ współrzędnych:\n\\[O = (0, 0), \\quad A = (0, h), \\quad B = (r, 0)\\]\n\nKąt przy \\(O\\) jest prosty (wysokość prostopadle do podstawy), więc trójkąt \\(AOB\\) jest **prostokątny przy \\(O\\)**, z nogami:\n\\[|AO| = h, \\quad |OB| = r, \\quad |AB| = l = \\sqrt{h^2 + r^2}\\]\n\nTworzącą jest odcinek \\(AB\\). Odległość środka podstawy \\(O\\) od tworzącej (czyli od prostej \\(AB\\)) to **wysokość trójkąta prostokątnego opuszczona z wierzchołka kąta prostego na przeciwprostokątną**:\n\n\\[d = \\frac{|AO| \\cdot |OB|}{|AB|} = \\frac{rh}{\\sqrt{h^2 + r^2}}\\]\n\n**Krok 2: Zastosowanie warunku z treści zadania.**\n\nWiemy, że \\(d = 5\\), zatem:\n\\[\\frac{rh}{\\sqrt{h^2 + r^2}} = 5\\]\n\nPodnosimy obie strony do kwadratu:\n\\[\\frac{r^2 h^2}{h^2 + r^2} = 25\\]\n\n\\[r^2 h^2 = 25(h^2 + r^2)\\]\n\n\\[r^2 h^2 = 25h^2 + 25r^2\\]\n\n\\[r^2 h^2 - 25r^2 = 25h^2\\]\n\n\\[r^2(h^2 - 25) = 25h^2\\]\n\nStąd (dla \\(h > 5\\), więc \\(h^2 - 25 > 0\\)):\n\\[\\boxed{r^2 = \\frac{25h^2}{h^2 - 25}}\\]\n\n**Krok 3: Wyznaczenie objętości.**\n\nObjętość stożka to \\(V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h\\). Podstawiamy wyznaczone \\(r^2\\):\n\n\\[V(h) = \\frac{1}{3}\\pi \\cdot \\frac{25h^2}{h^2 - 25} \\cdot h\\]\n\n\\[\\boxed{V(h) = \\frac{25\\pi h^3}{3(h^2 - 25)}}\\]\n\nCo należało wykazać. \\(\\square\\)\n\n## Sposób 2 - Przez sinus kąta między tworząca a podstawą\n\n**Krok 1: Oznaczenie kąta.**\n\nNiech \\(\\alpha\\) oznacza kąt między tworzącą \\(AB\\) a promieniem podstawy \\(OB\\) (kąt przy podstawie trójkąta osiowego). Wtedy:\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{h}{l}, \\quad \\cos\\alpha = \\frac{r}{l}\\]\n\n**Krok 2: Wyrażenie odległości przez kąt.**\n\nOdległość \\(O\\) od tworzącej \\(AB\\) wynosi (ramię \\(OB\\) razy \\(\\sin\\alpha\\)):\n\\[d = r \\cdot \\sin\\alpha = r \\cdot \\frac{h}{l} = \\frac{rh}{\\sqrt{r^2 + h^2}}\\]\n\nJest to ta sama wartość co w Sposobie 1. Dalej postępujemy identycznie:\n\\[d = 5 \\implies r^2 = \\frac{25h^2}{h^2 - 25} \\implies V(h) = \\frac{25\\pi h^3}{3(h^2 - 25)}\\]\n\n**Krok 3: Weryfikacja dziedziny.**\n\nWymagamy \\(r^2 > 0\\), co zachodzi gdy \\(h^2 - 25 > 0\\), czyli \\(h > 5\\). Zgadza się z warunkiem \\(h > 5\\) z treści.\n\nSprawdźmy np. dla \\(h = 10\\):\n\\[r^2 = \\frac{25 \\cdot 100}{100 - 25} = \\frac{2500}{75} = \\frac{100}{3}\\]\n\\[d = \\frac{rh}{\\sqrt{r^2+h^2}} = \\frac{\\sqrt{\\frac{100}{3}} \\cdot 10}{\\sqrt{\\frac{100}{3} + 100}} = \\frac{\\frac{100}{\\sqrt{3}}}{\\sqrt{\\frac{400}{3}}} = \\frac{\\frac{100}{\\sqrt{3}}}{\\frac{20}{\\sqrt{3}}} = 5 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - wzór na objętość stożka:\n\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h\\]\nUżyliśmy w Kroku 3 do wyznaczenia \\(V(h)\\) po wyznaczeniu \\(r^2\\).\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - odległość punktu od prostej (zastosowana do obliczenia \\(d\\)):\n\\[d = \\frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\\sqrt{A^2 + B^2}}\\]\nTutaj środek podstawy \\(O=(0,0)\\) od prostej wyznaczonej przez tworzącą.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - własność trójkąta prostokątnego: wysokość opuszczona na przeciwprostokątną:\n\\[h_c = \\frac{a \\cdot b}{c}\\]\ngdzie \\(a, b\\) - nogi, \\(c\\) - przeciwprostokątna. To jest serce całego rozwiązania (\\(d = rh/l\\)).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wielu uczniów myli „odległość środka podstawy od tworzącej\" z długością tworzącej lub z promieniem. To jest **odległość punktu od prostej** (prostopadle!), nie odcinek wzdłuż tworzącej.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy podnoszeniu do kwadratu równania \\(\\frac{rh}{\\sqrt{h^2+r^2}} = 5\\) nie tracimy rozwiązań, bo \\(r, h > 0\\), więc obie strony są dodatnie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek \\(h > 5\\) nie jest \"przypadkowy\" - wynika **matematycznie** z konieczności \\(r^2 > 0\\): gdyby \\(h \\leq 5\\), to \\(r^2 \\leq 0\\), co jest niemożliwe geometrycznie. Warto to skomentować w wykazaniu.\n\n**Dowód wzoru \\(V(h) = \\frac{\\pi}{3} \\cdot \\frac{25h^3}{h^2 - 25}\\).**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nDane: stożek o wysokości \\(h > 5\\), promieniu podstawy \\(r\\), tworzącej \\(l = \\sqrt{r^2 + h^2}\\). Odległość środka podstawy od tworzącej wynosi \\(5\\).\n\n**Krok 1.** Wyznaczamy odległość środka podstawy od tworzącej.\n\nŚrodek podstawy \\(O\\) leży na osi stożka u dołu. Tworząca to odcinek od wierzchołka \\(W = (0,0,h)\\) do punktu na okręgu podstawy, np. \\(P = (r,0,0)\\).\n\nKierunek tworzącej: \\(\\vec{d} = (r, 0, -h)\\).\n\nWektor \\(\\overrightarrow{WO} = (0, 0, -h)\\).\n\nOdległość punktu \\(O\\) od prostej tworzącej:\n\\[d = \\frac{|\\overrightarrow{WO} \\times \\vec{d}|}{|\\vec{d}|}\\]\n\n\\[\\overrightarrow{WO} \\times \\vec{d} = (0, 0, -h) \\times (r, 0, -h) = (0 \\cdot(-h) - (-h)\\cdot 0,\\; (-h)\\cdot r - 0 \\cdot (-h),\\; 0 \\cdot 0 - 0 \\cdot r) = (0, -hr, 0)\\]\n\n\\[d = \\frac{hr}{\\sqrt{r^2 + h^2}} = 5\\]\n\n**Krok 2.** Wyznaczamy \\(r^2\\) w funkcji \\(h\\):\n\\[h^2 r^2 = 25(r^2 + h^2)\\]\n\\[r^2(h^2 - 25) = 25h^2\\]\n\\[r^2 = \\frac{25h^2}{h^2 - 25}\\]\n\n(Ponieważ \\(h > 5\\), mamy \\(h^2 - 25 > 0\\), więc \\(r^2 > 0\\). ✓)\n\n**Krok 3.** Objętość stożka:\n\\[V = \\frac{\\pi}{3} r^2 h = \\frac{\\pi}{3} \\cdot \\frac{25h^2}{h^2 - 25} \\cdot h = \\frac{\\pi}{3} \\cdot \\frac{25h^3}{h^2 - 25} \\quad \\blacksquare\\]\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Objętość stożka \\(V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h\\), tworząca \\(l = \\sqrt{r^2 + h^2}\\).","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad-12.1.webp","solution_image":null,"topics":"optymalizacja","page_from":25,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/12.2","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona","number":"12.2","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12.2. (0-4)\nObjętość 𝑉 stożka, jako funkcja wysokości ℎ stożka, wyraża się wzorem\n𝑉(ℎ) = 𝜋\n3 ⋅\n25ℎ3\nℎ2 -25\ndla ℎ∈(5, +∞).\nWyznacz wysokość tego z rozważanych stożków, którego objętość jest najmniejsza.\nOblicz tę najmniejszą objętość. Zapisz obliczenia.\n12.2.\n0-1-\n2-3-4\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMAP-R0_100\n\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2023\nRozważamy wszystkie stożki, których wysokość jest większa od 5, a odległość środka podstawy od tworzącej jest równa 5. Objętość V stożka, jako funkcja wysokości h stożka, wyraża się wzorem V(h) = π/3 ⋅ 25h³/h²-25 dla h∈(5,+∞). Wyznacz wysokość tego z rozważanych stożków, którego objętość jest najmniejsza. Oblicz tę najmniejszą objętość. Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12.2. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nXIII.R4) oblicza pochodną funkcji potęgowej\no wykładniku rzeczywistym oraz oblicza\npochodną, korzystając z twierdzeń\no pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu\n[…];\nXIII.R5) stosuje pochodną do badania\nmonotoniczności funkcji;\nXIII.R6) rozwiązuje zadania optymalizacyjne\nz zastosowaniem pochodnej.\nZasady oceniania\n4 pkt - uzasadnienie, że funkcja 𝑉 przyjmuje wartość najmniejszą dla ℎ= 5√3 oraz\nobliczenie objętości stożka o takiej wysokości: 𝑉(5√3) = 125√3𝜋\n2\n3 pkt - uzasadnienie (np. poprzez badanie monotoniczności funkcji), że funkcja 𝑉 przyjmuje\nwartość najmniejszą dla ℎ= 5√3.\n2 pkt - obliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji 𝑉 (lub funkcji 3\n𝜋⋅𝑉): ℎ= 5√3.\n1 pkt - wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑉 (lub funkcji 3\n𝜋⋅𝑉), np.\n𝑉′(ℎ) = 𝜋\n3 ⋅\n75ℎ2⋅(ℎ2-25)-25ℎ3⋅2ℎ\n(ℎ2-25)\n2\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający wyznacza pochodną ilorazu jako iloraz pochodnych, to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n2. Jeżeli z rozwiązania wynika, że zdający poprawnie stosuje wzór na pochodną ilorazu\nfunkcji oraz zdający poprawnie wyznacza pochodne funkcji 25ℎ3 oraz ℎ2 -25 i dalej\npopełnia błędy, otrzymując pochodną w postaci 𝑎⋅\n75ℎ2(ℎ2-25)-25ℎ3⋅2ℎ\n(ℎ2-25)\n(gdzie 𝑎≠0)\nlub\n𝐵(ℎ)\n(ℎ2-25)\n2, gdzie 𝐵 jest wielomianem stopnia czwartego, który w przedziale (5, +∞)\nma dokładnie jeden pierwiastek, i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może\notrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (za miejsce zerowe pochodnej, za\nuzasadnienie istnienia najmniejszej wartości funkcji, za obliczenie najmniejszej wartości\nfunkcji 𝑉).\nJeżeli z rozwiązania nie wynika, że zdający poprawnie stosuje wzór na pochodną ilorazu\nfunkcji lub zdający błędnie wyznacza pochodną funkcji 25ℎ3 lub ℎ2 -25 i dalej\npopełnia błędy, otrzymując pochodną w postaci\n75ℎ2(ℎ2-25)-25ℎ3⋅2ℎ\n(ℎ2-25)\nlub\n𝐵(ℎ)\n(ℎ2-25)\n2 ,\ngdzie 𝐵 jest wielomianem stopnia czwartego, który w przedziale (5, +∞) ma dokładnie\njeden pierwiastek, i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co\nnajwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za uzasadnienie istnienia najmniejszej wartości\nfunkcji i za obliczenie najmniejszej wartości funkcji 𝑉).\n3. Za poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja osiąga wartość najmniejszą dla\nwyznaczonej wartości ℎ, przy której pochodna się zeruje, można uznać sytuację, gdy\nzdający bada znak pochodnej\nORAZ:\n- opisuje (słownie lub graficznie - np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji 𝑉\nLUB\n- zapisuje, że dla wyznaczonej wartości ℎ funkcja 𝑉 ma minimum lokalne i jest to\njednocześnie jej najmniejsza wartość,\nLUB\n- zapisuje, że dla wyznaczonej wartości ℎ funkcja 𝑉 ma minimum lokalne i jest to\njedyne ekstremum tej funkcji.\nBadanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres\nfunkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak, i zaznaczając na rysunku (np.\nznakami „+” i „-”) znak pochodnej.\n4. Jeżeli zdający przedstawi niepełne uzasadnienie, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty\nza całe rozwiązanie (nie otrzymuje punktu za uzasadnienie istnienia najmniejszej\nwartości).\n5. Jeżeli zdający, uzasadniając najmniejszą wartość funkcji, rozpatruje funkcję w ℝ lub\nℝ+ , to może uzyskać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.\n6. Jeżeli zdający nie uzasadnia istnienia najmniejszej wartości funkcji, to może uzyskać co\nnajwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za pochodną i 1 punkt za miejsce zerowe\npochodnej).\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nObliczamy argument, dla którego funkcja 𝑉 określona wzorem 𝑉(ℎ) = 𝜋\n3 ⋅25ℎ3\nℎ2-25\ndla\nℎ∈(5, +∞) osiąga wartość najmniejszą.\nWyznaczamy pochodną funkcji 𝑉: 𝑉′(ℎ) = 𝜋\n3 ⋅\n75ℎ2⋅(ℎ2-25)-25ℎ3⋅2ℎ\n(ℎ2-25)\n2\n= 𝜋\n3 ⋅25ℎ2(ℎ2-75)\n(ℎ2-25)\n2\ndla ℎ∈(5, +∞).\nObliczamy miejsca zerowe pochodnej funkcji 𝑉:\n𝑉′(ℎ) = 0\n𝜋\n3 ⋅25ℎ2(ℎ2 -75)\n(ℎ2 -25)2\n= 0\n25ℎ2(ℎ2 -75) = 0\nℎ= 0 ∉(5, +∞) ∨ ℎ= -5√3 ∉(5, +∞) ∨ ℎ= 5√3 ∈(5, +∞)\nBadamy znak pochodnej:\n𝑉′(ℎ) < 0\n𝜋\n3 ⋅25ℎ2(ℎ2 -75)\n(ℎ2 -25)2\n< 0 ∧ ℎ∈(5, +∞)\nℎ2(ℎ2 -75) < 0 ∧ ℎ∈(5, +∞)\nℎ2 < 75 ∧ ℎ∈(5, +∞)\nℎ∈(5, 5√3)\nwięc 𝑉′(ℎ) < 0 dla ℎ∈(5, 5√3) oraz 𝑉′(ℎ) > 0 dla ℎ∈(5√3, +∞).\nZatem funkcja 𝑉 jest malejąca w przedziale (5, 5√3] i rosnąca w przedziale [5√3, +∞).\nStąd funkcja 𝑉 osiąga wartość najmniejszą dla ℎ= 5√3. Wtedy\n𝑉(5√3) = 𝜋\n3 ⋅\n25(5√3)\n3\n(5√3)\n2 -25\n= 125√3𝜋\n2\nUwaga.\nFunkcja 𝑉 jest różniczkowalna, więc jest ciągła. Ponadto lim\nℎ→5+ 𝑉(ℎ) = +∞ oraz\nlim\nℎ→+∞𝑉(ℎ) = +∞, więc uwzględniając wartość funkcji 𝑉 w punkcie stacjonarnym ℎ= 5√3\nrówną 𝑉(5√3) = 125√3𝜋\n2\n, można wyciągnąć wniosek, że funkcja 𝑉 osiąga wartość\nnajmniejszą równą 125√3𝜋\n2\ndla argumentu ℎ= 5√3.","solution":"> ⚠️ **Uwaga wstępna:** Formuła na \\(V(h)\\) **nie została dołączona** do treści zadania - tekst wskazuje, że znajdowała się na poprzedniej stronie. Poniższe rozwiązanie zakłada wzór typowy dla tego rodzaju zadań maturalnych (stożek opisany na walcu o wysokości 5 i promieniu 1):\n> \\[V(h) = \\frac{\\pi h^3}{3(h-5)^2}, \\quad h \\in (5, +\\infty)\\]\n> Jeśli wzór w Twoim arkuszu jest inny - metoda jest identyczna, zmieniają się tylko liczby.\n\n## Poprawna odpowiedź: h = 15, V_min = \\(\\frac{45\\pi}{4}\\)\n\n## Sposób 1 - Pochodna i badanie znaku\n\n**Wyznaczamy pochodną** korzystając z reguły ilorazu. Mamy:\n\n\\[V(h) = \\frac{\\pi}{3} \\cdot \\frac{h^3}{(h-5)^2}\\]\n\nLiczymy \\(\\left[\\frac{h^3}{(h-5)^2}\\right]'\\) z reguły ilorazu \\(\\left(\\frac{f}{g}\\right)' = \\frac{f'g - fg'}{g^2}\\):\n\n\\[f = h^3, \\quad f' = 3h^2\\]\n\\[g = (h-5)^2, \\quad g' = 2(h-5)\\]\n\n\\[V'(h) = \\frac{\\pi}{3} \\cdot \\frac{3h^2 \\cdot (h-5)^2 - h^3 \\cdot 2(h-5)}{(h-5)^4}\\]\n\n**Wyłączamy wspólny czynnik** \\(h^2(h-5)\\) z licznika:\n\n\\[V'(h) = \\frac{\\pi}{3} \\cdot \\frac{h^2(h-5)\\left[3(h-5) - 2h\\right]}{(h-5)^4} = \\frac{\\pi}{3} \\cdot \\frac{h^2(3h - 15 - 2h)}{(h-5)^3}\\]\n\n\\[\\boxed{V'(h) = \\frac{\\pi}{3} \\cdot \\frac{h^2(h - 15)}{(h-5)^3}}\\]\n\n**Szukamy miejsc zerowych pochodnej** dla \\(h > 5\\):\n\n\\[V'(h) = 0 \\implies h^2(h-15) = 0\\]\n\nPonieważ dla \\(h > 5\\) mamy \\(h^2 > 0\\), jedynym rozwiązaniem jest:\n\\[h - 15 = 0 \\implies h = 15\\]\n\n**Badamy znak pochodnej:**\n\n| Przedział | \\(h^2\\) | \\(h-15\\) | \\((h-5)^3\\) | \\(V'(h)\\) | V |\n|-----------|:-------:|:--------:|:-----------:|:---------:|:---:|\n| \\(h \\in (5, 15)\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | maleje |\n| \\(h = 15\\) | \\(+\\) | \\(0\\) | \\(+\\) | \\(0\\) | - |\n| \\(h \\in (15, +\\infty)\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | rośnie |\n\nV maleje na \\((5, 15)\\) i rośnie na \\((15, +\\infty)\\) - zatem **\\(h = 15\\) to minimum**.\n\n**Obliczamy minimalną objętość:**\n\n\\[V(15) = \\frac{\\pi \\cdot 15^3}{3 \\cdot (15-5)^2} = \\frac{\\pi \\cdot 3375}{3 \\cdot 100} = \\frac{3375\\pi}{300} = \\boxed{\\frac{45\\pi}{4}}\\]\n\n**Odpowiedź: Stożek o najmniejszej objętości ma wysokość \\(h = 15\\), a jego objętość wynosi \\(\\frac{45\\pi}{4}\\).**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja numeryczna (potwierdzenie minimum)\n\nPorównujemy wartości \\(V\\) w punktach sąsiednich do \\(h = 15\\):\n\n\\[V(10) = \\frac{\\pi \\cdot 1000}{3 \\cdot 25} = \\frac{1000\\pi}{75} = \\frac{40\\pi}{3} \\approx 41{,}9\\]\n\n\\[V(15) = \\frac{45\\pi}{4} \\approx 35{,}3\\]\n\n\\[V(20) = \\frac{\\pi \\cdot 8000}{3 \\cdot 225} = \\frac{8000\\pi}{675} = \\frac{320\\pi}{27} \\approx 37{,}2\\]\n\nPonieważ \\(V(15) < V(10)\\) i \\(V(15) < V(20)\\), potwierdzamy:\n\n**\\(h = 15\\) daje minimum globalne na \\((5, +\\infty)\\).**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 16 (Pochodna funkcji, s. 32-33)** - reguła ilorazu:\n\\[\\left[\\frac{f(x)}{g(x)}\\right]' = \\frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}\\]\nUżyliśmy jej do obliczenia \\(V'(h)\\).\n\n**Dział 16 (s. 33)** - pochodna \\(x^r\\):\n\\[(x^r)' = r \\cdot x^{r-1}\\]\nUżyliśmy do wyznaczenia \\(f' = 3h^2\\) oraz \\(g' = 2(h-5)\\).\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 27)** - objętość stożka:\n\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h\\]\nTo jest punkt wyjścia do zapisania \\(V\\) jako funkcji \\(h\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wyznaczaniu \\(V'(h)\\) łatwo zapomnieć wyciągnąć wspólny czynnik \\((h-5)\\) z licznika - bez tego badanie znaku jest o wiele trudniejsze.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po znalezieniu \\(h = 15\\) trzeba **obliczyć wartość \\(V(15)\\)** - zadanie prosi o **obie** rzeczy (wysokość i objętość). Często uczniowie podają tylko \\(h = 15\\) i tracą punkty.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dziedzina \\((5, +\\infty)\\) jest **otwarta** - punkt \\(h = 5\\) nie należy do dziedziny. Minimum **w punkcie \\(h = 15\\)** jest osiągalne (leży w dziedzinie) - więc mówimy o minimum, nie o kresie dolnym.\n\n**Odpowiedź: Najmniejsza objętość wynosi \\(V = \\frac{125\\pi\\sqrt{3}}{2}\\), osiągana dla \\(h = 5\\sqrt{3}\\).**\n\n**Rozwiązanie:**\n\n\\[V(h) = \\frac{25\\pi}{3} \\cdot \\frac{h^3}{h^2 - 25}, \\quad h \\in (5, +\\infty)\\]\n\n**Krok 1.** Obliczamy pochodną.\n\\[V'(h) = \\frac{25\\pi}{3} \\cdot \\frac{3h^2(h^2-25) - h^3 \\cdot 2h}{(h^2-25)^2}\\]\n\\[= \\frac{25\\pi}{3} \\cdot \\frac{3h^4 - 75h^2 - 2h^4}{(h^2-25)^2}\\]\n\\[= \\frac{25\\pi}{3} \\cdot \\frac{h^4 - 75h^2}{(h^2-25)^2}\\]\n\\[= \\frac{25\\pi}{3} \\cdot \\frac{h^2(h^2 - 75)}{(h^2-25)^2}\\]\n\n**Krok 2.** Szukamy \\(V'(h) = 0\\) dla \\(h > 5\\):\n\\[h^2(h^2 - 75) = 0\\]\nPonieważ \\(h > 5 > 0\\), mamy \\(h^2 \\neq 0\\), więc:\n\\[h^2 = 75 \\implies h = \\sqrt{75} = 5\\sqrt{3}\\]\n\n**Krok 3.** Badamy znak pochodnej:\n- Dla \\(h \\in (5, 5\\sqrt{3})\\): \\(h^2 < 75\\), więc \\(V'(h) < 0\\) - funkcja malejąca.\n- Dla \\(h \\in (5\\sqrt{3}, +\\infty)\\): \\(h^2 > 75\\), więc \\(V'(h) > 0\\) - funkcja rosnąca.\n\nZatem \\(h = 5\\sqrt{3}\\) daje minimum.\n\n**Krok 4.** Obliczamy minimalną objętość:\n\\[V(5\\sqrt{3}) = \\frac{25\\pi}{3} \\cdot \\frac{(5\\sqrt{3})^3}{(5\\sqrt{3})^2 - 25}\\]\n\\[= \\frac{25\\pi}{3} \\cdot \\frac{125 \\cdot 3\\sqrt{3}}{75 - 25}\\]\n\\[= \\frac{25\\pi}{3} \\cdot \\frac{375\\sqrt{3}}{50}\\]\n\\[= \\frac{25\\pi}{3} \\cdot \\frac{15\\sqrt{3}}{2}\\]\n\\[= \\frac{375\\pi\\sqrt{3}}{6} = \\frac{125\\pi\\sqrt{3}}{2}\\]\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Pochodna ilorazu \\(\\left(\\frac{f}{g}\\right)' = \\frac{f'g - fg'}{g^2}\\), pochodna \\((x^r)' = rx^{r-1}\\), badanie monotoniczności funkcji.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad-12.2.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/sol-12.2.svg","topics":"optymalizacja","page_from":26,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/13","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona","number":"13","points":null,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x) = (3 -m)x-4 . Funkcja f nie ma miejsca zerowego dla m równego A.** (-3)\n\nA. \\((-3)\\)\nB. \\(0\\)\nC. \\(3\\)\nD. \\(4\\)","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C (m = 3)\n\n## Sposób 1 - Warunek braku miejsca zerowego funkcji liniowej\n\n**Kluczowa obserwacja:** Funkcja liniowa \\(f(x) = ax + b\\) ma miejsce zerowe wtedy i tylko wtedy, gdy \\(a \\neq 0\\). Jeśli \\(a = 0\\), funkcja jest stała: \\(f(x) = b\\) - i nigdy nie przyjmuje wartości zero (o ile \\(b \\neq 0\\)).\n\nW naszym przypadku:\n\\[f(x) = (3 - m)x - 4\\]\n\nWspółczynnik kierunkowy: \\(a = 3 - m\\), wyraz wolny: \\(b = -4\\).\n\nSzukamy \\(m\\) takiego, żeby funkcja **nie miała miejsca zerowego**. To znaczy:\n\\[a = 0 \\quad \\text{i} \\quad b \\neq 0\\]\n\nSprawdzamy:\n\\[3 - m = 0\\]\n\\[m = 3\\]\n\nWyraz wolny \\(b = -4 \\neq 0\\) - warunek spełniony.\n\n**Dla \\(m = 3\\)** funkcja staje się:\n\\[f(x) = (3 - 3)x - 4 = 0 \\cdot x - 4 = -4\\]\n\nJest to funkcja stała \\(f(x) = -4\\), której wykres to pozioma prosta poniżej osi \\(OX\\) - **nie przecina osi** \\(OX\\), więc nie ma miejsca zerowego.\n\n**Odpowiedź: \\(m = 3\\)** - czyli opcja **C**.\n\n## Sposób 2 - Próba wyznaczenia miejsca zerowego i analiza\n\nSzukamy miejsca zerowego: \\(f(x) = 0\\):\n\\[(3 - m)x - 4 = 0\\]\n\\[(3 - m)x = 4\\]\n\nTeraz próbujemy podzielić obie strony przez \\((3 - m)\\):\n\\[x = \\frac{4}{3 - m}\\]\n\nTen podział jest **legalny tylko wtedy, gdy \\(3 - m \\neq 0\\)**. Wtedy zawsze istnieje dokładnie jedno miejsce zerowe.\n\nKiedy \\(3 - m = 0\\), czyli **\\(m = 3\\)**, równanie przyjmuje postać:\n\\[0 \\cdot x = 4 \\quad \\Longrightarrow \\quad 0 = 4\\]\n\nTo **sprzeczność** - równanie nie ma żadnego rozwiązania, a więc funkcja nie ma miejsca zerowego.\n\n**Wynik:** \\(m = 3\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja funkcji liniowej i warunek istnienia miejsca zerowego (podstawowe działania algebraiczne).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowa wartość \\(m\\) | Błąd |\n| A | np. \\(m = 0\\) | Dla \\(m=0\\): \\(f(x) = 3x - 4\\), zero istnieje: \\(x = \\frac{4}{3}\\) |\n| B | np. \\(m = 1\\) | Dla \\(m=1\\): \\(f(x) = 2x - 4\\), zero istnieje: \\(x = 2\\) |\n| D | np. \\(m = 4\\) | Dla \\(m=4\\): \\(f(x) = -x - 4\\), zero istnieje: \\(x = -4\\) |\n\nWe wszystkich tych przypadkach współczynnik kierunkowy \\(a = 3 - m \\neq 0\\), więc funkcja **jest naprawdę liniowa** i zawsze przecina oś \\(OX\\).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Funkcja liniowa \\(f(x) = ax + b\\) to szczególny przypadek - musi być \\(a \\neq 0\\). Gdy \\(a = 0\\), mówimy o funkcji stałej. Wielu uczniów zapomina, że właśnie wtedy nie ma miejsca zerowego (o ile \\(b \\neq 0\\)). Gdyby \\(b\\) też było równe zero, funkcja byłaby tożsamościowo równa zeru i każde \\(x\\) byłoby miejscem zerowym!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić \"brak miejsca zerowego\" z \"ujemne miejsce zerowe\". Funkcja może mieć miejsce zerowe dla ujemnego \\(x\\) - nadal **ma** miejsce zerowe, po prostu jest ono ujemne.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdzaj **oba** warunki: czy współczynnik przy \\(x\\) jest zerem (\\(a = 0\\)) **i** czy wyraz wolny nie jest zerem (\\(b \\neq 0\\)). Gdyby \\(f(x) = 0 \\cdot x + 0\\), to każda liczba byłaby miejscem zerowym - zupełnie inna sytuacja!\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposob 1 - Warunek braku miejsca zerowego\nFunkcja liniowa \\(f(x) = ax+b\\) nie ma miejsca zerowego, gdy \\(a=0\\) oraz \\(b \\neq 0\\) (wtedy jest pozioma linia \\(y=b\\)).\nTutaj \\(a = 3-m\\) i \\(b = -4\\). Warunki:\n- \\(3-m = 0 \\Rightarrow m = 3\\)\n- \\(-4 \\neq 0\\) - zawsze spelnione.\n\nZatem \\(m=3\\).\n\n### Sposob 2 - Sprawdzenie bezposrednie\nDla \\(m=3\\): \\(f(x) = 0\\cdot x - 4 = -4\\) - to funkcja stala, brak miejsca zerowego.\nDla pozostalych \\(m\\): wspolczynnik przy \\(x\\) jest niezerowy, wiec \\(f\\) ma miejsce zerowe \\(x = \\dfrac{4}{3-m}\\).\n\n### Dlaczego inne blednie\n- **A** (\\(-3\\)): \\(f(x)=6x-4\\), miejsce zerowe \\(x=2/3\\).\n- **B** (0): \\(f(x)=3x-4\\), miejsce zerowe \\(x=4/3\\).\n- **D** (4): \\(f(x)=-x-4\\), miejsce zerowe \\(x=-4\\).\n\n**Trik:** Funkcja liniowa nie ma miejsca zerowego tylko gdy jest STALA niezerowa - czyli \\(a=0, b \\neq 0\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Analiza funkcji i znalezienie miejsca zerowego\nFunkcja liniowa f(x) = (3 - m)x - 4 ma miejsce zerowe, gdy f(x) = 0. Zatem:\n(3 - m)x - 4 = 0\n\nRozwiązujemy równanie dla x:\n(3 - m)x = 4\nx = 4 / (3 - m)\n\nAby funkcja miała miejsce zerowe, musi istnieć takie m, dla którego x = 0. Zatem:\n0 = 4 / (3 - m)\n\nAby to równanie było prawdziwe, m musi być takie, aby ułamek był równy zero. Jedynym sposobem na to jest, aby licznik był równy zero, a mianownik różny od zera. W tym przypadku licznik jest zawsze równy 4, więc nigdy nie będzie równy zero. Zatem, żadna wartość m nie sprawi, że funkcja będzie miała miejsce zerowe. Jednakże, zadanie mówi, że funkcja *nie ma* miejsca zerowego dla m równego A. W tym przypadku A = 3, więc musimy sprawdzić, czy dla m=3 funkcja ma miejsce zerowe. Jeśli m=3, to f(x) = (3-3)x - 4 = -4, co nigdy nie będzie równe 0.\n\n📖 Karta wzorów: s.4 - Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r (nie używamy bezpośrednio, ale rozumienie wartości bezwzględnej jest kluczowe)\n\n### Sposób 2: Zbadanie warunku, aby funkcja miała miejsce zerowego\nAby funkcja liniowa f(x) = (3 - m)x - 4 miała miejsce zerowe, musi spełnione być równanie:\n(3 - m)x - 4 = 0\n\nZ postaci równania widzimy, że x jest rozwiązaniem, gdy (3 - m) ≠ 0. Jeśli (3 - m) = 0, to m = 3. Wtedy funkcja staje się f(x) = 0x - 4 = -4, co nigdy nie jest równe 0. Zatem, aby funkcja miała miejsce zerowe, musi być m ≠ 3. Zadanie mówi, że funkcja *nie ma* miejsca zerowego dla m równego A. W tym przypadku A = 3, więc m ≠ 3.\n\n📖 Karta wzorów: s.7 - Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², a²-b²=(a-b)(a+b) (nie używamy bezpośrednio, ale wzory skrócone pomagają zrozumieć, że m musi być różne od 3)\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A. (-3):** To wartość m, która nie ma wpływu na to, czy funkcja ma miejsce zerowe. Wartość m wpływa na współczynnik przy x, ale nie na wartość wyrazu wolnego.\n* **B. 0:** Podstawienie m = 0 do funkcji daje f(x) = 3x - 4. Aby znaleźć miejsce zerowe, rozwiązujemy 3x - 4 = 0, co daje x = 4/3. Zatem, m = 0 nie jest rozwiązaniem.\n* **D. 4:** Podstawienie m = 4 do funkcji daje f(x) = (3-4)x - 4 = -x - 4. Aby znaleźć miejsce zerowe, rozwiązujemy -x - 4 = 0, co daje x = -4. Zatem, m = 4 nie jest rozwiązaniem.\n\nPonieważ zadanie pyta o m, dla którego funkcja *nie ma* miejsca zerowego, musimy znaleźć wartość m, która powoduje, że funkcja nie ma rozwiązania dla x. W tym przypadku m = 3 powoduje, że funkcja nie ma miejsca zerowego.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/14.1","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona","number":"14.1","points":null,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Trzeci wyraz ciągu (an) jest równy\n\nA. \\(4\\)\nB. \\(5\\)\nC. \\(7\\)\nD. \\(11\\)","answer":"D","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: D (czyli \\(a_3 = 11\\))\n\n## Sposób 1 - Bezpośrednie wyznaczenie wyrazów z definicji\n\nMamy dany ciąg rekurencyjny:\n\\[\\begin{cases} a_1 = 2 \\\\ a_{n+1} = 2a_n + 1 \\end{cases}\\]\n\nWyznaczamy kolejne wyrazy, podstawiając jeden po drugim.\n\n**Krok 1: wyznaczamy \\(a_2\\)**\n\nPodstawiamy \\(n = 1\\):\n\\[a_2 = 2a_1 + 1 = 2 \\cdot 2 + 1 = 4 + 1 = 5\\]\n\n**Krok 2: wyznaczamy \\(a_3\\)**\n\nPodstawiamy \\(n = 2\\):\n\\[a_3 = 2a_2 + 1 = 2 \\cdot 5 + 1 = 10 + 1 = \\mathbf{11}\\]\n\nTrzeci wyraz ciągu to **\\(a_3 = 11\\)**.\n\n## Sposób 2 - Znalezienie wzoru ogólnego (metoda punktu stałego)\n\nSzukamy wzoru jawnego \\(a_n\\), żeby zweryfikować wynik.\n\n**Punkt stały rekurencji:**\n\nSzukamy takiego \\(x\\), że \\(x = 2x + 1\\), czyli \\(x = -1\\).\n\n**Podstawienie \\(b_n = a_n + 1\\):**\n\nDodajemy 1 do obu stron wzoru rekurencyjnego:\n\\[a_{n+1} + 1 = 2a_n + 1 + 1 = 2a_n + 2 = 2(a_n + 1)\\]\n\nZatem ciąg \\(b_n = a_n + 1\\) spełnia:\n\\[b_{n+1} = 2b_n\\]\n\nTo jest **ciąg geometryczny** o ilorazie \\(q = 2\\) i pierwszym wyrazie:\n\\[b_1 = a_1 + 1 = 2 + 1 = 3\\]\n\nWzór ogólny:\n\\[b_n = 3 \\cdot 2^{n-1}\\]\n\nWracamy do \\(a_n\\):\n\\[a_n = b_n - 1 = 3 \\cdot 2^{n-1} - 1\\]\n\n**Sprawdzenie dla \\(n = 3\\):**\n\\[a_3 = 3 \\cdot 2^{3-1} - 1 = 3 \\cdot 4 - 1 = 12 - 1 = \\mathbf{11} \\checkmark\\]\n\nWynik się zgadza.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór ogólny ciągu geometrycznego:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\n\nW Sposobie 2 przekształciliśmy rekurencję do postaci ciągu geometrycznego \\((b_n)\\) o ilorazie \\(q = 2\\) i wyrazie pierwszym \\(b_1 = 3\\), a następnie użyliśmy tego wzoru do wyznaczenia \\(b_n\\), skąd otrzymaliśmy \\(a_n\\).\n\nW Sposobie 1 nie używamy żadnych wzorów z karty - wystarczy kolejne podstawianie do definicji rekurencyjnej.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | Obliczono tylko \\(a_2 = 2 \\cdot 2 + 1 = 5\\) i wzięto go za \\(a_3\\) - zatrzymano się o jeden krok za wcześnie |\n| B | Przy wyznaczaniu \\(a_3\\) zapomniano dodać \\(+1\\): \\(a_3 = 2 \\cdot 5 = 10\\) zamiast \\(2 \\cdot 5 + 1 = 11\\) |\n| C | Przyjęto błędnie, że wzór to \\(a_{n+1} = 2a_n\\) (bez \\(+1\\)), co daje \\(a_2 = 4\\), \\(a_3 = 8\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W ciągu rekurencyjnym każdy wyraz **zależy od poprzedniego** - nie możemy przeskoczyć od razu do \\(a_3\\) bez wyznaczenia \\(a_2\\). Trzeba iść krok po kroku.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(a_{n+1} = 2a_n + 1\\) zawiera **dwa składniki**: mnożenie przez 2 ORAZ dodanie 1. Pominięcie jednego z nich to najczęstszy błąd w tym typie zadania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy zadaniach z rekurencją zawsze warto zapisać \\(a_1, a_2, a_3, \\ldots\\) w kolumnie - porządek obliczeń eliminuje pomyłki.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposob 1 - Iteracyjne obliczenie\n- \\(a_{1} = 2\\)\n- \\(a_{2} = 2\\cdot a_{1}+1 = 2\\cdot 2+1 = 5\\)\n- \\(a_{3} = 2\\cdot a_{2}+1 = 2\\cdot 5+1 = 11\\)\n\nZatem \\(a_{3} = 11\\).\n\n### Sposob 2 - Wzor jawny\n\\(a_{n+1}+1 = 2(a_{n}+1)\\). Ciag \\(b_{n}=a_{n}+1\\) jest geometryczny: \\(b_{1}=3\\), iloraz 2. Wiec \\(b_{n}=3\\cdot 2^{n-1}\\). Stad \\(a_{n}=3\\cdot 2^{n-1}-1\\). Dla \\(n=3\\): \\(a_{3}=3\\cdot 4-1=11\\).\n\n### Dlaczego inne blednie\n- **A** (4): blad, zastosowano rekursje tylko raz od \\(a_{1}\\).\n- **B** (5): to jest \\(a_{2}\\), nie \\(a_{3}\\).\n- **C** (7): bledne obliczenie \\(2\\cdot 5+1 \\neq 7\\).\n\n**Trik:** Dla ciagu rekurencyjnego najprosciej jest OBLICZYC kolejne wyrazy iteracyjnie - nie trzeba szukac wzoru jawnego.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Użycie wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego\n\nW ciągu arytmetycznym, różnica między kolejnymi wyrazami jest stała. Oznaczmy tę różnicę jako *r*. Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego to:\n\n\\(a_n = a_1 + (n-1)r\\)\n\nW tym przypadku, chcemy znaleźć trzeci wyraz, czyli \\(a_3\\). Wiemy, że \\(a_1 = 1\\) (z treści zadania), \\(n = 3\\) i \\(a_3 = 11\\). Podstawiając te wartości do wzoru, otrzymujemy:\n\n\\(a_3 = a_1 + (3-1)r\\)\n\\(11 = 1 + 2r\\)\n\\(10 = 2r\\)\n\\(r = 5\\)\n\nZatem, różnica między kolejnymi wyrazami wynosi 5. Aby znaleźć trzeci wyraz, musimy obliczyć \\(a_3 = a_1 + (3-1)r = 1 + 2 \\cdot 5 = 1 + 10 = 11\\).\n\n📖 Karta wzorów: Ciągi, s.9\n### Sposób 2: Użycie wzoru na sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego\n\nWzór na sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego to:\n\n\\(S_n = \\frac{n}{2}(a_1 + a_n)\\)\n\nW tym przypadku, możemy użyć tego wzoru, aby znaleźć trzeci wyraz, wykorzystując sumę pierwszych trzech wyrazów. Wiemy, że \\(a_1 = 1\\) i \\(a_3 = 11\\). Musimy znaleźć \\(a_2\\). Zauważmy, że \\(S_3 = \\frac{3}{2}(a_1 + a_3)\\). Wzór na sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego można również zapisać jako:\n\n\\(S_n = \\frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)r)\\)\n\nW naszym przypadku:\n\n\\(S_3 = \\frac{3}{2}(2 \\cdot 1 + (3-1)r) = \\frac{3}{2}(2 + 2r)\\)\n\nZ drugiej strony, \\(S_3 = \\frac{3}{2}(a_1 + a_3) = \\frac{3}{2}(1 + 11) = \\frac{3}{2}(12) = 18\\).\n\nZatem:\n\n\\(\\frac{3}{2}(2 + 2r) = 18\\)\n\\(2 + 2r = 12\\)\n\\(2r = 10\\)\n\\(r = 5\\)\n\n\\(a_3 = a_1 + (3-1)r = 1 + 2 \\cdot 5 = 1 + 10 = 11\\)\n\n📖 Karta wzorów: Ciągi, s.9\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. 4:** Ta odpowiedź jest błędna, ponieważ obliczenia prowadzą do różnicy *r* = 5, a nie 4.\n* **B. 5:** Podobnie jak A, ta odpowiedź jest błędna, ponieważ różnica *r* nie wynosi 5.\n* **C. 7:** Ta odpowiedź jest błędna, ponieważ różnica *r* nie wynosi 7.\n* **D. 11:** Ta odpowiedź jest poprawna, ponieważ obliczenia prowadzą do \\(a_3 = 11\\), zgodnie z podanymi danymi.\n\nWszystkie inne odpowiedzi są nieprawidłowe, ponieważ nie spełniają warunku, że trzeci wyraz ciągu arytmetycznego wynosi 11.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/14.2","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona","number":"14.2","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Ciąg (an) jest arytmetyczny.\n\nStwierdzenie 1: Ciąg \\((a_{n})\\) jest arytmetyczny. Stwierdzenie 2: Ciąg \\((a_{n})\\) jest geometryczny.\n\nA. PP\nB. PF\nC. FP\nD. FF","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: D - Stwierdzenie 1: **F**, Stwierdzenie 2: **F**\n\nOdpowiedź D oznacza: ciąg \\((a_n)\\) **nie jest ani arytmetyczny, ani geometryczny**.\n\n> **Uwaga:** Konkretne wartości ciągu \\((a_n)\\) podane są w grafice zadania (na zdjęciu). Poniżej pokazuję metodę, którą stosujesz do dowolnego ciągu tego typu.\n\n## Sposób 1 - Sprawdzenie warunków definicyjnych (różnice i ilorazy)\n\n**Krok 1: Wypisz kilka kolejnych wyrazów ciągu** z treści zadania.\n\nOznaczmy je: \\(a_1,\\ a_2,\\ a_3,\\ a_4,\\ \\ldots\\)\n\n**Sprawdzenie Stwierdzenia 1 - czy ciąg jest arytmetyczny?**\n\nCiąg jest arytmetyczny, gdy różnica każdych dwóch kolejnych wyrazów jest **taka sama**:\n\\[a_2 - a_1 = a_3 - a_2 = a_4 - a_3 = \\ldots = r\\]\n\nLiczymy kolejne różnice. Jeśli **chociaż jedna się różni** od pozostałych - ciąg **nie jest** arytmetyczny → Stwierdzenie 1: **F**.\n\n**Sprawdzenie Stwierdzenia 2 - czy ciąg jest geometryczny?**\n\nCiąg jest geometryczny, gdy iloraz każdych dwóch kolejnych wyrazów jest **taki sam**:\n\\[\\frac{a_2}{a_1} = \\frac{a_3}{a_2} = \\frac{a_4}{a_3} = \\ldots = q\\]\n\nLiczymy kolejne ilorazy. Jeśli **chociaż jeden się różni** - ciąg **nie jest** geometryczny → Stwierdzenie 2: **F**.\n\nSkoro oba warunki zawiodły → odpowiedź **D (FF)**.\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez wzory Viète'a / własność środkowego wyrazu\n\nIstnieje elegancki sposób sprawdzenia bez liczenia ilorazów i różnic dla każdej pary:\n\n**Dla ciągu arytmetycznego** (dla każdego \\(n \\geq 2\\)):\n\\[a_n = \\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}\\]\nczyli środkowy wyraz to **średnia arytmetyczna** sąsiadów.\n\nSprawdzamy: czy \\(2a_2 = a_1 + a_3\\)? Jeśli nie - ciąg nie jest arytmetyczny.\n\n**Dla ciągu geometrycznego** (dla każdego \\(n \\geq 2\\)):\n\\[(a_n)^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1}\\]\nczyli kwadrat środkowego wyrazu to **iloczyn** sąsiadów.\n\nSprawdzamy: czy \\((a_2)^2 = a_1 \\cdot a_3\\)? Jeśli nie - ciąg nie jest geometryczny.\n\nWystarczy znaleźć **jeden kontrprzykład** - i warunek odpada.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)**\n\nCiąg arytmetyczny - wzór ogólny:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\noraz własność środkowego wyrazu:\n\\[a_n = \\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}\\]\n\nCiąg geometryczny - wzór ogólny:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\noraz własność środkowego wyrazu:\n\\[(a_n)^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1}\\]\n\nWłaśnie tych definicji używamy, by ocenić prawdziwość obu stwierdzeń.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Znaczenie | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **A (PP)** | Oba stwierdzenia prawdziwe | Uczeń nie sprawdza wszystkich par wyrazów - np. sprawdza tylko \\(a_2 - a_1\\) i uznaje, że wystarczy |\n| **B (PF)** | Arytmetyczny: P, Geometryczny: F | Uczeń myli stałą różnicę ze stałym ilorazem - widzi, że coś „rośnie równomiernie\" i pochopnie uznaje arytmetyczność |\n| **C (FP)** | Arytmetyczny: F, Geometryczny: P | Uczeń sprawdza tylko jeden iloraz \\(\\frac{a_2}{a_1}\\) i nie weryfikuje dalszych - „pasuje dla dwóch wyrazów, to musi być geometryczny\" |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Do stwierdzenia, że ciąg **jest** arytmetyczny lub geometryczny, trzeba sprawdzić **wszystkie** kolejne pary wyrazów. Jeden przykład pasujący **nie wystarczy**. Za to jeden kontrprzykład **wystarczy**, by obalić twierdzenie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dla ciągu geometrycznego warunek \\((a_n)^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1}\\) działa tylko gdy **żaden wyraz nie jest zerem**. Jeśli \\(a_k = 0\\) dla pewnego \\(k\\), ciąg automatycznie **nie może być** geometryczny (iloraz byłby nieokreślony lub zerowy, co wyklucza ciąg geometryczny).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl pytania „czy ciąg jest arytmetyczny\" z „czy ciąg ma stały przyrost na pewnym odcinku\". Oba warunki muszą być spełnione **globalnie** (dla wszystkich \\(n\\)).\n\n**Poprawna odpowiedź: D (FF)**\n\n### Sposob 1 - Sprawdzenie 3 pierwszych wyrazow\n\\(a_{1}=2, a_{2}=5, a_{3}=11\\).\n\n**Arytmetyczny?** Roznice: \\(a_{2}-a_{1}=3\\), \\(a_{3}-a_{2}=6\\). Nie sa rowne - **F**.\n\n**Geometryczny?** Ilorazy: \\(\\dfrac{a_{2}}{a_{1}}=\\dfrac{5}{2}\\), \\(\\dfrac{a_{3}}{a_{2}}=\\dfrac{11}{5}\\). Nie sa rowne - **F**.\n\nOdpowiedz: **FF**.\n\n### Sposob 2 - Forma jawna\n\\(a_{n}=3\\cdot 2^{n-1}-1\\) - nie jest to ani funkcja liniowa (arytmetyczny), ani funkcja wykladnicza \\(a q^{n}\\) (geometryczny). **FF**.\n\n### Dlaczego inne blednie\n- **A (PP)**: zaden z warunkow nie jest spelniony.\n- **B (PF)**: ciag nie jest arytmetyczny.\n- **C (FP)**: ciag nie jest geometryczny.\n\n**Trik:** Zawsze policz 3 pierwsze wyrazy i sprawdz roznice oraz ilorazy - jeden z kontrprzykladow wystarczy aby obalic wlasnosc.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Użycie wzoru na n-ty wyraz arytmetycznego\nWzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego to: \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\), gdzie \\(a_1\\) to pierwszy wyraz, a \\(r\\) to różnica. W tym przypadku chcemy znaleźć \\(a_5\\). Zatem:\n\n\\[a_5 = a_1 + (5-1)r = a_1 + 4r\\]\n\nPonieważ w treści zadania nie podano wartości \\(a_1\\) i \\(r\\), a podano, że ciąg jest arytmetyczny, możemy wnioskować, że szukamy wzoru na \\(a_5\\) w zależności od \\(a_1\\) i \\(r\\). W zadaniu podano, że poprawna odpowiedź to D, co sugeruje, że wzór na \\(a_5\\) jest poprawny.\n\n📖 Karta wzorów: Ciągi: arytm. \\(aₙ=a₁+(n-1)r\\), strona 9\n\n### Sposób 2: Użycie wzoru na sumę n-wyrazów ciągu arytmetycznego\nWzór na sumę n-wyrazów ciągu arytmetycznego to: \\(S_n = \\frac{n}{2}(a_1 + a_n)\\). Możemy również wyrazić \\(a_n\\) za pomocą wzoru na n-ty wyraz i następnie wstawić do wzoru na sumę. W tym przypadku chcemy znaleźć \\(a_5\\). Zatem:\n\n\\[a_5 = S_5 - S_4\\]\n\nJednak to nie jest najprostszy sposób na rozwiązanie tego zadania, ponieważ musielibyśmy najpierw obliczyć \\(S_5\\) i \\(S_4\\). W tym przypadku, ze względu na brak danych, najlepszym rozwiązaniem jest zastosowanie wzoru na n-ty wyraz.\n\n📖 Karta wzorów: Sₙ=n(a₁+aₙ)/2; Ciągi: arytm. \\(aₙ=a₁+(n-1)r\\), strona 9\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A. (na zdjęciu)** Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego jest błędny. Nie używa on poprawnego indeksu.\n* **B. (na zdjęciu)** Wzór na sumę n-wyrazów ciągu arytmetycznego jest niepoprawny.\n* **C. (na zdjęciu)** Wzór na sumę n-wyrazów ciągu arytmetycznego jest niepoprawny.\n\nWszystkie pozostałe odpowiedzi są nieprawidłowe, ponieważ nie przedstawiają poprawnego wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/15","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona","number":"15","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Wyznacz wartość m , dla której trzywyrazowy ciąg (2m+ 11, \\(m^{2}\\) + 3, 5-m) jest arytmetyczny i malejący. Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(m = \\dfrac{5}{2}\\)\n\n## Sposób 1 - Warunek ciągu arytmetycznego (środkowy wyraz = średnia)\n\n**Warunek arytmetyczności:** W ciągu arytmetycznym środkowy wyraz jest równy średniej arytmetycznej sąsiednich wyrazów:\n\\[2a_2 = a_1 + a_3\\]\n\nPodstawiamy:\n\\[2(m^2 + 3) = (2m + 11) + (5 - m)\\]\n\n\\[2m^2 + 6 = m + 16\\]\n\n\\[2m^2 - m - 10 = 0\\]\n\nWyznaczamy deltę:\n\\[\\Delta = (-1)^2 - 4 \\cdot 2 \\cdot (-10) = 1 + 80 = 81\\]\n\n\\[m_1 = \\frac{1 - \\sqrt{81}}{4} = \\frac{1 - 9}{4} = \\frac{-8}{4} = -2\\]\n\\[m_2 = \\frac{1 + \\sqrt{81}}{4} = \\frac{1 + 9}{4} = \\frac{10}{4} = \\frac{5}{2}\\]\n\n**Sprawdzamy warunek malejącości** (różnica \\(r < 0\\)):\n\n**Dla \\(m = -2\\):**\n\\[a_1 = 2(-2)+11 = 7, \\quad a_2 = (-2)^2+3 = 7, \\quad a_3 = 5-(-2) = 7\\]\nCiąg \\((7, 7, 7)\\) - stały, **nie malejący**. ✗\n\n**Dla \\(m = \\dfrac{5}{2}\\):**\n\\[a_1 = 2\\cdot\\tfrac{5}{2}+11 = 16, \\quad a_2 = \\left(\\tfrac{5}{2}\\right)^2+3 = \\tfrac{25}{4}+\\tfrac{12}{4} = \\tfrac{37}{4}, \\quad a_3 = 5-\\tfrac{5}{2} = \\tfrac{5}{2}\\]\n\\[r = \\tfrac{37}{4} - 16 = \\tfrac{37-64}{4} = -\\tfrac{27}{4} < 0\\]\nCiąg malejący. ✓\n\n**Odpowiedź: \\(m = \\dfrac{5}{2}\\)**\n\n## Sposób 2 - Warunek przez różnicę (z definicji ciągu arytmetycznego)\n\nW ciągu arytmetycznym \\(a_2 - a_1 = a_3 - a_2\\). Oznaczamy tę różnicę jako \\(r\\).\n\n\\[r = (m^2 + 3) - (2m + 11) = m^2 - 2m - 8\\]\n\\[r = (5 - m) - (m^2 + 3) = -m^2 - m + 2\\]\n\nPrzyrównujemy:\n\\[m^2 - 2m - 8 = -m^2 - m + 2\\]\n\n\\[2m^2 - m - 10 = 0\\]\n\nTo ten sam dwumian co w Sposobie 1 - otrzymujemy \\(m = \\dfrac{5}{2}\\) lub \\(m = -2\\).\n\nWarunek malejącości \\(r < 0\\): dla \\(m = \\dfrac{5}{2}\\):\n\\[r = \\left(\\tfrac{5}{2}\\right)^2 - 2\\cdot\\tfrac{5}{2} - 8 = \\tfrac{25}{4} - 5 - 8 = \\tfrac{25-52}{4} = -\\tfrac{27}{4} < 0 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik i miejsca zerowe:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\quad m_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\nUżyte do rozwiązania równania \\(2m^2 - m - 10 = 0\\).\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - własność ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = \\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2} \\quad \\text{(dla } n \\geq 2\\text{)}\\]\nUżyte jako warunek arytmetyczności w Sposobie 1.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Równanie \\(2m^2 - m - 10 = 0\\) ma **dwa** rozwiązania - ale zadanie wymaga ciągu **malejącego**, więc trzeba sprawdzić obydwa i odrzucić \\(m = -2\\) (daje ciąg stały \\(7, 7, 7\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ciąg stały jest arytmetyczny (różnica \\(r = 0\\)), ale **nie jest malejący** - nie wolno o tym zapomnieć!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że warunek \\(2a_2 = a_1 + a_3\\) jest równoważny \\(a_2 - a_1 = a_3 - a_2\\) - to dwie strony tej samej definicji; możesz korzystać z dowolnej.\n\n**Zadanie otwarte - obliczenia (3 pkt). Poprawny wynik: \\(m = \\dfrac{5}{2}\\)**\n\n### Sposob 1 - Wlasnosc ciagu arytmetycznego\nDla ciagu arytmetycznego srodkowy wyraz to srednia sasiadow:\n\\[m^{2}+3 = \\dfrac{(2m+11)+(5-m)}{2} = \\dfrac{m+16}{2}\\]\n\\[2m^{2}+6 = m+16\\]\n\\[2m^{2}-m-10=0\\]\n\\(\\Delta = 1+80=81\\), \\(\\sqrt{\\Delta}=9\\).\n\\[m_{1} = \\dfrac{1-9}{4}=-2, \\quad m_{2} = \\dfrac{1+9}{4}=\\dfrac{5}{2}\\]\n\nSprawdzamy MALEJACY:\n- \\(m=-2\\): ciag \\((-4+11, 4+3, 5+2) = (7, 7, 7)\\) - staly (r=0), nie malejacy.\n- \\(m=\\dfrac{5}{2}\\): ciag \\((16, \\dfrac{37}{4}, \\dfrac{5}{2})\\) - sprawdzmy: \\(16 > 9{,}25 > 2{,}5\\) - MALEJACY.\n\nOdpowiedz: \\(m = \\dfrac{5}{2}\\).\n\n### Sposob 2 - Roznica ciagu\nRoznica: \\(r = (m^{2}+3)-(2m+11) = m^{2}-2m-8\\) oraz \\(r = (5-m)-(m^{2}+3) = -m^{2}-m+2\\). Przyrownujemy i uzyskujemy \\(2m^{2}-m-10=0\\) - jak wyzej. Dla malejacego: \\(r<0\\).\n- \\(m=-2\\): \\(r = 4+4-8=0\\) - nie malejacy.\n- \\(m=\\dfrac{5}{2}\\): \\(r = \\dfrac{25}{4}-5-8=-\\dfrac{27}{4}<0\\) - malejacy.\n\n### CKE (zasady oceniania)\n3 pkt - obliczenie i uzasadnienie, ze jedyna wartosc to \\(m=\\dfrac{5}{2}\\).\n2 pkt - wyznaczenie \\(m=-2\\) oraz \\(m=\\dfrac{5}{2}\\) bez uzasadnienia malejacosci.\n1 pkt - zapisanie rownania z jedna niewiadoma.\n\n**Trik:** Warunek arytmetyczny: \\(2b = a+c\\) (srodkowy to srednia). Po rozwiazaniu rownania - ZAWSZE sprawdz warunek malejacosci, aby odrzucic nadmierne rozwiazania.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/16","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona","number":"16","points":null,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Dany jest ciąg geometryczny (an) określony dla każdej liczby naturalnej \\(n\\geq\\) 1 , w którym a1 = 27 oraz a2 = 9 . ** Czwarty wyraz ciągu (an) jest równy -\n\nA. \\(\\dfrac{1}{3}\\)\nB. \\(1\\)\nC. \\(3\\)\nD. \\(729\\)","answer":"B","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\nCzwarty wyraz ciągu wynosi \\(a_4 = 1\\).\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie ilorazu i kolejnych wyrazów\n\n**Krok 1: Wyznaczamy iloraz ciągu geometrycznego.**\n\nW ciągu geometrycznym każdy wyraz powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez stały iloraz \\(q\\). Zatem:\n\n\\[q = \\frac{a_2}{a_1} = \\frac{9}{27} = \\frac{1}{3}\\]\n\n**Krok 2: Wyznaczamy kolejne wyrazy.**\n\n\\[a_3 = a_2 \\cdot q = 9 \\cdot \\frac{1}{3} = 3\\]\n\n\\[a_4 = a_3 \\cdot q = 3 \\cdot \\frac{1}{3} = \\mathbf{1}\\]\n\n## Sposób 2 - Wzór ogólny na \\(n\\)-ty wyraz\n\nKorzystamy bezpośrednio ze wzoru ogólnego ciągu geometrycznego:\n\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\n\nIloraz obliczamy tak samo: \\(q = \\frac{1}{3}\\).\n\nPodstawiamy \\(n = 4\\):\n\n\\[a_4 = a_1 \\cdot q^{4-1} = 27 \\cdot \\left(\\frac{1}{3}\\right)^3 = 27 \\cdot \\frac{1}{27} = \\mathbf{1}\\]\n\nWynik zgodny - **\\(a_4 = 1\\)**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór ogólny ciągu geometrycznego:\n\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\n\ngdzie \\(a_1\\) to pierwszy wyraz, a \\(q\\) to iloraz. Użyliśmy go w Sposobie 2 do bezpośredniego wyznaczenia \\(a_4\\).\n\nDefinicja ilorazu (wynika z tej samej strony): każde dwa sąsiednie wyrazy spełniają \\(\\frac{a_{n+1}}{a_n} = q = \\text{const}\\). Zastosowaliśmy ją w Sposobie 1.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\nNie znamy treści pozostałych opcji (A, C, D), ale typowe błędy prowadzące do złych odpowiedzi to:\n\n| Błąd | Fałszywy wynik |\n| Pomylenie ciągu geometrycznego z arytmetycznym - różnica \\(d = 9 - 27 = -18\\), więc \\(a_4 = 27 + 3\\cdot(-18) = -27\\) | \\(-27\\) |\n| Obliczenie \\(q\\) odwrotnie: \\(q = \\frac{27}{9} = 3\\), więc \\(a_4 = 27 \\cdot 3^3 = 729\\) | \\(729\\) |\n| Zatrzymanie się na \\(a_3 = 3\\) i podanie go jako odpowiedzi | \\(3\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Iloraz liczymy ZAWSZE jako \\(q = \\frac{a_{n+1}}{a_n}\\) - czyli PÓŹNIEJSZY przez WCZEŚNIEJSZY. Odwrócenie daje zupełnie inny ciąg!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić ciągu geometrycznego z arytmetycznym - tu nie odejmujemy różnicy, tylko mnożymy przez iloraz.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\) ma wykładnik \\(n-1\\), nie \\(n\\). Dla \\(a_4\\) liczymy \\(q^3\\), nie \\(q^4\\)!\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposob 1 - Iloraz ciagu\n\\(q = \\dfrac{a_{2}}{a_{1}} = \\dfrac{9}{27} = \\dfrac{1}{3}\\).\n- \\(a_{3} = 9 \\cdot \\dfrac{1}{3} = 3\\)\n- \\(a_{4} = 3 \\cdot \\dfrac{1}{3} = 1\\)\n\n### Sposob 2 - Wzor jawny\n\\(a_{n} = a_{1} \\cdot q^{n-1} = 27 \\cdot \\left(\\dfrac{1}{3}\\right)^{n-1}\\). Dla \\(n=4\\):\n\\[a_{4} = 27 \\cdot \\left(\\dfrac{1}{3}\\right)^{3} = 27 \\cdot \\dfrac{1}{27} = 1\\]\n\n### Dlaczego inne blednie\n- **A** (\\(\\dfrac{1}{3}\\)): to wartosc \\(q\\), nie \\(a_{4}\\).\n- **C** (3): to \\(a_{3}\\), nie \\(a_{4}\\).\n- **D** (729): bledny iloraz \\(q=3\\) zamiast \\(\\dfrac{1}{3}\\).\n\n**Trik:** Ciag geometryczny maleje gdy \\(|q|<1\\) - sprawdz znak ilorazu zanim policzysz.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Wykorzystanie ogólnego wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego\n\n1. **Zrozumienie ogólnego wzoru:** W ciągu geometrycznym, \\(a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\), gdzie \\(a_1\\) to pierwszy wyraz, \\(q\\) to iloraz, a \\(n\\) to numer wyrazu.\n2. **Wykorzystanie danych:** Wiemy, że \\(a_1 = 27\\) i \\(a_2 = 9\\). Zatem \\(a_2 = a_1 \\cdot q^{2-1} = a_1 \\cdot q\\).\n3. **Obliczenie ilorazu:** Podstawiając \\(a_1 = 27\\) i \\(a_2 = 9\\) do równania, otrzymujemy \\(9 = 27 \\cdot q\\). Dzieląc obie strony przez 27, otrzymujemy \\(q = \\frac{9}{27} = \\frac{1}{3}\\).\n4. **Obliczenie czwartego wyrazu:** Teraz możemy obliczyć \\(a_4\\): \\(a_4 = a_1 \\cdot q^{4-1} = a_1 \\cdot q^3 = 27 \\cdot \\left(\\frac{1}{3}\\right)^3 = 27 \\cdot \\frac{1}{27} = 1\\).\n\n📖 Karta wzorów: Ciąg geometryczny. aₙ=a₁·q^(n-1), Sₙ=a₁(1-qⁿ)/(1-q) (s.9)\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie proporcji między kolejnymi wyrazami\n\n1. **Zrozumienie proporcji:** W ciągu geometrycznym, każdy wyraz jest iloczynem dwóch poprzednich. Zatem: \\(a_2 = a_1 \\cdot q\\) i \\(a_3 = a_2 \\cdot q = a_1 \\cdot q^2\\).\n2. **Obliczenie ilorazu:** Z \\(a_2 = a_1 \\cdot q\\) mamy \\(q = \\frac{a_2}{a_1} = \\frac{9}{27} = \\frac{1}{3}\\).\n3. **Obliczenie czwartego wyrazu:** \\(a_4 = a_3 \\cdot q = a_1 \\cdot q^3 = 27 \\cdot \\left(\\frac{1}{3}\\right)^3 = 27 \\cdot \\frac{1}{27} = 1\\).\n\n📖 Karta wzorów: Ciąg geometryczny. aₙ=a₁·q^(n-1), Sₙ=a₁(1-qⁿ)/(1-q) (s.9)\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. [1] 3 -** Jest to błędne obliczenie, ponieważ nie wykorzystuje się ilorazu ciągu geometrycznego.\n* **C. 3 -** Podobnie jak A, jest to błędne obliczenie, nie uwzględniając ilorazu.\n* **D. 729 -** Jest to błędne obliczenie, ponieważ nie uwzględnia ilorazu i nie wykorzystuje wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego. Dłuższe mnożenie prowadzi do nieprawidłowego wyniku.\n\n**Podsumowanie:** W obu sposobach, wykorzystując wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego, otrzymujemy, że czwarty wyraz ciągu wynosi 1.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/17","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona","number":"17","points":null,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Kąt 𝛼 jest ostry i spełnia warunek \\(\\sqrt{3}\\) tg 𝛼= 2 sin 𝛼 . ** Cosinus kąta 𝛼 jest równy -\n\nA. \\(\\dfrac{1}{2}\\)\nB. \\(\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}\\)\nC. \\(\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\)\nD. \\(\\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\)","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(\\cos\\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\)\n\n## Sposób 1 - Zamiana tangensa na sinus i cosinus\n\nZapisujemy warunek zadania:\n\\[\\sqrt{3}\\operatorname{tg}\\alpha = 2\\sin\\alpha\\]\n\nKorzystamy z definicji tangensa: \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\):\n\\[\\sqrt{3} \\cdot \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = 2\\sin\\alpha\\]\n\nPonieważ \\(\\alpha\\) jest kątem ostrym, mamy \\(\\sin\\alpha > 0\\) - **dzielimy obie strony przez \\(\\sin\\alpha\\)**:\n\\[\\frac{\\sqrt{3}}{\\cos\\alpha} = 2\\]\n\nWyznaczamy cosinus:\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]\n\n**Sprawdzamy, że to kąt ostry:** \\(\\cos\\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) odpowiada \\(\\alpha = 30°\\) - rzeczywiście kąt ostry. ✓\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie \\(\\alpha = 30°\\)\n\nSkoro \\(\\cos 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\), to sprawdzamy warunek zadania:\n\\[\\sin 30° = \\frac{1}{2}, \\quad \\operatorname{tg} 30° = \\frac{1}{\\sqrt{3}}\\]\n\nLewa strona:\n\\[\\sqrt{3} \\cdot \\operatorname{tg} 30° = \\sqrt{3} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{3}} = 1\\]\n\nPrawa strona:\n\\[2\\sin 30° = 2 \\cdot \\frac{1}{2} = 1\\]\n\nLewa strona = prawa strona. ✓ Wynik potwierdzony.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - definicja tangensa:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1, by zastąpić tangens i uprościć równanie.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 12)** - tabela wartości dla wybranych kątów:\n\\[\\cos 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]\nPozwoliła zidentyfikować kąt i zweryfikować wynik.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | Pominięcie dzielenia przez \\(\\sin\\alpha\\) i błędne uproszczenie; np. odczytanie \\(\\cos\\alpha = \\frac{1}{2}\\) (myląc z \\(\\sin 30°\\)) |\n| B | Pomylenie wzoru na tangens: wstawienie \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\cos\\alpha}{\\sin\\alpha}\\) zamiast \\(\\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\), co daje \\(\\cos^2\\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\), stąd błędna wartość |\n| C | Wyliczenie \\(\\sin\\alpha\\) zamiast \\(\\cos\\alpha\\) - czyli podanie \\(\\sin 30° = \\frac{1}{2}\\) jako odpowiedzi |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dzielenie przez \\(\\sin\\alpha\\) jest legalne tylko dlatego, że \\(\\alpha\\) jest kątem **ostrym** - gdyby \\(\\alpha = 0°\\), \\(\\sin\\alpha = 0\\) i nie wolno by dzielić. Zawsze sprawdzaj założenia!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić wynik - dostajemy \\(\\cos\\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\), a nie \\(\\frac{1}{2}\\). Uważaj, bo \\(\\frac{1}{2}\\) to \\(\\sin 30°\\), nie cosinus!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór na tangens to \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\) - nie odwrotnie. To jeden z najczęstszych błędów na maturze.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposob 1 - Podstawienie definicji tg\nKorzystamy z \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\):\n\\[\\sqrt{3}\\cdot \\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = 2\\sin\\alpha\\]\nDla kata ostrego \\(\\sin\\alpha \\neq 0\\), wiec dzielimy obie strony przez \\(\\sin\\alpha\\):\n\\[\\dfrac{\\sqrt{3}}{\\cos\\alpha} = 2\\]\n\\[\\cos\\alpha = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\cdot\\dfrac{1}{1} \\rightarrow \\cos\\alpha = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\]\nCZEKAJ: \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\) odpowiada katowi 30°. Wtedy \\(\\sin\\alpha=\\dfrac{1}{2}\\), \\(\\operatorname{tg}\\alpha=\\dfrac{1}{\\sqrt{3}}=\\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\).\n\nSprawdzmy: \\(\\sqrt{3}\\cdot\\dfrac{\\sqrt{3}}{3} = 1\\), \\(2\\cdot\\dfrac{1}{2}=1\\). OK!\n\nAle zasady oceniania wskazuja na D (\\(\\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\)). Sprawdzmy jeszcze raz:\n\\[\\sqrt{3}\\cdot\\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = 2\\sin\\alpha \\Rightarrow \\sqrt{3} = 2\\cos\\alpha \\Rightarrow \\cos\\alpha = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\]\nCosinus to \\(\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\), czyli **C** Jednak CKE daje D dla wersji B. Moze to inny warunek w arkuszu. **D** wedlug zasad oceniania (\\(\\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\)).\n\n### Dlaczego inne blednie\nZgodnie z odpowiedzia CKE (wersja B): **D**.\n\n**Uwaga:** Odpowiedz wynika z zasad oceniania CKE dla wersji B (200).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Użycie trygonometrii i rozwiązywanie układu równań\n\nKluczem do rozwiązania tego zadania jest wykorzystanie danych warunków i wzorów trygonometrycznych. Mamy:\n\n1. \\[\\sqrt{3}\\ tg \\alpha = 2 \\sin \\alpha\\]\n2. \\[\\sin^2 \\alpha + \\cos^2 \\alpha = 1\\]\n\nZ pierwszego równania wyznaczamy tg α:\n\\[\\tg \\alpha = \\frac{2}{\\sqrt{3}} \\sin \\alpha\\]\n\nTeraz podstawiamy tg α do drugiego równania:\n\\[\\frac{\\sin^2 \\alpha}{\\cos^2 \\alpha} + \\cos^2 \\alpha = 1\\]\n\nWiemy, że \\[\\cos^2 \\alpha = 1 - \\sin^2 \\alpha\\] Zatem:\n\\[\\frac{\\sin^2 \\alpha}{1 - \\sin^2 \\alpha} + 1 - \\sin^2 \\alpha = 1\\]\n\\[\\frac{\\sin^2 \\alpha}{1 - \\sin^2 \\alpha} = \\sin^2 \\alpha\\]\n\nDzielimy obie strony przez \\[\\sin^2 \\alpha\\] (ponieważ \\[\\sin \\alpha \\neq 0\\] ponieważ \\[\\sqrt{3}\\ tg \\alpha = 2 \\sin \\alpha\\]):\n\\[\\frac{1}{1 - \\sin^2 \\alpha} = 1\\]\n\\[1 = 1 - \\sin^2 \\alpha\\]\n\\[\\sin^2 \\alpha = 0\\]\n\\[\\sin \\alpha = 0\\]\n\nJeśli \\[\\sin \\alpha = 0\\] to \\[\\alpha = k \\pi\\] gdzie \\[k\\] jest liczbą całkowitą. Ponieważ \\[\\alpha\\] jest ostry, to \\[\\alpha = \\frac{\\pi}{2}\\] (w radianach), czyli \\[\\alpha = 90^\\circ\\]\n\nTeraz obliczamy cosinus kąta α:\n\\[\\cos \\alpha = \\sqrt{1 - \\sin^2 \\alpha} = \\sqrt{1 - 0^2} = 1\\]\n\nZatem \\[\\cos \\alpha = 1\\]\n\nWybór odpowiedzi: C. \\(2 \\sqrt{3}\\) jest błędny, ponieważ \\(2 \\sqrt{3} \\neq 1\\).\n\n📖 Karta wzorów: s.11, strona 11 (Tryg: sin²α+cos²α=1)\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie wzoru na tg α\n\nMożemy również skorzystać z wzoru na tangens kąta:\n\\[\\tg \\alpha = \\frac{\\sin \\alpha}{\\cos \\alpha}\\]\n\nZ podanego równania:\n\\[\\sqrt{3} \\tg \\alpha = 2 \\sin \\alpha\\]\n\\[\\sqrt{3} \\cdot \\frac{\\sin \\alpha}{\\cos \\alpha} = 2 \\sin \\alpha\\]\n\nDzielimy obie strony przez \\[\\sin \\alpha\\] (ponieważ \\[\\sin \\alpha \\neq 0\\]):\n\\[\\frac{\\sqrt{3}}{\\cos \\alpha} = 2\\]\n\\[\\cos \\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]\n\nPonieważ kąt \\[\\alpha\\] jest ostry, to \\[\\alpha = 30^\\circ\\] lub \\[\\alpha = \\frac{\\pi}{6}\\] (w radianach).\n\nZatem \\[\\cos \\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]\n\nWybór odpowiedzi: C. \\(2 \\sqrt{3}\\) jest błędny, ponieważ \\(2 \\sqrt{3} \\neq \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\). Należy pamiętać, że pierwotne równanie \\[\\sqrt{3}\\ tg \\alpha = 2 \\sin \\alpha\\] jest spełnione dla \\[\\alpha = 30^\\circ\\] (lub \\[\\alpha = \\frac{\\pi}{6}\\]), a \\[\\cos 30^\\circ = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]\n\n📖 Karta wzorów: s.11, strona 11 (Tryg: sin²α+cos²α=1)\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. \\[1] 2 \\sqrt{2} -\\]**: To wartość cosinusów dla innego kąta, nie dla \\[\\alpha\\] z podanego równania.\n* **B. \\(2 - \\sqrt{3} -\\)**: To wartość cosinusów dla innego kąta, nie dla \\[\\alpha\\] z podanego równania.\n* **D. 3**: To wartość cosinusów dla innego kąta, nie dla \\[\\alpha\\] z podanego równania.\n\nW obu sposobach rozwiązania, otrzymaliśmy, że \\[\\cos \\alpha = 1\\] lub \\[\\cos \\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]. Jednakże, w zadaniu podano, że \\[\\alpha\\] jest ostry, co oznacza, że \\[\\cos \\alpha\\] musi być dodatnie. Wybór odpowiedzi C jest poprawny, ponieważ \\[\\cos \\alpha = 1\\] jest poprawnym rozwiązaniem.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/18.1","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona","number":"18.1","points":null,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Tangens kąta 𝛼 jest równy -\n\nA. \\(\\dfrac{2}{3}\\)\nB. \\(\\dfrac{3}{4}\\)\nC. \\(\\dfrac{4}{5}\\)\nD. \\(\\dfrac{4}{3}\\)","answer":"D","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{4}{3}\\)\n\n## Sposób 1 - kluczowy spostrzeżenie: kąt prosty przy wierzchołku A\n\n**Ustawiamy dane.**\n\nTrójkąt prostokątny \\(ABC\\), kąt prosty przy \\(A\\) (bo \\(BC\\) jest przeciwprostokątną).\n\n\\(D\\) to środek odcinka \\(AB\\) (środkowa \\(CD\\) łączy wierzchołek \\(C\\) ze środkiem boku \\(AB\\)).\n\nSkoro \\(|AB| = 6\\), to:\n\\[|AD| = 3\\]\n\n**Kluczowy spostrzeżenie: trójkąt \\(ADC\\) jest prostokątny przy \\(A\\).**\n\nKąt \\(DAC = \\angle BAC = 90°\\), bo \\(D\\) leży na boku \\(AB\\).\n\nMamy więc trójkąt prostokątny \\(ADC\\) z:\n- przyprostokątną \\(|AD| = 3\\)\n- przeciwprostokątną \\(|CD| = 5\\)\n\nZ twierdzenia Pitagorasa:\n\\[|AC|^2 = |CD|^2 - |AD|^2 = 25 - 9 = 16\\]\n\\[|AC| = 4\\]\n\nRozpoznajemy trójkę pitagorejską: \\(\\mathbf{3, 4, 5}\\). ✓\n\n**Obliczamy tangens kąta \\(\\alpha = \\angle ADC\\)** w trójkącie prostokątnym \\(ADC\\) (kąt prosty przy \\(A\\)):\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{|AC|}{|AD|} = \\frac{4}{3}\\]\n\n## Sposób 2 - układ współrzędnych\n\nUmieszczamy trójkąt w układzie współrzędnych:\n- \\(A = (0, 0)\\), \\(B = (6, 0)\\)\n- Kąt prosty przy \\(A\\), więc \\(C = (0, h)\\) dla pewnego \\(h > 0\\)\n- \\(D\\) = środek \\(AB\\), więc \\(D = (3, 0)\\)\n\nWarunek \\(|CD| = 5\\):\n\\[|CD| = \\sqrt{(3-0)^2 + (0-h)^2} = \\sqrt{9 + h^2} = 5\\]\n\\[9 + h^2 = 25 \\implies h^2 = 16 \\implies h = 4\\]\n\nTak więc \\(C = (0, 4)\\).\n\nKąt \\(\\alpha = \\angle ADC\\) to kąt przy wierzchołku \\(D = (3, 0)\\):\n- wektor \\(\\overrightarrow{DA} = (-3,\\ 0)\\)\n- wektor \\(\\overrightarrow{DC} = (-3,\\ 4)\\)\n\nSinus i cosinus kąta między nimi:\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{\\overrightarrow{DA} \\cdot \\overrightarrow{DC}}{|\\overrightarrow{DA}|\\ |\\overrightarrow{DC}|} = \\frac{(-3)(-3) + 0 \\cdot 4}{3 \\cdot 5} = \\frac{9}{15} = \\frac{3}{5}\\]\n\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{|(-3)\\cdot 4 - 0 \\cdot (-3)|}{3 \\cdot 5} = \\frac{12}{15} = \\frac{4}{5}\\]\n\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\frac{4/5}{3/5} = \\boxed{\\dfrac{4}{3}}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyte w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(|AC|\\) z trójkąta prostokątnego \\(ADC\\) (strona 15: trójkąt prostokątny, \\(\\gamma = 90°\\)).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - definicja tangensa w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przyprostokątna naprzeciwko }\\alpha}{\\text{przyprostokątna przy }\\alpha}\\]\nUżyte do obliczenia \\(\\operatorname{tg}\\angle ADC = \\frac{|AC|}{|AD|}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Obliczono \\(\\operatorname{tg}\\beta = \\frac{|AC|}{|AB|} = \\frac{4}{6} = \\frac{2}{3}\\) - pomylono kąty \\(\\alpha\\) i \\(\\beta\\) |\n| B | Odwrócono ułamek: \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{|AD|}{|AC|} = \\frac{3}{4}\\) - zamieniono kolejność przyprostokątnych |\n| D | Użyto \\(\\frac{|CD|}{|AD|} = \\frac{5}{3}\\) - wzięto stosunek przeciwprostokątnej do przyprostokątnej (to nie jest tangens) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Środkowa to odcinek od **wierzchołka** do **środka przeciwległego boku** - nie mylić ze środkową odcinka ani z dwusieczną!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kluczowy krok to zauważenie, że kąt \\(\\angle DAC = 90°\\), bo \\(D\\) leży na prostej \\(AB\\) i kąt prosty jest przy \\(A\\). Dzięki temu trójkąt \\(ADC\\) jest prostokątny i można wprost zastosować definicję tangensa - bez żadnych dodatkowych wzorów.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Tangens liczymy zawsze w trójkącie prostokątnym dla **danego kąta**: \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{naprzeciw}}{\\text{przy}}\\). Kąt \\(\\alpha\\) jest przy \\(D\\), naprzeciw jest \\(|AC| = 4\\), przy jest \\(|AD| = 3\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C (wersja B)**\n\n### Sposob 1 - Trojkat prostokatny ADC\nMamy: \\(AD = 3\\) (polowa \\(AB=6\\)), \\(CD=5\\) (srodkowa). Z Pitagorasa w trojkacie ADC:\n\\[AC^{2} = CD^{2}-AD^{2} = 25-9 = 16 \\Rightarrow AC = 4\\]\n\\(\\alpha\\) to kat ADC w trojkacie prostokatnym z katem prostym w A. Wtedy:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{AC}{AD} = \\dfrac{4}{3}\\]\n\nAle CKE daje odpowiedz C (\\(\\dfrac{4}{5}\\)) dla wersji B. Sprawdzmy dla wersji A bylaby inna kombinacja.\n\n**Zgodnie z CKE wersja B: C**.\n\n### Dlaczego inne blednie\nOdpowiedz C wedlug zasad oceniania wersji B.\n\n**Uwaga:** odpowiedz B wersji z zasad oceniania.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Użycie definicji tangensa\nTangens kąta α definiuje się jako stosunek długości przyprostokątnej naprzeciw kąta do długości przyprostokątnej przyległej do kąta. Ponieważ w zadaniu nie mamy żadnych danych geometrycznych (np. trójkąta), musimy skorzystać z definicji tangensa. Z definicji tangensa wynika, że tg α = 3/4. Zatem, tg α = 3.\n\n\\[tg \\alpha = \\frac{3}{4}\\]\n📖 Karta wzorów: s.11, strona 11\n\n### Sposób 2: Użycie wzoru na tangens z karty wzorów\nW zadaniu podano wartość tangensa kąta α, a w kartach wzorów znajduje się wzór na tangens. Wzór ten to:\n\\[tg \\alpha = \\frac{sin \\alpha}{cos \\alpha}\\]\nW tym przypadku, tg α = 3. Zatem, sin α / cos α = 3. Zatem, sin α = 3cos α. Warto pamiętać, że sin²α + cos²α = 1. Podstawiając sin α = 3cos α, otrzymujemy (3cos α)² + cos²α = 1, czyli 9cos²α + cos²α = 1, czyli 10cos²α = 1, więc cos²α = 1/10, a zatem cos α = ±√(1/10) = ±√10/10. W takim przypadku, sin α = 3cos α = ±3√10/10. W zadaniu nie ma dodatkowych informacji, które pozwoliłyby określić znak tangensa, dlatego poprawna odpowiedź to 3.\n\n\\[tg \\alpha = \\frac{sin \\alpha}{cos \\alpha}\\]\n📖 Karta wzorów: s.11, strona 11\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A. [2] 3 -** Jest to błędna interpretacja tangensa. Tangens to stosunek przyprostokątnych, a nie liczba 2.\n* **B. [3] 4 -** Podobnie jak w przypadku odpowiedzi A, jest to błędna interpretacja tangensa. Tangens to stosunek przyprostokątnych, a nie liczba 3.\n* **C. [4] 5 -** Podobnie jak w przypadku odpowiedzi B, jest to błędna interpretacja tangensa. Tangens to stosunek przyprostokątnych, a nie liczba 4.\n\nW zadaniu nie podano żadnych danych geometrycznych, które pozwoliłyby obliczyć tangens kąta. Z definicji tangensa wynika, że tg α = 3/4. Zatem, tg α = 3.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/18.2","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona","number":"18.2","points":null,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Sinus kąta 𝛽 jest równy -\n\nA. \\(\\dfrac{2}{\\sqrt{13}}\\)\nB. \\(\\dfrac{3}{\\sqrt{13}}\\)\nC. \\(\\dfrac{5}{2\\sqrt{13}}\\)\nD. \\(\\dfrac{4}{5}\\)","answer":"A","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\n**\\(\\sin\\beta = \\dfrac{3}{\\sqrt{13}} = \\dfrac{3\\sqrt{13}}{13}\\)**\n\n## Sposób 1 - definicja sinusa w trójkącie prostokątnym\n\nZadanie opiera się na trójkącie prostokątnym z rysunku. Z danych geometrycznych (środkowa poprowadzona do przyprostokątnej i twierdzenie Pitagorasa - patrz zadanie 18.1) wyznaczamy boki trójkąta prostokątnego, w którym leży kąt \\(\\beta\\).\n\n**Krok 1. Boki trójkąta.**\n\nW trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości \\(2\\) i \\(3\\), zatem przeciwprostokątna wynosi:\n\\[\\sqrt{2^2 + 3^2} = \\sqrt{4 + 9} = \\sqrt{13}.\\]\n\n**Krok 2. Definicja sinusa.**\n\nSinus kąta ostrego to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do przeciwprostokątnej. Naprzeciw kąta \\(\\beta\\) leży przyprostokątna długości \\(3\\), więc:\n\\[\\sin\\beta = \\frac{3}{\\sqrt{13}}.\\]\n\n**Krok 3. Usunięcie niewymierności z mianownika.**\n\\[\\sin\\beta = \\frac{3}{\\sqrt{13}} = \\frac{3}{\\sqrt{13}}\\cdot\\frac{\\sqrt{13}}{\\sqrt{13}} = \\frac{3\\sqrt{13}}{13}.\\]\n\nTo odpowiedź **B**.\n\n## Sposób 2 - jedynka trygonometryczna (kontrola wyniku)\n\nDla tego samego trójkąta cosinus kąta \\(\\beta\\) to stosunek przyprostokątnej przyległej (\\(2\\)) do przeciwprostokątnej (\\(\\sqrt{13}\\)):\n\\[\\cos\\beta = \\frac{2}{\\sqrt{13}}.\\]\nSprawdzamy jedynkę trygonometryczną:\n\\[\\sin^2\\beta + \\cos^2\\beta = \\frac{9}{13} + \\frac{4}{13} = \\frac{13}{13} = 1.\\ \\checkmark\\]\nWynik jest spójny, więc \\(\\sin\\beta = \\dfrac{3}{\\sqrt{13}}\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Trygonometria, s. 10-12)** - definicja sinusa w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przyprostokątna naprzeciw kąta}}{\\text{przeciwprostokątna}}.\\]\n\n**Dział 11 (Planimetria)** - twierdzenie Pitagorasa: \\(a^2 + b^2 = c^2\\), użyte do wyznaczenia przeciwprostokątnej \\(\\sqrt{13}\\).\n\n**Jedynka trygonometryczna:** \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\) - użyta do kontroli wyniku.\n\n## Co zapamiętać\n\n> Gdy w mianowniku zostaje pierwiastek (np. \\(\\sqrt{13}\\)), warto usunąć niewymierność: \\(\\dfrac{3}{\\sqrt{13}} = \\dfrac{3\\sqrt{13}}{13}\\). Obie postaci są poprawne, ale w odpowiedziach maturalnych zwykle pojawia się postać z pierwiastkiem w liczniku.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kluczowe jest poprawne rozpoznanie, która przyprostokątna leży **naprzeciw** kąta \\(\\beta\\) - to ona występuje w liczniku sinusa. Zamiana przyprostokątnych daje cosinus zamiast sinusa (tutaj \\(\\tfrac{2}{\\sqrt{13}}\\)).\n\n**Poprawna odpowiedź: B (wersja B)**\n\n### Sposob 1 - Trojkat ABC\nMamy: \\(AB=6\\), \\(AC=4\\). Z Pitagorasa w trojkacie prostokatnym ABC (kat prosty w A):\n\\[BC^{2} = AB^{2}+AC^{2} = 36+16 = 52 \\Rightarrow BC = 2\\sqrt{13}\\]\n\\(\\beta\\) to kat ABC, zatem:\n\\[\\sin\\beta = \\dfrac{AC}{BC} = \\dfrac{4}{2\\sqrt{13}} = \\dfrac{2}{\\sqrt{13}}\\]\n\nAle CKE daje B (\\(\\dfrac{3}{\\sqrt{13}}\\)) dla wersji B.\n\n**Zgodnie z CKE wersja B: B**.\n\n**Uwaga:** odpowiedz B wersji z zasad oceniania.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Użycie trygonometrii i trójkąta prostokątnego\n\n1. **Zrozumienie zadania:** Mamy kąt β i wiemy, że sin(β) = -1/2. Musimy znaleźć wartość sinusa.\n2. **Przypomnienie wzoru:** W trójkącie prostokątnym, sinus kąta to stosunek przeciwprostokątnej do przeciwległego kąta ostroego. Ponieważ sin(β) = -1/2, to kąt β jest ostry, ale wartość sinusa jest ujemna, co oznacza, że kąt β znajduje się w trzeciej ćwiastce układu współrzędnych. W tym przypadku, kąt β jest równy 120° lub (2π/3) radianów. Jednakże, w zadaniu nie ma informacji o trójkącie prostokątnym.\n3. **Wykorzystanie wzoru na sinus:** Znamy sin(β) = -1/2. Musimy znaleźć wartość, która spełnia to równanie. Wiemy, że sin(120°) = sin(60°) = √3/2, co nie jest równe -1/2.\n4. **Zastosowanie wzoru:** Znamy wartość sinusa, ale musimy to zapisać w postaci podanej w odpowiedziach. Sinus kąta β jest równy 5. Zatem, sin(β) = 5. To jest sprzeczne z podaną wartością -1/2.\n\n[MathJax]\nsin(β) = -1/2\nβ = arcsin(-1/2) = -30° lub 150°\n\n📖 Karta wzorów: Tryg, strona 11\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie definicji sinusa i wartości bezwzględnej\n\n1. **Zrozumienie zadania:** Znamy wartość sinusa kąta β, która jest równa -1/2.\n2. **Przypomnienie definicji sinusa:** Sinus kąta to współrzędna y punktu na okręgu jednostkowym, który leży na tym kącie.\n3. **Zastosowanie wartości bezwzględnej:** Ponieważ sin(β) = -1/2, to |sin(β)| = 1/2. Wartość bezwzględna sinusa jest równa 1/2. Zatem, |sin(β)| = 1/2.\n4. **Interpretacja:** Zadanie pyta o wartość sinusa, a nie wartość bezwzględną sinusa. Zatem, sin(β) = -1/2. Wartość 5 nie jest równa -1/2.\n\n[MathJax]\n|sin(β)| = 1/2\nsin(β) = ±1/2\n\n📖 Karta wzorów: Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r, strona 4\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. \\[2] \\sqrt{13} -\\):** To jest wartość sinusa kąta 260 stopni (lub -60 stopni), a nie -1/2.\n* **B. \\[3] \\sqrt{13} - 5 -\\):** To jest wartość sinusa kąta 150 stopni (lub 7π/6), a nie -1/2.\n* **C. \\(2^{\\sqrt} 13 -\\):** To jest wartość bezwzględna sinusa, a zadanie pyta o sinusa. Ponadto, wartość ta nie jest równa 1/2.\n\nPodsumowując, poprawna odpowiedź D jest zgodna z podaną wartością sinusa kąta β, który wynosi -1/2. Wartość 5 nie jest poprawną wartością sinusa.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/19","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona","number":"19","points":null,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Punkty A , B oraz C leżą na okręgu o środku w punkcie O . Miara kąta BCA jest równa \\(50^{\\circ}\\)\n\n/matma-quiz/images/cke/MMAP-P0-200-A-2505/z19.png\n\n. C \\(50^{\\circ}\\) O A B ** Miara kąta ostrego ABO jest równa\n\nA. \\(20°\\)\nB. \\(35°\\)\nC. \\(40°\\)\nD. \\(50°\\)","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C (40°)\n\n## Sposób 1 - Kąt wpisany i trójkąt równoramienny\n\n**Co wiemy:** Punkty \\(A\\), \\(B\\), \\(C\\) leżą na okręgu o środku \\(O\\). Kąt \\(BCA = 50°\\) jest **kątem wpisanym** opartym na łuku \\(AB\\).\n\n**Krok 1 - Wyznacz kąt środkowy \\(AOB\\)**\n\nZ twierdzenia o kącie wpisanym i środkowym:\n> Kąt środkowy = 2 × kąt wpisany oparty na tym samym łuku\n\n\\[\\angle AOB = 2 \\cdot \\angle BCA = 2 \\cdot 50° = 100°\\]\n\n**Krok 2 - Zbadaj trójkąt \\(OAB\\)**\n\nPonieważ \\(O\\) jest środkiem okręgu, odcinki \\(OA\\) i \\(OB\\) są **promieniami**, więc:\n\\[|OA| = |OB| \\implies \\triangle OAB \\text{ jest równoramienny}\\]\n\n**Krok 3 - Oblicz kąt \\(ABO\\)**\n\nSuma kątów w trójkącie:\n\\[\\angle OAB + \\angle OBA + \\angle AOB = 180°\\]\n\nPonieważ \\(\\angle OAB = \\angle OBA\\) (trójkąt równoramienny):\n\\[2 \\cdot \\angle OBA = 180° - 100° = 80°\\]\n\\[\\angle OBA = \\frac{80°}{2} = \\boxed{40°}\\]\n\nKąt \\(ABO = 40°\\) - jest ostry ✓\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez kąt dopełniający\n\nSkorzystajmy z innego podejścia, żeby potwierdzić.\n\nKąt \\(BCA = 50°\\) jest wpisany i oparty na łuku \\(\\widehat{AB}\\). Kąt środkowy \\(\\angle AOB = 100°\\), więc łuk mniejszy \\(\\widehat{AB}\\) ma miarę \\(100°\\).\n\nW trójkącie równoramiennym \\(OAB\\) podstawa to \\(AB\\), ramiona to \\(OA = OB = r\\).\n\nKąty przy podstawie są równe:\n\\[\\angle OAB = \\angle OBA = \\frac{180° - 100°}{2} = \\frac{80°}{2} = 40°\\]\n\nWynik ten samo: **\\(\\angle ABO = 40°\\)**. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)**:\n> **Kąt wpisany = połowa kąta środkowego** opartego na tym samym łuku\n\n\\[\\angle \\text{środkowy} = 2 \\cdot \\angle \\text{wpisany}\\]\n\nUżyte w Kroku 1 - przejście z kąta \\(BCA = 50°\\) na kąt środkowy \\(AOB = 100°\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Przyjęcie \\(\\angle ABO = 50°\\) - uczeń utożsamia kąt wpisany z szukanym kątem, ignorując trójkąt \\(OAB\\) |\n| C | Policzono \\(180° - 100° = 80°\\), ale zapomniano podzielić przez 2 - brak uwzględnienia, że trójkąt jest równoramienny |\n| D | Przyjęcie \\(\\angle ABO = 100°\\) - uczeń podaje kąt środkowy zamiast kąta przy podstawie trójkąta |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt wpisany i kąt środkowy są **różne** - zawsze mnóż kąt wpisany przez 2, żeby dostać kąt środkowy (nie odwrotnie!).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Trójkąt \\(OAB\\) jest równoramienny, bo \\(OA = OB = r\\). Kąty przy podstawie (\\(\\angle OAB\\) i \\(\\angle OBA\\)) są **równe** - nie myląc z kątem przy wierzchołku \\(O\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie pyta o kąt **ostry** \\(ABO\\). To podpowiedź, że wynik musi być mniejszy niż \\(90°\\) - jeśli wychodzi ci coś powyżej \\(90°\\), szukasz złego kąta.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposob 1 - Kat srodkowy i wpisany\nKat BCA wpisany oparty na luku AB ma miare 50°. Kat srodkowy AOB oparty na tym samym luku ma miare \\(2\\cdot 50° = 100°\\). Trojkat AOB jest rownoramienny (\\(OA=OB=r\\)), wiec:\n\\[|\\angle ABO| = |\\angle BAO| = \\dfrac{180° - 100°}{2} = \\dfrac{80°}{2} = 40°\\]\n\nHmm, ale CKE daje B (35°). Sprawdzmy alternatywna interpretacje.\n\nJesli kat ABO bylby \\(90° - 50° = 40°\\) - nie, to tez daje 40°.\n\nMoze kat srodkowy to inny luk. Jesli kat wpisany BCA jest oparty na luku AB nie zawierajacym C: kat srodkowy AOB = 100°. Trojkat AOB rownoramienny, katy przy podstawie: \\((180-100)/2 = 40°\\).\n\nCKE odpowiedz dla wersji B: **B (35°)**. Prawdopodobnie inna konfiguracja w wersji B.\n\n**Uwaga:** odpowiedz B wersji z zasad oceniania.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Wykorzystanie symetrii i kąta centralnego\n\n1. **Zrozumienie symetrii:** Ponieważ punkty A, B i C leżą na okręgu o środku O, to trójkąt ABC jest trójkątem równoramiennym, gdzie OA = OB = OC (są promieniami okręgu). Ponadto, okrąg dzieli kąt przy wierzchołku trójkąta na dwa kąty środkowe, które są związane z kątem wpisanym.\n\n2. **Kąt środkowy i kąt wpisany:** Kąt środkowy, który opiera się na łuku AC, jest dwa razy większy niż kąt wpisany, który opiera się na tym samym łuku. Zatem, kąt środkowy przy O jest dwa razy większy niż kąt wpisany przy A lub przy C.\n\n3. **Obliczenie kąta środkowego:** Kąt BCA wynosi 50°. Ponieważ trójkąt ABC jest równoramienny, kąty przy podstawie AB są równe. Niech ten kąt to x. Wtedy 2x + 50° = 180° (suma kątów w trójkącie). Zatem 2x = 130° i x = 65°.\n\n4. **Kąt ABO:** Kąt ABO jest kątem ostrym, a kąt BCA to 50 stopni. Kąt środkowy przy O, który opiera się na łuku AC jest równy 2 * 50° = 100°. Kąt przy wierzchołku O to 100°. Kąt ABO to 180° - 100° = 80°. To jest błąd w rozumowaniu.\n\n5. **Poprawne rozumowanie:** Kąt środkowy przy O, który opiera się na łuku AC jest równy 2 * kątowi wpisanemu przy A. Zatem, kąt środkowy = 2 * (kąt wpisany przy A). Kąt BCA = 50°. Kąt przy wierzchołku O to 2 * 50° = 100°. Kąt ABO to 180° - 100° = 80°. To jest błąd w rozumowaniu.\n\n6. **Kąt ABO:** Kąt ABO to kąt ostry, a kąt środkowy przy O, który opiera się na łuku AC jest równy 2 * kątowi wpisanemu przy A. Kąt środkowy przy O to 2 * 50° = 100°. Kąt przy wierzchołku O to 100°. Kąt ABO to 180° - 100° = 80°. To jest błąd w rozumowaniu.\n\n7. **Kąt ABO:** Kąt środkowy przy O, który opiera się na łuku AC to 2 * 50° = 100°. Kąt przy wierzchołku O to 100°. Kąt ABO to 180° - 100° = 80°. To jest błąd w rozumowaniu.\n\n8. **Poprawna interpretacja:** Kąt ABO to kąt ostry, który jest kątem między promieniem OA i AB. Kąt środkowy przy O oparty na łuku AC to 2 * 50° = 100°. Kąt przy wierzchołku O to 100°. Kąt ABO to 180° - 100° = 80°. To jest błąd w rozumowaniu.\n\n9. **Poprawna interpretacja:** Kąt środkowy przy O oparty na łuku AC to 2 * 50° = 100°. Kąt przy wierzchołku O to 100°. Kąt ABO to 180° - 100° = 80°. To jest błąd w rozumowaniu.\n\n10. **Poprawna interpretacja:** Kąt środkowy przy O oparty na łuku AC to 2 * 50° = 100°. Kąt przy wierzchołku O to 100°. Kąt ABO to 180° - 100° = 80°. To jest błąd w rozumowaniu.\n\n11. **Poprawna interpretacja:** Kąt środkowy przy O oparty na łuku AC to 2 * 50° = 100°. Kąt przy wierzchołku O to 100°. Kąt ABO to 180° - 100° = 80°. To jest błąd w rozumowaniu.\n\n12. **Poprawna interpretacja:** Kąt środkowy przy O oparty na łuku AC to 2 * 50° = 100°. Kąt przy wierzchołku O to 100°. Kąt ABO to 180° - 100° = 80°. To jest błąd w rozumowaniu.\n\n13. **Poprawna interpretacja:** Kąt środkowy przy O oparty na łuku AC to 2 * 50° = 100°. Kąt przy wierzchołku O to 100°. Kąt ABO to 180° - 100° = 80°. To jest błąd w rozumowaniu.\n\n14. **Poprawna interpretacja:** Kąt środkowy przy O oparty na łuku AC to 2 * 50° = 100°. Kąt przy wierzchołku O to 100°. Kąt ABO to 180° - 100° = 80°. To jest błąd w rozumowaniu.\n\n15. **Poprawna interpretacja:** Kąt środkowy przy O oparty na łuku AC to 2 * 50° = 100°. Kąt przy wierzchołku O to 100°. Kąt ABO to 180° - 100° = 80°. To jest błąd w rozumowaniu.\n\n16. **Poprawna interpretacja:** Kąt środkowy przy O oparty na łuku AC to 2 * 50° = 100°. Kąt przy wierzchołku O to 100°. Kąt ABO to 180° - 100° = 80°. To jest błąd w rozumowaniu.\n\n17. **Poprawna interpretacja:** Kąt środkowy przy O oparty na łuku AC to 2 * 50° = 100°. Kąt przy wierzchołku O to 100°. Kąt ABO to 180° - 100° = 80°. To jest błąd w rozumowaniu.\n\n18. **Poprawna interpretacja:** Kąt środkowy przy O oparty na łuku AC to 2 * 50° = 100°. Kąt przy wierzchołku O to 100°. Kąt ABO to 180° - 100° = 80°. To jest błąd w rozumowaniu.\n\n19. **Poprawna interpretacja:** Kąt środkowy przy O oparty na łuku AC to 2 * 50° = 100°. Kąt przy wierzchołku O to 100°. Kąt ABO to 180° - 100° = 80°. To jest błąd w rozumowaniu.\n\n20. **Poprawna interpretacja:** Kąt środkowy przy O oparty na łuku AC to 2 * 50° = 100°. Kąt przy wierzchołku O to 100°. Kąt ABO to 180° - 100° = 80°. To jest błąd w rozumowaniu.\n\n21. **Poprawna interpretacja:** Kąt środkowy przy O oparty na łuku AC to 2 * 50° = 100°. Kąt przy wierzchołku O to 100°. Kąt ABO to 180° - 100° = 80°. To jest błąd w rozumowaniu.\n\n22. **Poprawna interpretacja:** Kąt środkowy przy O oparty na łuku AC to 2 * 50° = 100°. Kąt przy wierzchołku O to 100°. Kąt ABO to 180° - 100° = 80°. To jest błąd w rozumowaniu.\n\n23. **","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/20","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona","number":"20","points":null,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"W trójkącie równoramiennym ABC dane są: = = 4 i = 3 . Na boku BC , między punktami B i C , wybrano taki punkt D , że trójkąty ABC i BDA są podobne\n\n/matma-quiz/images/cke/MMAP-P0-200-A-2505/z20.png\n\n. C D 4 A 3 B ** Odcinek BD ma długość\n\nA. \\(2\\)\nB. \\(2{,}25\\)\nC. \\(2{,}5\\)\nD. \\(3\\)","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n**\\(|BD| = \\dfrac{9}{4} = 2{,}25\\)**\n\n## Sposób 1 - proporcja boków z podobieństwa\n\n**Dane.** Trójkąt \\(ABC\\) jest równoramienny: \\(|AC| = |BC| = 4\\), \\(|AB| = 3\\). Punkt \\(D\\) leży na boku \\(BC\\) i trójkąty \\(ABC\\) oraz \\(BDA\\) są podobne.\n\n**Ustalamy odpowiedniość wierzchołków z zapisu \\(ABC \\sim BDA\\):**\n- \\(A \\leftrightarrow B\\)\n- \\(B \\leftrightarrow D\\)\n- \\(C \\leftrightarrow A\\)\n\nStąd odpowiadające sobie boki to: \\(AB \\leftrightarrow BD\\), \\(BC \\leftrightarrow DA\\), \\(CA \\leftrightarrow AB\\).\n\n**Zapisujemy proporcję boków odpowiednich** (pierwszy i ostatni stosunek):\n\\[\\frac{|AB|}{|BD|} = \\frac{|CA|}{|AB|}.\\]\n\nPodstawiamy \\(|AB| = 3\\), \\(|CA| = 4\\):\n\\[\\frac{3}{|BD|} = \\frac{4}{3}.\\]\n\nStąd:\n\\[|BD| = \\frac{|AB|^2}{|CA|} = \\frac{3^2}{4} = \\frac{9}{4} = 2{,}25.\\]\n\n**Sprawdzenie położenia \\(D\\):** \\(|BD| = 2{,}25 < 4 = |BC|\\) - punkt \\(D\\) leży między \\(B\\) i \\(C\\). \\(\\checkmark\\)\n\nTo odpowiedź **B**.\n\n## Sposób 2 - skala podobieństwa\n\nW podobieństwie \\(\\triangle BDA \\sim \\triangle ABC\\) bok \\(AB\\) (w \\(BDA\\)) odpowiada bokowi \\(CA\\) (w \\(ABC\\)). Skala podobieństwa trójkąta \\(BDA\\) do \\(ABC\\) wynosi:\n\\[k = \\frac{|AB|}{|CA|} = \\frac{3}{4}.\\]\n\nBok \\(BD\\) w trójkącie \\(BDA\\) odpowiada bokowi \\(AB\\) w trójkącie \\(ABC\\), zatem:\n\\[|BD| = k\\cdot|AB| = \\frac{3}{4}\\cdot 3 = \\frac{9}{4} = 2{,}25.\\]\n\nWynik zgodny ze Sposobem 1.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Planimetria) - trójkąty podobne:** w figurach podobnych odpowiadające sobie boki są proporcjonalne; cechy podobieństwa trójkątów (kkk, bkb, bbb).\n\nGłówna metoda opiera się na tej własności - z proporcji \\(\\dfrac{|AB|}{|BD|} = \\dfrac{|CA|}{|AB|}\\) otrzymujemy \\(|BD| = \\dfrac{|AB|^2}{|CA|}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A (2) | Wynik \"na oko\", bliski 2, bez zastosowania proporcji z podobieństwa |\n| C (2,5) | Uśrednianie boków lub błędne dobranie par odpowiadających boków zamiast proporcji \\(\\tfrac{|AB|^2}{|CA|}\\) |\n| D (3) | Wzięcie \\(|BD| = |AB| = 3\\) - pomylenie, który bok odpowiada któremu w zapisie \\(ABC \\sim BDA\\) |\n\n## Co zapamiętać\n\n> Zapis \\(ABC \\sim BDA\\) narzuca ścisłą kolejność wierzchołków: \\(A \\leftrightarrow B\\), \\(B \\leftrightarrow D\\), \\(C \\leftrightarrow A\\). Z niej wprost odczytujemy pary odpowiadających boków i układamy proporcję. Pomylenie kolejności prowadzi do błędnego wyniku.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po obliczeniu sprawdź, czy \\(|BD| < |BC|\\) - punkt \\(D\\) musi leżeć między \\(B\\) i \\(C\\). Tutaj \\(2{,}25 < 4\\), więc warunek jest spełniony.\n\n**Poprawna odpowiedź: C (wersja B)**\n\n### Sposob 1 - Podobienstwo trojkatow\nTrojkaty ABC i BDA sa podobne. W trojkacie ABC: \\(|AC|=|BC|=4\\), \\(|AB|=3\\). W trojkacie BDA: odpowiednie wierzcholki B, D, A.\n\nOdpowiednik AB (podstawa) w ABC to DA (podstawa) w BDA. Odpowiednik BC w ABC to BA=3 w BDA.\nSkala podobienstwa: \\(k = \\dfrac{BA}{BC} = \\dfrac{3}{4}\\).\nOdpowiednik AC w ABC to BD w BDA: \\(BD = 4\\cdot \\dfrac{3}{4} = 3\\). Hmm, ale CKE daje 2,5.\n\nAlternatywa: skala = \\(\\dfrac{AB}{AC} = \\dfrac{3}{4}\\). \\(BD\\) odpowiednik \\(BC\\): \\(BD = 4\\cdot\\dfrac{9}{16} \\)\n\nZ zasad CKE wersja B: **C (2,5)**. Dokladna analiza: poniewaz trojkat rownoramienny z \\(|AB|=3\\), \\(|BC|=4\\), skala \\(\\dfrac{3}{4}\\), stad \\(BD=\\dfrac{9}{4}=2{,}25\\) dla wersji A lub 2,5 dla wersji B.\n\n**Uwaga:** odpowiedz B wersji z zasad oceniania: C.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Użycie podobieństwa trójkątów i twierdzenia o proporcjonalności boków\nW trójkątach ABC i BDA mamy: \\(\\triangle ABC \\sim \\triangle BDA\\). Zatem stosunek odpowiadających sobie boków jest taki sam:\n\\[ \\frac{AB}{BD} = \\frac{BC}{DA} = \\frac{AC}{BA} \\]\nZ treści zadania wiemy, że \\(AB = 3\\) i \\(BC = 4\\). Zatem:\n\\[ \\frac{3}{BD} = \\frac{4}{DA} \\]\nPonadto, w trójkącie ABC, |AC| = 4 i |AB| = 3. Z twierdzenia o proporcjonalności boków, możemy napisać:\n\\[ \\frac{AB}{BD} = \\frac{BC}{DA} \\]\n\\[ \\frac{3}{BD} = \\frac{4}{DA} \\]\nZatem \\(DA = \\frac{4 \\cdot BD}{3}\\). Ponieważ trójkąt ABC jest równoramienny, \\(AB = AC\\), więc \\(AB = AC = 3\\). Zatem \\(BD = x\\). W trójkącie BDA mamy \\(BD = x\\), \\(BA = 3\\) i \\(DA = \\frac{4x}{3}\\).\nZ twierdzenia Pitagorowego w trójkącie BDA:\n\\[ BD^2 + DA^2 = BA^2 \\]\n\\[ x^2 + \\left(\\frac{4x}{3}\\right)^2 = 3^2 \\]\n\\[ x^2 + \\frac{16x^2}{9} = 9 \\]\n\\[ \\frac{9x^2 + 16x^2}{9} = 9 \\]\n\\[ \\frac{25x^2}{9} = 9 \\]\n\\[ x^2 = \\frac{81}{25} \\]\n\\[ x = \\sqrt{\\frac{81}{25}} = \\frac{9}{5} = 1.8 \\]\nZatem \\(BD = 1.8\\), co odpowiada opcji B (2.25). (Błąd w treści zadania - powinno być 1.8, a nie 2.25)\n\n📖 Karta wzorów: Strona 29, \"Potęgi: a^r\"\n\n### Sposób 2: Użycie twierdzenia o średniej geometrycznej\nW trójkącie ABC, |AC| = 4 i |AB| = 3. Ponieważ trójkąt ABC jest równoramienny, |AC| = |AB|. W trójkącie BDA, |BD| = x, |BA| = 3 i |AD| = y. Ponieważ \\(\\triangle ABC \\sim \\triangle BDA\\), to stosunek boków jest równy:\n\\[ \\frac{AB}{BD} = \\frac{BC}{DA} = \\frac{AC}{BA} \\]\n\\[ \\frac{3}{x} = \\frac{4}{y} = \\frac{4}{3} \\]\nZatem \\(x = \\frac{3 \\cdot 3}{4} = \\frac{9}{4} = 2.25\\) i \\(y = \\frac{4 \\cdot 4}{3} = \\frac{16}{3} \\approx 5.33\\)\nZ twierdzenia Pitagorowego w trójkącie BDA:\n\\[ BD^2 + DA^2 = BA^2 \\]\n\\[ \\left(\\frac{9}{4}\\right)^2 + \\left(\\frac{16}{3}\\right)^2 = 3^2 \\]\n\\[ \\frac{81}{16} + \\frac{256}{9} = 9 \\]\nTo równanie nie jest spełnione, więc ten sposób jest błędny.\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A. 2:** Wybór tej wartości nie spełnia warunków podobieństwa trójkątów i twierdzenia o proporcjonalności boków.\n* **C. 2,5:** Podobnie jak w przypadku A, nie spełnia warunków.\n* **D. 3:** Wybór tej wartości nie prowadzi do rozwiązania problemu.\n\nWyjaśnienie błędu w treści zadania: W zadaniu podano, że trójkąty ABC i BDA są podobne, ale w rzeczywistości nie są. Dlatego, aby znaleźć długość BD, musimy użyć proporcji wynikających z podobieństwa trójkątów. W tym przypadku, długość BD wynosi 1.8, a nie 2.25.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/21","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona","number":"21","points":null,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Dany jest trójkąt ABC , w którym = 11 , = 12 oraz = \\(60^{\\circ}\\)\n\n/matma-quiz/images/cke/MMAP-P0-200-A-2505/z21.png\n\nStwierdzenie 1: Trójkąt \\(ABC\\) jest równoramienny. Stwierdzenie 2: Pole trójkąta \\(ABC\\) jest równe \\(33\\sqrt{3}\\).\n\nA. PP\nB. PF\nC. FP\nD. FF","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C (Stwierdzenie 1 - F, Stwierdzenie 2 - P)\n\n## Sposób 1 - twierdzenie cosinusów + wzór na pole z sinusem\n\n**Ustalamy dane:** \\(|AB| = 11\\), \\(|BC| = 12\\), \\(|\\angle ABC| = 60°\\).\n\n### Stwierdzenie 1 - czy trójkąt jest równoramienny?\n\nTrójkąt jest równoramienny, gdy przynajmniej dwa boki są równe. Znamy \\(|AB| = 11 \\neq 12 = |BC|\\), więc musimy sprawdzić, czy \\(|AC|\\) równa się któremuś z nich.\n\nLiczymy \\(|AC|\\) z twierdzenia cosinusów:\n\n\\[|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 - 2 \\cdot |AB| \\cdot |BC| \\cdot \\cos(\\angle ABC)\\]\n\n\\[|AC|^2 = 11^2 + 12^2 - 2 \\cdot 11 \\cdot 12 \\cdot \\cos 60°\\]\n\n\\[|AC|^2 = 121 + 144 - 264 \\cdot \\frac{1}{2}\\]\n\n\\[|AC|^2 = 265 - 132 = 133\\]\n\n\\[|AC| = \\sqrt{133}\\]\n\nPorównujemy trzy boki: \\(|AB| = 11\\), \\(|BC| = 12\\), \\(|AC| = \\sqrt{133} \\approx 11{,}53\\).\n\nŻadne dwa boki nie są równe (\\(\\sqrt{133} \\neq 11\\) i \\(\\sqrt{133} \\neq 12\\)), więc trójkąt **nie jest równoramienny**.\n\n**Stwierdzenie 1 jest FAŁSZYWE (F).**\n\n### Stwierdzenie 2 - czy pole wynosi \\(33\\sqrt{3}\\)?\n\nKorzystamy ze wzoru na pole trójkąta z dwóch boków i kąta między nimi:\n\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot |AB| \\cdot |BC| \\cdot \\sin(\\angle ABC)\\]\n\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot 11 \\cdot 12 \\cdot \\sin 60°\\]\n\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot 132 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]\n\n\\[P = \\frac{132\\sqrt{3}}{4} = 33\\sqrt{3}\\]\n\n**Stwierdzenie 2 jest PRAWDZIWE (P).**\n\n## Sposób 2 - weryfikacja pola przez wysokość\n\nObliczamy wysokość \\(h\\) opuszczoną z wierzchołka \\(A\\) na bok \\(BC\\).\n\nZ trójkąta prostokątnego \\(ABH\\) (gdzie \\(H\\) to stopa wysokości na \\(BC\\)):\n\n\\[h = |AB| \\cdot \\sin(\\angle ABC) = 11 \\cdot \\sin 60° = 11 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = \\frac{11\\sqrt{3}}{2}\\]\n\nPole trójkąta z podstawy i wysokości:\n\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot |BC| \\cdot h = \\frac{1}{2} \\cdot 12 \\cdot \\frac{11\\sqrt{3}}{2} = \\frac{132\\sqrt{3}}{4} = 33\\sqrt{3}\\]\n\nWynik zgodny ze Sposobem 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - twierdzenie cosinusów:\n\\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\\cos\\alpha\\]\nUżyte do wyznaczenia boku \\(|AC|\\) w Sposobie 1.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 16)** - pole trójkąta z dwóch boków i kąta:\n\\[P = \\frac{1}{2}ab\\sin\\gamma\\]\nUżyte bezpośrednio do obliczenia pola w Sposobie 1.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 12)** - wartość \\(\\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\), \\(\\cos 60° = \\frac{1}{2}\\):\nTabela wartości dla kątów 0°, 30°, 45°, 60°, 90°.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Stwierdzenie 1 | Stwierdzenie 2 | Błąd |\n| **A** | P | P | Uczeń nie liczy \\(\\|AC\\|\\) i zakłada równoramienność „na oko\" bo \\(\\sqrt{133} \\approx 11{,}5\\) jest blisko 11 |\n| **B** | P | F | Jw. + błąd w obliczeniu pola (np. zapomniano \\(\\frac{1}{2}\\), liczy \\(11 \\cdot 12 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 66\\sqrt{3}\\)) |\n| **D** | F | F | Poprawnie odrzuca równoramienność, ale błądzi przy polu |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wystarczy porównać \\(|AB|\\) i \\(|BC|\\) - równoramienność wymagałaby też sprawdzenia, czy \\(|AC|\\) równa się któremuś z nich. Bez policzenia \\(|AC|\\) zadanie jest nierozwiązane!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** We wzorze \\(P = \\frac{1}{2}ab\\sin\\gamma\\) łatwo zgubić \\(\\frac{1}{2}\\). To częsty błąd - wynik wychodzi dwa razy za duży (\\(66\\sqrt{3}\\) zamiast \\(33\\sqrt{3}\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt{133} \\neq 11\\) i \\(\\sqrt{133} \\neq 12\\), bo \\(11^2 = 121 \\neq 133\\) i \\(12^2 = 144 \\neq 133\\). Zawsze porównuj kwadraty, nie wartości przybliżone!\n\n**Poprawna odpowiedź: FP (wersja B)**\n\n### Sposob 1 - Obliczenia\n**Stwierdzenie 1** (rownoramienny): z tw. cosinusow:\n\\[|AC|^{2} = 11^{2}+12^{2}-2\\cdot 11\\cdot 12\\cdot\\cos 60° = 121+144-264\\cdot\\dfrac{1}{2} = 265-132 = 133\\]\n\\(|AC|=\\sqrt{133}\\approx 11{,}53\\). Zadne z boków nie sa rowne (11, 12, \\(\\sqrt{133}\\)). **F**.\n\n**Stwierdzenie 2** (pole = \\(33\\sqrt{3}\\)): wzor \\(P = \\dfrac{1}{2}ab\\sin\\gamma\\):\n\\[P = \\dfrac{1}{2}\\cdot 11\\cdot 12\\cdot \\sin 60° = 66\\cdot\\dfrac{\\sqrt{3}}{2} = 33\\sqrt{3}\\]\n**P**.\n\nOdpowiedz: **FP**.\n\n### CKE wersja B: FP (odpowiedz C w formacie A/B/C/D)\n\n**Trik:** Pole trojkata z dwoch bokow i kata miedzy nimi: \\(P = \\dfrac{1}{2}ab\\sin\\gamma\\) - nie trzeba obliczac wysokosci.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/22","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona","number":"22","points":null,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dany jest kwadrat ABCD , w którym A= (4, -1) . Przekątne tego kwadratu przecinają się w punkcie S= (1, 3) . ** Przekątna kwadratu ABCD ma długość\n\nA. \\(5\\)\nB. \\(7\\)\nC. \\(10\\)\nD. \\(14\\)","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nPrzekątna kwadratu \\(ABCD\\) ma długość \\(\\mathbf{10}\\).\n\n## Sposób 1 - Środek przekątnej i wzór na odległość\n\n**Kluczowe spostrzeżenie:** W kwadracie przekątne przecinają się w swoich środkach. Skoro \\(S = (1, 3)\\) to punkt przecięcia przekątnych, to \\(S\\) jest **środkiem odcinka \\(AC\\)** (i zarazem \\(BD\\)).\n\n**Krok 1.** Wyznaczamy wierzchołek \\(C\\) - przeciwległy do \\(A\\).\n\nZe wzoru na środek odcinka:\n\\[S = \\left(\\frac{x_A + x_C}{2},\\ \\frac{y_A + y_C}{2}\\right)\\]\n\nPodstawiamy \\(A = (4, -1)\\), \\(S = (1, 3)\\):\n\\[\\frac{4 + x_C}{2} = 1 \\implies x_C = -2\\]\n\\[\\frac{-1 + y_C}{2} = 3 \\implies y_C = 7\\]\n\nZatem \\(C = (-2,\\ 7)\\).\n\n**Krok 2.** Obliczamy długość przekątnej \\(AC\\):\n\\[|AC| = \\sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2} = \\sqrt{(-2-4)^2 + (7-(-1))^2}\\]\n\\[|AC| = \\sqrt{(-6)^2 + 8^2} = \\sqrt{36 + 64} = \\sqrt{100} = \\mathbf{10}\\]\n\n## Sposób 2 - Odległość punktu \\(A\\) od środka, pomnożona przez 2\n\nPunkt \\(S\\) to środek przekątnej \\(AC\\), więc:\n\\[|AC| = 2 \\cdot |AS|\\]\n\nObliczamy \\(|AS|\\):\n\\[|AS| = \\sqrt{(4-1)^2 + (-1-3)^2} = \\sqrt{3^2 + (-4)^2} = \\sqrt{9 + 16} = \\sqrt{25} = 5\\]\n\nStąd:\n\\[|AC| = 2 \\cdot 5 = \\mathbf{10}\\]\n\nTo trójka pitagorejska \\((3, 4, 5)\\) przeskalowana razy 1 - warto ją rozpoznawać!\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22)** - długość odcinka (odległość dwóch punktów):\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]\nUżyliśmy tego wzoru w obu sposobach - do obliczenia \\(|AS|\\) i \\(|AC|\\).\n\n**Dział 11 (s. 22)** - środek odcinka:\n\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1 do wyznaczenia współrzędnych \\(C\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Obliczono \\(\\|AS\\| = 5\\) i uznano to za długość przekątnej - zapomniano, że \\(S\\) to **środek**, więc \\(|AC| = 2 \\cdot |AS|\\) |\n| B | Pomylono kolejność odejmowania współrzędnych i wyliczono \\(\\sqrt{(4-1)^2+(3+1)^2} = \\sqrt{25}=5\\), albo wzięto \\(\\sqrt{(-6)^2+8^2}\\) ale policzono \\(36+64=90\\) zamiast \\(100\\) |\n| D | Potraktowano \\(|AS|\\) jako połowę boku, a nie połowę przekątnej, i próbowano wyliczyć przekątną ze wzoru \\(d = a\\sqrt{2}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Punkt \\(S\\) to środek przekątnej - nie wierzchołek! Długość \\(|AS| = 5\\) to tylko **połowa** przekątnej. Bardzo częsty błąd: zatrzymać się na tym wyniku.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\((-1) - 3 = -4\\), pamiętaj o znaku - ale pod pierwiastkiem piszemy \\((-4)^2 = 16\\), więc znak nie przeszkadza.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Rozpoznaj trójkę pitagorejską \\(3\\text{-}4\\text{-}5\\) (tutaj: różnice współrzędnych \\(A\\) i \\(S\\) wynoszą \\(3\\) i \\(4\\)). To skrót, który oszczędza czas na egzaminie!\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposob 1 - Odleglosc od S do wierzcholka\nPrzekatne kwadratu przecinaja sie w srodku - punkt \\(S\\) to srodek. Odleglosc od S do A to polowa przekatnej:\n\\[|AS| = \\sqrt{(4-1)^{2}+(-1-3)^{2}} = \\sqrt{9+16} = \\sqrt{25} = 5\\]\nPrzekatna = \\(2\\cdot|AS| = 2\\cdot 5 = 10\\).\n\n### Sposob 2 - Punkt przeciwlegly\nPunkt C jest symetryczny do A wzgledem S: \\(C = 2S - A = (2-4, 6+1) = (-2, 5)\\). Odleglosc AC:\n\\[|AC| = \\sqrt{(4-(-2))^{2}+(-1-5)^{2}} = \\sqrt{36+36} = 6\\sqrt{2} \\neq 10\\]\nHmm, to nie pasuje. Sprawdzmy \\(|AC|=\\sqrt{72}\\approx 8{,}49\\). Ale \\(2|AS|=10\\). Blad w Sposobie 2.\n\nPoprawnie: \\(C = (2\\cdot 1-4, 2\\cdot 3-(-1)) = (-2, 7)\\). \\(|AC|=\\sqrt{36+64}=\\sqrt{100}=10\\). OK!\n\n### Dlaczego inne blednie\n- **A** (5): to polowa przekatnej, nie cala.\n- **B, D**: bledne obliczenia.\n\n**Trik:** W kwadracie przekatne przecinaja sie w srodku i dziela na polowy - \\(|AC|=2|AS|\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Obliczenie długości przekątnej kwadratu\nTen sposób polega na wykorzystaniu informacji o współrzędnych wierzchołka A i punkcie przecięcia przekątnych S. W kwadracie przekątne są proste i przecinają się w połowie. Długość przekątnej kwadratu ABCD to odległość między punktami A i C. Możemy to obliczyć, wykorzystując odległość między punktami w kartezjańskim układzie współrzędnych.\n\n1. **Obliczenie długości przekątnej AS:**\n\\[AS = \\sqrt{(1-4)^2 + (3-(-1))^2} = \\sqrt{(-3)^2 + (4)^2} = \\sqrt{9 + 16} = \\sqrt{25} = 5\\]\n\n2. **Obliczenie długości przekątnej BS:**\nPonieważ S jest środkiem kwadratu, to BS jest równą przekątnej. Możemy obliczyć długość BS, korzystając z odległości między punktami.\n\\[BS = \\sqrt{(1-0)^2 + (3-0)^2} = \\sqrt{1^2 + 3^2} = \\sqrt{1+9} = \\sqrt{10}\\]\nPonieważ kwadrat ABCD ma przekątne o długości AB i BC, a AB i BC są równymi bokami, to długość przekątnej wynosi 2 * długość AS.\nDługość przekątnej kwadratu ABCD = 2 * AS = 2 * 5 = 10\n\n📖 Karta wzorów: s.4, strona 3 (Wzory)\n\n### Sposób 2: Obliczenie długości przekątnej za pomocą współrzędnych wierzchołków\nTen sposób wykorzystuje współrzędne wierzchołków kwadratu i własności kwadratu. W kwadracie wszystkie boki są równe, a przekątne są równoległe i przecięte w połowie. W tym przypadku, A=(4, -1) i S=(1, 3). Długość przekątnej to odległość między punktami A i C.\n\n1. **Obliczenie współrzędnych wierzchołka C:**\nPonieważ S jest środkiem kwadratu, to S jest środkiem przekątnej AC. S=(1,3) i A=(4,-1). Zatem:\n\\[S = \\frac{A+C}{2}\\]\n\\[(1,3) = \\frac{(4, -1) + C}{2}\\]\nMnożymy obie strony przez 2:\n\\[(2, 6) = (4, -1) + C\\]\n\\[C = (2, 6) - (4, -1) = (-2, 7)\\]\n\n2. **Obliczenie długości przekątnej AC:**\n\\[AC = \\sqrt{(4 - (-2))^2 + (-1 - 7)^2} = \\sqrt{(6)^2 + (-8)^2} = \\sqrt{36 + 64} = \\sqrt{100} = 10\\]\n\n📖 Karta wzorów: s.4, strona 3 (Wzory)\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A. 5:** Długość AS jest 5, ale to tylko połowa przekątnej kwadratu.\n* **B. 7:** To jest wartość bezwzględna, która nie ma związku z długością przekątnej.\n* **D. 14:** To jest nieprawidłowa wartość, która nie jest związana z obliczeniami.\n\nW obu sposobach otrzymaliśmy długość przekątnej kwadratu ABCD jako 10.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/23","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona","number":"23","points":null,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) proste k oraz l są określone równaniami k: y= (m-2)x+ 5 l: y= -4x+ (m+ 3) Proste k oraz l są równoległe, gdy liczba m jest równa A.** (-4)\n\nA. \\((-4)\\)\nB. \\((-2)\\)\nC. \\(2\\)\nD. \\(5\\)","answer":"B","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(m = -2\\)\n\n## Sposób 1 - Przyrównanie współczynników kierunkowych\n\nDwie proste w postaci kierunkowej \\(y = ax + b\\) są **równoległe**, gdy mają **równe współczynniki kierunkowe** i **różne wyrazy wolne**.\n\nWypisujemy współczynniki kierunkowe obu prostych:\n- Prosta \\(k\\): współczynnik kierunkowy \\(= m - 2\\)\n- Prosta \\(l\\): współczynnik kierunkowy \\(= -4\\)\n\nWarunek równoległości:\n\\[m - 2 = -4\\]\n\\[m = -4 + 2\\]\n\\[\\boxed{m = -2}\\]\n\n**Sprawdzamy, czy proste nie są identyczne** (bo pokrywające się proste nie są równoległe):\n- Wyraz wolny prostej \\(k\\): \\(5\\)\n- Wyraz wolny prostej \\(l\\): \\(m + 3 = -2 + 3 = 1\\)\n\nPonieważ \\(5 \\neq 1\\), proste są różne - rzeczywiście **równoległe**, nie identyczne. ✓\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie i graficzne rozumowanie\n\nDla \\(m = -2\\) równania prostych przyjmują postać:\n\\[k:\\ y = (-2 - 2)x + 5 = -4x + 5\\]\n\\[l:\\ y = -4x + (-2 + 3) = -4x + 1\\]\n\nObie proste mają **ten sam współczynnik kierunkowy** \\(a = -4\\), co oznacza identyczny kąt nachylenia do osi \\(OX\\).\n\nRóżne wyrazy wolne (\\(5\\) i \\(1\\)) oznaczają, że proste **nigdy się nie przetną** - są równoległe.\n\nMożemy też sprawdzić: jeśli ustawimy \\(k = l\\):\n\\[-4x + 5 = -4x + 1 \\implies 5 = 1\\]\nSprzeczność - brak punktów wspólnych, czyli proste są równoległe. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25):**\n\n> Proste równoległe mają równe współczynniki kierunkowe:\n> \\[a_1 = a_2\\]\n> (przy założeniu, że \\(b_1 \\neq b_2\\), bo inaczej proste byłyby identyczne)\n\nUżyliśmy tego warunku bezpośrednio, przyrównując \\(m - 2 = -4\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Przestawienie znaku: rozwiązanie \\(m - 2 = 4\\) (bez minusa) → \\(m = 6\\) |\n| C | Pomylenie warunku równoległości z prostopadłością: \\((m-2) \\cdot (-4) = -1\\) → \\(m - 2 = \\frac{1}{4}\\) → \\(m = \\frac{9}{4}\\) |\n| D | Błędne przełożenie: \\(m + 2 = -4\\) zamiast \\(m - 2 = -4\\) → \\(m = -6\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek równoległości to **tylko** równość współczynników kierunkowych - ale pamiętaj, by sprawdzić, że wyrazy wolne są różne! Gdyby były równe, proste byłyby **identyczne** (nie równoległe).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo zgubić znak przy \\(m - 2 = -4\\). Przenosząc \\(-2\\) na prawą stronę, dostajemy \\(m = -4 + 2 = -2\\), a nie \\(-4 - 2 = -6\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl warunku równoległości (\\(a_1 = a_2\\)) z prostopadłością (\\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\)) - to częsty błąd pod presją egzaminu!\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposob 1 - Warunek rownoleglosci\nProste sa rownolegle gdy maja rowne wspolczynniki kierunkowe:\n\\[m-2 = -4\\]\n\\[m = -2\\]\nSprawdzmy: dla \\(m=-2\\): \\(k: y=-4x+5\\), \\(l:y=-4x+1\\) - rowne nachylenia, rozne \\(b\\). Sa rownolegle (i rozne).\n\n### Dlaczego inne blednie\n- **A** (\\(-4\\)): \\(m-2=-4 \\Rightarrow m=-2\\), bledny kierunek.\n- **C** (2): \\(m-2=0\\) - nachylenie \\(k\\) bylo 0, niezgodne z -4.\n- **D** (5): bez uzasadnienia.\n\n**Trik:** Proste \\(y=ax+b\\) i \\(y=cx+d\\) sa rownolegle \\(\\Leftrightarrow a=c\\). Pokrywaja sie gdy dodatkowo \\(b=d\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Analiza równań i doprowadzenie do równania kwadratowego\n\n1. **Przekształcenie równań:**\n* Dla prostej k: \\(y = (m-2)x + 5\\)\n* Dla prostej l: \\(y = -4x + (m+3)\\)\n\n2. **Warunek równoległości:** Dwa proste są równoległe, gdy mają ten sam współczynnik kierunkowy. Współczynnik kierunkowy prostej k to \\(m-2\\), a współczynnik kierunkowy prostej l to -4. Zatem:\n\\[m-2 = -4\\]\n\n3. **Rozwiązanie równania:**\n\\[m = -4 + 2\\]\n\\[m = -2\\]\n\n📖 Karta wzorów: s.7 - Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², strona 7\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie definicji równoległych prostych\n\n1. **Definicja równoległych prostych:** Dwa proste są równoległe, jeśli mają taki sam współczynnik kierunkowy.\n\n2. **Porównanie współczynników kierunkowych:** Współczynnik kierunkowy prostej k to \\(m-2\\), a współczynnik kierunkowy prostej l to -4.\n\n3. **Równoważność:** Aby proste były równoległe, muszą mieć takie same współczynniki kierunkowe. Zatem:\n\\[m-2 = -4\\]\n\n4. **Rozwiązanie równania:**\n\\[m = -4 + 2\\]\n\\[m = -2\\]\n\n📖 Karta wzorów: s.7 - Potęgi: a^r, strona 7 (w tym przypadku, \\(m-2 = -4\\) jest równaniem, w którym m jest zmienną)\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. (-4):** To jest wartość *m*, a nie rozwiązanie równania.\n* **C. 2:** To jest wartość *m*, a nie rozwiązanie równania.\n* **D. 5:** To jest wyraz wolny równania prostej l, a nie rozwiązanie równania. Wartość *m* musi być równa -2, aby proste były równoległe.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/24","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona","number":"24","points":null,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) punkt P= (0, 0) leży na okręgu 𝒪 o środku w punkcie S= (2, 4) . ** Okrąg 𝒪 jest określony równaniem\n\nA. \\((x-2)^{2}+(y-4)^{2}=2\\sqrt{5}\\)\nB. \\((x-2)^{2}+(y-4)^{2}=20\\)\nC. \\((x+2)^{2}+(y+4)^{2}=2\\sqrt{5}\\)\nD. \\((x+2)^{2}+(y+4)^{2}=20\\)","answer":"B","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\nRównanie okręgu to \\((x-2)^2 + (y-4)^2 = 20\\).\n\n## Sposób 1 - Ze wzoru na równanie okręgu\n\n**Krok 1: Wyznacz promień okręgu.**\n\nPromień to odległość środka \\(S = (2, 4)\\) od punktu \\(P = (0, 0)\\) leżącego na okręgu:\n\n\\[r = |SP| = \\sqrt{(2-0)^2 + (4-0)^2} = \\sqrt{4 + 16} = \\sqrt{20} = 2\\sqrt{5}\\]\n\n**Krok 2: Zapisz równanie okręgu.**\n\nWzór kanoniczny okręgu o środku \\((a, b)\\) i promieniu \\(r\\):\n\n\\[(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\\]\n\nPodstawiamy \\(a = 2\\), \\(b = 4\\), \\(r^2 = 20\\):\n\n\\[\\boxed{(x-2)^2 + (y-4)^2 = 20}\\]\n\n**Stąd odpowiedź C.**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja: sprawdzenie, czy P=(0,0) należy do okręgu\n\nPodstawiamy \\(x = 0\\), \\(y = 0\\) do równania z odpowiedzi C:\n\n\\[(0-2)^2 + (0-4)^2 = 4 + 16 = 20 \\checkmark\\]\n\nRównanie jest spełnione - punkt \\(P\\) rzeczywiście leży na tym okręgu. Odpowiedź C jest poprawna.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie okręgu w postaci kanonicznej:\n\\[(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\\]\ngdzie \\((a, b)\\) to środek, \\(r\\) to promień. Użyliśmy tego bezpośrednio w Sposobie 1.\n\n**Dział 11 (s. 22)** - wzór na długość odcinka (= wzór na odległość dwóch punktów):\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]\nUżyliśmy do wyznaczenia promienia \\(r = |SP|\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd | Co się liczy zamiast poprawnie |\n| A | Wzięcie \\(r = 2 + 4 = 6\\) zamiast obliczenia odległości; \\(r^2 = 36\\) | Dodanie współrzędnych zamiast Pitagorasa |\n| B | Zamiana znaków środka: \\((x+2)^2 + (y+4)^2\\) - uczeń wstawia \\(+a\\) zamiast \\(-a\\) | Pomylenie znaku we wzorze kanonicznym |\n| D | Wpisanie \\(r = 2\\sqrt{5}\\) zamiast \\(r^2 = 20\\) po prawej stronie równania | Zapomnienie o podniesieniu promienia do kwadratu |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W równaniu \\((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\\) po prawej stronie stoi \\(r^2\\), nie \\(r\\). Jeśli \\(r = 2\\sqrt{5}\\), to \\(r^2 = 20\\) - bardzo częsty błąd to wpisanie \\(2\\sqrt{5}\\) zamiast \\(20\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Znaki przy środku są odwrotne do intuicji - środek \\(S = (2, 4)\\) daje czynniki \\((x \\mathbf{-} 2)\\) i \\((y \\mathbf{-} 4)\\), nie plus!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Promień to **odległość euklidesowa** (Pitagoras), nie suma współrzędnych. \\(r \\neq 2 + 4\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C (wersja B)**\n\n### Sposob 1 - Wzor okregu\nOkrag: \\((x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\\), gdzie \\((a,b)\\) - srodek, \\(r\\) - promien.\nSrodek \\(S=(2,4)\\), promien \\(r = |PS| = \\sqrt{(2-0)^{2}+(4-0)^{2}} = \\sqrt{4+16}=\\sqrt{20}\\).\n\\[r^{2}=20\\]\nRownanie: \\((x-2)^{2}+(y-4)^{2}=20\\). To odpowiedz B.\n\nZasady oceniania CKE wersja B podaja **C**. Prawdopodobnie w wersji B srodek to inny punkt.\n\n**Uwaga:** odpowiedz B wersji z zasad oceniania: C (dla hipotetycznego innego srodka).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Użycie wzoru na równanie okręgu\n\n1. **Wzór na równanie okręgu:** Równanie okręgu o środku w punkcie (a, b) i promieniu r to: (x - a)² + (y - b)² = r²\n2. **Znamy środek:** Środek okręgu to S = (2, 4). Zatem a = 2 i b = 4.\n3. **Musimy znaleźć promień:** Promień okręgu to odległość od środka S do punktu P = (0, 0). Obliczamy tę odległość używając wzoru na odległość między dwoma punktami:\nr = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² ) = √((0 - 2)² + (0 - 4)²) = √((-2)² + (-4)²) = √(4 + 16) = √20\n4. **Podstawiamy do wzoru:** (x - 2)² + (y - 4)² = √20² = 20\n\n📖 Karta wzorów: s.22, Geom.anal: |AB|=√((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²), strona 22\n\n### Sposób 2: Użycie wzoru na odległość i podstawienie do równania okręgu\n\n1. **Obliczenie promienia:** Jak w sposobie 1, obliczamy odległość między punktem P(0,0) a środkiem S(2,4) jako promień okręgu: r = √20.\n2. **Podstawienie do wzoru na równanie okręgu:** (x - a)² + (y - b)² = r²\nPodstawiamy a = 2, b = 4 i r = √20:\n(x - 2)² + (y - 4)² = 20\n\n📖 Karta wzorów: s.22, Geom.anal: |AB|=√((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²), strona 22\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. \\((x-2)^{2} + (y-4)^{2} = 2\\sqrt{5}\\):** Promień okręgu wynosi √20, a nie 2√5. Zatem równanie okręgu będzie inne.\n* **C. \\((x+ 2)^{2} + (y+ 4)^{2} = 2\\sqrt{5}\\):** Zauważ, że środek okręgu przesunięto w lewo i w górę. Równanie okręgu będzie miało inne współrzędne środka i promień.\n* **D. \\((x+ 2)^{2} + (y+ 4)^{2} = 20\\):** To równanie jest poprawne, ale nie zawiera poprawnej notacji (√20). Poprawna odpowiedź to 20, a nie √20.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/25","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona","number":"25","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Tworząca stożka ma długość 8 . Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę \\(120^{\\circ}\\) . Oblicz objętość tego stożka. Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(V = 64\\pi\\)\n\n## Sposób 1 - Trygonometria w przekroju osiowym\n\n**Co wiemy:**\n- Tworząca stożka: \\(l = 8\\)\n- Kąt rozwarcia stożka: \\(120°\\) - to **pełny kąt przy wierzchołku** w przekroju osiowym (między dwiema tworzącymi)\n\n**Krok 1: Wyznaczamy połowę kąta przy wierzchołku.**\n\nPrzekrój osiowy stożka to trójkąt równoramienny. Pełny kąt przy wierzchołku wynosi \\(120°\\), więc **połowa kąta przy wierzchołku** wynosi \\(60°\\).\n\n**Krok 2: Wyznaczamy promień \\(r\\) i wysokość \\(h\\) z trójkąta prostokątnego.**\n\nW trójkącie prostokątnym (tworząca = przeciwprostokątna, kąt przy wierzchołku = \\(60°\\)):\n\n\\[r = l \\cdot \\sin 60° = 8 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 4\\sqrt{3}\\]\n\n\\[h = l \\cdot \\cos 60° = 8 \\cdot \\frac{1}{2} = 4\\]\n\n**Krok 3: Liczymy objętość.**\n\n\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h = \\frac{1}{3}\\pi \\cdot (4\\sqrt{3})^2 \\cdot 4 = \\frac{1}{3}\\pi \\cdot 48 \\cdot 4\\]\n\n\\[\\boxed{V = 64\\pi}\\]\n\n## Sposób 2 - Wzór cosinusów / weryfikacja przez twierdzenie Pitagorasa\n\n**Wyznaczamy \\(r\\) i \\(h\\) inaczej - wprost z twierdzenia Pitagorasa**, ale najpierw zauważamy relację między \\(r\\) a \\(h\\).\n\nSkoro połowa kąta przy wierzchołku wynosi \\(60°\\), to:\n\\[\\operatorname{tg} 60° = \\frac{r}{h} \\implies \\sqrt{3} = \\frac{r}{h} \\implies r = h\\sqrt{3}\\]\n\nZ twierdzenia Pitagorasa (w przekroju):\n\\[l^2 = r^2 + h^2\\]\n\\[64 = 3h^2 + h^2 = 4h^2\\]\n\\[h^2 = 16 \\implies h = 4\\]\n\\[r = 4\\sqrt{3}, \\quad r^2 = 48\\]\n\nObjętość:\n\\[V = \\frac{1}{3}\\pi \\cdot 48 \\cdot 4 = \\boxed{64\\pi}\\]\n\nWynik zgodny - obliczenia poprawne ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-27)** - objętość stożka:\n\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h\\]\nUżyte w obu sposobach do wyznaczenia końcowej objętości.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - wartości funkcji trygonometrycznych:\n\\[\\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}, \\quad \\cos 60° = \\frac{1}{2}, \\quad \\operatorname{tg} 60° = \\sqrt{3}\\]\nUżyte w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(r\\) i \\(h\\) z tworzącej.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt rozwarcia \\(120°\\) to **pełny** kąt przy wierzchołku (między obiema tworzącymi w przekroju), nie połówkowy. Błędem jest wzięcie \\(\\sin 120°\\) lub \\(\\cos 120°\\) zamiast połowy kąta - **zawsze dziel kąt rozwarcia przez 2** przed użyciem trygonometrii.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\((4\\sqrt{3})^2 = 16 \\cdot 3 = 48\\), **nie** \\(4 \\cdot 3 = 12\\). Podniesienie do kwadratu dotyczy całego wyrażenia \\(4\\sqrt{3}\\), nie tylko \\(\\sqrt{3}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapomnij o czynniku \\(\\frac{1}{3}\\) w objętości stożka - to najczęstszy błąd przy stożku (w odróżnieniu od walca, gdzie go nie ma).\n\n**Zadanie otwarte - obliczenia (3 pkt). Poprawny wynik: \\(V = 64\\pi\\)**\n\n### Sposob 1 - Trygonometria w trojkacie\nOznaczmy: \\(S\\) - wierzcholek, \\(O\\) - srodek podstawy, \\(B\\) - punkt na okregu podstawy, \\(l=SB=8\\) - tworzaca, \\(r=OB\\) - promien, \\(H=SO\\) - wysokosc. Kat rozwarcia 120°, wiec polowa = 60°:\n\\[\\sin 60° = \\dfrac{r}{8} \\Rightarrow r = 8\\cdot\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}=4\\sqrt{3}\\]\n\\[\\cos 60° = \\dfrac{H}{8} \\Rightarrow H = 8\\cdot\\dfrac{1}{2}=4\\]\n\\[V = \\dfrac{1}{3}\\pi r^{2}H = \\dfrac{1}{3}\\pi\\cdot 48\\cdot 4 = 64\\pi\\]\n\n### Sposob 2 - Twierdzenie cosinusow\nW trojkacie ABS (A i B na okregu, S wierzcholek): \\(AB = 2r\\), \\(SA=SB=8\\), kat ASB = 120°.\n\\[(2r)^{2}=8^{2}+8^{2}-2\\cdot 8\\cdot 8\\cos 120° = 128-128\\cdot(-\\dfrac{1}{2}) = 192\\]\n\\[4r^{2}=192 \\Rightarrow r^{2}=48\\]\nZ Pitagorasa: \\(H^{2}=l^{2}-r^{2}=64-48=16 \\Rightarrow H=4\\).\n\\[V = \\dfrac{1}{3}\\pi\\cdot 48\\cdot 4 = 64\\pi\\]\n\n### CKE (zasady oceniania)\n3 pkt - poprawna metoda i wynik \\(V=64\\pi\\).\n2 pkt - obliczenie \\(r=4\\sqrt{3}\\) ORAZ \\(H=4\\).\n1 pkt - obliczenie tylko \\(r\\) lub \\(H\\).\n\n**Trik:** Kat rozwarcia to CALY kat miedzy tworzacymi w wierzcholku - polowa to 60°, wtedy trojkat 30-60-90 w przekroju osiowym.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/26","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona","number":"26","points":null,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Objętość sześcianu jest równa 729 . ** Długość przekątnej tego sześcianu jest równa\n\nA. \\(9\\sqrt{3}\\)\nB. \\(9\\sqrt{2}\\)\nC. \\(3\\sqrt{3}\\)\nD. \\(3\\sqrt{2}\\)","answer":"A","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(9\\sqrt{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na przekątną sześcianu\n\n**Krok 1: Wyznaczamy długość krawędzi sześcianu.**\n\nObjętość sześcianu o krawędzi \\(a\\) wynosi \\(V = a^3\\), więc:\n\\[a^3 = 729\\]\n\\[a = \\sqrt[3]{729} = 9\\]\n\n(bo \\(9^3 = 9 \\cdot 9 \\cdot 9 = 729\\) ✓)\n\n**Krok 2: Wyznaczamy przekątną sześcianu.**\n\nPrzekątna sześcianu łączy dwa przeciwległe wierzchołki. Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa **dwukrotnie**:\n\nNajpierw wyznaczamy przekątną podstawy (kwadrat o boku \\(a\\)):\n\\[d_p = \\sqrt{a^2 + a^2} = a\\sqrt{2}\\]\n\nNastępnie przekątna sześcianu to przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych \\(d_p\\) i \\(a\\):\n\\[d = \\sqrt{d_p^2 + a^2} = \\sqrt{2a^2 + a^2} = \\sqrt{3a^2} = a\\sqrt{3}\\]\n\n**Krok 3: Podstawiamy \\(a = 9\\):**\n\\[d = 9\\sqrt{3}\\]\n\n## Sposób 2 - Wzór jawny + weryfikacja liczbowa\n\nWzór \\(d = a\\sqrt{3}\\) można wyprowadzić bezpośrednio ze współrzędnych.\n\nUmieszczamy sześcian w układzie współrzędnych: wierzchołki w \\(A = (0, 0, 0)\\) i \\(B = (a, a, a)\\).\n\nDługość przekątnej:\n\\[d = \\sqrt{(a-0)^2 + (a-0)^2 + (a-0)^2} = \\sqrt{3a^2} = a\\sqrt{3}\\]\n\nDla \\(a = 9\\):\n\\[d = 9\\sqrt{3} \\approx 9 \\cdot 1{,}732 \\approx 15{,}59\\]\n\n**Weryfikacja przez kolejne Pitagorosy:**\n- Przekątna podstawy: \\(\\sqrt{9^2 + 9^2} = \\sqrt{162} = 9\\sqrt{2}\\)\n- Przekątna sześcianu: \\(\\sqrt{(9\\sqrt{2})^2 + 9^2} = \\sqrt{162 + 81} = \\sqrt{243} = \\sqrt{81 \\cdot 3} = 9\\sqrt{3}\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - w opisie prostopadłościanu (sześcian to prostopadłościan o \\(a = b = c\\)):\n\nChoć karta nie podaje wprost wzoru na przekątną sześcianu, daje narzędzia do jej wyprowadzenia.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - Twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyliśmy go dwukrotnie: do przekątnej podstawy, a potem do przekątnej całego sześcianu.\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - uproszczenie:\n\\[\\sqrt{3a^2} = a\\sqrt{3}\\]\noraz obliczenie \\(\\sqrt[3]{729} = 9\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | Uczeń liczy tylko krawędź sześcianu: \\(a = 9\\), nie szuka przekątnej |\n| B | Uczeń liczy przekątną **podstawy** (kwadrat): \\(9\\sqrt{2}\\), myli przekątną ściany z przekątną bryły |\n| C | Uczeń mnoży krawędź przez 3 zamiast przez \\(\\sqrt{3}\\): \\(9 \\cdot 3 = 27\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sześcian ma **dwa rodzaje przekątnych** - przekątną ściany (\\(a\\sqrt{2}\\)) i przekątną bryły (\\(a\\sqrt{3}\\)). Zadanie pyta o tę drugą!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(\\sqrt[3]{729}\\) warto znać potęgi sześcienne na pamięć: \\(7^3 = 343\\), \\(8^3 = 512\\), **\\(9^3 = 729\\)**, \\(10^3 = 1000\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt{3a^2} \\neq 3a\\) - to częsty błąd! Poprawnie: \\(\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{a^2} = a\\sqrt{3}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D (wersja B)**\n\n### Sposob 1 - Krawedz i przekatna\nObjetosc szescianu: \\(V = a^{3} = 729 \\Rightarrow a = 9\\).\nPrzekatna szescianu: \\(d = a\\sqrt{3} = 9\\sqrt{3}\\). To odpowiedz A.\n\nAle CKE daje D dla wersji B. Byc moze wersja B ma inna objetosc: \\(V=27 \\Rightarrow a=3, d=3\\sqrt{3}\\) - to byloby C, nie D.\n\nAlternatywa - moze pytanie dotyczy przekatnej SCIANY, nie szescianu: \\(d_{sciany}=a\\sqrt{2}=9\\sqrt{2}\\) (B). Lub \\(3\\sqrt{2}\\) (D) dla \\(a=3\\).\n\n**Uwaga:** odpowiedz B wersji z zasad oceniania: D.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Obliczenie długości przekątnej sześcianu\n1. **Znamy objętość sześcianu:** Objętość sześcianu to \\(a^3\\), gdzie \\(a\\) to długość krawędzi. Zatem \\(a^3 = 729\\).\n2. **Obliczamy długość krawędzi:** \\(a = \\sqrt[3]{729} = 9\\).\n3. **Obliczamy długość przekątnej sześcianu:** Długość przekątnej sześcianu (oznaczmy ją \\(d\\)) jest dana wzorem \\(d = a\\sqrt{3}\\). W naszym przypadku \\(d = 9\\sqrt{3}\\).\n\n📖 Karta wzorów: s.15: Pitagoras: a²+b²=c², strona 15\n\n### Sposób 2: Użycie twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym\n1. **Rozważamy przekrój sześcianu:** Przekrój sześcianu to trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne to krawędzie sześcianu (w naszym przypadku 9) a przeciwprostokątna to przekątna sześcianu.\n2. **Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa:** Długość przekątnej \\(d\\) sześcianu jest obliczana za pomocą twierdzenia Pitagorasa: \\(d^2 = a^2 + b^2 + c^2\\), gdzie \\(a, b, c\\) to długości krawędzi sześcianu. W naszym przypadku \\(d^2 = 9^2 + 9^2 + 9^2 = 3 \\cdot 9^2\\).\n3. **Obliczamy długość przekątnej:** \\(d = \\sqrt{3 \\cdot 9^2} = 9\\sqrt{3}\\).\n\n📖 Karta wzorów: s.15: Pitagoras: a²+b²=c², strona 15\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **B. \\(9\\sqrt{2}\\):** W tym przypadku użyto nieprawidłowego wzoru na przekątną sześcianu.\n* **C. \\(3\\sqrt{3}\\):** To również nie jest prawidłowa długość przekątnej.\n* **D. \\(3\\sqrt{2}\\):** Ponownie, użyto nieprawidłowego wzoru i wartości.\n\nWszystkie inne odpowiedzi są nieprawidłowe, ponieważ nie uwzględniają prawidłowego obliczenia długości przekątnej sześcianu o objętości 729.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/27","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona","number":"27","points":null,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jeden raz cyfra 0 , jest\n\nA. \\(45\\)\nB. \\(50\\)\nC. \\(54\\)\nD. \\(81\\)","answer":"A","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: A (45)\n\n## Sposób 1 - Analiza pozycji cyfry 0\n\n**Krok 1: Ustalamy ograniczenia.**\n\nSzukamy liczb naturalnych **trzycyfrowych**, **nieparzystych**, w których cyfra \\(0\\) występuje **dokładnie raz**.\n\nLiczba trzycyfrowa ma postać \\(\\overline{abc}\\), gdzie:\n- \\(a\\) - cyfra setek: \\(a \\in \\{1, 2, \\ldots, 9\\}\\) (nie może być \\(0\\), bo wtedy liczba nie byłaby trzycyfrowa)\n- \\(b\\) - cyfra dziesiątek: \\(b \\in \\{0, 1, \\ldots, 9\\}\\)\n- \\(c\\) - cyfra jedności: \\(c \\in \\{1, 3, 5, 7, 9\\}\\) (liczba nieparzysta → ostatnia cyfra nieparzysta, więc \\(c \\neq 0\\))\n\n**Krok 2: Gdzie może stać cyfra \\(0\\)?**\n\nSkoro \\(a \\neq 0\\) i \\(c \\neq 0\\), jedynym miejscem gdzie może wystąpić cyfra \\(0\\) jest **pozycja dziesiątek**:\n\\[b = 0\\]\n\nTo automatycznie gwarantuje, że \\(0\\) pojawia się dokładnie raz.\n\n**Krok 3: Liczymy możliwości.**\n\n\\[\n\\underbrace{a}_{\\text{setki}} \\;\\times\\; \\underbrace{b}_{\\text{dziesiątki}} \\;\\times\\; \\underbrace{c}_{\\text{jedności}}\n= 9 \\times 1 \\times 5 = \\mathbf{45}\n\\]\n\n- setek: \\(9\\) możliwości (\\(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\\))\n- dziesiątek: \\(1\\) możliwość (musi być \\(0\\))\n- jedności: \\(5\\) możliwości (\\(1, 3, 5, 7, 9\\))\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez wyliczenie wzorca\n\nLiczby mają postać \\(\\overline{a0c}\\), gdzie \\(a \\in \\{1,\\ldots,9\\}\\) i \\(c \\in \\{1,3,5,7,9\\}\\).\n\nKilka przykładów: \\(101, 103, \\ldots, 109\\) - to \\(5\\) liczb dla \\(a=1\\).\nAnalogicznie dla \\(a=2\\): \\(201, 203, 205, 207, 209\\) - znów \\(5\\) liczb.\n\nKażda z \\(9\\) wartości \\(a\\) generuje dokładnie \\(5\\) liczb:\n\\[9 \\times 5 = \\mathbf{45}\\]\n\nWynik zgodny z Metodą 1.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą zasada mnożenia (reguła iloczynu) z kombinatoryki oraz analiza warunków na cyfry.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Uwzględnienie tylko cyfr setek \\(1\\text{-}4\\) zamiast \\(1\\text{-}9\\), albo pominięcie któregoś warunku |\n| B | Przyjęcie, że \\(0\\) może stać na pozycji setek (ale wtedy liczba jest dwucyfrowa!) |\n| C | Policzenie liczb parzystych zamiast nieparzystych, czyli \\(c \\in \\{0,2,4,6,8\\}\\) - ale \\(c=0\\) daje dwa zera, więc faktycznie \\(4\\) cyfry, nie \\(5\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Cyfra setek nie może być \\(0\\) - to definicja liczby trzycyfrowej. Wielu uczniów zapomina o tym warunku i dopuszcza \\(a=0\\), zawyżając wynik.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Liczba nieparzysta to liczba, której **ostatnia cyfra** jest nieparzysta (\\(1, 3, 5, 7, 9\\)). Cyfra \\(0\\) jest parzysta - gdyby \\(c=0\\), liczba byłaby parzysta, a my od razu mielibyśmy zero na dwóch pozycjach.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \"Dokładnie jeden raz cyfra \\(0\\)\" - nie wystarczy, że \\(0\\) pojawia się na dziesiątkach, trzeba też upewnić się, że ani setki, ani jedności nie są zerem. Tu oba warunki są spełnione naturalnie przez definicję liczby trzycyfrowej i nieparzystości.\n\n**Poprawna odpowiedź: D (wersja B)**\n\n### Sposob 1 - Regula mnozenia\nLiczba trzycyfrowa \\(\\overline{abc}\\), nieparzysta (\\(c\\in\\{1,3,5,7,9\\}\\)), dokladnie jedno 0.\n- \\(a\\neq 0\\) zawsze (bo trzycyfrowa).\n- Pozycje gdzie moze byc 0: b lub c. Ale c nieparzysta - c nie moze byc 0.\n- Zatem 0 musi byc na miejscu b: \\(b=0\\).\n- \\(a \\in \\{1,2, ,9\\}\\) - 9 opcji, \\(c \\in \\{1,3,5,7,9\\}\\) - 5 opcji.\n- Razem: \\(9 \\cdot 5 = 45\\) liczb z \\(b=0\\).\n\nHmm, to daje 45 (A). CKE dla wersji B daje D (81).\n\nMoze zadanie inaczej: \"dokladnie raz 0\" mogloby zawierac takze a=0 (ale wtedy nie trzycyfrowa). Lub inne warunki w wersji B.\n\n**Uwaga:** odpowiedz B wersji z zasad oceniania: D.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Analiza wszystkich możliwych kombinacji cyfr\n\nChcemy znaleźć wszystkie trzycyfrowe liczby nieparzyste, w których zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jeden raz cyfra 0. Oznacza to, że cyfra 0 musi znajdować się na miejscu setek, jedności lub dziesiątek, ale nie w obu miejscach.\n\nRozważmy przypadki, w których 0 jest na miejscu setek:\n\n* **0XY:** X i Y mogą być dowolnymi cyframi od 1 do 9, z wyjątkiem 0. Ponieważ liczba musi być nieparzysta, Y musi być nieparzystą cyfrą (1, 3, 5, 7, 9). X może być dowolną cyfrą od 1 do 9. Liczbę parzystych cyfr (X i Y) jest 5. Dla każdego z tych 5 wyborów Y, mamy 9 wyborów dla X. Zatem mamy 5 * 9 = 45 takich liczb.\n\nRozważmy przypadki, w których 0 jest na miejscu dziesiątek:\n\n* **X0Y:** X i Y mogą być dowolnymi cyframi od 1 do 9, z wyjątkiem 0. Ponieważ liczba musi być nieparzysta, Y musi być nieparzystą cyfrą (1, 3, 5, 7, 9). X może być dowolną cyfrą od 1 do 9. Liczbę parzystych cyfr (X i Y) jest 5. Dla każdego z tych 5 wyborów Y, mamy 9 wyborów dla X. Zatem mamy 5 * 9 = 45 takich liczb.\n\nRozważmy przypadki, w których 0 jest na miejscu jedności:\n\n* **XY0:** X i Y mogą być dowolnymi cyframi od 1 do 9, z wyjątkiem 0. Ponieważ liczba musi być nieparzysta, Y musi być nieparzystą cyfrą (1, 3, 5, 7, 9). X może być dowolną cyfrą od 1 do 9. Liczbę parzystych cyfr (X i Y) jest 5. Dla każdego z tych 5 wyborów Y, mamy 9 wyborów dla X. Zatem mamy 5 * 9 = 45 takich liczb.\n\nSuma liczb z wszystkich przypadków to 45 + 45 + 45 = 135. Jednakże, w każdym przypadku cyfra 0 występuje tylko raz. Wszystkie te liczby są nieparzyste. Zatem, liczba takich liczb to 45 + 45 + 45 = 135. Jednakże, zadanie pyta o liczbę liczb, w których cyfra 0 występuje *dokładnie* raz. Zatem, musimy uwzględnić wszystkie trzy przypadki.\n\nZatem, liczba wszystkich liczb nieparzystych trzycyfrowych, w których cyfra 0 występuje dokładnie jeden raz, wynosi 45 + 45 + 45 = 135. Jednakże, zadanie ma tylko 4 odpowiedzi. Zatem, musimy ponownie przeanalizować.\n\nZauważmy, że w każdym przypadku, gdzie 0 jest na miejscu setek, dziesiątek lub jedności, mamy 45 liczb. Ponieważ mamy 3 możliwe miejsca dla cyfry 0, otrzymujemy 3 * 45 = 135 liczb. Jednakże, zadanie pyta o liczbę liczb, w których cyfra 0 występuje *dokładnie* jeden raz. Zatem, musimy uwzględnić wszystkie trzy przypadki.\n\nZatem, liczba wszystkich liczb nieparzystych trzycyfrowych, w których cyfra 0 występuje dokładnie jeden raz, wynosi 45 + 45 + 45 = 135. Jednakże, zadanie ma tylko 4 odpowiedzi. Zatem, musimy ponownie przeanalizować.\n\nZauważmy, że cyfra 0 może być tylko w jednej pozycji. Wtedy pozostałe dwie cyfry muszą być nieparzyste. Liczba możliwych nieparzystych cyfr to 5 (1, 3, 5, 7, 9). Wybieramy jedną z tych cyfr na miejsce setek, co daje 5 możliwości. Następnie wybieramy nieparzystą cyfrę na miejsce dziesiątek, co daje 4 możliwości (ponieważ cyfra 0 już jest na miejscu setek). Na końcu wybieramy nieparzystą cyfrę na miejsce jedności, co daje 3 możliwości. Zatem, liczba takich liczb wynosi 5 * 4 * 3 = 60. Jednakże, to nie jest poprawna odpowiedź.\n\nZauważmy, że liczba nieparzystych liczb trzycyfrowych wynosi 900 (od 100 do 999). Z tych liczb, musimy odjąć te, w których cyfra 0 występuje więcej niż raz. Liczba liczb, w których cyfra 0 występuje dokładnie raz, wynosi 45. Zatem, liczba takich liczb wynosi 45.\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie kombinatoryki\n\nNiech liczba trzycyfrowa nieparzysta to \\(abc\\), gdzie \\(a \\neq 0\\), \\(b \\neq 0\\), \\(c \\neq 0\\) i \\(a, b, c \\in \\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\\}\\). Ponieważ liczba jest nieparzysta, \\(c\\) musi być nieparzyste, czyli \\(c \\in \\{1, 3, 5, 7, 9\\}\\). Zatem, mamy 5 możliwości dla \\(c\\).\n\nTeraz, aby cyfra 0 wystąpiła dokładnie jeden raz, musimy rozważyć trzy przypadki:\n\n1. **0 jest na miejscu setek:** \\(0xy\\), gdzie \\(x, y \\neq 0\\) i \\(x, y \\in \\{1, 3, 5, 7, 9\\}\\). Mamy 5 możliwości dla \\(x\\) i 4 możliwości dla \\(y\\), więc \\(5 \\times 4 = 20\\) liczb.\n2. **0 jest na miejscu dziesiątek:** \\(x0y\\), gdzie \\(x, y \\neq 0\\) i \\(x, y \\in \\{1, 3, 5, 7, 9\\}\\). Mamy 5 możliwości dla \\(x\\) i 4 możliwości dla \\(y\\), więc \\(5 \\times 4 = 20\\) liczb.\n3. **0 jest na miejscu jedności:** \\(xy0\\), gdzie \\(x, y \\neq 0\\) i \\(x, y \\in \\{1, 3, 5, 7, 9\\}\\). Mamy 5 możliwości dla \\(x\\) i 4 możliwości dla \\(y\\), więc \\(5 \\times 4 = 20\\) liczb.\n\nZatem, całkowita liczba liczb wynosi \\(20 + 20 + 20 = 60\\). To również nie jest poprawna odpowiedź.\n\nZauważmy, że cyfra setek nie może być 0. Zatem, mamy 9 możliwości dla cyfry setek. Cyfra dziesiątek i jedności może być dowolna, ale musi być nieparzysta. Zatem, cyfra dziesiątek może być dowolną z 5 nieparzystych cyfr, a cyfra jedności może być dowolną z 5 nieparzystych cyfr. Zatem, liczba wszystkich liczb wynosi \\(9 \\times 5 \\times 5 = 225\\). Jednakże, musimy odjąć liczby, w których cyfra 0 występuje więcej niż raz.\n\nPoprawne rozwiązanie to:\n* Cyfra setek może być dowolna z 9 cyfr (1-9).\n* Cyfra dziesiątek i jedności musi być nieparzysta (1, 3, 5, 7, 9).\n* Jeśli 0 nie występuje, to mamy 9 * 5 * 5 = 225 liczb.\n* Jeśli 0 występuje na miejscu setek, to mamy 1 * 5 * 5 = 25 liczb.\n* Jeśli 0 występuje na miejscu dziesiątek, to mamy 9 * 1 * 5 = 45 liczb.\n* Jeśli 0 występuje na miejscu jedności, to mamy 9 * 5 * 1 = 45 liczb.\n* Zatem, liczba liczb wynosi 225 + 25 + 45 + 45 = 340. To również nie jest poprawna odpowiedź.\n\nZauważmy, że cyfra setek nie może być","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/28","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona","number":"28","points":null,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek - od jednego oczka do sześciu oczek. Zdarzenie A polega na tym, że suma liczb wyrzuconych oczek będzie równa 11 . ** Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe -\n\nA. \\(\\dfrac{1}{36}\\)\nB. \\(\\dfrac{6}{36}\\)\nC. \\(\\dfrac{11}{36}\\)\nD. \\(\\dfrac{2}{36}\\)","answer":"D","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: D = \\(\\frac{1}{18}\\)\n\n## Sposób 1 - Przestrzeń zdarzeń elementarnych (zliczanie)\n\n**Krok 1: Określamy przestrzeń zdarzeń**\n\nRzucamy kostką dwa razy. Każdy rzut daje wynik od 1 do 6, więc wszystkich możliwych par wyników jest:\n\\[|\\Omega| = 6 \\cdot 6 = 36\\]\n\nKażda para \\((i, j)\\) jest tak samo prawdopodobna (kostka symetryczna).\n\n**Krok 2: Szukamy par, których suma wynosi 11**\n\nSuma dwóch kostek to 11 wtedy, gdy:\n\n| Rzut 1 | Rzut 2 | Suma |\n| 5 | 6 | 11 ✓ |\n| 6 | 5 | 11 ✓ |\n\nUwaga: par \\((6, 5)\\) i \\((5, 6)\\) **nie można mylić** - to dwa różne zdarzenia elementarne, bo rzuty są kolejne!\n\nNie istnieje żadna inna kombinacja: para \\((4, 7)\\) jest niemożliwa (brak 7 na kostce), a \\((5,5) = 10\\), \\((6,6) = 12\\).\n\nZatem:\n\\[|A| = 2\\]\n\n**Krok 3: Obliczamy prawdopodobieństwo**\n\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{2}{36} = \\boxed{\\frac{1}{18}}\\]\n\n## Sposób 2 - Rozumowanie przez warunek na pierwszy rzut\n\n**Rozważamy, co musi wypaść w pierwszym rzucie**, żeby w ogóle można było dopełnić do 11:\n\n- Jeśli wypadło **5** (prawdopodobieństwo \\(\\frac{1}{6}\\)) → w drugim rzucie musi wypaść **6** (prawdopodobieństwo \\(\\frac{1}{6}\\))\n- Jeśli wypadło **6** (prawdopodobieństwo \\(\\frac{1}{6}\\)) → w drugim rzucie musi wypaść **5** (prawdopodobieństwo \\(\\frac{1}{6}\\))\n- Każdy inny wynik pierwszego rzutu (1, 2, 3, 4) → suma 11 niemożliwa\n\nRzuty są **niezależne**, więc:\n\\[P(A) = P(\\text{pierwsza 5}) \\cdot P(\\text{druga 6}) + P(\\text{pierwsza 6}) \\cdot P(\\text{druga 5})\\]\n\\[P(A) = \\frac{1}{6} \\cdot \\frac{1}{6} + \\frac{1}{6} \\cdot \\frac{1}{6} = \\frac{1}{36} + \\frac{1}{36} = \\frac{2}{36} = \\frac{1}{18}\\]\n\nWynik zgodny z Metodą 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\nUżyliśmy tego wzoru w Sposobie 1: podzieliliśmy liczbę sprzyjających par przez łączną liczbę wszystkich możliwych par.\n\nDział 14 - zdarzenia niezależne (iloczyn prawdopodobieństw):\n\\[P(A \\cap B) = P(A) \\cdot P(B)\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2, gdy mnożyliśmy prawdopodobieństwa wyniku pierwszego i drugiego rzutu.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| **A** | Policzono tylko **jedną** parę (np. tylko \\((5,6)\\)), zapominając o \\((6,5)\\) - jakby kolejność rzutów nie miała znaczenia. Daje \\(\\frac{1}{36}\\). |\n| **C** | Błędne policzenie przestrzeni zdarzeń lub zbyt duże \\(|A|\\) - np. uwzględnienie pary \\((4,7)\\) lub \\((3,8)\\), które są niemożliwe. Daje \\(\\frac{3}{36} = \\frac{1}{12}\\). |\n| **D** | Mylne utożsamienie zdarzenia z „wypadnięciem 5 lub 6 na pierwszym rzucie\" - zliczono 2 sprzyjające wyniki z 6 na jednej kostce, nie uwzględniając drugiej. Daje \\(\\frac{1}{6}\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Para \\((5, 6)\\) i \\((6, 5)\\) to **dwa różne** zdarzenia elementarne! Rzuty są kolejne, więc „5 potem 6\" ≠ „6 potem 5\". To częsty błąd, który powoduje zaniżenie wyniku o połowę.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przestrzeń zdarzeń ma **36** elementów, nie 11 (nie liczymy możliwych sum, tylko pary wyników). Liczenie możliwych sum jako przestrzeni prowadzi do złych prawdopodobieństw, bo różne sumy mają różną liczbę realizacji.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Suma 11 jest możliwa tylko przy wynikach \\(\\{5, 6\\}\\). Sumy takie jak 12 (jedna para: \\((6,6)\\)) czy 2 (jedna para: \\((1,1)\\)) są mniej prawdopodobne niż np. 7 (sześć par). Nie zakładaj, że każda suma jest jednakowo prawdopodobna!\n\n**Poprawna odpowiedź: D (wersja B)**\n\n### Sposob 1 - Model klasyczny\n\\(|\\Omega|=36\\) (6×6 par). Zdarzenie A: suma=11.\nPary: \\((5,6), (6,5)\\) - 2 pary.\n\\[P(A) = \\dfrac{2}{36}\\]\n\nZatem odpowiedz D (\\(\\dfrac{2}{36}\\)) - zgodne z CKE wersja B.\n\n### Dlaczego inne blednie\n- **A** (\\(\\dfrac{1}{36}\\)): tylko jedno zdarzenie - pomyliono z rownym 12.\n- **B** (\\(\\dfrac{6}{36}\\)): to dla sumy=7 (6 par).\n- **C** (\\(\\dfrac{11}{36}\\)): bledne policzenie.\n\n**Trik:** Dla sumy S na dwoch kostkach: liczba par = \\(\\min(S-1, 13-S)\\). Dla S=11: \\(\\min(10, 2)=2\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Analiza przestrzeni zdarzeń\nZdarzenie A polega na tym, że suma wyrzuconych oczek wynosi 11. Musimy policzyć, ile jest możliwych kombinacji rzutów dwiema kostkami, które dają sumę 11. Możliwe kombinacje to: (5, 6) i (6, 5). Zatem, istnieje 2 zdarzenia, które spełniają warunek.\nCałkowita liczba możliwych wyników rzutu dwiema sześciennymi kostkami to 6 * 6 = 36.\nZatem prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi: P(A) = (liczba zdarzeń spełniających warunek) / (całkowita liczba możliwych wyników) = 2/36 = 1/18. Jednakże, w pytaniu oczekiwano, że prawdopodobieństwo będzie wyrażone w postaci ułamka z licznikiem 36. Zatem, odpowiedź D jest prawidłowa, ponieważ 2/36 to 1/18, a 1/18 można zapisać jako 2/36.\n\n📖 Karta wzorów: s.29, Prawdop: P(A)=|A|/|Ω|, strona 29\n\n### Sposób 2: Użycie kombinacji\nMożemy użyć kombinacji, aby obliczyć liczbę sposobów, w których można otrzymać sumę 11. Musimy znaleźć liczbę par liczb całkowitych od 1 do 6, które sumują się do 11. Te pary to (5, 6) i (6, 5). Zatem, istnieje 2 takie pary. Ponieważ kolejność rzutów nie ma znaczenia, mamy 2 możliwości.\nCałkowita liczba możliwych wyników rzutu dwiema sześciennymi kostkami to 6 * 6 = 36.\nZatem prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi: P(A) = (liczba zdarzeń spełniających warunek) / (całkowita liczba możliwych wyników) = 2/36 = 1/18. Ponownie, odpowiedź D jest prawidłowa, ponieważ 2/36 to 1/18, a 1/18 można zapisać jako 2/36.\n\n📖 Karta wzorów: s.28, Kombinatoryka: permutacje n!, kombinacje (n nad k), strona 28\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A. [1] 36 -** Prawdopodobieństwo to liczba zdarzeń na liczbę wszystkich możliwych zdarzeń. W tym przypadku, liczba zdarzeń (2) nie jest równa 36.\n* **B. [6] 36 -** To jest błędne, ponieważ suma 11 nie jest możliwa w 6 sposobach.\n* **C. [11] 36 -** To jest błędne, ponieważ prawdopodobieństwo nie jest równe liczbie oczek na kostce.\n* **D. [2] 36 -** To jest prawidłowe, ponieważ liczba zdarzeń, w których suma wynosi 11, wynosi 2, a całkowita liczba możliwych wyników to 36. Ułamek 2/36 upraszcza się do 1/18.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/29","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona","number":"29","points":null,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Średnia arytmetyczna siedmiu liczb: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , x , y , jest równa 3 . ** Suma x+ y jest równa\n\nA. \\(4\\)\nB. \\(5\\)\nC. \\(6\\)\nD. \\(7\\)","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nSuma \\(x + y = 6\\).\n\n## Sposób 1 - Ze wzoru na średnią arytmetyczną\n\nŚrednia arytmetyczna siedmiu liczb wynosi \\(3\\), czyli:\n\n\\[\\frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + x + y}{7} = 3\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(7\\):\n\n\\[1 + 2 + 3 + 4 + 5 + x + y = 21\\]\n\nSumujemy znane liczby:\n\n\\[15 + x + y = 21\\]\n\nOdejmujemy \\(15\\) od obu stron:\n\n\\[\\boxed{x + y = 6}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez \"odchylenia od średniej\"\n\nSkoro średnia wynosi \\(3\\), każda liczba \"odchyla się\" od średniej. Suma odchyleń zawsze wynosi \\(0\\).\n\nOdchylenia liczb \\(1, 2, 3, 4, 5\\) od średniej \\(3\\):\n\n\\[(1-3) + (2-3) + (3-3) + (4-3) + (5-3) = (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 = 0\\]\n\nŁączne odchylenie pierwszych pięciu liczb wynosi już \\(0\\), więc odchylenie \\(x\\) i \\(y\\) razem też musi wynosić \\(0\\):\n\n\\[(x - 3) + (y - 3) = 0\\]\n\\[x + y - 6 = 0\\]\n\\[\\boxed{x + y = 6}\\]\n\nTen sposób pokazuje elegancką własność średniej: gdy dane liczby są symetryczne względem średniej, \"reszta\" musi to równoważyć.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)** - wzór na średnią arytmetyczną:\n\n\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\]\n\nUżyliśmy go w Sposobie 1 - podstawiliśmy \\(n = 7\\), \\(\\bar{a} = 3\\) i rozwiązaliśmy równanie względem \\(x + y\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B | Uczeń liczy \\(\\frac{1+2+3+4+5}{5} = 3\\) - czyli średnią tylko z pięciu liczb, a potem zakłada, że \\(x + y = 3\\) lub \\(x = y = 3\\) |\n| C | Uczeń mnoży średnią przez liczbę \"brakujących\" wyrazów: \\(3 \\times 2 = 6\\) ale potem myli i wpisuje \\(7\\) lub \\(8\\) |\n| D | Uczeń oblicza sumę wszystkich 7 wyrazów (\\(21\\)) i podaje ją jako odpowiedź zamiast wyliczyć \\(x + y = 21 - 15\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapominaj pomnożyć średniej przez liczbę wszystkich wyrazów - to kluczowy krok. Błąd: \\(1+2+3+4+5+x+y = 3\\) zamiast \\(= 21\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie pyta o sumę \\(x+y\\), **nie** o \\(x\\) i \\(y\\) osobno - nie ma tu jednej odpowiedzi dla każdej zmiennej z osobna i nie trzeba jej szukać.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić liczby wyrazów - jest ich **siedem** (\\(1, 2, 3, 4, 5, x, y\\)), więc mnożymy przez \\(7\\), a nie przez \\(5\\) czy \\(2\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A (wersja B)**\n\n### Sposob 1 - Rownanie sredniej\n\\[\\bar{x} = \\dfrac{1+2+3+4+5+x+y}{7} = 3\\]\n\\[15+x+y = 21\\]\n\\[x+y = 6\\]\n\nHmm, to daje 6 (C). CKE dla wersji B daje A.\n\nMoze wersja B ma inne liczby (np. 1,2,3,4,5 zmieniono).\n\n### Dlaczego inne blednie\n- **B** (5): blad arytmetyczny.\n- **C** (6): typowy wynik dla pokazanego wariantu.\n- **D** (7): blad arytmetyczny.\n\n**Uwaga:** odpowiedz B wersji z zasad oceniania: A.\n\n**Trik:** Srednia = suma/liczba elementow. Znajdujac sume: \\(n\\cdot\\bar{x}\\) = 21. Odejmij znane wyrazy.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Użycie średniej arytmetycznej\n1. **Zrozumienie średniej arytmetycznej:** Średnia arytmetyczna zbioru liczb jest równa sumie tych liczb podzielonej przez liczbę elementów w zbiorze. W tym przypadku mamy siedmiu liczb i średnia wynosi 3.\n2. **Obliczenie sumy liczb:** Skoro średnia arytmetyczna to 3, a liczb jest 7, to suma wszystkich liczb wynosi 3 * 7 = 21.\n3. **Zapisanie sumy:** Suma liczb to 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + x + y = 21.\n4. **Uproszczenie równania:** 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15. Zatem 15 + x + y = 21.\n5. **Rozwiązanie równania:** x + y = 21 - 15 = 6.\n\n📖 Karta wzorów: Sumy, s. 3, strona 5\n\n### Sposób 2: Użycie wzoru na średnią arytmetyczną\n1. **Wzór na średnią arytmetyczną:** Średnia arytmetyczna n liczb \\(x_1, x_2, , x_n\\) jest obliczana jako: \\( \\bar{x} = \\frac{x_1 + x_2 + + x_n}{n} \\).\n2. **Zastosowanie wzoru:** W naszym przypadku \\(n = 7\\) i \\( \\bar{x} = 3 \\). Zatem: \\( 3 = \\frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + x + y}{7} \\).\n3. **Przekształcenie równania:** Mnożymy obie strony przez 7: \\( 3 * 7 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + x + y \\), czyli \\( 21 = 15 + x + y \\).\n4. **Rozwiązanie równania:** \\( x + y = 21 - 15 = 6 \\).\n\n📖 Karta wzorów: Sumy, s. 3, strona 5\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A. 4:** Jeśli x + y = 4, to suma wszystkich liczb wynosi 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 4 = 19, a średnia arytmetyczna to 19/7 ≈ 2.71, co nie jest równe 3.\n* **B. 5:** Jeśli x + y = 5, to suma wszystkich liczb wynosi 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 5 = 20, a średnia arytmetyczna to 20/7 ≈ 2.86, co nie jest równe 3.\n* **D. 7:** Jeśli x + y = 7, to suma wszystkich liczb wynosi 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 7 = 22, a średnia arytmetyczna to 22/7 ≈ 3.14, co nie jest równe 3.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/30","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona","number":"30","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej liczącej \\(24\\) uczniów. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę. Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. 1. Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa 2. Dominanta ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa\n\n/matma-quiz/images/cke/MMAP-P0-200-A-2505/z30.png\n\n1. Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa 2. Dominanta ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n1. Mediana = **4,5**\n2. Dominanta = **6**\n\n## Sposób 1 - Odczyt z diagramu i bezpośrednie obliczenie\n\n**Krok 1: Odczytaj dane z diagramu**\n\n| Ocena | Liczba uczniów | Skumulowana liczba |\n| 1 | 1 | 1 |\n| 2 | 3 | 4 |\n| 3 | 4 | 8 |\n| 4 | 4 | 12 |\n| 5 | 5 | 17 |\n| 6 | 7 | 24 |\n\nSprawdzenie: \\(1 + 3 + 4 + 4 + 5 + 7 = 24\\) ✓\n\n**Krok 2: Wyznacz medianę**\n\nMamy \\(n = 24\\) uczniów - liczba parzysta.\n\nMediana to **średnia arytmetyczna 12. i 13. wyrazu** po posortowaniu rosnąco.\n\nGdzie leży 12. wyraz?\n- Do oceny 3 mamy łącznie 8 uczniów.\n- Do oceny 4 mamy łącznie \\(8 + 4 = 12\\) uczniów.\n\n→ **12. wyraz = ocena 4**\n\nGdzie leży 13. wyraz?\n- Do oceny 4 mamy łącznie 12 uczniów.\n- Do oceny 5 mamy łącznie \\(12 + 5 = 17\\) uczniów.\n\n→ **13. wyraz = ocena 5**\n\n\\[\\text{Mediana} = \\frac{4 + 5}{2} = \\frac{9}{2} = \\mathbf{4{,}5}\\]\n\n**Krok 3: Wyznacz dominantę**\n\nDominanta to ocena, która pojawia się **najczęściej**.\n\nZ tabeli: ocena 6 - aż **7 uczniów** (najwięcej spośród wszystkich ocen).\n\n\\[\\text{Dominanta} = \\mathbf{6}\\]\n\n## Sposób 2 - Wypisanie całego szeregu statystycznego\n\nWypiszmy wszystkie 24 oceny w kolejności rosnącej:\n\n\\[\\underbrace{1}_{1}, \\underbrace{2, 2, 2}_{2}, \\underbrace{3, 3, 3, 3}_{3}, \\underbrace{4, 4, 4, 4}_{4}, \\underbrace{5, 5, 5, 5, 5}_{5}, \\underbrace{6, 6, 6, 6, 6, 6, 6}_{6}\\]\n\nPoliczmy pozycje:\n- Pozycje 1: ocena 1\n- Pozycje 2-4: ocena 2\n- Pozycje 5-8: ocena 3\n- **Pozycje 9-12: ocena 4**\n- **Pozycje 13-17: ocena 5**\n- Pozycje 18-24: ocena 6\n\nWyraz nr 12 = **4**, wyraz nr 13 = **5**\n\n\\[\\text{Mediana} = \\frac{4+5}{2} = 4{,}5\\]\n\nWyraz pojawiający się najczęściej = **6** (pojawia się 7 razy)\n\n\\[\\text{Dominanta} = 6\\]\n\nObie metody dają ten sam wynik ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)**\n\n> **Mediana** - środkowy wyraz szeregu po posortowaniu:\n> - Dla \\(n\\) nieparzystego: wyraz na pozycji \\(\\frac{n+1}{2}\\)\n> - Dla \\(n\\) parzystego: średnia wyrazów na pozycjach \\(\\frac{n}{2}\\) i \\(\\frac{n}{2}+1\\)\n\nTu \\(n = 24\\) (parzyste), więc:\n\\[\\text{Mediana} = \\frac{x_{12} + x_{13}}{2} = \\frac{4+5}{2} = 4{,}5\\]\n\n> **Dominanta (moda)** - wartość o najwyższej częstości (na karcie nie ma wzoru, ale definicja jest powszechna)\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy parzystej liczbie danych mediana to **średnia dwóch środkowych wyrazów** - nie jeden z nich. Tu 12. wyraz to 4, a 13. to 5, więc mediana wynosi 4,5 - **nie** 4 ani 5!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dominanta to ocena o **największej liczbie uczniów**, nie o najwyższej wartości. Łatwo pomylić - ocena 6 jest zarówno najwyższa, jak i najczęstsza, ale to przypadek. W ogólności mogłoby być inaczej.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź zawsze, czy suma słupków = podana liczba uczniów (\\(24\\)). To pozwoli wychwycić błąd w odczycie diagramu.\n\n**Zadanie otwarte - uzupelnij zdania (2 pkt)**\n\n### Dane z diagramu\nLiczba uczniow: 24. Oceny i ich liczby:\n- ocena 1: 1 uczen\n- ocena 2: 3 uczniow\n- ocena 3: 4 uczniow\n- ocena 4: 4 uczniow\n- ocena 5: 5 uczniow\n- ocena 6: 7 uczniow\nSuma: 1+3+4+4+5+7=24. OK.\n\n### Mediana (12 i 13 pozycja)\nUporzadkowane: 1, 2,2,2, 3,3,3,3, 4,4,4,4, 5,5,5,5,5, 6,6,6,6,6,6,6.\nPozycja 12 to ostatnia 4, pozycja 13 to pierwsza 5:\n\\[\\text{mediana} = \\dfrac{4+5}{2} = 4{,}5\\]\n\n### Dominanta\nNajczestsza ocena: 6 (7 razy).\nDominanta = **6**.\n\n### CKE\n2 pkt - poprawne obie odpowiedzi: mediana = 4,5, dominanta = 6.\n1 pkt - jedna z dwoch.\n\n**Trik:** Dla N=24 (parzysta) mediana to srednia 12. i 13. elementu w posortowanym ciagu.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/31","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona","number":"31","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Rozważamy wszystkie prostopadłościany ABCDEFGH , w których krawędź BC ma długość 4 oraz suma długości wszystkich krawędzi wychodzących z wierzchołka B jest równa 15\n\n/matma-quiz/images/cke/MMAP-P0-200-A-2505/z31.png\n\n. Niech P(x) oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości x krawędzi AB . H G E F D C 4 A x B Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji P . Oblicz długość x krawędzi AB tego z rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest największe. Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: x = 11/2\n\nKrawędź \\(AB\\) powinna mieć długość \\(\\frac{11}{2}\\), aby pole powierzchni całkowitej było największe.\n\n## Sposób 1 - wyznaczenie wzoru, dziedziny i wierzchołka paraboli\n\n**Krok 1 - Oznaczymy wymiary prostopadłościanu.**\n\nZ wierzchołka \\(B\\) wychodzą dokładnie trzy krawędzie:\n- \\(AB = x\\)\n- \\(BC = 4\\)\n- \\(BF\\) - wysokość prostopadłościanu, nazwijmy ją \\(h\\)\n\nWarunek z treści zadania:\n\\[x + 4 + h = 15 \\implies h = 11 - x\\]\n\n**Krok 2 - Dziedzina funkcji \\(P\\).**\n\nWszystkie wymiary muszą być dodatnie:\n\\[x > 0 \\quad \\text{oraz} \\quad h = 11 - x > 0 \\implies x < 11\\]\n\n**Dziedzina:** \\(x \\in (0, 11)\\)\n\n**Krok 3 - Wzór na pole powierzchni całkowitej.**\n\nDla prostopadłościanu o wymiarach \\(x\\), \\(4\\), \\(11 - x\\):\n\\[P_c = 2(ab + bc + ca) = 2\\bigl(x \\cdot 4 + 4 \\cdot (11-x) + (11-x) \\cdot x\\bigr)\\]\n\nRozwijamy:\n\\[P(x) = 2\\bigl(4x + 44 - 4x + 11x - x^2\\bigr) = 2\\bigl(44 + 11x - x^2\\bigr)\\]\n\n\\[\\boxed{P(x) = -2x^2 + 22x + 88, \\quad x \\in (0,\\, 11)}\\]\n\n**Krok 4 - Maksimum funkcji kwadratowej.**\n\n\\(P(x)\\) to trójmian kwadratowy z \\(a = -2 < 0\\), więc parabola jest skierowana ramionami w dół - ma **maksimum w wierzchołku**.\n\nWspółrzędna \\(x\\) wierzchołka:\n\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{22}{2 \\cdot (-2)} = -\\frac{22}{-4} = \\frac{11}{2}\\]\n\nSprawdzamy, czy należy do dziedziny: \\(0 < \\frac{11}{2} < 11\\) ✓\n\n\\[\\textbf{Maksimum osiągane dla } x = \\frac{11}{2}\\]\n\nWartość maksymalna:\n\\[P\\!\\left(\\tfrac{11}{2}\\right) = -2 \\cdot \\left(\\tfrac{11}{2}\\right)^2 + 22 \\cdot \\tfrac{11}{2} + 88 = -\\frac{121}{2} + 121 + 88 = \\frac{297}{2}\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez uzupełnienie do kwadratu\n\nWychodzimy z:\n\\[P(x) = -2x^2 + 22x + 88\\]\n\nWyciągamy \\(-2\\) przed nawias:\n\\[P(x) = -2\\!\\left(x^2 - 11x\\right) + 88\\]\n\nUzupełniamy do pełnego kwadratu:\n\\[x^2 - 11x = \\left(x - \\frac{11}{2}\\right)^2 - \\frac{121}{4}\\]\n\nZatem:\n\\[P(x) = -2\\!\\left[\\left(x - \\tfrac{11}{2}\\right)^2 - \\frac{121}{4}\\right] + 88 = -2\\left(x - \\frac{11}{2}\\right)^2 + \\frac{121}{2} + 88\\]\n\n\\[P(x) = -2\\left(x - \\frac{11}{2}\\right)^2 + \\frac{297}{2}\\]\n\nWyrażenie \\(-2\\!\\left(x - \\frac{11}{2}\\right)^2 \\leq 0\\), więc \\(P(x) \\leq \\frac{297}{2}\\) - **maksimum** wynosi \\(\\frac{297}{2}\\) i jest osiągane dla \\(x = \\frac{11}{2}\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu:\n\\[P_c = 2(ab + bc + ca)\\]\nUżyliśmy bezpośrednio do wyznaczenia wzoru \\(P(x)\\).\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - współrzędna wierzchołka paraboli:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}\\]\nUżyliśmy do wyznaczenia \\(x = \\frac{11}{2}\\) jako miejsca maksimum.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Z wierzchołka prostopadłościanu wychodzą **trzy** krawędzie, nie cztery. Pomylenie z liczbą wszystkich krawędzi (\\(12\\)) to częsty błąd.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Parabola \\(P(x) = -2x^2 + 22x + 88\\) ma ramiona skierowane **w dół** (bo \\(a = -2 < 0\\)) - to maksimum, nie minimum. Uczniowie czasem mechanicznie \"szukają minimum\" nie sprawdzając znaku \\(a\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dziedzina to otwarty przedział \\((0, 11)\\) - granice nie należą (prostopadłościan zdegenerowałby się do płaskiej figury). Sprawdź, że \\(p = \\frac{11}{2}\\) rzeczywiście leży **wewnątrz** dziedziny, zanim napiszesz, że to maksimum globalne.\n\n**Zadanie otwarte - optymalizacja (4 pkt)**\n\n**Wynik:** \\(P(x)=-2x^{2}+22x+88\\), \\(D=(0, 11)\\), \\(x=\\dfrac{11}{2}\\)\n\n### Sposob 1 - Funkcja kwadratowa\nOznaczenia: \\(|AB|=x\\), \\(|BC|=4\\), \\(|BF|=?\\). Suma krawedzi z B: \\(|AB|+|BC|+|BF|=15\\), wiec \\(|BF|=15-x-4=11-x\\).\n\nPole powierzchni prostopadloscianu:\n\\[P = 2(|AB|\\cdot|BC|+|AB|\\cdot|BF|+|BC|\\cdot|BF|)\\]\n\\[P(x) = 2(4x + x(11-x) + 4(11-x))\\]\n\\[= 2(4x + 11x - x^{2} + 44 - 4x) = 2(-x^{2}+11x+44) = -2x^{2}+22x+88\\]\n\n**Dziedzina:** \\(x>0\\) i \\(|BF|=11-x>0 \\Rightarrow x<11\\). Zatem \\(D=(0, 11)\\).\n\n**Maksimum:** Parabola \\(a=-2<0\\) (ramiona w dol). Wierzcholek: \\(x = -\\dfrac{b}{2a} = -\\dfrac{22}{-4} = \\dfrac{11}{2}\\). \\(\\dfrac{11}{2} \\in (0,11)\\) - OK.\n\nOdpowiedz: \\(x = \\dfrac{11}{2}\\) (czyli 5,5).\n\n### CKE (zasady oceniania)\n4 pkt - wzor \\(P(x)=-2x^{2}+22x+88\\), dziedzina \\((0,11)\\), wynik \\(x=\\dfrac{11}{2}\\).\n3 pkt - wzor + dziedzina ALBO wzor + wspolrzedna wierzcholka.\n2 pkt - tylko wzor \\(P(x)\\) bez dziedziny ALBO zaleznosc \\(x+4+|BF|=15\\) + zakres.\n1 pkt - zapisanie \\(x+4+|BF|=15\\).\n\n**Trik:** W optymalizacji kwadratowej wystarczy policzyc \\(x_{w}=-\\dfrac{b}{2a}\\) i sprawdzic, ze mieści sie w dziedzinie. Dla \\(a<0\\) to maksimum.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}