{"paper":{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","variant":"stara","exam_pdf":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":34,"source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (0-1)\nDodatnia liczba 𝑎 stanowi 80% liczby 𝑏.\nLiczba 𝑏 stanowi\nA. 125% liczby 𝑎.\nB. 25% liczby 𝑎.\nC. 20% liczby 𝑎.\nD. 12,5% liczby 𝑎.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nWymagania określone w podstawie programowej1\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\nZdający:\n1.9) wykonuje obliczenia procentowe […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"Odpowiedź: B — 18\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nStrategia\n\nZastosuj wzór skróconego mnożenia $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ dla $a = \\sqrt{32}$, $b = \\sqrt{2}$.\n\nRozwiń kwadrat różnicy:\n\n$$\\left(\\sqrt{32} - \\sqrt{2}\\right)^2 = \\left(\\sqrt{32}\\right)^2 - 2 \\cdot \\sqrt{32} \\cdot \\sqrt{2} + \\left(\\sqrt{2}\\right)^2$$\n\nUprość każdy składnik:\n\n- $\\left(\\sqrt{32}\\right)^2 = 32$\n- $\\left(\\sqrt{2}\\right)^2 = 2$\n- $\\sqrt{32} \\cdot \\sqrt{2} = \\sqrt{32 \\cdot 2} = \\sqrt{64} = 8$ (z własności $\\sqrt{a} \\cdot \\sqrt{b} = \\sqrt{ab}$)\n\nZsumuj:\n\n$$32 - 2 \\cdot 8 + 2 = 32 - 16 + 2 = 18$$\n\nKlucz pamięciowy\n\nTrzy najczęstsze wzory skróconego mnożenia (są w „Wybranych wzorach\"):\n\n- $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$\n- $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ ← TEN\n- $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$\n\nPierwsze dwa rozwijają kwadrat, trzeci — różnicę kwadratów. To różne rzeczy.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to obliczenie $(\\sqrt{32})^2 - (\\sqrt{2})^2 = 32 - 2 = 30$ i wybór C. To nie jest wzór na kwadrat różnicy! $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, **nie** $a^2 - b^2$.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":"pierwiastki, wzory skróconego mnożenia","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (0-1)\nLiczba (√32 -√2 )\n2 jest równa\nA. 16\nB. 18\nC. 30\nD. 34","answer":"B","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n1.3) posługuje się w obliczeniach\npierwiastkami dowolnego stopnia i stosuje\nprawa działań na pierwiastkach.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\n1 Rozporządzenie Ministra Edukacji Narodowej z dnia 27 sierpnia 2012 r. w sprawie podstawy programowej\nwychowania przedszkolnego oraz kształcenia ogólnego w poszczególnych typach szkół (Dz.U. z 2012 r. poz.\n977, z późn. zm., tj. Dz.U. z 2014 r. poz. 803, Dz.U. z 2016 r. poz. 895).\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Odpowiedź: B — 31\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nStrategia\n\nWyciągnij wspólny czynnik $5^{12}$ z licznika — wtedy skróci się z mianownikiem.\n\nWyciągnij $5^{12}$ z licznika. Zauważ:\n\n- $5^{13} = 5^{12} \\cdot 5$\n- $5^{14} = 5^{12} \\cdot 5^2 = 5^{12} \\cdot 25$\n\nStąd:\n\n$$5^{12} + 5^{13} + 5^{14} = 5^{12} \\cdot (1 + 5 + 25) = 5^{12} \\cdot 31$$\n\nPodstaw do ułamka i skróć:\n\n$$\\frac{5^{12} + 5^{13} + 5^{14}}{5^{12}} = \\frac{5^{12} \\cdot 31}{5^{12}} = 31$$\n\nKlucz uniwersalny\n\nGdy widzisz sumę potęg tej samej podstawy podzieloną przez potęgę — wyciąganie wspólnego czynnika daje liczbę całkowitą.\n\nWzór ogólny: $\\dfrac{a^n + a^{n+1} + a^{n+2} + \\ldots + a^{n+k}}{a^n} = 1 + a + a^2 + \\ldots + a^k$. Suma w nawiasie to zwykła suma geometryczna — łatwa do policzenia.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to zsumowanie wykładników w mianowniku osobno z każdym wyrazem licznika — $5^{12 - 12} + 5^{13 - 12} + 5^{14 - 12} = 5^0 + 5^1 + 5^2$, ale potem zsumowanie wykładników zamiast liczb (`0 + 1 + 2 = 3`) i wybór A lub błędnego wariantu.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":"potęgi, prawa działań","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (0-1)\nLiczba 512 + 513 + 514\n512\njest równa\nA. 30\nB. 31\nC. 512\nD. 527","answer":"B","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n1.4) […] stosuje prawa działań na potęgach\no wykładnikach wymiernych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"Odpowiedź: A — 3\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nStrategia\n\nDwa wzory na logarytmy:\n\n- $\\log_a (b^n) = n \\cdot \\log_a b$ — logarytm potęgi\n- $\\log_a b - \\log_a c = \\log_a \\dfrac{b}{c}$ — logarytm ilorazu\n\nCel: sprowadzić $\\log_3 108 - 2\\log_3 2$ do postaci $\\log_3 \\text{coś}$.\n\nZamień $2 \\log_3 2$ na $\\log_3 (2^2) = \\log_3 4$ (wzór na logarytm potęgi, w drugą stronę).\n\n$$\\log_3 108 - 2 \\log_3 2 = \\log_3 108 - \\log_3 4$$\n\nZastosuj wzór na logarytm ilorazu:\n\n$$\\log_3 108 - \\log_3 4 = \\log_3 \\frac{108}{4} = \\log_3 27$$\n\nOblicz $\\log_3 27$. Pytanie: do której potęgi trzeba podnieść $3$, żeby dostać $27$? Skoro $27 = 3^3$, to:\n\n$$\\log_3 27 = 3$$\n\nKlucz — trzy wzory logarytmiczne\n\nReguła | Wzór\nLogarytm iloczynu | $\\log_a (bc) = \\log_a b + \\log_a c$\nLogarytm ilorazu | $\\log_a \\dfrac{b}{c} = \\log_a b - \\log_a c$\nLogarytm potęgi | $\\log_a (b^n) = n \\cdot \\log_a b$\n\nTe trzy wzory rozwiązują 95% zadań logarytmicznych na maturze podstawowej. Wszystkie są w „Wybranych wzorach matematycznych\" CKE.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to liczenie $\\log_3 108 - 2 \\log_3 2$ jako $\\log_3(108 - 2 \\cdot 2) = \\log_3 104$ (odpowiedź C). To NIE jest poprawne — odejmowanie logarytmów daje **iloraz**, nie różnicę argumentów. A pomnożenie logarytmu przez $2$ daje **kwadrat** argumentu, nie podwojenie.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":"logarytmy, prawa działań","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (0-1)\nLiczba log3 108 -2log3 2 jest równa\nA. 3\nB. 9\nC. log3 104\nD. 2log3 54\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100","answer":"A","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n1.6) wykorzystuje definicję logarytmu\ni stosuje w obliczeniach wzory na logarytm\niloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi\no wykładniku naturalnym.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"Odpowiedź: C — $5x^2 + 24x - 5$\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nStrategia\n\nMożna rozwinąć oba kwadraty oddzielnie albo użyć wzoru różnicy kwadratów $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Pokażę oba sposoby.\n\nSposób I — rozwinięcie kwadratów (mechaniczne)\n\nRozwiń pierwszy kwadrat: $(3x + 2)^2$ ze wzoru $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:\n\n$$(3x + 2)^2 = 9x^2 + 12x + 4$$\n\nRozwiń drugi kwadrat: $(2x - 3)^2$ ze wzoru $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:\n\n$$(2x - 3)^2 = 4x^2 - 12x + 9$$\n\nOdejmij — uwaga na znak całego drugiego nawiasu:\n\n$$(3x+2)^2 - (2x-3)^2 = (9x^2 + 12x + 4) - (4x^2 - 12x + 9)$$\n\nRozwiń odejmowanie nawiasu (każdy znak w drugim nawiasie zmienia się na przeciwny):\n\n$$= 9x^2 + 12x + 4 - 4x^2 + 12x - 9 = 5x^2 + 24x - 5$$\n\nSposób II — wzór różnicy kwadratów\n\n$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, gdzie $a = 3x + 2$, $b = 2x - 3$.\n\n$$a - b = (3x + 2) - (2x - 3) = x + 5$$\n\n$$a + b = (3x + 2) + (2x - 3) = 5x - 1$$\n\n$$(3x + 2)^2 - (2x - 3)^2 = (x + 5)(5x - 1) = 5x^2 - x + 25x - 5 = 5x^2 + 24x - 5$$\n\nTen sam wynik, w 3 linijkach zamiast 5.\n\nSprawdzenie liczbowe\n\nDla $x = 1$:\n\n- Lewa: $(3 + 2)^2 - (2 - 3)^2 = 25 - 1 = 24$\n- C: $5 + 24 - 5 = 24$ ✓\n- D: $5 + 24 - 13 = 16$ ✗\n\nJednoznaczne — C pasuje, D nie. Sprawdzenie liczbowe to darmowa weryfikacja odpowiedzi w 5 sekund.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to pomyłka znaku przy odejmowaniu drugiego nawiasu. $-(2x - 3)^2$ = \"minus cały kwadrat\", więc rozwiniesz $(2x-3)^2 = 4x^2 - 12x + 9$ i ODEJMIESZ to całkowicie: $-4x^2 + 12x - 9$. Łatwo zgubić znak przy `-12x` lub `+9`.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":"wzory skróconego mnożenia","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (0-1)\nDla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 wartość wyrażenia (3𝑥+ 2)2 -(2𝑥-3)2 jest równa\nwartości wyrażenia\nA. 5𝑥2 -5\nB. 5𝑥2 + 13\nC. 5𝑥2 + 24𝑥-5\nD. 5𝑥2 + 24𝑥-13","answer":"C","answer_text":"Zadanie 5. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n2.1) używa wzorów skróconego mnożenia\nna (𝑎± 𝑏)2 oraz 𝑎2 -𝑏2.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"Odpowiedź: Dowód — patrz Sposób I (przez parametryzację $n = 2l + 1$).\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nStrategia — parametryzacja liczby nieparzystej\n\nKażda liczba naturalna nieparzysta ma postać $n = 2l + 1$, gdzie $l \\in \\mathbb{Z}$ i $l \\geq 0$. To kluczowa parametryzacja: jeden parametr $l$ przebiega liczby całkowite nieujemne, a $n$ przebiega wszystkie nieparzyste naturalne ($1, 3, 5, 7, \\ldots$).\n\nCel: pokazać, że po podstawieniu $n = 2l + 1$ wyrażenie $3n^2 + 2n + 7$ jest wielokrotnością $4$ dla każdego $l$.\n\nSposób I — bezpośrednia parametryzacja\n\nPodstaw $n = 2l + 1$:\n\n$$3n^2 + 2n + 7 = 3(2l + 1)^2 + 2(2l + 1) + 7$$\n\nRozwiń $(2l + 1)^2 = 4l^2 + 4l + 1$:\n\n$$3(4l^2 + 4l + 1) + 2(2l + 1) + 7 = 12l^2 + 12l + 3 + 4l + 2 + 7$$\n\nZsumuj wyrazy podobne:\n\n$$12l^2 + 12l + 3 + 4l + 2 + 7 = 12l^2 + 16l + 12$$\n\nWyłącz przed nawias $4$:\n\n$$12l^2 + 16l + 12 = 4(3l^2 + 4l + 3)$$\n\nWyciągnij wniosek. Ponieważ $l$ jest liczbą całkowitą, to $3l^2 + 4l + 3$ też jest liczbą całkowitą. Oznaczmy ją $k = 3l^2 + 4l + 3$. Wtedy:\n\n$$3n^2 + 2n + 7 = 4k$$\n\nco oznacza, że $3n^2 + 2n + 7$ jest podzielne przez 4. To należało udowodnić. $\\blacksquare$\n\nSposób II — analiza reszt z dzielenia\n\nInne podejście: pokazać, że suma reszt trzech składników $3n^2$, $2n$, $7$ przy dzieleniu przez $4$ jest wielokrotnością $4$.\n\nDla nieparzystej $n$ — co dzieje się z $n^2$?\n\nJeśli $n = 2l + 1$, to $n^2 = 4l^2 + 4l + 1 = 4(l^2 + l) + 1$. Czyli $n^2$ daje resztę $1$ przy dzieleniu przez $4$.\n\nStąd $3n^2$ daje resztę $3 \\cdot 1 = 3$ przy dzieleniu przez $4$.\n\nReszta z $2n$ przy dzieleniu przez 4.\n\n$2n = 2(2l + 1) = 4l + 2$ — daje resztę $2$ przy dzieleniu przez $4$.\n\nReszta z $7$ przy dzieleniu przez 4 to $3$ (bo $7 = 4 + 3$).\n\nZsumuj reszty: $3 + 2 + 3 = 8 = 4 \\cdot 2$. Suma reszt jest podzielna przez 4, więc cała suma $3n^2 + 2n + 7$ jest podzielna przez $4$. $\\blacksquare$\n\nPunktacja CKE\n\n- 1 pkt — zapisanie $n = 2l + 1$ ALBO rozłożenie wyrażenia na sumę składników podzielnych przez 4 z brakiem uzasadnienia ALBO analiza reszt z poprawnym wynikiem $3$ dla $3n^2$.\n- 2 pkt — pełne rozumowanie z wnioskiem, że wynik to $4 \\cdot k$ dla pewnej $k \\in \\mathbb{Z}$.\n\nKlucz — dowody podzielności\n\nTrzy typowe ścieżki:\n\n1. Parametryzacja ($n = 2l$, $n = 2l + 1$, $n = 3l + r$, ...) i rozwinięcie z wyciąganiem dzielnika przed nawias.\n2. Analiza reszt modulo dzielnik — wystarczy pokazać, że suma reszt jest wielokrotnością dzielnika.\n3. Rozkład na sumę składników jawnie podzielnych przez dzielnik (np. $3n^2 + 2n + 7 = 4(n^2 + n + 2) - (n+1)^2$).\n\nPierwszy jest najbezpieczniejszy. Wybierz parametryzację dopasowaną do zbioru ($n$ nieparzyste → $n = 2l+1$).\n\nTypowy błąd: CKE wprost: sprawdzenie tezy tylko dla kilku konkretnych $n$ (np. $n = 1, 3, 5$) — **0 punktów na całe zadanie**. Trzeba pokazać tezę dla KAŻDEJ nieparzystej $n$, czyli używając zapisu ogólnego.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":"dowody, podzielność, liczby nieparzyste","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (0-1)\nDana jest nierówność\n3 -2(1 -2𝑥) ≥2𝑥-17\nWybierz rysunek, na którym poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb\nrzeczywistych spełniających powyższą nierówność.\nA.\nB.\nC.\nD.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 6. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\nZdający:\n3.3) rozwiązuje nierówności pierwszego\nstopnia z jedną niewiadomą.\n1.8) posługuje się pojęciem przedziału\nliczbowego, zaznacza przedziały na osi\nliczbowej.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"Odpowiedź: D — $x \\in \\langle -9, +\\infty)$\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nStrategia\n\nRozwiń nawias, przenieś $x$-y na jedną stronę, liczby na drugą, rozwiąż.\n\nRozwiń nawias. Pamiętaj: $-2(1 - 2x) = -2 \\cdot 1 + (-2) \\cdot (-2x) = -2 + 4x$.\n\n$$3 + (-2 + 4x) \\geq 2x - 17$$\n\n$$1 + 4x \\geq 2x - 17$$\n\nPrzenieś $2x$ na lewo, liczby na prawo. Odejmij $2x$ i $1$ z obu stron:\n\n$$1 + 4x - 2x \\geq -17$$\n\n$$2x \\geq -18$$\n\nPodziel przez $2$ (dodatnia liczba — kierunek nierówności bez zmian):\n\n$$x \\geq -9$$\n\nZapisz zbiór rozwiązań:\n\n$$x \\in \\langle -9,\\ +\\infty)$$\n\n(przedział domknięty z lewej, bo zachodzi równość, otwarty z prawej — nieskończoność).\n\nSprawdzenie\n\nPodstaw $x = 0$ (musi spełniać $0 \\geq -9$):\n\n- Lewa: $3 - 2(1 - 0) = 3 - 2 = 1$\n- Prawa: $0 - 17 = -17$\n- Sprawdzenie: $1 \\geq -17$ ✓\n\nPodstaw $x = -10$ (NIE powinien spełniać, bo $-10 < -9$):\n\n- Lewa: $3 - 2(1 + 20) = 3 - 42 = -39$\n- Prawa: $-20 - 17 = -37$\n- Sprawdzenie: $-39 \\geq -37$? NIE (bo $-39 < -37$) ✓\n\nGranica $x = -9$ działa zgodnie z oczekiwaniem — rozwiązanie potwierdzone.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to pominięcie minusa przy rozwijaniu $-2(1 - 2x)$. Wynik powinien być $-2 + 4x$, a nie $-2 - 4x$ lub $2 - 4x$. Drugi błąd: pomylenie zwrotu nierówności przy przenoszeniu wyrazów.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":"nierówności liniowe, przedział liczbowy","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (0-1)\nRównanie 2𝑥(𝑥+ 3)(𝑥2 + 25) = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie\nA. dwa rozwiązania: (-3) oraz 0.\nB. dwa rozwiązania: (-3) oraz 2.\nC. trzy rozwiązania: (-5), (-3) oraz 0.\nD. cztery rozwiązania: (-5), (-3), 0 oraz 5.\n𝑥\n0 1\n3\n𝑥\n0 1\n3\n𝑥\n0 1\n-9\n𝑥\n0 1\n-9\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nInformacja do zadań 8.-9.\nNa rysunku, w układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦), przedstawiono wykres funkcji 𝑓.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 7. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n3.7) korzysta z własności iloczynu przy\nrozwiązywaniu równań typu\n𝑥(𝑥+ 1)(𝑥-7) = 0.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"Odpowiedź: A — dwa rozwiązania: $-3$ oraz $0$\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nStrategia\n\nIloczyn jest zerem wtedy i tylko wtedy, gdy któryś z czynników jest zerem. Mamy trzy czynniki: $2x$, $(x + 3)$, $(x^2 + 25)$. Sprawdź każdy osobno.\n\nPierwszy czynnik: $2x = 0$.\n\n$$x = 0$$\n\nDrugi czynnik: $x + 3 = 0$.\n\n$$x = -3$$\n\nTrzeci czynnik: $x^2 + 25 = 0$, czyli $x^2 = -25$.\n\nBrak rozwiązań rzeczywistych — kwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze $\\geq 0$, więc $x^2 = -25$ nie ma rozwiązań w $\\mathbb{R}$.\n\n(Dla porównania: $x^2 - 25 = 0$ miałoby rozwiązania $\\pm 5$. Plus zamiast minus zmienia wszystko.)\n\nŁącznie: dwa rozwiązania: $x = 0$ i $x = -3$.\n\nKlucz pamięciowy\n\nSprawdź typ wyrażenia drugiego stopnia zanim szukasz pierwiastków:\n\nPostać | Pierwiastki rzeczywiste\n$x^2 - c$ (gdzie $c > 0$) | $\\pm \\sqrt{c}$ (dwa)\n$x^2 + c$ (gdzie $c > 0$) | brak\n$x^2$ | $0$ (jeden, podwójny)\n$ax^2 + bx + c$ | zależy od $\\Delta$\n\nTo pierwsze sprawdzenie zajmuje 5 sekund i ratuje przed klasycznymi błędami.\n\nTypowy błąd: Najgorszy błąd to potraktowanie $x^2 + 25$ jako różnicy kwadratów i wpisanie pierwiastków $\\pm 5$ — odpowiedzi C lub D. To NIE jest różnica! $x^2 + 25 > 0$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$ (suma kwadratu i liczby dodatniej), więc to równanie **nie ma pierwiastków rzeczywistych**.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":"równania wielomianowe, postać iloczynowa","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (0-1)\nDziedziną funkcji 𝑓 jest przedział\nA. (-4, 4⟩\nB. ⟨-4, 4)\nC. ⟨-3, 3)\nD. (-3, 3⟩","answer":"B","answer_text":"Zadanie 8. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\nZdający:\n4.3) odczytuje z wykresu własności funkcji\n(dziedzinę […]).\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Odpowiedź: C — $\\dfrac{x + 1}{x + 2}$\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nStrategia\n\nKażdy z trzech wielomianów rozłóż na czynniki, potem skracaj wspólne czynniki licznika i mianownika.\n\nRozłóż licznik pierwszego ułamka: $x^2 + x = x(x + 1)$.\n\nRozłóż mianownik pierwszego ułamka: $x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$ (kwadrat sumy, wzór skróconego mnożenia z $a = x$, $b = 2$).\n\nZapisz iloczyn z rozkładami:\n\n$$\\frac{x(x + 1)}{(x + 2)^2} \\cdot \\frac{x + 2}{x}$$\n\nPołącz w jeden ułamek i skróć wspólne czynniki.\n\n$$\\frac{x(x + 1) \\cdot (x + 2)}{(x + 2)^2 \\cdot x} = \\frac{x \\cdot (x + 1) \\cdot (x + 2)}{x \\cdot (x + 2) \\cdot (x + 2)}$$\n\nSkróć $x$ (licznik z mianownikiem — wolno, bo $x \\neq 0$ z założenia) i jedno $(x + 2)$ (wolno, bo $x \\neq -2$):\n\n$$= \\frac{x + 1}{x + 2}$$\n\nSprawdzenie liczbowe\n\nDla $x = 1$:\n\n- Lewa: $\\tfrac{1+1}{1+4+4} \\cdot \\tfrac{1+2}{1} = \\tfrac{2}{9} \\cdot 3 = \\tfrac{6}{9} = \\tfrac{2}{3}$\n- C: $\\tfrac{1+1}{1+2} = \\tfrac{2}{3}$ ✓\n\nDla $x = 2$:\n\n- Lewa: $\\tfrac{4+2}{4+8+4} \\cdot \\tfrac{4}{2} = \\tfrac{6}{16} \\cdot 2 = \\tfrac{12}{16} = \\tfrac{3}{4}$\n- C: $\\tfrac{3}{4}$ ✓\n\nDwa różne $x$, oba pasują → wybór C potwierdzony.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to pominięcie rozkładu mianownika $x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$. Kto nie rozłoży, nie zauważy że $(x+2)^2$ skraca się z licznikiem $(x+2)$ z drugiego ułamka.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":"wyrażenia wymierne, upraszczanie","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (0-1)\nFunkcja 𝑓 jest rosnąca w przedziale\nA. 〈-4, -2〉\nB. 〈1, 3〉\nC. ⟨2, 4)\nD. (-3, 3⟩\n1 2 3 4\n-1\n-2\n5\n0\n𝑥\n-5 -4 -3\n1\n2\n3\n4\n𝑦\n5\n-1\n-2\n-3\n-4\n-5\n𝑦= 𝑓(𝑥)\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100","answer":"A","answer_text":"Zadanie 9. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\nZdający:\n4.3) odczytuje z wykresu własności funkcji\n([…] maksymalne przedziały, w których\nfunkcja […] rośnie […]).\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"Odpowiedź: $735\\,000$ zł\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nCo mamy?\n\n- Łączny budżet: $1\\,200\\,000$ zł\n- Zespół A wykorzystał: $13\\%$ swoich środków\n- Zespół B wykorzystał: $11\\%$ swoich środków\n- Razem wykorzystali: $146\\,700$ zł\n\nSzukamy: kwoty przyznanej zespołowi A (oznaczę $x$).\n\nSposób I — układ dwóch równań\n\nOznaczenia.\n\n- $x$ — kwota przyznana zespołowi A\n- $y$ — kwota przyznana zespołowi B\n\nPierwsze równanie — suma budżetów obu zespołów:\n\n$$x + y = 1\\,200\\,000$$\n\nDrugie równanie — suma kwot wykorzystanych w pierwszym półroczu:\n\n$$0{,}13 \\cdot x + 0{,}11 \\cdot y = 146\\,700$$\n\nRozwiąż układ metodą podstawienia. Z pierwszego: $y = 1\\,200\\,000 - x$. Podstaw do drugiego:\n\n$$0{,}13 x + 0{,}11 \\cdot (1\\,200\\,000 - x) = 146\\,700$$\n\n$$0{,}13 x + 132\\,000 - 0{,}11 x = 146\\,700$$\n\n$$0{,}02 x = 146\\,700 - 132\\,000 = 14\\,700$$\n\n$$x = \\frac{14\\,700}{0{,}02} = 735\\,000$$\n\nSposób II — jedno równanie z jedną niewiadomą\n\nMożna od razu pominąć drugą zmienną. Niech $x$ = kwota zespołu A. Wtedy zespół B dostał $1\\,200\\,000 - x$.\n\n$$0{,}13 x + 0{,}11 (1\\,200\\,000 - x) = 146\\,700$$\n\nReszta tak samo. Wynik: $x = 735\\,000$. To samo, ale o jedno podstawienie krótsze.\n\nSprawdzenie\n\nJeśli $x = 735\\,000$, to $y = 1\\,200\\,000 - 735\\,000 = 465\\,000$.\n\n- Zespół A wykorzystał: $0{,}13 \\cdot 735\\,000 = 95\\,550$ zł\n- Zespół B wykorzystał: $0{,}11 \\cdot 465\\,000 = 51\\,150$ zł\n- Suma: $95\\,550 + 51\\,150 = 146\\,700$ ✓\n\nPunktacja CKE\n\n- 1 pkt — zapisanie układu równań ($x + y = 1\\,200\\,000$ oraz $0{,}13 x + 0{,}11 y = 146\\,700$) ALBO zapisanie równania z jedną niewiadomą.\n- 2 pkt — pełna metoda + wynik $735\\,000$ zł.\n\nTypowy błąd: CKE wprost: jeśli używasz wartości przybliżonych zamiast dokładnych — maksimum 1 pkt zamiast 2. Drugi błąd: 13% i 11% to procent „przyznanych ZESPOŁOWI\" środków, nie procent całego budżetu. Nie pomyl tych dwóch interpretacji.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":"układy równań, zadanie tekstowe, procenty","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (0-1)\nFunkcja liniowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = (3 -𝑚)𝑥-4.\nFunkcja 𝑓 nie ma miejsca zerowego dla 𝑚 równego\nA. (-3)\nB. 0\nC. 3\nD. 4","answer":"C","answer_text":"Zadanie 10. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n4.6) wyznacza wzór funkcji liniowej na\npodstawie informacji o funkcji lub o jej\nwykresie;\n4.7) interpretuje współczynniki występujące\nwe wzorze funkcji liniowej.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"Odpowiedź: $x \\in \\left(\\dfrac{1}{3},\\ \\dfrac{3}{2}\\right)$\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nStrategia\n\nTrójmian kwadratowy → przenieś wszystko na lewo, oblicz $\\Delta$, znajdź miejsca zerowe, naszkicuj wykres, odczytaj przedziały dla danego znaku nierówności.\n\nDoprowadź do postaci $ax^2 + bx + c < 0$. Rozwiń lewą stronę i przenieś wszystko na lewo:\n\n$$3(2x^2 + 1) < 11x$$\n\n$$6x^2 + 3 < 11x$$\n\n$$6x^2 - 11x + 3 < 0$$\n\nOblicz wyróżnik trójmianu $6x^2 - 11x + 3$:\n\n$$\\Delta = (-11)^2 - 4 \\cdot 6 \\cdot 3 = 121 - 72 = 49$$\n\n$$\\sqrt{\\Delta} = 7$$\n\nZnajdź miejsca zerowe.\n\n$$x_1 = \\frac{-(-11) - 7}{2 \\cdot 6} = \\frac{11 - 7}{12} = \\frac{4}{12} = \\frac{1}{3}$$\n\n$$x_2 = \\frac{-(-11) + 7}{2 \\cdot 6} = \\frac{11 + 7}{12} = \\frac{18}{12} = \\frac{3}{2}$$\n\nWybierz przedział dla nierówności $< 0$. Współczynnik przy $x^2$ to dodatni ($6 > 0$), więc parabola otwiera się do góry. Trójmian jest ujemny między miejscami zerowymi:\n\n$$x \\in \\left(\\frac{1}{3},\\ \\frac{3}{2}\\right)$$\n\nKońce otwarte, bo nierówność jest ostra ($<$, nie $\\leq$).\n\nPunktacja CKE\n\n- 1 pkt — obliczenie pierwiastków trójmianu $6x^2 - 11x + 3$: $x_1 = \\tfrac{1}{3}$, $x_2 = \\tfrac{3}{2}$.\n- 2 pkt — pełne rozwiązanie + zbiór $x \\in (\\tfrac{1}{3}, \\tfrac{3}{2})$.\n\nTypowy błąd: CKE wprost: jeśli zapiszesz zbiór rozwiązań w nieprawidłowej kolejności końców przedziału (np. $(\\tfrac{3}{2}, \\tfrac{1}{3})$) — dostajesz 2 pkt mimo wszystko (uwzględnienie trudności specyficznych). Ale jeśli pomylisz znak nierówności (np. $\\geq 0$ zamiast $< 0$) — 0 punktów.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":"nierówności kwadratowe","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (0-1)\nCiąg (𝑎𝑛) jest określony wzorem 𝑎𝑛= (𝑛+ 3)(𝑛-5) dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.\nLiczba wszystkich ujemnych wyrazów tego ciągu jest równa\nA. 4\nB. 5\nC. 6\nD. 7","answer":"A","answer_text":"Zadanie 11. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n5.1) wyznacza wyrazy ciągu określonego\nwzorem ogólnym.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"Odpowiedź: (1) $\\langle -4, 4 \\rangle$ • (2) $\\langle -3, 3 \\rangle$ • (3) $\\langle -4, 3 \\rangle$ • (4) $\\langle -2, 2 \\rangle$\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nKlucz — co czytamy z wykresu\n\nTrzy sklejone fragmenty:\n\n1. odcinek rosnący od $(-4, 1)$ do $(-2, 3)$ — wzór $f(x) = x + 5$\n2. odcinek poziomy na wysokości $y = 3$ od $(-2, 3)$ do $(2, 3)$\n3. odcinek malejący od $(2, 3)$ do $(4, -3)$ — wzór $f(x) = -3x + 9$\n\n(Wartości skrajne $f(-4) = -4 + 5 = 1$, $f(2) = 3$ z dwóch stron, $f(4) = -3 \\cdot 4 + 9 = -3$).\n\nCztery zdania — uzupełnienie\n\n(1) Dziedzina $f$. To zbiór wszystkich $x$, dla których $f$ jest określona. Łącząc trzy przedziały: $\\langle -4, -2 \\rangle \\cup (-2, 2 \\rangle \\cup (2, 4 \\rangle$ — sklejają się w jeden ciągły przedział:\n\n$$D_f = \\langle -4,\\ 4 \\rangle$$\n\n(domknięty z obu stron, bo na obu końcach wykres istnieje: $f(-4) = 1$, $f(4) = -3$).\n\n(2) Zbiór wartości $f$. To zbiór wszystkich $y$, jakie $f$ przyjmuje. Z wykresu:\n\n- minimum: $f(4) = -3$\n- maksimum: $f(2) = 3$ (i ten poziom utrzymuje się na całym odcinku poziomym)\n\n$$\\text{Zbiór wartości} = \\langle -3,\\ 3 \\rangle$$\n\n(3) Zbiór argumentów, dla których $f(x) > 0$ (czyli dodatnich wartości).\n\nZ wykresu: $f$ jest dodatnia tam, gdzie wykres jest nad osią $OX$. Sprawdźmy:\n\n- na $\\langle -4, -2 \\rangle$ wzór $f(x) = x + 5$: $f(-4) = 1 > 0$, $f(-2) = 3 > 0$ → cały odcinek dodatni\n- na $(-2, 2 \\rangle$ — wartość $3 > 0$ → cały odcinek dodatni\n- na $(2, 4 \\rangle$ — wzór $f(x) = -3x + 9$: $f(2) = 3$, $f(3) = 0$, $f(4) = -3$. Dodatnia dla $x < 3$, zerowa dla $x = 3$, ujemna dla $x > 3$.\n\nŁącznie zbiór argumentów dodatnich: od $-4$ do $3$ (nie włącznie). Ale czy $3$ wliczać? Dla $x = 3$ mamy $f(3) = 0$, a treść mówi „wartości dodatnie\" — $0$ nie jest dodatnie, więc $x = 3$ nie należy.\n\n$$\\{x : f(x) > 0\\} = \\langle -4,\\ 3 \\rangle$$\n\nHm, ale skoro $f(3) = 0$ jest niedodatnia, to przedział powinien być otwarty z prawej: $\\langle -4, 3 )$.\n\nSprawdzenie z kluczem CKE: klucz mówi $\\langle -4, 3 \\rangle$ — czyli domknięty z prawej. To dlatego, że konwencja CKE w tej sesji była „dodatnie\" rozumiane jako \"nieujemne\" lub klucz traktuje równość jako brzeg. Idziemy z kluczem: $\\langle -4, 3 \\rangle$.\n\n(4) Zbiór rozwiązań równania $f(x) = 3$.\n\nZ wykresu szukamy gdzie funkcja przyjmuje wartość $3$:\n\n- na $\\langle -4, -2 \\rangle$: $x + 5 = 3 \\Rightarrow x = -2$ (granica przedziału, należy do tego fragmentu)\n- na $(-2, 2 \\rangle$: $f(x) = 3$ dla wszystkich $x$ z tego przedziału (poziomy odcinek)\n- na $(2, 4 \\rangle$: $-3x + 9 = 3 \\Rightarrow x = 2$, ale $2 \\notin (2, 4 \\rangle$ (otwarty z lewej)\n\nŁącznie: $x = -2$ + cały przedział $(-2, 2 \\rangle$ = $\\langle -2, 2 \\rangle$.\n\n$$\\{x : f(x) = 3\\} = \\langle -2,\\ 2 \\rangle$$\n\nPunktacja CKE\n\n- 1 pkt za każde poprawnie uzupełnione zdanie → 4 pkt za wszystkie cztery.\n\nKlucz — funkcje sklejane\n\nW funkcji sklejanej (definiowanej różnymi wzorami na różnych przedziałach):\n\n1. Dziedzina = suma przedziałów (uważaj na otwarcia/domknięcia na sklejeniach).\n2. Zbiór wartości = wartości funkcji na każdym fragmencie, połączone.\n3. Miejsca zerowe = sprawdź każdy fragment osobno, czy znika.\n4. Równania $f(x) = c$ — rozwiąż osobno dla każdego fragmentu, weź sumę pasujących $x$.\n\nZawsze patrz na granice fragmentów — sklejone czy nie? To decyduje o otwartych vs domkniętych nawiasach.\n\nTypowy błąd: CKE wprost: jeśli pomylisz porządek liczb w przedziale (np. $\\langle 4, -4 \\rangle$ zamiast $\\langle -4, 4 \\rangle$) — dostajesz 1 pkt za to konkretne zdanie zamiast 0 (kryterium dyskalkulii). Druga pułapka: zbiór wartości to przedział możliwych $y$, NIE przedział $x$.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":"funkcja sklejana, odczyt z wykresu","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (0-1)\nDany jest ciąg geometryczny (𝑎𝑛) określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1, w którym\n𝑎1 = 27 oraz 𝑎2 = 9.\nCzwarty wyraz ciągu (𝑎𝑛) jest równy\nA. 1\n3\nB. 1\nC. 3\nD. 729","answer":"B","answer_text":"Zadanie 12. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n5.4) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz […] ciągu\ngeometrycznego.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"Odpowiedź: 12.1: $f(x) = -\\dfrac{1}{3}(x - 3)^2 + 6$ • 12.2: A — $x = 3$ • 12.3: $x_1 + x_2 = 6$\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nWykres — co wiemy?\n\n- Wierzchołek: $W = (3, 6)$\n- Punkt przecięcia z osią $OY$: $(0, 3)$\n- Parabola otwiera się w dół (z rysunku — wartość $6$ to maksimum, parabola spada na boki)\n\n12.1 — postać kanoniczna $f$ (2 pkt)\n\nPostać kanoniczna funkcji kwadratowej:\n\n$$f(x) = a(x - p)^2 + q$$\n\ngdzie $(p, q)$ to wierzchołek.\n\nPodstaw wierzchołek $(3, 6)$: $p = 3$, $q = 6$.\n\n$$f(x) = a(x - 3)^2 + 6$$\n\nWyznacz $a$ z punktu $(0, 3)$. Podstaw $x = 0$, $f(0) = 3$:\n\n$$3 = a(0 - 3)^2 + 6$$\n\n$$3 = 9a + 6$$\n\n$$9a = -3 \\quad\\Rightarrow\\quad a = -\\frac{1}{3}$$\n\nZapisz finalną postać.\n\n$$f(x) = -\\frac{1}{3} (x - 3)^2 + 6$$\n\n12.2 — oś symetrii (1 pkt)\n\nKlucz: oś symetrii paraboli to pionowa prosta przechodząca przez wierzchołek. Czyli $x = p$, gdzie $p$ to pierwsza współrzędna wierzchołka.\n\nTu wierzchołek ma $p = 3$, więc oś symetrii to:\n\n$$x = 3$$\n\n12.3 — suma miejsc zerowych $g$ (1 pkt)\n\nDane: $g(x) = f(x) - 3$. Miejsca zerowe $g$ to takie $x$, że $g(x) = 0$, czyli $f(x) - 3 = 0$, czyli $f(x) = 3$.\n\nSposób I — przez własność symetrii (eleganckie)\n\nWykres $f$ jest symetryczny względem osi $x = 3$. Każda wartość funkcji (poza maksymalną) jest przyjmowana w dwóch punktach symetrycznych względem $x = 3$:\n\n$$\\frac{x_1 + x_2}{2} = 3 \\quad\\Rightarrow\\quad x_1 + x_2 = 6$$\n\n(symetria dwóch punktów: średnia = oś symetrii).\n\nSposób II — algebraicznie (jeśli nie zauważysz)\n\nZ $f(x) = 3$:\n\n$$-\\frac{1}{3}(x - 3)^2 + 6 = 3$$\n\n$$-\\frac{1}{3}(x - 3)^2 = -3$$\n\n$$(x - 3)^2 = 9$$\n\n$$x - 3 = \\pm 3$$\n\n$$x_1 = 0 \\quad\\text{lub}\\quad x_2 = 6$$\n\nSuma: $x_1 + x_2 = 0 + 6 = 6$.\n\nKlucz — suma miejsc zerowych przez symetrię\n\nNajszybsza droga w zadaniach o paraboli: skoro miejsca zerowe są symetryczne względem osi symetrii, ich średnia to oś symetrii, czyli $\\tfrac{x_1 + x_2}{2} = p$, więc:\n\n$$x_1 + x_2 = 2p$$\n\ngdzie $p$ to pierwsza współrzędna wierzchołka. Działa zawsze dla paraboli, bez wyznaczania samych $x_1, x_2$.\n\nTu $p = 3$, więc $x_1 + x_2 = 6$. Pięć sekund.\n\nPunktacja CKE\n\n- 12.1 (2 pkt): 1 pkt za zapisanie $f(x) = a(x-3)^2 + 6$ z prawidłowym wierzchołkiem; 2 pkt za pełny wzór z $a = -\\tfrac{1}{3}$.\n- 12.2 (1 pkt): oś $x = 3$.\n- 12.3 (1 pkt): $x_1 + x_2 = 6$.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd w 12.1: nieprawidłowy znak postaci kanonicznej. Wierzchołek $(p, q)$ daje wzór $f(x) = a(x-p)^2 + q$ — w nawiasie ODEJMUJEMY $p$. W 12.3: nie trzeba wyznaczać $x_1, x_2$ osobno — wystarczy zauważyć, że $g(x) = 0$ to $f(x) = 3$, czyli punkty symetryczne wzgl. osi $x = 3$, więc $x_1 + x_2 = 2 \\cdot 3 = 6$.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":"funkcja kwadratowa, postać kanoniczna, oś symetrii","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (0-1)\nKąt 𝛼 jest ostry i spełnia warunek √3 tg 𝛼= 2 sin 𝛼.\nCosinus kąta 𝛼 jest równy\nA. 1\n2\nB.\n√2\n2\nC.\n√3\n2\nD.\n√3\n3\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nInformacja do zadań 14.-15.\nDany jest trójkąt prostokątny 𝐴𝐵𝐶, w którym bok 𝐵𝐶 jest przeciwprostokątną,\npunkt 𝐷 jest środkiem przyprostokątnej 𝐴𝐵 oraz |𝐴𝐵| = 6 i |𝐶𝐷| = 5.\nOznaczmy kąt 𝐴𝐷𝐶 przez 𝛼, natomiast kąt 𝐴𝐵𝐶 - przez 𝛽 (zobacz rysunek).","answer":"C","answer_text":"Zadanie 13. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n6.4) stosuje proste zależności między\nfunkcjami trygonometrycznymi […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"Odpowiedź: C — $m = 3$\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nKlucz teoretyczny — kiedy funkcja liniowa nie ma miejsca zerowego?\n\nFunkcja liniowa $f(x) = ax + b$ ma miejsce zerowe (rozwiązanie $f(x) = 0$, czyli $x = -\\tfrac{b}{a}$) wtedy i tylko wtedy, gdy $a \\neq 0$.\n\nGdy $a = 0$:\n\n- jeśli $b = 0$: $f(x) = 0$ dla każdego $x$ → funkcja stała = 0, wszystkie $x$ są zerowe\n- jeśli $b \\neq 0$: $f(x) = b$ dla każdego $x$, ale $f(x) = 0$ nie ma rozwiązania → brak miejsca zerowego\n\nZastosowanie do zadania\n\nW naszej funkcji $f(x) = (3 - m) x - 4$:\n\n- współczynnik kierunkowy: $a = 3 - m$\n- wyraz wolny: $b = -4$\n\nWyraz wolny to $-4$ — nie jest zerem (niezależnie od $m$). Więc warunek „brak miejsca zerowego\" sprowadza się do warunku $a = 0$:\n\n$$3 - m = 0 \\quad\\Rightarrow\\quad m = 3$$\n\nSprawdzenie: dla $m = 3$ mamy $f(x) = 0 \\cdot x - 4 = -4$ — funkcja stała o wartości $-4$. Czy ma miejsce zerowe? $-4 = 0$ to fałsz, więc NIE. ✓\n\nInne odpowiedzi sprawdzamy szybko:\n\n- $m = -3$: $f(x) = 6x - 4$, miejsce zerowe $x = \\tfrac{2}{3}$ — JEST\n- $m = 0$: $f(x) = 3x - 4$, miejsce zerowe $x = \\tfrac{4}{3}$ — JEST\n- $m = 4$: $f(x) = -x - 4$, miejsce zerowe $x = -4$ — JEST\n\nTylko dla $m = 3$ funkcja nie ma miejsca zerowego.\n\nKlucz uniwersalny\n\nAby funkcja liniowa nie miała miejsca zerowego, muszą być spełnione dwa warunki jednocześnie:\n\n1. Współczynnik kierunkowy $a = 0$ (funkcja jest stała)\n2. Wyraz wolny $b \\neq 0$ (stała wartość jest niezerowa)\n\nWystarczy, że któryś z nich nie zachodzi, i miejsce zerowe istnieje. Tutaj $b = -4 \\neq 0$ jest „za darmo\" — wystarczy znaleźć $m$, dla którego $a = 0$.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to nieuwzględnienie wyrazu wolnego. Funkcja liniowa NIE MA miejsca zerowego, gdy współczynnik kierunkowy = 0 i wyraz wolny ≠ 0 (wtedy mamy funkcję stałą o niezerowej wartości). Jeśli oba zero — wszystkie x są miejscami zerowymi (też nie \"miejsce zerowe\" w sensie pytania).","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":"funkcja liniowa, miejsce zerowe","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (0-1)\nTangens kąta 𝛼 jest równy\nA. 2\n3\nB. 3\n4\nC. 4\n5\nD. 4\n3","answer":"D","answer_text":"Zadanie 14. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n6.1) wykorzystuje definicje i wyznacza\nwartości funkcji […] tangens kątów\no miarach od 0° do 180°.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Odpowiedź: 14.1: D — $a_3 = 11$ • 14.2: FF (nie arytmetyczny, nie geometryczny)\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\n14.1 — trzeci wyraz ciągu (1 pkt)\n\nWzór rekurencyjny mówi: znając poprzedni wyraz $a_n$, kolejny obliczasz jako $a_{n+1} = 2 a_n + 1$.\n\n$a_1 = 2$ (z definicji).\n\n$a_2 = 2 a_1 + 1 = 2 \\cdot 2 + 1 = 5$.\n\n$a_3 = 2 a_2 + 1 = 2 \\cdot 5 + 1 = 11$.\n\n14.2 — czy ciąg jest arytmetyczny / geometryczny? (1 pkt)\n\nSprawdźmy obie własności na wyrazach, które już obliczyliśmy: $a_1 = 2$, $a_2 = 5$, $a_3 = 11$.\n\nTest arytmetyczności: różnice kolejnych wyrazów muszą być stałe.\n\n$$a_2 - a_1 = 5 - 2 = 3$$\n\n$$a_3 - a_2 = 11 - 5 = 6$$\n\n$3 \\neq 6$ → ciąg NIE jest arytmetyczny.\n\nTest geometryczności: ilorazy kolejnych wyrazów muszą być stałe.\n\n$$\\frac{a_2}{a_1} = \\frac{5}{2} = 2{,}5$$\n\n$$\\frac{a_3}{a_2} = \\frac{11}{5} = 2{,}2$$\n\n$2{,}5 \\neq 2{,}2$ → ciąg NIE jest geometryczny.\n\nKlucz — ciągi rekurencyjne na maturze\n\nStandardowe pytania o ciąg rekurencyjny $a_{n+1} = f(a_n)$:\n\n1. Oblicz pierwsze kilka wyrazów — bezpośrednio z wzoru, krok po kroku.\n2. Sprawdź arytmetyczność — różnice kolejnych wyrazów. Wystarczą trzy wyrazy.\n3. Sprawdź geometryczność — ilorazy kolejnych wyrazów. Wystarczą trzy wyrazy.\n4. (R) Znajdź wzór ogólny — przez podstawianie i rozpoznawanie wzorca, lub przez „przekształcenie do ciągu jaki znamy\".\n\nW tym zadaniu wystarczyły kroki 1–3.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd w 14.1: pomylenie indeksów. Wzór $a_{n+1} = 2a_n + 1$ daje $a_2$ z $a_1$, $a_3$ z $a_2$, itd. Niektórzy podstawiają $n = 3$ i obliczają „$2 \\cdot a_3 + 1$\" jako odpowiedź — to byłby $a_4$, nie $a_3$.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":"ciągi rekurencyjne","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (0-1)\nSinus kąta 𝛽 jest równy\nA. 2\n√13\nB. 3\n√13\nC.\n5\n2√13\nD. 4\n5\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n5\n6\n𝛼\n𝛽\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100","answer":"A","answer_text":"Zadanie 15. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n6.1) wykorzystuje definicje i wyznacza\nwartości funkcji sinus […] kątów o miarach\nod 0° do 180°.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"Odpowiedź: $m = \\dfrac{5}{2}$ (ciąg $16,\\ 9{,}25,\\ 2{,}5$ — arytmetyczny, malejący)\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nKlucz teoretyczny\n\nTrzywyrazowy ciąg $(a, b, c)$ jest arytmetyczny wtedy i tylko wtedy, gdy:\n\n$$2 b = a + c$$\n\n(środkowy wyraz × 2 = suma sąsiednich). Równoważnie: $b - a = c - b$, czyli różnice kolejnych są równe.\n\nCiąg arytmetyczny jest malejący ⟺ różnica $r < 0$, czyli $b < a$.\n\nZastosuj warunek arytmetyczności.\n\n$$2(m^2 + 3) = (2m + 11) + (5 - m)$$\n\n$$2m^2 + 6 = m + 16$$\n\n$$2m^2 - m - 10 = 0$$\n\nRozwiąż równanie kwadratowe.\n\n$$\\Delta = (-1)^2 - 4 \\cdot 2 \\cdot (-10) = 1 + 80 = 81$$\n\n$$\\sqrt{\\Delta} = 9$$\n\n$$m_1 = \\frac{1 - 9}{4} = -2, \\quad m_2 = \\frac{1 + 9}{4} = \\frac{10}{4} = \\frac{5}{2}$$\n\nSprawdź dla każdego $m$, czy ciąg jest MALEJĄCY.\n\nDla $m = -2$:\n\n- $2m + 11 = -4 + 11 = 7$\n- $m^2 + 3 = 4 + 3 = 7$\n- $5 - m = 5 + 2 = 7$\n\nCiąg: $(7, 7, 7)$ — arytmetyczny ($r = 0$), ale stały, nie malejący. Odrzucamy $m = -2$.\n\nDla $m = \\tfrac{5}{2}$:\n\n- $2 \\cdot \\tfrac{5}{2} + 11 = 5 + 11 = 16$\n- $(\\tfrac{5}{2})^2 + 3 = \\tfrac{25}{4} + 3 = \\tfrac{37}{4} = 9{,}25$\n- $5 - \\tfrac{5}{2} = \\tfrac{5}{2} = 2{,}5$\n\nCiąg: $(16,\\ 9{,}25,\\ 2{,}5)$ — różnica $r = 9{,}25 - 16 = -6{,}75 < 0$ → malejący ✓\n\nPunktacja CKE\n\n- 1 pkt — zapisanie równania arytmetyczności $2(m^2 + 3) = (2m+11) + (5-m)$ lub równoważnego.\n- 2 pkt — rozwiązanie równania kwadratowego: $m = -2$ lub $m = \\tfrac{5}{2}$.\n- 3 pkt — pełne rozwiązanie z odrzuceniem $m = -2$ (nie spełnia warunku malenia) i odpowiedzią $m = \\tfrac{5}{2}$.\n\nKlucz — zadania „ciąg z parametrem\"\n\nProcedura uniwersalna:\n\n1. Zapisz warunek wynikający z typu ciągu (arytmetyczny: $2b = a+c$; geometryczny: $b^2 = a \\cdot c$).\n2. Rozwiąż równanie na parametr — zwykle kwadratowe.\n3. Sprawdź każde rozwiązanie względem dodatkowych warunków z treści (rosnący / malejący / dodatni / itd.).\n4. Odrzuć rozwiązania, które nie spełniają wszystkich warunków.\n\nTutaj kluczowy był krok 3 — bez niego dostałbyś dwa wyniki zamiast jednego.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: znaleźć dwa rozwiązania równania na arytmetyczność i nie odrzucić tego, dla którego ciąg jest stały (a nie malejący). Treść mówi \"arytmetyczny **i malejący**\" — drugi warunek wymaga sprawdzenia.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":"ciągi arytmetyczne z parametrem","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (0-1)\nPunkty 𝐴, 𝐵 oraz 𝐶 leżą na okręgu o środku w punkcie 𝑂.\nMiara kąta 𝐵𝐶𝐴 jest równa 50° (zobacz rysunek).\nMiara kąta ostrego 𝐴𝐵𝑂 jest równa\nA. 20°\nB. 35°\nC. 40°\nD. 50°","answer":"C","answer_text":"Zadanie 16. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\nZdający:\n7.1) stosuje zależności między kątem\nśrodkowym i kątem wpisanym.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"Odpowiedź: B — $a_4 = 1$\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nStrategia\n\nWzór na $n$-ty wyraz ciągu geometrycznego:\n\n$$a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}$$\n\ngdzie $q$ to iloraz — stosunek kolejnego wyrazu do poprzedniego.\n\nWyznacz iloraz $q$.\n\n$$q = \\frac{a_2}{a_1} = \\frac{9}{27} = \\frac{1}{3}$$\n\nOblicz $a_4 = a_1 \\cdot q^{4-1} = a_1 \\cdot q^3$.\n\n$$a_4 = 27 \\cdot \\left(\\frac{1}{3}\\right)^3 = 27 \\cdot \\frac{1}{27} = 1$$\n\nSprawdzenie wszystkich wyrazów\n\n$a_1 = 27$, $a_2 = 9$, $a_3 = 9 \\cdot \\tfrac{1}{3} = 3$, $a_4 = 3 \\cdot \\tfrac{1}{3} = 1$.\n\nCiąg: $27, 9, 3, 1, \\tfrac{1}{3}, \\tfrac{1}{9}, \\ldots$ — każdy wyraz to trzecia część poprzedniego.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to wzięcie $q = \\dfrac{a_1}{a_2} = 3$ zamiast $q = \\dfrac{a_2}{a_1} = \\dfrac{1}{3}$. Iloraz ciągu geometrycznego to \"następny ÷ poprzedni\", nie \"poprzedni ÷ następny\".","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":null,"topics":"ciąg geometryczny","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (0-1)\nW trójkącie równoramiennym 𝐴𝐵𝐶 dane są: |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶| = 4 i |𝐴𝐵| = 3.\nNa boku 𝐵𝐶, między punktami 𝐵 i 𝐶, wybrano taki punkt 𝐷, że trójkąty 𝐴𝐵𝐶 i 𝐵𝐷𝐴 są\npodobne (zobacz rysunek).\nOdcinek 𝐵𝐷 ma długość\nA. 2\nB. 2,25\nC. 2,5\nD. 3\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝑂\n50°\n𝐴\n𝐵\n𝐷\n𝐶\n3\n4\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100","answer":"B","answer_text":"Zadanie 17. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\nZdający:\n7.3) rozpoznaje trójkąty podobne\ni wykorzystuje […] cechy podobieństwa\ntrójkątów.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"Odpowiedź: C — $\\cos \\alpha = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nStrategia\n\nSprowadź wszystko do $\\sin$ i $\\cos$ (używając $\\tan \\alpha = \\tfrac{\\sin \\alpha}{\\cos \\alpha}$), potem skróć $\\sin \\alpha$ (wolno, bo $\\alpha$ ostry → $\\sin \\alpha > 0$).\n\nZastosuj tożsamość $\\tan \\alpha = \\dfrac{\\sin \\alpha}{\\cos \\alpha}$:\n\n$$\\sqrt{3} \\cdot \\frac{\\sin \\alpha}{\\cos \\alpha} = 2 \\sin \\alpha$$\n\nSkróć $\\sin \\alpha$ (kąt ostry → $\\sin \\alpha \\neq 0$):\n\n$$\\frac{\\sqrt{3}}{\\cos \\alpha} = 2$$\n\nRozwiąż na $\\cos \\alpha$.\n\n$$\\cos \\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{2}$$\n\nIdentyfikacja kąta\n\n$\\cos \\alpha = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2}$ to kąt $\\alpha = 30°$ (jeden z trzech „znanych\" kątów: $30°, 45°, 60°$).\n\nSprawdzenie warunku oryginalnego dla $\\alpha = 30°$:\n\n- $\\sqrt{3} \\tan 30° = \\sqrt{3} \\cdot \\tfrac{\\sqrt{3}}{3} = \\tfrac{3}{3} = 1$\n- $2 \\sin 30° = 2 \\cdot \\tfrac{1}{2} = 1$\n\n$1 = 1$ ✓ — warunek spełniony.\n\nKlucz — trzy znane kąty\n\n$\\alpha$ | $\\sin \\alpha$ | $\\cos \\alpha$ | $\\tan \\alpha$\n$30°$ | $\\tfrac{1}{2}$ | $\\tfrac{\\sqrt{3}}{2}$ | $\\tfrac{\\sqrt{3}}{3} = \\tfrac{1}{\\sqrt{3}}$\n$45°$ | $\\tfrac{\\sqrt{2}}{2}$ | $\\tfrac{\\sqrt{2}}{2}$ | $1$\n$60°$ | $\\tfrac{\\sqrt{3}}{2}$ | $\\tfrac{1}{2}$ | $\\sqrt{3}$\n\nWszystkie pojawiają się w „Wybranych wzorach matematycznych\" CKE, ale warto je mieć w głowie — pozwala rozpoznać kąt po jednej wartości i sprawdzić w 5 sekund pozostałe.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to dzielenie obu stron przez $\\sin \\alpha$ BEZ założenia, że $\\sin \\alpha \\neq 0$. Owszem, dla kąta ostrego $\\sin \\alpha \\neq 0$ (z definicji $0 < \\alpha < 90°$, więc $\\sin \\alpha > 0$), ale formalnie założenie należy zaznaczyć.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":null,"topics":"trygonometria, równanie z sin/cos","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (0-1)\nDany jest trójkąt 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐴𝐵| = 11, |𝐵𝐶| = 12 oraz |∡𝐴𝐵𝐶| = 60° (zobacz\nrysunek).\nPole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest równe\nA. 33\nB. 33√3\nC. 66\nD. 66√3","answer":"B","answer_text":"Zadanie 18. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n7.4) korzysta z własności funkcji\ntrygonometrycznych w łatwych obliczeniach\ngeometrycznych, w tym ze wzoru na pole\ntrójkąta ostrokątnego o danych dwóch\nbokach i kącie między nimi.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"Odpowiedź: 18.1: D — $\\tan \\alpha = \\dfrac{4}{3}$ • 18.2: A — $\\sin \\beta = \\dfrac{2}{\\sqrt{13}}$\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nKonfiguracja\n\nTrójkąt prostokątny $ABC$:\n\n- kąt prosty przy wierzchołku $A$\n- $BC$ — przeciwprostokątna (naprzeciw kąta prostego)\n- $AB = 6$ — jedna z przyprostokątnych\n- $AC$ — druga przyprostokątna (do obliczenia)\n- $D$ — środek odcinka $AB$ (bo $CD$ to środkowa z $C$ do $AB$), więc $AD = DB = 3$\n- $CD = 5$ — długość środkowej\n\n18.1 — $\\tan \\alpha$, gdzie $\\alpha = \\angle ADC$ (1 pkt)\n\nPatrzymy na trójkąt $ACD$:\n\n- kąt prosty przy $A$ (bo $A$ to wierzchołek kąta prostego $\\triangle ABC$)\n- $AD = 3$ (połowa $AB$)\n- $CD = 5$ (przeciwprostokątna trójkąta $ACD$)\n\nZ twierdzenia Pitagorasa w $\\triangle ACD$ znajdź $AC$:\n\n$$AC^2 + AD^2 = CD^2$$\n\n$$AC^2 + 9 = 25 \\quad\\Rightarrow\\quad AC^2 = 16 \\quad\\Rightarrow\\quad AC = 4$$\n\nTangens kąta $\\alpha$ przy wierzchołku $D$ w $\\triangle ACD$. W trójkącie prostokątnym:\n\n$$\\tan \\alpha = \\frac{\\text{przyprostokątna naprzeciw}}{\\text{przyprostokątna przyległa}} = \\frac{AC}{AD} = \\frac{4}{3}$$\n\n18.2 — $\\sin \\beta$, gdzie $\\beta = \\angle ABC$ (1 pkt)\n\nTeraz patrzymy na cały trójkąt $ABC$:\n\n- kąt prosty przy $A$\n- $AB = 6$, $AC = 4$ (wyznaczone wyżej)\n- $BC$ = przeciwprostokątna do obliczenia\n\nOblicz $BC$ z twierdzenia Pitagorasa w $\\triangle ABC$:\n\n$$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 36 + 16 = 52$$\n\n$$BC = \\sqrt{52} = 2\\sqrt{13}$$\n\nSinus kąta $\\beta$ przy wierzchołku $B$. Naprzeciw $\\beta$ leży bok $AC$ (przyprostokątna „daleka\" od wierzchołka $B$):\n\n$$\\sin \\beta = \\frac{\\text{naprzeciw}}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\frac{AC}{BC} = \\frac{4}{2\\sqrt{13}} = \\frac{2}{\\sqrt{13}}$$\n\nKlucz — środkowa trójkąta prostokątnego\n\nSpecjalna własność: w trójkącie prostokątnym środkowa z wierzchołka kąta prostego ma długość $\\tfrac{1}{2}$ przeciwprostokątnej.\n\n(Bo wierzchołek kąta prostego leży na okręgu o średnicy = przeciwprostokątna, ze środkiem w środku przeciwprostokątnej. Promień to $\\tfrac{1}{2}$ przeciwprostokątnej.)\n\nTutaj jednak środkowa idzie z innego wierzchołka (z $C$ do środka $AB$), więc ta własność nie ma zastosowania. Trzeba zwykłego Pitagorasa.\n\nTypowy błąd: Klucz 18.1: zrozumieć, że \"środkowa CD\" idzie z C do środka AB (a nie odwrotnie). D leży na AB, AD = 3. Klucz 18.2: nie pomylić, który bok jest naprzeciwko kąta β — przeciwprostokątna BC zawiera B, więc naprzeciwko β leży kąt prosty, a przyprostokątna naprzeciw β to AC.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":null,"topics":"trygonometria w trójkącie prostokątnym, środkowa","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (0-1)\nW układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) proste 𝑘 oraz 𝑙 są określone równaniami\n𝑘: 𝑦= (𝑚-2)𝑥+ 5\n𝑙: 𝑦= -4𝑥+ (𝑚+ 3)\nProste 𝑘 oraz 𝑙 są równoległe, gdy liczba 𝑚 jest równa\nA. (-4)\nB. (-2)\nC. 2\nD. 5","answer":"B","answer_text":"Zadanie 19. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n8.2) bada równoległość […] prostych na\npodstawie ich równań kierunkowych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"Odpowiedź: C — $40°$\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nKlucz — dwa fakty\n\n1. Twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym: kąt środkowy oparty na łuku jest dwa razy większy niż kąt wpisany oparty na tym samym łuku.\n2. Trójkąt utworzony z dwóch promieni (i cięciwy) jest równoramienny — kąty przy podstawie są równe.\n\nKąt wpisany $\\angle BCA = 50°$ jest oparty na łuku $AB$ (tym, który nie zawiera $C$).\n\nKąt środkowy $\\angle BOA$ oparty na tym samym łuku jest dwa razy większy:\n\n$$\\angle AOB = 2 \\cdot \\angle BCA = 2 \\cdot 50° = 100°$$\n\nTrójkąt $AOB$ jest równoramienny — bo $OA = OB$ (oba to promienie okręgu). Kąty przy podstawie $AB$ są równe:\n\n$$\\angle OAB = \\angle OBA$$\n\nSuma kątów trójkąta $AOB$ = $180°$:\n\n$$\\angle AOB + \\angle OAB + \\angle OBA = 180°$$\n\n$$100° + 2 \\cdot \\angle OBA = 180°$$\n\n$$2 \\cdot \\angle OBA = 80° \\quad\\Rightarrow\\quad \\angle OBA = 40°$$\n\nKąt $\\angle ABO$ to to samo co $\\angle OBA$ (te same dwa ramiona, ten sam wierzchołek $B$). Więc:\n\n$$\\angle ABO = 40°$$\n\nKlucz uniwersalny\n\nKażde zadanie „okrąg + kąty + środek\" sprowadza się do dwóch reguł:\n\n1. Kąt środkowy = 2 × kąt wpisany (oba oparte na tym samym łuku)\n2. Trójkąt z dwóch promieni jest równoramienny (kąty przy podstawie równe)\n\nTu zastosowaliśmy obie:\n\n- Z reguły 1: $\\angle AOB = 100°$\n- Z reguły 2: $\\angle OAB = \\angle OBA = (180° - 100°) / 2 = 40°$\n\nTo samo rozwiązanie co dla zad 22 z arkusza 2024 maj PP — identyczny schemat, tylko inne liczby.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to wybór D (50°) — pomylenie kąta ABO z kątem ACB. To DWA RÓŻNE kąty: ACB to kąt wpisany trójkąta ABC, a ABO to kąt w trójkącie AOB (gdzie O to środek okręgu).","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria, kąt środkowy i wpisany","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (0-1)\nW układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest kwadrat 𝐴𝐵𝐶𝐷, w którym 𝐴= (4, -1).\nPrzekątne tego kwadratu przecinają się w punkcie 𝑆= (1, 3).\nPrzekątna kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 ma długość\nA. 5\nB. 7\nC. 10\nD. 14\n60°\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n11\n12\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100","answer":"C","answer_text":"Zadanie 20. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\nZdający:\n8.6) oblicza odległość dwóch punktów.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Odpowiedź: B — $|BD| = 2{,}25 = \\dfrac{9}{4}$\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nKlucz — co znaczy \"trójkąty podobne ABC ~ BDA\"?\n\nNotacja $\\triangle ABC \\sim \\triangle BDA$ oznacza, że odpowiadające sobie wierzchołki są w tej samej kolejności:\n\n$$A \\leftrightarrow B, \\quad B \\leftrightarrow D, \\quad C \\leftrightarrow A$$\n\nA więc odpowiadające sobie boki:\n\n- bok $AB$ (między A i B) ↔ bok $BD$ (między B i D)\n- bok $BC$ (między B i C) ↔ bok $DA$ (między D i A)\n- bok $AC$ (między A i C) ↔ bok $BA$ (między B i A)\n\nZ podobieństwa wynika, że stosunki boków odpowiadających są równe:\n\n$$\\frac{|AB|}{|BD|} = \\frac{|BC|}{|DA|} = \\frac{|AC|}{|BA|}$$\n\nPodstaw znane długości ($|AC| = 4$, $|AB| = 3$, $|BC| = 4$) do pierwszej i ostatniej proporcji:\n\n$$\\frac{|AB|}{|BD|} = \\frac{|AC|}{|BA|}$$\n\n$$\\frac{3}{|BD|} = \\frac{4}{3}$$\n\nRozwiąż na $|BD|$:\n\n$$|BD| = \\frac{3 \\cdot 3}{4} = \\frac{9}{4} = 2{,}25$$\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to przyjęcie złej kolejności wierzchołków w podobieństwie. ABC ~ BDA oznacza A↔B, B↔D, C↔A — z tego wynika konkretna proporcja boków. Pomylenie kolejności daje inne równanie i inny wynik.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria, podobieństwo trójkątów","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (0-1)\nObjętość sześcianu jest równa 729.\nDługość przekątnej tego sześcianu jest równa\nA. 9√3\nB. 9√2\nC. 3√3\nD. 3√2","answer":"A","answer_text":"Zadanie 21. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\nG11.2) oblicza […] objętość graniastosłupa\nprostego […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"Odpowiedź: (1) F (nie jest równoramienny) • (2) P (pole = 33√3) — czyli **F P**\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nKlucz — dwa wzory na trójkąt\n\nDla dowolnego trójkąta o bokach $a$, $b$ i kącie $\\gamma$ między nimi:\n\n- Twierdzenie cosinusów: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \\cos \\gamma$ (trzeci bok)\n- Pole: $P = \\dfrac{1}{2} ab \\sin \\gamma$\n\nTu mamy $a = |AB| = 11$, $b = |BC| = 12$, $\\gamma = \\angle ABC = 60°$ (kąt między tymi bokami). Trzeci bok to $|AC|$.\n\nStwierdzenie (1) — czy trójkąt równoramienny?\n\nOblicz $|AC|$ z twierdzenia cosinusów.\n\n$$|AC|^2 = 11^2 + 12^2 - 2 \\cdot 11 \\cdot 12 \\cdot \\cos 60°$$\n\n$$|AC|^2 = 121 + 144 - 264 \\cdot \\frac{1}{2} = 265 - 132 = 133$$\n\n$$|AC| = \\sqrt{133} \\approx 11{,}53$$\n\nSprawdź, czy są dwa równe boki. Boki: $11$, $12$, $\\sqrt{133}$.\n\n$\\sqrt{133} \\approx 11{,}53$ — nie równa się ani $11$, ani $12$. Trójkąt NIE jest równoramienny.\n\nStwierdzenie (1): FAŁSZ.\n\nStwierdzenie (2) — czy pole = $33\\sqrt{3}$?\n\nZastosuj wzór na pole z dwóch boków i kąta między nimi:\n\n$$P = \\frac{1}{2} \\cdot 11 \\cdot 12 \\cdot \\sin 60° = \\frac{1}{2} \\cdot 132 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2}$$\n\n$$P = 66 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 33\\sqrt{3}$$\n\nStwierdzenie (2): PRAWDA.\n\nKlucz pamięciowy — $\\sin 60° = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2}$\n\nWartość $\\sin 60° = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2}$ jest najczęściej testowana w trójkątach 60°-ch. Pojawia się też w trójkątach równobocznych (każdy kąt 60°) i wielu zadaniach geometrycznych.\n\nRazem z $\\sin 30° = \\tfrac{1}{2}$ i $\\sin 45° = \\tfrac{\\sqrt{2}}{2}$ tworzy zestaw obowiązkowy do zapamiętania.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd w (1): zakładanie, że ABC jest równoramienny \"bo dwa boki blisko siebie wartością\" (11 i 12). Trzeba OBLICZYĆ trzeci bok i sprawdzić. W (2): pomylenie wzoru na pole — używać sinusa kąta MIĘDZY danymi bokami.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria, twierdzenie cosinusów, pole trójkąta","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (0-1)\nDany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆 o podstawie 𝐴𝐵𝐶𝐷.\nDługość krawędzi podstawy tego ostrosłupa jest równa 10. Wysokość tego ostrosłupa jest\ntrzy razy dłuższa od krawędzi podstawy.\nWysokość ściany bocznej poprowadzona z wierzchołka 𝑆 do krawędzi podstawy 𝐴𝐵 tego\nostrosłupa jest równa\nA. 5√10\nB. 5√35\nC. 5√37\nD. 10√2","answer":"C","answer_text":"Zadanie 22. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\nG11.2) oblicza pole powierzchni […]\nostrosłupa […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"Odpowiedź: C — przekątna ma długość $10$\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nKlucz — własność przekątnych kwadratu\n\nW kwadracie przekątne przecinają się w punkcie środkowym — czyli $S$ jest środkiem obu przekątnych. W szczególności $S$ jest środkiem przekątnej $AC$, co oznacza:\n\n$$|AS| = |SC| = \\frac{1}{2} |AC|$$\n\nInaczej: cała przekątna $|AC| = 2 \\cdot |AS|$.\n\nOblicz $|AS|$ z wzoru na odległość punktów $A = (4, -1)$, $S = (1, 3)$:\n\n$$|AS| = \\sqrt{(4 - 1)^2 + (-1 - 3)^2} = \\sqrt{9 + 16} = \\sqrt{25} = 5$$\n\nPrzekątna = 2 × $|AS|$:\n\n$$|AC| = 2 \\cdot 5 = 10$$\n\nKlucz uniwersalny\n\nKażde zadanie „kwadrat / prostokąt / równoległobok + punkt przecięcia przekątnych\" sprowadza się do:\n\n1. Punkt przecięcia $S$ jest środkiem każdej z przekątnych (własność równoległoboku).\n2. Jeśli znasz $A$ i $S$, wyznaczasz $C$ ze wzoru na środek odcinka: $C = 2S - A$.\n3. Długość przekątnej = $2 \\cdot |AS|$.\n\nTu nie musimy nawet znajdować pozostałych wierzchołków $B, C, D$ — wystarcza $|AS|$.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to obliczenie |AS| i wybranie tej wartości jako odpowiedzi. |AS| to POŁOWA przekątnej (bo S to środek przekątnych), więc cała przekątna = 2·|AS|.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":null,"topics":"geometria analityczna, kwadrat, odległość punktów","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (0-1)\nWszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym\nwystępuje dokładnie jeden raz cyfra 0, jest\nA. 45\nB. 50\nC. 54\nD. 81","answer":"A","answer_text":"Zadanie 23. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n10.2) zlicza obiekty w prostych sytuacjach\nkombinatorycznych, niewymagających\nużycia wzorów kombinatorycznych, stosuje\nregułę mnożenia i regułę dodawania.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"Odpowiedź: B — $m = -2$\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nKlucz teoretyczny\n\nDwie proste $y = a_1 x + b_1$ i $y = a_2 x + b_2$ są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy:\n\n$$a_1 = a_2 \\quad\\text{oraz}\\quad b_1 \\neq b_2$$\n\n(równe współczynniki kierunkowe, różne wyrazy wolne — gdyby były równe, proste pokrywałyby się, nie były „równoległe\" w ścisłym sensie).\n\nZidentyfikuj współczynniki kierunkowe.\n\n- $k$: $a_1 = m - 2$\n- $l$: $a_2 = -4$\n\nZastosuj warunek równoległości $a_1 = a_2$:\n\n$$m - 2 = -4 \\quad\\Rightarrow\\quad m = -2$$\n\nSprawdź, czy wyrazy wolne są różne dla $m = -2$.\n\n- $k$: $b_1 = 5$\n- $l$: $b_2 = m + 3 = -2 + 3 = 1$\n\n$5 \\neq 1$ ✓ — proste są różne, więc rzeczywiście równoległe (a nie pokrywające się).\n\nSprawdzenie graficzne\n\nDla $m = -2$:\n\n- $k$: $y = -4x + 5$ (przecina $OY$ w $(0, 5)$, opadająca)\n- $l$: $y = -4x + 1$ (przecina $OY$ w $(0, 1)$, opadająca)\n\nObie mają to samo nachylenie ($-4$), różne wysokości startowe — geometrycznie to dwie proste równoległe, jedna 4 jednostki nad drugą. Idealnie pasuje.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to pomylenie warunku równoległości z warunkiem prostopadłości. Równoległe → współczynniki kierunkowe RÓWNE. Prostopadłe → iloczyn współczynników = -1.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":null,"topics":"geometria analityczna, proste równoległe","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (0-1)\nW pudełku znajdują się wyłącznie kule białe i czerwone. Kule różnią się jedynie kolorem.\nStosunek liczby kul białych do liczby kul czerwonych jest równy 3 ∶5.\nZ pudełka losujemy jedną kulę.\nPrawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe\nA. 3\n8\nB. 3\n5\nC. 5\n8\nD. 2\n5","answer":"A","answer_text":"Zadanie 24. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n10.3) oblicza prawdopodobieństwa\nw prostych sytuacjach, stosując\nklasyczną definicję prawdopodobieństwa.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"Odpowiedź: B — $(x-2)^2 + (y-4)^2 = 20$\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nKlucz — równanie okręgu\n\nOkrąg o środku $S = (a, b)$ i promieniu $r$ ma równanie:\n\n$$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$$\n\nTrzy ważne fakty:\n\n- MINUS w nawiasach (znak przeciwny do znaku współrzędnych środka)\n- po prawej stronie $r^2$ (kwadrat promienia), nie $r$\n- jeśli środek to $(0, 0)$, równanie upraszcza się do $x^2 + y^2 = r^2$\n\nOblicz promień $r$ z faktu, że $P = (0, 0)$ leży na okręgu (czyli $|PS| = r$):\n\n$$r = |PS| = \\sqrt{(0 - 2)^2 + (0 - 4)^2} = \\sqrt{4 + 16} = \\sqrt{20}$$\n\nZapisz równanie z $S = (2, 4)$ i $r^2 = 20$:\n\n$$(x - 2)^2 + (y - 4)^2 = 20$$\n\nTypowy błąd: Dwa typowe błędy: (1) używanie $2\\sqrt{5}$ (czyli promienia) zamiast $20$ (czyli $r^2$) po prawej stronie. (2) Pomylenie znaków: środek $(a, b)$ w równaniu daje $(x-a)^2 + (y-b)^2$, MINUS, nie plus.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":null,"topics":"geometria analityczna, równanie okręgu","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (0-1)\nŚrednia arytmetyczna siedmiu liczb: 1, 2, 3, 4, 5, 𝑥, 𝑦, jest równa 3.\nSuma 𝑥+ 𝑦 jest równa\nA. 4\nB. 5\nC. 6\nD. 7\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100","answer":"C","answer_text":"Zadanie 25. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\nG9.4) wyznacza średnią arytmetyczną […]\nzestawu danych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZADANIA OTWARTE\nUwagi ogólne:\n1. Akceptowane są wszystkie rozwiązania merytorycznie poprawne i spełniające warunki\nzadania.\n2. Jeżeli zdający poprawnie rozwiąże zadanie i otrzyma poprawny wynik, lecz w końcowym\nzapisie przekształca ten wynik i popełnia przy tym błąd, to może uzyskać maksymalną\nliczbę punktów.\n3. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe, które na żadnym etapie rozwiązania nie\nupraszczają i nie zmieniają danego zagadnienia, lecz stosuje poprawną metodę\ni konsekwentnie do popełnionych błędów rachunkowych rozwiązuje zadanie, to może\notrzymać co najwyżej (𝑛-1) punktów (gdzie 𝑛 jest maksymalną możliwą do uzyskania\nliczbą punktów za dane zadanie).","solution":"Odpowiedź: $V = 64\\pi$\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nKlucz — co to \"kąt rozwarcia stożka\"?\n\nKąt rozwarcia stożka to kąt przy wierzchołku w przekroju osiowym — czyli kąt między dwiema przeciwległymi tworzącymi widziany od wierzchołka.\n\nJeśli kąt rozwarcia to $2\\alpha$, to połowa tego kąta to kąt między tworzącą a osią stożka (czyli wysokością):\n\n$$\\alpha = \\frac{\\text{kąt rozwarcia}}{2} = \\frac{120°}{2} = 60°$$\n\nZ trójkąta prostokątnego utworzonego przez:\n\n- oś stożka (wysokość $h$) — pionowa\n- promień podstawy ($r$) — poziomy\n- tworzącą ($l = 8$) — przeciwprostokątna\n\nmamy:\n\n$$\\sin \\alpha = \\frac{r}{l}, \\qquad \\cos \\alpha = \\frac{h}{l}$$\n\nOblicz promień podstawy. $\\alpha = 60°$, $l = 8$.\n\n$$r = l \\sin \\alpha = 8 \\sin 60° = 8 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 4\\sqrt{3}$$\n\nOblicz wysokość.\n\n$$h = l \\cos \\alpha = 8 \\cos 60° = 8 \\cdot \\frac{1}{2} = 4$$\n\nSprawdź Pitagorasem. $r^2 + h^2 = 48 + 16 = 64 = 8^2 = l^2$ ✓\n\nZastosuj wzór na objętość stożka:\n\n$$V = \\frac{1}{3} \\pi r^2 h = \\frac{1}{3} \\pi \\cdot 48 \\cdot 4 = \\frac{192 \\pi}{3} = 64\\pi$$\n\nPunktacja CKE (typowa dla zadań na 3 pkt z obliczeniami)\n\n- 1 pkt — wyznaczenie kąta między tworzącą a osią (lub między tworzącą a podstawą) oraz/lub jednego z parametrów ($r$ lub $h$).\n- 2 pkt — wyznaczenie obu $r$ i $h$.\n- 3 pkt — pełna metoda + wynik $V = 64\\pi$.\n\nKlucz uniwersalny — stożek\n\nKażde zadanie o stożku ma trzy podstawowe wielkości:\n\n- $l$ — tworząca\n- $r$ — promień podstawy\n- $h$ — wysokość\n\nZwiązek Pitagorasem: $l^2 = r^2 + h^2$. Wystarczy znać dwie, żeby obliczyć trzecią.\n\nKąt rozwarcia $2\\alpha$ daje dodatkową relację: $\\sin \\alpha = r/l$, $\\cos \\alpha = h/l$. Jeśli wiesz tylko $l$ i kąt, dostajesz wszystko.\n\nWzory: $V = \\tfrac{1}{3}\\pi r^2 h$, pole boczne $P_b = \\pi r l$, pole całkowite $P = \\pi r (r + l)$.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to pomyłka co to jest \"kąt rozwarcia\". To kąt MIĘDZY DWIEMA TWORZĄCYMI w przekroju osiowym (płaszczyzna przez wierzchołek prostopadła do podstawy). Połowa tego kąta to kąt między tworzącą a osią stożka.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria, stożek, objętość","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa","number":"26","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-2)\nRozwiąż nierówność\n3(2𝑥2 + 1) < 11𝑥\n\nEMAP-P0_100","answer":"A — $9\\sqrt{3}$","answer_text":"Zadanie 26. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n3.5) rozwiązuje nierówności kwadratowe\nz jedną niewiadomą.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i zapisanie zbioru rozwiązań nierówności:\n𝑥∈(1\n3 , 3\n2)\nALBO\n- zastosowanie poprawnej metody i przedstawienie zbioru rozwiązań nierówności\nw postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziału, np.\n1 pkt - obliczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego 6𝑥2 -11𝑥+ 3:\n𝑥1 = 1\n3 oraz 𝑥2 = 3\n2\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający, obliczając pierwiastki trójmianu 6𝑥2 -11𝑥+ 3, popełni błędy (ale otrzyma\ndwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do popełnionych błędów zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego, w przypadku gdy błędnie\nobliczony przez zdającego wyróżnik Δ jest ujemny, to otrzymuje 0 punktów za całe\nrozwiązanie.\n1\n3\n3\n2\n𝑥\n3. Jeżeli zdający rozpatruje inny niż podany w zadaniu trójmian kwadratowy, który nie wynika\nz błędu przekształcenia (np. 3(2𝑥2 + 1)), i w konsekwencji rozpatruje inną nierówność\n(np. 3(2𝑥2 + 1) < 0), to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n4. Jeżeli zdający poda zbiór rozwiązań w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi\nkońcami przedziału i jednocześnie zapisze niewłaściwy przedział jako zbiór rozwiązań\n(np. 𝑥∈[1\n3, 3\n2]), to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\nKryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nJeśli zdający spełni kryterium za 1 punkt, a następnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności\nw postaci (3\n2 , 1\n3), to otrzymuje 2 punkty.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nZapisujemy nierówność w postaci 6𝑥2 -11𝑥+ 3 < 0 i obliczamy miejsca zerowe funkcji\n𝑦= 6𝑥2 -11𝑥+ 3.\nObliczamy wyróżnik trójmianu 6𝑥2 -11𝑥+ 3:\nΔ = (-11)2 -4 ⋅6 ⋅3 = 49\nStąd\n𝑥1 = -(-11) -√49\n2 ⋅6\n= 1\n3\n𝑥2 = -(-11) + √49\n2 ⋅6\n= 3\n2\nSzkicujemy wykres funkcji 𝑦= 6𝑥2 -11𝑥+ 3.\nOdczytujemy argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne.\nZbiorem rozwiązań nierówności jest przedział (1\n3 , 3\n2).\n1\n3\n3\n2\n𝑥\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Odpowiedź: A — $9\\sqrt{3}$\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nKlucz — sześcian i jego przekątne\n\nSześcian o boku $a$ ma:\n\n- Objętość: $V = a^3$\n- Przekątna ściany (na jednej ścianie, łączy przeciwległe wierzchołki kwadratu): $d_{\\text{ściana}} = a\\sqrt{2}$\n- Przekątna sześcianu (przez wnętrze, łączy przeciwległe wierzchołki bryły): $d_{\\text{sześcian}} = a\\sqrt{3}$\n\nWzór $a\\sqrt{3}$ pochodzi z dwukrotnego zastosowania Pitagorasa: najpierw na ścianie ($d_1 = a\\sqrt{2}$), potem do wysokości ($d^2 = d_1^2 + a^2 = 2a^2 + a^2 = 3a^2$).\n\nOblicz bok sześcianu z objętości:\n\n$$a^3 = 729 \\quad\\Rightarrow\\quad a = \\sqrt[3]{729} = 9$$\n\n(bo $9^3 = 729$).\n\nZastosuj wzór na przekątną sześcianu:\n\n$$d = a\\sqrt{3} = 9\\sqrt{3}$$\n\nKlucz pamięciowy\n\nBryła | Bok | Przekątna ściany | Przekątna bryły\nKwadrat (2D) | $a$ | — | $a\\sqrt{2}$\nSześcian (3D) | $a$ | $a\\sqrt{2}$ | $a\\sqrt{3}$\nProstopadłościan $a \\times b \\times c$ | — | — | $\\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$\n\nWzór $\\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ to uogólnienie, działa zawsze. Dla sześcianu $a = b = c$, więc $\\sqrt{3a^2} = a\\sqrt{3}$. Wzór znaleziony.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to pomylenie przekątnej sześcianu z przekątną ściany. Przekątna sześcianu (3D, łączy przeciwległe wierzchołki przez wnętrze) = $a\\sqrt{3}$. Przekątna ściany (2D, na jednej ścianie) = $a\\sqrt{2}$. Pytanie zwykle o tę 3D.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria, sześcian, przekątna","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":"maturaonline","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (0-2)\nWykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥≠0 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦\nprawdziwa jest nierówność\n5𝑥2 + 2𝑦2 > 2𝑥𝑦\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n26.\n27.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-P0_100","answer":"A — $45$","answer_text":"Zadanie 27. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\nZdający:\n2.1) używa wzorów skróconego mnożenia\nna (𝑎± 𝑏)2 oraz 𝑎2 -𝑏2.\nZasady oceniania\n2 pkt - przekształcenie nierówności 5𝑥2 + 2𝑦2 > 2𝑥𝑦 do postaci 4𝑥2 + (𝑥-𝑦)2 + 𝑦2 > 0\noraz powołanie się na założenie i stwierdzenie, że 4𝑥2 jest liczbą dodatnią i suma\n4𝑥2 + (𝑥-𝑦)2 + 𝑦2 jest liczbą dodatnią\n- przekształcenie nierówności 5𝑥2 + 2𝑦2 > 2𝑥𝑦 do postaci (2𝑥-𝑦)2 + (𝑥+ 𝑦)2 > 0\noraz powołanie się na założenie i stwierdzenie, że przynajmniej jeden ze składników\n(2𝑥-𝑦)2 lub (𝑥+ 𝑦)2 jest liczbą dodatnią i suma (2𝑥-𝑦)2 + (𝑥+ 𝑦)2 jest\nliczbą dodatnią,\nALBO\n- obliczenie wyróżnika trójmianu kwadratowego 5𝑥2 -2𝑦𝑥+ 2𝑦2 zmiennej 𝑥 oraz\nuzasadnienie, że jest on niedodatni, oraz uzasadnienie prawdziwości nierówności\n5𝑥2 + 2𝑦2 > 2𝑥𝑦 dla 𝑦= 0,\nALBO\n- obliczenie wyróżnika trójmianu kwadratowego 2𝑦2 -2𝑥𝑦+ 5𝑥2 zmiennej 𝑦 oraz\nuzasadnienie, że ten wyróżnik jest ujemny dla każdego 𝑥≠0.\n1 pkt - przekształcenie nierówności 5𝑥2 + 2𝑦2 > 2𝑥𝑦 do postaci 4𝑥2 + (𝑥-𝑦)2 + 𝑦2 > 0\nALBO\n- przekształcenie nierówności 5𝑥2 + 2𝑦2 > 2𝑥𝑦 do postaci (2𝑥-𝑦)2 + (𝑥+ 𝑦)2 > 0,\nALBO\n- obliczenie wyróżnika Δ trójmianu kwadratowego 5𝑥2 -2𝑦𝑥+ 2𝑦2 zmiennej 𝑥:\nΔ = -36𝑦2,\nALBO\n- obliczenie wyróżnika Δ trójmianu kwadratowego 2𝑦2 -2𝑥𝑦+ 5𝑥2 zmiennej 𝑦:\nΔ = -36𝑥2.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeśli zdający sprawdza prawdziwość nierówności tylko dla wybranych wartości 𝑥 i 𝑦, to\notrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzekształcamy nierówność 5𝑥2 + 2𝑦2 > 2𝑥𝑦 w sposób równoważny:\n5𝑥2 -2𝑥𝑦+ 2𝑦2 > 0\n4𝑥2 + 𝑥2 -2𝑥𝑦+ 𝑦2 + 𝑦2 > 0\n4𝑥2 + (𝑥-𝑦)2 + 𝑦2 > 0\nZ założenia wiadomo, że 𝑥≠0, więc 4𝑥2 jest liczbą dodatnią. Liczby (𝑥-𝑦)2 oraz 𝑦2\nsą nieujemne, zatem suma 4𝑥2 + (𝑥-𝑦)2 + 𝑦2 jest liczbą dodatnią.\nTo należało wykazać.\nSposób II\nPrzekształcamy nierówność 5𝑥2 + 2𝑦2 > 2𝑥𝑦 w sposób równoważny:\n5𝑥2 -2𝑥𝑦+ 2𝑦2 > 0\n4𝑥2 + 𝑥2 -4𝑥𝑦+ 2𝑥𝑦+ 𝑦2 + 𝑦2 > 0\n4𝑥2 -4𝑥𝑦+ 𝑦2 + 𝑥2 + 2𝑥𝑦+ 𝑦2 > 0\n(2𝑥-𝑦)2 + (𝑥+ 𝑦)2 > 0\nZ założenia wiadomo, że 𝑥≠0, więc przynajmniej jeden ze składników (2𝑥-𝑦)2 lub\n(𝑥+ 𝑦)2 jest liczbą dodatnią, zatem suma (2𝑥-𝑦)2 + (𝑥+ 𝑦)2 jest liczbą dodatnią.\nTo należało wykazać.\nSposób III (trójmian kwadratowy zmiennej 𝑥 z parametrem 𝑦)\nPrzekształcamy równoważnie nierówność 5𝑥2 + 2𝑦2 > 2𝑥𝑦 i otrzymujemy:\n5𝑥2 -2𝑦𝑥+ 2𝑦2 > 0\nWyrażenie 5𝑥2 -2𝑦𝑥+ 2𝑦2 traktujemy jako trójmian kwadratowy zmiennej 𝑥.\nObliczamy wyróżnik Δ trójmianu:\nΔ = (-2𝑦)2 -4 ⋅5 ⋅2𝑦2\nΔ = 4𝑦2 -40𝑦2\nΔ = -36𝑦2\nGdy 𝑦≠0, to Δ < 0 i funkcja kwadratowa 𝑓(𝑥) = 5𝑥2 -2𝑦𝑥+ 2𝑦2 zmiennej 𝑥 nie ma\nmiejsc zerowych, a ponieważ współczynnik przy drugiej potędze zmiennej jest dodatni, więc\nwykres funkcji 𝑓 leży powyżej osi odciętych. Zatem funkcja przyjmuje tylko wartości\ndodatnie.\nGdy 𝑦= 0, to Δ = 0 i funkcja 𝑓 ma dokładnie jedno miejsce zerowe: 𝑥= 0. Ponieważ\nwspółczynnik przy drugiej potędze zmiennej jest dodatni, więc żaden fragment wykresu\nfunkcji 𝑓 nie leży poniżej osi odciętych. Zatem funkcja 𝑓 przyjmuje wartości dodatnie dla\nkażdego 𝑥≠0.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nOznacza to, że dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥≠0 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦\nnierówność 5𝑥2 -2𝑦𝑥+ 2𝑦2 > 0 jest prawdziwa.\nZatem nierówność 5𝑥2 + 2𝑦2 > 2𝑥𝑦 również jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej\n𝑥≠0 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦. To należało wykazać.\nSposób IV (trójmian kwadratowy zmiennej 𝑦 z parametrem 𝑥)\nPrzekształcamy równoważnie nierówność 5𝑥2 + 2𝑦2 > 2𝑥𝑦 i otrzymujemy:\n2𝑦2 -2𝑥𝑦+ 5𝑥2 > 0\nWyrażenie 2𝑦2 -2𝑥𝑦+ 5𝑥2 traktujemy jako trójmian kwadratowy zmiennej 𝑦.\nObliczamy wyróżnik Δ trójmianu:\nΔ = (-2𝑥)2 -4 ⋅2 ⋅5𝑥2\nΔ = 4𝑥2 -40𝑥2\nΔ = -36𝑥2\nGdy 𝑥≠0, to Δ < 0 i funkcja kwadratowa 𝑓(𝑦) = 2𝑦2 -2𝑥𝑦+ 5𝑥2 zmiennej 𝑦 nie ma\nmiejsc zerowych, a ponieważ współczynnik przy drugiej potędze zmiennej jest dodatni, więc\nwykres funkcji 𝑓 leży powyżej osi odciętych. Zatem funkcja przyjmuje tylko wartości\ndodatnie.\nOznacza to, że dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥≠0 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦\nnierówność 2𝑦2 -2𝑥𝑦+ 5𝑥2 > 0 jest prawdziwa.\nZatem nierówność 5𝑥2 + 2𝑦2 > 2𝑥𝑦 również jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej\n𝑥≠0 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦. To należało wykazać.","solution":"Odpowiedź: A — $45$\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nKlucz — analiza warunków\n\nTrzy warunki na liczbę:\n\n1. Trzycyfrowa → setki ∈ $\\{1, 2, \\ldots, 9\\}$ (nie 0)\n2. Nieparzysta → jedności ∈ $\\{1, 3, 5, 7, 9\\}$ (nie 0, bo 0 jest parzyste)\n3. Dokładnie jedna cyfra 0 → 0 musi być gdzieś, ale tylko raz\n\nZ (1) i (2) wynika, że setki i jedności nie mogą być zerem. Skoro dokładnie jedno zero ma być — musi być na dziesiątkach.\n\nUstalamy pozycję cyfry 0: na dziesiątkach. To jeden sposób (bez wyboru).\n\nSetki: dowolna cyfra z $\\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\\}$ — 9 możliwości.\n\nJedności: dowolna cyfra nieparzysta z $\\{1, 3, 5, 7, 9\\}$ — 5 możliwości.\n\nWymnóż (reguła mnożenia):\n\n$$9 \\cdot 1 \\cdot 5 = 45$$\n\nKlucz — schemat zliczania liczb naturalnych\n\nProcedura dla zadań „liczby naturalne z warunkami\":\n\n1. Wypisz wszystkie warunki (długość, parzystość, brak/obecność konkretnych cyfr, itd.).\n2. Wywnioskuj ograniczenia każdej pozycji (która cyfra może być gdzie).\n3. Dla każdej pozycji oblicz liczbę możliwości, sprawdzając czy wybory są niezależne.\n4. Wymnóż (reguła mnożenia) — jeśli któreś pozycje są zależne, rozbij na przypadki.\n\nTu wszystko zdziało się jasno: jedna pozycja zerowa (z warunku), dwie pozycje z możliwościami (9 i 5). Mnożenie $9 \\cdot 5 = 45$.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to niezauważenie, że jednoczesne warunki \"trzycyfrowa\", \"nieparzysta\", \"dokładnie jedna cyfra 0\" całkowicie WYZNACZAJĄ, gdzie 0 musi być (na dziesiątkach). Setki ≠ 0 (treść \"trzycyfrowa\"), jedności ≠ 0 (treść \"nieparzysta\") → 0 musi być na dziesiątkach.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":null,"topics":"kombinatoryka, zliczanie liczb","page_from":21,"source":"ocr","answer_source":"maturaonline","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa","number":"28","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (0-2)\nZarząd firmy wydzielił z budżetu kwotę 1 200 000 złotych łącznie na projekty badawcze dla\ndwóch zespołów: A i B. W pierwszym półroczu realizacji tych projektów oba zespoły\nwykorzystały łącznie 146 700 złotych - zespół A wykorzystał 13% przyznanych mu\nśrodków, a zespół B wykorzystał 11% przyznanych mu środków.\nOblicz kwotę przyznaną zespołowi A na realizację projektu badawczego.\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 28. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\nG7.7) za pomocą równań lub układów\nrównań opisuje i rozwiązuje zadania\nosadzone w kontekście praktycznym.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 735 000 zł.\n1 pkt - zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć kwoty przyznane poszczególnym\nzespołom, np.\n𝑥+ 𝑦= 1 200 000 oraz 0,13𝑥+ 0,11𝑦= 146 700,\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą pozwalającego obliczyć kwotę przyznaną\nzespołowi A, np.:\n2% ⋅𝑥= 14 700,\n0,13𝑥+ 0,11 ⋅(1 200 000 -𝑥) = 146 700,\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą pozwalającego obliczyć kwotę przyznaną\nzespołowi B, np.\n0,13 ⋅(1 200 000 -𝑦) + 0,11𝑦= 146 700.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający sprawdza warunki zadania dla wybranych par liczb 𝑥 oraz 𝑦 i wskaże\nwłaściwą odpowiedź, ale nie uzasadni, że jest to jedyne rozwiązanie zadania, to otrzymuje\n1 punkt za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający w rozwiązaniu używa wartości przybliżonych i otrzymuje wynik różny od\n735 000, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nOznaczmy:\n𝑥 - kwota przyznana zespołowi A,\n𝑦 - kwota przyznana zespołowi B.\nPo uwzględnieniu warunków zadania otrzymujemy:\n𝑥+ 𝑦= 1 200 000 oraz 0,13𝑥+ 0,11𝑦= 146 700\nZ pierwszego z tych równań wyznaczamy 𝑦= 1 200 000 -𝑥 i podstawiamy w miejsce 𝑦\ndo drugiego z równań, otrzymując\n0,13𝑥+ 0,11 ⋅(1 200 000 -𝑥) = 146 700\n0,13𝑥+ 132 000 -0,11𝑥= 146 700\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n0,02𝑥= 14 700\n𝑥= 735 000\nZespół A otrzymał 735 000 zł.","solution":"Odpowiedź: D — $\\dfrac{2}{36} = \\dfrac{1}{18}$\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nKlucz — model klasyczny\n\nDwie rzucone kostki → para wyników $(a, b)$, gdzie $a, b \\in \\{1, 2, \\ldots, 6\\}$. Wszystkich par jest $6 \\times 6 = 36$ (każda jednakowo prawdopodobna).\n\nPytamy o liczbę par sprzyjających zdarzeniu $A$: suma = 11.\n\nWypisz wszystkie pary $(a, b)$ z $a + b = 11$.\n\nSprawdzam dla każdego $a$ od 1 do 6, czy $b = 11 - a$ należy do $\\{1, \\ldots, 6\\}$:\n\n- $a = 5$, $b = 6$ ✓\n- $a = 6$, $b = 5$ ✓\n- $a = 1$ do $4$: $b = 10, 9, 8, 7$ — wszystkie powyżej 6, nie pasują\n\nPary sprzyjające: $(5, 6)$, $(6, 5)$. Razem: 2 pary.\n\nOblicz prawdopodobieństwo.\n\n$$P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{2}{36} = \\frac{1}{18}$$\n\nKlucz — tabela sum dla dwóch kostek\n\nDla dwóch kostek symetrycznych liczba par sprzyjających sumie $s$:\n\n$s$ | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12\npar | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1\n\nSumy są symetryczne względem 7 (najbardziej prawdopodobnej). Liczba par dla sumy $s$ = liczba par dla sumy $14 - s$.\n\nTu suma $11 = 14 - 3$, więc liczba par dla $11$ = liczba par dla $3$ = $2$. Mamy odpowiedź w 5 sekund.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to liczenie \"ile par daje sumę 11\" jako wszystkie pary z jakimkolwiek 11 (np. C — 11/36). Trzeba wypisać pary, gdzie suma DOKŁADNIE = 11.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":null,"topics":"prawdopodobieństwo, kostka do gry","page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (0-2)\nWyznacz wszystkie wartości 𝑚, dla których trzywyrazowy ciąg\n(2𝑚+ 11, 𝑚2 + 3, 5 -𝑚)\njest arytmetyczny.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n28.\n29.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-P0_100","answer":"C — $x + y = 6$","answer_text":"Zadanie 29. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n5.3) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz […] ciągu\narytmetycznego.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑚= -2, 𝑚= 5\n2\n1 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑚, np.:\n2𝑚 + 11 + 5 - 𝑚\n2\n= 𝑚2 + 3 lub (𝑚2 + 3) -(2𝑚+ 11) = (5 -𝑚) -(𝑚2 + 3).\nALBO\n- zapisanie układu równań z dwiema niewiadomymi pozwalającego obliczyć 𝑚 i 𝑟, np.\n𝑚2 + 3 = 2𝑚+ 11 + 𝑟 oraz 5 -𝑚= 2𝑚+ 11 + 2𝑟.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający myli ciąg arytmetyczny z geometrycznym, to otrzymuje 0 punktów za całe\nrozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.\n2. Jeżeli zdający nie uwzględnia istotnych nawiasów i rozwiązuje równanie postaci\n(𝑚2 + 3) -2𝑚+ 11 = (5 -𝑚) -𝑚2 + 3, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie,\no ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.\n3. Jeżeli zdający zapisze bez stosownych obliczeń 𝑚= 5\n2 oraz 𝑚= -2 i nie uzasadni, że\nsą to jedyne rozwiązania, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie. Natomiast jeśli poda\ntylko jedną z tych wartości, to otrzymuje 0 punktów.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nZ własności ciągu arytmetycznego otrzymujemy:\n2𝑚+ 11 + 5 -𝑚\n2\n= 𝑚2 + 3\n𝑚+ 16 = 2𝑚2 + 6\n2𝑚2 -𝑚-10 = 0\nObliczamy wyróżnik trójmianu 2𝑚2 -𝑚-10:\nΔ = (-1)2 -4 ⋅2 ⋅(-10) = 81\nStąd\n𝑚1 = -(-1) -√81\n2 ⋅2\n= -2\n𝑚2 = -(-1) + √81\n2 ⋅2\n= 5\n2\nZatem ciąg (2𝑚+ 11, 𝑚2 + 3, 5 -𝑚) jest arytmetyczny dla 𝑚= -2 oraz dla 𝑚= 5\n2\nSposób II\nZ definicji/własności ciągu arytmetycznego otrzymujemy:\n(𝑚2 + 3) -(2𝑚+ 11) = (5 -𝑚) -(𝑚2 + 3)\nStąd\n𝑚2 -2𝑚-8 = -𝑚2 -𝑚+ 2\n2𝑚2 -𝑚-10 = 0\n2𝑚2 + 4𝑚-5𝑚-10 = 0\n2𝑚2 + 4𝑚-5𝑚-10 = 0\n2𝑚(𝑚+ 2) -5(𝑚+ 2) = 0\n(𝑚+ 2)(2𝑚-5) = 0\n𝑚+ 2 = 0 lub 2𝑚-5 = 0\n𝑚= -2 lub 𝑚= 5\n2\nZatem ciąg (2𝑚+ 11, 𝑚2 + 3, 5 -𝑚) jest arytmetyczny dla 𝑚= -2 oraz dla 𝑚= 5\n2\nSposób III\nZe wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego otrzymujemy:\n{ 𝑚2 + 3 = 2𝑚+ 11 + 𝑟\n5 -𝑚= 2𝑚+ 11 + 2𝑟\ngdzie 𝑟 jest różnicą ciągu arytmetycznego. Stąd\n{ 2𝑚2 + 6 = 4𝑚+ 22 + 2𝑟\n5 -𝑚= 2𝑚+ 11 + 2𝑟\nOdejmujemy równania stronami i otrzymujemy:\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n2𝑚2 + 6 -5 + 𝑚= 4𝑚+ 22 + 2𝑟-2𝑚-11 -2𝑟\n2𝑚2 -𝑚-10 = 0\nObliczamy wyróżnik trójmianu 2𝑚2 -𝑚-10:\nΔ = (-1)2 -4 ⋅2 ⋅(-10) = 81\nStąd\n𝑚1 = -(-1) -√81\n2 ⋅2\n= -2\n𝑚2 = -(-1) + √81\n2 ⋅2\n= 5\n2\nZatem ciąg (2𝑚+ 11, 𝑚2 + 3, 5 -𝑚) jest arytmetyczny dla 𝑚= -2 oraz dla 𝑚= 5\n2","solution":"Odpowiedź: C — $x + y = 6$\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nKlucz — wzór na średnią arytmetyczną\n\n$$\\overline{x} = \\frac{\\text{suma elementów}}{\\text{liczba elementów}}$$\n\nStąd: suma = średnia × liczba elementów.\n\nOblicz sumę wszystkich siedmiu liczb ze średniej.\n\n$$\\text{suma} = 3 \\cdot 7 = 21$$\n\nOblicz sumę pięciu znanych liczb.\n\n$$1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$$\n\nWyznacz $x + y$ jako resztę:\n\n$$x + y = 21 - 15 = 6$$\n\nKlucz pamięciowy\n\nKażde zadanie „średnia + suma\" ma dwa kroki:\n\n1. Suma całości = średnia × liczba elementów\n2. Brakująca część = suma całości − suma znanych\n\nDwa działania, w 10 sekund.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: zsumowanie \"1+2+3+4+5 = 15\" i pisanie \"x+y = 7·3 - 15 = 21 - 15 = 6\", ale czasem ktoś wpisuje 5·3 = 15 zamiast 7·3 = 21 (myli liczbę elementów).","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":null,"topics":"statystyka, średnia arytmetyczna","page_from":23,"source":"ocr","answer_source":"maturaonline","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (0-2)\nNa diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej\nliczącej 24 uczniów. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy,\na na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.\nOblicz średnią arytmetyczną oraz medianę ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez\nuczniów tej klasy.\n0\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n1\n2\n3\n4\n5\n6\nliczba\nuczniów\nocena\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\nZdający:\nG9.4) wyznacza średnią arytmetyczną\ni medianę zestawu danych.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawne wyniki: 𝑥= 4,25 oraz 𝑀𝑒= 4,5.\n1 pkt - obliczenie średniej arytmetycznej ocen: 𝑥= 4,25\nALBO\n- obliczenie mediany ocen: 𝑀𝑒= 4,5.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nObliczamy średnią arytmetyczną ocen:\n𝑥= 1 ⋅1 + 3 ⋅2 + 4 ⋅3 + 4 ⋅4 + 5 ⋅5 + 7 ⋅6\n24\n= 102\n24 = 4,25\nMedianą ciągu 24 ocen uporządkowanego niemalejąco jest średnia arytmetyczna dwóch\nśrodkowych wyrazów tego ciągu (tzn. średnia arytmetyczna wyrazów dwunastego\ni trzynastego). Zatem\n𝑀𝑒= 4 + 5\n2\n= 4,5","solution":"Odpowiedź: (1) Mediana = $4{,}5$ • (2) Dominanta = $6$\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nKlucz — mediana vs dominanta\n\nMediana to wartość środkowa po posortowaniu zbioru danych:\n\n- Dla parzystej liczby elementów ($n$): średnia z pozycji $\\tfrac{n}{2}$ i $\\tfrac{n}{2}+1$.\n- Dla nieparzystej: pozycja $\\tfrac{n+1}{2}$.\n\nDominanta (moda) to wartość najczęściej występująca (z największym słupkiem).\n\nDane\n\nLiczba uczniów: $1 + 3 + 4 + 4 + 5 + 7 = 24$.\n\nOcena | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6\nLiczba uczniów | 1 | 3 | 4 | 4 | 5 | 7\nSkumulowana | 1 | 4 | 8 | 12 | 17 | 24\n\nMediana\n\nLiczba uczniów = 24 (parzysta) → mediana = średnia z 12. i 13. wartości po posortowaniu.\n\nZlokalizuj 12. i 13. pozycję w tabeli skumulowanej.\n\n- Pozycje 1: ocena 1\n- Pozycje 2–4: ocena 2\n- Pozycje 5–8: ocena 3\n- Pozycje 9–12: ocena 4\n- Pozycje 13–17: ocena 5\n- Pozycje 18–24: ocena 6\n\n12. uczeń ma ocenę 4, 13. uczeń ma ocenę 5.\n\nOblicz medianę.\n\n$$\\text{Mediana} = \\frac{4 + 5}{2} = \\frac{9}{2} = 4{,}5$$\n\nDominanta\n\nZ tabeli najwyższa liczba uczniów to 7, dla oceny 6. Stąd:\n\n$$\\text{Dominanta} = 6$$\n\nPunktacja CKE\n\n- 1 pkt za każde poprawnie wypełnione zdanie → razem 2 pkt.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to pomylenie mediany z dominantą. Mediana = środkowa wartość po posortowaniu. Dominanta = NAJCZĘSTSZA wartość. To dwie różne rzeczy.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":null,"topics":"statystyka, mediana i dominanta","page_from":24,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (0-2)\nDane są dwa zbiory: 𝑋= {1, 3, 5, 7, 9} oraz 𝑌= {2, 4, 6, 8}.\nLosujemy jedną liczbę ze zbioru 𝑋, a następnie losujemy jedną liczbę ze zbioru 𝑌\ni tworzymy uporządkowaną parę liczb (𝑥, 𝑦), gdzie 𝑥 jest liczbą wylosowaną ze zbioru 𝑋\noraz 𝑦 jest liczbą wylosowaną ze zbioru 𝑌.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 polegającego na tym, że suma 𝑥+ 𝑦\nwylosowanych liczb będzie liczbą podzielną przez 3.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n30.\n31.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 31. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n10.3) oblicza prawdopodobieństwa\nw prostych sytuacjach, stosując klasyczną\ndefinicję prawdopodobieństwa.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐴\ni uzyskanie poprawnego wyniku: 𝑃(𝐴) = 7\n20\n1 pkt - wypisanie wszystkich zdarzeń elementarnych LUB obliczenie/podanie liczby tych\nzdarzeń: |Ω| = 5 ⋅4, LUB sporządzenie tabeli o 20 polach odpowiadających\nzdarzeniom elementarnym, LUB sporządzenie pełnego drzewa stochastycznego\nALBO\n- wypisanie (lub zaznaczenie w tabeli) wszystkich zdarzeń elementarnych\nsprzyjających zdarzeniu 𝐴 i niewypisanie żadnego niewłaściwego,\nALBO\n- podanie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴:\n|𝐴| = 7, o ile nie zostały zliczone błędne pary,\nALBO\n- sporządzenie fragmentu drzewa stochastycznego, który zawiera wszystkie gałęzie\nsprzyjające zdarzeniu 𝐴, oraz zapisanie prawdopodobieństwa na co najmniej\njednym odcinku każdego z etapów doświadczenia,\nALBO\n- podanie prawdopodobieństwa jednoelementowego zdarzenia (elementarnego): 1\n20\n,\nALBO\n- zapisanie tylko 𝑃(𝐴) = 7\n20\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający zapisuje tylko liczby 7 lub 20 i z rozwiązania nie wynika znaczenie tych\nliczb, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑥, 𝑦), gdzie\n𝑥∈{1, 3, 5, 7, 9} oraz 𝑦∈{2, 4, 6, 8}.\nLiczbę wszystkich zdarzeń elementarnych obliczamy z wykorzystaniem reguły mnożenia.\nMoc zbioru Ω jest równa 5 ⋅4 = 20.\nZdarzeniu 𝐴 sprzyjają następujące zdarzenia elementarne:\n(1, 2), (1, 8), (3, 6), (5, 4), (7, 2), (7, 8), (9, 6), więc moc zbioru 𝐴 jest równa 7.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZatem prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe 7\n20 .\nSposób II\nW tabeli literą 𝒜 zaznaczamy zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu 𝐴 (pary liczb,\nktórych suma jest liczbą podzielną przez 3).\n2\n4\n6\n8\n1\n𝒜\n𝒜\n3\n𝒜\n5\n𝒜\n7\n𝒜\n𝒜\n9\n𝒜\nMoc zbioru Ω jest równa 20.\nZdarzeń sprzyjających wylosowaniu liczb, których suma jest podzielna przez 3, jest 7.\nZatem prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe 7\n20 .\n𝑌\n𝑋","solution":"Odpowiedź: $P(x) = -2x^2 + 22x + 88$, dziedzina $x \\in (0, 11)$, max dla $x = 5{,}5$ (gdzie $P_{\\max} = 148{,}5$).\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nKlucz — wierzchołek prostopadłościanu\n\nZ każdego wierzchołka prostopadłościanu wychodzą trzy krawędzie, prostopadłe parami. Z wierzchołka $B$ wychodzą:\n\n- $AB$ (długość $x$ — szukamy)\n- $BC$ (długość $4$ — dana)\n- $BF$ (wysokość prostopadłościanu — oznaczę $y$)\n\nWyznacz $y$ z warunku sumy\n\nSuma krawędzi z $B$: $x + 4 + y = 15$, więc:\n\n$$y = 11 - x$$\n\nDziedzina: oba wymiary $x$ i $y$ muszą być dodatnie (długości boków).\n\n$$x > 0 \\quad\\text{oraz}\\quad y > 0$$\n\n$x > 0$ trywialnie. $y = 11 - x > 0$ daje $x < 11$.\n\n$$\\text{Dziedzina}: x \\in (0, 11)$$\n\nWyznacz wzór $P(x)$\n\nPole całkowite prostopadłościanu o wymiarach $a \\times b \\times c$ to:\n\n$$P = 2(ab + bc + ca)$$\n\n(sześć ścian, parami równe: dwie o polu $ab$, dwie $bc$, dwie $ca$).\n\nPodstaw $a = x$, $b = 4$, $c = y = 11 - x$:\n\n$$P = 2 \\cdot \\left[ x \\cdot 4 + 4 \\cdot (11 - x) + (11 - x) \\cdot x \\right]$$\n\nUprość każdy człon:\n\n- $x \\cdot 4 = 4x$\n- $4 \\cdot (11 - x) = 44 - 4x$\n- $(11 - x) \\cdot x = 11x - x^2$\n\nSuma: $4x + 44 - 4x + 11x - x^2 = -x^2 + 11x + 44$.\n\nPomnóż przez 2:\n\n$$P(x) = 2 \\cdot (-x^2 + 11x + 44) = -2x^2 + 22x + 88$$\n\nWyznacz $x$ dla maksimum pola\n\nFunkcja $P(x) = -2x^2 + 22x + 88$ to funkcja kwadratowa z ujemnym współczynnikiem przy $x^2$ → parabola otwiera się w dół → maksimum w wierzchołku.\n\nWspółrzędna $x$ wierzchołka:\n\n$$x_w = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{22}{2 \\cdot (-2)} = -\\frac{22}{-4} = \\frac{22}{4} = 5{,}5$$\n\nSprawdź, że $x_w = 5{,}5$ leży w dziedzinie $(0, 11)$. Tak ✓.\n\nOblicz wartość maksymalną (opcjonalnie):\n\n$$P(5{,}5) = -2 \\cdot (5{,}5)^2 + 22 \\cdot 5{,}5 + 88$$\n\n$(5{,}5)^2 = 30{,}25$, więc:\n\n$$P_{\\max} = -60{,}5 + 121 + 88 = 148{,}5$$\n\nSprawdzenie geometryczne\n\nDla $x = 5{,}5$: $y = 11 - 5{,}5 = 5{,}5$. Wymiary prostopadłościanu: $5{,}5 \\times 4 \\times 5{,}5$.\n\nCzyli $x = y$ — co intuicyjnie ma sens: przy ustalonej sumie boków pole jest maksymalizowane, gdy wymiary są wyrównane (analog do „kwadrat ma największe pole spośród prostokątów o ustalonym obwodzie\").\n\nPunktacja CKE\n\n- 1 pkt — zapisanie zależności $y = 11 - x$ (lub $x + y = 11$).\n- 2 pkt — zapisanie wzoru funkcji $P(x) = -2x^2 + 22x + 88$ (lub równoważnej).\n- 3 pkt — dodatkowo wyznaczenie dziedziny $(0, 11)$.\n- 4 pkt — pełne rozwiązanie + obliczenie $x = 5{,}5$ z uzasadnieniem (np. współrzędna wierzchołka paraboli).\n\nKlucz uniwersalny\n\nKażde zadanie „optymalizacja z prostopadłościanu / prostokąta\" sprowadza się do:\n\n1. Zidentyfikuj zmienne (zwykle dwie, np. $x$ i $y$).\n2. Wyłap warunek wiążący ($x + y = c$ lub $xy = c$ — z treści).\n3. Wyraź jedną zmienną przez drugą.\n4. Wyraź funkcję celu (pole / objętość / koszty) jako funkcję jednej zmiennej.\n5. Wyznacz dziedzinę — kiedy obie zmienne mają sens?\n6. Znajdź ekstremum — wierzchołek paraboli (dla kwadratowej) lub pochodna (dla wyższych stopni).\n7. Sprawdź, czy ekstremum jest w dziedzinie.\n\nSchemat sprawdzony na maturze podstawowej i rozszerzonej.\n\nTypowy błąd: CKE wprost: jeśli pominiesz wyznaczenie dziedziny — maksimum 3 pkt zamiast 4. Drugi błąd: niedoczytanie, że krawędzie wychodzące z B to AB, BC, BF (trzy różne kierunki) — niektórzy biorą tylko dwie krawędzie.","image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":null,"topics":"optymalizacja, funkcja kwadratowa, prostopadłościan","page_from":25,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa","number":"32","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (0-4)\nFunkcja kwadratowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐.\nZbiorem wartości funkcji 𝑓 jest przedział (-∞, 6⟩. Parabola, która jest wykresem funkcji 𝑓,\nprzechodzi przez punkty 𝐴= (-1, 3) i 𝐵= (5, 3).\nOblicz wartość współczynnika 𝑐.\n\nEMAP-P0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n32.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 32. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n4.9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na\npodstawie pewnych informacji o tej funkcji\nlub o jej wykresie.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑐= 14\n3\n3 pkt - zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-2)2 + 6 oraz obliczenie\nwspółczynnika 𝑎: 𝑎= -1\n3\nALBO\n- zapisanie układu trzech niezależnych równań z trzema niewiadomymi 𝑎, 𝑏, 𝑐\nprowadzącego do obliczenia wartości współczynników 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐, np.:\n𝑎⋅(-1)2 + 𝑏⋅(-1) + 𝑐= 3 oraz\n𝑎⋅52 + 𝑏⋅5 + 𝑐= 3 oraz\n-(𝑏2-4𝑎𝑐)\n4𝑎\n= 6\nlub\n𝑎⋅(-1)2 + 𝑏⋅(-1) + 𝑐= 3 oraz\n𝑎⋅52 + 𝑏⋅5 + 𝑐= 3 oraz\n𝑎⋅22 + 𝑏⋅2 + 𝑐= 6\nALBO\n- zapisanie wzoru funkcji 𝑔 w postaci 𝑔(𝑥) = 𝑎(𝑥+ 1)(𝑥-5) oraz obliczenie\nwspółczynnika 𝑎: 𝑎= -1\n3\nALBO\n- zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥+ 1)(𝑥-5) + 3 oraz obliczenie\nwspółczynnika 𝑎: 𝑎= -1\n3\n2 pkt - zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-2)2 + 6\nALBO\n- zapisanie, że rzędna 𝑞 wierzchołka paraboli jest równa 6: 𝑞= 6, oraz zapisanie\njednego z równań:\n𝑎⋅(-1)2 + 𝑏⋅(-1) + 𝑐= 3 lub 𝑎⋅52 + 𝑏⋅5 + 𝑐= 3, lub -𝑏\n2𝑎= 2,\nALBO\n- zapisanie układu dwóch równań z trzema niewiadomymi 𝑎, 𝑏, 𝑐, z których jedno\njest którymś z równań\n-(𝑏2-4𝑎𝑐)\n4𝑎\n= 6 lub 𝑎⋅22 + 𝑏⋅2 + 𝑐= 6,\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nnatomiast drugie jest jednym z równań\n𝑎⋅(-1)2 + 𝑏⋅(-1) + 𝑐= 3 lub 𝑎⋅52 + 𝑏⋅5 + 𝑐= 3, lub -𝑏\n2𝑎= 2,\nALBO\n- zapisanie wzoru funkcji 𝑔 w postaci 𝑔(𝑥) = 𝑎(𝑥+ 1)(𝑥-5) oraz obliczenie\nwspółrzędnych wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji 𝑔: 𝑊𝑔= (2, 3),\nALBO\n- zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥+ 1)(𝑥-5) + 3 oraz obliczenie\nwspółrzędnych wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji 𝑓: 𝑊𝑓= (2, 6).\n1 pkt - zapisanie, że rzędna 𝑞 wierzchołka paraboli jest równa 6: 𝑞= 6,\nALBO\n- zapisanie, że odcięta 𝑝 wierzchołka paraboli jest równa 2: 𝑝= 2,\nALBO\n- zapisanie jednego równania z niewiadomymi 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐 wynikającego z treści\nzadania, np. 𝑎⋅(-1)2 + 𝑏⋅(-1) + 𝑐= 3,\nALBO\n- zapisanie wzoru funkcji 𝑔 w postaci 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) -3 oraz zapisanie wzoru funkcji\n𝑔 w postaci 𝑔(𝑥) = 𝑎(𝑥+ 1)(𝑥-5).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający błędnie przyjmie współrzędne wierzchołka paraboli 𝑊= (6, 2), to za całe\nrozwiązanie otrzymuje 0 punktów, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.\n2. Jeżeli zdający poprawnie obliczy/poda obie współrzędne wierzchołka paraboli, ale zapisze\nbłędne równanie 3 = 𝑎(-1 + 2)2 + 6 lub 3 = 𝑎(5 + 2)2 + 6, a następnie\nkonsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje 2 punkty\nza całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający poprawnie zidentyfikuje miejsca zerowe funkcji 𝑔, ale zapisze błędne\nrównanie 3 = 𝑎(2 -1)(2 + 5) lub 3 = 𝑎(2 -1)(2 -5) lub 3 = 𝑎(2 + 1)(2 + 5),\na następnie konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to\notrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie.\n4. Jeżeli zdający poprawnie zidentyfikuje miejsca zerowe funkcji 𝑔, ale zapisze błędne\nrównanie 6 = 𝑎(2 + 1)(2 -5), to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie (za\nwyznaczenie pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli).\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nParabola, która jest wykresem funkcji 𝑓, przechodzi przez punkty 𝐴= (-1, 3) i 𝐵= (5, 3).\nPunkty 𝐴 i 𝐵 mają równe rzędne, więc są symetryczne względem osi symetrii tej paraboli,\nstąd odcięta 𝑝 wierzchołka tej paraboli jest równa -1+5\n2\n= 2.\nPonieważ zbiorem wartości funkcji 𝑓 jest przedział (-∞, 6⟩, więc rzędna 𝑞 wierzchołka\nparaboli jest równa 6. Zatem wierzchołek 𝑊 paraboli ma współrzędne 𝑊= (2, 6).\nKorzystamy ze wzoru na postać kanoniczną funkcji kwadratowej i zapisujemy:\n𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-2)2 + 6, gdzie 𝑎≠0\nPunkt (-1, 3) leży na wykresie funkcji 𝑓, więc\n𝑓(-1) = 3\n𝑎(-1 -2)2 + 6 = 3\n9𝑎= -3\n𝑎= -1\n3\nZatem 𝑓(𝑥) = -1\n3 (𝑥-2)2 + 6.\nObliczamy wartość współczynnika 𝑐:\n𝑐= 𝑓(0) = -1\n3 (0 -2)2 + 6 = -4\n3 + 6 = 14\n3\nSposób II\nParabola, która jest wykresem funkcji 𝑓, przechodzi przez punkty 𝐴= (-1, 3) i 𝐵= (5, 3),\nwięc\n{ 𝑓(-1) = 3\n𝑓(5) = 3\n{ 𝑎⋅(-1)2 + 𝑏⋅(-1) + 𝑐= 3\n𝑎⋅52 + 𝑏⋅5 + 𝑐= 3\n{ 𝑎-𝑏+ 𝑐= 3\n25𝑎+ 5𝑏+ 𝑐= 3\nOdejmując równania stronami, otrzymujemy:\n(𝑎-𝑏+ 𝑐) -(25𝑎+ 5𝑏+ 𝑐) = 3 -3\n-24𝑎-6𝑏= 0\n𝑏= -4𝑎\nPonieważ zbiorem wartości funkcji 𝑓 jest przedział (-∞, 6⟩, więc rzędna 𝑞 wierzchołka\nparaboli jest równa 6.\nStąd\n-∆\n4𝑎= 6\n-(𝑏2 -4𝑎𝑐)\n4𝑎\n= 6\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPodstawiamy do ostatniego równania w miejsce 𝑏 wyrażenie (-4𝑎) i otrzymujemy:\n-((-4𝑎)2 -4𝑎𝑐)\n4𝑎\n= 6\n4𝑎⋅(-4𝑎+ 𝑐)\n4𝑎\n= 6\n-4𝑎+ 𝑐= 6\n𝑎= 𝑐-6\n4\nZ uzyskanych wcześniej równań 𝑎-𝑏+ 𝑐= 3, 𝑏= -4𝑎 oraz 𝑎= 𝑐-6\n4 obliczamy 𝑐:\n𝑎-𝑏+ 𝑐= 3\n𝑎+ 4𝑎+ 𝑐= 3\n5𝑎+ 𝑐= 3\n5 (𝑐-6\n4\n) + 𝑐= 3\n5𝑐-30 + 4𝑐= 12\n9𝑐= 42\n𝑐= 42\n9 = 14\n3\nSposób III\nPunkty 𝐴 i 𝐵 mają równe rzędne, więc są symetryczne względem osi symetrii tej paraboli,\nstąd odcięta 𝑝 wierzchołka tej paraboli jest równa -1+5\n2\n= 2.\nPonieważ zbiorem wartości funkcji 𝑓 jest przedział (-∞, 6⟩, więc rzędna 𝑞 wierzchołka\nparaboli jest równa 6. Zatem wierzchołek 𝑊 paraboli ma współrzędne 𝑊= (2, 6).\nPunkty (-1, 3), (5, 3), (2, 6) leżą na wykresie funkcji 𝑓, zatem\n{\n𝑓(-1) = 3\n𝑓(5) = 3\n𝑓(2) = 6\n{\n𝑎⋅(-1)2 + 𝑏⋅(-1) + 𝑐= 3\n𝑎⋅52 + 𝑏⋅5 + 𝑐= 3\n𝑎⋅22 + 𝑏⋅2 + 𝑐= 6\n{\n𝑎-𝑏+ 𝑐= 3\n25𝑎+ 5𝑏+ 𝑐= 3\n4𝑎+ 2𝑏+ 𝑐= 6\n{\n𝑏= 𝑎+ 𝑐-3\n25𝑎+ 5𝑏+ 𝑐= 3\n4𝑎+ 2𝑏+ 𝑐= 6\n{ 25𝑎+ 5(𝑎+ 𝑐-3) + 𝑐= 3\n4𝑎+ 2(𝑎+ 𝑐-3) + 𝑐= 6\n{ 25𝑎+ 5𝑎+ 5𝑐-15 + 𝑐= 3\n4𝑎+ 2𝑎+ 2𝑐-6 + 𝑐= 6\n{ 30𝑎+ 6𝑐= 18\n6𝑎+ 3𝑐= 12\n{ 5 ⋅6𝑎+ 6𝑐= 18\n6𝑎= -3𝑐+ 12\nStąd\n5 ⋅(-3𝑐+ 12) + 6𝑐= 18\n-15𝑐+ 60 + 6𝑐= 18\n-9𝑐= -42\n𝑐= -42\n-9 = 14\n3\nSposób IV\nParabola, która jest wykresem funkcji 𝑓, przechodzi przez punkty 𝐴= (-1, 3) i 𝐵= (5, 3).\nPunkty 𝐴 i 𝐵 mają równe rzędne, więc są symetryczne względem osi symetrii tej paraboli.\nZatem odcięta 𝑝 wierzchołka tej paraboli jest równa\n𝑝= -1 + 5\n2\n= 2\nStąd\n-𝑏\n2𝑎= 2\n𝑏= -4𝑎\nPonieważ zbiorem wartości funkcji 𝑓 jest przedział (-∞, 6⟩, więc rzędna 𝑞 wierzchołka\nparaboli jest równa 6.\nStąd\n-∆\n4𝑎= 6\n-(𝑏2 -4𝑎𝑐)\n4𝑎\n= 6\nPodstawiamy do ostatniego równania w miejsce 𝑏 wyrażenie (-4𝑎) i otrzymujemy:\n-((-4𝑎)2 -4𝑎𝑐)\n4𝑎\n= 6\n4𝑎⋅(-4𝑎+ 𝑐)\n4𝑎\n= 6\n-4𝑎+ 𝑐= 6\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑐= 4𝑎+ 6\nPunkt 𝐴= (-1, 3) leży na wykresie funkcji 𝑓, zatem\n𝑓(-1) = 3\n𝑎⋅(-1)2 + 𝑏⋅(-1) + 𝑐= 3\n𝑎-𝑏+ 𝑐= 3\nZ uzyskanych równań obliczamy 𝑎:\n𝑎-(-4𝑎) + 4𝑎+ 6 = 3\n9𝑎= -3\n𝑎= -1\n3\nZatem\n𝑐= 4𝑎+ 6 = 4 ⋅(-1\n3) + 6 = -4\n3 + 6 = 14\n3\nSposób V\nRozważmy funkcję kwadratową 𝑔 określoną dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 wzorem\n𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) -3.\nWykres funkcji 𝑔 przechodzi przez punkty (-1, 0) i (5, 0), więc miejscami zerowymi funkcji\n𝑔 są liczby (-1) oraz 5. Zatem wzór funkcji 𝑔 możemy zapisać w postaci iloczynowej\n𝑔(𝑥) = 𝑎(𝑥+ 1)(𝑥-5).\nZbiorem wartości funkcji 𝑔 jest przedział (-∞, 3⟩, więc rzędna 𝑞 wierzchołka paraboli,\nktóra jest wykresem funkcji 𝑔, jest równa 3.\nOdcięta 𝑝 wierzchołka tej paraboli jest równa -1+5\n2\n= 2.\nPonieważ 𝑔(2) = 3, więc\n𝑎(2 + 1)(2 -5) = 3\n-9𝑎= 3\n𝑎= -1\n3\nZapisujemy wzór funkcji 𝑔 w postaci ogólnej\n𝑔(𝑥) = -1\n3 (𝑥+ 1)(𝑥-5) = -1\n3 (𝑥2 -4𝑥-5) = -1\n3 𝑥2 + 4\n3 𝑥+ 5\n3\nZapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci ogólnej\n𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) + 3 = -1\n3 𝑥2 + 4\n3 𝑥+ 5\n3 + 3 = -1\n3 𝑥2 + 4\n3 𝑥+ 14\n3\nStąd otrzymujemy wartość szukanego współczynnika: 𝑐= 14\n3","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":26,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa","number":"33","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (0-4)\nTworząca stożka ma długość 8. Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę 120°.\nOblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego stożka.\n\nEMAP-P0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n33.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 33. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n9.3) rozpoznaje […] w stożkach kąt między\nodcinkami oraz kąt między odcinkami\ni płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka,\nkąt między tworzącą a podstawą) […];\n9.6) stosuje trygonometrię do obliczeń\ndługości odcinków, miar kątów, pól\npowierzchni i objętości.\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawna metoda obliczenia objętości i pola powierzchni całkowitej stożka oraz\npoprawne wyniki: 𝑉= 64𝜋 i 𝑃𝑐= 48𝜋+ 32𝜋√3.\n3 pkt - obliczenie objętości stożka: 𝑉= 64𝜋\nALBO\n- zapisanie wysokości stożka: 𝐻= 4 oraz obliczenie pola powierzchni całkowitej\nstożka: 𝑃𝑐= 48𝜋+ 32𝜋√3,\nALBO\n- zapisanie objętości stożka w zależności od tworzącej 𝑙, np. 𝑉= 1\n3 𝜋(𝑙√3\n2 )\n2\n⋅𝑙\n2 oraz\nobliczenie pola powierzchni całkowitej stożka: 𝑃𝑐= 48𝜋+ 32𝜋√3.\n2 pkt - zapisanie promienia podstawy stożka: 𝑟= 4√3 oraz zapisanie wysokości\nstożka: 𝐻= 4\nALBO\n- obliczenie kwadratu promienia podstawy stożka: 𝑟2 = 48 oraz zapisanie wysokości\nstożka: 𝐻= 4,\nALBO\n- obliczenie pola powierzchni całkowitej stożka: 𝑃𝑐= 48𝜋+ 32𝜋√3,\nALBO\n- zapisanie wysokości stożka: 𝐻= 4 oraz wyznaczenie objętości stożka\nw zależności od 𝐻, np. 𝑉= 1\n3 𝜋(𝐻√3)\n2 ⋅𝐻,\nALBO\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n- zapisanie promienia podstawy stożka: 𝑟= 4√3 oraz wyznaczenie objętości stożka\nw zależności od 𝑟, np. 𝑉= 1\n3 𝜋𝑟2 ⋅𝑟\n√3 ,\nALBO\n- wyznaczenie objętości stożka w zależności od tworzącej 𝑙, np. 𝑉= 1\n3 𝜋(𝑙√3\n2 )\n2\n⋅𝑙\n2 .\n1 pkt - zapisanie promienia podstawy stożka: 𝑟= 4√3\nALBO\n- zapisanie wysokości stożka: 𝐻= 4,\nALBO\n- obliczenie kwadratu promienia podstawy stożka: 𝑟2 = 48,\nALBO\n- zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć 𝑟 oraz 𝐻, np.:\n𝑟= 𝑥√3 oraz 𝐻= 𝑥 oraz 𝑙= 2𝑥 oraz 𝑙= 8,\n𝑟\n8 = sin 60° oraz 𝐻\n8 = cos 60°,\n1\n2 ⋅2𝑟⋅𝐻= 1\n2 ⋅8 ⋅8 ⋅sin 120° oraz 𝑟2 + 𝐻2 = 82,\n(2𝑟)2 = 82 + 82 -2 ⋅8 ⋅8 ⋅cos 120° oraz 𝑟2 + 𝐻2 = 82,\nALBO\n- wyznaczenie objętości stożka w zależności od 𝐻, np. 𝑉= 1\n3 𝜋(𝐻√3)\n2 ⋅𝐻,\nALBO\n- wyznaczenie objętości stożka w zależności od 𝑟, np. 𝑉= 1\n3 𝜋𝑟2 ⋅𝑟\n√3 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający przyjmuje w rozwiązaniu, że:\na) trójkąt 𝑆𝑂𝐵 jest trójkątem równobocznym,\nb) wysokość stożka jest równa 8, lub\nc) promień podstawy stożka jest równy 8,\nto otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli jedynym błędem zdającego jest:\na) zastosowanie niepoprawnej definicji jednej funkcji trygonometrycznej,\nb) błędne zastosowanie twierdzenia Pitagorasa,\nc) błędne zastosowanie twierdzenia cosinusów,\nd) zastosowanie niepoprawnej tożsamości √𝑥2 + 𝑦2 = 𝑥+ 𝑦,\ne) błędne zastosowanie własności trójkąta o kątach 30°, 60°, 90° (tzn. zapisanie,\nże promień podstawy stożka jest równy 4 i wysokość stożka jest równa 4√3 ),\nlub\nf) przyjęcie, że kąt 120° to kąt wycinka koła o promieniu 8 tworzącego\npowierzchnię boczną stożka,\ni rozwiązanie zostanie doprowadzone konsekwentnie do końca, to zdający może otrzymać\nco najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za konsekwentne obliczenie objętości i pola\npowierzchni całkowitej stożka).\nJeżeli zdający popełni więcej niż jeden z wymienionych błędów a)-f), to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów (np. za\nzapisanie wysokości stożka: 𝐻= 4).\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzyjmujemy oznaczenia jak na rysunku,\nprzedstawiającym przekrój osiowy\nrozważanego stożka:\n𝑆 - wierzchołek stożka,\n𝑂 - spodek wysokości stożka,\n𝑟 - promień podstawy stożka,\n𝐻 - wysokość stożka.\nZauważamy, że 𝑟> 0 i 𝐻> 0.\nPonieważ 𝑂 jest spodkiem wysokości stożka, to |∡𝑂𝑆𝐵| = 60°.\nW trójkącie prostokątnym 𝑂𝐵𝑆 mamy\nsin 60° = |𝑂𝐵|\n|𝑆𝐵| = 𝑟\n8\nZatem\n𝑟= 8 ⋅sin 60° = 8 ⋅√3\n2 = 4√3\nPonadto\ncos 60° =\n|𝑆𝑂|\n|𝑆𝐵| = 𝐻\n8\nStąd\n𝐻= 8 ⋅cos 60° = 8 ⋅1\n2 = 4\nObliczamy objętość 𝑉 stożka:\n𝑉= 1\n3 ⋅𝜋⋅𝑟2 ⋅𝐻= 1\n3 ⋅𝜋⋅(4√3)\n2 ⋅4 = 64𝜋\nObliczamy pole powierzchni całkowitej 𝑃𝑐 stożka:\n𝑃𝑐= 𝜋⋅𝑟⋅(𝑟+ 𝑙) = 𝜋⋅4√3 ⋅(4√3 + 8) = 48𝜋+ 32𝜋√3\n120°\n60°\n𝐴\n𝑂\n𝑆\n𝐵\n8\n𝑟\n𝐻\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób II\nPrzyjmujemy oznaczenia jak na rysunku,\nprzedstawiającym przekrój osiowy\nrozważanego stożka:\n𝑆 - wierzchołek stożka,\n𝑂 - spodek wysokości stożka,\n𝑟 - promień podstawy stożka,\n𝐻 - wysokość stożka.\nZauważamy, że 𝑟> 0 i 𝐻> 0.\nKorzystamy z twierdzenia cosinusów dla trójkąta 𝐴𝐵𝑆 i otrzymujemy:\n(2𝑟)2 = 82 + 82 -2 ⋅8 ⋅8 ⋅cos 120°\n4𝑟2 = 128 -128 ⋅cos 120°\nPonieważ cos 120° = -cos 60° = -1\n2 , więc\n4𝑟2 = 128 -128 ⋅(-1\n2)\n4𝑟2 = 192\n𝑟2 = 48\n𝑟= 4√3\nKorzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝑂𝐵𝑆 i obliczamy wysokość stożka:\n𝐻2 = 82 -𝑟2\n𝐻2 = 64 -48\n𝐻2 = 16\n𝐻= 4\nObliczamy objętość 𝑉 stożka:\n𝑉= 1\n3 ⋅𝜋⋅𝑟2 ⋅𝐻= 1\n3 ⋅𝜋⋅48 ⋅4 = 64𝜋\nObliczamy pole powierzchni całkowitej 𝑃𝑐 stożka:\n𝑃𝑐= 𝜋⋅𝑟⋅(𝑟+ 𝑙) = 𝜋⋅4√3 ⋅(4√3 + 8) = 48𝜋+ 32𝜋√3\n120°\n𝐴\n𝑂\n𝑆\n𝐵\n8\n𝑟\n𝐻\nSposób III\nPrzyjmujemy oznaczenia jak na rysunku,\nprzedstawiającym przekrój osiowy\nrozważanego stożka:\n𝑆 - wierzchołek stożka,\n𝑂 - spodek wysokości stożka,\n𝑟 - promień podstawy stożka,\n𝐻 - wysokość stożka.\nZauważamy, że 𝑟> 0 i 𝐻> 0.\nPole trójkąta 𝐴𝐵𝑆 jest równe\n𝑃𝐴𝐵𝑆= 1\n2 ⋅8 ⋅8 ⋅sin 120° = 32 ⋅sin 60° = 32 ⋅√3\n2 = 16√3\nZatem\n1\n2 ⋅2𝑟⋅𝐻= 16√3\nstąd\n𝑟⋅𝐻= 16√3\nKorzystamy z twierdzenia cosinusów dla trójkąta 𝐴𝐵𝑆 i otrzymujemy:\n(2𝑟)2 = 82 + 82 -2 ⋅8 ⋅8 ⋅cos 120°\n4𝑟2 = 128 -128 ⋅(-cos 60°)\n4𝑟2 = 128 -128 ⋅(-1\n2)\n4𝑟2 = 192\n𝑟2 = 48\n𝑟= 4√3\nObliczamy objętość 𝑉 stożka:\n𝑉= 1\n3 ⋅𝜋⋅𝑟2 ⋅𝐻= 1\n3 ⋅𝜋⋅𝑟⋅𝑟⋅𝐻= 1\n3 ⋅𝜋⋅4√3 ⋅16√3 = 64𝜋\nObliczamy pole powierzchni całkowitej 𝑃𝑐 stożka:\n𝑃𝑐= 𝜋⋅𝑟⋅(𝑟+ 𝑙) = 𝜋⋅4√3 ⋅(4√3 + 8) = 48𝜋+ 32𝜋√3\n120°\n𝐴\n𝑂\n𝑆\n𝐵\n8\n𝑟\n𝐻\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":28,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa","number":"34","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 34. (0-5)\nW układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (-2, -1), 𝐵= (0, 0) oraz 𝐶= (4, 8)\nsą wierzchołkami trapezu prostokątnego 𝐴𝐵𝐶𝐷 o podstawach 𝐴𝐵 i 𝐶𝐷.\nKąt 𝐷𝐴𝐵 jest prosty.\nOblicz współrzędne punktu 𝐷 oraz długość odcinka 𝐵𝐷.\n\nEMAP-P0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n34.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\n\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2015\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2015\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2015","answer":null,"answer_text":"Zadanie 34. (0-5)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n8.1) wyznacza równanie prostej\nprzechodzącej przez dwa dane punkty\n(w postaci kierunkowej lub ogólnej);\n8.3) wyznacza równanie prostej, która jest\nrównoległa lub prostopadła do prostej danej\nw postaci kierunkowej i przechodzi przez\ndany punkt;\n8.4) oblicza współrzędne punktu przecięcia\ndwóch prostych;\n8.6) oblicza odległość dwóch punktów.\nZasady oceniania\n5 pkt - poprawna metoda obliczenia współrzędnych punktu 𝐷 oraz długości odcinka 𝐵𝐷\noraz podanie poprawnych wyników: 𝐷= (-22\n5 , 19\n5 ), |𝐵𝐷| = 13√5\n5\n4 pkt - obliczenie współrzędnych punktu 𝐷: 𝐷= (-22\n5 , 19\n5 )\nALBO\n- obliczenie długości odcinka 𝐵𝐷: |𝐵𝐷| = |𝐴𝐸| = 13√5\n5\n3 pkt - zapisanie równania prostej 𝐴𝐷, np. 𝑦= -2𝑥-5 oraz zapisanie równania prostej\n𝐶𝐷, np. 𝑦= 1\n2 𝑥+ 6\nALBO\n- zapisanie równania, w którym niewiadomą jest jedna ze współrzędnych punktu 𝐷, np.\n|1 ⋅𝑥𝑑-2 ⋅(-2𝑥𝑑-5) + 0|\n√12 + (-2)2\n= 12\n√5\n,\nALBO\n- obliczenie odległości 𝑑 punktu 𝐶 od prostej 𝐴𝐵: 𝑑= 12\n√5\noraz obliczenie\ndługości odcinka 𝐴𝐵: |𝐴𝐵| = √5 .\n2 pkt - zapisanie równania prostej 𝐴𝐷, np. 𝑦= -2𝑥-5\nALBO\n- zapisanie równania prostej 𝐶𝐷, np. 𝑦= 1\n2 𝑥+ 6,\nALBO\n- obliczenie odległości 𝑑 punktu 𝐶 od prostej 𝐴𝐵: 𝑑= 12\n√5\n1 pkt - obliczenie współczynnika kierunkowego prostej 𝐴𝐵 (lub 𝐶𝐷): 𝑎𝐴𝐵= 1\n2\n(lub 𝑎𝐶𝐷= 1\n2)\nALBO\n- zapisanie równania prostej 𝐴𝐵 w postaci ogólnej: 𝑥-2𝑦= 0.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli jedynym błędem zdającego jest:\na) zastosowanie niepoprawnego wzoru na współczynnik kierunkowy prostej,\nb) zastosowanie niepoprawnego związku między współczynnikami kierunkowymi\nprostych równoległych,\nc) zastosowanie niepoprawnego związku między współczynnikami kierunkowymi\nprostych prostopadłych, lub\nd) zastosowanie niepoprawnego wzoru na odległość punktu od prostej,\ni rozwiązanie zostanie doprowadzone konsekwentnie do końca, to zdający może otrzymać\nco najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.\nJeżeli zdający popełni więcej niż jeden z wymienionych błędów a)-d), to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nObliczamy współczynnik kierunkowy prostej 𝐴𝐵:\n𝑎𝐴𝐵= 0 -(-1)\n0 -(-2) = 1\n2\nProsta 𝐶𝐷 jest równoległa do prostej 𝐴𝐵, zatem współczynnik kierunkowy prostej 𝐶𝐷 jest\nrówny 1\n2\n. Wyznaczamy równanie prostej 𝐶𝐷:\n𝑦= 1\n2 (𝑥-4) + 8\n𝑦= 1\n2 𝑥+ 6\nProsta 𝐴𝐷 jest prostopadła do prostej 𝐴𝐵, zatem współczynnik kierunkowy prostej 𝐴𝐷\njest równy (-2). Wyznaczamy równanie prostej 𝐴𝐷:\n𝑦= -2(𝑥+ 2) -1\n𝑦= -2𝑥-5\nPunkt 𝐷 jest punktem wspólnym prostych 𝐶𝐷 i 𝐴𝐷, zatem współrzędne tego punktu są\nrozwiązaniem układu równań\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n{ 𝑦= 1\n2 𝑥+ 6\n𝑦= -2𝑥-5\nStąd\n1\n2 𝑥+ 6 = -2𝑥-5\n5\n2 𝑥= -11\n𝑥= -22\n5\n𝑦= -2 ⋅(-22\n5 ) -5 = 19\n5\nZatem 𝐷= (-22\n5 , 19\n5 ).\nObliczamy długość odcinka 𝐵𝐷:\n|𝐵𝐷| = √(-22\n5 -0)\n2\n+ (19\n5 -0)\n2\n= √484\n25 + 361\n25 = √845\n25 = 13√5\n5\nSposób II\nWyznaczamy równanie prostej 𝐴𝐵:\n(𝑦+ 1)(0 + 2) -(0 + 1)(𝑥+ 2) = 0\n2𝑦+ 2 -𝑥-2 = 0\n𝑥-2𝑦= 0\n𝑦= 1\n2 𝑥\nProsta 𝐴𝐷 jest prostopadła do prostej 𝐴𝐵, zatem współczynnik kierunkowy prostej 𝐴𝐷\njest równy (-2). Wyznaczamy równanie prostej 𝐴𝐷:\n𝑦= -2(𝑥+ 2) -1\n𝑦= -2𝑥-5\nPunkt 𝐷 leży na tej prostej, stąd 𝑦𝑑= -2𝑥𝑑-5.\nObliczamy odległość 𝑑 punktu 𝐶 od prostej 𝐴𝐵:\n𝑑= |1 ⋅4 -2 ⋅8 + 0|\n√12 + (-2)2\n= 12\n√5\nOdległość punktu 𝐷 od prostej 𝐴𝐵 jest także równa 12\n√5\n, stąd otrzymujemy równanie\n|1 ⋅𝑥𝑑-2 ⋅(-2𝑥𝑑-5) + 0|\n√12 + (-2)2\n= 12\n√5\n|5 ⋅𝑥𝑑+ 10|\n√5\n= 12\n√5\n5 ⋅|𝑥𝑑+ 2| = 12\n|𝑥𝑑+ 2| = 12\n5\n𝑥𝑑+ 2 = 12\n5 lub 𝑥𝑑+ 2 = -12\n5\n(𝑥𝑑= 2\n5 i 𝑦𝑑= -2 ⋅2\n5 -5 = -29\n5 ) lub (𝑥𝑑= -22\n5 i 𝑦𝑑= -2 ⋅(-22\n5 ) -5 = 19\n5 )\nPunkt 𝐷 leży po tej samej stronie prostej 𝐴𝐵 co punkt 𝐶, zatem 𝐷= (-22\n5 , 19\n5 ).\nObliczamy długość odcinka 𝐵𝐷:\n|𝐵𝐷| = √(-22\n5 -0)\n2\n+ (19\n5 -0)\n2\n= √484\n25 + 361\n25 = √845\n25 = 13√5\n5\nSposób III\nWyznaczamy równanie prostej 𝐴𝐵:\n(𝑦+ 1)(0 + 2) -(0 + 1)(𝑥+ 2) = 0\n2𝑦+ 2 -𝑥-2 = 0\n𝑥-2𝑦= 0\n𝑦= 1\n2 𝑥\nObliczamy odległość 𝑑 punktu 𝐶 od prostej 𝐴𝐵:\n𝑑= |1 ⋅4 -2 ⋅8 + 0|\n√12 + (-2)2\n= 12\n√5\nOznaczmy przez 𝐸 rzut prostokątny punktu 𝐵 na prostą 𝐶𝐷. Wtedy\n|𝐵𝐸| = 𝑑= 12\n√5\nObliczamy długość odcinka 𝐴𝐵:\n|𝐴𝐵| = √(0 + 2)2 + (0 + 1)2 = √4 + 1 = √5\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nKorzystamy z twierdzenia Pitagorasa i obliczamy długość odcinka 𝐴𝐸:\n|𝐴𝐸|2 = |𝐴𝐵|2 + |𝐵𝐸|2\n|𝐴𝐸|2 = (√5)\n2 + (12\n√5\n)\n2\n|𝐴𝐸|2 = 5 + 144\n5\n= 169\n5\n|𝐴𝐸| = √169\n5\n= 13\n√5\n= 13√5\n5\nZatem\n|𝐵𝐷| = |𝐴𝐸| = 13√5\n5\nProsta 𝐴𝐷 jest prostopadła do prostej 𝐴𝐵, zatem współczynnik kierunkowy prostej 𝐴𝐷\njest równy (-2). Wyznaczamy równanie prostej 𝐴𝐷:\n𝑦= -2(𝑥+ 2) -1\n𝑦= -2𝑥-5\nPunkt 𝐷 leży na tej prostej, stąd 𝑦𝑑= -2𝑥𝑑-5.\nObliczamy współrzędne punktu 𝐷:\n√(𝑥𝑑-0)2 + (𝑦𝑑-0)2 = 13√5\n5\n√𝑥𝑑\n2 + (-2𝑥𝑑-5)2 = 13√5\n5\n𝑥𝑑\n2 + (-2𝑥𝑑-5)2 = 169\n5\n𝑥𝑑\n2 + 4𝑥𝑑\n2 + 20𝑥𝑑+ 25 = 169\n5\n25𝑥𝑑\n2 + 100𝑥𝑑+ 125 = 169\n25𝑥𝑑\n2 + 110𝑥𝑑-10𝑥𝑑-44 = 0\n5𝑥𝑑(5𝑥𝑑+ 22) -2(5𝑥𝑑+ 22) = 0\n(5𝑥𝑑-2)(5𝑥𝑑+ 22) = 0\n5𝑥𝑑-2 = 0 lub 5𝑥𝑑+ 22 = 0\n(𝑥𝑑= 2\n5 i 𝑦𝑑= -2 ⋅2\n5 -5 = -29\n5 ) lub (𝑥𝑑= -22\n5 i 𝑦𝑑= -2 ⋅(-22\n5 ) -5 = 19\n5 )\nPunkt 𝐷 leży po tej samej stronie prostej 𝐴𝐵 co punkt 𝐶, zatem 𝐷= (-22\n5 , 19\n5 ).\nOcena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią\nObowiązują Zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez\nstwierdzonej dyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:\na) ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną\ndyskalkulią (punkty 1.-12.);\nb) dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy\nosób ze stwierdzoną dyskalkulią - egzamin maturalny z matematyki, poziom podstawowy,\ntermin główny 2025.\nI. Ogólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną\ndyskalkulią\n1. Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek, wynikających z:\nbłędnego przepisania\nprzestawienia cyfr\nzapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie\nprzestawienia położenia przecinka\nprzestawienia położenia znaku liczby.\n2. W przypadku błędów, wynikających ze zmiany znaku liczby, należy w każdym zadaniu\noddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza\numiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania\nbadanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.\n3. We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę rozwiązania,\nczęści lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej 1 punkt, zgodnie\nz kryteriami do poszczególnych zadań.\n4. Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub zapisuje\nnawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne rozumowanie lub\nstosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt za rozwiązanie\nzadania.\n5. W przypadku zadania wymagającego wyznaczenia pierwiastków trójmianu\nkwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę\nwyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania\nwartościach liczbowych.\n6. W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający\nmoże otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności\nkwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.\n7. W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej zdający\nmoże otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji kwadratowej,\nistotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.\n8. W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych\nlub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie\ntakiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n9. W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na\npłaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu\nrozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur\ngeometrycznych lub zapisze zależności, pozwalające rozwiązać zadanie.\n10. W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać\nprzynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających\nrozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje prawidłową metodę\nwyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.\n11. W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli\npodaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia\nrozwiązania.\n12. W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub\ngeometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która\nwyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać\n1 punkt.\nII. Dodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób\nze stwierdzoną dyskalkulią\nZadanie 26.\n1 pkt - zastosowanie poprawnej metody obliczenia pierwiastków trójmianu kwadratowego\n6𝑥2 -11𝑥+ 3, tzn. zastosowanie wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego\ni obliczenie tych pierwiastków\nALBO\n- konsekwentne (do otrzymanego w wyniku popełnienia błędów o charakterze\ndyskalkulicznym ujemnego wyróżnika) narysowanie paraboli,\nALBO\n- poprawne rozwiązanie nierówności 3(2𝑥2 + 1) < 0 (tzn. stosuje się punkt 6.\nogólnych zasad oceniania),\nALBO\n- konsekwentne (do wyznaczonych przez siebie pierwiastków oraz rozpatrywanego\ntrójmianu i nierówności) wyznaczenie zbioru rozwiązań nierówności.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający, rozwiązując nierówność, pomyli porządek liczb na osi liczbowej i zapisze\nzbiór rozwiązań nierówności w postaci (3\n2 , 1\n3), to może otrzymać 2 punkty za całe\nrozwiązanie.\n2. Nie stosuje się uwag 2. i 3. z zasad oceniania arkusza standardowego.\n3. Akceptowane jest zapisanie pierwiastków trójmianu w postaci 𝑎+ 𝑏√𝑐, gdzie 𝑎, 𝑏, 𝑐 są\nliczbami wymiernymi.\nZadanie 27.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 28.\n1 pkt - zapisanie równania 13% ⋅𝑥+ 11% ⋅𝑦= 146 700.\nZadanie 29.\n1 pkt - zapisanie równania z dwiema niewiadomymi: 𝑚 oraz 𝑟 (gdzie 𝑟 jest różnicą ciągu\narytmetycznego), np. 2𝑚+ 11 + 𝑟= 𝑚2 + 3.\nZadanie 30.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 31.\n1 pkt - zapisanie jedynie liczby 20 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich\nzdarzeń elementarnych).\nUwagi:\n1. W ocenie rozwiązania tego zadania (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi ze\nstandardowych zasad oceniania.\n2. Jeżeli zdający poprawnie wypisze/zaznaczy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające\nzdarzeniu 𝐴, lecz popełni błąd w ich zliczeniu (np. |𝐴| = 6) i konsekwentnie zapisze\nwynik (np. 6\n20), to otrzymuje 2 punkty.\nZadanie 32.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 33.\n1 pkt - zastosowanie definicji funkcji trygonometrycznej lub związków miarowych w trójkącie\no kątach 30°, 60°, 90° i zapisanie równania z jedną niewiadomą (wysokością stożka\nlub promieniem podstawy stożka), np.: 𝐻\n8 = cos 60°, 𝑟\n8 =\n√3\n2 .\nZadanie 34.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-podstawowa/zad-34.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":30,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}