{"paper":{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","variant":"stara","exam_pdf":"matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona/matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona.pdf","key_pdf":"matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona-odpowiedzi/matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona-odpowiedzi.pdf","question_count":15,"source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/1","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1. (0-1)\nSuma wszystkich pierwiastków wielomianu 𝑊(𝑥) = 𝑥3 + 5𝑥2 -7𝑥-11 jest równa\nA. (-5)\nB. (-3)\nC. 3\nD. 5","answer":"A","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nWymagania określone w podstawie programowej1\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n3.5R) stosuje twierdzenie o pierwiastkach\nwymiernych wielomianu o współczynnikach\ncałkowitych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/2","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2. (0-1)\nFunkcja 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 5𝑥 + 6\n𝑥2 + 9\ndla każdej liczby rzeczywistej 𝑥.\nZbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja 𝑓 przyjmuje wartości dodatnie, jest\nA. (2, 3)\nB. (-3, -2)\nC. (-∞, -2) ∪(3, +∞)\nD. (-∞, -3) ∪(-2, +∞)","answer":"D","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n3.8R) rozwiązuje proste nierówności\nwymierne […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD\n1 Rozporządzenie Ministra Edukacji Narodowej z dnia 27 sierpnia 2012 r. w sprawie podstawy programowej\nwychowania przedszkolnego oraz kształcenia ogólnego w poszczególnych typach szkół (Dz.U. 2012 poz. 977).\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/3","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3. (0-1)\nWartość wyrażenia cos 7𝜋\n6 ⋅tg 4𝜋\n3 jest równa\nA. (-3\n2)\nB. (-\n√3\n2 )\nC. 1\n2\nD. 3\n2","answer":"A","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n6.2R) […] wyznacza wartości funkcji sinus,\ncosinus i tangens dowolnego kąta […]\n(przez sprowadzenie do przypadku kąta\nostrego).\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/4","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4. (0-1)\nGranica lim\n𝑥→2\n𝑥3- 8\n2𝑥2 + 2𝑥 - 12 jest równa\nA. 2\n5\nB. 4\n5\nC. 6\n5\nD. 12\n5\n\nEMAP-R0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-R0_100","answer":"C","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n11.1R) oblicza granice funkcji […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC\nZADANIE OTWARTE (KODOWANE)","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"5","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (0-2)\nSąsiednie boki równoległoboku mają długość 6 i 9. Pole tego równoległoboku jest\nrówne 18. Oblicz długość dłuższej przekątnej tego równoległoboku.\nW poniższe kratki wpisz kolejno - od lewej do prawej - cyfrę dziesiątek, cyfrę jedności\ni pierwszą cyfrę po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-R0_100","answer":"1","answer_text":"Zadanie 5. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n7.5R) znajduje związki miarowe w figurach\npłaskich z zastosowaniem twierdzenia\nsinusów i twierdzenia cosinusów.\nZasady oceniania\n2 pkt - odpowiedź całkowicie poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\n1\n4\n7\nZADANIA OTWARTE (NIEKODOWANE)\nUwagi ogólne:\n1. Akceptowane są wszystkie rozwiązania merytorycznie poprawne i spełniające warunki\nzadania.\n2. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe, które na żadnym etapie rozwiązania nie\nupraszczają i nie zmieniają danego zagadnienia, lecz stosuje poprawną metodę\ni konsekwentnie do popełnionych błędów rachunkowych rozwiązuje zadanie, to może\notrzymać co najwyżej (𝑛-1) punktów (gdzie 𝑛 jest maksymalną możliwą do uzyskania\nliczbą punktów za dane zadanie).\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"6","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (0-3)\nWykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej 𝑎 i dla każdej dodatniej liczby\nrzeczywistej 𝑏 takich, że 𝑏≠1\n2 𝑎, prawdziwa jest nierówność\n(𝑎+ 2𝑏)3 > 8𝑎2𝑏+ 16𝑎𝑏2\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n5.\n6.\nMaks. liczba pkt\n2\n3\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 6. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\nZdający:\n2.1R) używa wzorów skróconego mnożenia\nna (𝑎± 𝑏)3 oraz 𝑎3 ± 𝑏3.\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania (tj. spełnienie\nkryterium za 2 punkty oraz zapisanie, że 𝑎+ 2𝑏> 0 oraz uzasadnienie, że dla liczb\nspełniających warunek 𝑏≠1\n2 𝑎 zachodzi (𝑎-2𝑏)2 > 0).\n2 pkt - przekształcenie nierówności do postaci (𝑎-2𝑏)2(𝑎+ 2𝑏) > 0\nALBO\n- przekształcenie nierówności do postaci (𝑎-2𝑏)2 > 0,\nALBO\n- uzasadnienie, że funkcja 𝑓 osiąga wartość najmniejszą dla 𝑎= 2𝑏.\n1 pkt - zastosowanie wzoru na sześcian sumy i przekształcenie nierówności do postaci\n𝑎2(𝑎-2𝑏) -4𝑏2(𝑎-2𝑏) > 0\nALBO\n- przekształcenie nierówności do postaci (𝑎+ 2𝑏)[(𝑎+ 2𝑏)2 -8𝑎𝑏] > 0,\nALBO\n- przekształcenie nierówności do postaci (𝑎+ 2𝑏)2 > 8𝑎𝑏,\nALBO\n- rozważenie funkcji 𝑓(𝑎) = 𝑎3 -2𝑏𝑎2 -4𝑏2𝑎+ 8𝑏3 określonej dla 𝑎> 0 oraz\nobliczenie pochodnej tej funkcji i miejsca zerowego tej pochodnej:\n𝑓′(𝑎) = 3𝑎2 -4𝑏𝑎-4𝑏2 oraz 𝑎= 2𝑏.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga.\nJeżeli zdający sprawdza prawdziwość nierówności jedynie dla wybranych wartości 𝑎 i 𝑏, to\notrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzekształcamy równoważnie nierówność, korzystając ze wzoru na sześcian sumy:\n(𝑎+ 2𝑏)3 > 8𝑎2𝑏+ 16𝑎𝑏2\n𝑎3 + 6𝑎2𝑏+ 12𝑎𝑏2 + 8𝑏3 -8𝑎2𝑏-16𝑎𝑏2 > 0\n𝑎3 -2𝑎2𝑏-4𝑎𝑏2 + 8𝑏3 > 0\n𝑎2(𝑎-2𝑏) -4𝑏2(𝑎-2𝑏) > 0\n(𝑎-2𝑏)(𝑎2 -4𝑏2) > 0\n(𝑎-2𝑏)2(𝑎+ 2𝑏) > 0\nZ założenia 𝑎> 0 i 𝑏> 0, więc 𝑎+ 2𝑏> 0.\nPonieważ 𝑏≠1\n2 𝑎, więc 𝑎-2𝑏≠0 i wtedy (𝑎-2𝑏)2 > 0 jako kwadrat liczby\nrzeczywistej różnej od zera.\nZatem (𝑎-2𝑏)2(𝑎+ 2𝑏) jest dodatnie jako iloczyn liczb dodatnich, więc nierówność\n(𝑎-2𝑏)2(𝑎+ 2𝑏) > 0 jest prawdziwa dla każdej liczby dodatniej 𝑎 i każdej liczby\ndodatniej 𝑏 takich, że 𝑏≠1\n2 𝑎. To oznacza, że również nierówność\n(𝑎+ 2𝑏)3 > 8𝑎2𝑏+ 16𝑎𝑏2 jest prawdziwa dla każdej dla każdej liczby dodatniej 𝑎\ni każdej liczby dodatniej 𝑏 takich, że 𝑏≠1\n2 𝑎. To należało wykazać.\nSposób II\nPrzekształcamy równoważnie nierówność, korzystając ze wzorów na kwadrat sumy i różnicy:\n(𝑎+ 2𝑏)3 > 8𝑎2𝑏+ 16𝑎𝑏2\n(𝑎+ 2𝑏)3 > 8𝑎𝑏(𝑎+ 2𝑏)\n(𝑎+ 2𝑏)3 -8𝑎𝑏(𝑎+ 2𝑏) > 0\n(𝑎+ 2𝑏)[(𝑎+ 2𝑏)2 -8𝑎𝑏] > 0\n(𝑎+ 2𝑏)(𝑎2 -4𝑎𝑏+ 4𝑏2) > 0\n(𝑎-2𝑏)2(𝑎+ 2𝑏) > 0\nZ założenia 𝑎> 0 i 𝑏> 0, więc 𝑎+ 2𝑏> 0.\nPonieważ 𝑏≠1\n2 𝑎, więc 𝑎-2𝑏≠0 i wtedy (𝑎-2𝑏)2 > 0 jako kwadrat liczby\nrzeczywistej różnej od zera.\nZatem (𝑎-2𝑏)2(𝑎+ 2𝑏) jest dodatnie jako iloczyn liczb dodatnich, więc nierówność\n(𝑎-2𝑏)2(𝑎+ 2𝑏) > 0 jest prawdziwa dla każdej liczby dodatniej 𝑎 i każdej liczby\ndodatniej 𝑏 takich, że 𝑏≠1\n2 𝑎. To oznacza, że również nierówność\n(𝑎+ 2𝑏)3 > 8𝑎2𝑏+ 16𝑎𝑏2 jest prawdziwa dla każdej dla każdej liczby dodatniej 𝑎\ni każdej liczby dodatniej 𝑏 takich, że 𝑏≠1\n2 𝑎. To należało wykazać.\nSposób III\nNiech 𝑓 będzie funkcją określoną wzorem 𝑓(𝑎) = (𝑎+ 2𝑏)3 -8𝑎2𝑏-16𝑎𝑏2 dla\nkażdego 𝑎∈(0, +∞).\nObliczamy pochodną funkcji 𝑓 oraz jej miejsca zerowe:\n𝑓′(𝑎) = 3(𝑎+ 2𝑏)2 -16𝑏𝑎-16𝑏2\n3𝑎2 + 12𝑎𝑏+ 12𝑏2 -16𝑏𝑎-16𝑏2 = 0 ∧ 𝑎> 0\n3𝑎2 -4𝑏𝑎-4𝑏2 = 0 ∧ 𝑎> 0\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n(𝑎= -2\n3 𝑏 ∨ 𝑎= 2𝑏) ∧ 𝑎> 0\nGdy 𝑏> 0, to 𝑓′(𝑎) > 0 dla 𝑎∈(2𝑏, +∞) oraz 𝑓′(𝑎) < 0 dla 𝑎∈(0, 2𝑏). Zatem przy\n𝑏 dodatnim funkcja 𝑓 jest malejąca w przedziale (0, 2𝑏] oraz rosnąca w przedziale\n[2𝑏, +∞), czyli funkcja 𝑓 osiąga wartość najmniejszą dla argumentu dodatniego 𝑎= 2𝑏.\nTa najmniejsza wartość jest równa 𝑓(2𝑏) = (2𝑏+ 2𝑏)3 -8 ⋅(2𝑏)2 ⋅𝑏-16 ⋅2𝑏⋅𝑏2 = 0.\nZatem dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej 𝑎 i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej 𝑏\ntakich, że 𝑎≠2𝑏, prawdziwa jest nierówność\n(𝑎+ 2𝑏)3 -8𝑎2𝑏-16𝑎𝑏2 > 0\nTo należało wykazać.","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"7","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (0-3)\nW trójkącie równobocznym 𝐴𝐵𝐶 punkt 𝐷 leży na boku 𝐵𝐶. Stosunek pola trójkąta 𝐴𝐵𝐷\ndo pola trójkąta 𝐴𝐷𝐶 jest równy\n√3 - 1\n2\nWykaż, że miara kąta 𝐷𝐴𝐶 jest równa 45°.\n\nEMAP-R0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n7.\nMaks. liczba pkt\n3\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 7. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\nZdający:\n7.4) korzysta z własności funkcji\ntrygonometrycznych w łatwych obliczeniach\ngeometrycznych, w tym ze wzoru na pole\ntrójkąta ostrokątnego o danych dwóch\nbokach i kącie między nimi\nZasady oceniania (dla sposobów I oraz VI)\n3 pkt - poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.\n2 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą - jednym z kątów: 𝐶𝐴𝐷, 𝐵𝐴𝐷, 𝐶𝐷𝐴, 𝐴𝐷𝐵,\nw którym wszystkie funkcje trygonometryczne są tego samego argumentu, np.\nsin60°⋅cos𝛼 - cos60°⋅sin𝛼\nsin𝛼\n√3 - 1\n2\n, gdzie 𝛼= |∡𝐶𝐴𝐷|,\nALBO\n- obliczenie współczynnika kierunkowego prostej 𝐴𝐷: 2 -√3.\n1 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą - jednym z kątów: 𝐶𝐴𝐷, 𝐵𝐴𝐷, 𝐶𝐷𝐴, 𝐴𝐷𝐵,\nnp. sin(60° - 𝛼)\nsin𝛼\n√3 - 1\n2\n, gdzie 𝛼= |∡𝐶𝐴𝐷|,\nALBO\n- zapisanie związku |𝐵𝐷|\n|𝐶𝐷| =\n√3-1\n2\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania (dla sposobu II)\n3 pkt - poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.\n2 pkt - wyznaczenie długości czterech spośród pięciu odcinków: 𝐵𝐷, 𝐶𝐷, 𝐶𝐸, 𝐷𝐸, 𝐴𝐸,\nw zależności od jednej zmiennej, np. |𝐶𝐷| = 𝑥 i |𝐵𝐷| =\n√3 - 1\n2\n𝑥 i |𝐶𝐸| = 1\n2 𝑥\ni |𝐴𝐸| =\n√3\n2 𝑥\nALBO\n- wyznaczenie długości odcinków: 𝐵𝐷, 𝐶𝐷, 𝐶𝐸, w zależności od długości odcinka 𝐴𝐸\ni tangensa kąta 𝐷𝐴𝐶, np. |𝐶𝐸| = 1\n√3 ⋅|𝐴𝐸| ⋅tg 𝛼 i |𝐶𝐷| = 2√3\n3 ⋅|𝐴𝐸| ⋅tg 𝛼\ni |𝐵𝐷| = |𝐴𝐸| -\n√3\n3 ⋅|𝐴𝐸| ⋅tg 𝛼, gdzie 𝛼 jest kątem 𝐷𝐴𝐶.\n1 pkt - zapisanie związku |𝐵𝐷|\n|𝐶𝐷| =\n√3 - 1\n2\n,\nALBO\n- wyznaczenie długości dwóch odcinków spośród 𝐵𝐷, 𝐵𝐶 i 𝐶𝐷 w zależności od\njednej zmiennej, np. |𝐶𝐷| = 𝑥 i |𝐵𝐷| =\n√3 - 1\n2\n𝑥,\nALBO\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n- wyznaczenie długości boków trójkąta 𝐶𝐸𝐷 w zależności od jednej zmiennej, np.\n|𝐶𝐷| = 𝑥, |𝐶𝐸| = 1\n2 𝑥, |𝐷𝐸| =\n√3\n2 𝑥,\nALBO\n- wyznaczenie długości odcinka 𝐶𝐸 (albo 𝐶𝐷) w zależności od długości odcinka 𝐴𝐸\ni tangensa kąta 𝐷𝐴𝐶: |𝐶𝐸| =\n√3\n3 ⋅|𝐴𝐸| ⋅tg 𝛼 (albo |𝐶𝐷| = 2√3\n3 ⋅|𝐴𝐸| ⋅tg 𝛼), gdzie\n𝛼 jest kątem 𝐷𝐴𝐶.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania (dla sposobów III - V)\n3 pkt - poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.\n2 pkt - obliczenie |𝐵𝐷|\n|𝐷𝐹| oraz |𝐴𝐵|\n|𝐴𝐹| : |𝐵𝐷|\n|𝐷𝐹| = 2\n√3 oraz |𝐴𝐵|\n|𝐴𝐹| = 2\n√3\nALBO\n- wyznaczenie długości odcinków 𝐴𝐷 oraz 𝐶𝐷 w zależności od jednej zmiennej, np.\n|𝐴𝐷| = √6𝑚 oraz |𝐶𝐷| = 2𝑚.\n1 pkt - wyznaczenie długości odcinków 𝐵𝐷 i 𝐶𝐷 w zależności od jednej zmiennej, np.\n|𝐶𝐷| = 2𝑚 i |𝐵𝐷| = (√3 -1)𝑚.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia:\n𝑎 - długość boku trójkąta 𝐴𝐵𝐶,\n𝑏 - długość odcinka 𝐴𝐷,\n𝛼 - miara kąta 𝐷𝐴𝐶\n(zobacz rysunek).\nKorzystając ze wzoru na pole trójkąta oraz uwzględniając warunki zadania, otrzymujemy:\n𝑃𝐴𝐵𝐷\n𝑃𝐴𝐷𝐶\n= √3 -1\n2\n1\n2 ⋅𝑎⋅𝑏⋅sin(60° -𝛼)\n1\n2 ⋅𝑎⋅𝑏⋅sin 𝛼\n= √3 -1\n2\n𝛼\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n60° -𝛼\n𝑎\n𝑏\n𝑎\nsin(60° -𝛼)\nsin 𝛼\n= √3 -1\n2\nStąd i ze wzoru na sinus różnicy kątów otrzymujemy kolejno:\nsin 60° ⋅cos 𝛼-cos 60° ⋅sin 𝛼\nsin 𝛼\n= √3 -1\n2\nsin 60° ⋅cos 𝛼\nsin 𝛼-cos 60° = √3 -1\n2\ncos 𝛼\nsin 𝛼= 1\ntg 𝛼= 1\n𝛼= 45°\nZatem kąt 𝐷𝐴𝐶 ma miarę 45°. To należało wykazać.\nSposób II\nTrójkąty 𝐴𝐵𝐷 i 𝐴𝐶𝐷 mają wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka 𝐴, więc\n𝑃𝐴𝐵𝐷\n𝑃𝐴𝐷𝐶\n= |𝐵𝐷|\n|𝐶𝐷|\nzatem\n|𝐵𝐷|\n|𝐶𝐷| = √3 -1\n2\nOznaczmy 𝑥= |𝐶𝐷|. Wtedy |𝐵𝐷| =\n√3 -1\n2\n𝑥. Niech 𝐸 będzie spodkiem wysokości\ntrójkąta 𝐴𝐷𝐶 poprowadzonej z wierzchołka 𝐷 (zobacz rysunek).\nZ własności trójkąta o kątach 30°, 60°, 90° otrzymujemy |𝐷𝐸| =\n√3\n2 𝑥 oraz |𝐸𝐶| = 1\n2 𝑥.\nPonieważ |𝐴𝐸| + |𝐸𝐶| = |𝐶𝐷| + |𝐷𝐵|, więc\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n𝑥\nξ3 -1\n2\n𝑥\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n|𝐴𝐸| + 1\n2 𝑥= 𝑥+ √3 -1\n2\n𝑥\n|𝐴𝐸| = √3\n2 𝑥\nZatem |𝐴𝐸| = |𝐷𝐸|. To oznacza, że trójkąt prostokątny 𝐷𝐸𝐴 jest równoramienny i kąt\n𝐷𝐴𝐶 ma miarę 45°. To należało wykazać.\nSposób III (z twierdzenia o dwusiecznej)\nNiech 𝐹 będzie spodkiem wysokości trójkąta 𝐴𝐵𝐶 poprowadzonej z wierzchołka 𝐴.\nTrójkąty 𝐴𝐵𝐷 i 𝐴𝐷𝐶 mają wspólną wysokość 𝐴𝐹, więc stosunek pól tych trójkątów jest\nrówny stosunkowi długości odpowiednich podstaw. Zatem |𝐵𝐷| = (√3 -1)𝑚 oraz\n|𝐶𝐷| = 2𝑚, przy pewnym 𝑚> 0 (zobacz rysunek).\nWtedy |𝐴𝐵| = |𝐵𝐶| = (√3 + 1)𝑚, |𝐴𝐹| =\n(√3 + 1) ⋅ √3\n2\n𝑚 oraz\n|𝐵𝐹| = 1\n2 ⋅|𝐴𝐵| = √3 + 1\n2\n𝑚. Stąd\n|𝐷𝐹| = |𝐵𝐹| -|𝐵𝐷| = √3 + 1\n2\n𝑚-(√3 -1)𝑚= 3 -√3\n2\n𝑚\nPonieważ |𝐵𝐷|\n|𝐷𝐹| =\n(√3 - 1)𝑚\n(3 - √3)𝑚\n2\n= 2\n√3 oraz |𝐴𝐵|\n|𝐴𝐹| =\n(√3 + 1)𝑚\n(√3 + 1) ⋅ √3𝑚\n2\n= 2\n√3 , więc półprosta 𝐴𝐷\njest dwusieczną kąta 𝐵𝐴𝐹. To oznacza, że\n|∡𝐷𝐴𝐹| = 1\n2 ⋅|∡𝐵𝐴𝐹| = 1\n2 ⋅30° = 15° oraz |∡𝐷𝐴𝐶| = 30° + |∡𝐷𝐴𝐹| = 45°. To należało\nwykazać.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐹\n2𝑚\n(ξ3 -1)𝑚\nSposób IV (z twierdzenia cosinusów i sinusów / dwukrotnie z twierdzenia cosinusów)\nOznaczmy kąt 𝐶𝐴𝐷 przez 𝛼, natomiast długość odcinka 𝐴𝐷 oznaczmy przez 𝑏.\nTrójkąty 𝐴𝐵𝐷 i 𝐴𝐷𝐶 mają wspólną wysokość poprowadzoną z wierzchołka 𝐴 na\nprostą 𝐵𝐶, więc stosunek pól tych trójkątów jest równy stosunkowi długości odpowiednich\npodstaw. Zatem |𝐵𝐷| = (√3 -1)𝑚 oraz |𝐶𝐷| = 2𝑚, przy pewnym 𝑚> 0 (zobacz\nrysunek).\nWtedy |𝐴𝐵| = |𝐵𝐶| = |𝐶𝐴| = (√3 + 1)𝑚.\nStosujemy twierdzenie cosinusów do trójkąta 𝐴𝐷𝐶:\n𝑏2 = |𝐴𝐶|2 + |𝐶𝐷|2 -2 ⋅|𝐴𝐶| ⋅|𝐶𝐷| ⋅cos 60°\n𝑏2 = [(√3 + 1)𝑚]\n2 + (2𝑚)2 -2 ⋅(√3 + 1)𝑚⋅2𝑚⋅1\n2\n𝑏2 = (4 + 2√3 + 4 -2√3 -2) ⋅𝑚2\n𝑏= √6𝑚\nStosujemy twierdzenie sinusów do trójkąta 𝐴𝐷𝐶 i otrzymujemy\n𝑏\nsin 60° = 2𝑚\nsin 𝛼\n√6𝑚\nsin 60° = 2𝑚\nsin 𝛼\nsin 𝛼= √2\n2\nZatem |∡𝐷𝐴𝐶| = 45°. To należało wykazać.\nUwaga.\nZamiast sin 𝛼 możemy też obliczyć cos 𝛼, korzystając po raz drugi z twierdzenia\ncosinusów dla trójkąta 𝐴𝐷𝐶:\n|𝐶𝐷|2 = |𝐴𝐶|2 + 𝑏2 -2 ⋅|𝐴𝐶| ⋅𝑏⋅cos 𝛼\n(2𝑚)2 = [(√3 + 1)𝑚]\n2 + (√6𝑚)\n2 -2 ⋅(√3 + 1)𝑚⋅√6𝑚⋅cos 𝛼\n𝛼\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n൫ξ3 -1൯𝑚\n2𝑚\n𝑏\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n2 ⋅(√3 + 1)𝑚⋅√6𝑚⋅cos 𝛼= [(√3 + 1)𝑚]\n2 + (√6𝑚)\n2 -(2𝑚)2\ncos 𝛼= (3 + 2√3 + 1) + 6 -4\n2√6 ⋅(√3 + 1)\n6 + 2√3\n2√6 ⋅(√3 + 1)\n= 2√3(√3 + 1)\n2√6 ⋅(√3 + 1)\n= √2\n2\nZatem |∡𝐷𝐴𝐶| = 45°.\nSposób V (z twierdzenia Stewarta)\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia:\n𝑎 - długość boku trójkąta 𝐴𝐵𝐶,\n𝑏 - długość odcinka 𝐴𝐷,\n𝑥 - długość odcinka 𝐵𝐷,\n𝑦 - długość odcinka 𝐶𝐷,\n𝛼 - miara kąta 𝐷𝐴𝐶\n(zobacz rysunek).\nTrójkąty 𝐴𝐵𝐷 i 𝐴𝐷𝐶 mają wspólną wysokość poprowadzoną z wierzchołka 𝐴 na\nprostą 𝐵𝐶, więc stosunek pól tych trójkątów jest równy stosunkowi długości odpowiednich\npodstaw. Zatem 𝑥= (√3 -1)𝑚 oraz 𝑦= 2𝑚, przy pewnym 𝑚> 0.\nWtedy 𝑎= (√3 + 1)𝑚.\nStosujemy twierdzenie Stewarta\n𝑎2 ⋅𝑥+ 𝑎2 ⋅𝑦= (𝑥+ 𝑦)(𝑏2 + 𝑥𝑦)\n𝑎2 = 𝑏2 + 𝑥𝑦\n[(√3 + 1)𝑚]\n2 = 𝑏2 + (√3 -1)𝑚⋅2𝑚\n𝑏= √6𝑚\nStosujemy twierdzenie cosinusów do trójkąta 𝐴𝐷𝐶 i otrzymujemy:\n𝑦2 = 𝑏2 + 𝑎2 -2𝑎𝑏⋅cos 𝛼\n(2𝑚)2 = (√6𝑚)\n2 + [(√3 + 1)𝑚]\n2 -2 ⋅(√3 + 1)𝑚⋅√6𝑚⋅cos 𝛼\n4𝑚2 = 6𝑚2 + (4 + 2√3)𝑚2 -2(3√2 + √6) ⋅𝑚2 ⋅cos 𝛼\n𝛼\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝑥\n𝑦\n𝑏\n𝑎\ncos 𝛼=\n(6 + 2√3)\n2(3√2 + √6)\ncos 𝛼= √2(3√2 + √6)\n2(3√2 + √6)\nZatem cos 𝛼=\n√2\n2 i 𝛼= 45°. To należało wykazać.\nSposób VI (analitycznie)\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia:\n𝑎 - długość boku trójkąta 𝐴𝐵𝐶,\n𝛼 - miara kąta 𝐷𝐴𝐶,\n𝛽 - miara kąta 𝐵𝐴𝐷.\nUmieszczamy trójkąt 𝐴𝐵𝐶 w układzie współrzędnych tak, żeby 𝐴= (0, 0), 𝐵= (𝑎, 0) i 𝐶\nleżał w I ćwiartce układu współrzędnych. Wtedy 𝐶= (𝑎\n2 , 𝑎√3\n2 ).\nTrójkąty 𝐴𝐵𝐷 i 𝐴𝐶𝐷 mają wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka 𝐴, więc\n𝑃𝐴𝐵𝐷\n𝑃𝐴𝐷𝐶\n= |𝐵𝐷|\n|𝐶𝐷|\nzatem\n|𝐵𝐷|\n|𝐶𝐷| = √3 -1\n2\nOznaczmy teraz rzuty prostokątne punktów 𝐶 i 𝐷 na oś odciętych przez - odpowiednio -\n𝐾 oraz 𝐿, a rzuty prostokątne punktów 𝐶 i 𝐷 na oś rzędnych przez - odpowiednio - 𝑀\noraz 𝑁 (zobacz rysunek).\nZ twierdzenia Talesa otrzymujemy\n|𝐾𝐿|\n|𝐾𝐵| = |𝐶𝐷|\n|𝐵𝐶| =\n2\n2 + √3 - 1 = √3 -1 oraz |𝐴𝑁|\n|𝐴𝑀| = |𝐵𝐷|\n|𝐵𝐶| =\n√3 - 1\n2 + √3 - 1 = 2 -√3\n𝛼\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝑎\n𝐾\n𝛽\n𝑥\n𝑦\n𝐿\n𝑀\n𝑁\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nzatem\n|𝐾𝐿| = (√3 -1) ⋅|𝐾𝐵| = (√3 -1) ⋅𝑎\n2 oraz |𝐴𝑁| = (2 -√3) ⋅|𝐴𝑀| = (2 -√3) ⋅𝑎√3\n2\nStąd\n𝐷= (𝑎\n2 + (√3 -1) ⋅𝑎\n2 , (2 -√3) ⋅𝑎√3\n2 ) = (𝑎√3\n2 , 𝑎√3(2 -√3)\n2\n)\nWspółczynnik kierunkowy prostej 𝐴𝐷 jest równy\n𝑎𝐴𝐷=\n𝑎√3(2-√3)\n2\n𝑎√3\n2\n= 2 -√3\nZatem\ntg 𝛽= 𝑎𝐴𝐷= 2 -√3\nZe wzoru na tangens różnicy kątów otrzymujemy\ntg 𝛼= tg(60° -𝛽) =\ntg 60° -tg 𝛽\n1 + tg 60° ⋅tg 𝛽=\n√3 -(2 -√3)\n1 + √3 ⋅(2 -√3)\n= 2√3 -2\n2√3 -2\n= 1\nZatem 𝛼= 45°. To należało wykazać.","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"8","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (0-3)\nDoświadczenie losowe polega na czterokrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do\ngry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek - od jednego oczka do sześciu oczek.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy co najmniej\njeden raz sześć oczek, pod warunkiem że otrzymamy dokładnie dwa razy pięć oczek.\n\nEMAP-R0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n8.\nMaks. liczba pkt\n3\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 8. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n10.2R) oblicza prawdopodobieństwo\nwarunkowe.\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 9\n25 (lub 54\n150).\n2 pkt - wyznaczenie mocy zdarzeń 𝐵 oraz 𝐴∩𝐵, np. |𝐵| = (4\n2) ⋅5 ⋅5 oraz\n|𝐴∩𝐵| = (4\n2) ⋅(2\n1) ⋅4 + (4\n2).\n1 pkt - wyznaczenie mocy zdarzenia 𝐵, np. |𝐵| = (4\n2) ⋅5 ⋅5,\nALBO\n- wyznaczenie mocy zdarzenia 𝐴∩𝐵, np. |𝐴∩𝐵| = (4\n2) ⋅(2\n1) ⋅4 + (4\n2).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga.\nJeżeli zdający, obliczając 𝑃(𝐴∩𝐵)\n𝑃(𝐵) (lub |𝐴∩𝐵|\n|𝐵| ), pominie w liczniku i mianowniku czynnik\n(4\n2) bez stosownego komentarza, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe\nrozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie czteroelementowe wariacje z powtórzeniami ze\nzbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Niech Ω oznacza zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych.\nOznaczmy przez 𝐴 zdarzenie polegające na tym, że otrzymamy co najmniej jeden raz\nsześć oczek, natomiast przez 𝐵 - że otrzymamy dokładnie dwa razy pięć oczek.\nObliczamy moc zdarzenia 𝐵: |𝐵| = (4\n2) ⋅5 ⋅5 = 150.\nObliczamy moc zdarzenia 𝐴∩𝐵: |𝐴∩𝐵| = (4\n2) ⋅(2\n1) ⋅4 + (4\n2) = 54.\nObliczamy prawdopodobieństwo warunkowe 𝑃(𝐴|𝐵):\n𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴∩𝐵)\n𝑃(𝐵)\n|𝐴∩𝐵|\n|Ω|\n|𝐵|\n|Ω|\n= |𝐴∩𝐵|\n|𝐵|\n= 54\n150 = 9\n25\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"9","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (0-4)\nRozwiąż nierówność\n|𝑥-2| -2 ⋅|𝑥+ 3| < -2\n\nEMAP-R0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n9.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n3.9R) rozwiązuje równania i nierówności\nz wartością bezwzględną [ ].\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑥∈(-∞, -10) ∪(-2\n3 , +∞).\n3 pkt - zapisanie trzech przedziałów: (-∞, -3) i [-3, 2) i [2, +∞) (z dokładnością do\ndomknięcia) oraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej\nw każdym z tych przedziałów oraz rozwiązanie nierówności w dwóch spośród tych\nprzedziałów - tj. wyznaczenie części wspólnych zbiorów rozwiązań zapisanych\nnierówności z rozpatrywanymi przedziałami,\nALBO\n- zapisanie czterech przypadków: 𝑥+ 3 < 0 i 𝑥-2 < 0, 𝑥+ 3 < 0 i 𝑥-2 ≥0,\n𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 < 0, 𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 ≥0 (z dokładnością do domknięcia)\noraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym\nz tych przypadków oraz rozwiązanie nierówności w dwóch spośród trzech\nnastępujących przypadków: 𝑥+ 3 < 0 i 𝑥-2 < 0, 𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 < 0,\n𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 ≥0 - tj. wyznaczenie części wspólnych zbiorów rozwiązań\nzapisanych nierówności,\nALBO\n- zapisanie, że przypadek 𝑥+ 3 < 0 i 𝑥-2 ≥0 jest sprzeczny oraz zapisanie\ntrzech przypadków: 𝑥+ 3 < 0 i 𝑥-2 < 0, 𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 < 0,\n𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 ≥0 (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie nierówności\nbez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym z tych przypadków oraz\nrozwiązanie nierówności w dwóch spośród tych trzech przypadków - tj. wyznaczenie\nczęści wspólnych zbiorów rozwiązań zapisanych nierówności,\nALBO\n- zapisanie nierówności w postaci równoważnej koniunkcji dwóch nierówności:\n𝑥-2 < -2 + 2 ⋅|𝑥+ 3| i 𝑥-2 > -(-2 + 2 ⋅|𝑥+ 3|), a następnie w postaci\nrównoważnej koniunkcji alternatyw nierówności bez użycia symbolu wartości\nbezwzględnej:\n(𝑥+ 3 > 1\n2 𝑥 lub 𝑥+ 3 < -1\n2 𝑥) i (𝑥+ 3 > 4-𝑥\n2 lub 𝑥+ 3 < -4-𝑥\n2 ),\nALBO\n- odczytanie z wykresów funkcji 𝑓 oraz 𝑔 pierwszych współrzędnych punktów ich\nprzecięcia: 𝑥= -2\n3 oraz 𝑥= -10 i sprawdzenie rachunkiem poprawności\nodczytanych współrzędnych.\n2 pkt - zapisanie trzech przedziałów: (-∞, -3) i [-3, 2) i [2, +∞) (z dokładnością do\ndomknięcia) oraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej\nw każdym z tych przedziałów\nALBO\n- zapisanie czterech przypadków: 𝑥+ 3 < 0 i 𝑥-2 < 0, 𝑥+ 3 < 0 i 𝑥-2 ≥0,\n𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 < 0, 𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 ≥0 (z dokładnością do domknięcia)\noraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym\nz tych przypadków,\nALBO\n- zapisanie trzech przypadków: 𝑥+ 3 < 0 i 𝑥-2 < 0, 𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 < 0,\n𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 ≥0 (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie nierówności\nbez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym z tych przypadków oraz\nzapisanie, że przypadek 𝑥+ 3 < 0 i 𝑥-2 ≥0 jest sprzeczny,\nALBO\n- zapisanie nierówności w postaci równoważnej koniunkcji dwóch nierówności:\n𝑥-2 < -2 + 2 ⋅|𝑥+ 3| i 𝑥-2 > -(-2 + 2 ⋅|𝑥+ 3|),\nALBO\n- narysowanie wykresów funkcji 𝑓(𝑥) = |𝑥-2| oraz 𝑔(𝑥) = 2 ⋅|𝑥+ 3| -2.\n1 pkt - zapisanie trzech przedziałów: (-∞, -3) i [-3, 2) i [2, +∞) (z dokładnością do\ndomknięcia) oraz zapisanie danej nierówności w jednym z tych przedziałów bez\nużycia symbolu wartości bezwzględnej\nALBO\n- zapisanie jednego z przedziałów: (-∞, -3), [-3, 2), [2, +∞) (z dokładnością do\ndomknięcia) oraz rozwiązanie danej nierówności w tym przedziale - tj. wyznaczenie\nczęści wspólnej zbioru rozwiązań zapisanej nierówności z rozpatrywanym\nprzedziałem,\nALBO\n- zapisanie czterech przypadków: 𝑥+ 3 < 0 i 𝑥-2 < 0, 𝑥+ 3 < 0 i 𝑥-2 ≥0,\n𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 < 0, 𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 ≥0 (z dokładnością do domknięcia)\noraz zapisanie danej nierówności w jednym z tych przypadków bez użycia wartości\nbezwzględnej,\nALBO\n- zapisanie jednego z trzech przypadków: 𝑥+ 3 < 0 i 𝑥-2 < 0,\n𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 < 0, 𝑥+ 3 ≥0 i 𝑥-2 ≥0 (z dokładnością do domknięcia)\noraz rozwiązanie danej nierówności w tym przypadku - tj. wyznaczenie części\nwspólnej zbiorów rozwiązań zapisanych nierówności.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający, zapisując nierówność bez użycia wartości bezwzględnej, popełni błąd,\nktóry nie jest rachunkowy, tylko w jednym z rozpatrywanych przypadków/przedziałów\ni rozwiąże zadanie do końca, to może uzyskać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie,\no ile nie nabył prawa do innej punktacji zgodnej z zasadami oceniania.\n2. Jeżeli zdający nie rozpatruje przedziałów, które wyczerpują zbiór wszystkich liczb\nrzeczywistych i w których nierówność ma różne postaci (lub rozpatruje przypadki\nwyznaczone jedynie przez nierówności ostre, które nie wyczerpują zbioru ℝ), to może\notrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający przy rozwiązaniu graficznym poda zbiór rozwiązań\n(-∞, -10) ∪(-2\n3 , +∞), ale nie sprawdzi rachunkiem pierwszych współrzędnych\nZasady oceniania rozwiązań zadań\npunktów przecięcia wykresów funkcji 𝑓 i 𝑔, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za\ncałe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nWyznaczamy przedziały, które wyczerpują zbiór wszystkich liczb rzeczywistych i w których\nnierówność ma różne postaci: (-∞, -3) i [-3, 2) i [2, +∞).\nRozważamy trzy przypadki.\nPrzypadek 1. (gdy 𝑥∈(-∞, -3))\nW tym przypadku nierówność ma postać -𝑥+ 2 + 2(𝑥+ 3) < -2, czyli 𝑥< -10.\nStąd otrzymujemy 𝑥∈(-∞, -10).\nPrzypadek 2. (gdy 𝑥∈[-3, 2))\nW tym przypadku nierówność ma postać -𝑥+ 2 -2(𝑥+ 3) < -2, czyli 𝑥> -2\n3 .\nStąd otrzymujemy 𝑥∈(-2\n3 , 2).\nPrzypadek 3. (gdy 𝑥∈[2, +∞))\nW tym przypadku nierówność ma postać 𝑥-2 -2(𝑥+ 3) < -2, czyli 𝑥> -6.\nStąd otrzymujemy 𝑥∈[2, +∞).\nOstatecznie rozwiązaniami nierówności |𝑥-2| -2 ⋅|𝑥+ 3| < -2 są wszystkie liczby ze\nzbioru (-∞, -10) ∪(-2\n3 , +∞).\nSposób II (poprzez koniunkcję nierówności)\nDla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑎 prawdziwe są\nrównoważności:\n(1) |𝑥| < 𝑎 wtedy i tylko wtedy, gdy 𝑥< 𝑎 i 𝑥> -𝑎\noraz\n(2) |𝑥| > 𝑎 wtedy i tylko wtedy, gdy 𝑥> 𝑎 lub 𝑥< -𝑎.\nPrzekształcamy nierówność |𝑥-2| -2 ⋅|𝑥+ 3| < -2 , korzystając z równoważności (1):\n𝑥-2 < -2 + 2 ⋅|𝑥+ 3| i 𝑥-2 > -(-2 + 2 ⋅|𝑥+ 3|)\n|𝑥+ 3| > 1\n2 𝑥 i |𝑥+ 3| > 4 -𝑥\n2\nRozwiązujemy każdą z otrzymanych nierówności, korzystając z równoważności (2):\n(𝑥+ 3 > 1\n2 𝑥 lub 𝑥+ 3 < -1\n2 𝑥) i (𝑥+ 3 > 4 -𝑥\n2\nlub 𝑥+ 3 < -4 -𝑥\n2\n)\n(𝑥> -6 lub 𝑥< -2) i (𝑥> -2\n3 lub 𝑥< -10)\n𝑥∈ℝ i (𝑥> -2\n3 lub 𝑥< -10)\n𝑥> -2\n3 lub 𝑥< -10\nRozwiązaniami nierówności |𝑥-2| -2 ⋅|𝑥+ 3| < -2 są wszystkie liczby ze zbioru\n(-∞, -10) ∪(-2\n3 , +∞).\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"10","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (0-4)\nCiąg (𝑎𝑛), określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1, jest geometryczny i zbieżny. W tym\nciągu 𝑎1 + 𝑎3 = 20 i 𝑎1\n2 + 𝑎3\n2 = 328.\nOblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu. Rozważ wszystkie przypadki.\n\nEMAP-R0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n10.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 10. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n5.3R) rozpoznaje szeregi geometryczne\nzbieżne i oblicza ich sumy.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 27\n2 lub 27.\n3 pkt - obliczenie 𝑎1 oraz 𝑞: (𝑎1, 𝑞) = (18, 1\n3), (𝑎1, 𝑞) = (18, -1\n3), (𝑎1, 𝑞) = (2, 3),\n(𝑎1, 𝑞) = (2, -3)\nALBO\n- obliczenie 𝑎3 oraz 𝑞: (𝑎3, 𝑞) = (2, 1\n3), (𝑎3, 𝑞) = (2, -1\n3), (𝑎3, 𝑞) = (18, 3),\n(𝑎3, 𝑞) = (18, -3),\nALBO\n- obliczenie 𝑎2 oraz 𝑞: (𝑎2, 𝑞) = (-6, -3), (𝑎2, 𝑞) = (-6, -1\n3), (𝑎2, 𝑞) = (6, 1\n3),\n(𝑎2, 𝑞) = (6, 3) (dla sposobu III),\nALBO\n- wyznaczenie jednej z par (𝑎1, 𝑞), dla której szereg geometryczny jest zbieżny\ni obliczenie sumy tego szeregu, np. (𝑎1, 𝑞) = (18, 1\n3) i 𝑆= 27, (𝑎1, 𝑞) = (18, -1\n3)\ni 𝑆= 27\n2 ,\nALBO\n- wyznaczenie jednej z par (𝑎3, 𝑞), dla której szereg geometryczny jest zbieżny\ni obliczenie sumy tego szeregu, np. (𝑎3, 𝑞) = (2, 1\n3) i 𝑆= 27, (𝑎3, 𝑞) = (2, -1\n3)\ni 𝑆= 27\n2 ,\nALBO\n- wyznaczenie jednej z par (𝑎2, 𝑞), dla której szereg geometryczny jest zbieżny\ni obliczenie sumy tego szeregu, np. (𝑎2, 𝑞) = (6, 1\n3) i 𝑆= 27, (𝑎2, 𝑞) = (-6, -1\n3)\ni 𝑆= 27\n2 (dla sposobu III).\n2 pkt - obliczenie 𝑎1 : 𝑎1 = 2 oraz 𝑎1 = 18\nALBO\n- obliczenie 𝑎3 : 𝑎3 = 18 oraz 𝑎3 = 2,\nALBO\n- obliczenie 𝑞2: 𝑞2 = 9 oraz 𝑞2 = 1\n9 ,\nALBO\n- zapisanie alternatywy równań -6\n𝑞-6𝑞= 20 lub 6\n𝑞+ 6𝑞= 20 (dla sposobu III),\nALBO\n- zapisanie równania 36\n𝑞2 + 36𝑞2 = 328 (dla sposobu III).\n1 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą (𝑎1 lub 𝑎3 , lub 𝑞), np.\n𝑎1\n2 + (20 -𝑎1)2 = 328, (20 -𝑎3)2 + 𝑎3\n2 = 328,\n400\n(𝑞2 + 1)\n2 ⋅(1 + 𝑞4) = 328\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑎2 , np. 𝑎2\n2 = 36, 202 -2𝑎2\n2 = 328 (dla\nsposobu III).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający odrzuci otrzymane wartości 𝑞= 3 oraz 𝑞= -3 (lub parę\n(𝑎1 , 𝑎3) = (2, 18) ) bez komentarza, to może otrzymać 4 punkty za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający nie odrzuci wartości 𝑞= 3 oraz 𝑞= -3 i zastosuje wzór na sumę\nszeregu geometrycznego dla 𝑞= 3 (albo dla 𝑞= -3), to może otrzymać co najwyżej\n3 punkty za całe rozwiązanie.\n3. a) Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy, ale otrzyma co najmniej jeden iloraz\nspełniający warunek |𝑞| < 1 oraz co najmniej jeden iloraz spełniający warunek |𝑞| ≥1\ni rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie\n(2 punkty za pary (𝑎1, 𝑞) oraz 1 punkt za obliczenie sum szeregów dla wszystkich\notrzymanych ilorazów 𝑞 spełniających warunek |𝑞| < 1, o ile nie obliczy sumy szeregu\ndla ilorazu spełniającego warunek |𝑞| ≥1).\n3. b) Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy, ale otrzyma co najmniej dwa ilorazy\ni wszystkie z nich spełniają warunek |𝑞| < 1 oraz rozwiąże zadanie do końca, to może\notrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za pary (𝑎1, 𝑞) oraz 1 punkt\nza obliczenie sum szeregów dla wszystkich otrzymanych ilorazów 𝑞), o ile nie nabył\nprawa do innej punktacji zgodnej z zasadami oceniania.\n4. Jeżeli zdający popełni błąd, który nie jest rachunkowy, ale otrzyma co najmniej jeden\niloraz spełniający warunek |𝑞| < 1 i rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co\nnajwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za pary (𝑎1, 𝑞) oraz 1 punkt za\nobliczenie sum szeregów dla wszystkich otrzymanych ilorazów 𝑞 spełniających warunek\n|𝑞| < 1, o ile nie obliczy sumy szeregu dla ilorazu spełniającego warunek |𝑞| ≥1), o ile\nnie nabył prawa do innej punktacji zgodnej z zasadami oceniania.\n5. Jeżeli zdający odgadnie rozwiązanie układu równań 𝑎1 + 𝑎3 = 20 i 𝑎1\n2 + 𝑎3\n2 = 328:\n(𝑎1 , 𝑎3) = (18, 2) oraz obliczy poprawnie obie sumy szeregu: 𝑆= 27 i 𝑆= 27\n2 i nie\nobliczy sumy szeregu dla ilorazu spełniającego warunek |𝑞| ≥1, to otrzymuje 1 punkt za\ncałe rozwiązanie.\n6. Jeżeli zdający odgadnie rozwiązania układu równań 𝑎1 + 𝑎3 = 20 i 𝑎1\n2 + 𝑎3\n2 = 328:\n(𝑎1 , 𝑎3) = (18, 2) oraz (𝑎1 , 𝑎3) = (2, 18), ale nie obliczy poprawnie obu sum szeregu:\n𝑆= 27 i 𝑆= 27\n2 lub obliczy sumę szeregu dla ilorazu spełniającego warunek |𝑞| ≥1,\nto otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nNiech 𝑞 oznacza iloraz ciągu (𝑎𝑛). Z warunków 𝑎1 + 𝑎3 = 20 i 𝑎1\n2 + 𝑎3\n2 = 328\notrzymujemy:\n𝑎1\n2 + (20 -𝑎1)2 = 328\n2𝑎1\n2 -40𝑎1 + 72 = 0\n𝑎1 = 2 ∨ 𝑎1 = 18\nGdy 𝑎1 = 2, to 𝑎3 = 20 -𝑎1 = 18 i wtedy 𝑞2 = 9, więc 𝑞= -3 lub 𝑞= 3. Dla każdej\nz tych wartości ilorazu ciąg (𝑎𝑛) jest rozbieżny i tym samym nie są spełnione warunki\nzadania.\nGdy 𝑎1 = 18, to 𝑎3 = 20 -𝑎1 = 2 i wtedy 𝑞2 = 1\n9 , więc 𝑞= -1\n3 lub 𝑞= 1\n3 . Dla każdej\nz tych wartości 𝑞 ciąg (𝑎𝑛) jest zbieżny, a ponieważ |-1\n3| < 1 oraz |1\n3| < 1, więc dla\nobu tych wartości ilorazu istnieje suma wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego (𝑎𝑛).\nDla 𝑎1 = 18 i 𝑞= -1\n3 suma 𝑆 wszystkich wyrazów ciągu (𝑎𝑛) jest równa\n𝑆=\n𝑎1\n1 -𝑞=\n18\n1 -(-\n1\n3)\n= 27\n2\nDla 𝑎1 = 18 i 𝑞= 1\n3 suma 𝑆 wszystkich wyrazów ciągu (𝑎𝑛) jest równa\n𝑆=\n𝑎1\n1 -𝑞= 18\n1 -\n1\n3\n= 27\nSposób II\nNiech 𝑞 oznacza iloraz ciągu (𝑎𝑛). Z warunku 𝑎1 + 𝑎3 = 20 otrzymujemy\n𝑎1 + 𝑎1𝑞2 = 20, więc 𝑎1 =\n20\n𝑞2+1 i 𝑎1 ≠0.\nStąd i z warunku 𝑎1\n2 + 𝑎3\n2 = 328 otrzymujemy:\n𝑎1\n2 + (𝑎1𝑞2)2 = 328\n𝑎1\n2 ⋅(1 + 𝑞4) = 328\n400\n(𝑞2 + 1)2 ⋅(1 + 𝑞4) = 328\n72𝑞4 -656𝑞2 + 72 = 0\n9𝑞4 -82𝑞2 + 9 = 0\nΔ = (-82)2 -4 ⋅9 ⋅9 = 6400\n𝑞2 = 82 -80\n2 ⋅9\n= 1\n9 ∨ 𝑞2 = 82 + 80\n2 ⋅9\n= 9\n𝑞= -1\n3 ∨ 𝑞= 1\n3 ∨ 𝑞= -3 ∨ 𝑞= 3\nPonieważ 𝑎1 ≠0, więc dla 𝑞= -3 oraz 𝑞= 3 ciąg (𝑎𝑛) nie jest zbieżny.\nGdy 𝑞= -1\n3 , to 𝑎1 =\n20\n𝑞2+1 = 18 i ciąg (𝑎𝑛) jest zbieżny. Ponadto |-1\n3| < 1, więc\nistnieje suma 𝑆 wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego i jest ona równa\n𝑆=\n𝑎1\n1 -𝑞=\n18\n1 -(-\n1\n3)\n= 27\n2\nGdy 𝑞= 1\n3 , to 𝑎1 =\n20\n𝑞2+1 = 18 i ciąg (𝑎𝑛) jest zbieżny. Ponadto |1\n3| < 1, więc istnieje\nsuma 𝑆 wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego i jest ona równa\n𝑆=\n𝑎1\n1 -𝑞= 18\n1 -\n1\n3\n= 27\nSposób III (poprzez 𝑎2)\nNiech 𝑞 oznacza iloraz ciągu (𝑎𝑛). Z warunków 𝑎1 + 𝑎3 = 20 i 𝑎1\n2 + 𝑎3\n2 = 328\notrzymujemy:\n𝑎1\n2 + 𝑎3\n2 = 328\n(𝑎1 + 𝑎3)2 -2𝑎1 ⋅𝑎3 = 328\n202 -2𝑎1 ⋅𝑎3 = 328\nStąd, po zastosowaniu własności ciągu geometrycznego, dostajemy\n202 -2𝑎2\n2 = 328\n𝑎2 = -6 ∨ 𝑎2 = 6\nPrzypadek 1. (gdy 𝑎2 = -6).\nWarunek 𝑎1 + 𝑎3 = 20 zapisujemy w postaci 𝑎2\n𝑞+ 𝑎2 ⋅𝑞= 20 i obliczamy iloraz ciągu:\n-6\n𝑞-6𝑞= 20\n-6𝑞2 -20𝑞-6 = 0\n𝑞= 20 -16\n-12\n= -1\n3 ∨ 𝑞= 20 + 16\n-12\n= -3\nGdy 𝑞= -1\n3 i 𝑎2 = -6, to ciąg (𝑎𝑛) jest zbieżny. Ponadto |-1\n3| < 1, więc istnieje\nsuma 𝑆 wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego i jest ona równa\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑆=\n𝑎2\n𝑞\n1 -𝑞=\n18\n1 -(-\n1\n3)\n= 27\n2\nGdy 𝑞= -3 i 𝑎2 = -6, to ciąg (𝑎𝑛) jest rozbieżny, więc warunki zadania nie są\nspełnione.\nPrzypadek 2. (gdy 𝑎2 = 6).\nWarunek 𝑎1 + 𝑎3 = 20 zapisujemy w postaci 𝑎2\n𝑞+ 𝑎2 ⋅𝑞= 20 i obliczamy iloraz ciągu:\n6\n𝑞+ 6𝑞= 20\n6𝑞2 -20𝑞+ 6 = 0\n𝑞= 20 -16\n12\n= 1\n3 ∨ 𝑞= 20 + 16\n12\n= 3\nGdy 𝑞= 1\n3 i 𝑎2 = 6, to ciąg (𝑎𝑛) jest zbieżny. Ponadto |1\n3| < 1, więc istnieje suma 𝑆\nwszystkich wyrazów ciągu geometrycznego i jest ona równa\n𝑆=\n𝑎2\n𝑞\n1 -𝑞= 18\n1 -\n1\n3\n= 27\nGdy 𝑞= 3 i 𝑎2 = 6, to ciąg (𝑎𝑛) jest rozbieżny, więc warunki zadania nie są spełnione.","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"11","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (0-5)\nW układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dane są okręgi 𝒪1 oraz 𝒪2 o równaniach:\n𝒪1: (𝑥-1)2 + (𝑦+ 3)2 = 5\n𝒪2: (𝑥-2)2 + (𝑦-4)2 = 45.\nTe okręgi przecinają się w punktach 𝐴 oraz 𝐵. Punkt 𝐴 ma pierwszą współrzędną\ndodatnią. Punkt 𝑀 spełnia warunek 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = -2 ⋅𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .\nOblicz współrzędne punktów 𝐴, 𝐵 oraz 𝑀.\n\nEMAP-R0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n11.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 11. (0-5)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n8.5R) posługuje się równaniem okręgu\n(𝑥-𝑎)2 + (𝑦-𝑏)2 = 𝑟2 […];\n8.7R) oblicza współrzędne oraz długość\nwektora; dodaje i odejmuje wektory oraz\nmnoży je przez liczbę. Interpretuje\ngeometrycznie działania na wektorach.\nZasady oceniania\n5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝐴= (16\n5 , -13\n5 ), 𝐵= (-1, -2)\noraz 𝑀= ( 2\n5 , -11\n5 ).\n4 pkt - zapisanie równania [𝑥𝑀-16\n5 , 𝑦𝑀-(-13\n5 )] = -2 ⋅[𝑥𝑀-(-1), 𝑦𝑀-(-2)]\nALBO\n- zapisanie układu równań z dwiema niewiadomymi, który pozwala obliczyć\nwspółrzędne punktu 𝑀, np. √(-1 -𝑥𝑀)2 + (-2 -𝑦𝑀)2 = √2 oraz\n√(𝑥𝑀-3,2)2 + (𝑦𝑀+ 2,6)2 = 2√2,\nALBO\n- obliczenie współrzędnych punktów 𝐴 oraz 𝐵: 𝐴= (16\n5 , -13\n5 ) i 𝐵= (-1, -2)\noraz zapisanie równości 𝑥𝑀= 1\n3 𝑥𝐴+ 2\n3 𝑥𝐵 oraz 𝑦𝑀= 1\n3 𝑦𝐴+ 2\n3 𝑦𝐵 .\n3 pkt - obliczenie współrzędnych punktów 𝐴 oraz 𝐵: 𝐴= (16\n5 , -13\n5 ) oraz\n𝐵= (-1, -2)\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą, pozwalającego obliczyć pierwsze (lub\ndrugie) współrzędne punktów przecięcia okręgów, np.\n(-7𝑦-15 -2)2 + (𝑦-4)2 = 45 oraz zapisanie równości 𝑥𝑀= 1\n3 𝑥𝐴+ 2\n3 𝑥𝐵 oraz\n𝑦𝑀= 1\n3 𝑦𝐴+ 2\n3 𝑦𝐵 .\n2 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą, pozwalającego obliczyć pierwsze (lub\ndrugie) współrzędne punktów przecięcia okręgów, np.\n(-7𝑦-15 -2)2 + (𝑦-4)2 = 45,\nALBO\n- wyznaczenie równania prostej 𝐴𝐵, np. 2𝑥+ 14𝑦= -30 oraz zapisanie równości\n𝑥𝑀= 1\n3 𝑥𝐴+ 2\n3 𝑥𝐵 oraz 𝑦𝑀= 1\n3 𝑦𝐴+ 2\n3 𝑦𝐵 ,\nALBO\n- zapisanie współrzędnych punktu 𝐵: 𝐵= (-1, -2) i sprawdzenie rachunkiem, że\npunkt 𝐵 jest punktem przecięcia okręgów oraz wyznaczenie równania prostej 𝐴𝐵,\nALBO\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n- zapisanie współrzędnych punktu 𝐵: 𝐵= (-1, -2) i sprawdzenie rachunkiem, że\npunkt 𝐵 jest punktem przecięcia okręgów oraz obliczenie współrzędnych środka\nodcinka 𝐴𝐵: (11\n10 , -23\n10).\n1 pkt - wyznaczenie równania prostej 𝐴𝐵, np. 2𝑥+ 14𝑦= -30\nALBO\n- zapisanie równości 𝑥𝑀= 1\n3 𝑥𝐴+ 2\n3 𝑥𝐵 oraz 𝑦𝑀= 1\n3 𝑦𝐴+ 2\n3 𝑦𝐵 ,\nALBO\n- zapisanie współrzędnych punktu 𝐵: 𝐵= (-1, -2) i sprawdzenie rachunkiem, że\npunkt 𝐵 jest punktem przecięcia okręgów oraz zapisanie/obliczenie współczynnika\nkierunkowego prostej przechodzącej przez środki okręgów: 7.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający błędnie identyfikuje punkt 𝐴 jako (-1, -2), to może otrzymać co najwyżej\n4 punkty za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe i otrzyma punkty 𝐴 oraz 𝐵, których pierwsze\nwspółrzędne są liczbami dodatnimi, i konsekwentnie do popełnionych błędów rozwiązuje\nzadanie do końca, rozważając dwa przypadki, to może otrzymać co najwyżej 4 punkty za\ncałe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe i otrzyma punkty 𝐴 oraz 𝐵, których pierwsze\nwspółrzędne są liczbami ujemnymi, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe\nrozwiązanie (trzeci punkt otrzymuje za zapisanie równości 𝑥𝑀= 1\n3 𝑥𝐴+ 2\n3 𝑥𝐵 oraz\n𝑦𝑀= 1\n3 𝑦𝐴+ 2\n3 𝑦𝐵).\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nObliczamy współrzędne punktów 𝐴 oraz 𝐵, w których przecinają się okręgi 𝒪1 oraz 𝒪2:\n{ (𝑥-1)2 + (𝑦+ 3)2 = 5\n(𝑥-2)2 + (𝑦-4)2 = 45\n{ (𝑥-1)2 + (𝑦+ 3)2 -(𝑥-2)2 -(𝑦-4)2 = 5 -45\n(𝑥-2)2 + (𝑦-4)2 = 45\n{ 𝑥2 -2𝑥+ 1 + 𝑦2 + 6𝑦+ 9 -𝑥2 + 4𝑥-4 -𝑦2 + 8𝑦-16 = -40\n(𝑥-2)2 + (𝑦-4)2 = 45\n{ 2𝑥+ 14𝑦= -30 /: 2\n(𝑥-2)2 + (𝑦-4)2 = 45\n{ 𝑥+ 7𝑦= -15\n(𝑥-2)2 + (𝑦-4)2 = 45\n{ 𝑥= -7𝑦-15\n(𝑥-2)2 + (𝑦-4)2 = 45\n{ 𝑥= -7𝑦-15\n(-7𝑦-15 -2)2 + (𝑦-4)2 = 45\n{ 𝑥= -7𝑦-15\n50𝑦2 + 230𝑦+ 260 = 0\nStąd\n𝑦= -13\n5 lub 𝑦= -2\nGdy 𝑦= -13\n5 to wtedy 𝑥= -7 ⋅(-13\n5 ) -15 = 16\n5 .\nGdy 𝑦= -2 to wtedy 𝑥= -7 ⋅(-2) -15 = -1.\nPonieważ pierwsza współrzędna punktu 𝐴 jest dodatnia, więc 𝐴= (16\n5 , -13\n5 )\noraz 𝐵= (-1, -2).\nOznaczmy przez 𝑥𝑀 i 𝑦𝑀 odpowiednie współrzędne punktu 𝑀, tj. 𝑀= (𝑥𝑀, 𝑦𝑀). Wtedy\n𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = -2 ⋅𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗\n[𝑥𝑀-16\n5 , 𝑦𝑀-(-13\n5 )] = -2 ⋅[𝑥𝑀-(-1), 𝑦𝑀-(-2)]\n[𝑥𝑀-16\n5 , 𝑦𝑀+ 13\n5 ] = [-2𝑥𝑀-2, -2𝑦𝑀-4]\n𝑥𝑀-16\n5 = -2𝑥𝑀-2 ∧ 𝑦𝑀+ 13\n5 = -2𝑦𝑀-4\n𝑥𝑀= 2\n5 ∧ 𝑦𝑀= -11\n5\nZatem 𝑀= (2\n5 , -11\n5 ).\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"12","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12. (0-5)\nRozwiąż równanie\n3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0\nw przedziale 〈-𝜋, 𝜋〉.\n\nEMAP-R0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n12.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12. (0-5)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n6.5R) stosuje wzory na sinus i cosinus sumy\ni różnicy kątów, sumę i różnicę sinusów\ni cosinusów kątów;\n6.6R) rozwiązuje równania i nierówności\ntrygonometryczne […].\nZasady oceniania (dla sposobów I-III)\n5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: (-2𝜋\n3 ), (-𝜋\n6), 𝜋\n3 , 5𝜋\n6 .\n4 pkt - zapisanie założenia cos 𝑥≠0 oraz rozwiązanie alternatywy równań tg 𝑥= √3 lub\ntg 𝑥= -\n√3\n3 w przedziale [-𝜋 , 𝜋]: (-2𝜋\n3 ), (-𝜋\n6), 𝜋\n3 , 5𝜋\n6 (dla sposobów I oraz III)\nALBO\n- rozwiązanie jednego z równań alternatywy tg 𝑥= √3 lub tg 𝑥= -\n√3\n3 , gdzie\n𝑥≠𝜋\n2 + 𝜋𝑘 i 𝑘∈ℤ, w przedziale [-𝜋 , 𝜋], np.\n(-2𝜋\n3 ) i 𝜋\n3 (rozwiązania równania tg 𝑥= √3 w przedziale [-𝜋, 𝜋]),\n(-𝜋\n6) oraz 5𝜋\n6 (rozwiązania równania tg 𝑥= -\n√3\n3 w przedziale [-𝜋, 𝜋]),\noraz uzasadnienie, że liczby postaci 𝜋\n2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ, nie spełniają równania\n3cos2𝑥+ 2√3 sin 𝑥cos 𝑥-3sin2𝑥= 0 (dla sposobów I oraz III),\nALBO\n- rozwiązanie alternatywy równań tg 𝑥= √3 lub tg 𝑥= -\n√3\n3 w zbiorze ℝ:\n𝑥= 𝜋\n3 + 𝜋𝑘 oraz 𝑥= -𝜋\n6 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ, oraz uzasadnienie, że liczby postaci\n𝜋\n2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ, nie spełniają równania\n3cos2𝑥+ 2√3 sin 𝑥cos 𝑥-3sin2𝑥= 0 (dla sposobów I oraz III),\nALBO\n- zapisanie założenia cos(2𝑥) ≠0 oraz rozwiązanie równania tg(2𝑥) = -√3\nw przedziale [-𝜋, 𝜋]: (-2𝜋\n3 ), (-𝜋\n6), 𝜋\n3 , 5𝜋\n6 (dla sposobu II),\nALBO\n- rozwiązanie równania tg(2𝑥) = -√3 w zbiorze ℝ: 𝑥= -𝜋\n6 + 𝜋𝑘\n2 , gdzie 𝑘∈ℤ,\noraz uzasadnienie, że liczby postaci 𝜋\n4 + 𝜋𝑘\n2 , gdzie 𝑘∈ℤ, nie spełniają równania\n3 cos(2𝑥) + √3 sin(2𝑥) = 0 (dla sposobu II).\n3 pkt - zapisanie założenia cos 𝑥≠0 oraz rozwiązanie alternatywy równań tg 𝑥= √3 lub\ntg 𝑥= -\n√3\n3 w zbiorze ℝ:\n𝑥= 𝜋\n3 + 𝜋𝑘 oraz 𝑥= -𝜋\n6 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ (dla sposobów I oraz III)\nALBO\n- przekształcenie równania do postaci alternatywy równań tg 𝑥= √3 lub tg 𝑥= -\n√3\n3\noraz rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy w przedziale [-𝜋, 𝜋], np.\n(-2𝜋\n3 ) i 𝜋\n3 (rozwiązania równania tg 𝑥= √3 w przedziale [-𝜋, 𝜋]),\n(-𝜋\n6) i 5𝜋\n6 (rozwiązania równania tg 𝑥= -\n√3\n3 w przedziale [-𝜋, 𝜋]),\n(dla sposobów I oraz III),\nALBO\n- przekształcenie równania do postaci alternatywy równań tg 𝑥= √3 lub tg 𝑥= -\n√3\n3\noraz uzasadnienie, że liczby postaci 𝜋\n2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ, nie spełniają równania\n3cos2𝑥+ 2√3 sin 𝑥cos 𝑥-3sin2𝑥= 0 (dla sposobów I oraz III)\nALBO\n- zapisanie założenia cos(2𝑥) ≠0 oraz rozwiązanie równania tg(2𝑥) = -√3\nw zbiorze ℝ: 𝑥= -𝜋\n6 + 𝜋𝑘\n2 , gdzie 𝑘∈ℤ (dla sposobu II),\nALBO\n- przekształcenie równania do postaci tg(2𝑥) = -√3 oraz uzasadnienie, że liczby\npostaci 𝜋\n4 + 𝜋𝑘\n2 , gdzie 𝑘∈ℤ, nie spełniają równania 3 cos(2𝑥) + √3 sin(2𝑥) = 0\n(dla sposobu II).\n2 pkt - przekształcenie równania do alternatywy równań tg 𝑥= √3 lub tg 𝑥= -\n√3\n3 (dla\nsposobów I oraz III)\nALBO\n- przekształcenie równania do postaci -3 tg2 𝑥+ 2√3 tg 𝑥+ 3 = 0 oraz\nuzasadnienie, że liczby postaci 𝜋\n2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ, nie spełniają równania\n3cos2𝑥+ 2√3 sin 𝑥cos 𝑥-3sin2𝑥= 0 (dla sposobu I),\nALBO\n- przekształcenie równania do postaci tg(2𝑥) = -√3 (dla sposobu II).\n1 pkt - przekształcenie równania do postaci -3 tg2 𝑥+ 2√3 tg 𝑥+ 3 = 0 (dla sposobu I)\nALBO\n- zastosowanie wzoru na cosinus podwojonego kąta i zapisanie równania\n3 cos(2𝑥) + √3 sin(2𝑥) = 0 (dla sposobu II),\nALBO\n- zastosowanie wzoru na sinus podwojonego kąta oraz wzorów skróconego mnożenia\ni przekształcenie równania do postaci\n(√3 cos 𝑥+ sin 𝑥-2 sin 𝑥)(√3 cos 𝑥+ sin 𝑥+ 2 sin 𝑥) = 0 (dla sposobu III),\nALBO\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n- uzasadnienie, że liczby postaci 𝜋\n2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ, nie spełniają równania\n3cos2𝑥+ 2√3 sin 𝑥cos 𝑥-3sin2𝑥= 0 (dla sposobów I oraz III).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania (dla sposobów IV-V)\n5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: (-2𝜋\n3 ), (-𝜋\n6), 𝜋\n3 , 5𝜋\n6 .\n4 pkt - rozwiązanie równania sin (𝜋\n3 + 2𝑥) = 0 w zbiorze ℝ: 𝑥= -𝜋\n6 + 𝜋𝑘\n2 , gdzie 𝑘∈ℤ\n(dla sposobu IV),\nALBO\n- rozwiązanie równania cos (𝜋\n6 -2𝑥) = 0 w zbiorze ℝ: 𝑥= -𝜋\n6 -𝜋𝑘\n2 , gdzie 𝑘∈ℤ\n(dla sposobu IV),\nALBO\n- rozwiązanie obydwu równań alternatywy cos (𝜋\n6 + 𝑥) = 0 lub sin (𝜋\n6 + 𝑥) = 0\nw zbiorze ℝ:\n𝑥= 𝜋\n3 + 𝜋𝑘 oraz 𝑥= -𝜋\n6 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ (dla sposobu V),\nALBO\n- przekształcenie równania do postaci alternatywy równań cos (𝜋\n6 + 𝑥) = 0 lub\n√3 cos 𝑥+ 3 sin 𝑥= 0 oraz rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy\nw przedziale [-𝜋, 𝜋], np.\n(-2𝜋\n3 ) i 𝜋\n3 (rozwiązania równania cos (𝜋\n6 + 𝑥) = 0 w przedziale [-𝜋, 𝜋]),\n(-𝜋\n6) oraz 5𝜋\n6 (rozwiązania równania √3 cos 𝑥+ 3 sin 𝑥= 0 w przedziale\n[-𝜋, 𝜋]),\n(dla sposobu V),\nALBO\n- przekształcenie równania do postaci alternatywy równań √3 cos 𝑥-sin 𝑥= 0 lub\nsin (𝜋\n6 + 𝑥) = 0 oraz rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy w przedziale\n[-𝜋, 𝜋], np.\n(-2𝜋\n3 ) i 𝜋\n3 (rozwiązania równania √3 cos 𝑥-sin 𝑥= 0 w przedziale [-𝜋, 𝜋]),\n(-𝜋\n6) oraz 5𝜋\n6 (rozwiązania równania sin (𝜋\n6 + 𝑥) = 0 w przedziale [-𝜋, 𝜋]),\n(dla sposobu V).\n3 pkt - przekształcenie równania do postaci sin (𝜋\n3 + 2𝑥) = 0 (dla sposobu IV)\nALBO\n- przekształcenie równania do postaci cos (𝜋\n6 -2𝑥) = 0 (dla sposobu IV),\nALBO\n- przekształcenie równania do postaci alternatywy równań cos (𝜋\n6 + 𝑥) = 0 lub\n√3 cos 𝑥+ 3 sin 𝑥= 0 oraz rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy\nw zbiorze ℝ, np.\n𝑥= 𝜋\n3 + 𝜋𝑘 (rozwiązania równania cos (𝜋\n6 + 𝑥) = 0 w zbiorze ℝ),\n𝑥= -𝜋\n6 + 𝜋𝑘 (rozwiązania równania √3 cos 𝑥+ 3 sin 𝑥= 0 w zbiorze ℝ),\ngdzie 𝑘∈ℤ (dla sposobu V),\n- przekształcenie równania do postaci alternatywy równań √3 cos 𝑥-sin 𝑥= 0 lub\nsin (𝜋\n6 + 𝑥) = 0 oraz rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy w zbiorze ℝ,\nnp.\n𝑥= 𝜋\n3 + 𝜋𝑘 (rozwiązania równania √3 cos 𝑥-sin 𝑥= 0 w zbiorze ℝ),\n𝑥= -𝜋\n6 + 𝜋𝑘 (rozwiązania równania sin (𝜋\n6 + 𝑥) = 0 w zbiorze ℝ), gdzie 𝑘∈ℤ\n(dla sposobu V).\n2 pkt - przekształcenie równania do postaci\n√3\n2 cos(2𝑥) + 1\n2 sin(2𝑥) = 0 (dla sposobu IV)\nALBO\n- przekształcenie równania do postaci alternatywy równań\ncos (𝜋\n6 + 𝑥) = 0 lub √3 cos 𝑥+ 3 sin 𝑥= 0 (dla sposobu V),\nALBO\n- przekształcenie równania do postaci alternatywy równań\n√3 cos 𝑥-sin 𝑥= 0 lub sin (𝜋\n6 + 𝑥) = 0 (dla sposobu V).\n1 pkt - zastosowanie wzoru na cosinus podwojonego kąta i zapisanie równania\n3 cos(2𝑥) + √3 sin(2𝑥) = 0 (dla sposobu IV)\nALBO\n- zastosowanie wzoru na sinus podwojonego kąta oraz wzorów skróconego mnożenia\ni przekształcenie równania do postaci\n(√3 cos 𝑥+ sin 𝑥-2 sin 𝑥)(√3 cos 𝑥+ sin 𝑥+ 2 sin 𝑥) = 0 (dla sposobu V),\nALBO\n- zastosowanie wzoru na sinus podwojonego kąta i obliczenie wyróżnika Δ trójmianu\nkwadratowego 3cos2𝑥+ 2√3 sin 𝑥cos 𝑥-3sin2𝑥 zmiennej np. cos 𝑥:\nΔ = (4√3 sin 𝑥)\n2.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli jedynym błędem zdającego jest:\na) niepoprawne zastosowanie wzoru na sumę/różnicę cosinusów/sinusów,\nb) niepoprawne zastosowanie wzoru na iloczyn cosinusów/sinusów,\nc) błędne zastosowanie nieparzystości/parzystości funkcji trygonometrycznej,\nale zdający otrzyma elementarne równania trygonometryczne postaci sin(𝑎𝑥+ 𝑏) = 𝑐,\ncos(𝑎𝑥+ 𝑏) = 𝑐, gdzie 𝑎≠0, 𝑎2 ≠1, 𝑏≠0, 𝑐∈[-1, 1], i rozwiązanie doprowadzi\nkonsekwentnie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie,\no ile nie nabył prawa do innej punktacji zgodnej z zasadami oceniania.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n2. Jeżeli zdający błędnie stosuje metodę analizy starożytnych, np. podnosi obie strony\nrównania 3 cos(2𝑥) = -√3 sin(2𝑥) do kwadratu i nie sprawdza rachunkiem, czy\nwszystkie otrzymane liczby są rozwiązaniami, to za całe rozwiązanie może otrzymać co\nnajwyżej 3 punkty; natomiast jeżeli odrzuci co najmniej jedno rozwiązanie „obce” (ale nie\nodrzuci wszystkich rozwiązań „obcych”), to może otrzymać co najwyżej 4 punkty za całe\nrozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający dzieli obie strony równania przez wyrażenie 𝑎(𝑥) zawierające niewiadomą\n𝑥 i nie zapisze założenia 𝑎(𝑥) ≠0, ani też nie rozważa przypadku 𝑎(𝑥) = 0, to może\notrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I (poprzez sinus podwojonego kąta i tangens)\nStosujemy wzory na sinus podwojonego kąta i przekształcamy równanie\n3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 do postaci\n3cos2𝑥+ 2√3 sin 𝑥cos 𝑥-3sin2𝑥= 0\nNależy rozważyć dwa przypadki.\nPrzypadek 1. (gdy 𝑥≠𝜋\n2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ).\nDzielimy obie strony równania 3cos2𝑥+ 2√3 sin 𝑥cos 𝑥-3sin2𝑥= 0 przez cos2 𝑥\ni otrzymujemy\n3 + 2√3 sin 𝑥\ncos 𝑥\n-3sin2𝑥\ncos2 𝑥= 0\n3 + 2√3 tg 𝑥-3 tg2 𝑥= 0\n-3 tg2 𝑥+ 2√3 tg 𝑥+ 3 = 0\nΔ = (2√3)\n2 -4 ⋅(-3) ⋅3 = 48\ntg 𝑥= √3 ∨ tg 𝑥= -√3\n3\nRozwiązaniami równania tg 𝑥= √3 w zbiorze ℝ są wszystkie liczby postaci 𝜋\n3 + 𝜋𝑘,\ngdzie 𝑘∈ℤ. Zatem rozwiązaniami tego równania w przedziale [-𝜋 , 𝜋] są liczby\n(-2𝜋\n3 ) i 𝜋\n3 .\nRozwiązaniami równania tg 𝑥= -\n√3\n3 w zbiorze ℝ są wszystkie liczby postaci -𝜋\n6 + 𝜋𝑘,\ngdzie 𝑘∈ℤ. Zatem rozwiązaniami tego równania w przedziale [-𝜋 , 𝜋] są liczby (-𝜋\n6)\noraz 5𝜋\n6 .\nPrzypadek 2. (gdy 𝑥= 𝜋\n2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ).\nPonieważ cos (𝜋\n2 + 𝜋𝑘) = 0 dla każdego 𝑘∈ℤ oraz sin2 (𝜋\n2 + 𝜋𝑘) = 1 dla każdego\n𝑘∈ℤ, więc równanie 3cos2𝑥+ 2√3 sin 𝑥cos 𝑥-3sin2𝑥= 0 przyjmuje postać\n3 ⋅02 + 2√3 ⋅sin (𝜋\n2 + 𝜋𝑘) ⋅0 -3 ⋅1 = 0\nczyli -3 = 0. To oznacza, że wśród liczb postaci 𝜋\n2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ, nie ma rozwiązań\nrównania 3cos2𝑥+ 2√3 sin 𝑥cos 𝑥-3sin2𝑥= 0.\nOstatecznie rozwiązaniami równania 3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 w przedziale\n[-𝜋 , 𝜋] są liczby: (-2𝜋\n3 ), (-𝜋\n6), 𝜋\n3 oraz 5𝜋\n6 .\nSposób II (poprzez cosinus podwojonego kąta i tangens)\nStosujemy wzory na cosinus podwojonego kąta i przekształcamy równanie\n3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 do postaci\n3 cos(2𝑥) + √3 sin(2𝑥) = 0\nNależy rozważyć dwa przypadki.\nPrzypadek 1. (gdy 2𝑥≠𝜋\n2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ).\nDzielimy obie strony równania 3 cos(2𝑥) + √3 sin(2𝑥) = 0 przez cos(2𝑥) i otrzymujemy\n3 + √3 ⋅sin(2𝑥)\ncos(2𝑥) = 0\ntg(2𝑥) = -√3\n2𝑥= -𝜋\n3 + 𝜋𝑘\n𝑥= -𝜋\n6 + 𝜋𝑘\n2\ngdzie 𝑘∈ℤ. Stąd otrzymujemy cztery rozwiązania w przedziale [-𝜋 , 𝜋]: (-2𝜋\n3 ), (-𝜋\n6), 𝜋\n3\noraz 5𝜋\n6 .\nPrzypadek 2. (gdy 2𝑥= 𝜋\n2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ).\nPonieważ cos (𝜋\n2 + 𝜋𝑘) = 0 dla każdego 𝑘∈ℤ, więc równanie\n3 cos(2𝑥) + √3 sin(2𝑥) = 0 przyjmuje postać\n3 ⋅0 + √3 ⋅sin (𝜋\n2 + 𝜋𝑘) = 0\nZasady oceniania rozwiązań zadań\ni stąd sin (𝜋\n2 + 𝜋𝑘) = 0, gdzie 𝑘∈ℤ. Korzystając z jedynki trygonometrycznej,\notrzymujemy\nsin2 (𝜋\n2 + 𝜋𝑘) + cos2 (𝜋\n2 + 𝜋𝑘) = 1\n02 + 02 = 1\nczyli 0 = 1. To oznacza, że wśród liczb postaci 𝜋\n4 + 𝜋𝑘\n2 , gdzie 𝑘∈ℤ, nie ma rozwiązań\nrównania 3 cos(2𝑥) + √3 sin(2𝑥) = 0.\nOstatecznie rozwiązaniami równania 3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 w przedziale\n[-𝜋 , 𝜋] są liczby: (-2𝜋\n3 ), (-𝜋\n6), 𝜋\n3 oraz 5𝜋\n6 .\nSposób III\nPrzekształcamy równanie 3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 równoważnie, stosując wzór\nna sinus podwojonego kąta i wzory skróconego mnożenia:\n3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0\n3 cos2 𝑥+ 2√3 sin 𝑥cos 𝑥-3sin2 𝑥= 0\n(√3 cos 𝑥+ sin 𝑥)\n2 -4 sin2 𝑥= 0\n(√3 cos 𝑥+ sin 𝑥-2 sin 𝑥)(√3 cos 𝑥+ sin 𝑥+ 2 sin 𝑥) = 0\n√3 cos 𝑥-sin 𝑥= 0 ∨ √3 cos 𝑥+ 3 sin 𝑥= 0\nsin 𝑥= √3 cos 𝑥 ∨ sin 𝑥= -√3\n3 cos 𝑥\nPrzypadek 1. (gdy 𝑥≠𝜋\n2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ).\nDzielimy strony równań alternatywy przez cos 𝑥 i otrzymujemy\ntg 𝑥= √3 ∨ tg 𝑥= -√3\n3\nRozwiązaniami równania tg 𝑥= √3 w zbiorze ℝ są wszystkie liczby postaci 𝜋\n3 + 𝜋𝑘,\ngdzie 𝑘∈ℤ. Zatem rozwiązaniami tego równania w przedziale [-𝜋 , 𝜋] są liczby\n(-2𝜋\n3 ) i 𝜋\n3 .\nRozwiązaniami równania tg 𝑥= -\n√3\n3 w zbiorze ℝ są wszystkie liczby postaci -𝜋\n6 + 𝜋𝑘,\ngdzie 𝑘∈ℤ. Zatem rozwiązaniami alternatywy równań tg 𝑥= √3 lub tg 𝑥= -\n√3\n3\nw przedziale [-𝜋 , 𝜋] są liczby (-𝜋\n6) oraz 5𝜋\n6 .\nPrzypadek 2. (gdy 𝑥= 𝜋\n2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ).\nPonieważ cos (𝜋\n2 + 𝜋𝑘) = 0, więc równania alternatywy sin 𝑥= √3 cos 𝑥 lub\nsin 𝑥= -\n√3\n3 cos 𝑥 przyjmują postać\nsin (𝜋\n2 + 𝜋𝑘) = √3 ⋅0 oraz sin (𝜋\n2 + 𝜋𝑘) = -√3\n3 ⋅0\ni stąd sin (𝜋\n2 + 𝜋𝑘) = 0, gdzie 𝑘∈ℤ. Korzystając z jedynki trygonometrycznej,\notrzymujemy\nsin2 (𝜋\n2 + 𝜋𝑘) + cos2 (𝜋\n2 + 𝜋𝑘) = 1\n02 + 02 = 1\nczyli 0 = 1. To oznacza, że wśród liczb postaci 𝜋\n2 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ, nie ma rozwiązań\nrównania sin 𝑥= √3 cos 𝑥 i nie ma rozwiązań równania sin 𝑥= -\n√3\n3 cos 𝑥.\nOstatecznie rozwiązaniami równania 3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 w przedziale\n[-𝜋 , 𝜋] są liczby: (-2𝜋\n3 ), (-𝜋\n6), 𝜋\n3 oraz 5𝜋\n6 .\nSposób IV (poprzez cosinus podwojonego kąta i sinus sumy)\nPrzekształcamy równanie 3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 równoważnie, stosując wzór\nna cosinus podwojonego kąta i sinus sumy kątów:\n3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0\n3 cos(2𝑥) + √3 sin(2𝑥) = 0 /: 2√3\n√3\n2 cos(2𝑥) + 1\n2 sin(2𝑥) = 0\nsin (𝜋\n3 + 2𝑥) = 0\n2𝑥+ 𝜋\n3 = 𝜋𝑘\n𝑥= -𝜋\n6 + 𝜋𝑘\n2\ngdzie 𝑘∈ℤ.\nRozwiązaniami równania 3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 w przedziale [-𝜋 , 𝜋] są\nliczby: (-2𝜋\n3 ), (-𝜋\n6), 𝜋\n3 oraz 5𝜋\n6 .\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób V\nPrzekształcamy równanie 3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 równoważnie, stosując wzór\nna sinus podwojonego kąta i wzory skróconego mnożenia:\n3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0\n3 cos2 𝑥+ 2√3 sin 𝑥cos 𝑥-3sin2 𝑥= 0\n(√3 cos 𝑥+ sin 𝑥)\n2 -4 sin2 𝑥= 0\n(√3 cos 𝑥+ sin 𝑥-2 sin 𝑥)(√3 cos 𝑥+ sin 𝑥+ 2 sin 𝑥) = 0\n√3 cos 𝑥-sin 𝑥= 0 ∨ √3 cos 𝑥+ 3 sin 𝑥= 0\nRozwiązujemy równanie √3 cos 𝑥-sin 𝑥= 0 w zbiorze ℝ:\n√3 cos 𝑥-sin 𝑥= 0 /: 2\n√3\n2 cos 𝑥-1\n2 sin 𝑥= 0\ncos (𝜋\n6 + 𝑥) = 0\n𝑥+ 𝜋\n6 = 𝜋\n2 + 𝜋𝑘\n𝑥= 𝜋\n3 + 𝜋𝑘\ngdzie 𝑘∈ℤ.\nStąd rozwiązaniami równania √3 cos 𝑥-sin 𝑥= 0 w przedziale [-𝜋 , 𝜋] są liczby:\n(-2𝜋\n3 ) oraz 𝜋\n3 .\nRozwiązujemy równanie √3 cos 𝑥+ 3 sin 𝑥= 0 w zbiorze ℝ:\n√3 cos 𝑥+ 3 sin 𝑥= 0 /: 2√3\n1\n2 cos 𝑥+ √3\n2 sin 𝑥= 0\nsin (𝜋\n6 + 𝑥) = 0\n𝑥+ 𝜋\n6 = 𝜋𝑘\n𝑥= -𝜋\n6 + 𝜋𝑘\ngdzie 𝑘∈ℤ.\nStąd rozwiązaniami równania √3 cos 𝑥+ 3 sin 𝑥= 0 w przedziale [-𝜋 , 𝜋] są liczby:\n(-𝜋\n6) oraz 5𝜋\n6 .\nOstatecznie rozwiązaniami równania 3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 w przedziale\n[-𝜋 , 𝜋] są liczby: (-2𝜋\n3 ), (-𝜋\n6), 𝜋\n3 oraz 5𝜋\n6 .\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/13","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"13","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13. (0-5)\nPodstawą ostrosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆 jest kwadrat 𝐴𝐵𝐶𝐷. Krawędź boczna 𝑆𝐴 jest wysokością\nostrosłupa, natomiast krawędź podstawy ma długość 3√34. Cosinus kąta 𝛽 między\nścianami bocznymi 𝐶𝐷𝑆 i 𝐵𝐶𝑆 tego ostrosłupa jest równy (-9\n25).\nOblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.\n\nEMAP-R0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n13.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 13. (0-5)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n9.4) rozpoznaje w graniastosłupach\ni ostrosłupach kąty między ścianami;\n9.6) stosuje trygonometrię do obliczeń\ndługości odcinków, miar kątów, pól\npowierzchni i objętości.\nZasady oceniania\n5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 918.\n4 pkt - obliczenie długości krawędzi 𝑆𝐶 i 𝐵𝐸: |𝑆𝐶| = 34 i |𝐵𝐸| = 15\nALBO\n- obliczenie długości krawędzi 𝑆𝐶 i 𝐵𝑆: |𝑆𝐶| = 34 i |𝐵𝑆| = 5√34,\nALBO\n- obliczenie długości krawędzi 𝐵𝑆: |𝐵𝑆| = 5√34 i zapisanie, że trójkąt 𝑆𝐵𝐶 jest\nprostokątny (albo z rozwiązania wynika, że zdający rozpatruje trójkąt 𝑆𝐵𝐶 jako\nprostokątny),\nALBO\n- obliczenie długości krawędzi 𝐴𝑆 i 𝑆𝐵: |𝐴𝑆| = 4√34 i |𝐵𝑆| = 5√34,\nALBO\n- obliczenie długości krawędzi 𝐴𝑆 i 𝑆𝐶: |𝐴𝑆| = 4√34 i |𝑆𝐶| = 34,\nALBO\n- obliczenie długości krawędzi 𝐴𝑆 i 𝐵𝐸: |𝐴𝑆| = 4√34 i |𝐵𝐸| = 15,\nALBO\n- obliczenie długości krawędzi 𝐴𝑆: |𝐴𝑆| = 4√34 i zapisanie, że trójkąt 𝑆𝐵𝐶 jest\nprostokątny (albo z rozwiązania wynika, że zdający rozpatruje trójkąt 𝑆𝐵𝐶 jako\nprostokątny).\n3 pkt - obliczenie długości odcinka 𝐶𝐸: |𝐶𝐸| = 9 oraz zapisanie równania pozwalającego\nobliczyć długość jednego z odcinków: 𝑆𝐶, 𝑆𝐵, 𝑆𝐴, 𝑆𝐸, np.:\n|𝐶𝐸|\n|𝐵𝐶| =\n|𝐵𝐶|\n|𝑆𝐶| (|𝑆𝐶| z podobieństwa trójkątów 𝐵𝐶𝑆 i 𝐸𝐶𝐵),\n|𝐶𝐸|\n|𝑂𝐶| =\n|𝐴𝐶|\n|𝑆𝐶| (|𝑆𝐶| z podobieństwa trójkątów 𝐸𝐶𝑂 i 𝐴𝐶𝑆),\n|𝐶𝐸|\n|𝐵𝐸| =\n|𝐵𝐶|\n|𝑆𝐵| (|𝑆𝐵| z podobieństwa trójkątów 𝐵𝐶𝑆 i 𝐸𝐶𝐵),\n|𝐶𝐸|\n|𝐵𝐶| =\n|𝐵𝐸|\n|𝑆𝐵| (|𝑆𝐵| z podobieństwa trójkątów 𝐸𝑆𝐵 i 𝐸𝐵𝐶),\n|𝐶𝐸|\n|𝑂𝐸| =\n|𝐴𝐶|\n|𝑆𝐴| (|𝑆𝐴| z podobieństwa trójkątów 𝐸𝐶𝑂 i 𝐴𝐶𝑆),\n|𝑆𝐸| ⋅|𝐶𝐸| = |𝐵𝐸|2 (|𝑆𝐸| z podobieństwa trójkątów 𝐸𝑆𝐵 i 𝐸𝐵𝐶),\nALBO\n- zapisanie układu dwóch równań z dwiema niewiadomymi, w którym jedną\nz niewiadomych jest długość krawędzi 𝐵𝑆, a drugą długość krawędzi 𝑆𝐶, np.\n|𝐵𝑆|2 + (3√34)\n2 = |𝑆𝐶|2 i 15\n3√34 =\n|𝐵𝑆|\n|𝑆𝐶| ,\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą (długością krawędzi 𝐵𝑆 albo długością\nkrawędzi 𝑆𝐶, albo długością krawędzi 𝐴𝑆), np. ( 15\n|𝐵𝑆|)\n2\n+ ( 15\n3√34)\n2\n= 1,\n(3√34\n|𝑆𝐶| )\n2\n+ ( 15\n3√34)\n2\n= 1, (\n6√2\n1\n2 ⋅3√34⋅√2)\n2\n+ (12√2\n|𝐴𝑆| )\n2\n= 1.\n2 pkt - obliczenie długości 𝑥 odcinka 𝐵𝐸 (lub 𝐷𝐸): 𝑥= 15\nALBO\n- obliczenie długości 𝑦 odcinka 𝐸𝑂: 𝑦= 6√2,\nALBO\n- spełnienie warunku 2) i jednego z warunków 3),4) określonych w zasadach\noceniania za 1 punkt.\n1 pkt - spełnienie jednego z poniższych warunków 1)-4):\n1) obliczenie wartości funkcji trygonometrycznej kąta 𝛽\n2 = |∡𝐵𝐸𝑂| (gdzie 𝑂 jest\npunktem przecięcia przekątnych podstawy 𝐴𝐵𝐶𝐷), np.: sin 𝛽\n2 =\n√17\n5 ,\ntg 𝛽\n2 =\n√34\n4 , cos 𝛽\n2 = 2√2\n5 ;\n2) zastosowanie twierdzenia cosinusów do trójkąta 𝐵𝐸𝐷 i zapisanie równania\n(3√34 ⋅√2)\n2 = 𝑥2 + 𝑥2 -2𝑥2 ⋅(-9\n25);\n3) zdający zapisze, że trójkąt 𝑆𝐵𝐶 (lub 𝑆𝐷𝐶) jest prostokątny i wskaże właściwy\nwierzchołek kąta prostego lub wynika to z rozwiązania, np.:\nzapisze równość wynikającą z twierdzenia Pitagorasa: |𝑆𝐶|2 = |𝐵𝑆|2 + |𝐵𝐶|2,\nzapisze, że trójkąty 𝐶𝐵𝑆 oraz 𝐶𝐸𝐵 są podobne,\nzapisze równość wynikającą z podobieństwa trójkątów 𝐶𝐵𝑆 oraz 𝐶𝐸𝐵, np.:\n|𝐵𝑆|\n|𝐵𝐶| = |𝐵𝐸|\n|𝐸𝐶|,\nzapisze, że trójkąty 𝐵𝐸𝑆 oraz 𝐶𝐸𝐵 są podobne,\nzapisze równość wynikającą z podobieństwa trójkątów 𝐵𝐸𝑆 oraz 𝐶𝐸𝐵, np.:\n|𝐸𝑆|\n|𝐵𝐸| = |𝐵𝐸|\n|𝐸𝐶|;\n4) zapisze, że trójkąt 𝑂𝐸𝐶 jest prostokątny lub wynika to z rozwiązania, np.:\nzdający zapisze równość |𝑂𝐶|2 = |𝑂𝐸|2 + |𝐸𝐶|2 ,\nzapisze, że trójkąty 𝑂𝐸𝐶 oraz 𝑆𝐴𝐶 są podobne,\nzapisze równość wynikającą z podobieństwa trójkątów 𝑂𝐸𝐶 oraz 𝑆𝐴𝐶, np.:\n|𝑂𝐸|\n|𝑂𝐶| = |𝐴𝑆|\n|𝐶𝑆| .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający w rozwiązaniu rozpatruje ostrosłup prawidłowy czworokątny, to otrzymuje\nco najwyżej 1 punkt (za poprawną interpretację kąta między ścianami bocznymi oraz za\nzapisanie równania wynikającego z twierdzenia cosinusów dla trójkąta 𝐵𝐷𝐸).\n2. Jeżeli zdający w rozwiązaniu błędnie interpretuje kąt między ścianami bocznymi 𝐵𝐶𝑆\ni 𝐶𝐷𝑆, np. zakłada, że jest to kąt 𝐵𝑆𝐷, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt (za\nspełnienie warunku 3) z kryterium za 1 punkt).\n3. Jeżeli zdający w rozwiązaniu rozpatruje inną bryłę i nie jest nią ostrosłup prawidłowy\nczworokątny, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I (poprzez 𝐵𝐸, 𝐶𝑆, 𝐴𝑆)\nNiech 𝐸 będzie spodkiem wysokości ściany bocznej 𝐵𝐶𝑆 poprowadzonej\nz wierzchołka 𝐵. Oznaczmy 𝑥= |𝐵𝐸| (zobacz rysunek).\nPonieważ ściany boczne 𝐵𝐶𝑆 i 𝐶𝐷𝑆 są trójkątami przystającymi, więc |𝐷𝐸| = |𝐵𝐸| = 𝑥.\nStosujemy do trójkąta 𝐵𝐸𝐷 twierdzenie cosinusów i otrzymujemy\n|𝐵𝐷|2 = 𝑥2 + 𝑥2 -2 ⋅𝑥⋅𝑥⋅cos 𝛽\n(3√34 ⋅√2)\n2 = 𝑥2 + 𝑥2 -2𝑥2 ⋅(-9\n25)\n𝑥= 15\nStosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta 𝐵𝐸𝐶 i obliczamy długość odcinka 𝐶𝐸:\n|𝐶𝐸|2 = |𝐵𝐶|2 -|𝐵𝐸|2\n|𝐶𝐸|2 = (3√34)\n2 -152\n|𝐶𝐸| = 9\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝑆\n𝐸\n𝛽\n𝑥\n3ξ34\n3ξ34\nTrójkąt 𝐵𝐶𝑆 jest prostokątny, co wynika z twierdzenia o trzech prostych prostopadłych,\ngdyż 𝐴𝐵⊥𝐵𝐶 i odcinek 𝐴𝐵 jest rzutem prostokątnym odcinka 𝑆𝐵 na płaszczyznę\n𝐴𝐵𝐶𝐷.\nTrójkąty 𝐵𝐶𝑆 i 𝐸𝐶𝐵 są podobne (na podstawie cechy kkk podobieństwa trójkątów), więc\n|𝐶𝐸|\n|𝐵𝐶| = |𝐵𝐶|\n|𝑆𝐶|\n9\n3√34\n= 3√34\n|𝑆𝐶|\n|𝑆𝐶| = 34\nStosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta 𝐴𝐶𝑆 i obliczamy długość odcinka 𝐴𝑆:\n|𝐴𝑆|2 = |𝑆𝐶|2 -|𝐴𝐶|2\n|𝐴𝑆|2 = 342 -(3√34 ⋅√2)\n2\n|𝐴𝑆| = 4√34\nObliczamy pole 𝑃𝑏 powierzchni bocznej ostrosłupa:\n𝑃𝑏= 2 ⋅1\n2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅|𝐴𝑆| + 2 ⋅1\n2 ⋅𝑥⋅|𝑆𝐶| = 3√34 ⋅4√34 + 15 ⋅34 = 918\nSposób Ia (poprzez 𝐵𝐸, 𝐶𝐸, 𝐵𝑆, 𝐴𝑆)\nNiech 𝐸 będzie spodkiem wysokości ściany bocznej 𝐵𝐶𝑆 poprowadzonej\nz wierzchołka 𝐵. Oznaczmy 𝑥= |𝐵𝐸| (zobacz rysunek).\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝑆\n𝐸\n𝛽\n𝑥\n3ξ34\n3ξ34\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPonieważ ściany boczne 𝐵𝐶𝑆 i 𝐶𝐷𝑆 są trójkątami przystającymi, więc |𝐷𝐸| = |𝐵𝐸| = 𝑥.\nStosujemy do trójkąta 𝐵𝐸𝐷 twierdzenie cosinusów i otrzymujemy\n|𝐵𝐷|2 = 𝑥2 + 𝑥2 -2 ⋅𝑥⋅𝑥⋅cos 𝛽\n(3√34 ⋅√2)\n2 = 𝑥2 + 𝑥2 -2𝑥2 ⋅(-9\n25)\n𝑥= 15\nStosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta 𝐵𝐸𝐶 i obliczamy długość odcinka 𝐶𝐸:\n|𝐶𝐸|2 = |𝐵𝐶|2 -|𝐵𝐸|2\n|𝐶𝐸|2 = (3√34)\n2 -152\n|𝐶𝐸| = 9\nTrójkąt 𝐵𝐶𝑆 jest prostokątny, co wynika z twierdzenia o trzech prostych prostopadłych,\ngdyż 𝐴𝐵⊥𝐵𝐶 i odcinek 𝐴𝐵 jest rzutem prostokątnym odcinka 𝑆𝐵 na płaszczyznę\n𝐴𝐵𝐶𝐷. Ponieważ kąt ostry przy wierzchołku 𝐶 jest wspólnym kątem trójkątów\nprostokątnych 𝐵𝐶𝐸 i 𝐵𝐶𝑆, więc są to trójkąty podobne. Stąd otrzymujemy:\n|𝐵𝑆|\n|𝐵𝐶| =\n|𝐵𝐸|\n|𝐸𝐶|\n|𝐵𝑆|\n3√34\n= 15\n9\n|𝐵𝑆| = 5√34\nZ twierdzenia Pitagorasa zastosowanego dla trójkąta 𝐴𝐵𝑆 obliczamy długość odcinka 𝐴𝑆:\n|𝐴𝑆|2 = |𝐵𝑆|2 -|𝐴𝐵|2\n|𝐴𝑆|2 = (5√34)\n2 -(3√34)\n2 = (4√34)\n2\n|𝐴𝑆| = 4√34\nObliczamy pole 𝑃𝑏 powierzchni bocznej ostrosłupa:\n𝑃𝑏= 2 ⋅1\n2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅|𝐴𝑆| + 2 ⋅1\n2 ⋅|𝐵𝑆| ⋅|𝐵𝐶| = 3√34 ⋅4√34 + 5√34 ⋅3√34 = 918\nSposób II (poprzez 𝐸𝑂, 𝑆𝐶, 𝐴𝑆, 𝐵𝑆)\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia:\n𝐸 - spodek wysokości ściany bocznej 𝐵𝐶𝑆 poprowadzonej z wierzchołka 𝐵,\n𝑂 - punkt przecięcia przekątnych podstawy 𝐴𝐵𝐶𝐷,\n𝑦 - długość odcinka 𝐸𝑂\n(zobacz rysunek).\nPonieważ ściany boczne 𝐵𝐶𝑆 i 𝐶𝐷𝑆 są trójkątami przystającymi, więc |𝐷𝐸| = |𝐵𝐸|.\nObliczamy sinus i cosinus kąta ostrego 𝐵𝐸𝑂:\ncos 𝛽= -9\n25\n1 -2 sin2 𝛽\n2 = - 9\n25 oraz 2 cos2 𝛽\n2 -1 = -9\n25\nsin 𝛽\n2 =\n√17\n5 oraz cos 𝛽\n2 = 2√2\n5\nObliczamy tangens kąta ostrego 𝐵𝐸𝑂:\ntg 𝛽\n2 =\nsin\n𝛽\n2\ncos\n𝛽\n2\n√17\n5\n2√2\n5\n= √34\n4\nObliczamy długość 𝑦 odcinka 𝐸𝑂:\ntg 𝛽\n2 = |𝐵𝑂|\n|𝐸𝑂|\n√34\n4\n1\n2 ⋅3√34 ⋅√2\n𝑦\n𝑦= 6√2\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝑆\n𝐸\n𝑂\n𝑦\n𝛽\n3ξ34\n3ξ34\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPonieważ kąty 𝑆𝐶𝐴 i 𝑂𝐶𝐸 mają równe miary, więc korzystając z jedynki\ntrygonometrycznej oraz definicji sinusa i cosinusa, otrzymujemy\nsin2|∡𝑂𝐶𝐸| + cos2|∡𝑆𝐶𝐴| = 1\n( 𝑦\n|𝑂𝐶|)\n2\n+ (|𝐴𝐶|\n|𝑆𝐶|)\n2\n= 1\n(\n6√2\n1\n2 ⋅3√34 ⋅√2\n)\n2\n+ (3√34 ⋅√2\n|𝑆𝐶|\n)\n2\n= 1\n(6√17\n|𝑆𝐶| )\n2\n= 9\n17\n|𝑆𝐶| = 34\nStosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta 𝐴𝐶𝑆 i obliczamy długość krawędzi 𝐴𝑆:\n|𝐴𝑆|2 + |𝐴𝐶|2 = |𝑆𝐶|2\n|𝐴𝑆|2 = 342 -(3√34 ⋅√2)\n2\n|𝐴𝑆| = 4√34\nStosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta 𝐴𝐵𝑆 i obliczamy długość krawędzi 𝐵𝑆:\n|𝐵𝑆|2 = |𝐴𝑆|2 + |𝐴𝐵|2\n|𝐵𝑆|2 = (4√34)\n2 + (3√34)\n2\n|𝐵𝑆| = 5√34\nObliczamy pole 𝑃𝑏 powierzchni bocznej ostrosłupa:\n𝑃𝑏= 2 ⋅1\n2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅|𝐴𝑆| + 2 ⋅1\n2 ⋅|𝐵𝑆| ⋅|𝐵𝐶| = 3√34 ⋅4√34 + 5√34 ⋅3√34 = 918","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/14","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"14","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 14. (0-6)\nFunkcja 𝑓 jest określona wzorem\n𝑓(𝑥) = (2 -𝑚)𝑥2 -2(2𝑚+ 1)𝑥+ 𝑚+ 8\ndla każdej liczby rzeczywistej 𝑥, gdzie 𝑚 jest liczbą rzeczywistą różną od 2.\nWyznacz wszystkie wartości parametru 𝑚, dla których funkcja 𝑓 ma dokładnie dwa miejsca\nzerowe 𝑥1 oraz 𝑥2 tego samego znaku, które spełniają warunek\n(𝑥1 -𝑥2)2 ≤180\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n14.\nMaks. liczba pkt\n6\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 14. (0-6)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n3.1R) stosuje wzory Viète’a;\n3.2R) rozwiązuje równania i nierówności\nliniowe i kwadratowe z parametrem.\nZasady oceniania\nRozwiązanie zadania składa się z czterech etapów.\nPierwszy etap polega na rozwiązaniu nierówności ∆ > 0. Za poprawne wykonanie tego\netapu zdający otrzymuje 1 punkt.\n1 pkt - poprawne rozwiązanie nierówności ∆ > 0: 𝑚∈(-∞, -3) ∪(1, +∞).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga.\nJeżeli zdający rozwiązuje warunek ∆ ≥0, to za tę część rozwiązania otrzymuje 0 punktów.\nDrugi etap polega na wyznaczeniu tych wartości parametru 𝑚, dla których miejsca zerowe\nfunkcji 𝑓 są tego samego znaku. Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje\n1 punkt.\n1 pkt - zapisanie i poprawne rozwiązanie nierówności 𝑚 + 8\n2 - 𝑚> 0: 𝑚∈(-8, 2).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nTrzeci etap polega na wyznaczeniu tych wartości parametru 𝑚, dla których jest spełniony\nwarunek (𝑥1 -𝑥2)2 ≤180. Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje\n3 punkty.\nPodział punktów za trzeci etap rozwiązania:\n3 pkt - rozwiązanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚 równoważnej warunkowi\n(𝑥1 -𝑥2)2 ≤180: 𝑚∈(-∞, 3\n2] ∪[13\n4 , +∞).\n2 pkt - zapisanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚 równoważnej warunkowi\n(𝑥1 -𝑥2)2 ≤180, np.\n[2(2𝑚 + 1)\n2 - 𝑚\n]\n2\n-4 ⋅𝑚 + 8\n2 - 𝑚≤180\n1 pkt - przekształcenie nierówności (𝑥1 -𝑥2)2 ≤180 do postaci pozwalającej na\nbezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a, np. (𝑥1 + 𝑥2)2 -4𝑥1𝑥2 ≤180\nALBO\n- przekształcenie nierówności (𝑥1 -𝑥2)2 ≤180 do postaci Δ\n𝑎2 ≤180 (lub\n𝑏2- 4𝑎𝑐\n𝑎2\n≤180).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nCzwarty etap polega na wyznaczeniu wszystkich wartości parametru 𝑚, które spełniają\njednocześnie warunki: 𝑚≠2 oraz 𝑚∈(-∞, -3) ∪(1, +∞) oraz 𝑚∈(-8, 2) oraz\n𝑚∈(-∞, 3\n2] ∪[13\n4 , +∞):\n𝑚∈(-8, -3) ∪(1, 3\n2].\nZa poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.\n1 pkt - poprawne wyznaczenie wszystkich wartości parametru 𝑚, które spełniają\njednocześnie warunki 𝑚≠2 oraz 𝑚∈(-∞, -3) ∪(1, +∞) oraz 𝑚∈(-8, 2)\noraz 𝑚∈(-∞, 3\n2] ∪[13\n4 , +∞): 𝑚∈(-8, -3) ∪(1, 3\n2].\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający w którymś z etapów I-III popełni błąd, który nie jest błędem rachunkowym,\nto za IV etap otrzymuje 0 punktów.\n2. Jeżeli zdający w etapach I-III nie popełni błędów innych niż rachunkowe i otrzyma zbiory\nrozwiązań, które nie są rozłączne i żaden z nich nie jest zbiorem liczb rzeczywistych,\na następnie poprawnie wyznaczy część wspólną zbiorów rozwiązań z etapów I-III\ni warunku 𝑚≠2, to za IV etap otrzymuje 1 punkt; natomiast jeżeli otrzyma zbiory\nrozwiązań, które są rozłączne lub co najmniej jeden z nich jest zbiorem liczb\nrzeczywistych, to za IV etap otrzymuje 0 punktów.\n3. Jeżeli zdający w III etapie rozwiązania popełni błąd - przyjmie, że\n𝑥1 + 𝑥2 = ± 𝑚 + 8\n2 - 𝑚 lub 𝑥1 ⋅𝑥2 = ± 2(2𝑚 + 1)\n2 - 𝑚\n, lub 𝑥1 + 𝑥2 = ± 𝑏\n2𝑎 , to za III etap może\notrzymać co najwyżej 2 punkty (1 punkt za przekształcenie nierówności\n(𝑥1 -𝑥2)2 ≤180 do postaci pozwalającej na bezpośrednie zastosowanie wzorów\nViète’a oraz 1 punkt za konsekwentne rozwiązanie nierówności do końca), a za IV etap\notrzymuje 0 punktów.\n4. Jeżeli zdający wprowadza dodatkowe założenie, które nie wynika z warunków zadania\n(np. 𝑥1 + 𝑥2 > 0), to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 5 punktów (co\nnajwyżej 1 punkt za I etap, co najwyżej 1 punkt za II etap i co najwyżej 3 punkty za III\netap).\n5. Jeżeli zdający podczas przekształcania nierówności (𝑥1 -𝑥2)2 ≤180 do postaci\npozwalającej na zastosowanie wzorów Viète’a popełni błąd, który nie jest błędem\nrachunkowym, ale otrzyma nierówność postaci (𝑥1 + 𝑥2)2 + 𝑘⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ≤180, gdzie\n𝑘≠-4, to za III etap może otrzymać co najwyżej 2 punkty (1 punkt za poprawne\nzastosowanie wzorów Viète’a oraz 1 punkt za konsekwentne rozwiązanie nierówności do\nkońca), a za IV etap otrzymuje 0 punktów.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nFunkcja 𝑓 ma dokładnie dwa miejsca zerowe tylko wówczas, gdy 2 -𝑚≠0 i wyróżnik Δ\ntrójmianu (2 -𝑚)𝑥2 -2(2𝑚+ 1)𝑥+ 𝑚+ 8 jest dodatni. Rozwiązujemy warunek Δ > 0:\n[-2(2𝑚+ 1)]2 -4 ⋅(2 -𝑚)(𝑚+ 8) > 0\n16𝑚2 + 16𝑚+ 4 + 4𝑚2 + 24𝑚-64 > 0\n20𝑚2 + 40𝑚-60 > 0\n20(𝑚-1)(𝑚+ 3) > 0\n𝑚∈(-∞, -3) ∪(1, +∞)\nMiejsca zerowe funkcji 𝑓 mają ten sam znak tylko wtedy, gdy 𝑥1 ⋅𝑥2 > 0. Rozwiązujemy tę\nnierówność, korzystając ze wzorów Viète’a:\n𝑚+ 8\n2 -𝑚> 0\n(𝑚+ 8)(2 -𝑚) > 0 ∧ 𝑚≠2\n𝑚∈(-8, 2)\nPrzekształcamy warunek (𝑥1 -𝑥2)2 ≤180 do postaci pozwalającej na bezpośrednie\nzastosowanie wzorów Viète’a i rozwiązujemy uzyskaną nierówność z niewiadomą 𝑚:\n(𝑥1 -𝑥2)2 ≤180\n(𝑥1 + 𝑥2)2 -4 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ≤180\n[-2(2𝑚+ 1)\n2 -𝑚\n]\n2\n-4 ⋅𝑚+ 8\n2 -𝑚≤180\n16𝑚2 + 16𝑚+ 4\n(𝑚-2)2\n+ 4 ⋅(𝑚+ 8)(𝑚-2)\n(𝑚-2)2\n-180(𝑚-2)2\n(𝑚-2)2\n≤0\n16𝑚2 + 16𝑚+ 4 + 4𝑚2 + 24𝑚-64 -180𝑚2 + 720𝑚-720\n(𝑚-2)2\n≤0\n-160𝑚2 + 760𝑚-780\n(𝑚-2)2\n≤0\n-160𝑚2 + 760𝑚-780 ≤0 ∧ 𝑚≠2\n8𝑚2 -38𝑚+ 39 ≥0 ∧ 𝑚≠2\nΔ𝑚= (-38)2 -4 ⋅8 ⋅39 = 196\n𝑚= 38 -14\n16\n= 3\n2 ∨ 𝑚= 38 + 14\n16\n= 13\n4\n8 (𝑚-3\n2) (𝑚-13\n4 ) ≥0 ∧ 𝑚≠2\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑚∈(-∞, 3\n2] ∪[13\n4 , +∞)\nWyznaczamy wszystkie wartości parametru 𝑚, które jednocześnie spełniają warunki:\n𝑚≠2\n𝑚∈(-∞, -3) ∪(1, +∞)\n𝑚∈(-8, 2)\n𝑚∈(-∞, 3\n2] ∪[13\n4 , +∞):\n𝑚∈(-8, -3) ∪(1, 3\n2]\nFunkcja 𝑓 ma dokładnie dwa miejsca zerowe 𝑥1 oraz 𝑥2 tego samego znaku, które\nspełniają warunek (𝑥1 -𝑥2)2 ≤180, tylko wtedy, gdy 𝑚∈(-8, -3) ∪(1, 3\n2].","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/15","paper_id":"matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"15","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 15. (0-6)\nRozważamy wszystkie stożki, których wysokość jest większa od 5, a odległość środka\npodstawy od tworzącej jest równa 5.\na) Wykaż, że objętość 𝑉 stożka, jako funkcja wysokości ℎ stożka, wyraża się wzorem\n𝑉(ℎ) = 𝜋\n3 ⋅\n25ℎ3\nℎ2 -25\nb) Objętość 𝑉 stożka, jako funkcja wysokości ℎ stożka, wyraża się wzorem\n𝑉(ℎ) = 𝜋\n3 ⋅\n25ℎ3\nℎ2 -25\ndla ℎ∈(5, +∞).\nWyznacz wysokość tego z rozważanych stożków, którego objętość jest najmniejsza.\nOblicz tę najmniejszą objętość.\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n15.\nMaks. liczba pkt\n6\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-R0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-R0_100\n\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2015\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2015\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2015","answer":null,"answer_text":"Zadanie 15. (0-6)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n11.6R) stosuje pochodne do rozwiązywania\nzagadnień optymalizacyjnych.\nZasady oceniania\nCzęść a)\n2 pkt - poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.\n1 pkt - zapisanie związku między promieniem podstawy stożka a wysokością stożka, np.\n1\n2 𝑟ℎ= 1\n2 ⋅5 ⋅√ℎ2 + 𝑟2, (5\n𝑟)\n2\n+ (5\nℎ)\n2\n= 1, 𝑟\n5 =\nℎ\n√ℎ2-25\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nCzęść b)\n4 pkt - uzasadnienie, że funkcja 𝑉 przyjmuje wartość najmniejszą dla ℎ= 5√3 oraz\nobliczenie objętości stożka o takiej wysokości: 𝑉(5√3) = 125√3𝜋\n2\n3 pkt - uzasadnienie (np. poprzez badanie monotoniczności funkcji), że funkcja 𝑉 przyjmuje\nwartość najmniejszą dla ℎ= 5√3.\n2 pkt - obliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji 𝑉 (lub funkcji 3\n𝜋⋅𝑉): ℎ= 5√3.\n1 pkt - wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑉 (lub funkcji 3\n𝜋⋅𝑉), np.\n𝑉′(ℎ) = 𝜋\n3 ⋅\n75ℎ2⋅(ℎ2-25)-25ℎ3⋅2ℎ\n(ℎ2-25)\n2\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający wyznacza pochodną ilorazu jako iloraz pochodnych, to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli z rozwiązania wynika, że zdający poprawnie stosuje wzór na pochodną ilorazu\nfunkcji oraz zdający poprawnie wyznacza pochodne funkcji 25ℎ3 oraz ℎ2 -25 i dalej\npopełnia błędy, otrzymując pochodną w postaci 𝑎⋅\n75ℎ2(ℎ2-25)-25ℎ3⋅2ℎ\n(ℎ2-25)\n(gdzie 𝑎≠0)\nlub\n𝐵(ℎ)\n(ℎ2-25)\n2, gdzie 𝐵 jest wielomianem stopnia czwartego, który w przedziale (5, +∞)\nma dokładnie jeden pierwiastek, i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może\notrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (za miejsce zerowe pochodnej, za\nuzasadnienie istnienia najmniejszej wartości funkcji, za obliczenie najmniejszej wartości\nfunkcji 𝑉).\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nJeżeli z rozwiązania nie wynika, że zdający poprawnie stosuje wzór na pochodną ilorazu\nfunkcji lub zdający błędnie wyznacza pochodną funkcji 25ℎ3 lub ℎ2 -25 i dalej\npopełnia błędy, otrzymując pochodną w postaci\n75ℎ2(ℎ2-25)-25ℎ3⋅2ℎ\n(ℎ2-25)\nlub\n𝐵(ℎ)\n(ℎ2-25)\n2 ,\ngdzie 𝐵 jest wielomianem stopnia czwartego, który w przedziale (5, +∞) ma dokładnie\njeden pierwiastek, i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co\nnajwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za uzasadnienie istnienia najmniejszej wartości\nfunkcji i za obliczenie najmniejszej wartości funkcji 𝑉).\n3. Za poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja osiąga wartość najmniejszą dla\nwyznaczonej wartości ℎ, przy której pochodna się zeruje, można uznać sytuację, gdy\nzdający bada znak pochodnej\nORAZ:\n- opisuje (słownie lub graficznie - np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji 𝑉\nLUB\n- zapisuje, że dla wyznaczonej wartości ℎ funkcja 𝑉 ma minimum lokalne i jest to\njednocześnie jej najmniejsza wartość,\nLUB\n- zapisuje, że dla wyznaczonej wartości ℎ funkcja 𝑉 ma minimum lokalne i jest to\njedyne ekstremum tej funkcji.\nBadanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres\nfunkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak, i zaznaczając na rysunku (np.\nznakami „+” i „-”) znak pochodnej.\n4. Jeżeli zdający przedstawi niepełne uzasadnienie, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty\nza całe rozwiązanie (nie otrzymuje punktu za uzasadnienie istnienia najmniejszej\nwartości).\n5. Jeżeli zdający, uzasadniając najmniejszą wartość funkcji, rozpatruje funkcję w ℝ lub\nℝ+ , to może uzyskać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.\n6. Jeżeli zdający nie uzasadnia istnienia najmniejszej wartości funkcji, to może uzyskać co\nnajwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za pochodną i 1 punkt za miejsce zerowe\npochodnej).\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\na)\nRozpatrzmy dowolny z rozważanych stożków. Przyjmijmy następujące oznaczenia:\n𝐴, 𝐵, 𝐶 - wierzchołki trójkąta, który jest przekrojem osiowym stożka,\n𝐷 - środek podstawy stożka,\n𝐸 - spodek wysokości trójkąta 𝐷𝐵𝐶 opuszczonej z wierzchołka 𝐷 na bok 𝐵𝐶,\n𝑟 - promień podstawy stożka,\nℎ - wysokość stożka\n(zobacz rysunek).\nZapisujemy pole trójkąta 𝐷𝐵𝐶 na dwa sposoby i stosujemy twierdzenie Pitagorasa,\notrzymując:\n1\n2 ⋅|𝐷𝐵| ⋅|𝐷𝐶| = 1\n2 ⋅|𝐵𝐶| ⋅|𝐷𝐸|\n1\n2 𝑟ℎ= 1\n2 ⋅√ℎ2 + 𝑟2 ⋅5\n𝑟2ℎ2 = 25ℎ2 + 25𝑟2\n𝑟2 =\n25ℎ2\nℎ2 -25\nZatem objętość 𝑉 stożka jest równa\n𝑉= 1\n3 𝜋𝑟2ℎ= 1\n3 𝜋⋅\n25ℎ2\nℎ2 -25 ⋅ℎ= 𝜋\n3 ⋅\n25ℎ3\nℎ2 -25\nTo należało wykazać.\nb)\nObliczamy argument, dla którego funkcja 𝑉 określona wzorem 𝑉(ℎ) = 𝜋\n3 ⋅25ℎ3\nℎ2-25\ndla\nℎ∈(5, +∞) osiąga wartość najmniejszą.\nWyznaczamy pochodną funkcji 𝑉: 𝑉′(ℎ) = 𝜋\n3 ⋅\n75ℎ2⋅(ℎ2-25)-25ℎ3⋅2ℎ\n(ℎ2-25)\n2\n= 𝜋\n3 ⋅25ℎ2(ℎ2-75)\n(ℎ2-25)\n2\ndla ℎ∈(5, +∞).\nObliczamy miejsca zerowe pochodnej funkcji 𝑉:\n𝑉′(ℎ) = 0\n𝜋\n3 ⋅25ℎ2(ℎ2 -75)\n(ℎ2 -25)2\n= 0\n25ℎ2(ℎ2 -75) = 0\n𝐴\n𝐷\n𝐵\n𝐸\n𝑟\n5\nℎ\n𝐶\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nℎ= 0 ∉(5, +∞) ∨ ℎ= -5√3 ∉(5, +∞) ∨ ℎ= 5√3 ∈(5, +∞)\nBadamy znak pochodnej:\n𝑉′(ℎ) < 0\n𝜋\n3 ⋅25ℎ2(ℎ2 -75)\n(ℎ2 -25)2\n< 0 ∧ ℎ∈(5, +∞)\nℎ2(ℎ2 -75) < 0 ∧ ℎ∈(5, +∞)\nℎ2 < 75 ∧ ℎ∈(5, +∞)\nℎ∈(5, 5√3)\nwięc 𝑉′(ℎ) < 0 dla ℎ∈(5, 5√3) oraz 𝑉′(ℎ) > 0 dla ℎ∈(5√3, +∞).\nZatem funkcja 𝑉 jest malejąca w przedziale (5, 5√3] i rosnąca w przedziale [5√3, +∞).\nStąd funkcja 𝑉 osiąga wartość najmniejszą dla ℎ= 5√3. Wtedy\n𝑉(5√3) = 𝜋\n3 ⋅\n25(5√3)\n3\n(5√3)\n2 -25\n= 125√3𝜋\n2\nUwaga.\nFunkcja 𝑉 jest różniczkowalna, więc jest ciągła. Ponadto lim\nℎ→5+ 𝑉(ℎ) = +∞ oraz\nlim\nℎ→+∞𝑉(ℎ) = +∞, więc uwzględniając wartość funkcji 𝑉 w punkcie stacjonarnym ℎ= 5√3\nrówną 𝑉(5√3) = 125√3𝜋\n2\n, można wyciągnąć wniosek, że funkcja 𝑉 osiąga wartość\nnajmniejszą równą 125√3𝜋\n2\ndla argumentu ℎ= 5√3.","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":25,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}