{"paper":{"id":"matematyka-2025-marzec-politechnika-lodzka-probna-rozszerzona","subject":"matematyka","category":"probna","year":2025,"month":"marzec","level":"rozszerzona","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2025-marzec-politechnika-lodzka-probna-rozszerzona/matematyka-2025-marzec-politechnika-lodzka-probna-rozszerzona.pdf","key_pdf":"matematyka-2025-marzec-politechnika-lodzka-probna-rozszerzona-odpowiedzi/matematyka-2025-marzec-politechnika-lodzka-probna-rozszerzona-odpowiedzi.pdf","question_count":14,"source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},"questions":[{"id":"matematyka-2025-marzec-politechnika-lodzka-probna-rozszerzona/zad/1","paper_id":"matematyka-2025-marzec-politechnika-lodzka-probna-rozszerzona","number":"1","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2025,"month":"marzec","level":"rozszerzona","text":"Oblicz środkowy wyraz rozwinięcia ( x - 2 3 )^ 16 . przedstaw w postaci a x^n , gdzie a R oraz n N . Zapisz obliczenia. [odp_otwarta1]","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":null,"solution_image":null,"topics":"kombinatoryka","page_from":null,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"zadaniazmatur","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2025-marzec-politechnika-lodzka-probna-rozszerzona/zad/2","paper_id":"matematyka-2025-marzec-politechnika-lodzka-probna-rozszerzona","number":"2","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2025,"month":"marzec","level":"rozszerzona","text":"Dana jest dodatnia liczba a i dodatnia liczba b : a = 36^ _ 4 2 5 _ 6 16 - 2 _ 6 2 b = 8 _ 4 2 2 - _ 4 9 _ 3 4 , ile razy liczba a b jest większa od liczby a b . Zapisz obliczenia. [odp_otwarta1]","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":null,"solution_image":null,"topics":"logarytmy","page_from":null,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"zadaniazmatur","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2025-marzec-politechnika-lodzka-probna-rozszerzona/zad/3","paper_id":"matematyka-2025-marzec-politechnika-lodzka-probna-rozszerzona","number":"3","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2025,"month":"marzec","level":"rozszerzona","text":"Oblicz granicę _ n 12^n + 13^n + 14^n obliczenia. [odp_otwarta1]","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":null,"solution_image":null,"topics":"granice","page_from":null,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"zadaniazmatur","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2025-marzec-politechnika-lodzka-probna-rozszerzona/zad/4","paper_id":"matematyka-2025-marzec-politechnika-lodzka-probna-rozszerzona","number":"4","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2025,"month":"marzec","level":"rozszerzona","text":"Wśród pewnej społeczności kobiet i mężczyzn przeprowadzono ankietę w której zadano pytanie: „Czy jest Pan/Pani za legalizacją posiadania broni palnej w Polsce?”. W tej grupie osób 60 % ankietowanych stanowią kobiety, z których 2 % opowiedziało się za legalizacją oraz 93 % mężczyzn jest jej przeciwna. Spośród wszystkich ankietowanych wybrano losowo jedną osobę oraz okazało się, że osoba ta jest zwolennikiem posiadania broni palnej. prawdopodobieństwo, że wylosowana osoba jest kobietą. Wynik zapisz w postaci procentu. Zapisz obliczenia. [odp_otwarta1]","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":null,"solution_image":null,"topics":"prawdopodobienstwo","page_from":null,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"zadaniazmatur","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2025-marzec-politechnika-lodzka-probna-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2025-marzec-politechnika-lodzka-probna-rozszerzona","number":"5","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2025,"month":"marzec","level":"rozszerzona","text":"Funkcja f jest określona wzorem f(x) = x^8 - 5x^6 + 4x^3 - 2x + 4 dla każdego x R . ż, że funkcja f ma w zbiorze liczb rzeczywistych co najmniej dwa miejsca zerowe przeciwnych znaków. [odp_otwarta1]","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":null,"solution_image":null,"topics":"wielomiany","page_from":null,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"zadaniazmatur","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2025-marzec-politechnika-lodzka-probna-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2025-marzec-politechnika-lodzka-probna-rozszerzona","number":"6","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2025,"month":"marzec","level":"rozszerzona","text":"Funkcja f(x) = 9x + 16 jest określona dla każdej liczby rzeczywistej x [ - 16 9 ; + ) . P = (x_0, 5) należy do wykresu funkcji f . x_0 oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie P . Zapisz obliczenia. [odp_otwarta1]","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":null,"solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":null,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"zadaniazmatur","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2025-marzec-politechnika-lodzka-probna-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2025-marzec-politechnika-lodzka-probna-rozszerzona","number":"7","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2025,"month":"marzec","level":"rozszerzona","text":"Rozwiąż nierówność 2x^2 + 6x + 18 + > 9 lewa strona nierówności jest sumą zbieżnego, nieskończonego ciągu geometrycznego. Zapisz obliczenia. [odp_otwarta1]","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":null,"solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":null,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"zadaniazmatur","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2025-marzec-politechnika-lodzka-probna-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2025-marzec-politechnika-lodzka-probna-rozszerzona","number":"8","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2025,"month":"marzec","level":"rozszerzona","text":"Rozważamy wszystkie liczby naturalne ośmiocyfrowe, w których zapisie dziesiętnym występuje dokładnie dwa razy cyfra 2 i dokładnie trzy razy cyfra 3 . , ile jest wszystkich takich liczb. Zapisz obliczenia. [odp_otwarta1]","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":null,"solution_image":null,"topics":"kombinatoryka","page_from":null,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"zadaniazmatur","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2025-marzec-politechnika-lodzka-probna-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2025-marzec-politechnika-lodzka-probna-rozszerzona","number":"9","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2025,"month":"marzec","level":"rozszerzona","text":"Dany jest trójkąt ABC o polu równym 8 , w którym podstawa |AB| ma długość 4 . wierzchołka C poprowadzono wysokość |CD| na bok |AB| trójkąta ABC . kąta CAB poprowadzono odcinek, który przecina bok |BC| w punkcie E takim, że punkt E leży na symetralnej odcinka |AB| oraz |BE| = 13 . Odcinek |AE| przecina wysokość |CD| w punkcie F i tworzy czworokąt DBEF (zobacz rysunek).\ndługość boku |AC| tego trójkąta. Zapisz obliczenia. [odp_otwarta1]","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/zz/matR_SMWP_2025_03_zad9_rys1.png","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":null,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"zadaniazmatur","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2025-marzec-politechnika-lodzka-probna-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2025-marzec-politechnika-lodzka-probna-rozszerzona","number":"10","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2025,"month":"marzec","level":"rozszerzona","text":"Parabola y = -x^2 + 4x + 2 przecina okrąg o równaniu (x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 10 w punktach o współrzędnych (x, y) . Punktem kratowym nazywamy taki punkt, który w kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) ma obie współrzędne x i y będące liczbami całkowitymi. pole trójkąta ograniczonego punktami kratowymi przecięcia paraboli z okręgiem oraz początkiem kartezjańskiego układu współrzędnych. Zapisz obliczenia. [odp_otwarta1]","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":null,"solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":null,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"zadaniazmatur","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2025-marzec-politechnika-lodzka-probna-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2025-marzec-politechnika-lodzka-probna-rozszerzona","number":"11","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2025,"month":"marzec","level":"rozszerzona","text":"Rozwiąż równanie (2x) = 2 tg x 1 + tg x zbiorze -2 , 0 . Zapisz obliczenia. [odp_otwarta1]","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":null,"solution_image":null,"topics":"trygonometria","page_from":null,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"zadaniazmatur","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2025-marzec-politechnika-lodzka-probna-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2025-marzec-politechnika-lodzka-probna-rozszerzona","number":"12","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2025,"month":"marzec","level":"rozszerzona","text":"Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie (m + 1) x^2 + (m^2 - 1) x + m^2 + 3m + 2 = 0 dwa różne rozwiązania rzeczywiste x_1 , x_2 spełniające warunki: x_1 0, x_2 0 oraz 1 x_1^3 + 1 x_2^3 -10 obliczenia. [odp_otwarta1]","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":null,"solution_image":null,"topics":"parametr","page_from":null,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"zadaniazmatur","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2025-marzec-politechnika-lodzka-probna-rozszerzona/zad/13.1","paper_id":"matematyka-2025-marzec-politechnika-lodzka-probna-rozszerzona","number":"13.1","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2025,"month":"marzec","level":"rozszerzona","text":"Rozważamy wszystkie stożki o polu powierzchni bocznej 9 3 , których promień podstawy ma długość nie większą niż 2 3 . ż, że objętość V każdego z takich stożków w zależności od długości r promienia podstawy jest określona wzorem V(r) = 3 243r^2 - r^6 [odp_otwarta1]","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":null,"solution_image":null,"topics":"optymalizacja","page_from":null,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"zadaniazmatur","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2025-marzec-politechnika-lodzka-probna-rozszerzona/zad/13.2","paper_id":"matematyka-2025-marzec-politechnika-lodzka-probna-rozszerzona","number":"13.2","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2025,"month":"marzec","level":"rozszerzona","text":"Rozważamy wszystkie stożki o polu powierzchni bocznej 9 3 , których promień podstawy ma długość nie większą niż 2 3 . ętość V stożka w zależności od długości r promienia podstawy jest określona wzorem V(r) = 3 243r^2 - r^6 r ( 0, 2 3 ] . długość r promienia podstawy tego z rozważanych stożków, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość. Zapisz obliczenia. [odp_otwarta1]","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":null,"solution_image":null,"topics":"optymalizacja","page_from":null,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"zadaniazmatur","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"}]}