{"paper":{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":43,"source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},"questions":[{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba |√5 -3| + |√5 -1| jest równa\nA. 2√5 -4\nB. 2√5 + 4\nC. 2\nD. 4\nLiczba |√5-3| + |√5-1| jest równa A. 2√5-4 B. 2√5+4 C. 2 D. 4","answer":"C","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nWymagania określone w podstawie programowej1\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach\nrzeczywistych, także przy użyciu\nkalkulatora, stosowanie praw działań\nmatematycznych przy przekształcaniu\nwyrażeń algebraicznych oraz\nwykorzystywanie tych umiejętności przy\nrozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nZdający:\nI.7) stosuje interpretację […] algebraiczną\nwartości bezwzględnej […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC\n1 Rozporządzenie Ministra Edukacji z dnia 28 czerwca 2024 r. zmieniające rozporządzenie w sprawie podstawy\nprogramowej kształcenia ogólnego dla liceum ogólnokształcącego, technikum oraz branżowej szkoły II stopnia\n(Dz.U. z 2024 r. poz. 1019).\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(5^8\\)\n\n## Sposób 1 - Zamiana podstaw na potęgi liczby 5\n\n**Kluczowa obserwacja:** \\(25 = 5^2\\) i \\(125 = 5^3\\). Zamieniamy wszystko na potęgi liczby 5.\n\n**Licznik:**\n\\[25^{-2} = (5^2)^{-2} = 5^{2 \\cdot (-2)} = 5^{-4}\\]\n\n**Mianownik:**\n\\[125^{-4} = (5^3)^{-4} = 5^{3 \\cdot (-4)} = 5^{-12}\\]\n\n**Dzielenie potęg o tej samej podstawie** (odejmujemy wykładniki):\n\\[\\frac{25^{-2}}{125^{-4}} = \\frac{5^{-4}}{5^{-12}} = 5^{-4 - (-12)} = 5^{-4 + 12} = 5^{8}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(5^8\\)**\n\n## Sposób 2 - Uproszczenie przez własność ujemnego wykładnika\n\nZamiast od razu obliczać, **przenosimy ujemne wykładniki** (odwracamy ułamek i zmieniamy znaki):\n\n\\[\\frac{25^{-2}}{125^{-4}} = \\frac{125^4}{25^2}\\]\n\nTeraz zamieniamy:\n\\[125^4 = (5^3)^4 = 5^{12}\\]\n\\[25^2 = (5^2)^2 = 5^4\\]\n\n\\[\\frac{5^{12}}{5^4} = 5^{12-4} = 5^8\\]\n\n**Odpowiedź: \\(5^8\\)** - wynik zgodny ze Sposobem 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)**\n\nWzór na potęgę potęgi:\n\\[(a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\]\nUżyliśmy go, zamieniając np. \\((5^2)^{-2} = 5^{-4}\\).\n\nWzór na dzielenie potęg o tej samej podstawie:\n\\[\\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}\\]\nUżyliśmy go w ostatnim kroku obu sposobów.\n\nDefinicja ujemnego wykładnika:\n\\[a^{-n} = \\frac{1}{a^n}\\]\nPozwala \"przenieść\" potęgę z licznika do mianownika (Sposób 2).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A: \\(5^{-16}\\) | Dodawanie wykładników zamiast odejmowania: \\(-4 + (-12) = -16\\). Pomylenie dzielenia z mnożeniem potęg. |\n| B: \\(5^{-2}\\) | Obliczenie \\(5^{-4-(-12)}\\) jako \\(5^{-4+(-12)} = 5^{-16}\\) nie a tu: wzięcie \\(2-4 = -2\\) - mieszanie oryginalnych wykładników \\(-2\\) i \\(-4\\) bez zamiany podstaw. |\n| C: \\(5^4\\) | Poprawna zamiana podstaw, ale błąd w odejmowaniu: \\(-4 - (-12) = -4 + 12\\) policzone jako \\(12 - 4 - 4 = 4\\) (odjęcie obu składników osobno). |\n| D | Poprawne rozwiązanie ✓ |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy odejmowaniu wykładnika ujemnego: \\(-4 - (-12) = -4 + 12 = 8\\) - dwa minusy dają plus! To najczęstszy błąd w tym zadaniu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kolejność zamiany ma znaczenie - najpierw zamień podstawy (\\(25 = 5^2\\), \\(125 = 5^3\\)), a dopiero potem działaj na wykładnikach. Nie próbuj skrótu \"bo 25 to \\(5^2\\) więc wykładnik razy 2\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ujemny wykładnik przy całym ułamku to NIE to samo, co ujemny wykładnik przy liczniku i mianowniku osobno - tutaj jednak każda liczba ma swój osobny wykładnik, więc działamy na każdej z osobna.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Potęgi o tej samej podstawie (karta wzorów, dział 1)\n\\(25 = 5^{2}\\), \\(125 = 5^{3}\\).\n\\[\\dfrac{25^{-2}}{125^{-4}} = \\dfrac{(5^{2})^{-2}}{(5^{3})^{-4}} = \\dfrac{5^{-4}}{5^{-12}} = 5^{-4-(-12)} = 5^{8}.\\]\n\n### Sposób 2 - Przez ujemne wykładniki\n\\(\\dfrac{25^{-2}}{125^{-4}} = \\dfrac{125^{4}}{25^{2}} = \\dfrac{5^{12}}{5^{4}} = 5^{8}.\\)\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(5^{-16}\\)** - błąd: pomnożenie wykładników \\(-4 \\cdot (-12) = 48\\) źle odwrócone.\n- **B. \\(5^{-2}\\)** - pomylenie znaków w wykładniku.\n- **C. \\(5^{4}\\)** - brak uwzględnienia ujemnego wykładnika mianownika.\n\n**Trik:** dzielenie potęg = różnica wykładników, a minus ujemny to plus: \\(-4 - (-12) = 8\\).","image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-1.svg","topics":"Wartość bezwzględna","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba 25-2\n125-4 jest równa\nA. 5-16\nB. 5-2\nC. 54\nD. 58\n\nMMAP-P0_100\nLiczba 25^{-2} / 125^{-4} jest równa A. 5^{-16} B. 5^{-2} C. 5^4 D. 5^8","answer":"D","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nI.4) stosuje […] prawa działań na potęgach\n[…].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(6\\sqrt[3]{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Wyłączanie przed pierwiastek\n\nKluczowy pomysł: rozbijamy liczby pod pierwiastkami na iloczyn sześcianów i reszty.\n\n**Krok 1.** Rozkładamy \\(24\\) i \\(192\\):\n\\[24 = 8 \\cdot 3 = 2^3 \\cdot 3\\]\n\\[192 = 64 \\cdot 3 = 4^3 \\cdot 3\\]\n\n**Krok 2.** Wyłączamy pełne sześciany przed pierwiastek (korzystamy z \\(\\sqrt[3]{a \\cdot b} = \\sqrt[3]{a} \\cdot \\sqrt[3]{b}\\)):\n\\[\\sqrt[3]{24} = \\sqrt[3]{2^3 \\cdot 3} = 2\\sqrt[3]{3}\\]\n\\[\\sqrt[3]{192} = \\sqrt[3]{4^3 \\cdot 3} = 4\\sqrt[3]{3}\\]\n\n**Krok 3.** Dodajemy (jak wyrazy podobne - oba mają wspólny czynnik \\(\\sqrt[3]{3}\\)):\n\\[\\sqrt[3]{24} + \\sqrt[3]{192} = 2\\sqrt[3]{3} + 4\\sqrt[3]{3} = \\mathbf{6\\sqrt[3]{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - Wyłączenie wspólnego czynnika spod pierwiastka\n\nInny punkt wejścia: zauważamy od razu, że \\(192 = 8 \\cdot 24\\).\n\n**Krok 1.** Wyłączamy \\(\\sqrt[3]{24}\\) jako wspólny czynnik:\n\\[\\sqrt[3]{24} + \\sqrt[3]{192} = \\sqrt[3]{24} + \\sqrt[3]{8 \\cdot 24} = \\sqrt[3]{24} + \\sqrt[3]{8} \\cdot \\sqrt[3]{24}\\]\n\n**Krok 2.** Ponieważ \\(\\sqrt[3]{8} = 2\\):\n\\[= \\sqrt[3]{24} + 2\\sqrt[3]{24} = 3\\sqrt[3]{24}\\]\n\n**Krok 3.** Upraszczamy \\(\\sqrt[3]{24}\\):\n\\[3\\sqrt[3]{24} = 3\\sqrt[3]{8 \\cdot 3} = 3 \\cdot 2\\sqrt[3]{3} = \\mathbf{6\\sqrt[3]{3}}\\]\n\nTen sposób jest sprytniejszy - mniej rozkładów, ale wymaga zauważenia relacji \\(192 = 8 \\cdot 24\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - własności pierwiastków:\n\\[\\sqrt[3]{a \\cdot b} = \\sqrt[3]{a} \\cdot \\sqrt[3]{b}\\]\n\\[\\sqrt[n]{a^n} = a \\quad \\text{(dla } a \\geq 0\\text{)}\\]\n\nUżyliśmy tych własności w obu Sposobach - rozbijając iloczyn spod pierwiastka i wyciągając pełną potęgę (np. \\(\\sqrt[3]{4^3} = 4\\)).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Próba bezpośredniego dodania liczb pod pierwiastkami: \\(\\sqrt[3]{24 + 192} = \\sqrt[3]{216} = 6\\). **Uwaga:** \\(\\sqrt[3]{a} + \\sqrt[3]{b} \\neq \\sqrt[3]{a+b}\\)! |\n| B | Błędny rozkład: np. \\(24 = 4 \\cdot 6\\), \\(192 = 32 \\cdot 6\\), a potem błędne wyciągnięcie - wynik \\((2+4)\\sqrt[3]{6} = 6\\sqrt[3]{6}\\) albo \\(3\\sqrt[3]{6}\\) przy pomyleniu czynników. Pojawia się gdy ktoś \"widzi\" \\(\\sqrt[3]{6}\\) zamiast \\(\\sqrt[3]{3}\\). |\n| D | Połączenie dwóch błędów: próba dodania \\(\\sqrt[3]{a + b}\\) albo błędny rozkład na czynnik \\(\\sqrt[3]{6}\\) i dodatkowo błędny współczynnik. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno dodawać liczb **pod** pierwiastkami: \\(\\sqrt[3]{24} + \\sqrt[3]{192} \\neq \\sqrt[3]{24+192}\\). To jeden z najczęstszych błędów - pierwiastki działają na mnożeniu, nie dodawaniu!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Szukaj pełnych sześcianów w rozkładzie. Pytanie: *ile razy 8 (= \\(2^3\\)) wchodzi w tę liczbę?* - to klucz do uproszczenia pierwiastka sześciennego.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź B (\\(3\\sqrt[3]{6}\\)) pojawia się, gdy pomylisz \\(\\sqrt[3]{3}\\) z \\(\\sqrt[3]{6}\\) - łatwo to zrobić \"z głowy\". Zawsze sprawdź, co dokładnie zostaje pod pierwiastkiem po wyciągnięciu sześcianu.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Wyłączenie czynnika (karta wzorów, dział 1)\n\\(24 = 8 \\cdot 3\\), \\(192 = 64 \\cdot 3\\).\n\\[\\sqrt[3]{24} = \\sqrt[3]{8 \\cdot 3} = 2\\sqrt[3]{3}, \\quad \\sqrt[3]{192} = \\sqrt[3]{64 \\cdot 3} = 4\\sqrt[3]{3}.\\]\nSuma: \\(2\\sqrt[3]{3} + 4\\sqrt[3]{3} = 6\\sqrt[3]{3}\\).\n\n### Sposób 2 - Przybliżenie numeryczne\n\\(\\sqrt[3]{24} \\approx 2{,}884\\), \\(\\sqrt[3]{192} \\approx 5{,}769\\). Suma \\(\\approx 8{,}653\\). \\(6\\sqrt[3]{3} \\approx 6 \\cdot 1{,}442 \\approx 8{,}653\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(6\\)** - wartość znacznie mniejsza.\n- **B. \\(3\\sqrt[3]{6}\\)** - błędne wyłączenie czynnika.\n- **D. \\(6\\sqrt[3]{6}\\)** - niepoprawny rozkład na czynniki.\n\n**Trik:** szukaj największych sześcianów w liczbach podpierwiastkowych: \\(8 = 2^3\\), \\(64 = 4^3\\).","image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-2.svg","topics":"Liczby rzeczywiste","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba √24\n3\n+ √192\n3\njest równa\nA. 6\nB. 3√6\n3\nC. 6√3\n3\nD. 6√6\n3\nLiczba ∛24 + ∛192 jest równa A. 6 B. 3∛6 C. 6∛3 D. 6∛6","answer":"C","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nI.3) stosuje własności pierwiastków\ndowolnego stopnia […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: A \\(-2\\)\n\n## Sposób 1 - własność logarytmu ilorazu\n\nKorzystamy z własności: \\(\\log_a x - \\log_a y = \\log_a \\frac{x}{y}\\)\n\n\\[\\log_3 2 - \\log_3 18 = \\log_3 \\frac{2}{18} = \\log_3 \\frac{1}{9}\\]\n\nTeraz zauważamy, że \\(\\frac{1}{9} = \\frac{1}{3^2} = 3^{-2}\\), więc:\n\n\\[\\log_3 3^{-2} = -2\\]\n\n**Odpowiedź: \\(-2\\)**\n\n## Sposób 2 - rozkład logarytmów i uproszczenie\n\nZamiast łączyć od razu w iloraz, rozkładamy \\(\\log_3 18\\) na czynniki:\n\n\\[18 = 2 \\cdot 9 = 2 \\cdot 3^2\\]\n\n\\[\\log_3 18 = \\log_3(2 \\cdot 3^2) = \\log_3 2 + \\log_3 3^2 = \\log_3 2 + 2\\]\n\nPodstawiamy do wyrażenia:\n\n\\[\\log_3 2 - \\log_3 18 = \\log_3 2 - (\\log_3 2 + 2) = \\log_3 2 - \\log_3 2 - 2 = -2\\]\n\n**Odpowiedź: \\(-2\\)**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)**\n\nWłasność logarytmu ilorazu:\n\\[\\log_a\\left(\\frac{x}{y}\\right) = \\log_a x - \\log_a y\\]\nUżyta w Sposobie 1 do połączenia różnicy logarytmów.\n\nWłasność logarytmu iloczynu:\n\\[\\log_a(x \\cdot y) = \\log_a x + \\log_a y\\]\nUżyta w Sposobie 2 do rozkładu \\(\\log_3 18\\).\n\nWłasność potęgi logarytmu:\n\\[\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\]\nUżyta pośrednio - \\(\\log_3 3^{-2} = -2 \\cdot \\log_3 3 = -2 \\cdot 1 = -2\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B: \\(-\\frac{1}{2}\\) | Uczeń liczy \\(\\log_3 \\frac{18}{2} = \\log_3 9 = 2\\), czyli odejmuje w złej kolejności, a potem bierze odwrotność |\n| C: \\(\\frac{1}{2}\\) | Podobny błąd jak przy B - zamiana kolejności odejmowania daje \\(\\log_3 9 = 2\\), a potem pomyłka z odwrotnością |\n| D: \\(2\\) | Uczeń liczy \\(\\log_3 18 - \\log_3 2 = \\log_3 9 = 2\\) - odejmuje w odwrotnej kolejności |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kolejność odejmowania ma znaczenie! \\(\\log_3 2 - \\log_3 18 \\neq \\log_3 18 - \\log_3 2\\). Odpowiedź D to wynik zamiany kolejności.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź, czy wynik ma sens. Skoro \\(2 < 18\\), to \\(\\log_3 2 < \\log_3 18\\), więc różnica musi być **ujemna** - od razu eliminujemy odpowiedzi C i D.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić \\(\\log_3 \\frac{1}{9} = -2\\) z \\(\\frac{1}{\\log_3 9} = \\frac{1}{2}\\) - to zupełnie inne wyrażenia!\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Logarytm ilorazu (karta wzorów, dział 1)\n\\[\\log_{3} 2 - \\log_{3} 18 = \\log_{3} \\dfrac{2}{18} = \\log_{3} \\dfrac{1}{9} = \\log_{3} 3^{-2} = -2.\\]\n\n### Sposób 2 - Rozbicie drugiego logarytmu\n\\(\\log_{3} 18 = \\log_{3}(2 \\cdot 9) = \\log_{3} 2 + \\log_{3} 9 = \\log_{3} 2 + 2\\).\nStąd \\(\\log_{3} 2 - \\log_{3} 18 = \\log_{3} 2 - \\log_{3} 2 - 2 = -2\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(-\\tfrac{1}{2}\\)** - pomylenie z \\(\\log_{18} 3\\).\n- **C. \\(\\tfrac{1}{2}\\)** - błąd znaku.\n- **D. \\(2\\)** - odwrotny znak.\n\n**Trik:** zawsze upraszczaj ułamek \\(\\tfrac{2}{18} = \\tfrac{1}{9}\\) zanim liczysz logarytm.","image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-3.svg","topics":"Liczby rzeczywiste","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba log3 2 -log3 18 jest równa\nA. (-2)\nB. (-1\n2)\nC. 1\n2\nD. 2\n\nMMAP-P0_100\nLiczba log_3 2 - log_3 18 jest równa A. (-2) B. (-1/2) C. 1/2 D. 2","answer":"A","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nI.9) stosuje związek logarytmowania\nz potęgowaniem, posługuje się wzorami na\nlogarytm iloczynu, logarytm ilorazu\ni logarytm potęgi.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(12xy\\)\n\n## Sposób 1 - Wzory skróconego mnożenia\n\nRozwijamy każdy nawias osobno, korzystając ze wzorów na \\((a+b)^2\\) i \\((a-b)^2\\).\n\nOznaczmy \\(a = 3x\\), \\(b = y\\). Wtedy:\n\n\\[(3x+y)^2 = (3x)^2 + 2 \\cdot 3x \\cdot y + y^2 = 9x^2 + 6xy + y^2\\]\n\n\\[(3x-y)^2 = (3x)^2 - 2 \\cdot 3x \\cdot y + y^2 = 9x^2 - 6xy + y^2\\]\n\nOdejmujemy:\n\\[(3x+y)^2 - (3x-y)^2 = (9x^2 + 6xy + y^2) - (9x^2 - 6xy + y^2)\\]\n\nUsuwamy nawiasy (uwaga na minus przed drugim nawiasem!):\n\\[= 9x^2 + 6xy + y^2 - 9x^2 + 6xy - y^2\\]\n\nGrupujemy wyrazy podobne:\n\\[= (9x^2 - 9x^2) + (6xy + 6xy) + (y^2 - y^2) = \\mathbf{12xy}\\]\n\n## Sposób 2 - Wzór na różnicę kwadratów\n\nZauważamy, że wyrażenie ma postać \\(A^2 - B^2\\), gdzie \\(A = 3x+y\\) i \\(B = 3x-y\\).\n\nKorzystamy ze wzoru \\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\):\n\n\\[(3x+y)^2 - (3x-y)^2 = \\big[(3x+y) - (3x-y)\\big] \\cdot \\big[(3x+y) + (3x-y)\\big]\\]\n\nObliczamy każdy czynnik:\n\\[(3x+y) - (3x-y) = 3x + y - 3x + y = 2y\\]\n\n\\[(3x+y) + (3x-y) = 3x + y + 3x - y = 6x\\]\n\nZatem:\n\\[2y \\cdot 6x = \\mathbf{12xy}\\]\n\nTen sposób jest znacznie szybszy - warto go zapamiętać!\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**\n\nSposób 1 używa:\n\\[(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, \\qquad (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]\n\nSposób 2 używa:\n\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]\n\nOba wzory są na tej samej stronie karty - warto otworzyć ją tam na egzaminie.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B | \\(-12xy\\) - obliczono \\((3x-y)^2 - (3x+y)^2\\), czyli odejmowanie w odwrotnej kolejności |\n| C | \\(2y^2\\) - zapomniano odjąć \\(y^2\\) z drugiego nawiasu (traktowano \\(-(3x-y)^2\\) jako \\(-(9x^2 - y^2)\\) zamiast \\(-(9x^2 - 6xy + y^2)\\)) |\n| D | \\(4y^2\\) - błędnie rozwinięto \\((3x+y)^2 - (3x-y)^2 = 2y \\cdot 2y\\), mylnie licząc drugi czynnik w różnicy kwadratów |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy odejmujemy cały nawias z minusem, **każdy** wyraz zmienia znak. Błąd \\(-(9x^2 - 6xy + y^2) = -9x^2 - 6xy + y^2\\) (pominięcie zmiany znaku przy \\(-6xy\\)) to najczęstszy błąd w tym zadaniu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\) działa dla **dowolnych** wyrażeń podstawionych za \\(a\\) i \\(b\\) - nawet wielomianów. Gdy widzisz różnicę dwóch kwadratów, zawsze warto go zastosować - oszczędza dużo czasu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik \\(12xy\\) nie zawiera \\(x^2\\) ani \\(y^2\\) - to \\(x^2\\) i \\(y^2\\) zniosły się wzajemnie. Jeśli w wyniku zostaje ci \\(x^2\\), to znak błędu że popełniłeś gdzieś pomyłkę.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Wzór \\(A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)\\) (karta wzorów, dział 2)\n\\[(3x+y)^2 - (3x-y)^2 = \\big[(3x+y)-(3x-y)\\big]\\big[(3x+y)+(3x-y)\\big] = 2y \\cdot 6x = 12xy.\\]\n\n### Sposób 2 - Rozwinięcie wprost\n\\((3x+y)^2 = 9x^{2} + 6xy + y^{2}\\)\n\\((3x-y)^2 = 9x^{2} - 6xy + y^{2}\\)\nRóżnica: \\(12xy\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(-12xy\\)** - pomylony znak (odjęto w odwrotnej kolejności).\n- **C. \\(2y^{2}\\)** - błąd: zsumowane zamiast odjęte kwadraty.\n- **D. \\(4y^{2}\\)** - błędna formuła.\n\n**Trik:** ogólnie \\((A+B)^2 - (A-B)^2 = 4AB\\); tu \\(A = 3x, B = y\\), więc \\(4 \\cdot 3x \\cdot y = 12xy\\).","image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-4.svg","topics":"Logarytmy","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"5","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (0-2)\nWykaż, że liczba 𝟖𝟓𝟎-𝟐𝟏𝟒𝟓 jest podzielna przez 𝟑𝟏.\n\nMMAP-P0_100\nWykaż, że liczba 8^50 - 2^145 jest podzielna przez 31.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 5. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nI.2) przeprowadza proste dowody dotyczące\npodzielności liczb całkowitych i reszt\nz dzielenia […];\nI.4) stosuje […] prawa działań na potęgach\n[…].\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.\n1 pkt - przekształcenie wyrażenia 850 -2145 do postaci 2150 -2145.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nKorzystamy z własności działań na potęgach i otrzymujemy:\n850 -2145 = (23)50 -2145 = 2150 -2145\nWyłączamy wspólny czynnik przed nawias:\n2150 -2145 = 2145 ⋅(25 -1) = 2145 ⋅31\nLiczba 2145 jest liczbą całkowitą, zatem liczba 850 -2145 jest podzielna przez 31.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\((-\\infty, 1)\\)\n\n## Sposób 1 - Mnożenie obu stron przez mianownik\n\nMamy nierówność:\n\\[3 - x > \\frac{5x - 1}{2}\\]\n\n**Krok 1:** Mnożymy obie strony przez \\(2\\) (liczba dodatnia - znak nierówności **nie zmienia się**):\n\\[2(3 - x) > 5x - 1\\]\n\n**Krok 2:** Rozwijamy nawias po lewej stronie:\n\\[6 - 2x > 5x - 1\\]\n\n**Krok 3:** Przenosimy wyrazy z \\(x\\) na prawą stronę, liczby na lewą:\n\\[6 + 1 > 5x + 2x\\]\n\\[7 > 7x\\]\n\n**Krok 4:** Dzielimy obie strony przez \\(7\\) (dodatnie - znak bez zmian):\n\\[1 > x \\quad \\Longleftrightarrow \\quad x < 1\\]\n\n**Zbiorem rozwiązań jest \\(x \\in (-\\infty, 1)\\).**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie punktów kontrolnych\n\nSprawdzamy, czy wynik \\(x < 1\\) jest poprawny, podstawiając trzy punkty do oryginalnej nierówności \\(3 - x > \\dfrac{5x-1}{2}\\):\n\n| Punkt | Lewa strona \\(3 - x\\) | Prawa strona \\(\\frac{5x-1}{2}\\) | Czy \\(L > P\\)? |\n| \\(x = 0\\) (powinno spełniać) | \\(3\\) | \\(\\frac{-1}{2} = -0{,}5\\) | \\(3 > -0{,}5\\) ✓ |\n| \\(x = 1\\) (granica - równość?) | \\(2\\) | \\(\\frac{4}{2} = 2\\) | \\(2 > 2\\) ✗ (równość, nie spełnia) |\n| \\(x = 2\\) (nie powinno spełniać) | \\(1\\) | \\(\\frac{9}{2} = 4{,}5\\) | \\(1 > 4{,}5\\) ✗ |\n\nDla \\(x = 1\\) mamy równość - potwierdza to, że przedział jest **otwarty** (bez punktu \\(x = 1\\)).\nDla \\(x = 0\\) nierówność zachodzi, dla \\(x = 2\\) nie - **wynik \\((-\\infty, 1)\\) jest poprawny.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą podstawowe zasady rozwiązywania nierówności liniowych (mnożenie przez stałą dodatnią, przenoszenie wyrazów).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B | Błąd przy mnożeniu: zamiast \\(2 \\cdot 3 = 6\\) uczeń pisze \\(2 \\cdot (3-x) = 3 - 2x\\) (zapomina pomnożyć \\(3\\)), co daje inne \\(x\\). Albo błąd arytmetyczny przy upraszczaniu - wychodzi \\(\\frac{7}{6}\\) zamiast \\(1\\). |\n| C | Odwrócono kierunek nierówności bez powodu - uczeń uznaje, że \"duże wartości \\(x\\)\" spełniają nierówność, mimo że jej nie rozwiązał. Lub poprawnie wyznaczono \\(7 > 7x\\), ale zapisano \\(x > 1\\) zamiast \\(x < 1\\). |\n| D | Połączenie obu błędów z B i C jednocześnie: zła wartość graniczna \\(\\frac{7}{6}\\) **i** zły kierunek nierówności. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mnożąc nierówność przez liczbę **ujemną**, musisz odwrócić znak. Tu mnożymy przez \\(2 > 0\\) - znak zostaje. Ale gdyby mianownik był ujemny (np. \\(-2\\)), znak by się zmieniał!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że \\(7 > 7x\\) to **nie to samo** co \\(x > 7\\). Dzielisz obie strony przez \\(7\\), więc \\(x < 1\\) - nie odwracaj kolejności porównania!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przedział jest **otwarty** - piszemy \\((-\\infty, 1)\\), a nie \\((-\\infty, 1]\\). Nierówność jest ostra (\\(>\\)), więc \\(x = 1\\) nie należy do zbioru rozwiązań.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Rozwiązanie algebraiczne\nMnożymy obie strony przez \\(2\\):\n\\[2(3-x) > 5x - 1\\]\n\\[6 - 2x > 5x - 1\\]\n\\[7 > 7x\\]\n\\[x < 1.\\]\nZbiór rozwiązań: \\((-\\infty, 1)\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie punktem\nDla \\(x = 0\\): \\(3 - 0 > \\tfrac{-1}{2} \\iff 3 > -0{,}5\\) ✓. Pasuje A lub B.\nDla \\(x = 1{,}1\\): \\(3 - 1{,}1 = 1{,}9\\), \\(\\tfrac{5{,}5-1}{2} = 2{,}25\\); \\(1{,}9 > 2{,}25\\)? Nie. Więc A.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\((-\\infty, \\tfrac{7}{6})\\)** - zapomniano o mnożeniu stałej \\(3\\) przez \\(2\\).\n- **C, D** - zły kierunek nierówności.\n\n**Trik:** zawsze najpierw mnóż przez mianownik, żeby pozbyć się ułamka.","image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-5.svg","topics":"Dowody algebraiczne","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nDla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦 wartość wyrażenia\n(3𝑥+ 𝑦)2 -(3𝑥-𝑦)2 jest równa wartości wyrażenia\nA. 12𝑥𝑦\nB. (-12𝑥𝑦)\nC. 2𝑦2\nD. 4𝑦2\nDla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y wartość wyrażenia (3x+y)² - (3x-y)² jest równa wartości wyrażenia A. 12xy B. (-12xy) C. 2y² D. 4y²","answer":"A","answer_text":"Zadanie 6. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach\nrzeczywistych, także przy użyciu\nkalkulatora, stosowanie praw działań\nmatematycznych przy przekształcaniu\nwyrażeń algebraicznych oraz\nwykorzystywanie tych umiejętności przy\nrozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nZdający:\nII.1) stosuje wzory skróconego mnożenia\nna: (𝑎+ 𝑏)2, (𝑎-𝑏)2, 𝑎2 -𝑏2.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - suma wynosi \\(5\\)\n\n## Sposób 1 - iloczyn zerowy (bezpośrednio z równania)\n\nRównanie \\((3x-12)(10+5x)(x-3) = 0\\) to iloczyn trzech czynników.\n\n**Iloczyn jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zero.**\n\nRozwiązujemy każdy czynnik osobno:\n\n**Czynnik 1:**\n\\[3x - 12 = 0\\]\n\\[3x = 12\\]\n\\[x_1 = 4\\]\n\n**Czynnik 2:**\n\\[10 + 5x = 0\\]\n\\[5x = -10\\]\n\\[x_2 = -2\\]\n\n**Czynnik 3:**\n\\[x - 3 = 0\\]\n\\[x_3 = 3\\]\n\n**Suma wszystkich rozwiązań:**\n\\[x_1 + x_2 + x_3 = 4 + (-2) + 3 = \\mathbf{5}\\]\n\n## Sposób 2 - uproszczenie przez wyłączenie przed nawias\n\nMożemy uprościć każdy czynnik, wyciągając wspólne liczby:\n\n\\[3x - 12 = 3(x - 4)\\]\n\\[10 + 5x = 5(2 + x) = 5(x + 2)\\]\n\\[x - 3 = (x - 3)\\]\n\nRównanie staje się:\n\\[3(x-4) \\cdot 5(x+2) \\cdot (x-3) = 0\\]\n\\[15(x-4)(x+2)(x-3) = 0\\]\n\nStała \\(15 \\neq 0\\), więc:\n\\[(x-4)(x+2)(x-3) = 0\\]\n\nTeraz rozwiązania są widoczne wprost z postaci iloczynowej:\n\\[x_1 = 4, \\quad x_2 = -2, \\quad x_3 = 3\\]\n\nSuma:\n\\[4 + (-2) + 3 = \\mathbf{5}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy własność iloczynu: jeżeli \\(A \\cdot B \\cdot C = 0\\), to \\(A = 0\\) lub \\(B = 0\\) lub \\(C = 0\\). Jest to podstawowa własność liczb rzeczywistych.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A: \\(-5\\) | Uczeń oblicza \\(x_2 + x_3 = -2 + 3 = 1\\) i dodaje tylko \\(-6\\) zamiast \\(4\\) z pierwszego czynnika - np. myli \\(3x - 12 = 0\\) z \\(x = -4\\) |\n| B: \\(-1\\) | Uczeń bierze \\(x = -12\\) lub \\(x = 10\\) jako rozwiązania (traktuje same liczby z równania, a nie wyniki po rozwiązaniu) |\n| D: \\(9\\) | Uczeń liczy sumę \\(4 + 2 + 3 = 9\\), zapominając o znaku minusa przy \\(x_2 = -2\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Z czynnika \\(3x - 12 = 0\\) wynika \\(x = 4\\), a **nie** \\(x = -4\\)! Łatwo się pomylić, gdy przenosimy \\(-12\\) na drugą stronę.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Z czynnika \\(10 + 5x = 0\\) wynika \\(x = -2\\) - liczba **ujemna**. Zapomnenie o minusie skutkuje wynikiem \\(9\\) zamiast \\(5\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno skracać ani dzielić przez czynnik zawierający \\(x\\)! Skrócenie przez \\((x-3)\\) spowodowałoby utratę rozwiązania \\(x_3 = 3\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Własność iloczynu (karta wzorów, dział 2)\nIloczyn = 0, gdy co najmniej jeden czynnik = 0:\n\\(3x - 12 = 0 \\Rightarrow x = 4\\)\n\\(10 + 5x = 0 \\Rightarrow x = -2\\)\n\\(x - 3 = 0 \\Rightarrow x = 3\\)\nSuma: \\(4 + (-2) + 3 = 5\\).\n\n### Sposób 2 - Wzory Viète'a (po rozwinięciu)\nWielomian III stopnia: \\((3x-12)(10+5x)(x-3)\\). Współczynnik przy \\(x^{3}\\) to \\(3 \\cdot 5 \\cdot 1 = 15\\). Wyznaczmy współczynnik przy \\(x^{2}\\): \\(3 \\cdot 5 \\cdot (-3) + 3 \\cdot 10 \\cdot 1 + (-12) \\cdot 5 \\cdot 1 = -45 + 30 - 60 = -75\\). Suma pierwiastków = \\(-\\tfrac{-75}{15} = 5\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-5\\)** - błąd znaku przy \\(x = -2\\).\n- **B. \\(-1\\)** - pominięcie pierwiastka.\n- **D. \\(9\\)** - zapomniano odjąć \\(-2\\).\n\n**Trik:** uważaj na znak w \\(10 + 5x = 0 \\Rightarrow x = -2\\), nie \\(+2\\).","image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-6.svg","topics":"Wzory skróconego mnożenia","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nZbiorem wszystkich rozwiązań nierówności\n3 -𝑥≥5𝑥-1\n2\njest przedział\nA. (-∞, 1]\nB. (-∞, 7\n6]\nC. [1, +∞)\nD. [7\n6 , +∞)\n\nMMAP-P0_100\nZbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 3-x ≥ 5x-1 / 2 jest przedział A. (-∞,1> B. (-∞,7/6> C. <1,∞) D. <7/6,∞)","answer":"A","answer_text":"Zadanie 7. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIII.3) rozwiązuje nierówności liniowe z jedną\nniewiadomą.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\n\\(g(x) = -\\dfrac{1}{2}x - \\dfrac{3}{2}\\)\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie wzoru z miejsca zerowego i wartości w 0\n\nFunkcja liniowa ma postać \\(g(x) = ax + b\\).\n\n**Co wiemy z treści zadania:**\n- Miejsce zerowe to \\(x = -3\\), czyli \\(g(-3) = 0\\)\n- Wartość w punkcie \\(0\\): \\(g(0) = -\\dfrac{3}{2}\\)\n\n**Krok 1: Wyznaczamy wyraz wolny \\(b\\).**\n\nZ warunku \\(g(0) = -\\dfrac{3}{2}\\) wprost odczytujemy:\n\\[g(0) = a \\cdot 0 + b = b = -\\frac{3}{2}\\]\n\nWyraz wolny to punkt przecięcia z osią \\(OY\\), więc od razu:\n\\[\\boxed{b = -\\frac{3}{2}}\\]\n\n**Krok 2: Wyznaczamy współczynnik kierunkowy \\(a\\).**\n\nKorzystamy z warunku \\(g(-3) = 0\\):\n\\[a \\cdot (-3) + \\left(-\\frac{3}{2}\\right) = 0\\]\n\\[-3a = \\frac{3}{2}\\]\n\\[a = -\\frac{1}{2}\\]\n\n**Wynik:** \\(g(x) = -\\dfrac{1}{2}x - \\dfrac{3}{2}\\)\n\n## Sposób 2 - Wzór na prostą przez dwa punkty\n\nZnamy dwa punkty na wykresie funkcji \\(g\\):\n- miejsce zerowe: \\(A = (-3,\\ 0)\\)\n- punkt z warunku: \\(B = \\left(0,\\ -\\dfrac{3}{2}\\right)\\)\n\n**Krok 1: Obliczamy współczynnik kierunkowy ze wzoru na nachylenie prostej.**\n\n\\[a = \\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \\frac{-\\dfrac{3}{2} - 0}{0 - (-3)} = \\frac{-\\dfrac{3}{2}}{3} = -\\frac{1}{2}\\]\n\n**Krok 2: Wyraz wolny odczytujemy bezpośrednio.**\n\nPunkt \\(B = \\left(0,\\ -\\dfrac{3}{2}\\right)\\) leży na osi \\(OY\\), więc \\(b = -\\dfrac{3}{2}\\).\n\n**Wynik:** \\(g(x) = -\\dfrac{1}{2}x - \\dfrac{3}{2}\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja funkcji liniowej \\(g(x) = ax + b\\) oraz znajomość pojęć: miejsca zerowego i wartości funkcji. To wiedza bazowa, która nie jest zestawiana na karcie wzorów.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B | Poprawny współczynnik \\(a = -\\dfrac{1}{2}\\), ale zły znak wyrazu wolnego: \\(+\\dfrac{3}{2}\\) zamiast \\(-\\dfrac{3}{2}\\). Uczeń zapomina, że \\(g(0) = -\\dfrac{3}{2}\\) to wartość **ujemna**. |\n| C | Poprawny wyraz wolny \\(-\\dfrac{3}{2}\\), ale błędny znak \\(a\\): \\(+\\dfrac{1}{2}\\) zamiast \\(-\\dfrac{1}{2}\\). Uczeń pomylił kierunek prostej przy obliczaniu \\(a\\). |\n| D | Dwa błędy jednocześnie: zły znak \\(a\\) (powinno być \\(-\\)) i zły znak \\(b\\) (powinno być \\(-\\)). Uczeń prawdopodobnie zgadywał lub pomylił znaki przy obu krokach. |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(g(0) = b\\) - wartość funkcji liniowej dla argumentu \\(0\\) to **bezpośrednio wyraz wolny**. Nie trzeba nic liczyć! Wielu uczniów mimo to podstawia do równania i popełnia błąd rachunkowy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Miejsce zerowe to \\(x\\), dla którego \\(g(x) = 0\\), a **nie** \\(g(0) = x\\). Tu \\(x = -3\\) jest argumentem, a wartość funkcji wynosi zero - nie odwrotnie!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(a\\) z równania \\(-3a - \\dfrac{3}{2} = 0\\) łatwo zgubić minus - pamiętaj, że \\(-3a = \\dfrac{3}{2}\\) daje \\(a = -\\dfrac{1}{2}\\), nie \\(+\\dfrac{1}{2}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Dwa punkty\nFunkcja liniowa \\(g(x) = ax + b\\) przechodzi przez \\((-3, 0)\\) (miejsce zerowe) i \\((0, -\\tfrac{3}{2})\\) (wartość w \\(0\\)).\nZ punktu \\((0, -\\tfrac{3}{2})\\): \\(b = -\\tfrac{3}{2}\\).\nZ punktu \\((-3, 0)\\): \\(0 = -3a - \\tfrac{3}{2} \\Rightarrow -3a = \\tfrac{3}{2} \\Rightarrow a = -\\tfrac{1}{2}\\).\nZatem \\(g(x) = -\\tfrac{1}{2}x - \\tfrac{3}{2}\\).\n\n### Sposób 2 - Eliminacja\nZ \\(g(0) = b = -\\tfrac{3}{2}\\): odpadają B, D.\nSprawdzamy \\(g(-3) = 0\\): A: \\(-\\tfrac{1}{2}(-3) - \\tfrac{3}{2} = \\tfrac{3}{2} - \\tfrac{3}{2} = 0\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B, D** - niepoprawne \\(b\\) (plus zamiast minus).\n- **C** - zły znak \\(a\\).\n\n**Trik:** wartość w \\(0\\) to zawsze \\(b\\) (wyraz wolny).","image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-7.svg","topics":"Nierówności liniowe","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"8","points":3,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (0-3)\nDane jest równanie\n3\n3𝑥-7 =\n5𝑥\n𝑥-8 , gdzie 𝑥≠7\n3 i 𝑥≠8.\nWyznacz wszystkie rozwiązania tego równania należące do przedziału (𝟓\n𝟒, +∞).\nZapisz obliczenia.\n\nMMAP-P0_100\nDane jest równanie 3 / 3x-7 = 5x / x-8, gdzie x≠7/3 i x≠8. Wyznacz wszystkie rozwiązania tego równania należące do przedziału ({5/4},+∞).","answer":"B","answer_text":"Zadanie 8. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIII.1) przekształca równania i nierówności\nw sposób równoważny, w tym np.\nprzekształca równoważnie równanie\n5\n𝑥 + 1 = 𝑥 + 3\n2𝑥-1;\nIII.4) rozwiązuje równania […] kwadratowe.\nI.6) posługuje się pojęciem przedziału\nliczbowego […].\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i rozwiązanie równania\n3\n3𝑥 - 7 =\n5𝑥\n𝑥 - 8 w zbiorze\nliczb rzeczywistych oraz wskazanie tego rozwiązania równania, które należy do\nprzedziału (5\n4 , +∞): 𝑥= 4\n3\n2 pkt - rozwiązanie równania\n3\n3𝑥 - 7 =\n5𝑥\n𝑥 - 8 w zbiorze liczb rzeczywistych:\n𝑥= 6\n5 oraz 𝑥= 4\n3\n1 pkt - przekształcenie równania\n3\n3𝑥 - 7 =\n5𝑥\n𝑥 - 8 do równania kwadratowego, np.\n3(𝑥-8) = 5𝑥(3𝑥-7).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe przy przekształcaniu równania i otrzyma\nrównanie kwadratowe postaci 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0, które ma co najmniej jedno rozwiązanie\nrzeczywiste i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje 2 punkty za całe\nrozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający nie spełni kryterium za 1 punkt, a przy przekształcaniu równania popełnia\nbłędy i otrzyma równanie kwadratowe postaci 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0, które nie ma rozwiązań\nrzeczywistych, albo otrzyma równanie, które nie jest kwadratowe, to otrzymuje 0 punktów\nza całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający, przekształcając równanie wymierne do równania kwadratowego, zastosuje\nbłędną metodę - np. zapisze 15𝑥= (3𝑥-7)(𝑥-8), to otrzymuje 0 punktów za całe\nrozwiązanie.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzekształcamy równanie:\n3\n3𝑥-7 =\n5𝑥\n𝑥-8\n3(𝑥-8) = 5𝑥(3𝑥-7)\nRozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe:\n3𝑥-24 = 15𝑥2 -35𝑥\n15𝑥2 -38𝑥+ 24 = 0\nObliczamy wyróżnik Δ trójmianu kwadratowego 15𝑥2 -38𝑥+ 24:\nΔ = (-38)2 -4 ⋅15 ⋅24 = 1444 -1440 = 4\nStąd:\n𝑥1 = -(-38) -√4\n2 ⋅15\n= 6\n5 ∉(5\n4 , +∞)\n𝑥2 = -(-38) + √4\n2 ⋅15\n= 4\n3 ∈(5\n4 , +∞)\nPonadto 4\n3 ≠7\n3 oraz 4\n3 ≠8. Zatem jedynym rozwiązaniem równania\n3\n3𝑥 - 7 =\n5𝑥\n𝑥 - 8\nw zbiorze (5\n4 , +∞) jest liczba 4\n3 .","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(0\\)\n\n## Sposób 1 - Odczyt wartości z wykresu\n\nWykres to łamana przez punkty \\((-5, 0)\\), \\((-3, -4)\\), \\((4, 3)\\). Musimy odczytać \\(f(-2)\\) i \\(f(2)\\).\n\n**Krok 1 - znajdź \\(f(-2)\\)**\n\nPunkt \\(-2\\) leży na odcinku między \\((-3, -4)\\) a \\((4, 3)\\).\n\nWyznaczamy równanie prostej przez te dwa punkty:\n\\[a = \\frac{3 - (-4)}{4 - (-3)} = \\frac{7}{7} = 1\\]\n\nProsta ma nachylenie \\(a = 1\\), więc:\n\\[y = 1 \\cdot (x - 4) + 3 = x - 1\\]\n\nDla \\(x = -2\\):\n\\[f(-2) = -2 - 1 = -3\\]\n\n**Krok 2 - znajdź \\(f(2)\\)**\n\nPunkt \\(2\\) leży na tym samym odcinku (między \\((-3,-4)\\) a \\((4,3)\\)), czyli korzystamy z tej samej prostej \\(y = x - 1\\):\n\\[f(2) = 2 - 1 = 1\\]\n\n**Krok 3 - oblicz wyrażenie**\n\n\\[f(-2) + 3 \\cdot f(2) = -3 + 3 \\cdot 1 = -3 + 3 = \\boxed{0}\\]\n\n**Odpowiedź: B**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja geometryczna (właściwości odcinka)\n\nZauważamy, że odcinek od \\((-3, -4)\\) do \\((4, 3)\\) ma nachylenie \\(1\\) - prosta jest postaci \\(y = x - 1\\). Sprawdzamy punkty kontrolne:\n- \\(x = -3\\): \\(y = -3 - 1 = -4\\) ✓\n- \\(x = 4\\): \\(y = 4 - 1 = 3\\) ✓\n\nWiemy więc, że na tym odcinku \\(f(x) = x - 1\\) dla każdego \\(x \\in \\langle -3, 4 \\rangle\\).\n\nDla \\(-2\\) i \\(2\\) - oba należą do \\(\\langle -3, 4 \\rangle\\), więc:\n\n\\[f(-2) = -3, \\quad f(2) = 1\\]\n\n\\[f(-2) + 3 \\cdot f(2) = -3 + 3 = 0\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy równanie kierunkowe prostej i odczyt z wykresu.\n\nPomocniczo korzystamy z definicji współczynnika kierunkowego prostej (Dział 11, Geometria analityczna, s. 22-23):\n\\[a = \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\\]\noraz równania kierunkowego prostej:\n\\[y = ax + b\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A \\((-3)\\) | Uczeń oblicza tylko \\(f(-2) = -3\\) i zapomina dodać \\(3 \\cdot f(2)\\) - bierze samo \\(f(-2)\\) za wynik |\n| C \\((3)\\) | Uczeń myli znak: liczy \\(f(-2) + 3 \\cdot f(2) = 3 + 3 \\cdot 0\\) przez błędny odczyt \\(f(-2) = 3\\) lub \\(f(2) = 0\\) |\n| D \\((4)\\) | Uczeń odczytuje \\(f(2) = 2\\) (bierze samą współrzędną \\(x\\) zamiast \\(y\\)) i liczy \\(-2 + 3 \\cdot 2 = 4\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie odczytuj wartości funkcji \"na oko\" - zawsze wyznacz równanie prostej przez dwa znane punkty i podstaw. Proste o nachyleniu \\(1\\) mogą mylić, bo \\(y \\neq x\\) (tu \\(y = x - 1\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź, czy punkt należy do właściwego odcinka łamanej. Gdyby np. \\(-2\\) leżało bliżej punktu \\((-5, 0)\\), musielibyśmy użyć innego odcinka.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Otwarte kółko przy \\((-5, 0)\\) oznacza, że \\(f(-5)\\) **nie istnieje** (lub ma inną wartość) - tu nie ma to wpływu na wynik, ale w innych zadaniach może być pułapką.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Odczyt z wykresu\nZ wykresu:\n- \\(f(-2) = -3\\) (lewa gałąź rosnąca od \\((-3,-4)\\) do \\((1,0)\\)).\n- \\(f(2) = 1\\) (prawa gałąź rosnąca od \\((1,0)\\) do \\((4,3)\\)).\nWtedy: \\(f(-2) + 3 \\cdot f(2) = -3 + 3 \\cdot 1 = -3 + 3 = 0\\).\n\n### Sposób 2 - Równania łamanej\nLewa gałąź: od \\((-3,-4)\\) do \\((1,0)\\), wzór: \\(y = x - 1\\), więc \\(f(-2) = -3\\).\nPrawa gałąź: od \\((1,0)\\) do \\((4,3)\\), wzór: \\(y = x - 1\\), więc \\(f(2) = 1\\).\nWynik: \\(-3 + 3 = 0\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-3\\)** - zapomniano pomnożyć \\(f(2)\\) przez \\(3\\).\n- **C. \\(3\\)** - pominięto \\(f(-2)\\).\n- **D. \\(4\\)** - złe odczytanie \\(f(-2)\\) lub \\(f(2)\\).\n\n**Trik:** najpierw wyznacz wartości punktów załamania, potem licz.","image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-8.svg","topics":"Funkcja wymierna","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"maturazai","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"9","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (0-2)\nRozwiąż nierówność\n-𝟑𝒙𝟐> 𝟔𝒙-𝟗\nZapisz obliczenia.\n\nMMAP-P0_100\nRozwiąż nierówność -3x^2 > 6x-9. Zapisz obliczenia.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 9. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIII.4) rozwiązuje […] nierówności\nkwadratowe.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i zapisanie zbioru rozwiązań nierówności:\n𝑥∈(-3, 1)\nALBO\n- zastosowanie poprawnej metody i przedstawienie zbioru rozwiązań nierówności\nw postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziału, np.\n1 pkt - obliczenie/zapisanie pierwiastków trójmianu kwadratowego -3𝑥2 -6𝑥+ 9:\n𝑥1 = -3 oraz 𝑥2 = 1 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający, obliczając pierwiastki trójmianu -3𝑥2 -6𝑥+ 9, popełni błędy (ale\notrzyma dwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do popełnionych błędów zapisze zbiór\nrozwiązań nierówności, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego, w przypadku gdy błędnie\nobliczony przez zdającego wyróżnik Δ jest ujemny, to otrzymuje 0 punktów za całe\nrozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający rozpatruje inny niż podany w zadaniu trójmian kwadratowy, który nie wynika\nz błędu przekształcenia (np. -3𝑥2 -6𝑥), i w konsekwencji rozpatruje inną nierówność\n(np. -3𝑥2 -6𝑥> 0), to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n4. Jeżeli zdający poda zbiór rozwiązań w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi\nkońcami przedziału i jednocześnie zapisze niewłaściwy przedział jako zbiór rozwiązań\n(np. 𝑥∈[-3, 1]), to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\nKryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nJeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności\nw postaci (1, -3), to otrzymuje 2 punkty.\n-3\n1\n𝑥\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzekształcamy nierówność:\n-3𝑥2 > 6𝑥-9\n-3𝑥2 -6𝑥+ 9 > 0 /: (-3)\n𝑥2 + 2𝑥-3 < 0\nObliczamy miejsca zerowe funkcji 𝑦= 𝑥2 + 2𝑥-3.\nObliczamy wyróżnik trójmianu 𝑥2 + 2𝑥-3:\nΔ = 22 -4 ⋅1 ⋅(-3) = 16\nStąd:\n𝑥1 = -2 -√16\n2 ⋅1\n= -3 oraz 𝑥2 = -2 + √16\n2 ⋅1\n= 1\nSzkicujemy wykres funkcji 𝑦= 𝑥2 + 2𝑥-3.\nOdczytujemy argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne.\nZbiorem rozwiązań nierówności jest przedział (-3, 1).","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(\\langle -4, 3\\rangle\\)\n\n## Sposób 1 - Analiza wartości osiąganych przez każdy odcinek łamanej\n\nŁamana składa się z dwóch odcinków. Analizujemy je osobno.\n\n**Odcinek 1:** od \\((-5,\\, 0)\\) z **otwartym kółkiem** do \\((-3,\\, -4)\\)\n\nFunkcja maleje liniowo od \\(y = 0\\) do \\(y = -4\\).\n- \\(y = -4\\) jest **osiągane** (punkt \\((-3, -4)\\) jest zawarty)\n- \\(y = 0\\) jest **nieosigane** (otwarte kółko przy \\((-5, 0)\\))\n\nZbiór wartości tego odcinka: \\(\\langle -4,\\, 0)\\)\n\n**Odcinek 2:** od \\((-3,\\, -4)\\) do \\((4,\\, 3)\\) z **zamkniętym kółkiem**\n\nFunkcja rośnie liniowo od \\(y = -4\\) do \\(y = 3\\).\n- \\(y = -4\\) jest osiągane (wspólny punkt z odcinkiem 1)\n- \\(y = 3\\) jest **osiągane** (zamknięte kółko przy \\((4, 3)\\))\n\nZbiór wartości tego odcinka: \\(\\langle -4,\\, 3\\rangle\\)\n\n**Łączymy oba zbiory:**\n\\[\\langle -4,\\, 0) \\cup \\langle -4,\\, 3\\rangle = \\langle -4,\\, 3\\rangle\\]\n\nKluczowa obserwacja: drugi odcinek przechodzi przez \\(y = 0\\) (bo idzie od \\(-4\\) do \\(3\\)), więc wartość \\(y = 0\\) i tak zostaje osiągnięta - brak otwartego kółka przy \\((-5, 0)\\) nie \"wyrywa dziury\" ze zbioru wartości.\n\n**Zbiór wartości funkcji \\(f\\) to \\(\\langle -4, 3\\rangle\\).**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez odczyt minimum i maksimum\n\nZbiór wartości funkcji = \\([\\min f,\\, \\max f]\\) (z uwzględnieniem otwartości krańców).\n\n- **Minimum:** najniższy punkt wykresu to \\((-3, -4)\\) - zwykły punkt łamanej (bez kółka), więc \\(y = -4\\) **jest osiągane**. Granica dolna: **domknięta** przy \\(-4\\).\n\n- **Maksimum:** najwyższy punkt to \\((4, 3)\\) - **zamknięte kółko**, więc \\(y = 3\\) **jest osiągane**. Granica górna: **domknięta** przy \\(3\\).\n\n- Sprawdzamy, czy nie ma \"dziury\" wewnątrz przedziału \\(\\langle -4, 3\\rangle\\): łamana jest ciągła na każdym odcinku i oba odcinki razem pokrywają cały przedział wartości bez przerw.\n\nWynik: \\(\\langle -4, 3\\rangle\\) - odpowiedź **C**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja zbioru wartości funkcji i odczyt z wykresu (minimum, maksimum, otwartość krańców).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **A** | \\((-5, 4\\rangle\\) - uczeń odczytał **zakres** osi \\(x\\) (od \\(-5\\) do \\(4\\)) zamiast wartości na osi \\(y\\). Mylenie dziedziny ze zbiorem wartości. |\n| **B** | \\((-4, 3)\\) - uczeń poprawnie odczytał kresy \\(-4\\) i \\(3\\), ale błędnie uznał **oba za nieosigane** (otwarte). W rzeczywistości zarówno \\(-4\\) (wierzchołek łamanej), jak i \\(3\\) (zamknięte kółko) są osiągane. |\n| **D** | \\((0, 3\\rangle\\) - uczeń pominął ujemne wartości funkcji i przyjął, że zakres zaczyna się od \\(0\\). Być może skupił się tylko na jednym odcinku lub zignorował odcinek opadający. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Otwarte kółko przy \\((-5, 0)\\) dotyczy punktu na **osi \\(x\\)**, ale wartość \\(y = 0\\) i tak pojawia się w zbiorze wartości - bo drugi odcinek przechodzi przez \\(y = 0\\) (idąc od \\(-4\\) do \\(3\\)). Nie wolno usuwać \\(0\\) ze zbioru wartości tylko dlatego, że jeden punkt jest \"otwarty\"!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mylenie dziedziny ze zbiorem wartości to jeden z najczęstszych błędów. Dziedzina to wartości \\(x\\) (tu: od \\(-5\\) do \\(4\\)), zbiór wartości to wartości \\(y\\) (tu: od \\(-4\\) do \\(3\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zamknięte/otwarte kółko wpływa tylko na **końce** odcinka. Punkty wewnętrzne łamanej (jak \\((-3, -4)\\)) są zawsze osiągane, bo nie mają żadnego kółka - to zwykłe \"przegięcia\" wykresu.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Odczyt z wykresu\nFunkcja osiąga:\n- minimum \\(y = -4\\) w punkcie \\(x = -3\\) (punkt zamknięty, wartość osiągnięta).\n- maksimum \\(y = 3\\) w punkcie \\(x = 4\\) (punkt zamknięty, wartość osiągnięta).\n- w punkcie \\(x = -5\\): \\(y = 0\\), ale kółko otwarte - wartość 0 i tak jest osiągana gdzie indziej (w \\(x = 1\\)).\nZbiór wartości: \\(\\langle -4, 3\\rangle\\).\n\n### Sposób 2 - Analiza przedziałów\nNa przedziale \\((-5,-3\\rangle\\) wartości od \\(0\\) (otwarte) do \\(-4\\) włącznie.\nNa \\(\\langle -3, 4\\rangle\\) wartości rosną od \\(-4\\) do \\(3\\) włącznie.\nSuma: \\(\\langle -4, 3\\rangle\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** Błąd zakresu (\\(-5\\) jest argumentem, nie wartością).\n- **B.** Błąd typu nawiasów (powinny być domknięte).\n- **D.** Zignorowano ujemną część wykresu.\n\n**Trik:** zbiór wartości = rzut wykresu na oś \\(y\\), z uwzględnieniem otwartych/zamkniętych końców.","image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-9.svg","topics":"Nierówności kwadratowe","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":"maturazai","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nSuma wszystkich rozwiązań równania (3𝑥-12)(10 + 5𝑥)(𝑥-3) = 0 jest równa\nA. (-5)\nB. (-1)\nC. 5\nD. 9\n\nMMAP-P0_100\nSuma wszystkich rozwiązań równania (3x-12)(10+5x)(x-3) = 0 jest równa A. (-5) B. (-1) C. 5 D. 9","answer":"C","answer_text":"Zadanie 10. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIII.5) rozwiązuje równania wielomianowe\npostaci 𝑊(𝑥) = 0 dla wielomianów\ndoprowadzonych do postaci iloczynowej.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC\n-3\n1\n𝑥","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(b = -1\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na oś symetrii paraboli\n\nOś symetrii paraboli \\(f(x) = ax^2 + bx + c\\) dana jest wzorem:\n\\[x = -\\frac{b}{2a}\\]\n\nW naszym przypadku \\(a = \\frac{1}{2}\\), a oś symetrii to \\(x = 1\\), więc:\n\\[1 = -\\frac{b}{2 \\cdot \\frac{1}{2}} = -\\frac{b}{1} = -b\\]\n\nStąd od razu:\n\\[\\boxed{b = -1}\\]\n\n> Warunek \"jednym z miejsc zerowych jest 6\" posłuży do weryfikacji - nie potrzebowaliśmy go do wyznaczenia \\(b\\), ale sprawdzimy wynik w Sposobie 2.\n\n## Sposób 2 - Symetria miejsc zerowych względem osi\n\nOś symetrii paraboli leży dokładnie w połowie między dwoma miejscami zerowymi. Skoro jedno miejsce zerowe to \\(x_1 = 6\\), a oś symetrii to \\(x = 1\\), to:\n\n\\[\\text{oś} = \\frac{x_1 + x_2}{2} \\implies 1 = \\frac{6 + x_2}{2}\\]\n\\[6 + x_2 = 2 \\implies x_2 = -4\\]\n\n**Drugie miejsce zerowe to \\(x_2 = -4\\).**\n\nTeraz korzystamy ze wzorów Viète'a dla \\(f(x) = \\frac{1}{2}x^2 + bx + c\\) (gdzie \\(a = \\frac{1}{2}\\)):\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a} \\implies 6 + (-4) = -\\frac{b}{\\frac{1}{2}} = -2b\\]\n\\[2 = -2b \\implies \\boxed{b = -1}\\]\n\n**Weryfikacja:** Przy \\(b = -1\\) mamy \\(f(x) = \\frac{1}{2}x^2 - x + c\\). Sprawdzamy oś symetrii:\n\\[x = -\\frac{-1}{2 \\cdot \\frac{1}{2}} = \\frac{1}{1} = 1 \\checkmark\\]\n\nSprawdzamy \\(f(6) = 0\\) (wyznaczając \\(c\\)):\n\\[f(6) = \\frac{1}{2} \\cdot 36 + (-1) \\cdot 6 + c = 18 - 6 + c = 12 + c = 0 \\implies c = -12\\]\n\nKontrola drugiego zera: \\(f(-4) = \\frac{1}{2} \\cdot 16 + (-1)(-4) - 12 = 8 + 4 - 12 = 0 \\checkmark\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzór na oś symetrii i wierzchołek paraboli:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(b\\) wprost z warunku \\(p = 1\\).\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzory Viète'a:\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\quad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]\nUżyliśmy sumy pierwiastków w Sposobie 2 po wyznaczeniu \\(x_2\\) z symetrii.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A - \\(b = -2\\) | Zapomnienie o \\(a = \\frac{1}{2}\\) w mianowniku: uczeń liczy \\(x = -\\frac{b}{2}\\) zamiast \\(x = -\\frac{b}{2a}\\), dostaje \\(-\\frac{b}{2} = 1\\), czyli \\(b = -2\\) |\n| C - \\(b = -\\frac{1}{2}\\) | Podstawienie miejsca zerowego \\(x = 6\\) bezpośrednio jako \\(b\\), podzielone przez \\(-a\\): \\(b = -\\frac{1}{2} \\cdot 1 = -\\frac{1}{2}\\) (błędna intuicja bez żadnej metody) |\n| D - \\(b = 2\\) | Policzenie \\(b = -b'\\) gdzie \\(b' = -2\\) z odpowiedzi A - błąd znaku przy wzorze Viète'a (\\(x_1 + x_2 = +\\frac{b}{a}\\) zamiast \\(-\\frac{b}{a}\\)) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Współczynnik przy \\(x^2\\) to \\(a = \\frac{1}{2}\\), nie \\(1\\)! Wzór na oś symetrii to \\(-\\frac{b}{2a}\\) - jeśli zapomnisz podzielić przez \\(2a = 1\\), a nie przez \\(2\\), dostaniesz błędny wynik.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie każde miejsce zerowe jest potrzebne do wyznaczenia \\(b\\) - samo położenie osi symetrii wystarczy. Informacja o zerze \\(x = 6\\) służy tu do wyznaczenia \\(c\\) lub jako weryfikacja.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W wzorach Viète'a pamiętaj o dzieleniu przez \\(a\\): \\(x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}\\), a nie \\(-b\\). Przy \\(a \\neq 1\\) to częste źródło błędu.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Wzór na oś symetrii (karta wzorów, dział 4)\nOś symetrii paraboli: \\(x = -\\dfrac{b}{2a}\\). Tu \\(a = \\tfrac{1}{2}\\), a oś \\(x = 1\\):\n\\[1 = -\\dfrac{b}{2 \\cdot \\tfrac{1}{2}} = -b \\Rightarrow b = -1.\\]\n\n### Sposób 2 - Drugie miejsce zerowe\nOś symetrii jest równoodległa od obu miejsc zerowych. Jedno to \\(6\\), więc drugie: \\(x_{2} = 2 \\cdot 1 - 6 = -4\\).\nZ wzorów Viète'a: \\(x_{1} + x_{2} = -\\tfrac{b}{a} = -\\tfrac{b}{1/2} = -2b\\).\n\\(6 + (-4) = 2 = -2b \\Rightarrow b = -1\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-2\\)** - błąd: \\(b = -2a \\cdot 1\\) nie pomnożone poprawnie.\n- **C. \\(-\\tfrac{1}{2}\\)** - pomylony współczynnik \\(a\\).\n- **D. \\(2\\)** - zły znak.\n\n**Trik:** dla paraboli \\(ax^{2}+bx+c\\) oś symetrii to \\(x = -\\tfrac{b}{2a}\\).","image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-10.svg","topics":"Wielomiany","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"11","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (0-2)\nWłaściciel restauracji kupił 75 kilogramów pomidorów: 𝑥 kg pomidorów malinowych\nw cenie 11 złotych za kilogram oraz 𝑦 kg pomidorów cherry w cenie 7,98 złotych za\nkilogram. Za pomidory zapłacił łącznie 752,52 złotych.\nOblicz, ile kilogramów pomidorów malinowych kupił właściciel restauracji.\nZapisz obliczenia.\n\nMMAP-P0_100\nWłaściciel restauracji kupił 75 kilogramów pomidorów: x kg pomidorów malinowych w cenie 11 złotych za kilogram oraz y kg pomidorów cherry w cenie 7,98 złotych za kilogram. Za pomidory zapłacił łącznie 752,52 złotych. Oblicz, ile kilogramów pomidorów malinowych kupił właściciel restauracji.","answer":"51 kg","answer_text":"Zadanie 11. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nIV.2) stosuje układy równań do\nrozwiązywania zadań tekstowych.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 51 kg.\n1 pkt - zapisanie układu dwóch równań z dwiema niewiadomymi pozwalającego obliczyć 𝑥\noraz 𝑦, np.\n𝑥+ 𝑦= 75 oraz 11𝑥+ 7,98𝑦= 752,52\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą pozwalającego obliczyć 𝑥, np.\n11𝑥+ 7,98 ⋅(75 -𝑥) = 752,52,\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą pozwalającego obliczyć 𝑦, np.\n11 ⋅(75 -𝑦) + 7,98𝑦= 752,52,\nALBO\n- zapisanie różnicy 752,52 -75 ⋅7,98 oraz zapisanie różnicy 11 -7,98,\nALBO\n- zapisanie różnicy 75 ⋅11 -752,52 oraz zapisanie różnicy 11 -7,98.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający sprawdza warunki zadania dla wybranych par liczb 𝑥 oraz 𝑦 i wskaże\nwłaściwą odpowiedź, ale nie uzasadni, że jest to jedyne rozwiązanie zadania, to otrzymuje\n1 punkt za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający w rozwiązaniu używa wartości przybliżonych i otrzymuje wynik różny od 51,\nto może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPo uwzględnieniu warunków zadania otrzymujemy:\n𝑥+ 𝑦= 75 oraz 11𝑥+ 7,98𝑦= 752,52\nZ pierwszego z tych równań wyznaczamy 𝑦= 75 -𝑥 i podstawiamy w miejsce 𝑦 do\ndrugiego z równań, w wyniku czego otrzymujemy:\n11𝑥+ 7,98 ⋅(75 -𝑥) = 752,52\n11𝑥+ 598,5 -7,98𝑥= 752,52\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n3,02𝑥= 154,02\n𝑥= 51\nWłaściciel restauracji kupił 51 kilogramów pomidorów malinowych.\nSposób II\nGdyby właściciel restauracji kupił tylko pomidory cherry, to zapłaciłby za nie\n75 ⋅7,98 = 598,50 złotych, a więc o 752,52 -598,50 = 154,02 złotych mniej niż zapłacił\nw rzeczywistości.\nJeden kilogram pomidorów malinowych kosztuje o 11 -7,98 = 3,02 złotych więcej niż\njeden kilogram pomidorów cherry.\nZatem właściciel restauracji kupił 154,02 ∶3,02 = 51 kilogramów pomidorów malinowych.","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\n\\[f(x) = \\frac{1}{2}(x+4)(x-6)\\]\n\n## Sposób 1 - Oś symetrii jako środek między miejscami zerowymi\n\nWiemy, że oś symetrii paraboli leży **dokładnie w połowie** między oboma miejscami zerowymi.\n\nJedno miejsce zerowe to \\(x_1 = 6\\), oś symetrii to \\(x = 1\\).\n\nSzukamy \\(x_2\\) takiego, że środek odcinka \\([x_2, 6]\\) wynosi \\(1\\):\n\n\\[\\frac{x_2 + x_1}{2} = 1\\]\n\n\\[\\frac{x_2 + 6}{2} = 1\\]\n\n\\[x_2 + 6 = 2\\]\n\n\\[\\boxed{x_2 = -4}\\]\n\nOba miejsca zerowe: \\(x_1 = -4\\) oraz \\(x_2 = 6\\).\n\nPostać iloczynowa (współczynnik \\(a = \\frac{1}{2}\\) odczytany z treści):\n\n\\[f(x) = \\frac{1}{2}(x - x_1)(x - x_2) = \\frac{1}{2}(x-(-4))(x-6)\\]\n\n\\[\\boxed{f(x) = \\frac{1}{2}(x+4)(x-6)}\\]\n\n## Sposób 2 - Wyznaczenie b i c z warunków zadania\n\n**Warunek 1:** \\(f(6) = 0\\)\n\n\\[\\frac{1}{2} \\cdot 36 + 6b + c = 0 \\implies 18 + 6b + c = 0 \\implies c = -18 - 6b\\]\n\n**Warunek 2:** Oś symetrii \\(x = -\\frac{b}{2a} = 1\\)\n\n\\[-\\frac{b}{2 \\cdot \\frac{1}{2}} = 1 \\implies -\\frac{b}{1} = 1 \\implies b = -1\\]\n\nPodstawiamy \\(b = -1\\) do warunku 1:\n\n\\[c = -18 - 6 \\cdot (-1) = -18 + 6 = -12\\]\n\nZatem \\(f(x) = \\frac{1}{2}x^2 - x - 12\\). Sprawdzamy rozkład:\n\n\\[\\frac{1}{2}x^2 - x - 12 = \\frac{1}{2}(x^2 - 2x - 24) = \\frac{1}{2}(x+4)(x-6) \\checkmark\\]\n\n(Sprawdzenie: \\((x+4)(x-6) = x^2 - 6x + 4x - 24 = x^2 - 2x - 24\\) ✓)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzór na oś symetrii:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 2 do wyznaczenia \\(b\\).\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać iloczynowa:\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]\nBezpośrednio zastosowana w Sposobie 1.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| **A** | \\(f(x) = \\frac{1}{2}(x-4)(x-6)\\) - miejsca zerowe to \\(4\\) i \\(6\\), oś symetrii wynosiłaby \\(x = 5\\), a nie \\(x = 1\\) |\n| **B** | \\(f(x) = \\frac{1}{2}(x-4)(x+6)\\) - miejsca zerowe \\(4\\) i \\(-6\\), oś symetrii \\(x = -1\\). Uczeń mógł błędnie obliczyć środek jako \\(-1\\) zamiast \\(1\\) |\n| **D** | \\(f(x) = \\frac{1}{2}(x+4)(x+6)\\) - miejsca zerowe \\(-4\\) i \\(-6\\), oś symetrii \\(x = -5\\). Uczeń źle odczytał znak - wziął \\(-6\\) zamiast \\(+6\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Oś symetrii to **środek** między miejscami zerowymi - wzór \\(\\frac{x_1 + x_2}{2} = p\\). Uczniowie często mylą kierunek: szukają miejsca zerowego po prawej od osi, zamiast po lewej (tu \\(6\\) jest po prawej od \\(x=1\\), więc drugie zero musi być po lewej).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W postaci iloczynowej \\(a(x - x_1)(x - x_2)\\) znak jest **minus** przed miejscem zerowym. Miejsce zerowe \\(-4\\) daje czynnik \\((x - (-4)) = (x+4)\\), NIE \\((x-4)\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Współczynnik \\(a = \\frac{1}{2}\\) jest dany w treści zadania - nie można go zmienić ani pominąć przy przejściu do postaci iloczynowej.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Symetria i miejsca zerowe (karta wzorów, dział 4)\nOś symetrii \\(x = 1\\) leży w środku pomiędzy miejscami zerowymi. Skoro jedno to \\(6\\), drugie: \\(x_{2} = 2 \\cdot 1 - 6 = -4\\).\nPostać iloczynowa: \\(f(x) = a(x - x_{1})(x - x_{2}) = \\tfrac{1}{2}(x - 6)(x - (-4)) = \\tfrac{1}{2}(x-6)(x+4)\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie\n\\(f(6) = \\tfrac{1}{2}(6+4)(6-6) = 0\\) ✓.\n\\(f(-4) = \\tfrac{1}{2}(-4+4)(-4-6) = 0\\) ✓.\nOś: średnia miejsc zerowych \\(\\tfrac{6+(-4)}{2} = 1\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** Miejsca zerowe \\(4\\) i \\(6\\), oś w \\(5\\).\n- **B.** Miejsca \\(4\\) i \\(-6\\), oś w \\(-1\\).\n- **D.** Miejsca \\(-4\\) i \\(-6\\), oś w \\(-5\\).\n\n**Trik:** miejsca zerowe są symetryczne względem osi - jedno znamy, drugie to odbicie.","image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-11.svg","topics":"Układy równań","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"12","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12.\nFunkcja 𝑓 jest określona następująco:\n𝑓(𝑥) = {\n-2𝑥-10\ndla 𝑥∈(-5, -3]\n𝑥-1\ndla 𝑥∈(-3, 4]\nWykres funkcji 𝑦= 𝑓(𝑥) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦)\nna rysunku poniżej.\nFunkcja f jest określona następująco: f(x) = {-2x-10 dla x∈(-5,-3>; x-1 dla x∈(-3,4>. Wykres funkcji y=f(x) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) na rysunku poniżej. [rysunek] Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. 1. Miejscem zerowym funkcji f jest liczba ......... . 2. Wartość wyrażenia f(-2)+3⋅f(2) jest równa ......... .","answer":"D","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(x = 4\\)\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie osi symetrii przez przesunięcie wykresu\n\n**Krok 1: Znajdź oś symetrii funkcji \\(f\\)**\n\nOś symetrii paraboli \\(f(x) = \\frac{1}{2}x^2 + bx + c\\) jest podana - to prosta \\(x = 1\\).\n\n**Krok 2: Zrozum, czym jest \\(g(x) = f(x-3)\\)**\n\nZastąpienie \\(x\\) przez \\(x-3\\) w funkcji to **przesunięcie wykresu o 3 jednostki w prawo**.\n\nKażdy punkt \\((x_0, y_0)\\) wykresu \\(f\\) odpowiada punktowi \\((x_0 + 3, y_0)\\) wykresu \\(g\\).\n\n**Krok 3: Wyznacz nową oś symetrii**\n\nOś symetrii \\(f\\): \\(x = 1\\)\n\nPo przesunięciu o \\(+3\\) w prawo:\n\\[x = 1 + 3 = 4\\]\n\n**Oś symetrii wykresu \\(g\\) to \\(x = 4\\).**\n\n## Sposób 2 - Wyznaczenie \\(b\\), \\(c\\) i bezpośrednie obliczenie osi symetrii \\(g\\)\n\n**Krok 1: Wyznacz \\(b\\) z osi symetrii**\n\nWzór na oś symetrii:\n\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{b}{2 \\cdot \\frac{1}{2}} = -b\\]\n\nSkoro \\(p = 1\\), to:\n\\[-b = 1 \\implies b = -1\\]\n\n**Krok 2: Wyznacz \\(c\\) z miejsca zerowego**\n\nDrugie miejsce zerowe jest symetryczne względem \\(x=1\\) do \\(x = 6\\):\n\\[x_2 = 1 - (6-1) = -4\\]\n\nZ wzorów Viète'a:\n\\[x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a} \\implies (-4) \\cdot 6 = \\frac{c}{\\frac{1}{2}} \\implies -24 = 2c \\implies c = -12\\]\n\nZatem \\(f(x) = \\frac{1}{2}x^2 - x - 12\\).\n\n**Krok 3: Wyznacz \\(g(x)\\)**\n\n\\[g(x) = f(x-3) = \\frac{1}{2}(x-3)^2 - (x-3) - 12\\]\n\\[= \\frac{1}{2}(x^2 - 6x + 9) - x + 3 - 12\\]\n\\[= \\frac{1}{2}x^2 - 3x + \\frac{9}{2} - x - 9\\]\n\\[= \\frac{1}{2}x^2 - 4x - \\frac{9}{2}\\]\n\n**Krok 4: Oś symetrii \\(g\\)**\n\n\\[p_g = -\\frac{b_g}{2a_g} = -\\frac{-4}{2 \\cdot \\frac{1}{2}} = \\frac{4}{1} = 4\\]\n\n\\[\\boxed{x = 4}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - oś symetrii paraboli:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}\\]\nUżyte w Sposobie 1 (szybkie odczytanie osi f) i w Sposobie 2 (wyznaczenie b i osi g).\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzory Viète'a:\n\\[x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]\nUżyte w Sposobie 2 do wyznaczenia \\(c\\) z dwóch znanych miejsc zerowych.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A \\((x=-2)\\) | Uczeń odejmuje 3 zamiast dodawać: \\(1 - 3 = -2\\). Mylona kierunek przesunięcia - \\(f(x-3)\\) przesuwa **w prawo**, nie w lewo! |\n| B \\((x=1)\\) | Uczeń ignoruje przesunięcie i przepisuje oś symetrii \\(f\\) jako odpowiedź. |\n| C \\((x=3)\\) | Uczeń podaje samą wartość przesunięcia \\(3\\), zamiast dodać ją do osi symetrii: \\(1 + 3 = 4\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(g(x) = f(x-3)\\) to przesunięcie wykresu **w prawo** o 3, mimo że widzimy \"minus 3\". Intuicja mówi \"minus = w lewo\" - to klasyczna pułapka! Sprawdź: \\(g(4) = f(4-3) = f(1)\\) - wierzchołek \\(f\\) był przy \\(x=1\\), wierzchołek \\(g\\) jest przy \\(x=4\\). ✓\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie musisz wyznaczać \\(b\\) i \\(c\\), by rozwiązać to zadanie - wystarczy rozumieć, że przesunięcie argumentu o \\(-3\\) przesuwa wykres o \\(+3\\) w prawo.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Szukając drugiego miejsca zerowego, pamiętaj o symetrii względem osi: jeśli jedno zero jest w odległości 5 od osi (\\(6-1=5\\)), drugie jest po przeciwnej stronie też w odległości 5: \\(1-5=-4\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Przesunięcie wykresu (karta wzorów, dział 4)\nWzór \\(g(x) = f(x-3)\\) oznacza przesunięcie wykresu funkcji \\(f\\) o \\(3\\) jednostki w prawo. Nowa oś symetrii: \\(x = 1 + 3 = 4\\).\n\n### Sposób 2 - Podstawienie\nOś symetrii \\(f\\) jest w \\(x = 1\\). Dla \\(g(x) = f(x-3)\\) szukamy takiego \\(x\\), że \\(x - 3 = 1\\), czyli \\(x = 4\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(x = -2\\)** - przesunięcie w lewo zamiast w prawo.\n- **B. \\(x = 1\\)** - brak uwzględnienia przesunięcia.\n- **C. \\(x = 3\\)** - pomylono sam parametr z nową osią.\n\n**Trik:** \\(f(x-a)\\) to przesunięcie o \\(+a\\) w prawo; \\(f(x+a)\\) - o \\(a\\) w lewo.","image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-12.svg","topics":null,"page_from":12,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/12.1","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"12.1","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12.1. (0-2)\nUzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania\nbyły prawdziwe.\n1. Miejscem zerowym funkcji 𝑓 jest liczba\n2. Wartość wyrażenia 𝑓(-2) + 3 ⋅𝑓(2) jest równa\n1 2 3 4\n-1\n-2\n5\n0\n𝑥\n-5 -4 -3\n1\n2\n3\n4\n𝑦\n5\n-1\n-2\n-3\n-4\n-5\n𝑦= 𝑓(𝑥)\n\nMMAP-P0_100","answer":"1) 1 , 2) 0","answer_text":"Zadanie 12.1. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nV.3) odczytuje i interpretuje wartości funkcji\nokreślonych za pomocą […] wykresów,\nwzorów […];\nV.4) odczytuje z wykresu funkcji: […]\nmiejsca zerowe […].\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawne uzupełnienie dwóch zdań.\n1 pkt - poprawne uzupełnienie jednego zdania.\n0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nRozwiązanie\n1. Miejscem zerowym funkcji 𝑓 jest liczba 1.\n2. Wartość wyrażenia 𝑓(-2) + 3 ⋅𝑓(2) jest równa 0.","solution":"Miejsce zerowe spełnia f(x)=0 . Dla drugiego wzoru x-1=0 , więc x=1 . Dla pierwszego wzoru zero byłoby przy x=-5 , ale -5 nie należy do dziedziny tego fragmentu. Ponadto f(-2)=-2-1=-3 , a f(2)=2-1=1 , więc f(-2)+3f(2)=-3+3·1=0 .","image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-12.1.webp","solution_image":null,"topics":"Funkcje","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/12.2","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"12.2","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12.2. (0-2)\nUzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby\nzdania były prawdziwe.\n1. Zbiorem wartości funkcji 𝑓 jest przedział\n2. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 𝑓(𝑥) < -2 jest przedział\nFunkcja f jest określona następująco: f(x) = {-2x-10 dla x∈(-5,-3>; x-1 dla x∈(-3,4>. Wykres funkcji y=f(x) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) na rysunku poniżej. [rysunek] Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. 1. Zbiorem wartości funkcji f jest przedział ........................ . 2. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności f(x) < -2 jest przedział ........................ .","answer":"1) [-4,3] , 2) (-4,-1)","answer_text":"Zadanie 12.2. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nV.4) odczytuje z wykresu funkcji: […] zbiór\nwartości, […] przedziały, w których funkcja\nprzyjmuje wartości […] mniejsze […] od\ndanej liczby […].\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawne uzupełnienie dwóch zdań.\n1 pkt - poprawne uzupełnienie jednego zdania.\n0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nRozwiązanie\n1. Zbiorem wartości funkcji 𝑓 jest przedział [-4, 3].\n2. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 𝑓(𝑥) < -2 jest przedział (-4, -1).\nUwaga:\nOdpowiedź zdającego uznajemy za poprawną tylko wtedy, gdy można w sposób\njednoznaczny ustalić, czy zapisany przez zdającego przedział jest otwarty czy domknięty.\nKryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nJeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej przy zachowaniu poprawnych krańców\nprzedziału, np. zapisze, że zbiorem wartości funkcji 𝑓 jest przedział [3, -4], to otrzymuje\n1 punkt za tak uzupełnione zdanie.","solution":"Najmniejsza wartość funkcji to -4 , osiągana dla x=-3 . Największa wartość to 3 , osiągana dla x=4 . Zatem zbiór wartości to [-4,3] . Nierówność f(x)<-2 jest spełniona dla argumentów od -4 do -1 , bez końców, czyli (-4,-1) .","image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-12.2.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-12.2.svg","topics":"Funkcje","page_from":13,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (0-1)\nMiejscem zerowym funkcji liniowej 𝑔 jest liczba (-3).\nDla argumentu 0 funkcja 𝑔 przyjmuje wartość (-3\n2).\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nFunkcja 𝑔 jest określona wzorem\nA. 𝑔(𝑥) = -1\n2 𝑥-3\n2\nB. 𝑔(𝑥) = -1\n2 𝑥+ 3\n2\nC. 𝑔(𝑥) = 1\n2 𝑥-3\n2\nD. 𝑔(𝑥) = 1\n2 𝑥+ 3\n2\n\nMMAP-P0_100\nMiejscem zerowym funkcji liniowej g jest liczba (-3). Dla argumentu 0 funkcja g przyjmuje wartość (-3/2). Funkcja g jest określona wzorem A. g(x)=-1/2x-3/2 B. g(x)=-1/2x+3/2 C. g(x)=1/2x-3/2 D. g(x)=1/2x+3/2","answer":"A","answer_text":"Zadanie 13. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nV.6) wyznacza wzór funkcji liniowej na\npodstawie informacji o jej wykresie lub o jej\nwłasnościach.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(-8\\)\n\n## Sposób 1 - ze wzoru na wyraz ogólny\n\nWzór ogólny ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r\\]\n\n**Dane:** różnica \\(r = -4\\), \\(a_{10} = -24\\).\n\n**Krok 1.** Wyznaczamy \\(a_1\\) z warunku \\(a_{10} = -24\\):\n\\[a_{10} = a_1 + (10-1) \\cdot (-4) = a_1 - 36\\]\n\\[-24 = a_1 - 36\\]\n\\[a_1 = 12\\]\n\n**Krok 2.** Liczymy \\(a_6\\):\n\\[a_6 = a_1 + (6-1) \\cdot r = 12 + 5 \\cdot (-4) = 12 - 20 = \\mathbf{-8}\\]\n\n## Sposób 2 - bezpośrednio z \\(a_{10}\\)\n\nZamiast wyznaczać \\(a_1\\), cofamy się z \\(a_{10}\\) do \\(a_6\\) - są oddalone o \\(4\\) wyrazy.\n\nKażdy wyraz jest o \\(r = -4\\) mniejszy od następnego, więc przechodząc **wstecz** o jeden wyraz, **dodajemy 4**. Z \\(a_{10}\\) do \\(a_6\\) cofamy się o 4 wyrazy:\n\n\\[a_6 = a_{10} - 4 \\cdot r = -24 - 4 \\cdot (-4) = -24 + 16 = \\mathbf{-8}\\]\n\nAlternatywnie - korzystamy z własności ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_m + (n - m) \\cdot r\\]\n\\[a_6 = a_{10} + (6 - 10) \\cdot (-4) = -24 + (-4)(-4) = -24 + 16 = -8\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na wyraz ogólny ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(a_1\\), a następnie \\(a_6\\).\n\nWynika z niego też ogólniejsza forma:\n\\[a_n = a_m + (n-m) \\cdot r\\]\nktórą wykorzystaliśmy w Sposobie 2, aby ominąć szukanie \\(a_1\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A. \\(-12\\) | Policzono \\(a_7\\) zamiast \\(a_6\\): \\(-24 + 3\\cdot4 = -12\\) - pomylono liczbę kroków wstecz |\n| C. \\(-4\\) | Policzono \\(a_5\\): \\(-24 + 5\\cdot4 = -4\\) - cofnięto się o 5 zamiast 4 |\n| D. \\(0\\) | Policzono \\(a_4\\): \\(-24 + 6\\cdot4 = 0\\) - pomylono indeks lub mylnie uznano, że cofając się o \\(n\\) kroków, dodaje się \\(n \\cdot |r|\\) dla \\(n = 6 - 10\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Różnica jest **ujemna** (\\(r = -4\\)), więc ciąg **maleje** - wyrazy z większym indeksem są mniejsze. Przy cofaniu wstecz (z \\(a_{10}\\) do \\(a_6\\)) wartości **rosną**, więc dodajemy \\(|r|\\), nie odejmujemy!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Różnica kroków między wyrazami \\(a_6\\) i \\(a_{10}\\) to \\(10 - 6 = 4\\), **nie** 6 ani 5. Łatwo się pomylić rachując \"do tyłu\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 1 wzór \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\) zawiera \\((n-1)\\), nie \\(n\\) - przy \\(a_{10}\\) podstawiamy \\(9\\), a przy \\(a_6\\) podstawiamy \\(5\\). To częsty błąd o \"jeden za dużo\".\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Cofnięcie się o 4 wyrazy (karta wzorów, dział 5)\nW ciągu arytmetycznym: \\(a_{n+k} = a_{n} + k \\cdot r\\). Cofamy od \\(a_{10}\\) do \\(a_{6}\\) o \\(4\\) kroki z różnicą \\(r = -4\\):\n\\[a_{6} = a_{10} - 4 \\cdot r = -24 - 4 \\cdot (-4) = -24 + 16 = -8.\\]\n\n### Sposób 2 - Z wyrazu ogólnego\n\\(a_{10} = a_{1} + 9r = a_{1} - 36 = -24 \\Rightarrow a_{1} = 12\\).\n\\(a_{6} = a_{1} + 5r = 12 + 5 \\cdot (-4) = 12 - 20 = -8\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-12\\)** - błąd o jeden krok.\n- **C. \\(-4\\)** - zły kierunek cofania.\n- **D. \\(0\\)** - pomylone z \\(a_{3}\\).\n\n**Trik:** \\(a_{m} - a_{n} = (m-n) \\cdot r\\); uważaj na znak.","image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-13.svg","topics":"Funkcja liniowa","page_from":13,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"14","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14.\nFunkcja kwadratowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 1\n2 𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐, gdzie 𝑏 oraz 𝑐 są\nliczbami rzeczywistymi. Jednym z miejsc zerowych funkcji 𝑓 jest liczba 6.\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) prosta o równaniu 𝑥= 1 jest osią symetrii\nwykresu funkcji 𝑓.\nFunkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x)= 1/2x² + bx + c, gdzie b oraz c są liczbami rzeczywistymi. Jednym z miejsc zerowych funkcji f jest liczba 6. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) prosta o równaniu x=1 jest osią symetrii wykresu funkcji f.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(q = -\\dfrac{1}{2}\\)\n\n## Sposób 1 - wzór ogólny ciągu geometrycznego\n\n**Wypisujemy wyrazy ciągu wzorem ogólnym.** Dla ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie \\(a_1\\) i ilorazie \\(q\\):\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\n\nZatem:\n\\[a_3 = a_1 \\cdot q^2, \\qquad a_6 = a_1 \\cdot q^5\\]\n\n**Podstawiamy do warunku** \\(a_3 = -8 \\cdot a_6\\):\n\\[a_1 \\cdot q^2 = -8 \\cdot a_1 \\cdot q^5\\]\n\nPonieważ wszystkie wyrazy są różne od zera, \\(a_1 \\neq 0\\) i \\(q \\neq 0\\) - **dzielimy obie strony przez** \\(a_1 \\cdot q^2\\):\n\\[1 = -8 \\cdot q^3\\]\n\\[q^3 = -\\frac{1}{8}\\]\n\nPierwiastkujemy obie strony (sześciennie):\n\\[q = \\sqrt[3]{-\\frac{1}{8}} = -\\sqrt[3]{\\frac{1}{8}} = \\mathbf{-\\frac{1}{2}}\\]\n\n## Sposób 2 - zależność między wyrazami \\(a_3\\) i \\(a_6\\)\n\n**Klucz:** wyrazy ciągu geometrycznego są od siebie odległe o 3 pozycje, więc:\n\\[a_6 = a_3 \\cdot q^3\\]\n\nPodstawiamy do warunku \\(a_3 = -8 \\cdot a_6\\):\n\\[a_3 = -8 \\cdot a_3 \\cdot q^3\\]\n\nDzielimy obie strony przez \\(a_3 \\neq 0\\):\n\\[1 = -8q^3\\]\n\\[q^3 = -\\frac{1}{8}\\]\n\\[q = -\\frac{1}{2}\\]\n\n**Weryfikacja:** sprawdzamy, czy warunek jest spełniony dla \\(q = -\\frac{1}{2}\\):\n\\[a_6 = a_3 \\cdot \\left(-\\frac{1}{2}\\right)^3 = a_3 \\cdot \\left(-\\frac{1}{8}\\right)\\]\n\\[-8 \\cdot a_6 = -8 \\cdot a_3 \\cdot \\left(-\\frac{1}{8}\\right) = a_3 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór ogólny ciągu geometrycznego:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\nUżyliśmy tego wzoru do wypisania \\(a_3\\) i \\(a_6\\) w Sposobie 1.\n\nAlternatywnie korzystamy z własności: \\(a_6 = a_3 \\cdot q^3\\) (każde dwa wyrazy odległe o \\(k\\) pozycji spełniają \\(a_{n+k} = a_n \\cdot q^k\\)) - to bezpośredni wniosek z wzoru ogólnego.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd, który do niej prowadzi |\n| A: \\(-2\\) | Uczeń odwraca warunek - zakłada \\(a_6 = -8 \\cdot a_3\\) zamiast \\(a_3 = -8 \\cdot a_6\\). Wtedy \\(q^3 = -8\\), skąd \\(q = -2\\). |\n| C: \\(\\dfrac{1}{2}\\) | Uczeń pomija minus przy \\(-8\\) i rozwiązuje \\(q^3 = \\frac{1}{8}\\), dostając \\(q = \\frac{1}{2}\\). Sprawdzenie: \\(a_3 = -8 \\cdot a_3 \\cdot \\frac{1}{8} = -a_3\\), co daje \\(a_3 = 0\\) - sprzeczność! |\n| D: \\(2\\) | Uczeń odwraca warunek **i** pomija minus: dostaje \\(q^3 = 8\\), skąd \\(q = 2\\). Sprawdzenie: prowadzi do \\(a_3 = 0\\) - sprzeczność! |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo odwrócić warunek i napisać \\(a_6 = -8 \\cdot a_3\\) zamiast \\(a_3 = -8 \\cdot a_6\\). To prosta zamiana liter, a prowadzi do odpowiedzi A zamiast B - czytaj uważnie!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(q^3 = -\\frac{1}{8}\\) ma **dokładnie jedno** rozwiązanie rzeczywiste: \\(q = -\\frac{1}{2}\\). Nie ma tu pokusy, że \"pierwiastek parzysty - dwa rozwiązania\" - bo to pierwiastek sześcienny (nieparzysty stopień).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek \"wszystkie wyrazy różne od 0\" gwarantuje, że \\(a_1 \\neq 0\\) i \\(q \\neq 0\\) - bez tego nie możemy bezpiecznie dzielić stronami. Warto o tym wspomnieć na kartkówce!\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Wyraz ogólny (karta wzorów, dział 5)\nW ciągu geometrycznym \\(a_{n} = a_{1} \\cdot q^{n-1}\\), więc:\n\\(a_{3} = a_{1} q^{2}\\), \\(a_{6} = a_{1} q^{5}\\).\nZ warunku: \\(a_{1}q^{2} = -8 \\cdot a_{1}q^{5}\\).\nDzieląc przez \\(a_{1}q^{2} \\ne 0\\): \\(1 = -8q^{3} \\Rightarrow q^{3} = -\\tfrac{1}{8} \\Rightarrow q = -\\tfrac{1}{2}\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie\n\\(q = -\\tfrac{1}{2}\\): \\(a_{6}/a_{3} = q^{3} = -\\tfrac{1}{8}\\), więc \\(a_{3} = -8 a_{6}\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-2\\)** - \\(q^{3} = -8\\), nie \\(-\\tfrac{1}{8}\\).\n- **C. \\(\\tfrac{1}{2}\\)** - pominięty znak minus.\n- **D. \\(2\\)** - zupełnie odwrotne.\n\n**Trik:** \\(\\tfrac{a_{6}}{a_{3}} = q^{6-3} = q^{3}\\).","image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-14.svg","topics":null,"page_from":14,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/14.1","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"14.1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14.1. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nFunkcja 𝑓 jest określona wzorem\nA. 𝑓(𝑥) = 1\n2 (𝑥-4)(𝑥-6)\nB. 𝑓(𝑥) = 1\n2 (𝑥-4)(𝑥+ 6)\nC. 𝑓(𝑥) = 1\n2 (𝑥+ 4)(𝑥-6)\nD. 𝑓(𝑥) = 1\n2 (𝑥+ 4)(𝑥+ 6)\n\nMMAP-P0_100\nFunkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x)= 1/2x² + bx + c, gdzie b oraz c są liczbami rzeczywistymi. Jednym z miejsc zerowych funkcji f jest liczba 6. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) prosta o równaniu x=1 jest osią symetrii wykresu funkcji f. Funkcja f jest określona wzorem A. f(x)=1/2(x-4)(x-6) B. f(x)=1/2(x-4)(x+6) C. f(x)=1/2(x+4)(x-6) D. f(x)=1/2(x+4)(x+6)","answer":"C","answer_text":"Zadanie 14.1. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nV.9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na\npodstawie informacji o tej funkcji lub o jej\nwykresie.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"Poprawnie, wiemy, że miejscem zerowym jest $x=6$. Skoro $x=1$ jest osią symetrii to wtedy drugie miejsce zerowe jest symetrycznie po drugiej stronie, czyli $x=-4$.","image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-14.1.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-14.1.svg","topics":"Funkcja kwadratowa","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/14.2","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"14.2","points":1,"ptype":"true_false","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14.2. (0-1)\nOceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest\nprawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.\nWspółczynnik 𝑏 we wzorze funkcji 𝑓 jest liczbą dodatnią.\nP\nF\nWspółczynnik 𝑐 we wzorze funkcji 𝑓 jest liczbą dodatnią.\nP\nF\nFunkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x)= 1/2x² + bx + c, gdzie b oraz c są liczbami rzeczywistymi. Jednym z miejsc zerowych funkcji f jest liczba 6. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) prosta o równaniu x=1 jest osią symetrii wykresu funkcji f. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Współczynnik b we wzorze funkcji f jest liczbą dodatnią. Współczynnik c we wzorze funkcji f jest liczbą dodatnią.","answer":"FF","answer_text":"Zadanie 14.2. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nV.8) interpretuje współczynniki występujące\nwe wzorze funkcji kwadratowej w postaci\nogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli\nistnieje).\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nFF","solution":"Z zadania 14.1 mamy:\n\nf(x)=(1)/(2)(x+4)(x-6)\n\nMnożymy nawiasy:\n\n(x+4)(x-6)=x^2-2x-24\n\nf(x)=(1)/(2)x^2-x-12\n\nStąd:\n\nb=-1, c=-12\n\nWspółczynnik b nie jest dodatni, więc pierwsze stwierdzenie jest fałszywe.\n\nWspółczynnik c także nie jest dodatni, więc drugie stwierdzenie jest fałszywe.\n\nOdpowiedź: F, F.","image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-14.2.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-14.2.svg","topics":"Funkcja kwadratowa","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/14.3","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"14.3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14.3. (0-1)\nFunkcja 𝑔 jest określona dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 wzorem 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥-3).\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nOsią symetrii wykresu funkcji 𝑔 jest prosta o równaniu\nA. 𝑥= -2\nB. 𝑥= 1\nC. 𝑥= 3\nD. 𝑥= 4\n\nMMAP-P0_100","answer":"D","answer_text":"Zadanie 14.3. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nV.12) na podstawie wykresu funkcji\n𝑦= 𝑓(𝑥) szkicuje wykresy funkcji\n𝑦= 𝑓(𝑥-𝑎), 𝑦= 𝑓(𝑥) + 𝑏.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"Poprawnie, aby otrzymać wykres funkcji $g$ przesuwamy wykres funkcji $f$ o $3$ jednostki w prawo. Stąd oś również się przesuwa do $x=1+3=4$.","image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-14.3.webp","solution_image":null,"topics":"Funkcja kwadratowa","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (0-1)\nCiąg (𝑎𝑛) jest określony wzorem 𝑎𝑛= 32 ⋅ (-1)𝑛\n2𝑛-1\ndla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nSzósty wyraz ciągu (𝑎𝑛) jest równy\nA. (-2)\nB. (-1)\nC. 1\nD. 2\nCiąg (a_n) jest określony wzorem a_n = 32⋅(-1)^n / 2^{n-1} dla każdej liczby naturalnej n≥1. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Szósty wyraz ciągu (a_n) jest równy A. (-2) B. (-1) C. 1 D. 2","answer":"C","answer_text":"Zadanie 15. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVI.1) oblicza wyrazy ciągu określonego\nwzorem ogólnym.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(\\dfrac{12}{5}\\)\n\n## Sposób 1 - Jedynka trygonometryczna + definicja tangensa\n\nWiemy, że \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{5}{13}\\) i kąt \\(\\alpha\\) jest ostry.\n\n**Krok 1: Wyznaczamy \\(\\sin\\alpha\\) z jedynki trygonometrycznej.**\n\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\n\\[\\sin^2\\alpha = 1 - \\cos^2\\alpha = 1 - \\left(\\frac{5}{13}\\right)^2 = 1 - \\frac{25}{169} = \\frac{144}{169}\\]\n\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{12}{13}\\]\n\nPonieważ \\(\\alpha\\) jest kątem ostrym, \\(\\sin\\alpha > 0\\), więc bierzemy wartość dodatnią.\n\n**Krok 2: Liczymy tangens ze wzoru.**\n\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\frac{\\dfrac{12}{13}}{\\dfrac{5}{13}} = \\frac{12}{13} \\cdot \\frac{13}{5} = \\mathbf{\\frac{12}{5}}\\]\n\n## Sposób 2 - Trójkąt prostokątny\n\nSkoro \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{\\text{przyległa}}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\dfrac{5}{13}\\), możemy narysować trójkąt prostokątny z bokami:\n\n- przyległa do \\(\\alpha\\): \\(b = 5\\)\n- przeciwprostokątna: \\(c = 13\\)\n\n**Krok 1: Szukamy boku naprzeciwległego z twierdzenia Pitagorasa.**\n\n\\[a^2 = c^2 - b^2 = 169 - 25 = 144 \\implies a = 12\\]\n\n**Krok 2: Odczytujemy tangens wprost z definicji.**\n\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{naprzeciwległa}}{\\text{przyległa}} = \\mathbf{\\frac{12}{5}}\\]\n\nWynik zgodny z Metodą 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)**\n\nJedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\nUżyta w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(\\sin\\alpha\\).\n\nDefinicja tangensa:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\]\nUżyta w obydwu sposobach do obliczenia końcowego wyniku.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A - \\(\\dfrac{5}{12}\\) | Odwrócono tangens - policzono \\(\\dfrac{\\cos\\alpha}{\\sin\\alpha} = \\dfrac{5}{12}\\), czyli **cotangens**, nie tangens |\n| B - \\(\\dfrac{12}{13}\\) | Podano \\(\\sin\\alpha\\), nie \\(\\operatorname{tg}\\alpha\\) - zatrzymano się o krok za wcześnie |\n| C - \\(\\dfrac{13}{12}\\) | Pomylono wzór: odwrócono stosunek \\(\\dfrac{1}{\\sin\\alpha} = \\dfrac{13}{12}\\) lub użyto \\(\\dfrac{\\text{przeciwprostokątna}}{\\text{naprzeciwległa}}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\), **nie** \\(\\dfrac{\\cos\\alpha}{\\sin\\alpha}\\). Zamiana licznika z mianownikiem to najczęstszy błąd - daje odpowiedź A.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wystarczy wyliczyć \\(\\sin\\alpha\\) i podać go jako odpowiedź (pułapka B). Zawsze sprawdź, czy pytanie pyta o \\(\\sin\\), \\(\\cos\\), czy \\(\\operatorname{tg}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(\\sin\\alpha\\) z jedynki trygonometrycznej pamiętaj, że \\(\\sqrt{\\dfrac{144}{169}} = \\dfrac{12}{13}\\), **nie** \\(\\dfrac{12}{169}\\) ani inne błędne uproszczenie pierwiastka z ułamka.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Jedynka trygonometryczna (karta wzorów, dział 6)\n\\(\\sin^{2}\\alpha + \\cos^{2}\\alpha = 1 \\Rightarrow \\sin^{2}\\alpha = 1 - \\tfrac{25}{169} = \\tfrac{144}{169}\\).\nPonieważ \\(\\alpha\\) ostry: \\(\\sin\\alpha = \\tfrac{12}{13}\\).\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\dfrac{12/13}{5/13} = \\dfrac{12}{5}.\\]\n\n### Sposób 2 - Trójkąt prostokątny\nPrzyprostokątna przylegająca = \\(5\\), przeciwprostokątna = \\(13\\). Druga przyprostokątna: \\(\\sqrt{169-25} = 12\\).\n\\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\tfrac{\\text{przeciwległa}}{\\text{przyległa}} = \\tfrac{12}{5}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{5}{12}\\)** - pomylone strony trójkąta.\n- **B. \\(\\tfrac{12}{13}\\)** - to \\(\\sin\\alpha\\), nie \\(\\operatorname{tg}\\).\n- **C. \\(\\tfrac{13}{12}\\)** - odwrotność \\(\\sin\\).\n\n**Trik:** trójka pitagorejska \\(5\\text{--}12\\text{--}13\\).","image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-15.svg","topics":"Ciągi","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (0-1)\nCiąg arytmetyczny (𝑎𝑛) jest określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.\nRóżnica tego ciągu jest równa (-4) oraz 𝑎10 = -24.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nSzósty wyraz ciągu (𝑎𝑛) jest równy\nA. (-12)\nB. (-8)\nC. (-4)\nD. 0\n\nMMAP-P0_100\nCiąg arytmetyczny (a_n) jest określony dla każdej liczby naturalnej n≥1. Różnica tego ciągu jest równa (-4) oraz a_10=-24. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Szósty wyraz ciągu (a_n) jest równy A. (-12) B. (-8) C. (-4) D. 0","answer":"B","answer_text":"Zadanie 16. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVI.5) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz […] ciągu\narytmetycznego.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(1\\)\n\n## Sposób 1 - Podstawienie wartości z tabeli\n\nZnamy wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów \\(30°\\) i \\(60°\\) z tabeli na karcie wzorów:\n\n\\[\\sin 30° = \\frac{1}{2}, \\quad \\cos 60° = \\frac{1}{2}, \\quad \\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}, \\quad \\cos 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]\n\nPodstawiamy bezpośrednio:\n\n\\[\\sin 30° \\cdot \\cos 60° + \\sin 60° \\cdot \\cos 30° = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{2} + \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]\n\n\\[= \\frac{1}{4} + \\frac{3}{4} = \\frac{4}{4} = \\mathbf{1}\\]\n\n## Sposób 2 - Rozpoznanie wzoru na sinus sumy\n\nPatrząc na wyrażenie \\(\\sin 30° \\cdot \\cos 60° + \\sin 60° \\cdot \\cos 30°\\), zauważamy, że **jest to dokładnie wzór na sinus sumy kątów**:\n\n\\[\\sin(\\alpha + \\beta) = \\sin\\alpha\\cos\\beta + \\cos\\alpha\\sin\\beta\\]\n\nTutaj \\(\\alpha = 30°\\), \\(\\beta = 60°\\), więc:\n\n\\[\\sin 30° \\cdot \\cos 60° + \\cos 30° \\cdot \\sin 60° = \\sin(30° + 60°) = \\sin 90°\\]\n\n\\[\\sin 90° = \\mathbf{1}\\]\n\nElegancki i szybki - bez żadnych obliczeń!\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 13)** - wzór na sinus sumy kątów:\n\\[\\sin(\\alpha + \\beta) = \\sin\\alpha\\cos\\beta + \\cos\\alpha\\sin\\beta\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 2 - natychmiastowe rozpoznanie struktury wyrażenia.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - tabela wartości dla kątów \\(30°, 60°\\):\n\\[\\sin 30° = \\frac{1}{2},\\quad \\cos 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{2},\\quad \\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2},\\quad \\cos 60° = \\frac{1}{2}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1 do bezpośredniego podstawienia.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A \\(\\left(\\frac{1}{2}\\right)\\) | Uczeń liczy tylko pierwszy składnik: \\(\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{2} = \\frac{1}{4}\\), albo myli \\(\\sin(30° \\cdot 60°)\\) z \\(\\sin(30°) \\cdot \\sin(60°)\\) |\n| B \\(\\left(\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right)\\) | Skojarzenie z kątem \\(45°\\) - uczeń myśli o wartościach dla \\(45°\\) zamiast \\(30°\\) i \\(60°\\) |\n| C \\(\\left(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)\\) | Uczeń liczy \\(\\sin 60°\\) lub \\(\\cos 30°\\) i bierze ten wynik jako odpowiedź, pomijając drugi składnik |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mnóż kątów - \\(\\sin 30° \\cdot \\cos 60°\\) to **iloczyn dwóch funkcji**, a nie \\(\\sin(30° \\cdot 60°)\\). To zupełnie różne rzeczy!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić wartości \\(\\sin 30° = \\frac{1}{2}\\) z \\(\\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) - zapamiętaj: sinus rośnie, więc większy kąt \\(60°\\) daje większy sinus.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jeśli rozpoznasz wzór \\(\\sin(\\alpha+\\beta)\\), możesz rozwiązać to zadanie **w 5 sekund** bez żadnych obliczeń. Warto znać wzory na sinus i cosinus sumy - na maturze pojawiają się często!\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Wartości tablicowe (karta wzorów, dział 6)\n\\(\\sin 30^{\\circ} = \\tfrac{1}{2}\\), \\(\\cos 60^{\\circ} = \\tfrac{1}{2}\\), \\(\\sin 60^{\\circ} = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\), \\(\\cos 30^{\\circ} = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\).\n\\[\\tfrac{1}{2} \\cdot \\tfrac{1}{2} + \\tfrac{\\sqrt{3}}{2} \\cdot \\tfrac{\\sqrt{3}}{2} = \\tfrac{1}{4} + \\tfrac{3}{4} = 1.\\]\n\n### Sposób 2 - Wzór na sinus sumy (rozszerzenie)\n\\(\\sin(A+B) = \\sin A \\cos B + \\cos A \\sin B\\). Tu \\(A = 30^{\\circ}, B = 60^{\\circ}\\):\n\\(\\sin(30^{\\circ} + 60^{\\circ}) = \\sin 90^{\\circ} = 1\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{1}{2}\\)** - błąd przy dodawaniu ułamków.\n- **B. \\(\\tfrac{\\sqrt{2}}{2}\\)** - mylona z \\(\\sin 45^{\\circ}\\).\n- **C. \\(\\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\)** - tylko jeden składnik.\n\n**Trik:** to wzór na \\(\\sin(30^{\\circ}+60^{\\circ}) = \\sin 90^{\\circ} = 1\\).","image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-16.svg","topics":"Ciąg arytmetyczny","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (0-1)\nCiąg geometryczny (𝑎𝑛), o wszystkich wyrazach rzeczywistych różnych od 0, jest\nokreślony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.\nWyrazy tego ciągu spełniają warunek 𝑎3 = -8 ⋅𝑎6 .\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nIloraz ciągu (𝑎𝑛) jest równy\nA. (-2)\nB. (-1\n2)\nC. 1\n2\nD. 2\nCiąg geometryczny (a_n), o wszystkich wyrazach rzeczywistych różnych od 0, jest określony dla każdej liczby naturalnej n≥1. Wyrazy tego ciągu spełniają warunek a_3=-8⋅a_6. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Iloraz ciągu (a_n) jest równy A. (-2) B. (-1/2) C. 1/2 D. 2","answer":"B","answer_text":"Zadanie 17. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVI.6) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz […] ciągu\ngeometrycznego.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(80°\\)\n\n## Sposób 1 - Twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym\n\n**Kluczowe spostrzeżenie:** Punkt \\(S\\) leży na odcinku \\(BD\\), a \\(S\\) jest środkiem okręgu - zatem \\(BD\\) jest **średnicą** okręgu.\n\n**Krok 1 - Identyfikacja kąta wpisanego i środkowego.**\n\nKąt \\(\\angle BDA = 40°\\) jest **kątem wpisanym** w okrąg (wierzchołek \\(D\\) leży na okręgu). Opiera się on na łuku \\(\\overset{\\frown}{BA}\\) (łuk od \\(B\\) do \\(A\\) niezawierający \\(D\\)).\n\nKąt \\(\\angle BSA\\) jest **kątem środkowym** (wierzchołek w środku \\(S\\)), który opiera się na **tym samym łuku** \\(\\overset{\\frown}{BA}\\).\n\n**Krok 2 - Zastosowanie twierdzenia.**\n\n\\[\\angle BSA = 2 \\cdot \\angle BDA\\]\n\\[\\angle BSA = 2 \\cdot 40° = 80°\\]\n\n**Krok 3 - Sprawdzenie, czy kąt jest ostry.**\n\nPonieważ \\(80° < 90°\\), kąt \\(BSA\\) jest rzeczywiście **ostry**.\n\n**Odpowiedź: \\(\\angle BSA = 80°\\)**\n\n## Sposób 2 - Kąt wpisany w półokrąg + suma kątów trójkąta\n\n**Krok 1 - Kąt oparty na średnicy.**\n\nPonieważ \\(BD\\) jest średnicą, każdy kąt wpisany oparty na \\(BD\\) wynosi \\(90°\\):\n\\[\\angle BAD = 90°\\]\n\n**Krok 2 - Suma kątów w trójkącie \\(ABD\\).**\n\n\\[\\angle ABD + \\angle BDA + \\angle BAD = 180°\\]\n\\[\\angle ABD + 40° + 90° = 180°\\]\n\\[\\angle ABD = 50°\\]\n\n**Krok 3 - Kąt \\(\\angle ABD\\) jako kąt wpisany.**\n\nKąt \\(\\angle ABD = 50°\\) jest kątem wpisanym opartym na łuku \\(\\overset{\\frown}{AD}\\) (od \\(A\\) do \\(D\\), niezawierającym \\(B\\)).\n\nZatem kąt środkowy:\n\\[\\angle ASD = 2 \\cdot \\angle ABD = 2 \\cdot 50° = 100°\\]\n\n**Krok 4 - Kąt \\(\\angle BSA\\) jako kąt suplementarny.**\n\nPunkty \\(B\\), \\(S\\), \\(D\\) są współliniowe (BD jest średnicą), więc kąty \\(\\angle BSA\\) i \\(\\angle ASD\\) są suplementarne:\n\\[\\angle BSA + \\angle ASD = 180°\\]\n\\[\\angle BSA = 180° - 100° = \\mathbf{80°}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - Twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym:\n\n> Kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego, gdy obydwa opierają się na tym samym łuku.\n\nUżyliśmy tego bezpośrednio w **Sposobie 1** (\\(\\angle BSA = 2 \\cdot \\angle BDA\\)).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - Kąt wpisany w półokrąg:\n\n> Kąt wpisany oparty na średnicy wynosi \\(90°\\).\n\nUżyliśmy tego w **Sposobie 2** (\\(\\angle BAD = 90°\\)).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A. \\(20°\\) | Wzięcie połowy kąta \\(BDA\\) zamiast dwukrotności: \\(\\frac{40°}{2} = 20°\\) - pomylenie kierunku zależności (środkowy = 2 × wpisany, nie odwrotnie) |\n| B. \\(40°\\) | Przepisanie kąta \\(BDA\\) bez użycia twierdzenia - błędne uznanie, że kąt środkowy = kąt wpisany |\n| C. \\(50°\\) | Wynik pośredni - kąt \\(\\angle ABD = 50°\\) z Sposobu 2, ale to **nie** jest szukany kąt \\(BSA\\); alternatywnie - pomylenie kąta \\(BSC\\) z \\(BSA\\) (kąt środkowy dla łuku \\(BC\\): \\(2 \\cdot \\angle DBC\\) ale to wymaga innego łuku) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić kierunek twierdzenia - kąt **środkowy** jest **dwa razy większy** od wpisanego (nie odwrotnie!). Zatem szukany kąt to \\(2 \\times 40° = 80°\\), a nie \\(40° / 2 = 20°\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Informacja o kącie \\(\\angle DBC = 65°\\) i promieniu \\(36\\) są w tym zadaniu **nieużywane** do wyznaczenia \\(\\angle BSA\\) - to typowa pułapka, żeby zmylić i skłonić do niepotrzebnych obliczeń.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że warunkiem koniecznym do zastosowania twierdzenia jest to, że **oba kąty opierają się na tym samym łuku** - sprawdź zawsze, po której stronie cięciwy leży wierzchołek kąta wpisanego.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Kąt środkowy i wpisany (karta wzorów, dział 7)\nPonieważ \\(S\\) leży na odcinku \\(BD\\), odcinek \\(BD\\) jest średnicą okręgu. Kąt \\(BDA\\) jest kątem wpisanym opartym na łuku \\(BA\\), a kąt \\(BSA\\) jest kątem środkowym opartym na tym samym łuku.\n\\[|\\angle BSA| = 2 \\cdot |\\angle BDA| = 2 \\cdot 40^{\\circ} = 80^{\\circ}.\\]\n\n### Sposób 2 - Przez trójkąt równoramienny\nW trójkącie \\(ASD\\): \\(|SA| = |SD| = 36\\) (promienie), więc jest równoramienny. Kąty przy podstawie \\(AD\\): \\(|\\angle SDA| = |\\angle SAD| = 40^{\\circ}\\). Kąt \\(\\angle ASD = 180^{\\circ} - 80^{\\circ} = 100^{\\circ}\\). Kąt \\(\\angle BSA = 180^{\\circ} - 100^{\\circ} = 80^{\\circ}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(20^{\\circ}\\)** - pomyłka: połowa zamiast dwukrotności.\n- **B. \\(40^{\\circ}\\)** - pomylone z kątem wpisanym.\n- **C. \\(50^{\\circ}\\)** - użyto błędnego kąta.\n\n**Trik:** kąt środkowy = 2 × kąt wpisany (oparte na tym samym łuku).","image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-17.svg","topics":"Ciąg geometryczny","page_from":17,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (0-1)\nTrzywyrazowy ciąg (√5, 1, 𝑥) jest arytmetyczny.\nTrzywyrazowy ciąg (√5, 1, 𝑦) jest geometryczny.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczby 𝑥 oraz 𝑦 spełniają warunki\nA. 𝑥< 0 i 𝑦< 0\nB. 𝑥< 0 i 𝑦> 0\nC. 𝑥> 0 i 𝑦< 0\nD. 𝑥> 0 i 𝑦> 0\n\nMMAP-P0_100\nTrzywyrazowy ciąg (√5,1,x) jest arytmetyczny. Trzywyrazowy ciąg (√5,1,x) jest geometryczny. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczby x oraz y spełniają warunki A. x<0 i y<0 B. x<0 i y>0 C. x>0 i y<0 D. x>0 i y>0","answer":"B","answer_text":"Zadanie 18. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVI.7) wykorzystuje własności ciągów, w tym\narytmetycznych i geometrycznych, do\nrozwiązywania zadań […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(10\\pi\\)\n\n## Sposób 1 - Twierdzenie Talesa + suma kątów w trójkącie\n\n**Kluczowe spostrzeżenie:** Punkt \\(S\\) leży na odcinku \\(BD\\), czyli \\(BD\\) jest **średnicą** okręgu (przechodzi przez środek).\n\n**Krok 1: Kąt BCD = 90°**\n\nZ **twierdzenia Talesa (kąt wpisany w półokrąg)**: każdy kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty. Punkt \\(C\\) leży na okręgu, a \\(BD\\) jest średnicą, więc:\n\\[\\angle BCD = 90°\\]\n\n**Krok 2: Wyznacz kąt CDB z trójkąta BCD**\n\nW trójkącie \\(BCD\\) znamy:\n- \\(\\angle DBC = 65°\\) (dane)\n- \\(\\angle BCD = 90°\\) (właśnie obliczone)\n\nSuma kątów w trójkącie:\n\\[\\angle BDC = 180° - 90° - 65° = 25°\\]\n\n**Krok 3: Kąt środkowy łuku BC**\n\nKąt wpisany \\(\\angle BDC = 25°\\) jest oparty na łuku \\(BC\\) (niiezawierającym \\(D\\)). Kąt środkowy = **dwukrotność kąta wpisanego**:\n\\[\\angle BOC_{\\text{środkowy}} = 2 \\cdot 25° = 50°\\]\n\n**Krok 4: Długość łuku BC**\n\nObwód okręgu: \\(L = 2\\pi r = 2\\pi \\cdot 36 = 72\\pi\\)\n\n\\[\\text{Długość łuku } BC = \\frac{50°}{360°} \\cdot 72\\pi = \\frac{50}{360} \\cdot 72\\pi = \\frac{1}{7{,}2} \\cdot 72\\pi = \\boxed{10\\pi}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez łuki (sprawdzenie spójności)\n\nUżywamy tylko właściwości łuków i kąta wpisanego.\n\n**BD jest średnicą** → łuk \\(BD\\) (z obu stron) = \\(180°\\) każdy.\n\nKąt wpisany \\(\\angle DBC = 65°\\) jest oparty na łuku \\(DC\\) (niezawierającym \\(B\\)):\n\\[\\text{łuk } DC = 2 \\cdot 65° = 130°\\]\n\nPonieważ łuk \\(BC + \\text{łuk } CD = \\text{łuk } BD = 180°\\) (po tej samej stronie co \\(C\\)):\n\\[\\text{łuk } BC = 180° - 130° = 50°\\]\n\n**Weryfikacja kąta:** \\(\\angle BDC = \\frac{50°}{2} = 25°\\) ✓ (zgodne ze Sposobem 1)\n\nDługość łuku:\n\\[\\text{łuk } BC = \\frac{50°}{360°} \\cdot 72\\pi = 10\\pi\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - kąt wpisany i kąt środkowy:\n\\[\\text{Kąt wpisany} = \\frac{1}{2} \\cdot \\text{kąt środkowy}\\]\nUżyte w Sposobie 1 (krok 3) do wyznaczenia kąta środkowego łuku \\(BC\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - długość łuku (kąt środkowy \\(\\alpha\\)):\n\\[L = \\frac{\\alpha}{360°} \\cdot 2\\pi r\\]\nUżyte w kroku 4 do obliczenia długości łuku.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - twierdzenie Talesa (kąt wpisany w półokrąg):\nKąt wpisany oparty na średnicy = \\(90°\\). Kluczowe dla wyznaczenia \\(\\angle BCD\\) w Sposobie 1.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd | Skąd się bierze |\n| **A** (\\(8\\pi\\)) | Użyto kąta \\(\\angle BDA = 40°\\) jako kąta środkowego łuku \\(BC\\) (bez podwajania i zły kąt) | \\(\\frac{40°}{360°} \\cdot 72\\pi = 8\\pi\\) |\n| **C** (\\(13\\pi\\)) | Użyto \\(\\angle DBC = 65°\\) bezpośrednio jako kąta środkowego (zapomniano podwoić) | \\(\\frac{65°}{360°} \\cdot 72\\pi = 13\\pi\\) |\n| **D** (\\(20\\pi\\)) | Poprawnie obliczono łuk \\(AD = 100°\\) (bo łuk \\(AB = 80°\\), łuk \\(ABD = 180°\\)), ale pomylono go z łukiem \\(BC\\) | \\(\\frac{100°}{360°} \\cdot 72\\pi = 20\\pi\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najważniejszy krok to rozpoznanie, że \\(S \\in BD\\) oznacza **BD jest średnicą**. Bez tego cały tok rozumowania się sypie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt \\(\\angle DBC = 65°\\) jest oparty na łuku **DC**, nie na łuku **BC**! Łatwo pomylić, który łuk odpowiada danemu kątowi wpisanemu - zawsze sprawdzaj, które ramiona kąta wyznaczają dany łuk (łuk jest naprzeciwko wierzchołka kąta).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy kącie wpisanym pamiętaj o podwajaniu: kąt środkowy = 2 × kąt wpisany. Pominięcie tego podwojenia to jeden z najczęstszych błędów w tego typu zadaniach.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Długość łuku (karta wzorów, dział G10)\nW trójkącie \\(BSC\\): \\(|SB| = |SC| = 36\\), więc równoramienny. Kąt \\(\\angle SBC = 65^{\\circ}\\), \\(\\angle SCB = 65^{\\circ}\\). Kąt środkowy \\(\\angle BSC = 180^{\\circ} - 130^{\\circ} = 50^{\\circ}\\).\nDługość łuku: \\(l = \\dfrac{\\alpha}{360^{\\circ}} \\cdot 2\\pi r = \\dfrac{50}{360} \\cdot 2\\pi \\cdot 36 = \\dfrac{50 \\cdot 72}{360}\\pi = \\dfrac{3600}{360}\\pi = 10\\pi\\).\n\n### Sposób 2 - Przez kąt wpisany\nKąt wpisany \\(\\angle CDB = \\tfrac{1}{2} \\angle BSC\\). Jeśli \\(\\angle BSC = 50^{\\circ}\\), to \\(\\angle CDB = 25^{\\circ}\\).\nŁuk \\(BC\\) odpowiada kątowi środkowemu \\(50^{\\circ}\\), więc jego długość to \\(\\tfrac{50}{360} \\cdot 72\\pi = 10\\pi\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(8\\pi\\)** - źle policzony kąt środkowy.\n- **C. \\(13\\pi\\)** - niewłaściwa proporcja.\n- **D. \\(20\\pi\\)** - wzięto dwukrotnie.\n\n**Trik:** długość łuku = \\(\\tfrac{\\alpha}{360^{\\circ}} \\cdot 2\\pi r\\); najpierw wyznacz kąt środkowy.","image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-18.svg","topics":"Ciąg geometryczny","page_from":17,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (0-1)\nKąt 𝛼 jest ostry oraz cos 𝛼= 5\n13\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nTangens kąta 𝛼 jest równy\nA. 5\n12\nB. 12\n13\nC. 13\n12\nD. 12\n5\nKąt α jest ostry oraz cosα=5/13. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Tangens kąta α jest równy A. 5/12 B. 12/13 C. 13/12 D. 12/5","answer":"D","answer_text":"Zadanie 19. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVII.2) korzysta z wzorów\nsin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1, tg 𝛼= sin𝛼\ncos𝛼\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: C (pole = \\(4\\))\n\n## Sposób 1 - Podobieństwo trójkątów + trójkąty równopodstawowe\n\n**Krok 1: Wyznaczamy pole trójkąta \\(ABE\\) przez podobieństwo.**\n\nPonieważ \\(AB \\parallel CD\\), trójkąty \\(CDE\\) i \\(ABE\\) są podobne (kąty naprzemianległe + kąty przy wierzchołku \\(E\\) są wertykalne).\n\nStosunek podobieństwa:\n\\[k = \\frac{|CD|}{|AB|} = \\frac{|CD|}{2 \\cdot |CD|} = \\frac{1}{2}\\]\n\nStosunek pól:\n\\[\\frac{P_{CDE}}{P_{ABE}} = k^2 = \\frac{1}{4}\\]\n\nStąd:\n\\[P_{ABE} = 4 \\cdot P_{CDE} = 4 \\cdot 2 = 8\\]\n\n**Krok 2: Kluczowa obserwacja - trójkąty \\(ABC\\) i \\(ABD\\) mają równe pola.**\n\nTrójkąty \\(ABC\\) i \\(ABD\\) mają wspólną podstawę \\(AB\\). Ich wierzchołki \\(C\\) i \\(D\\) leżą na prostej \\(CD \\parallel AB\\), więc mają **tę samą wysokość** (odległość od \\(AB\\) do prostej \\(CD\\)).\n\n\\[P_{ABC} = P_{ABD}\\]\n\n**Krok 3: Wyznaczamy pole \\(AED\\).**\n\nRozbijamy oba trójkąty na mniejsze:\n\\[P_{ABC} = P_{ABE} + P_{BCE} = 8 + 4 = 12\\]\n\\[P_{ABD} = P_{ABE} + P_{AED} = 8 + P_{AED}\\]\n\nZ równości \\(P_{ABC} = P_{ABD}\\):\n\\[8 + P_{AED} = 12\\]\n\\[\\boxed{P_{AED} = 4}\\]\n\n## Sposób 2 - Stosunek podziału przekątnych\n\n**Krok 1: Wyznaczamy stosunek \\(BE : ED\\).**\n\nZ podobieństwa trójkątów \\(ABE \\sim CDE\\) (bo \\(AB \\parallel CD\\)):\n\\[\\frac{BE}{ED} = \\frac{AB}{CD} = \\frac{2}{1}\\]\n\nCzyli \\(E\\) dzieli przekątną \\(BD\\) w stosunku \\(2 : 1\\) (licząc od \\(B\\)).\n\n**Krok 2: Porównujemy pola trójkątów \\(ABE\\) i \\(AED\\).**\n\nTrójkąty \\(ABE\\) i \\(AED\\) mają wspólny wierzchołek \\(A\\), a ich podstawy \\(BE\\) i \\(ED\\) leżą na tej samej prostej \\(BD\\). Zatem:\n\\[\\frac{P_{ABE}}{P_{AED}} = \\frac{|BE|}{|ED|} = \\frac{2}{1}\\]\n\nStąd:\n\\[P_{AED} = \\frac{P_{ABE}}{2} = \\frac{8}{2} = 4\\]\n\n**Weryfikacja sumy pól:**\n\\[P_{CDE} + P_{BCE} + P_{AED} + P_{ABE} = 2 + 4 + 4 + 8 = 18\\]\n\nPole trapezu z podstawami \\(1\\) i \\(2\\) (w odpowiedniej skali): \\(\\frac{(1+2)}{2} \\cdot h\\) - zgadza się. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-17)** - podobieństwo figur i stosunek pól:\n\\[\\frac{P_B}{P_A} = k^2\\]\ngdzie \\(k\\) to skala podobieństwa. Użyte w Sposobie 1 i 2 do wyznaczenia \\(P_{ABE}\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - pole trójkąta:\n\\[P = \\frac{1}{2} a \\cdot h_a\\]\nPośrednio użyte przy argumentacji o równych wysokościach trójkątów \\(ABC\\) i \\(ABD\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| **A. \\(2\\)** | Uczeń utożsamia \\(P_{AED}\\) z \\(P_{CDE}\\), zakładając błędnie, że wszystkie cztery trójkąty mają równe pola. |\n| **B. \\(3\\)** | Uczeń liczy średnią arytmetyczną \\(\\frac{2+4}{2} = 3\\) - bez żadnego uzasadnienia geometrycznego. |\n| **D. \\(8\\)** | Uczeń podaje \\(P_{ABE}\\) zamiast \\(P_{AED}\\) - myli wierzchołki, bo wyznaczył \\(P_{ABE} = 4 \\cdot P_{CDE} = 8\\) i na tym kończy. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przekątne trapezu **nie** dzielą go na cztery trójkąty o równych polach - tylko dwa trójkąty (boczne, tzn. \\(BCE\\) i \\(AED\\)) mają równe pola; trójkąty \\(CDE\\) i \\(ABE\\) są w stosunku \\(1:4\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Stosunek \\(BE : ED = 2 : 1\\) wynika z podobieństwa, a **nie** z żadnych danych wprost - to kluczowy krok, który uczniowie często pomijają lub mylą z podziałem na połowy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Argument „\\(P_{ABC} = P_{ABD}\\)\" działa **tylko** dlatego, że \\(AB \\parallel CD\\) - gdyby trapez nie był prawdziwym trapezem, ten krok by się posypał.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Własność trapezu\nW trapezie trójkąty \\(AED\\) i \\(BEC\\), utworzone przez przekątne, mają równe pola (stoją między tymi samymi podstawami \\(AD\\) i \\(BC\\) trójkątów \\(ABD\\) i \\(ABC\\) o wspólnej podstawie \\(AB\\) i tych samych wysokościach).\nZatem \\(P_{AED} = P_{BCE} = 4\\).\n\n### Sposób 2 - Przez pole trójkąta \\(ABD\\)\n\\(P_{ABD} = P_{ABC}\\) (ta sama podstawa \\(AB\\), ta sama wysokość). Odejmując pole trójkąta \\(AEB\\):\n\\(P_{AED} = P_{ABD} - P_{AEB} = P_{ABC} - P_{AEB} = P_{BCE} = 4\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(2\\)** - to pole trójkąta \\(CDE\\).\n- **B. \\(3\\)** - średnia, niepoprawna reguła.\n- **D. \\(8\\)** - podwojenie bez uzasadnienia.\n\n**Trik:** w każdym trapezie \\(P_{AED} = P_{BEC}\\), niezależnie od długości podstaw.","image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-19.svg","topics":"Trygonometria","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba sin 30° ⋅cos 60° + sin 60° ⋅cos 30° jest równa\nA. 1\n2\nB.\n√2\n2\nC.\n√3\n2\nD. 1\n\nMMAP-P0_100\nLiczba sin30°⋅cos60° + sin60°⋅cos30° jest równa A. 1/2 B. √2/2 C. √3/2 D. 1","answer":"D","answer_text":"Zadanie 20. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVII.1) wykorzystuje definicje funkcji: sinus,\ncosinus […] dla kątów od 0° do 180°,\nw szczególności wyznacza wartości funkcji\ntrygonometrycznych dla kątów 30°, 45°,\n60°.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nTrójkąty \\(ABE\\) i \\(CDE\\) są podobne - \\(AB\\parallel CD\\), więc kąty \\(\\angle ABE=\\angle CDE\\) i \\(\\angle BAE=\\angle DCE\\) (naprzemianległe). Skala podobieństwa to \\(k=\\dfrac{|AB|}{|CD|}=2\\), zatem stosunek pól wynosi \\(k^2=4\\).\n\nStąd \\(P_{ABE}=4\\cdot P_{CDE}=4\\cdot 2=8\\). Odpowiedź **C**.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Własność trapezu\nW trapezie trójkąty \\(AED\\) i \\(BEC\\), utworzone przez przekątne, mają równe pola (stoją między tymi samymi podstawami \\(AD\\) i \\(BC\\) trójkątów \\(ABD\\) i \\(ABC\\) o wspólnej podstawie \\(AB\\) i tych samych wysokościach).\nZatem \\(P_{AED} = P_{BCE} = 4\\).\n\n### Sposób 2 - Przez pole trójkąta \\(ABD\\)\n\\(P_{ABD} = P_{ABC}\\) (ta sama podstawa \\(AB\\), ta sama wysokość). Odejmując pole trójkąta \\(AEB\\):\n\\(P_{AED} = P_{ABD} - P_{AEB} = P_{ABC} - P_{AEB} = P_{BCE} = 4\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(2\\)** - to pole trójkąta \\(CDE\\).\n- **B. \\(3\\)** - średnia, niepoprawna reguła.\n- **D. \\(8\\)** - podwojenie bez uzasadnienia.\n\n**Trik:** w każdym trapezie \\(P_{AED} = P_{BEC}\\), niezależnie od długości podstaw.","image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-20.svg","topics":"Trygonometria","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"21","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21.\nPunkty 𝐴, 𝐵, 𝐶 oraz 𝐷 leżą na okręgu o środku w punkcie 𝑆 i o promieniu 36.\nPunkt 𝑆 leży na odcinku 𝐵𝐷. Kąt 𝐵𝐷𝐴 ma miarę 40°, a kąt 𝐷𝐵𝐶 ma miarę 65°\n(zobacz rysunek).\nPunkty A, B, C oraz D leżą na okręgu o środku w punkcie S i o promieniu 36. Punkt S leży na odcinku BD. Kąt BDA ma miarę 40°, a kąt DBC ma miarę 65° (zobacz rysunek). [rysunek] Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Miara kąta ostrego BSA jest równa A. 20° B. 40° C. 50° & D. 80°","answer":"B","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(6\\sqrt{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na pole trójkąta z dwóch boków i kąta między nimi\n\nZnamy dwa boki trójkąta i kąt między nimi:\n- \\(|AB| = 6\\)\n- \\(|AC| = 4\\)\n- \\(\\angle CAB = 60°\\)\n\nBezpośrednio stosujemy wzór:\n\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot |AB| \\cdot |AC| \\cdot \\sin(\\angle CAB)\\]\n\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot 6 \\cdot 4 \\cdot \\sin 60°\\]\n\nKąt \\(60°\\) to kąt \"złoty\" - znamy jego wartość na pamięć:\n\n\\[\\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]\n\nZatem:\n\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot 6 \\cdot 4 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = \\frac{1}{2} \\cdot 24 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = \\frac{24\\sqrt{3}}{4} = \\mathbf{6\\sqrt{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez wysokość trójkąta\n\nNarysujmy wysokość \\(h\\) z wierzchołka \\(C\\) na bok \\(AB\\). W trójkącie prostokątnym \\(ACH\\) (gdzie \\(H\\) to stopa wysokości):\n\n\\[\\sin(\\angle CAB) = \\frac{h}{|AC|}\\]\n\n\\[h = |AC| \\cdot \\sin 60° = 4 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 2\\sqrt{3}\\]\n\nTeraz obliczamy pole jako połowa podstawy razy wysokość:\n\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot |AB| \\cdot h = \\frac{1}{2} \\cdot 6 \\cdot 2\\sqrt{3} = \\frac{1}{2} \\cdot 12\\sqrt{3} = \\mathbf{6\\sqrt{3}}\\]\n\nOba sposoby dają ten sam wynik - poprawna odpowiedź to **B**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - pole trójkąta z dwóch boków i kąta:\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot b \\cdot \\sin\\gamma\\]\nUżyliśmy tego wzoru w Sposobie 1, podstawiając \\(a = 6\\), \\(b = 4\\), \\(\\gamma = 60°\\).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - wartość funkcji trygonometrycznej:\n\\[\\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]\nKluczowa wartość użyta w obu sposobach.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A (\\(6\\)) | Policzono \\(\\frac{1}{2} \\cdot 6 \\cdot 4 \\cdot \\frac{1}{2}\\) - wzięto \\(\\sin 60° = \\frac{1}{2}\\) zamiast \\(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) (to wartość \\(\\sin 30°\\)!) |\n| C (\\(12\\)) | Zapomniano o czynniku \\(\\frac{1}{2}\\) we wzorze na pole - policzono \\(6 \\cdot 4 \\cdot \\frac{1}{2}\\cdot \\frac{1}{\\text{czegoś}}\\) lub po prostu \\(\\frac{1}{2} \\cdot 6 \\cdot 4 = 12\\) ignorując \\(\\sin 60°\\) |\n| D (\\(12\\sqrt{3}\\)) | Zapomniano o \\(\\frac{1}{2}\\) we wzorze - policzono \\(6 \\cdot 4 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 12\\sqrt{3}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sin 30° = \\frac{1}{2}\\), ale \\(\\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) - to najczęstszy błąd! Nie mylić tych dwóch wartości.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** We wzorze \\(P = \\frac{1}{2} ab \\sin\\gamma\\) ułamek \\(\\frac{1}{2}\\) jest obowiązkowy - bez niego wynik jest dwa razy za duży (odpowiedź D).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór działa tylko wtedy, gdy \\(\\gamma\\) to kąt **między** podanymi bokami \\(a\\) i \\(b\\). Tu \\(60°\\) to kąt \\(\\angle CAB\\), który leży dokładnie między bokami \\(AC\\) i \\(AB\\) - warunek jest spełniony.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Wzór z sinusem (karta wzorów, dział 7)\n\\[P = \\dfrac{1}{2} \\cdot |AB| \\cdot |AC| \\cdot \\sin(\\angle CAB) = \\dfrac{1}{2} \\cdot 6 \\cdot 4 \\cdot \\sin 60^{\\circ} = 12 \\cdot \\dfrac{\\sqrt{3}}{2} = 6\\sqrt{3}.\\]\n\n### Sposób 2 - Przez wysokość\nWysokość z \\(C\\) na \\(AB\\): \\(h = |AC| \\cdot \\sin 60^{\\circ} = 4 \\cdot \\tfrac{\\sqrt{3}}{2} = 2\\sqrt{3}\\).\n\\(P = \\tfrac{1}{2} \\cdot 6 \\cdot 2\\sqrt{3} = 6\\sqrt{3}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(6\\)** - bez uwzględnienia sinusa.\n- **C. \\(12\\)** - to \\(\\tfrac{1}{2} \\cdot 6 \\cdot 4\\) bez sinusa.\n- **D. \\(12\\sqrt{3}\\)** - brak dzielenia przez 2.\n\n**Trik:** gdy znasz dwa boki i kąt między nimi, używaj \\(P = \\tfrac{1}{2}ab\\sin\\gamma\\).","image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-21.svg","topics":null,"page_from":19,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/21.1","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"21.1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21.1. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nMiara kąta ostrego 𝐵𝑆𝐴 jest równa\nA. 20°\nB. 40°\nC. 50°\nD. 80°","answer":"D","answer_text":"Zadanie 21.1. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nVIII.5) stosuje własności kątów wpisanych\ni środkowych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"Poprawnie, ponieważ kąt $BSA$ jest środkowy i oparty na tym samym łuku co kąt wpisany $ADB$, więc ma miarę dwa razy większą od niego. Stąd $2\\cdot40^{\\circ}=80^\\circ$.","image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-21.1.webp","solution_image":null,"topics":"Kąty w okręgu","page_from":19,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/21.2","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"21.2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21.2. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nDługość łuku 𝐵𝐶, na którym jest oparty kąt wpisany 𝐶𝐷𝐵, jest równa\nA. 8𝜋\nB. 10𝜋\nC. 13𝜋\nD. 20𝜋\n𝐷\n40°\n𝐴\n𝑆\n𝐵\n𝐶\n65°\n36\n\nMMAP-P0_100\nPunkty A, B, C oraz D leżą na okręgu o środku w punkcie S i o promieniu 36. Punkt S leży na odcinku BD. Kąt BDA ma miarę 40°, a kąt DBC ma miarę 65° (zobacz rysunek). [rysunek] Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Długość łuku BC , na którym jest oparty kąt wpisany CDB, jest równa A. 8π B. 10π C. 13π & D. 20π","answer":"B","answer_text":"Zadanie 21.2. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nVIII.6) stosuje wzory na […] długość łuku\nokręgu.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"Poprawnie, zauważmy, że $DCB$ jest kątem prostym, gdyż oparty jest na średnicy. To znaczy, że kąt $CDB$ ma miarę $25^\\circ$. Kąt środkowy oparty na tym samym łuku miałby miarę $50^\\circ$. Zatem długość łuku to ${\\displaystyle\\small\\frac{50^\\circ}{360^{\\circ}}}\\cdot2\\pi\\cdot36=5\\cdot2\\pi=10\\pi$.","image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-21.2.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-21.2.svg","topics":"Planimetria","page_from":19,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"22","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22.\nDany jest trójkąt 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐴𝐵| = 6, |𝐴𝐶| = 4 oraz |∡𝐶𝐴𝐵| = 60° (zobacz\nrysunek).\nDany jest trójkąt ABC, w którym |AB|=6, |AC|=4 oraz |∠CAB| = 60° (zobacz rysunek). [rysunek] Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Pole trójkąta ABC jest równe A. 6 B. 6√3 C. 12 D. 12√3","answer":"B","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B (\\(m = 0\\))\n\n## Sposób 1 - Warunek równoległości prostych (równe współczynniki kierunkowe)\n\nDwie proste w postaci kierunkowej \\(y = ax + b\\) są **równoległe**, gdy mają równe współczynniki kierunkowe i różne wyrazy wolne:\n\\[a_k = a_l \\quad \\text{i} \\quad b_k \\neq b_l\\]\n\nOdczytujemy współczynniki kierunkowe obu prostych:\n- prosta \\(k\\): współczynnik kierunkowy \\(= 3 - m\\)\n- prosta \\(l\\): współczynnik kierunkowy \\(= m + 3\\)\n\nPrzyrównujemy:\n\\[3 - m = m + 3\\]\n\\[3 - 3 = m + m\\]\n\\[0 = 2m\\]\n\\[\\boxed{m = 0}\\]\n\n**Sprawdzamy, czy proste nie są identyczne** (tożsame proste nie są równoległe - to ten sam obiekt):\n\nDla \\(m = 0\\):\n- prosta \\(k\\): \\(y = 3x + 5\\)\n- prosta \\(l\\): \\(y = 3x - 4\\)\n\nWyrazy wolne \\(5 \\neq -4\\) - **proste są różne**, więc rzeczywiście równoległe. ✓\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja podstawieniem każdej odpowiedzi\n\nSprawdzamy każdą odpowiedź, czy daje równe współczynniki kierunkowe:\n\n| \\(m\\) | \\(a_k = 3-m\\) | \\(a_l = m+3\\) | Równe? |\n| \\(-3\\) | \\(6\\) | \\(0\\) | ✗ |\n| \\(0\\) | \\(3\\) | \\(3\\) | ✓ |\n| \\(\\sqrt{10}\\) | \\(3 - \\sqrt{10}\\) | \\(3 + \\sqrt{10}\\) | ✗ |\n| \\(3\\) | \\(0\\) | \\(6\\) | ✗ |\n\nJedynie \\(m = 0\\) daje \\(a_k = a_l = 3\\), więc **odpowiedź B**. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - warunek równoległości prostych:\n\n\\[\\text{Proste równoległe} \\iff a_1 = a_2\\]\n\ngdzie \\(a_1, a_2\\) to współczynniki kierunkowe w równaniu \\(y = ax + b\\).\n\nUżyliśmy tego warunku w Sposobie 1 do ustawienia równania \\(3 - m = m + 3\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A (\\(m = -3\\)) | Uczeń liczy \\(3 - m = 0\\) zamiast przyrównać \\(a_k = a_l\\), czyli szuka kiedy jeden ze współczynników wynosi 0 |\n| C (\\(m = \\sqrt{10}\\)) | Uczeń przyrównuje \\((3-m)^2 = (m+3)^2\\) (np. kwadratuje równanie), co daje dodatkowe fałszywe rozwiązanie \\(m = 0\\) i \\(m = \\) - błąd transformacji |\n| D (\\(m = 3\\)) | Uczeń liczy \\(m + 3 = 6\\) myląc się co do tego, który wyraz to współczynnik kierunkowy, lub szuka kiedy \\(3 - m = 0\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Równoległość to **nie to samo** co prostopadłość. Dla prostopadłości warunek brzmi \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\), nie \\(a_1 = a_2\\). Nie pomyl tych dwóch warunków!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po znalezieniu \\(m\\) koniecznie sprawdź, czy proste **nie są tożsame** (identyczne). Tożsame proste mają te same wyrazy wolne - w takim przypadku nie są \"równoległe\" w klasycznym sensie. Tutaj \\(5 \\neq -4\\), więc wszystko OK.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W zadaniu \\(a_k = 3 - m\\) - uważaj na kolejność: to nie jest \\(m - 3\\)! Łatwo pomylić znak przy przepisywaniu.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Równe współczynniki kierunkowe (karta wzorów, dział 8)\nProste są równoległe gdy \\(a_{k} = a_{l}\\) (i \\(b_{k} \\ne b_{l}\\) by nie były tożsame):\n\\[3 - m = m + 3\\]\n\\[-2m = 0\\]\n\\[m = 0.\\]\nWyrazy wolne \\(5 \\ne -4\\) - warunek równoległości (a nie tożsamości) spełniony.\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie dla \\(m=0\\)\n\\(k: y = 3x + 5\\), \\(l: y = 3x - 4\\). Obie mają \\(a = 3\\), więc są równoległe ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-3\\)** - \\(a_{k}=6, a_{l}=0\\), różne.\n- **C. \\(\\sqrt{10}\\)** - błąd, nie spełnia równania.\n- **D. \\(3\\)** - \\(a_{k}=0, a_{l}=6\\), różne.\n\n**Trik:** równoległość = równe współczynniki kierunkowe.","image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-22.svg","topics":null,"page_from":20,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/22.1","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"22.1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22.1. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nPole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest równe\nA. 6\nB. 6√3\nC. 12\nD. 12√3","answer":"B","answer_text":"Zadanie 22.1. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVII.3) stosuje […] wzór na pole trójkąta\n𝑃= 1\n2 ⋅𝑎⋅𝑏⋅sin 𝛾.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Poprawnie, pole trójkąta $ABC$ obliczamy ze wzoru $P = {\\displaystyle\\small\\frac{1}{2}} \\cdot |AB| \\cdot |AC| \\cdot \\sin |\\sphericalangle CAB| = {\\displaystyle\\small\\frac{1}{2}} \\cdot 6 \\cdot 4 \\cdot \\sin 60^\\circ ={\\displaystyle\\small \\frac{1}{2}} \\cdot 6 \\cdot 4 \\cdot {\\displaystyle\\small\\frac{\\sqrt{3}}{2} }= 12 \\sqrt{3}$.","image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-22.1.webp","solution_image":null,"topics":"Planimetria","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/22.2","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"22.2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22.2. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nDługość boku 𝐵𝐶 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest równa\nA. √28\nB. √40\nC. 8\nD. √76\n𝐴\n60°\n𝐵\n𝐶\n4\n6\n\nMMAP-P0_100\nDany jest trójkąt ABC, w którym |AB|=6, |AC|=4 oraz |∠ CAB| = 60° (zobacz rysunek). [rysunek] Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Długość boku BC trójkąta ABC jest równa A. √28 B. √40 C. 8 D. √76","answer":"A","answer_text":"Zadanie 22.2. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVII.3) stosuje twierdzenie cosinusów […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"Poprawnie, korzystamy z twierdzenia cosinusów i otrzymujemy $|BC|^2=6^2+4^2-2\\cdot6\\cdot4\\cdot\\cos60^{\\circ}$, stąd $|BC|=\\sqrt{28}$.","image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-22.2.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-22.2.svg","topics":"Planimetria","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"true_false","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (0-1)\nDany jest trapez 𝐴𝐵𝐶𝐷 o podstawach 𝐴𝐵 i 𝐶𝐷 takich, że |𝐴𝐵| = 2 ⋅|𝐶𝐷|.\nPrzekątne 𝐴𝐶 i 𝐵𝐷 przecinają się w punkcie 𝐸 (zobacz rysunek).\nOceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest\nprawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.\nPola trójkątów 𝐵𝐶𝐸 oraz 𝐴𝐸𝐷 są równe.\nP\nF\nPole trójkąta 𝐴𝐵𝐸 jest dwa razy większe od pola trójkąta 𝐶𝐷𝐸.\nP\nF\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n\nMMAP-P0_100\nDany jest trapez ABCD o podstawach AB i CD takich, że |AB|=2⋅|CD|. Przekątne AC i BD przecinają się w punkcie E (zobacz rysunek). [rysunek] Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Pola trójkątów BCE oraz AED są równe. | P | F | Pole trójkąta ABE jest dwa razy większe od pola trójkąta CDE. | P | F |","answer":"PF","answer_text":"Zadanie 23. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nVIII.4) korzysta z własności […] przekątnych\nw […] trapezach;\nVIII.8) korzysta z cech podobieństwa\ntrójkątów;\nVIII.9) wykorzystuje zależności między\nobwodami oraz między polami figur\npodobnych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nPF","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(4\\sqrt{2}\\)\n\n## Sposób 1 - przez krawędź boczną i przekątną podstawy\n\n**Co wiemy:**\nOstrosłup prawidłowy czworokątny ma podstawę w kształcie **kwadratu**. Każda ściana boczna to trójkąt równoboczny o boku \\(8\\), czyli:\n- bok podstawy = \\(8\\)\n- krawędź boczna (bok trójkąta) = \\(8\\)\n\n**Szukamy wysokości** \\(h\\) ostrosłupa.\n\nWysokość ostrosłupa łączy wierzchołek z **środkiem podstawy**. Środek kwadratu leży w odległości równej **połowie przekątnej** kwadratu od każdego narożnika.\n\n**Krok 1 - przekątna kwadratu o boku 8:**\n\\[d = 8\\sqrt{2}\\]\n\n**Krok 2 - odległość od środka do narożnika (= połowa przekątnej):**\n\\[e = \\frac{d}{2} = \\frac{8\\sqrt{2}}{2} = 4\\sqrt{2}\\]\n\n**Krok 3 - trójkąt prostokątny: wysokość \\(h\\), odległość \\(e\\), krawędź boczna \\(8\\):**\n\\[h^2 + e^2 = 8^2\\]\n\\[h^2 + (4\\sqrt{2})^2 = 64\\]\n\\[h^2 + 32 = 64\\]\n\\[h^2 = 32\\]\n\\[\\boxed{h = \\sqrt{32} = 4\\sqrt{2}}\\]\n\n## Sposób 2 - przez apotema boczna (wysokość ściany) i apotema podstawy\n\n**Krok 1 - apotema ściany bocznej** (wysokość trójkąta równobocznego o boku 8):\n\\[l = \\frac{8\\sqrt{3}}{2} = 4\\sqrt{3}\\]\n\n**Krok 2 - apotema podstawy** (odległość od środka kwadratu do środka boku):\n\\[a = \\frac{8}{2} = 4\\]\n\n**Krok 3 - trójkąt prostokątny: wysokość \\(h\\), apotema podstawy \\(4\\), apotema boczna \\(4\\sqrt{3}\\):**\n\nWysokość ostrosłupa, apotema podstawy i apotema boczna tworzą trójkąt prostokątny:\n\\[h^2 + 4^2 = (4\\sqrt{3})^2\\]\n\\[h^2 + 16 = 48\\]\n\\[h^2 = 32\\]\n\\[\\boxed{h = 4\\sqrt{2}}\\]\n\nOba sposoby dają ten sam wynik. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria - trójkąt równoboczny, s. 17):**\n\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do wyznaczenia apotemy ściany bocznej (wysokości trójkąta równobocznego o boku 8).\n\n**Dział 10 (Planimetria - twierdzenie Pitagorasa, s. 15):**\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyliśmy w obu sposobach - do wyznaczenia wysokości ostrosłupa z trójkąta prostokątnego.\n\n**Dział 12 (Stereometria - ostrosłup, s. 26):**\nDefinicja wysokości ostrosłupa prawidłowego: prostopadle z wierzchołka na środek podstawy.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A. \\(4\\) | Uczeń bierze połowę boku jako odległość od środka do narożnika zamiast połowy **przekątnej**; liczy \\(h^2 = 64 - 16 = 48\\), ale gubi pierwiastek i podaje \\(4\\) |\n| C. \\(4\\sqrt{3}\\) | Uczeń podaje apotema boczną (\\(4\\sqrt{3}\\)) zamiast wysokości - myli apotema ściany z wysokością ostrosłupa |\n| D. \\(6\\) | Uczeń szacuje \"na oko\" lub liczy błędnie \\(\\sqrt{32} \\approx 5{,}66\\) i zaokrągla do \\(6\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odległość od środka kwadratu do **narożnika** to połowa przekątnej (\\(4\\sqrt{2}\\)), a **nie** połowa boku (\\(4\\)). To częsty błąd przy ostrosłupach czworokątnych!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Apotema ściany bocznej (\\(4\\sqrt{3}\\)) to **nie** jest wysokość ostrosłupa - to dwa różne odcinki. Myśl o tym jako o dwóch różnych trójkątach prostokątnych.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt{32} = \\sqrt{16 \\cdot 2} = 4\\sqrt{2}\\) - zawsze upraszczaj pierwiastki przez rozkład na czynniki!\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Twierdzenie Pitagorasa (karta wzorów, dział G11)\nPodstawa to kwadrat o boku \\(8\\), więc przekątna \\(d = 8\\sqrt{2}\\). Połowa przekątnej \\(r = 4\\sqrt{2}\\) - odległość od środka podstawy do wierzchołka podstawy.\nKrawędź boczna = \\(8\\) (równoboczna ściana).\nWysokość ostrosłupa: \\(H = \\sqrt{8^{2} - (4\\sqrt{2})^{2}} = \\sqrt{64 - 32} = \\sqrt{32} = 4\\sqrt{2}\\).\n\n### Sposób 2 - Wysokość piramidy\nDla ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi bocznej \\(k\\) i boku podstawy \\(a\\): \\(H = \\sqrt{k^{2} - \\tfrac{a^{2}}{2}} = \\sqrt{64 - 32} = 4\\sqrt{2}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(4\\)** - pomylono z połową krawędzi.\n- **C. \\(4\\sqrt{3}\\)** - to wysokość ściany bocznej.\n- **D. \\(6\\)** - bez uzasadnienia.\n\n**Trik:** wierzchołek - środek podstawy - wierzchołek podstawy tworzą trójkąt prostokątny.","image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-23.svg","topics":"Dowody geometryczne, Figury podobne","page_from":21,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (0-1)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) proste 𝑘 oraz 𝑙 są określone równaniami\n𝑘: 𝑦= (3 -𝑚)𝑥+ 5\n𝑙: 𝑦= (𝑚+ 3)𝑥-4\nUzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie\nbyło prawdziwe.\nProste 𝑘 oraz 𝑙 są równoległe, gdy liczba 𝑚 jest równa\n\nMMAP-P0_100\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) proste k oraz l są określone równaniami k: y = (3-m)x+5 l\\!: y = (m+3)x-4 Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe. Proste k oraz l są równoległe, gdy liczba m jest równa ............... .","answer":"D","answer_text":"Zadanie 24. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIX.2) posługuje się równaniami prostych na\npłaszczyźnie, w postaci kierunkowej […],\nw tym wyznacza równanie prostej\no zadanych własnościach (takich, jak np.\n[…] równoległość do innej prostej).\nZasady oceniania\n1 pkt - poprawne uzupełnienie zdania.\n0 pkt - brak spełnienia powyższego kryterium.\nRozwiązanie\nProste 𝑘 oraz 𝑙 są równoległe, gdy liczba 𝑚 jest równa 0.","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(h = 4\\pi\\)\n\n## Sposób 1 - wzór na objętość walca\n\nZnamy wzór na objętość walca:\n\\[V = \\pi r^2 h\\]\n\nPodstawiamy dane: \\(r = 2\\), \\(V = 16\\pi^2\\):\n\\[\\pi \\cdot 2^2 \\cdot h = 16\\pi^2\\]\n\\[4\\pi h = 16\\pi^2\\]\n\nDzielimy obie strony przez \\(4\\pi\\):\n\\[h = \\frac{16\\pi^2}{4\\pi} = 4\\pi\\]\n\n**Wysokość walca wynosi \\(4\\pi\\).**\n\n## Sposób 2 - weryfikacja (podstawienie wyniku)\n\nSprawdzamy, czy dla \\(r = 2\\) i \\(h = 4\\pi\\) objętość wynosi \\(16\\pi^2\\):\n\\[V = \\pi \\cdot 2^2 \\cdot 4\\pi = \\pi \\cdot 4 \\cdot 4\\pi = 16\\pi^2 \\checkmark\\]\n\nWynik się zgadza.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - objętość walca:\n\\[V = \\pi r^2 h\\]\nUżyliśmy tego wzoru bezpośrednio, podstawiając \\(V = 16\\pi^2\\) i \\(r = 2\\), żeby wyznaczyć \\(h\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A. \\(2\\) | Uczeń wstawia \\(h = r = 2\\) bez liczenia - zgaduje zamiast rozwiązać |\n| B. \\(4\\) | Uczeń liczy \\(\\frac{16}{4} = 4\\), zapominając, że \\(\\pi\\) z wzoru i \\(\\pi^2\\) z objętości nie redukują się w całości - zostaje jedno \\(\\pi\\) |\n| C. \\(2\\pi\\) | Uczeń poprawnie upraszcza \\(\\pi\\), ale błędnie dzieli: \\(\\frac{16}{4} = 2\\) zamiast \\(4\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Objętość zawiera \\(\\pi^2\\) - to sygnał, że wysokość też będzie zawierać \\(\\pi\\). Nie ma w tym nic dziwnego: \\(\\pi \\cdot r^2 \\cdot h = \\pi \\cdot 4 \\cdot 4\\pi = 16\\pi^2\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy dzieleniu \\(\\frac{16\\pi^2}{4\\pi}\\) pamiętaj, że \\(\\frac{\\pi^2}{\\pi} = \\pi\\) - zostaje jedno \\(\\pi\\) w wyniku. Bardzo częsty błąd to \"zgubienie\" tego \\(\\pi\\) i wybranie odpowiedzi B.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl promienia z promieniem kwadratem: \\(r = 2\\), więc \\(r^2 = 4\\), a nie \\(2\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Wzór na objętość walca (karta wzorów, dział G11)\n\\[V = \\pi r^{2} H \\Rightarrow 16\\pi^{2} = \\pi \\cdot 4 \\cdot H \\Rightarrow H = \\dfrac{16\\pi^{2}}{4\\pi} = 4\\pi.\\]\n\n### Sposób 2 - Przekształcenie wprost\n\\(V = \\pi r^{2} H\\). Podstawiamy \\(r = 2\\): \\(V = 4\\pi H\\).\nStąd \\(H = \\tfrac{V}{4\\pi} = \\tfrac{16\\pi^{2}}{4\\pi} = 4\\pi\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(2\\)** - pominięto \\(\\pi\\) w objętości.\n- **B. \\(4\\)** - zignorowano jedno \\(\\pi\\).\n- **C. \\(2\\pi\\)** - błąd rachunkowy.\n\n**Trik:** uważaj - objętość ma \\(\\pi^{2}\\) (nie \\(\\pi\\)), więc wysokość musi zawierać \\(\\pi\\).","image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-24.svg","topics":"Funkcja liniowa","page_from":22,"source":"ocr","answer_source":"maturazai","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"true_false","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (0-1)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest okrąg 𝒪 o równaniu\n𝒪: (𝑥-1)2 + (𝑦+ 3)2 = 4\nOceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest\nprawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.\nOkrąg 𝒪 nie ma punktów wspólnych z osią 𝑂𝑥 układu współrzędnych.\nP\nF\nOkrąg 𝒪 ma z osią 𝑂𝑦 układu współrzędnych dokładnie dwa punkty wspólne.\nP\nF\n\nMMAP-P0_100\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dany jest okrąg O o równaniu O: (x-1)² + (y+3)² = 4 Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Okrąg O nie ma punktów wspólnych z osią Ox układu współrzędnych. | P | F | Okrąg O ma z osią Oy układu współrzędnych dokładnie dwa punkty wspólne. | P | F |","answer":"PP","answer_text":"Zadanie 25. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIX.4) posługuje się równaniem okręgu\n(𝑥-𝑎)2 + (𝑦-𝑏)2 = 𝑟2.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nPP\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(75\\)\n\n## Sposób 1 - Zliczanie według cyfry setek\n\n**Cyfry nieparzyste to: 1, 3, 5, 7, 9** - jest ich 5.\n\nSzukamy trzycyfrowych liczb **większych od 500**, w których **każda cyfra jest nieparzysta**.\n\nCyfra setek musi być nieparzysta i nadawać liczbie wartość > 500. Cyfra setek może być zatem:\n- \\(5\\) → liczby \\(5\\text{??}\\), od 511 w górę, wszystkie \\(> 500\\) ✓\n- \\(7\\) → liczby \\(7\\text{??}\\), wszystkie \\(> 500\\) ✓\n- \\(9\\) → liczby \\(9\\text{??}\\), wszystkie \\(> 500\\) ✓\n\n(Cyfry 1 i 3 na miejscu setek dają liczby \\(< 500\\) - odpadają.)\n\nDla każdego z 3 wyborów cyfry setek:\n- cyfra dziesiątek: 5 możliwości \\((1, 3, 5, 7, 9)\\)\n- cyfra jedności: 5 możliwości \\((1, 3, 5, 7, 9)\\)\n\nŁącznie:\n\\[3 \\times 5 \\times 5 = \\mathbf{75}\\]\n\n## Sposób 2 - Odjęcie od pełnego zbioru\n\n**Wszystkie** trzycyfrowe liczby z samymi cyframi nieparzyste:\n\\[5 \\times 5 \\times 5 = 125\\]\n(5 możliwości na każde z 3 miejsc)\n\nOdejmujemy liczby **nieprzekraczające 500** (tj. \\(\\leq 500\\)) z samymi nieparzyste:\n- Cyfra setek \\(= 1\\): \\(5 \\times 5 = 25\\) liczb\n- Cyfra setek \\(= 3\\): \\(5 \\times 5 = 25\\) liczb\n- Cyfra setek \\(= 5\\): liczby \\(5\\text{??}\\) z cyframi nieparzyste zaczynają się od 511 - wszystkie są \\(> 500\\), więc **żadna nie odpada**\n\nZatem:\n\\[125 - 25 - 25 = \\mathbf{75}\\]\n\nWynik zgodny ze Sposobem 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy zasada mnożenia (reguła iloczynu) z kombinatoryki: jeśli pierwsze zdarzenie ma \\(m\\) możliwości, a drugie \\(n\\), to łącznie jest \\(m \\cdot n\\) możliwości.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| **A. 13** | Poważny błąd rachunkowy - np. liczenie tylko jednej pozycji cyfry zamiast wszystkich trzech pozycji naraz |\n| **B. 50** | Wzięto tylko cyfry setek \\(7\\) i \\(9\\), zapominając, że liczby z setką \\(5\\) **też są większe od 500** (bo 511 > 500): \\(2 \\times 5 \\times 5 = 50\\) zamiast \\(3 \\times 5 \\times 5 = 75\\) |\n| **D. 107** | Prawdopodobnie uwzględniono liczby z cyfrą setek \\(= 1\\) lub \\(3\\), nie zwracając uwagi na warunek \\(> 500\\), albo pomylono „cyfry nieparzyste\" z „przynajmniej jedna cyfra nieparzysta\" |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Liczby **5**11, **5**13, …, **5**99 (z cyfrą setek = 5) **są większe od 500** - nie wolno ich pomijać! To najczęstszy błąd prowadzący do odpowiedzi B.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek „tylko cyfry nieparzyste\" dotyczy **wszystkich trzech cyfr** - setek, dziesiątek i jedności. Każda z nich musi być z zestawu \\(\\{1, 3, 5, 7, 9\\}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Cyfra \\(0\\) jest **parzysta** - nie należy do cyfr nieparzystych. Liczba 501 zawiera cyfrę 0, więc **nie spełnia** warunku.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Reguła mnożenia (karta wzorów, dział 10)\nCyfry nieparzyste: \\(\\{1,3,5,7,9\\}\\) (5 cyfr).\nLiczba \\(> 500\\) i trzycyfrowa, wszystkie cyfry nieparzyste:\n- Cyfra setek \\(\\in \\{5,7,9\\}\\) - 3 możliwości (bo \\(\\geq 5\\) nieparzysta, a \\(500\\) ma parzyste \\(0\\), więc zaczynamy od \\(\\geq 501\\); cyfra setek musi być nieparzysta i \\(\\geq 5\\)).\n- Cyfra dziesiątek: 5 możliwości.\n- Cyfra jedności: 5 możliwości.\nŁącznie: \\(3 \\cdot 5 \\cdot 5 = 75\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie uwagi o \\(500\\)\nCyfra setek \\(\\in\\{5,7,9\\}\\) wszystkie dają liczby \\(\\geq 500\\). \\(5\\bar{0}0 = 500\\) nie spełnia (dziesiątki parzyste). Najmniejsza kandydatka to \\(511 > 500\\) ✓. Nie ma problemu z granicą.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(13\\)** - za mało.\n- **B. \\(50\\)** - tylko \\(2 \\cdot 5 \\cdot 5\\), pominięto jedną cyfrę setek.\n- **D. \\(107\\)** - zlicza wszystkie, w tym parzyste cyfry.\n\n**Trik:** reguła mnożenia: mnóż liczby możliwości dla każdego miejsca niezależnie.","image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-25.svg","topics":"Równanie okręgu","page_from":23,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"26","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-4)\nDany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹. Wysokość podstawy 𝐴𝐵𝐶 jest\nrówna 2√3. Przekątna 𝐴𝐸 ściany bocznej 𝐴𝐵𝐸𝐷 tworzy z krawędzią 𝐴𝐵 kąt o mierze 60°\n(zobacz rysunek).\nOblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa. Zapisz obliczenia.\n2ξ3\n60°\n𝐴\n𝐷\n𝐸\n𝐹\n𝐶\n𝐵\n\nMMAP-P0_100\n\nMMAP-P0_100\nDany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny ABCDEF. Wysokość podstawy ABC jest równa 2√3. Przekątna AE ściany bocznej ABED tworzy z krawędzią AB kąt o mierze 60° (zobacz rysunek). [rysunek] Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 26. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nX.5) oblicza objętości i pola powierzchni\ngraniastosłupów […], również\nz wykorzystaniem trygonometrii.\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawna metoda obliczenia objętości i pola powierzchni całkowitej graniastosłupa\noraz poprawne wyniki: 𝑉= 48 i 𝑃𝑐= 56√3.\n3 pkt - obliczenie objętości graniastosłupa: 𝑉= 48,\nALBO\n- obliczenie pola powierzchni całkowitej graniastosłupa: 𝑃𝑐= 56√3.\n2 pkt - obliczenie długości krawędzi podstawy: 𝑎= 4 oraz obliczenie wysokości\ngraniastosłupa: 𝐻= 4√3,\nALBO\n- zapisanie wzoru na objętość graniastosłupa w zależności od jednej zmiennej, np.\n𝑉= 𝑎2 ⋅ √3\n4\n⋅𝑎√3, oraz zapisanie wzoru na pole powierzchni całkowitej\ngraniastosłupa w zależności od jednej zmiennej, np. 𝑃𝑐= 2 ⋅𝑎2 ⋅ √3\n4\n+ 3 ⋅𝑎⋅𝑎√3.\n1 pkt - obliczenie długości krawędzi podstawy: 𝑎= 4,\nALBO\n- zapisanie zależności pomiędzy długością krawędzi podstawy a wysokością\ngraniastosłupa, np.: tg 60° = 𝐻\n𝑎\n, 𝐻= 𝑎√3.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli jedynym błędem zdającego jest:\na) zastosowanie niepoprawnej definicji jednej funkcji trygonometrycznej,\nb) błędne zastosowanie twierdzenia Pitagorasa,\nc) błędne zastosowanie twierdzenia cosinusów,\nd) zastosowanie niepoprawnej tożsamości √𝑥2 + 𝑦2 = 𝑥+ 𝑦,\nlub\ne) błędne zastosowanie własności trójkąta o kątach 30°, 60°, 90°,\ni rozwiązanie zostanie doprowadzone konsekwentnie do końca, to zdający może otrzymać\nco najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za konsekwentne obliczenie objętości i pola\npowierzchni całkowitej graniastosłupa).\nJeżeli zdający popełni więcej niż jeden z wymienionych błędów a)-e), to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.\n2. Jeżeli zdający popełni błąd, który nie jest błędem rachunkowym, ale otrzyma długość\nkrawędzi podstawy większą od 2√3, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe\nrozwiązanie (za konsekwentne obliczenie objętości i pola powierzchni całkowitej\ngraniastosłupa).\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzyjmujemy oznaczenia jak na rysunku:\n𝑎 - długość krawędzi podstawy,\n𝐻 - wysokość graniastosłupa.\nZauważamy, że 𝑎> 0 i 𝐻> 0.\nPodstawą graniastosłupa jest trójkąt równoboczny, stąd:\n2√3 = 𝑎√3\n2\nZatem:\n𝑎= 4\nObliczamy wysokość 𝐻 graniastosłupa:\ntg 60° = 𝐻\n𝑎= 𝐻\n4\n2ξ3\n60°\n𝐴\n𝐷\n𝐸\n𝐹\n𝐶\n𝐵\n𝑎\n𝐻\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nStąd:\n𝐻= 4 ⋅tg 60° = 4√3\nObliczamy objętość 𝑉 graniastosłupa:\n𝑉= 𝑎2 ⋅√3\n4\n⋅𝐻= 42 ⋅√3\n4\n⋅4√3 = 4√3 ⋅4√3 = 48\nObliczamy pole powierzchni całkowitej 𝑃𝑐 graniastosłupa:\n𝑃𝑐= 2 ⋅𝑎2 ⋅√3\n4\n+ 3 ⋅𝑎⋅𝐻= 2 ⋅42 ⋅√3\n4\n+ 3 ⋅4 ⋅4√3 = 8√3 + 48√3 = 56√3","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x \\in (-3,\\ 1)\\)\n\nZadanie otwarte (0-2) - wyznaczamy zbiór wszystkich rozwiązań nierówności.\n\n## Sposób 1 - Sprowadzenie do postaci ogólnej i pierwiastki trójmianu\n\n**Krok 1: Przenosimy wszystko na lewą stronę.**\n\n\\[-3x^2 > 6x - 9\\]\n\\[-3x^2 - 6x + 9 > 0\\]\n\n**Krok 2: Dzielimy obie strony przez \\(-3\\).**\n\nUwaga: dzielimy przez liczbę **ujemną**, więc **zmieniamy znak nierówności** z \\(>\\) na \\(<\\):\n\n\\[x^2 + 2x - 3 < 0\\]\n\n**Krok 3: Wyznaczamy pierwiastki trójmianu \\(x^2 + 2x - 3\\).**\n\nLiczymy wyróżnik:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-3) = 4 + 12 = 16\\]\n\\[\\sqrt{\\Delta} = 4\\]\n\nPierwiastki:\n\\[x_1 = \\frac{-b - \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{-2 - 4}{2} = \\frac{-6}{2} = -3\\]\n\\[x_2 = \\frac{-b + \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{-2 + 4}{2} = \\frac{2}{2} = 1\\]\n\n**Krok 4: Odczytujemy zbiór rozwiązań.**\n\nParabola \\(y = x^2 + 2x - 3\\) ma współczynnik przy \\(x^2\\) dodatni (\\(a = 1 > 0\\)), więc jej ramiona są skierowane **w górę**. Wartości **ujemne** (\\(< 0\\)) przyjmuje **między** miejscami zerowymi.\n\nZatem:\n\\[x^2 + 2x - 3 < 0 \\iff x \\in (-3,\\ 1)\\]\n\n**Odpowiedź:** \\(x \\in (-3,\\ 1)\\)\n\n## Sposób 2 - Rozkład na czynniki (wzory Viète'a)\n\nDla trójmianu \\(x^2 + 2x - 3\\) szukamy dwóch liczb o sumie \\(-2\\) (czyli \\(-b\\)) i iloczynie \\(-3\\) (czyli \\(c\\)). Są to \\(-3\\) oraz \\(1\\):\n\\[(-3) + 1 = -2, \\qquad (-3) \\cdot 1 = -3\\]\n\nStąd:\n\\[x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1)\\]\n\nNierówność przyjmuje postać:\n\\[(x + 3)(x - 1) < 0\\]\n\nIloczyn dwóch czynników jest ujemny, gdy czynniki mają **różne znaki**, co zachodzi dla \\(x\\) leżącego między \\(-3\\) a \\(1\\):\n\\[x \\in (-3,\\ 1)\\]\n\n## Weryfikacja\n\nSprawdźmy \\(x = 0\\) (leży w \\((-3,1)\\)) w wyjściowej nierówności \\(-3x^2 > 6x - 9\\):\n\\[L = -3 \\cdot 0 = 0, \\qquad P = 6 \\cdot 0 - 9 = -9\\]\n\\[0 > -9 \\quad \\checkmark\\]\n\nSprawdźmy \\(x = 2\\) (poza przedziałem):\n\\[L = -3 \\cdot 4 = -12, \\qquad P = 6 \\cdot 2 - 9 = 3\\]\n\\[-12 > 3 \\quad \\text{fałsz} \\ \\checkmark\\]\n\nWynik \\(x \\in (-3, 1)\\) jest zgodny z kluczem CKE.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(x \\in (-3, 1)\\)**\n\n### Sposób 1 - Standardowa postać (karta wzorów, dział 3)\nPrzekształcamy: \\(-3x^{2} > 6x - 9 \\iff -3x^{2} - 6x + 9 > 0\\).\nDzielimy przez \\(-3\\) (zmiana znaku nierówności):\n\\[x^{2} + 2x - 3 < 0.\\]\nWyznaczamy miejsca zerowe: \\(\\Delta = 4 + 12 = 16\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 4\\):\n\\[x_{1} = \\dfrac{-2-4}{2} = -3, \\quad x_{2} = \\dfrac{-2+4}{2} = 1.\\]\nParabola \\(y = x^{2}+2x-3\\) ma ramiona w górę, więc \\(< 0\\) między miejscami zerowymi:\n\\[x \\in (-3, 1).\\]\n\n### Sposób 2 - Rozkład na czynniki\n\\(x^{2} + 2x - 3 = (x+3)(x-1) < 0\\). Iloczyn ujemny gdy czynniki mają różne znaki:\n\\(-3 < x < 1\\).\n\n### Uwagi o punktacji\n- 2 pkt - poprawne rozwiązanie \\(x \\in (-3,1)\\).\n- 1 pkt - obliczenie pierwiastków \\(x_{1} = -3, x_{2} = 1\\).\n- Zapis w postaci \\(x \\in [-3, 1]\\) to 1 pkt (błędny typ nawiasów).\n\n**Trik:** dzieląc przez \\(-3\\) ZAWSZE zmień znak nierówności.","image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-26.svg","topics":"Graniastosłupy i ostrosłupy","page_from":24,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"27","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (0-1)\nObjętość walca o promieniu podstawy 2 jest równa 16𝜋2.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWysokość tego walca jest równa\nA. 2\nB. 4\nC. 2𝜋\nD. 4𝜋\nObjętość walca o promieniu podstawy 2 jest równa 16π^2. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wysokość tego walca jest równa A. 2 B. 4 C. 2π D. 4π","answer":"D","answer_text":"Zadanie 27. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nX.5) oblicza objętości […] walca […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: liczba \\(8^{50} - 2^{145}\\) jest podzielna przez \\(31\\)\n\nZadanie otwarte - wykazujemy podzielność, nie wybieramy spośród opcji ABCD.\n\n## Sposób 1 - Wyłączenie wspólnego czynnika\n\n**Kluczowa obserwacja:** Sprowadzamy wszystko do tej samej podstawy \\(2\\).\n\n\\[8^{50} = (2^3)^{50} = 2^{150}\\]\n\nZatem:\n\n\\[8^{50} - 2^{145} = 2^{150} - 2^{145}\\]\n\n**Wyłączamy \\(2^{145}\\) przed nawias:**\n\n\\[2^{150} - 2^{145} = 2^{145}(2^5 - 1) = 2^{145} \\cdot 31\\]\n\nPonieważ \\(2^{145} \\cdot 31\\) zawiera czynnik \\(31\\), liczba ta jest **podzielna przez \\(31\\)**. \\(\\blacksquare\\)\n\n## Sposób 2 - Rachunek modulo \\(31\\)\n\nPokażemy, że \\(8^{50} - 2^{145} \\equiv 0 \\pmod{31}\\).\n\n**Krok 1 - kluczowa obserwacja:**\n\n\\[2^5 = 32 = 31 + 1 \\equiv 1 \\pmod{31}\\]\n\n**Krok 2 - obliczamy \\(2^{145} \\pmod{31}\\):**\n\n\\[145 = 5 \\cdot 29, \\quad \\text{więc } 2^{145} = (2^5)^{29} \\equiv 1^{29} = 1 \\pmod{31}\\]\n\n**Krok 3 - obliczamy \\(8^{50} \\pmod{31}\\):**\n\n\\[8^{50} = (2^3)^{50} = 2^{150} = 2^{5 \\cdot 30} = (2^5)^{30} \\equiv 1^{30} = 1 \\pmod{31}\\]\n\n**Krok 4 - wnioskujemy:**\n\n\\[8^{50} - 2^{145} \\equiv 1 - 1 = 0 \\pmod{31}\\]\n\nZatem \\(31 \\mid (8^{50} - 2^{145})\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - działania na potęgach:\n\n\\[(a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\]\n\nUżyliśmy tego przekształcając \\((2^3)^{50} = 2^{150}\\) oraz rozkładając \\(2^{150} = (2^5)^{30}\\).\n\n\\[a^r \\cdot a^s = a^{r+s} \\quad \\Rightarrow \\quad a^{r-s} = \\frac{a^r}{a^s}\\]\n\nTo uzasadnia wyłączenie \\(2^{145}\\) przed nawias: \\(2^{150} = 2^{145} \\cdot 2^5\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie próbuj liczyć \\(8^{50}\\) ani \\(2^{145}\\) wprost - to liczby astronomiczne. Cały sekret tkwi w **sprowadzeniu do wspólnej podstawy** i wyłączeniu czynnika.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy Sposobie 2 kluczowe jest znalezienie potęgi \\(2^k \\equiv 1 \\pmod{31}\\). Tu mamy szczęście: \\(2^5 = 32 = 31 + 1\\), więc \\(2^5 \\equiv 1\\). Następnie sprawdzamy, czy wykładniki \\(150\\) i \\(145\\) są **podzielne przez 5** - i tak jest (\\(150 = 5 \\cdot 30\\), \\(145 = 5 \\cdot 29\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W rozwiązaniu Sposób 1 wystarczy napisać **jedno zdanie uzasadnienia** po wyłączeniu czynnika: „Wyraz \\(2^{145} \\cdot 31\\) jest iloczynem zawierającym \\(31\\), więc jest podzielny przez \\(31\\).\" Wielu uczniów zapomina o tym zdaniu - a egzaminator tego właśnie oczekuje!\n\n**Dowód podzielności przez 31**\n\n### Sposób 1 - Wspólny czynnik (karta wzorów, dział 1)\nZamieniamy \\(8^{50}\\) na potęgę dwójki: \\(8 = 2^{3}\\), więc \\(8^{50} = (2^{3})^{50} = 2^{150}\\).\nZatem:\n\\[8^{50} - 2^{145} = 2^{150} - 2^{145} = 2^{145}(2^{5} - 1) = 2^{145} \\cdot 31.\\]\nLiczba \\(2^{145}\\) jest całkowita, więc \\(8^{50} - 2^{145} = 31 \\cdot 2^{145}\\) jest podzielna przez \\(31\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n### Sposób 2 - Kongruencje (mod 31)\n\\(2^{5} = 32 \\equiv 1 \\pmod{31}\\). \\(2^{150} = (2^{5})^{30} \\equiv 1 \\pmod{31}\\). \\(2^{145} = 2^{145}\\), a \\(145 = 5 \\cdot 29\\), więc \\(2^{145} = (2^{5})^{29} \\equiv 1 \\pmod{31}\\). Różnica: \\(1 - 1 = 0 \\pmod{31}\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n### Uwagi o punktacji\n- 2 pkt - pełne rozumowanie.\n- 1 pkt - przekształcenie \\(8^{50} - 2^{145} = 2^{150} - 2^{145}\\).\n\n**Trik:** wyłącz najmniejszą potęgę \\(2\\) przed nawias: \\(2^{n}(2^{m}-1)\\).","image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-27.svg","topics":"Bryły obrotowe","page_from":26,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"28","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWszystkich trzycyfrowych liczb naturalnych większych od 500, w których zapisie\ndziesiętnym występują tylko cyfry nieparzyste, jest\nA. 13\nB. 50\nC. 75\nD. 107\n\nMMAP-P0_100\nWszystkich trzycyfrowych liczb naturalnych większych od 500, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry nieparzyste, jest A. 13 B. 50 C. 75 D. 107","answer":"C","answer_text":"Zadanie 28. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nXI.2) zlicza obiekty, stosując reguły\nmnożenia i dodawania […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x_1 = \\dfrac{6}{5}\\) oraz \\(x_2 = \\dfrac{4}{3}\\)\n\n## Sposób 1 - wymnożenie na krzyż + wzór na pierwiastki\n\n**Krok 1 - wymnażamy na krzyż (mnożymy obie strony przez \\((3x-7)(x-8)\\)):**\n\n\\[3(x-8) = 5x(3x-7)\\]\n\n**Krok 2 - rozwijamy nawiasy:**\n\n\\[3x - 24 = 15x^2 - 35x\\]\n\n**Krok 3 - przenosimy wszystko na jedną stronę:**\n\n\\[0 = 15x^2 - 35x - 3x + 24\\]\n\\[15x^2 - 38x + 24 = 0\\]\n\n**Krok 4 - liczymy wyróżnik \\(\\Delta\\):**\n\n\\[\\Delta = (-38)^2 - 4 \\cdot 15 \\cdot 24 = 1444 - 1440 = 4\\]\n\n**Krok 5 - wyznaczamy pierwiastki:**\n\n\\[x_{1,2} = \\frac{38 \\pm \\sqrt{4}}{2 \\cdot 15} = \\frac{38 \\pm 2}{30}\\]\n\n\\[x_1 = \\frac{38 - 2}{30} = \\frac{36}{30} = \\mathbf{\\frac{6}{5}}, \\qquad x_2 = \\frac{38 + 2}{30} = \\frac{40}{30} = \\mathbf{\\frac{4}{3}}\\]\n\n**Krok 6 - sprawdzamy warunki dziedziny:**\n\nWykluczyliśmy \\(x = \\frac{7}{3}\\) i \\(x = 8\\). Ani \\(\\frac{6}{5}\\), ani \\(\\frac{4}{3}\\) nie jest wykluczone, więc **oba rozwiązania są poprawne**.\n\n## Sposób 2 - rozkład na czynniki\n\nPo krzyżowym wymnożeniu dostajemy tak samo:\n\\[15x^2 - 38x + 24 = 0\\]\n\nZamiast korzystać z \\(\\Delta\\), próbujemy rozłożyć trójmian na czynniki. Szukamy liczb \\(a, b, c, d\\) takich, że:\n\\[(ax - b)(cx - d) = acx^2 - (ad + bc)x + bd\\]\n\nPotrzebujemy: \\(ac = 15\\), \\(bd = 24\\), \\(ad + bc = 38\\).\n\nPróbujemy \\((5x - 6)(3x - 4)\\):\n\\[5 \\cdot 3 = 15 \\checkmark, \\quad 6 \\cdot 4 = 24 \\checkmark, \\quad 5 \\cdot 4 + 6 \\cdot 3 = 20 + 18 = 38 \\checkmark\\]\n\nZatem:\n\\[(5x - 6)(3x - 4) = 0\\]\n\n\\[5x - 6 = 0 \\implies x_1 = \\frac{6}{5}, \\qquad 3x - 4 = 0 \\implies x_2 = \\frac{4}{3}\\]\n\n**Weryfikacja \\(x_1 = \\frac{6}{5}\\):**\n\\[\\text{Lewa:} \\quad \\frac{3}{3 \\cdot \\frac{6}{5} - 7} = \\frac{3}{\\frac{18}{5} - \\frac{35}{5}} = \\frac{3}{-\\frac{17}{5}} = -\\frac{15}{17}\\]\n\\[\\text{Prawa:} \\quad \\frac{5 \\cdot \\frac{6}{5}}{\\frac{6}{5} - 8} = \\frac{6}{\\frac{6 - 40}{5}} = \\frac{6}{-\\frac{34}{5}} = -\\frac{30}{34} = -\\frac{15}{17} \\checkmark\\]\n\n**Weryfikacja \\(x_2 = \\frac{4}{3}\\):**\n\\[\\text{Lewa:} \\quad \\frac{3}{3 \\cdot \\frac{4}{3} - 7} = \\frac{3}{4 - 7} = \\frac{3}{-3} = -1\\]\n\\[\\text{Prawa:} \\quad \\frac{5 \\cdot \\frac{4}{3}}{\\frac{4}{3} - 8} = \\frac{\\frac{20}{3}}{\\frac{4 - 24}{3}} = \\frac{20}{-20} = -1 \\checkmark\\]\n\nOba rozwiązania się zgadzają.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik i wzór na pierwiastki trójmianu kwadratowego:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1 po sprowadzeniu równania do postaci \\(15x^2 - 38x + 24 = 0\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po wymnożeniu na krzyż wypadnie równanie kwadratowe - pamiętaj, żeby przenieść **wszystko na jedną stronę** i wyzerować, zanim zaczniesz szukać pierwiastków.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Koniecznie sprawdź, czy wyznaczone \\(x\\) nie pokrywają się z wartościami wykluczonymi przez dziedzinę (\\(x \\neq \\frac{7}{3}\\), \\(x \\neq 8\\)). Gdyby tak było, takie rozwiązanie należy **odrzucić**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Częsty błąd to odrzucenie jednego z dwóch pierwiastków „na oko\" bez sprawdzenia. Oba \\(\\frac{6}{5}\\) i \\(\\frac{4}{3}\\) są poprawne - zadanie ma **dwa rozwiązania**.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(x = \\dfrac{6}{5}\\) oraz \\(x = \\dfrac{4}{3}\\)**\n\n### Sposób 1 - Krzyżowe mnożenie\nZ \\(\\dfrac{3}{3x-7} = \\dfrac{5x}{x-8}\\) (gdzie \\(x \\ne \\tfrac{7}{3}, 8\\)):\n\\[3(x-8) = 5x(3x-7)\\]\n\\[3x - 24 = 15x^{2} - 35x\\]\n\\[15x^{2} - 38x + 24 = 0.\\]\n\\(\\Delta = 38^{2} - 4 \\cdot 15 \\cdot 24 = 1444 - 1440 = 4\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 2\\).\n\\[x_{1} = \\dfrac{38 - 2}{30} = \\dfrac{36}{30} = \\dfrac{6}{5}, \\quad x_{2} = \\dfrac{38 + 2}{30} = \\dfrac{40}{30} = \\dfrac{4}{3}.\\]\nOba pierwiastki różne od \\(\\tfrac{7}{3}\\) i \\(8\\), więc są rozwiązaniami.\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie\nDla \\(x = \\tfrac{6}{5}\\): LS \\(= \\dfrac{3}{3 \\cdot 6/5 - 7} = \\dfrac{3}{18/5 - 35/5} = \\dfrac{3}{-17/5} = -\\tfrac{15}{17}\\).\nPS \\(= \\dfrac{5 \\cdot 6/5}{6/5 - 8} = \\dfrac{6}{-34/5} = -\\tfrac{30}{34} = -\\tfrac{15}{17}\\) ✓.\n\n### Uwagi o punktacji\n- 2 pkt - poprawne rozwiązania.\n- 1 pkt - zapisanie \\(3(x-8) = 5x(3x-7)\\).\n\n**Trik:** przy równaniu wymiernym mnóż na krzyż; nie zapomnij o wyróżniku.","image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-28.svg","topics":"Kombinatoryka","page_from":26,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (0-2)\nDoświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry,\nktóra na każdej ściance ma inną liczbę oczek - od jednego oczka do sześciu oczek.\nZapisujemy kolejno liczby wyrzuconych oczek i w ten sposób otrzymujemy liczbę\ndwucyfrową, przy czym pierwsza wyrzucona liczba oczek jest cyfrą dziesiątek, a druga -\ncyfrą jedności tej liczby dwucyfrowej.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝑨 polegającego na tym, że otrzymana w ten\nsposób liczba dwucyfrowa będzie nieparzysta i podzielna przez 𝟑. Zapisz obliczenia.\n\nMMAP-P0_100\nDoświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek - od jednego oczka do sześciu oczek. Zapisujemy kolejno liczby wyrzuconych oczek i w ten sposób otrzymujemy liczbę dwucyfrową, przy czym pierwsza wyrzucona liczba oczek jest cyfrą dziesiątek, a druga - cyfrą jedności tej liczby dwucyfrowej. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że otrzymana w ten sposób liczba dwucyfrowa będzie nieparzysta i podzielna przez 3.","answer":"(1)/(6)","answer_text":"Zadanie 29. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nXII.1) oblicza prawdopodobieństwo\nw modelu klasycznym.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐴\ni uzyskanie poprawnego wyniku: 𝑃(𝐴) = 6\n36\n1 pkt - wypisanie wszystkich zdarzeń elementarnych LUB obliczenie/podanie liczby tych\nzdarzeń: |Ω| = 6 ⋅6, LUB sporządzenie tabeli o 36 polach odpowiadających\nzdarzeniom elementarnym, LUB sporządzenie pełnego drzewa stochastycznego\nALBO\n- wypisanie (lub zaznaczenie w tabeli) wszystkich zdarzeń elementarnych\nsprzyjających zdarzeniu 𝐴 i niewypisanie żadnego niewłaściwego,\nALBO\n- podanie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴:\n|𝐴| = 6, o ile nie zostały zliczone błędne pary,\nALBO\n- sporządzenie fragmentu drzewa stochastycznego, który zawiera wszystkie gałęzie\nsprzyjające zdarzeniu 𝐴, oraz zapisanie prawdopodobieństwa na co najmniej\njednym odcinku każdego z etapów doświadczenia,\nALBO\n- podanie prawdopodobieństwa jednoelementowego zdarzenia (elementarnego): 1\n36\n,\nALBO\n- zapisanie tylko 𝑃(𝐴) = 1\n6\n,\nALBO\n- zapisanie tylko 𝑃(𝐴) = 6\n36\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający zapisuje tylko liczby 1 i 6 (lub 6 i 36) i z rozwiązania nie wynika znaczenie\ntych liczb, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑥, 𝑦), gdzie\n𝑥, 𝑦∈{1, 2, 3, 4, 5, 6}.\nW tabeli literą 𝒜 zaznaczamy zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu 𝐴.\nII rzut\nI rzut\n𝟏\n𝟐\n𝟑\n𝟒\n𝟓\n𝟔\n𝟏\n𝒜\n𝟐\n𝒜\n𝟑\n𝒜\n𝟒\n𝒜\n𝟓\n𝒜\n𝟔\n𝒜\nMoc zbioru Ω jest równa 36. Zdarzeń sprzyjających zdarzeniu 𝐴 jest 6.\nZatem prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe 6\n36 = 1\n6","solution":"## Poprawna odpowiedź: 51 kg pomidorów malinowych\n\n## Sposób 1 - Układ równań (podstawianie)\n\n**Tworzymy układ równań** na podstawie danych z zadania:\n\n\\[\\begin{cases} x + y = 75 \\\\ 11x + 7{,}98y = 752{,}52 \\end{cases}\\]\n\ngdzie \\(x\\) = kg pomidorów malinowych, \\(y\\) = kg pomidorów cherry.\n\n**Z pierwszego równania wyznaczamy \\(y\\):**\n\n\\[y = 75 - x\\]\n\n**Podstawiamy do drugiego równania:**\n\n\\[11x + 7{,}98 \\cdot (75 - x) = 752{,}52\\]\n\n\\[11x + 598{,}50 - 7{,}98x = 752{,}52\\]\n\n\\[3{,}02x = 752{,}52 - 598{,}50\\]\n\n\\[3{,}02x = 154{,}02\\]\n\n\\[x = \\frac{154{,}02}{3{,}02} = \\mathbf{51}\\]\n\n**Właściciel kupił 51 kg pomidorów malinowych.**\n\n(Dla porządku: \\(y = 75 - 51 = 24\\) kg pomidorów cherry.)\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja wyniku\n\nSprawdzamy, czy \\(x = 51\\), \\(y = 24\\) spełnia oba warunki zadania:\n\n**Warunek 1 - łączna masa:**\n\\[51 + 24 = 75 \\checkmark\\]\n\n**Warunek 2 - łączna kwota:**\n\\[11 \\cdot 51 + 7{,}98 \\cdot 24 = 561{,}00 + 191{,}52 = 752{,}52 \\checkmark\\]\n\nWynik jest poprawny.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy zapis układu równań liniowych i podstawowe działania arytmetyczne. Umiejętność budowania i rozwiązywania układu metodą podstawiania to wiedza z zakresu algebry szkolnej.\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić, która zmienna to malinowe, a która to cherry - zawsze na początku zapisz wyraźnie, co oznacza \\(x\\), a co \\(y\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy mnożeniu \\(7{,}98 \\cdot 75\\) niedbałe liczenie daje błąd. Rozbij: \\(8 \\cdot 75 - 0{,}02 \\cdot 75 = 600 - 1{,}50 = 598{,}50\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po wyznaczeniu \\(x = 51\\) zawsze wykonaj weryfikację - podstaw z powrotem i sprawdź kwotę. To zajmuje 20 sekund i chroni przed błędami obliczeniowymi.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(x = 51\\) kg**\n\n### Sposób 1 - Układ równań\n\\[\\begin{cases} x + y = 75 \\\\ 11x + 7{,}98y = 752{,}52 \\end{cases}\\]\nZ pierwszego: \\(y = 75 - x\\). Podstawiamy:\n\\[11x + 7{,}98(75 - x) = 752{,}52\\]\n\\[11x + 598{,}5 - 7{,}98x = 752{,}52\\]\n\\[3{,}02x = 154{,}02\\]\n\\[x = 51.\\]\n\n### Sposób 2 - Różnica cen\nGdyby wszystkie \\(75\\) kg było cherry: koszt \\(75 \\cdot 7{,}98 = 598{,}50\\) zł, różnica: \\(752{,}52 - 598{,}50 = 154{,}02\\) zł. Każdy kg malinowych zamiast cherry kosztuje o \\(11 - 7{,}98 = 3{,}02\\) zł więcej. Zatem \\(x = \\dfrac{154{,}02}{3{,}02} = 51\\) kg.\n\n### Uwagi o punktacji\n- 2 pkt - poprawna metoda i wynik \\(51\\) kg.\n- 1 pkt - zapisanie układu lub równania.\n\n**Trik:** \"liczba malin w 75 kg\" + \"koszt\" daje 2 równania z 2 niewiadomymi.","image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-29.svg","topics":"Prawdopodobieństwo","page_from":27,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"30","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (0-3)\nW stacji diagnostycznej odnotowywano liczby usterek wykrytych podczas przeglądów\ntechnicznych pięcioletnich samochodów w lipcu 2025 roku.\nWszystkie odnotowane wyniki przedstawiono na poniższym diagramie.\nNa osi poziomej podano liczbę usterek, które zostały wykryte podczas przeglądów,\na na osi pionowej podano liczbę samochodów, w których wykryto daną liczbę usterek.\nUzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania\nbyły prawdziwe.\n1. Dominanta liczby usterek wykrytych na tej stacji podczas tych przeglądów jest równa\n2. Średnia arytmetyczna liczby usterek wykrytych na tej stacji podczas tych przeglądów jest\nrówna\n3. Liczba samochodów, w których wykryto podczas tych przeglądów co najmniej dwie\nusterki, stanowi procent liczby samochodów, w których wykryto dokładnie\njedną usterkę.\n0\n2\n4\n6\n8\n10\n12\n14\n16\n18\n1\n2\n3\n4\n5\nliczba\nsamochodów\nliczba usterek\n\nMMAP-P0_100\nW stacji diagnostycznej odnotowywano liczby usterek wykrytych podczas przeglądów technicznych pięcioletnich samochodów w lipcu 2025 roku. Wszystkie odnotowane wyniki przedstawiono na poniższym diagramie. Na osi poziomej podano liczbę usterek, które zostały wykryte podczas przeglądów, na na osi pionowej podano liczbę samochodów, w których wykryto daną liczbę usterek. [rysunek] 1. Dominanta liczby usterek wykrytych na tej stacji podczas tych przeglądów jest równa ............... . Średnia arytmetyczna liczby usterek wykrytych na tej stacji podczas tych przeglądów jest równa ............... . 3. Liczba samochodów, w których wykryto podczas tych przeglądów co najmniej dwie usterki, stanowi ............... procent liczby samochodów, w których wykryto dokładnie jedną usterkę.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nXII.2) oblicza średnią arytmetyczną […],\nznajduje […] dominantę.\nSP V. Obliczenia procentowe.\n5) stosuje obliczenia procentowe do\nrozwiązywania problemów w kontekście\npraktycznym […].\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawne uzupełnienie trzech zdań.\n2 pkt - poprawne uzupełnienie dwóch zdań.\n1 pkt - poprawne uzupełnienie jednego zdania.\n0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nUwaga:\nNie akceptuje się zaokrągleń otrzymanych wyników.\nRozwiązanie\n1. Dominanta liczby usterek wykrytych na tej stacji podczas tych przeglądów jest równa 1.\n2. Średnia arytmetyczna liczby usterek wykrytych na tej stacji podczas tych przeglądów jest\nrówna 2.\n3. Liczba samochodów, w których wykryto podczas tych przeglądów co najmniej dwie\nusterki, stanowi 125 procent liczby samochodów, w których wykryto dokładnie jedną\nusterkę.","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n**Średnia arytmetyczna:** \\(\\bar{x} = \\frac{15}{8} = 1{,}875\\)\n\n**Mediana:** \\(Me = 1{,}5\\)\n\n## Sposób 1 - wzór na średnią ważoną + skumulowane liczebności\n\n**Krok 1. Podsumuj dane z diagramu.**\n\n| Liczba usterek \\(x_i\\) | Liczba samochodów \\(w_i\\) |\n| 1 | 16 |\n| 2 | 10 |\n| 3 | 2 |\n| 4 | 2 |\n| 5 | 2 |\n\nŁączna liczba samochodów:\n\\[n = 16 + 10 + 2 + 2 + 2 = 32\\]\n\n**Krok 2. Oblicz sumę wszystkich usterek.**\n\n\\[16 \\cdot 1 + 10 \\cdot 2 + 2 \\cdot 3 + 2 \\cdot 4 + 2 \\cdot 5\\]\n\\[= 16 + 20 + 6 + 8 + 10 = 60\\]\n\n**Krok 3. Oblicz średnią arytmetyczną.**\n\n\\[\\bar{x} = \\frac{\\sum w_i x_i}{\\sum w_i} = \\frac{60}{32} = \\frac{15}{8} = 1{,}875\\]\n\n**Krok 4. Wyznacz medianę.**\n\nMamy \\(n = 32\\) wyników (parzyste), więc mediana to **średnia 16. i 17. wyrazu** po posortowaniu.\n\nSkumulowane liczebności:\n- pozycje 1-16: wartość **1** (16 samochodów z 1 usterką)\n- pozycje 17-26: wartość **2** (10 samochodów z 2 usterkami)\n- pozycje 27-28: wartość 3\n- pozycje 29-30: wartość 4\n- pozycje 31-32: wartość 5\n\n16. wyraz = **1**, 17. wyraz = **2**\n\n\\[Me = \\frac{1 + 2}{2} = \\frac{3}{2} = 1{,}5\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez wypisanie wszystkich wyników\n\nWypisz (lub wyobraź sobie) wszystkie 32 wyniki posortowane rosnąco:\n\n\\[\\underbrace{1, 1, \\ldots, 1}_{16}, \\underbrace{2, 2, \\ldots, 2}_{10}, 3, 3, 4, 4, 5, 5\\]\n\nSuma: jest 32 elementy, dzielimy na dwie połówki po 16.\n- Lewa połówka (pozycje 1-16): ostatni element to \\(1\\)\n- Prawa połówka (pozycje 17-32): pierwszy element to \\(2\\)\n\n\\[Me = \\frac{1 + 2}{2} = 1{,}5 \\checkmark\\]\n\nWeryfikacja sumy metodą grupową:\n\\[\\frac{60}{32} = \\frac{15}{8} = 1{,}875 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)**\n\nŚrednia ważona:\n\\[\\bar{s} = \\frac{w_1 a_1 + w_2 a_2 + \\ldots + w_n a_n}{w_1 + w_2 + \\ldots + w_n}\\]\nUżyliśmy tego dokładnie: każda liczba usterek \\(a_i\\) jest ważona liczbą samochodów \\(w_i\\).\n\nMediana - definicja z karty:\n> środkowy wyraz dla nieparzystego \\(n\\), lub średnia dwóch środkowych wyrazów dla parzystego \\(n\\).\n\nTutaj \\(n = 32\\) (parzyste) → wzięliśmy średnią 16. i 17. wyrazu.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu sumy usterek łatwo zapomnieć o wagach - częsty błąd to zsumowanie samych wartości \\(1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15\\) i podzielenie przez 5, co daje błędnie \\(\\bar{x} = 3\\). To byłaby średnia gdyby każda wartość wystąpiła dokładnie raz!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy parzystym \\(n\\) mediana to **średnia** dwóch środkowych wartości - tu akurat \\(\\frac{1+2}{2} = 1{,}5\\). Błędem jest podanie samego 1 lub samego 2.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy szukaniu mediany sprawdź SKUMULOWANE liczebności. Tutaj pozycje 1-16 to wartość 1, a pozycja 17 to już wartość 2 - granica pada dokładnie między tymi grupami, co jest typową „pułapką egzaminatora\".\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(\\bar{x} = 1{,}875\\), \\(Me = 1{,}5\\)**\n\n### Sposób 1 - Średnia ważona (karta wzorów, dział 9)\nLiczba wszystkich samochodów: \\(16+10+2+2+2 = 32\\).\n\\[\\bar{x} = \\dfrac{16 \\cdot 1 + 10 \\cdot 2 + 2 \\cdot 3 + 2 \\cdot 4 + 2 \\cdot 5}{32} = \\dfrac{16+20+6+8+10}{32} = \\dfrac{60}{32} = 1{,}875.\\]\n\n### Mediana\n\\(32\\) elementy (parzyste) - mediana to średnia \\(16\\)-tego i \\(17\\)-tego wyrazu w uporządkowanym ciągu.\nW ciągu niemalejącym: pierwszych \\(16\\) wartości to \\(1\\) (samochody z 1 usterką), kolejne \\(10\\) to \\(2\\) (17-26), itd.\n- \\(16\\)-ty wyraz: \\(1\\).\n- \\(17\\)-ty wyraz: \\(2\\).\n\\[Me = \\dfrac{1+2}{2} = 1{,}5.\\]\n\n### Uwagi o punktacji\n- 2 pkt - oba wyniki.\n- 1 pkt - tylko średnia LUB mediana.\n\n**Trik:** dla \\(n\\) parzystego mediana = średnia dwóch środkowych.","image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-30.svg","topics":"Statystyka","page_from":28,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (0-2)\nHotel ma do dyspozycji gości 80 pokoi jednoosobowych.\nWłaściciel hotelu przeanalizował wpływ ceny za dobę hotelową na liczbę wynajętych pokoi\ni stwierdził, że:\nprzy wyjściowej cenie wynoszącej 120 zł za jedną dobę hotelową wszystkie pokoje są\nwynajęte\nkażdy wzrost ceny za dobę hotelową o 5 zł skutkuje spadkiem liczby wynajmowanych\npokoi o 1.\nPrzyjmijmy, że dobowy przychód 𝑃 hotelu z wynajmowania pokoi, w zależności od\npodwyżki ceny wyjściowej za dobę hotelową o 5𝑥 złotych, opisuje funkcja\n𝑃(𝑥) = (80 -𝑥)(120 + 5𝑥)\ngdzie 𝑥 jest liczbą całkowitą spełniającą warunki 𝑥≥0 i 𝑥≤80.\nOblicz, jaka powinna być cena wynajęcia jednoosobowego pokoju (za dobę hotelową),\naby dobowy przychód hotelu z wynajmowania pokoi był największy. Zapisz obliczenia.\n\nMMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMAP-P0_100\n\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nHotel ma do dyspozycji gości 80 pokoi jednoosobowych. Właściciel hotelu przeanalizował wpływ ceny za dobę hotelową na liczbę wynajętych pokoi i stwierdził, że: •przy wyjściowej cenie wynoszącej 120 zł za jedną dobę hotelową wszystkie pokoje są wynajęte •każdy wzrost ceny za dobę hotelową o 5 zł skutkuje spadkiem liczby wynajmowanych pokoi o 1. Przyjmijmy, że dobowy przychód P hotelu z wynajmowania pokoi, w zależności od podwyżki ceny wyjściowej za dobę hotelową o 5x złotych, opisuje funkcja} P(x) = (80-x)(120+5x) gdzie x jest liczbą całkowitą spełniającą warunki x≥0 i x≤80. Oblicz, jaka powinna być cena wynajęcia jednoosobowego pokoju (za dobę hotelową), aby dobowy przychód hotelu z wynajmowania pokoi był największy.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 31. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nXIII) rozwiązuje zadania optymalizacyjne\nw sytuacjach dających się opisać funkcją\nkwadratową.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 260 zł.\n1 pkt - obliczenie liczby 𝑥 podwyżek, przy których dobowy przychód hotelu\nz wynajmowania pokoi będzie największy: 28,\nALBO\n- obliczenie pierwszej współrzędnej 𝑝 wierzchołka paraboli z własności\n𝑃(𝑘1) = 𝑃(𝑘2), gdzie 𝑘1, 𝑘2 są różnymi liczbami takimi, że |𝑝-𝑘1| = |𝑝-𝑘2|:\n𝑝= 𝑘1 + 𝑘2\n2\n= 28.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający błędnie oblicza pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli,\ni konsekwentnie do popełnionego błędu oblicza cenę wynajęcia pokoju, dla której\nprzychód hotelu będzie największy, to może otrzymać 1 punkt za całe rozwiązanie (o ile\npierwsza współrzędna jest liczbą należącą do dziedziny).\n2. Jeżeli zdający nie zapisze, że 28 należy do dziedziny funkcji 𝑃, to może otrzymać\n2 punkty za całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający zapisze tylko 28 i 260 zł, to otrzymuje 1 punkt.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n4. Jeżeli zdający oblicza największą wartość funkcji 𝑃 z wykorzystaniem rachunku\nróżniczkowego i nie zapisze przedziałów monotoniczności funkcji, to może otrzymać\n2 punkty za całe rozwiązanie (gdy wyznaczy pochodną funkcji kwadratowej\n𝑓(𝑥) = (80 -𝑥)(120 + 5𝑥), obliczy miejsce zerowe pochodnej funkcji 𝑓(𝑥) i wskaże\ncenę wynajęcia pokoju, dla której przychód hotelu będzie największy).\n5. Jeżeli zdający oblicza 𝑃(28 -𝑘) oraz 𝑃(28 + 𝑘), gdzie 𝑘≠0, i wskaże cenę\nwynajęcia pokoju: 260 zł, dla której przychód hotelu będzie największy, to może otrzymać\n2 punkty za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nWykresem funkcji 𝑃(𝑥) = (80 -𝑥)(120 + 5𝑥), gdzie 𝑥 jest liczbą całkowitą z przedziału\n[0, 80], jest zbiór punktów leżących na paraboli o wierzchołku w punkcie 𝑊= (𝑝, 𝑞)\ni ramionach skierowanych w dół.\nObliczamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej 𝑓(𝑥) = (80 -𝑥)(120 + 5𝑥):\n(80 -𝑥)(120 + 5𝑥) = 0\n𝑥1 = 80 lub 𝑥2 = -24\nStąd:\n𝑝= 𝑥1 + 𝑥2\n2\n= 80 + (-24)\n2\n= 28 ∈{0, 1, 2, … , 80}\nTo oznacza, że dobowy przychód hotelu będzie największy, gdy 𝑥= 28.\nObliczamy cenę wynajęcia pokoju, dla której przychód hotelu będzie największy:\n120 + 5𝑥= 120 + 5 ⋅28 = 260 zł\nSposób II\nWykresem funkcji 𝑃(𝑥) = (80 -𝑥)(120 + 5𝑥), gdzie 𝑥 jest liczbą całkowitą z przedziału\n[0, 80], jest zbiór punktów leżących na paraboli o wierzchołku w punkcie 𝑊= (𝑝, 𝑞)\ni ramionach skierowanych w dół.\nPrzekształcamy wzór funkcji 𝑃 do postaci ogólnej:\n𝑃(𝑥) = 9600 + 400𝑥-120𝑥-5𝑥2 = -5𝑥2 + 280𝑥+ 9600\nObliczamy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli:\n𝑝= -280\n2 ⋅(-5) = 28 ∈{0, 1, 2, … , 80}\nTo oznacza, że dobowy przychód hotelu będzie największy przy podwyżce ceny za dobę\nhotelową o 5 ⋅28 = 140 złotych.\nWtedy cena wynajęcia pokoju jest równa 120 + 140 = 260 złotych.\nOcena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią\nObowiązują zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez stwierdzonej\ndyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:\nI. ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze\nstwierdzoną dyskalkulią (punkty 1.-12.);\nII. dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy\nosób ze stwierdzoną dyskalkulią - egzamin maturalny z matematyki, poziom\npodstawowy, termin poprawkowy 2025.\nI. Ogólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną\ndyskalkulią\n1. Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek, wynikających z:\nbłędnego przepisania\nprzestawienia cyfr\nzapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie\nprzestawienia położenia przecinka\nprzestawienia położenia znaku liczby.\n2. W przypadku błędów, wynikających ze zmiany znaku liczby, należy w każdym zadaniu\noddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza\numiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania\nbadanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.\n3. We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę\nrozwiązania, części lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej\n1 punkt, zgodnie z kryteriami do poszczególnych zadań.\n4. Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub\nzapisuje nawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne\nrozumowanie lub stosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt\nza rozwiązanie zadania.\n5. W przypadku zadania wymagającego wyznaczenia pierwiastków trójmianu\nkwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę\nwyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania\nwartościach liczbowych.\n6. W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający\nmoże otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności\nkwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.\n7. W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej\nzdający może otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji\nkwadratowej, istotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n8. W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych\nlub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie\ntakiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania.\n9. W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na\npłaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu\nrozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur\ngeometrycznych lub zapisze zależności, pozwalające rozwiązać zadanie.\n10. W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać\nprzynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych\nsprzyjających rozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje\nprawidłową metodę wyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.\n11. W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli\npodaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia\nrozwiązania.\n12. W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub\ngeometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która\nwyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać\n1 punkt.\nII. Dodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób\nze stwierdzoną dyskalkulią\nZadanie 5.\n1 pkt - przekształcenie wyrażenia 850 -2145 do postaci (23)50 -2145.\nZadanie 8.\nUwaga:\nJeżeli zdający popełnia błąd przy przekształceniu równania\n3\n3𝑥-7 = 5𝑥\n𝑥-8 do postaci\nrównania kwadratowego, lecz dalej stosuje poprawną metodę rozwiązania otrzymanego\nrównania kwadratowego i konsekwentnie oblicza pierwiastki tego równania, to może\notrzymać 1 punkt za całe rozwiązanie.\nZadanie 9.\n1 pkt - zastosowanie poprawnej metody obliczenia pierwiastków trójmianu kwadratowego\n-3𝑥2 -6𝑥+ 9, tzn. zastosowanie wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego\ni obliczenie tych pierwiastków\nALBO\n- konsekwentne (do otrzymanego w wyniku popełnienia błędów o charakterze\ndyskalkulicznym ujemnego wyróżnika) narysowanie paraboli,\nALBO\n- poprawne rozwiązanie nierówności -3𝑥2 -6𝑥> 0 (tzn. stosuje się punkt 6.\nogólnych zasad oceniania),\nALBO\n- konsekwentne (do wyznaczonych przez siebie pierwiastków oraz rozpatrywanego\ntrójmianu i nierówności) wyznaczenie zbioru rozwiązań nierówności.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający, rozwiązując nierówność, pomyli porządek liczb na osi liczbowej i zapisze\nzbiór rozwiązań nierówności w postaci (1, -3), to może otrzymać 2 punkty za całe\nrozwiązanie.\n2. Nie stosuje się uwag 2. i 3. z zasad oceniania arkusza standardowego.\n3. Akceptowane jest zapisanie pierwiastków trójmianu w postaci 𝑎+ 𝑏√𝑐, gdzie 𝑎, 𝑏, 𝑐 są\nliczbami wymiernymi.\nZadanie 11.\n1 pkt - zapisanie równania 11𝑥+ 7,98𝑦= 752,52.\nZadanie 12.1.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 12.2.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 24.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 26.\n2 pkt - zapisanie wzoru na objętość graniastosłupa w zależności od jednej zmiennej, np.\n𝑉= 𝑎2 ⋅ √3\n4\n⋅𝑎√3, LUB zapisanie wzoru na pole powierzchni całkowitej\ngraniastosłupa w zależności od jednej zmiennej, np. 𝑃𝑐= 2 ⋅𝑎2 ⋅ √3\n4\n+ 3 ⋅𝑎⋅𝑎√3.\nZadanie 29.\n1 pkt - zapisanie jedynie liczby 36 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich\nzdarzeń elementarnych).\nUwagi:\n1. W ocenie rozwiązania tego zadania (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi ze\nstandardowych zasad oceniania.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n2. Jeżeli zdający poprawnie wypisze/zaznaczy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające\nzdarzeniu 𝐴, lecz popełni błąd w ich zliczeniu (np. |𝐴| = 5) i konsekwentnie zapisze\nwynik (np. 5\n36), to otrzymuje 2 punkty.\nZadanie 30.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 31.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(P(A) = \\frac{1}{6}\\)\n\n## Sposób 1 - Analiza warunków i liczenie sprzyjających wyników\n\n**Przestrzeń zdarzeń elementarnych:**\n\nRzucamy kostką dwukrotnie. Pierwsza liczba to cyfra dziesiątek, druga - cyfra jedności. Każda wynosi od 1 do 6, więc:\n\\[|\\Omega| = 6 \\cdot 6 = 36\\]\n\n**Warunki zdarzenia \\(A\\):**\n\nLiczba dwucyfrowa \\(\\overline{AB}\\) (gdzie \\(A\\) = pierwszy rzut, \\(B\\) = drugi rzut) musi być:\n1. **Nieparzysta** → cyfra jedności \\(B\\) musi być nieparzysta, czyli \\(B \\in \\{1, 3, 5\\}\\)\n2. **Podzielna przez 3** → suma cyfr \\(A + B\\) musi być podzielna przez 3\n\n**Szukamy par \\((A, B)\\) spełniających oba warunki jednocześnie.**\n\nRozpatruję każdą możliwą wartość \\(B\\):\n\n**Przypadek \\(B = 1\\):** \\(B \\equiv 1 \\pmod{3}\\), więc potrzeba \\(A \\equiv 2 \\pmod{3}\\), czyli \\(A \\in \\{2, 5\\}\\)\n\\[\\Rightarrow (2, 1),\\ (5, 1) \\quad \\text{→ liczby } 21,\\ 51\\]\n\n**Przypadek \\(B = 3\\):** \\(B \\equiv 0 \\pmod{3}\\), więc potrzeba \\(A \\equiv 0 \\pmod{3}\\), czyli \\(A \\in \\{3, 6\\}\\)\n\\[\\Rightarrow (3, 3),\\ (6, 3) \\quad \\text{→ liczby } 33,\\ 63\\]\n\n**Przypadek \\(B = 5\\):** \\(B \\equiv 2 \\pmod{3}\\), więc potrzeba \\(A \\equiv 1 \\pmod{3}\\), czyli \\(A \\in \\{1, 4\\}\\)\n\\[\\Rightarrow (1, 5),\\ (4, 5) \\quad \\text{→ liczby } 15,\\ 45\\]\n\n**Łączna liczba wyników sprzyjających:** \\(|A| = 2 + 2 + 2 = 6\\)\n\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{6}{36} = \\boxed{\\frac{1}{6}}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez tabelę pełnego przeglądu\n\nWypisuję wszystkie 36 wyników i sprawdzam warunki. Zaznaczyłem tylko liczby nieparzyste (kolumny \\(B \\in \\{1,3,5\\}\\)) i podzielne przez 3:\n\n| \\(A \\backslash B\\) | **1** | 2 | **3** | 4 | **5** | 6 |\n| **1** | 11 | - | 13 | - | **15** ✓ | - |\n| **2** | **21** ✓ | - | 23 | - | 25 | - |\n| **3** | 31 | - | **33** ✓ | - | 35 | - |\n| **4** | 41 | - | 43 | - | **45** ✓ | - |\n| **5** | **51** ✓ | - | 53 | - | 55 | - |\n| **6** | 61 | - | **63** ✓ | - | 65 | - |\n\nLiczby spełniające oba warunki: \\(15, 21, 33, 45, 51, 63\\) - dokładnie 6 sztuk.\n\n**Weryfikacja każdej:**\n- \\(15\\): nieparzysta ✓, \\(1+5=6\\) podzielne przez 3 ✓\n- \\(21\\): nieparzysta ✓, \\(2+1=3\\) podzielne przez 3 ✓\n- \\(33\\): nieparzysta ✓, \\(3+3=6\\) podzielne przez 3 ✓\n- \\(45\\): nieparzysta ✓, \\(4+5=9\\) podzielne przez 3 ✓\n- \\(51\\): nieparzysta ✓, \\(5+1=6\\) podzielne przez 3 ✓\n- \\(63\\): nieparzysta ✓, \\(6+3=9\\) podzielne przez 3 ✓\n\n\\[P(A) = \\frac{6}{36} = \\frac{1}{6}\\]\n\nWynik zgodny ze Sposobem 1.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\nUżyliśmy tego wzoru jako podstawy całego rozwiązania: liczymy wyniki sprzyjające i dzielimy przez liczbę wszystkich wyników.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Podzielność przez 3 **nie zależy od ostatniej cyfry**, tylko od **sumy cyfr**. Bardzo często uczniowie mylą podzielność przez 2 (ostatnia cyfra) z podzielność przez 3 - to zupełnie inne kryterium!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wyniki rzutu kostką to cyfry od 1 do 6, a nie od 0 do 9. Liczby takie jak 10, 20, 30 są **niemożliwe** do uzyskania w tym doświadczeniu - nie ma na kostce \"0\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek \"nieparzysta **i** podzielna przez 3\" to **koniunkcja** - oba warunki muszą być spełnione jednocześnie. Nie sumujemy prawdopodobieństw, tylko szukamy wyników spełniających obie własności naraz.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(P(A) = \\dfrac{6}{36} = \\dfrac{1}{6}\\)**\n\n### Sposób 1 - Klasyczna definicja (karta wzorów, dział 10)\nZdarzenia elementarne: uporządkowane pary \\((x,y)\\), gdzie \\(x,y \\in \\{1,\\ldots,6\\}\\). \\(|\\Omega| = 6 \\cdot 6 = 36\\).\n\nSzukamy par, w których liczba \\(\\overline{xy} = 10x+y\\) jest:\n- nieparzysta \\(\\Rightarrow y \\in \\{1,3,5\\}\\),\n- podzielna przez \\(3\\) \\(\\Rightarrow x + y \\equiv 0 \\pmod 3\\).\n\nPary spełniające oba warunki (wypisujemy):\n\\((1,5), (2,1), (3,3), (4,5), (5,1), (6,3)\\) - \\(6\\) par.\n\nSprawdzenie: \\(15, 21, 33, 45, 51, 63\\) - wszystkie nieparzyste i podzielne przez \\(3\\) ✓.\n\\[P(A) = \\dfrac{6}{36} = \\dfrac{1}{6}.\\]\n\n### Sposób 2 - Przez systematyczne zliczanie\nDwucyfrowe \\(ab\\) nieparzyste podzielne przez \\(3\\) z cyframi \\(\\in \\{1 6\\}\\):\n\\(15, 21, 33, 45, 51, 63\\) - liczba \\(6\\). \\(P(A) = \\tfrac{6}{36} = \\tfrac{1}{6}\\).\n\n### Uwagi o punktacji\n- 2 pkt - poprawna metoda i wynik \\(\\tfrac{6}{36}\\) lub \\(\\tfrac{1}{6}\\).\n- 1 pkt - podanie \\(|\\Omega| = 36\\) i \\(|A| = 6\\) lub podobny częściowy postęp.\n\n**Trik:** nieparzyste = jedności nieparzyste; podzielne przez 3 = suma cyfr podzielna przez 3.","image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-31.svg","topics":"Optymalizacja","page_from":29,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"32","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Ciąg \\((a_{n})\\) jest określony wzorem \\(a_{n} = \\frac{32 \\cdot (-1)^{n}}{2^{n-1}}\\) dla każdej liczby naturalnej \\(n \\geq 1\\). Trzywyrazowy ciąg \\((x, a_{6}, 2x + 10)\\), gdzie \\(x\\) jest liczbą rzeczywistą, jest arytmetyczny. Oblicz \\(x\\) oraz różnicę tego ciągu arytmetycznego.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x = -\\dfrac{8}{3}\\), różnica \\(r = \\dfrac{11}{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Własność środkowego wyrazu ciągu arytmetycznego\n\n**Krok 1: Obliczamy \\(a_6\\).**\n\nPodstawiamy \\(n = 6\\) do wzoru ogólnego:\n\\[a_6 = \\frac{32 \\cdot (-1)^6}{2^{6-1}} = \\frac{32 \\cdot 1}{2^5} = \\frac{32}{32} = 1\\]\n\nZatem ciąg arytmetyczny to \\((x,\\ 1,\\ 2x+10)\\).\n\n**Krok 2: Korzystamy z własności środkowego wyrazu.**\n\nW ciągu arytmetycznym środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną sąsiednich:\n\\[a_6 = \\frac{x + (2x+10)}{2}\\]\n\nPodstawiamy \\(a_6 = 1\\):\n\\[1 = \\frac{3x + 10}{2}\\]\n\\[2 = 3x + 10\\]\n\\[3x = -8\\]\n\\[\\boxed{x = -\\frac{8}{3}}\\]\n\n**Krok 3: Obliczamy różnicę ciągu.**\n\n\\[r = a_6 - x = 1 - \\left(-\\frac{8}{3}\\right) = 1 + \\frac{8}{3} = \\frac{3}{3} + \\frac{8}{3} = \\boxed{\\frac{11}{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - Warunek stałej różnicy\n\nW ciągu arytmetycznym każde dwa kolejne wyrazy różnią się o tę samą liczbę \\(r\\):\n\\[a_6 - x = (2x+10) - a_6\\]\n\nPodstawiamy \\(a_6 = 1\\):\n\\[1 - x = (2x + 10) - 1\\]\n\\[1 - x = 2x + 9\\]\n\\[-3x = 8\\]\n\\[x = -\\frac{8}{3}\\]\n\nRóżnica:\n\\[r = 1 - \\left(-\\frac{8}{3}\\right) = \\frac{11}{3}\\]\n\n**Weryfikacja - czy ciąg jest naprawdę arytmetyczny?**\n\nTrzeci wyraz: \\(2x + 10 = 2 \\cdot \\left(-\\frac{8}{3}\\right) + 10 = -\\frac{16}{3} + \\frac{30}{3} = \\frac{14}{3}\\)\n\nSprawdzamy różnice:\n\\[1 - \\left(-\\frac{8}{3}\\right) = \\frac{11}{3} \\qquad \\frac{14}{3} - 1 = \\frac{11}{3} \\checkmark\\]\n\nCiąg to \\(\\left(-\\dfrac{8}{3},\\ 1,\\ \\dfrac{14}{3}\\right)\\) - każdy krok to \\(+\\dfrac{11}{3}\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - własność środkowego wyrazu ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = \\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2} \\quad \\text{(dla } n \\geq 2\\text{)}\\]\nW Sposobie 1 użyliśmy tej własności dla wyrazu środkowego \\(a_6\\) - przekształcona postać to właśnie \\(2a_n = a_{n-1} + a_{n+1}\\).\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - działania na potęgach:\n\\[(-1)^6 = 1, \\qquad 2^5 = 32\\]\nUżyte przy wyznaczaniu \\(a_6\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\((-1)^6 = 1\\), bo \\(6\\) jest parzyste. Gdyby \\(n\\) było nieparzyste, dostalibyśmy \\(-1\\). Sprawdź dwa razy wykładnik!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór na \\(a_n\\) zawiera \\(2^{n-1}\\), nie \\(2^n\\). Dla \\(n=6\\) mamy \\(2^5 = 32\\), a nie \\(2^6 = 64\\). Pomylenie wykładnika to najczęstszy błąd w tym typie zadania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Własność środkowego wyrazu \\(a_n = \\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}\\) działa tylko wtedy, gdy wiemy, że ciąg jest arytmetyczny - tu jest to dane w treści zadania, więc możemy jej śmiało używać.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(x = -\\dfrac{8}{3}\\), \\(r = \\dfrac{11}{3}\\)**\n\n### Sposób 1 - Własność średniej arytmetycznej (karta wzorów, dział 5)\nObliczamy \\(a_{6}\\):\n\\[a_{6} = \\dfrac{32 \\cdot (-1)^{6}}{2^{6-1}} = \\dfrac{32 \\cdot 1}{32} = 1.\\]\nW ciągu arytmetycznym wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną sąsiednich:\n\\[a_{6} = \\dfrac{x + (2x+10)}{2} \\Rightarrow 1 = \\dfrac{3x+10}{2} \\Rightarrow 3x + 10 = 2 \\Rightarrow x = -\\dfrac{8}{3}.\\]\nRóżnica: \\(r = a_{6} - x = 1 - \\left(-\\tfrac{8}{3}\\right) = 1 + \\tfrac{8}{3} = \\tfrac{11}{3}\\).\n\n### Sposób 2 - Układ równań\n\\(\\begin{cases} 1 = x + r \\\\ 2x+10 = 1 + r \\end{cases}\\). Z pierwszego \\(x = 1 - r\\), podstawiamy: \\(2(1-r)+10 = 1+r \\Rightarrow 12-2r = 1+r \\Rightarrow 3r = 11 \\Rightarrow r = \\tfrac{11}{3}\\), więc \\(x = 1 - \\tfrac{11}{3} = -\\tfrac{8}{3}\\).\n\n### Uwagi o punktacji\n- 4 pkt - poprawne wyniki \\(x = -\\tfrac{8}{3}, r = \\tfrac{11}{3}\\).\n- 3 pkt - obliczenie \\(x\\) lub \\(r\\).\n- 2 pkt - \\(a_{6} = 1\\) i poprawne równanie.\n- 1 pkt - \\(a_{6} = 1\\).\n\n**Trik:** w ciągu arytmetycznym \\(a_{n} = \\tfrac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}\\).","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"33","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny ABCDEF . Wysokość podstawy ABC jest równa \\(2\\sqrt{3}\\) . Przekątna AE ściany bocznej ABED tworzy z krawędzią AB kąt o mierze \\(60^{\\circ}\\)\n\n/matma-quiz/images/cke/EMAP-P0-100-2508/z33.png\n\n. F D E C \\(2\\sqrt{3} 60^{\\circ}\\) A B Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n**Objętość:** \\(V = 48\\)\n\n**Pole powierzchni całkowitej:** \\(P_c = 56\\sqrt{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie boku podstawy z kąta na ścianie bocznej\n\n### Krok 1: Oznaczenia\n\nNiech \\(a\\) = bok podstawy równobocznej, \\(h\\) = wysokość graniastosłupa.\n\nŚciana boczna \\(ABED\\) to prostokąt:\n- pozioma krawędź: \\(AB = a\\)\n- pionowa krawędź: \\(BE = h\\) (krawędź boczna graniastosłupa)\n\nPrzekątna \\(AE\\) tej ściany łączy wierzchołek \\(A\\) z \\(E\\) (wierzchołek górny nad \\(B\\)).\n\n### Krok 2: Wyznaczenie \\(h\\) z kąta \\(60°\\)\n\nW prostokącie \\(ABED\\) kąt między \\(AE\\) a \\(AB\\) wynosi \\(60°\\). Z trygonometrii w trójkącie prostokątnym \\(ABE\\):\n\n\\[\\operatorname{tg}60° = \\frac{BE}{AB} = \\frac{h}{a}\\]\n\n\\[\\sqrt{3} = \\frac{h}{a} \\implies h = a\\sqrt{3}\\]\n\n### Krok 3: Wyznaczenie \\(a\\) z wysokości podstawy\n\nTrójkąt równoboczny o boku \\(a\\) ma wysokość:\n\n\\[h_\\triangle = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\]\n\nDane: \\(h_\\triangle = 2\\sqrt{3}\\), więc:\n\n\\[\\frac{a\\sqrt{3}}{2} = 2\\sqrt{3} \\implies a\\sqrt{3} = 4\\sqrt{3} \\implies \\boxed{a = 4}\\]\n\n### Krok 4: Wysokość graniastosłupa\n\n\\[h = a\\sqrt{3} = 4\\sqrt{3}\\]\n\n### Krok 5: Pole podstawy\n\n\\[P_p = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} = \\frac{16\\sqrt{3}}{4} = 4\\sqrt{3}\\]\n\n### Krok 6: Objętość\n\n\\[V = P_p \\cdot h = 4\\sqrt{3} \\cdot 4\\sqrt{3} = 16 \\cdot 3 = \\boxed{48}\\]\n\n### Krok 7: Pole powierzchni całkowitej\n\nDwie podstawy:\n\\[2P_p = 2 \\cdot 4\\sqrt{3} = 8\\sqrt{3}\\]\n\nTrzy ściany boczne (prostokąt \\(a \\times h\\)):\n\\[P_b = 3 \\cdot a \\cdot h = 3 \\cdot 4 \\cdot 4\\sqrt{3} = 48\\sqrt{3}\\]\n\nŁącznie:\n\\[P_c = 8\\sqrt{3} + 48\\sqrt{3} = \\boxed{56\\sqrt{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez cosinus kąta i bezpośrednie obliczenie długości przekątnej\n\n### Inaczej wyznaczamy \\(h\\)\n\nDługość przekątnej \\(AE\\) ściany bocznej:\n\\[|AE| = \\frac{|AB|}{\\cos 60°} = \\frac{a}{\\frac{1}{2}} = 2a\\]\n\nZ Pitagorasa w trójkącie \\(ABE\\) (kąt prosty w \\(B\\)):\n\\[|AE|^2 = |AB|^2 + |BE|^2 \\implies (2a)^2 = a^2 + h^2\\]\n\\[4a^2 = a^2 + h^2 \\implies h^2 = 3a^2 \\implies h = a\\sqrt{3}\\]\n\n**Wynik ten sam** - reszta obliczeń identyczna.\n\n### Weryfikacja liczbowa\n\nPrzy \\(a = 4\\), \\(h = 4\\sqrt{3}\\):\n- Przekątna \\(|AE| = 2 \\cdot 4 = 8\\)\n- Sprawdzamy kąt: \\(\\cos\\alpha = \\frac{AB}{AE} = \\frac{4}{8} = \\frac{1}{2} \\implies \\alpha = 60°\\) ✓\n- Wysokość podstawy: \\(\\frac{4\\sqrt{3}}{2} = 2\\sqrt{3}\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-27)** - graniastosłup prosty:\n\\[P_b = Ob \\cdot h, \\quad V = P_p \\cdot h\\]\nUżyte w Kroku 6 i 7 do objętości i pola powierzchni bocznej.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 21)** - trójkąt równoboczny o boku \\(a\\):\n\\[h_\\triangle = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}, \\quad P_p = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]\nUżyte w Kroku 3 (wyznaczenie \\(a\\)) i Kroku 5 (pole podstawy).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - definicja tangensa i wartość \\(\\operatorname{tg}60° = \\sqrt{3}\\):\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przeciwprostokątna}}{\\text{przyległa}}\\]\nUżyte w Kroku 2 do wyznaczenia zależności \\(h = a\\sqrt{3}\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przekątna \\(AE\\) ściany bocznej **nie jest** przekątną graniastosłupa! To przekątna prostokąta \\(ABED\\) - łączy dwa wierzchołki tej samej ściany. Nie myl z przekątną przestrzenną (np. \\(AC'\\) w graniastosłupie czworokątnym).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wysokość trójkąta równobocznego \\(\\neq\\) bok! Przy \\(a = 4\\) wysokość wynosi \\(2\\sqrt{3} \\approx 3{,}46\\), nie \\(4\\). Stąd \\(a \\neq 2\\sqrt{3}\\) - to częsty błąd.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\operatorname{tg}60° = \\sqrt{3}\\), ale \\(\\cos 60° = \\frac{1}{2}\\). Nie przestawiaj tych wartości - i tak wychodzi \\(h = a\\sqrt{3}\\), ale przez błędną wartość możesz dostać \\(h = \\frac{a}{2}\\), co da zupełnie inny wynik.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(V = 48\\), \\(P_{c} = 56\\sqrt{3}\\)**\n\n### Sposób 1 - Krok po kroku (karta wzorów, dział G11)\n\n**Krok 1: długość krawędzi podstawy.** Wysokość trójkąta równobocznego o boku \\(a\\): \\(h = \\tfrac{a\\sqrt{3}}{2}\\).\n\\[2\\sqrt{3} = \\dfrac{a\\sqrt{3}}{2} \\Rightarrow a = 4.\\]\n\n**Krok 2: wysokość graniastosłupa \\(H\\).** W trójkącie prostokątnym \\(ABE\\) (ściana \\(ABED\\) jest prostokątem): \\(\\tan 60^{\\circ} = \\dfrac{H}{a}\\):\n\\[H = a \\cdot \\tan 60^{\\circ} = 4\\sqrt{3}.\\]\n\n**Krok 3: objętość.**\n\\[V = P_{\\triangle} \\cdot H = \\dfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{4} \\cdot H = \\dfrac{16\\sqrt{3}}{4} \\cdot 4\\sqrt{3} = 4\\sqrt{3} \\cdot 4\\sqrt{3} = 48.\\]\n\n**Krok 4: pole powierzchni całkowitej.**\n\\[P_{c} = 2 \\cdot \\dfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{4} + 3 \\cdot a \\cdot H = 2 \\cdot 4\\sqrt{3} + 3 \\cdot 4 \\cdot 4\\sqrt{3} = 8\\sqrt{3} + 48\\sqrt{3} = 56\\sqrt{3}.\\]\n\n### Sposób 2 - Bezpośrednio z proporcji\nW trójkącie \\(30^{\\circ}\\text{-}60^{\\circ}\\text{-}90^{\\circ}\\) w ścianie: jeśli kąt przy \\(A\\) to \\(60^{\\circ}\\), to \\(H = a\\sqrt{3} = 4\\sqrt{3}\\); następnie \\(V\\) i \\(P_{c}\\) jak wyżej.\n\n### Uwagi o punktacji\n- 4 pkt - oba wyniki \\(V = 48\\) i \\(P_{c} = 56\\sqrt{3}\\).\n- 3 pkt - tylko jeden z nich.\n- 2 pkt - \\(a = 4\\) i \\(H = 4\\sqrt{3}\\).\n- 1 pkt - \\(a = 4\\) lub \\(\\tan 60^{\\circ} = H/a\\).\n\n**Trik:** w graniastosłupie prawidłowym trójkątnym wszystko sprowadza się do wyznaczenia \\(a\\) i \\(H\\).","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"34","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"W układzie współrzędnych (x, y) dane są punkty A= (-4, 7) oraz B= (12, 3) . Prosta AB przecina oś Ox w punkcie C . Symetralna odcinka AB przecina oś Ox w punkcie D . Oblicz współrzędne punktów C i D oraz pole trójkąta ACD.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n\\(C = (24, 0)\\), \\(D = \\left(\\frac{11}{4}, 0\\right)\\), pole trójkąta \\(ACD = \\frac{595}{8}\\)\n\n## Sposób 1 - równanie prostej + środek i prostopadła\n\n### Krok 1: Równanie prostej AB\n\nWspółczynnik kierunkowy:\n\\[a = \\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \\frac{3 - 7}{12 - (-4)} = \\frac{-4}{16} = -\\frac{1}{4}\\]\n\nRównanie prostej AB (przez punkt \\(A(-4, 7)\\)):\n\\[y - 7 = -\\frac{1}{4}(x + 4)\\]\n\\[y = -\\frac{1}{4}x - 1 + 7\\]\n\\[y = -\\frac{1}{4}x + 6\\]\n\n### Krok 2: Punkt C - prosta AB przecina oś Ox\n\nPodstawiamy \\(y = 0\\):\n\\[0 = -\\frac{1}{4}x + 6 \\implies \\frac{x}{4} = 6 \\implies x = 24\\]\n\n\\[\\boxed{C = (24,\\ 0)}\\]\n\n### Krok 3: Symetralna odcinka AB\n\n**Środek odcinka AB:**\n\\[M = \\left(\\frac{-4 + 12}{2},\\ \\frac{7 + 3}{2}\\right) = (4,\\ 5)\\]\n\nSymetralna jest prostopadła do AB, więc jej współczynnik kierunkowy to:\n\\[a_\\perp = \\frac{-1}{a} = \\frac{-1}{-\\frac{1}{4}} = 4\\]\n\nRównanie symetralnej przez \\(M(4, 5)\\):\n\\[y - 5 = 4(x - 4)\\]\n\\[y = 4x - 11\\]\n\n### Krok 4: Punkt D - symetralna przecina oś Ox\n\nPodstawiamy \\(y = 0\\):\n\\[0 = 4x - 11 \\implies x = \\frac{11}{4}\\]\n\n\\[\\boxed{D = \\left(\\frac{11}{4},\\ 0\\right)}\\]\n\n### Krok 5: Pole trójkąta ACD\n\nPunkty \\(C\\) i \\(D\\) leżą **obydwa na osi Ox** - zatem odcinek \\(CD\\) jest podstawą trójkąta, a wysokość to odległość punktu \\(A\\) od osi Ox, czyli \\(|y_A| = 7\\).\n\nDługość podstawy:\n\\[|CD| = 24 - \\frac{11}{4} = \\frac{96}{4} - \\frac{11}{4} = \\frac{85}{4}\\]\n\nPole:\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot |CD| \\cdot h = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{85}{4} \\cdot 7 = \\frac{595}{8}\\]\n\n\\[\\boxed{P_{ACD} = \\frac{595}{8} = 74\\frac{3}{8}}\\]\n\n## Sposób 2 - wzór na pole trójkąta ze współrzędnych\n\nKorzystamy ze wzoru (dział 11 karty CKE):\n\\[P = \\frac{1}{2}|(x_C - x_A)(y_D - y_A) - (y_C - y_A)(x_D - x_A)|\\]\n\nPodstawiamy \\(A(-4, 7)\\), \\(C(24, 0)\\), \\(D\\!\\left(\\frac{11}{4}, 0\\right)\\):\n\n\\[P = \\frac{1}{2}\\left|(24-(-4))\\cdot(0-7) - (0-7)\\cdot\\left(\\frac{11}{4}-(-4)\\right)\\right|\\]\n\n\\[= \\frac{1}{2}\\left|28 \\cdot (-7) - (-7) \\cdot \\frac{27}{4}\\right|\\]\n\n\\[= \\frac{1}{2}\\left|-196 + \\frac{189}{4}\\right|\\]\n\n\\[= \\frac{1}{2}\\left|\\frac{-784 + 189}{4}\\right|\\]\n\n\\[= \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{595}{4} = \\frac{595}{8}\\]\n\nWynik zgodny - weryfikacja potwierdza \\(P = \\dfrac{595}{8}\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25):**\n\n- Równanie kierunkowe prostej: \\(y = ax + b\\), współczynnik:\n\\[a = \\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\\]\nUżyte w Kroku 1 do wyznaczenia prostej AB.\n\n- Środek odcinka:\n\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]\nUżyte w Kroku 3 do znalezienia środka AB.\n\n- Proste prostopadłe: \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\)\nUżyte do wyznaczenia kierunku symetralnej.\n\n- Pole trójkąta ze współrzędnych:\n\\[P = \\frac{1}{2}|(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (y_B - y_A)(x_C - x_A)|\\]\nUżyte w Sposobie 2 jako weryfikacja.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Symetralna odcinka AB to **NIE** prosta prostopadła do AB przechodząca przez dowolny punkt - musi przechodzić przez **środek** odcinka AB. Pominięcie wyznaczenia środka to najczęstszy błąd.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu pola trójkąta, gdy **dwa wierzchołki leżą na osi Ox**, nie trzeba stosować pełnego wzoru współrzędnościowego - wystarczy \\(P = \\frac{1}{2} \\cdot \\text{podstawa} \\cdot \\text{wysokość}\\), gdzie wysokość = \\(|y_A|\\). To dużo szybciej!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej to \\(-\\frac{1}{a}\\), **nie** \\(-a\\). Dla prostej o \\(a = -\\frac{1}{4}\\) prostopadła ma \\(a_\\perp = 4\\) - tu łatwo o pomyłkę przy ułamkach.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(C = (24, 0)\\), \\(D = \\left(\\dfrac{11}{4}, 0\\right)\\), \\(P_{ACD} = \\dfrac{595}{8}\\)**\n\n### Sposób 1 - Krok po kroku (karta wzorów, dział 8)\n\n**Krok 1: równanie prostej \\(AB\\).**\nWspółczynnik kierunkowy: \\(a = \\dfrac{3-7}{12-(-4)} = \\dfrac{-4}{16} = -\\dfrac{1}{4}\\).\nRównanie: \\(y - 7 = -\\tfrac{1}{4}(x+4) \\Rightarrow y = -\\tfrac{1}{4}x + 6\\).\n\n**Krok 2: punkt \\(C\\) (przecięcie z \\(Ox\\)).** \\(y = 0\\): \\(0 = -\\tfrac{1}{4}x + 6 \\Rightarrow x = 24\\). \\(C = (24, 0)\\).\n\n**Krok 3: równanie symetralnej \\(AB\\).**\nŚrodek \\(M\\) odcinka \\(AB\\): \\(M = \\left(\\tfrac{-4+12}{2}, \\tfrac{7+3}{2}\\right) = (4, 5)\\).\nWspółczynnik prostopadłej: \\(a_{\\perp} = 4\\) (bo \\(a_{AB} \\cdot a_{\\perp} = -1\\)).\nSymetralna: \\(y - 5 = 4(x - 4) \\Rightarrow y = 4x - 11\\).\n\n**Krok 4: punkt \\(D\\).** \\(y = 0\\): \\(4x - 11 = 0 \\Rightarrow x = \\tfrac{11}{4}\\). \\(D = \\left(\\tfrac{11}{4}, 0\\right)\\).\n\n**Krok 5: pole trójkąta \\(ACD\\).**\nPodstawa \\(CD\\) leży na osi \\(Ox\\): \\(|CD| = 24 - \\tfrac{11}{4} = \\tfrac{96-11}{4} = \\tfrac{85}{4}\\).\nWysokość z \\(A = (-4, 7)\\) opuszczona na oś \\(Ox\\): \\(h = |y_{A}| = 7\\).\n\\[P_{ACD} = \\tfrac{1}{2} \\cdot \\tfrac{85}{4} \\cdot 7 = \\tfrac{595}{8}.\\]\n\n### Sposób 2 - Odległość od symetralnej\n\\(D\\) leży na symetralnej \\(AB\\) i na osi \\(Ox\\), więc \\(|AD| = |BD|\\). Po podstawieniu do wzoru na odległość otrzymujemy \\(x_{D} = \\tfrac{11}{4}\\).\n\n### Uwagi o punktacji\n- 5 pkt - pełne rozwiązanie.\n- 4 pkt - tylko współrzędne \\(C\\) i \\(D\\).\n- 3 pkt - \\(C\\) + jeden krok do \\(D\\).\n- 2 pkt - \\(C = (24,0)\\) + początek.\n- 1 pkt - samo \\(C\\) lub elementy wstępne.\n\n**Trik:** dla pola trójkąta \\(ACD\\) z \\(CD\\) na osi \\(Ox\\) wysokość to po prostu \\(|y_{A}|\\).","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"}]}