{"paper":{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","variant":"stara","exam_pdf":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":34,"source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},"questions":[{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (0-1)\nLiczba 25-2\n125-4 jest równa\nA. 5-16\nB. 5-2\nC. 54\nD. 58","answer":"D","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nWymagania określone w podstawie programowej1\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n1.4) […] stosuje prawa działań na potęgach\no wykładnikach wymiernych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (0-1)\nLiczba √24\n3\n+ √192\n3\njest równa\nA. 6\nB. 3√6\n3\nC. 6√3\n3\nD. 6√6\n3","answer":"C","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n1.3) posługuje się w obliczeniach\npierwiastkami dowolnego stopnia i stosuje\nprawa działań na pierwiastkach.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC\n1 Rozporządzenie Ministra Edukacji Narodowej z dnia 27 sierpnia 2012 r. w sprawie podstawy programowej\nwychowania przedszkolnego oraz kształcenia ogólnego w poszczególnych typach szkół (Dz.U. z 2012 r. poz.\n977, z późn. zm., tj. Dz.U. z 2014 r. poz. 803, Dz.U. z 2016 r. poz. 895).\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (0-1)\nLiczba log3 2 -log3 18 jest równa\nA. (-2)\nB. (-1\n2)\nC. 1\n2\nD. 2","answer":"A","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n1.6) wykorzystuje definicję logarytmu\ni stosuje w obliczeniach wzory na […]\nlogarytm ilorazu […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (0-1)\nDla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦 wartość wyrażenia\n(3𝑥+ 𝑦)2 -(3𝑥-𝑦)2 jest równa wartości wyrażenia\nA. 12𝑥𝑦\nB. (-12𝑥𝑦)\nC. 2𝑦2\nD. 4𝑦2\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100","answer":"A","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n2.1) używa wzorów skróconego mnożenia\nna (𝑎± 𝑏)2 oraz 𝑎2 -𝑏2.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (0-1)\nZbiorem wszystkich rozwiązań nierówności\n3 -𝑥> 5𝑥-1\n2\njest przedział\nA. (-∞, 1)\nB. (-∞, 7\n6)\nC. (1, +∞)\nD. (7\n6 , +∞)","answer":"A","answer_text":"Zadanie 5. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n3.3) rozwiązuje nierówności pierwszego\nstopnia z jedną niewiadomą.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (0-1)\nSuma wszystkich rozwiązań równania (3𝑥-12)(10 + 5𝑥)(𝑥-3) = 0 jest równa\nA. (-5)\nB. (-1)\nC. 5\nD. 9","answer":"C","answer_text":"Zadanie 6. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n3.7) korzysta z własności iloczynu przy\nrozwiązywaniu równań typu\n𝑥(𝑥+ 1)(𝑥-7) = 0.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (0-1)\nMiejscem zerowym funkcji liniowej 𝑔 jest liczba (-3).\nDla argumentu 0 funkcja 𝑔 przyjmuje wartość (-3\n2).\nFunkcja 𝑔 jest określona wzorem\nA. 𝑔(𝑥) = -1\n2 𝑥-3\n2\nB. 𝑔(𝑥) = -1\n2 𝑥+ 3\n2\nC. 𝑔(𝑥) = 1\n2 𝑥-3\n2\nD. 𝑔(𝑥) = 1\n2 𝑥+ 3\n2\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nInformacja do zadań 8.-9.\nNa rysunku, w układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦), przedstawiono wykres funkcji 𝑓.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 7. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n4.6) wyznacza wzór funkcji liniowej na\npodstawie informacji o funkcji lub o jej\nwykresie.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (0-1)\nWartość wyrażenia 𝑓(-2) + 3 ⋅𝑓(2) jest równa\nA. (-3)\nB. 0\nC. 3\nD. 4","answer":"B","answer_text":"Zadanie 8. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\nZdający:\nG8.3) odczytuje z wykresu funkcji: wartość\nfunkcji dla danego argumentu […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (0-1)\nZbiorem wartości funkcji 𝑓 jest przedział\nA. (-5, 4⟩\nB. (-4, 3⟩\nC. ⟨-4, 3⟩\nD. (0, 3⟩\n1 2 3 4\n-1\n-2\n5\n0\n𝑥\n-5 -4 -3\n1\n2\n3\n4\n𝑦\n5\n-1\n-2\n-3\n-4\n-5\n𝑦= 𝑓(𝑥)\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nInformacja do zadań 10.-12.\nFunkcja kwadratowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 1\n2 𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐, gdzie 𝑏 oraz 𝑐 są\nliczbami rzeczywistymi. Jednym z miejsc zerowych funkcji 𝑓 jest liczba 6.\nW układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) prosta o równaniu 𝑥= 1 jest osią symetrii wykresu\nfunkcji 𝑓.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 9. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\nZdający:\n4.3) odczytuje z wykresu własności funkcji\n([…] zbiór wartości […]).\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (0-1)\nWspółczynnik 𝑏 jest równy\nA. (-2)\nB. (-1)\nC. (-1\n2)\nD. 2","answer":"B","answer_text":"Zadanie 10. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\nZdający:\n4.10) interpretuje współczynniki\nwystępujące we wzorze funkcji kwadratowej\n[…] w postaci ogólnej […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (0-1)\nFunkcja 𝑓 jest określona wzorem\nA. 𝑓(𝑥) = 1\n2 (𝑥-4)(𝑥-6)\nB. 𝑓(𝑥) = 1\n2 (𝑥-4)(𝑥+ 6)\nC. 𝑓(𝑥) = 1\n2 (𝑥+ 4)(𝑥-6)\nD. 𝑓(𝑥) = 1\n2 (𝑥+ 4)(𝑥+ 6)","answer":"C","answer_text":"Zadanie 11. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\nZdający:\n4.9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na\npodstawie pewnych informacji o tej funkcji\nlub o jej wykresie.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (0-1)\nFunkcja 𝑔 jest określona dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 wzorem 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥-3).\nOsią symetrii wykresu funkcji 𝑔 jest prosta o równaniu\nA. 𝑥= -2\nB. 𝑥= 1\nC. 𝑥= 3\nD. 𝑥= 4\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100","answer":"D","answer_text":"Zadanie 12. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\nZdający:\n4.12) wykorzystuje własności funkcji […]\nkwadratowej do interpretacji zagadnień\ngeometrycznych […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (0-1)\nCiąg arytmetyczny (𝑎𝑛) jest określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.\nRóżnica tego ciągu jest równa (-4) oraz 𝑎10 = -24.\nSzósty wyraz ciągu (𝑎𝑛) jest równy\nA. (-12)\nB. (-8)\nC. (-4)\nD. 0","answer":"B","answer_text":"Zadanie 13. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n5.3) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz […] ciągu\narytmetycznego.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (0-1)\nCiąg geometryczny (𝑎𝑛), o wszystkich wyrazach rzeczywistych różnych od 0, jest\nokreślony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.\nWyrazy tego ciągu spełniają warunek 𝑎3 = -8 ⋅𝑎6 .\nIloraz ciągu (𝑎𝑛) jest równy\nA. (-2)\nB. (-1\n2)\nC. 1\n2\nD. 2","answer":"B","answer_text":"Zadanie 14. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n5.4) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz […] ciągu\ngeometrycznego.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (0-1)\nKąt 𝛼 jest ostry oraz cos 𝛼= 5\n13\nTangens kąta 𝛼 jest równy\nA. 5\n12\nB. 12\n13\nC. 13\n12\nD. 12\n5","answer":"D","answer_text":"Zadanie 15. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n6.5) znając wartość jednej z funkcji: sinus\nlub cosinus, wyznacza wartości pozostałych\nfunkcji tego samego kąta ostrego.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (0-1)\nLiczba sin 30° ⋅cos 60° + sin 60° ⋅cos 30° jest równa\nA. 1\n2\nB.\n√2\n2\nC.\n√3\n2\nD. 1\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nInformacja do zadań 17.-18.\nPunkty 𝐴, 𝐵, 𝐶 oraz 𝐷 leżą na okręgu o środku w punkcie 𝑆 i o promieniu 36.\nPunkt 𝑆 leży na odcinku 𝐵𝐷. Kąt 𝐵𝐷𝐴 ma miarę 40°, a kąt 𝐷𝐵𝐶 ma miarę 65°\n(zobacz rysunek).","answer":"D","answer_text":"Zadanie 16. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n6.1) wykorzystuje definicje i wyznacza\nwartości funkcji sinus, cosinus […] kątów\no miarach od 0° do 180°.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (0-1)\nMiara kąta ostrego 𝐵𝑆𝐴 jest równa\nA. 20°\nB. 40°\nC. 50°\nD. 80°","answer":"D","answer_text":"Zadanie 17. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\nZdający:\n7.1) stosuje zależności między kątem\nśrodkowym i kątem wpisanym.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (0-1)\nDługość łuku 𝐵𝐶, na którym jest oparty kąt wpisany 𝐶𝐷𝐵, jest równa\nA. 8𝜋\nB. 10𝜋\nC. 13𝜋\nD. 20𝜋\n𝐷\n40°\n𝐴\n𝑆\n𝐵\n𝐶\n65°\n36\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nInformacja do zadań 19.-20.\nDany jest trapez 𝐴𝐵𝐶𝐷 o podstawach 𝐴𝐵 i 𝐶𝐷 takich, że |𝐴𝐵| = 2 ⋅|𝐶𝐷|.\nPrzekątne 𝐴𝐶 i 𝐵𝐷 przecinają się w punkcie 𝐸 (zobacz rysunek).\nPole trójkąta 𝐶𝐷𝐸 jest równe 2, a pole trójkąta 𝐵𝐶𝐸 jest równe 4.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 18. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\nZdający:\nG10.5) oblicza długość […] łuku okręgu.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (0-1)\nPole trójkąta 𝐴𝐸𝐷 jest równe\nA. 2\nB. 3\nC. 4\nD. 8","answer":"C","answer_text":"Zadanie 19. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\nZdający:\nG10.8) korzysta z własności […]\nprzekątnych […] w trapezach;\nG10.9) oblicza pola […] trójkątów […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":16,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (0-1)\nPole trójkąta 𝐴𝐵𝐸 jest równe\nA. 4\nB. 6\nC. 8\nD. 10\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100","answer":"C","answer_text":"Zadanie 20. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\nZdający:\n7.3) rozpoznaje trójkąty podobne […].\nG10.12) oblicza stosunek pól wielokątów\npodobnych;\nG10.9) oblicza pola […] trójkątów […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":16,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (0-1)\nDany jest trójkąt 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐴𝐵| = 6, |𝐴𝐶| = 4 oraz |∡𝐶𝐴𝐵| = 60° (zobacz\nrysunek).\nPole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest równe\nA. 6\nB. 6√3\nC. 12\nD. 12√3","answer":"B","answer_text":"Zadanie 21. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n7.4) korzysta z własności funkcji\ntrygonometrycznych w łatwych obliczeniach\ngeometrycznych, w tym ze wzoru na pole\ntrójkąta ostrokątnego o danych dwóch\nbokach i kącie między nimi.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":18,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (0-1)\nW układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) proste 𝑘 oraz 𝑙 są określone równaniami\n𝑘: 𝑦= (3 -𝑚)𝑥+ 5\n𝑙: 𝑦= (𝑚+ 3)𝑥-4\nProste 𝑘 oraz 𝑙 są równoległe, gdy liczba 𝑚 jest równa\nA. (-3)\nB. 0\nC. √10\nD. 3\n𝐴\n60°\n𝐵\n𝐶\n4\n6\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100","answer":"B","answer_text":"Zadanie 22. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n8.2) bada równoległość […] prostych na\npodstawie ich równań kierunkowych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":18,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (0-1)\nKażda ściana boczna ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest trójkątem równobocznym\no boku długości 8.\nWysokość tego ostrosłupa jest równa\nA. 4\nB. 4√2\nC. 4√3\nD. 6","answer":"B","answer_text":"Zadanie 23. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\nG11.2) oblicza […] objętość […] ostrosłupa.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":20,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (0-1)\nObjętość walca o promieniu podstawy 2 jest równa 16𝜋2.\nWysokość tego walca jest równa\nA. 2\nB. 4\nC. 2𝜋\nD. 4𝜋","answer":"D","answer_text":"Zadanie 24. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\nG11.2) oblicza […] objętość […]\nwalca […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":20,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (0-1)\nWszystkich trzycyfrowych liczb naturalnych większych od 500, w których zapisie\ndziesiętnym występują tylko cyfry nieparzyste, jest\nA. 13\nB. 50\nC. 75\nD. 107\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100","answer":"C","answer_text":"Zadanie 25. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n10.2) zlicza obiekty w prostych sytuacjach\nkombinatorycznych, niewymagających\nużycia wzorów kombinatorycznych, stosuje\nregułę mnożenia i regułę dodawania.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZADANIA OTWARTE\nUwagi ogólne:\n1. Akceptowane są wszystkie rozwiązania merytorycznie poprawne i spełniające warunki\nzadania.\n2. Jeżeli zdający poprawnie rozwiąże zadanie i otrzyma poprawny wynik, lecz w końcowym\nzapisie przekształca ten wynik i popełnia przy tym błąd, to może uzyskać maksymalną\nliczbę punktów.\n3. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe, które na żadnym etapie rozwiązania nie\nupraszczają i nie zmieniają danego zagadnienia, lecz stosuje poprawną metodę\ni konsekwentnie do popełnionych błędów rachunkowych rozwiązuje zadanie, to może\notrzymać co najwyżej (𝑛-1) punktów (gdzie 𝑛 jest maksymalną możliwą do uzyskania\nliczbą punktów za dane zadanie).","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"26","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-2)\nRozwiąż nierówność\n-3𝑥2 > 6𝑥-9\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 26. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n3.5) rozwiązuje nierówności kwadratowe\nz jedną niewiadomą.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i zapisanie zbioru rozwiązań nierówności:\n𝑥∈(-3, 1)\nALBO\n- zastosowanie poprawnej metody i przedstawienie zbioru rozwiązań nierówności\nw postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziału, np.\n1 pkt - obliczenie/zapisanie pierwiastków trójmianu kwadratowego -3𝑥2 -6𝑥+ 9:\n𝑥1 = -3 oraz 𝑥2 = 1 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający, obliczając pierwiastki trójmianu -3𝑥2 -6𝑥+ 9, popełni błędy (ale\notrzyma dwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do popełnionych błędów zapisze zbiór\nrozwiązań nierówności, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego, w przypadku gdy błędnie\nobliczony przez zdającego wyróżnik Δ jest ujemny, to otrzymuje 0 punktów za całe\nrozwiązanie.\n-3\n1\n𝑥\n3. Jeżeli zdający rozpatruje inny niż podany w zadaniu trójmian kwadratowy, który nie wynika\nz błędu przekształcenia (np. -3𝑥2 -6𝑥), i w konsekwencji rozpatruje inną nierówność\n(np. -3𝑥2 -6𝑥> 0), to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n4. Jeżeli zdający poda zbiór rozwiązań w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi\nkońcami przedziału i jednocześnie zapisze niewłaściwy przedział jako zbiór rozwiązań\n(np. 𝑥∈[-3, 1]), to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\nKryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nJeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności\nw postaci (1, -3), to otrzymuje 2 punkty.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzekształcamy nierówność:\n-3𝑥2 > 6𝑥-9\n-3𝑥2 -6𝑥+ 9 > 0 /: (-3)\n𝑥2 + 2𝑥-3 < 0\nObliczamy miejsca zerowe funkcji 𝑦= 𝑥2 + 2𝑥-3.\nObliczamy wyróżnik trójmianu 𝑥2 + 2𝑥-3:\nΔ = 22 -4 ⋅1 ⋅(-3) = 16\nStąd:\n𝑥1 = -2 -√16\n2 ⋅1\n= -3 oraz 𝑥2 = -2 + √16\n2 ⋅1\n= 1\nSzkicujemy wykres funkcji 𝑦= 𝑥2 + 2𝑥-3.\nOdczytujemy argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne.\nZbiorem rozwiązań nierówności jest przedział (-3, 1).\n-3\n1\n𝑥\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (0-2)\nWykaż, że liczba 850 -2145 jest podzielna przez 31.\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 27. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\nZdający:\n1.5) wykorzystuje podstawowe własności\npotęg […];\n1.4) […] stosuje prawa działań na potęgach\no wykładnikach wymiernych.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.\n1 pkt - przekształcenie wyrażenia 850 -2145 do postaci 2150 -2145.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nKorzystamy z własności działań na potęgach i otrzymujemy:\n850 -2145 = (23)50 -2145 = 2150 -2145\nWyłączamy wspólny czynnik przed nawias:\n2150 -2145 = 2145 ⋅(25 -1) = 2145 ⋅31\nLiczba 2145 jest liczbą całkowitą, zatem liczba 850 -2145 jest podzielna przez 31.","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":23,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"28","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (0-2)\nRozwiąż równanie\n3\n3𝑥-7 =\n5𝑥\n𝑥-8 , gdzie 𝑥≠7\n3 i 𝑥≠8.\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 28. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n3.8) rozwiązuje proste równania wymierne,\nprowadzące do równań liniowych lub\nkwadratowych […].\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i uzyskanie poprawnych rozwiązań równania:\n𝑥= 6\n5 oraz 𝑥= 4\n3\n1 pkt - przekształcenie równania\n3\n3𝑥 - 7 =\n5𝑥\n𝑥 - 8 do równania kwadratowego, np.\n3(𝑥-8) = 5𝑥(3𝑥-7).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe przy przekształcaniu równania, otrzyma\nrównanie kwadratowe, które ma dwa rozwiązania i konsekwentnie je rozwiąże do końca,\nto może otrzymać 1 punkt za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający, przekształcając równanie wymierne do równania kwadratowego, zastosuje\nbłędną metodę i zapisze np. 15𝑥= (3𝑥-7)(𝑥-8), to otrzymuje 0 punktów za całe\nrozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający poprawnie przekształci równanie do równania kwadratowego, uzyska\npoprawne wartości pierwiastków, lecz traktuje równanie jako nierówność (rysuje parabolę\ni podaje przedziały jako rozwiązanie), to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\nPodobnie, jeżeli zdający poprawnie przekształci równanie do równania kwadratowego,\nuzyska poprawne wartości pierwiastków, lecz poda odpowiedź w postaci przedziału/sumy\nprzedziałów, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzekształcamy równanie:\n3\n3𝑥-7 =\n5𝑥\n𝑥-8\n3(𝑥-8) = 5𝑥(3𝑥-7)\nRozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe:\n3𝑥-24 = 15𝑥2 -35𝑥\n15𝑥2 -38𝑥+ 24 = 0\nObliczamy wyróżnik Δ trójmianu kwadratowego 15𝑥2 -38𝑥+ 24:\nΔ = (-38)2 -4 ⋅15 ⋅24 = 1444 -1440 = 4\nStąd\n𝑥1 = -(-38) -√4\n2 ⋅15\n= 6\n5\n𝑥2 = -(-38) + √4\n2 ⋅15\n= 4\n3\nOtrzymane pierwiastki są różne od liczby 7\n3 i różne od liczby 8, więc są rozwiązaniami\ndanego równania.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":24,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (0-2)\nWłaściciel restauracji kupił 75 kilogramów pomidorów: 𝑥 kg pomidorów malinowych\nw cenie 11 złotych za kilogram oraz 𝑦 kg pomidorów cherry w cenie 7,98 złotych za\nkilogram. Za pomidory zapłacił łącznie 752,52 złotych.\nOblicz, ile kilogramów pomidorów malinowych kupił właściciel restauracji.\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 29. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\nG7.7) za pomocą równań lub układów\nrównań opisuje i rozwiązuje zadania\nosadzone w kontekście praktycznym.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 51 kg.\n1 pkt - zapisanie układu dwóch równań z dwiema niewiadomymi pozwalającego obliczyć 𝑥\noraz 𝑦, np.\n𝑥+ 𝑦= 75 oraz 11𝑥+ 7,98𝑦= 752,52\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą pozwalającego obliczyć 𝑥, np.\n11𝑥+ 7,98 ⋅(75 -𝑥) = 752,52,\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą pozwalającego obliczyć 𝑦, np.\n11 ⋅(75 -𝑦) + 7,98𝑦= 752,52,\nALBO\n- zapisanie różnicy 752,52 -75 ⋅7,98 oraz zapisanie różnicy 11 -7,98,\nALBO\n- zapisanie różnicy 75 ⋅11 -752,52 oraz zapisanie różnicy 11 -7,98.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający sprawdza warunki zadania dla wybranych par liczb 𝑥 oraz 𝑦 i wskaże\nwłaściwą odpowiedź, ale nie uzasadni, że jest to jedyne rozwiązanie zadania, to otrzymuje\n1 punkt za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający w rozwiązaniu używa wartości przybliżonych i otrzymuje wynik różny od 51,\nto może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPo uwzględnieniu warunków zadania otrzymujemy:\n𝑥+ 𝑦= 75 oraz 11𝑥+ 7,98𝑦= 752,52\nZ pierwszego z tych równań wyznaczamy 𝑦= 75 -𝑥 i podstawiamy w miejsce 𝑦 do\ndrugiego z równań, w wyniku czego otrzymujemy:\n11𝑥+ 7,98 ⋅(75 -𝑥) = 752,52\n11𝑥+ 598,5 -7,98𝑥= 752,52\n3,02𝑥= 154,02\n𝑥= 51\nWłaściciel restauracji kupił 51 kilogramów pomidorów malinowych.\nSposób II\nGdyby właściciel restauracji kupił tylko pomidory cherry, to zapłaciłby za nie\n75 ⋅7,98 = 598,50 złotych, a więc o 752,52 -598,50 = 154,02 złotych mniej niż zapłacił\nw rzeczywistości.\nJeden kilogram pomidorów malinowych kosztuje o 11 -7,98 = 3,02 złotych więcej niż\njeden kilogram pomidorów cherry.\nZatem właściciel restauracji kupił 154,02 ∶3,02 = 51 kilogramów pomidorów malinowych.","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":25,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (0-2)\nW stacji diagnostycznej odnotowywano liczby usterek wykrytych podczas przeglądów\ntechnicznych pięcioletnich samochodów w lipcu 2025 roku.\nWszystkie odnotowane wyniki przedstawiono na poniższym diagramie.\nNa osi poziomej podano liczbę usterek, które zostały wykryte podczas przeglądów,\na na osi pionowej podano liczbę samochodów, w których wykryto daną liczbę usterek.\nOblicz średnią arytmetyczną oraz medianę liczby usterek wykrytych na tej stacji podczas\ntych przeglądów.\n0\n2\n4\n6\n8\n10\n12\n14\n16\n18\n1\n2\n3\n4\n5\nliczba\nsamochodów\nliczba usterek\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\nZdający:\nG9.4) wyznacza średnią arytmetyczną\ni medianę zestawu danych.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawne wyniki: 𝑥= 1,875 oraz 𝑀𝑒= 1,5.\n1 pkt - obliczenie średniej arytmetycznej liczby usterek: 𝑥= 1,875,\nALBO\n- obliczenie mediany liczby usterek: 𝑀𝑒= 1,5.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nObliczamy średnią arytmetyczną liczby usterek:\n𝑥= 16 ⋅1 + 10 ⋅2 + 2 ⋅3 + 2 ⋅4 + 2 ⋅5\n16 + 10 + 2 + 2 + 2\n= 60\n32 = 1,875\nMedianą uporządkowanego niemalejąco ciągu 32 liczb jest średnia arytmetyczna dwóch\nśrodkowych wyrazów tego ciągu (tzn. średnia arytmetyczna wyrazów szesnastego\ni siedemnastego). Zatem\n𝑀𝑒= 1 + 2\n2\n= 1,5\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":26,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (0-2)\nDoświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry,\nktóra na każdej ściance ma inną liczbę oczek - od jednego oczka do sześciu oczek.\nZapisujemy kolejno liczby wyrzuconych oczek i w ten sposób otrzymujemy liczbę\ndwucyfrową, przy czym pierwsza wyrzucona liczba oczek jest cyfrą dziesiątek, a druga -\ncyfrą jedności tej liczby dwucyfrowej.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 polegającego na tym, że otrzymana w ten sposób\nliczba dwucyfrowa będzie nieparzysta i podzielna przez 3.\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 31. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n10.3) oblicza prawdopodobieństwa\nw prostych sytuacjach, stosując klasyczną\ndefinicję prawdopodobieństwa.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐴\ni uzyskanie poprawnego wyniku: 𝑃(𝐴) = 6\n36\n1 pkt - wypisanie wszystkich zdarzeń elementarnych LUB obliczenie/podanie liczby tych\nzdarzeń: |Ω| = 6 ⋅6, LUB sporządzenie tabeli o 36 polach odpowiadających\nzdarzeniom elementarnym, LUB sporządzenie pełnego drzewa stochastycznego\nALBO\n- wypisanie (lub zaznaczenie w tabeli) wszystkich zdarzeń elementarnych\nsprzyjających zdarzeniu 𝐴 i niewypisanie żadnego niewłaściwego,\nALBO\n- podanie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴:\n|𝐴| = 6, o ile nie zostały zliczone błędne pary,\nALBO\n- sporządzenie fragmentu drzewa stochastycznego, który zawiera wszystkie gałęzie\nsprzyjające zdarzeniu 𝐴, oraz zapisanie prawdopodobieństwa na co najmniej\njednym odcinku każdego z etapów doświadczenia,\nALBO\n- podanie prawdopodobieństwa jednoelementowego zdarzenia (elementarnego): 1\n36\n,\nALBO\n- zapisanie tylko 𝑃(𝐴) = 1\n6\n,\nALBO\n- zapisanie tylko 𝑃(𝐴) = 6\n36\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający zapisuje tylko liczby 1 i 6 (lub 6 i 36) i z rozwiązania nie wynika znaczenie\ntych liczb, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑥, 𝑦), gdzie\n𝑥, 𝑦∈{1, 2, 3, 4, 5, 6}.\nW tabeli literą 𝒜 zaznaczamy zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu 𝐴.\nII rzut\nI rzut\n𝟏\n𝟐\n𝟑\n𝟒\n𝟓\n𝟔\n𝟏\n𝒜\n𝟐\n𝒜\n𝟑\n𝒜\n𝟒\n𝒜\n𝟓\n𝒜\n𝟔\n𝒜\nMoc zbioru Ω jest równa 36. Zdarzeń sprzyjających zdarzeniu 𝐴 jest 6.\nZatem prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe 6\n36 = 1\n6","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":27,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"32","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (0-4)\nCiąg (𝑎𝑛) jest określony wzorem 𝑎𝑛= 32 ⋅ (-1)𝑛\n2𝑛-1\ndla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.\nTrzywyrazowy ciąg (𝑥 , 𝑎6\n, 2𝑥+ 10), gdzie 𝑥 jest liczbą rzeczywistą, jest arytmetyczny.\nOblicz 𝑥 oraz różnicę tego ciągu arytmetycznego.\n\nEMAP-P0_100\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 32. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n5.1) wyznacza wyrazy ciągu określonego\nwzorem ogólnym;\n5.3) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz […] ciągu\narytmetycznego.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawne wyniki: 𝑥= -8\n3 oraz 𝑟= 11\n3 .\n3 pkt - obliczenie wartości 𝑥, dla której ciąg (𝑥 , 1 , 2𝑥+ 10) jest arytmetyczny: 𝑥= -8\n3 ,\nALBO\n- obliczenie wartości 𝑟, dla której ciąg (𝑥 , 1 , 2𝑥+ 10) jest arytmetyczny: 𝑟= 11\n3 .\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n2 pkt - obliczenie szóstego wyrazu ciągu (𝑎𝑛): 𝑎6 = 1 oraz zapisanie równania z dwiema\nniewiadomymi 𝑥 oraz 𝑎6, np.:\n𝑥+ 2𝑥+ 10\n2\n= 𝑎6 ,\n2𝑥+ 10 -𝑎6 = 𝑎6 -𝑥 ,\nALBO\n- obliczenie szóstego wyrazu ciągu (𝑎𝑛): 𝑎6 = 1 oraz zapisanie układu dwóch\nniezależnych równań z niewiadomymi 𝑥, 𝑟 oraz 𝑎6 , np.\n𝑥+ 𝑟= 𝑎6 oraz 𝑥+ 2𝑟= 2𝑥+ 10.\n1 pkt - obliczenie szóstego wyrazu ciągu (𝑎𝑛): 𝑎6 = 1,\nALBO\n- zapisanie równania z dwiema niewiadomymi 𝑥 oraz 𝑎6 , np.:\n𝑥+ 2𝑥+ 10\n2\n= 𝑎6 ,\n2𝑥+ 10 -𝑎6 = 𝑎6 -𝑥 ,\nALBO\n- zapisanie układu dwóch niezależnych równań z niewiadomymi 𝑥, 𝑟 oraz 𝑎6 , np.\n𝑥+ 𝑟= 𝑎6 oraz 𝑥+ 2𝑟= 2𝑥+ 10.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nObliczamy szósty wyraz ciągu (𝑎𝑛):\n𝑎6 = 32 ⋅(-1)6\n26-1\n= 1\nZ warunków zadania wynika, że liczby 𝑥, 1, 2𝑥+ 10 są kolejnymi wyrazami ciągu\narytmetycznego. Z własności ciągu arytmetycznego otrzymujemy:\n𝑥+ 2𝑥+ 10\n2\n= 1\n3𝑥+ 10 = 2\n𝑥= -8\n3\nRóżnica 𝑟 tego ciągu arytmetycznego jest równa\n𝑟= 1 -(-8\n3) = 11\n3\nSposób II\nObliczamy szósty wyraz ciągu (𝑎𝑛):\n𝑎6 = 32 ⋅(-1)6\n26-1\n= 1\nZ warunków zadania wynika, że liczby 𝑥, 1, 2𝑥+ 10 są kolejnymi wyrazami ciągu\narytmetycznego. Z własności ciągu arytmetycznego, otrzymujemy:\n{ 1 = 𝑥+ 𝑟\n2𝑥+ 10 = 1 + 𝑟\ngdzie 𝑟 jest różnicą ciągu arytmetycznego.\nZ pierwszego z tych równań wyznaczamy 𝑥= 1 -𝑟 i podstawiamy w miejsce 𝑥 do\ndrugiego z równań, dzięki czemu otrzymujemy:\n2(1 -𝑟) + 10 = 1 + 𝑟\n12 -2𝑟= 1 + 𝑟\n3𝑟= 11\n𝑟= 11\n3\nWtedy\n𝑥= 1 -11\n3 = -8\n3","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":28,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"33","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (0-4)\nDany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹. Wysokość podstawy 𝐴𝐵𝐶 jest\nrówna 2√3. Przekątna 𝐴𝐸 ściany bocznej 𝐴𝐵𝐸𝐷 tworzy z krawędzią 𝐴𝐵 kąt o mierze 60°\n(zobacz rysunek).\nOblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.\n2ξ3\n60°\n𝐴\n𝐷\n𝐸\n𝐹\n𝐶\n𝐵\n\nEMAP-P0_100\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 33. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n9.6) stosuje trygonometrię do obliczeń\ndługości odcinków, miar kątów, pól\npowierzchni i objętości.\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawna metoda obliczenia objętości i pola powierzchni całkowitej graniastosłupa\noraz poprawne wyniki: 𝑉= 48 i 𝑃𝑐= 56√3.\n3 pkt - obliczenie objętości graniastosłupa: 𝑉= 48,\nALBO\n- obliczenie pola powierzchni całkowitej graniastosłupa: 𝑃𝑐= 56√3.\n2 pkt - obliczenie długości krawędzi podstawy: 𝑎= 4 oraz obliczenie wysokości\ngraniastosłupa: 𝐻= 4√3,\nALBO\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n- zapisanie wzoru na objętość graniastosłupa w zależności od jednej zmiennej, np.\n𝑉= 𝑎2 ⋅ √3\n4\n⋅𝑎√3, oraz zapisanie wzoru na pole powierzchni całkowitej\ngraniastosłupa w zależności od jednej zmiennej, np. 𝑃𝑐= 2 ⋅𝑎2 ⋅ √3\n4\n+ 3 ⋅𝑎⋅𝑎√3.\n1 pkt - obliczenie długości krawędzi podstawy: 𝑎= 4,\nALBO\n- zapisanie zależności pomiędzy długością krawędzi podstawy a wysokością\ngraniastosłupa, np.: tg 60° = 𝐻\n𝑎\n, 𝐻= 𝑎√3.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli jedynym błędem zdającego jest:\na) zastosowanie niepoprawnej definicji jednej funkcji trygonometrycznej,\nb) błędne zastosowanie twierdzenia Pitagorasa,\nc) błędne zastosowanie twierdzenia cosinusów,\nd) zastosowanie niepoprawnej tożsamości √𝑥2 + 𝑦2 = 𝑥+ 𝑦,\nlub\ne) błędne zastosowanie własności trójkąta o kątach 30°, 60°, 90°,\ni rozwiązanie zostanie doprowadzone konsekwentnie do końca, to zdający może otrzymać\nco najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za konsekwentne obliczenie objętości i pola\npowierzchni całkowitej graniastosłupa).\nJeżeli zdający popełni więcej niż jeden z wymienionych błędów a)-e), to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.\n2. Jeżeli zdający popełni błąd, który nie jest błędem rachunkowym, ale otrzyma długość\nkrawędzi podstawy większą od 2√3, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe\nrozwiązanie (za konsekwentne obliczenie objętości i pola powierzchni całkowitej\ngraniastosłupa).\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzyjmujemy oznaczenia jak na rysunku:\n𝑎 - długość krawędzi podstawy,\n𝐻 - wysokość graniastosłupa.\nZauważamy, że 𝑎> 0 i 𝐻> 0.\nPodstawą graniastosłupa jest trójkąt równoboczny, stąd:\n2√3 = 𝑎√3\n2\nZatem:\n𝑎= 4\nObliczamy wysokość 𝐻 graniastosłupa:\ntg 60° = 𝐻\n𝑎= 𝐻\n4\nStąd:\n𝐻= 4 ⋅tg 60° = 4√3\nObliczamy objętość 𝑉 graniastosłupa:\n𝑉= 𝑎2 ⋅√3\n4\n⋅𝐻= 42 ⋅√3\n4\n⋅4√3 = 4√3 ⋅4√3 = 48\nObliczamy pole powierzchni całkowitej 𝑃𝑐 graniastosłupa:\n𝑃𝑐= 2 ⋅𝑎2 ⋅√3\n4\n+ 3 ⋅𝑎⋅𝐻= 2 ⋅42 ⋅√3\n4\n+ 3 ⋅4 ⋅4√3 = 8√3 + 48√3 = 56√3\n2ξ3\n60°\n𝐴\n𝐷\n𝐸\n𝐹\n𝐶\n𝐵\n𝑎\n𝐻\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":30,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"34","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2025,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 34. (0-5)\nW układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dane są punkty 𝐴= (-4, 7) oraz 𝐵= (12, 3).\nProsta 𝐴𝐵 przecina oś 𝑂𝑥 w punkcie 𝐶.\nSymetralna odcinka 𝐴𝐵 przecina oś 𝑂𝑥 w punkcie 𝐷.\nOblicz współrzędne punktów 𝐶 i 𝐷 oraz pole trójkąta 𝐴𝐶𝐷.\n\nEMAP-P0_100\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\n\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2015\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2015\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2015","answer":null,"answer_text":"Zadanie 34. (0-5)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n8.1) wyznacza równanie prostej\nprzechodzącej przez dwa dane punkty\n(w postaci kierunkowej lub ogólnej);\n8.3) wyznacza równanie prostej, która jest\n[…] prostopadła do prostej danej w postaci\nkierunkowej i przechodzi przez dany punkt;\n8.4) oblicza współrzędne punktu przecięcia\ndwóch prostych;\n8.6) oblicza odległość dwóch punktów.\nZasady oceniania\n5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawne wyniki: 𝐶= (24, 0) oraz 𝐷= (11\n4 , 0),\noraz 𝑃𝐴𝐶𝐷= 595\n8 .\n4 pkt - obliczenie współrzędnych punktów 𝐶 oraz 𝐷: 𝐶= (24, 0), oraz 𝐷= (11\n4 , 0).\n3 pkt - wyznaczenie współrzędnych punktu 𝐶: 𝐶= (24, 0), oraz spełnienie jednego\nz poniższych warunków:\n1) wyznaczenie równania symetralnej odcinka 𝐴𝐵: 𝑦= 4𝑥-11\n2) zapisanie równania, w którym niewiadomą jest pierwsza współrzędna\npunktu 𝐷, np.\n√(𝑥𝐷+ 4)2 + (0 -7)2 = √(𝑥𝐷-12)2 + (0 -3)2 ,\nALBO\n- obliczenie współrzędnych punktu 𝐷: 𝐷= (11\n4 , 0).\n2 pkt - wyznaczenie współrzędnych punktu 𝐶: 𝐶= (24, 0), oraz spełnienie jednego\nz poniższych warunków:\n1) zapisanie współrzędnych środka 𝑀 odcinka 𝐴𝐵: 𝑀= (4, 5),\n2) wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej 𝐴𝐵: 𝑎𝐴𝐵= -1\n4 (lub\nzapisanie równania prostej 𝐴𝐵 w postaci ogólnej: 𝑥+ 4𝑦-24 = 0),\n3) zapisanie równania z dwiema niewiadomymi (współrzędnymi punktu 𝐷)\nnp. √(𝑥𝐷+ 4)2 + (𝑦𝐷-7)2 = √(𝑥𝐷-12)2 + (𝑦𝐷-3)2 ,\nALBO\n- wyznaczenie równania symetralnej odcinka 𝐴𝐵: 𝑦= 4𝑥-11,\nALBO\n- zapisanie równania, w którym niewiadomą jest pierwsza współrzędna punktu 𝐷, np.\n√(𝑥𝐷+ 4)2 + (0 -7)2 = √(𝑥𝐷-12)2 + (0 -3)2 .\n1 pkt - wyznaczenie współrzędnych punktu 𝐶: 𝐶= (24, 0),\nALBO\n- zapisanie współrzędnych punktów 𝐶 oraz 𝐷 w postaci 𝐶= (𝑥𝐶, 0), oraz\n𝐷= (𝑥𝐷, 0),\nALBO\n- zapisanie współrzędnych środka 𝑀 odcinka 𝐴𝐵: 𝑀= (4, 5),\nALBO\n- obliczenie współczynnika kierunkowego prostej 𝐴𝐵: 𝑎𝐴𝐵= -1\n4 (lub zapisanie\nrównania prostej 𝐴𝐵 w postaci ogólnej: 𝑥+ 4𝑦-24 = 0),\nALBO\n- zapisanie równania z dwiema niewiadomymi (współrzędnymi punktu 𝐷) np.\n√(𝑥𝐷+ 4)2 + (𝑦𝐷-7)2 = √(𝑥𝐷-12)2 + (𝑦𝐷-3)2 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli jedynym błędem zdającego jest:\na) zastosowanie niepoprawnego wzoru na współczynnik kierunkowy prostej,\nb) zastosowanie niepoprawnego związku między współczynnikami kierunkowymi\nprostych prostopadłych,\nc) umiejscowienie punktów 𝐶 oraz 𝐷 na osi 𝑂𝑦 (zamiast na osi 𝑂𝑥),\ni rozwiązanie zostanie doprowadzone konsekwentnie do końca, to zdający może otrzymać\nco najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.\nJeżeli zdający popełni więcej niż jeden z wymienionych błędów a)-c), to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nWyznaczamy równanie prostej 𝐴𝐵:\n(𝑦-7)(12 + 4) -(3 -7)(𝑥+ 4) = 0\n16𝑦-112 + 4𝑥+ 16 = 0\n16𝑦= -4𝑥+ 96\n𝑦= -1\n4 𝑥+ 6\nOznaczmy przez 𝑘 symetralną odcinka 𝐴𝐵. Współczynnik kierunkowy prostej 𝐴𝐵 jest\nrówny (-1\n4), zatem współczynnik kierunkowy symetralnej 𝑘 jest równy 4.\nSymetralna 𝑘 przechodzi przez środek 𝑀 odcinka 𝐴𝐵. Obliczamy współrzędne punktu 𝑀:\n𝑀= (-4 + 12\n2\n, 7 + 3\n2\n) = (4, 5)\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZatem prosta 𝑘 ma równanie postaci:\n𝑦= 4(𝑥-4) + 5\n𝑦= 4𝑥-11\nPunkt 𝐶 jest punktem przecięcia prostej 𝐴𝐵 z osią 𝑂𝑥, więc współrzędne\npunktu 𝐶= (𝑥𝐶, 𝑦𝐶) spełniają równania:\n𝑦𝐶= -1\n4 𝑥𝐶+ 6 oraz 𝑦𝐶= 0\nStąd otrzymujemy 𝐶= (24, 0).\nPunkt 𝐷 jest punktem przecięcia prostej 𝑘 z osią 𝑂𝑥, więc współrzędne\npunktu 𝐷= (𝑥𝐷, 𝑦𝐷) spełniają równania:\n𝑦𝐷= 4𝑥𝐷-11 oraz 𝑦𝐷= 0\nStąd otrzymujemy 𝐷= (11\n4 , 0).\nObliczamy długość podstawy 𝐶𝐷 trójkąta 𝐴𝐶𝐷:\n|𝐶𝐷| = 24 -11\n4 = 85\n4\nWysokością ℎ trójkąta 𝐴𝐶𝐷 opuszczoną na podstawę 𝐶𝐷 jest odcinek, którego długość\njest równa rzędnej punktu 𝐴, zatem ℎ= 7.\nObliczamy pole trójkąta 𝐴𝐶𝐷:\n𝑃𝐴𝐶𝐷= 1\n2 ⋅85\n4 ⋅7 = 595\n8\nSposób II\nPonieważ punkty 𝐶 oraz 𝐷 leżą na osi 𝑂𝑥, więc ich współrzędne są równe 𝐶= (𝑥𝐶, 0)\noraz 𝐷= (𝑥𝐷, 0).\nPunkt 𝐶 leży na prostej 𝐴𝐵. Stąd i ze wzoru na równanie prostej w postaci ogólnej\notrzymujemy:\n(0 -7)(12 + 4) -(3 -7)(𝑥𝐶+ 4) = 0\n-112 + 4𝑥𝐶+ 16 = 0\n4𝑥𝐶= 96\n𝑥𝐶= 24\nZatem 𝐶= (24, 0)\nPonieważ punkt 𝐷 leży na symetralnej odcinka 𝐴𝐵, więc |𝐴𝐷| = |𝐵𝐷|.\nStąd i ze wzoru na odległość między dwoma punktami otrzymujemy równanie\n√(𝑥𝐷+ 4)2 + (0 -7)2 = √(𝑥𝐷-12)2 + (0 -3)2\n(𝑥𝐷+ 4)2 + (0 -7)2 = (𝑥𝐷-12)2 + (0 -3)2\n𝑥𝐷\n2 + 8𝑥𝐷+ 16 + 49 = 𝑥𝐷\n2 -24𝑥𝐷+ 144 + 9\n32𝑥𝐷= 88\n𝑥𝐷= 11\n4\nZatem 𝐷= (11\n4 , 0).\nObliczamy długość podstawy 𝐶𝐷 trójkąta 𝐴𝐶𝐷:\n|𝐶𝐷| = 24 -11\n4 = 85\n4\nWysokością ℎ trójkąta 𝐴𝐶𝐷 opuszczoną na podstawę 𝐶𝐷 jest odcinek, którego długość\njest równa rzędnej punktu 𝐴, zatem ℎ= 7.\nObliczamy pole trójkąta 𝐴𝐶𝐷:\n𝑃𝐴𝐶𝐷= 1\n2 ⋅85\n4 ⋅7 = 595\n8\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nOcena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią\nObowiązują Zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez\nstwierdzonej dyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:\na) ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną\ndyskalkulią (punkty 1.-12.);\nb) dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy\nosób ze stwierdzoną dyskalkulią - egzamin maturalny z matematyki, poziom podstawowy,\ntermin poprawkowy 2025.\nI. Ogólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną\ndyskalkulią\n1. Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek, wynikających z:\nbłędnego przepisania\nprzestawienia cyfr\nzapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie\nprzestawienia położenia przecinka\nprzestawienia położenia znaku liczby.\n2. W przypadku błędów, wynikających ze zmiany znaku liczby, należy w każdym zadaniu\noddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza\numiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania\nbadanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.\n3. We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę rozwiązania,\nczęści lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej 1 punkt, zgodnie\nz kryteriami do poszczególnych zadań.\n4. Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub zapisuje\nnawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne rozumowanie lub\nstosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt za rozwiązanie\nzadania.\n5. W przypadku zadania wymagającego wyznaczenia pierwiastków trójmianu\nkwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę\nwyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania\nwartościach liczbowych.\n6. W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający\nmoże otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności\nkwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.\n7. W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej zdający\nmoże otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji kwadratowej,\nistotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.\n8. W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych\nlub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie\ntakiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania.\n9. W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na\npłaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu\nrozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur\ngeometrycznych lub zapisze zależności, pozwalające rozwiązać zadanie.\n10. W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać\nprzynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających\nrozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje prawidłową metodę\nwyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.\n11. W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli\npodaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia\nrozwiązania.\n12. W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub\ngeometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która\nwyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać\n1 punkt.\nII. Dodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób\nze stwierdzoną dyskalkulią\nZadanie 26.\n1 pkt - zastosowanie poprawnej metody obliczenia pierwiastków trójmianu kwadratowego\n-3𝑥2 -6𝑥+ 9, tzn. zastosowanie wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego\ni obliczenie tych pierwiastków\nALBO\n- konsekwentne (do otrzymanego w wyniku popełnienia błędów o charakterze\ndyskalkulicznym ujemnego wyróżnika) narysowanie paraboli,\nALBO\n- poprawne rozwiązanie nierówności -3𝑥2 -6𝑥> 0 (tzn. stosuje się punkt 6.\nogólnych zasad oceniania),\nALBO\n- konsekwentne (do wyznaczonych przez siebie pierwiastków oraz rozpatrywanego\ntrójmianu i nierówności) wyznaczenie zbioru rozwiązań nierówności.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający, rozwiązując nierówność, pomyli porządek liczb na osi liczbowej i zapisze\nzbiór rozwiązań nierówności w postaci (1, -3), to może otrzymać 2 punkty za całe\nrozwiązanie.\n2. Nie stosuje się uwag 2. i 3. z zasad oceniania arkusza standardowego.\n3. Akceptowane jest zapisanie pierwiastków trójmianu w postaci 𝑎+ 𝑏√𝑐, gdzie 𝑎, 𝑏, 𝑐 są\nliczbami wymiernymi.\nZadanie 27.\n1 pkt - przekształcenie wyrażenia 850 -2145 do postaci (23)50 -2145.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZadanie 28.\nUwaga:\nJeżeli zdający popełnia błąd przy przekształceniu równania\n3\n3𝑥-7 = 5𝑥\n𝑥-8 do postaci\nrównania kwadratowego, lecz dalej stosuje poprawną metodę rozwiązania otrzymanego\nrównania kwadratowego i konsekwentnie oblicza pierwiastki tego równania, to może\notrzymać 1 punkt za całe rozwiązanie.\nZadanie 29.\n1 pkt - zapisanie równania 11𝑥+ 7,98𝑦= 752,52.\nZadanie 30.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 31.\n1 pkt - zapisanie jedynie liczby 36 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich\nzdarzeń elementarnych).\nUwagi:\n1. W ocenie rozwiązania tego zadania (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi ze\nstandardowych zasad oceniania.\n2. Jeżeli zdający poprawnie wypisze/zaznaczy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające\nzdarzeniu 𝐴, lecz popełni błąd w ich zliczeniu (np. |𝐴| = 5) i konsekwentnie zapisze\nwynik (np. 5\n36), to otrzymuje 2 punkty.\nZadanie 32.\n2 pkt - obliczenie szóstego wyrazu ciągu (𝑎𝑛): 𝑎6 = 1 oraz zapisanie równania\nz niewiadomymi 𝑥, 𝑟 oraz 𝑎6 , np. 𝑥+ 𝑟= 𝑎6 .\n1 pkt - zapisanie równania z niewiadomymi 𝑥, 𝑟 oraz 𝑎6 , np. 𝑥+ 𝑟= 𝑎6 .\nZadanie 33.\n2 pkt - zapisanie wzoru na objętość graniastosłupa w zależności od jednej zmiennej, np.\n𝑉= 𝑎2 ⋅ √3\n4\n⋅𝑎√3, LUB zapisanie wzoru na pole powierzchni całkowitej\ngraniastosłupa w zależności od jednej zmiennej, np. 𝑃𝑐= 2 ⋅𝑎2 ⋅ √3\n4\n+ 3 ⋅𝑎⋅𝑎√3.\nZadanie 34.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.","solution":null,"image":"img/matematyka-2025-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-34.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":32,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"}]}