{"paper":{"id":"matematyka-2026-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2026,"month":"czerwiec","level":null,"variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2026-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/matematyka-2026-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy.pdf","key_pdf":"matematyka-2026-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy-odpowiedzi/matematyka-2026-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy-odpowiedzi.pdf","question_count":20,"source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · czerwiec 2026","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},"questions":[{"id":"matematyka-2026-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/1","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2026,"month":"czerwiec","level":null,"text":"Zadanie 1. (0-1)\nNa stronie internetowej szkoły zamieszczono diagram słupkowy przedstawiający liczbę\nfinalistów konkursów przedmiotowych z sześciu kolejnych lat.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nŚrednia roczna liczba finalistów w okresie tych sześciu lat była równa\nA. 6,5\nB. 7\nC. 7,8\nD. 8","answer":"A","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nPodstawa programowa1\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Odczytywanie i interpretowanie danych\nprzedstawionych w różnej formie oraz ich\nprzetwarzanie.\nKLASY VII i VIII\nXIII. Odczytywanie danych i elementy\nstatystyki opisowej. Uczeń:\n1) interpretuje dane przedstawione za pomocą\n[…] diagramów słupkowych […];\n3) oblicza średnią arytmetyczną kilku liczb.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"Odczytujemy z diagramu liczby finalistów: 10, 8, 0, 4, 12, 5 .\n\n10+8+0+4+12+5=39\n\nŚrednia z sześciu lat wynosi:\n\n(39)/(6)=6 , 5\n\nOdpowiedź: A. 6,5","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":"Statystyka","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · czerwiec 2026","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/2","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2026,"month":"czerwiec","level":null,"text":"Zadanie 2. (0-1)\nKwotę 1 800 złotych przeznaczoną na nagrody w pewnym konkursie podzielono na trzy\nczęści w stosunku 6 : 3 : 1, odpowiednio: za I, za II i za III miejsce.\nUzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz\nodpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.\nWartość nagrody za III miejsce jest równa .\nA. 180 złotych\nB. 200 złotych\nWartość nagrody za I miejsce jest razy większa od wartości nagrody za II miejsce.\nC. 3\nD. 2","answer":"A","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\n1. Wykonywanie nieskomplikowanych\nobliczeń w pamięci lub pisemnie oraz\nwykorzystanie tych umiejętności\nw sytuacjach praktycznych.\nKLASY VII i VIII\nVII. Proporcjonalność prosta. Uczeń:\n3) stosuje podział proporcjonalny.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna lub niepełna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nAD\n1 Rozporządzenie Ministra Edukacji z dnia 28 czerwca 2024 r. zmieniające rozporządzenie w sprawie podstawy\nprogramowej wychowania przedszkolnego oraz podstawy programowej kształcenia ogólnego dla szkoły\npodstawowej, w tym dla uczniów z niepełnosprawnością intelektualną w stopniu umiarkowanym lub znacznym,\nkształcenia ogólnego dla branżowej szkoły I stopnia, kształcenia ogólnego dla szkoły specjalnej przysposabiającej\ndo pracy oraz kształcenia ogólnego dla szkoły policealnej (Dz.U. 2024, poz. 996).\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Suma części stosunku wynosi:\n\n6+3+1=10\n\nJedna część nagrody ma wartość:\n\n1800:10=180 zł\n\nNagroda za III miejsce to jedna część, czyli 180 zł. Nagroda za I miejsce jest dwa razy większa od nagrody za II miejsce, ponieważ 6:3=2 .\n\nOdpowiedź: A oraz D","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":"Proporcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · czerwiec 2026","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/3","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2026,"month":"czerwiec","level":null,"text":"Zadanie 3. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nRozwiązaniem równania 3(𝑥+ 2) = 6 -(𝑥-1) jest liczba\nA. -3\n2\nB. -1\nC. 1\n4\nD. 1\n2\nPRZENIEŚ ROZWIĄZANIA ZADAŃ NA KARTĘ ODPOWIEDZI!\n0\n5\n10\n15\n2018\n2019\n2020\n2021\n2022\n2023\nLiczba finalistów\nRok\nA\nB\nC\nD\nOMAP-100-2606\nBrudnopis (nie podlega ocenie)\nOMAP-100-2606","answer":"C","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Używanie prostych, dobrze znanych\nobiektów matematycznych,\ninterpretowanie pojęć matematycznych\ni operowanie obiektami matematycznymi.\nKLASY VII i VIII\nVI. Równania z jedną niewiadomą. Uczeń:\n2) rozwiązuje równania pierwszego stopnia\nz jedną niewiadomą metodą równań\nrównoważnych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"3(x+2)=6-(x-1)\n\n3x+6=7-x\n\n4x=1\n\nx=(1)/(4)\n\nOdpowiedź: C. (1)/(4)","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":"Równania","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · czerwiec 2026","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/4","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2026,"month":"czerwiec","level":null,"text":"Zadanie 4. (0-1)\nW tabeli zapisano cztery wyrażenia arytmetyczne:\nI\n224 ∶2\nII\n412 ⋅4\nIII\n225 ∶8\nIV\n(4 ⋅8)4\nKtóre z tych wyrażeń ma największą wartość? Wybierz właściwą odpowiedź spośród\npodanych.\nA. I\nB. II\nC. III\nD. IV","answer":"B","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Używanie prostych, dobrze znanych\nobiektów matematycznych,\ninterpretowanie pojęć matematycznych\ni operowanie obiektami matematycznymi.\nKLASY VII i VIII\nI. Potęgi o podstawach wymiernych. Uczeń:\n2) mnoży i dzieli potęgi o wykładnikach\ncałkowitych dodatnich;\n4) podnosi potęgę do potęgi.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki - termin dodatkowy 2026 r.","solution":"Obliczamy wartość każdego wyrażenia:\n\nI: 2^24:2=2^24:2^1=2^23\n\nII: 4^12·4=4^13=(2^2)^13=2^26\n\nIII: 2^25:8=2^25:2^3=2^22\n\nIV: (4·8)^4=32^4=(2^5)^4=2^20\n\nPorównujemy otrzymane potęgi:\n\n2^26>2^23>2^22>2^20\n\nOdpowiedź: B. II","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":"Potęgi","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · czerwiec 2026","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/5","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2026,"month":"czerwiec","level":null,"text":"Zadanie 5. (0-1)\nW pewnej liczbie czterocyfrowej suma cyfr jest równa 3.\nIle jest liczb czterocyfrowych spełniających ten warunek? Wybierz właściwą\nodpowiedź spośród podanych.\nA. 3\nB. 6\nC. 9\nD. 10","answer":"D","answer_text":"Zadanie 5. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n3. Stosowanie strategii wynikającej\nz treści zadania, tworzenie strategii\nrozwiązania problemu, również\nw rozwiązaniach wieloetapowych oraz\nw takich, które wymagają umiejętności\nłączenia wiedzy z różnych działów\nmatematyki.\nKLASY IV-VI\nI. Liczby naturalne w dziesiątkowym układzie\npozycyjnym. Uczeń:\n1) zapisuje […] liczby naturalne wielocyfrowe.\nKLASY VII i VIII\nXII. Wprowadzenie do kombinatoryki\ni rachunku prawdopodobieństwa. Uczeń:\n1) wyznacza zbiory obiektów, analizuje\ni oblicza, ile jest obiektów mających daną\nwłasność, w przypadkach niewymagających\nstosowania reguł mnożenia i dodawania.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"Szukamy wszystkich liczb czterocyfrowych, których suma cyfr jest równa 3 .\n\nCyfra tysięcy nie może być zerem. Rozpatrujemy wszystkie możliwe przypadki.\n\nPrzypadek 1. Jedna cyfra jest równa 3 , a pozostałe są zerami.\n\n3000\n\nPrzypadek 2. Cyfra tysięcy jest równa 2 , a jedna z pozostałych cyfr jest równa 1 .\n\n2100, 2010, 2001\n\nPrzypadek 3. Cyfra tysięcy jest równa 1 , a jedna z pozostałych cyfr jest równa 2 .\n\n1200, 1020, 1002\n\nPrzypadek 4. Cyfra tysięcy jest równa 1 , a dwie z pozostałych cyfr są równe 1 .\n\n1110, 1101, 1011\n\nŁącznie otrzymujemy:\n\n1+3+3+3=10\n\nOdpowiedź: D. 10","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":"Prawdopodobieństwo i kombinatoryka","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · czerwiec 2026","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/6","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2026,"month":"czerwiec","level":null,"text":"Zadanie 6. (0-1)\nDane jest wyrażenie arytmetyczne\n√100 -√36\n√-8\n3\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWartość podanego wyrażenia jest równa\nA. 4\nB. 2\nC. -2\nD. -4","answer":"C","answer_text":"Zadanie 6. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\n1. Wykonywanie nieskomplikowanych\nobliczeń w pamięci lub pisemnie oraz\nwykorzystanie tych umiejętności\nw sytuacjach praktycznych.\nKLASY VII i VIII\nII. Pierwiastki. Uczeń:\n1) oblicza wartości pierwiastków\nkwadratowych i sześciennych z liczb, które są\nodpowiednio kwadratami lub sześcianami liczb\nwymiernych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"frac √(100)-√(36) √[3](-8)\n=(10-6)/(-2)\n=(4)/(-2)\n=-2\n\nOdpowiedź: C. -2","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":"Pierwiastki","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · czerwiec 2026","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/7","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2026,"month":"czerwiec","level":null,"text":"Zadanie 7. (0-1)\nTrzy kolejne liczby naturalne można zapisać w postaci: 𝑛, (𝑛+ 1), (𝑛+ 2).\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nSuma każdych trzech kolejnych liczb naturalnych jest liczbą podzielną przez\nA. 2\nB. 3\nC. 5\nD. 6\nPRZENIEŚ ROZWIĄZANIA ZADAŃ NA KARTĘ ODPOWIEDZI!\nOMAP-100-2606\nBrudnopis (nie podlega ocenie)\nOMAP-100-2606","answer":"B","answer_text":"Zadanie 7. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n3. Używanie języka matematycznego do\nopisu rozumowania i uzyskanych\nwyników.\nKLASY IV-VI\nII. Działania na liczbach naturalnych. Uczeń:\n6) rozpoznaje liczby podzielne przez […] 3 […].\nKLASY VII i VIII\nIII. Tworzenie wyrażeń algebraicznych z jedną\ni wieloma zmiennymi. Uczeń:\n1) zapisuje wyniki podanych działań w postaci\nwyrażeń algebraicznych jednej lub kilku\nzmiennych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"Suma trzech kolejnych liczb naturalnych jest równa:\n\nn+(n+1)+(n+2)=3n+3=3(n+1)\n\nJest więc zawsze podzielna przez 3 .\n\nOdpowiedź: B. 3","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":"Wyrażenia algebraiczne","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · czerwiec 2026","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/8","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2026,"month":"czerwiec","level":null,"text":"Zadanie 8. (0-1)\nPoniżej przedstawiono kalendarz na kwiecień w pewnym roku.\nKWIECIEŃ\nPoniedziałek\nWtorek\nŚroda\nCzwartek\nPiątek\nSobota\nNiedziela\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n11\n12\n13\n14\n15\n16\n17\n18\n19\n20\n21\n22\n23\n24\n25\n26\n27\n28\n29\n30\nWybieramy losowo jeden dzień tego miesiąca.\nUzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz\nodpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.\nPrawdopodobieństwo, że wybrany dzień tego miesiąca to wtorek, jest równe .\nA. 1\n5\nB. 1\n6\nPrawdopodobieństwo, że numer wybranego dnia tego miesiąca będzie liczbą podzielną przez\n, jest równe 2\n15\nC. 4\nD. 7","answer":"B","answer_text":"Zadanie 8. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie modelu matematycznego\ndo prostej sytuacji oraz budowanie go\nw różnych kontekstach, także\nw kontekście praktycznym.\nKLASY VII i VIII\nXII. Wprowadzenie do kombinatoryki\ni rachunku prawdopodobieństwa. Uczeń:\n2) przeprowadza proste doświadczenia\nlosowe […], analizuje je i oblicza\nprawdopodobieństwa zdarzeń\nw doświadczeniach losowych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna lub niepełna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nBD\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki - termin dodatkowy 2026 r.","solution":"Kwiecień ma 30 dni.\n\nWtorki wypadają w dniach:\n\n2, 9, 16, 23, 30\n\nJest więc 5 wtorków.\n\nP(wtorek)=(5)/(30)=(1)/(6)\n\nLiczby od 1 do 30 podzielne przez 7 to:\n\n7, 14, 21, 28\n\nSą 4 takie liczby.\n\nP(liczba podzielna przez 7)=(4)/(30)=(2)/(15)\n\nOdpowiedź: B oraz D","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":"Prawdopodobieństwo i kombinatoryka","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · czerwiec 2026","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/9","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2026,"month":"czerwiec","level":null,"text":"Zadanie 9. (0-1)\nDane są cztery wyrażenia arytmetyczne:\nI. 1 -2 2\n3 ⋅3 II. 3,4 -2 1\n4 III. 33\n4 -4,25 IV. 6 : 1,2\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczbami całkowitymi są wartości wyrażeń\nA. I oraz II\nB. II oraz III\nC. I oraz IV\nD. III oraz IV\nPRZENIEŚ ROZWIĄZANIA ZADAŃ NA KARTĘ ODPOWIEDZI!\nA\nB\nC\nD\nOMAP-100-2606\nBrudnopis (nie podlega ocenie)\nOMAP-100-2606","answer":"C","answer_text":"Zadanie 9. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\n1. Wykonywanie nieskomplikowanych\nobliczeń w pamięci lub pisemnie oraz\nwykorzystanie tych umiejętności\nw sytuacjach praktycznych.\nKLASY IV-VI\nV. Działania na ułamkach zwykłych\ni dziesiętnych. Uczeń:\n7) oblicza wartości wyrażeń arytmetycznych,\nwymagających stosowania działań\narytmetycznych na liczbach całkowitych lub na\nliczbach zapisanych za pomocą ułamków\nzwykłych, liczb mieszanych i ułamków\ndziesiętnych, także wymiernych ujemnych,\nz uwzględnieniem reguł dotyczących\nkolejności wykonywania działań […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"Obliczamy wartość każdego wyrażenia.\n\nWyrażenie I:\n\n1-2(2)/(3)·3\n=1-(8)/(3)·3\n=1-8\n=-7\n\nWyrażenie II:\n\n3 , 4-2(1)/(4)\n=3 , 4-2 , 25\n=1 , 15\n\nWyrażenie III:\n\n3(3)/(4)-4 , 25\n=3 , 75-4 , 25\n=-0 , 5\n\nWyrażenie IV:\n\n6:1 , 2=5\n\nLiczbami całkowitymi są wartości wyrażeń I oraz IV.\n\nOdpowiedź: C. I oraz IV","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":"Działania na liczbach","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · czerwiec 2026","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/10","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2026,"month":"czerwiec","level":null,"text":"Zadanie 10. (0-1)\nAla wyruszyła na wycieczkę rowerową o godzinie 11 : 40. Przejechała trasę o długości 28 km\ni dotarła do celu tego samego dnia o godzinie 13 : 00.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nPrędkość, z jaką Ala na rowerze pokonała trasę wycieczki, była równa\nA. 10,5 km\nh\nB. 12 km\nh\nC. 16,8 km\nh\nD. 21 km\nh","answer":"D","answer_text":"Zadanie 10. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\n1. Wykonywanie nieskomplikowanych\nobliczeń w pamięci lub pisemnie oraz\nwykorzystanie tych umiejętności\nw sytuacjach praktycznych.\nKLASY IV-VI\nXII. Obliczenia praktyczne. Uczeń:\n9) w sytuacji praktycznej oblicza: […]\nprędkość przy danej drodze i czasie […] oraz\nstosuje jednostki prędkości km/h i m/s.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Od 11:40 do 13:00 upłynęło 1 godzina 20 minut:\n\n1 h 20 min=(4)/(3) h\n\nv=(s)/(t)=(28)/(4/3)=28·(3)/(4)=21 km/h\n\nOdpowiedź: D. 21 km/h","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":"Droga, prędkość, czas","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · czerwiec 2026","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/11","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy","number":"11","points":1,"ptype":"true_false","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2026,"month":"czerwiec","level":null,"text":"Zadanie 11. (0-1)\nW prostokątnym układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dane są odcinki 𝐴𝐵 oraz 𝐶𝐷.\nKońcami tych odcinków są - odpowiednio - punkty:\n𝐴= (0, 0), 𝐵= (0, 4) oraz 𝐶= (-2, 0), 𝐷= (6, 0).\nOceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F -\njeśli jest fałszywe.\nOdcinek 𝐴𝐵 ma taką samą długość jak odcinek 𝐶𝐷.\nP\nF\nOdcinek 𝐴𝐵 jest prostopadły do odcinka 𝐶𝐷.\nP\nF","answer":"F, P","answer_text":"Zadanie 11. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n2. Interpretowanie i tworzenie tekstów\no charakterze matematycznym oraz\ngraficzne przedstawianie danych.\nKLASY VII i VIII\nX. Oś liczbowa. Układ współrzędnych na\npłaszczyźnie. Uczeń:\n5) oblicza długość odcinka, którego końce są\ndanymi punktami kratowymi w układzie\nwspółrzędnych.\nKLASY IV-VI\nVII. Proste i odcinki. Uczeń:\n2) rozpoznaje proste, odcinki prostopadłe\ni równoległe.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna lub niepełna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nFP","solution":"Odcinek AB ma długość 4 , natomiast odcinek CD ma długość:\n\n6-(-2)=8\n\nPierwsze zdanie jest fałszywe. Odcinek AB jest pionowy, a CD poziomy, więc są prostopadłe.\n\nOdpowiedź: F, P","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":"Układ współrzędnych","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · czerwiec 2026","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/12","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2026,"month":"czerwiec","level":null,"text":"Zadanie 12. (0-1)\nBok 𝐴𝐷 równoległoboku 𝐴𝐵𝐶𝐷 ma długość 6, a przekątna 𝐵𝐷 prostopadła do tego boku\nma długość 8 (zobacz rysunek).\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nObwód równoległoboku 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równy\nA. 32\nB. 48\nC. 24\nD. 22\nPRZENIEŚ ROZWIĄZANIA ZADAŃ NA KARTĘ ODPOWIEDZI!\n𝐴\n𝐶\n𝐷\n6\n𝐵\n8\nOMAP-100-2606\nBrudnopis (nie podlega ocenie)\nOMAP-100-2606","answer":"A","answer_text":"Zadanie 12. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Używanie prostych, dobrze znanych\nobiektów matematycznych,\ninterpretowanie pojęć matematycznych\ni operowanie obiektami matematycznymi.\nKLASY VII i VIII\nVIII. Własności figur geometrycznych na\npłaszczyźnie. Uczeń:\n7) zna i stosuje w sytuacjach praktycznych\ntwierdzenie Pitagorasa (bez twierdzenia\nodwrotnego).\nKLASY IV-VI\nXI. Obliczenia w geometrii. Uczeń:\n2) oblicza obwód wielokąta o danych\ndługościach boków.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki - termin dodatkowy 2026 r.","solution":"Trójkąt ADB jest prostokątny. Z twierdzenia Pitagorasa:\n\nAB^2=AD^2+BD^2=6^2+8^2=100\n\nAB=10\n\nObwód równoległoboku:\n\n2(AD+AB)=2(6+10)=32\n\nOdpowiedź: A. 32","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":"Pola i obwody","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · czerwiec 2026","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/13","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy","number":"13","points":1,"ptype":"true_false","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2026,"month":"czerwiec","level":null,"text":"Zadanie 13. (0-1)\nZ ośmiu jednakowych patyczków zbudowano figurę 𝑆 (zobacz rysunek). Ta figura ma dwie\nosie symetrii w płaszczyźnie rysunku.\nOceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F -\njeśli jest fałszywe.\nPo usunięciu z figury 𝑆 patyczków 𝐴𝐹 i 𝐴𝐵, bez przesuwania pozostałych\npatyczków, otrzymamy figurę, która ma jedną oś symetrii.\nP\nF\nPo usunięciu z figury 𝑆 patyczka 𝐹𝐸, bez przesuwania pozostałych\npatyczków, otrzymamy figurę, która nie ma osi symetrii.\nP\nF","answer":"P, F","answer_text":"Zadanie 13. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Odczytywanie i interpretowanie danych\nprzedstawionych w różnej formie oraz ich\nprzetwarzanie.\nKLASY IV-VI\nIX. Wielokąty, koła i okręgi. Uczeń:\n5) zna najważniejsze własności kwadratu […],\nrozpoznaje figury osiowosymetryczne\ni wskazuje osie symetrii figur.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna lub niepełna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nPF","solution":"Po usunięciu patyczków AF i AB pozostaje prostokąt oraz prawy trójkąt. Figura ma jedną poziomą oś symetrii, więc pierwsze zdanie jest prawdziwe.\n\nPo usunięciu patyczka FE pozostała figura nadal ma pionową oś symetrii przechodzącą przez środki odcinków FE i BC . Drugie zdanie jest więc fałszywe.\n\nOdpowiedź: P, F","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":"Planimetria","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · czerwiec 2026","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/14","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2026,"month":"czerwiec","level":null,"text":"Zadanie 14. (0-1)\nNa rysunku przedstawiono siatkę pewnego sześcianu. Obwód tej siatki jest równy 70 cm.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nPole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe\nA. 100 cm2\nB. 120 cm2\nC. 125 cm2\nD. 150 cm2\nPRZENIEŚ ROZWIĄZANIA ZADAŃ NA KARTĘ ODPOWIEDZI!\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n𝐹\nFigura 𝑆\nOMAP-100-2606\nBrudnopis (nie podlega ocenie)\nOMAP-100-2606","answer":"D","answer_text":"Zadanie 14. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Odczytywanie i interpretowanie danych\nprzedstawionych w różnej formie oraz ich\nprzetwarzanie.\nKLASY IV-VI\nX. Bryły. Uczeń:\n3) rozpoznaje siatki graniastosłupów […].\nKLASY VII i VIII\nXI. Geometria przestrzenna. Uczeń:\n2) oblicza […] pola powierzchni\ngraniastosłupów […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZADANIA OTWARTE\nUwagi ogólne\nAkceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne, spełniające warunki\nzadania.\nZa rozwiązanie zadania na danym etapie uczeń może otrzymać punkty tylko wtedy, gdy\nprzedstawia poprawne sposoby rozwiązania na wszystkich wcześniejszych etapach.\nJeżeli na dowolnym etapie rozwiązania zadania uczeń popełnia jeden lub więcej błędów\nrachunkowych (albo błąd przepisania wartości poprawnie zidentyfikowanej danej albo\nwartości z wcześniejszych etapów rozwiązania), ale stosuje poprawne sposoby\nrozwiązania i konsekwentnie doprowadza rozwiązanie zadania do końca, to ocenę\nrozwiązania obniża się o 1 punkt.\nJeżeli na pewnym etapie rozwiązania zadania uczeń podaje kilka sprzecznych rozwiązań\ni nie wskazuje, które z nich należy uznać za poprawne, to może uzyskać punkty tylko za\nwcześniejsze poprawne etapy rozwiązania.\nJeżeli na pewnym etapie rozwiązania zadania uczeń podaje kilka sprzecznych rozwiązań\ni wskazuje, które z nich należy uznać za poprawne, to zapisów w innych rozwiązaniach\nnie bierze się pod uwagę w ocenianiu.\nJeżeli w zadaniach 15-20 uczeń podaje tylko poprawny końcowy wynik, to otrzymuje\n0 punktów.\nW pracy ucznia uprawnionego do dostosowanych zasad oceniania dopuszcza się:\n1. lustrzane zapisywanie cyfr i liter (np. 6-9)\n2. gubienie liter, cyfr, nawiasów\n3. problemy z zapisywaniem przecinków w liczbach dziesiętnych\n4. błędy w zapisie działań pisemnych (dopuszczalne drobne błędy rachunkowe,\nwynikające np. z graficznego podobieństwa cyfr)\n5. luki w zapisie obliczeń - obliczenia pamięciowe\n6. uproszczony zapis równania i przekształcenie go w pamięci; brak opisu\nniewiadomych\n7. niekończenie wyrazów\n8. problemy z zapisywaniem jednostek (np.℃ - OC)\n9. błędy w przepisywaniu\n10. chaotyczny zapis operacji matematycznych\n11. mylenie indeksów górnych i dolnych (np. 𝑥2 - 𝑥2, 𝑚2 - 𝑚2).\nUczeń uprawniony do korzystania z kalkulatora może otrzymać punkty za rozwiązanie\nzadania na danym etapie tylko wtedy, gdy przedstawi poprawne sposoby rozwiązania.\nJeżeli uczeń uprawniony do korzystania z kalkulatora zapisze poprawny sposób\nrozwiązania zadania, ale w wyniku końcowym zapisze błędną wartość liczbową,\nto traktujemy to jako błąd rachunkowy.\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki - termin dodatkowy 2026 r.","solution":"Siatka składa się z 6 kwadratów. Ma 5 wspólnych krawędzi, więc jej obwód jest równy 14a , gdzie a jest długością krawędzi sześcianu.\n\n14a=70\n\na=5 cm\n\nPole powierzchni całkowitej sześcianu:\n\n6a^2=6·25=150 cm^2\n\nOdpowiedź: D. 150 cm²","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":"Stereometria","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · czerwiec 2026","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/15","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy","number":"15","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2026,"month":"czerwiec","level":null,"text":"Zadanie 15. (0-2)","answer":"(7)/(15)","answer_text":"Zadanie 15. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\n1. Wykonywanie nieskomplikowanych\nobliczeń w pamięci lub pisemnie oraz\nwykorzystanie tych umiejętności\nw sytuacjach praktycznych.\nKLASY IV-VI\nXIV. Zadania tekstowe. Uczeń:\n3) dostrzega zależności między podanymi\ninformacjami.\nV. Działania na ułamkach zwykłych\ni dziesiętnych. Uczeń:\n4) oblicza ułamek danej liczby całkowitej.\nZasady oceniania\n2 punkty - pełne rozwiązanie\npoprawny sposób obliczenia, jaką część liczby wszystkich tulipanów2 stanowi liczba białych\ntulipanów, prawidłowe obliczenia oraz prawidłowy wynik liczbowy\n( 7\n15 lub poprawne rozwinięcie tego ułamka) .\n1 punkt\n• poprawny sposób obliczenia, jaką część liczby wszystkich tulipanów stanowi liczba białych\ntulipanów, zapisanie np.\n1 -1\n5 -1\n3 ,\nLUB\n• poprawny sposób obliczenia liczby białych tulipanów, zapisanie np.\n150 -(150 ⋅1\n5) -(150 ⋅1\n3) ,\nLUB\n• zapisanie poprawnego równania z jedną niewiadomą prowadzącego do obliczenia, jaką\nczęść liczby wszystkich tulipanów stanowi liczba białych tulipanów, np.\n1\n5 + 1\n3 + 𝑥= 1,\nLUB\n• zapisanie poprawnego równania z jedną niewiadomą prowadzącego do obliczenia liczby\nbiałych tulipanów, np.\n150 ⋅1\n5 + 150 ⋅1\n3 + 𝑥= 150.\n0 punktów\nrozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.\n2 Dla arkusza OMAP-C00-2606 - kwiatów.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe rozwiązania ocenione na 2 punkty\nI sposób\nObliczymy, jaką część liczby wszystkich tulipanów stanowi łączna liczba czerwonych i żółtych\ntulipanów:\n1\n5 + 1\n3 = 3 + 5\n15\n= 8\n15\nObliczymy, jaką część liczby wszystkich tulipanów stanowi liczba białych tulipanów:\n1 -8\n15 = 15 -8\n15\n= 7\n15\nOdpowiedź: Liczba białych tulipanów stanowi 7\n15 liczby wszystkich tulipanów na tym\nklombie3.\nII sposób\nObliczymy, ile czerwonych tulipanów rośnie na klombie:\n150 ⋅1\n5 = 30\nObliczymy, ile żółtych tulipanów rośnie na klombie:\n150 ⋅1\n3 = 50\nObliczymy, ile białych tulipanów rośnie na klombie:\n150 -30 -50 = 70\nObliczymy, jaką część liczby wszystkich tulipanów stanowi liczba białych tulipanów:\n70\n150 = 7\n15\nOdpowiedź: Liczba białych tulipanów stanowi 7\n15 liczby wszystkich tulipanów na tym\nklombie.\nIII sposób\nOznaczymy przez 𝑥 liczbę białych tulipanów, zapiszemy i rozwiążemy równanie:\n150 ⋅1\n5 + 150 ⋅1\n3 + 𝑥= 150\n30 + 50 + 𝑥= 150\n𝑥= 150 -80\n𝑥= 70\nObliczymy, jaką część liczby wszystkich tulipanów stanowi liczba białych tulipanów:\n70\n150 = 7\n15\nOdpowiedź: Liczba białych tulipanów stanowi 7\n15 liczby wszystkich tulipanów na tym\nklombie.\n3 Dla arkusza OMAP-C00-2606 - w tym ogródku.\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki - termin dodatkowy 2026 r.","solution":"Czerwone i żółte tulipany stanowią łącznie:\n\n(1)/(5)+(1)/(3)=(3)/(15)+(5)/(15)=(8)/(15)\n\nBiałe tulipany stanowią pozostałą część wszystkich tulipanów:\n\n1-(8)/(15)=(7)/(15)\n\nOdpowiedź: (7)/(15) wszystkich tulipanów.","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":"Zadania tekstowe","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · czerwiec 2026","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/16","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy","number":"16","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2026,"month":"czerwiec","level":null,"text":"Zadanie 16. (0-3)","answer":null,"answer_text":"Zadanie 16. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie modelu matematycznego\ndo prostej sytuacji oraz budowanie go\nw różnych kontekstach, także\nw kontekście praktycznym.\nKLASY VII i VIII\nVI. Równania z jedną niewiadomą. Uczeń:\n4) rozwiązuje zadania tekstowe za pomocą\nrównań pierwszego stopnia z jedną\nniewiadomą […].\nZasady oceniania\n3 punkty - pełne rozwiązanie\n• poprawny sposób obliczenia liczby rzutów, w których Janek trafił4 piłką do kosza,\nprawidłowe obliczenia oraz prawidłowy wynik liczbowy (36)\nLUB\n• zastosowanie metody prób i błędów - sprawdzenie wszystkich warunków zadania dla co\nnajmniej dwóch różnych liczb rzutów celnych lub nietrafionych5, wśród których jest\nprawidłowa liczba rzutów celnych, prawidłowe obliczenia oraz wskazanie spośród nich\nprawidłowego wyniku liczbowego (36).\n2 punkty\n• zapisanie poprawnego równania z jedną niewiadomą prowadzącego do obliczenia liczby\nrzutów celnych, np.\n5𝑥-4\n3 𝑥= 132, gdzie 𝑥 oznacza liczbę rzutów celnych\nLUB\n• zapisanie poprawnego równania z jedną niewiadomą prowadzącego do obliczenia liczby\nrzutów nietrafionych, np.\n5 ⋅3𝑥-4𝑥= 132, gdzie 𝑥 oznacza liczbę rzutów nietrafionych,\nLUB\n• zapisanie poprawnego wyrażenia arytmetycznego prowadzącego do obliczenia sumy\npunktów uzyskanych za 3 rzuty celne i 1 rzut nietrafiony oraz zapisanie poprawnego\nwyrażenia arytmetycznego prowadzącego do obliczenia liczby takich czwórek rzutów, np.\n3 ⋅5 -4 oraz 132 ∶(3 ⋅5 -4)\nLUB\n• zastosowanie metody prób i błędów - sprawdzenie wszystkich warunków zadania dla co\nnajmniej dwóch różnych liczb rzutów celnych lub nietrafionych wśród których jest\nprawidłowa liczba rzutów celnych bez wskazania prawidłowego wyniku liczbowego.\n1 punkt\n• zapisanie poprawnych wyrażeń algebraicznych tej samej zmiennej opisujących liczbę\npunktów uzyskanych w rzutach celnych oraz liczbę punktów straconych w rzutach\nnietrafionych, np.\n4 Dla arkusza OMAP-C00-2606 - liczby celnych rzutów do kosza, które wykonał Janek.\n5 Dla arkuszy OMAP-400-2606 oraz OMAP-C00-2606 - niecelnych.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑥 - liczba rzutów nietrafionych\n3𝑥 - liczba rzutów celnych\n5 ⋅3𝑥 - liczba punktów uzyskanych w rzutach celnych\n4𝑥 - liczba punktów straconych w rzutach nietrafionych\nLUB\n• zapisanie poprawnego wyrażenia arytmetycznego prowadzącego do obliczenia sumy punktów\nuzyskanych za 3 rzuty celne i 1 rzut nietrafiony, np. 3 ⋅5 -4,\nLUB\n• zastosowanie metody prób i błędów - sprawdzenie wszystkich warunków zadania dla co\nnajmniej dwóch różnych liczb rzutów celnych lub nietrafionych, wśród których nie ma\nprawidłowej liczby rzutów celnych.\n0 punktów\nrozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.\nUwaga\nJeżeli uczeń sprawdza wszystkie warunki zadania tylko dla jednego zestawu liczb rzutów\npiłką do kosza, celnych 36 i nietrafionych 12 oraz nie popełnia błędów rachunkowych,\nto otrzymuje 1 punkt.\nPrzykładowe rozwiązania ocenione na 3 punkty\nI sposób\n𝑥 - liczba rzutów celnych\n1\n3 𝑥 - liczba rzutów nietrafionych\n5𝑥 - liczba punktów uzyskanych w rzutach celnych\n4 ⋅1\n3 𝑥 - liczba punktów straconych w rzutach nietrafionych\nObliczymy liczbę rzutów celnych, zapiszemy i rozwiążemy równanie:\n5𝑥-4\n3 𝑥= 132\n15\n3 𝑥-4\n3 𝑥= 132\n11\n3 𝑥= 132\n𝑥= 132 ⋅3\n11\n𝑥= 36\nSprawdzimy, czy liczba rzutów nietrafionych jest liczbą naturalną:\n𝑥= 36\n1\n3 𝑥= 1\n3 ⋅36 = 12\nOdpowiedź: Janek trafił piłką do kosza 36 razy.\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki - termin dodatkowy 2026 r.\nII sposób\n𝑥 - liczba rzutów nietrafionych\n3𝑥 - liczba rzutów celnych\n4𝑥 - liczba punktów straconych w rzutach nietrafionych\n5 ⋅3𝑥 - liczba punktów uzyskanych w rzutach celnych\nObliczymy liczbę rzutów nietrafionych, zapiszemy i rozwiążemy równanie:\n5 ⋅3𝑥-4𝑥= 132\n15𝑥-4𝑥= 132\n11𝑥= 132\n𝑥= 12\nObliczymy liczbę rzutów, w których Janek trafił piłką do kosza:\n3 ⋅12 = 36\nOdpowiedź: Janek trafił piłką do kosza 36 razy.\nIII sposób\nNa każde 3 rzuty celne przypada 1 rzut nietrafiony, co daje razem 4 rzuty.\nZa rzut celny wynik zwiększany jest o 5 punktów, za nietrafiony - zmniejszany o 4 punkty.\nObliczymy liczbę punktów uzyskanych przez Janka za każde 4 rzuty:\n5 ⋅3 -4 = 11\nObliczymy liczbę takich czwórek rzutów:\n132 ∶11 = 12\nW każdej takiej czwórce rzutów są 3 rzuty celne. Obliczymy liczbę rzutów, w których Janek\ntrafił piłką do kosza:\n3 ⋅12 = 36\nOdpowiedź: Janek trafił piłką do kosza 36 razy.\nIV sposób\nMetoda prób i błędów.\nLiczba rzutów piłką do kosza\nSprawdzenie\nWniosek\nnietrafionych\ncelnych\n10\n30\n(-4) ⋅10 + 5 ⋅30 = 110\n110 < 132\n15\n45\n(-4) ⋅15 + 5 ⋅45 = 165\n165 > 132\n𝟏𝟐\n𝟑𝟔\n(-𝟒) ⋅𝟏𝟐+ 𝟓⋅𝟑𝟔= 𝟏𝟑𝟐\n𝟏𝟑𝟐= 𝟏𝟑𝟐\nOdpowiedź: Janek trafił piłką do kosza 36 razy.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Niech x oznacza liczbę rzutów nietrafionych. Celnych rzutów było wtedy 3x .\n\n5·3x-4x=132\n\n15x-4x=132\n\n11x=132, x=12\n\nLiczba celnych rzutów:\n\n3x=3·12=36\n\nOdpowiedź: Janek trafił 36 razy.","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad-16.webp","solution_image":null,"topics":"Równania","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · czerwiec 2026","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/17","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy","number":"17","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2026,"month":"czerwiec","level":null,"text":"Zadanie 17. (0-3)","answer":null,"answer_text":"Zadanie 17. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Używanie prostych, dobrze znanych\nobiektów matematycznych,\ninterpretowanie pojęć matematycznych\ni operowanie obiektami matematycznymi.\nKLASY IV-VI\nXII. Obliczenia praktyczne. Uczeń:\n2) w przypadkach osadzonych w kontekście\npraktycznym oblicza procent danej wielkości\nw stopniu trudności typu 50%, 20%, 10%.\nXI. Obliczenia w geometrii. Uczeń:\n7) stosuje jednostki objętości i pojemności […]\nmililitr, litr.\nXIV. Zadania tekstowe. Uczeń:\n5) do rozwiązywania zadań osadzonych\nw kontekście praktycznym stosuje poznaną\nwiedzę z zakresu arytmetyki i geometrii oraz\nnabyte umiejętności rachunkowe, a także\nwłasne poprawne metody.\nZasady oceniania6\n3 punkty - pełne rozwiązanie\npoprawny sposób obliczenia ceny zakupu bez promocji jednego litra szamponu Pięć ziół\nw butelkach o pojemności 500 ml oraz w butelkach o pojemności 250 ml, prawidłowe\nobliczenia oraz prawidłowy wniosek, że koszt zakupu bez promocji jednego litra szamponu\nPięć ziół w butelkach o pojemności 500 ml oraz w butelkach o pojemności 250 ml jest taki\nsam (30 zł).\n2 punkty\n• poprawny sposób obliczenia ceny zakupu bez promocji jednego litra szamponu Pięć ziół\nw butelkach o pojemności 500 ml\nLUB\n• poprawny sposób obliczenia ceny zakupu bez promocji jednego litra szamponu Pięć ziół\nw butelkach o pojemności 250 ml,\nLUB\n• poprawny sposób obliczenia ceny zakupu bez promocji szamponu Pięć ziół w butelce\no pojemności 500 ml oraz w butelce o pojemności 250 ml.\n1 punkt\n• poprawny sposób obliczenia ceny zakupu bez promocji szamponu Pięć ziół w butelce\no pojemności 500 ml\nLUB\n• poprawny sposób obliczenia ceny zakupu bez promocji szamponu Pięć ziół w butelce\no pojemności 250 ml.\n0 punktów\nrozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.\n6 Dla arkuszy OMAP-400-2606 oraz OMAP-C00-2606 zasady oceniania zadania 17. z przykładowymi\nrozwiązaniami znajdują się na stronie 17.\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki - termin dodatkowy 2026 r.\nPrzykładowe rozwiązania ocenione na 3 punkty\nI sposób\nObliczymy cenę zakupu bez promocji jednego litra szamponu Pięć ziół w butelkach\no pojemności 500 ml:\n160% -24 zł /∶4\n40% -6 zł\n24 + 6 = 30 (zł)\nObliczymy cenę zakupu bez promocji szamponu Pięć ziół w butelce o pojemności 250 ml:\n23,50 -1 = 22,50 (zł)\n22,50 ∶3 = 7,50 (zł)\nObliczymy cenę zakupu bez promocji jednego litra szamponu Pięć ziół w butelkach\no pojemności 250 ml:\n4 ⋅7,50 = 30 (zł)\nOdpowiedź: Koszt zakupu bez promocji jednego litra szamponu Pięć ziół w butelkach\no pojemności 500 ml oraz o pojemności 250 ml jest taki sam, równy 30 zł.\nII sposób\nOznaczymy cenę zakupu bez promocji szamponu Pięć ziół w butelce o pojemności 500 ml\njako 𝑥.\nObliczymy cenę zakupu bez promocji szamponu Pięć ziół w butelce o pojemności 500 ml:\n𝑥+ 0,6𝑥= 24 (zł)\n𝑥= 15 (zł)\nObliczymy cenę zakupu bez promocji jednego litra szamponu Pięć ziół w butelkach\no pojemności 500 ml:\n2 ⋅15 = 30 (zł)\nOznaczymy cenę zakupu bez promocji szamponu Pięć ziół w butelce o pojemności 250 ml\njako 𝑦.\nObliczymy cenę zakupu bez promocji szamponu Pięć ziół w butelce o pojemności 250 ml:\n3𝑦+ 1 = 23,50 (zł)\n3𝑦= 22,50 (zł)\n𝑦= 7,50 (zł)\nObliczymy cenę zakupu bez promocji jednego litra szamponu Pięć ziół w butelkach\no pojemności 250 ml:\n4 ⋅7,50 = 30 (zł)\nOdpowiedź: Koszt zakupu bez promocji jednego litra szamponu Pięć ziół w butelkach\no pojemności 500 ml oraz o pojemności 250 ml jest taki sam, równy 30 zł.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZasady oceniania dla arkuszy OMAP-400-2606 oraz OMAP-C00-2606.\n3 punkty - pełne rozwiązanie\npoprawny sposób obliczenia, ile złotych zaoszczędziła Ola przy zakupie dwóch butelek\nszamponu Pięć ziół w cenie promocyjnej, prawidłowe obliczenia oraz prawidłowy wynik\nliczbowy (6 zł).\n2 punkty\npoprawny sposób obliczenia ceny zakupu butelki szamponu Pięć ziół ze zniżką 40%.\n1 punkt\n• poprawny sposób obliczenia ceny zakupu bez promocji jednej butelki szamponu Pięć ziół\nz wykorzystaniem własności wielkości wprost proporcjonalnych\nLUB\n• zapisanie poprawnego równania z jedną niewiadomą prowadzącego do obliczenia ceny\nzakupu bez promocji jednej butelki szamponu Pięć ziół, np.\n𝑥+ 0,6𝑥= 24, gdzie 𝑥 oznacza cenę jednej butelki szamponu Pięć ziół.\n0 punktów\nrozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe rozwiązania ocenione na 3 punkty\nI sposób\nObliczymy, ile złotych zaoszczędziła Ola przy zakupie dwóch butelek szamponu Pięć ziół\nw promocji:\n160% -24 zł /∶4\n40% -6 zł\nOdpowiedź: Przy zakupie dwóch butelek szamponu Pięć ziół w tej promocji\nOla zaoszczędziła 6 zł.\nII sposób\nOznaczymy jako 𝑥 cenę zakupu bez promocji jednej butelki szamponu Pięć ziół.\nObliczymy cenę zakupu bez promocji jednej butelki szamponu Pięć ziół.\nZapiszemy i rozwiążemy równanie:\n𝑥+ 0,6𝑥= 24 (zł)\n𝑥= 15 (zł)\nObliczymy cenę zakupu drugiej butelki szamponu Pięć ziół w promocji:\n15 ⋅0,6 = 9 (zł)\nObliczymy, ile złotych zaoszczędziła Ola przy zakupie dwóch butelek szamponu Pięć ziół\nw promocji:\n15 -9 = 6 (zł)\nOdpowiedź: Przy zakupie dwóch butelek szamponu Pięć ziół w tej promocji\nOla zaoszczędziła 6 zł.\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki - termin dodatkowy 2026 r.","solution":"Niech x oznacza cenę jednej butelki 500 ml bez promocji. Druga kosztowała 60% ceny:\n\nx+0 , 6x=24\n\n1 , 6x=24, x=15 zł\n\nJeden litr w butelkach po 500 ml kosztuje:\n\n2·15=30 zł\n\nNiech y oznacza cenę jednej butelki 250 ml bez promocji. Trzy butelki były w pełnej cenie, a czwarta kosztowała 1 zł:\n\n3y+1=23 , 50\n\n3y=22 , 50, y=7 , 50 zł\n\nJeden litr w butelkach po 250 ml kosztuje:\n\n4·7 , 50=30 zł\n\nOdpowiedź: Tak. W obu przypadkach koszt wynosi 30 zł za litr.","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad-17.webp","solution_image":null,"topics":"Równania","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · czerwiec 2026","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/18","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy","number":"18","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2026,"month":"czerwiec","level":null,"text":"Zadanie 18. (0-2)","answer":"Nie","answer_text":"Zadanie 18. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie prostego\nrozumowania, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność\nrozumowania, rozróżnianie dowodu od\nprzykładu.\nKLASY IV-VI\nVIII. Kąty. Uczeń:\n6) rozpoznaje kąty wierzchołkowe i przyległe\noraz korzysta z ich własności.\nIX. Wielokąty, koła i okręgi. Uczeń:\n3) stosuje twierdzenie o sumie kątów\nwewnętrznych trójkąta.\nKLASY VII i VIII\nVIII. Własności figur geometrycznych na\npłaszczyźnie. Uczeń:\n3) korzysta z własności prostych\nrównoległych, w szczególności stosuje\nrówność kątów odpowiadających\ni naprzemianległych.\nZasady oceniania\n2 punkty - pełne rozwiązanie\npoprawny sposób obliczenia miar kątów 𝐵𝐶𝐴 i 𝐴𝐵𝐶, prawidłowe obliczenia, prawidłowe\nwyniki liczbowe (24° oraz 26°) oraz zapisanie wniosku, że trójkąt 𝐴𝐵𝐶 nie jest\nrównoramienny.\n1 punkt\n• poprawny sposób obliczenia miar dowolnych dwóch kątów w trójkącie 𝐴𝐵𝐶\nLUB\n• ustalenie, np. zapisanie na rysunku miar dowolnych dwóch kątów w trójkącie 𝐴𝐵𝐶,\nLUB\n• zapisanie, że trójkąt 𝐴𝐵𝐶 będzie równoramienny, jeżeli |∢𝐵𝐶𝐴| = |∢𝐴𝐵𝐶| oraz że nie\nbędzie równoramienny jeżeli |∢𝐵𝐶𝐴| ≠|∢𝐴𝐵𝐶| (lub zapisy równoważne).\n0 punktów\nrozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe rozwiązania ocenione na 2 punkty\nI sposób\nKąty 𝐸𝐶𝐵 i 𝐴𝐵𝐶 to kąty naprzemianległe, zatem:\n|∢𝐴𝐵𝐶| = 26°\nOdcinek 𝐶𝐷 jest prostopadły do prostej 𝑘, zatem:\n|∢𝐵𝐶𝐴| = 90° -40° -26° = 24°\nSuma miar kątów w trójkącie 𝐴𝐵𝐶 jest równa 180°, więc:\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n|∢𝐶𝐴𝐵| = 180° -24° -26° = 130°\nW trójkącie 𝐴𝐵𝐶 nie można wskazać pary kątów o tej samej mierze, więc trójkąt ten nie jest\nrównoramienny.\nII sposób\nObliczymy miary kątów: 𝐶𝐴𝐷, 𝐶𝐴𝐵, 𝐵𝐶𝐴 oraz 𝐴𝐵𝐶.\nOdcinek 𝐶𝐷 jest prostopadły do prostej 𝑙, zatem:\n|∢𝐶𝐷𝐴| = 90°\nSkorzystamy z sumy miar kątów w trójkącie 𝐷𝐴𝐶:\n|∢𝐶𝐴𝐷| = 180° -90° -40° = 50°\nSkorzystamy z własności kątów przyległych:\n|∢𝐶𝐴𝐵| = 180° -50° = 130°\nOdcinek 𝐶𝐷 jest prostopadły do prostej 𝑘, zatem:\n|∢𝐵𝐶𝐴| = 90° -40° -26° = 24°\nSkorzystamy z sumy miar kątów w trójkącie 𝐴𝐵𝐶:\n|∢𝐴𝐵𝐶| = 180° -130° -24° = 26°\n|∢𝐵𝐶𝐴| ≠|∢𝐴𝐵𝐶|, zatem trójkąt 𝐴𝐵𝐶 nie jest równoramienny.\nIII sposób\nTrójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest trójkątem rozwartokątnym, ponieważ |∢𝐶𝐴𝐵| = 130°, a zatem będzie on\nrównoramienny, jeżeli |∢𝐵𝐶𝐴| = |∢𝐴𝐵𝐶|.\nNatomiast jeżeli |∢𝐵𝐶𝐴| ≠|∢𝐴𝐵𝐶| trójkąt ten nie będzie równoramienny.\nObliczymy miary |∢𝐵𝐶𝐴| oraz |∢𝐴𝐵𝐶|:\n|∢𝐴𝐵𝐶| = 26° (kąt naprzemianległy do kąta 𝐸𝐶𝐵)\n|∢𝐵𝐶𝐴| = 90° -40° -26° = 24°\n24° ≠26°\n|∢𝐵𝐶𝐴| ≠|∢𝐴𝐵𝐶|, zatem trójkąt 𝐴𝐵𝐶 nie jest równoramienny.\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki - termin dodatkowy 2026 r.","solution":"Ponieważ CD jest prostopadły do prostych równoległych k i l , kąt między CA i prostą l ma miarę:\n\n90^°-40^°=50^°\n\nZ równoległości prostych wynika, że kąt ABC ma 26^° . Kąt ACB jest różnicą kątów, które proste CA i CB tworzą z prostymi równoległymi:\n\n50^°-26^°=24^°\n\nKąty trójkąta ABC mają więc miary 130^° , 26^° i 24^° . Żadne dwa nie są równe.\n\nOdpowiedź: Nie, trójkąt ABC nie jest równoramienny.","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad-18.webp","solution_image":null,"topics":"Własności kątów","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · czerwiec 2026","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/19","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy","number":"19","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2026,"month":"czerwiec","level":null,"text":"Zadanie 19. (0-3)","answer":"64 cm²","answer_text":"Zadanie 19. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Używanie prostych, dobrze znanych\nobiektów matematycznych,\ninterpretowanie pojęć matematycznych\ni operowanie obiektami matematycznymi.\nKLASY VII i VIII\nVIII. Własności figur geometrycznych na\npłaszczyźnie. Uczeń:\n6) wykonuje proste obliczenia geometryczne,\nwykorzystując sumę kątów wewnętrznych\ntrójkąta i własności trójkątów\nrównoramiennych.\nIX. Wielokąty. Uczeń:\n2) stosuje wzory na pole trójkąta, prostokąta\n[…], trapezu […].\nIII. Tworzenie wyrażeń algebraicznych z jedną\ni wieloma zmiennymi. Uczeń:\n3) zapisuje zależności przedstawione\nw zadaniach w postaci wyrażeń\nalgebraicznych jednej lub kilku zmiennych.\nZasady oceniania\n3 punkty - pełne rozwiązanie\npoprawny sposób obliczenia pola trapezu, prawidłowe obliczenia oraz prawidłowy wynik\nliczbowy zgodny z zastosowaną jednostką (64 cm2).\n2 punkty\n• poprawny sposób obliczenia długości podstaw 𝐴𝐵 i 𝐶𝐷 trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷\nLUB\n• poprawny sposób obliczenia pola trójkąta 𝐴𝐸𝐷 oraz poprawny sposób obliczenia\ndługości boku 𝐶𝐷,\nLUB\n• poprawny sposób obliczenia pola trójkąta 𝐴𝐸𝐷 oraz poprawny sposób obliczenia\ndługości boku 𝐴𝐵,\nLUB\n• ustalenie długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego o przeciwprostokątnej 𝐴𝐷\noraz zapisanie, zgodnie z przyjętymi oznaczeniami i z uwzględnieniem poprawnych\nzależności między długościami podstaw, wzoru na pole trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷, np.\n|𝐴𝐸| = |𝐸𝐷| = 8 (cm) oraz\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= (3𝑥+ 𝑥)\n2\n⋅8, gdzie 3𝑥 oraz 𝑥 oznaczają długości podstaw 𝐴𝐵 oraz 𝐶𝐷 trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷\nalbo\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 8 ⋅8\n2\n+ 𝑥⋅8, gdzie 𝑥 oznacza długość podstawy 𝐶𝐷 trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷,\nalbo\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 3𝑥⋅8 -8 ⋅8\n2\n, gdzie 3𝑥 oznacza długość podstawy 𝐴𝐵 trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n1 punkt\n• ustalenie długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego o przeciwprostokątnej 𝐴𝐷,\nnp. zapisanie |𝐴𝐸| = |𝐸𝐷| = 8 (cm)\nLUB\n• zapisanie zgodnie z przyjętymi oznaczeniami wzoru na pole trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷\nz uwzględnieniem długości odcinka 𝐵𝐶, np.\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= (|𝐴𝐵| + |𝐶𝐷|)\n2\n⋅8,\nLUB\n• zapisanie zgodnie z przyjętymi oznaczeniami, że pole trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równe sumie\npola trójkąta prostokątnego o przeciwprostokątnej 𝐴𝐷 i pola prostokąta o bokach 𝐶𝐵\ni 𝐶𝐷 z uwzględnieniem długości odcinka 𝐵𝐶, np.\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= |𝐴𝐸| ⋅|𝐷𝐸|\n2\n+ |𝐶𝐷| ⋅8,\nLUB\n• zapisanie zgodnie z przyjętymi oznaczeniami, że pole trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równe różnicy\npola prostokąta o bokach 𝐴𝐵 i 𝐵𝐶 i pola trójkąta przystającego do trójkąta\nprostokątnego o przeciwprostokątnej 𝐴𝐷 z uwzględnieniem długości odcinka 𝐵𝐶, np.\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= |𝐴𝐵| ⋅8 -\n|𝐴𝐸| ⋅|𝐷𝐸|\n2\n0 punktów\nrozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.\nUwaga\nNie ocenia się stosowania jednostki.\nPrzykładowe rozwiązanie ocenione na 3 punkty\nI sposób\nNarysujemy wysokość 𝐷𝐸 trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷.\nDzieli ona ten trapez na trójkąt 𝐴𝐸𝐷 oraz prostokąt 𝐸𝐵𝐶𝐷. Oznaczymy bok 𝐶𝐷 jako 𝑥.\nZauważymy, że:\n|𝐸𝐵| = |𝐶𝐷| = 𝑥\n|𝐴𝐵| = 3𝑥\nZatem\n|𝐴𝐸| = 2𝑥\nTrójkąt 𝐴𝐸𝐷 jest równoramienny, więc:\n|𝐴𝐸| = |𝐸𝐷| = 8 (cm)\nObliczymy długość boku trapezu oznaczoną\nniewiadomą 𝑥:\n|𝐴𝐸| = 2𝑥= 8 (cm)\n2𝑥= 8\n𝐷\n𝐶\n𝐵\n𝐴\n8 cm\n45°\n𝑥\n𝐸\n2𝑥\n𝑥\n8 cm\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki - termin dodatkowy 2026 r.\n𝑥= 4 (cm)\nObliczymy długość boku 𝐴𝐵:\n|𝐴𝐵| = 8 + 4 = 12 (cm)\nZatem podstawy trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 mają długości:\n|𝐶𝐷| = 4 (cm)\n|𝐴𝐵| = 12 (cm)\nObliczymy pole trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷:\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= (4 + 12)\n2\n⋅8 = 16\n2 ⋅8 = 64 (cm2)\nOdpowiedź: Pole trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równe 64 cm2.\nII sposób\nZauważymy, że trójkąt 𝐴𝐸𝐷 jest równoramienny, zatem\n|𝐴𝐸| = |𝐸𝐷| = 8 (cm)\nObliczymy pole trójkąta 𝐴𝐸𝐷:\n𝑃𝐴𝐸𝐷= 8 ⋅8\n2\n= 32 (cm2)\nObliczymy długość boku 𝐴𝐵:\n|𝐸𝐵| = |𝐶𝐷| = 𝑥\n|𝐴𝐵| = 3𝑥 oraz |𝐴𝐵| = 8 + 𝑥\n3𝑥= 8 + 𝑥\n𝑥= 4\nObliczymy pole prostokąta 𝐸𝐵𝐶𝐷:\n𝑃 𝐸𝐵𝐶𝐷= 4 ⋅8 = 32 (cm2)\nObliczymy pole trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jako sumę pola trójkąta 𝐴𝐸𝐷 oraz pola prostokąta 𝐸𝐵𝐶𝐷:\n𝑃 𝐴𝐵𝐶𝐷= 32 + 32 = 64 (cm2)\nOdpowiedź: Pole trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równe 64 cm2.\nIII sposób\nZauważymy, że\n|𝐴𝐸| = |𝐵𝐶| = 8 (cm)\noraz trójkąt 𝐴𝐷𝐸 jest równoramienny, zatem\n|𝐴𝐸| = |𝐸𝐷| = 8 (cm)\nObliczymy pole trójkąta 𝐴𝐸𝐷:\n𝑃𝐴𝐸𝐷= 8 ⋅8\n2\n= 32 (cm2)\n𝐷\n𝐶\n𝐵\n𝐴\n8 cm\n45°\n𝑥\n𝐸\n𝐷\n𝐶\n𝐵\n𝐴\n8 cm\n45°\n𝑥\n𝐸\n3𝑥\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nObliczymy długość boku 𝐸𝐶:\n|𝐷𝐶| = 𝑥\n|𝐸𝐶| = 3𝑥 oraz |𝐸𝐶| = 8 + 𝑥\n3𝑥= 8 + 𝑥\n𝑥= 4\n|𝐸𝐶| = 8 + 4 = 12 (cm)\nObliczymy pole prostokąta 𝐴𝐵𝐶𝐸:\n𝑃 𝐴𝐵𝐶𝐸= 12 ⋅8 = 96 (cm2)\nObliczymy pole trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jako różnicę pola prostokąta 𝐴𝐵𝐶𝐸 i pola trójkąta 𝐴𝐷𝐸\n𝑃 𝐴𝐵𝐶𝐷= 96 -32 = 64 (cm2)\nOdpowiedź: Pole trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równe 64 cm2.","solution":"Wysokość trapezu jest równa BC=8 cm. Ponieważ kąt DAB ma 45^° , pozioma różnica długości podstaw również wynosi 8 cm:\n\nAB-CD=8\n\nNiech CD=x . Wtedy AB=3x .\n\n3x-x=8\n\n2x=8, x=4\n\nZatem CD=4 cm, a AB=12 cm. Pole trapezu:\n\nP=((12+4)·8)/(2)=64 cm^2\n\nOdpowiedź: 64 cm^2 .","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad-19.webp","solution_image":null,"topics":"Pola i obwody","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · czerwiec 2026","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/20","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy","number":"20","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2026,"month":"czerwiec","level":null,"text":"Zadanie 20. (0-3)\nZADANIE 15. ZNAJDUJE SIĘ NA KARCIE ROZWIĄZAŃ ZADAŃ OTWARTYCH.\nWYKONAJ TO ZADANIE W WYZNACZONYM MIEJSCU NA KARCIE ROZWIĄZAŃ ZADAŃ\nOTWARTYCH.\nZADANIE 16. ZNAJDUJE SIĘ NA KARCIE ROZWIĄZAŃ ZADAŃ OTWARTYCH.\nWYKONAJ TO ZADANIE W WYZNACZONYM MIEJSCU NA KARCIE ROZWIĄZAŃ ZADAŃ\nOTWARTYCH.\nZADANIE 17. ZNAJDUJE SIĘ NA KARCIE ROZWIĄZAŃ ZADAŃ OTWARTYCH.\nWYKONAJ TO ZADANIE W WYZNACZONYM MIEJSCU NA KARCIE ROZWIĄZAŃ ZADAŃ\nOTWARTYCH.\nZADANIE 18. ZNAJDUJE SIĘ NA KARCIE ROZWIĄZAŃ ZADAŃ OTWARTYCH.\nWYKONAJ TO ZADANIE W WYZNACZONYM MIEJSCU NA KARCIE ROZWIĄZAŃ ZADAŃ\nOTWARTYCH.\nZADANIE 19. ZNAJDUJE SIĘ NA KARCIE ROZWIĄZAŃ ZADAŃ OTWARTYCH.\nWYKONAJ TO ZADANIE W WYZNACZONYM MIEJSCU NA KARCIE ROZWIĄZAŃ ZADAŃ\nOTWARTYCH.\nZADANIE 20. ZNAJDUJE SIĘ NA KARCIE ROZWIĄZAŃ ZADAŃ OTWARTYCH.\nWYKONAJ TO ZADANIE W WYZNACZONYM MIEJSCU NA KARCIE ROZWIĄZAŃ ZADAŃ\nOTWARTYCH.\nOMAP-100-2606\nBrudnopis (nie podlega ocenie)\nMATEMATYKA\nEgzamin ósmoklasisty\nMATEMATYKA\nEgzamin ósmoklasisty\nMATEMATYKA\nEgzamin ósmoklasisty\nOMAP-100-2606\nKARTA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ OTWARTYCH 15-20\nWYPEŁNIA UCZEŃ\nMiejsce na naklejkę.\nSprawdź, czy kod na naklejce to\nJeżeli tak - przyklej naklejkę.\nJeżeli nie - zgłoś to nauczycielowi.\nO-100\nOMAP-100-2606\nKOD UCZNIA\nPESEL\nMATEMATYKA\nOMAP-100-2606\nZadanie 15. (0-2)\nNa klombie rośnie 150 tulipanów. Każdy z nich ma kwiat w jednym z trzech kolorów:\nw czerwonym, w żółtym albo w białym.\n1\n1\nWśród tych kwiatów 5 ma kolor czerwony i 3 ma kolor żółty.\nOblicz, jaką część liczby wszystkich tulipanów stanowi liczba białych tulipanów\nna tym klombie. Zapisz obliczenia.\nOMAP-100-2606\nKOD UCZNIA\nPESEL\nMiejsce na naklejkę.\nSprawdź, czy kod na naklejce to\nJeżeli tak - przyklej naklejkę.\nJeżeli nie - zgłoś to nauczycielowi.\nO-100\nWYPEŁNIA UCZEŃ\nZadanie 16. (0-3)\nGra polega na rzucaniu piłką do kosza. Jeśli rzut jest celny, to liczba dotychczas zdobytych\npunktów jest zwiększana o 5 punktów. Jeśli rzut jest nietrafiony, to liczba dotychczas\nzdobytych punktów jest zmniejszana o 4 punkty. Janek rozpoczął grę z wynikiem 0 punktów.\nLiczba celnych rzutów Janka jest trzy razy większa niż liczba rzutów, w których Janek nie trafił\npiłką do kosza. W rezultacie Janek zgromadził 132 punkty.\nOblicz, ile razy Janek trafił piłką do kosza. Zapisz obliczenia.\nOMAP-100-2606\nZadanie 17. (0-3)\nW sklepie ogłoszono dwie promocje przy zakupie szamponu Pięć ziół (zobacz rysunek).\nOla i Ania kupiły szampony Pięć ziół w cenie promocyjnej.\nOla kupiła dwie butelki o pojemności 500 ml i zapłaciła 24 zł.\nAnia kupiła cztery butelki o pojemności 250 ml i zapłaciła 23,50 zł.\nCzy w tym sklepie koszt zakupu bez promocji jednego litra szamponu Pięć ziół\nw butelkach o pojemności 𝟓𝟎𝟎 𝐦𝐥 oraz koszt zakupu bez promocji jednego litra tego\nszamponu w butelkach o pojemności 𝟐𝟓𝟎 𝐦𝐥 jest taki sam? Zapisz obliczenia.\nSzampon Pięć ziół\nPojemność butelki 500 ml\nDrugi taki sam produkt o 40% taniej\nSzampon Pięć ziół\nPojemność butelki 250 ml\nCzwarty taki sam produkt za 1 zł\nOMAP-100-2606\nWYPEŁNIA UCZEŃ\nKOD UCZNIA\nPESEL\nMiejsce na naklejkę.\nSprawdź, czy kod na naklejce to\nJeżeli tak - przyklej naklejkę.\nJeżeli nie - zgłoś to nauczycielowi.\nO-100\nZadanie 18. (0-2)\nProste 𝑘 i 𝑙 są równoległe. Na prostej 𝑙 zaznaczono punkty 𝐷, 𝐴, 𝐵, a na prostej 𝑘\nzaznaczono punkty 𝐶 i 𝐸. Odcinek 𝐶𝐷 jest prostopadły do prostych 𝑘 i 𝑙.\nKąt 𝐴𝐶𝐷 ma miarę 40° i kąt 𝐸𝐶𝐵 ma miarę 26° (zobacz rysunek).\nCzy trójkąt 𝑨𝑩𝑪 jest równoramienny? Odpowiedź uzasadnij.\n𝑘\n𝑙\n𝐶\n𝐸\n𝐵\n𝐴\n𝐷\n40°\n26°\nOMAP-100-2606\nZadanie 19. (0-3)\n𝐷\n𝐶\n𝐵\n𝐴\n8 cm\n45°\nDany jest trapez prostokątny 𝐴𝐵𝐶𝐷, którego długość boku 𝐵𝐶 jest równa 8 cm, a kąt 𝐷𝐴𝐵\nma miarę 45° (zobacz rysunek). Długość boku 𝐴𝐵 jest trzy razy większa od długości\nboku 𝐶𝐷.\nOblicz pole trapezu 𝑨𝑩𝑪𝑫. Zapisz obliczenia.\nOMAP-100-2606\nWYPEŁNIA UCZEŃ\nMiejsce na naklejkę.\nSprawdź, czy kod na naklejce to\nJeżeli tak - przyklej naklejkę.\nJeżeli nie - zgłoś to nauczycielowi.\nO-100\nKOD UCZNIA\nPESEL\nZadanie 20. (0-3)\nW graniastosłupie prostym o podstawie trójkąta prostokątnego najkrótsza krawędź podstawy\nma długość 5 cm. Ściana boczna tego graniastosłupa o największej powierzchni jest\nkwadratem o polu 169 cm2.\nOblicz objętość tego graniastosłupa. Zapisz obliczenia.\nOMAP-100-2606\nBrudnopis (nie podlega ocenie)","answer":"390 cm³","answer_text":"Zadanie 20. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n3. Stosowanie strategii wynikającej\nz treści zadania, tworzenie strategii\nrozwiązania problemu, również\nw rozwiązaniach wieloetapowych oraz\nw takich, które wymagają umiejętności\nłączenia wiedzy z różnych działów\nmatematyki.\nKLASY VII i VIII\nXI. Geometria przestrzenna. Uczeń:\n2) oblicza objętości […] graniastosłupów\nprostych, prawidłowych, i takich które nie są\nprawidłowe […].\nVIII. Własności figur geometrycznych na\npłaszczyźnie. Uczeń:\n7) zna i stosuje w sytuacjach praktycznych\ntwierdzenie Pitagorasa (bez twierdzenia\nodwrotnego).\nZasady oceniania\n3 punkty - pełne rozwiązanie\npoprawny sposób obliczenia objętości graniastosłupa, prawidłowe obliczenia oraz prawidłowy\nwynik liczbowy zgodny z zastosowaną jednostką (390 cm3).\n2 punkty\n• poprawny sposób obliczenia długości krawędzi największej ściany bocznej oraz poprawny\nsposób obliczenia długości dłuższej przyprostokątnej trójkąta prostokątnego, tzn.\npoprawne zastosowanie twierdzenia Pitagorasa, np. zapisanie 𝑎= √169 oraz\n52 + 𝑥2 = (√169)\n2, gdzie 𝑥 oznacza długość dłuższej przyprostokątnej trójkąta\nprostokątnego\nLUB\n• zapisanie, np. na rysunku, że długość krawędzi największej ściany bocznej (lub wysokość)\ngraniastosłupa jest równa 13 cm oraz że długość dłuższej przyprostokątnej trójkąta\nprostokątnego jest równa 12 cm bez przedstawienia sposobu ich obliczenia.\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki - termin dodatkowy 2026 r.\n1 punkt\n• poprawny sposób obliczenia długości krawędzi największej ściany bocznej (lub wysokości)\ngraniastosłupa\nLUB\n• zapisanie, np. na rysunku, że długość krawędzi największej ściany bocznej (lub wysokość)\ngraniastosłupa jest równa 13 cm bez przedstawienia sposobu jej obliczenia,\nLUB\n• zapisanie, zgodnie z przyjętymi oznaczeniami, poprawnej zależności między długościami\nkrawędzi podstawy graniastosłupa wynikającej z twierdzenia Pitagorasa z uwzględnieniem\ndługości najkrótszej krawędzi podstawy , np.\n52 + 𝑥2 = 𝑎2, gdzie: 𝑥 oznacza długość dłuższej przyprostokątnej trójkąta prostokątnego\n𝑎 oznacza długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego.\n0 punktów\nrozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.\nUwagi\n1. Brak jednostki lub zapisanie niewłaściwej jednostki w wyniku końcowym traktuje się jako\nbłąd rachunkowy.\n2. Jeżeli uczeń niepoprawnie zidentyfikuje największą ścianę boczną graniastosłupa\ni konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie zadania do końca bez błędów rachunkowych,\nto otrzymuje 1 punkt.\nPrzykładowe rozwiązanie ocenione na 3 punkty\nOznaczymy długość krawędzi największej ściany bocznej graniastosłupa jako 𝑎.\nObliczymy długość krawędzi największej ściany bocznej graniastosłupa:\n𝑃= 𝑎2\n𝑃= 169 cm2\n𝑎2 = 169\n𝑎= √169\n𝑎= 13 (cm)\nZauważymy, że długość krawędzi największej ściany bocznej jest przeciwprostokątną trójkąta\nprostokątnego w podstawie graniastosłupa oraz jest wysokością graniastosłupa:\n𝑎= 𝐻\n𝐻= 13 (cm)\nObliczymy długość trzeciej krawędzi podstawy graniastosłupa, czyli dłuższej przyprostokątnej\ntrójkąta prostokątnego. Skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa:\n52 + 𝑥2 = 132\n25 + 𝑥2 = 169\n𝑎\n𝑎= 𝐻\n5\n𝑥\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑥= √144\n𝑥= 12 (cm)\nObliczymy objętość graniastosłupa:\n𝑉= 𝑃𝑝⋅𝐻\n𝑉= 12 ⋅5\n2\n⋅13 = 390 (cm3)\nOdpowiedź: Objętość tego graniastosłupa jest równa 390 cm3.","solution":"Największa ściana boczna odpowiada najdłuższemu bokowi podstawy, czyli przeciwprostokątnej. Jest kwadratem o polu 169 cm^2 , więc jej bok ma długość:\n\n√(169)=13 cm\n\nPrzeciwprostokątna podstawy i wysokość graniastosłupa mają zatem po 13 cm. Jeden bok trójkąta prostokątnego ma 5 cm. Drugi obliczamy z twierdzenia Pitagorasa:\n\n5^2+b^2=13^2\n\nb^2=169-25=144, b=12 cm\n\nPole podstawy:\n\nP_p=(5·12)/(2)=30 cm^2\n\nObjętość graniastosłupa:\n\nV=P_p· H=30·13=390 cm^3\n\nOdpowiedź: 390 cm^3 .","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad-20.webp","solution_image":null,"topics":"Stereometria","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · czerwiec 2026","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"}]}