{"paper":{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":38,"source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba\n√-64\n3\n+ √27\n3\n√-32\n5\njest równa\nA. (-2)\nB. (-1\n2)\nC. 1\n2\nD. 2\nLiczba ∛-64} + ∛27} / pierwiastek 5 stopnia z -32 jest równa A. (-2) B. (-{1/2}) C. 1/2 D. 2","answer":"C","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nWymagania określone w podstawie programowej1\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach\nrzeczywistych, także przy użyciu\nkalkulatora, stosowanie praw działań\nmatematycznych przy przekształcaniu\nwyrażeń algebraicznych oraz\nwykorzystywanie tych umiejętności przy\nrozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nZdający:\nI.3) stosuje własności pierwiastków\ndowolnego stopnia, w tym pierwiastków\nstopnia nieparzystego z liczb ujemnych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC\n1 Rozporządzenie Ministra Edukacji z dnia 28 czerwca 2024 r. zmieniające rozporządzenie w sprawie podstawy\nprogramowej kształcenia ogólnego dla liceum ogólnokształcącego, technikum oraz branżowej szkoły II stopnia\n(Dz.U. z 2024 r. poz. 1019).\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Obliczamy wartość wyrażenia:\n\nfrac √[3](-64)+√[3](27) √[5](-32)\n\nNajpierw obliczamy pierwiastki występujące w liczniku.\n\nPierwiastek sześcienny z liczby -64 to taka liczba, która podniesiona do trzeciej potęgi daje -64 :\n\n√[3](-64)=-4, bo (-4)^3=-64\n\nPodobnie:\n\n√[3](27)=3, bo 3^3=27\n\nTeraz obliczamy mianownik:\n\n√[5](-32)=-2, bo (-2)^5=-32\n\nPodstawiamy otrzymane wartości do wyrażenia:\n\nfrac √[3](-64)+√[3](27) √[5](-32)\n(-4+3)/(-2)\n\nWykonujemy działania w liczniku:\n\n-4+3=-1\n\nOtrzymujemy:\n\n(-1)/(-2)=(1)/(2)\n\nOdpowiedź: C. (1)/(2)","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/sol-1.svg","topics":"Liczby rzeczywiste, algebra","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba\n94\n3-20 jest równa\nA. 9-24\nB. 9-6\nC. 914\nD. 956\n\nMMAP-P0_100\nLiczba 9^4 / 3^{-20} jest równa A. 9^{-24} B. 9^{-6} C. 9^{14} D. 9^{56}","answer":"C","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nI.4) stosuje […] prawa działań na potęgach\n[…].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"Obliczamy wartość wyrażenia:\n\nfrac 9^4 3^-20\n\nW odpowiedziach występują potęgi liczby 9 , ale najwygodniej najpierw sprowadzić wszystko do potęg liczby 3 .\n\nKorzystamy z faktu:\n\n9=3^2\n\nZatem:\n\n9^4=(3^2)^4\n\nKorzystamy ze wzoru (a^m)^n=a^mn :\n\n(3^2)^4=3^2·4=3^8\n\nPodstawiamy do wyrażenia:\n\nfrac 9^4 3^-20 =frac 3^8 3^-20\n\nPrzy dzieleniu potęg o tej samej podstawie odejmujemy wykładniki:\n\nfrac 3^8 3^-20 =3^8-(-20)\n\nOdejmowanie liczby ujemnej oznacza dodawanie:\n\n3^8-(-20)=3^28\n\nWracamy do potęgi liczby 9 . Ponieważ 9=3^2 , to:\n\n9^14=(3^2)^14=3^28\n\nZatem:\n\n3^28=9^14\n\nOdpowiedź: C. 9^14","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/sol-2.svg","topics":"Liczby rzeczywiste, wykladnicza","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba log5 √25\n3\njest równa\nA. 1\n6\nB. 2\n3\nC. 3\n2\nD. 6\nLiczba log_5 ∛25 jest równa A. 1/6 B. 2/3 C. 3/2 D. 6","answer":"B","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nI.1) wykonuje działania ([…]\nlogarytmowanie) w zbiorze liczb\nrzeczywistych;\nI.9) stosuje związek logarytmowania\nz potęgowaniem, posługuje się wzorami na\nlogarytm iloczynu, logarytm ilorazu\ni logarytm potęgi.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"Obliczamy wartość logarytmu:\n\nlog_5√[3](25)\n\nNajpierw zapisujemy pierwiastek trzeciego stopnia jako potęgę o wykładniku (1)/(3) :\n\n√[3](25)=25^(1)/(3)\n\nLiczbę 25 zapisujemy jako potęgę liczby 5 :\n\n25=5^2\n\nPodstawiamy:\n\n25^(1)/(3)=(5^2)^(1)/(3)\n\nKorzystamy ze wzoru (a^m)^n=a^mn :\n\n(5^2)^(1)/(3)=5^2·(1)/(3)=5^(2)/(3)\n\nZatem cały logarytm ma postać:\n\nlog_5√[3](25)\nlog_5 5^(2)/(3)\n\nLogarytm log_5 5^(2)/(3) oznacza wykładnik potęgi, do której trzeba podnieść 5 , aby otrzymać 5^(2)/(3) .\n\nlog_5 5^(2)/(3)=(2)/(3)\n\nOdpowiedź: B. (2)/(3)","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/sol-3.svg","topics":"Logarytmy","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nDla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 wartość wyrażenia 𝑥3 -2𝑥2 + 𝑥 jest równa wartości\nwyrażenia\nA. 𝑥(𝑥-1)2\nB. 𝑥(𝑥-1)(𝑥+ 1)\nC. (𝑥-1)(𝑥2 + 1)\nD. (𝑥+ 1)(𝑥-1)2\n\nMMAP-P0_100\nDla każdej liczby rzeczywistej x wartość wyrażenia x³ - 2x² + x jest równa wartości wyrażenia A. x(x-1)² B. x(x-1)(x+1) C. (x-1)(x²+1) D. (x+1)(x-1)²","answer":"A","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nII.3) wyłącza poza nawias jednomian\nz sumy algebraicznej;\nII.1) stosuje wzory skróconego mnożenia\nna: (𝑎+ 𝑏)2, (𝑎-𝑏)2, 𝑎2 -𝑏2.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"Wyłączamy x przed nawias:\n\nx^3-2x^2+x=x(x^2-2x+1)\n\nW nawiasie rozpoznajemy wzór skróconego mnożenia:\n\nx^2-2x+1=(x-1)^2\n\nZatem:\n\nx^3-2x^2+x=x(x-1)^2\n\nOdpowiedź: A. x(x-1)^2","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/sol-4.svg","topics":"Wzory skróconego mnożenia, wielomiany","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa","number":"5","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (0-2)\nWykaż, że dla każdej liczby całkowitej 𝒏≥𝟎 liczba 𝟕𝒏+ 𝟕𝒏+𝟏+ 𝟕𝒏+𝟐 jest podzielna\nprzez 𝟏𝟗.\n5.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\nWykaż, że dla każdej liczby całkowitej n≥0 liczba 7^n + 7^{n+1} + 7^{n+2} jest podzielna przez 19.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 5. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nI.2) przeprowadza proste dowody dotyczące\npodzielności liczb całkowitych i reszt\nz dzielenia […].\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.\n1 pkt - przekształcenie wyrażenia 7𝑛+ 7𝑛+1 + 7𝑛+2 do postaci 7𝑛⋅(1 + 7 + 72).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający sprawdza prawdziwość tezy tylko dla wybranych wartości 𝑛, to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nKorzystamy z własności działań na potęgach i otrzymujemy:\n7𝑛+ 7𝑛+1 + 7𝑛+2 = 7𝑛+ 7𝑛⋅7 + 7𝑛⋅72\nWyłączamy wspólny czynnik przed nawias i otrzymujemy:\n7𝑛+ 7𝑛⋅7 + 7𝑛⋅72 = 7𝑛⋅(1 + 7 + 72) = 7𝑛⋅57 = 19 ⋅3 ⋅7𝑛\nLiczba 3 ⋅7𝑛 jest liczbą całkowitą dla każdej liczby całkowitej 𝑛≥0, zatem liczba\n7𝑛+ 7𝑛+1 + 7𝑛+2 jest podzielna przez 19 dla każdej liczby całkowitej 𝑛≥0.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Wyłączamy wspólny czynnik 7^n :\n\n7^n+7^n+1+7^n+2\n7^n(1+7+7^2)\n\nObliczamy nawias:\n\n1+7+49=57\n\n57=3·19\n\nCałe wyrażenie ma więc czynnik 19 .\n\nLiczba jest podzielna przez 19 .","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/sol-5.svg","topics":"Dowody algebraiczne, liczby_naturalne","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (0-1)\nDane są wielomiany 𝑊, 𝑉 oraz 𝐻 określone wzorami:\n𝑊(𝑥) = 𝑥4\n𝑉(𝑥) = 𝑥3 + 1\n𝐻(𝑥) = 𝑥-2\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWielomian 𝑊(𝑥) -𝑉(𝑥) ⋅𝐻(𝑥) jest określony wzorem\nA. 2𝑥3 -𝑥+ 2\nB. 2𝑥3 + 𝑥-2\nC. 𝑥4 -𝑥3 + 𝑥-2\nD. 𝑥4 -𝑥3 -𝑥+ 2\n\nMMAP-P0_100\nDane są wielomiany W, V oraz H określone wzorami: W(x) = x^4 V(x) = x³+1 H(x) = x-2 Wielomian W(x) - V(x)⋅ H(x) jest określony wzorem A. 2x³ - x + 2 B. 2x³ + x - 2 C. x^4 - x³ + x - 2 D. x^4 - x³ - x + 2","answer":"A","answer_text":"Zadanie 6. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach\nrzeczywistych, także przy użyciu\nkalkulatora, stosowanie praw działań\nmatematycznych przy przekształcaniu\nwyrażeń algebraicznych oraz\nwykorzystywanie tych umiejętności przy\nrozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nZdający:\nII.2) dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany\njednej i wielu zmiennych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"Dane są wielomiany:\n\nW(x)=x^4, V(x)=x^3+1, H(x)=x-2\n\nNajpierw obliczamy iloczyn:\n\nV(x)· H(x)=(x^3+1)(x-2)=x^4-2x^3+x-2\n\nTeraz odejmujemy:\n\nW(x)-V(x)· H(x)\nx^4-(x^4-2x^3+x-2)\n\n=2x^3-x+2\n\nOdpowiedź: A. 2x^3-x+2","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/sol-6.svg","topics":"Wielomiany","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nZbiorem wszystkich rozwiązań nierówności\n-2(𝑥+ 3)(𝑥-2) > 0\njest przedział\nA. [-3, 2]\nB. (-3, 2)\nC. [-2, 3]\nD. (-2, 3)\n\nMMAP-P0_100\nZbiorem wszystkich rozwiązań nierówności -2(x+3)(x-2) > 0 jest przedział A. <-3,2> B. (-3,2) C. <-2,3> D. (-2,3)","answer":"B","answer_text":"Zadanie 7. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIII.4) rozwiązuje […] nierówności\nkwadratowe.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"Rozwiązujemy nierówność:\n\n-2(x+3)(x-2)>0\n\nDzielimy przez liczbę ujemną -2 , więc zmieniamy znak nierówności:\n\n(x+3)(x-2)<0\n\nMiejsca zerowe to:\n\nx=-3, x=2\n\nMożemy spojrzeć na wykres paraboli o miejscach zerowych -3 i 2 .\n\nParabola jest nad osią OX między miejscami zerowymi, więc:\n\nx∈(-3,2)\n\nOdpowiedź: B. (-3,2)","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/sol-7.svg","topics":"Nierówności kwadratowe, rownania_i_nierownosci","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa","number":"8","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (0-3)\nDane jest równanie\n3𝑥+ 4\n𝑥-1 = 𝑥+ 3\n3𝑥\n, gdzie 𝑥≠0 i 𝑥≠1.\nWyznacz wszystkie rozwiązania tego równania należące do przedziału (-∞, -𝟐\n𝟑).\nZapisz obliczenia.\n8.\n0-1-\n2-3\n\nMMAP-P0_100\nDane jest równanie 3x+4 / x-1 = x+3 / 3x, gdzie x≠0 i x≠1. Wyznacz wszystkie rozwiązania tego równania należące do przedziału (-∞,-2/3).","answer":"x=-(3)/(4)","answer_text":"Zadanie 8. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIII.1) przekształca równania i nierówności\nw sposób równoważny, w tym np.\nprzekształca równoważnie równanie\n5\n𝑥 + 1 = 𝑥 + 3\n2𝑥-1;\nIII.4) rozwiązuje równania […] kwadratowe.\nI.6) posługuje się pojęciem przedziału\nliczbowego […].\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody tj. rozwiązanie równania 3𝑥 + 4\n𝑥 - 1 = 𝑥 + 3\n3𝑥 w zbiorze\nliczb rzeczywistych oraz wskazanie tego z rozwiązań równania, które należy do\nprzedziału (-∞, -2\n3): 𝑥= -3\n4\n2 pkt - rozwiązanie równania 3𝑥 + 4\n𝑥 - 1 = 𝑥 + 3\n3𝑥 w zbiorze liczb rzeczywistych:\n𝑥= -3\n4 oraz 𝑥= -1\n2\n1 pkt - przekształcenie równania 3𝑥 + 4\n𝑥 - 1 = 𝑥 + 3\n3𝑥 do równania kwadratowego, np.\n(3𝑥+ 4) ⋅3𝑥= (𝑥-1) ⋅(𝑥+ 3).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe przy przekształcaniu równania i otrzyma\nrównanie kwadratowe postaci 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0, które ma co najmniej jedno rozwiązanie\nrzeczywiste i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje 2 punkty za całe\nrozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający nie spełni kryterium za 1 punkt, a przy przekształcaniu równania popełnia\nbłędy i otrzyma równanie kwadratowe postaci 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐= 0, które nie ma rozwiązań\nrzeczywistych, albo otrzyma równanie, które nie jest kwadratowe, to otrzymuje 0 punktów\nza całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający, przekształcając równanie wymierne do równania kwadratowego, zastosuje\nbłędną metodę - np. zapisze (3𝑥+ 4) ⋅(𝑥+ 3) = (𝑥-1) ⋅3𝑥, to otrzymuje 0 punktów\nza całe rozwiązanie.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nZauważmy, że 0 ∉(-∞, -2\n3) oraz 1 ∉(-∞, -2\n3).\nPrzekształcamy równanie:\n3𝑥+ 4\n𝑥-1 = 𝑥+ 3\n3𝑥\n(3𝑥+ 4) ⋅3𝑥= (𝑥-1) ⋅(𝑥+ 3)\nRozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe:\n9𝑥2 + 12𝑥= 𝑥2 + 3𝑥-𝑥-3\n8𝑥2 + 10𝑥+ 3 = 0\nObliczamy wyróżnik Δ trójmianu kwadratowego 8𝑥2 + 10𝑥+ 3:\nΔ = 102 -4 ⋅8 ⋅3 = 100 -96 = 4\nStąd:\n𝑥1 = -10 -√4\n2 ⋅8\n= -3\n4 ∈(-∞, -2\n3)\n𝑥2 = -10 + √4\n2 ⋅8\n= -1\n2 ∉(-∞, -2\n3)\nZatem jedynym rozwiązaniem równania 3𝑥 + 4\n𝑥 - 1 = 𝑥 + 3\n3𝑥 w zbiorze (-∞, -2\n3)\njest liczba (-3\n4).","solution":"Rozwiązujemy równanie:\n\n(3x+4)/(x-1)=(x+3)/(3x)\n\nMnożymy na krzyż:\n\n3x(3x+4)=(x+3)(x-1)\n\n9x^2+12x=x^2+2x-3\n\n8x^2+10x+3=0\n\nLiczymy deltę:\n\nΔ=10^2-4·8·3=100-96=4\n\n√(Δ)=2\n\nObliczamy rozwiązania:\n\nx_1=(-10-2)/(16)=-(12)/(16)=-(3)/(4)\n\nx_2=(-10+2)/(16)=-(8)/(16)=-(1)/(2)\n\nSzukamy rozwiązania z przedziału (-∞,-(2)/(3)) . Należy do niego tylko:\n\nx=-(3)/(4)","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/sol-8.svg","topics":"Funkcja wymierna, rownania_i_nierownosci","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (0-1)\nW parku miejskim rosną drzewa iglaste i drzewa liściaste. Wszystkich drzew łącznie jest 198.\nGdyby w tym parku rosło o 18 drzew iglastych więcej niż teraz, to wtedy drzew liściastych\nbyłoby tam 3 razy więcej niż drzew iglastych.\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia:\n𝑥 - liczba drzew iglastych rosnących w parku miejskim,\n𝑦 - liczba drzew liściastych rosnących w parku miejskim.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nUkładem równań, którego poprawne rozwiązanie prowadzi do obliczenia liczby 𝑥 drzew\niglastych oraz liczby 𝑦 drzew liściastych, jest\nA. { 𝑥+ 𝑦= 198\n𝑥+ 18 = 3𝑦\nB. { 𝑥+ 𝑦= 198\n3𝑥+ 18 = 𝑦\nC. {\n𝑥+ 𝑦= 198\n1\n3 𝑥+ 18 = 𝑦\nD. { 𝑥+ 𝑦= 198\n3(𝑥+ 18) = 𝑦\n\nMMAP-P0_100\nW parku miejskim rosną drzewa iglaste i drzewa liściaste. Wszystkich drzew łącznie jest 198. Gdyby w tym parku rosło o 18 drzew iglastych więcej niż teraz, to wtedy drzew liściastych byłoby tam 3 razy więcej niż drzew iglastych. Przyjmijmy następujące oznaczenia: x - liczba drzew iglastych rosnących w parku miejskim, y - liczba drzew liściastych rosnących w parku miejskim. Układem równań, którego poprawne rozwiązanie prowadzi do obliczenia liczby x drzew iglastych oraz liczby y drzew liściastych, jest A. {x+y = 198; x+18 = 3y B. x+y = 198⋅r; 3x+18 = y C. {x+y = 198; 1/3x+18 = y D. {x+y = 198; 3(x+18) = y","answer":"D","answer_text":"Zadanie 9. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nIV.2) stosuje układy równań do\nrozwiązywania zadań tekstowych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"Łącznie wszystkich drzew jest 198 , więc:\n\nx+y=198\n\nGdyby drzew iglastych było o 18 więcej, to byłoby ich x+18 .\n\nWtedy drzew liściastych byłoby 3 razy więcej niż drzew iglastych:\n\ny=3(x+18)\n\nZatem układ równań to:\n\nx+y=198\n\n3(x+18)=y\n\nOdpowiedź: D.","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/sol-9.svg","topics":"Układy równań, uklady_rownan","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (0-1)\nFunkcja liniowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 3𝑥-4.\nOceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest\nprawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.\nFunkcja 𝑓 jest rosnąca.\nP\nF\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) wykres funkcji 𝑓 przecina\noś 𝑂𝑦 w punkcie (0, 4).\nP\nF\nFunkcja liniowa f jest określona wzorem f(x) = 3x - 4. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Funkcja f jest rosnąca. | P | F | W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) wykres funkcji f przecina oś Oy w punkcie (0,4). | P | F |","answer":"PF","answer_text":"Zadanie 10. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nV.5) interpretuje współczynniki występujące\nwe wzorze funkcji liniowej.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nPF","solution":"Dana jest funkcja:\n\nf(x)=3x-4\n\nWspółczynnik kierunkowy wynosi 3 . Ponieważ 3>0 , funkcja jest rosnąca.\n\nPierwsze zdanie: prawda.\n\nPunkt przecięcia z osią OY otrzymujemy dla x=0 :\n\nf(0)=3·0-4=-4\n\nWykres przecina oś OY w punkcie (0,-4) , a nie w punkcie (0,4) .\n\nDrugie zdanie: fałsz.\n\nOdpowiedź: P, F","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/sol-10.svg","topics":"Funkcja liniowa, funkcje","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (0-1)\nFunkcja kwadratowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 -𝑘𝑥+ 6, gdzie 𝑘 jest pewną\nliczbą rzeczywistą. Liczba 2 jest miejscem zerowym funkcji 𝑓.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba 𝑘 jest równa\nA. (-11)\nB. (-7)\nC. 7\nD. 11\n\nMMAP-P0_100\nFunkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x) = 2x²-kx+6, gdzie k jest pewną liczbą rzeczywistą. Liczba 2 jest miejscem zerowym funkcji f. Liczba k jest równa A. (-11) B. (-7) C. 7 D. 11","answer":"C","answer_text":"Zadanie 11. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nV.2) oblicza wartość funkcji zadanej wzorem\nalgebraicznym.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Liczba 2 jest miejscem zerowym funkcji, więc:\n\nf(2)=0\n\nPodstawiamy x=2 do wzoru funkcji:\n\n2·2^2-k·2+6=0\n\n8-2k+6=0\n\n14-2k=0\n\nk=7\n\nOdpowiedź: C. 7","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/sol-11.svg","topics":"Funkcja kwadratowa, funkcje","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa","number":"12","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12.\nFunkcja 𝑓 jest określona następująco:\n𝑓(𝑥) =\n{\n4\n3 𝑥+ 14\n3\ndla 𝑥∈[-5, -2)\n3\n4 𝑥+ 3\n2\ndla 𝑥∈[-2, 2]\n-3𝑥+ 9\ndla 𝑥∈(2, 4)\nWykres funkcji 𝑦= 𝑓(𝑥) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦)\nna rysunku poniżej.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/12.1","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa","number":"12.1","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12.1. (0-2)\nUzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania\nbyły prawdziwe.\n1. Funkcja 𝑓 ma dokładnie miejsca zerowe.\n2. Funkcja 𝑓 osiąga największą wartość dla argumentu\n1 2 3 4\n-1\n-2\n5\n0\n𝑥\n-5 -4 -3\n1\n2\n3\n4\n𝑦\n5\n-1\n-2\n-3\n-4\n-5\n𝑦= 𝑓(𝑥)\n12.1.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\nFunkcja f jest określona następująco: f(x) = {4/3x + 14/3 dla x∈<-5,-2); 3/4x+3/2 dla x∈<-2,2>; -3x+9 dla x∈(2,4). Wykres funkcji y=f(x) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) na rysunku poniżej. [rysunek] Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.} 1. Funkcja f ma dokładnie ............ miejsca zerowe. 2. Funkcja f osiąga największą wartość dla argumentu ............ .","answer":"1) 3 , 2) 2","answer_text":"Zadanie 12.1. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nV.4) odczytuje z wykresu funkcji: […]\nmiejsca zerowe […] oraz argumenty, dla\nktórych wartości największe i najmniejsze\nsą przez funkcję przyjmowane.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawne uzupełnienie dwóch zdań.\n1 pkt - poprawne uzupełnienie jednego zdania.\n0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nRozwiązanie\n1. 3\n2. 2","solution":"Z wykresu odczytujemy miejsca zerowe funkcji, czyli punkty przecięcia wykresu z osią OX .\n\nx=-(7)/(2), x=-2, x=3\n\nFunkcja ma więc dokładnie 3 miejsca zerowe.\n\nNajwiększa wartość funkcji jest równa 3 i jest osiągana dla argumentu:\n\nx=2\n\nOdpowiedź: 1) 3 , 2) 2","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad-12.1.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/sol-12.1.svg","topics":"Funkcje","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/12.2","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa","number":"12.2","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12.2. (0-2)\nUzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby\nzdania były prawdziwe.\n1. Dziedziną funkcji 𝑓 jest przedział\n2. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja 𝑓 przyjmuje wartości nieujemne,\njest przedział\n12.2.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\nFunkcja f jest określona następująco: f(x) = { 4/3x + 14/3 dla x ∈ <-5,-2); 3/4x + 3/2 dla x∈<-2,2>; -3x+9 dla x∈(2,4) Wykres funkcji y=f(x) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) na rysunku poniżej. [rysunek] Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.} 1. Dziedziną funkcji f jest przedział ................. . 2. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości nieujemne, jest przedział ................. .","answer":"1) [-5,4) , 2) [-(7)/(2),3 ]","answer_text":"Zadanie 12.2. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nV.3) odczytuje i interpretuje wartości funkcji\nokreślonych za pomocą tabel, wykresów,\nwzorów […];\nV.4) odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę,\n[…] przedziały, w których funkcja przyjmuje\nwartości większe (nie mniejsze) lub\nmniejsze (nie większe) od danej liczby […].\nI.6) posługuje się pojęciem przedziału\nliczbowego […].\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawne uzupełnienie dwóch zdań.\n1 pkt - poprawne uzupełnienie jednego zdania.\n0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nUwaga:\nUzupełnienie zdania uznaje się za poprawne tylko wtedy, gdy zapisane krańce przedziału są\npoprawne i można jednoznacznie ustalić, czy przedział zapisany przez zdającego jest\notwarty czy domknięty.\nKryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nJeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej przy zachowaniu poprawnych krańców\nprzedziału, np. zapisze, że dziedziną funkcji 𝑓 jest przedział (4, -5], to otrzymuje 1 punkt\nza tak uzupełnione zdanie.\nRozwiązanie\n1. [-5, 4)\n2. [-7\n2 , 3]","solution":"Dziedzinę odczytujemy z przedziałów podanych we wzorze funkcji:\n\n[-5,-2)∪[-2,2]∪(2,4)=[-5,4)\n\nFunkcja przyjmuje wartości nieujemne tam, gdzie jej wykres leży na osi OX albo nad osią OX .\n\nx∈ [-(7)/(2),3 ]\n\nOdpowiedź: 1) [-5,4) , 2) [-(7)/(2),3 ]","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad-12.2.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/sol-12.2.svg","topics":"Funkcje","page_from":13,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa","number":"13","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13.\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) wykresem funkcji kwadratowej 𝑓 jest\nparabola o wierzchołku w punkcie 𝑊= (-3, 7).\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku w punkcie W=(-3,7). Liczba t spełnia warunki: f(t)=f(-9) oraz t≠-9. Liczba t jest równa A. 3 B. 9 C. 15 D. 21","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/sol-13.svg","topics":null,"page_from":14,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/13.1","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa","number":"13.1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13.1. (0-1)\nLiczba 𝑡 spełnia warunki: 𝑓(𝑡) = 𝑓(-9) oraz 𝑡≠-9.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba 𝑡 jest równa\nA. 3\nB. 9\nC. 15\nD. 21","answer":"A","answer_text":"Zadanie 13.1. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nV.11) wykorzystuje własności funkcji […]\nkwadratowej […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"Wierzchołek paraboli ma współrzędne:\n\nW=(-3,7)\n\nOś symetrii paraboli ma równanie:\n\nx=-3\n\nPunkty o tej samej wartości funkcji leżą symetrycznie względem osi symetrii.\n\nLiczba -9 leży 6 jednostek na lewo od osi x=-3 :\n\n-3-(-9)=6\n\nDrugi argument leży 6 jednostek na prawo od osi:\n\n-3+6=3\n\nOdpowiedź: A. 3","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad-13.1.webp","solution_image":null,"topics":"Funkcja kwadratowa, funkcje","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/13.2","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa","number":"13.2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13.2. (0-1)\nFunkcja kwadratowa 𝑔 jest określona za pomocą funkcji 𝑓 wzorem 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥-5).\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji 𝑔 ma współrzędne\nA. (-8, 7)\nB. (-3, 2)\nC. (-3, 12)\nD. (2, 7)\n\nMMAP-P0_100\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku w punkcie W=(-3,7). Funkcja kwadratowa g jest określona za pomocą funkcji~f wzorem g(x)=f(x-5). Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji g ma współrzędne A. (-8,7) B. (-3,2) C. (-3,12) D. (2,7)","answer":"D","answer_text":"Zadanie 13.2. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nV.12) na podstawie wykresu funkcji\n𝑦= 𝑓(𝑥) szkicuje wykresy funkcji\n𝑦= 𝑓(𝑥-𝑎) […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Funkcja g jest określona wzorem:\n\ng(x)=f(x-5)\n\nZapis f(x-5) oznacza przesunięcie wykresu funkcji f o 5 jednostek w prawo.\n\nWierzchołek funkcji f ma współrzędne:\n\n(-3,7)\n\nPo przesunięciu o 5 jednostek w prawo otrzymujemy:\n\n(-3+5,7)=(2,7)\n\nOdpowiedź: D. (2,7)","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad-13.2.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/sol-13.2.svg","topics":"Funkcja kwadratowa, funkcje","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa","number":"14","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14.\nCiąg (𝑎𝑛) jest określony następująco:\n{𝑎1 = 2\n𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛-6 dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.\nCiąg (a_n) jest określony następująco: {a_1 = 2⋅r; a_n+1 = a_n - 6 dla każdej liczby naturalnej n≥1. Piąty wyraz ciągu (a_n) jest równy A. (-4) B. (-16) & C. (-22) D. (-28)","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/sol-14.svg","topics":null,"page_from":15,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/14.1","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa","number":"14.1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14.1. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nPiąty wyraz ciągu (𝑎𝑛) jest równy\nA. (-4)\nB. (-16)\nC. (-22)\nD. (-28)","answer":"C","answer_text":"Zadanie 14.1. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVI.2) oblicza początkowe wyrazy ciągów\nokreślonych rekurencyjnie.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"Liczymy kolejne wyrazy ciągu:\n\na_1=2\n\na_2=2-6=-4\n\na_3=-4-6=-10\n\na_4=-10-6=-16\n\na_5=-16-6=-22\n\nOdpowiedź: C. (-22)","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad-14.1.webp","solution_image":null,"topics":"Ciągi, ciagi","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/14.2","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa","number":"14.2","points":1,"ptype":"true_false","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14.2. (0-1)\nOceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest\nprawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.\nCiąg (𝑎𝑛) jest arytmetyczny.\nP\nF\nCiąg (𝑎𝑛) jest malejący.\nP\nF\n\nMMAP-P0_100\nOceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Liczba naturalna 4^12 ⋅ 5^24 jest podzielna przez 20. | P | F | Liczba naturalna 4^12 ⋅ 5^24 jest w zapisie dziesiętnym liczbą 25-cyfrową. | P | F |","answer":"PP","answer_text":"Zadanie 14.2. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVI.4) sprawdza, czy dany ciąg jest\narytmetyczny […];\nVI.3) w prostych przypadkach bada, czy\nciąg jest rosnący, czy malejący.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nPP","solution":"Ciąg jest określony wzorem rekurencyjnym:\n\na_1=2\n\na_n+1=a_n-6\n\nKażdy kolejny wyraz powstaje przez odjęcie tej samej liczby 6 .\n\nr=-6\n\nRóżnica jest stała, więc ciąg jest arytmetyczny.\n\nPonieważ:\n\nr=-6<0\n\nkażdy kolejny wyraz jest mniejszy od poprzedniego, więc ciąg jest malejący.\n\nOdpowiedź: P, P","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad-14.2.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/sol-14.2.svg","topics":"Ciąg arytmetyczny, ciagi","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa","number":"15","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (0-2)\nCzterowyrazowy ciąg (7, 𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎4) jest arytmetyczny.\nSuma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 54.\nOblicz drugi wyraz tego ciągu. Zapisz obliczenia.\n15.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\nCzterowyrazowy ciąg (7,a_2,a_3,a_4) jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 54. Oblicz drugi wyraz tego ciągu. Zapisz obliczenia.","answer":"a_2=(34)/(3)","answer_text":"Zadanie 15. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nVI.5) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz i na sumę\n𝑛 początkowych wyrazów ciągu\narytmetycznego.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑎2 = 34\n3\n1 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑟, np.\n7 + 7 + 𝑟+ 7 + 2𝑟+ 7 + 3𝑟= 54\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑎2, np.\n3𝑎2 + 3(𝑎2 -7) = 47,\nALBO\n- obliczenie trzeciego wyrazu ciągu: 𝑎3 = 47\n3\n,\nALBO\n- obliczenie czwartego wyrazu ciągu: 𝑎4 = 20 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający wypisze wszystkie cztery wyrazy rozpatrywanego ciągu arytmetycznego\n(7, 34\n3 , 47\n3 , 20), to otrzymuje 2 punkty.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nZ treści zadania wynika, że 7 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 = 54.\nStąd i ze wzoru na 𝑛-ty wyraz ciągu arytmetycznego otrzymujemy równanie:\n7 + 7 + 𝑟+ 7 + 2𝑟+ 7 + 3𝑟= 54\n28 + 6𝑟= 54\n6𝑟= 26\n𝑟= 13\n3\nZatem:\n𝑎2 = 7 + 𝑟= 7 + 13\n3 = 34\n3\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób II\nZ treści zadania wynika, że 7 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 = 54.\nZe wzoru na 𝑛-ty wyraz ciągu arytmetycznego otrzymujemy:\n𝑎2 = 7 + 𝑟\nStąd:\n𝑟= 𝑎2 -7\nWtedy:\n𝑎3 = 𝑎2 + 𝑟= 𝑎2 + 𝑎2 -7 = 2𝑎2 -7\n𝑎4 = 𝑎2 + 2𝑟= 𝑎2 + 2(𝑎2 -7) = 3𝑎2 -14\nPrzekształcamy równanie 7 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 = 54 do równania z jedną niewiadomą 𝑎2:\n7 + 𝑎2 + (2𝑎2 -7) + (3𝑎2 -14) = 54\n6𝑎2 -14 = 54\n6𝑎2 = 68\n𝑎2 = 34\n3\nSposób III\nZ treści zadania wynika, że 7 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 = 54.\nZ własności ciągu arytmetycznego otrzymujemy:\n𝑎2 = 𝑎3 -𝑟\n𝑎4 = 𝑎3 + 𝑟\nPrzekształcamy równanie 7 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 = 54 do równania z jedną niewiadomą 𝑎3:\n7 + (𝑎3 -𝑟) + 𝑎3 + (𝑎3 + 𝑟) = 54\n7 + 3𝑎3 = 54\n3𝑎3 = 47\n𝑎3 = 47\n3\nKorzystamy z własności sąsiednich wyrazów ciągu arytmetycznego i obliczamy 𝑎2:\n𝑎2 =\n7 + 47\n3\n2\n= 68\n3 ⋅1\n2 = 34\n3\nSposób IV\nZ treści zadania wynika, że 7 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 = 54.\nZe wzoru na sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego otrzymujemy:\n7 + 𝑎4\n2\n⋅4 = 54\n7 + 𝑎4 = 27\n𝑎4 = 20\nZe wzoru na 𝑛-ty wyraz ciągu arytmetycznego otrzymujemy:\n𝑎4 = 𝑎1 + 3𝑟\n20 = 7 + 3𝑟\n𝑟= 13\n3\nZatem:\n𝑎2 = 7 + 𝑟= 7 + 13\n3 = 34\n3","solution":"Ciąg (7,a_2,a_3,a_4) jest arytmetyczny, więc oznaczmy jego różnicę przez r .\n\na_1=7\n\na_2=7+r, a_3=7+2r, a_4=7+3r\n\nSuma wszystkich wyrazów jest równa 54 :\n\n7+(7+r)+(7+2r)+(7+3r)=54\n\n28+6r=54\n\n6r=26\n\nr=(13)/(3)\n\nDrugi wyraz ciągu:\n\na_2=7+(13)/(3)\n\na_2=(21)/(3)+(13)/(3)=(34)/(3)\n\nOdpowiedź: a_2=(34)/(3)","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/sol-15.svg","topics":"Ciąg arytmetyczny, ciagi","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (0-1)\nPięciowyrazowy ciąg (𝑎1 , 𝑎2 , 2 , 𝑎4 , 𝑎5) jest geometryczny.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nIloczyn 𝑎1 ⋅𝑎2 ⋅2 ⋅𝑎4 ⋅𝑎5 jest równy\nA. 2\nB. 16\nC. 32\nD. 64\nPięciowyrazowy ciąg (a_1, a_2, 2, a_4, a_5) jest geometryczny. Iloczyn a_1 ⋅ a_2 ⋅ 2 ⋅ a_4 ⋅ a_5 jest równy A. 2 B. 16 C. 32 D. 64","answer":"C","answer_text":"Zadanie 16. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nVI.6) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz […] ciągu\ngeometrycznego.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"W pięciowyrazowym ciągu geometrycznym środkowy wyraz jest równy 2 :\n\na_3=2\n\nW ciągu geometrycznym iloczyn wyrazów symetrycznie położonych względem środka jest równy kwadratowi środkowego wyrazu:\n\na_1· a_5=a_3^2\n\na_2· a_4=a_3^2\n\nZatem:\n\na_1· a_2· 2· a_4· a_5\n(a_1a_5)(a_2a_4)·2\n\n=2^2·2^2·2=32\n\nOdpowiedź: C. 32","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/sol-16.svg","topics":"Ciąg geometryczny, ciagi","page_from":17,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (0-1)\nDany jest trójkąt prostokątny o takim kącie 𝛼, że sin 𝛼= 1\n4\nPrzeciwprostokątna tego trójkąta ma długość 8.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nKrótsza przyprostokątna tego trójkąta ma długość\nA. 1\nB. 2\nC. 4\nD. 2√15\n\nMMAP-P0_100\nDany jest trójkąt prostokątny o takim kącie α, że sinα = 1/4. Przeciwprostokątna tego trójkąta ma długość 8. Krótsza przyprostokątna tego trójkąta ma długość A. 1 B. 2 C. 4 D. 2√15","answer":"B","answer_text":"Zadanie 17. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVIII.12) stosuje funkcje trygonometryczne\ndo wyznaczania długości odcinków\nw figurach płaskich oraz obliczania pól figur.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"Dany jest trójkąt prostokątny, w którym:\n\nsinα=(1)/(4)\n\nSinus kąta ostrego to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej.\n\nsinα=(przyprostokątna naprzeciw kąta)/(przeciwprostokątna)\n\nPrzeciwprostokątna ma długość 8 , więc:\n\n(x)/(8)=(1)/(4)\n\nx=2\n\nDruga przyprostokątna jest dłuższa, więc krótsza przyprostokątna ma długość 2 .\n\nOdpowiedź: B. 2","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/sol-17.svg","topics":"Trygonometria","page_from":17,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (0-1)\nPunkty 𝐴, 𝐵, 𝐶 oraz 𝐷 leżą na okręgu o środku w punkcie 𝑆.\nOdcinek 𝐵𝐷 jest średnicą tego okręgu oraz |∡𝐴𝐵𝐷| = 18°.\nPunkt 𝐷 leży na krótszym łuku 𝐶𝐴 (zobacz rysunek).\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nMiara kąta ostrego 𝐵𝐶𝐴 jest równa\nA. 36°\nB. 60°\nC. 72°\nD. 81°\n𝐶\n𝐷\n𝐵\n𝑆\n18°\n𝐴\n\nMMAP-P0_100\nPunkty A, B, C oraz D leżą na okręgu o środku w punkcie S. Odcinek BD jest średnicą tego okręgu oraz |∠ ABD| = 18°. Punkt D leży na krótszym łuku CA (zobacz rysunek). [rysunek] Miara kąta ostrego BCA jest równa A. 36° B. 60° C. 72° D. 81°","answer":"C","answer_text":"Zadanie 18. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nVIII.5) stosuje własności kątów wpisanych\ni środkowych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"Odcinek BD jest średnicą okręgu, więc łuk od B do D ma miarę 180^° .\n\nKąt wpisany ∠ ABD ma miarę 18^° , więc oparty na nim łuk AD ma miarę dwa razy większą:\n\noverset frown AD =2·18^°=36^°\n\nPunkt D jest środkiem krótszego łuku CA , więc:\n\noverset frown CD =overset frown DA =36^°\n\nNa półokręgu od B do D mamy:\n\noverset frown BA +overset frown AD =180^°\n\noverset frown BA =180^°-36^°=144^°\n\nKąt ∠ BCA jest kątem wpisanym opartym na łuku BA , dlatego:\n\n|∠ BCA|=(144^°)/(2)=72^°\n\nOdpowiedź: C. 72^°","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/sol-18.svg","topics":"Kąty w okręgu, planimetria","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (0-1)\nRamiona kąta o wierzchołku w punkcie 𝐴 przecięto dwiema prostymi równoległymi 𝑘 oraz 𝑙.\nProsta 𝑘 przecina ramiona tego kąta w punktach 𝐵 oraz 𝐶.\nProsta 𝑙 przecina ramiona tego kąta w punktach 𝐷 oraz 𝐸.\nPunkty 𝐵 oraz 𝐷 leżą na jednym ramieniu tego kąta, a punkty 𝐶 oraz 𝐸 leżą na drugim\nramieniu tego kąta. Ponadto |𝐴𝐵| = 6, |𝐵𝐶| = 4 oraz |𝐵𝐷| = 2 (zobacz rysunek).\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nOdcinek 𝐷𝐸 ma długość\nA. 8\n3\nB. 16\n3\nC. 6\nD. 8\n𝐴\n𝐵\n𝐷\n𝐸\n𝐶\n6\n2\n4\n𝑘\n𝑙\n\nMMAP-P0_100\nRamiona kąta o wierzchołku w punkcie A przecięto dwiema prostymi równoległymi k oraz l. Prosta k przecina ramiona tego kąta w punktach B oraz C. Prosta l przecina ramiona tego kąta w punktach D oraz E. Punkty B oraz D leżą na jednym ramieniu tego kąta, a punkty C oraz E leżą na drugim ramieniu tego kąta. Ponadto |AB|=6, |BC|=4 oraz |BD|=2 (zobacz rysunek). [rysunek] Odcinek DE ma długość A. 8/3 B. 16/3 C. 6 D. 8","answer":"B","answer_text":"Zadanie 19. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nVIII.8) korzysta z cech podobieństwa\ntrójkątów.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"Proste k oraz l są równoległe, więc trójkąty ABC oraz ADE są podobne.\n\nNa dolnym ramieniu kąta:\n\nAB=6, BD=2\n\nAD=AB+BD=6+2=8\n\nSkala podobieństwa większego trójkąta do mniejszego wynosi:\n\n(AD)/(AB)=(8)/(6)=(4)/(3)\n\nOdcinkowi BC odpowiada odcinek DE , więc:\n\nDE=BC·(4)/(3)\n\nDE=4·(4)/(3)=(16)/(3)\n\nOdpowiedź: B. (16)/(3)","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/sol-19.svg","topics":"Figury podobne, planimetria","page_from":19,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa","number":"20","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (0-2)\nW trójkącie ostrokątnym 𝐴𝐵𝐶 punkt 𝐷 leży na boku 𝐴𝐵, a punkt 𝐸 leży na boku 𝐴𝐶.\nOdcinek 𝐵𝐸 jest środkową trójkąta 𝐴𝐵𝐶, a odcinek 𝐶𝐷 jest wysokością tego trójkąta.\nPonadto odcinki 𝐷𝐵 oraz 𝐷𝐸 mają równe długości (zobacz rysunek).\nWykaż, że |∡𝑪𝑨𝑩| = 𝟐⋅|∡𝑨𝑩𝑬|.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐸\n𝐷\n20.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\nW trójkącie ostrokątnym ABC punkt D leży na boku AB, a punkt E leży na boku AC. Odcinek BE jest środkową trójkąta ABC, a odcinek CD jest wysokością tego trójkąta. Ponadto odcinki DB oraz DE mają równe długości (zobacz rysunek). [rysunek] Wykaż, że |∠ CAB| = 2⋅|∠ ABE|.","answer":"Uzasadnienie.","answer_text":"Zadanie 20. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nVIII.11) przeprowadza dowody\ngeometryczne.\nZasady oceniania\n2 pkt - przeprowadzenie pełnego rozumowania.\n1 pkt - zapisanie, że |𝐴𝐸| = |𝐷𝐸|\nALBO\n- zapisanie, że |∡𝐸𝐴𝐷| = |∡𝐴𝐷𝐸|,\nALBO\n- zapisanie, że |∡𝐵𝐸𝐷| = |∡𝐷𝐵𝐸|,\nALBO\n- wyznaczenie zależności między miarami kątów 𝐴𝐷𝐸 i 𝐴𝐵𝐸, np.\n|∡𝐴𝐷𝐸| = 2 ⋅|∡𝐴𝐵𝐸|.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nNiech |∡𝐶𝐴𝐵| = 𝛼 oraz |∡𝐴𝐵𝐸| = 𝛽 (zobacz rysunek). Wtedy tezę możemy zapisać\nw postaci 𝛼= 2𝛽.\nZ równości |𝐷𝐵| = |𝐷𝐸| wynika, że trójkąt 𝐷𝐵𝐸 jest równoramienny. Stąd:\n|∡𝐵𝐸𝐷| = |∡𝐷𝐵𝐸| = 𝛽\nZatem z twierdzenia o sumie miar kątów wewnętrznych trójkąta wynika, że:\n|∡𝐸𝐷𝐵| = 180° -2𝛽\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐸\n𝐷\n𝛽\n𝛼\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nTrójkąt 𝐴𝐷𝐶 jest prostokątny i punkt 𝐸 jest środkiem jego przeciwprostokątnej (tzn. że\npunkt 𝐸 jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie 𝐴𝐷𝐶), więc:\n|𝐴𝐸| = |𝐷𝐸| = |𝐶𝐸|\nStąd wynika, że trójkąt 𝐴𝐷𝐸 jest równoramienny, zatem:\n|∡𝐴𝐷𝐸| = |∡𝐸𝐴𝐷| = 𝛼\nKąty 𝐴𝐷𝐸 i 𝐸𝐷𝐵 są przyległe, więc:\n𝛼= |∡𝐴𝐷𝐸| = 180° -|∡𝐸𝐷𝐵| = 180° -(180° -2𝛽) = 2𝛽\nZatem 𝛼= 2𝛽. To kończy dowód.\nUwaga.\nRówność |∡𝐴𝐷𝐸| = 2𝛽 możemy też otrzymać, korzystając z twierdzenia o kącie\nzewnętrznym trójkąta.","solution":"Odcinek BE jest środkową trójkąta ABC , więc punkt E jest środkiem boku AC .\n\nOdcinek CD jest wysokością, zatem trójkąt ADC jest prostokątny.\n\nW trójkącie prostokątnym środek przeciwprostokątnej jest równo odległy od wszystkich wierzchołków. Ponieważ E jest środkiem przeciwprostokątnej AC , mamy:\n\nEA=ED\n\nZ treści zadania:\n\nDB=DE\n\nOznaczmy:\n\n|∠ ABE|=α\n\nPonieważ D leży na odcinku AB , to:\n\n|∠ DBE|=α\n\nW trójkącie DBE mamy DB=DE , więc kąty przy podstawie są równe:\n\n|∠ DBE|=|∠ BED|=α\n\nStąd:\n\n|∠ BDE|=180^°-2α\n\nKąty ∠ BDE i ∠ ADE są przyległe, więc:\n\n|∠ ADE|=180^°-(180^°-2α)=2α\n\nW trójkącie ADE mamy EA=ED , więc:\n\n|∠ DAE|=|∠ ADE|=2α\n\nA ponieważ ∠ DAE=∠ CAB , otrzymujemy:\n\n|∠ CAB|=2|∠ ABE|\n\nWykazano, że |∠ CAB|=2·|∠ ABE| .","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/sol-20.svg","topics":"Dowody geometryczne, dowody_geometryczne","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (0-1)\nKąt o mierze 𝛼 jest rozwarty oraz sin 𝛼= 3\n5\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nCosinus kąta o mierze 𝛼 jest równy\nA. (-4\n5)\nB. (-3\n4)\nC. 3\n4\nD. 4\n5\n\nMMAP-P0_100\nKąt o mierze α jest rozwarty oraz sinα = 3/5. Cosinus kąta o mierze α jest równy A. (-4/5) B. (-3/4) C. 3/4 D. 4/5","answer":"A","answer_text":"Zadanie 21. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVII.2) korzysta z wzorów\nsin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1, tg 𝛼= sin𝛼\ncos𝛼 .\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"Kąt α jest rozwarty, więc jego cosinus jest ujemny.\n\nKorzystamy z jedynki trygonometrycznej:\n\nsin^2α+cos^2α=1\n\nPodstawiamy sinα=(3)/(5) :\n\n((3)/(5) )^2+cos^2α=1\n\n(9)/(25)+cos^2α=1\n\ncos^2α=(16)/(25)\n\n|cosα|=(4)/(5)\n\nPonieważ kąt jest rozwarty:\n\ncosα=-(4)/(5)\n\nOdpowiedź: A. -(4)/(5)","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/sol-21.svg","topics":"Trygonometria","page_from":21,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa","number":"22","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (0-3)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest równoległobok 𝐴𝐵𝐶𝐷, w którym\n𝐷= (6, 19). Bok 𝐴𝐵 tego równoległoboku zawiera się w prostej o równaniu 𝑦= 1\n2 𝑥+ 9,\na bok 𝐴𝐷 zawiera się w prostej o równaniu 𝑦= 4𝑥-5. Punkt 𝐾= (10, 14) jest\nśrodkiem odcinka 𝐴𝐵. Przekątne równoległoboku 𝐴𝐵𝐶𝐷 przecinają się w punkcie 𝑆.\nOblicz współrzędne punktu 𝑺. Zapisz obliczenia.\n22.\n0-1-\n2-3\n\nMMAP-P0_100\n\nMMAP-P0_100\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dany jest równoległobok ABCD, w którym D=(6,19). Bok AB tego równoległoboku zawiera się w prostej o równaniu y=1/2x+9, a bok AD zawiera się w prostej o równaniu y=4x-5. Punkt K=(10,14) jest środkiem odcinka AB. Przekątne równoległoboku ABCD przecinają się w punkcie S. Oblicz współrzędne punktu S.","answer":"S=(11,18)","answer_text":"Zadanie 22. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nIX.1) rozpoznaje wzajemne położenie\nprostych na płaszczyźnie na podstawie ich\nrównań, w tym znajduje wspólny punkt\ndwóch prostych, jeśli taki istnieje.\nSP X. Oś liczbowa. Układ współrzędnych na\npłaszczyźnie.\n4) znajduje środek odcinka, którego końce\nmają dane współrzędne (całkowite lub\nwymierne) oraz znajduje współrzędne\ndrugiego końca odcinka, gdy dany jest\njeden koniec i środek.\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑆= (11, 18).\n2 pkt - obliczenie współrzędnych punktu 𝐵: 𝐵= (16, 17)\nALBO\n- obliczenie współrzędnych środka 𝑀𝐷𝐶 boku 𝐷𝐶: 𝑀𝐷𝐶= (12, 22),\nALBO\n- obliczenie współrzędnych środka 𝑀𝐴𝐷 boku 𝐴𝐷 oraz obliczenie współrzędnych\nśrodka 𝑀𝐾𝐷 odcinka 𝐾𝐷: 𝑀𝐴𝐷= (5, 15), 𝑀𝐾𝐷= (8, 33\n2 ),\nALBO\n- obliczenie współrzędnych wektora 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ (lub 1\n2 ⋅𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ):\n𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = [2, 8] (lub 1\n2 ⋅𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = [1, 4]),\nALBO\n- wyznaczenie równań dwóch prostych przecinających się w punkcie 𝑆, np.\n𝑦= 4𝑥-26 (równanie prostej równoległej do 𝐴𝐷) oraz\n𝑦= 1\n2 𝑥+ 25\n2 (równanie prostej równoległej do 𝐴𝐵),\nALBO\n- zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć jedną ze współrzędnych punktu 𝑆,\nnp.:\n𝑥𝐵+ 6\n2\n= 𝑥𝑆 oraz\n1\n2 𝑥𝐵+ 9 + 19\n2\n= 4𝑥𝑆-26,\n𝑥𝐵+ 6\n2\n= 𝑥𝑆 oraz 𝑦𝐵+ 19\n2\n= 𝑦𝑆 oraz 𝑦𝐵= 1\n2 𝑥𝐵+ 9 oraz 𝑦𝑆= 4𝑥𝑆-26.\n1 pkt - obliczenie współrzędnych punktu 𝐴: 𝐴= (4, 11)\nALBO\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n- obliczenie współrzędnych środka 𝑀𝐾𝐷 odcinka 𝐾𝐷: 𝑀𝐾𝐷= (8, 33\n2 ),\nALBO\n- wyznaczenie równania prostej przechodzącej przez punkt 𝑆, np.\n𝑦= 4𝑥-26 (równanie prostej równoległej do 𝐴𝐷),\nALBO\n- zapisanie zależności między odpowiednimi współrzędnymi punktów 𝐵, 𝐷 oraz 𝑆:\n𝑥𝐵 + 6\n2\n= 𝑥𝑆 oraz 𝑦𝐵 + 19\n2\n= 𝑦𝑆 oraz zapisanie współrzędnych punktu 𝐵\nw zależności od jednej zmiennej (𝑥𝐵 lub 𝑦𝐵), np. 𝐵= (𝑥𝐵, 1\n2 𝑥𝐵+ 9).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli jedynym błędem zdającego jest:\na) zastosowanie niepoprawnego wzoru na współczynnik kierunkowy prostej,\nb) zastosowanie niepoprawnego związku między współczynnikami kierunkowymi\nprostych równoległych,\nc) zastosowanie niepoprawnego wzoru na współrzędne środka odcinka,\ni rozwiązanie zostanie doprowadzone konsekwentnie do końca, to zdający może otrzymać\n1 punkt za całe rozwiązanie. Jeżeli zdający popełni więcej niż jeden z wymienionych błędów\na)-c), to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby\npunktów.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPunkt 𝐴 jest punktem wspólnym prostych 𝐴𝐵 i 𝐴𝐷, zatem współrzędne tego punktu są\nrozwiązaniem układu równań:\n{ 𝑦= 1\n2 𝑥+ 9\n𝑦= 4𝑥-5\nStąd:\n1\n2 𝑥+ 9 = 4𝑥-5\n7\n2 𝑥= 14\n𝑥= 4\n𝑦= 11\nZatem 𝐴= (4, 11).\nPunkt 𝐾 jest środkiem odcinka 𝐴𝐵, więc:\n4 + 𝑥𝐵\n2\n= 10 oraz 11 + 𝑦𝐵\n2\n= 14\n𝑥𝐵= 16 oraz 𝑦𝐵= 17\nZatem 𝐵= (16, 17).\nPunkt 𝑆= (𝑥𝑆, 𝑦𝑆) jest środkiem odcinka 𝐵𝐷, więc:\n𝑥𝑆= 16 + 6\n2\n= 11 oraz 17 + 19\n2\n= 18\nZatem 𝑆= (11, 18).\nSposób II\nPunkt 𝐴 jest punktem wspólnym prostych 𝐴𝐵 i 𝐴𝐷, zatem współrzędne tego punktu są\nrozwiązaniem układu równań:\n{\n𝑦= 1\n2 𝑥+ 9\n𝑦= 4𝑥-5\nStąd:\n1\n2 𝑥+ 9 = 4𝑥-5\n7\n2 𝑥= 14\n𝑥= 4\n𝑦= 11\nZatem 𝐴= (4, 11).\nProsta 𝑆𝐾 jest równoległa do prostej 𝐴𝐷, zatem współczynnik kierunkowy prostej 𝑆𝐾 jest\nrówny 4. Wyznaczamy równanie prostej 𝑆𝐾:\n𝑦= 4(𝑥-10) + 14\n𝑦= 4𝑥-26\nOznaczmy przez 𝑀𝐴𝐷 środek odcinka 𝐴𝐷. Obliczmy współrzędne punktu 𝑀𝐴𝐷:\n𝑀𝐴𝐷= (4 + 6\n2\n, 11 + 19\n2\n) = (5, 15)\nProsta 𝑆𝑀𝐴𝐷 jest równoległa do prostej 𝐴𝐵, zatem współczynnik kierunkowy prostej 𝑆𝑀𝐴𝐷\njest równy 1\n2\n. Wyznaczamy równanie prostej 𝑆𝑀𝐴𝐷:\n𝑦= 1\n2 (𝑥-5) + 15\n𝑦= 1\n2 𝑥+ 25\n2\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPunkt 𝑆 jest punktem wspólnym prostych 𝑆𝐾 i 𝑆𝑀𝐴𝐷, zatem współrzędne tego punktu są\nrozwiązaniem układu równań:\n{\n𝑦= 4𝑥-26\n𝑦= 1\n2 𝑥+ 25\n2\nStąd:\n4𝑥-26 = 1\n2 𝑥+ 25\n2\n7\n2 𝑥= 77\n2\n𝑥= 11\n𝑦= 18\nZatem 𝑆= (11, 18).\nSposób III\nProsta 𝑆𝐾 jest równoległa do prostej 𝐴𝐷, zatem współczynnik kierunkowy prostej 𝑆𝐾 jest\nrówny 4. Wyznaczamy równanie prostej 𝑆𝐾:\n𝑦= 4(𝑥-10) + 14\n𝑦= 4𝑥-26\nPunkt 𝑆 leży na prostej o równaniu 𝑦= 4𝑥-26, stąd 𝑦𝑆= 4𝑥𝑆-26.\nPunkt 𝐵 leży na prostej o równaniu 𝑦= 1\n2 𝑥+ 9, stąd 𝑦𝐵= 1\n2 𝑥𝐵+ 9.\nPunkt 𝑆 jest środkiem odcinka 𝐵𝐷, więc:\n𝑥𝐵+ 𝑥𝐷\n2\n= 𝑥𝑆 oraz 𝑦𝐵+ 𝑦𝐷\n2\n= 𝑦𝑆\nZatem:\n𝑥𝐵+ 6\n2\n= 𝑥𝑆 oraz\n1\n2 𝑥𝐵+ 9 + 19\n2\n= 4𝑥𝑆-26\n𝑥𝐵= 2𝑥𝑆-6 oraz 1\n2 𝑥𝐵+ 28 = 8𝑥𝑆-52\nStąd otrzymujemy:\n1\n2 (2𝑥𝑆-6) + 28 = 8𝑥𝑆-52\n𝑥𝑆-3 + 28 = 8𝑥𝑆-52\n7𝑥𝑆= 77\n𝑥𝑆= 11\nWtedy:\n𝑦𝑆= 4𝑥𝑆-26 = 4 ⋅11 -26 = 18\nZatem 𝑆= (11, 18).\nSposób IV\nPunkt 𝐴 jest punktem wspólnym prostych 𝐴𝐵 i 𝐴𝐷, zatem współrzędne tego punktu są\nrozwiązaniem układu równań:\n{ 𝑦= 1\n2 𝑥+ 9\n𝑦= 4𝑥-5\nStąd:\n1\n2 𝑥+ 9 = 4𝑥-5\n7\n2 𝑥= 14\n𝑥= 4\n𝑦= 11\nZatem 𝐴= (4, 11).\nZauważmy, że 𝐾𝑆⃗⃗⃗⃗⃗ = 1\n2 ⋅𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ . Obliczamy współrzędne wektorów 𝐾𝑆⃗⃗⃗⃗⃗ oraz 1\n2 ⋅𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ :\n𝐾𝑆⃗⃗⃗⃗⃗ = [𝑥𝑆-10, 𝑦𝑆-14]\n1\n2 ⋅𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = 1\n2 ⋅[6 -4, 19 -11] = 1\n2 ⋅[2, 8] = [1, 4]\nStąd:\n𝑥𝑆-10 = 1 oraz 𝑦𝑆-14 = 4\n𝑥𝑆= 11 oraz 𝑦𝑆= 18\nZatem 𝑆= (11, 18).\nSposób V\nProsta 𝑆𝐾 jest równoległa do prostej 𝐴𝐷, zatem współczynnik kierunkowy prostej 𝑆𝐾 jest\nrówny 4. Wyznaczamy równanie prostej 𝑆𝐾:\n𝑦= 4(𝑥-10) + 14\n𝑦= 4𝑥-26\nOznaczmy przez 𝑀𝐾𝐷 środek odcinka 𝐾𝐷. Obliczmy współrzędne punktu 𝑀𝐾𝐷:\n𝑀𝐾𝐷= (10 + 6\n2\n, 14 + 19\n2\n) = (8, 33\n2 )\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nProsta 𝑆𝑀𝐾𝐷 jest równoległa do prostej 𝐴𝐵, zatem współczynnik kierunkowy prostej 𝑆𝑀𝐾𝐷\njest równy 1\n2\n. Wyznaczamy równanie prostej 𝑆𝑀𝐾𝐷:\n𝑦= 1\n2 (𝑥-8) + 33\n2\n𝑦= 1\n2 𝑥+ 25\n2\nPunkt 𝑆 jest punktem wspólnym prostych 𝑆𝐾 i 𝑆𝑀𝐾𝐷, zatem współrzędne tego punktu są\nrozwiązaniem układu równań:\n{\n𝑦= 4𝑥-26\n𝑦= 1\n2 𝑥+ 25\n2\nStąd:\n4𝑥-26 = 1\n2 𝑥+ 25\n2\n7\n2 𝑥= 77\n2\n𝑥= 11\n𝑦= 18\nZatem 𝑆= (11, 18).","solution":"Bok AB leży na prostej:\n\ny=(1)/(2)x+9\n\nBok AD leży na prostej:\n\ny=4x-5\n\nPunkt A jest punktem przecięcia tych prostych:\n\n(1)/(2)x+9=4x-5\n\n14=(7)/(2)x\n\nx=4\n\ny=(1)/(2)·4+9=11\n\nA=(4,11)\n\nPunkt K=(10,14) jest środkiem odcinka AB . Korzystamy ze wzoru na środek odcinka:\n\nK= ((x_A+x_B)/(2),(y_A+y_B)/(2) )\n\n10=(4+x_B)/(2), 14=(11+y_B)/(2)\n\nx_B=16, y_B=17\n\nB=(16,17)\n\nPrzekątne równoległoboku przecinają się w swoich środkach, więc punkt S jest środkiem odcinka BD .\n\nD=(6,19), B=(16,17)\n\nS= ((6+16)/(2),(19+17)/(2) )\n\nS=(11,18)\n\nRysunek pomocniczy przygotowany w GeoGebrze:\n\nOdpowiedź: S=(11,18)","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/sol-22.svg","topics":"Geometria analityczna, analityczna","page_from":22,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (0-1)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (-3, 1) oraz 𝐵= (1, -3)\nsą kolejnymi wierzchołkami kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nObwód kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równy\nA. 4√2\nB. 16√2\nC. 16\nD. 32\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) punkty A=(-3,1) oraz B=(1,-3) są kolejnymi wierzchołkami kwadratu ABCD. Obwód kwadratu ABCD jest równy A. 4√2 B. 16√2 C. 16 D. 32","answer":"B","answer_text":"Zadanie 23. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIX.3) oblicza odległość dwóch punktów\nw układzie współrzędnych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"Punkty A=(-3,1) oraz B=(1,-3) są kolejnymi wierzchołkami kwadratu, więc odcinek AB jest bokiem kwadratu.\n\nObliczamy długość boku:\n\n|AB|=√((1-(-3))^2+(-3-1)^2)\n\n|AB|=√(4^2+(-4)^2)\n\n|AB|=√(16+16)=√(32)=4√(2)\n\nObwód kwadratu:\n\nO=4·4√(2)=16√(2)\n\nOdpowiedź: B. 16√(2)","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/sol-23.svg","topics":"Geometria analityczna, analityczna","page_from":24,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (0-1)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) odcinek o końcach 𝐴= (1, 1) oraz\n𝐵= (3, -1) jest średnicą okręgu 𝒪.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nOkrąg 𝒪 jest określony równaniem\nA. (𝑥-1)2 + (𝑦-1)2 = 8\nB. 𝑥2 + (𝑦-2)2 = 2\nC. (𝑥-2)2 + 𝑦2 = 2\nD. (𝑥-2)2 + 𝑦2 = 8\n\nMMAP-P0_100\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) odcinek o końcach A=(1,1) oraz B=(3,-1) jest średnicą okręgu O. Okrąg O jest określony równaniem A. (x-1)² + (y-1)² = 8 B. x² + (y-2)² = 2 C. (x-2)² + y² = 2 D. (x-2)² + y² = 8","answer":"C","answer_text":"Zadanie 24. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nIX.4) posługuje się równaniem okręgu\n(𝑥-𝑎)2 + (𝑦-𝑏)2 = 𝑟2.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Odcinek AB jest średnicą okręgu, więc środek okręgu jest środkiem odcinka AB .\n\nA=(1,1), B=(3,-1)\n\nS= ((1+3)/(2),(1+(-1))/(2) )\n\nS=(2,0)\n\nPromień to odległość środka od punktu A :\n\nr^2=(1-2)^2+(1-0)^2=1+1=2\n\nRównanie okręgu:\n\n(x-2)^2+(y-0)^2=2\n\n(x-2)^2+y^2=2\n\nOdpowiedź: C. (x-2)^2+y^2=2","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/sol-24.svg","topics":"Równanie okręgu, analityczna","page_from":24,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (0-1)\nKażda z krawędzi ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 12.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWysokość tego ostrosłupa jest równa\nA. 2√3\nB. 3√2\nC. 2√6\nD. 6√2\nKażda z krawędzi ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 12. Wysokość tego ostrosłupa jest równa A. 2√3 B. 3√2 C. 2√6 D. 6√2","answer":"D","answer_text":"Zadanie 25. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nVII.4) oblicza kąty trójkąta prostokątnego\ni długości jego boków przy odpowiednich\ndanych (rozwiązuje trójkąty prostokątne,\nw tym z wykorzystaniem funkcji\ntrygonometrycznych).\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"Ostrosłup jest prawidłowy czworokątny, a każda jego krawędź ma długość 12 .\n\nPodstawą jest kwadrat o boku 12 . Odległość środka podstawy od wierzchołka kwadratu to połowa przekątnej kwadratu:\n\nfrac 12√(2) 2 =6√(2)\n\nTworzymy trójkąt prostokątny, w którym:\n\nkrawędź boczna=12\n\nodległość środka podstawy od wierzchołka=6√(2)\n\nwysokość=h\n\nZ twierdzenia Pitagorasa:\n\nh^2+(6√(2))^2=12^2\n\nh^2+72=144\n\nh^2=72\n\nh=6√(2)\n\nOdpowiedź: D. 6√(2)","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/sol-25.svg","topics":"Graniastosłupy i ostrosłupy, stereometria","page_from":25,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa","number":"26","points":1,"ptype":"true_false","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-1)\nTworząca stożka o promieniu podstawy 3 ma długość 6.\nOceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest\nprawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.\nPole powierzchni bocznej tego stożka jest dwukrotnie większe od pola jego\npodstawy.\nP\nF\nKąt rozwarcia tego stożka ma miarę 60°.\nP\nF\n\nMMAP-P0_100\nTworząca stożka o promieniu podstawy 3 ma długość 6. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Pole powierzchni bocznej tego stożka jest dwukrotnie większe od pola jego podstawy. | P | F | Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę 60°. | P | F |","answer":"PP","answer_text":"Zadanie 26. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nX.5) oblicza […] pola powierzchni […]\nstożka […];\nX.4) rozpoznaje […] w stożkach kąt między\nodcinkami oraz kąt między odcinkami\ni płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka,\nkąt między tworzącą a podstawą), oblicza\nmiary tych kątów.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nPP","solution":"Dany jest stożek o promieniu podstawy r=3 i tworzącej l=6 .\n\nPole powierzchni bocznej:\n\nP_b=π rl=π·3·6=18π\n\nPole podstawy:\n\nP_p=π r^2=π·3^2=9π\n\nZatem 18π=2·9π , więc pierwsze zdanie jest prawdziwe.\n\nsinα=(3)/(6)=(1)/(2)\n\nα=30^° jest kątem między wysokością a tworzącą, więc kąt rozwarcia stożka ma miarę 2α=60^° .\n\nOdpowiedź: P, P","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/sol-26.svg","topics":"Bryły obrotowe, stereometria","page_from":25,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa","number":"27","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (0-4)\nOdcinek 𝐴𝐷 jest wysokością walca, a odcinek 𝐴𝐵 jest średnicą podstawy walca.\nOdcinek 𝐵𝐷 ma długość 4√3. Miara kąta 𝐴𝐵𝐷 jest równa 30° (zobacz rysunek).\nOblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego walca. Zapisz obliczenia.\n𝐷\n𝐵\n𝐴\n30°\n4ξ3\n27.\n0-1-\n2-3-4\n\nMMAP-P0_100\n\nMMAP-P0_100\nOdcinek AD jest wysokością walca, a odcinek AB jest średnicą podstawy walca. Odcinek BD ma długość 4√3. Miara kąta ABD jest równa 30° (zobacz rysunek). [rysunek] Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego walca. Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 27. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nX.4) rozpoznaje w walcach […] kąt między\nodcinkami oraz kąt między odcinkami\ni płaszczyznami […];\nX.5) oblicza objętości i pola powierzchni […]\nwalca […] również z wykorzystaniem\ntrygonometrii.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawne wyniki: 𝑉= 18𝜋√3,\n𝑃𝑐= 18𝜋+ 12𝜋√3.\n3 pkt - obliczenie objętości walca: 𝑉= 18𝜋√3\nALBO\n- obliczenie pola powierzchni całkowitej walca: 𝑃𝑐= 18𝜋+ 12𝜋√3.\n2 pkt - zapisanie promienia podstawy walca (lub średnicy podstawy walca): 𝑟= 3\n(lub 2𝑟= 6) oraz zapisanie wysokości walca: 𝐻= 2√3\nALBO\n- obliczenie kwadratu promienia podstawy walca (lub kwadratu średnicy podstawy\nwalca): 𝑟2 = 9 (lub (2𝑟)2 = 36) oraz zapisanie wysokości walca: 𝐻= 2√3.\n1 pkt - zapisanie promienia podstawy walca (lub średnicy podstawy walca): 𝑟= 3\n(lub 2𝑟= 6)\nALBO\n- zapisanie wysokości walca: 𝐻= 2√3,\nALBO\n- zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć 𝑟 oraz 𝐻, np.:\n𝐻= 𝑥 oraz 2𝑟= 𝑥√3 oraz 2𝑥= 4√3,\n𝐻\n4√3\n= sin 30° oraz 2𝑟\n4√3\n= cos 30° .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli jedynym błędem zdającego jest:\na) zastosowanie niepoprawnej definicji jednej funkcji trygonometrycznej,\nb) błędne zastosowanie twierdzenia Pitagorasa,\nc) zastosowanie niepoprawnej tożsamości √𝑥2 + 𝑦2 = 𝑥+ 𝑦,\nd) błędne zastosowanie własności trójkąta o kątach 30°, 60°, 90° (tzn. zapisanie,\nże średnica podstawy walca jest równa 2√3 i wysokość walca jest równa 6),\nZasady oceniania rozwiązań zadań\ni rozwiązanie zostanie doprowadzone konsekwentnie do końca, to zdający może otrzymać\nco najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za konsekwentne obliczenie objętości i pola\npowierzchni całkowitej walca).\nJeżeli zdający popełni więcej niż jeden z wymienionych błędów a)-d), to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzyjmujemy oznaczenia jak na rysunku:\n𝑟 - promień podstawy walca,\n𝐻 - wysokość walca.\nZauważamy, że kąt 𝐷𝐴𝐵 jest prosty\noraz 𝑟> 0 i 𝐻> 0.\nW trójkącie prostokątnym 𝐴𝐵𝐷 mamy:\nsin 30° = |𝐴𝐷|\n|𝐵𝐷| = 𝐻\n4√3\nZatem:\n𝐻= 4√3 ⋅sin 30° = 4√3 ⋅1\n2 = 2√3\nPonadto:\ncos 30° =\n|𝐴𝐵|\n|𝐵𝐷| = 2𝑟\n4√3\n= 𝑟\n2√3\nStąd:\n𝑟= 2√3 ⋅cos 30° = 2√3 ⋅√3\n2 = 3\nObliczamy objętość 𝑉 walca:\n𝑉= 𝜋𝑟2𝐻= 𝜋⋅32 ⋅2√3 = 18𝜋√3\nObliczamy pole powierzchni całkowitej 𝑃𝑐 walca:\n𝑃𝑐= 2𝜋𝑟2 + 2𝜋𝑟𝐻= 2𝜋⋅32 + 2𝜋⋅3 ⋅2√3 = 18𝜋+ 12𝜋√3\n𝐷\n𝐵\n𝐴\n30°\n4ξ3\n𝐻\n2𝑟","solution":"W przekroju otrzymujemy trójkąt prostokątny ABD , w którym:\n\nBD=4√(3)\n\n|∠ ABD|=30^°\n\nWysokość walca to odcinek AD . Leży on naprzeciw kąta 30^° , więc:\n\nAD=BD·sin30^°\n\nAD=4√(3)·(1)/(2)=2√(3)\n\nOdcinek AB jest średnicą podstawy walca:\n\nAB=BD·cos30^°\n\nAB=4√(3)·frac √(3) 2 =6\n\nPromień podstawy:\n\nr=(AB)/(2)=3\n\nObjętość walca:\n\nV=π r^2 h\n\nV=π·3^2·2√(3)=18√(3)π\n\nPole powierzchni całkowitej:\n\nP_c=2π r^2+2π rh\n\nP_c=2π·3^2+2π·3·2√(3)\n\nP_c=18π+12√(3)π\n\nP_c=(18+12√(3))π\n\nOdpowiedź: V=18√(3)π, P_c=(18+12√(3))π","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/sol-27.svg","topics":"Bryły obrotowe, stereometria","page_from":26,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa","number":"28","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych parzystych, w których zapisie dziesiętnym\ncyfry tysięcy i jedności są równe, jest\nA. 400\nB. 500\nC. 900\nD. 1600\nWszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych parzystych, w których zapisie dziesiętnym cyfry tysięcy i jedności są równe, jest A. 400 B. 500 C. 900 D. 1600","answer":"A","answer_text":"Zadanie 28. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nXI.2) zlicza obiekty, stosując reguły\nmnożenia i dodawania […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"Szukamy liczb czterocyfrowych parzystych, w których cyfra tysięcy i cyfra jedności są równe.\n\nLiczba jest parzysta, więc cyfra jedności musi być parzysta. Ponieważ cyfra tysięcy jest taka sama, nie może być zerem.\n\ncyfra tysięcy i jedności: 2,4,6,8\n\nMamy więc 4 możliwości na te dwie cyfry.\n\nCyfra setek ma 10 możliwości, a cyfra dziesiątek ma 10 możliwości.\n\n4·10·10=400\n\nOdpowiedź: A. 400","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/sol-28.svg","topics":"Kombinatoryka","page_from":28,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa","number":"29","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (0-1)\nW pewnej miejscowości zlokalizowane są dwie szkoły. W pierwszej z nich jest trzy razy\nwięcej uczniów niż w drugiej. Średni wiek uczniów w pierwszej szkole to 9 lat, a średni wiek\nuczniów w drugiej szkole to 13 lat.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nŚredni wiek wszystkich uczniów obu szkół, wyrażony w latach, jest równy\nA. 10\nB. 10,5\nC. 11\nD. 11,5\n\nMMAP-P0_100\nW pewnej miejscowości zlokalizowane są dwie szkoły. W pierwszej z nich jest trzy razy więcej uczniów niż w drugiej. Średni wiek uczniów w pierwszej szkole to 9 lat, a średni wiek uczniów w drugiej szkole to 13 lat. Średni wiek wszystkich uczniów obu szkół, wyrażony w latach, jest równy A. 10 B. 10,5 C. 11 D. 11,5","answer":"A","answer_text":"Zadanie 29. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nXII.2) oblicza […] średnią ważoną […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Niech w drugiej szkole będzie x uczniów. W pierwszej szkole jest trzy razy więcej uczniów, czyli 3x .\n\nŚrednia wieku wszystkich uczniów obu szkół:\n\n(3x·9+x·13)/(3x+x)\n\n=(27x+13x)/(4x)\n\n=(40x)/(4x)=10\n\nOdpowiedź: A. 10","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/sol-29.svg","topics":"Statystyka, prawdopodobienstwo","page_from":28,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa","number":"30","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (0-1)\nNa diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej.\nNa osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano\nliczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nMediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa\nA. 3\nB. 3,5\nC. 4\nD. 5\n0\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n1\n2\n3\n4\n5\n6\nliczba\nuczniów\nocena\n\nMMAP-P0_100\nNa diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę. [rysunek] Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa A. 3 B. 3,5 C. 4 D. 5","answer":"C","answer_text":"Zadanie 30. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nXII.2) […] znajduje medianę […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"Z diagramu odczytujemy liczbę uczniów dla poszczególnych ocen:\n\n1:2, 2:1, 3:6, 4:5, 5:7, 6:5\n\nLiczba wszystkich uczniów:\n\n2+1+6+5+7+5=26\n\nPrzy 26 wynikach mediana jest średnią z 13 . i 14 . wyniku po uporządkowaniu.\n\nSprawdzamy miejsca ocen:\n\nocena 1: miejsca 1-2\n\nocena 2: miejsce 3\n\nocena 3: miejsca 4-9\n\nocena 4: miejsca 10-14\n\nTrzynasty i czternasty wynik to oceny 4 , więc mediana wynosi 4 .\n\nOdpowiedź: C. 4","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/sol-30.svg","topics":"Statystyka, prawdopodobienstwo","page_from":29,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (0-2)\nDany jest sześcioelementowy zbiór 𝐾= {2, 3, 4, 5, 6, 7}. Ze zbioru 𝐾 losujemy bez\nzwracania kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝑨 polegającego na tym, że liczba wylosowana\nza pierwszym razem będzie parzysta i jednocześnie iloczyn obu wylosowanych liczb\nbędzie większy od 𝟏𝟔. Zapisz obliczenia.\n31.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\n\nMMAP-P0_100\nDany jest sześcioelementowy zbiór K={2,3,4,5,6,7}. Ze zbioru K losujemy bez zwracania kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że liczba wylosowana za pierwszym razem będzie parzysta i jednocześnie iloczyn obu wylosowanych liczb będzie większy od 16.","answer":"(7)/(30)","answer_text":"Zadanie 31. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nXII.1) oblicza prawdopodobieństwo\nw modelu klasycznym.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑃(𝐴) = 7\n30 .\n1 pkt - wypisanie wszystkich zdarzeń elementarnych LUB obliczenie/podanie liczby tych\nzdarzeń: |Ω| = 6 ⋅5\nALBO\n- sporządzenie tabeli o 36 polach, z których 6 jest wykreślonych a pozostałe 30\nodpowiada zdarzeniom elementarnym,\nALBO\n- sporządzenie pełnego drzewa stochastycznego,\nALBO\n- wypisanie (lub zaznaczenie w tabeli) wszystkich zdarzeń elementarnych\nsprzyjających zdarzeniu 𝐴 i niewypisanie żadnego niewłaściwego,\nALBO\n- podanie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴:\n|𝐴| = 7, o ile nie zostały zliczone błędne pary,\nALBO\n- sporządzenie fragmentu drzewa stochastycznego, które zawiera wszystkie gałęzie\nsprzyjające zdarzeniu 𝐴, oraz zapisanie prawdopodobieństwa na co najmniej\njednym odcinku każdego z etapów doświadczenia,\nALBO\n- podanie prawdopodobieństwa jednoelementowego zdarzenia (elementarnego): 1\n30 ,\nALBO\n- zapisanie tylko 𝑃(𝐴) = 7\n30 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający zapisuje tylko liczby 7 lub 30 i z rozwiązania nie wynika znaczenie tych\nliczb, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający rozważa losowanie ze zwracaniem, to otrzymuje 0 punktów za całe\nrozwiązanie.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑥, 𝑦), gdzie\n𝑥, 𝑦∈{2, 3, 4, 5, 6, 7} i 𝑥≠𝑦.\nLiczbę wszystkich zdarzeń elementarnych obliczamy, korzystając z reguły mnożenia:\n|Ω| = 6 ⋅5 = 30\nZdarzeniu 𝐴 sprzyjają następujące zdarzenia elementarne:\n(4, 5), (4, 6), (4, 7), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 7), więc |𝐴| = 7.\nZatem prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe 7\n30\nSposób II\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑥, 𝑦), gdzie\n𝑥, 𝑦∈{2, 3, 4, 5, 6, 7} i 𝑥≠𝑦.\nW tabeli literą 𝒜 zaznaczamy zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu 𝐴.\nDruga wylosowana liczba\nPierwsza wylosowana liczba\n𝟐\n𝟑\n𝟒\n𝟓\n𝟔\n𝟕\n𝟐\n𝟑\n𝟒\n𝒜\n𝒜\n𝒜\n𝟓\n𝟔\n𝒜\n𝒜\n𝒜\n𝒜\n𝟕\nWszystkich zdarzeń elementarnych jest 30. Zdarzeń sprzyjających zdarzeniu 𝐴 jest 7.\nZatem prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe 7\n30","solution":"Losujemy dwie liczby bez zwracania ze zbioru:\n\nK=\\ 2,3,4,5,6,7\\\n\nLiczba wszystkich możliwych wyników losowania, z uwzględnieniem kolejności:\n\n6·5=30\n\nPierwsza liczba ma być parzysta, więc może być równa 2 , 4 albo 6 .\n\nSprawdzamy przypadki, w których iloczyn obu liczb jest większy od 16 :\n\ndla 2 : brak możliwości\n\ndla 4 : druga liczba 5,6,7 , czyli 3 możliwości\n\ndla 6 : druga liczba 3,4,5,7 , czyli 4 możliwości\n\nLiczba wyników sprzyjających:\n\n3+4=7\n\nPrawdopodobieństwo:\n\nP(A)=(7)/(30)\n\nOdpowiedź: (7)/(30)","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/sol-31.svg","topics":"Prawdopodobieństwo, prawdopodobienstwo","page_from":30,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa","number":"32","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (0-3)\nDany jest kwadrat 𝐴𝐵𝐶𝐷 o boku długości 4.\nRozważamy wszystkie trójkąty 𝐷𝐸𝐹 spełniające jednocześnie następujące warunki:\npunkt 𝐸 leży na boku 𝐴𝐵 kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷\npunkt 𝐹 leży na boku 𝐵𝐶 kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷\n|𝐶𝐹| = 1\n2 ⋅|𝐸𝐵| = 𝑥, gdzie 𝑥∈(0, 2) (zobacz rysunek).\nNiech 𝑃(𝑥) oznacza pole trójkąta 𝐷𝐸𝐹 w zależności od długości 𝑥 odcinka 𝐶𝐹.\nWyznacz wzór funkcji 𝑷 zmiennej 𝒙, gdzie 𝒙∈(𝟎, 𝟐). Oblicz długość 𝒙 odcinka 𝑪𝑭,\ndla której pole trójkąta 𝑫𝑬𝑭 jest najmniejsze. Zapisz obliczenia.\n𝐴\n𝐸\n2𝑥\n𝐵\n𝐹\n𝑥\n𝐶\n𝐷\n4\n32.\n0-1-\n2-3\n\nMMAP-P0_100\n\nMMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMAP-P0_100\n\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nDany jest kwadrat ABCD o boku długości 4. Rozważamy wszystkie trójkąty DEF spełniające jednocześnie następujące warunki: ⋅ punkt E leży na boku AB kwadratu ABCD • punkt F leży na boku BC kwadratu ABCD ⋅ |CF| = 1/2⋅|EB| = x, gdzie x∈(0,2) (zobacz rysunek). Niech P(x) oznacza pole trójkąta DEF w zależności od długości x odcinka CF. [rysunek] Wyznacz wzór funkcji P zmiennej x, gdzie x∈(0,2). Oblicz długość x odcinka CF, dla której pole trójkąta DEF jest najmniejsze.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 32. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nXIII) rozwiązuje zadania optymalizacyjne\nw sytuacjach dających się opisać funkcją\nkwadratową.\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawne wyniki, np.\n𝑃(𝑥) = 𝑥2 -2𝑥+ 8 oraz 𝑥= 1 .\n2 pkt - wyznaczenie poprawnego wzoru na pole trójkąta 𝐷𝐸𝐹 w zależności od zmiennej 𝑥,\nnp. 𝑃(𝑥) = 16 -1\n2 ⋅2𝑥⋅(4 -𝑥) -1\n2 ⋅4 ⋅𝑥-1\n2 ⋅4 ⋅(4 -2𝑥) .\n1 pkt - zapisanie wzoru na pole trójkąta 𝐷𝐸𝐹 w zależności od pól trójkątów 𝐸𝐵𝐹, 𝐹𝐶𝐷,\n𝐷𝐴𝐸, np. 𝑃𝐷𝐸𝐹= 42 -𝑃𝐸𝐵𝐹-𝑃𝐹𝐶𝐷-𝑃𝐷𝐴𝐸\nALBO\n- zapisanie pól co najmniej dwóch spośród trójkątów 𝐸𝐵𝐹, 𝐹𝐶𝐷, 𝐷𝐴𝐸 w zależności\nod zmiennej 𝑥, np.:\n𝑃𝐸𝐵𝐹= 1\n2 ⋅2𝑥⋅(4 -𝑥) oraz 𝑃𝐹𝐶𝐷= 1\n2 ⋅4 ⋅𝑥 ,\n𝑃𝐹𝐶𝐷= 1\n2 ⋅4 ⋅𝑥 oraz 𝑃𝐷𝐴𝐸= 1\n2 ⋅4 ⋅(4 -2𝑥) .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający zapisze jedynie, że szukaną wartością 𝑥 jest liczba 1, to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający nie zapisze pola trójkąta 𝐷𝐸𝐹 jako funkcji 𝑃 zmiennej 𝑥, a jedynie\nobliczy wartości pola dla wybranych długości odcinka 𝐶𝐹 i na tej podstawie wskaże\nnajmniejszą wartość pola, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów, o ile nie nabył\nprawa do innej liczby punktów.\n3. Jeżeli zdający stosuje rachunek różniczkowy i nie uzasadni, że w punkcie będącym\nmiejscem zerowym pochodnej funkcji 𝑃 jest najmniejsza wartość funkcji 𝑃, to może\notrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.\nZa poprawne uzasadnienie, że w punkcie będącym miejscem zerowym pochodnej\nfunkcji 𝑃 jest najmniejsza wartość funkcji 𝑃, można uznać sytuację, gdy zdający bada\nznak pochodnej (np. szkicuje wykres funkcji, która w ten sam sposób jak pochodna\nzmienia znak, i zaznacza na rysunku, np. znakami „+” i „-”, znak pochodnej), oraz:\n- opisuje przedziały monotoniczności funkcji 𝑃 (słownie lub graficznie - np. przy użyciu\nstrzałek)\nLUB\n- zapisuje, że dla wyznaczonego miejsca zerowego pochodnej, funkcja 𝑃 ma minimum\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nlokalne i jest to jednocześnie jej najmniejsza wartość,\nLUB\n- zapisuje, że dla wyznaczonego miejsca zerowego pochodnej, funkcja 𝑃 ma minimum\nlokalne i jest to jedyne ekstremum tej funkcji.\n4. Jeżeli zdający nie zapisze, że 1 należy do dziedziny funkcji 𝑃, to może otrzymać\n3 punkty za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nZ warunków zadania wynika, że\n|𝐴𝐷| = |𝐷𝐶| = 4\n|𝐶𝐹| = 𝑥\n|𝐸𝐵| = 2𝑥\n|𝐴𝐸| = 4 -2𝑥\n|𝐵𝐹| = 4 -𝑥\n(zobacz rysunek).\nWówczas pola trójkątów 𝐸𝐵𝐹, 𝐹𝐶𝐷, 𝐷𝐴𝐸 w zależności od zmiennej 𝑥 są równe:\n𝑃𝐸𝐵𝐹= 1\n2 ⋅2𝑥⋅(4 -𝑥) = 4𝑥-𝑥2\n𝑃𝐹𝐶𝐷= 1\n2 ⋅4 ⋅𝑥= 2𝑥\n𝑃𝐷𝐴𝐸= 1\n2 ⋅4 ⋅(4 -2𝑥) = 8 -4𝑥\nPole 𝑃 trójkąta 𝐷𝐸𝐹 jest różnicą pola kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 i sumy pól trójkątów 𝐸𝐵𝐹, 𝐹𝐶𝐷\noraz 𝐷𝐴𝐸. Zatem:\n𝑃(𝑥) = 42 -(4𝑥-𝑥2 + 2𝑥+ 8 -4𝑥)\n𝑃(𝑥) = 16 -(-𝑥2 + 2𝑥+ 8)\n𝑃(𝑥) = 𝑥2 -2𝑥+ 8\nWykresem funkcji 𝑃 jest fragment paraboli skierowanej ramionami do góry.\nObliczamy pierwszą współrzędną wierzchołka tej paraboli:\n𝑝= -(-2)\n2 ⋅1 = 1 ∈(0, 2)\n𝐴\n𝐸\n2𝑥\n𝐵\n𝐹\n𝑥\n𝐶\n𝐷\n4\n4\n4 -2𝑥\n4 -𝑥\nZatem funkcja 𝑃 przyjmuje wartość najmniejszą dla argumentu 1.\nPole trójkąta 𝐷𝐸𝐹 jest najmniejsze, gdy |𝐶𝐹| = 1.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nOcena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią\nObowiązują zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez stwierdzonej\ndyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:\nI. ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze\nstwierdzoną dyskalkulią (punkty 1.-12.);\nII. dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy\nosób ze stwierdzoną dyskalkulią - egzamin maturalny z matematyki, poziom\npodstawowy, termin dodatkowy 2026.\nI. Ogólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną\ndyskalkulią\n1. Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek wynikających z:\nbłędnego przepisania\nprzestawienia cyfr\nzapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie\nprzestawienia położenia przecinka\nprzestawienia położenia znaku liczby.\n2. W przypadku błędów wynikających ze zmiany znaku liczby należy w każdym zadaniu\noddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza\numiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania\nbadanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.\n3. We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę\nrozwiązania, części lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej\n1 punkt, zgodnie z kryteriami do poszczególnych zadań.\n4. Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub\nzapisuje nawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne\nrozumowanie lub stosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt\nza rozwiązanie zadania.\n5. W przypadku zadania wymagającego wyznaczenia pierwiastków trójmianu\nkwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę\nwyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania\nwartościach liczbowych.\n6. W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający\nmoże otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności\nkwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.\n7. W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej\nzdający może otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji\nkwadratowej, istotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.\n8. W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych\nlub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie\ntakiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania.\n9. W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na\npłaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu\nrozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur\ngeometrycznych, lub zapisze zależności pozwalające rozwiązać zadanie.\n10. W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać\nprzynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych\nsprzyjających rozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje\nprawidłową metodę wyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.\n11. W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli\npodaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia\nrozwiązania.\n12. W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub\ngeometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która\nwyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać\n1 punkt.\nII. Dodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób\nze stwierdzoną dyskalkulią\nZadanie 5.\n1 pkt - przekształcenie wyrażenia 7𝑛+ 7𝑛+1 + 7𝑛+2 do postaci 7𝑛+ 7𝑛⋅7 + 7𝑛⋅72.\nZadanie 8.\nUwaga:\nJeżeli zdający popełnia błąd przy przekształceniu równania 3𝑥 + 4\n𝑥 - 1 = 𝑥 + 3\n3𝑥 do postaci\nrównania kwadratowego, lecz dalej stosuje poprawną metodę rozwiązania otrzymanego\nrównania kwadratowego i konsekwentnie oblicza pierwiastki tego równania, to może\notrzymać 1 punkt za całe rozwiązanie.\nZadanie 12.1.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 12.2.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZadanie 15.\n1 pkt - zapisanie związku 𝑎2 = 7 + 𝑟\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑎4, np. 7+𝑎4\n2\n⋅4 = 54.\nZadanie 20.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 22.\n1 pkt - zapisanie równania, w którym niewiadomą jest pierwsza współrzędna wierzchołka 𝐴,\nnp. 1\n2 𝑥+ 9 = 4𝑥-5.\nZadanie 27.\n1 pkt - zastosowanie definicji funkcji trygonometrycznej lub związków miarowych w trójkącie\no kątach 30°, 60°, 90° i zapisanie równania z jedną niewiadomą (wysokością walca\nlub promieniem podstawy walca), np.: 𝐻\n4√3 = sin 30°, 2𝑟\n4√3 =\n√3\n2 .\nZadanie 31.\n1 pkt - zapisanie jedynie liczby 30 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich\nzdarzeń elementarnych).\nUwagi:\n1. W ocenie rozwiązania tego zadania (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi 1.\nze standardowych zasad oceniania.\n2. Jeżeli zdający poprawnie wypisze/zaznaczy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające\nzdarzeniu 𝐴, lecz popełni błąd w ich zliczeniu (np. |𝐴| = 8) i konsekwentnie zapisze\nwynik (np. 8\n30), to otrzymuje 2 punkty.\nZadanie 32.\n1 pkt - zapisanie pola jednego spośród trójkątów 𝐸𝐵𝐹, 𝐹𝐶𝐷, 𝐷𝐴𝐸 w zależności\nod zmiennej 𝑥, np. 𝑃𝐹𝐶𝐷= 1\n2 ⋅4 ⋅𝑥\nALBO\n- obliczenie pola kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 oraz zapisanie długości odcinków 𝐴𝐸 i 𝐵𝐹\nw zależności od zmiennej 𝑥: 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 16 oraz |𝐴𝐸| = 4 -2𝑥 oraz |𝐵𝐹| = 4 -𝑥.","solution":"Kwadrat ABCD ma bok długości 4 , więc jego pole wynosi:\n\nP_ABCD=4^2=16\n\nTrójkąt DEF otrzymujemy z kwadratu po odjęciu trzech trójkątów prostokątnych położonych przy bokach kwadratu.\n\nZ treści zadania:\n\nCF=x, EB=2x\n\nDlatego:\n\nAE=AB-EB=4-2x\n\nBF=BC-CF=4-x\n\nObliczamy pola trzech trójkątów, które odejmujemy od pola kwadratu.\n\n1. Trójkąt ADE\n\nP_ADE=(1)/(2)·4·(4-2x)\n\nP_ADE=2(4-2x)=8-4x\n\n2. Trójkąt EBF\n\nP_EBF=(1)/(2)·2x·(4-x)\n\nP_EBF=x(4-x)=4x-x^2\n\n3. Trójkąt DCF\n\nP_DCF=(1)/(2)·4· x=2x\n\nPole trójkąta DEF jest równe polu kwadratu pomniejszonemu o pola tych trzech trójkątów:\n\nP(x)=16-(8-4x)-(4x-x^2)-2x\n\nUpraszczamy:\n\nP(x)=16-8+4x-4x+x^2-2x\n\nP(x)=x^2-2x+8\n\nZatem:\n\nP(x)=x^2-2x+8, x∈(0,2)\n\nJest to funkcja kwadratowa, której ramiona są skierowane do góry, więc najmniejsze pole otrzymamy dla argumentu będącego współrzędną x wierzchołka paraboli.\n\nDla funkcji:\n\nP(x)=x^2-2x+8\n\nmamy:\n\na=1, b=-2\n\nObliczamy:\n\nx_w=(-b)/(2a)\n\nx_w=(-(-2))/(2·1)=(2)/(2)=1\n\nPonieważ 1∈(0,2) , to dla x=1 pole trójkąta DEF jest najmniejsze.\n\nOdpowiedź: P(x)=x^2-2x+8 , a najmniejsze pole jest dla x=1 .","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-podstawowa/sol-32.svg","topics":"Optymalizacja","page_from":32,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}