{"paper":{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona.pdf","key_pdf":"matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona-odpowiedzi/matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona-odpowiedzi.pdf","question_count":15,"source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/1","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"1","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1. (0-2)\nDane są liczby rzeczywiste 𝑎 oraz 𝑏:\n𝑎= 16\n1\n2 ⋅ log4 36-2⋅log4 3\n𝑏= log2 9 ⋅log3 5 ⋅log5 8\nOblicz wartość ilorazu 𝒂\n𝟐𝒃 . Wynik zapisz w postaci 𝟑𝒌, gdzie 𝒌∈ℤ. Zapisz\nobliczenia.\n1.\n0-1-2\n\nMMAP-R0_100\nDane są liczby rzeczywiste a oraz b: a = 16^{1/2⋅log_4 36 - 2⋅log_4 3} b = log_2 9 ⋅ log_3 5 ⋅ log_5 8. Oblicz wartość ilorazu a/2b. Wynik zapisz w postaci 3^k, gdzie k∈Z.","answer":"(3^-3)","answer_text":"Zadanie 1. (0-2)\nWymagania określone w podstawie programowej1\nWymagania ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nI. Sprawność rachunkowa.\nZdający:\nI.R) stosuje wzór na zamianę podstawy\nlogarytmu.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 3-3.\n1 pkt - poprawne zastosowanie wzorów na logarytm potęgi oraz na różnicę logarytmów\ni obliczenie 𝑎: 𝑎= 36\n81\nALBO\n- poprawne zastosowanie wzorów na zamianę podstawy logarytmu oraz na logarytm\npotęgi i obliczenie 𝑏: 𝑏= 6.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nStosujemy wzór na logarytm potęgi oraz wzór na różnicę logarytmów i obliczamy 𝑎:\n𝑎= 16\n1\n2 ⋅ log4 36-2⋅log4 3\n= (42)\n1\n2 ⋅ log4 36-2⋅log4 3\n= 4log4 36-4⋅log4 3 = 4log4(36\n81) = 36\n81\nStosujemy wzór na zamianę podstawy logarytmu oraz wzór na logarytm potęgi\ni obliczamy 𝑏:\n𝑏= log2 9 ⋅log3 5 ⋅log5 8 = log3 9\nlog3 2 ⋅log3 5 ⋅log3 8\nlog3 5 =\n2\nlog3 2 ⋅log3 8 =\n2\nlog3 2 ⋅3 log3 2 = 6\nObliczamy 𝑎\n2𝑏 :\n1Rozporządzenie Ministra Edukacji z dnia 28 czerwca 2024 r. zmieniające rozporządzenie w sprawie podstawy\nprogramowej kształcenia ogólnego dla liceum ogólnokształcącego, technikum oraz branżowej szkoły II stopnia\n(Dz.U. z 2024 r. poz. 1019).\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑎\n2𝑏= 36\n81 ∶12 = 3-3","solution":"Najpierw obliczamy liczbę (a). Korzystamy z własności logarytmów:\n\n(1)/(2)log_4 36=log_4√(36)=log_4 6, 2log_4 3=log_4 3^2=log_4 9.\n\nZatem\n\na=16^log_4 6-log_4 9=16^log_4(2)/(3).\n\nPonieważ (16=4^2), otrzymujemy\n\na=(4^2)^log_4(2)/(3)= (4^log_4(2)/(3) )^2= ((2)/(3) )^2=(4)/(9).\n\nObliczamy teraz (b), stosując wzór na zmianę podstawy logarytmu:\n\nb=log_2 9·log_3 5·log_5 8=2log_2 3·log_3 5·log_5 8.\n\nb=2·(1)/(log_3 2)·log_3 5·(log_3 8)/(log_3 5)=(2log_3 8)/(log_3 2)=2log_2 8=6.\n\nWobec tego\n\n(a)/(2b)=(frac49)/(2·6)=(4)/(108)=(1)/(27)=3^-3.\n\nOdpowiedź: (3^-3).","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-1.svg","topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/2","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"2","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2. (0-3)\nRozważamy wszystkie dziewięciocyfrowe kody, które spełniają jednocześnie następujące\nwarunki:\nna pierwszym miejscu kodu znajduje się cyfra 2\ncyfra 4 występuje w kodzie dokładnie trzy razy\ncyfra 8 występuje dokładnie dwa razy\npozostałe cyfry kodu są parami różnymi liczbami nieparzystymi.\nOblicz liczbę wszystkich takich kodów. Zapisz obliczenia.\n2.\n0-1-\n2-3\n\nMMAP-R0_100\nRozważamy wszystkie dziewięciocyfrowe kody, które spełniają jednocześnie następujące warunki: • na pierwszym miejscu kodu znajduje się cyfra 2 • cyfra 4 występuje w kodzie dokładnie trzy razy • cyfra 8 występuje dokładnie dwa razy • pozostałe cyfry kodu są parami różnymi liczbami nieparzystymi. Oblicz liczbę wszystkich takich kodów. Zapisz obliczenia.","answer":"(70,000)","answer_text":"Zadanie 2. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nXI.R1) oblicza liczbę możliwych sytuacji,\nspełniających określone kryteria,\nz wykorzystaniem reguły mnożenia\ni dodawania (także łącznie) oraz wzorów na\nliczbę: permutacji, kombinacji i wariacji.\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 33 600.\n2 pkt - wyznaczenie liczby wszystkich kodów spełniających warunki zadania, np.\n(8\n3) ⋅(5\n2) ⋅5 ⋅4 ⋅3, (8\n2) ⋅(6\n3) ⋅5 ⋅4 ⋅3.\n1 pkt - wyznaczenie liczby wszystkich możliwych ustawień cyfry 4 oraz cyfry 8:\n(8\n3) oraz (5\n2) (lub (8\n2) oraz (6\n3))\nALBO\n- wyznaczenie liczby wszystkich możliwych ustawień cyfr nieparzystych: (8\n3) ⋅5 ⋅4 ⋅3.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nCyfrę 2 umieszczamy na pierwszej pozycji kodu.\nSpośród ośmiu dostępnych pozycji w kodzie wybieramy trzy pozycje, na których umieścimy\nczwórki. Liczba wszystkich takich wyborów jest równa (8\n3).\nPo umieszczeniu czwórek w kodzie mamy pięć dostępnych pozycji. Spośród nich wybieramy\ndwie, na których umieścimy ósemki. Liczba wszystkich takich wyborów jest równa (5\n2).\nPozostały jeszcze trzy nieobsadzone pozycje, na których należy umieścić trzy - parami\nróżne - cyfry nieparzyste. Liczba wszystkich takich możliwych obsadzeń tych trzech pozycji\njest równa 5 ⋅4 ⋅3.\nKorzystamy z reguły mnożenia i obliczamy liczbę wszystkich kodów spełniających warunki\nzadania:\n(8\n3) ⋅(5\n2) ⋅5 ⋅4 ⋅3 = 8 ⋅7 ⋅6\n1 ⋅2 ⋅3 ⋅5 ⋅4\n1 ⋅2 ⋅5 ⋅4 ⋅3 = 33 600","solution":"Pierwsza cyfra kodu jest ustalona i równa (2). Pozostaje osiem miejsc.\n\nWybieramy trzy spośród tych ośmiu miejsc dla cyfr (4):\n\nbinom83.\n\nNastępnie wybieramy dwa spośród pozostałych pięciu miejsc dla cyfr (8):\n\nbinom52.\n\nNa każdym z trzech pozostałych miejsc może znaleźć się dowolna z pięciu cyfr nieparzystych: (1,3,5,7,9). Cyfry te mogą się powtarzać, dlatego mamy (5^3) możliwości.\n\nbinom83binom52·5^3=56·10·125=70 000.\n\nOdpowiedź: (70 000) kodów.","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-2.svg","topics":null,"page_from":5,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/3","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"3","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3. (0-3)\nFunkcja 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑥\n𝑥 - 1 dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥≠1.\nWyznacz wszystkie wartości 𝒂, dla których pochodna funkcji 𝒇 w punkcie 𝒙= 𝒂\njest równa (-𝟏\n𝟐𝒂). Zapisz obliczenia.\n3.\n0-1-\n2-3\n\nMMAP-R0_100\nFunkcja f jest określona wzorem f(x) = ax² + x / x-1 dla każdej liczby rzeczywistej x≠1. Wyznacz wszystkie wartości a, dla których pochodna funkcji f w punkcie x=a jest równa (-1/2a). Zapisz obliczenia.","answer":"(a=2)","answer_text":"Zadanie 3. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nXIII.R4) oblicza pochodną funkcji potęgowej\no wykładniku rzeczywistym oraz oblicza\npochodną, korzystając z twierdzeń\no pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu\ni funkcji złożonej.\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑎= 2.\n2 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑎, np.\n(2𝑎2 + 1)(𝑎-1) -(𝑎3 + 𝑎) ⋅1\n(𝑎-1)2\n= -1\n2 𝑎\n1 pkt - wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑓, np. 𝑓′(𝑥) =\n(2𝑎𝑥 + 1)(𝑥 - 1) - (𝑎𝑥2 + 𝑥) ⋅ 1\n(𝑥 - 1)2\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nWyznaczamy pochodną funkcji 𝑓:\n𝑓′(𝑥) =\n(2𝑎𝑥+ 1)(𝑥-1) -(𝑎𝑥2 + 𝑥) ⋅1\n(𝑥-1)2\n= 𝑎𝑥2 -2𝑎𝑥-1\n(𝑥-1)2\ndla każdego 𝑥≠1.\nStąd i z warunku 𝑓′(𝑎) = -1\n2 𝑎 otrzymujemy:\n𝑎3 -2𝑎2 -1\n(𝑎-1)2\n= -1\n2 𝑎 ∧ 𝑎≠1\n2𝑎3 -4𝑎2 -2 = -𝑎(𝑎-1)2 ∧ 𝑎≠1\n3𝑎3 -6𝑎2 + 𝑎-2 = 0 ∧ 𝑎≠1\n3𝑎2(𝑎-2) + (𝑎-2) = 0 ∧ 𝑎≠1\n(3𝑎2 + 1)(𝑎-2) = 0 ∧ 𝑎≠1\n𝑎= 2\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Dla ustalonego parametru (a) różniczkujemy funkcję ilorazową:\n\nf'(x)=((2ax+1)(x-1)-(ax^2+x))/((x-1)^2).\n\nUpraszczamy licznik:\n\nf'(x)=(2ax^2-2ax+x-1-ax^2-x)/((x-1)^2)=(ax^2-2ax-1)/((x-1)^2).\n\nPunkt (x=a) musi należeć do dziedziny, więc (a≠1). Podstawiamy (x=a) i korzystamy z warunku (f'(a)=-(1)/(2)a):\n\n(a^3-2a^2-1)/((a-1)^2)=-(1)/(2)a.\n\nMnożymy obie strony przez (2(a-1)^2):\n\n2a^3-4a^2-2=-a(a-1)^2=-a^3+2a^2-a.\n\n3a^3-6a^2+a-2=0,\n\n3a^2(a-2)+(a-2)=0,\n\n(a-2)(3a^2+1)=0.\n\nRównanie (3a^2+1=0) nie ma rozwiązań rzeczywistych.\n\nOdpowiedź: (a=2).","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-3.svg","topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/4","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"4","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4. (0-3)\nWykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej 𝒙 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝒚\nprawdziwa jest nierówność\n𝒙𝒚+ 𝒙+ 𝒚≤𝒙𝟐+ 𝒚𝟐+ 𝟏\n4.\n0-1-\n2-3\n\nMMAP-R0_100\nWykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y prawdziwa jest nierównośćxy + x + y ≤ x² + y² + 1.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 4. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nII.1) stosuje wzory skróconego mnożenia\nna: (𝑎+ 𝑏)2, (𝑎-𝑏)2, 𝑎2 -𝑏2.\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.\n2 pkt - przekształcenie nierówności do postaci, z której można bezpośrednio wnioskować\no prawdziwości nierówności, np. 0 ≤(𝑥-𝑦)2 + (𝑥-1)2 + (𝑦-1)2\n(dla sposobu I)\nALBO\n- przekształcenie nierówności do postaci uporządkowanej nierówności kwadratowej ze\nwzględu na niewiadomą 𝑥 (lub niewiadomą 𝑦) oraz wyznaczenie i przeprowadzenie\nanalizy znaku wyróżnika odpowiedniego trójmianu kwadratowego, np. poprzez\nzapisanie wyróżnika w postaci, z której można bezpośrednio wnioskować o jego\nznaku, lub poprzez naszkicowanie poprawnego wykresu trójmianu -3𝑦2 + 6𝑦-3\n(dla sposobu II),\nALBO\n- przekształcenie nierówności do postaci 0 ≤(𝑥-1)2 -(𝑥-1)(𝑦-1) + (𝑦-1)2\n(dla sposobu III).\n1 pkt - pomnożenie obu stron nierówności przez 2 i przekształcenie nierówności do postaci,\nw której występuje co najmniej jeden z następujących kwadratów: (𝑥-𝑦)2 lub\n(𝑥-1)2, lub (𝑦-1)2, np. (𝑥-𝑦)2 + 𝑥2 + 𝑦2 -2𝑥-2𝑦+ 2 ≥0 (dla sposobu I)\nALBO\n- przekształcenie nierówności do postaci uporządkowanej nierówności kwadratowej ze\nwzględu na niewiadomą 𝑥 (lub niewiadomą 𝑦) oraz wyznaczenie wyróżnika\nodpowiedniego trójmianu kwadratowego, np. 0 ≤𝑥2 -(𝑦+ 1)𝑥+ (𝑦2 -𝑦+ 1)\noraz Δ = -3𝑦2 + 6𝑦-3 (dla sposobu II),\nALBO\n- przekształcenie nierówności do postaci 0 ≤[(𝑥-1) -(𝑦-1)]2 + (𝑥-1)(𝑦-1)\n(dla sposobu III).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzekształcamy nierówność równoważnie i otrzymujemy:\n𝑥𝑦+ 𝑥+ 𝑦≤𝑥2 + 𝑦2 + 1\n2𝑥𝑦+ 2𝑥+ 2𝑦≤2𝑥2 + 2𝑦2 + 2\n0 ≤𝑥2 -2𝑥𝑦+ 𝑦2 + 𝑥2 -2𝑥+ 1 + 𝑦2 -2𝑦+ 1\n0 ≤(𝑥-𝑦)2 + (𝑥-1)2 + (𝑦-1)2\nWszystkie składniki sumy (𝑥-𝑦)2 + (𝑥-1)2 + (𝑦-1)2 są nieujemne jako kwadraty\nliczb rzeczywistych, więc nierówność 0 ≤(𝑥-𝑦)2 + (𝑥-1)2 + (𝑦-1)2 jest prawdziwa\ndla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦. Zatem nierówność\n𝑥𝑦+ 𝑥+ 𝑦≤𝑥2 + 𝑦2 + 1 jest również prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 i dla\nkażdej liczby rzeczywistej 𝑦.\nTo należało wykazać.\nSposób II\nPrzekształcamy nierówność równoważnie i otrzymujemy:\n𝑥𝑦+ 𝑥+ 𝑦≤𝑥2 + 𝑦2 + 1\n0 ≤𝑥2 -(𝑦+ 1)𝑥+ (𝑦2 -𝑦+ 1)\nWyróżnik Δ trójmianu 𝑥2 -(𝑦+ 1)𝑥+ (𝑦2 -𝑦+ 1) zmiennej 𝑥 jest równy\nΔ = (𝑦+ 1)2 -4(𝑦2 -𝑦+ 1) = -3𝑦2 + 6𝑦-3 = -3(𝑦-1)2\nWyróżnik jest niedodatni jako iloczyn liczby ujemnej i liczby nieujemnej (𝑦-1)2. Ponadto\nwspółczynnik przy 𝑥2 jest dodatni, więc trójmian 𝑥2 -(𝑦+ 1)𝑥+ (𝑦2 -𝑦+ 1) przyjmuje\ntylko wartości nieujemne. Zatem nierówność 0 ≤𝑥2 -(𝑦+ 1)𝑥+ (𝑦2 -𝑦+ 1) jest\nprawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦, więc również\nnierówność 𝑥𝑦+ 𝑥+ 𝑦≤𝑥2 + 𝑦2 + 1 jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥\ni dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦.\nTo należało wykazać.\nSposób III\nPrzekształcamy nierówność równoważnie i otrzymujemy:\n𝑥𝑦+ 𝑥+ 𝑦≤𝑥2 + 𝑦2 + 1\n0 ≤𝑥2 + 𝑦2 -2𝑥𝑦+ 𝑥𝑦-𝑥-𝑦+ 1\n0 ≤(𝑥-𝑦)2 + 𝑥(𝑦-1) -(𝑦-1)\n0 ≤(𝑥-𝑦)2 + (𝑥-1)(𝑦-1)\n0 ≤[(𝑥-1) -(𝑦-1)]2 + (𝑥-1)(𝑦-1)\n0 ≤(𝑥-1)2 -2(𝑥-1)(𝑦-1) + (𝑦-1)2 + (𝑥-1)(𝑦-1)\n0 ≤(𝑥-1)2 -(𝑥-1)(𝑦-1) + (𝑦-1)2\nTę nierówność możemy równoważnie zapisać w postaci\n0 ≤𝑎2 -𝑎𝑏+ 𝑏2\ngdzie 𝑎= 𝑥-1 oraz 𝑏= 𝑦-1. Zauważmy teraz, że 𝑎2 -𝑎𝑏+ 𝑏2 = (𝑎-1\n2 𝑏)\n2\n+ 3\n4 𝑏2.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPonieważ kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, więc (𝑎-1\n2 𝑏)\n2\n≥0\noraz 3\n4 𝑏2 ≥0. Zatem suma (𝑎-1\n2 𝑏)\n2\n+ 3\n4 𝑏2 jest nieujemna jako suma liczb\nnieujemnych. To oznacza, że nierówność 0 ≤𝑎2 -𝑎𝑏+ 𝑏2 jest prawdziwa dla każdej\nliczby rzeczywistej 𝑎 i każdej liczby rzeczywistej 𝑏. Tym samym nierówność\n𝑥𝑦+ 𝑥+ 𝑦≤𝑥2 + 𝑦2 + 1 jest również prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 i dla\nkażdej liczby rzeczywistej 𝑦. To należało wykazać.","solution":"Mnożymy nierówność przez (2) i przenosimy wszystkie składniki na prawą stronę:\n\n2xy+2x+2y≤2x^2+2y^2+2,\n\n0≤2x^2+2y^2-2xy-2x-2y+2.\n\nWyrażenie po prawej stronie zapisujemy jako sumę kwadratów:\n\n2x^2+2y^2-2xy-2x-2y+2=(x-y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2.\n\nKażdy kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny, zatem\n\n(x-y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2≥0.\n\nNierówność została wykazana.","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-4.svg","topics":null,"page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"5","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (0-3)\nOdcinek 𝐶𝐷 jest wysokością trójkąta równoramiennego 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|.\nProsta 𝑝 jest prostopadła do boku 𝐵𝐶 i przecina ten bok w punkcie 𝐿. Ta prosta przecina\nwysokość 𝐶𝐷 w punkcie 𝐾 oraz przecina bok 𝐴𝐶 w punkcie różnym od 𝐴.\nWykaż, że |∡𝑪𝑨𝑲| = |∡𝑲𝑫𝑳|.\n5.\n0-1-\n2-3\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nOdcinek CD jest wysokością trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AC|=|BC|. Prosta p jest prostopadła do boku BC i przecina ten bok w punkcie L. Ta prosta przecina wysokość CD w punkcie K oraz przecina bok AC w punkcie różnym od A. Wykaż, że |∠CAK| = |∠KDL|.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 5. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nVIII.11) przeprowadza dowody\ngeometryczne.\nVIII.R1) stosuje własności czworokątów\nwpisanych w okrąg i opisanych na okręgu.\nZasady oceniania (dla sposobu I)\n3 pkt - poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.\n2 pkt - zapisanie, że |∡𝐾𝐴𝐶| = |∡𝐾𝐵𝐶| oraz zapisanie wraz z uzasadnieniem, że na\nczworokącie 𝐷𝐵𝐿𝐾 można opisać okrąg\nALBO\n- zapisanie wraz z uzasadnieniem, że na czworokącie 𝐷𝐵𝐿𝐾 można opisać okrąg\noraz zapisanie wraz z uzasadnieniem, że |∡𝐾𝐵𝐿| = |∡𝐾𝐷𝐿|.\n1 pkt - zapisanie, że |∡𝐾𝐴𝐶| = |∡𝐾𝐵𝐶|\nALBO\n- zapisanie wraz z uzasadnieniem, że na czworokącie 𝐷𝐵𝐿𝐾 można opisać okrąg.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania (dla sposobu II)\n3 pkt - poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.\n2 pkt - zapisanie wraz z uzasadnieniem, że na czworokącie 𝑀𝐷𝐿𝐶 można opisać okrąg\noraz zapisanie, że |∡𝐶𝑀𝐿| = |∡𝐶𝐷𝐿|\nALBO\n- zapisanie wraz z uzasadnieniem, że na czworokącie 𝑀𝐴𝐾𝐶 można opisać okrąg\noraz zapisanie, że |∡𝐶𝑀𝐾| = |∡𝐶𝐴𝐾|,\nALBO\n- zapisanie wraz z uzasadnieniem, że na czworokącie 𝑀𝐷𝐿𝐶 można opisać okrąg\noraz zapisanie wraz z uzasadnieniem, że na czworokącie 𝑀𝐴𝐾𝐶 można opisać\nokrąg.\n1 pkt - zapisanie wraz z uzasadnieniem, że na czworokącie 𝑀𝐷𝐿𝐶 można opisać okrąg\nALBO\n- zapisanie wraz z uzasadnieniem, że na czworokącie 𝑀𝐴𝐾𝐶 można opisać okrąg.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPonieważ trójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest równoramienny i 𝐶𝐷 jest osią symetrii tego trójkąta, więc\n|∡𝐾𝐴𝐶| = |∡𝐾𝐵𝐶| = |∡𝐾𝐵𝐿|.\nPonieważ |∡𝐾𝐷𝐵| = 90° oraz |∡𝐵𝐿𝐾| = 90°, więc na czworokącie 𝐷𝐵𝐿𝐾 można opisać\nokrąg. W tym okręgu kąty wpisane 𝐾𝐷𝐿 i 𝐾𝐵𝐿 są oparte na tym samym łuku, więc mają\nrówne miary. Zatem |∡𝐾𝐴𝐶| = |∡𝐾𝐵𝐿| = |∡𝐾𝐷𝐿|.\nTo należało wykazać.\nSposób II\nNiech 𝑀 będzie punktem przecięcia prostej 𝑝 z prostą 𝐴𝐵. Oznaczmy 𝛼= |∡𝐵𝐶𝐷| oraz\n𝛽= |∡𝐶𝑀𝐿|.\nTrójkąt 𝑀𝐶𝐿 jest prostokątny, więc środek okręgu opisanego na tym trójkącie jest środkiem\nodcinka 𝑀𝐶, a promień tego okręgu jest równy 1\n2 ⋅|𝑀𝐶|. Trójkąt 𝑀𝐷𝐶 jest prostokątny,\nwięc środek okręgu opisanego na tym trójkącie jest środkiem odcinka 𝑀𝐶, a promień tego\nokręgu jest równy 1\n2 ⋅|𝑀𝐶|. Zatem na czworokącie 𝑀𝐷𝐿𝐶 można opisać okrąg. Oznaczmy\nten okrąg przez ℴ1 (zobacz rysunek).\nKąty 𝐿𝐶𝐷 oraz 𝐿𝑀𝐷 są wpisane w okrąg ℴ1 i oparte na tym samym łuku 𝐿𝐷, więc\n|∡𝐿𝐶𝐷| = |∡𝐿𝑀𝐷| = 𝛼. Ponieważ trójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest równoramienny, więc\n|∡𝐾𝐶𝐴| = |∡𝐷𝐶𝐴| = 𝛼. Zatem |∡𝐾𝐶𝐴| = |∡𝐿𝑀𝐷| = |∡𝐾𝑀𝐴|, a ponieważ punkty 𝐶 oraz\n𝑀 są po tej samej stronie prostej 𝐴𝐾, więc na czworokącie 𝑀𝐴𝐾𝐶 można opisać okrąg.\nOznaczmy ten okrąg przez ℴ2 (zobacz rysunek).\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐾\n𝐿\n𝑝\n𝑀\nℴ1\n𝛼\n𝛽\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nKąty wpisane 𝐾𝑀𝐶 oraz 𝐾𝐴𝐶 są oparte na tym samym łuku 𝐶𝐾 okręgu ℴ2, więc\n|∡𝐾𝐴𝐶| = |∡𝐾𝑀𝐶| i wobec |∡𝐾𝑀𝐶| = |∡𝐿𝑀𝐶| mamy |∡𝐾𝐴𝐶| = 𝛽.\nKąty wpisane 𝐶𝐷𝐿 oraz 𝐿𝑀𝐶 są oparte na tym samym łuku 𝐶𝐿 okręgu ℴ1, więc\n|∡𝐶𝐷𝐿| = |∡𝐿𝑀𝐶| = 𝛽. Zatem |∡𝐾𝐴𝐶| = 𝛽= |∡𝐶𝐷𝐿| = |∡𝐾𝐷𝐿|.\nTo należało wykazać.","solution":"Ponieważ (CD) jest wysokością trójkąta równoramiennego (ABC), jest także symetralną podstawy (AB). Zatem\n\n|AD|=|DB| oraz CD⊥ AB.\n\nProsta (p) jest prostopadła do (BC), więc (∠KLB=90^°). Ponadto (∠KDB=90^°). Punkty (D,B,L,K) leżą więc na jednym okręgu - przeciwległe kąty czworokąta (DBLK) mają sumę (180^°).\nRysunek pomocniczy do zadania 5\nKąty wpisane (∠KDL) i (∠KBL) są oparte na tym samym łuku (KL), zatem\n\n|∠ KDL|=|∠ KBL|.\n\nW trójkącie równoramiennym (ABC) kąty przy podstawie są równe:\n\n|∠ CAB|=|∠ ABC|.\n\nPonieważ (A,K,L) są współliniowe, a (B,L,C) są współliniowe, mamy\n\n|∠ CAK|=|∠ CAB|=|∠ ABC|=|∠ KBL|.\n\nŁącząc otrzymane równości, dostajemy\n\n|∠ CAK|=|∠ KDL| . Teza została wykazana.","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-5.svg","topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"6","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (0-4)\nChleb sprzedawany w pewnym supermarkecie pochodzi z trzech piekarni: 𝒫1, 𝒫2, 𝒫3.\nStosunek liczby bochenków chleba dostarczonego przez piekarnie 𝒫1, 𝒫2 oraz 𝒫3 do tego\nsupermarketu jest - odpowiednio - równy 2 ∶3 ∶4.\nLiczba bochenków chleba razowego dostarczonego do tego supermarketu z piekarni:\n𝒫1 stanowi 10% liczby wszystkich bochenków chleba dostarczonego z tej piekarni\n𝒫2 stanowi 12% liczby wszystkich bochenków chleba dostarczonego z tej piekarni\n𝒫3 stanowi 15% liczby wszystkich bochenków chleba dostarczonego z tej piekarni.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że bochenek chleba\nlosowo wybrany w tym supermarkecie pochodzi z piekarni 𝓟𝟏, jeśli wiadomo, że ten\nchleb jest razowy. Zapisz obliczenia.\n6.\n0-1-\n2-3-4\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nChleb sprzedawany w pewnym supermarkecie pochodzi z trzech piekarni: P_1, P_2, P_3. Stosunek liczby bochenków chleba dostarczonego przez piekarnie P_1, P_2 oraz P_3 do tego supermarketu jest - odpowiednio - równy 2:3:4. Liczba bochenków chleba razowego dostarczonego do tego supermarketu z piekarni: • P_1 stanowi 10% liczby wszystkich bochenków chleba dostarczonego z tej piekarni • P_2 stanowi 12% liczby wszystkich bochenków chleba dostarczonego z tej piekarni • P_3 stanowi 15% liczby wszystkich bochenków chleba dostarczonego z tej piekarni Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że bochenek chleba losowo wybrany w tym supermarkecie pochodzi z piekarni P_1, jeśli wiadomo, że ten chleb jest razowy. Zapisz obliczenia.","answer":"(frac5 29 )","answer_text":"Zadanie 6. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nXII.R1) oblicza prawdopodobieństwo\nwarunkowe i stosuje wzór Bayesa, stosuje\ntwierdzenie o prawdopodobieństwie\ncałkowitym.\nZasady oceniania (dla sposobu I)\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 5\n29 .\n3 pkt - obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐵: 𝑃(𝐵) = 116\n900 .\n2 pkt - zapisanie/obliczenie prawdopodobieństw zdarzeń 𝐴1, 𝐴2 i 𝐴3 oraz\nprawdopodobieństw 𝑃(𝐵|𝐴1), 𝑃(𝐵|𝐴2) i 𝑃(𝐵|𝐴3): 𝑃(𝐴1) = 2\n9 oraz 𝑃(𝐴2) = 3\n9 ,\noraz 𝑃(𝐴3) = 4\n9 , oraz 𝑃(𝐵|𝐴1) = 10\n100 , oraz 𝑃(𝐵|𝐴2) = 12\n100 , oraz\n𝑃(𝐵|𝐴3) = 15\n100 .\n1 pkt - zapisanie/obliczenie prawdopodobieństw zdarzeń 𝐴1, 𝐴2 i 𝐴3: 𝑃(𝐴1) = 2\n9 oraz\n𝑃(𝐴2) = 3\n9 , oraz 𝑃(𝐴3) = 4\n9\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐾\n𝐿\n𝑝\n𝑀\nℴ1\nℴ2\n𝛼\n𝛽\n𝛼\n𝛼\nALBO\n- zapisanie/obliczenie prawdopodobieństw 𝑃(𝐵|𝐴1), 𝑃(𝐵|𝐴2) i 𝑃(𝐵|𝐴3):\n𝑃(𝐵|𝐴1) = 10\n100 oraz 𝑃(𝐵|𝐴2) = 12\n100 , oraz 𝑃(𝐵|𝐴3) = 15\n100 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania (dla sposobu II)\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 5\n29 .\n3 pkt - wyznaczenie prawdopodobieństw zdarzeń 𝐴1 ∩𝐵 oraz 𝐵, np. 𝑃(𝐴1 ∩𝐵) = 0,2\n9\noraz 𝑃(𝐵) =\n1,16𝑛\n2𝑛 + 3𝑛 + 4𝑛 ,\nALBO\n- zapisanie liczby bochenków chleba razowego dostarczonego przez piekarnię 𝒫1 oraz\nłącznej liczby bochenków chleba razowego dostarczonego przez piekarnie\nw zależności od jednej zmiennej, np. 0,2𝑛 oraz 1,16𝑛.\n2 pkt - wyznaczenie prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐴1 ∩𝐵, np.\n𝑃(𝐴1 ∩𝐵) =\n0,2𝑛\n2𝑛 + 3𝑛 + 4𝑛\nALBO\n- wyznaczenie prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐵, np. 𝑃(𝐵) =\n1,16𝑛\n2𝑛 + 3𝑛 + 4𝑛 ,\nALBO\n- zapisanie liczby bochenków chleba dostarczonego przez poszczególne piekarnie\noraz liczby bochenków chleba razowego dostarczonego przez piekarnię 𝒫1\nw zależności od jednej zmiennej, np. 2𝑛 oraz 3𝑛 i 4𝑛 oraz 0,2𝑛.\n1 pkt - zapisanie liczby bochenków chleba dostarczonego przez poszczególne piekarnie\nw zależności od jednej zmiennej, np. 2𝑛 oraz 3𝑛 i 4𝑛.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia:\n𝐴1 - zdarzenie polegające na tym, że losowo wybrany chleb pochodzi z piekarni 𝒫1,\n𝐴2 - zdarzenie polegające na tym, że losowo wybrany chleb pochodzi z piekarni 𝒫2,\n𝐴3 - zdarzenie polegające na tym, że losowo wybrany chleb pochodzi z piekarni 𝒫3,\n𝐵 - zdarzenie polegające na tym, że losowo wybrany chleb jest razowy.\nWtedy 𝑃(𝐴1) = 2\n9 , 𝑃(𝐴2) = 3\n9 , 𝑃(𝐴3) = 4\n9 oraz 𝑃(𝐵|𝐴1) = 10\n100 , 𝑃(𝐵|𝐴2) = 12\n100\ni 𝑃(𝐵|𝐴3) = 15\n100 .\nPonieważ zdarzenia 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3 są parami rozłączne i 𝐴1 ∪𝐴2 ∪𝐴3 = Ω oraz\nprawdopodobieństwa tych zdarzeń są dodatnie, więc możemy obliczyć 𝑃(𝐵), stosując wzór\nna prawdopodobieństwo całkowite:\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐴1) ⋅𝑃(𝐵|𝐴1) + 𝑃(𝐴2) ⋅𝑃(𝐵|𝐴2) + 𝑃(𝐴3) ⋅𝑃(𝐵|𝐴3) =\n= 2\n9 ⋅10\n100 + 3\n9 ⋅12\n100 + 4\n9 ⋅15\n100 = 116\n900\nStosujemy wzór Bayesa i obliczamy prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrany chleb\npochodzi z piekarni 𝒫1 , jeżeli wiadomo, że ten chleb jest razowy:\n𝑃(𝐴1|𝐵) = 𝑃(𝐴1) ⋅𝑃(𝐵|𝐴1)\n𝑃(𝐵)\n2\n9 ⋅10\n100\n116\n900\n= 5\n29\nSposób II\nStosunek liczby bochenków chleba dostarczonego przez piekarnie 𝒫1, 𝒫2 oraz 𝒫3 do tego\nsupermarketu jest równy - odpowiednio - 2 ∶3 ∶4, więc liczby bochenków chleba\ndostarczonego do supermarketu przez piekarnie 𝒫1, 𝒫2 oraz 𝒫3 wynoszą - odpowiednio -\n2𝑛, 3𝑛 oraz 4𝑛 (przy pewnym 𝑛 całkowitym dodatnim).\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia:\n𝐴1 - zdarzenie polegające na tym, że wybrany losowo chleb pochodzi z piekarni 𝒫1,\n𝐵 - zdarzenie polegające na tym, że wybrany losowo chleb jest razowy.\nZ warunków zadania wynika, że liczba bochenków chleba razowego dostarczonego\nz piekarni:\n• 𝒫1 jest równa 0,1 ⋅2𝑛= 0,2𝑛\n• 𝒫2 jest równa 0,12 ⋅3𝑛= 0,36𝑛\n• 𝒫3 jest równa 0,15 ⋅4𝑛= 0,6𝑛.\nZatem łączna liczba bochenków chleba razowego dostarczonego do supermarketu jest\nrówna 0,2𝑛+ 0,36𝑛+ 0,6𝑛= 1,16𝑛.\nDlatego 𝑃(𝐵) =\n1,16𝑛\n2𝑛 + 3𝑛 + 4𝑛= 29\n225 oraz 𝑃(𝐴1 ∩𝐵) =\n0,2𝑛\n2𝑛 + 3𝑛 + 4𝑛= 1\n45 .\nObliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że losowo wybrany chleb\npochodzi z piekarni 𝒫1, jeśli wiadomo, że ten chleb jest razowy:\n𝑃(𝐴1|𝐵) = 𝑃(𝐴1 ∩𝐵)\n𝑃(𝐵)\n1\n45\n29\n225\n= 5\n29","solution":"Niech (A) oznacza zdarzenie „wybrany chleb jest razowy”, a (B_i) - zdarzenie „chleb pochodzi z piekarni (P_i)”. Ze stosunku (2:3:4) otrzymujemy\n\nP(B_1)=(2)/(9), P(B_2)=(3)/(9), P(B_3)=(4)/(9).\n\nPrawdopodobieństwa wyboru chleba razowego z poszczególnych piekarni są równe\n\nP(A∣ B_1)=(10)/(100), P(A∣ B_2)=(12)/(100), P(A∣ B_3)=(15)/(100).\n\nZe wzoru na prawdopodobieństwo całkowite:\n\nP(A)=(2)/(9)·(10)/(100)+(3)/(9)·(12)/(100)+(4)/(9)·(15)/(100)=(116)/(900)=(29)/(225).\n\nStosujemy wzór Bayesa:\n\nP(B_1∣ A)=(P(B_1)P(A∣ B_1))/(P(A))=frac (2)/(9)·(10)/(100) (116)/(900) =(5)/(29).\n\nOdpowiedź: ((5)/(29)).","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-6.svg","topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"7","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (0-4)\nNieskończony ciąg geometryczny (𝑎𝑛) jest określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.\nSuma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 14. Suma sześcianów wszystkich wyrazów\nciągu (𝑎𝑛) jest równa 392.\nWyznacz wzór ogólny na 𝒏-ty wyraz ciągu (𝒂𝒏). Zapisz obliczenia.\n7.\n0-1-\n2-3-4\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nNieskończony ciąg geometryczny (a_n) jest określony dla każdej liczby naturalnej n≥1. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 14. Suma sześcianów wszystkich wyrazów ciągu (a_n) jest równa 392. Wyznacz wzór ogólny na n - ty wyraz ciągu (a_n). Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 7. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nVI.R2) rozpoznaje zbieżne szeregi\ngeometryczne i oblicza ich sumę.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑎𝑛= 7 ⋅(1\n2)\n𝑛-1\n,\n𝑎𝑛= 14 ⋅(1\n2)\n𝑛\n3 pkt - rozwiązanie równania z jedną niewiadomą 𝑞 (lub 𝑎1).\n2 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑞 (lub 𝑎1), np.\n[14 ⋅ (1 - 𝑞)]3\n1 - 𝑞3\n= 392,\n𝑎1\n3\n1 - (1 - 𝑎1\n14)\n3 = 392.\n1 pkt - wyznaczenie 𝑎1 w zależności od 𝑞: 𝑎1 = 14(1 -𝑞)\nALBO\n- zapisanie dwóch równań z dwiema niewiadomymi 𝑎1 oraz 𝑞, które wynikają\nz warunków dotyczących sumy wszystkich wyrazów ciągu i sumy sześcianów\nwszystkich wyrazów ciągu, np. 𝑎1\n1 - 𝑞= 14 oraz\n𝑎1\n3\n1 - 𝑞3 = 392.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający popełnia w rozwiązaniu błędy rachunkowe, w wyniku których otrzymuje\nrównanie z jedną niewiadomą 𝑞, które nie ma rozwiązań spełniających warunek |𝑞| < 1,\nto może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający zapisuje sumę wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego\njako sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu i na tym opiera swoje rozwiązanie, to\notrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nNiech 𝑞 oznacza iloraz ciągu geometrycznego (𝑎𝑛). Ponieważ suma wszystkich wyrazów\ntego ciągu istnieje i jest równa 14, więc\n𝑎1\n1 -𝑞= 14 ∧ |𝑞| < 1\nStąd 𝑎1 = 14(1 -𝑞), gdzie |𝑞| < 1.\nCiąg sześcianów wyrazów ciągu (𝑎𝑛) jest ciągiem geometrycznym o pierwszym wyrazie\nrównym 𝑎1\n3 i ilorazie 𝑞3. Ponieważ |𝑞| < 1, więc |𝑞3| < 1. Zatem z warunków zadania\notrzymujemy\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑎1\n3\n1 -𝑞3 = 392\nStąd i z zależności 𝑎1 = 14(1 -𝑞) otrzymujemy dalej:\n143 ⋅(1 -𝑞)3\n1 -𝑞3\n= 392\n7(1 -𝑞)3\n(1 -𝑞)(1 + 𝑞+ 𝑞2) = 1\n7(1 -𝑞)2 = 1 + 𝑞+ 𝑞2 ∧ 𝑞≠1\n6𝑞2 -15𝑞+ 6 = 0 ∧ 𝑞≠1\n𝑞= 1\n2 ∨ 𝑞= 2\nPo uwzględnieniu warunku |𝑞| < 1 otrzymujemy 𝑞= 1\n2 . Zatem 𝑎1 = 14(1 -𝑞) = 7.\nWzór ogólny na 𝑛-ty wyraz ciągu (𝑎𝑛) ma postać 𝑎𝑛= 7 ⋅(1\n2)\n𝑛-1","solution":"Niech (a_1) będzie pierwszym wyrazem, a (q) ilorazem ciągu. Ponieważ suma szeregu geometrycznego jest skończona, (|q|<1), a z warunku sumy:\n\n(a_1)/(1-q)=14, a_1=14(1-q).\n\nSześciany kolejnych wyrazów również tworzą ciąg geometryczny, którego pierwszy wyraz wynosi (a_1^3), a iloraz (q^3). Zatem\n\n(a_1^3)/(1-q^3)=392.\n\nPodstawiamy (a_1=14(1-q)) i korzystamy z (1-q^3=(1-q)(1+q+q^2)):\n\n(14^3(1-q)^3)/((1-q)(1+q+q^2))=392.\n\n7(1-q)^2=1+q+q^2,\n\n7-14q+7q^2=1+q+q^2,\n\n6q^2-15q+6=0,\n\n2q^2-5q+2=0.\n\nq=(5-3)/(4)=(1)/(2) lub q=(5+3)/(4)=2.\n\nWarunek (|q|<1) spełnia tylko (q=(1)/(2)). Wtedy\n\na_1=14 (1-(1)/(2) )=7.\n\nOdpowiedź: a_n=7 ((1)/(2) )^n-1 .","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-7.svg","topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"8","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (0-4)\nTrzywyrazowy ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧) jest geometryczny. Jeżeli w tym ciągu pomniejszymy trzeci\nwyraz o 4, a pozostałe wyrazy pozostawimy bez zmian, to otrzymamy ciąg arytmetyczny.\nJeżeli drugi i trzeci wyraz tak otrzymanego ciągu arytmetycznego pomniejszymy o 1, to\notrzymamy nowy ciąg geometryczny.\nOblicz 𝒙, 𝒚 oraz 𝒛. Zapisz obliczenia.\n8.\n0-1-\n2-3-4\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nTrzywyrazowy ciąg (x,y,z) jest geometryczny. Jeżeli w tym ciągu pomniejszymy trzeci wyraz o 4, a pozostałe wyrazy pozostawimy bez zmian, to otrzymamy ciąg arytmetyczny. Jeżeli drugi i trzeci wyraz tak otrzymanego ciągu arytmetycznego pomniejszymy o 1, to otrzymamy nowy ciąg geometryczny. Oblicz x, y oraz z. Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 8. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nVI.5) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz i na sumę\n𝑛 początkowych wyrazów ciągu\narytmetycznego;\nVI.6) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz i na sumę\n𝑛 początkowych wyrazów ciągu\ngeometrycznego.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 3, 9) oraz\n(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1\n9 , 7\n9 , 49\n9 ).\n3 pkt - obliczenie 𝑟: 𝑟= 2 oraz 𝑟= 2\n3 (dla sposobu I)\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑥 (lub 𝑦, lub 𝑧), np.:\n(5𝑥 + 1\n2\n)\n2\n= 𝑥[2 ⋅(5𝑥 + 1\n2\n) + 4 -𝑥],\n𝑦2 = (2𝑦-8𝑦 + 21\n5\n+ 4) ⋅(8𝑦 + 21\n5\n),\n(\n𝑧 - 5\n4 + 𝑧 - 4\n2\n)\n2\n= 𝑧 - 5\n4\n⋅𝑧 (dla sposobu II),\nALBO\n- obliczenie 𝑞 (lub 𝑥): 𝑞= 3 oraz 𝑞= 7 (lub: 𝑥= 1\n9 oraz 𝑥= 1)\n(dla sposobu III).\n2 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑟, np. 𝑟2 = 4(𝑟2 -2𝑟+ 1)\n(dla sposobu I)\nALBO\n- zapisanie układu dwóch niezależnych równań z dwiema niewiadomymi 𝑥, 𝑦 (lub 𝑦,\n𝑧, lub 𝑧, 𝑥), np.:\n𝑦2 = 𝑥(2𝑦+ 4 -𝑥) oraz (𝑦-1)2 = 𝑥(2𝑦-𝑥-1),\n𝑦2 = (2𝑦-𝑧+ 4)𝑧 oraz (𝑦-1)2 = (2𝑦-𝑧+ 4)(𝑧-5),\n(𝑥 + 𝑧 - 4\n2\n)\n2\n= 𝑥𝑧 oraz (𝑥 + 𝑧 - 4\n2\n-1)\n2\n= 𝑥(𝑧-5) (dla sposobu II),\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑞 (lub 𝑥), np.\n1\n2𝑞 - 5 =\n4\n(𝑞 - 1)2 (dla sposobu III).\n1 pkt - zapisanie układu dwóch niezależnych równań z dwiema niewiadomymi (z których\njedną jest 𝑟), np.\n(𝑥+ 𝑟)2 = 𝑥(𝑥+ 2𝑟+ 4) oraz (𝑥+ 𝑟-1)2 = 𝑥(𝑥+ 2𝑟+ 4 -5)\n(dla sposobu I)\nALBO\n- wyznaczenie 𝑥 w zależności od 𝑟, np. 𝑥= 𝑟2 -2𝑟+ 1 (dla sposobu I),\nALBO\n- zapisanie układu trzech niezależnych równań z trzema niewiadomymi 𝑥, 𝑦, 𝑧, np.:\n𝑦2 = 𝑥⋅𝑧 oraz 𝑦= 𝑥 + 𝑧 - 4\n2\noraz (𝑦-1)2 = 𝑥⋅(𝑧-5) (dla sposobu II),\nALBO\n- zapisanie równania z dwiema niewiadomymi 𝑥, 𝑦 (lub 𝑦, 𝑧, lub 𝑧, 𝑥), np.\n𝑦2 = 𝑥(2𝑦+ 4 -𝑥), (𝑦-1)2 = (2𝑦-𝑧+ 4) ⋅(𝑧-5) (dla sposobu II),\nALBO\n- zapisanie układu dwóch niezależnych równań z dwiema niewiadomymi (z których\njedną jest 𝑞), np.\n𝑥𝑞= 𝑥 + 𝑥𝑞2 - 4\n2\noraz (𝑥𝑞-1)2 = 𝑥⋅(𝑥𝑞2 -5) (dla sposobu III),\nALBO\n- wyznaczenie 𝑥 w zależności od 𝑞 (lub 𝑞 w zależności od 𝑥), np.\n𝑥=\n4\n(𝑞 - 1)2 (dla sposobu III).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający przyjmuje, że 𝑦= √𝑥⋅𝑧, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe\nrozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający otrzyma więcej niż dwa ciągi (𝑥, 𝑦, 𝑧), wśród których dwa są właściwe:\n(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 3, 9) oraz (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1\n9 , 7\n9 , 49\n9 ), i nie odrzuci pozostałych ciągów, to może\notrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n3. Jeżeli zdający myli ciąg geometryczny z arytmetycznym, to otrzymuje 0 punktów za całe\nrozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I (poprzez 𝑟)\nNiech 𝑟 oznacza różnicę ciągu arytmetycznego (𝑥, 𝑦, 𝑧-4). Wówczas 𝑦= 𝑥+ 𝑟 oraz\n𝑧= 𝑥+ 2𝑟+ 4. Ponieważ ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧) jest geometryczny, więc korzystamy z własności\nciągu geometrycznego i otrzymujemy:\n(𝑥+ 𝑟)2 = 𝑥(𝑥+ 2𝑟+ 4)\n𝑥2 + 2𝑥𝑟+ 𝑟2 = 𝑥2 + 2𝑥𝑟+ 4𝑥\n𝑟2 = 4𝑥\nPonieważ ciąg (𝑥, 𝑦-1, 𝑧-5) jest geometryczny, więc korzystamy z własności ciągu\ngeometrycznego i otrzymujemy:\n(𝑥+ 𝑟-1)2 = 𝑥(𝑥+ 2𝑟+ 4 -5)\n(𝑥+ 𝑟)2 -2 ⋅(𝑥+ 𝑟) ⋅1 + 12 = 𝑥2 + 2𝑥𝑟-𝑥\n𝑥2 + 2𝑥𝑟+ 𝑟2 -2𝑥-2𝑟+ 1 = 𝑥2 + 2𝑥𝑟-𝑥\n𝑟2 -2𝑟+ 1 = 𝑥\nStąd z i zależności 𝑟2 = 4𝑥 otrzymujemy:\n𝑟2 = 4(𝑟2 -2𝑟+ 1)\n0 = 3𝑟2 -8𝑟+ 4\n𝑟= 2 ∨ 𝑟= 2\n3\nGdy 𝑟= 2, to 𝑥= 𝑟2 -2𝑟+ 1 = 1, 𝑦= 𝑥+ 𝑟= 3 oraz 𝑧= 𝑥+ 2𝑟+ 4 = 9.\nPonieważ ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 3, 9) jest geometryczny, ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧-4) = (1, 3, 5) jest\narytmetyczny, a ciąg (𝑥, 𝑦-1, 𝑧-5) = (1, 2, 4) jest geometryczny, więc trójka liczb\n(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 3, 9) spełnia warunki zadania.\nGdy 𝑟= 2\n3 , to 𝑥= 𝑟2 -2𝑟+ 1 = 1\n9 , 𝑦= 𝑥+ 𝑟= 7\n9 oraz 𝑧= 𝑥+ 2𝑟+ 4 = 49\n9 .\nPonieważ ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1\n9 , 7\n9 , 49\n9 ) jest geometryczny, ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧-4) = (1\n9 , 7\n9 , 13\n9 )\njest arytmetyczny, a ciąg (𝑥, 𝑦-1, 𝑧-5) = (1\n9 , -2\n9 , 4\n9) jest geometryczny, więc trójka\nliczb (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1\n9 , 7\n9 , 49\n9 ) także spełnia warunki zadania.\nOstatecznie rozwiązaniami zadania są dwie trójki liczb: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 3, 9) oraz\n(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1\n9 , 7\n9 , 49\n9 ).\nSposób Ia (poprzez 𝑟)\nNiech 𝑟 oznacza różnicę ciągu arytmetycznego (𝑥, 𝑦, 𝑧-4). Wówczas 𝑥= 𝑦-𝑟 oraz\n𝑧= 𝑦+ 𝑟+ 4. Ponieważ ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧) jest geometryczny, więc korzystamy z własności\nciągu geometrycznego i otrzymujemy:\n𝑦2 = (𝑦-𝑟)(𝑦+ 𝑟+ 4)\n𝑦2 = 𝑦2 -𝑟2 + 4(𝑦-𝑟)\n𝑟2 + 4𝑟= 4𝑦\nPonieważ ciąg (𝑥, 𝑦-1, 𝑧-5) jest geometryczny, więc ciąg (𝑦-𝑟, 𝑦-1, 𝑦+ 𝑟-1)\njest geometryczny. Korzystamy z własności ciągu geometrycznego i otrzymujemy:\n(𝑦-1)2 = (𝑦-𝑟)(𝑦+ 𝑟-1)\n𝑦2 -2𝑦+ 1 = 𝑦2 -𝑟2 -(𝑦-𝑟)\n𝑟2 -𝑟+ 1 = 𝑦\nStąd z i zależności 𝑟2 + 4𝑟= 4𝑦 otrzymujemy:\n𝑟2 + 4𝑟= 4(𝑟2 -𝑟+ 1)\n0 = 3𝑟2 -8𝑟+ 4\n𝑟= 2 ∨ 𝑟= 2\n3\nGdy 𝑟= 2, to 𝑦= 𝑟2 -𝑟+ 1 = 3, 𝑥= 𝑦-𝑟= 1 oraz 𝑧= 𝑦+ 𝑟+ 4 = 9.\nPonieważ ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 3, 9) jest geometryczny, ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧-4) = (1, 3, 5) jest\narytmetyczny, a ciąg (𝑥, 𝑦-1, 𝑧-5) = (1, 2, 4) jest geometryczny, więc trójka liczb\n(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 3, 9) spełnia warunki zadania.\nGdy 𝑟= 2\n3 , to 𝑦= 𝑟2 -𝑟+ 1 = 7\n9 , 𝑥= 𝑦-𝑟= 1\n9 oraz 𝑧= 𝑦+ 𝑟+ 4 = 49\n9 . Ponieważ\nciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1\n9 , 7\n9 , 49\n9 ) jest geometryczny, ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧-4) = (1\n9 , 7\n9 , 13\n9 ) jest\narytmetyczny, a ciąg (𝑥, 𝑦-1, 𝑧-5) = (1\n9 , -2\n9 , 4\n9) jest geometryczny, więc trójka liczb\n(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1\n9 , 7\n9 , 49\n9 ) także spełnia warunki zadania.\nOstatecznie rozwiązaniami zadania są dwie trójki liczb: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 3, 9) oraz\n(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1\n9 , 7\n9 , 49\n9 ).\nSposób II\nZ własności ciągu geometrycznego otrzymujemy\n𝑦2 = 𝑥⋅𝑧\nZ własności ciągu arytmetycznego i warunków zadania otrzymujemy\n𝑦= 𝑥+ 𝑧-4\n2\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nCiąg (𝑥, 𝑦-1, 𝑧-5) jest geometryczny, więc\n(𝑦-1)2 = 𝑥⋅(𝑧-5)\nStąd i ze związku 𝑦2 = 𝑥⋅𝑧 otrzymujemy:\n(𝑦-1)2 = 𝑥𝑧-5𝑥\n𝑦2 -2𝑦+ 1 = 𝑦2 -5𝑥\n𝑦= 5𝑥+ 1\n2\nPonieważ 𝑦= 𝑥 + 𝑧 - 4\n2\noraz 𝑦= 5𝑥 + 1\n2\n, więc:\n𝑥+ 𝑧-4\n2\n= 5𝑥+ 1\n2\n𝑧= 4𝑥+ 5\nZe związków 𝑦2 = 𝑥⋅𝑧, 𝑦= 5𝑥 + 1\n2\noraz 𝑧= 4𝑥+ 5 otrzymujemy:\n(5𝑥+ 1\n2\n)\n2\n= 𝑥(4𝑥+ 5)\n25𝑥2 + 10𝑥+ 1 = 16𝑥2 + 20𝑥\n9𝑥2 -10𝑥+ 1 = 0\n𝑥= 1 ∨ 𝑥= 1\n9\nDla 𝑥= 1 otrzymujemy 𝑦= 3 i 𝑧= 9. Wówczas ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 3, 9) jest\ngeometryczny, ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧-4) = (1, 3, 5) jest arytmetyczny, a ciąg\n(𝑥, 𝑦-1, 𝑧-5) = (1, 2, 4) jest geometryczny.\nTo oznacza, że trójka liczb (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 3, 9) spełnia warunki zadania.\nDla 𝑥= 1\n9 otrzymujemy 𝑦= 7\n9 i 𝑧= 49\n9 . Wówczas ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1\n9 , 7\n9 , 49\n9 ) jest\ngeometryczny, ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧-4) = (1\n9 , 7\n9 , 13\n9 ) jest arytmetyczny, a ciąg\n(𝑥, 𝑦-1, 𝑧-5) = (1\n9 , -2\n9 , 4\n9) jest geometryczny.\nZatem trójka liczb (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1\n9 , 7\n9 , 49\n9 ) także spełnia warunki zadania.\nOstatecznie rozwiązaniami zadania są dwie trójki liczb: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 3, 9) oraz\n(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1\n9 , 7\n9 , 49\n9 ).\nSposób III (poprzez 𝑞)\nNiech 𝑞 oznacza iloraz ciągu geometrycznego (𝑥, 𝑦, 𝑧). Wówczas 𝑦= 𝑥𝑞 oraz 𝑧= 𝑥𝑞2.\nPonieważ ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧-4) jest arytmetyczny, więc korzystamy z własności ciągu\narytmetycznego i otrzymujemy:\n𝑥𝑞= 𝑥+ 𝑥𝑞2 -4\n2\n2𝑥𝑞= 𝑥+ 𝑥𝑞2 -4\n4 = 𝑥(𝑞2 -2𝑞+ 1)\nDla 𝑞= 1 równanie 4 = 𝑥(𝑞2 -2𝑞+ 1) jest sprzeczne, więc\n𝑥=\n4\n(𝑞-1)2 ∧ 𝑞≠1\nPonieważ (𝑥, 𝑦-1, 𝑧-5) jest geometryczny, więc:\n(𝑥𝑞-1)2 = 𝑥⋅(𝑥𝑞2 -5)\n𝑥2𝑞2 -2𝑥𝑞+ 1 = 𝑥2𝑞2 -5𝑥\n1 = (2𝑞-5)𝑥\nDla 𝑞= 5\n2 równanie 1 = (2𝑞-5)𝑥 jest sprzeczne, więc\n𝑥=\n1\n2𝑞-5 ∧ 𝑞≠5\n2\nZatem 𝑞≠1 i 𝑞≠5\n2 oraz:\n1\n2𝑞-5 =\n4\n(𝑞-1)2\n(𝑞-1)2 = 4(2𝑞-5)\n𝑞2 -10𝑞+ 21 = 0\n𝑞= 3 ∨ 𝑞= 7\nGdy 𝑞= 3, to (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 3, 9). Ponieważ ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 3, 9) jest geometryczny,\nciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧-4) = (1, 3, 5) jest arytmetyczny, a ciąg (𝑥, 𝑦-1, 𝑧-5) = (1, 2, 4) jest\ngeometryczny, więc trójka liczb (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 3, 9) spełnia warunki zadania.\nGdy 𝑞= 7, to (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1\n9 , 7\n9 , 49\n9 ). Ponieważ ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1\n9 , 7\n9 , 49\n9 ) jest\ngeometryczny, ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧-4) = (1\n9 , 7\n9 , 13\n9 ) jest arytmetyczny, a ciąg\n(𝑥, 𝑦-1, 𝑧-5) = (1\n9 , -2\n9 , 4\n9) jest geometryczny, więc trójka liczb (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1\n9 , 7\n9 , 49\n9 )\ntakże spełnia warunki zadania.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nOstatecznie rozwiązaniami zadania są dwie trójki liczb: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 3, 9) oraz\n(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1\n9 , 7\n9 , 49\n9 ).","solution":"Niech (r) będzie różnicą ciągu arytmetycznego ((x,y,z-4)). Wtedy\n\nx=y-r, z-4=y+r, z=y+r+4.\n\nPonieważ ((x,y,z)) jest ciągiem geometrycznym:\n\ny^2=xz=(y-r)(y+r+4).\n\nPo rozwinięciu otrzymujemy\n\ny^2=y^2+4y-r^2-4r, y=(r^2+4r)/(4).\n\nCiąg ((x,y-1,z-5)) również jest geometryczny, więc\n\n(y-1)^2=x(z-5)=(y-r)(y+r-1).\n\nPo uproszczeniu:\n\ny^2-2y+1=y^2-y-r^2+r, y=1+r^2-r.\n\nPorównujemy oba wyrażenia opisujące (y):\n\n(r^2+4r)/(4)=1+r^2-r,\n\n3r^2-8r+4=0,\n\nr=(2)/(3) lub r=2.\n\nDla (r=(2)/(3)):\n\ny=(7)/(9), x=y-r=(1)/(9), z=y+r+4=(49)/(9).\n\nDla (r=2):\n\ny=3, x=1, z=9.\n\nOdpowiedź: ((x,y,z)= ((1)/(9),(7)/(9),(49)/(9) )) lub ((1,3,9)).","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-8.svg","topics":null,"page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"9","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (0-4)\nPole czworokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷 wpisanego w okrąg jest równe 18. Boki 𝐴𝐵 i 𝐵𝐶 są prostopadłe,\na ponadto |𝐴𝐵| = 4 oraz |𝐵𝐶| = 7.\nOblicz obwód tego czworokąta. Zapisz obliczenia.\n9.\n0-1-\n2-3-4\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nPole czworokąta ABCD wpisanego w okrąg jest równe 18. Boki AB i BC są prostopadłe, a ponadto |AB|=4 oraz |BC|=7. Oblicz obwód tego czworokąta.","answer":"Obwód: (20)","answer_text":"Zadanie 9. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nVIII.R1) stosuje własności czworokątów\nwpisanych w okrąg i opisanych na okręgu.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 20.\n3 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą (długością jednej z przyprostokątnych\ntrójkąta 𝐴𝐶𝐷), np. 𝑐2 + (8\n𝑐)\n2\n= 65\nALBO\n- zapisanie równania (𝑐+ 𝑑)2 = 81,\nALBO\n- obliczenie długości odcinków 𝐴𝐸 oraz 𝐸𝐶 (dla jednego przypadku): 1\n√65 i 64\n√65 .\n2 pkt - zapisanie układu równań niezależnych z dwiema niewiadomymi 𝑐 i 𝑑, np. 1\n2 𝑐𝑑= 4\noraz 𝑐2 + 𝑑2 = (√65)\n2 (dla sposobu I)\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą (długością odcinka 𝐴𝐸 lub 𝐸𝐶), np.\n√65-𝑥\n8\n√65\n8\n√65\n𝑥 (dla sposobu II).\n1 pkt - obliczenie pola trójkąta 𝐴𝐶𝐷 i zapisanie, że trójkąt 𝐴𝐶𝐷 jest prostokątny (lub\ndokonanie zapisów, z których wynika, że zdający traktuje ten trójkąt jako\nprostokątny), np. 𝑃𝐴𝐶𝐷= 4 oraz 1\n2 𝑐𝑑= 4.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga.\nJeżeli zdający uzyska tylko jeden czworokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷 spełniający warunki zadania i nie\nskomentuje, że drugi czworokąt spełniający warunki zadania różni się tylko permutacją\ndługości boków 𝐴𝐷 i 𝐶𝐷, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia: 𝑐= |𝐶𝐷| oraz 𝑑= |𝐴𝐷|.\nPonieważ czworokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest wpisany w okrąg i odcinki 𝐴𝐵 oraz 𝐶𝐷 są prostopadłe,\nwięc trójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest prostokątny, a odcinek 𝐴𝐶 jest średnicą tego okręgu. Wobec tego\ntrójkąt 𝐴𝐶𝐷 również jest prostokątny.\nPole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest równe 1\n2 ⋅4 ⋅7 = 14. Pole czworokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równe 18, więc\npole trójkąta 𝐴𝐶𝐷 jest równe 4. Zatem\n1\n2 𝑐𝑑= 4\nZ twierdzenia Pitagorasa dla trójkątów 𝐴𝐵𝐶 i 𝐴𝐶𝐷 otrzymujemy:\n|𝐴𝐵|2 + |𝐵𝐶|2 = |𝐴𝐶|2 = |𝐶𝐷|2 + |𝐴𝐷|2\n42 + 72 = 𝑐2 + 𝑑2\nStąd i z zależności 1\n2 𝑐𝑑= 4 otrzymujemy dalej:\n𝑐2 + 𝑑2 = 65\n𝑐2 + 2𝑐𝑑+ 𝑑2 = 65 + 4 ⋅4\n(𝑐+ 𝑑)2 = 81\n𝑐+ 𝑑= 9\ngdyż 𝑐 i 𝑑 to liczby dodatnie.\nWyznaczając z tego równania 𝑑= 9 -𝑐 i wstawiając do równania 1\n2 𝑐𝑑= 4, otrzymujemy:\n1\n2 𝑐(9 -𝑐) = 4\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n4\n7\n𝑑\n𝑐\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n0 = 𝑐2 -9𝑐+ 8\n𝑐= 1 ∨ 𝑐= 8\nGdy 𝑐= 1, to 𝑑= 8.\nGdy 𝑐= 8, to 𝑑= 1.\nOtrzymaliśmy dwa czworokąty spełniające warunki zadania. Obwód 𝐿 każdego z nich jest\nrówny\n𝐿= 4 + 7 + 1 + 8 = 20\nSposób II\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia:\n𝑐 - długość odcinka 𝐶𝐷,\n𝑑 - długość odcinka 𝐴𝐷,\n𝐸 - punkt przecięcia prostej 𝐴𝐶 z prostą do niej prostopadłą i przechodzącą przez punkt 𝐷,\nℎ - wysokość trójkąta 𝐴𝐶𝐷 opuszczona z wierzchołka 𝐷,\n𝑥 - długość odcinka 𝐴𝐸 (zobacz rysunek).\nPonieważ czworokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest wpisany w okrąg i odcinki 𝐴𝐵 oraz 𝐶𝐷 są prostopadłe,\nwięc trójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest prostokątny, a odcinek 𝐴𝐶 jest średnicą tego okręgu. Wobec tego\ntrójkąt 𝐴𝐶𝐷 również jest prostokątny.\nZ twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝐴𝐵𝐶 otrzymujemy:\n|𝐴𝐵|2 + |𝐵𝐶|2 = |𝐴𝐶|2\n42 + 72 = |𝐴𝐶|2\n|𝐴𝐶| = √65\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\nℎ\n𝐸\n𝑆\n4\n7\n𝑑\n𝑐\n𝑥\nPole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest równe 1\n2 ⋅4 ⋅7 = 14. Pole czworokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równe 18, więc\npole trójkąta 𝐴𝐶𝐷 jest równe 4. Zatem:\n1\n2 ⋅|𝐴𝐶| ⋅ℎ= 4\n1\n2 ⋅√65 ⋅ℎ= 4\nℎ=\n8\n√65\nPonieważ ℎ jest wysokością trójkąta prostokątnego opuszczoną na przeciwprostokątną,\nwięc:\nℎ2 = |𝐴𝐸| ⋅|𝐸𝐶|\n( 8\n√65\n)\n2\n= 𝑥⋅(√65 -𝑥)\n𝑥2 -√65𝑥+ 64\n65 = 0\nΔ = (-√65)\n2 -4 ⋅1 ⋅64\n65 = 652 -162\n65\n= 49 ⋅81\n65\n𝑥=\n√65 -7 ⋅9\n√65\n2 ⋅1\n1\n√65\n∨ 𝑥=\n√65 + 7 ⋅9\n√65\n2 ⋅1\n= 64\n√65\nGdy 𝑥=\n1\n√65 , to |𝐸𝐶| = √65 -𝑥= 64\n√65 i wówczas:\n𝑐2 = ℎ2 + |𝐸𝐶|2\n𝑐2 = 64\n65 + 642\n65\n𝑐= 8\noraz:\n𝑑2 = ℎ2 + 𝑥2\n𝑑2 = 64\n65 + 1\n65\n𝑑= 1\nGdy 𝑥= 64\n√65 , to |𝐸𝐶| = √65 -𝑥=\n1\n√65 i wówczas:\n𝑐2 = ℎ2 + |𝐸𝐶|2\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑐2 = 64\n65 + 1\n65\n𝑐= 1\noraz:\n𝑑2 = ℎ2 + 𝑥2\n𝑑2 = 64\n65 + 642\n65\n𝑑= 8\nOtrzymaliśmy dwa czworokąty spełniające warunki zadania. Obwód 𝐿 każdego z nich jest\nrówny\n𝐿= 4 + 7 + 1 + 8 = 20","solution":"Ponieważ (AB⊥ BC), trójkąt (ABC) jest prostokątny. Jego pole wynosi\n\nP_ABC=(1)/(2)·4·7=14.\n\nPole czworokąta jest równe (18), więc\n\nP_ADC=18-14=4.\n\nCzworokąt jest wpisany w okrąg, a (∠ABC=90^°), zatem także (∠ADC=90^°). Odcinek (AC) jest średnicą okręgu.\n\nOznaczmy (|AD|=a), (|CD|=b). Z twierdzenia Pitagorasa w obu trójkątach:\n\na^2+b^2=|AC|^2=4^2+7^2=65.\n\nZ pola trójkąta (ADC):\n\n(1)/(2)ab=4, ab=8.\n\nObliczamy sumę (a+b):\n\n(a+b)^2=a^2+b^2+2ab=65+16=81,\n\na+b=9.\n\nObwód czworokąta:\n\n4+7+a+b=11+9=20.\n\nOdpowiedź: obwód jest równy (20).","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-9.svg","topics":null,"page_from":16,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"10","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (0-4)\nRozwiąż równanie\n𝐬𝐢𝐧𝒙+ 𝐬𝐢𝐧(𝟐𝒙) -𝐜𝐨𝐬𝒙= 𝟏\n𝟐\nZapisz obliczenia.\n10.\n0-1-\n2-3-4\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nRozwiąż równanie sin x + sin(2x) - cos x = 1/2. Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 10. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nVII.R6) rozwiązuje równania\ntrygonometryczne.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝜋\n6 + 2𝜋𝑘 oraz 5𝜋\n6 + 2𝜋𝑘, oraz\n2𝜋\n3 + 2𝜋𝑘, oraz -2𝜋\n3 + 2𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ.\n3 pkt - rozwiązanie równania sin 𝑥= 1\n2 w zbiorze ℝ, np.\n𝑥= 𝜋\n6 + 2𝜋𝑘 oraz 𝑥= 5𝜋\n6 + 2𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ\nALBO\n- rozwiązanie równania cos 𝑥= -1\n2 w zbiorze ℝ, np.\n𝑥= 2𝜋\n3 + 2𝜋𝑘 oraz 𝑥= -2𝜋\n3 + 2𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ.\n2 pkt - przekształcenie równania do postaci alternatywy dwóch elementarnych równań\ntrygonometrycznych: sin 𝑥= 1\n2 lub cos 𝑥= -1\n2 .\n1 pkt - zastosowanie wzoru na sinus podwojonego argumentu i zapisanie równania\nw postaci sin 𝑥+ 2 sin 𝑥cos 𝑥-cos 𝑥= 1\n2 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzekształcamy równanie sin 𝑥+ sin(2𝑥) -cos 𝑥= 1\n2 równoważnie, stosując wzór na\nsinus podwojonego argumentu:\nsin 𝑥+ sin(2𝑥) -cos 𝑥= 1\n2\nsin 𝑥+ 2 sin 𝑥cos 𝑥-cos 𝑥-1\n2 = 0\nsin 𝑥(1 + 2 cos 𝑥) -1\n2 ⋅(2 cos 𝑥+ 1) = 0\n(sin 𝑥-1\n2) (2 cos 𝑥+ 1) = 0\nsin 𝑥= 1\n2 ∨ cos 𝑥= -1\n2\n𝑥= 𝜋\n6 + 2𝜋𝑘 ∨ 𝑥= 5𝜋\n6 + 2𝜋𝑘 ∨ 𝑥= 2𝜋\n3 + 2𝜋𝑘 ∨ 𝑥= -2𝜋\n3 + 2𝜋𝑘\ngdzie 𝑘∈ℤ.","solution":"Korzystamy ze wzoru (sin2x=2sin xcos x) i przenosimy wszystko na lewą stronę:\n\nsin x+2sin xcos x-cos x-(1)/(2)=0.\n\nGrupujemy wyrazy:\n\nsin x(1+2cos x)-(1)/(2)(1+2cos x)=0,\n\n(1+2cos x) (sin x-(1)/(2) )=0.\n\nPrzypadek 1. (1+2cos x=0), czyli (cos x=-(1)/(2)):\n\nx=(2π)/(3)+2kπ lub x=(4π)/(3)+2kπ.\n\nPrzypadek 2. (sin x=(1)/(2)):\n\nx=fracπ6+2kπ lub x=(5π)/(6)+2kπ.\n\nOdpowiedź: powyższe cztery rodziny rozwiązań, gdzie (k∈mathbb Z).","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-10.svg","topics":null,"page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"11","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (0-5)\nWyznacz wszystkie wartości parametru 𝒎, dla których równanie\n𝒙𝟐+ 𝒎𝒙+ 𝒎= 𝟎\nma dwa różne rozwiązania rzeczywiste 𝒙𝟏 oraz 𝒙𝟐 spełniające warunek\n𝒙𝟏\n𝟒+ 𝒙𝟐\n𝟒+ 𝟒⋅𝒙𝟏\n𝟑⋅𝒙𝟐\n𝟑≥𝟑\nZapisz obliczenia.\n11.\n0-1-\n2-3-\n4-5\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nWyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x² + mx + m = 0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x_1 oraz x_2 spełniające warunek x_1^4 + x_2^4 + 4⋅ x_1³⋅ x_2³ ≥ 3","answer":null,"answer_text":"Zadanie 11. (0-5)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\n3. Tworzenie pomocniczych obiektów\nmatematycznych na podstawie istniejących,\nw celu przeprowadzenia argumentacji lub\nrozwiązania problemu.\nZdający:\nIII.R3) stosuje wzory Viète’a dla równań\nkwadratowych;\nIII.R5) analizuje równania i nierówności\nliniowe z parametrami oraz równania\ni nierówności kwadratowe z parametrami\n[…].\nZasady oceniania\nRozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.\nPierwszy etap polega na rozwiązaniu nierówności ∆ > 0. Za poprawne wykonanie tego\netapu zdający otrzymuje 1 punkt.\n1 pkt - poprawne rozwiązanie nierówności ∆ > 0: 𝑚∈(-∞, 0) ∪(4, +∞).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga.\nJeżeli zdający rozwiązuje warunek ∆ ≥0, to za tę część rozwiązania otrzymuje 0 punktów.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nDrugi etap polega na wyznaczeniu tych wartości parametru 𝑚, dla których jest spełniony\nwarunek 𝑥1\n4 + 𝑥2\n4 + 4 ⋅𝑥1\n3 ⋅𝑥2\n3 ≥3. Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje\n3 punkty.\nPodział punktów za drugi etap rozwiązania:\n3 pkt - rozwiązanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚 równoważnej warunkowi\n𝑥1\n4 + 𝑥2\n4 + 4 ⋅𝑥1\n3 ⋅𝑥2\n3 ≥3: 𝑚∈(-∞, -1] ∪[1, +∞).\n2 pkt - zapisanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚 równoważnej warunkowi\n𝑥1\n4 + 𝑥2\n4 + 4 ⋅𝑥1\n3 ⋅𝑥2\n3 ≥3, np. [(-𝑚)2 -2𝑚]2 -2𝑚2 + 4𝑚3 ≥3.\n1 pkt - przekształcenie nierówności 𝑥1\n4 + 𝑥2\n4 + 4 ⋅𝑥1\n3 ⋅𝑥2\n3 ≥3 do postaci pozwalającej na\nbezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a, np.\n[(𝑥1 + 𝑥2)2 -2 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2]2 -2(𝑥1 ⋅𝑥2)2 + 4(𝑥1 ⋅𝑥2)3 ≥3.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nTrzeci etap polega na wyznaczeniu wszystkich wartości parametru 𝑚, które spełniają\njednocześnie warunki ∆ > 0 oraz 𝑥1\n4 + 𝑥2\n4 + 4 ⋅𝑥1\n3 ⋅𝑥2\n3 ≥3: 𝑚∈(-∞, -1] ∪(4, +∞).\nZa poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.\n1 pkt - poprawne wyznaczenie wszystkich wartości parametru 𝑚, które spełniają\njednocześnie warunki ∆ > 0 oraz 𝑥1\n4 + 𝑥2\n4 + 4 ⋅𝑥1\n3 ⋅𝑥2\n3 ≥3:\n𝑚∈(-∞, -1] ∪(4, +∞).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający w którymś z etapów I-II popełni błąd, który nie jest błędem rachunkowym,\nto za III etap otrzymuje 0 punktów.\n2. Jeżeli zdający w etapach I-II nie popełni błędów innych niż rachunkowe i otrzyma zbiory\nrozwiązań, które nie są rozłączne i żaden z nich nie jest zbiorem liczb rzeczywistych,\na następnie poprawnie wyznaczy część wspólną zbiorów rozwiązań z etapów I-II, to za III\netap otrzymuje 1 punkt; natomiast jeżeli otrzyma zbiory rozwiązań, które są rozłączne lub\nco najmniej jeden z nich jest zbiorem liczb rzeczywistych, to za III etap otrzymuje\n0 punktów.\n3. Jeżeli zdający w II etapie rozwiązania popełni błąd - przyjmie, że 𝑥1 ⋅𝑥2 = -𝑚 lub\n𝑥1 + 𝑥2 = ± 𝑏\n2𝑎 , to za II etap może otrzymać co najwyżej 2 punkty (1 punkt za\nprzekształcenie nierówności 𝑥1\n4 + 𝑥2\n4 + 4 ⋅𝑥1\n3 ⋅𝑥2\n3 ≥3 do postaci pozwalającej na\nbezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a oraz 1 punkt za konsekwentne rozwiązanie\nnierówności do końca), a za III etap otrzymuje 0 punktów.\n4. Jeżeli zdający wprowadza dodatkowe założenie, które nie wynika z warunków zadania\n(np. 𝑥1 + 𝑥2 > 0), to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 4 punkty (co\nnajwyżej 1 punkt za I etap i co najwyżej 3 punkty za II etap).\n5. Jeżeli zdający podczas przekształcania nierówności 𝑥1\n4 + 𝑥2\n4 + 4 ⋅𝑥1\n3 ⋅𝑥2\n3 ≥3 do postaci\npozwalającej na zastosowanie wzorów Viète’a popełni błąd, który nie jest błędem\nrachunkowym, ale otrzyma nierówność, która po poprawnym zastosowaniu wzorów\nViète’a prowadzi do nierówności wielomianowej stopnia czwartego, to za II etap może\notrzymać co najwyżej 2 punkty (1 punkt za poprawne zastosowanie wzorów Viète’a oraz\n1 punkt za konsekwentne rozwiązanie nierówności do końca), a za III etap otrzymuje\n0 punktów.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nRównanie 𝑥2 + 𝑚𝑥+ 𝑚= 0 ma dokładnie dwa różne rozwiązania rzeczywiste tylko\nwówczas, gdy wyróżnik Δ trójmianu kwadratowego 𝑥2 + 𝑚𝑥+ 𝑚 jest dodatni.\nRozwiązujemy warunek Δ > 0:\n𝑚2 -4𝑚> 0\n𝑚(𝑚-4) > 0\n𝑚∈(-∞, 0) ∪(4, +∞)\nPrzekształcamy warunek 𝑥1\n4 + 𝑥2\n4 + 4 ⋅𝑥1\n3 ⋅𝑥2\n3 ≥3 do postaci pozwalającej na\nbezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a i rozwiązujemy uzyskaną nierówność\nz niewiadomą 𝑚:\n𝑥1\n4 + 𝑥2\n4 + 4 ⋅𝑥1\n3 ⋅𝑥2\n3 ≥3\n(𝑥1\n2 + 𝑥2\n2)2 -2 ⋅𝑥1\n2 ⋅𝑥2\n2 + 4 ⋅𝑥1\n3 ⋅𝑥2\n3 ≥3\n[(𝑥1 + 𝑥2)2 -2 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2]2 -2(𝑥1 ⋅𝑥2)2 + 4(𝑥1 ⋅𝑥2)3 ≥3\n[(-𝑚)2 -2𝑚]2 -2𝑚2 + 4𝑚3 ≥3\n𝑚4 + 2𝑚2 -3 ≥0\n𝑚4 -𝑚2 + 3𝑚2 -3 ≥0\n(𝑚2 -1)(𝑚2 + 3) ≥0\n(𝑚-1)(𝑚+ 1)(𝑚2 + 3) ≥0\n𝑚∈(-∞, -1] ∪[1, +∞)\nWyznaczamy wszystkie wartości parametru 𝑚, które jednocześnie spełniają warunki Δ > 0\noraz 𝑥1\n4 + 𝑥2\n4 + 4 ⋅𝑥1\n3 ⋅𝑥2\n3 ≥3: 𝑚∈(-∞, -1] ∪(4, +∞).","solution":"Aby równanie miało dwa różne pierwiastki rzeczywiste, jego wyróżnik musi być dodatni:\n\nΔ=m^2-4m=m(m-4)>0.\n\nStąd\n\nm∈(-∞,0)∪(4,∞).\n\nZe wzorów Viète’a:\n\nx_1+x_2=-m, x_1x_2=m.\n\nPrzekształcamy lewą stronę podanej nierówności:\n\nx_1^4+x_2^4=(x_1^2+x_2^2)^2-2x_1^2x_2^2.\n\nPonadto\n\nx_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=m^2-2m.\n\nZatem\n\nx_1^4+x_2^4+4x_1^3x_2^3=(m^2-2m)^2-2m^2+4m^3=m^4+2m^2.\n\nWarunek z zadania przyjmuje postać\n\nm^4+2m^2≥3.\n\nPodstawiamy (t=m^2≥0):\n\nt^2+2t-3≥0,\n\n(t-1)(t+3)≥0.\n\nPonieważ (t≥0), mamy (t≥1), czyli (m≤-1) lub (m≥1). Przecinamy ten zbiór z warunkiem (Δ>0).\n\nOdpowiedź: (m∈(-∞,-1]∪(4,∞)).","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-11.svg","topics":null,"page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"12","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12. (0-5)\nOstrosłup prawidłowy czworokątny 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆 o podstawie 𝐴𝐵𝐶𝐷 ma objętość równą 36√3.\nTen ostrosłup przecięto płaszczyzną 𝛾, która:\njest prostopadła do ściany bocznej 𝐶𝐷𝑆 ostrosłupa\nprzechodzi przez środek 𝐾 krawędzi 𝐴𝐷 oraz środek 𝐿 krawędzi 𝐵𝐶\nprzecina krawędź boczną 𝐶𝑆 w punkcie 𝑀 oraz krawędź boczną 𝐷𝑆 w punkcie 𝑁\ntworzy z płaszczyzną podstawy 𝐴𝐵𝐶𝐷 kąt o mierze 30°.\nPrzekrój 𝐾𝐿𝑀𝑁 wyznaczony przez płaszczyznę 𝛾 jest trapezem równoramiennym.\nOblicz pole trapezu 𝑲𝑳𝑴𝑵. Zapisz obliczenia.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐾\n𝐿\n𝑆\n𝑀\n𝑁\n12.\n0-1-\n2-3-\n4-5\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nOstrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS o podstawie ABCD ma objętość równą 36√3. Ten ostrosłup przecięto płaszczyzną γ, która: •jest prostopadła do ściany bocznej CDS ostrosłupa •przechodzi przez środek K krawędzi AD oraz środek L krawędzi BC •przecina krawędź boczną CS w punkcie M oraz krawędź boczną DS w punkcie N •tworzy z płaszczyzną podstawy ABCD kąt o mierze 30°. [rysunek] Przekrój KLMN wyznaczony przez płaszczyznę γ jest trapezem równoramiennym. Oblicz pole trapezu KLMN.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12. (0-5)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nX.2) posługuje się pojęciem kąta między\nprostą a płaszczyzną oraz pojęciem kąta\ndwuściennego między półpłaszczyznami.\nX.R2) wyznacza przekroje sześcianu\ni ostrosłupów prawidłowych oraz oblicza ich\npola, także z wykorzystaniem trygonometrii.\nZasady oceniania\nRozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPierwszy etap polega na obliczeniu długości krawędzi podstawy ostrosłupa. Za poprawne\nwykonanie tego etapu zdający otrzymuje 2 punkty.\nPodział punktów za pierwszy etap rozwiązania:\n2 pkt - obliczenie długości krawędzi podstawy: 𝑎= 6.\n1 pkt - wyznaczenie wysokości ostrosłupa w zależności od długości krawędzi podstawy:\n𝐻= 𝑎√3\n2 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nDrugi etap polega na wyznaczeniu długości krótszej podstawy trapezu oraz wysokości\ntrapezu w zależności od długości krawędzi podstawy ostrosłupa. Za poprawne wykonanie\ntego etapu zdający otrzymuje 2 punkty.\nPodział punktów za drugi etap rozwiązania:\n2 pkt - wyznaczenie długości krótszej podstawy trapezu oraz wysokości trapezu\nw zależności od długości krawędzi podstawy ostrosłupa: |𝑀𝑁| = 3\n4 𝑎 oraz\n|𝑃𝑅| = 𝑎√3\n4\nALBO\n- obliczenie długości krótszej podstawy trapezu oraz wysokości trapezu: |𝑀𝑁| = 18\n4\noraz |𝑃𝑅| = 6√3\n4 .\n1 pkt - wyznaczenie długości krótszej podstawy trapezu lub wysokości trapezu w zależności\nod długości krawędzi podstawy ostrosłupa: |𝑀𝑁| = 3\n4 𝑎 lub |𝑃𝑅| = 𝑎√3\n4\nALBO\n- obliczenie długości krótszej podstawy trapezu lub wysokości trapezu: |𝑀𝑁| = 18\n4\nlub |𝑃𝑅| = 6√3\n4 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nTrzeci etap polega na obliczeniu pola trapezu.\nZa poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.\n1 pkt - obliczenie pola przekroju ostrosłupa: 63√3\n8\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia:\n𝑃 - środek odcinka 𝐾𝐿,\n𝑄 - środek krawędzi 𝐶𝐷,\n𝑅 - środek odcinka 𝑀𝑁,\n𝑎 - długość krawędzi podstawy ostrosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆,\n𝐻 - wysokość ostrosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆 (zobacz rysunki).\nWówczas |𝑃𝑄| = 1\n2 𝑎.\nTrójkąty 𝑃𝑄𝑅 i 𝑃𝑄𝑆 są prostokątne i mają kąty ostre o miarach 30° i 60°. Zatem\nkorzystając z własności trójkąta prostokątnego o kątach ostrych 30° i 60° (lub z funkcji\ntrygonometrycznych), otrzymujemy: |𝑄𝑅| = 1\n4 𝑎, |𝑃𝑅| = 𝑎√3\n4 , |𝑄𝑆| = 𝑎, 𝐻= |𝑃𝑆| = 𝑎√3\n2\noraz |𝑅𝑆| = 3\n4 𝑎.\nPonieważ objętość ostrosłupa jest równa 36√3, więc:\n1\n3 ⋅𝑎2 ⋅𝑎√3\n2\n= 36√3\n𝑎= 6\nTrójkąty 𝐷𝐶𝑆 i 𝑁𝑀𝑆 są podobne na mocy cechy kąt-kąt-kąt, więc stąd:\n|𝑁𝑀|\n|𝐷𝐶| = |𝑅𝑆|\n|𝑄𝑆|\n|𝑁𝑀|\n𝑎\n3\n4 𝑎\n𝑎\n|𝑁𝑀| = 9\n2\nObliczamy pole 𝑃𝐾𝐿𝑀𝑁 przekroju 𝐾𝐿𝑀𝑁:\n𝑃𝐾𝐿𝑀𝑁= 1\n2 ⋅(6 + 9\n2) ⋅6√3\n4\n= 63√3\n8\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐾\n𝐿\n𝑆\n𝑀\n𝑁\n𝑃\n𝑅\n𝑄\n30°\n1\n2 𝑎\n𝑃\n𝐻\n𝑄\n𝑆\n𝑅\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Oznaczmy długość boku kwadratowej podstawy przez (a), a wysokość ostrosłupa przez (H). Ponieważ płaszczyzna przekroju jest prostopadła do ściany (CDS) i tworzy z podstawą kąt 30°, w odpowiednim przekroju osiowym otrzymujemy\n\ntan30^°=(frac a2)/(H).\n\nStąd\n\n(1)/(√(3))=(a)/(2H), H=(a√(3))/(2).\n\nKorzystamy ze wzoru na objętość ostrosłupa:\n\n(1)/(3)a^2H=36√(3).\n\nPodstawiamy (H=(a√(3))/(2)):\n\n(1)/(3)a^2·(a√(3))/(2)=36√(3),\n\n(a^3√(3))/(6)=36√(3), a^3=216, a=6.\n\nW ścianie (CDS) odcinek (MN) jest równoległy do (CD). Z podobieństwa odpowiednich trójkątów wynika, że\n\n|MN|=(3)/(4)a=(9)/(2).\n\nDruga podstawa trapezu łączy środki boków (AD) i (BC), zatem\n\n|KL|=a=6.\n\nRzut wysokości trapezu na podstawę ostrosłupa ma długość (3)/(8)a=(9)/(4) . Ponieważ płaszczyzna przekroju jest nachylona do podstawy pod kątem 30°, mamy\n\nhcos30^°=(9)/(4),\n\nh=frac (9)/(4) (√(3))/(2) =(3√(3))/(2).\n\nPole trapezu:\n\nP=(|KL|+|MN|)/(2)· h=(6+frac92)/(2)·(3√(3))/(2)=(63√(3))/(8).\n\nOdpowiedź: (63√(3))/(8) .","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-12.svg","topics":null,"page_from":24,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/13","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"13","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13.\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne\n𝐴𝐵𝐶, w których 𝐶= (0, 0), wierzchołek 𝐵 leży na dodatniej półosi 𝑂𝑦, wierzchołek 𝐴\nleży na dodatniej półosi 𝑂𝑥, natomiast bok 𝐴𝐵 jest zawarty w prostej przechodzącej przez\npunkt 𝐾= (1, 2).\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne ABC, w których C=(0,0), wierzchołek B leży na dodatniej półosi Oy, wierzchołek A leży na dodatniej półosi Ox, natomiast bok AB jest zawarty w prostej przechodzącej przez punkt K=(1,2). Wykaż, że pole P trójkąta ABC w zależności od współczynnika kierunkowego a prostej AB jest określone wzorem P(a) = -a² + 4a - 4 / 2a","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-13.svg","topics":null,"page_from":28,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/13.1","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"13.1","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13.1. (0-2)\nWykaż, że pole 𝑷 trójkąta 𝑨𝑩𝑪 w zależności od współczynnika kierunkowego 𝒂\nprostej 𝑨𝑩 jest określone wzorem\n𝑷(𝒂) = -𝒂𝟐+ 𝟒𝒂-𝟒\n𝟐𝒂\n13.1\n0-1-2\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 13.1. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nIX.1) […] znajduje punkt wspólny dwóch\nprostych […];\nIX.2) posługuje się równaniami prostych na\npłaszczyźnie […].\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.\n1 pkt - wyznaczenie pierwszej współrzędnej 𝑥𝐴 punktu 𝐴 oraz drugiej współrzędnej 𝑦𝐵\npunktu 𝐵 w zależności od współczynnika kierunkowego 𝑎 prostej 𝐴𝐵: 𝑥𝐴= 𝑎 - 2\n𝑎\noraz 𝑦𝐵= 2 -𝑎.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nProsta 𝐴𝐵 przechodzi przez punkty 𝐵 oraz 𝐾= (1, 2) o różnych pierwszych\nwspółrzędnych, więc równanie tej prostej można zapisać w postaci kierunkowej\n𝑦= 𝑎(𝑥-1) + 2, czyli 𝑦= 𝑎𝑥+ (2 -𝑎).\nPonieważ punkt 𝐵 leży na dodatniej półosi 𝑂𝑦, więc 𝐵= (0, 2 -𝑎) i 2 -𝑎> 0, czyli\n𝑎< 2.\nPonieważ punkt 𝐴 leży na dodatniej półosi 𝑂𝑥, więc 𝐴= (𝑎 - 2\n𝑎\n, 0) oraz 𝑎 - 2\n𝑎\n> 0.\nWyznaczamy pole 𝑃 trójkąta 𝐴𝐵𝐶:\n𝑃= 1\n2 ⋅|𝐴𝐶| ⋅|𝐵𝐶| = 1\n2 ⋅|𝑎-2\n𝑎\n| ⋅|2 -𝑎| = 1\n2 ⋅𝑎 - 2\n𝑎\n⋅(2 -𝑎) = -𝑎2 + 4𝑎-4\n2𝑎\nTo należało wykazać.","solution":"Prosta (AB) przechodzi przez punkt (K=(1,2)) i ma współczynnik kierunkowy (a), więc\n\ny=a(x-1)+2=ax-a+2.\n\nPunkt (A) leży na dodatniej półosi (Ox). Dla (y=0):\n\n0=ax-a+2, x_A=(a-2)/(a).\n\nPunkt (B) leży na dodatniej półosi (Oy). Dla (x=0):\n\ny_B=2-a.\n\nAby oba przecięcia leżały na dodatnich półosiach, musi być (a<0). Pole trójkąta prostokątnego (ABC) jest równe\n\nP=(1)/(2)|AC|·|BC|=(1)/(2)·(a-2)/(a)·(2-a).\n\nUpraszczamy:\n\nP(a)=((a-2)(2-a))/(2a)=(-(a-2)^2)/(2a)=(-a^2+4a-4)/(2a).\n\nTeza została wykazana.","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-13.1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":28,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/13.2","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"13.2","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13.2. (0-4)\nPole 𝑃 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 w zależności od współczynnika kierunkowego 𝑎 prostej 𝐴𝐵 jest\nokreślone wzorem\n𝑃(𝑎) = -𝑎2 + 4𝑎-4\n2𝑎\ndla 𝑎< 0.\nWyznacz równanie prostej zawierającej przeciwprostokątną 𝑨𝑩 tego z rozważanych\ntrójkątów, który ma najmniejsze pole. Zapisz obliczenia.\n13.2\n0-1-\n2-3-4\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMAP-R0_100\n\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2023\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne ABC, w których C=(0,0), wierzchołek B leży na dodatniej półosi Oy, wierzchołek A leży na dodatniej półosi Ox, natomiast bok AB jest zawarty w prostej przechodzącej przez punkt K=(1,2). Pole P trójkąta ABC w zależności od współczynnika kierunkowego a prostej AB jest określone wzorem P(a) = -a² + 4a - 4 / 2a dla a<0. Wyznacz równanie prostej zawierającej przeciwprostokątną AB tego z rozważanych trójkątów, który ma najmniejsze pole.","answer":"(y=-2x+4)","answer_text":"Zadanie 13.2. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nXIII.R4) oblicza pochodną funkcji potęgowej\no wykładniku rzeczywistym oraz oblicza\npochodną, korzystając z twierdzeń\no pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu\n[…];\nXIII.R5) stosuje pochodną do badania\nmonotoniczności funkcji;\nXIII.R6) rozwiązuje zadania optymalizacyjne\nz zastosowaniem pochodnej.\nZasady oceniania\n4 pkt - uzasadnienie, że funkcja 𝑃 przyjmuje wartość najmniejszą dla 𝑎= -2 oraz\nwyznaczenie równania prostej zawierającej przeciwprostokątną 𝐴𝐵 tego z trójkątów,\nktóry ma najmniejsze pole, np. 𝑦= -2𝑥+ 4.\n3 pkt - uzasadnienie (np. poprzez badanie monotoniczności funkcji), że funkcja 𝑃 przyjmuje\nwartość najmniejszą dla 𝑎= -2\nALBO\n- przekształcenie nierówności\n(- 𝑎\n2) + (- 2\n𝑎)\n2\n≥√(-𝑎\n2) ⋅(-2\n𝑎) do postaci\n(-𝑎\n2) + (-2\n𝑎) + 2 ≥4 oraz zapisanie, że równość zachodzi tylko wtedy, gdy liczby\ndodatnie (-𝑎\n2) oraz (-2\n𝑎) są równe.\n2 pkt - obliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji 𝑃: 𝑎= -2\nALBO\n- obliczenie wartości 𝑎, dla której zachodzi równość średniej arytmetycznej\ni geometrycznej liczb dodatnich (-𝑎\n2) oraz (-2\n𝑎): 𝑎= -2,\nALBO\n- przekształcenie nierówności\n(- 𝑎\n2) + (- 2\n𝑎)\n2\n≥√(-𝑎\n2) ⋅(-2\n𝑎) do postaci\n(-𝑎\n2) + (-2\n𝑎) + 2 ≥4.\n1 pkt - wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑃, np. 𝑃′(𝑎) =\n(-2𝑎 + 4) ⋅ 2𝑎 - (-𝑎2 + 4𝑎 - 4) ⋅ 2\n(2𝑎)2\nALBO\n- zapisanie nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną liczb (-𝑎\n2)\noraz (-2\n𝑎):\n(- 𝑎\n2) + (- 2\n𝑎)\n2\n≥√(-𝑎\n2) ⋅(-2\n𝑎).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający wyznacza pochodną ilorazu jako iloraz pochodnych, to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli z rozwiązania wynika, że zdający poprawnie stosuje wzór na pochodną ilorazu\nfunkcji oraz zdający poprawnie wyznacza pochodne funkcji (-𝑎2 + 4𝑎-4) oraz 2𝑎\ni dalej popełnia błędy, otrzymując pochodną, która ma w przedziale (-∞, 0) co najmniej\njedno miejsce zerowe, i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co\nnajwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (za miejsce/a zerowe pochodnej, za uzasadnienie\nistnienia najmniejszej wartości funkcji 𝑃, za wyznaczenie równania prostej 𝐴𝐵 tego\nz trójkątów, który ma najmniejsze pole).\nJeżeli z rozwiązania nie wynika, że zdający poprawnie stosuje wzór na pochodną ilorazu\nfunkcji lub zdający błędnie wyznacza pochodną funkcji (-𝑎2 + 4𝑎-4) lub 2𝑎 i dalej\npopełnia błędy, otrzymując pochodną, która ma w przedziale (-∞, 0) co najmniej jedno\nmiejsce zerowe, i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nnajwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za uzasadnienie istnienia najmniejszej wartości\nfunkcji 𝑃 oraz za wyznaczenie równania prostej 𝐴𝐵 tego z trójkątów, który ma\nnajmniejsze pole).\n3. Za poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja osiąga wartość najmniejszą dla\nwyznaczonej wartości 𝑎, przy której pochodna się zeruje, można uznać sytuację, gdy\nzdający bada znak pochodnej\nORAZ:\n- opisuje (słownie lub graficznie - np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji 𝑃\nLUB\n- zapisuje, że dla wyznaczonej wartości 𝑎 funkcja 𝑃 ma minimum lokalne i jest to\njednocześnie jej najmniejsza wartość,\nLUB\n- zapisuje, że dla wyznaczonej wartości 𝑎 funkcja 𝑃 ma minimum lokalne i jest to\njedyne ekstremum tej funkcji,\nLUB\n- wyznaczy drugą pochodną funkcji 𝑃 i dla wyznaczonej wartości 𝑎 obliczy wartość tej\ndrugiej pochodnej oraz zapisze, że funkcja 𝑃 ma minimum lokalne i jest to jedyne\nekstremum tej funkcji.\nBadanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres\nfunkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak, i zaznaczając na rysunku (np.\nznakami „+” i „-”) znak pochodnej.\n4. Jeżeli zdający przedstawi niepełne uzasadnienie, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty\nza całe rozwiązanie (1 punkt za poprawne wyznaczenie pochodnej, 1 punkt za obliczenie\nmiejsca zerowego pochodnej, 1 punkt za wyznaczenie równania prostej 𝐴𝐵, dla której\npole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest najmniejsze).\n5. Jeżeli zdający nie uzasadnia istnienia najmniejszej wartości funkcji, to może otrzymać co\nnajwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za poprawne wyznaczenie pochodnej,\n1 punkt za obliczenie miejsca zerowego pochodnej).\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nObliczamy argument, dla którego funkcja 𝑃 określona wzorem 𝑃(𝑎) = -𝑎2 + 4𝑎 - 4\n2𝑎\ndla\n𝑎< 0 osiąga wartość najmniejszą.\nWyznaczamy pochodną funkcji 𝑃:\n𝑃′(𝑎) =\n(-2𝑎+ 4) ⋅2𝑎-(-𝑎2 + 4𝑎-4) ⋅2\n(2𝑎)2\n𝑃′(𝑎) = -2𝑎2 + 8\n(2𝑎)2\ndla 𝑎< 0.\nObliczamy miejsca zerowe pochodnej funkcji 𝑃:\n𝑃′(𝑎) = 0\n-2𝑎2 + 8 = 0\n𝑎= 2 ∉(-∞, 0) ∨ 𝑎= -2 ∈(-∞, 0)\nBadamy znak pochodnej:\n𝑃′(𝑎) < 0\n-2𝑎2 + 8 < 0 ∧ 𝑎< 0\n𝑎∈(-∞, -2)\nwięc 𝑃′(𝑎) < 0 dla 𝑎∈(-∞, -2) oraz 𝑃′(𝑎) > 0 dla 𝑎∈(-2, 0).\nZatem funkcja 𝑃 jest malejąca w przedziale (-∞, -2] i rosnąca w przedziale [-2, 0).\nStąd funkcja 𝑃 osiąga wartość najmniejszą dla 𝑎= -2. Wtedy prosta 𝐴𝐵 ma równanie\n𝑦= -2(𝑥-1) + 2, czyli 𝑦= -2𝑥+ 4.\nSposób II\nZauważmy, że 𝑃(𝑎) = -𝑎2\n2𝑎+ 4𝑎\n2𝑎-4\n2𝑎= -𝑎\n2 -2\n𝑎+ 2. Ponieważ 𝑎< 0, więc liczby (-𝑎\n2)\noraz (-2\n𝑎) są dodatnie. Z nierówności między średnimi arytmetyczną i geometryczną dla\nliczb dodatnich (-𝑎\n2) oraz (-2\n𝑎) otrzymujemy:\n(-𝑎\n2) + (-2\n𝑎)\n2\n≥√(-𝑎\n2) ⋅(-2\n𝑎)\n-𝑎\n2 -2\n𝑎≥2\n-𝑎\n2 -2\n𝑎+ 2 ≥4\n𝑃(𝑎) ≥4\nprzy czym równość zachodzi tylko dla tych 𝑎, dla których -𝑎\n2 = -2\n𝑎 i jednocześnie\n𝑎< 0, tj. dla 𝑎= -2.\nZatem funkcja 𝑃 osiąga wartość najmniejszą dla 𝑎= -2. Wtedy prosta 𝐴𝐵 ma równanie\n𝑦= -2(𝑥-1) + 2, czyli 𝑦= -2𝑥+ 4.","solution":"Korzystamy ze wzoru\n\nP(a)=(-a^2+4a-4)/(2a)=-(a)/(2)+2-(2)/(a), a<0.\n\nObliczamy pochodną:\n\nP'(a)=-(1)/(2)+(2)/(a^2)=(4-a^2)/(2a^2).\n\nMianownik jest dodatni dla (a≠0). Miejsca zerowe licznika to (a=-2) i (a=2), lecz w dziedzinie (a<0) pozostaje tylko (a=-2).\n\nP'(a)<0 dla a∈(-∞,-2),\n\nP'(a)>0 dla a∈(-2,0).\n\nFunkcja najpierw maleje, a następnie rośnie, więc najmniejsze pole otrzymujemy dla (a=-2).\n\nProsta przechodzi przez (K=(1,2)), zatem\n\ny=-2(x-1)+2=-2x+4.\n\nOdpowiedź: (y=-2x+4).","image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-13.2.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-13.2.svg","topics":null,"page_from":30,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}