{"paper":{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","variant":"stara","exam_pdf":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":34,"source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (0-1)\nLiczba\n√-64\n3\n+ √27\n3\n√-32\n5\njest równa\nA. (-2)\nB. (-1\n2)\nC. 1\n2\nD. 2","answer":"C","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nWymagania określone w podstawie programowej1\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n1.3) posługuje się w obliczeniach\npierwiastkami dowolnego stopnia i stosuje\nprawa działań na pierwiastkach.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (0-1)\nLiczba\n94\n3-20 jest równa\nA. 9-24\nB. 9-6\nC. 914\nD. 956","answer":"C","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n1.4) […] stosuje prawa działań na potęgach\no wykładnikach wymiernych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC\n1 Rozporządzenie Ministra Edukacji Narodowej z dnia 27 sierpnia 2012 r. w sprawie podstawy programowej\nwychowania przedszkolnego oraz kształcenia ogólnego w poszczególnych typach szkół (Dz.U. z 2012 r. poz.\n977, z późn. zm., tj. Dz.U. z 2014 r. poz. 803, Dz.U. z 2016 r. poz. 895).\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (0-1)\nLiczba log5 √25\n3\njest równa\nA. 1\n6\nB. 2\n3\nC. 3\n2\nD. 6","answer":"B","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n1.6) wykorzystuje definicję logarytmu […];\n1.5) wykorzystuje podstawowe własności\npotęg […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (0-1)\nDla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 wartość wyrażenia 𝑥3 -2𝑥2 + 𝑥 jest równa wartości\nwyrażenia\nA. 𝑥(𝑥-1)2\nB. 𝑥(𝑥-1)(𝑥+ 1)\nC. (𝑥-1)(𝑥2 + 1)\nD. (𝑥+ 1)(𝑥-1)2\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100","answer":"A","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\nG6.6) wyłącza wspólny czynnik z wyrazów\nsumy algebraicznej poza nawias.\n2.1) używa wzorów skróconego mnożenia\nna (𝑎± 𝑏)2 oraz 𝑎2 -𝑏2.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (0-1)\nZbiorem wszystkich rozwiązań nierówności\n-2(𝑥+ 3)(𝑥-2) > 0\njest przedział\nA. 〈-3, 2〉\nB. (-3, 2)\nC. 〈-2, 3〉\nD. (-2, 3)","answer":"B","answer_text":"Zadanie 5. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n3.5) rozwiązuje nierówności kwadratowe\nz jedną niewiadomą.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (0-1)\nW parku miejskim rosną drzewa iglaste i drzewa liściaste. Wszystkich drzew łącznie jest 198.\nGdyby w tym parku rosło o 18 drzew iglastych więcej niż teraz, to wtedy drzew liściastych\nbyłoby tam 3 razy więcej niż drzew iglastych.\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia:\n𝑥 - liczba drzew iglastych rosnących w parku miejskim,\n𝑦 - liczba drzew liściastych rosnących w parku miejskim.\nUkładem równań, którego poprawne rozwiązanie prowadzi do obliczenia liczby 𝑥 drzew\niglastych oraz liczby 𝑦 drzew liściastych, jest\nA. { 𝑥+ 𝑦= 198\n𝑥+ 18 = 3𝑦\nB. { 𝑥+ 𝑦= 198\n3𝑥+ 18 = 𝑦\nC. {\n𝑥+ 𝑦= 198\n1\n3 𝑥+ 18 = 𝑦\nD. { 𝑥+ 𝑦= 198\n3(𝑥+ 18) = 𝑦\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nInformacja do zadań 7.-9.\nNa rysunku, w układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦), przedstawiono wykres funkcji 𝑓.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 6. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\nG7.7) za pomocą równań lub układów\nrównań opisuje i rozwiązuje zadania\nosadzone w kontekście praktycznym.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (0-1)\nFunkcja 𝑓 ma dokładnie\nA. jedno miejsce zerowe.\nB. dwa miejsca zerowe.\nC. trzy miejsca zerowe.\nD. cztery miejsca zerowe.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 7. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\nZdający:\n4.3) odczytuje z wykresu własności funkcji\n([…] miejsca zerowe […]).\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (0-1)\nFunkcja 𝑓 osiąga największą wartość dla argumentu\nA. (-2)\nB. 2\nC. 3\nD. 4","answer":"B","answer_text":"Zadanie 8. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\nZdający:\n4.3) odczytuje z wykresu własności funkcji\n([…] punkty, w których funkcja przyjmuje\n[…] wartość największą […]).\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (0-1)\nDziedziną funkcji 𝑓 jest przedział\nA. ⟨-5, 4)\nB. (-5, 4⟩\nC. (-3, 3⟩\nD. (-3, 3)\n1 2 3 4\n-1\n-2\n5\n0\n𝑥\n-5 -4 -3\n1\n2\n3\n4\n𝑦\n5\n-1\n-2\n-3\n-4\n-5\n𝑦= 𝑓(𝑥)\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100","answer":"A","answer_text":"Zadanie 9. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\nZdający:\n4.3) odczytuje z wykresu własności funkcji\n(dziedzinę […]).\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (0-1)\nFunkcja liniowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 3𝑥-4.\nWskaż zdanie prawdziwe.\nA. Funkcja 𝑓 jest malejąca i w układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) jej wykres przecina oś 𝑂𝑦\nw punkcie (0, -4).\nB. Funkcja 𝑓 jest rosnąca i w układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) jej wykres przecina oś 𝑂𝑦\nw punkcie (0, -4).\nC. Funkcja 𝑓 jest malejąca i w układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) jej wykres przecina oś 𝑂𝑦\nw punkcie (0, 4).\nD. Funkcja 𝑓 jest rosnąca i w układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) jej wykres przecina oś 𝑂𝑦\nw punkcie (0, 4).","answer":"B","answer_text":"Zadanie 10. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n4.7) interpretuje współczynniki występujące\nwe wzorze funkcji liniowej.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (0-1)\nFunkcja kwadratowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 -𝑘𝑥+ 6, gdzie 𝑘 jest pewną\nliczbą rzeczywistą. Liczba 2 jest miejscem zerowym funkcji 𝑓.\nLiczba 𝑘 jest równa\nA. (-11)\nB. (-7)\nC. 7\nD. 11","answer":"C","answer_text":"Zadanie 11. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n4.2) oblicza ze wzoru wartość funkcji dla\ndanego argumentu. Posługuje się\npoznanymi metodami rozwiązywania\nrównań do obliczenia, dla jakiego\nargumentu funkcja przyjmuje daną wartość.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (0-1)\nCiąg arytmetyczny (𝑎𝑛) jest określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.\nW tym ciągu 𝑎1 = 2 oraz 𝑎3 -𝑎2 = -6.\nPiąty wyraz ciągu (𝑎𝑛) jest równy\nA. (-4)\nB. (-16)\nC. (-22)\nD. (-28)","answer":"C","answer_text":"Zadanie 12. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n5.3) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz […] ciągu\narytmetycznego.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (0-1)\nPięciowyrazowy ciąg (𝑎1 , 𝑎2 , 2 , 𝑎4 , 𝑎5) jest geometryczny.\nIloczyn 𝑎1 ⋅𝑎2 ⋅2 ⋅𝑎4 ⋅𝑎5 jest równy\nA. 2\nB. 16\nC. 32\nD. 64\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100","answer":"C","answer_text":"Zadanie 13. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\nZdający:\n5.4) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz […] ciągu\ngeometrycznego.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (0-1)\nDany jest trójkąt prostokątny o takim kącie 𝛼, że sin 𝛼= 1\n4\nPrzeciwprostokątna tego trójkąta ma długość 8.\nKrótsza przyprostokątna tego trójkąta ma długość\nA. 1\nB. 2\nC. 4\nD. 2√15","answer":"B","answer_text":"Zadanie 14. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n7.4) korzysta z własności funkcji\ntrygonometrycznych w łatwych obliczeniach\ngeometrycznych […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (0-1)\nKąt 𝛼 jest ostry oraz sin 𝛼= 3\n5\nTangens kąta 𝛼 jest równy\nA. 3\n4\nB. 4\n3\nC. 4\n5\nD. 5\n4","answer":"A","answer_text":"Zadanie 15. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n6.5) znając wartość jednej z funkcji: sinus\nlub cosinus, wyznacza wartości pozostałych\nfunkcji tego samego kąta ostrego.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (0-1)\nPunkty 𝐴, 𝐵, 𝐶 oraz 𝐷 leżą na okręgu o środku w punkcie 𝑆.\nOdcinek 𝐵𝐷 jest średnicą tego okręgu oraz |∡𝐴𝐵𝐷| = 18°.\nPunkt 𝐷 leży na krótszym łuku 𝐶𝐴 (zobacz rysunek).\nMiara kąta ostrego 𝐵𝐶𝐴 jest równa\nA. 36°\nB. 60°\nC. 72°\nD. 81°\n𝐶\n𝐷\n𝐵\n𝑆\n18°\n𝐴\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100","answer":"C","answer_text":"Zadanie 16. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\nZdający:\n7.1) stosuje zależności między kątem\nśrodkowym i kątem wpisanym.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (0-1)\nDługość okręgu opisanego na trójkącie równobocznym jest równa 16.\nWysokość tego trójkąta jest równa\nA. 6\nB. 6\n√𝜋\nC. 12\nD. 12\n𝜋","answer":"D","answer_text":"Zadanie 17. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\nZdający:\nG10.5) oblicza długość okręgu […];\nG10.22) rozpoznaje wielokąty foremne\ni korzysta z ich podstawowych własności.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (0-1)\nRamiona kąta o wierzchołku w punkcie 𝐴 przecięto dwiema prostymi równoległymi 𝑘 oraz 𝑙.\nProsta 𝑘 przecina ramiona tego kąta w punktach 𝐵 oraz 𝐶.\nProsta 𝑙 przecina ramiona tego kąta w punktach 𝐷 oraz 𝐸.\nPunkty 𝐵 oraz 𝐷 leżą na jednym ramieniu tego kąta, a punkty 𝐶 oraz 𝐸 leżą na drugim\nramieniu tego kąta. Ponadto |𝐴𝐵| = 6, |𝐵𝐶| = 4 oraz |𝐵𝐷| = 2 (zobacz rysunek).\nOdcinek 𝐷𝐸 ma długość\nA. 8\n3\nB. 16\n3\nC. 6\nD. 8","answer":"B","answer_text":"Zadanie 18. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\nZdający:\n7.3) rozpoznaje trójkąty podobne\ni wykorzystuje […] cechy podobieństwa\ntrójkątów.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (0-1)\nW układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (-3, 1) oraz 𝐵= (1, -3) są kolejnymi\nwierzchołkami kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷.\nObwód kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równy\nA. 4√2\nB. 16√2\nC. 16\nD. 32\n𝐴\n𝐵\n𝐷\n𝐸\n𝐶\n6\n2\n4\n𝑘\n𝑙\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100","answer":"B","answer_text":"Zadanie 19. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n8.6) oblicza odległość dwóch punktów.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (0-1)\nW układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (-1, -4) oraz 𝐵= (2, 𝑦𝐵) leżą na\nprostej 𝑙. Współczynnik kierunkowy prostej 𝑙 jest równy 3.\nLiczba 𝑦𝐵 jest równa\nA. (-3)\nB. 5\nC. 7\nD. (-13)","answer":"B","answer_text":"Zadanie 20. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n8.1) wyznacza równanie prostej\nprzechodzącej przez dwa dane punkty\n(w postaci kierunkowej lub ogólnej).\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":16,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (0-1)\nKażda z krawędzi ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 12.\nWysokość tego ostrosłupa jest równa\nA. 2√3\nB. 3√2\nC. 2√6\nD. 6√2","answer":"D","answer_text":"Zadanie 21. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\nG10.7) stosuje twierdzenie Pitagorasa.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":16,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (0-1)\nTworząca stożka o promieniu podstawy 1 ma długość 3.\nPowierzchnia boczna tego stożka po rozłożeniu na płaszczyznę jest wycinkiem koła o kącie\nśrodkowym o mierze\nA. 60°\nB. 90°\nC. 120°\nD. 150°","answer":"C","answer_text":"Zadanie 22. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\nG10.5) oblicza długość okręgu i łuku\nokręgu;\nG10.6) oblicza pole koła, pierścienia\nkołowego, wycinka kołowego.\nG11.2) oblicza pole powierzchni […] stożka\n[…].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":16,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (0-1)\nWszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych parzystych, w których zapisie dziesiętnym\ncyfry tysięcy i jedności są równe, jest\nA. 400\nB. 500\nC. 900\nD. 1600\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100","answer":"A","answer_text":"Zadanie 23. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n10.2) […] stosuje regułę mnożenia […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":16,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (0-1)\nW pewnej miejscowości zlokalizowane są dwie szkoły. W pierwszej z nich jest trzy razy\nwięcej uczniów niż w drugiej. Średni wiek uczniów w pierwszej szkole to 9 lat, a średni wiek\nuczniów w drugiej szkole to 13 lat.\nŚredni wiek wszystkich uczniów obu szkół, wyrażony w latach, jest równy\nA. 10\nB. 10,5\nC. 11\nD. 11,5","answer":"A","answer_text":"Zadanie 24. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\nZdający:\n10.1) oblicza średnią ważoną […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":18,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (0-1)\nNa diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej.\nNa osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano\nliczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.\nMediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa\nA. 3\nB. 3,5\nC. 4\nD. 5\n0\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n1\n2\n3\n4\n5\n6\nliczba\nuczniów\nocena\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100","answer":"C","answer_text":"Zadanie 25. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\nZdający:\nG9.4) wyznacza […] medianę zestawu\ndanych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZADANIA OTWARTE\nUwagi ogólne:\n1. Akceptowane są wszystkie rozwiązania merytorycznie poprawne i spełniające warunki\nzadania.\n2. Jeżeli zdający poprawnie rozwiąże zadanie i otrzyma poprawny wynik, lecz w końcowym\nzapisie przekształca ten wynik i popełnia przy tym błąd, to może uzyskać maksymalną\nliczbę punktów.\n3. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe, które na żadnym etapie rozwiązania nie\nupraszczają i nie zmieniają danego zagadnienia, lecz stosuje poprawną metodę\ni konsekwentnie do popełnionych błędów rachunkowych rozwiązuje zadanie, to może\notrzymać co najwyżej (𝑛-1) punktów (gdzie 𝑛 jest maksymalną możliwą do uzyskania\nliczbą punktów za dane zadanie).","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"26","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-2)\nRozwiąż równanie\n(27𝑥3 + 1)(𝑥2 -4) = 0\nw zbiorze liczb rzeczywistych.\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 26. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n3.7) korzysta z własności iloczynu przy\nrozwiązywaniu równań typu\n𝑥(𝑥+ 1)(𝑥-7) = 0;\n3.6) korzysta z definicji pierwiastka do\nrozwiązywania równań typu 𝑥3 = -8;\n3.4) rozwiązuje równania kwadratowe\nz jedną niewiadomą.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i uzyskanie poprawnych rozwiązań równania:\n𝑥= -2, 𝑥= -1\n3\n, 𝑥= 2.\n1 pkt - zapisanie dwóch równań: 27𝑥3 + 1 = 0 oraz 𝑥2 -4 = 0\nALBO\n- przekształcenie równania (27𝑥3 + 1)(𝑥2 -4) = 0 do postaci\n(3𝑥+ 1)(9𝑥2 -3𝑥+ 1)(𝑥-2)(𝑥+ 2) = 0,\nALBO\n- rozwiązanie równania 27𝑥3 + 1 = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych: 𝑥= -1\n3 ,\nALBO\n- rozwiązanie równania 𝑥2 -4 = 0: 𝑥= -2, 𝑥= 2.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający poda wszystkie rozwiązania równania, bez zapisywania rachunków lub\nuzasadnienia, to otrzymuje 2 punkty.\n2. Jeżeli zdający uzyska trzy poprawne rozwiązania równania, lecz traktuje równanie jako\nnierówność (podaje zbiór rozwiązań w postaci przedziału/sumy przedziałów), to otrzymuje\n1 punkt za całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający poprawnie zapisze lewą stronę równania w postaci sumy jednomianów\ni doprowadzając ją do postaci iloczynu popełni błędy, ale skorzysta z własności iloczynu\nrównego zero, to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 1 punkt.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nIloczyn jest równy zero, jeśli przynajmniej jeden z czynników jest równy zero. Zatem:\n27𝑥3 + 1 = 0 lub 𝑥2 -4 = 0\nRównanie 27𝑥3 + 1 = 0 ma jedno rozwiązanie rzeczywiste: 𝑥= √-1\n27\n3\n= -1\n3 .\nRównanie 𝑥2 -4 = 0 ma dwa rozwiązania rzeczywiste: 𝑥= -2, 𝑥= 2.\nZatem rzeczywistymi rozwiązaniami równania (27𝑥3 + 1)(𝑥2 -4) = 0 są liczby:\n𝑥= -2, 𝑥= -1\n3, 𝑥= 2.","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (0-2)\nRozwiąż równanie\n3𝑥+ 4\n𝑥-1 = 𝑥+ 3\n3𝑥\n, gdzie 𝑥≠0 i 𝑥≠1.\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 27. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n3.8) rozwiązuje proste równania wymierne,\nprowadzące do równań liniowych lub\nkwadratowych […].\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i uzyskanie poprawnych rozwiązań równania:\n𝑥= -3\n4 oraz 𝑥= -1\n2\n1 pkt - przekształcenie równania 3𝑥 + 4\n𝑥 - 1 = 𝑥 + 3\n3𝑥 do równania kwadratowego, np.\n(3𝑥+ 4) ⋅3𝑥= (𝑥-1) ⋅(𝑥+ 3).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe przy przekształcaniu równania, otrzyma\nrównanie kwadratowe, które ma dwa rozwiązania i konsekwentnie je rozwiąże do końca,\nto może otrzymać 1 punkt za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający, przekształcając równanie wymierne do równania kwadratowego, zastosuje\nbłędną metodę - np. zapisze (3𝑥+ 4) ⋅(𝑥+ 3) = (𝑥-1) ⋅3𝑥, to otrzymuje 0 punktów\nza całe rozwiązanie.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n3. Jeżeli zdający poprawnie przekształci równanie do równania kwadratowego, uzyska\npoprawne wartości pierwiastków, lecz traktuje równanie jako nierówność (rysuje parabolę\ni podaje przedziały jako rozwiązanie), to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\nPodobnie, jeżeli zdający poprawnie przekształci równanie do równania kwadratowego,\nuzyska poprawne wartości pierwiastków, lecz poda odpowiedź w postaci przedziału/sumy\nprzedziałów, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzekształcamy równanie:\n3𝑥+ 4\n𝑥-1 = 𝑥+ 3\n3𝑥\n(3𝑥+ 4) ⋅3𝑥= (𝑥-1) ⋅(𝑥+ 3)\nRozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe:\n9𝑥2 + 12𝑥= 𝑥2 + 3𝑥-𝑥-3\n8𝑥2 + 10𝑥+ 3 = 0\nObliczamy wyróżnik Δ trójmianu kwadratowego 8𝑥2 + 10𝑥+ 3:\nΔ = 102 -4 ⋅8 ⋅3 = 100 -96 = 4\nStąd:\n𝑥1 = -10 -√4\n2 ⋅8\n= -3\n4\n𝑥2 = -10 + √4\n2 ⋅8\n= -1\n2\nOtrzymane pierwiastki są różne od liczby 0 i różne od liczby 1, więc są rozwiązaniami\ndanego równania.","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":21,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"28","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (0-2)\nWykaż, że dla każdej liczby całkowitej 𝑛≥0 liczba 7𝑛+ 7𝑛+1 + 7𝑛+2 jest podzielna\nprzez 19.\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 28. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\nZdający:\n1.4) […] stosuje prawa działań na potęgach\no wykładnikach wymiernych;\n1.5) wykorzystuje podstawowe własności\npotęg […].\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.\n1 pkt - przekształcenie wyrażenia 7𝑛+ 7𝑛+1 + 7𝑛+2 do postaci 7𝑛⋅(1 + 7 + 72).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający sprawdza prawdziwość tezy tylko dla wybranych wartości 𝑛, to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nKorzystamy z własności działań na potęgach i otrzymujemy:\n7𝑛+ 7𝑛+1 + 7𝑛+2 = 7𝑛+ 7𝑛⋅7 + 7𝑛⋅72\nWyłączamy wspólny czynnik przed nawias i otrzymujemy:\n7𝑛+ 7𝑛⋅7 + 7𝑛⋅72 = 7𝑛⋅(1 + 7 + 72) = 7𝑛⋅57 = 19 ⋅3 ⋅7𝑛\nLiczba 3 ⋅7𝑛 jest liczbą całkowitą dla każdej liczby całkowitej 𝑛≥0, zatem liczba\n7𝑛+ 7𝑛+1 + 7𝑛+2 jest podzielna przez 19 dla każdej liczby całkowitej 𝑛≥0.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (0-2)\nCzterowyrazowy ciąg (7, 𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎4) jest arytmetyczny.\nSuma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 54.\nOblicz drugi wyraz tego ciągu.\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 29. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n5.3) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz i na sumę\n𝑛 początkowych wyrazów ciągu\narytmetycznego.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑎2 = 34\n3\n1 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑟, np.\n7 + 7 + 𝑟+ 7 + 2𝑟+ 7 + 3𝑟= 54\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑎2, np.\n3𝑎2 + 3(𝑎2 -7) = 47,\nALBO\n- obliczenie trzeciego wyrazu ciągu: 𝑎3 = 47\n3\n,\nALBO\n- obliczenie czwartego wyrazu ciągu: 𝑎4 = 20 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający wypisze wszystkie cztery wyrazy rozpatrywanego ciągu arytmetycznego\n(7, 34\n3 , 47\n3 , 20), to otrzymuje 2 punkty.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nZ treści zadania wynika, że 7 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 = 54.\nStąd i ze wzoru na 𝑛-ty wyraz ciągu arytmetycznego otrzymujemy równanie:\n7 + 7 + 𝑟+ 7 + 2𝑟+ 7 + 3𝑟= 54\n28 + 6𝑟= 54\n6𝑟= 26\n𝑟= 13\n3\nZatem:\n𝑎2 = 7 + 𝑟= 7 + 13\n3 = 34\n3\nSposób II\nZ treści zadania wynika, że 7 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 = 54.\nZe wzoru na 𝑛-ty wyraz ciągu arytmetycznego otrzymujemy:\n𝑎2 = 7 + 𝑟\nStąd:\n𝑟= 𝑎2 -7\nWtedy:\n𝑎3 = 𝑎2 + 𝑟= 𝑎2 + 𝑎2 -7 = 2𝑎2 -7\n𝑎4 = 𝑎2 + 2𝑟= 𝑎2 + 2(𝑎2 -7) = 3𝑎2 -14\nPrzekształcamy równanie 7 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 = 54 do równania z jedną niewiadomą 𝑎2:\n7 + 𝑎2 + (2𝑎2 -7) + (3𝑎2 -14) = 54\n6𝑎2 -14 = 54\n6𝑎2 = 68\n𝑎2 = 34\n3\nSposób III\nZ treści zadania wynika, że 7 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 = 54.\nZ własności ciągu arytmetycznego otrzymujemy:\n𝑎2 = 𝑎3 -𝑟\n𝑎4 = 𝑎3 + 𝑟\nPrzekształcamy równanie 7 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 = 54 do równania z jedną niewiadomą 𝑎3:\n7 + (𝑎3 -𝑟) + 𝑎3 + (𝑎3 + 𝑟) = 54\n7 + 3𝑎3 = 54\n3𝑎3 = 47\n𝑎3 = 47\n3\nKorzystamy z własności sąsiednich wyrazów ciągu arytmetycznego i obliczamy 𝑎2:\n𝑎2 =\n7 + 47\n3\n2\n= 68\n3 ⋅1\n2 = 34\n3\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób IV\nZ treści zadania wynika, że 7 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 = 54.\nZe wzoru na sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego otrzymujemy:\n7 + 𝑎4\n2\n⋅4 = 54\n7 + 𝑎4 = 27\n𝑎4 = 20\nZe wzoru na 𝑛-ty wyraz ciągu arytmetycznego otrzymujemy:\n𝑎4 = 𝑎1 + 3𝑟\n20 = 7 + 3𝑟\n𝑟= 13\n3\nZatem:\n𝑎2 = 7 + 𝑟= 7 + 13\n3 = 34\n3","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":23,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (0-2)\nW trójkącie ostrokątnym 𝐴𝐵𝐶 punkt 𝐷 leży na boku 𝐴𝐵 i odcinek 𝐶𝐷 jest wysokością\ntego trójkąta. Punkt 𝐸 jest środkiem boku 𝐴𝐶.\nPonadto odcinki 𝐷𝐵 oraz 𝐷𝐸 mają równe długości (zobacz rysunek).\nWykaż, że |∡𝐶𝐴𝐵| = 2 ⋅|∡𝐴𝐵𝐸|.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐸\n𝐷\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\nZdający:\nG10.21) konstruuje okrąg opisany na\ntrójkącie […].\nZasady oceniania\n2 pkt - przeprowadzenie pełnego rozumowania.\n1 pkt - zapisanie, że |𝐴𝐸| = |𝐷𝐸|\nALBO\n- zapisanie, że |∡𝐸𝐴𝐷| = |∡𝐴𝐷𝐸|,\nALBO\n- zapisanie, że |∡𝐵𝐸𝐷| = |∡𝐷𝐵𝐸|,\nALBO\n- wyznaczenie zależności między miarami kątów 𝐴𝐷𝐸 i 𝐴𝐵𝐸, np.\n|∡𝐴𝐷𝐸| = 2 ⋅|∡𝐴𝐵𝐸|.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nNiech |∡𝐶𝐴𝐵| = 𝛼 oraz |∡𝐴𝐵𝐸| = 𝛽 (zobacz rysunek). Wtedy tezę możemy zapisać\nw postaci 𝛼= 2𝛽.\nZ równości |𝐷𝐵| = |𝐷𝐸| wynika, że trójkąt 𝐷𝐵𝐸 jest równoramienny. Stąd:\n|∡𝐵𝐸𝐷| = |∡𝐷𝐵𝐸| = 𝛽\nZatem z twierdzenia o sumie miar kątów wewnętrznych trójkąta wynika, że:\n|∡𝐸𝐷𝐵| = 180° -2𝛽\nTrójkąt 𝐴𝐷𝐶 jest prostokątny i punkt 𝐸 jest środkiem jego przeciwprostokątnej (tzn. że\npunkt 𝐸 jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie 𝐴𝐷𝐶), więc:\n|𝐴𝐸| = |𝐷𝐸| = |𝐶𝐸|\nStąd wynika, że trójkąt 𝐴𝐷𝐸 jest równoramienny, zatem:\n|∡𝐴𝐷𝐸| = |∡𝐸𝐴𝐷| = 𝛼\nKąty 𝐴𝐷𝐸 i 𝐸𝐷𝐵 są przyległe, więc:\n𝛼= |∡𝐴𝐷𝐸| = 180° -|∡𝐸𝐷𝐵| = 180° -(180° -2𝛽) = 2𝛽\nZatem 𝛼= 2𝛽. To kończy dowód.\nUwaga.\nRówność |∡𝐴𝐷𝐸| = 2𝛽 możemy też otrzymać, korzystając z twierdzenia o kącie\nzewnętrznym trójkąta.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐸\n𝐷\n𝛽\n𝛼\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":24,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (0-2)\nDany jest sześcioelementowy zbiór 𝐾= {2, 3, 4, 5, 6, 7}. Ze zbioru 𝐾 losujemy bez\nzwracania kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 polegającego na tym, że liczba wylosowana za\npierwszym razem będzie parzysta i jednocześnie iloczyn obu wylosowanych liczb będzie\nwiększy od 16.\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 31. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n10.3) oblicza prawdopodobieństwa\nw prostych sytuacjach, stosując klasyczną\ndefinicję prawdopodobieństwa.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑃(𝐴) = 7\n30 .\n1 pkt - wypisanie wszystkich zdarzeń elementarnych LUB obliczenie/podanie liczby tych\nzdarzeń: |Ω| = 6 ⋅5\nALBO\n- sporządzenie tabeli o 36 polach, z których 6 jest wykreślonych a pozostałe 30\nodpowiada zdarzeniom elementarnym,\nALBO\n- sporządzenie pełnego drzewa stochastycznego,\nALBO\n- wypisanie (lub zaznaczenie w tabeli) wszystkich zdarzeń elementarnych\nsprzyjających zdarzeniu 𝐴 i niewypisanie żadnego niewłaściwego,\nALBO\n- podanie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴:\n|𝐴| = 7, o ile nie zostały zliczone błędne pary,\nALBO\n- sporządzenie fragmentu drzewa stochastycznego, które zawiera wszystkie gałęzie\nsprzyjające zdarzeniu 𝐴, oraz zapisanie prawdopodobieństwa na co najmniej\njednym odcinku każdego z etapów doświadczenia,\nALBO\n- podanie prawdopodobieństwa jednoelementowego zdarzenia (elementarnego): 1\n30 ,\nALBO\n- zapisanie tylko 𝑃(𝐴) = 7\n30 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający zapisuje tylko liczby 7 lub 30 i z rozwiązania nie wynika znaczenie tych\nliczb, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający rozważa losowanie ze zwracaniem, to otrzymuje 0 punktów za całe\nrozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑥, 𝑦), gdzie\n𝑥, 𝑦∈{2, 3, 4, 5, 6, 7} i 𝑥≠𝑦.\nLiczbę wszystkich zdarzeń elementarnych obliczamy, korzystając z reguły mnożenia:\n|Ω| = 6 ⋅5 = 30\nZdarzeniu 𝐴 sprzyjają następujące zdarzenia elementarne:\n(4, 5), (4, 6), (4, 7), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 7), więc |𝐴| = 7.\nZatem prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe 7\n30\nSposób II\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑥, 𝑦), gdzie\n𝑥, 𝑦∈{2, 3, 4, 5, 6, 7} i 𝑥≠𝑦.\nW tabeli literą 𝒜 zaznaczamy zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu 𝐴.\nDruga wylosowana liczba\nPierwsza wylosowana liczba\n𝟐\n𝟑\n𝟒\n𝟓\n𝟔\n𝟕\n𝟐\n𝟑\n𝟒\n𝒜\n𝒜\n𝒜\n𝟓\n𝟔\n𝒜\n𝒜\n𝒜\n𝒜\n𝟕\nWszystkich zdarzeń elementarnych jest 30. Zdarzeń sprzyjających zdarzeniu 𝐴 jest 7.\nZatem prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe 7\n30\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":25,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"32","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (0-4)\nW układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest równoległobok 𝐴𝐵𝐶𝐷, w którym 𝐷= (6, 19).\nBok 𝐴𝐵 tego równoległoboku zawiera się w prostej o równaniu 𝑦= 1\n2 𝑥+ 9,\na bok 𝐴𝐷 zawiera się w prostej o równaniu 𝑦= 4𝑥-5.\nPunkt 𝐾= (10, 14) jest środkiem odcinka 𝐴𝐵.\nPrzekątne równoległoboku 𝐴𝐵𝐶𝐷 przecinają się w punkcie 𝑆.\nOblicz odległość punktu 𝑆 od początku układu współrzędnych.\n\nEMAP-P0_100\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 32. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n8.4) oblicza współrzędne punktu przecięcia\ndwóch prostych;\n8.5) wyznacza współrzędne środka odcinka;\n8.6) oblicza odległość dwóch punktów.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: √445.\n3 pkt - obliczenie współrzędnych punktu 𝑆: 𝑆= (11, 18).\n2 pkt - obliczenie współrzędnych punktu 𝐵: 𝐵= (16, 17)\nALBO\n- obliczenie współrzędnych środka 𝑀𝐷𝐶 boku 𝐷𝐶: 𝑀𝐷𝐶= (12, 22),\nALBO\n- obliczenie współrzędnych środka 𝑀𝐴𝐷 boku 𝐴𝐷 oraz obliczenie współrzędnych\nśrodka 𝑀𝐾𝐷 odcinka 𝐾𝐷: 𝑀𝐴𝐷= (5, 15), 𝑀𝐾𝐷= (8, 33\n2 ),\nALBO\n- obliczenie współrzędnych wektora 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ (lub 1\n2 ⋅𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ):\n𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = [2, 8] (lub 1\n2 ⋅𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = [1, 4]),\nALBO\n- wyznaczenie równań dwóch prostych przecinających się w punkcie 𝑆, np.\n𝑦= 4𝑥-26 (równanie prostej równoległej do 𝐴𝐷) oraz\n𝑦= 1\n2 𝑥+ 25\n2 (równanie prostej równoległej do 𝐴𝐵),\nALBO\n- zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć jedną ze współrzędnych punktu 𝑆,\nnp.:\n𝑥𝐵+ 6\n2\n= 𝑥𝑆 oraz\n1\n2 𝑥𝐵+ 9 + 19\n2\n= 4𝑥𝑆-26,\n𝑥𝐵+ 6\n2\n= 𝑥𝑆 oraz 𝑦𝐵+ 19\n2\n= 𝑦𝑆 oraz 𝑦𝐵= 1\n2 𝑥𝐵+ 9 oraz 𝑦𝑆= 4𝑥𝑆-26.\n1 pkt - obliczenie współrzędnych punktu 𝐴: 𝐴= (4, 11)\nALBO\n- obliczenie współrzędnych środka 𝑀𝐾𝐷 odcinka 𝐾𝐷: 𝑀𝐾𝐷= (8, 33\n2 ),\nALBO\n- wyznaczenie równania prostej przechodzącej przez punkt 𝑆, np.\n𝑦= 4𝑥-26 (równanie prostej równoległej do 𝐴𝐷),\nALBO\n- zapisanie zależności między odpowiednimi współrzędnymi punktów 𝐵, 𝐷 oraz 𝑆:\n𝑥𝐵 + 6\n2\n= 𝑥𝑆 oraz 𝑦𝐵 + 19\n2\n= 𝑦𝑆 oraz zapisanie współrzędnych punktu 𝐵\nw zależności od jednej zmiennej (𝑥𝐵 lub 𝑦𝐵), np. 𝐵= (𝑥𝐵, 1\n2 𝑥𝐵+ 9).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli jedynym błędem zdającego jest:\na) zastosowanie niepoprawnego wzoru na współczynnik kierunkowy prostej,\nb) zastosowanie niepoprawnego związku między współczynnikami kierunkowymi\nprostych równoległych,\nc) zastosowanie niepoprawnego wzoru na współrzędne środka odcinka,\ni rozwiązanie zostanie doprowadzone konsekwentnie do końca, to zdający może otrzymać\n2 punkt za całe rozwiązanie. Jeżeli zdający popełni więcej niż jeden z wymienionych błędów\na)-c), to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby\npunktów.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPunkt 𝐴 jest punktem wspólnym prostych 𝐴𝐵 i 𝐴𝐷, zatem współrzędne tego punktu są\nrozwiązaniem układu równań:\n{ 𝑦= 1\n2 𝑥+ 9\n𝑦= 4𝑥-5\nStąd:\n1\n2 𝑥+ 9 = 4𝑥-5\n7\n2 𝑥= 14\n𝑥= 4\n𝑦= 11\nZatem 𝐴= (4, 11).\nPunkt 𝐾 jest środkiem odcinka 𝐴𝐵, więc:\n4 + 𝑥𝐵\n2\n= 10 oraz 11 + 𝑦𝐵\n2\n= 14\n𝑥𝐵= 16 oraz 𝑦𝐵= 17\nZatem 𝐵= (16, 17).\nPunkt 𝑆= (𝑥𝑆, 𝑦𝑆) jest środkiem odcinka 𝐵𝐷, więc:\n𝑥𝑆= 16 + 6\n2\n= 11 oraz 17 + 19\n2\n= 18\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZatem 𝑆= (11, 18).\nObliczamy odległość punktu 𝑆 od początku układu współrzędnych:\n√(11 -0)2 + (18 -0)2 = √121 + 324 = √445\nSposób II\nPunkt 𝐴 jest punktem wspólnym prostych 𝐴𝐵 i 𝐴𝐷, zatem współrzędne tego punktu są\nrozwiązaniem układu równań:\n{\n𝑦= 1\n2 𝑥+ 9\n𝑦= 4𝑥-5\nStąd:\n1\n2 𝑥+ 9 = 4𝑥-5\n7\n2 𝑥= 14\n𝑥= 4\n𝑦= 11\nZatem 𝐴= (4, 11).\nProsta 𝑆𝐾 jest równoległa do prostej 𝐴𝐷, zatem współczynnik kierunkowy prostej 𝑆𝐾 jest\nrówny 4. Wyznaczamy równanie prostej 𝑆𝐾:\n𝑦= 4(𝑥-10) + 14\n𝑦= 4𝑥-26\nOznaczmy przez 𝑀𝐴𝐷 środek odcinka 𝐴𝐷. Obliczmy współrzędne punktu 𝑀𝐴𝐷:\n𝑀𝐴𝐷= (4 + 6\n2\n, 11 + 19\n2\n) = (5, 15)\nProsta 𝑆𝑀𝐴𝐷 jest równoległa do prostej 𝐴𝐵, zatem współczynnik kierunkowy prostej 𝑆𝑀𝐴𝐷\njest równy 1\n2\n. Wyznaczamy równanie prostej 𝑆𝑀𝐴𝐷:\n𝑦= 1\n2 (𝑥-5) + 15\n𝑦= 1\n2 𝑥+ 25\n2\nPunkt 𝑆 jest punktem wspólnym prostych 𝑆𝐾 i 𝑆𝑀𝐴𝐷, zatem współrzędne tego punktu są\nrozwiązaniem układu równań:\n{\n𝑦= 4𝑥-26\n𝑦= 1\n2 𝑥+ 25\n2\nStąd:\n4𝑥-26 = 1\n2 𝑥+ 25\n2\n7\n2 𝑥= 77\n2\n𝑥= 11\n𝑦= 18\nZatem 𝑆= (11, 18).\nObliczamy odległość punktu 𝑆 od początku układu współrzędnych:\n√(11 -0)2 + (18 -0)2 = √121 + 324 = √445\nSposób III\nProsta 𝑆𝐾 jest równoległa do prostej 𝐴𝐷, zatem współczynnik kierunkowy prostej 𝑆𝐾 jest\nrówny 4. Wyznaczamy równanie prostej 𝑆𝐾:\n𝑦= 4(𝑥-10) + 14\n𝑦= 4𝑥-26\nPunkt 𝑆 leży na prostej o równaniu 𝑦= 4𝑥-26, stąd 𝑦𝑆= 4𝑥𝑆-26.\nPunkt 𝐵 leży na prostej o równaniu 𝑦= 1\n2 𝑥+ 9, stąd 𝑦𝐵= 1\n2 𝑥𝐵+ 9.\nPunkt 𝑆 jest środkiem odcinka 𝐵𝐷, więc:\n𝑥𝐵+ 𝑥𝐷\n2\n= 𝑥𝑆 oraz 𝑦𝐵+ 𝑦𝐷\n2\n= 𝑦𝑆\nZatem:\n𝑥𝐵+ 6\n2\n= 𝑥𝑆 oraz\n1\n2 𝑥𝐵+ 9 + 19\n2\n= 4𝑥𝑆-26\n𝑥𝐵= 2𝑥𝑆-6 oraz 1\n2 𝑥𝐵+ 28 = 8𝑥𝑆-52\nStąd otrzymujemy:\n1\n2 (2𝑥𝑆-6) + 28 = 8𝑥𝑆-52\n𝑥𝑆-3 + 28 = 8𝑥𝑆-52\n7𝑥𝑆= 77\n𝑥𝑆= 11\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nWtedy:\n𝑦𝑆= 4𝑥𝑆-26 = 4 ⋅11 -26 = 18\nZatem 𝑆= (11, 18).\nObliczamy odległość punktu 𝑆 od początku układu współrzędnych:\n√(11 -0)2 + (18 -0)2 = √121 + 324 = √445\nSposób IV\nPunkt 𝐴 jest punktem wspólnym prostych 𝐴𝐵 i 𝐴𝐷, zatem współrzędne tego punktu są\nrozwiązaniem układu równań:\n{ 𝑦= 1\n2 𝑥+ 9\n𝑦= 4𝑥-5\nStąd:\n1\n2 𝑥+ 9 = 4𝑥-5\n7\n2 𝑥= 14\n𝑥= 4\n𝑦= 11\nZatem 𝐴= (4, 11).\nZauważmy, że 𝐾𝑆⃗⃗⃗⃗⃗ = 1\n2 ⋅𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ . Obliczamy współrzędne wektorów 𝐾𝑆⃗⃗⃗⃗⃗ oraz 1\n2 ⋅𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ :\n𝐾𝑆⃗⃗⃗⃗⃗ = [𝑥𝑆-10, 𝑦𝑆-14]\n1\n2 ⋅𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = 1\n2 ⋅[6 -4, 19 -11] = 1\n2 ⋅[2, 8] = [1, 4]\nStąd:\n𝑥𝑆-10 = 1 oraz 𝑦𝑆-14 = 4\n𝑥𝑆= 11 oraz 𝑦𝑆= 18\nZatem 𝑆= (11, 18).\nObliczamy odległość punktu 𝑆 od początku układu współrzędnych:\n√(11 -0)2 + (18 -0)2 = √121 + 324 = √445\nSposób V\nProsta 𝑆𝐾 jest równoległa do prostej 𝐴𝐷, zatem współczynnik kierunkowy prostej 𝑆𝐾 jest\nrówny 4. Wyznaczamy równanie prostej 𝑆𝐾:\n𝑦= 4(𝑥-10) + 14\n𝑦= 4𝑥-26\nOznaczmy przez 𝑀𝐾𝐷 środek odcinka 𝐾𝐷. Obliczmy współrzędne punktu 𝑀𝐾𝐷:\n𝑀𝐾𝐷= (10 + 6\n2\n, 14 + 19\n2\n) = (8, 33\n2 )\nProsta 𝑆𝑀𝐾𝐷 jest równoległa do prostej 𝐴𝐵, zatem współczynnik kierunkowy prostej 𝑆𝑀𝐾𝐷\njest równy 1\n2\n. Wyznaczamy równanie prostej 𝑆𝑀𝐾𝐷:\n𝑦= 1\n2 (𝑥-8) + 33\n2\n𝑦= 1\n2 𝑥+ 25\n2\nPunkt 𝑆 jest punktem wspólnym prostych 𝑆𝐾 i 𝑆𝑀𝐾𝐷, zatem współrzędne tego punktu są\nrozwiązaniem układu równań:\n{\n𝑦= 4𝑥-26\n𝑦= 1\n2 𝑥+ 25\n2\nStąd:\n4𝑥-26 = 1\n2 𝑥+ 25\n2\n7\n2 𝑥= 77\n2\n𝑥= 11\n𝑦= 18\nZatem 𝑆= (11, 18).\nObliczamy odległość punktu 𝑆 od początku układu współrzędnych:\n√(11 -0)2 + (18 -0)2 = √121 + 324 = √445\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":26,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"33","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (0-4)\nOdcinek 𝐴𝐷 jest wysokością walca, a odcinek 𝐴𝐵 jest średnicą podstawy walca.\nOdcinek 𝐵𝐷 ma długość 4√3. Miara kąta 𝐴𝐵𝐷 jest równa 30° (zobacz rysunek).\nOblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego walca.\n𝐷\n𝐵\n𝐴\n30°\n4ξ3\n\nEMAP-P0_100\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 33. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n9.6) stosuje trygonometrię do obliczeń\ndługości odcinków, miar kątów, pól\npowierzchni i objętości.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawne wyniki: 𝑉= 18𝜋√3,\n𝑃𝑐= 18𝜋+ 12𝜋√3.\n3 pkt - obliczenie objętości walca: 𝑉= 18𝜋√3\nALBO\n- obliczenie pola powierzchni całkowitej walca: 𝑃𝑐= 18𝜋+ 12𝜋√3.\n2 pkt - zapisanie promienia podstawy walca (lub średnicy podstawy walca): 𝑟= 3\n(lub 2𝑟= 6) oraz zapisanie wysokości walca: 𝐻= 2√3\nALBO\n- obliczenie kwadratu promienia podstawy walca (lub kwadratu średnicy podstawy\nwalca): 𝑟2 = 9 (lub (2𝑟)2 = 36) oraz zapisanie wysokości walca: 𝐻= 2√3.\n1 pkt - zapisanie promienia podstawy walca (lub średnicy podstawy walca): 𝑟= 3\n(lub 2𝑟= 6)\nALBO\n- zapisanie wysokości walca: 𝐻= 2√3,\nALBO\n- zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć 𝑟 oraz 𝐻, np.:\n𝐻= 𝑥 oraz 2𝑟= 𝑥√3 oraz 2𝑥= 4√3,\n𝐻\n4√3\n= sin 30° oraz 2𝑟\n4√3\n= cos 30° .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli jedynym błędem zdającego jest:\na) zastosowanie niepoprawnej definicji jednej funkcji trygonometrycznej,\nb) błędne zastosowanie twierdzenia Pitagorasa,\nc) zastosowanie niepoprawnej tożsamości √𝑥2 + 𝑦2 = 𝑥+ 𝑦,\nd) błędne zastosowanie własności trójkąta o kątach 30°, 60°, 90° (tzn. zapisanie,\nże średnica podstawy walca jest równa 2√3 i wysokość walca jest równa 6),\ni rozwiązanie zostanie doprowadzone konsekwentnie do końca, to zdający może otrzymać\nco najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za konsekwentne obliczenie objętości i pola\npowierzchni całkowitej walca).\nJeżeli zdający popełni więcej niż jeden z wymienionych błędów a)-d), to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzyjmujemy oznaczenia jak na rysunku:\n𝑟 - promień podstawy walca,\n𝐻 - wysokość walca.\nZauważamy, że kąt 𝐷𝐴𝐵 jest prosty\noraz 𝑟> 0 i 𝐻> 0.\nW trójkącie prostokątnym 𝐴𝐵𝐷 mamy:\nsin 30° =\n|𝐴𝐷|\n|𝐵𝐷| = 𝐻\n4√3\nZatem:\n𝐻= 4√3 ⋅sin 30° = 4√3 ⋅1\n2 = 2√3\nPonadto:\ncos 30° =\n|𝐴𝐵|\n|𝐵𝐷| = 2𝑟\n4√3\n= 𝑟\n2√3\nStąd:\n𝑟= 2√3 ⋅cos 30° = 2√3 ⋅√3\n2 = 3\nObliczamy objętość 𝑉 walca:\n𝑉= 𝜋𝑟2𝐻= 𝜋⋅32 ⋅2√3 = 18𝜋√3\nObliczamy pole powierzchni całkowitej 𝑃𝑐 walca:\n𝑃𝑐= 2𝜋𝑟2 + 2𝜋𝑟𝐻= 2𝜋⋅32 + 2𝜋⋅3 ⋅2√3 = 18𝜋+ 12𝜋√3\n𝐷\n𝐵\n𝐴\n30°\n4ξ3\n𝐻\n2𝑟\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":28,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"34","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 34. (0-5)\nFunkcja kwadratowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐.\nNajwiększa wartość funkcji 𝑓 jest równa 100.\nZbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja 𝑓 przyjmuje wartości dodatnie, jest\nprzedział (-2, 8).\nOblicz wartości współczynników 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐.\n\nEMAP-P0_100\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\n\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2015\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2015\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2015","answer":null,"answer_text":"Zadanie 34. (0-5)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n4.9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na\npodstawie pewnych informacji o tej funkcji\nlub o jej wykresie.\nZasady oceniania\n5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑎= -4, 𝑏= 24, 𝑐= 64.\n4 pkt - spełnienie jednego z kryteriów za 3 punkty oraz obliczenie wartości jednego ze\nwspółczynników 𝑎, 𝑏 lub 𝑐: 𝑎= -4 lub 𝑏= 24, lub 𝑐= 64.\n3 pkt - zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥+ 2)(𝑥-8) oraz obliczenie\nwspółrzędnych wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji 𝑓: 𝑊= (3, 100)\nALBO\n- zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-3)2 + 100,\nALBO\n- zapisanie układu trzech niezależnych równań z trzema niewiadomymi 𝑎, 𝑏, 𝑐\nprowadzącego do obliczenia wartości współczynników 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐, np.:\n𝑎⋅(-2)2 + 𝑏⋅(-2) + 𝑐= 0 oraz\n𝑎⋅82 + 𝑏⋅8 + 𝑐= 0 oraz\n-(𝑏2-4𝑎𝑐)\n4𝑎\n= 100\nlub\n𝑎⋅(-2)2 + 𝑏⋅(-2) + 𝑐= 0 oraz\n𝑎⋅82 + 𝑏⋅8 + 𝑐= 0 oraz\n𝑎⋅32 + 𝑏⋅3 + 𝑐= 100\n2 pkt - zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥+ 2)(𝑥-8)\nALBO\n- obliczenie współrzędnych wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji 𝑓:\n𝑊= (3, 100),\nALBO\n- zapisanie, że liczba 𝑞= 100 jest drugą współrzędną wierzchołka paraboli będącej\nwykresem funkcji 𝑓 oraz zapisanie jednego z równań:\n𝑎⋅(-2)2 + 𝑏⋅(-2) + 𝑐= 0 lub 𝑎⋅82 + 𝑏⋅8 + 𝑐= 0.\n1 pkt - zapisanie, że liczby 𝑥1 = -2 oraz 𝑥2 = 8 są miejscami zerowymi funkcji 𝑓\nALBO\n- zapisanie, że liczba 𝑞= 100 jest drugą współrzędną wierzchołka paraboli będącej\nwykresem funkcji 𝑓,\nALBO\n- zapisanie, że liczba 𝑝= 3 jest pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli będącej\nwykresem funkcji 𝑓,\nALBO\n- zapisanie jednego z równań:\n𝑎⋅(-2)2 + 𝑏⋅(-2) + 𝑐= 0 lub 𝑎⋅82 + 𝑏⋅8 + 𝑐= 0.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający poprawnie obliczy/poda obie współrzędne wierzchołka paraboli, ale zapisze\nbłędne równanie 0 = 𝑎(-2 + 3)2 + 100 lub 0 = 𝑎(8 + 3)2 + 100, a następnie\nkonsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje 3 punkty\nza całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający poprawnie zidentyfikuje miejsca zerowe funkcji 𝑓, ale zapisze błędne\nrównanie 100 = 𝑎(3 -2)(3 + 8) lub 100 = 𝑎(3 -2)(3 -8), lub\n100 = 𝑎(3 + 2)(3 + 8), a następnie konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże\nzadanie do końca, to otrzymuje 3 punkty za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nNajwiększa wartość funkcji 𝑓 jest równa 100, zatem liczba 𝑞= 100 jest drugą\nwspółrzędną wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji 𝑓.\nPonieważ zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja 𝑓 przyjmuje wartości\ndodatnie jest przedział (-2, 8), więc liczby 𝑥1 = -2 oraz 𝑥2 = 8 są miejscami zerowymi\nfunkcji 𝑓.\nObliczamy pierwszą współrzędną 𝑝 wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji 𝑓:\n𝑝= 𝑥1 + 𝑥2\n2\n= -2 + 8\n2\n= 3\nKorzystamy ze wzoru na postać kanoniczną funkcji kwadratowej i zapisujemy:\n𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-3)2 + 100, gdzie 𝑎≠0.\nLiczba (-2) jest miejscem zerowym funkcji 𝑓, więc:\n𝑓(-2) = 0\n𝑎(-2 -3)2 + 100 = 0\n25𝑎= -100\n𝑎= -4\nZapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci kanonicznej:\n𝑓(𝑥) = -4(𝑥-3)2 + 100\nPrzekształcamy wzór funkcji 𝑓 do postaci ogólnej:\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑓(𝑥) = -4(𝑥-3)2 + 100 = -4(𝑥2 -6𝑥+ 9) + 100 = -4𝑥2 + 24𝑥+ 64\nWartości współczynników 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐 we wzorze funkcji 𝑓 są więc równe:\n𝑎= -4, 𝑏= 24, 𝑐= 64.\nSposób II\nPonieważ zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja 𝑓 przyjmuje wartości\ndodatnie jest przedział (-2, 8), więc liczby 𝑥1 = -2 oraz 𝑥2 = 8 są miejscami zerowymi\nfunkcji 𝑓.\nKorzystamy ze wzoru na postać iloczynową funkcji kwadratowej i zapisujemy:\n𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥+ 2)(𝑥-8), gdzie 𝑎≠0.\nObliczamy pierwszą współrzędną 𝑝 wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji 𝑓:\n𝑝= 𝑥1 + 𝑥2\n2\n= -2 + 8\n2\n= 3\nNajwiększa wartość funkcji 𝑓 jest równa 100, zatem liczba 𝑞= 100 jest drugą\nwspółrzędną wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji 𝑓.\nPunkt 𝑊= (3, 100) jest wierzchołkiem wykresu funkcji 𝑓, więc:\n𝑓(3) = 100\n𝑎(3 + 2)(3 -8) = 100\n-25𝑎= 100\n𝑎= -4\nZapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci iloczynowej:\n𝑓(𝑥) = -4(𝑥+ 2)(𝑥-8)\nPrzekształcamy wzór funkcji 𝑓 do postaci ogólnej:\n𝑓(𝑥) = -4(𝑥+ 2)(𝑥-8) = -4(𝑥2 -6𝑥-16) = -4𝑥2 + 24𝑥+ 64\nWartości współczynników 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐 we wzorze funkcji 𝑓 są więc równe:\n𝑎= -4, 𝑏= 24, 𝑐= 64.\nSposób III\nPonieważ zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja 𝑓 przyjmuje wartości\ndodatnie jest przedział (-2, 8), więc liczby 𝑥1 = -2 oraz 𝑥2 = 8 są miejscami zerowymi\nfunkcji 𝑓. Zatem:\n{ 𝑓(-2) = 0\n𝑓(8) = 0\n{ 𝑎⋅(-2)2 + 𝑏⋅(-2) + 𝑐= 0\n𝑎⋅82 + 𝑏⋅8 + 𝑐= 0\n{ 4𝑎-2𝑏+ 𝑐= 0\n64𝑎+ 8𝑏+ 𝑐= 0\nOdejmując równania stronami, otrzymujemy:\n(4𝑎-2𝑏+ 𝑐) -(64𝑎+ 8𝑏+ 𝑐) = 0\n-60𝑎-10𝑏= 0\n𝑏= -6𝑎\nPonieważ największa wartość funkcji 𝑓 jest równa 100, zatem liczba 𝑞= 100 jest drugą\nwspółrzędną wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji 𝑓. Stąd:\n-∆\n4𝑎= 100\n-(𝑏2 -4𝑎𝑐)\n4𝑎\n= 100\nPodstawiamy do ostatniego równania w miejsce 𝑏 wyrażenie (-6𝑎) i otrzymujemy:\n-((-6𝑎)2 -4𝑎𝑐)\n4𝑎\n= 100\n-36𝑎2 + 4𝑎𝑐\n4𝑎\n= 100\n4𝑎⋅(-9𝑎+ 𝑐)\n4𝑎\n= 100\n-9𝑎+ 𝑐= 100\n𝑐= 9𝑎+ 100\nZ uzyskanych równań 4𝑎-2𝑏+ 𝑐= 0, 𝑏= -6𝑎 oraz 𝑐= 9𝑎+ 100 obliczamy wartości\nwspółczynników 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐:\n4𝑎-2𝑏+ 𝑐= 0\n4𝑎-2 ⋅(-6𝑎) + (9𝑎+ 100) = 0\n4𝑎+ 12𝑎+ 9𝑎+ 100 = 0\n25𝑎= -100\n𝑎= -4\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑏= -6𝑎= -6 ⋅(-4) = 24\n𝑐= 9𝑎+ 100 = 9 ⋅(-4) + 100 = 64\nSposób IV\nPonieważ zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja 𝑓 przyjmuje wartości\ndodatnie jest przedział (-2, 8), więc liczby 𝑥1 = -2 oraz 𝑥2 = 8 są miejscami zerowymi\nfunkcji 𝑓. Zatem 𝑓(-2) = 0 oraz 𝑓(8) = 0.\nObliczamy pierwszą współrzędną 𝑝 wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji 𝑓:\n𝑝= 𝑥1 + 𝑥2\n2\n= -2 + 8\n2\n= 3\nNajwiększa wartość funkcji 𝑓 jest równa 100, więc liczba 𝑞= 100 jest drugą współrzędną\nwierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji 𝑓. Zatem 𝑓(3) = 100.\nZ uzyskanych równości 𝑓(-2) = 0, 𝑓(8) = 0 oraz 𝑓(3) = 100 obliczamy wartości\nwspółczynników 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐:\n{\n𝑓(-2) = 0\n𝑓(8) = 0\n𝑓(3) = 100\n{\n𝑎⋅(-2)2 + 𝑏⋅(-2) + 𝑐= 0\n𝑎⋅82 + 𝑏⋅8 + 𝑐= 0\n𝑎⋅32 + 𝑏⋅3 + 𝑐= 100\n{\n4𝑎-2𝑏+ 𝑐= 0\n64𝑎+ 8𝑏+ 𝑐= 0\n9𝑎+ 3𝑏+ 𝑐= 100\n{\n4𝑎-2𝑏+ 𝑐= 0\n64𝑎+ 8𝑏+ 𝑐= 0\n𝑐= 100 -9𝑎-3𝑏\n{\n4𝑎-2𝑏+ 100 -9𝑎-3𝑏= 0\n64𝑎+ 8𝑏+ 100 -9𝑎-3𝑏= 0\n𝑐= 100 -9𝑎-3𝑏\n{\n-5𝑎-5𝑏+ 100 = 0 /: (-5)\n55𝑎+ 5𝑏+ 100 = 0 /: 5\n𝑐= 100 -9𝑎-3𝑏\n{\n𝑎+ 𝑏-20 = 0\n11𝑎+ 𝑏+ 20 = 0\n𝑐= 100 -9𝑎-3𝑏\n{\n𝑎+ 𝑏-20 = 0\n𝑏= -11𝑎-20\n𝑐= 100 -9𝑎-3𝑏\n{\n𝑎-11𝑎-20 -20 = 0\n𝑏= -11𝑎-20\n𝑐= 100 -9𝑎-3 ⋅(-11𝑎-20)\n{\n-10𝑎= 40\n𝑏= -11𝑎-20\n𝑐= 160 + 24𝑎\n{\n𝑎= -4\n𝑏= -11𝑎-20\n𝑐= 160 + 24𝑎\n{\n𝑎= -4\n𝑏= -11 ⋅(-4) -20 = 24\n𝑐= 160 + 24 ⋅(-4) = 64\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nOcena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią\nObowiązują Zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez\nstwierdzonej dyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:\na) ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną\ndyskalkulią (punkty 1.-12.);\nb) dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy\nosób ze stwierdzoną dyskalkulią - egzamin maturalny z matematyki, poziom podstawowy,\ntermin dodatkowy 2026.\nI. Ogólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną\ndyskalkulią\n1. Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek wynikających z:\nbłędnego przepisania\nprzestawienia cyfr\nzapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie\nprzestawienia położenia przecinka\nprzestawienia położenia znaku liczby.\n2. W przypadku błędów wynikających ze zmiany znaku liczby należy w każdym zadaniu\noddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza\numiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania\nbadanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.\n3. We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę rozwiązania,\nczęści lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej 1 punkt, zgodnie\nz kryteriami do poszczególnych zadań.\n4. Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub zapisuje\nnawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne rozumowanie lub\nstosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt za rozwiązanie\nzadania.\n5. W przypadku zadania wymagającego wyznaczenia pierwiastków trójmianu\nkwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę\nwyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania\nwartościach liczbowych.\n6. W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający\nmoże otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności\nkwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.\n7. W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej zdający\nmoże otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji kwadratowej,\nistotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.\n8. W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych\nlub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie\ntakiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania.\n9. W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na\npłaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu\nrozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur\ngeometrycznych, lub zapisze zależności pozwalające rozwiązać zadanie.\n10. W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać\nprzynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających\nrozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje prawidłową metodę\nwyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.\n11. W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli\npodaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia\nrozwiązania.\n12. W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub\ngeometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która\nwyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać\n1 punkt.\nII. Dodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób\nze stwierdzoną dyskalkulią\nZadanie 26.\n1 pkt - zapisanie, że liczba 2 jest rozwiązaniem równania 𝑥2 -4 = 0.\nZadanie 27.\nUwaga:\nJeżeli zdający popełnia błąd przy przekształceniu równania 3𝑥 + 4\n𝑥 - 1 = 𝑥 + 3\n3𝑥 do postaci\nrównania kwadratowego, lecz dalej stosuje poprawną metodę rozwiązania otrzymanego\nrównania kwadratowego i konsekwentnie oblicza pierwiastki tego równania, to może\notrzymać 1 punkt za całe rozwiązanie.\nZadanie 28.\n1 pkt - przekształcenie wyrażenia 7𝑛+ 7𝑛+1 + 7𝑛+2 do postaci 7𝑛+ 7𝑛⋅7 + 7𝑛⋅72.\nZadanie 29.\n1 pkt - zapisanie związku 𝑎2 = 7 + 𝑟\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑎4, np. 7+𝑎4\n2\n⋅4 = 54.\nZadanie 30.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZadanie 31.\n1 pkt - zapisanie jedynie liczby 30 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich\nzdarzeń elementarnych).\nUwagi:\n1. W ocenie rozwiązania tego zadania (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi 1.\nze standardowych zasad oceniania.\n2. Jeżeli zdający poprawnie wypisze/zaznaczy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające\nzdarzeniu 𝐴, lecz popełni błąd w ich zliczeniu (np. |𝐴| = 8) i konsekwentnie zapisze\nwynik (np. 8\n30), to otrzymuje 2 punkty.\nZadanie 32.\n1 pkt - zapisanie równania, w którym niewiadomą jest pierwsza współrzędna wierzchołka 𝐴,\nnp. 1\n2 𝑥+ 9 = 4𝑥-5.\nZadanie 33.\n1 pkt - zastosowanie definicji funkcji trygonometrycznej lub związków miarowych w trójkącie\no kątach 30°, 60°, 90° i zapisanie równania z jedną niewiadomą (wysokością walca\nlub promieniem podstawy walca), np.: 𝐻\n4√3 = sin 30°, 2𝑟\n4√3 =\n√3\n2 .\nZadanie 34.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-34.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":30,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}