{"paper":{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","variant":"stara","exam_pdf":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona.pdf","key_pdf":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona-odpowiedzi/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona-odpowiedzi.pdf","question_count":16,"source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/1","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1. (0-1)\nDany jest nieskończony ciąg geometryczny (\n√3 + 1\n4\n, 1\n2 ,\n√3 - 1\n2\n, 2 -√3, … ).\nSuma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa\nA. 5 + 3√3\n4\nB.\n√3 + 1\n2\nC.\n√3 + 1\n4 ⋅ (√3 - 1)\nD.\n(√3 + 1)\n2\n4 ⋅ (√3 + 3)","answer":"A","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nWymagania określone w podstawie programowej1\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n5.3R) rozpoznaje szeregi geometryczne\nzbieżne i oblicza ich sumy.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/2","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2. (0-1)\nFunkcja 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 3𝑥4 -4𝑥3 -7 dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥.\nFunkcja 𝑓 ma dokładnie\nA. jedno ekstremum lokalne - dla 𝑥= -1.\nB. jedno ekstremum lokalne - dla 𝑥= 0.\nC. jedno ekstremum lokalne - dla 𝑥= 1.\nD. dwa ekstrema lokalne - dla 𝑥= 0 oraz dla 𝑥= 1.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n11.5R) znajduje ekstrema funkcji\nwielomianowych i wymiernych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC\n1 Rozporządzenie Ministra Edukacji Narodowej z dnia 27 sierpnia 2012 r. w sprawie podstawy programowej\nwychowania przedszkolnego oraz kształcenia ogólnego w poszczególnych typach szkół (Dz.U. 2012 poz. 977).\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/3","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3. (0-1)\nWartość wyrażenia √25𝑎+ 49𝑏 dla 𝑎=\n1\nlog6 5 oraz 𝑏=\n1\nlog8 7\njest równa\nA. 9\nB. 10\nC. 12\nD. 15","answer":"B","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n1.2R) stosuje w obliczeniach wzór na\nlogarytm potęgi oraz wzór na zamianę\npodstawy logarytmu.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/4","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4. (0-1)\nFunkcja 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = sin4 𝑥+ cos4 𝑥 dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥.\nNajwiększa wartość funkcji 𝑓 jest równa\nA. 0\nB. 1\n2\nC. 1\nD. 2\n\nEMAP-R0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-R0_100","answer":"C","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n6.4) stosuje proste zależności między\nfunkcjami trygonometrycznymi:\nsin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1, tg 𝛼= sin𝛼\ncos𝛼 oraz\nsin(90° -𝛼) = cos 𝛼.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC\nZADANIE OTWARTE (KODOWANE)","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona","number":"5","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (0-2)\nOblicz granicę\nlim\n𝑥 → 2 𝑥5 -2𝑥4 + 𝑥2 -3𝑥+ 2\n𝑥3 -2𝑥2 + 3𝑥-6\nW poniższe kratki wpisz kolejno - od lewej do prawej - pierwszą, drugą i trzecią cyfrę po\nprzecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-R0_100","answer":"4","answer_text":"Zadanie 5. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n11.1R) oblicza granice funkcji (i granice\njednostronne), korzystając z twierdzeń\no działaniach na granicach i z własności\nfunkcji ciągłych.\nZasady oceniania\n2 pkt - odpowiedź całkowicie poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\n4\n2\n8\nZADANIA OTWARTE (NIEKODOWANE)\nUwagi ogólne:\n1. Akceptowane są wszystkie rozwiązania merytorycznie poprawne i spełniające warunki\nzadania.\n2. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe, które na żadnym etapie rozwiązania nie\nupraszczają i nie zmieniają danego zagadnienia, lecz stosuje poprawną metodę\ni konsekwentnie do popełnionych błędów rachunkowych rozwiązuje zadanie, to może\notrzymać co najwyżej (𝑛-1) punktów (gdzie 𝑛 jest maksymalną możliwą do uzyskania\nliczbą punktów za dane zadanie).","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona","number":"6","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (0-3)\nRozważamy wszystkie dziewięciocyfrowe kody, które spełniają jednocześnie następujące\nwarunki:\nna pierwszym miejscu kodu znajduje się cyfra 2\ncyfra 4 występuje w kodzie dokładnie trzy razy\ncyfra 8 występuje dokładnie dwa razy\npozostałe cyfry kodu są parami różnymi liczbami nieparzystymi.\nOblicz liczbę wszystkich takich kodów.\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 6. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n10.1R) wykorzystuje wzory na liczbę\npermutacji, kombinacji, wariacji i wariacji\nz powtórzeniami do zliczania obiektów\nw bardziej złożonych sytuacjach\nkombinatorycznych.\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 33 600.\n2 pkt - wyznaczenie liczby wszystkich kodów spełniających warunki zadania, np.\n(8\n3) ⋅(5\n2) ⋅5 ⋅4 ⋅3, (8\n2) ⋅(6\n3) ⋅5 ⋅4 ⋅3.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n1 pkt - wyznaczenie liczby wszystkich możliwych ustawień cyfry 4 oraz cyfry 8:\n(8\n3) oraz (5\n2) (lub (8\n2) oraz (6\n3))\nALBO\n- wyznaczenie liczby wszystkich możliwych ustawień cyfr nieparzystych: (8\n3) ⋅5 ⋅4 ⋅3.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nCyfrę 2 umieszczamy na pierwszej pozycji kodu.\nSpośród ośmiu dostępnych pozycji w kodzie wybieramy trzy pozycje, na których umieścimy\nczwórki. Liczba wszystkich takich wyborów jest równa (8\n3).\nPo umieszczeniu czwórek w kodzie mamy pięć dostępnych pozycji. Spośród nich wybieramy\ndwie, na których umieścimy ósemki. Liczba wszystkich takich wyborów jest równa (5\n2).\nPozostały jeszcze trzy nieobsadzone pozycje, na których należy umieścić trzy - parami\nróżne - cyfry nieparzyste. Liczba wszystkich takich możliwych obsadzeń tych trzech pozycji\njest równa 5 ⋅4 ⋅3.\nKorzystamy z reguły mnożenia i obliczamy liczbę wszystkich kodów spełniających warunki\nzadania:\n(8\n3) ⋅(5\n2) ⋅5 ⋅4 ⋅3 = 8 ⋅7 ⋅6\n1 ⋅2 ⋅3 ⋅5 ⋅4\n1 ⋅2 ⋅5 ⋅4 ⋅3 = 33 600","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona","number":"7","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (0-3)\nFunkcja 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑥\n𝑥 - 1 dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥≠1.\nWyznacz wszystkie wartości 𝑎, dla których pochodna funkcji 𝑓 w punkcie 𝑥= 𝑎 jest\nrówna (-1\n2 𝑎).\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 7. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n11.2R) oblicza pochodne funkcji\nwymiernych.\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑎= 2.\n2 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑎, np.\n(2𝑎2 + 1)(𝑎-1) -(𝑎3 + 𝑎) ⋅1\n(𝑎-1)2\n= -1\n2 𝑎\n1 pkt - wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑓, np. 𝑓′(𝑥) =\n(2𝑎𝑥 + 1)(𝑥 - 1) - (𝑎𝑥2 + 𝑥) ⋅ 1\n(𝑥 - 1)2\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nWyznaczamy pochodną funkcji 𝑓:\n𝑓′(𝑥) = (2𝑎𝑥+ 1)(𝑥-1) -(𝑎𝑥2 + 𝑥) ⋅1\n(𝑥-1)2\n= 𝑎𝑥2 -2𝑎𝑥-1\n(𝑥-1)2\ndla każdego 𝑥≠1.\nStąd i z warunku 𝑓′(𝑎) = -1\n2 𝑎 otrzymujemy:\n𝑎3 -2𝑎2 -1\n(𝑎-1)2\n= -1\n2 𝑎 ∧ 𝑎≠1\n2𝑎3 -4𝑎2 -2 = -𝑎(𝑎-1)2 ∧ 𝑎≠1\n3𝑎3 -6𝑎2 + 𝑎-2 = 0 ∧ 𝑎≠1\n3𝑎2(𝑎-2) + (𝑎-2) = 0 ∧ 𝑎≠1\n(3𝑎2 + 1)(𝑎-2) = 0 ∧ 𝑎≠1\n𝑎= 2","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona","number":"8","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (0-3)\nWykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦 prawdziwa\njest nierówność\n𝑥𝑦+ 𝑥+ 𝑦≤𝑥2 + 𝑦2 + 1\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 8. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\nZdający:\n2.1) używa wzorów skróconego mnożenia\nna (𝑎± 𝑏)2 oraz 𝑎2 -𝑏2.\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.\n2 pkt - przekształcenie nierówności do postaci, z której można bezpośrednio wnioskować\no prawdziwości nierówności, np. 0 ≤(𝑥-𝑦)2 + (𝑥-1)2 + (𝑦-1)2\n(dla sposobu I)\nALBO\n- przekształcenie nierówności do postaci uporządkowanej nierówności kwadratowej ze\nwzględu na niewiadomą 𝑥 (lub niewiadomą 𝑦) oraz wyznaczenie i przeprowadzenie\nanalizy znaku wyróżnika odpowiedniego trójmianu kwadratowego, np. poprzez\nzapisanie wyróżnika w postaci, z której można bezpośrednio wnioskować o jego\nznaku, lub poprzez naszkicowanie poprawnego wykresu trójmianu -3𝑦2 + 6𝑦-3\n(dla sposobu II),\nALBO\n- przekształcenie nierówności do postaci 0 ≤(𝑥-1)2 -(𝑥-1)(𝑦-1) + (𝑦-1)2\n(dla sposobu III).\n1 pkt - pomnożenie obu stron nierówności przez 2 i przekształcenie nierówności do postaci,\nw której występuje co najmniej jeden z następujących kwadratów: (𝑥-𝑦)2 lub\n(𝑥-1)2, lub (𝑦-1)2, np. (𝑥-𝑦)2 + 𝑥2 + 𝑦2 -2𝑥-2𝑦+ 2 ≥0 (dla sposobu I)\nALBO\n- przekształcenie nierówności do postaci uporządkowanej nierówności kwadratowej ze\nwzględu na niewiadomą 𝑥 (lub niewiadomą 𝑦) oraz wyznaczenie wyróżnika\nodpowiedniego trójmianu kwadratowego, np. 0 ≤𝑥2 -(𝑦+ 1)𝑥+ (𝑦2 -𝑦+ 1)\noraz Δ = -3𝑦2 + 6𝑦-3 (dla sposobu II),\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nALBO\n- przekształcenie nierówności do postaci 0 ≤[(𝑥-1) -(𝑦-1)]2 + (𝑥-1)(𝑦-1)\n(dla sposobu III).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzekształcamy nierówność równoważnie i otrzymujemy:\n𝑥𝑦+ 𝑥+ 𝑦≤𝑥2 + 𝑦2 + 1\n2𝑥𝑦+ 2𝑥+ 2𝑦≤2𝑥2 + 2𝑦2 + 2\n0 ≤𝑥2 -2𝑥𝑦+ 𝑦2 + 𝑥2 -2𝑥+ 1 + 𝑦2 -2𝑦+ 1\n0 ≤(𝑥-𝑦)2 + (𝑥-1)2 + (𝑦-1)2\nWszystkie składniki sumy (𝑥-𝑦)2 + (𝑥-1)2 + (𝑦-1)2 są nieujemne jako kwadraty\nliczb rzeczywistych, więc nierówność 0 ≤(𝑥-𝑦)2 + (𝑥-1)2 + (𝑦-1)2 jest prawdziwa\ndla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦. Zatem nierówność\n𝑥𝑦+ 𝑥+ 𝑦≤𝑥2 + 𝑦2 + 1 jest również prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 i dla\nkażdej liczby rzeczywistej 𝑦.\nTo należało wykazać.\nSposób II\nPrzekształcamy nierówność równoważnie i otrzymujemy:\n𝑥𝑦+ 𝑥+ 𝑦≤𝑥2 + 𝑦2 + 1\n0 ≤𝑥2 -(𝑦+ 1)𝑥+ (𝑦2 -𝑦+ 1)\nWyróżnik Δ trójmianu 𝑥2 -(𝑦+ 1)𝑥+ (𝑦2 -𝑦+ 1) zmiennej 𝑥 jest równy\nΔ = (𝑦+ 1)2 -4(𝑦2 -𝑦+ 1) = -3𝑦2 + 6𝑦-3 = -3(𝑦-1)2\nWyróżnik jest niedodatni jako iloczyn liczby ujemnej i liczby nieujemnej (𝑦-1)2. Ponadto\nwspółczynnik przy 𝑥2 jest dodatni, więc trójmian 𝑥2 -(𝑦+ 1)𝑥+ (𝑦2 -𝑦+ 1) przyjmuje\ntylko wartości nieujemne. Zatem nierówność 0 ≤𝑥2 -(𝑦+ 1)𝑥+ (𝑦2 -𝑦+ 1) jest\nprawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦, więc również\nnierówność 𝑥𝑦+ 𝑥+ 𝑦≤𝑥2 + 𝑦2 + 1 jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥\ni dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦.\nTo należało wykazać.\nSposób III\nPrzekształcamy nierówność równoważnie i otrzymujemy:\n𝑥𝑦+ 𝑥+ 𝑦≤𝑥2 + 𝑦2 + 1\n0 ≤𝑥2 + 𝑦2 -2𝑥𝑦+ 𝑥𝑦-𝑥-𝑦+ 1\n0 ≤(𝑥-𝑦)2 + 𝑥(𝑦-1) -(𝑦-1)\n0 ≤(𝑥-𝑦)2 + (𝑥-1)(𝑦-1)\n0 ≤[(𝑥-1) -(𝑦-1)]2 + (𝑥-1)(𝑦-1)\n0 ≤(𝑥-1)2 -2(𝑥-1)(𝑦-1) + (𝑦-1)2 + (𝑥-1)(𝑦-1)\n0 ≤(𝑥-1)2 -(𝑥-1)(𝑦-1) + (𝑦-1)2\nTę nierówność możemy równoważnie zapisać w postaci\n0 ≤𝑎2 -𝑎𝑏+ 𝑏2\ngdzie 𝑎= 𝑥-1 oraz 𝑏= 𝑦-1. Zauważmy teraz, że 𝑎2 -𝑎𝑏+ 𝑏2 = (𝑎-1\n2 𝑏)\n2\n+ 3\n4 𝑏2.\nPonieważ kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, więc (𝑎-1\n2 𝑏)\n2\n≥0\noraz 3\n4 𝑏2 ≥0. Zatem suma (𝑎-1\n2 𝑏)\n2\n+ 3\n4 𝑏2 jest nieujemna jako suma liczb\nnieujemnych. To oznacza, że nierówność 0 ≤𝑎2 -𝑎𝑏+ 𝑏2 jest prawdziwa dla każdej\nliczby rzeczywistej 𝑎 i każdej liczby rzeczywistej 𝑏. Tym samym nierówność\n𝑥𝑦+ 𝑥+ 𝑦≤𝑥2 + 𝑦2 + 1 jest również prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 i dla\nkażdej liczby rzeczywistej 𝑦. To należało wykazać.","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":9,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona","number":"9","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (0-3)\nOdcinek 𝐶𝐷 jest wysokością trójkąta równoramiennego 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|.\nProsta 𝑝 jest prostopadła do boku 𝐵𝐶 i przecina ten bok w punkcie 𝐿. Ta prosta przecina\nwysokość 𝐶𝐷 w punkcie 𝐾 oraz przecina bok 𝐴𝐶 w punkcie różnym od 𝐴.\nWykaż, że |∡𝐶𝐴𝐾| = |∡𝐾𝐷𝐿|.\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\nZdający:\n7.1R) stosuje twierdzenia charakteryzujące\nczworokąty wpisane w okrąg i czworokąty\nopisane na okręgu.\nZasady oceniania (dla sposobu I)\n3 pkt - poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.\n2 pkt - zapisanie, że |∡𝐾𝐴𝐶| = |∡𝐾𝐵𝐶| oraz zapisanie wraz z uzasadnieniem, że na\nczworokącie 𝐷𝐵𝐿𝐾 można opisać okrąg\nALBO\n- zapisanie wraz z uzasadnieniem, że na czworokącie 𝐷𝐵𝐿𝐾 można opisać okrąg\noraz zapisanie wraz z uzasadnieniem, że |∡𝐾𝐵𝐿| = |∡𝐾𝐷𝐿|.\n1 pkt - zapisanie, że |∡𝐾𝐴𝐶| = |∡𝐾𝐵𝐶|\nALBO\n- zapisanie wraz z uzasadnieniem, że na czworokącie 𝐷𝐵𝐿𝐾 można opisać okrąg.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania (dla sposobu II)\n3 pkt - poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.\n2 pkt - zapisanie wraz z uzasadnieniem, że na czworokącie 𝑀𝐷𝐿𝐶 można opisać okrąg\noraz zapisanie, że |∡𝐶𝑀𝐿| = |∡𝐶𝐷𝐿|\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nALBO\n- zapisanie wraz z uzasadnieniem, że na czworokącie 𝑀𝐴𝐾𝐶 można opisać okrąg\noraz zapisanie, że |∡𝐶𝑀𝐾| = |∡𝐶𝐴𝐾|,\nALBO\n- zapisanie wraz z uzasadnieniem, że na czworokącie 𝑀𝐷𝐿𝐶 można opisać okrąg\noraz zapisanie wraz z uzasadnieniem, że na czworokącie 𝑀𝐴𝐾𝐶 można opisać\nokrąg.\n1 pkt - zapisanie wraz z uzasadnieniem, że na czworokącie 𝑀𝐷𝐿𝐶 można opisać okrąg\nALBO\n- zapisanie wraz z uzasadnieniem, że na czworokącie 𝑀𝐴𝐾𝐶 można opisać okrąg.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPonieważ trójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest równoramienny i 𝐶𝐷 jest osią symetrii tego trójkąta, więc\n|∡𝐾𝐴𝐶| = |∡𝐾𝐵𝐶| = |∡𝐾𝐵𝐿|.\nPonieważ |∡𝐾𝐷𝐵| = 90° oraz |∡𝐵𝐿𝐾| = 90°, więc na czworokącie 𝐷𝐵𝐿𝐾 można opisać\nokrąg. W tym okręgu kąty wpisane 𝐾𝐷𝐿 i 𝐾𝐵𝐿 są oparte na tym samym łuku, więc mają\nrówne miary. Zatem |∡𝐾𝐴𝐶| = |∡𝐾𝐵𝐿| = |∡𝐾𝐷𝐿|.\nTo należało wykazać.\nSposób II\nNiech 𝑀 będzie punktem przecięcia prostej 𝑝 z prostą 𝐴𝐵. Oznaczmy 𝛼= |∡𝐵𝐶𝐷| oraz\n𝛽= |∡𝐶𝑀𝐿|.\nTrójkąt 𝑀𝐶𝐿 jest prostokątny, więc środek okręgu opisanego na tym trójkącie jest środkiem\nodcinka 𝑀𝐶, a promień tego okręgu jest równy 1\n2 ⋅|𝑀𝐶|. Trójkąt 𝑀𝐷𝐶 jest prostokątny,\nwięc środek okręgu opisanego na tym trójkącie jest środkiem odcinka 𝑀𝐶, a promień tego\nokręgu jest równy 1\n2 ⋅|𝑀𝐶|. Zatem na czworokącie 𝑀𝐷𝐿𝐶 można opisać okrąg. Oznaczmy\nten okrąg przez ℴ1 (zobacz rysunek).\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐾\n𝐿\n𝑝\n𝑀\nℴ1\n𝛼\n𝛽\nKąty 𝐿𝐶𝐷 oraz 𝐿𝑀𝐷 są wpisane w okrąg ℴ1 i oparte na tym samym łuku 𝐿𝐷, więc\n|∡𝐿𝐶𝐷| = |∡𝐿𝑀𝐷| = 𝛼. Ponieważ trójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest równoramienny, więc\n|∡𝐾𝐶𝐴| = |∡𝐷𝐶𝐴| = 𝛼. Zatem |∡𝐾𝐶𝐴| = |∡𝐿𝑀𝐷| = |∡𝐾𝑀𝐴|, a ponieważ punkty 𝐶 oraz\n𝑀 są po tej samej stronie prostej 𝐴𝐾, więc na czworokącie 𝑀𝐴𝐾𝐶 można opisać okrąg.\nOznaczmy ten okrąg przez ℴ2 (zobacz rysunek).\nKąty wpisane 𝐾𝑀𝐶 oraz 𝐾𝐴𝐶 są oparte na tym samym łuku 𝐶𝐾 okręgu ℴ2, więc\n|∡𝐾𝐴𝐶| = |∡𝐾𝑀𝐶| i wobec |∡𝐾𝑀𝐶| = |∡𝐿𝑀𝐶| mamy |∡𝐾𝐴𝐶| = 𝛽.\nKąty wpisane 𝐶𝐷𝐿 oraz 𝐿𝑀𝐶 są oparte na tym samym łuku 𝐶𝐿 okręgu ℴ1, więc\n|∡𝐶𝐷𝐿| = |∡𝐿𝑀𝐶| = 𝛽. Zatem |∡𝐾𝐴𝐶| = 𝛽= |∡𝐶𝐷𝐿| = |∡𝐾𝐷𝐿|.\nTo należało wykazać.","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona","number":"10","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (0-4)\nChleb sprzedawany w pewnym supermarkecie pochodzi z trzech piekarni: 𝒫1, 𝒫2, 𝒫3.\nStosunek liczby bochenków chleba dostarczonego przez piekarnie 𝒫1, 𝒫2 oraz 𝒫3 do tego\nsupermarketu jest - odpowiednio - równy 2 ∶3 ∶4.\nLiczba bochenków chleba razowego dostarczonego do tego supermarketu z piekarni:\n𝒫1 stanowi 10% liczby wszystkich bochenków chleba dostarczonego z tej piekarni\n𝒫2 stanowi 12% liczby wszystkich bochenków chleba dostarczonego z tej piekarni\n𝒫3 stanowi 15% liczby wszystkich bochenków chleba dostarczonego z tej piekarni.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że bochenek chleba losowo\nwybrany w tym supermarkecie pochodzi z piekarni 𝒫1, jeśli wiadomo, że ten chleb jest\nrazowy.\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 10. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n10.2R) oblicza prawdopodobieństwo\nwarunkowe;\n10.3R) korzysta z twierdzenia\no prawdopodobieństwie całkowitym.\nZasady oceniania (dla sposobu I)\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 5\n29 .\n3 pkt - wyznaczenie prawdopodobieństw zdarzeń 𝐴1 ∩𝐵 oraz 𝐵, np. 𝑃(𝐴1 ∩𝐵) = 0,2\n9\noraz 𝑃(𝐵) =\n1,16𝑛\n2𝑛 + 3𝑛 + 4𝑛 ,\nALBO\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐾\n𝐿\n𝑝\n𝑀\nℴ1\nℴ2\n𝛼\n𝛽\n𝛼\n𝛼\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n- zapisanie liczby bochenków chleba razowego dostarczonego przez piekarnię 𝒫1 oraz\nłącznej liczby bochenków chleba razowego dostarczonego przez piekarnie\nw zależności od jednej zmiennej, np. 0,2𝑛 oraz 1,16𝑛.\n2 pkt - wyznaczenie prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐴1 ∩𝐵, np.\n𝑃(𝐴1 ∩𝐵) =\n0,2𝑛\n2𝑛 + 3𝑛 + 4𝑛\nALBO\n- wyznaczenie prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐵, np. 𝑃(𝐵) =\n1,16𝑛\n2𝑛 + 3𝑛 + 4𝑛 ,\nALBO\n- zapisanie liczby bochenków chleba dostarczonego przez poszczególne piekarnie\noraz liczby bochenków chleba razowego dostarczonego przez piekarnię 𝒫1\nw zależności od jednej zmiennej, np. 2𝑛 oraz 3𝑛 i 4𝑛 oraz 0,2𝑛.\n1 pkt - zapisanie liczby bochenków chleba dostarczonego przez poszczególne piekarnie\nw zależności od jednej zmiennej, np. 2𝑛 oraz 3𝑛 i 4𝑛.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania (dla sposobu II)\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 5\n29 .\n3 pkt - obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐵: 𝑃(𝐵) = 116\n900 .\n2 pkt - zapisanie/obliczenie prawdopodobieństw zdarzeń 𝐴1, 𝐴2 i 𝐴3 oraz\nprawdopodobieństw 𝑃(𝐵|𝐴1), 𝑃(𝐵|𝐴2) i 𝑃(𝐵|𝐴3): 𝑃(𝐴1) = 2\n9 oraz 𝑃(𝐴2) = 3\n9 ,\noraz 𝑃(𝐴3) = 4\n9 , oraz 𝑃(𝐵|𝐴1) = 10\n100 , oraz 𝑃(𝐵|𝐴2) = 12\n100 , oraz\n𝑃(𝐵|𝐴3) = 15\n100 .\n1 pkt - zapisanie/obliczenie prawdopodobieństw zdarzeń 𝐴1, 𝐴2 i 𝐴3: 𝑃(𝐴1) = 2\n9 oraz\n𝑃(𝐴2) = 3\n9 , oraz 𝑃(𝐴3) = 4\n9\nALBO\n- zapisanie/obliczenie prawdopodobieństw 𝑃(𝐵|𝐴1), 𝑃(𝐵|𝐴2) i 𝑃(𝐵|𝐴3):\n𝑃(𝐵|𝐴1) = 10\n100 oraz 𝑃(𝐵|𝐴2) = 12\n100 , oraz 𝑃(𝐵|𝐴3) = 15\n100 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nStosunek liczby bochenków chleba dostarczonego przez piekarnie 𝒫1, 𝒫2 oraz 𝒫3 do tego\nsupermarketu jest równy - odpowiednio - 2 ∶3 ∶4, więc liczby bochenków chleba\ndostarczonego do supermarketu przez piekarnie 𝒫1, 𝒫2 oraz 𝒫3 wynoszą - odpowiednio -\n2𝑛, 3𝑛 oraz 4𝑛 (przy pewnym 𝑛 całkowitym dodatnim).\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia:\n𝐴1 - zdarzenie polegające na tym, że wybrany losowo chleb pochodzi z piekarni 𝒫1,\n𝐵 - zdarzenie polegające na tym, że wybrany losowo chleb jest razowy.\nZ warunków zadania wynika, że liczba bochenków chleba razowego dostarczonego\nz piekarni:\n• 𝒫1 jest równa 0,1 ⋅2𝑛= 0,2𝑛\n• 𝒫2 jest równa 0,12 ⋅3𝑛= 0,36𝑛\n• 𝒫3 jest równa 0,15 ⋅4𝑛= 0,6𝑛.\nZatem łączna liczba bochenków chleba razowego dostarczonego do supermarketu jest\nrówna 0,2𝑛+ 0,36𝑛+ 0,6𝑛= 1,16𝑛.\nDlatego 𝑃(𝐵) =\n1,16𝑛\n2𝑛 + 3𝑛 + 4𝑛= 29\n225 oraz 𝑃(𝐴1 ∩𝐵) =\n0,2𝑛\n2𝑛 + 3𝑛 + 4𝑛= 1\n45 .\nObliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że losowo wybrany chleb\npochodzi z piekarni 𝒫1, jeśli wiadomo, że ten chleb jest razowy:\n𝑃(𝐴1|𝐵) = 𝑃(𝐴1 ∩𝐵)\n𝑃(𝐵)\n1\n45\n29\n225\n= 5\n29\nSposób II\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia:\n𝐴1 - zdarzenie polegające na tym, że losowo wybrany chleb pochodzi z piekarni 𝒫1,\n𝐴2 - zdarzenie polegające na tym, że losowo wybrany chleb pochodzi z piekarni 𝒫2,\n𝐴3 - zdarzenie polegające na tym, że losowo wybrany chleb pochodzi z piekarni 𝒫3,\n𝐵 - zdarzenie polegające na tym, że losowo wybrany chleb jest razowy.\nWtedy 𝑃(𝐴1) = 2\n9 , 𝑃(𝐴2) = 3\n9 , 𝑃(𝐴3) = 4\n9 oraz 𝑃(𝐵|𝐴1) = 10\n100 , 𝑃(𝐵|𝐴2) = 12\n100\ni 𝑃(𝐵|𝐴3) = 15\n100 .\nPonieważ zdarzenia 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3 są parami rozłączne i 𝐴1 ∪𝐴2 ∪𝐴3 = Ω oraz\nprawdopodobieństwa tych zdarzeń są dodatnie, więc możemy obliczyć 𝑃(𝐵), stosując wzór\nna prawdopodobieństwo całkowite:\n𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐴1) ⋅𝑃(𝐵|𝐴1) + 𝑃(𝐴2) ⋅𝑃(𝐵|𝐴2) + 𝑃(𝐴3) ⋅𝑃(𝐵|𝐴3) =\n= 2\n9 ⋅10\n100 + 3\n9 ⋅12\n100 + 4\n9 ⋅15\n100 = 116\n900\nStosujemy wzór Bayesa i obliczamy prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrany chleb\npochodzi z piekarni 𝒫1 , jeżeli wiadomo, że ten chleb jest razowy:\n𝑃(𝐴1|𝐵) = 𝑃(𝐴1) ⋅𝑃(𝐵|𝐴1)\n𝑃(𝐵)\n2\n9 ⋅\n10\n100\n116\n900\n= 5\n29\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona","number":"11","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (0-4)\nTrzywyrazowy ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧) jest geometryczny. Jeżeli w tym ciągu pomniejszymy trzeci\nwyraz o 4, a pozostałe wyrazy pozostawimy bez zmian, to otrzymamy ciąg arytmetyczny.\nJeżeli drugi i trzeci wyraz tak otrzymanego ciągu arytmetycznego pomniejszymy o 1, to\notrzymamy nowy ciąg geometryczny.\nOblicz 𝑥, 𝑦 oraz 𝑧.\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 11. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n5.3) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz […] ciągu\narytmetycznego;\n5.4) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz […] ciągu\ngeometrycznego.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 3, 9) oraz\n(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1\n9 , 7\n9 , 49\n9 ).\n3 pkt - obliczenie 𝑟: 𝑟= 2 oraz 𝑟= 2\n3 (dla sposobu I)\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑥 (lub 𝑦, lub 𝑧), np.:\n(5𝑥 + 1\n2\n)\n2\n= 𝑥[2 ⋅(5𝑥 + 1\n2\n) + 4 -𝑥],\n𝑦2 = (2𝑦-8𝑦 + 21\n5\n+ 4) ⋅(8𝑦 + 21\n5\n),\n(\n𝑧 - 5\n4 + 𝑧 - 4\n2\n)\n2\n= 𝑧 - 5\n4\n⋅𝑧 (dla sposobu II),\nALBO\n- obliczenie 𝑞 (lub 𝑥): 𝑞= 3 oraz 𝑞= 7 (lub: 𝑥= 1\n9 oraz 𝑥= 1)\n(dla sposobu III).\n2 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑟, np. 𝑟2 = 4(𝑟2 -2𝑟+ 1)\n(dla sposobu I)\nALBO\n- zapisanie układu dwóch niezależnych równań z dwiema niewiadomymi 𝑥, 𝑦 (lub 𝑦,\n𝑧, lub 𝑧, 𝑥), np.:\n𝑦2 = 𝑥(2𝑦+ 4 -𝑥) oraz (𝑦-1)2 = 𝑥(2𝑦-𝑥-1),\n𝑦2 = (2𝑦-𝑧+ 4)𝑧 oraz (𝑦-1)2 = (2𝑦-𝑧+ 4)(𝑧-5),\n(𝑥 + 𝑧 - 4\n2\n)\n2\n= 𝑥𝑧 oraz (𝑥 + 𝑧 - 4\n2\n-1)\n2\n= 𝑥(𝑧-5) (dla sposobu II),\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑞 (lub 𝑥), np.\n1\n2𝑞 - 5 =\n4\n(𝑞 - 1)2 (dla sposobu III).\n1 pkt - zapisanie układu dwóch niezależnych równań z dwiema niewiadomymi (z których\njedną jest 𝑟), np.\n(𝑥+ 𝑟)2 = 𝑥(𝑥+ 2𝑟+ 4) oraz (𝑥+ 𝑟-1)2 = 𝑥(𝑥+ 2𝑟+ 4 -5)\n(dla sposobu I)\nALBO\n- wyznaczenie 𝑥 w zależności od 𝑟, np. 𝑥= 𝑟2 -2𝑟+ 1 (dla sposobu I),\nALBO\n- zapisanie układu trzech niezależnych równań z trzema niewiadomymi 𝑥, 𝑦, 𝑧, np.:\n𝑦2 = 𝑥⋅𝑧 oraz 𝑦= 𝑥 + 𝑧 - 4\n2\noraz (𝑦-1)2 = 𝑥⋅(𝑧-5) (dla sposobu II),\nALBO\n- zapisanie równania z dwiema niewiadomymi 𝑥, 𝑦 (lub 𝑦, 𝑧, lub 𝑧, 𝑥), np.\n𝑦2 = 𝑥(2𝑦+ 4 -𝑥), (𝑦-1)2 = (2𝑦-𝑧+ 4) ⋅(𝑧-5) (dla sposobu II),\nALBO\n- zapisanie układu dwóch niezależnych równań z dwiema niewiadomymi (z których\njedną jest 𝑞), np.\n𝑥𝑞= 𝑥 + 𝑥𝑞2 - 4\n2\noraz (𝑥𝑞-1)2 = 𝑥⋅(𝑥𝑞2 -5) (dla sposobu III),\nALBO\n- wyznaczenie 𝑥 w zależności od 𝑞 (lub 𝑞 w zależności od 𝑥), np.\n𝑥=\n4\n(𝑞 - 1)2 (dla sposobu III).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający przyjmuje, że 𝑦= √𝑥⋅𝑧, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe\nrozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający otrzyma więcej niż dwa ciągi (𝑥, 𝑦, 𝑧), wśród których dwa są właściwe:\n(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 3, 9) oraz (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1\n9 , 7\n9 , 49\n9 ), i nie odrzuci pozostałych ciągów, to może\notrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający myli ciąg geometryczny z arytmetycznym, to otrzymuje 0 punktów za całe\nrozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I (poprzez 𝑟)\nNiech 𝑟 oznacza różnicę ciągu arytmetycznego (𝑥, 𝑦, 𝑧-4). Wówczas 𝑦= 𝑥+ 𝑟 oraz\n𝑧= 𝑥+ 2𝑟+ 4. Ponieważ ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧) jest geometryczny, więc korzystamy z własności\nciągu geometrycznego i otrzymujemy:\n(𝑥+ 𝑟)2 = 𝑥(𝑥+ 2𝑟+ 4)\n𝑥2 + 2𝑥𝑟+ 𝑟2 = 𝑥2 + 2𝑥𝑟+ 4𝑥\n𝑟2 = 4𝑥\nPonieważ ciąg (𝑥, 𝑦-1, 𝑧-5) jest geometryczny, więc korzystamy z własności ciągu\ngeometrycznego i otrzymujemy:\n(𝑥+ 𝑟-1)2 = 𝑥(𝑥+ 2𝑟+ 4 -5)\n(𝑥+ 𝑟)2 -2 ⋅(𝑥+ 𝑟) ⋅1 + 12 = 𝑥2 + 2𝑥𝑟-𝑥\n𝑥2 + 2𝑥𝑟+ 𝑟2 -2𝑥-2𝑟+ 1 = 𝑥2 + 2𝑥𝑟-𝑥\n𝑟2 -2𝑟+ 1 = 𝑥\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nStąd z i zależności 𝑟2 = 4𝑥 otrzymujemy:\n𝑟2 = 4(𝑟2 -2𝑟+ 1)\n0 = 3𝑟2 -8𝑟+ 4\n𝑟= 2 ∨ 𝑟= 2\n3\nGdy 𝑟= 2, to 𝑥= 𝑟2 -2𝑟+ 1 = 1, 𝑦= 𝑥+ 𝑟= 3 oraz 𝑧= 𝑥+ 2𝑟+ 4 = 9.\nPonieważ ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 3, 9) jest geometryczny, ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧-4) = (1, 3, 5) jest\narytmetyczny, a ciąg (𝑥, 𝑦-1, 𝑧-5) = (1, 2, 4) jest geometryczny, więc trójka liczb\n(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 3, 9) spełnia warunki zadania.\nGdy 𝑟= 2\n3 , to 𝑥= 𝑟2 -2𝑟+ 1 = 1\n9 , 𝑦= 𝑥+ 𝑟= 7\n9 oraz 𝑧= 𝑥+ 2𝑟+ 4 = 49\n9 .\nPonieważ ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1\n9 , 7\n9 , 49\n9 ) jest geometryczny, ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧-4) = (1\n9 , 7\n9 , 13\n9 )\njest arytmetyczny, a ciąg (𝑥, 𝑦-1, 𝑧-5) = (1\n9 , -2\n9 , 4\n9) jest geometryczny, więc trójka\nliczb (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1\n9 , 7\n9 , 49\n9 ) także spełnia warunki zadania.\nOstatecznie rozwiązaniami zadania są dwie trójki liczb: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 3, 9) oraz\n(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1\n9 , 7\n9 , 49\n9 ).\nSposób Ia (poprzez 𝑟)\nNiech 𝑟 oznacza różnicę ciągu arytmetycznego (𝑥, 𝑦, 𝑧-4). Wówczas 𝑥= 𝑦-𝑟 oraz\n𝑧= 𝑦+ 𝑟+ 4. Ponieważ ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧) jest geometryczny, więc korzystamy z własności\nciągu geometrycznego i otrzymujemy:\n𝑦2 = (𝑦-𝑟)(𝑦+ 𝑟+ 4)\n𝑦2 = 𝑦2 -𝑟2 + 4(𝑦-𝑟)\n𝑟2 + 4𝑟= 4𝑦\nPonieważ ciąg (𝑥, 𝑦-1, 𝑧-5) jest geometryczny, więc ciąg (𝑦-𝑟, 𝑦-1, 𝑦+ 𝑟-1)\njest geometryczny. Korzystamy z własności ciągu geometrycznego i otrzymujemy:\n(𝑦-1)2 = (𝑦-𝑟)(𝑦+ 𝑟-1)\n𝑦2 -2𝑦+ 1 = 𝑦2 -𝑟2 -(𝑦-𝑟)\n𝑟2 -𝑟+ 1 = 𝑦\nStąd z i zależności 𝑟2 + 4𝑟= 4𝑦 otrzymujemy:\n𝑟2 + 4𝑟= 4(𝑟2 -𝑟+ 1)\n0 = 3𝑟2 -8𝑟+ 4\n𝑟= 2 ∨ 𝑟= 2\n3\nGdy 𝑟= 2, to 𝑦= 𝑟2 -𝑟+ 1 = 3, 𝑥= 𝑦-𝑟= 1 oraz 𝑧= 𝑦+ 𝑟+ 4 = 9.\nPonieważ ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 3, 9) jest geometryczny, ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧-4) = (1, 3, 5) jest\narytmetyczny, a ciąg (𝑥, 𝑦-1, 𝑧-5) = (1, 2, 4) jest geometryczny, więc trójka liczb\n(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 3, 9) spełnia warunki zadania.\nGdy 𝑟= 2\n3 , to 𝑦= 𝑟2 -𝑟+ 1 = 7\n9 , 𝑥= 𝑦-𝑟= 1\n9 oraz 𝑧= 𝑦+ 𝑟+ 4 = 49\n9 . Ponieważ\nciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1\n9 , 7\n9 , 49\n9 ) jest geometryczny, ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧-4) = (1\n9 , 7\n9 , 13\n9 ) jest\narytmetyczny, a ciąg (𝑥, 𝑦-1, 𝑧-5) = (1\n9 , -2\n9 , 4\n9) jest geometryczny, więc trójka liczb\n(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1\n9 , 7\n9 , 49\n9 ) także spełnia warunki zadania.\nOstatecznie rozwiązaniami zadania są dwie trójki liczb: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 3, 9) oraz\n(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1\n9 , 7\n9 , 49\n9 ).\nSposób II\nZ własności ciągu geometrycznego otrzymujemy\n𝑦2 = 𝑥⋅𝑧\nZ własności ciągu arytmetycznego i warunków zadania otrzymujemy\n𝑦= 𝑥+ 𝑧-4\n2\nCiąg (𝑥, 𝑦-1, 𝑧-5) jest geometryczny, więc\n(𝑦-1)2 = 𝑥⋅(𝑧-5)\nStąd i ze związku 𝑦2 = 𝑥⋅𝑧 otrzymujemy:\n(𝑦-1)2 = 𝑥𝑧-5𝑥\n𝑦2 -2𝑦+ 1 = 𝑦2 -5𝑥\n𝑦= 5𝑥+ 1\n2\nPonieważ 𝑦= 𝑥 + 𝑧 - 4\n2\noraz 𝑦= 5𝑥 + 1\n2\n, więc:\n𝑥+ 𝑧-4\n2\n= 5𝑥+ 1\n2\n𝑧= 4𝑥+ 5\nZe związków 𝑦2 = 𝑥⋅𝑧, 𝑦= 5𝑥 + 1\n2\noraz 𝑧= 4𝑥+ 5 otrzymujemy:\n(5𝑥+ 1\n2\n)\n2\n= 𝑥(4𝑥+ 5)\n25𝑥2 + 10𝑥+ 1 = 16𝑥2 + 20𝑥\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n9𝑥2 -10𝑥+ 1 = 0\n𝑥= 1 ∨ 𝑥= 1\n9\nDla 𝑥= 1 otrzymujemy 𝑦= 3 i 𝑧= 9. Wówczas ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 3, 9) jest\ngeometryczny, ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧-4) = (1, 3, 5) jest arytmetyczny, a ciąg\n(𝑥, 𝑦-1, 𝑧-5) = (1, 2, 4) jest geometryczny.\nTo oznacza, że trójka liczb (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 3, 9) spełnia warunki zadania.\nDla 𝑥= 1\n9 otrzymujemy 𝑦= 7\n9 i 𝑧= 49\n9 . Wówczas ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1\n9 , 7\n9 , 49\n9 ) jest\ngeometryczny, ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧-4) = (1\n9 , 7\n9 , 13\n9 ) jest arytmetyczny, a ciąg\n(𝑥, 𝑦-1, 𝑧-5) = (1\n9 , -2\n9 , 4\n9) jest geometryczny.\nZatem trójka liczb (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1\n9 , 7\n9 , 49\n9 ) także spełnia warunki zadania.\nOstatecznie rozwiązaniami zadania są dwie trójki liczb: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 3, 9) oraz\n(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1\n9 , 7\n9 , 49\n9 ).\nSposób III (poprzez 𝑞)\nNiech 𝑞 oznacza iloraz ciągu geometrycznego (𝑥, 𝑦, 𝑧). Wówczas 𝑦= 𝑥𝑞 oraz 𝑧= 𝑥𝑞2.\nPonieważ ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧-4) jest arytmetyczny, więc korzystamy z własności ciągu\narytmetycznego i otrzymujemy:\n𝑥𝑞= 𝑥+ 𝑥𝑞2 -4\n2\n2𝑥𝑞= 𝑥+ 𝑥𝑞2 -4\n4 = 𝑥(𝑞2 -2𝑞+ 1)\nDla 𝑞= 1 równanie 4 = 𝑥(𝑞2 -2𝑞+ 1) jest sprzeczne, więc\n𝑥=\n4\n(𝑞-1)2 ∧ 𝑞≠1\nPonieważ (𝑥, 𝑦-1, 𝑧-5) jest geometryczny, więc:\n(𝑥𝑞-1)2 = 𝑥⋅(𝑥𝑞2 -5)\n𝑥2𝑞2 -2𝑥𝑞+ 1 = 𝑥2𝑞2 -5𝑥\n1 = (2𝑞-5)𝑥\nDla 𝑞= 5\n2 równanie 1 = (2𝑞-5)𝑥 jest sprzeczne, więc\n𝑥=\n1\n2𝑞-5 ∧ 𝑞≠5\n2\nZatem 𝑞≠1 i 𝑞≠5\n2 oraz:\n1\n2𝑞-5 =\n4\n(𝑞-1)2\n(𝑞-1)2 = 4(2𝑞-5)\n𝑞2 -10𝑞+ 21 = 0\n𝑞= 3 ∨ 𝑞= 7\nGdy 𝑞= 3, to (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 3, 9). Ponieważ ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 3, 9) jest geometryczny,\nciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧-4) = (1, 3, 5) jest arytmetyczny, a ciąg (𝑥, 𝑦-1, 𝑧-5) = (1, 2, 4) jest\ngeometryczny, więc trójka liczb (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 3, 9) spełnia warunki zadania.\nGdy 𝑞= 7, to (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1\n9 , 7\n9 , 49\n9 ). Ponieważ ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1\n9 , 7\n9 , 49\n9 ) jest\ngeometryczny, ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧-4) = (1\n9 , 7\n9 , 13\n9 ) jest arytmetyczny, a ciąg\n(𝑥, 𝑦-1, 𝑧-5) = (1\n9 , -2\n9 , 4\n9) jest geometryczny, więc trójka liczb (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1\n9 , 7\n9 , 49\n9 )\ntakże spełnia warunki zadania.\nOstatecznie rozwiązaniami zadania są dwie trójki liczb: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 3, 9) oraz\n(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1\n9 , 7\n9 , 49\n9 ).","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona","number":"12","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12. (0-4)\nPole czworokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷 wpisanego w okrąg jest równe 18. Boki 𝐴𝐵 i 𝐵𝐶 są prostopadłe,\na ponadto |𝐴𝐵| = 4 oraz |𝐵𝐶| = 7.\nOblicz obwód tego czworokąta.\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n7.1R) stosuje twierdzenia charakteryzujące\nczworokąty wpisane w okrąg i czworokąty\nopisane na okręgu.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 20.\n3 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą (długością jednej z przyprostokątnych\ntrójkąta 𝐴𝐶𝐷), np. 𝑐2 + (8\n𝑐)\n2\n= 65\nALBO\n- zapisanie równania (𝑐+ 𝑑)2 = 81,\nALBO\n- obliczenie długości odcinków 𝐴𝐸 oraz 𝐸𝐶 (dla jednego przypadku): 1\n√65 i 64\n√65 .\n2 pkt - zapisanie układu równań niezależnych z dwiema niewiadomymi 𝑐 i 𝑑, np. 1\n2 𝑐𝑑= 4\noraz 𝑐2 + 𝑑2 = (√65)\n2 (dla sposobu I)\nALBO\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą (długością odcinka 𝐴𝐸 lub 𝐸𝐶), np.\n√65-𝑥\n8\n√65\n8\n√65\n𝑥 (dla sposobu II).\n1 pkt - obliczenie pola trójkąta 𝐴𝐶𝐷 i zapisanie, że trójkąt 𝐴𝐶𝐷 jest prostokątny (lub\ndokonanie zapisów, z których wynika, że zdający traktuje ten trójkąt jako\nprostokątny), np. 𝑃𝐴𝐶𝐷= 4 oraz 1\n2 𝑐𝑑= 4.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga.\nJeżeli zdający uzyska tylko jeden czworokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷 spełniający warunki zadania i nie\nskomentuje, że drugi czworokąt spełniający warunki zadania różni się tylko permutacją\ndługości boków 𝐴𝐷 i 𝐶𝐷, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia: 𝑐= |𝐶𝐷| oraz 𝑑= |𝐴𝐷|.\nPonieważ czworokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest wpisany w okrąg i odcinki 𝐴𝐵 oraz 𝐶𝐷 są prostopadłe,\nwięc trójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest prostokątny, a odcinek 𝐴𝐶 jest średnicą tego okręgu. Wobec tego\ntrójkąt 𝐴𝐶𝐷 również jest prostokątny.\nPole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest równe 1\n2 ⋅4 ⋅7 = 14. Pole czworokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równe 18, więc\npole trójkąta 𝐴𝐶𝐷 jest równe 4. Zatem\n1\n2 𝑐𝑑= 4\nZ twierdzenia Pitagorasa dla trójkątów 𝐴𝐵𝐶 i 𝐴𝐶𝐷 otrzymujemy:\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n4\n7\n𝑑\n𝑐\n|𝐴𝐵|2 + |𝐵𝐶|2 = |𝐴𝐶|2 = |𝐶𝐷|2 + |𝐴𝐷|2\n42 + 72 = 𝑐2 + 𝑑2\nStąd i z zależności 1\n2 𝑐𝑑= 4 otrzymujemy dalej:\n𝑐2 + 𝑑2 = 65\n𝑐2 + 2𝑐𝑑+ 𝑑2 = 65 + 4 ⋅4\n(𝑐+ 𝑑)2 = 81\n𝑐+ 𝑑= 9\ngdyż 𝑐 i 𝑑 to liczby dodatnie.\nWyznaczając z tego równania 𝑑= 9 -𝑐 i wstawiając do równania 1\n2 𝑐𝑑= 4, otrzymujemy:\n1\n2 𝑐(9 -𝑐) = 4\n0 = 𝑐2 -9𝑐+ 8\n𝑐= 1 ∨ 𝑐= 8\nGdy 𝑐= 1, to 𝑑= 8.\nGdy 𝑐= 8, to 𝑑= 1.\nOtrzymaliśmy dwa czworokąty spełniające warunki zadania. Obwód 𝐿 każdego z nich jest\nrówny\n𝐿= 4 + 7 + 1 + 8 = 20\nSposób II\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia:\n𝑐 - długość odcinka 𝐶𝐷,\n𝑑 - długość odcinka 𝐴𝐷,\n𝐸 - punkt przecięcia prostej 𝐴𝐶 z prostą do niej prostopadłą i przechodzącą przez punkt 𝐷,\nℎ - wysokość trójkąta 𝐴𝐶𝐷 opuszczona z wierzchołka 𝐷,\n𝑥 - długość odcinka 𝐴𝐸 (zobacz rysunek).\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPonieważ czworokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest wpisany w okrąg i odcinki 𝐴𝐵 oraz 𝐶𝐷 są prostopadłe,\nwięc trójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest prostokątny, a odcinek 𝐴𝐶 jest średnicą tego okręgu. Wobec tego\ntrójkąt 𝐴𝐶𝐷 również jest prostokątny.\nZ twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝐴𝐵𝐶 otrzymujemy:\n|𝐴𝐵|2 + |𝐵𝐶|2 = |𝐴𝐶|2\n42 + 72 = |𝐴𝐶|2\n|𝐴𝐶| = √65\nPole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest równe 1\n2 ⋅4 ⋅7 = 14. Pole czworokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równe 18, więc\npole trójkąta 𝐴𝐶𝐷 jest równe 4. Zatem:\n1\n2 ⋅|𝐴𝐶| ⋅ℎ= 4\n1\n2 ⋅√65 ⋅ℎ= 4\nℎ=\n8\n√65\nPonieważ ℎ jest wysokością trójkąta prostokątnego opuszczoną na przeciwprostokątną,\nwięc:\nℎ2 = |𝐴𝐸| ⋅|𝐸𝐶|\n( 8\n√65\n)\n2\n= 𝑥⋅(√65 -𝑥)\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\nℎ\n𝐸\n𝑆\n4\n7\n𝑑\n𝑐\n𝑥\n𝑥2 -√65𝑥+ 64\n65 = 0\nΔ = (-√65)\n2 -4 ⋅1 ⋅64\n65 = 652 -162\n65\n= 49 ⋅81\n65\n𝑥=\n√65 -\n7⋅9\n√65\n2 ⋅1\n1\n√65\n∨ 𝑥=\n√65 +\n7⋅9\n√65\n2 ⋅1\n= 64\n√65\nGdy 𝑥=\n1\n√65 , to |𝐸𝐶| = √65 -𝑥= 64\n√65 i wówczas:\n𝑐2 = ℎ2 + |𝐸𝐶|2\n𝑐2 = 64\n65 + 642\n65\n𝑐= 8\noraz:\n𝑑2 = ℎ2 + 𝑥2\n𝑑2 = 64\n65 + 1\n65\n𝑑= 1\nGdy 𝑥= 64\n√65 , to |𝐸𝐶| = √65 -𝑥=\n1\n√65 i wówczas:\n𝑐2 = ℎ2 + |𝐸𝐶|2\n𝑐2 = 64\n65 + 1\n65\n𝑐= 1\noraz:\n𝑑2 = ℎ2 + 𝑥2\n𝑑2 = 64\n65 + 642\n65\n𝑑= 8\nOtrzymaliśmy dwa czworokąty spełniające warunki zadania. Obwód 𝐿 każdego z nich jest\nrówny\n𝐿= 4 + 7 + 1 + 8 = 20\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/13","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona","number":"13","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13. (0-4)\nRozwiąż równanie\nsin 𝑥+ sin(2𝑥) -cos 𝑥= 1\n2\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 13. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n6.6R) rozwiązuje równania i nierówności\ntrygonometryczne […].\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝜋\n6 + 2𝜋𝑘 oraz 5𝜋\n6 + 2𝜋𝑘, oraz\n2𝜋\n3 + 2𝜋𝑘, oraz -2𝜋\n3 + 2𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ.\n3 pkt - rozwiązanie równania sin 𝑥= 1\n2 w zbiorze ℝ, np.\n𝑥= 𝜋\n6 + 2𝜋𝑘 oraz 𝑥= 5𝜋\n6 + 2𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ\nALBO\n- rozwiązanie równania cos 𝑥= -1\n2 w zbiorze ℝ, np.\n𝑥= 2𝜋\n3 + 2𝜋𝑘 oraz 𝑥= -2𝜋\n3 + 2𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ.\n2 pkt - przekształcenie równania do postaci alternatywy dwóch elementarnych równań\ntrygonometrycznych: sin 𝑥= 1\n2 lub cos 𝑥= -1\n2 .\n1 pkt - zastosowanie wzoru na sinus podwojonego argumentu i zapisanie równania\nw postaci sin 𝑥+ 2 sin 𝑥cos 𝑥-cos 𝑥= 1\n2 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzekształcamy równanie sin 𝑥+ sin(2𝑥) -cos 𝑥= 1\n2 równoważnie, stosując wzór na\nsinus podwojonego argumentu:\nsin 𝑥+ sin(2𝑥) -cos 𝑥= 1\n2\nsin 𝑥+ 2 sin 𝑥cos 𝑥-cos 𝑥-1\n2 = 0\nsin 𝑥(1 + 2 cos 𝑥) -1\n2 ⋅(2 cos 𝑥+ 1) = 0\n(sin 𝑥-1\n2) (2 cos 𝑥+ 1) = 0\nsin 𝑥= 1\n2 ∨ cos 𝑥= -1\n2\n𝑥= 𝜋\n6 + 2𝜋𝑘 ∨ 𝑥= 5𝜋\n6 + 2𝜋𝑘 ∨ 𝑥= 2𝜋\n3 + 2𝜋𝑘 ∨ 𝑥= -2𝜋\n3 + 2𝜋𝑘\ngdzie 𝑘∈ℤ.","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/14","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona","number":"14","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 14. (0-5)\nWyznacz wszystkie wartości parametru 𝑚, dla których równanie\n𝑥2 + 𝑚𝑥+ 𝑚= 0\nma dwa różne rozwiązania rzeczywiste 𝑥1 oraz 𝑥2 spełniające warunek\n𝑥1\n4 + 𝑥2\n4 + 4 ⋅𝑥1\n3 ⋅𝑥2\n3 ≥3\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 14. (0-5)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n3.1R) stosuje wzory Viète’a;\n3.2R) rozwiązuje równania i nierówności\nliniowe i kwadratowe z parametrem.\nZasady oceniania\nRozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.\nPierwszy etap polega na rozwiązaniu nierówności ∆ > 0. Za poprawne wykonanie tego\netapu zdający otrzymuje 1 punkt.\n1 pkt - poprawne rozwiązanie nierówności ∆ > 0: 𝑚∈(-∞, 0) ∪(4, +∞).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga.\nJeżeli zdający rozwiązuje warunek ∆ ≥0, to za tę część rozwiązania otrzymuje 0 punktów.\nDrugi etap polega na wyznaczeniu tych wartości parametru 𝑚, dla których jest spełniony\nwarunek 𝑥1\n4 + 𝑥2\n4 + 4 ⋅𝑥1\n3 ⋅𝑥2\n3 ≥3. Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje\n3 punkty.\nPodział punktów za drugi etap rozwiązania:\n3 pkt - rozwiązanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚 równoważnej warunkowi\n𝑥1\n4 + 𝑥2\n4 + 4 ⋅𝑥1\n3 ⋅𝑥2\n3 ≥3: 𝑚∈(-∞, -1] ∪[1, +∞).\n2 pkt - zapisanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚 równoważnej warunkowi\n𝑥1\n4 + 𝑥2\n4 + 4 ⋅𝑥1\n3 ⋅𝑥2\n3 ≥3, np. [(-𝑚)2 -2𝑚]2 -2𝑚2 + 4𝑚3 ≥3.\n1 pkt - przekształcenie nierówności 𝑥1\n4 + 𝑥2\n4 + 4 ⋅𝑥1\n3 ⋅𝑥2\n3 ≥3 do postaci pozwalającej na\nbezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a, np.\n[(𝑥1 + 𝑥2)2 -2 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2]2 -2(𝑥1 ⋅𝑥2)2 + 4(𝑥1 ⋅𝑥2)3 ≥3.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nTrzeci etap polega na wyznaczeniu wszystkich wartości parametru 𝑚, które spełniają\njednocześnie warunki ∆ > 0 oraz 𝑥1\n4 + 𝑥2\n4 + 4 ⋅𝑥1\n3 ⋅𝑥2\n3 ≥3: 𝑚∈(-∞, -1] ∪(4, +∞).\nZa poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.\n1 pkt - poprawne wyznaczenie wszystkich wartości parametru 𝑚, które spełniają\njednocześnie warunki ∆ > 0 oraz 𝑥1\n4 + 𝑥2\n4 + 4 ⋅𝑥1\n3 ⋅𝑥2\n3 ≥3:\n𝑚∈(-∞, -1] ∪(4, +∞).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający w którymś z etapów I-II popełni błąd, który nie jest błędem rachunkowym,\nto za III etap otrzymuje 0 punktów.\n2. Jeżeli zdający w etapach I-II nie popełni błędów innych niż rachunkowe i otrzyma zbiory\nrozwiązań, które nie są rozłączne i żaden z nich nie jest zbiorem liczb rzeczywistych,\na następnie poprawnie wyznaczy część wspólną zbiorów rozwiązań z etapów I-II, to za III\nZasady oceniania rozwiązań zadań\netap otrzymuje 1 punkt; natomiast jeżeli otrzyma zbiory rozwiązań, które są rozłączne lub\nco najmniej jeden z nich jest zbiorem liczb rzeczywistych, to za III etap otrzymuje\n0 punktów.\n3. Jeżeli zdający w II etapie rozwiązania popełni błąd - przyjmie, że 𝑥1 ⋅𝑥2 = -𝑚 lub\n𝑥1 + 𝑥2 = ± 𝑏\n2𝑎 , to za II etap może otrzymać co najwyżej 2 punkty (1 punkt za\nprzekształcenie nierówności 𝑥1\n4 + 𝑥2\n4 + 4 ⋅𝑥1\n3 ⋅𝑥2\n3 ≥3 do postaci pozwalającej na\nbezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a oraz 1 punkt za konsekwentne rozwiązanie\nnierówności do końca), a za III etap otrzymuje 0 punktów.\n4. Jeżeli zdający wprowadza dodatkowe założenie, które nie wynika z warunków zadania\n(np. 𝑥1 + 𝑥2 > 0), to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 4 punkty (co\nnajwyżej 1 punkt za I etap i co najwyżej 3 punkty za II etap).\n5. Jeżeli zdający podczas przekształcania nierówności 𝑥1\n4 + 𝑥2\n4 + 4 ⋅𝑥1\n3 ⋅𝑥2\n3 ≥3 do postaci\npozwalającej na zastosowanie wzorów Viète’a popełni błąd, który nie jest błędem\nrachunkowym, ale otrzyma nierówność, która po poprawnym zastosowaniu wzorów\nViète’a prowadzi do nierówności wielomianowej stopnia czwartego, to za II etap może\notrzymać co najwyżej 2 punkty (1 punkt za poprawne zastosowanie wzorów Viète’a oraz\n1 punkt za konsekwentne rozwiązanie nierówności do końca), a za III etap otrzymuje\n0 punktów.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nRównanie 𝑥2 + 𝑚𝑥+ 𝑚= 0 ma dokładnie dwa różne rozwiązania rzeczywiste tylko\nwówczas, gdy wyróżnik Δ trójmianu kwadratowego 𝑥2 + 𝑚𝑥+ 𝑚 jest dodatni.\nRozwiązujemy warunek Δ > 0:\n𝑚2 -4𝑚> 0\n𝑚(𝑚-4) > 0\n𝑚∈(-∞, 0) ∪(4, +∞)\nPrzekształcamy warunek 𝑥1\n4 + 𝑥2\n4 + 4 ⋅𝑥1\n3 ⋅𝑥2\n3 ≥3 do postaci pozwalającej na\nbezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a i rozwiązujemy uzyskaną nierówność\nz niewiadomą 𝑚:\n𝑥1\n4 + 𝑥2\n4 + 4 ⋅𝑥1\n3 ⋅𝑥2\n3 ≥3\n(𝑥1\n2 + 𝑥2\n2)2 -2 ⋅𝑥1\n2 ⋅𝑥2\n2 + 4 ⋅𝑥1\n3 ⋅𝑥2\n3 ≥3\n[(𝑥1 + 𝑥2)2 -2 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2]2 -2(𝑥1 ⋅𝑥2)2 + 4(𝑥1 ⋅𝑥2)3 ≥3\n[(-𝑚)2 -2𝑚]2 -2𝑚2 + 4𝑚3 ≥3\n𝑚4 + 2𝑚2 -3 ≥0\n𝑚4 -𝑚2 + 3𝑚2 -3 ≥0\n(𝑚2 -1)(𝑚2 + 3) ≥0\n(𝑚-1)(𝑚+ 1)(𝑚2 + 3) ≥0\n𝑚∈(-∞, -1] ∪[1, +∞)\nWyznaczamy wszystkie wartości parametru 𝑚, które jednocześnie spełniają warunki Δ > 0\noraz 𝑥1\n4 + 𝑥2\n4 + 4 ⋅𝑥1\n3 ⋅𝑥2\n3 ≥3: 𝑚∈(-∞, -1] ∪(4, +∞).","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona","number":"15","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 15. (0-5)\nOstrosłup prawidłowy czworokątny 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆 o podstawie 𝐴𝐵𝐶𝐷 ma objętość równą 36√3.\nTen ostrosłup przecięto płaszczyzną 𝛾, która:\njest prostopadła do ściany bocznej 𝐶𝐷𝑆 ostrosłupa\nprzechodzi przez środek 𝐾 krawędzi 𝐴𝐷 oraz środek 𝐿 krawędzi 𝐵𝐶\nprzecina krawędź boczną 𝐶𝑆 w punkcie 𝑀 oraz krawędź boczną 𝐷𝑆 w punkcie 𝑁\ntworzy z płaszczyzną podstawy 𝐴𝐵𝐶𝐷 kąt o mierze 30°.\nPrzekrój 𝐾𝐿𝑀𝑁 wyznaczony przez płaszczyznę 𝛾 jest trapezem równoramiennym.\nOblicz pole trapezu 𝐾𝐿𝑀𝑁.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐾\n𝐿\n𝑆\n𝑀\n𝑁\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 15. (0-5)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n9.1) rozpoznaje w graniastosłupach\ni ostrosłupach kąty między odcinkami (np.\nkrawędziami, krawędziami i przekątnymi,\nitp.), oblicza miary tych kątów;\n9.4) rozpoznaje w graniastosłupach\ni ostrosłupach kąty między ścianami;\n9.6) stosuje trygonometrię do obliczeń\ndługości odcinków, miar kątów, pól\npowierzchni i objętości.\n9.2R) określa, jaką figurą jest dany przekrój\ngraniastosłupa lub ostrosłupa płaszczyzną.\nZasady oceniania\nRozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.\nPierwszy etap polega na obliczeniu długości krawędzi podstawy ostrosłupa. Za poprawne\nwykonanie tego etapu zdający otrzymuje 2 punkty.\nPodział punktów za pierwszy etap rozwiązania:\n2 pkt - obliczenie długości krawędzi podstawy: 𝑎= 6.\n1 pkt - wyznaczenie wysokości ostrosłupa w zależności od długości krawędzi podstawy:\n𝐻= 𝑎√3\n2 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nDrugi etap polega na wyznaczeniu długości krótszej podstawy trapezu oraz wysokości\ntrapezu w zależności od długości krawędzi podstawy ostrosłupa. Za poprawne wykonanie\ntego etapu zdający otrzymuje 2 punkty.\nPodział punktów za drugi etap rozwiązania:\n2 pkt - wyznaczenie długości krótszej podstawy trapezu oraz wysokości trapezu\nw zależności od długości krawędzi podstawy ostrosłupa: |𝑀𝑁| = 3\n4 𝑎 oraz\n|𝑃𝑅| = 𝑎√3\n4\nALBO\n- obliczenie długości krótszej podstawy trapezu oraz wysokości trapezu: |𝑀𝑁| = 18\n4\noraz |𝑃𝑅| = 6√3\n4 .\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n1 pkt - wyznaczenie długości krótszej podstawy trapezu lub wysokości trapezu w zależności\nod długości krawędzi podstawy ostrosłupa: |𝑀𝑁| = 3\n4 𝑎 lub |𝑃𝑅| = 𝑎√3\n4\nALBO\n- obliczenie długości krótszej podstawy trapezu lub wysokości trapezu: |𝑀𝑁| = 18\n4\nlub |𝑃𝑅| = 6√3\n4 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nTrzeci etap polega na obliczeniu pola trapezu.\nZa poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.\n1 pkt - obliczenie pola przekroju ostrosłupa: 63√3\n8\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia:\n𝑃 - środek odcinka 𝐾𝐿,\n𝑄 - środek krawędzi 𝐶𝐷,\n𝑅 - środek odcinka 𝑀𝑁,\n𝑎 - długość krawędzi podstawy ostrosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆,\n𝐻 - wysokość ostrosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆 (zobacz rysunki).\nWówczas |𝑃𝑄| = 1\n2 𝑎.\nTrójkąty 𝑃𝑄𝑅 i 𝑃𝑄𝑆 są prostokątne i mają kąty ostre o miarach 30° i 60°. Zatem\nkorzystając z własności trójkąta prostokątnego o kątach ostrych 30° i 60° (lub z funkcji\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐾\n𝐿\n𝑆\n𝑀\n𝑁\n𝑃\n𝑅\n𝑄\n30°\n1\n2 𝑎\n𝑃\n𝐻\n𝑄\n𝑆\n𝑅\ntrygonometrycznych), otrzymujemy: |𝑄𝑅| = 1\n4 𝑎, |𝑃𝑅| = 𝑎√3\n4 , |𝑄𝑆| = 𝑎, 𝐻= |𝑃𝑆| = 𝑎√3\n2\noraz |𝑅𝑆| = 3\n4 𝑎.\nPonieważ objętość ostrosłupa jest równa 36√3, więc:\n1\n3 ⋅𝑎2 ⋅𝑎√3\n2\n= 36√3\n𝑎= 6\nTrójkąty 𝐷𝐶𝑆 i 𝑁𝑀𝑆 są podobne na mocy cechy kąt-kąt-kąt, więc stąd:\n|𝑁𝑀|\n|𝐷𝐶| =\n|𝑅𝑆|\n|𝑄𝑆|\n|𝑁𝑀|\n𝑎\n3\n4 𝑎\n𝑎\n|𝑁𝑀| = 9\n2\nObliczamy pole 𝑃𝐾𝐿𝑀𝑁 przekroju 𝐾𝐿𝑀𝑁:\n𝑃𝐾𝐿𝑀𝑁= 1\n2 ⋅(6 + 9\n2) ⋅6√3\n4\n= 63√3\n8","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":24,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/16","paper_id":"matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona","number":"16","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 16. (0-6)\nW układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne 𝐴𝐵𝐶,\nw których 𝐶= (0, 0), wierzchołek 𝐵 leży na dodatniej półosi 𝑂𝑦, wierzchołek 𝐴 leży na\ndodatniej półosi 𝑂𝑥, natomiast bok 𝐴𝐵 jest zawarty w prostej przechodzącej przez\npunkt 𝐾= (1, 2).\na) Wykaż, że pole 𝑃 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 w zależności od współczynnika kierunkowego 𝑎\nprostej 𝐴𝐵 jest określone wzorem\n𝑃(𝑎) = -𝑎2 + 4𝑎-4\n2𝑎\nb) Pole 𝑃 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 w zależności od współczynnika kierunkowego 𝑎 prostej 𝐴𝐵 jest\nokreślone wzorem\n𝑃(𝑎) = -𝑎2 + 4𝑎-4\n2𝑎\ndla 𝑎< 0.\nWyznacz równanie prostej zawierającej przeciwprostokątną 𝐴𝐵 tego z rozważanych\ntrójkątów, który ma najmniejsze pole.\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-R0_100\n\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2015\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2015\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2015","answer":null,"answer_text":"Zadanie 16. (0-6)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n11.6R) stosuje pochodne do rozwiązywania\nzagadnień optymalizacyjnych.\nZasady oceniania\nCzęść a)\n2 pkt - poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.\n1 pkt - wyznaczenie pierwszej współrzędnej 𝑥𝐴 punktu 𝐴 oraz drugiej współrzędnej 𝑦𝐵\npunktu 𝐵 w zależności od współczynnika kierunkowego 𝑎 prostej 𝐴𝐵: 𝑥𝐴= 𝑎 - 2\n𝑎\noraz 𝑦𝐵= 2 -𝑎.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nCzęść b)\n4 pkt - uzasadnienie, że funkcja 𝑃 przyjmuje wartość najmniejszą dla 𝑎= -2 oraz\nwyznaczenie równania prostej zawierającej przeciwprostokątną 𝐴𝐵 tego z trójkątów,\nktóry ma najmniejsze pole, np. 𝑦= -2𝑥+ 4.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n3 pkt - uzasadnienie (np. poprzez badanie monotoniczności funkcji), że funkcja 𝑃 przyjmuje\nwartość najmniejszą dla 𝑎= -2\nALBO\n- przekształcenie nierówności\n(- 𝑎\n2) + (- 2\n𝑎)\n2\n≥√(-𝑎\n2) ⋅(-2\n𝑎) do postaci\n(-𝑎\n2) + (-2\n𝑎) + 2 ≥4 oraz zapisanie, że równość zachodzi tylko wtedy, gdy liczby\ndodatnie (-𝑎\n2) oraz (-2\n𝑎) są równe.\n2 pkt - obliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji 𝑃: 𝑎= -2\nALBO\n- obliczenie wartości 𝑎, dla której zachodzi równość średniej arytmetycznej\ni geometrycznej liczb dodatnich (-𝑎\n2) oraz (-2\n𝑎): 𝑎= -2,\nALBO\n- przekształcenie nierówności\n(- 𝑎\n2) + (- 2\n𝑎)\n2\n≥√(-𝑎\n2) ⋅(-2\n𝑎) do postaci\n(-𝑎\n2) + (-2\n𝑎) + 2 ≥4.\n1 pkt - wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑃, np. 𝑃′(𝑎) =\n(-2𝑎 + 4) ⋅ 2𝑎 - (-𝑎2 + 4𝑎 - 4) ⋅ 2\n(2𝑎)2\nALBO\n- zapisanie nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną liczb (-𝑎\n2)\noraz (-2\n𝑎):\n(- 𝑎\n2) + (- 2\n𝑎)\n2\n≥√(-𝑎\n2) ⋅(-2\n𝑎).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi do części b):\n1. Jeżeli zdający wyznacza pochodną ilorazu jako iloraz pochodnych, to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli z rozwiązania wynika, że zdający poprawnie stosuje wzór na pochodną ilorazu\nfunkcji oraz zdający poprawnie wyznacza pochodne funkcji (-𝑎2 + 4𝑎-4) oraz 2𝑎\ni dalej popełnia błędy, otrzymując pochodną, która ma w przedziale (-∞, 0) co najmniej\njedno miejsce zerowe, i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co\nnajwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (za miejsce/a zerowe pochodnej, za uzasadnienie\nistnienia najmniejszej wartości funkcji 𝑃, za wyznaczenie równania prostej 𝐴𝐵 tego\nz trójkątów, który ma najmniejsze pole).\nJeżeli z rozwiązania nie wynika, że zdający poprawnie stosuje wzór na pochodną ilorazu\nfunkcji lub zdający błędnie wyznacza pochodną funkcji (-𝑎2 + 4𝑎-4) lub 2𝑎 i dalej\npopełnia błędy, otrzymując pochodną, która ma w przedziale (-∞, 0) co najmniej jedno\nmiejsce zerowe, i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co\nnajwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za uzasadnienie istnienia najmniejszej wartości\nfunkcji 𝑃 oraz za wyznaczenie równania prostej 𝐴𝐵 tego z trójkątów, który ma\nnajmniejsze pole).\n3. Za poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja osiąga wartość najmniejszą dla\nwyznaczonej wartości 𝑎, przy której pochodna się zeruje, można uznać sytuację, gdy\nzdający bada znak pochodnej\nORAZ:\n- opisuje (słownie lub graficznie - np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji 𝑃\nLUB\n- zapisuje, że dla wyznaczonej wartości 𝑎 funkcja 𝑃 ma minimum lokalne i jest to\njednocześnie jej najmniejsza wartość,\nLUB\n- zapisuje, że dla wyznaczonej wartości 𝑎 funkcja 𝑃 ma minimum lokalne i jest to\njedyne ekstremum tej funkcji,\nLUB\n- wyznaczy drugą pochodną funkcji 𝑃 i dla wyznaczonej wartości 𝑎 obliczy wartość tej\ndrugiej pochodnej oraz zapisze, że funkcja 𝑃 ma minimum lokalne i jest to jedyne\nekstremum tej funkcji.\nBadanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres\nfunkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak, i zaznaczając na rysunku (np.\nznakami „+” i „-”) znak pochodnej.\n4. Jeżeli zdający przedstawi niepełne uzasadnienie, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty\nza całe rozwiązanie (1 punkt za poprawne wyznaczenie pochodnej, 1 punkt za obliczenie\nmiejsca zerowego pochodnej, 1 punkt za wyznaczenie równania prostej 𝐴𝐵, dla której\npole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest najmniejsze).\n5. Jeżeli zdający nie uzasadnia istnienia najmniejszej wartości funkcji, to może otrzymać co\nnajwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za poprawne wyznaczenie pochodnej,\n1 punkt za obliczenie miejsca zerowego pochodnej).\nPrzykładowe pełne rozwiązania\na)\nProsta 𝐴𝐵 przechodzi przez punkty 𝐵 oraz 𝐾= (1, 2) o różnych pierwszych\nwspółrzędnych, więc równanie tej prostej można zapisać w postaci kierunkowej\n𝑦= 𝑎(𝑥-1) + 2, czyli 𝑦= 𝑎𝑥+ (2 -𝑎).\nPonieważ punkt 𝐵 leży na dodatniej półosi 𝑂𝑦, więc 𝐵= (0, 2 -𝑎) i 2 -𝑎> 0, czyli\n𝑎< 2.\nPonieważ punkt 𝐴 leży na dodatniej półosi 𝑂𝑥, więc 𝐴= (𝑎 - 2\n𝑎\n, 0) oraz 𝑎 - 2\n𝑎\n> 0.\nWyznaczamy pole 𝑃 trójkąta 𝐴𝐵𝐶:\n𝑃= 1\n2 ⋅|𝐴𝐶| ⋅|𝐵𝐶| = 1\n2 ⋅|𝑎-2\n𝑎\n| ⋅|2 -𝑎| = 1\n2 ⋅𝑎 - 2\n𝑎\n⋅(2 -𝑎) = -𝑎2 + 4𝑎-4\n2𝑎\nTo należało wykazać.\nb)\nSposób I\nObliczamy argument, dla którego funkcja 𝑃 określona wzorem 𝑃(𝑎) = -𝑎2 + 4𝑎 - 4\n2𝑎\ndla\n𝑎< 0 osiąga wartość najmniejszą.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nWyznaczamy pochodną funkcji 𝑃:\n𝑃′(𝑎) = (-2𝑎+ 4) ⋅2𝑎-(-𝑎2 + 4𝑎-4) ⋅2\n(2𝑎)2\n𝑃′(𝑎) = -2𝑎2 + 8\n(2𝑎)2\ndla 𝑎< 0.\nObliczamy miejsca zerowe pochodnej funkcji 𝑃:\n𝑃′(𝑎) = 0\n-2𝑎2 + 8 = 0\n𝑎= 2 ∉(-∞, 0) ∨ 𝑎= -2 ∈(-∞, 0)\nBadamy znak pochodnej:\n𝑃′(𝑎) < 0\n-2𝑎2 + 8 < 0 ∧ 𝑎< 0\n𝑎∈(-∞, -2)\nwięc 𝑃′(𝑎) < 0 dla 𝑎∈(-∞, -2) oraz 𝑃′(𝑎) > 0 dla 𝑎∈(-2, 0).\nZatem funkcja 𝑃 jest malejąca w przedziale (-∞, -2] i rosnąca w przedziale [-2, 0).\nStąd funkcja 𝑃 osiąga wartość najmniejszą dla 𝑎= -2. Wtedy prosta 𝐴𝐵 ma równanie\n𝑦= -2(𝑥-1) + 2, czyli 𝑦= -2𝑥+ 4.\nSposób II\nZauważmy, że 𝑃(𝑎) = -𝑎2\n2𝑎+ 4𝑎\n2𝑎-4\n2𝑎= -𝑎\n2 -2\n𝑎+ 2. Ponieważ 𝑎< 0, więc liczby (-𝑎\n2)\noraz (-2\n𝑎) są dodatnie. Z nierówności między średnimi arytmetyczną i geometryczną dla\nliczb dodatnich (-𝑎\n2) oraz (-2\n𝑎) otrzymujemy:\n(-\n𝑎\n2) + (-\n2\n𝑎)\n2\n≥√(-𝑎\n2) ⋅(-2\n𝑎)\n-𝑎\n2 -2\n𝑎≥2\n-𝑎\n2 -2\n𝑎+ 2 ≥4\n𝑃(𝑎) ≥4\nprzy czym równość zachodzi tylko dla tych 𝑎, dla których -𝑎\n2 = -2\n𝑎 i jednocześnie\n𝑎< 0, tj. dla 𝑎= -2.\nZatem funkcja 𝑃 osiąga wartość najmniejszą dla 𝑎= -2. Wtedy prosta 𝐴𝐵 ma równanie\n𝑦= -2(𝑥-1) + 2, czyli 𝑦= -2𝑥+ 4.","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad-16.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":28,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}