{"paper":{"id":"matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2026,"month":null,"level":null,"variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty/matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty.pdf","key_pdf":"matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty-odpowiedzi/matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty-odpowiedzi.pdf","question_count":20,"source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · 2026","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},"questions":[{"id":"matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty/zad/1","paper_id":"matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2026,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 1. (0-1)\nTest z matematyki składa się z 40 zadań. Na diagramie przedstawiono procentowy podział\nliczby zadań w teście na zadania z pięciu działów: algebry, planimetrii, stereometrii,\narytmetyki, statystyki.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba zadań z arytmetyki w tym teście jest równa\nA. 14\nB. 18\nC. 26\nD. 35","answer":"A","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nWymagania określone w podstawie programowej1\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Odczytywanie i interpretowanie danych\nprzedstawionych w różnej formie oraz ich\nprzetwarzanie.\nKLASY VII i VIII\nV. Obliczenia procentowe. Uczeń:\n5) stosuje obliczenia procentowe do\nrozwiązywania problemów w kontekście\npraktycznym […].\nXIII. Odczytywanie danych i elementy\nstatystyki opisowej. Uczeń:\n1) interpretuje dane przedstawione za pomocą\n[…] diagramów […] kołowych […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja X\nRozwiązanie - wersja Y2\nA\nD","solution":"Znane części diagramu mają łącznie:\n\n20%+25%+15%+5%=65%\n\nNa arytmetykę przypada więc:\n\n100%-65%=35%\n\nObliczamy 35% z 40 zadań:\n\n35%·40=0 , 35·40=14\n\nOdpowiedź: A. 14","image":"img/matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":"Diagramy, Procenty","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · 2026","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty/zad/2","paper_id":"matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2026,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 2. (0-1)\nOla otwiera swoją szafkę za pomocą czterocyfrowego kodu 𝑌𝑋𝑋𝑌, gdzie 𝑋 jest\nnajwiększym wspólnym dzielnikiem liczb 18 i 27, a 𝑌 jest najmniejszą wspólną\nwielokrotnością liczb 2 i 4.\nJaki jest kod do otwarcia szafki Oli? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nA. 4334\nB. 4994\nC. 8338\nD. 8998","answer":"B","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\n1. Wykonywanie nieskomplikowanych\nobliczeń w pamięci lub pisemnie oraz\nwykorzystanie tych umiejętności\nw sytuacjach praktycznych.\nKLASY IV-VI\nII. Działania na liczbach naturalnych. Uczeń:\n11) znajduje największy wspólny dzielnik\n(NWD) […] i najmniejszą wspólną\nwielokrotność (NWW) dwóch liczb naturalnych\nco najwyżej trzycyfrowych metodą rozkładu na\nczynniki.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja X\nRozwiązanie - wersja Y\nB\nC\n1 Rozporządzenie Ministra Edukacji z dnia 28 czerwca 2024 r. zmieniające rozporządzenie w sprawie podstawy\nprogramowej wychowania przedszkolnego oraz podstawy programowej kształcenia ogólnego dla szkoły\npodstawowej, w tym dla uczniów z niepełnosprawnością intelektualną w stopniu umiarkowanym lub znacznym,\nkształcenia ogólnego dla branżowej szkoły I stopnia, kształcenia ogólnego dla szkoły specjalnej\nprzysposabiającej do pracy oraz kształcenia ogólnego dla szkoły policealnej (Dz.U. 2024, poz. 996).\n2 Odpowiedzi w wersji Y dotyczą wyłącznie arkusza OMAP-100-2605.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Rozkładamy liczby 18 i 27 na czynniki pierwsze:\n\n18=2·3^2, 27=3^3\n\nNajwiększy wspólny dzielnik tworzymy z czynników wspólnych, biorąc je z najmniejszymi wykładnikami:\n\nNWD(18,27)=3^2=9\n\nZatem X=9 .\n\nRozkładamy liczby 2 i 4 na czynniki pierwsze:\n\n2=2, 4=2^2\n\nNajmniejszą wspólną wielokrotność tworzymy ze wszystkich występujących czynników, biorąc je z największymi wykładnikami:\n\nNWW(2,4)=2^2=4\n\nZatem Y=4 . Kod ma postać YXXY , więc:\n\n4994\n\nOdpowiedź: B. 4994","image":"img/matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":"NWW i NWD","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · 2026","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty/zad/3","paper_id":"matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2026,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 3. (0-1)\nDane są cztery liczby:\n𝑤= √100 -64 -2\n𝑥= 12 -√64 + 36\n𝑦= √25 -16 -3\n𝑧= 7 -√9 + 16\nKtóra z tych liczb jest równa 𝟎? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nA. 𝑤\nB. 𝑥\nC. 𝑦\nD. 𝑧\nPRZENIEŚ ROZWIĄZANIA ZADAŃ NA KARTĘ ODPOWIEDZI!\nstatystyka\n20%\nalgebra\n25%\nplanimetria\n15%\nstereometria\n5%\narytmetyka\nOMAP-100-2605\nBrudnopis (nie podlega ocenie)\nOMAP-100-2605","answer":"C","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\n1. Wykonywanie nieskomplikowanych\nobliczeń w pamięci lub pisemnie oraz\nwykorzystanie tych umiejętności\nw sytuacjach praktycznych.\nKLASY VII i VIII\nII. Pierwiastki. Uczeń:\n1) oblicza wartości pierwiastków\nkwadratowych i sześciennych z liczb, które są\nodpowiednio kwadratami lub sześcianami\nliczb wymiernych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja X\nRozwiązanie - wersja Y\nC\nB","solution":"Obliczamy kolejno wartości podanych liczb:\n\nw=√(100-64)-2=√(36)-2=6-2=4\n\nx=12-√(64+36)=12-√(100)=2\n\ny=√(25-16)-3=√(9)-3=0\n\nz=7-√(9+16)=7-5=2\n\nOdpowiedź: C. y","image":"img/matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":"Pierwiastki","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · 2026","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty/zad/4","paper_id":"matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2026,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 4. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWartość wyrażenia 25 ⋅3 ⋅34 ⋅23 jest równa wartości wyrażenia\nA. 28 ⋅35\nB. 48 ⋅95\nC. 215 ⋅34\nD. 415 ⋅94","answer":"A","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\n1. Wykonywanie nieskomplikowanych\nobliczeń w pamięci lub pisemnie oraz\nwykorzystanie tych umiejętności\nw sytuacjach praktycznych.\nKLASY VII i VIII\nI. Potęgi o podstawach wymiernych. Uczeń:\n2) mnoży […] potęgi o wykładnikach\ncałkowitych dodatnich.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja X\nRozwiązanie - wersja Y\nA\nC\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki - termin główny 2026 r.","solution":"Łączymy potęgi o tych samych podstawach:\n\n2^5·3·3^4·2^3=2^5+3·3^1+4=2^8·3^5\n\nOdpowiedź: A. 2^8·3^5","image":"img/matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":"Potęgi","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · 2026","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty/zad/5","paper_id":"matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2026,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 5. (0-1)\nW pewnej hodowli rasowy kocur kosztuje 𝑥 złotych, a rasowa kotka kosztuje 𝑦 złotych.\nJanek kupił z tej hodowli rasowego kocura ze zniżką 40% oraz rasową kotkę ze zniżką 20%.\nKtóre wyrażenie poprawnie opisuje, ile złotych zapłacił Janek za te koty?\nWybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nA. 0,4𝑥+ 0,2𝑦\nB. 0,2𝑥+ 0,4𝑦\nC. 0,8𝑥+ 0,6𝑦\nD. 0,6𝑥+ 0,8𝑦","answer":"D","answer_text":"Zadanie 5. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie modelu matematycznego\ndo prostej sytuacji oraz budowanie go\nw różnych kontekstach, także\nw kontekście praktycznym.\nKLASY IV-VI\nVI. Elementy algebry. Uczeń:\n2) stosuje oznaczenia literowe nieznanych\nwielkości liczbowych i zapisuje proste\nwyrażenia algebraiczne na podstawie\ninformacji osadzonych w kontekście\npraktycznym […].\nKLASY VII i VIII\nV. Obliczenia procentowe. Uczeń:\n5) stosuje obliczenia procentowe do\nrozwiązywania problemów w kontekście\npraktycznym […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja X\nRozwiązanie - wersja Y\nD\nA","solution":"Kocur został przeceniony o 40%, więc Janek zapłacił 60% jego ceny:\n\n0 , 6x\n\nKotka została przeceniona o 20%, więc Janek zapłacił 80% jej ceny:\n\n0 , 8y\n\nŁącznie zapłacił:\n\n0 , 6x+0 , 8y\n\nOdpowiedź: D. 0 , 6x+0 , 8y","image":"img/matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":"Procenty, Wyrażenia algebraiczne","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · 2026","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty/zad/6","paper_id":"matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2026,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 6. (0-1)\nW pudełku było jedenaście kul ponumerowanych kolejnymi liczbami naturalnymi od 1 do 11.\nZ tego pudełka wylosowano pięć kul. Suma liczb na dowolnych dwóch kulach, które\npozostały w pudełku, jest parzysta.\nUzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz\nodpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.\nPo losowaniu w pudełku zostały wyłącznie kule ponumerowane liczbami .\nA. nieparzystymi\nB. parzystymi\nSuma liczb na pięciu wylosowanych kulach jest równa .\nC. 30\nD. 36","answer":"A","answer_text":"Zadanie 6. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie prostego\nrozumowania, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność\nrozumowania, rozróżnianie dowodu\nod przykładu.\nKLASY IV-VI\nII. Działania na liczbach naturalnych. Uczeń:\n6) rozpoznaje liczby podzielne przez 2, 3, 4, 5,\n9, 10, 100.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna lub niepełna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja X\nRozwiązanie - wersja Y\nAC\nBC\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Suma dwóch liczb jest parzysta wtedy, gdy obie liczby są parzyste albo obie są nieparzyste.\n\nSkoro suma liczb na dowolnych dwóch pozostałych kulach jest parzysta, to wszystkie pozostawione liczby muszą mieć tę samą parzystość.\n\nWśród liczb od 1 do 11 jest sześć liczb nieparzystych i tylko pięć parzystych. Ponieważ w pudełku pozostało sześć kul, mogą to być wyłącznie kule z liczbami nieparzystymi.\n\nWylosowano więc pięć kul z liczbami parzystymi:\n\n2,4,6,8,10\n\nSuma liczb na wylosowanych kulach jest równa:\n\n2+4+6+8+10=30\n\nOdpowiedź: A i C.","image":"img/matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":"Prawdopodobieństwo i kombinatoryka","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · 2026","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty/zad/7","paper_id":"matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2026,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 7. (0-1)\nDo 10 pustych koszy włożono jabłka i pomarańcze, łącznie 400 sztuk tych owoców.\nW każdym koszu łączna liczba owoców jest taka sama oraz w każdym koszu liczba jabłek\njest o 6 większa od liczby pomarańczy.\nIle sztuk jabłek jest łącznie w tych 10 koszach? Wybierz właściwą odpowiedź spośród\npodanych.\nA. 210\nB. 230\nC. 240\nD. 260\nPRZENIEŚ ROZWIĄZANIA ZADAŃ NA KARTĘ ODPOWIEDZI!\nA\nB\nC\nD\nOMAP-100-2605\nBrudnopis (nie podlega ocenie)\nOMAP-100-2605","answer":"B","answer_text":"Zadanie 7. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\n1. Wykonywanie nieskomplikowanych\nobliczeń w pamięci lub pisemnie oraz\nwykorzystanie tych umiejętności\nw sytuacjach praktycznych.\nKLASY IV-VI\nXIV. Zadania tekstowe. Uczeń:\n5) do rozwiązywania zadań osadzonych\nw kontekście praktycznym stosuje poznaną\nwiedzę z zakresu arytmetyki […] oraz nabyte\numiejętności rachunkowe, a także własne\npoprawne metody.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja X\nRozwiązanie - wersja Y\nB\nB","solution":"W każdym koszu znajduje się:\n\n400:10=40\n\nNiech x oznacza liczbę pomarańczy w jednym koszu. Jabłek jest wtedy x+6 .\n\nx+(x+6)=40\n\n2x=34 x=17\n\nW jednym koszu są więc:\n\n17+6=23\n\njabłka. W dziesięciu koszach jest:\n\n10·23=230\n\nOdpowiedź: B. 230","image":"img/matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":"Równania","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · 2026","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty/zad/8","paper_id":"matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2026,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 8. (0-1)\nSumę 𝑆= 1 + 2 + 3 + … + 𝑛 kolejnych liczb naturalnych od 1 do 𝑛 można obliczyć ze\nwzoru\n𝑆= 1\n2 𝑛(𝑛+ 1)\nUzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz\nodpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.\nSuma stu kolejnych liczb naturalnych od 1 do 100 jest równa .\nA. 5001\nB. 5050\nWzór na sumę 𝑆 po poprawnym przekształceniu ma postać .\nC. 𝑆= 1\n2 𝑛2 + 1\nD. 𝑆= 1\n2 𝑛2 + 1\n2 𝑛","answer":"B","answer_text":"Zadanie 8. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Używanie prostych, dobrze znanych\nobiektów matematycznych,\ninterpretowanie pojęć matematycznych\ni operowanie obiektami matematycznymi.\nKLASY VII i VIII\nIII. Tworzenie wyrażeń algebraicznych z jedną\ni wieloma zmiennymi. Uczeń:\n2) oblicza wartości liczbowe wyrażeń\nalgebraicznych.\nIV. Przekształcanie wyrażeń algebraicznych.\nSumy algebraiczne i działania na nich. Uczeń:\n3) mnoży sumy algebraiczne przez jednomian\ni dodaje wyrażenia powstałe z mnożenia sum\nalgebraicznych przez jednomiany.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna lub niepełna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja X\nRozwiązanie - wersja Y\nBD\nBC\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki - termin główny 2026 r.","solution":"Dla n=100 :\n\nS=(1)/(2)·100·101=50·101=5050\n\nRozwijamy także podany wzór:\n\nS=(1)/(2)n(n+1)=(1)/(2)n^2+(1)/(2)n\n\nOdpowiedź: B i D.","image":"img/matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":"Równania, Wyrażenia algebraiczne","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · 2026","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty/zad/9","paper_id":"matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2026,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 9. (0-1)\nŚrednia arytmetyczna dwóch liczb 𝑥 i 𝑦 jest równa 4, a średnia arytmetyczna trzech\nliczb 𝑥, 𝑦, 𝑧 jest równa 5.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba 𝑧 jest równa\nA. 4\nB. 5\nC. 6\nD. 7","answer":"D","answer_text":"Zadanie 9. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Używanie prostych, dobrze znanych\nobiektów matematycznych,\ninterpretowanie pojęć matematycznych\ni operowanie obiektami matematycznymi.\nKLASY VII i VIII\nXIII. Odczytywanie danych i elementy\nstatystyki opisowej. Uczeń:\n3) oblicza średnią arytmetyczną kilku liczb.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja X\nRozwiązanie - wersja Y\nD\nA","solution":"Ze średniej dwóch liczb mamy:\n\n(x+y)/(2)=4\n\nx+y=8\n\nZe średniej trzech liczb:\n\n(x+y+z)/(3)=5\n\nx+y+z=15\n\nPodstawiamy x+y=8 :\n\n8+z=15\n\nz=7\n\nOdpowiedź: D. 7","image":"img/matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":"Statystyka","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · 2026","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty/zad/10","paper_id":"matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty","number":"10","points":1,"ptype":"true_false","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2026,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 10. (0-1)\nDany jest trójkąt równoboczny o boku długości 2 cm.\nOceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F -\njeśli jest fałszywe.\nWysokość tego trójkąta jest równa √3 cm.\nP\nF\nPole tego trójkąta jest równe √3 cm2.\nP\nF\nPRZENIEŚ ROZWIĄZANIA ZADAŃ NA KARTĘ ODPOWIEDZI!\nA\nB\nC\nD\nOMAP-100-2605\nBrudnopis (nie podlega ocenie)\nOMAP-100-2605","answer":"P, P","answer_text":"Zadanie 10. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Używanie prostych, dobrze znanych\nobiektów matematycznych,\ninterpretowanie pojęć matematycznych\ni operowanie obiektami matematycznymi.\nKLASY VII i VIII\nIX. Wielokąty. Uczeń:\n2) stosuje wzory na pole trójkąta […].\nVIII. Własności figur geometrycznych na\npłaszczyźnie. Uczeń:\n7) zna i stosuje w sytuacjach praktycznych\ntwierdzenie Pitagorasa (bez twierdzenia\nodwrotnego).\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna lub niepełna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja X\nRozwiązanie - wersja Y\nPP\nPP\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"W trójkącie równobocznym o boku 2 wysokość dzieli podstawę na dwa odcinki długości 1.\n\nZ twierdzenia Pitagorasa:\n\nh^2+1^2=2^2\n\nh=√(3)\n\nPole trójkąta wynosi:\n\nP=(2·√(3))/(2)=√(3)\n\nOba zdania są prawdziwe.\n\nOdpowiedź: P, P","image":"img/matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":"Pola i obwody","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · 2026","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty/zad/11","paper_id":"matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2026,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 11. (0-1)\nKąty wewnętrzne czworokąta oznaczono: 𝛼, 𝛽, 𝛾 oraz 𝛿. Miara kąta 𝛽 jest o 70°\nwiększa od miary kąta 𝛼, miara kąta 𝛾 jest dwukrotnie większa od miary kąta 𝛼.\nKąt 𝛿 jest kątem prostym.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nMiara kąta 𝛽 jest równa\nA. 50°\nB. 85°\nC. 120°\nD. 155°","answer":"C","answer_text":"Zadanie 11. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie modelu matematycznego\ndo prostej sytuacji oraz budowanie go\nw różnych kontekstach, także\nw kontekście praktycznym.\nKLASY IV-VI\nXI. Obliczenia w geometrii. Uczeń:\n1) oblicza miary kątów, stosując przy tym\npoznane własności kątów i wielokątów.\nKLASY VII i VIII\nVI. Równania z jedną niewiadomą. Uczeń:\n4) rozwiązuje zadania tekstowe za pomocą\nrównań pierwszego stopnia z jedną\nniewiadomą […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja X\nRozwiązanie - wersja Y\nC\nB","solution":"Suma kątów wewnętrznych czworokąta wynosi 360^° .\n\nZ treści zadania:\n\nβ=α+70^°, γ=2α, δ=90^°\n\nZatem:\n\nα+(α+70^°)+2α+90^°=360^°\n\n4α=200^° α=50^°\n\nStąd:\n\nβ=50^°+70^°=120^°\n\nOdpowiedź: C. 120^°","image":"img/matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":"Równania, Własności kątów","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · 2026","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty/zad/12","paper_id":"matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty","number":"12","points":1,"ptype":"true_false","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2026,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 12. (0-1)\nNa kartce w kratkę Jurek wykonał rysunek. Na tym rysunku punkty 𝑀, 𝑊, 𝑆 oznaczają\npołożenia odpowiednio: muzeum, wieży widokowej oraz schroniska. Wieża widokowa\nznajduje się 3 km na północ i 4 km na zachód od schroniska. Muzeum znajduje się 5 km\nna wschód od schroniska.\nOceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F -\njeśli jest fałszywe.\nOdległość w linii prostej schroniska od muzeum jest równa odległości w linii\nprostej schroniska od wieży widokowej.\nP\nF\nOdległość w linii prostej muzeum od wieży widokowej jest mniejsza niż 10 km.\nP\nF\nPRZENIEŚ ROZWIĄZANIA ZADAŃ NA KARTĘ ODPOWIEDZI!\n𝑊\n𝑀\n𝑆\npółnoc\npołudnie\nwschód\nzachód\n1 km\n1 km\nOMAP-100-2605\nBrudnopis (nie podlega ocenie)\nOMAP-100-2605","answer":"P, P","answer_text":"Zadanie 12. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Odczytywanie i interpretowanie danych\nprzedstawionych w różnej formie oraz ich\nprzetwarzanie.\nKLASY IV-VI\nXIV. Zadania tekstowe. Uczeń:\n5) do rozwiązywania zadań osadzonych\nw kontekście praktycznym stosuje poznaną\nwiedzę z zakresu arytmetyki i geometrii oraz\nnabyte umiejętności rachunkowe, a także\nwłasne poprawne metody.\nKLASY VII i VIII\nX. Oś liczbowa. Układ współrzędnych na\npłaszczyźnie. Uczeń:\n5) oblicza długość odcinka, którego końce są\ndanymi punktami kratowymi w układzie\nwspółrzędnych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna lub niepełna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja X\nRozwiązanie - wersja Y\nPP\nPP\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki - termin główny 2026 r.","solution":"Przyjmijmy, że schronisko S ma współrzędne (0,0) . Wtedy:\n\nW=(-4,3), M=(5,0)\n\nOdległość schroniska od wieży:\n\nSW=√(4^2+3^2)=√(25)=5 km\n\nOdległość schroniska od muzeum także wynosi 5 km, więc pierwsze zdanie jest prawdziwe.\n\nOdległość muzeum od wieży:\n\nWM=√((5-(-4))^2+(0-3)^2)=√(9^2+3^2)=√(90)\n\nPonieważ √(90)<√(100)=10 , drugie zdanie także jest prawdziwe.\n\nOdpowiedź: P, P","image":"img/matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":"Planimetria, Układ współrzędnych","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · 2026","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty/zad/13","paper_id":"matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2026,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 13. (0-1)\nPrzekątna 𝐴𝐷 dzieli pięciokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 na trójkąt 𝐴𝐷𝐸 i na kwadrat 𝐴𝐵𝐶𝐷 (zobacz rysunek).\nPole trójkąta 𝐴𝐷𝐸 jest równe 28, a wysokość poprowadzona z wierzchołka 𝐸 na bok 𝐴𝐷\njest równa 7.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nPole kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równe\nA. 16\nB. 32\nC. 49\nD. 64","answer":"D","answer_text":"Zadanie 13. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Używanie prostych, dobrze znanych\nobiektów matematycznych,\ninterpretowanie pojęć matematycznych\ni operowanie obiektami matematycznymi.\nKLASY VII i VIII\nIX. Wielokąty. Uczeń:\n2) stosuje wzory na pole trójkąta […],\nkwadratu […], a także do wyznaczania\ndługości odcinków […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja X\nRozwiązanie - wersja Y\nD\nA","solution":"Pole trójkąta ADE jest równe:\n\n28=(AD·7)/(2)\n\nAD=(56)/(7)=8\n\nOdcinek AD jest bokiem kwadratu ABCD . Pole kwadratu wynosi więc:\n\nP=8^2=64\n\nOdpowiedź: D. 64","image":"img/matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":"Pola i obwody","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · 2026","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty/zad/14","paper_id":"matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2026,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 14. (0-1)\nTrzy jednakowe sześciany o krawędzi długości 5 ustawiono jeden na drugim i otrzymano\nprostopadłościan (zobacz rysunek).\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nPole powierzchni całkowitej otrzymanego prostopadłościanu jest równe\nA. 350\nB. 375\nC. 400\nD. 450\nPRZENIEŚ ROZWIĄZANIA ZADAŃ NA KARTĘ ODPOWIEDZI!\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\nOMAP-100-2605\nBrudnopis (nie podlega ocenie)\nOMAP-100-2605","answer":"A","answer_text":"Zadanie 14. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie modelu matematycznego\ndo prostej sytuacji oraz budowanie go\nw różnych kontekstach, także\nw kontekście praktycznym.\nKLASY VII i VIII\nXI. Geometria przestrzenna. Uczeń:\n2) oblicza […] pola powierzchni\ngraniastosłupów prostych, prawidłowych\ni takich, które nie są prawidłowe.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja X\nRozwiązanie - wersja Y\nA\nD\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZADANIA OTWARTE\nUwagi ogólne\n• Akceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne, spełniające warunki\nzadania.\n• Za rozwiązanie zadania na danym etapie uczeń może otrzymać punkty tylko wtedy,\ngdy przedstawia poprawne sposoby rozwiązania na wszystkich wcześniejszych etapach.\n• Jeżeli na dowolnym etapie rozwiązania zadania uczeń popełnia jeden lub więcej błędów\nrachunkowych (albo błąd przepisania wartości poprawnie zidentyfikowanej danej albo\nwartości z wcześniejszych etapów rozwiązania), ale stosuje poprawne sposoby\nrozwiązania i konsekwentnie doprowadza rozwiązanie zadania do końca, to ocenę\nrozwiązania obniża się o 1 punkt.\n• Jeżeli na pewnym etapie rozwiązania zadania uczeń podaje kilka sprzecznych rozwiązań\ni nie wskazuje, które z nich należy uznać za poprawne, to może uzyskać punkty tylko\nza wcześniejsze poprawne etapy rozwiązania.\n• Jeżeli na pewnym etapie rozwiązania zadania uczeń podaje kilka sprzecznych rozwiązań\ni wskazuje, które z nich należy uznać za poprawne, to zapisów w innych rozwiązaniach\nnie bierze się pod uwagę w ocenianiu.\n• Jeżeli w zadaniach 15-20 uczeń podaje tylko poprawny końcowy wynik, to otrzymuje\n0 punktów.\n• W pracy ucznia uprawnionego do dostosowanych zasad oceniania dopuszcza się:\n1. lustrzane zapisywanie cyfr i liter (np. 6-9)\n2. gubienie liter, cyfr, nawiasów\n3. problemy z zapisywaniem przecinków w liczbach dziesiętnych\n4. błędy w zapisie działań pisemnych (dopuszczalne drobne błędy rachunkowe,\nwynikające np. z graficznego podobieństwa cyfr)\n5. luki w zapisie obliczeń - obliczenia pamięciowe\n6. uproszczony zapis równania i przekształcenie go w pamięci; brak opisu\nniewiadomych\n7. niekończenie wyrazów\n8. problemy z zapisywaniem jednostek (np.℃ - OC)\n9. błędy w przepisywaniu\n10. chaotyczny zapis operacji matematycznych\n11. mylenie indeksów górnych i dolnych (np. 𝑥2 - 𝑥2, 𝑚2 - 𝑚2).\n• Uczeń uprawniony do korzystania z kalkulatora może otrzymać punkty za rozwiązanie\nzadania na danym etapie tylko wtedy, gdy przedstawi poprawne sposoby rozwiązania.\n• Jeżeli uczeń uprawniony do korzystania z kalkulatora zapisze poprawny sposób\nrozwiązania zadania, ale w wyniku końcowym zapisze błędną wartość liczbową,\nto traktujemy to jako błąd rachunkowy.\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki - termin główny 2026 r.","solution":"Otrzymany prostopadłościan ma wymiary:\n\n5×5×15\n\nJego pole powierzchni całkowitej wynosi:\n\nP_c=2(5·5+5·15+5·15)\n\nP_c=2(25+75+75)=350\n\nOdpowiedź: A. 350","image":"img/matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":"Stereometria","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · 2026","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty/zad/15","paper_id":"matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty","number":"15","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2026,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 15. (0-2)","answer":null,"answer_text":"Zadanie 15. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie modelu matematycznego\ndo prostej sytuacji oraz budowanie go\nw różnych kontekstach, także\nw kontekście praktycznym.\nKLASY IV-VI\nXIV. Zadania tekstowe. Uczeń:\n5) do rozwiązywania zadań osadzonych\nw kontekście praktycznym stosuje poznaną\nwiedzę z zakresu arytmetyki […] oraz nabyte\numiejętności rachunkowe, a także własne\npoprawne metody.\nKLASY VII i VIII\nVI. Równania z jedną niewiadomą. Uczeń:\n4) rozwiązuje zadania tekstowe za pomocą\nrównań pierwszego stopnia z jedną\nniewiadomą […].\nZasady oceniania\n2 punkty - pełne rozwiązanie\n• poprawny sposób obliczenia liczby kartek niebieskich przygotowanych przez Elę,\nprawidłowe obliczenia oraz prawidłowy wynik liczbowy (57)\nLUB\n• zastosowanie metody prób i błędów - sprawdzenie wszystkich warunków zadania dla\nco najmniej dwóch różnych zestawów liczb kartek poszczególnych kolorów (czerwone,\nniebieskie, zielone, białe), wśród których jest prawidłowa liczba kartek niebieskich,\nprawidłowe obliczenia oraz wskazanie spośród nich prawidłowego wyniku liczbowego (57).\n1 punkt\n• zapisanie poprawnego równania z jedną niewiadomą prowadzącego do obliczenia liczby\nkartek w jednym spośród trzech kolorów: czerwonym albo niebieskim, albo zielonym, np.\n𝑥+ 1,5𝑥+ (𝑥-10) + 37 = 160, gdzie 𝑥 oznacza liczbę kartek czerwonych\nalbo\n𝑛+ 𝑛∶1,5 + (𝑛∶1,5 -10) + 37 = 160, gdzie 𝑛 oznacza liczbę kartek niebieskich,\nalbo\n𝑧+ (𝑧+ 10) + 1,5 ⋅(𝑧+ 10) + 37 = 160, gdzie 𝑧 oznacza liczbę kartek zielonych\n(lub zapisy równoważne)\nLUB\n• zapisanie poprawnego wyrażenia arytmetycznego prowadzącego do obliczenia liczby\nkartek czerwonych, np.\n(160 -37 + 10) ∶3,5,\nLUB\n• zastosowanie metody prób i błędów - sprawdzenie wszystkich warunków zadania dla\nco najmniej dwóch różnych zestawów liczb kartek poszczególnych kolorów (czerwone,\nniebieskie, zielone, białe), wśród których nie ma prawidłowej liczby kartek niebieskich,\nLUB\n• zastosowanie metody prób i błędów - sprawdzenie wszystkich warunków zadania dla\nco najmniej dwóch różnych zestawów liczb kartek poszczególnych kolorów (czerwone,\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nniebieskie, zielone, białe), wśród których jest prawidłowa liczba kartek niebieskich\nbez wskazania prawidłowego wyniku liczbowego.\n0 punktów\nrozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.\nUwaga\nJeżeli uczeń sprawdza wszystkie warunki zadania tylko dla jednego zestawu liczb kartek\nposzczególnych kolorów: czerwone 38, niebieskie 57, zielone 28, białe 37, i nie popełnia\nbłędów rachunkowych, to otrzymuje 1 punkt.\nPrzykładowe rozwiązania ocenione na 2 punkty\nI sposób\nKartek w czterech kolorach było razem 160.\nKartek białych było 37.\nLiczbę kartek czerwonych oznaczymy jako 𝑥.\nZapiszemy wyrażenia algebraiczne opisujące liczby kartek niebieskich i zielonych:\n1,5𝑥 - liczba kartek niebieskich\n𝑥-10 - liczba kartek zielonych\nObliczymy liczbę kartek czerwonych.\nZapiszemy i rozwiążemy równanie spełniające wszystkie warunki zadania:\n𝑥+ 1,5𝑥+ (𝑥-10) + 37 = 160\n3,5𝑥= 160 -37 + 10\n3,5𝑥= 133\n𝑥= 38\nObliczymy liczbę kartek niebieskich:\n1,5 ⋅38 = 57\nOdpowiedź: Ela przygotowała 57 kartek niebieskich.\nII sposób\nKartek w czterech kolorach było razem 160.\nKartek białych było 37.\nLiczbę kartek niebieskich oznaczymy jako 𝑛.\nZapiszemy wyrażenia algebraiczne opisujące liczby kartek czerwonych i zielonych:\n𝑛∶1,5 - liczba kartek czerwonych\n𝑛∶1,5 -10 - liczba kartek zielonych\nObliczymy liczbę kartek niebieskich.\nZapiszemy i rozwiążemy równanie spełniające wszystkie warunki zadania:\n𝑛+ 𝑛∶1,5 + (𝑛∶1,5 -10) + 37 = 160\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki - termin główny 2026 r.\n𝑛+ 2\n3 𝑛+ 2\n3 𝑛-10 = 160 -37\n7\n3 𝑛= 133\n𝑛= 57\nOdpowiedź: Ela przygotowała 57 kartek niebieskich.\nIII sposób\nKartek w czterech kolorach było razem 160.\nKartek białych było 37.\nLiczbę kartek zielonych oznaczymy jako 𝑧.\nZapiszemy wyrażenia algebraiczne opisujące liczby kartek czerwonych i niebieskich:\n𝑧+ 10 - liczba kartek czerwonych\n1,5 ⋅(𝑧+ 10) - liczba kartek niebieskich\nObliczymy liczbę kartek zielonych.\nZapiszemy i rozwiążemy równanie spełniające wszystkie warunki zadania:\n𝑧+ (𝑧+ 10) + 1,5 ⋅(𝑧+ 10) + 37 = 160\n𝑧+ 𝑧+ 10 + 1,5𝑧+ 15 + 37 = 160\n3,5𝑧= 98\n𝑧= 28\nObliczymy liczbę kartek niebieskich:\n1,5 ⋅(28 + 10) = 57\nOdpowiedź: Ela przygotowała 57 kartek niebieskich.\nIV sposób\nKartek w czterech kolorach było razem 160.\nKartek białych było 37.\nZilustrujemy graficznie zależności między liczbami kartek w trzech kolorach:\nczerwone:\nniebieskie:\nzielone:\nObliczymy liczbę kartek czerwonych:\n(160 -37 + 10) ∶3,5 = 38\nObliczymy liczbę kartek niebieskich:\n1,5 ⋅38 = 57\nOdpowiedź: Ela przygotowała 57 kartek niebieskich.\n- 10\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nV sposób\nMetoda prób i błędów:\nLiczba kartek z uwzględnieniem warunków zadania\nLiczba wszystkich kartek\nczerwonych\nniebieskich 1,5\nrazy więcej niż\nczerwonych\nzielonych o 10\nmniej niż\nczerwonych\nbiałych\nsuma\nsprawdzenie\n30\n45\n20\n37\n132\n132 ≠160\n40\n60\n30\n37\n167\n167 ≠160\n𝟑𝟖\n𝟓𝟕\n𝟐𝟖\n𝟑𝟕\n𝟏𝟔𝟎\n𝟏𝟔𝟎= 𝟏𝟔𝟎\nOdpowiedź: Ela przygotowała 57 kartek niebieskich.","solution":"Niech x oznacza liczbę kartek czerwonych.\n\nWtedy kartek niebieskich jest 1 , 5x , a zielonych x-10 . Układamy równanie:\n\n37+x+1 , 5x+(x-10)=160\n\n3 , 5x+27=160\n\n3 , 5x=133 x=38\n\nLiczba kartek niebieskich:\n\n1 , 5·38=57\n\nOdpowiedź: Ela przygotowała 57 kartek niebieskich.","image":"img/matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":"Równania","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · 2026","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty/zad/16","paper_id":"matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty","number":"16","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2026,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 16. (0-3)","answer":null,"answer_text":"Zadanie 16. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie prostego\nrozumowania, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność\nrozumowania, rozróżnianie dowodu od\nprzykładu.\nKLASY IV-VI\nXII. Obliczenia praktyczne. Uczeń:\n9) w sytuacji praktycznej oblicza: […]\nprędkość przy danej drodze i czasie, czas\nprzy danej drodze i prędkości oraz stosuje\njednostki prędkości km/h i m/s.\nZasady oceniania\n3 punkty - pełne rozwiązanie\n• poprawny sposób obliczenia prędkości, z jaką samochód jechał z Polanki do Jodłowa,\nprawidłowe obliczenia oraz prawidłowy wynik liczbowy (72 km\nh ) oraz sformułowanie\nwniosku, że przejechanie 75 km z tą samą prędkością trwało dłużej niż 1 godzinę\nLUB\n• poprawny sposób obliczenia drogi przebytej przez samochód w ciągu 1 godziny, gdyby\nsamochód jechał ze stałą prędkością, taką jak prędkość na trasie z Polanki do Jodłowa\noraz prawidłowy wynik liczbowy (72 km) oraz sformułowanie wniosku, że przejechanie\n75 km z tą samą prędkością trwało dłużej niż 1 godzinę,\nLUB\n• poprawny sposób obliczenia czasu przejazdu samochodu z Jodłowa do Dębiny,\nprawidłowe obliczenia, prawidłowy wynik liczbowy zgodny z zastosowaną jednostką\n(62,5 min) oraz sformułowanie poprawnego wniosku, np. zapisanie (62,5 min > 1 h).\n2 punkty\n• poprawny sposób obliczenia prędkości, z jaką samochód przejechał z Polanki do Jodłowa\noraz poprawny sposób obliczenia drogi z Jodłowa do Dębiny, np. zapisanie\nv = 48\n40 km\nmin lub v = 48\n2\n3\nkm\nh (lub zapisy równoważne) oraz 123 km -48 km\nLUB\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki - termin główny 2026 r.\n• poprawny sposób obliczenia drogi przebytej przez samochód w ciągu\n1 godziny (1 minuty, 1 sekundy), gdyby samochód jechał ze stałą prędkością, taką jak\nprędkość na trasie z Polanki do Jodłowa, czyli zastosowanie poprawnego związku między\ndrogą a czasem z wykorzystaniem własności wielkości wprost proporcjonalnych oraz\npoprawny sposób obliczenia drogi z Jodłowa do Dębiny np. zapisanie\n𝑠\n48 km = 60 min\n40 min lub\n𝑠\n60 min = 48 km\n40 min (lub zapisy równoważne)\noraz 123 km -48 km,\nLUB\n• poprawny sposób obliczenia czasu przejazdu samochodu z Jodłowa do Dębiny, gdyby\nsamochód jechał ze stałą prędkością, taką jak prędkość na trasie z Polanki do Jodłowa,\nczyli zastosowanie poprawnego związku między czasem a drogą z wykorzystaniem\nwłasności wielkości wprost proporcjonalnych, np. zapisanie\n75 km\n48 km =\n𝑡\n40 min lub 75 km\n𝑡\n= 48 km\n40 min (lub zapisy równoważne),\nLUB\n• poprawny sposób obliczenia czasu przejazdu samochodu z Polanki do Dębiny, gdyby\nsamochód jechał ze stałą prędkością, taką jak prędkość na trasie z Polanki do Jodłowa,\nczyli zastosowanie poprawnego związku między czasem a drogą z wykorzystaniem\nwłasności wielkości wprost proporcjonalnych oraz poprawny sposób obliczenia czasu\nprzejazdu z Jodłowa do Dębiny, np. zapisanie\n123 km\n48 km =\n𝑡\n40 min lub 123 km\n𝑡\n= 48 km\n40 min oraz 𝑡-40 min.\n1 punkt\n• poprawny sposób obliczenia prędkości, z jaką samochód przejechał z Polanki do Jodłowa,\nnp. zapisanie\nv = 48\n40 km\nmin (lub zapisy równoważne)\nLUB\n• poprawny sposób obliczenia drogi z Jodłowa do Dębiny, np. zapisanie\n123 km -48 km,\nLUB\n• poprawny sposób obliczenia drogi przebytej przez samochód w ciągu\n1 godziny (1 minuty, 1 sekundy), gdyby samochód jechał ze stałą prędkością, taką jak\nprędkość na trasie z Polanki do Jodłowa, czyli zastosowanie poprawnego związku między\ndrogą a czasem z wykorzystaniem własności wielkości wprost proporcjonalnych, np. zapisanie\n𝑠\n48 km = 60 min\n40 min lub\n𝑠\n60 min = 48 km\n40 min (lub zapisy równoważne),\nLUB\n• poprawny sposób obliczenia czasu przejazdu samochodu z Polanki do Dębiny,\nnp. zapisanie\n123 km\n48 km =\n𝑡\n40 min lub 123 km\n𝑡\n= 48 km\n40 min (lub zapisy równoważne).\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n0 punktów\nrozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.\nUwaga\nBłąd w zamianie jednostek lub zapisanie niewłaściwej jednostki w wyniku końcowym traktuje\nsię jako błąd rachunkowy.\nPrzykładowe rozwiązania ocenione na 3 punkty\nI sposób\nObliczymy drogę z Jodłowa do Dębiny:\n123 -48 = 75 (km)\nObliczymy prędkość, z jaką samochód przejechał z Polanki do Jodłowa.\nSkorzystamy ze wzoru na prędkość:\nv = 𝑠\n𝑡, gdzie:\nv -prędkość\n𝑠= 48 km -droga\n𝑡= 40 minut = 40 ⋅1\n60 h = 2\n3 h -czas\nv = 48 km\n2\n3 h\n= 48 ⋅3\n2 km\nh = 72 km\nh\nSamochód jechał z prędkością 72 km\nh , więc przejechanie 75 km z tą samą, stałą\nprędkością trwało dłużej niż 1 godzinę.\nII sposób\nObliczymy drogę z Jodłowa do Dębiny:\n123 -48 = 75 (km)\nObliczymy, ile kilometrów przejechałby samochód, gdyby jechał ze stałą prędkością, w ciągu\n60 minut (1 godziny):\n48 km w 40 minut\n12 km w 10 minut\n72 km w 60 minut\nSamochód przejechałby w ciągu 1 godziny 72 km, więc przejechanie drogi z Jodłowa\ndo Dębiny (75 km) - z tą samą, stałą prędkością - trwało dłużej niż 1 godzinę.\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki - termin główny 2026 r.\nIII sposób\nObliczymy drogę z Jodłowa do Dębiny:\n123 -48 = 75 (km)\nObliczymy czas potrzebny na przejazd samochodu (ze stałą prędkością) z Jodłowa do Dębiny:\n48 km w 40 min\n6 km w 5 min\n3 km w 2,5 min\n75 km w 62,5 min\n1 h = 60 min\n62,5 min > 60 min\nPrzejazd samochodu z Jodłowa do Dębiny trwał 62,5 min, czyli dłużej niż 1 godzinę.\nIV sposób\nObliczymy drogę z Jodłowa do Dębiny:\n123 -48 = 75 (km)\nObliczymy, ile kilometrów samochód przejechałby w ciągu 1 godziny (60 min),\ngdyby jechał z tą samą, stałą prędkością:\n48 km w 40 min\n𝑥 km w 60 min\n𝑥 = 60 min ⋅48 km\n40 min\n𝑥 = 72 km\nSamochód przejechałby w ciągu 1 godziny 72 km, więc przejechanie drogi z Jodłowa\ndo Dębiny (75 km), z tą samą prędkością, trwało dłużej niż 1 godzinę.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nV sposób\nObliczymy drogę z Jodłowa do Dębiny:\n123 -48 = 75 (km)\nObliczymy czas potrzebny na przejazd samochodu (ze stałą prędkością) z Jodłowa do Dębiny:\n48 km w 40 min\n75 km w 𝑥 min\n𝑥 = 75 km ∙40 min\n48 km\n𝑥 = 62,5 min\n1 h = 60 min\n62,5 min > 60 min\nPrzejazd samochodu z Jodłowa do Dębiny trwał 62,5 min, czyli dłużej niż 1 godzinę.\nVI sposób\nObliczymy czas potrzebny na przejazd samochodu (ze stałą prędkością) z Polanki do Dębiny:\n48 km w 40 min\n123 km w 𝑥 min\n𝑥 = 123 km ∙40 min\n48 km\n𝑥 = 102,5 min\nObliczymy czas potrzebny na przejazd samochodu z Jodłowa do Dębiny:\n102,5 min -40 min = 62,5 min\n62,5 min > 60 min\nPrzejazd samochodu z Jodłowa do Dębiny trwał 62,5 min, czyli dłużej niż 1 godzinę.\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki - termin główny 2026 r.","solution":"Droga z Jodłowa do Dębiny ma długość:\n\n123-48=75 km\n\nSamochód przejechał 48 km w 40 minut, czyli w (2)/(3) godziny. Jego prędkość wynosiła:\n\nv=(48)/(frac23)=72 km/h\n\nCzas przejazdu 75 km:\n\nt=(75)/(72) h=(25)/(24) h\n\n(25)/(24) h=1 h 2 min 30 s\n\nJest to czas dłuższy niż jedna godzina.\n\nWykazano, że przejazd trwał dłużej niż godzinę.","image":"img/matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty/zad-16.webp","solution_image":null,"topics":"Droga, prędkość, czas","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · 2026","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty/zad/17","paper_id":"matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty","number":"17","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2026,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 17. (0-3)","answer":"29%","answer_text":"Zadanie 17. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Odczytywanie i interpretowanie danych\nprzedstawionych w różnej formie oraz ich\nprzetwarzanie.\nKLASY VII i VIII\nXIII. Odczytywanie danych i elementy\nstatystyki opisowej. Uczeń:\n1) interpretuje dane przedstawione za pomocą\ntabel […].\nV. Obliczenia procentowe. Uczeń:\n3) oblicza, jaki procent danej liczby 𝑏 stanowi\nliczba 𝑎.\nZasady oceniania\n3 punkty - pełne rozwiązanie\npoprawny sposób obliczenia, ile procent liczby wszystkich uczestników Dnia Sportu stanowi\nliczba dzieci, które brały udział w turnieju tenisa stołowego, prawidłowe obliczenia oraz\nprawidłowy wynik liczbowy (29%).\n2 punkty\npoprawny sposób obliczenia liczby wszystkich uczestników Dnia Sportu oraz poprawny\nsposób obliczenia liczby dzieci, które brały udział w turnieju tenisa stołowego.\n1 punkt\n• poprawny sposób obliczenia liczby wszystkich dziewcząt, które brały udział w Dniu Sportu\nLUB\n• poprawny sposób obliczenia liczby wszystkich uczestników Dnia Sportu,\nLUB\n• poprawny sposób obliczenia liczby dziewcząt, które brały udział w turnieju tenisa\nstołowego.\n0 punktów\nrozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe rozwiązania ocenione na 3 punkty\nI sposób\nNa podstawie danych z tabeli obliczymy, ilu chłopców uczestniczyło w Dniu Sportu:\n46 + 16 + 34 = 96\nObliczymy liczbę wszystkich dziewcząt, które brały udział w Dniu Sportu:\n96 + 8 = 104\nObliczymy liczbę wszystkich uczestników Dnia Sportu:\n96 + 104 = 200\nObliczymy liczbę wszystkich uczestników turnieju tenisa stołowego:\n200 -(46 + 16 + 15 + 65) = 200 -142 = 58\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nObliczymy, ile procent liczby wszystkich uczestników Dnia Sportu stanowi liczba uczestników\nturnieju tenisa stołowego:\n58\n200 = 29\n100 = 0,29 = 29%\nOdpowiedź: Liczba dzieci, które brały udział w turnieju tenisa stołowego, stanowi 29% liczby\nwszystkich uczestników Dnia Sportu.\nII sposób\nObliczymy liczbę wszystkich uczestników Dnia Sportu:\n96 + (96 + 8) = 200\nObliczymy liczbę dziewcząt, które uczestniczyły w turnieju tenisa stołowego:\n(96 + 8) -(15 + 65) = 24\nObliczymy liczbę wszystkich uczestników turnieju tenisa stołowego:\n34 + 24 = 58\nObliczymy, ile procent liczby wszystkich uczestników Dnia Sportu stanowi liczba uczestników\nturnieju tenisa stołowego:\n58\n200 ⋅100% = 29%\nOdpowiedź: Liczba dzieci, które brały udział w turnieju tenisa stołowego, stanowi 29% liczby\nwszystkich uczestników Dnia Sportu.\nIII sposób\nLiczba dziewcząt biorących udział w turnieju tenisa stołowego: 𝑥\nLiczba dziewcząt biorących udział w Dniu Sportu: 15 + 65 + 𝑥= 80 + 𝑥\nLiczba chłopców biorących udział w Dniu Sportu: 46 + 16 + 34 = 96\nZapiszemy i rozwiążemy równanie prowadzące do obliczenia liczby dziewcząt, które brały\nudział w turnieju tenisa stołowego:\n80 + 𝑥= 96 + 8\n80 + 𝑥= 104\n𝑥= 24\nObliczymy liczbę wszystkich uczestników turnieju tenisa stołowego:\n34 + 24 = 58\nObliczymy liczbę wszystkich uczestników Dnia Sportu:\n96 + 104 = 200\nObliczymy, ile procent liczby wszystkich uczestników Dnia Sportu stanowi liczba uczestników\nturnieju tenisa stołowego:\n58\n200 ⋅100% = 29\n100 ⋅100% = 29%\nOdpowiedź: Liczba dzieci, które brały udział w turnieju tenisa stołowego, stanowi 29% liczby\nwszystkich uczestników Dnia Sportu.\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki - termin główny 2026 r.","solution":"Łączna liczba chłopców:\n\n46+16+34=96\n\nDziewcząt było o 8 więcej:\n\n96+8=104\n\nW turnieju tenisa stołowego uczestniczyło dziewcząt:\n\n104-15-65=24\n\nŁącznie w tenisie stołowym uczestniczyło:\n\n24+34=58\n\nWszystkich uczestników było:\n\n104+96=200\n\nObliczamy procent:\n\n(58)/(200)·100%=29%\n\nOdpowiedź: 29%.","image":"img/matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty/zad-17.webp","solution_image":null,"topics":"Procenty","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · 2026","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty/zad/18","paper_id":"matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty","number":"18","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2026,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 18. (0-2)","answer":null,"answer_text":"Zadanie 18. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n3. Stosowanie strategii wynikającej\nz treści zadania, tworzenie strategii\nrozwiązania problemu, również\nw rozwiązaniach wieloetapowych oraz\nw takich, które wymagają umiejętności\nłączenia wiedzy z różnych działów\nmatematyki.\nKLASY VII i VIII\nXI. Geometria przestrzenna. Uczeń:\n2) oblicza objętości […] graniastosłupów\nprostych, prawidłowych i takich, które nie są\nprawidłowe […];\n3) oblicza objętości ostrosłupów […]\nprawidłowych, i takich które nie są prawidłowe\n[…].\nIII. Tworzenie wyrażeń algebraicznych z jedną\ni wieloma zmiennymi. Uczeń:\n3) zapisuje zależności przedstawione\nw zadaniach w postaci wyrażeń\nalgebraicznych jednej lub kilku zmiennych.\nZasady oceniania\n2 punkty - pełne rozwiązanie\npoprawny sposób obliczenia objętości ostrosłupa, prawidłowe obliczenia oraz poprawne\nustalenie, że objętość ostrosłupa jest 12 razy mniejsza od objętości sześcianu.\n1 punkt\n• zapisanie poprawnego wyrażenia jednej zmiennej opisującego objętość ostrosłupa 𝐴𝐶𝐷𝑆\nw zależności od długości krawędzi sześcianu, np.\n𝑉𝐴𝐶𝐷𝑆= 1\n3 ⋅1\n2 ⋅𝑎⋅𝑎⋅1\n2 ⋅𝑎 (lub zapisy równoważne)\nLUB\n• zapisanie poprawnego wzoru na objętość sześcianu 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 oraz zapisanie\npoprawnego wzoru na objętość ostrosłupa 𝐴𝐶𝐷𝑆 z uwzględnieniem zależności między\npolami podstaw a wysokościami tych brył, np. zapisanie\n𝑉𝑠= 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷⋅|𝐷𝐻| oraz 𝑉𝑜= 1\n3 ⋅1\n2 ⋅𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷⋅1\n2 ⋅|𝐷𝐻| (lub zapisy równoważne).\n0 punktów\nrozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.\nUwaga\nJeśli uczeń do rozwiązania zadania wykonuje obliczenia wyłącznie na konkretnych liczbach,\nto otrzymuje 0 punktów.\nPrzykładowe rozwiązania ocenione na 2 punkty\nI sposób\nZapiszemy wzór na objętość sześcianu 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻:\n𝑉𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻= 𝑎3\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZauważymy, że pole trójkąta 𝐴𝐶𝐷, który jest podstawą ostrosłupa 𝐴𝐶𝐷𝑆, stanowi połowę\npola kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷:\n𝑃𝐴𝐶𝐷= 1\n2 ⋅𝑎⋅𝑎\nUstalimy długość odcinka 𝐷𝑆, który jest wysokością ostrosłupa 𝐴𝐶𝐷𝑆:\n|𝐷𝑆| = 1\n2 ⋅𝑎\nZapiszemy wzór na objętość ostrosłupa 𝐴𝐶𝐷𝑆:\n𝑉𝐴𝐶𝐷𝑆= 1\n3 ⋅𝑃𝐴𝐶𝐷⋅|𝐷𝑆|\n𝑉𝐴𝐶𝐷𝑆= 1\n3 ⋅1\n2 ⋅𝑎⋅𝑎⋅1\n2 ⋅𝑎= 1\n12 ⋅𝑎3\nZatem:\n𝑉𝐴𝐶𝐷𝑆= 1\n12 ⋅𝑉𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻\nOdpowiedź: Objętość ostrosłupa 𝐴𝐶𝐷𝑆 jest 12 razy mniejsza od objętości\nsześcianu 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻.\nII sposób\nZapiszemy wzór na objętość sześcianu 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻:\n𝑉𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻= 𝑎3\nUstalimy długość odcinka 𝐷𝑆:\n|𝐷𝑆| = 1\n2 ⋅𝑎\nZauważymy, że krawędź 𝐴𝐷 jest wysokością ostrosłupa 𝐴𝐶𝐷𝑆 oraz trójkąt 𝑆𝐷𝐶 jest\npodstawą tego ostrosłupa. Obliczymy pole trójkąta 𝑆𝐷𝐶:\n𝑃𝑆𝐷𝐶= 1\n2 ⋅|𝐷𝑆| ⋅𝑎\n𝑃𝑆𝐷𝐶= 1\n2 ⋅1\n2 ⋅𝑎⋅𝑎= 1\n4 𝑎2\nZapiszemy wzór na objętość ostrosłupa 𝐴𝐶𝐷𝑆:\n𝑉𝐴𝐶𝐷𝑆= 1\n3 ⋅𝑃𝑆𝐷𝐶⋅|𝐴𝐷|\n𝑉𝐴𝐶𝐷𝑆= 1\n3 ⋅1\n4 ⋅𝑎2 ⋅𝑎= 1\n12 ⋅𝑎3\nZatem:\n𝑉𝐴𝐶𝐷𝑆= 1\n12 ⋅𝑉𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻\nOdpowiedź: Objętość ostrosłupa 𝐴𝐶𝐷𝑆 jest 12 razy mniejsza od objętości\nsześcianu 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻.\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki - termin główny 2026 r.\nIII sposób\nZauważymy, że pole trójkąta 𝐴𝐶𝐷, który jest podstawą ostrosłupa 𝐴𝐶𝐷𝑆, stanowi połowę\npola kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷, który jest podstawą sześcianu 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻.\nPonadto, wysokość 𝐷𝑆 ostrosłupa 𝐴𝐶𝐷𝑆 stanowi połowę długości krawędzi 𝐷𝐻\nsześcianu 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻.\nSkorzystamy ze wzoru na objętość ostrosłupa i zapiszemy:\n𝑉𝐴𝐶𝐷𝑆= 1\n3 ⋅𝑃𝐴𝐶𝐷⋅|𝐷𝑆| = 1\n3 ⋅1\n2 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷⋅1\n2 |𝐷𝐻| = 1\n12 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷⋅|𝐷𝐻| = 1\n12 𝑉𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻\nOdpowiedź: Objętość ostrosłupa 𝐴𝐶𝐷𝑆 jest 12 razy mniejsza od objętości\nsześcianu 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻.","solution":"Podstawą ostrosłupa ACDS może być trójkąt ACD . Jest to połowa kwadratu o boku a , więc:\n\nP_ACD=(a^2)/(2)\n\nPunkt S jest środkiem pionowej krawędzi DH , zatem wysokość ostrosłupa opuszczona na płaszczyznę podstawy wynosi:\n\nh=(a)/(2)\n\nObjętość ostrosłupa:\n\nV_o=(1)/(3)·(a^2)/(2)·(a)/(2)=(a^3)/(12)\n\nObjętość sześcianu:\n\nV_s=a^3\n\nPorównujemy objętości:\n\n(V_s)/(V_o)=(a^3)/(a^3/12)=12\n\nOdpowiedź: objętość ostrosłupa jest 12 razy mniejsza.","image":"img/matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty/zad-18.webp","solution_image":null,"topics":"Stereometria","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · 2026","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty/zad/19","paper_id":"matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty","number":"19","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2026,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 19. (0-3)","answer":"142,80 zł","answer_text":"Zadanie 19. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie modelu matematycznego\ndo prostej sytuacji oraz budowanie go\nw różnych kontekstach, także\nw kontekście praktycznym.\nKLASY IV-VI\nXI. Obliczenia w geometrii. Uczeń:\n3) oblicza pola: […] trapezu […] w sytuacjach\npraktycznych […].\nXIV. Zadania tekstowe. Uczeń:\n5) do rozwiązywania zadań osadzonych\nw kontekście praktycznym stosuje poznaną\nwiedzę z zakresu arytmetyki i geometrii oraz\nnabyte umiejętności rachunkowe, a także\nwłasne poprawne metody.\nZasady oceniania\n3 punkty - pełne rozwiązanie\npoprawny sposób obliczenia kosztu zakupu najmniejszej liczby opakowań z nasionami\npotrzebnych na obsianie całej powierzchni ogródka, prawidłowe obliczenia oraz prawidłowy\nwynik liczbowy (142,80 zł).\n2 punkty\npoprawny sposób obliczenia najmniejszej liczby opakowań z nasionami potrzebnych\nna obsianie całej powierzchni ogródka.\n1 punkt\npoprawny sposób obliczenia pola powierzchni ogródka.\n0 punktów\nrozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.\nUwagi\n1. Nie ocenia się stosowania jednostek.\nBłąd w zamianie jednostek traktuje się jako błąd rachunkowy.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n2. Jeżeli uczeń przedstawia niepoprawny sposób obliczenia pola powierzchni ogródka\ni otrzyma wynik, który\na) nie jest wielokrotnością liczby 25, a następnie zgodnie z otrzymanym wynikiem\npoprawnie oblicza minimalną liczbę opakowań z nasionami potrzebnych na obsianie\njego powierzchni oraz doprowadza rozwiązanie zadania do końca bez błędów\nrachunkowych, to za całe rozwiązanie zadania otrzymuje 1 punkt.\nb) jest wielokrotnością liczby 25, to za całe rozwiązanie zadania otrzymuje 0 punktów.\nPrzykładowe rozwiązania ocenione na 3 punkty\nI sposób\nObliczymy pole powierzchni ogródka. Skorzystamy ze wzoru na pole trapezu:\n𝑃𝑜𝑔𝑟ó𝑑𝑘𝑎= (18 + 12)\n2\n⋅9 = 30\n2 ⋅9 = 135 (m2)\nObliczymy liczbę potrzebnych opakowań z nasionami:\n135 ∶25 = 5,4\nLiczba potrzebnych opakowań musi być liczbą naturalną. Najmniejszą liczbą naturalną\nwiększą od 5,4 jest 6.\nObliczymy koszt zakupu 6 opakowań z nasionami:\n6 ⋅23,80 = 142,80 (zł)\nOdpowiedź: Pani Anna musi zapłacić za opakowania z nasionami 142,80 zł.\nII sposób\nObliczymy pole powierzchni ogródka. Skorzystamy ze wzoru na pole trapezu:\n𝑃𝑜𝑔𝑟ó𝑑𝑘𝑎= (18 + 12)\n2\n⋅9 = 30\n2 ⋅9 = 135 (m2)\nObliczymy liczbę opakowań z nasionami potrzebnych na obsianie 135 m2 ogródka:\n1 opakowanie z nasionami wystarczy na obsianie 25 m2 ogródka, więc:\n4 opakowania: 4 ⋅25 = 100 (m2) (za mało)\n5 opakowań: 5 ⋅25 = 125 (m2) (za mało)\n6 opakowań: 6 ⋅25 = 150 (m2) (wystarczy)\nObliczymy koszt zakupu 6 opakowań z nasionami:\n6 ⋅23,80 = 142,80 (zł)\nOdpowiedź: Pani Anna musi zapłacić za opakowania z nasionami 142,80 zł.\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki - termin główny 2026 r.","solution":"Pole ogrodu w kształcie trapezu:\n\nP=(18+12)/(2)·9=15·9=135 m^2\n\nJedno opakowanie wystarcza na 25 m². Potrzebna liczba opakowań:\n\n135:25=5 , 4\n\nTrzeba więc kupić 6 pełnych opakowań.\n\nKoszt:\n\n6·23 , 80=142 , 80 zł\n\nOdpowiedź: 142,80 zł.","image":"img/matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty/zad-19.webp","solution_image":null,"topics":"Pola i obwody","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · 2026","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty/zad/20","paper_id":"matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty","number":"20","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2026,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 20. (0-3)\nZADANIE 15. ZNAJDUJE SIĘ NA KARCIE ROZWIĄZAŃ ZADAŃ OTWARTYCH.\nWYKONAJ TO ZADANIE W WYZNACZONYM MIEJSCU NA KARCIE ROZWIĄZAŃ ZADAŃ\nOTWARTYCH.\nZADANIE 16. ZNAJDUJE SIĘ NA KARCIE ROZWIĄZAŃ ZADAŃ OTWARTYCH.\nWYKONAJ TO ZADANIE W WYZNACZONYM MIEJSCU NA KARCIE ROZWIĄZAŃ ZADAŃ\nOTWARTYCH.\nZADANIE 17. ZNAJDUJE SIĘ NA KARCIE ROZWIĄZAŃ ZADAŃ OTWARTYCH.\nWYKONAJ TO ZADANIE W WYZNACZONYM MIEJSCU NA KARCIE ROZWIĄZAŃ ZADAŃ\nOTWARTYCH.\nZADANIE 18. ZNAJDUJE SIĘ NA KARCIE ROZWIĄZAŃ ZADAŃ OTWARTYCH.\nWYKONAJ TO ZADANIE W WYZNACZONYM MIEJSCU NA KARCIE ROZWIĄZAŃ ZADAŃ\nOTWARTYCH.\nZADANIE 19. ZNAJDUJE SIĘ NA KARCIE ROZWIĄZAŃ ZADAŃ OTWARTYCH.\nWYKONAJ TO ZADANIE W WYZNACZONYM MIEJSCU NA KARCIE ROZWIĄZAŃ ZADAŃ\nOTWARTYCH.\nZADANIE 20. ZNAJDUJE SIĘ NA KARCIE ROZWIĄZAŃ ZADAŃ OTWARTYCH.\nWYKONAJ TO ZADANIE W WYZNACZONYM MIEJSCU NA KARCIE ROZWIĄZAŃ ZADAŃ\nOTWARTYCH.\nOMAP-100-2605\nBrudnopis (nie podlega ocenie)\nMATEMATYKA\nEgzamin ósmoklasisty\nMATEMATYKA\nEgzamin ósmoklasisty\nMATEMATYKA\nEgzamin ósmoklasisty\nOMAP-100-2605\nKARTA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ OTWARTYCH 15-20\nWYPEŁNIA UCZEŃ\nMiejsce na naklejkę.\nSprawdź, czy kod na naklejce to\nJeżeli tak - przyklej naklejkę.\nJeżeli nie - zgłoś to nauczycielowi.\nO-100\nOMA 100\n6 5\nP-\n-2 0\nKOD UCZNIA\nPESEL\nMATEMATYKA\nOMAP-100-2605\nZadanie 15. (0-2)\nDo wykonania origami Ela przygotowała łącznie 160 kartek. Każda z tych kartek była\nw jednym z czterech kolorów: białym, niebieskim, zielonym lub czerwonym. Kartek białych\nbyło 37. Kartek niebieskich było 1,5 raza więcej niż czerwonych, a kartek zielonych było\no 10 mniej niż czerwonych.\nOblicz, ile kartek niebieskich przygotowała Ela. Zapisz obliczenia.\nOMAP-100-2605\nKOD UCZNIA\nPESEL\nMiejsce na naklejkę.\nSprawdź, czy kod na naklejce to\nJeżeli tak - przyklej naklejkę.\nJeżeli nie - zgłoś to nauczycielowi.\nO-100\nWYPEŁNIA UCZEŃ\nZadanie 16. (0-3)\nZ Polanki do Dębiny prowadzi jedna droga przez Jodłowo i ma długość 123 km.\nDroga z Polanki do Jodłowa ma długość 48 km i samochód przejechał ją w czasie 40 minut.\nDrogę z Jodłowa do Dębiny ten samochód pokonał z taką samą prędkością, jak drogę\nz Polanki do Jodłowa.\nUzasadnij, że przejazd tego samochodu z Jodłowa do Dębiny trwał dłużej niż godzinę.\nZapisz obliczenia.\nOMAP-100-2605\nZadanie 17. (0-3)\nPodczas Dnia Sportu w pewnej szkole rozegrano trzy turnieje sportowe. Każde dziecko, które\nbyło uczestnikiem tego Dnia Sportu, wzięło udział w dokładnie jednym turnieju sportowym.\nW tabeli podano informacje dotyczące liczby dzieci biorących udział w poszczególnych turniejach.\nŁączna liczba dziewcząt była o 8 większa od łącznej liczby chłopców uczestniczących\nw tym Dniu Sportu.\nOblicz, ile procent liczby wszystkich uczestników Dnia Sportu stanowi liczba dzieci,\nktóre brały udział w turnieju tenisa stołowego. Zapisz obliczenia.\nTurniej piłki nożnej\nTurniej tańca\nTurniej tenisa\nstołowego\nLiczba dziewcząt\n15\n65\n?\nLiczba chłopców\n46\n16\n34\nOMAP-100-2605\nWYPEŁNIA UCZEŃ\nKOD UCZNIA\nPESEL\nMiejsce na naklejkę.\nSprawdź, czy kod na naklejce to\nJeżeli tak - przyklej naklejkę.\nJeżeli nie - zgłoś to nauczycielowi.\nO-100\nZadanie 18. (0-2)\nDany jest sześcian 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 o krawędzi długości 𝑎. Punkt 𝑆 jest środkiem krawędzi 𝐷𝐻\ntego sześcianu. Punkty 𝐴, 𝐶, 𝐷, 𝑆 są wierzchołkami ostrosłupa trójkątnego (zobacz rysunek).\nOblicz, ile razy objętość ostrosłupa 𝑨𝑪𝑫𝑺 jest mniejsza od objętości\nsześcianu 𝑨𝑩𝑪𝑫𝑬𝑭𝑮𝑯. Zapisz obliczenia.\n𝐵\n𝐴\n𝐶\n𝐷\n𝐹\n𝐸\n𝐺\n𝑆\n𝐻\nOMAP-100-2605\nZadanie 19. (0-3)\nOgródek pani Anny ma kształt trapezu, którego podstawy mają długości 18 m i 12 m,\na wysokość jest równa 9 m. Pani Anna chce zmienić swój ogródek w łąkę kwietną.\nJedno opakowanie z nasionami wybrane przez panią Annę wystarcza na obsianie 25 m2\npowierzchni i kosztuje 23,80 zł.\nOblicz, ile złotych musi zapłacić pani Anna za najmniejszą liczbę opakowań z nasionami\npotrzebnych na obsianie całej powierzchni tego ogródka. Zapisz obliczenia.\nOMAP-100-2605\nWYPEŁNIA UCZEŃ\nMiejsce na naklejkę.\nSprawdź, czy kod na naklejce to\nJeżeli tak - przyklej naklejkę.\nJeżeli nie - zgłoś to nauczycielowi.\nO-100\nKOD UCZNIA\nPESEL\nZadanie 20. (0-3)\n𝐵\n𝐶\n𝐴\n𝐷\n𝐿\n𝑀\n𝐾\n𝑁\nRysunek 1.\nRysunek 2.\nZ kartonu wycięto prostokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷 o wymiarach 3 i 9 (zobacz rysunek 1.). Następnie ten\nprostokąt rozcięto na dwie figury: trapez prostokątny oraz trójkąt prostokątny równoramienny.\nZ tych figur złożono równoległobok 𝐾𝐿𝑀𝑁, który nie jest prostokątem (zobacz rysunek 2.).\nOblicz obwód równoległoboku 𝑲𝑳𝑴𝑵. Zapisz obliczenia.\nOMAP-100-2605\nBrudnopis (nie podlega ocenie)","answer":"18+6√(2)","answer_text":"Zadanie 20. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n3. Używanie języka matematycznego do\nopisu rozumowania i uzyskanych\nwyników.\nKLASY IV-VI\nXI. Obliczenia w geometrii. Uczeń:\n2) oblicza obwód wielokąta o danych\ndługościach boków.\nKLASY VII i VIII\nII. Pierwiastki. Uczeń:\n4) oblicza pierwiastek z iloczynu i ilorazu\ndwóch liczb, wyłącza liczbę przed znak\npierwiastka […].\nVIII. Własności figur geometrycznych na\npłaszczyźnie. Uczeń:\n7) zna i stosuje w sytuacjach praktycznych\ntwierdzenie Pitagorasa (bez twierdzenia\nodwrotnego).\nZasady oceniania\n3 punkty - pełne rozwiązanie\npoprawny sposób obliczenia obwodu równoległoboku 𝐾𝐿𝑀𝑁, prawidłowe obliczenia oraz\nprawidłowy wynik liczbowy (18 + 2√18 lub 18 + 6√2).\n2 punkty\npoprawny sposób obliczenia obwodu równoległoboku 𝐾𝐿𝑀𝑁.\n1 punkt\n• poprawny sposób obliczenia długości przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego\nrównoramiennego o przyprostokątnej długości 3 z wykorzystaniem twierdzenia\nPitagorasa, np. zapisanie\n𝑐2 = 32 + 32, gdzie 𝑐 jest długością przeciwprostokątnej tego trójkąta\nLUB\n• ustalenie długości przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego równoramiennego\no przyprostokątnej długości 3 bez przedstawienia sposobu jej obliczenia (3√2),\nnp. zapisanie na rysunku.\n0 punktów\nrozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.\nUwagi\n1. Nie akceptuje się rozwiązań zadania opartych na pomiarze, np. linijką.\n2. Jeżeli uczeń rozwiązuje zadanie bez błędów rachunkowych, ale do obliczenia obwodu\nrównoległoboku stosuje przybliżenia pierwiastków, to za rozwiązanie zadania otrzymuje\n2 punkty.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe rozwiązania ocenione na 3 punkty\nI sposób\nZaznaczymy na rysunku 1. długości boków prostokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷 oraz linię rozcięcia tego\nprostokąta na dwie figury: trapez prostokątny i trójkąt prostokątny równoramienny.\nZauważymy, że przesunięcie trójkąta prostokątnego równoramiennego w sposób pokazany\nna rysunku 2. prowadzi do otrzymania równoległoboku 𝐾𝐿𝑀𝑁.\nObliczymy długość boku 𝐾𝑁 równoległoboku 𝐾𝐿𝑀𝑁. Skorzystamy z twierdzenia\nPitagorasa:\n|𝐾𝑁|2 = 32 + 32\n|𝐾𝑁|2 = 18\n|𝐾𝑁| = √18 = 3√2\nObliczymy obwód równoległoboku 𝐾𝐿𝑀𝑁:\n𝑂𝐾𝐿𝑀𝑁= 2 ⋅9 + 2 · 3√2\n𝑂𝐾𝐿𝑀𝑁= 18 + 6√2\nOdpowiedź: Obwód równoległoboku 𝐾𝐿𝑀𝑁 jest równy 18 + 6√2.\nII sposób\nZaznaczymy na rysunku 1. długości boków prostokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷 oraz punkt 𝐸, który jest\njednym z wierzchołków trójkąta prostokątnego równoramiennego 𝐸𝐵𝐶 o przyprostokątnych\ndługości 3.\nZ wierzchołka 𝐸 narysujemy odcinek prostopadły do boków 𝐴𝐵 i 𝐶𝐷 prostokąta.\nZauważymy, że przeciwprostokątna 𝐸𝐶 trójkąta 𝐸𝐵𝐶 jest także przekątną kwadratu\no boku długości 3. Stąd otrzymujemy:\n|𝐸𝐶| = 3√2\nPonadto:\n|𝐸𝐶| = |𝐾𝑁| = |𝐿𝑀|\n3\n3\n𝐵\n𝐶\n𝐴\n𝐷\n𝐿\n𝑀\n𝐾\n𝑁\nRysunek 1.\nRysunek 2.\n9\n3\n3\n𝐸\n3\n3\n𝐵\n𝐶\n𝐴\n𝐷\n𝐿\n𝑀\n𝐾\n𝑁\nRysunek 1.\nRysunek 2.\n9\n3\n3\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki - termin główny 2026 r.\nObliczymy obwód równoległoboku 𝐾𝐿𝑀𝑁:\n𝑂𝐾𝐿𝑀𝑁= 2 ⋅9 + 2 · 3√2\n𝑂𝐾𝐿𝑀𝑁= 18 + 6√2\nOdpowiedź: Obwód równoległoboku 𝐾𝐿𝑀𝑁 jest równy 18 + 6√2.","solution":"Trójkąt odcięty od prostokąta jest prostokątny równoramienny. Jedna jego przyprostokątna jest równa krótszemu bokowi prostokąta, czyli 3. Druga także ma długość 3.\n\nJego przeciwprostokątna ma długość:\n\nd=√(3^2+3^2)=√(18)=3√(2)\n\nPo złożeniu figur przeciwprostokątne tworzą dwa skośne boki równoległoboku. Dłuższy bok równoległoboku ma długość 9.\n\nObwód równoległoboku wynosi:\n\nO=2(9+3√(2))=18+6√(2)\n\nOdpowiedź: 18+6√(2) .","image":"img/matematyka-2026-egzamin-osmoklasisty/zad-20.webp","solution_image":null,"topics":"Pola i obwody","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · 2026","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"}]}