{"paper":{"id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":41,"source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba √25\n8 ⋅√2 + 2-1 jest równa\nA. 1\nB. 2\nC. 3\nD. 4\nLiczba √{25/8} ⋅ √2 + 2^{-1} jest równa A. 1 B. 2 C. 3 D. 4","answer":"C","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nWymagania określone w podstawie programowej1\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach\nrzeczywistych, także przy użyciu\nkalkulatora, stosowanie praw działań\nmatematycznych przy przekształcaniu\nwyrażeń algebraicznych oraz\nwykorzystywanie tych umiejętności przy\nrozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nZdający:\nI.1) wykonuje działania (dodawanie,\nodejmowanie, mnożenie, dzielenie,\npotęgowanie, pierwiastkowanie,\nlogarytmowanie) w zbiorze liczb\nrzeczywistych;\nI.4) stosuje […] prawa działań na […]\npierwiastkach.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nC\nB\n1 Rozporządzenie Ministra Edukacji z dnia 28 czerwca 2024 r. zmieniające rozporządzenie w sprawie podstawy\nprogramowej kształcenia ogólnego dla liceum ogólnokształcącego, technikum oraz branżowej szkoły II stopnia\n(Dz.U. z 2024 r. poz. 1019).\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Odpowiedź: C\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nPołącz pierwiastki. $\\sqrt{a} \\cdot \\sqrt{b} = \\sqrt{a \\cdot b}$:\n\n$$\\sqrt{\\frac{25}{8}} \\cdot \\sqrt{2} = \\sqrt{\\frac{25}{8} \\cdot 2} = \\sqrt{\\frac{25}{4}}$$\n\nOblicz pierwiastek:\n\n$$\\sqrt{\\frac{25}{4}} = \\frac{\\sqrt{25}}{\\sqrt{4}} = \\frac{5}{2}$$\n\nDodaj $2^{-1} = \\frac{1}{2}$:\n\n$$\\frac{5}{2} + \\frac{1}{2} = \\frac{6}{2} = 3$$\n\nPo co to umieć\n\nPodstawowe własności pierwiastków i potęg:\n- $\\sqrt{a} \\cdot \\sqrt{b} = \\sqrt{ab}$\n- $\\sqrt{\\frac{a}{b}} = \\frac{\\sqrt{a}}{\\sqrt{b}}$\n- $a^{-n} = \\frac{1}{a^n}$\n- $a^0 = 1$ ($a \\neq 0$)\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: $2^{-1} = -2$. Pamiętaj, że $a^{-n} = \\frac{1}{a^n}$, więc $2^{-1} = \\frac{1}{2}$.","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-1.svg","topics":"pierwiastki, potęgi, działania na liczbach, Liczby rzeczywiste, algebra","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (0-1)\nKlient wpłacił do banku 10 000 zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie\noszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości 6% od kwoty bieżącego kapitału\nznajdującego się na lokacie - zgodnie z procentem składanym.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nPo dwóch latach oszczędzania łączna wartość doliczonych odsetek na tej lokacie (bez\nuwzględniania podatków) jest równa\nA. 1200 zł\nB. 1236 zł\nC. 1836 zł\nD. 3600 zł\n\nMMAP-P0_100\nKlient wpłacił do banku 10 000 zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości 6% od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie - zgodnie z procentem składanym. Po dwóch latach oszczędzania łączna wartość doliczonych odsetek na tej lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa A. 1200 zł B. 1236 zł C. 1836 zł D. 3600 zł","answer":"B","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach\nrzeczywistych, także przy użyciu\nkalkulatora, stosowanie praw działań\nmatematycznych przy przekształcaniu\nwyrażeń algebraicznych oraz\nwykorzystywanie tych umiejętności przy\nrozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nZdający:\nI.8) wykorzystuje własności potęgowania\ni pierwiastkowania w sytuacjach\npraktycznych, w tym do obliczania\nprocentów składanych, zysków z lokat\ni kosztów kredytów.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nB\nC","solution":"Odpowiedź: B\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nWzór na kapitał po $n$ latach (procent składany):\n\n$$K_n = K_0 (1 + r)^n$$\n\nTutaj: $K_0 = 10\\,000$, $r = 0{,}06$, $n = 2$.\n\nKapitał po 2 latach:\n\n$$K_2 = 10\\,000 \\cdot 1{,}06^2 = 10\\,000 \\cdot 1{,}1236 = 11\\,236 \\text{ zł}$$\n\nAlternatywnie: po 1. roku $10\\,000 \\cdot 1{,}06 = 10\\,600$; po 2. roku $10\\,600 \\cdot 1{,}06 = 11\\,236$.\n\nOdsetki = przyrost kapitału:\n\n$$O = K_2 - K_0 = 11\\,236 - 10\\,000 = 1\\,236 \\text{ zł}$$\n\nPo co to umieć\n\nProcent składany: $K_n = K_0 (1 + r)^n$\nProcent prosty: $K_n = K_0 (1 + r \\cdot n)$\n\nPo 1 roku oba są równe. Im więcej lat, tym większa różnica — to istota „odsetek od odsetek\".\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: $1200$ zł (procent prosty: $2 \\cdot 6\\% \\cdot 10000$). Procent **składany** dolicza odsetki od bieżącego kapitału (z odsetkami z poprzedniego roku), więc po 2 latach to $1236$ zł, nie $1200$.","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-2.svg","topics":"procent składany, lokata, Procenty, ciagi","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba √5√5 jest równa\nA. 5\n1\n4\nB. 5\n1\n2\nC. 5\n3\n4\nD. 5\nLiczba √{5√5} jest równa A. 5^{1/4} B. 5^{1/2} C. 5^{3/4} D. 5","answer":"C","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nI.4) stosuje związek pierwiastkowania\nz potęgowaniem oraz prawa działań na\npotęgach i pierwiastkach.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nC\nD","solution":"Odpowiedź: C\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nZamień pierwiastki na potęgi ułamkowe. $\\sqrt{a} = a^{1/2}$:\n\n$$\\sqrt{5} = 5^{1/2}$$\n\n$$5\\sqrt{5} = 5^1 \\cdot 5^{1/2} = 5^{1 + 1/2} = 5^{3/2}$$\n\nPierwiastek z $5^{3/2}$:\n\n$$\\sqrt{5^{3/2}} = 5^{\\frac{3/2}{2}} = 5^{3/4}$$\n\nPo co to umieć\n\nPierwiastki = potęgi o wykładniku ułamkowym: $\\sqrt[n]{a^k} = a^{k/n}$. Dla zadań z zagnieżdżonymi pierwiastkami zawsze przejdź na potęgi — działania są wtedy oczywiste.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: $\\sqrt{5\\sqrt{5}} = 5$ albo $5^{1/2}$. Pamiętaj o **podwójnym pierwiastku** — sam $\\sqrt{5} = 5^{1/2}$, a cała wartość $\\sqrt{5 \\cdot 5^{1/2}} = 5^{3/4}$.","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-3.svg","topics":"pierwiastki, potęgi ułamkowe, Liczby rzeczywiste, algebra","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba log8 4 -log8 32 jest równa\nA. (-2)\nB. (-1)\nC. 1\nD. 2\n\nMMAP-P0_100\nLiczba log_8 4 - log_8 32 jest równa A. (-2) B. (-1) C. 1 D. 2","answer":"B","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nI.9) stosuje związek logarytmowania\nz potęgowaniem, posługuje się wzorami na\nlogarytm iloczynu, logarytm ilorazu\ni logarytm potęgi.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nB\nC","solution":"Odpowiedź: B\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nSkorzystaj ze wzoru na logarytm ilorazu:\n\n$$\\log_a x - \\log_a y = \\log_a \\frac{x}{y}$$\n\n$$\\log_8 4 - \\log_8 32 = \\log_8 \\frac{4}{32} = \\log_8 \\frac{1}{8}$$\n\nWykorzystaj definicję logarytmu: $\\log_a \\frac{1}{a} = \\log_a a^{-1} = -1$.\n\n$$\\log_8 \\frac{1}{8} = -1$$\n\nPo co to umieć\n\nWzory logarytmów:\n- $\\log_a (xy) = \\log_a x + \\log_a y$\n- $\\log_a \\frac{x}{y} = \\log_a x - \\log_a y$\n- $\\log_a x^k = k \\log_a x$\n- $\\log_a \\frac{1}{a^n} = -n$\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: dzielenie liczb $\\frac{4}{32} = \\frac{1}{8}$ → poprawne, ale $\\log_8 \\frac{1}{8} = -1$, nie $\\frac{1}{8}$ ani $-8$. Logarytm $\\frac{1}{a}$ to wykładnik $-1$.","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-4.svg","topics":"logarytmy, różnica logarytmów","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"true_false","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (0-1)\nOceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest\nprawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.\nLiczba naturalna 412 ⋅524 jest podzielna przez 20.\nP\nF\nLiczba naturalna 412 ⋅524 jest w zapisie dziesiętnym liczbą 25-cyfrową.\nP\nF\nOceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Liczba naturalna 4^12 ⋅ 5^24 jest podzielna przez 20. | P | F | Liczba naturalna 4^12 ⋅ 5^24 jest w zapisie dziesiętnym liczbą 25-cyfrową. | P | F |","answer":"PP","answer_text":"Zadanie 5. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nI.2) przeprowadza proste dowody dotyczące\npodzielności liczb całkowitych;\nI.4) stosuje […] prawa działań na potęgach\n[…].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nPP\nPP\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Odpowiedź: PP\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nUprość iloczyn. $4 = 2^2$, więc $4^{12} = 2^{24}$. Stąd:\n\n$$4^{12} \\cdot 5^{24} = 2^{24} \\cdot 5^{24} = (2 \\cdot 5)^{24} = 10^{24}$$\n\nTo liczba $1\\underbrace{000\\ldots0}_{24 \\text{ zer}}$.\n\nZdanie 1: $10^{24}$ podzielna przez $20$? $10^{24} = 20 \\cdot 5 \\cdot 10^{22}$ (bo $20 \\cdot 5 = 100$). Tak — P.\n\nZdanie 2: $10^{24}$ jest liczbą 25-cyfrową? $10^{24}$ to \"1 i 24 zera\" = 25 cyfr. Tak — P.\n\nPo co to umieć\n\nReguła: $a^n \\cdot b^n = (ab)^n$. Często pozwala przekształcić dziwny iloczyn potęg do $10^n$, co radykalnie upraszcza zadanie.\n\nLiczba cyfr $10^n$: $n + 1$.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: nieuznanie, że $4^{12} \\cdot 5^{24} = 10^{24}$. Klucz: $4^{12} = 2^{24}$, więc iloczyn to $2^{24} \\cdot 5^{24} = 10^{24}$. To liczba $1\\underbrace{00\\ldots0}_{24}$ — łatwo sprawdzić oba stwierdzenia.","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-5.svg","topics":"potęgi, podzielność, liczba cyfr, Liczby rzeczywiste, liczby_naturalne","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWartość wyrażenia 𝑥2 + 10𝑥+ 25 dla 𝑥= √2 -5 jest równa\nA. 2\nB. √2\nC. 2 -20√2\nD. 62 -10√2\n\nMMAP-P0_100\nWartość wyrażenia x² + 10x + 25 dla x = √2 - 5 jest równa A. 2 B. √2 C. 2-20√2 D. 62-10√2","answer":"A","answer_text":"Zadanie 6. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach\nrzeczywistych, także przy użyciu\nkalkulatora, stosowanie praw działań\nmatematycznych przy przekształcaniu\nwyrażeń algebraicznych oraz\nwykorzystywanie tych umiejętności przy\nrozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nZdający:\nII.1) stosuje wzory skróconego mnożenia\nna: (𝑎+ 𝑏)2, (𝑎-𝑏)2, 𝑎2 -𝑏2.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nA\nB","solution":"Odpowiedź: A\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nRozpoznaj wzór skróconego mnożenia. $x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2$.\n\nPodstaw $x = \\sqrt{2} - 5$:\n\n$$x + 5 = \\sqrt{2} - 5 + 5 = \\sqrt{2}$$\n\nPodnieś do kwadratu:\n\n$$(x + 5)^2 = (\\sqrt{2})^2 = 2$$\n\nPo co to umieć\n\nZawsze sprawdź czy wyrażenie to kwadrat sumy/różnicy: $a^2 \\pm 2ab + b^2 = (a \\pm b)^2$. Skraca radykalnie obliczenia, gdy $x$ jest \"dobrane\" pod ten wzór.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: bezpośrednie podstawianie i rozwijanie kwadratu pierwiastka — dużo rachunków. Klucz: zauważyć, że $x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2$, więc $x + 5 = \\sqrt{2}$, a kwadrat = $2$.","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-6.svg","topics":"wzory skróconego mnożenia, podstawianie, algebra","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa","number":"7","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (0-2)\nWykaż, że dla każdej liczby całkowitej 𝒏 liczba 𝟕𝒏𝟐+ 𝟐𝟏𝒏 jest podzielna przez 𝟏𝟒.\n7.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\nWykaż, że dla każdej liczby całkowitej n liczba 7n² + 21n jest podzielna przez 14.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 7. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nI.2) przeprowadza proste dowody dotyczące\npodzielności liczb całkowitych i reszt\nz dzielenia […].\nZasady oceniania\n2 pkt - przeprowadzenie pełnego rozumowania, tj.\nuzasadnienie, że liczba 7𝑛2 + 21𝑛 jest podzielna przez 7 i przez 2\nLUB\nrozpatrzenie przypadku, gdy 𝑛= 2𝑘, tj. uzasadnienie, że liczba\n7 ⋅(2𝑘)2 + 21 ⋅(2𝑘) jest podzielna przez 14, oraz rozpatrzenie przypadku,\ngdy 𝑛= 2𝑘+ 1, tj. uzasadnienie, że liczba 7 ⋅(2𝑘+ 1)2 + 21 ⋅(2𝑘+ 1) jest\npodzielna przez 14.\n1 pkt - uzasadnienie, że liczba 7𝑛2 + 21𝑛 jest podzielna przez 7\nALBO\n- uzasadnienie, że liczba 7𝑛2 + 21𝑛 jest podzielna przez 2,\nALBO\n- rozpatrzenie przypadku, gdy 𝑛= 2𝑘, tj. uzasadnienie, że liczba\n7 ⋅(2𝑘)2 + 21 ⋅(2𝑘) jest podzielna przez 14,\nALBO\n- rozpatrzenie przypadku, gdy 𝑛= 2𝑘+ 1, tj. uzasadnienie, że liczba\n7 ⋅(2𝑘+ 1)2 + 21 ⋅(2𝑘+ 1) jest podzielna przez 14.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość tezy tylko dla wybranych wartości 𝑛, to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający wykazuje, że dla każdej liczby całkowitej 𝑛 wyrażenie 7𝑛2 -21𝑛\n(zamiast 7𝑛2 + 21𝑛) jest podzielne przez 14, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za\ncałe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający przyjmuje np. 𝑛= 14𝑘+ 𝑟, gdzie 𝑘∈ℤ i 𝑟 jest resztą z dzielenia liczby\n𝑛 przez 14, i przeprowadzi pełne rozumowanie dla wszystkich przypadków, to otrzymuje\n2 punkty.\nGdy przeprowadzi pełne rozumowanie dla co najmniej połowy przypadków, ale nie\nprzeprowadzi pełnego rozumowania dla wszystkich przypadków, to otrzymuje 1 punkt za\ncałe rozwiązanie.\n4. Jeżeli zdający zapisze równanie 7𝑛(𝑛+ 3) = 0 (lub 7(𝑛2 + 3𝑛) = 0), to nie uznaje się\ntego zapisu jako uzasadnienia podzielności wyrażenia 7𝑛2 + 21𝑛 przez 7.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nLiczba 7𝑛2 + 21𝑛 jest podzielna przez 7 jako suma dwóch liczb podzielnych przez 7.\nGdy liczba 𝑛 jest parzysta, to liczby 7𝑛2 oraz 21𝑛 są parzyste, więc liczba 7𝑛2 + 21𝑛\njest parzysta jako suma dwóch liczb parzystych.\nGdy liczba 𝑛 jest nieparzysta, to liczby 7𝑛2 oraz 21𝑛 są nieparzyste jako iloczyny liczb\nnieparzystych i w konsekwencji liczba 7𝑛2 + 21𝑛 jest parzysta jako suma dwóch liczb\nnieparzystych.\nZatem liczba 7𝑛2 + 21𝑛 jest podzielna przez 2 i przez 7. Liczby 2 i 7 są względnie\npierwsze, więc liczba 7𝑛2 + 21𝑛 jest podzielna przez 2 ⋅7 = 14. To należało wykazać.\nSposób II\nPrzedstawiamy liczbę 7𝑛2 + 21𝑛 w postaci iloczynu:\n7𝑛2 + 21𝑛= 7𝑛(𝑛+ 3)\nJeżeli liczba 𝑛 jest parzysta, to wtedy liczba 𝑛+ 3 jest nieparzysta.\nJeżeli liczba 𝑛 jest nieparzysta, to wtedy liczba 𝑛+ 3 jest parzysta.\nWynika stąd, że liczba 𝑛(𝑛+ 3) jest podzielna przez 2.\nZatem liczba 7𝑛(𝑛+ 3) jest podzielna przez 7 ⋅2 = 14. To należało wykazać.\nSposób III\nRozważamy dwa przypadki: gdy liczba 𝑛 jest parzysta i gdy liczba 𝑛 jest nieparzysta.\nParzystą liczbę 𝑛 możemy zapisać w postaci 𝑛= 2𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ.\nWtedy:\n7𝑛2 + 21𝑛= 7 ⋅(2𝑘)2 + 21 ⋅(2𝑘) = 28𝑘2 + 42𝑘= 14 ⋅(2𝑘2 + 3𝑘)\nPonieważ 𝑘 jest liczbą całkowitą, to liczba 2𝑘2 + 3𝑘 również jest całkowita, zatem iloczyn\n14 ⋅(2𝑘2 + 3𝑘) jest podzielny przez 14.\nNieparzystą liczbę 𝑛 możemy zapisać w postaci 𝑛= 2𝑘+ 1, gdzie 𝑘∈ℤ.\nWtedy:\n7𝑛2 + 21𝑛= 7 ⋅(2𝑘+ 1)2 + 21 ⋅(2𝑘+ 1) = 7(4𝑘2 + 4𝑘+ 1) + 42𝑘+ 21 =\n= 28𝑘2 + 28𝑘+ 7 + 42𝑘+ 21 = 28𝑘2 + 70𝑘+ 28 = 14 ⋅(2𝑘2 + 5𝑘+ 2)\nPonieważ 𝑘 jest liczbą całkowitą, to liczba 2𝑘2 + 5𝑘+ 2 również jest całkowita, zatem\niloczyn 14 ⋅(2𝑘2 + 5𝑘+ 2) jest podzielny przez 14. To należało wykazać.\nSposób IV\nPrzedstawiamy liczbę 7𝑛2 + 21𝑛 w postaci iloczynu:\n7𝑛2 + 21𝑛= 7𝑛(𝑛+ 3)\nRozważamy dwa przypadki: gdy liczba 𝑛 jest parzysta i gdy liczba 𝑛 jest nieparzysta.\nParzystą liczbę 𝑛 możemy zapisać w postaci 𝑛= 2𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ.\nWtedy:\n7𝑛(𝑛+ 3) = 7 ⋅2𝑘⋅(2𝑘+ 3) = 14 ⋅𝑘(2𝑘+ 3)\nPonieważ 𝑘 jest liczbą całkowitą, to liczba 2𝑘+ 3 również jest całkowita, zatem iloczyn\n14 ⋅𝑘(2𝑘+ 3) jest podzielny przez 14.\nNieparzystą liczbę 𝑛 możemy zapisać w postaci 𝑛= 2𝑘+ 1, gdzie 𝑘∈ℤ.\nWtedy:\n7𝑛(𝑛+ 3) = 7(2𝑘+ 1)(2𝑘+ 1 + 3) = 14 ⋅(2𝑘+ 1)(𝑘+ 2)\nPonieważ 𝑘 jest liczbą całkowitą, to liczby 2𝑘+ 1 oraz 𝑘+ 2 również są całkowite,\nzatem iloczyn 14 ⋅(2𝑘+ 1)(𝑘+ 2) jest podzielny przez 14. To należało wykazać.","solution":"Odpowiedź: $7n^2 + 21n = 7n(n+3)$. Wystarczy pokazać, że $n(n+3)$ jest podzielna przez $2$. Liczby $n$ i $n+3$ mają **różną parzystość** (różnią się o liczbę nieparzystą $3$), więc dokładnie jedna z nich jest parzysta. Iloczyn $n(n+3) = 2k$ dla pewnego $k$, stąd $7n(n+3) = 14k$. ∎\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nWyłącz wspólny czynnik:\n\n$$7n^2 + 21n = 7n(n + 3)$$\n\nCel: Pokazać, że $7n(n+3)$ jest podzielne przez $14 = 7 \\cdot 2$. Współczynnik $7$ już mamy. Wystarczy wykazać, że $n(n+3)$ jest parzyste.\n\nZauważ kluczową własność: $n$ i $n+3$ mają różną parzystość, bo różnica jest nieparzysta ($3$). Więc dokładnie jedna z nich jest parzysta:\n\n- $n$ parzyste → $n = 2k$ → $n(n+3) = 2k(2k+3)$ podzielne przez $2$\n- $n$ nieparzyste → $n+3$ parzyste → $n+3 = 2k$ → $n(n+3) = n \\cdot 2k$ podzielne przez $2$\n\nW obu przypadkach $n(n+3) = 2m$ dla pewnego $m \\in \\mathbb{Z}$.\n\nWniosek:\n\n$$7n(n+3) = 7 \\cdot 2m = 14m$$\n\nTo znaczy, że $7n^2 + 21n$ jest podzielne przez $14$ dla każdej liczby całkowitej $n$. ∎\n\nPo co to umieć\n\nReguła parzystości iloczynu: dwie liczby o różnej parzystości dają iloczyn parzysty. Dwie liczby o tej samej parzystości — iloczyn też tej samej parzystości jak składniki (parzyste × parzyste = parzyste, nieparzyste × nieparzyste = nieparzyste).\n\nLiczby $n, n+1$ (kolejne): zawsze różna parzystość → iloczyn parzysty.\nLiczby $n, n+3$ (różnica nieparzysta): też różna parzystość → iloczyn parzysty.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: \"$n$ i $n+3$ to liczby kolejne\" — **NIE**. Kolejne to $n, n+1$. Tutaj $n+3$ ma inną parzystość niż $n$ (różnica nieparzysta), więc działają jak liczby kolejne pod względem parzystości.","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-7.svg","topics":"dowód, podzielność, parzystość liczb sąsiednich, Dowody algebraiczne, liczby_naturalne","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (0-1)\nDane jest równanie\n3(𝑥+ 3)(𝑥-𝑚)(2𝑥+ 4) = 0\ngdzie 𝑥 jest niewiadomą, natomiast 𝑚 jest pewną liczbą rzeczywistą.\nSuma wszystkich rozwiązań tego równania jest równa 0.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba 𝑚 jest równa\nA. (-7)\nB. 2\nC. 5\nD. 7\nDane jest równanie 3(x+3)(x-m)(2x+4) = 0 gdzie x jest niewiadomą, natomiast m jest pewną liczbą rzeczywistą. Suma wszystkich rozwiązań tego równania jest równa 0. Liczba m jest równa A. (-7) B. 2 C. 5 D. 7","answer":"C","answer_text":"Zadanie 8. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIII.5) rozwiązuje równania wielomianowe\npostaci 𝑊(𝑥) = 0 dla wielomianów\ndoprowadzonych do postaci iloczynowej.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nC\nB","solution":"Odpowiedź: C\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nIloczyn = 0 ⟺ któryś czynnik = 0. Rozwiązania:\n- $x + 3 = 0 \\implies x = -3$\n- $x - m = 0 \\implies x = m$\n- $2x + 4 = 0 \\implies x = -2$\n\nSuma rozwiązań:\n\n$$-3 + m + (-2) = 0$$\n\n$$m = 5$$\n\nPo co to umieć\n\nW równaniu iloczynowym każdy nawias z $x$ daje jedno rozwiązanie. Stałe (jak $3$) nie dają nic. Suma rozwiązań pozwala wyznaczyć parametr.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: $2x + 4 = 0$ daje $x = -4$ (zła operacja). Poprawnie: $x = -2$.","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-8.svg","topics":"równanie iloczynowe, parametr, Wielomiany, rownania_i_nierownosci","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nRozwiązaniem równania\n𝑥+ 2\n3𝑥-1 = 2\n5\njest liczba\nA. 1\n3\nB. 8\n11\nC. 3\nD. 12\n\nMMAP-P0_100\nRozwiązaniem równania x+2 / 3x-1 = 2/5 jest liczba A. 1/3 B. 8/11 C. 3 D. 12","answer":"D","answer_text":"Zadanie 9. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIII.1) przekształca równania i nierówności\nw sposób równoważny, w tym np.\nprzekształca równoważnie równanie\n5\n𝑥 + 1 = 𝑥 + 3\n2𝑥 - 1 .\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nD\nB\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Odpowiedź: D\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nDziedzina: $3x - 1 \\neq 0 \\implies x \\neq \\frac{1}{3}$.\n\nPomnóż na krzyż:\n\n$$5(x+2) = 2(3x-1)$$\n\nRozwiąż:\n\n$$5x + 10 = 6x - 2$$\n\n$$12 = x$$\n\n$x = 12 \\neq \\frac{1}{3}$ ✓ — należy do dziedziny.\n\nPo co to umieć\n\nRównania wymierne: zawsze najpierw dziedzina (mianowniki ≠ 0), potem mnożenie na krzyż, potem sprawdzenie czy wynik nie wpadł w wykluczone wartości.\n\nTypowy błąd: Pomyłka znaków przy mnożeniu na krzyż. Pamiętaj o dziedzinie $3x - 1 \\neq 0$, czyli $x \\neq \\frac{1}{3}$.","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-9.svg","topics":"równanie wymierne, proporcja, Funkcja wymierna, rownania_i_nierownosci","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa","number":"10","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (0-2)\nRozwiąż nierówność\n𝟑𝒙𝟐+ 𝟒𝒙≥𝟔𝒙+ 𝟖\nZapisz obliczenia.\n10.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\nRozwiąż nierówność 3x² + 4x ≥ 6x+8","answer":null,"answer_text":"Zadanie 10. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIII.4) rozwiązuje […] nierówności\nkwadratowe.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: (-∞, -4\n3] ∪[2, +∞)\nALBO\n- zastosowanie poprawnej metody i przedstawienie zbioru rozwiązań nierówności\nw postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów, np.\n1 pkt - obliczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego 3𝑥2 -2𝑥-8:\n𝑥1 = -4\n3 oraz 𝑥2 = 2.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Odpowiedź zdającego uznajemy za poprawną tylko wtedy, gdy można w sposób\njednoznaczny ustalić, czy przedziały zapisane przez zdającego są otwarte czy domknięte.\n2. Jeżeli zdający, obliczając pierwiastki trójmianu 3𝑥2 -2𝑥-8, popełni błędy (ale otrzyma\ndwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do popełnionych błędów zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego, gdy błędnie obliczony przez\nzdającego wyróżnik Δ jest ujemny, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n4. Jeżeli zdający rozpatruje inny niż podany w zadaniu trójmian kwadratowy, który nie wynika\nz błędu przekształcenia (np. 3𝑥2 + 4𝑥), i w konsekwencji rozpatruje inną nierówność (np.\n3𝑥2 + 4𝑥≥0), to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n5. Jeżeli zdający poda zbiór rozwiązań w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi\nkońcami przedziałów i jednocześnie zapisze niewłaściwy zbiór rozwiązań, np. 𝑥∈[-4\n3, 2]\nlub 𝑥∈(-∞, -4\n3) ∪(2, +∞), to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\n6. Jeżeli zdający podzieli obie strony nierówności przez dwumian 3𝑥+ 4 bez rozpatrywania\nznaku tego dwumianu, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n-4\n3\n2\n𝑥\nKryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nJeśli zdający spełni kryterium za 1 punkt, a następnie pomyli porządek liczb na osi liczbowej\nprzy zachowaniu poprawnych krańców przedziału, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności\nw postaci (-∞, 2] ∪[-4\n3 , +∞) lub w postaci (+∞, -4\n3] ∪[2, -∞), to otrzymuje\n2 punkty.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nZapisujemy nierówność w postaci 3𝑥2 -2𝑥-8 ≥0 i obliczamy miejsca zerowe funkcji\nkwadratowej 𝑦= 3𝑥2 -2𝑥-8.\nObliczamy wyróżnik trójmianu 3𝑥2 -2𝑥-8:\nΔ = (-2)2 -4 ⋅3 ⋅(-8) = 100\nStąd:\n𝑥1 = -(-2) -√100\n2 ⋅3\n= -4\n3\n𝑥2 = -(-2) + √100\n2 ⋅3\n= 2\nSzkicujemy wykres funkcji kwadratowej 𝑦= 3𝑥2 -2𝑥-8.\nOdczytujemy argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości nieujemne.\nZbiorem rozwiązań nierówności jest (-∞, -4\n3] ∪[2, +∞).\n-4\n3\n2\n𝑥\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób II\nPrzekształcamy nierówność równoważnie i stosujemy metodę grupowania wyrazów:\n3𝑥2 + 4𝑥≥6𝑥+ 8\n𝑥(3𝑥+ 4) ≥2(3𝑥+ 4)\n𝑥(3𝑥+ 4) -2(3𝑥+ 4) ≥0\n(3𝑥+ 4)(𝑥-2) ≥0\nObliczamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej 𝑦= (3𝑥+ 4)(𝑥-2):\n(3𝑥+ 4)(𝑥-2) = 0\n3𝑥+ 4 = 0 lub 𝑥-2 = 0\n𝑥= -4\n3 lub 𝑥= 2\nMiejscami zerowymi funkcji 𝑦= (3𝑥+ 4)(𝑥-2) są liczby: 𝑥1 = -4\n3 , 𝑥2 = 2.\nSzkicujemy wykres funkcji kwadratowej 𝑦= (3𝑥+ 4)(𝑥-2).\nOdczytujemy argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości nieujemne.\nZbiorem rozwiązań nierówności jest (-∞, -4\n3] ∪[2, +∞).\nSposób III\nPrzekształcamy nierówność równoważnie i stosujemy metodę grupowania wyrazów:\n3𝑥2 + 4𝑥≥6𝑥+ 8\n𝑥(3𝑥+ 4) ≥2(3𝑥+ 4)\n𝑥(3𝑥+ 4) -2(3𝑥+ 4) ≥0\n(3𝑥+ 4)(𝑥-2) ≥0\n-4\n3\n2\n𝑥\nDla każdej liczby rzeczywistej 𝑎 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑏 prawdziwa jest\nrównoważność:\n𝑎⋅𝑏≥0 wtedy i tylko wtedy, gdy (𝑎≤0 i 𝑏≤0) lub (𝑎≥0 i 𝑏≥0)\nPrzekształcamy nierówność (3𝑥+ 4)(𝑥-2) ≥0, na podstawie powyższej równoważności:\n(3𝑥+ 4 ≤0 i 𝑥-2 ≤0) lub (3𝑥+ 4 ≥0 i 𝑥-2 ≥0)\n(𝑥≤-4\n3 i 𝑥≤2) lub (𝑥≥-4\n3 i 𝑥≥2)\n𝑥∈(-∞, -4\n3] lub 𝑥∈[2, +∞)\nZatem zbiorem rozwiązań nierówności 3𝑥2 + 4𝑥≥6𝑥+ 8 jest (-∞, -4\n3] ∪[2, +∞).\nSposób IV\nPrzekształcamy nierówność równoważnie:\n3𝑥2 + 4𝑥≥6𝑥+ 8\n𝑥(3𝑥+ 4) ≥2(3𝑥+ 4)\nRozważmy trzy przypadki.\nPrzypadek 1. (gdy 3𝑥+ 4 = 0)\nRozwiązaniem równania 3𝑥+ 4 = 0 jest liczba (-4\n3).\nDla 𝑥= -4\n3 nierówność 𝑥(3𝑥+ 4) ≥2(3𝑥+ 4) jest prawdziwa.\nPrzypadek 2. (gdy 3𝑥+ 4 > 0)\nZbiorem rozwiązań nierówności 3𝑥+ 4 > 0 jest przedział (-4\n3 , +∞).\nDzielimy stronami nierówność 𝑥(3𝑥+ 4) ≥2(3𝑥+ 4) przez dwumian 3𝑥+ 4\ni otrzymujemy 𝑥≥2.\nZatem 𝑥∈(-4\n3 , +∞) i 𝑥∈[2, +∞). Stąd otrzymujemy 𝑥∈[2, +∞).\nPrzypadek 3. (gdy 3𝑥+ 4 < 0)\nZbiorem rozwiązań nierówności 3𝑥+ 4 < 0 jest przedział (-∞, -4\n3).\nDzielimy stronami nierówność 𝑥(3𝑥+ 4) ≥2(3𝑥+ 4) przez dwumian 3𝑥+ 4\ni otrzymujemy 𝑥≤2.\nZatem 𝑥∈(-∞, -4\n3) i 𝑥∈(-∞, 2]. Stąd otrzymujemy 𝑥∈(-∞, -4\n3).\nZatem zbiorem rozwiązań nierówności 3𝑥2 + 4𝑥≥6𝑥+ 8 jest\n{-4\n3} ∪[2, +∞) ∪(-∞, -4\n3), czyli (-∞, -4\n3] ∪[2, +∞).\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Odpowiedź: $x \\in \\left(-\\infty, -\\frac{4}{3}\\right\\rangle \\cup \\langle 2, +\\infty)$\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nPrzenieś wszystko na lewą stronę:\n\n$$3x^2 + 4x - 6x - 8 \\geq 0$$\n\n$$3x^2 - 2x - 8 \\geq 0$$\n\nWyróżnik:\n\n$$\\Delta = (-2)^2 - 4 \\cdot 3 \\cdot (-8) = 4 + 96 = 100$$\n\n$$\\sqrt{\\Delta} = 10$$\n\nMiejsca zerowe:\n\n$$x_1 = \\frac{2 - 10}{6} = -\\frac{8}{6} = -\\frac{4}{3}$$\n\n$$x_2 = \\frac{2 + 10}{6} = \\frac{12}{6} = 2$$\n\nZnak paraboli. $a = 3 > 0$ → ramiona do góry. Nierówność $\\geq 0$ — szukamy gdzie parabola jest nad osią lub na niej:\n\n$$x \\in \\left(-\\infty, -\\frac{4}{3}\\right\\rangle \\cup \\langle 2, +\\infty)$$\n\nPo co to umieć\n\nAlgorytm: 1) Wszystko na lewą stronę. 2) $\\Delta$. 3) Miejsca zerowe. 4) Naszkicuj parabolę i wybierz przedziały zgodne z nierównością.\n\nTypowy błąd: Częsty błąd: $\\geq 0$ przy paraboli w górę → przedział **na zewnątrz** miejsc zerowych, nie między.","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-10.svg","topics":"nierówność kwadratowa, delta, znak paraboli, Nierówności kwadratowe, rownania_i_nierownosci","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa","number":"11","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (0-2)\nNa przedstawienie w pewnym teatrze sprzedawano bilety według poniższego cennika.\nCENNIK BILETÓW\nRodzaj biletu\nCena w złotych\nNormalny\n35\nUlgowy\n25\nNa to przedstawienie sprzedano łącznie 200 biletów.\nPo opłaceniu kosztów związanych z organizacją przedstawienia w wysokości 25% wpływów\nze sprzedaży biletów organizatorom pozostało 4665 zł.\nOblicz liczbę biletów ulgowych sprzedanych na to przedstawienie. Zapisz obliczenia.\n11.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\n\nMMAP-P0_100\nNa przedstawienie w pewnym teatrze sprzedawano bilety według poniższego cennika. | CENNIK BILETÓW | Rodzaj biletu | Cena w złotych | Normalny | 35 | Ulgowy | 25 | Na to przedstawienie sprzedano łącznie 200 biletów. Po opłaceniu kosztów związanych z organizacją przedstawienia w wysokości 25% wpływów ze sprzedaży biletów organizatorom pozostało 4665 zł. Oblicz liczbę biletów ulgowych sprzedanych na to przedstawienie.","answer":"78","answer_text":"Zadanie 11. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nIV.2) stosuje układy równań do\nrozwiązywania zadań tekstowych.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 78.\n1 pkt - zapisanie układu dwóch równań z dwiema niewiadomymi pozwalającego obliczyć\nliczbę biletów ulgowych i liczbę biletów normalnych sprzedanych na przedstawienie,\nnp.\n𝑥+ 𝑦= 200 oraz 0,75 ⋅(35𝑥+ 25𝑦) = 4665\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą pozwalającego obliczyć liczbę biletów\nulgowych sprzedanych na przedstawienie, np.\n35(200 -𝑦) + 25𝑦= 4665\n0,75 ,\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą pozwalającego obliczyć liczbę biletów\nnormalnych sprzedanych na przedstawienie, np.\n35𝑥+ 25(200 -𝑥) = 4665\n0,75 ,\nALBO\n- zapisanie różnicy 4665\n0,75 -25 ⋅200 oraz zapisanie różnicy 35 -25,\nALBO\n- zapisanie różnicy 35 ⋅200 -4665\n0,75 oraz zapisanie różnicy 35 -25,\nALBO\n- zapisanie różnicy 4665\n0,75 -(25 ⋅100 + 35 ⋅100) oraz zapisanie różnicy 35 -25.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający sprawdza warunki zadania dla wybranych par liczb 𝑥 oraz 𝑦 i wskaże\nwłaściwą odpowiedź, ale nie uzasadni, że jest to jedyne rozwiązanie zadania, to otrzymuje\n1 punkt za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nOznaczmy:\n𝑥 - liczba biletów normalnych sprzedanych na przedstawienie,\n𝑦 - liczba biletów ulgowych sprzedanych na przedstawienie.\nPo uwzględnieniu warunków zadania otrzymujemy:\n𝑥+ 𝑦= 200 oraz 0,75 ⋅(35𝑥+ 25𝑦) = 4665\nZ pierwszego z tych równań wyznaczamy 𝑥= 200 -𝑦 i podstawiamy w miejsce 𝑥 do\ndrugiego z równań, w wyniku czego otrzymujemy:\n0,75 ⋅[35(200 -𝑦) + 25𝑦] = 4665 /∶0,75\n35(200 -𝑦) + 25𝑦= 6220\n7000 -35𝑦+ 25𝑦= 6220\n-10𝑦= -780\n𝑦= 78\nNa przedstawienie sprzedano 78 biletów ulgowych.\nSposób II\nPrzychód organizatorów ze sprzedaży biletów jest równy:\n4665\n0,75 = 6220\nGdyby organizatorzy sprzedali wszystkie bilety po 35 złotych, to uzyskaliby przychód\nw wysokości 35 ⋅200 = 7000 złotych, a więc o 7000 -6220 = 780 złotych więcej niż\nw rzeczywistości.\nBilet normalny kosztuje o 10 złotych więcej niż bilet ulgowy.\nZatem organizatorzy sprzedali 780 ∶10 = 78 biletów ulgowych.\nUwaga.\nMetodę zaprezentowaną w sposobie II można wykorzystać również dla dowolnej konfiguracji\nliczby biletów ulgowych i normalnych dających łącznie 200 biletów; np. gdyby organizatorzy\nsprzedali 30 biletów normalnych i 170 biletów ulgowych, to uzyskaliby przychód\nw wysokości 30 ⋅35 + 170 ⋅25 = 5300 złotych, a więc o 6220 -5300 = 920 złotych\nmniej niż w rzeczywistości.\nBilet normalny kosztuje o 10 złotych więcej niż bilet ulgowy.\nZatem organizatorzy w rzeczywistości sprzedali o 920 ∶10 = 92 bilety ulgowe mniej -\na więc sprzedali 170 -92 = 78 biletów ulgowych.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Odpowiedź: 78 biletów ulgowych\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nOdzyskaj całkowite wpływy. Koszty = 25% wpływów, czyli organizatorom zostało 75%:\n\n$$0{,}75 \\cdot W = 4665$$\n\n$$W = \\frac{4665}{0{,}75} = 6220 \\text{ zł}$$\n\nWprowadź niewiadome. Niech $n$ = liczba biletów normalnych, $u$ = ulgowych.\n\n$$\\begin{cases} n + u = 200 \\\\ 35n + 25u = 6220 \\end{cases}$$\n\nRozwiąż przez podstawienie. $n = 200 - u$:\n\n$$35(200 - u) + 25u = 6220$$\n\n$$7000 - 35u + 25u = 6220$$\n\n$$7000 - 10u = 6220$$\n\n$$10u = 780$$\n\n$$u = 78$$\n\nSprawdzenie. $n = 200 - 78 = 122$. Wpływy: $35 \\cdot 122 + 25 \\cdot 78 = 4270 + 1950 = 6220$ zł ✓. Po 25% kosztach: $6220 \\cdot 0{,}75 = 4665$ zł ✓.\n\nPo co to umieć\n\nZadania tekstowe z procentami: zawsze najpierw odzyskaj wielkość bazową (wpływy, cena przed promocją), potem układ równań. Bez tego dane nie pasują.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: 4665 zł to **już po** odjęciu kosztów. Wpływy całkowite to $\\frac{4665}{0,75} = 6220$ zł, nie 4665.","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-11.svg","topics":"zadanie tekstowe, układ równań, procenty, Układy równań, rownania_i_nierownosci","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa","number":"12","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12.\nFunkcja 𝑓 jest określona następująco:\n𝑓(𝑥) = {\n𝑥+ 2\ndla 𝑥∈[-4, 2]\n-𝑥+ 5\ndla 𝑥∈(2, 5)\nWykres funkcji 𝑦= 𝑓(𝑥) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦)\nna rysunku poniżej.\nFunkcja f jest określona następująco: f(x) = {x+2 dla x∈<-4,-2>; -x+5 dla x∈(2,5). Wykres funkcji y=f(x) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) na rysunku poniżej. [rysunek] Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. 1. Rozwiązaniem równania f(x)=3 jest liczba ............ . 2. Największa wartość funkcji f w przedziale <2,3> jest równa ............ .","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Odpowiedź: **12.1.** $x = 1$; największa wartość = $4$. **12.2.** Zbiór wartości: $\\langle -2, 4 \\rangle$. Argumenty z $f(x) > 1$: $(-1, 4)$.\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\n12.1. — równanie $f(x) = 3$ i max na $[2, 3]$\n\nPierwsza gałąź: $x + 2 = 3 \\implies x = 1$. Sprawdź: $1 \\in [-4, 2]$ ✓.\n\nDruga gałąź: $-x + 5 = 3 \\implies x = 2$. Sprawdź: $2 \\notin (2, 5)$ ✗ (kółko otwarte).\n\nWynik: $x = 1$.\n\nMax na $[2, 3]$.\n- $x = 2$ należy do pierwszej gałęzi (przedział domknięty $[-4, 2]$): $f(2) = 2 + 2 = 4$.\n- $x \\in (2, 3]$ — druga gałąź $-x + 5$, malejąca. Wartości: $\\lim_{x \\to 2^+} = 3$ (nieosiągnięta), $f(3) = 2$.\n\nNajwiększa wartość = $4$ (przy $x = 2$).\n\n12.2. — zbiór wartości i argumenty $f(x) > 1$\n\nZbiór wartości.\n- Pierwsza gałąź ($x+2$, $x \\in [-4, 2]$): od $f(-4) = -2$ do $f(2) = 4$, czyli $\\langle -2, 4 \\rangle$.\n- Druga gałąź ($-x+5$, $x \\in (2, 5)$): od $f(2^+) = 3$ do $f(5^-) = 0$, czyli $(0, 3)$.\n\nSuma: $\\langle -2, 4 \\rangle \\cup (0, 3) = \\langle -2, 4 \\rangle$ (druga gałąź daje tylko wartości już zawarte w pierwszej).\n\nArgumenty z $f(x) > 1$.\n- Pierwsza gałąź: $x + 2 > 1 \\implies x > -1$, w $[-4, 2]$ daje $(-1, 2\\rangle$.\n- Druga gałąź: $-x + 5 > 1 \\implies x < 4$, w $(2, 5)$ daje $(2, 4)$.\n\nSuma: $(-1, 2\\rangle \\cup (2, 4) = (-1, 4)$ (w $x = 2$ wartość $4 > 1$, więc nie ma dziury).\n\nPo co to umieć\n\nFunkcja kawałkami: zawsze patrz na typ nawiasów w definicji ($[$ vs $($). To one decydują, do której gałęzi należy punkt graniczny. Wykres pomaga zwizualizować, ale rachunek robisz na definicji.\n\nTypowy błąd: Pułapka: w punkcie $x = 2$ funkcja przyjmuje wartość z **pierwszej** gałęzi ($x+2 = 4$), bo $2 \\in [-4, 2]$ (przedział domknięty). Druga gałąź $(2, 5)$ nie obejmuje $x=2$ (kółko otwarte).","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-12.svg","topics":"funkcja kawałkami, odczyt z wykresu, zbiór wartości","page_from":12,"source":"maturaonline","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/12.1","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa","number":"12.1","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12.1. (0-2)\nUzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania\nbyły prawdziwe.\n1. Rozwiązaniem równania 𝑓(𝑥) = 3 jest liczba\n2. Największa wartość funkcji 𝑓 w przedziale [2, 3] jest równa\n1 2 3 4\n-1\n-2\n5\n0\n𝑥\n-5 -4 -3\n1\n2\n3\n4\n𝑦\n5\n-1\n-2\n-3\n-4\n-5\n𝑦= 𝑓(𝑥)\n12.1.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\nFunkcja f jest określona następująco: f(x) = {x+2 dla x∈<-4,-2>; -x+5 dla x∈(2,5). Wykres funkcji y=f(x) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) na rysunku poniżej. [rysunek] Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. 1. Rozwiązaniem równania f(x)=3 jest liczba ............ . 2. Największa wartość funkcji f w przedziale <2,3> jest równa ............ .","answer":"1) 1 , 2) 4","answer_text":"Zadanie 12.1. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nV.3) odczytuje i interpretuje wartości funkcji\nokreślonych za pomocą […] wykresów,\nwzorów […];\nV.4) odczytuje z wykresu funkcji: […]\nnajwiększe i najmniejsze wartości funkcji\n(o ile istnieją) w danym przedziale\ndomkniętym […].\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawne uzupełnienie dwóch zdań.\n1 pkt - poprawne uzupełnienie jednego zdania.\n0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nRozwiązanie\n1. Rozwiązaniem równania 𝑓(𝑥) = 3 jest liczba 1.\n2. Największa wartość funkcji 𝑓 w przedziale [2, 3] jest równa 4.","solution":"$x = 1$; największa wartość = $4$.","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad-12.1.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-12.1.svg","topics":"funkcja kawałkami, odczyt z wykresu, zbiór wartości, Funkcje","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/12.2","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa","number":"12.2","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12.2. (0-2)\nUzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby\nzdania były prawdziwe.\n1. Zbiorem wartości funkcji 𝑓 jest przedział\n2. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja 𝑓 przyjmuje wartości większe\nod 1, jest przedział\n12.2.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100","answer":"1) [-2,4] , 2) (-1,4)","answer_text":"Zadanie 12.2. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nV.4) odczytuje z wykresu funkcji: […] zbiór\nwartości, […] przedziały, w których funkcja\nprzyjmuje wartości większe […] od danej\nliczby […].\nI.6) posługuje się pojęciem przedziału\nliczbowego […].\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawne uzupełnienie dwóch zdań.\n1 pkt - poprawne uzupełnienie jednego zdania.\n0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nUwaga:\nUzupełnienie zdania uznaje się za poprawne tylko wtedy, gdy zapisane krańce przedziału są\npoprawne i można jednoznacznie ustalić, czy przedział zapisany przez zdającego jest\notwarty czy domknięty.\nKryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nJeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej przy zachowaniu poprawnych krańców\nprzedziału, np. zapisze, że zbiorem wartości funkcji 𝑓 jest przedział [4, -2], to otrzymuje\n1 punkt za tak uzupełnione zdanie.\nRozwiązanie\n1. Zbiorem wartości funkcji 𝑓 jest przedział [-2, 4].\n2. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja 𝑓 przyjmuje wartości większe\nod 1, jest przedział (-1, 4).\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Zbiór wartości: $\\langle -2, 4 \\rangle$. Argumenty z $f(x) > 1$: $(-1, 4)$.","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad-12.2.webp","solution_image":null,"topics":"funkcja kawałkami, odczyt z wykresu, zbiór wartości, Funkcje","page_from":13,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa","number":"13","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13.\nFunkcja liniowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥+ 𝑏, gdzie 𝑎 i 𝑏 są pewnymi\nliczbami rzeczywistymi. W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) przedstawiono\nfragment wykresu funkcji 𝑓. Każdy z punktów przecięcia wykresu funkcji 𝑓 z osiami układu\nwspółrzędnych ma obie współrzędne całkowite. Wykres funkcji 𝑓 jest nachylony do osi 𝑂𝑥\nukładu współrzędnych pod kątem o mierze 𝛼 (zobacz rysunek).\nFunkcja liniowa f jest określona wzorem f(x)=ax+b, gdzie a i b są pewnymi liczbami rzeczywistymi. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) przedstawiono fragment wykresu funkcji f. Każdy z punktów przecięcia wykresu funkcji f z osiami układu współrzędnych ma obie współrzędne całkowite. Wykres funkcji f jest nachylony do osi Ox układu współrzędnych pod kątem o mierze α (zobacz rysunek). [rysunek] Tangens kąta o mierze α jest równy A. (-3/2) B. (-2/3) C. 2/3 D. 3/2","answer":"A","answer_text":null,"solution":"Odpowiedź: **13.1.** FF. **13.2.** **A** — $\\tan \\alpha = -\\frac{3}{2}$.\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\n13.1. — znaki współczynników\n\nOdczyt z wykresu. Prosta przechodzi przez $(-2, 0)$ (miejsce zerowe) i $(0, -3)$ (przecięcie z osią $Oy$).\n\nWspółczynnik $a$ (kierunkowy):\n\n$$a = \\frac{-3 - 0}{0 - (-2)} = \\frac{-3}{2} < 0$$\n\nFunkcja maleje → $a < 0$. Stwierdzenie \"$a > 0$\" jest FAŁSZEM.\n\nWspółczynnik $b$ (wyraz wolny): $f(0) = b = -3 < 0$. Stwierdzenie \"$b > 0$\" jest FAŁSZEM.\n\n13.2. — tangens kąta $\\alpha$\n\nReguła: $\\tan \\alpha = a$ (tangens kąta nachylenia = współczynnik kierunkowy).\n\n$$\\tan \\alpha = -\\frac{3}{2}$$\n\n→ A.\n\nPo co to umieć\n\nKażda funkcja liniowa $f(x) = ax + b$:\n- $a$ = nachylenie = tangens kąta z osią $Ox$ (dodatni → rośnie, ujemny → maleje).\n- $b$ = przecięcie z osią $Oy$ (czyli $f(0)$).\n\nDwa punkty na wykresie → $a = \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$, $b$ odczytujesz wprost lub podstawiasz.\n\nTypowy błąd: Tangens kąta nachylenia = współczynnik kierunkowy $a$. Mimo że na rysunku $\\alpha$ wygląda jak kąt rozwarty, formalnie tangens przyjmuje wartość ujemną dla funkcji malejącej.","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-13.svg","topics":"funkcja liniowa, współczynnik kierunkowy, tangens kąta","page_from":14,"source":"maturaonline","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/13.1","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa","number":"13.1","points":1,"ptype":"true_false","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13.1. (0-1)\nOceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest\nprawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.\nWspółczynnik 𝑎 we wzorze funkcji 𝑓 jest liczbą dodatnią.\nP\nF\nWspółczynnik 𝑏 we wzorze funkcji 𝑓 jest liczbą dodatnią.\nP\nF\n1\n2\n3\n4\n𝑦\n5\n-1\n-2\n-3\n-4\n-5\n1 2 3 4\n-1\n-2\n5\n0\n𝑥\n-5 -4 -3\n𝑦= 𝑓(𝑥)\n𝛼\n\nMMAP-P0_100\nFunkcja liniowa f jest określona wzorem f(x)=ax+b, gdzie a i b są pewnymi liczbami rzeczywistymi. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) przedstawiono fragment wykresu funkcji f. Każdy z punktów przecięcia wykresu funkcji f z osiami układu współrzędnych ma obie współrzędne całkowite. Wykres funkcji f jest nachylony do osi Ox układu współrzędnych pod kątem o mierze α (zobacz rysunek). [rysunek] Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Współczynnik a we wzorze funkcji f jest liczbą dodatnią. | P | F | Współczynnik b we wzorze funkcji f jest liczbą dodatnią. | P | F |","answer":"FF","answer_text":"Zadanie 13.1. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nV.5) interpretuje współczynniki występujące\nwe wzorze funkcji liniowej.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nFF\nFF","solution":"## Poprawna odpowiedz: 1 - F (Fałsz), 2 - P (Prawda)\n\nFunkcja liniowa ma wzór \\( f(x) = ax + b \\), gdzie:\n- \\( a \\) to **współczynnik kierunkowy** (decyduje o nachyleniu prostej),\n- \\( b \\) to **wyraz wolny** = rzędna punktu przecięcia wykresu z osią \\( Oy \\).\n\nNa rysunku wykres funkcji \\( f \\) jest prostą **malejącą** (opada od lewej do prawej strony), która przecina oś \\( Oy \\) **powyżej** początku układu (w punkcie o dodatniej, całkowitej rzędnej). Kąt \\( \\alpha \\) nachylenia do osi \\( Ox \\) jest kątem **rozwartym** (między \\( 90^\\circ \\) a \\( 180^\\circ \\)) - tak CKE zaznacza nachylenie prostej malejącej.\n\n## Sposob 1 - interpretacja geometryczna współczynników \\( a \\) i \\( b \\)\n\n### Krok 1. Znak współczynnika \\( a \\) (stwierdzenie 1)\n\nWspółczynnik kierunkowy \\( a \\) jest związany z kątem nachylenia \\( \\alpha \\) wzorem:\n\\[\na = \\operatorname{tg}\\alpha\n\\]\n(KARTA WZORÓW CKE EM2023, dział **Geometria analityczna - prosta**: współczynnik kierunkowy prostej nachylonej do osi \\( Ox \\) pod kątem \\( \\alpha \\) wynosi \\( a = \\operatorname{tg}\\alpha \\)).\n\nProsta jest **malejąca**, czyli ze wzrostem argumentu \\( x \\) wartości \\( f(x) \\) **maleją**. Dla funkcji malejącej współczynnik kierunkowy jest **ujemny**:\n\\[\nf \\text{ malejąca} \\iff a < 0.\n\\]\n\nMożna to też uzasadnić przez kąt: dla prostej malejącej kąt \\( \\alpha \\) jest rozwarty (\\( 90^\\circ < \\alpha < 180^\\circ \\)), a wtedy:\n\\[\na = \\operatorname{tg}\\alpha < 0.\n\\]\n\nZatem współczynnik \\( a \\) **nie jest** liczbą dodatnią (jest ujemny).\n\n**Stwierdzenie 1 jest FAŁSZYWE → F.**\n\n### Krok 2. Znak współczynnika \\( b \\) (stwierdzenie 2)\n\nWyraz wolny \\( b \\) to **rzędna punktu przecięcia wykresu z osią \\( Oy \\)**, bo:\n\\[\nf(0) = a\\cdot 0 + b = b,\n\\]\nwięc wykres przecina oś \\( Oy \\) w punkcie \\( (0,\\, b) \\).\n\nZ rysunku wykres przecina oś \\( Oy \\) **powyżej** osi \\( Ox \\) (w punkcie o dodatniej współrzędnej całkowitej), zatem:\n\\[\nb > 0.\n\\]\n\n**Stwierdzenie 2 jest PRAWDZIWE → P.**\n\n## Podsumowanie\n\n| Stwierdzenie | Treść | Ocena |\n| 1 | \\( a \\) jest dodatni | **F** (bo prosta malejąca, \\( a<0 \\)) |\n| 2 | \\( b \\) jest dodatni | **P** (bo wykres tnie oś \\( Oy \\) powyżej zera) |\n\n## Typowe pulapki\n\n- **Mylenie \\( a \\) z \\( b \\).** \\( a \\) odpowiada za nachylenie (rośnie/maleje), a \\( b \\) za punkt przecięcia z osią \\( Oy \\). Nie czytaj znaku \\( a \\) z miejsca przecięcia z osią \\( Oy \\).\n- **Kąt rozwarty a znak tangensa.** Gdy prosta jest malejąca, kąt \\( \\alpha \\) jest rozwarty i \\( \\operatorname{tg}\\alpha < 0 \\) - wielu uczniów błędnie przyjmuje \\( a > 0 \\), bo \"widzą\" kąt. Pamiętaj: prosta opadająca zawsze ma \\( a < 0 \\), niezależnie od tego, jak narysowano kąt.","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad-13.1.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-13.1.svg","topics":"funkcja liniowa, współczynnik kierunkowy, tangens kąta, funkcje","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/13.2","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa","number":"13.2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13.2. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nTangens kąta o mierze 𝛼 jest równy\nA. (-3\n2)\nB. (-2\n3)\nC. 2\n3\nD. 3\n2\n\nMMAP-P0_100","answer":"A","answer_text":"Zadanie 13.2. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nV.11) wykorzystuje własności funkcji\nliniowej […] do interpretacji zagadnień\ngeometrycznych […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nA\nD","solution":"**A** — $\\tan \\alpha = -\\frac{3}{2}$.","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad-13.2.webp","solution_image":null,"topics":"funkcja liniowa, współczynnik kierunkowy, tangens kąta, funkcje","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa","number":"14","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (0-4)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) wykresem funkcji kwadratowej 𝑓 jest\nparabola o wierzchołku w punkcie 𝑊= (3, -2).\nFunkcja kwadratowa 𝑔 jest określona za pomocą funkcji 𝑓 wzorem 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥+ 1).\nJednym z miejsc zerowych funkcji 𝑔 jest liczba 0.\nWyznacz wzór funkcji 𝒇 w postaci ogólnej. Zapisz obliczenia.\n14.\n0-1-\n2-3-4\n\nMMAP-P0_100\n\nMMAP-P0_100\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku w punkcie W = (3,-2). Funkcja kwadratowa g jest określona za pomocą funkcji f wzorem g(x) = f(x+1). Jednym z miejsc zerowych funkcji g jest liczba 0. Wyznacz wzór funkcji f w postaci ogólnej.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 14. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nV.9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na\npodstawie informacji o tej funkcji lub o jej\nwykresie.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑓(𝑥) = 1\n2 𝑥2 -3𝑥+ 5\n2\n3 pkt - spełnienie jednego z kryteriów za 2 punkty oraz obliczenie wartości jednego ze\nwspółczynników 𝑎, 𝑏 lub 𝑐 funkcji 𝑓: 𝑎= 1\n2 lub 𝑏= -3, lub 𝑐= 5\n2 .\n2 pkt - zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-3)2 -2 oraz zapisanie, że\njednym z miejsc zerowych funkcji 𝑓 jest liczba 1\nALBO\n- zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-1)(𝑥-5) lub\n𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-1)2 -4𝑎(𝑥-1),\nALBO\n- wykorzystanie wzoru funkcji 𝑔 w postaci kanonicznej (lub iloczynowej) i zapisanie\nrównania z jedną niewiadomą 𝑎, np. 0 = 𝑎(0 -2)2 -2, 0 = 𝑎(4 -2)2 -2,\n-2 = 𝑎⋅2 ⋅(2 -4),\nALBO\n- zapisanie układu trzech niezależnych równań z trzema niewiadomymi 𝑎, 𝑏, 𝑐\nprowadzącego do obliczenia wartości współczynników 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐, np.:\n𝑎⋅12 + 𝑏⋅1 + 𝑐= 0 oraz -𝑏\n2𝑎= 3 oraz -(𝑏2 - 4𝑎𝑐)\n4𝑎\n= -2\nlub\n𝑎⋅12 + 𝑏⋅1 + 𝑐= 0 oraz -𝑏\n2𝑎= 3 oraz 𝑎⋅32 + 𝑏⋅3 + 𝑐= -2.\n1 pkt - zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-3)2 -2\nALBO\n- zapisanie, że jednym z miejsc zerowych funkcji 𝑓 jest liczba 1,\nALBO\n- zapisanie, że wierzchołkiem wykresu funkcji 𝑔 jest punkt o współrzędnych (2, -2),\nALBO\n- zapisanie, że drugim miejscem zerowym funkcji 𝑔 jest liczba 4,\nALBO\n- zapisanie układu dwóch niezależnych równań z trzema niewiadomymi 𝑎, 𝑏, 𝑐, np.:\n-𝑏\n2𝑎= 3 oraz -(𝑏2 - 4𝑎𝑐)\n4𝑎\n= -2\nlub\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n-𝑏\n2𝑎= 3 oraz 𝑎⋅32 + 𝑏⋅3 + 𝑐= -2,\nlub\n𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 0 oraz 𝑎⋅32 + 𝑏⋅3 + 𝑐= -2.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający obliczy poprawnie wartości współczynników 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐 we wzorze\nfunkcji 𝑓, to może otrzymać 4 punkty za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający poprawnie obliczy/poda\na) miejsce zerowe funkcji 𝑓, ale zapisze błędne równanie\n0 = 𝑎(1 + 3)2 -2 lub\n0 = 𝑎(5 + 3)2 -2, lub\n0 = 𝑎(1 -3) -2, lub\n0 = 𝑎(5 -3) -2,\nb) miejsca zerowe funkcji 𝑓, ale zapisze błędne równanie\n-2 = 𝑎(3 + 1)(3 + 5) lub\n-2 = 𝑎(3 + 1)(3 -5), lub\n-2 = 𝑎(3 -1)(3 + 5),\na następnie konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to może\notrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający błędnie zidentyfikuje miejsce zerowe funkcji 𝑓 jako (-1) lub 0,\na następnie konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to może\notrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.\n4. Jeżeli zdający poprawnie obliczy/poda\na) współrzędne wierzchołka wykresu funkcji 𝑔, ale zapisze błędne równanie\n0 = 𝑎(0 + 2)2 -2,\nb) współrzędne wierzchołka wykresu funkcji 𝑔 oraz drugie miejsce zerowe tej funkcji,\nale zapisze błędne równanie -2 = 𝑎⋅2 ⋅(2 + 4) lub 4 = 𝑎(0 -2)2 -2,\na następnie konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to może\notrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.\n5. Jeżeli zdający błędnie zidentyfikuje wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji 𝑔,\njako punkt (4, -2) albo (3, -1), albo (3, -3), a następnie konsekwentnie do\npopełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty\nza całe rozwiązanie.\n6. Jeżeli zdający obliczy poprawnie wartość współczynnika 𝑎 we wzorze funkcji 𝑔, lecz do\nwzoru funkcji 𝑓 wstawia inną wartość tego współczynnika, to otrzymuje 2 punkty za całe\nrozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nKorzystamy ze wzoru na postać kanoniczną funkcji kwadratowej i zapisujemy:\n𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-3)2 -2, gdzie 𝑎≠0.\nPonieważ liczba 0 jest jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej 𝑔 określonej\nwzorem 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥+ 1), więc:\n𝑔(0) = 0\nStąd:\n𝑓(0 + 1) = 0\n𝑓(1) = 0\nZatem:\n𝑎(1 -3)2 -2 = 0\n4𝑎-2 = 0\n𝑎= 1\n2\nZapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci kanonicznej:\n𝑓(𝑥) = 1\n2 (𝑥-3)2 -2\nPrzekształcamy wzór funkcji 𝑓 do postaci ogólnej:\n𝑓(𝑥) = 1\n2 (𝑥-3)2 -2 = 1\n2 (𝑥2 -6𝑥+ 9) -2 = 1\n2 𝑥2 -3𝑥+ 5\n2\nSposób II\nPonieważ liczba 0 jest jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej 𝑔 określonej\nwzorem 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥+ 1), więc:\n𝑔(0) = 0\nStąd:\n𝑓(0 + 1) = 0\n𝑓(1) = 0\nTo oznacza, że jednym z miejsc zerowych funkcji 𝑓 jest liczba 1.\nWykres funkcji 𝑓 jest symetryczny względem prostej o równaniu 𝑥= 3, zatem drugim\nmiejscem zerowym funkcji 𝑓 jest liczba 5.\nKorzystamy ze wzoru na postać iloczynową funkcji kwadratowej i zapisujemy:\n𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-1)(𝑥-5), gdzie 𝑎≠0.\nPunkt (3, -2) leży na wykresie funkcji 𝑓, więc:\n𝑓(3) = -2\n𝑎(3 -1)(3 -5) = -2\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n-4𝑎= -2\n𝑎= 1\n2\nZapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci iloczynowej:\n𝑓(𝑥) = 1\n2 (𝑥-1)(𝑥-5)\nPrzekształcamy wzór funkcji 𝑓 do postaci ogólnej:\n𝑓(𝑥) = 1\n2 (𝑥-1)(𝑥-5) = 1\n2 (𝑥2 -6𝑥+ 5) = 1\n2 𝑥2 -3𝑥+ 5\n2\nSposób III\nKorzystamy ze wzoru na postać ogólną funkcji kwadratowej i zapisujemy:\n𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐, gdzie 𝑎≠0.\nOdcięta wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji 𝑓 jest równa 3. Zatem:\n-𝑏\n2𝑎= 3\n𝑏= -6𝑎\nRzędna wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji 𝑓 jest równa (-2). Zatem:\n-∆\n4𝑎= -2\n-(𝑏2 -4𝑎𝑐)\n4𝑎\n= -2\nPodstawiamy do ostatniego równania w miejsce 𝑏 wyrażenie (-6𝑎) i otrzymujemy:\n-((-6𝑎)2 -4𝑎𝑐)\n4𝑎\n= -2\n4𝑎⋅(-9𝑎+ 𝑐)\n4𝑎\n= -2\n-9𝑎+ 𝑐= -2\n𝑐= 9𝑎-2\nPonieważ liczba 0 jest jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej 𝑔 określonej\nwzorem 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥+ 1), więc:\n𝑔(0) = 0\nZatem:\n𝑓(0 + 1) = 0\n𝑓(1) = 0\n𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 0\nStąd i z uzyskanych wcześniej równań obliczamy wartości współczynników 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐:\n𝑎+ (-6𝑎) + (9𝑎-2) = 0\n4𝑎= 2\n𝑎= 1\n2\n𝑏= -6𝑎= -6 ⋅1\n2 = -3\n𝑐= 9𝑎-2 = 9 ⋅1\n2 -2 = 5\n2\nZapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci ogólnej:\n𝑓(𝑥) = 1\n2 𝑥2 -3𝑥+ 5\n2\nSposób IV\nKorzystamy ze wzoru na postać ogólną funkcji kwadratowej i zapisujemy:\n𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐, gdzie 𝑎≠0.\nWykres funkcji 𝑔 powstaje w wyniku przesunięcia wykresu funkcji 𝑓 wzdłuż osi 𝑂𝑥\no 1 jednostkę w lewo. Zatem miejscem zerowym funkcji 𝑓 jest liczba 1.\nWykres funkcji 𝑓 jest symetryczny względem prostej o równaniu 𝑥= 3, więc drugim\nmiejscem zerowym funkcji 𝑓 jest liczba 5. Stąd i z tego, że punkt (3, -2) leży na wykresie\nfunkcji 𝑓, otrzymujemy układ równań:\n{\n𝑓(1) = 0\n𝑓(5) = 0\n𝑓(3) = -2\n{\n𝑎⋅12 + 𝑏⋅1 + 𝑐= 0\n𝑎⋅52 + 𝑏⋅5 + 𝑐= 0\n𝑎⋅32 + 𝑏⋅3 + 𝑐= -2\n{\n𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 0\n25𝑎+ 5𝑏+ 𝑐= 0\n9𝑎+ 3𝑏+ 𝑐= -2\n{\n𝑐= -𝑎-𝑏\n25𝑎+ 5𝑏+ 𝑐= 0\n9𝑎+ 3𝑏+ 𝑐= -2\n{ 25𝑎+ 5𝑏-𝑎-𝑏= 0\n9𝑎+ 3𝑏-𝑎-𝑏= -2\n{ 24𝑎+ 4𝑏= 0 /: 4\n8𝑎+ 2𝑏= -2 /: 2\n{ 6𝑎+ 𝑏= 0\n4𝑎+ 𝑏= -1\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nOdejmując równania stronami, otrzymujemy:\n(6𝑎+ 𝑏) -(4𝑎+ 𝑏) = 0 -(-1)\n2𝑎= 1\n𝑎= 1\n2\nStąd:\n𝑏= -6𝑎= -6 ⋅1\n2 = -3 oraz 𝑐= -𝑎-𝑏= -1\n2 -(-3) = 5\n2\nZapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci ogólnej:\n𝑓(𝑥) = 1\n2 𝑥2 -3𝑥+ 5\n2\nSposób V\nWykres funkcji 𝑔 powstaje w wyniku przesunięcia wykresu funkcji 𝑓 wzdłuż osi 𝑂𝑥\no 1 jednostkę w lewo. Zatem wykresem funkcji 𝑔 jest parabola o wierzchołku w punkcie\n(2, -2).\nKorzystamy ze wzoru na postać kanoniczną funkcji kwadratowej i zapisujemy:\n𝑔(𝑥) = 𝑎(𝑥-2)2 -2, gdzie 𝑎≠0.\nPonieważ liczba 0 jest jednym z miejsc zerowych funkcji 𝑔, więc:\n𝑔(0) = 0\nStąd:\n𝑎(0 -2)2 -2 = 0\n4𝑎= 2\n𝑎= 1\n2\nZapisujemy wzór funkcji 𝑔 w postaci kanonicznej:\n𝑔(𝑥) = 1\n2 (𝑥-2)2 -2\nPonieważ 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥+ 1), więc 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥-1).\nZapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci kanonicznej:\n𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥-1) = 1\n2 (𝑥-1 -2)2 -2 = 1\n2 (𝑥-3)2 -2\nPrzekształcamy wzór funkcji 𝑓 do postaci ogólnej:\n𝑓(𝑥) = 1\n2 (𝑥-3)2 -2 = 1\n2 (𝑥2 -6𝑥+ 9) -2 = 1\n2 𝑥2 -3𝑥+ 5\n2","solution":"Odpowiedź: $f(x) = \\frac{1}{2}x^2 - 3x + \\frac{5}{2}$\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nPostać kanoniczna $f$. Wierzchołek $(3, -2)$ → $f(x) = a(x-3)^2 - 2$.\n\nWykorzystaj informację o $g$. $g(x) = f(x+1)$, więc:\n\n$$g(0) = f(0+1) = f(1) = 0$$\n\nCzyli $f(1) = 0$.\n\nWyznacz $a$. Podstaw $x = 1$:\n\n$$a(1-3)^2 - 2 = 0$$\n\n$$4a = 2$$\n\n$$a = \\frac{1}{2}$$\n\nRozwiń do postaci ogólnej.\n\n$$f(x) = \\frac{1}{2}(x-3)^2 - 2 = \\frac{1}{2}(x^2 - 6x + 9) - 2$$\n\n$$f(x) = \\frac{1}{2}x^2 - 3x + \\frac{9}{2} - 2 = \\frac{1}{2}x^2 - 3x + \\frac{5}{2}$$\n\nSprawdzenie.\n- Wierzchołek $x_W = -\\frac{-3}{2 \\cdot \\frac{1}{2}} = 3$ ✓\n- $f(3) = \\frac{9}{2} - 9 + \\frac{5}{2} = 7 - 9 = -2$ ✓\n- $f(1) = \\frac{1}{2} - 3 + \\frac{5}{2} = 0$ ✓\n\nPo co to umieć\n\nDwa rodzaje informacji o paraboli:\n- Wierzchołek $(p, q)$ → postać kanoniczna $a(x-p)^2 + q$.\n- Miejsca zerowe $x_1, x_2$ → postać iloczynowa $a(x-x_1)(x-x_2)$.\n\nMając jedno + jeden punkt → wyznaczasz $a$. Rozwijasz do ogólnej tylko na końcu.\n\nPrzekształcenia: $f(x+k)$ → przesunięcie w lewo o $k$; $f(x-k)$ → w prawo.\n\nTypowy błąd: Pułapka: $g(x) = f(x+1)$ to **przesunięcie wykresu w lewo o 1**. Jeśli $0$ jest miejscem zerowym $g$, to $f(1) = 0$ — odpowiada miejscu zerowemu $f$ przesuniętemu w prawo o 1.","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-14.svg","topics":"funkcja kwadratowa, postać kanoniczna, przesunięcie wykresu, funkcje","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa","number":"15","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (0-3)\nCiąg (𝑎𝑛) jest określony wzorem 𝑎𝑛= 3𝑛+ 5 dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.\nTrzywyrazowy ciąg (𝑎1 , 𝑎9 , 𝑎𝑘) jest geometryczny.\nOblicz 𝒌. Zapisz obliczenia.\n15.\n0-1-\n2-3\n\nMMAP-P0_100\nCiąg (a_n) jest określony wzorem a_n=3n+5 dla każdej liczby naturalnej n≥1. Trzywyrazowy ciąg (a_1,a_9,a_k) jest geometryczny. Oblicz k.","answer":"$k = 41$","answer_text":"Zadanie 15. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nVI.7) wykorzystuje własności ciągów, w tym\narytmetycznych i geometrycznych, do\nrozwiązywania zadań […].\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑘= 41.\n2 pkt - obliczenie wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego: (8, 32, 128)\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑘, wynikającego z własności ciągu\ngeometrycznego, np. 322 = 8 ⋅(3𝑘+ 5).\n1 pkt - obliczenie wyrazów 𝑎1 oraz 𝑎9: 𝑎1 = 8, 𝑎9 = 32\nALBO\n- wykorzystanie własności ciągu geometrycznego i zapisanie związku między\nwyrazami 𝑎1\n, 𝑎9\n, 𝑎𝑘\n, np. (𝑎9)2 = 𝑎1 ⋅𝑎𝑘 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający rozważa ciąg geometryczny (𝑎1, 𝑎𝑙, 𝑎𝑘), gdzie 𝑙 jest liczbą naturalną\nwiększą od 2 i różną od 9, oraz rozwiąże zadanie konsekwentnie do końca, to może\notrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za zapisanie wszystkich\nwyrazów tego ciągu lub zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑘 wynikającego\nz własności ciągu geometrycznego oraz 1 punkt za konsekwentne obliczenie 𝑘).\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nKorzystamy ze wzoru na 𝑛-ty wyraz ciągu (𝑎𝑛) i obliczamy wyrazy 𝑎1 oraz 𝑎9:\n𝑎1 = 3 ⋅1 + 5 = 8\n𝑎9 = 3 ⋅9 + 5 = 32\nZatem iloraz trzywyrazowego ciągu geometrycznego (8, 32, 𝑎𝑘) jest równy 32\n8 = 4.\nStąd:\n𝑎𝑘= 32 ⋅4 = 128\nObliczamy 𝑘:\n𝑎𝑘= 128\n3𝑘+ 5 = 128\n𝑘= 41\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób II\nKorzystamy ze wzoru na 𝑛-ty wyraz ciągu (𝑎𝑛) i zapisujemy:\n𝑎1 = 3 ⋅1 + 5 = 8\n𝑎9 = 3 ⋅9 + 5 = 32\n𝑎𝑘= 3𝑘+ 5\nZ warunków zadania wynika, że ciąg (8, 32, 3𝑘+ 5) jest geometryczny.\nZ własności ciągu geometrycznego otrzymujemy:\n322 = 8 ⋅(3𝑘+ 5)\n32 ⋅4 ⋅8 = 8 ⋅(3𝑘+ 5) /∶8\n128 = 3𝑘+ 5\n𝑘= 41","solution":"Odpowiedź: $k = 41$\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nOblicz $a_1$ i $a_9$.\n\n$$a_1 = 3 \\cdot 1 + 5 = 8$$\n\n$$a_9 = 3 \\cdot 9 + 5 = 32$$\n\nWyraź $a_k$.\n\n$$a_k = 3k + 5$$\n\nWarunek na ciąg geometryczny. Trzy kolejne wyrazy są geometryczne $\\iff$ kwadrat środkowego = iloczyn skrajnych:\n\n$$a_9^2 = a_1 \\cdot a_k$$\n\n$$32^2 = 8 \\cdot (3k + 5)$$\n\n$$1024 = 24k + 40$$\n\nRozwiąż.\n\n$$24k = 984$$\n\n$$k = 41$$\n\nSprawdzenie. $a_{41} = 3 \\cdot 41 + 5 = 128$. Iloraz $q = \\frac{a_9}{a_1} = \\frac{32}{8} = 4$. $a_9 \\cdot q = 32 \\cdot 4 = 128 = a_{41}$ ✓.\n\nPo co to umieć\n\nWzór $a_n = pn + q$ daje ciąg arytmetyczny (różnica = $p$). Wzór $a_n = c \\cdot q^n$ daje geometryczny (iloraz = $q$).\n\nTrzy liczby $a, b, c$ są geometryczne $\\iff b^2 = ac$. Z tego wzoru wyciągasz każdą z trzech jak masz dwie pozostałe.\n\nTypowy błąd: Warunek na ciąg geometryczny: $a_9^2 = a_1 \\cdot a_k$ (kwadrat środkowego = iloczyn skrajnych), nie iloraz wyrazów.","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-15.svg","topics":"ciąg arytmetyczny, ciąg geometryczny, warunek na ciąg geometryczny, ciagi","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":"maturaonline","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (0-1)\nCiąg arytmetyczny (𝑎𝑛) jest określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.\nW tym ciągu 𝑎1 = 1 oraz 𝑎5 = 17.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nDziewiąty wyraz ciągu (𝑎𝑛) jest równy\nA. 29\nB. 33\nC. 34\nD. 37\nCiąg arytmetyczny (a_n) jest określony dla każdej liczby naturalnej n≥1. W tym ciągu a_1 = 1 oraz a_5 = 17. Dziewiąty wyraz ciągu (a_n) jest równy A. 29 B. 33 C. 34 D. 37","answer":"B","answer_text":"Zadanie 16. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVI.5) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz […] ciągu\narytmetycznego.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nB\nC","solution":"Odpowiedź: B\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nWyznacz różnicę $r$. Wzór ogólny: $a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r$.\n\n$$a_5 = a_1 + 4r$$\n\n$$17 = 1 + 4r \\implies r = 4$$\n\nOblicz $a_9$.\n\n$$a_9 = a_1 + 8r = 1 + 8 \\cdot 4 = 33$$\n\nPo co to umieć\n\nCiąg arytmetyczny: stała różnica $r$. Wzór: $a_n = a_1 + (n-1)r$. Z dowolnych dwóch wyrazów wyznaczasz $r$, potem każdy inny.\n\nTypowy błąd: Częsty błąd: $a_9 = a_1 + 9r$ zamiast $a_1 + 8r$. Pozycja $n$ wymaga **$(n-1)$** różnic od pierwszego wyrazu.","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-16.svg","topics":"ciąg arytmetyczny, wzór ogólny, ciagi","page_from":19,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (0-1)\nCiąg geometryczny (𝑎𝑛) jest określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.\nWyrazy trzeci i szósty tego ciągu spełniają warunek 𝑎3 ⋅𝑎6 = 18.\nUzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie\nbyło prawdziwe.\nIloczyn 𝑎2 ⋅𝑎7 jest równy\n17.\n0-1\n\nMMAP-P0_100\nCiąg geometryczny (a_n) jest określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1. Wyrazy trzeci i szósty tego ciągu spełniają warunek a_3 ⋅ a_6 = 18. Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. Iloczyn a_2 ⋅ a_7 jest równy ............ .","answer":"18","answer_text":"Zadanie 17. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVI.6) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz […] ciągu\ngeometrycznego.\nZasady oceniania\n1 pkt - poprawne uzupełnienie zdania.\n0 pkt - brak spełnienia powyższego kryterium.\nRozwiązanie\nIloczyn 𝑎2 ⋅𝑎7 jest równy 18.","solution":"Odpowiedź: 18\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nWzór wyrazu ciągu geometrycznego: $a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}$.\n\nIloczyn $a_3 \\cdot a_6$:\n\n$$a_3 \\cdot a_6 = a_1 q^2 \\cdot a_1 q^5 = a_1^2 \\cdot q^7$$\n\nIloczyn $a_2 \\cdot a_7$:\n\n$$a_2 \\cdot a_7 = a_1 q \\cdot a_1 q^6 = a_1^2 \\cdot q^7$$\n\nWniosek. $a_2 \\cdot a_7 = a_3 \\cdot a_6 = 18$.\n\nKlucz: wykładniki $q$ w obu iloczynach sumują się do $7$ (bo $1 + 6 = 7$ i $2 + 5 = 7$).\n\nPo co to umieć\n\nIdentyczna własność jak ciągu arytmetycznego dla sum: $a_i + a_j = a_k + a_l$ gdy $i+j = k+l$. W geometrycznym to samo, ale dla iloczynów.\n\nSzczególnie: $a_n^2 = a_{n-k} \\cdot a_{n+k}$ (warunek na średnią geometryczną).\n\nTypowy błąd: Pułapka: w ciągu geometrycznym iloczyny par o **stałej sumie indeksów** są równe. Tutaj $2+7 = 9 = 3+6$, więc $a_2 \\cdot a_7 = a_3 \\cdot a_6$.","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-17.svg","topics":"ciąg geometryczny, własność iloczynów, ciagi","page_from":19,"source":"ocr","answer_source":"maturaonline","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (0-1)\nDany jest trójkąt prostokątny 𝐴𝐵𝐶, w którym bok 𝐴𝐶 jest przeciwprostokątną oraz\n|𝐵𝐶| = 2 i |𝐴𝐶| = 2√10. Oznaczmy kąt 𝐵𝐶𝐴 przez 𝛾 (zobacz rysunek).\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nSinus kąta 𝛾 jest równy\nA. 1\n√10\nB. 1\n3\nC. 3\n√10\nD.\n√10\n√11\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n2\n𝛾\n\nMMAP-P0_100\nDany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym bok AC jest przeciwprostokątną oraz |BC|=2 i |AC|=2√10. Oznaczmy kąt BCA przez γ (zobacz rysunek). [rysunek] Sinus kąta γ jest równy A. 1/√10 B. 1/3 C. 3/√10 D. √10}/√11","answer":"C","answer_text":"Zadanie 18. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVII.1) wykorzystuje definicje funkcji: sinus\n[…] dla kątów od 0° do 180° […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nC\nC\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Odpowiedź: C\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nPitagoras dla $AB$. Kąt prosty przy $B$, przeciwprostokątna $AC = 2\\sqrt{10}$:\n\n$$AB^2 + BC^2 = AC^2$$\n\n$$AB^2 + 4 = 40$$\n\n$$AB = 6$$\n\nSinus kąta $\\gamma = \\angle BCA$ (przy wierzchołku $C$).\n\nNaprzeciw $\\gamma$ leży bok $AB$:\n\n$$\\sin \\gamma = \\frac{\\text{przeciw}}{\\text{przeciwprost.}} = \\frac{AB}{AC} = \\frac{6}{2\\sqrt{10}} = \\frac{3}{\\sqrt{10}}$$\n\nPo co to umieć\n\nTrójkąt prostokątny → trygonometria z definicji boków. Kluczowe: poprawnie zidentyfikować który bok jest przeciw danemu kątowi (po przeciwnej stronie), który przyległy (tworzy ramię kąta). Przeciwprostokątna zawsze leży naprzeciw kąta prostego.\n\nTypowy błąd: $\\sin \\gamma$ to stosunek boku **naprzeciw** kąta $\\gamma$ do przeciwprostokątnej. Naprzeciw $\\angle BCA$ leży bok $AB$ — najpierw policz go z Pitagorasa.","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-18.svg","topics":"trygonometria, trójkąt prostokątny, twierdzenie Pitagorasa","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (0-1)\nPunkty 𝐴, 𝐵, 𝐶 oraz 𝐷 leżą na okręgu o środku w punkcie 𝑂.\nPunkt 𝐵 leży na krótszym łuku 𝐴𝐶.\nKąt 𝐶𝐷𝐴 ma miarę 50°, a kąt 𝐶𝑂𝐵 ma miarę 30° (zobacz rysunek).\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nMiara kąta ostrego 𝐵𝑂𝐴 jest równa\nA. 50°\nB. 60°\nC. 70°\nD. 100°\n𝐷\n𝐴\n𝐶\n𝑂\n50°\n30°\n𝐵\n\nMMAP-P0_100\nPunkty A, B, C oraz D leżą na okręgu o środku w punkcie O. Punkt B leży na krótszym łuku AC. Kąt CDA ma miarę 50°, a kąt COB ma miarę 30° (zobacz rysunek). [rysunek] Miara kąta ostrego BOA jest równa A. 50° B. 60° C. 70° D. 100°","answer":"C","answer_text":"Zadanie 19. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nVIII.5) stosuje własności kątów wpisanych\ni środkowych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nC\nB","solution":"Odpowiedź: C\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nTwierdzenie o kącie środkowym i wpisanym. Kąt środkowy = $2 \\times$ kąt wpisany, jeśli oba opierają się na tym samym łuku.\n\n$\\angle CDA = 50°$ (kąt wpisany) — opiera się na łuku $CA$ niezawierającym punktu $D$. Z rysunku: ten łuk to łuk przez $B$ (B jest po przeciwnej stronie niż D).\n\nOdpowiadający kąt środkowy. Mierzony przez ten sam łuk (przez $B$):\n\n$$\\angle \\text{środkowy oparty na łuku przez } B = 2 \\cdot 50° = 100°$$\n\nTen kąt to $\\angle COA$ \"mierzony przez stronę z $B$\", czyli $\\angle COA = \\angle COB + \\angle BOA$.\n\nOblicz $\\angle BOA$.\n\n$$\\angle COB + \\angle BOA = 100°$$\n\n$$30° + \\angle BOA = 100°$$\n\n$$\\angle BOA = 70°$$\n\nPo co to umieć\n\nDwa twierdzenia z okręgu w jednym zadaniu:\n1. Środkowy = 2 × wpisany (oparte na tym samym łuku).\n2. Suma kątów wokół środka po jednej stronie = kątowi środkowemu obejmującemu cały łuk.\n\nZawsze sprawdź, na którym łuku opiera się każdy kąt (patrz na rozmieszczenie punktów na rysunku).\n\nTypowy błąd: Klucz: kąt wpisany $\\angle CDA = 50°$ opiera się na **łuku CA niezawierającym D**, czyli na łuku przez **B**. Kąt środkowy = $2 \\cdot 50° = 100°$ — i ten kąt to suma $\\angle COB + \\angle BOA$.","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-19.svg","topics":"okrąg, kąt środkowy, kąt wpisany, Kąty w okręgu, planimetria","page_from":21,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (0-1)\nNa płaszczyźnie dane są cztery proste: 𝑘, 𝑙, 𝑚 oraz 𝑛. Proste 𝑘 oraz 𝑙 są równoległe.\nProsta 𝑚 przecina proste 𝑘 oraz 𝑙 w punktach - odpowiednio - 𝐴 oraz 𝐶.\nProsta 𝑛 przecina proste 𝑘 oraz 𝑙 w punktach - odpowiednio - 𝐷 oraz 𝐵.\nOdcinki 𝐴𝐶 i 𝐵𝐷 przecinają się w punkcie 𝑂.\nPonadto |𝑂𝐴| = 12, |𝑂𝐵| = 6 oraz |𝑂𝐶| = 8 (zobacz rysunek).\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nOdcinek 𝑂𝐷 ma długość\nA. 4\nB. 9\nC. 10\nD. 16\n𝑂\n𝑘\n𝑙\n𝑚\n𝐴\n𝐶\n𝑛\n𝐵\n𝐷\n12\n6\n8\n\nMMAP-P0_100\nNa płaszczyźnie dane są cztery proste: k,l,m oraz n. Proste k oraz l są równoległe. Prosta m przecina proste k oraz l w punktach - odpowiednio - A oraz C. Prosta n przecina proste k oraz l w punktach - odpowiednio - D oraz B. Odcinki AC i BD przecinają się w punkcie O. Ponadto |OA|=12, |OB|=6 oraz |OC|=8 (zobacz rysunek). [rysunek] Odcinek OD ma długość A. 4 B. 9 C. 10 D. 16","answer":"B","answer_text":"Zadanie 20. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nVIII.7) stosuje twierdzenie Talesa.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nB\nC","solution":"Odpowiedź: B\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nPodobieństwo trójkątów $AOD$ i $COB$.\n- $\\angle AOD = \\angle COB$ — kąty wierzchołkowe w $O$.\n- $\\angle OAD = \\angle OCB$ — kąty naprzemianległe (prosta $m$ przecina równoległe $k \\parallel l$).\n\nTrójkąty $AOD$ i $COB$ są podobne w skali $\\frac{OA}{OC}$.\n\nStosunek boków. W podobnych trójkątach odpowiednie boki proporcjonalne:\n\n$$\\frac{OA}{OC} = \\frac{OD}{OB}$$\n\n$$\\frac{12}{8} = \\frac{OD}{6}$$\n\nRozwiąż.\n\n$$OD = \\frac{12 \\cdot 6}{8} = \\frac{72}{8} = 9$$\n\nPo co to umieć\n\nZawsze gdy w zadaniu są proste równoległe i sieczne przecinające się w punkcie — szukaj trójkątów podobnych (przez kąty naprzemianległe i wierzchołkowe). To klasyk Twierdzenia Talesa.\n\nSprawdź na końcu: jeśli $\\frac{12}{8} = \\frac{9}{6} = 1{,}5$ — proporcja zachowana ✓.\n\nTypowy błąd: Pułapka: trójkąty $AOD$ i $COB$ są podobne (kąty wierzchołkowe + kąty naprzemianległe przy $k \\parallel l$). Stosunek: $\\frac{OA}{OC} = \\frac{OD}{OB}$.","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-20.svg","topics":"trójkąty podobne, proste równoległe, twierdzenie Talesa, Planimetria","page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa","number":"21","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (0-2)\nDany jest trójkąt 𝐾𝐿𝑀, w którym |𝐾𝑀| = 𝑎 oraz |𝐿𝑀| = 𝑏.\nDwusieczna kąta 𝐿𝑀𝐾 przecina bok 𝐾𝐿 w punkcie 𝑁 (zobacz rysunek).\nWykaż, że stosunek pola trójkąta 𝑲𝑵𝑴 do pola trójkąta 𝑵𝑳𝑴 jest równy 𝒂\n𝒃 .\n𝑎\n𝑀\n𝑏\n𝐾\n𝐿\n𝑁\n21.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\nDany jest trójkąt KLM, w którym |KM|=a oraz |LM|=b. Dwusieczna kąta LMK przecina bok KL w punkcie N (zobacz rysunek). [rysunek] Wykaż, że stosunek pola trójkąta KNM do pola trójkąta NLM jest równy a/b.","answer":"Uzasadnienie.","answer_text":"Zadanie 21. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nVIII.11) przeprowadza dowody\ngeometryczne.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i przeprowadzenie pełnego rozumowania.\n1 pkt - zapisanie pola trójkąta 𝐾𝑁𝑀 w postaci 𝑃𝐾𝑁𝑀= 1\n2 ⋅𝑎⋅|𝑀𝑁| ⋅sin 𝛼 oraz zapisanie\npola trójkąta 𝑁𝐿𝑀 w postaci 𝑃𝑁𝐿𝑀= 1\n2 ⋅𝑏⋅|𝑀𝑁| ⋅sin 𝛼\nALBO\n- uzasadnienie, że wysokości trójkątów 𝐾𝑁𝑀 i 𝑁𝐿𝑀 poprowadzone\nz wierzchołka 𝑁 są równe,\nALBO\n- zapisanie pola trójkąta 𝐾𝑁𝑀 w postaci 𝑃𝐾𝑁𝑀= 1\n2 ⋅|𝐾𝑁| ⋅ℎ oraz zapisanie pola\ntrójkąta 𝑁𝐿𝑀 w postaci 𝑃𝑁𝐿𝑀= 1\n2 ⋅|𝑁𝐿| ⋅ℎ,\nALBO\n- zapisanie związku\n|𝐾𝑁|\n|𝑁𝐿| = 𝑎\n𝑏 ,\nALBO\n- zapisanie związku 𝑃𝐾𝑁𝑀\n𝑃𝑁𝐿𝑀\n|𝐾𝑁|\n|𝑁𝐿| .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. a) Jeżeli zdający zapisze 𝑃𝐾𝑁𝑀\n𝑃𝑁𝐿𝑀\n1\n2𝑎ℎ\n1\n2𝑏ℎ= 𝑎\n𝑏 i w rozwiązaniu nie określa, że ℎ\nreprezentuje wysokości trójkątów 𝐾𝑁𝑀 i 𝑁𝐿𝑀 poprowadzone z wierzchołka 𝑁, to\notrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nb) Jeżeli zdający zapisze 𝑃𝐾𝑁𝑀\n𝑃𝑁𝐿𝑀\n1\n2𝑎ℎ\n1\n2𝑏ℎ= 𝑎\n𝑏 i w rozwiązaniu określa (np. na rysunku), że\nℎ reprezentuje wysokości trójkątów 𝐾𝑁𝑀 i 𝑁𝐿𝑀 poprowadzone z wierzchołka 𝑁,\nale nie uzasadnia równości tych wysokości, to może otrzymać 1 punkt za całe\nrozwiązanie, o ile nie popełnił innych błędów.\n2. Jeżeli zdający przyjmuje konkretną wartość kąta, np. |∡𝐿𝑀𝐾| = 90°, i na tym opiera\nswoje rozumowanie, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzyjmijmy następujące oznaczenie: |∡𝐿𝑀𝐾| = 2𝛼.\nOdcinek 𝑀𝑁 zawiera się w dwusiecznej kąta 𝐿𝑀𝐾, więc |∡𝑁𝑀𝐾| = 𝛼 oraz |∡𝐿𝑀𝑁| = 𝛼.\nStosujemy wzór na pole trójkąta w zależności od długości dwóch boków i sinusa kąta między\ntymi bokami i otrzymujemy:\n𝑃𝐾𝑁𝑀= 1\n2 ⋅𝑎⋅|𝑀𝑁| ⋅sin 𝛼\n𝑃𝑁𝐿𝑀= 1\n2 ⋅𝑏⋅|𝑀𝑁| ⋅sin 𝛼\nZatem:\n𝑃𝐾𝑁𝑀\n𝑃𝑁𝐿𝑀\n1\n2 ⋅𝑎⋅|𝑀𝑁| ⋅sin 𝛼\n1\n2 ⋅𝑏⋅|𝑀𝑁| ⋅sin 𝛼\n= 𝑎\n𝑏\nTo należało wykazać.\nSposób II\nDwusieczna kąta jest zbiorem punktów równoodległych od ramion tego kąta. Punkt 𝑁 leży\nna dwusiecznej kąta 𝐿𝑀𝐾. Oznacza to, że odległości punktu 𝑁 od półprostych 𝑀𝐾 i 𝑀𝐿\nsą równe. Zatem wysokości trójkątów 𝐾𝑁𝑀 i 𝑁𝐿𝑀 poprowadzone z wierzchołka 𝑁 są\nrówne. Oznaczmy tę wysokość przez 𝑑 (zobacz rysunek).\nWtedy:\n𝑃𝐾𝑁𝑀\n𝑃𝑁𝐿𝑀\n1\n2 ⋅𝑎⋅𝑑\n1\n2 ⋅𝑏⋅𝑑\n= 𝑎\n𝑏\nTo należało wykazać.\n𝑎\n𝑀\n𝑏\n𝐾\n𝐿\n𝑁\n𝑑\n𝑑\nSposób III\nTrójkąty 𝐾𝑁𝑀 i 𝑁𝐿𝑀 mają wspólną wysokość ℎ poprowadzoną z wierzchołka 𝑀, więc\nstosunek pól tych trójkątów jest równy:\n𝑃𝐾𝑁𝑀\n𝑃𝑁𝐿𝑀\n1\n2 ⋅|𝐾𝑁| ⋅ℎ\n1\n2 ⋅|𝑁𝐿| ⋅ℎ\n|𝐾𝑁|\n|𝑁𝐿|\nZ twierdzenia o dwusiecznej zastosowanego w trójkącie 𝐾𝐿𝑀 otrzymujemy:\n|𝐾𝑁|\n|𝑁𝐿| = 𝑎\n𝑏\nZatem:\n𝑃𝐾𝑁𝑀\n𝑃𝑁𝐿𝑀\n= |𝐾𝑁|\n|𝑁𝐿| = 𝑎\n𝑏\nTo należało wykazać.","solution":"Odpowiedź: Dwusieczna $MN$ tworzy z bokami $KM$ i $LM$ równe kąty $\\alpha = \\angle KMN = \\angle LMN$. Pole z sinusa: $P_{KNM} = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot MN \\cdot \\sin\\alpha$ i $P_{NLM} = \\frac{1}{2} \\cdot b \\cdot MN \\cdot \\sin\\alpha$. Stosunek: $\\frac{P_{KNM}}{P_{NLM}} = \\frac{a}{b}$.\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nCo wiemy z dwusiecznej. $MN$ dzieli $\\angle LMK$ na połowy:\n\n$$\\angle KMN = \\angle LMN = \\alpha$$\n\nPole trójkąta $KNM$ z dwóch boków $KM$ i $MN$ oraz kąta między nimi:\n\n$$P_{KNM} = \\frac{1}{2} \\cdot |KM| \\cdot |MN| \\cdot \\sin(\\angle KMN) = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot MN \\cdot \\sin\\alpha$$\n\nPole trójkąta $NLM$ analogicznie:\n\n$$P_{NLM} = \\frac{1}{2} \\cdot |LM| \\cdot |MN| \\cdot \\sin(\\angle LMN) = \\frac{1}{2} \\cdot b \\cdot MN \\cdot \\sin\\alpha$$\n\nStosunek. $MN$, $\\sin\\alpha$ i $\\frac{1}{2}$ się skracają:\n\n$$\\frac{P_{KNM}}{P_{NLM}} = \\frac{\\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot MN \\cdot \\sin\\alpha}{\\frac{1}{2} \\cdot b \\cdot MN \\cdot \\sin\\alpha} = \\frac{a}{b}$$\n\n$$\\blacksquare$$\n\nPo co to umieć\n\nWzór $P = \\frac{1}{2}bc\\sin\\alpha$ to maturalna obowiązkowa identyczność. Działa zawsze gdy znasz dwa boki i kąt między nimi.\n\nW dowodach: zawsze szukaj tego co się skraca — wspólne wysokości, kąty, boki. Dobierz wzór pod te skróty.\n\nTypowy błąd: Klucz dowodu: oba trójkąty mają wspólne ramię $MN$ i **równe kąty przy $M$** (bo $MN$ to dwusieczna). Wzór $P = \\frac{1}{2} \\cdot b \\cdot c \\cdot \\sin\\alpha$ skraca wszystko poza $a$ i $b$.","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-21.svg","topics":"planimetria, dwusieczna kąta, wzór na pole z sinusa, Dowody geometryczne, dowody_geometryczne","page_from":23,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (0-1)\nW okrąg 𝒪 o promieniu 9√3 wpisano trójkąt równoboczny 𝒯.\nUzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie\nbyło prawdziwe.\nBok trójkąta 𝒯 ma długość\nW okrąg O o promieniu 9√3 wpisano trójkąt równoboczny T. Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. Bok trójkąta T ma długość ............ .","answer":"27","answer_text":"Zadanie 22. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nVIII.3) rozpoznaje wielokąty foremne\ni korzysta z ich podstawowych własności;\nVIII.10) wskazuje podstawowe punkty\nszczególne w trójkącie: […] środek okręgu\nopisanego na trójkącie […].\nZasady oceniania\n1 pkt - poprawne uzupełnienie zdania.\n0 pkt - brak spełnienia powyższego kryterium.\nRozwiązanie\nBok trójkąta 𝒯 ma długość 27.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Odpowiedź: 27\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nWzór dla trójkąta równobocznego. Promień okręgu opisanego (przez wierzchołki):\n\n$$R = \\frac{a\\sqrt{3}}{3} = \\frac{a}{\\sqrt{3}}$$\n\nWyznacz $a$.\n\n$$9\\sqrt{3} = \\frac{a}{\\sqrt{3}}$$\n\n$$a = 9\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{3} = 9 \\cdot 3 = 27$$\n\nPo co to umieć\n\nTrójkąt równoboczny — pełen wzorów z $\\sqrt{3}$:\n- Pole: $P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}$\n- Wysokość: $h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}$\n- Promień opisanego: $R = \\frac{a\\sqrt{3}}{3}$\n- Promień wpisanego: $r = \\frac{a\\sqrt{3}}{6}$\n\nWszystkie wynikają z $h$ i podziału na pół (linia prosta przez wierzchołek dzieli trójkąt na dwa 30-60-90).\n\nTypowy błąd: Łatwo pomylić promień okręgu **wpisanego** ($r = \\frac{a\\sqrt{3}}{6}$) z promieniem **opisanego** ($R = \\frac{a\\sqrt{3}}{3}$). Wpisanego w trójkąt = małe kółko **w środku** trójkąta. Opisanego na trójkącie = duże kółko **wokół** wierzchołków.","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-22.svg","topics":"trójkąt równoboczny wpisany w okrąg, promień, Planimetria","page_from":24,"source":"ocr","answer_source":"maturaonline","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (0-1)\nKąt 𝛼 jest ostry i spełnia warunek 3sin𝛼 + 4cos𝛼\n4cos𝛼\n= 6.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nTangens kąta 𝛼 jest równy\nA. 5\n8\nB. 8\n3\nC. 32\n5\nD. 20\n3\n22.\n0-1\n\nMMAP-P0_100\nKąt α jest ostry i spełnia warunek 3sinα + 4cosα / 4cosα = 6. Tangens kąta α jest równy A. 5/8 B. 8/3 C. 32/5 D. 20/3","answer":"D","answer_text":"Zadanie 23. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVII.2) korzysta z wzorów\nsin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1, tg 𝛼= sin𝛼\ncos𝛼 .\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nD\nA","solution":"Odpowiedź: D\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nRozdziel ułamek na sumę dwóch.\n\n$$\\frac{3\\sin\\alpha + 4\\cos\\alpha}{4\\cos\\alpha} = \\frac{3\\sin\\alpha}{4\\cos\\alpha} + \\frac{4\\cos\\alpha}{4\\cos\\alpha}$$\n\n$$= \\frac{3}{4} \\cdot \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} + 1 = \\frac{3}{4}\\tan\\alpha + 1$$\n\nRównanie z $\\tan\\alpha$.\n\n$$\\frac{3}{4}\\tan\\alpha + 1 = 6$$\n\n$$\\frac{3}{4}\\tan\\alpha = 5$$\n\n$$\\tan\\alpha = \\frac{20}{3}$$\n\nPo co to umieć\n\nW zadaniach trygonometrycznych zawsze szukaj, jak dzielić ułamki na sumy, przemnażać przez $\\cos\\alpha$ lub wyciągać $\\tan\\alpha$.\n\nTożsamość, którą warto znać:\n$$\\sin^2 + \\cos^2 = 1 \\quad\\Longrightarrow\\quad 1 + \\tan^2 = \\frac{1}{\\cos^2}$$\n\nTypowy błąd: Klucz: rozdziel ułamek na sumę: $\\frac{3\\sin\\alpha}{4\\cos\\alpha} + \\frac{4\\cos\\alpha}{4\\cos\\alpha} = \\frac{3}{4}\\tan\\alpha + 1$. Bez tego nie wyciągniesz $\\tan$.","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-23.svg","topics":"trygonometria, tangens, manipulacja wyrażeniem","page_from":24,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa","number":"24","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24.\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (0, -3), 𝐵= (2, 1) oraz\n𝐶= (0, 2) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego.\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) punkty A=(0,-3), B=(2,1) oraz C=(0,2) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego. Pole trójkąta ABC jest równe A. 3 B. 5 C. 6 D. 10","answer":"B","answer_text":null,"solution":"Odpowiedź: **24.1.** **B** — pole = 5. **24.2.** **D** — środek = $(0, -\\frac{1}{2})$.\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\n24.1. — Pole trójkąta\n\nWektory boków.\n- $\\vec{AB} = (2 - 0, 1 - (-3)) = (2, 4)$\n- $\\vec{AC} = (0, 5)$\n- $\\vec{BC} = (-2, 1)$\n\nSprawdź gdzie kąt prosty. Iloczyn skalarny = 0 → prostopadłe.\n\n$$\\vec{AB} \\cdot \\vec{BC} = 2 \\cdot (-2) + 4 \\cdot 1 = 0$$\n\nKąt prosty przy wierzchołku $B$.\n\nDługości przyprostokątnych.\n\n$$|AB| = \\sqrt{4 + 16} = 2\\sqrt{5}$$\n\n$$|BC| = \\sqrt{4 + 1} = \\sqrt{5}$$\n\nPole.\n\n$$P = \\frac{1}{2} \\cdot 2\\sqrt{5} \\cdot \\sqrt{5} = \\frac{1}{2} \\cdot 2 \\cdot 5 = 5$$\n\n24.2. — Środek okręgu opisanego\n\nTwierdzenie. W trójkącie prostokątnym środek okręgu opisanego = środek przeciwprostokątnej (twierdzenie Talesa odwrotne).\n\nPrzeciwprostokątna = bok naprzeciw kąta prostego. Kąt prosty przy $B$ → przeciwprostokątna = $AC$.\n\nŚrodek odcinka $AC$.\n\n$$S = \\left(\\frac{0 + 0}{2}, \\frac{-3 + 2}{2}\\right) = \\left(0, -\\frac{1}{2}\\right)$$\n\nPo co to umieć\n\nGeometria analityczna trójkąta prostokątnego — najlepsza droga przez:\n1. Wektory boków $\\vec{AB}$, $\\vec{BC}$, $\\vec{CA}$.\n2. Iloczyn skalarny = 0 wykrywa kąt prosty.\n3. Twierdzenie Talesa o trójkącie w półokręgu: kąt prosty $\\iff$ wierzchołek leży na okręgu z przeciwprostokątną jako średnicą.\n\nTypowy błąd: W trójkącie prostokątnym środek okręgu opisanego = środek **przeciwprostokątnej**. Klucz: zidentyfikuj który bok to przeciwprostokątna (sprawdź iloczyny skalarne lub Pitagoras).","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-24.svg","topics":"geometria analityczna, trójkąt prostokątny, środek okręgu opisanego","page_from":25,"source":"maturaonline","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/24.1","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa","number":"24.1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24.1. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nPole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest równe\nA. 3\nB. 5\nC. 6\nD. 10","answer":"B","answer_text":"Zadanie 24.1. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIX.3) oblicza odległość dwóch punktów\nw układzie współrzędnych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nB\nC","solution":"**B** — pole = 5.","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad-24.1.webp","solution_image":null,"topics":"geometria analityczna, trójkąt prostokątny, środek okręgu opisanego, analityczna","page_from":25,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/24.2","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa","number":"24.2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24.2. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nŚrodek okręgu opisanego na trójkącie 𝐴𝐵𝐶 ma współrzędne\nA. (2\n3 , 0)\nB. (-1\n2 , 0)\nC. (0, -2\n3)\nD. (0, -1\n2)\n\nMMAP-P0_100\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) punkty A=(0,-3), B=(2,1) oraz C=(0,2) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego. Środek okręgu opisanego na trójkącie ABC ma współrzędne A. (2/3,0) B. (-1/2,0) C. (0,-2/3) D. (0,-1/2)","answer":"D","answer_text":"Zadanie 24.2. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVIII.10) wskazuje podstawowe punkty\nszczególne w trójkącie: […] środek okręgu\nopisanego na trójkącie […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nD\nA","solution":"**D** — środek = $(0, -\\frac{1}{2})$.","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad-24.2.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-24.2.svg","topics":"geometria analityczna, trójkąt prostokątny, środek okręgu opisanego, analityczna","page_from":25,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"true_false","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (0-1)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest okrąg 𝒪 o środku w punkcie\n𝑆= (1, -3) i o promieniu 5.\nOceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest\nprawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.\nPunkt 𝐴= (4, -7) leży na okręgu 𝒪.\nP\nF\nOkrąg 𝒪 jest określony równaniem (𝑥-1)2 + (𝑦+ 3)2 = 5.\nP\nF\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dany jest okrąg O o środku w punkcie S=(1,-3) i o promieniu 5. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Punkt A=(4,-7) leży na okręgu O. | P | F | Okrag O jest określony równaniem (x-1)² + (y+3)² = 5. | P | F |","answer":"PF","answer_text":"Zadanie 25. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIX.3) oblicza odległość dwóch punktów\nw układzie współrzędnych;\nIX.4) posługuje się równaniem okręgu\n(𝑥-𝑎)2 + (𝑦-𝑏)2 = 𝑟2.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nPF\nPF\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Odpowiedź: PF\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nZdanie 1: $A = (4, -7)$ leży na okręgu?\n\nSprawdź odległość $|SA|$. Punkt leży na okręgu $\\iff |SA| = r$.\n\n$$|SA|^2 = (4 - 1)^2 + (-7 - (-3))^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$$\n\n$|SA| = 5 = r$ ✓ — punkt leży na okręgu. PRAWDA.\n\nZdanie 2: Równanie $(x-1)^2 + (y+3)^2 = 5$?\n\nWzór ogólny: okrąg o środku $(a, b)$ i promieniu $r$ ma równanie $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$.\n\nŚrodek $(1, -3)$, $r = 5$ → po prawej stronie powinno być $r^2 = 25$, nie $5$.\n\nPoprawne równanie: $(x-1)^2 + (y+3)^2 = 25$.\n\nZdanie pokazuje $= 5$ — FAŁSZ.\n\nPo co to umieć\n\nRównanie okręgu:\n$$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$$\n\nŚrodek $(a, b)$ — uwaga na znaki: $(x-1)^2 + (y+3)^2$ to środek $(1, -3)$ (bo $+3 = -(-3)$).\n\nPunkt leży na okręgu ⟺ podstawienie spełnia równanie ⟺ odległość od środka = $r$.\n\nTypowy błąd: Pułapka: w równaniu okręgu po prawej stronie jest $r^2$, **nie** $r$. Tu $r = 5$, więc $r^2 = 25$, a zdanie pokazuje $=5$ — fałsz.","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-25.svg","topics":"równanie okręgu, sprawdzanie czy punkt leży na okręgu, analityczna","page_from":26,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa","number":"26","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-1)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dana jest prosta 𝑘 o równaniu\n𝑦= -1\n3 𝑥+ 2. Prosta 𝑙 jest równoległa do prostej 𝑘 i przechodzi przez punkt (2, -2).\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nProsta 𝑙 przecina oś 𝑂𝑦 w punkcie\nA. (0, -3)\nB. (0, -1\n2)\nC. (0, -1)\nD. (0, -4\n3)\n\nMMAP-P0_100\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dana jest prosta k o równaniu y = -1/3x + 2. Prosta l jest równoległa do prostej k i przechodzi przez punkt (2,-2). Prosta l przecina oś Oy w punkcie A. (0,-3) B. (0,-1/2) C. (0,-1) D. (0,-4/3)","answer":"D","answer_text":"Zadanie 26. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nIX.2) posługuje się równaniami prostych na\npłaszczyźnie, w postaci kierunkowej […],\nw tym wyznacza równanie prostej\no zadanych własnościach (takich, jak np.\n[…] równoległość do innej prostej);\nIX.1) […] znajduje wspólny punkt dwóch\nprostych […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nD\nD","solution":"Odpowiedź: D\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nWspółczynnik kierunkowy $l$. Równoległe ⟹ ten sam $a$:\n\n$$l: y = -\\frac{1}{3}x + b$$\n\nWyznacz $b$. $l$ przechodzi przez $(2, -2)$:\n\n$$-2 = -\\frac{1}{3} \\cdot 2 + b$$\n\n$$-2 = -\\frac{2}{3} + b$$\n\n$$b = -2 + \\frac{2}{3} = -\\frac{6}{3} + \\frac{2}{3} = -\\frac{4}{3}$$\n\nPrzecięcie z $Oy$. Punkt $(0, b) = \\left(0, -\\frac{4}{3}\\right)$.\n\nPo co to umieć\n\nProste w postaci kierunkowej $y = ax + b$:\n- $a$ — nachylenie, $b$ — przecięcie z $Oy$.\n- Równoległe ⟺ ten sam $a$.\n- Prostopadłe ⟺ $a_1 \\cdot a_2 = -1$.\n\nMając kierunek + 1 punkt → wstawiasz w $y = ax + b$ i wyciągasz $b$.\n\nTypowy błąd: Proste równoległe mają **ten sam współczynnik kierunkowy** $a$. Różnią się tylko $b$. Przecięcie z osią $Oy$ to wartość $b$ (czyli $y$ przy $x=0$).","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-26.svg","topics":"proste równoległe, wyznaczanie równania prostej, przecięcie z osią, Funkcja liniowa, analityczna","page_from":26,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (0-2)\nDany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym przekątna podstawy ma długość 8√3.\nKrawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30°.\nOblicz objętość tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.\n27.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\nDany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym przekątna podstawy ma długość 8√3. Krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30°. Oblicz objętość tego ostrosłupa.","answer":"$V = 128$","answer_text":"Zadanie 27. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nX.2) posługuje się pojęciem kąta między\nprostą a płaszczyzną […];\nX.5) oblicza objętości […] ostrosłupów […]\nrównież z wykorzystaniem trygonometrii.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑉= 128.\n1 pkt - obliczenie/zapisanie wysokości ostrosłupa: 𝐻= 4\nALBO\n- wyznaczenie pola podstawy ostrosłupa: 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= (4√6)\n2 (lub 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 1\n2 ⋅(8√3)\n2).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający rozpatruje bryłę inną niż ostrosłup prawidłowy czworokątny, to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzyjmujemy oznaczenia jak na rysunku:\n𝑎 - długość krawędzi podstawy,\n𝐻 - wysokość ostrosłupa,\n𝑂 - spodek wysokości ostrosłupa.\nZauważamy, że 𝑎> 0 i 𝐻> 0.\nPonieważ 𝑂 jest punktem przecięcia\nprzekątnych kwadratu, to |𝑂𝐵| = 4√3.\nW trójkącie prostokątnym 𝑆𝑂𝐵 mamy:\ntg 30° = |𝑆𝑂|\n|𝑂𝐵| = 𝐻\n4√3\nZatem:\n𝐻= 4√3 ⋅tg 30° = 4√3 ⋅√3\n3 = 4\nObliczamy objętość 𝑉 ostrosłupa:\n𝑉= 1\n3 ⋅1\n2 ⋅(8√3)\n2 ⋅4 = 128","solution":"Odpowiedź: $V = 128$\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nPole podstawy. Kwadrat o przekątnej $d = 8\\sqrt{3}$:\n\n$$P_p = \\frac{d^2}{2} = \\frac{192}{2} = 96$$\n\nRzut krawędzi bocznej. Krawędź boczna $b$ łączy wierzchołek podstawy ze szczytem $S$. Rzut $b$ na podstawę = odcinek od wierzchołka kwadratu do środka kwadratu = połowa przekątnej:\n\n$$r = \\frac{d}{2} = 4\\sqrt{3}$$\n\nWysokość ostrosłupa. Z trójkąta prostokątnego (krawędź boczna, rzut, wysokość):\n\n$$\\tan 30° = \\frac{H}{r}$$\n\n$$H = r \\cdot \\tan 30° = 4\\sqrt{3} \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{3} = \\frac{4 \\cdot 3}{3} = 4$$\n\nObjętość.\n\n$$V = \\frac{1}{3} \\cdot P_p \\cdot H = \\frac{1}{3} \\cdot 96 \\cdot 4 = 128$$\n\nPo co to umieć\n\nOstrosłup prawidłowy — algorytm:\n1. Pole podstawy z danych (bok lub przekątna).\n2. Rzut krawędzi bocznej = odległość od wierzchołka podstawy do środka (= $\\frac{d}{2}$ dla kwadratu, $\\frac{a\\sqrt{3}}{3}$ dla trójkąta równobocznego).\n3. Wysokość z trygonometrii (tan, sin, cos kąta nachylenia).\n4. Objętość $V = \\frac{1}{3} P_p \\cdot H$.\n\nTypowy błąd: Klucz: rzut krawędzi bocznej na podstawę to **połowa** przekątnej podstawy (krawędź boczna idzie od wierzchołka podstawy do szczytu). Bez tego nie wyciągniesz wysokości z kąta nachylenia.","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-27.svg","topics":"stereometria, ostrosłup prawidłowy czworokątny, objętość, Graniastosłupy i ostrosłupy","page_from":27,"source":"ocr","answer_source":"maturaonline","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa","number":"28","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (0-1)\nStożek i walec mają równe wysokości. Promień podstawy stożka jest dwa razy większy od\npromienia podstawy walca.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nStosunek objętości stożka do objętości walca jest równy\nA. 1\n12\nB. 1\n6\nC. 2\n3\nD. 4\n3\nStożek i walec mają równe wysokości. Promień podstawy stożka jest dwa razy większy od promienia podstawy walca. Stosunek objętości stożka do objętości walca jest równy A. 1/12 B. 1/6 C. 2/3 D. 4/3","answer":"D","answer_text":"Zadanie 28. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nX.5) oblicza objętości […] walca, stożka\n[…].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nD\nA\n30°\n4ξ3\n𝐻\n𝑎\n𝑆\n𝑂\n𝐷\n𝐵\n𝐴\n𝐶\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Odpowiedź: D\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nNiech $r$ = promień podstawy walca, $H$ = wspólna wysokość. Wtedy $R_{stożka} = 2r$.\n\nObjętości:\n\n$$V_{stożka} = \\frac{1}{3} \\pi R^2 H = \\frac{1}{3} \\pi (2r)^2 H = \\frac{1}{3} \\pi \\cdot 4r^2 H = \\frac{4}{3} \\pi r^2 H$$\n\n$$V_{walca} = \\pi r^2 H$$\n\nStosunek.\n\n$$\\frac{V_{stożka}}{V_{walca}} = \\frac{\\frac{4}{3} \\pi r^2 H}{\\pi r^2 H} = \\frac{4}{3}$$\n\nPo co to umieć\n\nWzory na bryły obrotowe — pamiętaj $\\frac{1}{3}$ dla bryły z wierzchołkiem (stożek, ostrosłup) i brak współczynnika dla bryły walcowej. To wynika z całki — bryła z wierzchołkiem to integral $r^2$ wzdłuż $H$, walec to po prostu $r^2 \\cdot H$.\n\nTypowy błąd: Klucz: $V_{stożka} = \\frac{1}{3}\\pi R^2 H$ — przy $R = 2r$ kwadrat daje **4** raz większą podstawę, ale dzielenie przez 3 to równoważy: $\\frac{4}{3}$.","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-28.svg","topics":"stereometria, stożek vs walec, objętość, Bryły obrotowe","page_from":28,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa","number":"29","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym\nwystępują tylko cyfry 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 (np.: 321, 555), jest\nA. 6 ⋅7 ⋅3\nB. 6 ⋅7 ⋅7\nC. 7 ⋅7 ⋅3\nD. 7 ⋅7 ⋅7\n\nMMAP-P0_100\nWszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry 0,1,2,3,4,5,6 (np.: 321, 555), jest A. 6⋅7⋅3 B. 6⋅7⋅7 C. 7⋅7⋅3 D. 7⋅7⋅7","answer":"A","answer_text":"Zadanie 29. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nXI.2) zlicza obiekty, stosując reguły\nmnożenia i dodawania […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nA\nD","solution":"Odpowiedź: A\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nCyfra setek (pierwsza pozycja). Nie może być $0$ (inaczej liczba nie jest trzycyfrowa). Z $\\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\\}$ zostają: $\\{1, 2, 3, 4, 5, 6\\}$ → 6 opcji.\n\nCyfra dziesiątek. Dowolna z $\\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\\}$ — bez ograniczeń → 7 opcji.\n\nCyfra jedności (nieparzysta). Z $\\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\\}$ tylko $\\{1, 3, 5\\}$ jest nieparzyste → 3 opcje.\n\nReguła mnożenia. Łączna liczba:\n\n$$6 \\cdot 7 \\cdot 3$$\n\nPo co to umieć\n\nReguła mnożenia: niezależne wybory mnożą się. Klucz: przeczytaj ograniczenia po kolei dla każdej pozycji i policz ile opcji zostaje.\n\nW zadaniach o liczbach uważaj na \"trzycyfrowa\" (pierwsza cyfra $\\neq 0$) i \"parzysta/nieparzysta\" (ostatnia cyfra ograniczona).\n\nTypowy błąd: Trzy ograniczenia: cyfra setek $\\neq 0$ (6 opcji), cyfra jedności nieparzysta z {1,3,5} (3 opcje), dziesiątki — wszystkie 7 opcji.","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-29.svg","topics":"kombinatoryka, reguła mnożenia","page_from":28,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (0-2)\nDane są dwa zbiory cyfr: 𝑋= {1, 3, 5, 7, 9} oraz 𝑌= {0, 2, 4, 6, 8}.\nLosujemy jedną cyfrę ze zbioru 𝑋, a następnie losujemy jedną cyfrę ze zbioru 𝑌.\nNastępnie zapisujemy liczbę dwucyfrową w ten sposób, że cyfra wylosowana ze zbioru 𝑋\njest cyfrą dziesiątek, a cyfra wylosowana ze zbioru 𝑌 jest cyfrą jedności tej liczby\ndwucyfrowej.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝑨 polegającego na tym, że otrzymana w ten\nsposób liczba dwucyfrowa będzie podzielna przez 𝟔. Zapisz obliczenia.\n30.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\nDane są dwa zbiory cyfr: X={1,3,5,7,9} oraz Y={0,2,4,6,8}. Losujemy jedną cyfrę ze zbioru X, a następnie losujemy jedną cyfrę ze zbioru Y. Następnie zapisujemy liczbę dwucyfrową w ten sposób, że cyfra wylosowana ze zbioru X jest cyfrą dziesiątek, a cyfra wylosowana ze zbioru Y jest cyfrą jedności tej liczby dwucyfrowej. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że otrzymana w ten sposób liczba dwucyfrowa będzie podzielna przez 6.","answer":"(9)/(25)","answer_text":"Zadanie 30. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nXII.1) oblicza prawdopodobieństwo\nw modelu klasycznym.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑃(𝐴) = 9\n25\n1 pkt - wypisanie wszystkich zdarzeń elementarnych LUB obliczenie/podanie liczby tych\nzdarzeń: |Ω| = 5 ⋅5, LUB sporządzenie tabeli o 25 polach odpowiadających\nzdarzeniom elementarnym, LUB sporządzenie pełnego drzewa stochastycznego\nALBO\n- wypisanie (lub zaznaczenie w tabeli) wszystkich zdarzeń elementarnych\nsprzyjających zdarzeniu 𝐴 i niewypisanie żadnego niewłaściwego,\nALBO\n- podanie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴:\n|𝐴| = 9, o ile nie zostały zliczone błędne pary,\nALBO\n- sporządzenie fragmentu drzewa stochastycznego, który zawiera wszystkie gałęzie\nsprzyjające zdarzeniu 𝐴, oraz zapisanie prawdopodobieństwa na co najmniej\njednym odcinku każdego z etapów doświadczenia,\nALBO\n- podanie prawdopodobieństwa jednoelementowego zdarzenia (elementarnego): 1\n25\n,\nALBO\n- zapisanie tylko 𝑃(𝐴) = 9\n25\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający zapisuje tylko liczby 9 lub 25 i z rozwiązania nie wynika znaczenie tych\nliczb, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑥, 𝑦), gdzie\n𝑥∈{1, 3, 5, 7, 9} oraz 𝑦∈{0, 2, 4, 6, 8}.\nLiczbę wszystkich zdarzeń elementarnych obliczamy z wykorzystaniem reguły mnożenia.\nMoc zbioru Ω jest równa 5 ⋅5 = 25.\nZdarzeniu 𝐴 sprzyjają następujące zdarzenia elementarne:\n(1, 2), (1, 8), (3, 0), (3, 6), (5, 4), (7, 2), (7, 8), (9, 0), (9, 6),\nwięc moc zbioru 𝐴 jest równa 9.\nZatem prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe 9\n25\nSposób II\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑥, 𝑦), gdzie\n𝑥∈{1, 3, 5, 7, 9} oraz 𝑦∈{0, 2, 4, 6, 8}.\nW tabeli literą 𝒜 zaznaczamy zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu 𝐴.\n0\n2\n4\n6\n8\n1\n𝒜\n𝒜\n3\n𝒜\n𝒜\n5\n𝒜\n7\n𝒜\n𝒜\n9\n𝒜\n𝒜\nWszystkich zdarzeń elementarnych jest 25. Zdarzeń sprzyjających zdarzeniu 𝐴 jest 9.\nZatem prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe 9\n25\n𝑦\n𝑥\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Odpowiedź: $P(A) = \\frac{9}{25}$\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nWszystkie zdarzenia elementarne $|\\Omega|$. Dwie niezależne losowania: 5 cyfr z $X$ × 5 cyfr z $Y$:\n\n$$|\\Omega| = 5 \\cdot 5 = 25$$\n\nKryterium podzielności przez 6. Liczba podzielna przez 6 $\\iff$ podzielna przez 2 i przez 3.\n\n- Przez 2. Cyfra jedności z $Y = \\{0, 2, 4, 6, 8\\}$ — wszystkie parzyste. ✓ zawsze.\n- Przez 3. Suma cyfr podzielna przez 3.\n\nWypisz pary $(d, j)$ z $d + j$ podzielne przez 3.\n\n$d$ (dziesiątki) | Możliwe $j$ | Liczby\n1 | 2, 8 | 12, 18\n3 | 0, 6 | 30, 36\n5 | 4 | 54\n7 | 2, 8 | 72, 78\n9 | 0, 6 | 90, 96\n\nRazem: $2 + 2 + 1 + 2 + 2 = 9$ par.\n\nPrawdopodobieństwo.\n\n$$P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{9}{25}$$\n\nPo co to umieć\n\nPrawdopodobieństwo klasyczne: $P = \\frac{|A|}{|\\Omega|}$.\n\nCechy podzielności (warto pamiętać):\n- przez 2 ⟺ ostatnia cyfra parzysta\n- przez 3 ⟺ suma cyfr podzielna przez 3\n- przez 5 ⟺ ostatnia cyfra to 0 lub 5\n- przez 6 ⟺ podzielna przez 2 i 3\n- przez 9 ⟺ suma cyfr podzielna przez 9\n\nTypowy błąd: Klucz: podzielność przez 6 = (parzyste) AND (podzielne przez 3). Cyfra jedności z $Y$ — wszystkie parzyste, więc każda liczba jest parzysta. Pozostaje liczyć podzielne przez 3 (suma cyfr).","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-30.svg","topics":"prawdopodobieństwo klasyczne, podzielność przez 6, Prawdopodobieństwo, prawdopodobienstwo","page_from":29,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa","number":"31","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (0-1)\nNauczyciel matematyki po każdym sprawdzianie porównuje wyniki uzyskane przez uczniów\ndwóch klas: klasy IV A oraz klasy IV B. Na dwóch poniższych diagramach przedstawiono\nwyniki sprawdzianu ze statystyki, jakie uzyskali uczniowie tych klas.\nNa osiach poziomych podano oceny, które uzyskali uczniowie tych klas, a na osiach\npionowych podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.\nOceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest\nprawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.\nŚrednia arytmetyczna ocen uzyskanych ze sprawdzianu ze statystyki przez\nuczniów klasy IV A jest równa średniej arytmetycznej ocen uzyskanych z tego\nsprawdzianu przez uczniów klasy IV B.\nP\nF\nMediana ocen uzyskanych ze sprawdzianu ze statystyki przez uczniów\nklasy IV A jest równa medianie ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez\nuczniów klasy IV B.\nP\nF\n0\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n1\n2\n3\n4\n5\n6\nliczba uczniów\nocena\nklasa IV A\n0\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n1\n2\n3\n4\n5\n6\nliczba uczniów\nocena\nklasa IV B\n\nMMAP-P0_100\nNauczyciel matematyki po każdym sprawdzianie porównuje wyniki uzyskane przez uczniów dwóch klas: klasy IV A oraz klasy IV B. Na dwóch poniższych diagramach przedstawiono wyniki sprawdzianu ze statystyki, jakie uzyskali uczniowie tych klas. Na osiach poziomych podano oceny, które uzyskali uczniowie tych klas, a na osiach pionowych podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę. [rysunek] [rysunek] Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Średnia arytmetyczna ocen uzyskanych ze sprawdzianu ze statystyki przez uczniów klasy IV A jest równa średniej arytmetycznej ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów klasy IV B. | P | F | Mediana ocen uzyskanych ze sprawdzianu ze statystyki przez uczniów klasy IV A jest równa medianie ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów klasy IV B. | P | F |","answer":"PP","answer_text":"Zadanie 31. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nXII.2) oblicza średnią arytmetyczną […],\nznajduje medianę […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nPP\nPP","solution":"Odpowiedź: PP\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nOdczyt z diagramów\n\nOcena | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | Suma\nIV A | 1 | 6 | 3 | 3 | 6 | 1 | 20\nIV B | 1 | 3 | 6 | 6 | 3 | 1 | 20\n\nStwierdzenie 1: średnie równe?\n\nIV A:\n\n$$\\bar{x}_A = \\frac{1 \\cdot 1 + 2 \\cdot 6 + 3 \\cdot 3 + 4 \\cdot 3 + 5 \\cdot 6 + 6 \\cdot 1}{20} = \\frac{1 + 12 + 9 + 12 + 30 + 6}{20} = \\frac{70}{20} = 3{,}5$$\n\nIV B:\n\n$$\\bar{x}_B = \\frac{1 \\cdot 1 + 2 \\cdot 3 + 3 \\cdot 6 + 4 \\cdot 6 + 5 \\cdot 3 + 6 \\cdot 1}{20} = \\frac{1 + 6 + 18 + 24 + 15 + 6}{20} = \\frac{70}{20} = 3{,}5$$\n\nŚrednie równe → PRAWDA.\n\nStwierdzenie 2: mediany równe?\n\nMediana z 20 ocen = średnia 10. i 11. wartości po posortowaniu.\n\nIV A posortowane:\n- 1 (×1) — pozycja 1\n- 2 (×6) — pozycje 2-7\n- 3 (×3) — pozycje 8-10\n- 4 (×3) — pozycje 11-13\n\nPozycje 10. i 11.: 3 oraz 4 → mediana = $\\frac{3 + 4}{2} = 3{,}5$.\n\nIV B posortowane:\n- 1 (×1) — pozycja 1\n- 2 (×3) — pozycje 2-4\n- 3 (×6) — pozycje 5-10\n- 4 (×6) — pozycje 11-16\n\nPozycje 10. i 11.: 3 oraz 4 → mediana = $\\frac{3 + 4}{2} = 3{,}5$.\n\nMediany równe → PRAWDA.\n\nPo co to umieć\n\nŚrednia arytmetyczna i mediana są odrębnymi miarami:\n- Średnia \"ciągnie się\" w kierunku wartości skrajnych.\n- Mediana jest na nie odporna.\n\nCzasem dwa rozkłady mają taką samą średnią/medianę, ale różną rozproszenia (wariancja, odchylenie). Tu obie klasy mają taką samą średnią, ale klasa A ma większą wariancję (oceny rozjechane na 2 i 5).\n\nTypowy błąd: Pułapka wzrokowa: rozkłady wyglądają **różnie** (jeden ma szczyty na 2 i 5, drugi na 3 i 4), ale są **symetryczne względem 3,5**. Dlatego średnia i mediana wychodzą takie same.","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-31.svg","topics":"statystyka, średnia arytmetyczna, mediana, prawdopodobienstwo","page_from":30,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa","number":"32","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (0-1)\nŚrednia arytmetyczna trzech liczb: 𝑎, 𝑏, 𝑐, jest równa 2.\nŚrednia arytmetyczna czterech liczb: 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, jest równa 5,5.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nŚrednia arytmetyczna siedmiu liczb: 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, jest równa\nA. 3,5\nB. 3,75\nC. 4\nD. 4,25\n\nMMAP-P0_100\nŚrednia arytmetyczna trzech liczb: a,b,c, jest równa 2. Średnia arytmetyczna czterech liczb: d,e,f,g, jest równa 5,5. Średnia arytmetyczna siedmiu liczb: a,b,c,d,e,f,g, jest równa A. 3,5 B. 3,75 C. 4 D. 4,25","answer":"C","answer_text":"Zadanie 32. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nXII.2) oblicza średnią arytmetyczną […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nC\nB","solution":"Odpowiedź: C\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nZ definicji średniej: suma = średnia · liczba elementów.\n\n$$a + b + c = 3 \\cdot 2 = 6$$\n\n$$d + e + f + g = 4 \\cdot 5{,}5 = 22$$\n\nSuma 7 liczb:\n\n$$a + b + c + d + e + f + g = 6 + 22 = 28$$\n\nŚrednia 7 liczb:\n\n$$\\frac{28}{7} = 4$$\n\nPo co to umieć\n\nŁączenie grup w statystyce: zawsze sumuj wartości, nie średnie. Średnia ważona to kompensacja za różne wielkości grup.\n\nW praktyce: jeśli pierwsza grupa ma 100 osób ze średnią 50, a druga 10 osób ze średnią 100, łączna średnia jest bliżej 50, nie pośrodku.\n\nTypowy błąd: **Nie uśredniaj średnich** — $\\frac{2 + 5{,}5}{2} = 3{,}75$ to **błąd** (zignorowane różne liczebności grup). Klucz: suma 7 liczb = suma trójki + suma czwórki.","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-32.svg","topics":"statystyka, średnia ważona, prawdopodobienstwo","page_from":31,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa","number":"33","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33.\nW chwili 𝑡= 0 z poziomu ziemi wyrzucono piłeczkę pionowo do góry.\nPrzyjmijmy, że wysokość ℎ, na której znajduje się piłeczka w danej chwili 𝑡, jest określona\nwzorem\nℎ(𝑡) = -4,9𝑡2 + 14,7𝑡\ngdzie:\nczas 𝑡 jest wyrażony w sekundach (s) i zmienia się od 0 do chwili pierwszego\nuderzenia piłeczki o ziemię\nwysokość ℎ jest wyrażona w metrach i jest liczona względem poziomu ziemi.\nW chwili t=0 z poziomu ziemi wyrzucono piłeczkę pionowo do góry. Przyjmijmy, że wysokość h, na której znajduje się piłeczka w danej chwili t, jest określona wzorem h(t) = -4,9t² + 14,7t gdzie: • czas t jest wyrażony w sekundach (s) i zmienia się od 0 do chwili pierwszego uderzenia piłeczki o ziemię} • wysokość h jest wyrażona w metrach i jest liczona względem poziomu ziemi. Wyrzucona piłeczka osiągnęła największą wysokość w chwili A. t = 1,5 s B. t = 2 s C. t = 2,5 s D. t = 3 s","answer":"A","answer_text":null,"solution":"Odpowiedź: **33.1.** **D** — $t = 3$ s. **33.2.** **A** — $t = 1{,}5$ s.\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\n33.1. — kiedy uderzy w ziemię?\n\n$h(t) = 0$ — piłeczka na poziomie ziemi.\n\n$$-4{,}9t^2 + 14{,}7t = 0$$\n\n$$t \\cdot (-4{,}9t + 14{,}7) = 0$$\n\nDwa rozwiązania:\n- $t = 0$ (moment wyrzutu)\n- $-4{,}9t + 14{,}7 = 0 \\implies t = \\frac{14{,}7}{4{,}9} = 3$ (uderzenie w ziemię)\n\n33.2. — największa wysokość?\n\nWierzchołek paraboli. Funkcja kwadratowa $h(t) = at^2 + bt + c$, ekstremum przy:\n\n$$t_W = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{14{,}7}{2 \\cdot (-4{,}9)} = \\frac{14{,}7}{9{,}8} = 1{,}5$$\n\nBo $a = -4{,}9 < 0$, parabola ma maksimum.\n\nSprawdzenie: dla paraboli (lot symetryczny) max jest dokładnie w połowie czasu lotu: $\\frac{3}{2} = 1{,}5$ s ✓.\n\nPo co to umieć\n\nKlasyczny model fizyczny: $h(t) = h_0 + v_0 t - \\frac{1}{2}gt^2$ ($g \\approx 9{,}8$ m/s²). Tu $h_0 = 0$, $v_0 = 14{,}7$ m/s.\n\nTrzy własności paraboli z fizyki:\n1. Miejsca zerowe — czasy startu i upadku.\n2. Wierzchołek $t_W$ — moment max. wysokości (w połowie czasu lotu).\n3. Wartość $h_W$ — sama maksymalna wysokość.\n\nTypowy błąd: Klucz: $h(t) = 0$ daje **dwa** rozwiązania ($t = 0$ — wyrzut, $t = 3$ — upadek). Pierwszy \"uderza w ziemię\" to ten **drugi**. Max wysokości to wierzchołek paraboli — środek między miejscami zerowymi.","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-33.svg","topics":"funkcja kwadratowa, zastosowanie fizyczne, wierzchołek paraboli","page_from":32,"source":"maturaonline","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/33.1","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa","number":"33.1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33.1. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWyrzucona piłeczka po raz pierwszy uderzy w ziemię w chwili\nA. 𝑡= 1,5 s\nB. 𝑡= 2 s\nC. 𝑡= 2,5 s\nD. 𝑡= 3 s\n\nMMAP-P0_100\nW chwili t=0 z poziomu ziemi wyrzucono piłeczkę pionowo do góry. Przyjmijmy, że wysokość h, na której znajduje się piłeczka w danej chwili t, jest określona wzorem h(t) = -4,9t² + 14,7t gdzie: • czas t jest wyrażony w sekundach (s) i zmienia się od 0 do chwili pierwszego uderzenia piłeczki o ziemię} • wysokość h jest wyrażona w metrach i jest liczona względem poziomu ziemi. Wyrzucona piłeczka po raz pierwszy uderzy w ziemię w chwili A. t = 1,5 s B. t = 2 s C. t = 2,5 s D. t = 3 s","answer":"D","answer_text":"Zadanie 33.1. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nV.11) wykorzystuje własności funkcji […]\nkwadratowej do interpretacji zagadnień […]\nfizycznych itp., także osadzonych\nw kontekście praktycznym.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nD\nA","solution":"**D** — $t = 3$ s.","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad-33.1.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-33.1.svg","topics":"funkcja kwadratowa, zastosowanie fizyczne, wierzchołek paraboli, funkcje","page_from":32,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/33.2","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa","number":"33.2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33.2. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWyrzucona piłeczka osiągnęła największą wysokość w chwili\nA. 𝑡= 1,5 s\nB. 𝑡= 2 s\nC. 𝑡= 2,5 s\nD. 𝑡= 3 s\n\nMMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMAP-P0_100\n\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023","answer":"A","answer_text":"Zadanie 33.2. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nXIII) rozwiązuje zadania optymalizacyjne\nw sytuacjach dających się opisać funkcją\nkwadratową.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nA\nD\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nOcena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią\nObowiązują zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez stwierdzonej\ndyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:\nI. ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze\nstwierdzoną dyskalkulią (punkty 1.-12.);\nII. dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy\nosób ze stwierdzoną dyskalkulią - egzamin maturalny z matematyki, poziom\npodstawowy, termin główny 2026.\nI. Ogólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną\ndyskalkulią\n1. Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek wynikających z:\nbłędnego przepisania\nprzestawienia cyfr\nzapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie\nprzestawienia położenia przecinka\nprzestawienia położenia znaku liczby.\n2. W przypadku błędów wynikających ze zmiany znaku liczby należy w każdym zadaniu\noddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza\numiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania\nbadanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.\n3. We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę\nrozwiązania, części lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej\n1 punkt, zgodnie z kryteriami do poszczególnych zadań.\n4. Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub\nzapisuje nawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne\nrozumowanie lub stosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt\nza rozwiązanie zadania.\n5. W przypadku zadania wymagającego wyznaczenia pierwiastków trójmianu\nkwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę\nwyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania\nwartościach liczbowych.\n6. W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający\nmoże otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności\nkwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.\n7. W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej\nzdający może otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji\nkwadratowej, istotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.\n8. W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych\nlub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie\ntakiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania.\n9. W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na\npłaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu\nrozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur\ngeometrycznych, lub zapisze zależności pozwalające rozwiązać zadanie.\n10. W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać\nprzynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych\nsprzyjających rozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje\nprawidłową metodę wyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.\n11. W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli\npodaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia\nrozwiązania.\n12. W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub\ngeometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która\nwyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać\n1 punkt.\nII. Dodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób\nze stwierdzoną dyskalkulią\nZadanie 7.\nUwaga:\nNie stosuje się uwagi 4. z zasad oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 10.\n1 pkt - zastosowanie poprawnej metody obliczenia pierwiastków trójmianu kwadratowego\n3𝑥2 -2𝑥-8, tzn. zastosowanie wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego\ni obliczenie tych pierwiastków,\nALBO\n- konsekwentne (do otrzymanego w wyniku popełnienia błędów o charakterze\ndyskalkulicznym ujemnego lub równego zero wyróżnika) narysowanie paraboli,\nALBO\n- poprawne rozwiązanie nierówności 3𝑥2 + 4𝑥≥0 (tzn. stosuje się punkt 6.\nogólnych zasad oceniania),\nALBO\n- konsekwentne (do wyznaczonych przez siebie pierwiastków oraz do rozpatrywanego\ntrójmianu i nierówności) wyznaczenie zbioru rozwiązań nierówności.\nUwagi:\n1. Nie stosuje się uwag 3., 4. i 5. z zasad oceniania arkusza standardowego.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n2. Akceptowane jest zapisanie pierwiastków trójmianu w postaci 𝑎+ 𝑏√𝑐, gdzie 𝑎, 𝑏, 𝑐 są\nliczbami wymiernymi.\nZadanie 11.\n1 pkt - zapisanie równania 0,75 ⋅(35𝑥+ 25𝑦) = 4665\nALBO\n- obliczenie przychodu organizatorów przedstawienia: 6220 zł.\nZadanie 12.1.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 12.2.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 14.\n2 pkt - zapisanie miejsc zerowych funkcji 𝑓: 𝑥1 = 1, 𝑥2 = 5,\nALBO\n- zapisanie wzoru funkcji 𝑔 w postaci 𝑔(𝑥) = 𝑎(𝑥-2)2 -2,\nALBO\n- zapisanie wzoru funkcji 𝑔 w postaci 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥(𝑥-4),\nALBO\n- zapisanie, że wierzchołkiem wykresu funkcji 𝑔 jest punkt o współrzędnych (2, -2),\noraz zapisanie, że drugim miejscem zerowym funkcji 𝑔 jest liczba 4.\n1 pkt - zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-𝑝)2 + 𝑞 oraz zapisanie\n𝑝= 3 oraz 𝑞= -2\nALBO\n- zapisanie jednego z równań:\n-𝑏\n2𝑎= 3\n-∆\n4𝑎= -2\n𝑎⋅32 + 𝑏⋅3 + 𝑐= -2\n𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 0\nZadanie 15.\n2 pkt - obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego (𝑎1, 𝑎9, 𝑎𝑘): 𝑞= 4\nALBO\n- obliczenie wyrazów 𝑎1 oraz 𝑎9: 𝑎1 = 8, 𝑎9 = 32, oraz wykorzystanie własności\nciągu geometrycznego i zapisanie związku między wyrazami 𝑎1\n, 𝑎9\n, 𝑎𝑘\n, np.\n(𝑎9)2 = 𝑎1 ⋅𝑎𝑘 .\n1 pkt - obliczenie wyrazu 𝑎1: 𝑎1 = 8\nALBO\n- obliczenie wyrazu 𝑎9: 𝑎9 = 32.\nZadanie 17.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 21.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 22.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 27.\n1 pkt - zastosowanie definicji funkcji trygonometrycznej lub związków miarowych w trójkącie\no kątach 30°, 60°, 90° i zapisanie równania z jedną niewiadomą (wysokością\nostrosłupa), np.: 𝐻\n4√3 = tg 30°, 𝐻\n4√3 =\n√3\n3 ,\nALBO\n- obliczenie długości krawędzi podstawy ostrosłupa: 𝑎= 4√6.\nZadanie 30.\n1 pkt - zapisanie jedynie liczby 25 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich\nzdarzeń elementarnych).\nUwagi:\n1. W ocenie rozwiązania tego zadania (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi ze\nstandardowych zasad oceniania.\n2. Jeżeli zdający poprawnie wypisze/zaznaczy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające\nzdarzeniu 𝐴, lecz popełni błąd w ich zliczeniu (np. |𝐴| = 8) i konsekwentnie zapisze\nwynik (np. 8\n25), to otrzymuje 2 punkty.","solution":"**A** — $t = 1{,}5$ s.","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad-33.2.webp","solution_image":null,"topics":"funkcja kwadratowa, zastosowanie fizyczne, wierzchołek paraboli, Optymalizacja, funkcje","page_from":33,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}