{"paper":{"id":"matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona/matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona.pdf","key_pdf":"matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona-odpowiedzi/matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona-odpowiedzi.pdf","question_count":14,"source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona/zad/1","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona","number":"1","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1. (0-2)\nOblicz granicę\n𝐥𝐢𝐦\n𝒏→+∞\n(𝒏 + 𝟐\n𝒏 - 𝟏)\n𝟏\n𝟐𝒏𝟑-𝟒𝒏+ 𝟕\nZapisz obliczenia.\n1.\n0-1-2\n\nMMAP-R0_100\nOblicz granicę lim_{n→∞} (n+2 n-1) / 1/2n³ - 4n + 7. Zapisz obliczenia.","answer":"(1)/(3)","answer_text":"1. Akceptowane są wszystkie rozwiązania merytorycznie poprawne i spełniające warunki\nzadania.","solution":"## Poprawna odpowiedź: $\\dfrac{1}{3}$\n\n$$\\lim_{n \\to +\\infty} \\dfrac{\\binom{n+2}{n-1}}{\\frac{1}{2}n^3 - 4n + 7} = \\frac{1}{3}$$\n\n## Sposób 1 - rozwinięcie symbolu Newtona i podzielenie przez najwyższą potęgę\n\n**Krok 1. Uprość symbol Newtona.**\n\nKorzystamy z własności symbolu dwumianowego (karta wzorów CKE EM2023, dział „Kombinatoryka - symbol Newtona\"):\n$$\\binom{m}{k} = \\binom{m}{m-k}.$$\n\nTutaj $m = n+2$, $k = n-1$, więc $m - k = (n+2) - (n-1) = 3$. Zatem\n$$\\binom{n+2}{n-1} = \\binom{n+2}{3}.$$\n\n**Krok 2. Rozpisz $\\binom{n+2}{3}$ jako wielomian.**\n\nZe wzoru $\\binom{m}{k} = \\dfrac{m!}{k!\\,(m-k)!}$ (definicja symbolu Newtona, karta wzorów):\n$$\\binom{n+2}{3} = \\frac{(n+2)(n+1)\\,n}{3!} = \\frac{(n+2)(n+1)\\,n}{6}.$$\n\nRozwijamy iloczyn w liczniku:\n$$(n+2)(n+1)\\,n = (n^2 + 3n + 2)\\,n = n^3 + 3n^2 + 2n.$$\n\nStąd\n$$\\binom{n+2}{n-1} = \\frac{n^3 + 3n^2 + 2n}{6} = \\frac{1}{6}n^3 + \\frac{1}{2}n^2 + \\frac{1}{3}n.$$\n\n**Krok 3. Zapisz granicę jako iloraz dwóch wielomianów stopnia 3.**\n\n$$\\lim_{n \\to +\\infty} \\frac{\\frac{1}{6}n^3 + \\frac{1}{2}n^2 + \\frac{1}{3}n}{\\frac{1}{2}n^3 - 4n + 7}.$$\n\nLicznik i mianownik to wielomiany **tego samego stopnia 3**.\n\n**Krok 4. Podziel licznik i mianownik przez $n^3$** (najwyższą potęgę występującą w wyrażeniu):\n\n$$= \\lim_{n \\to +\\infty} \\frac{\\frac{1}{6} + \\frac{1}{2n} + \\frac{1}{3n^2}}{\\frac{1}{2} - \\frac{4}{n^2} + \\frac{7}{n^3}}.$$\n\n**Krok 5. Przejdź do granicy.**\n\nKażdy składnik postaci $\\dfrac{c}{n}$, $\\dfrac{c}{n^2}$, $\\dfrac{c}{n^3}$ dąży do $0$, gdy $n \\to +\\infty$ (granica ciągu $\\frac{1}{n^k} \\to 0$ dla $k>0$). Pozostają jedynie współczynniki przy najwyższej potędze:\n\n$$= \\frac{\\frac{1}{6} + 0 + 0}{\\frac{1}{2} - 0 + 0} = \\frac{\\frac{1}{6}}{\\frac{1}{2}} = \\frac{1}{6} \\cdot \\frac{2}{1} = \\frac{2}{6} = \\frac{1}{3}.$$\n\n**Wniosek.**\n$$\\boxed{\\lim_{n \\to +\\infty} \\frac{\\binom{n+2}{n-1}}{\\frac{1}{2}n^3 - 4n + 7} = \\frac{1}{3}.}$$\n\n**Sprawdzenie liczbowe** (potwierdza wynik): dla $n=1000$ iloraz wynosi $\\approx 0{,}3343$, dla $n=10^6$ wynosi $\\approx 0{,}333334$ - wartości zbiegają do $\\frac{1}{3}$.\n\n## Typowe pułapki\n\n- **Błędne odczytanie dolnego wskaźnika.** Symbol $\\binom{n+2}{n-1}$ to **nie** zwykła potęga - trzeba użyć własności $\\binom{m}{k}=\\binom{m}{m-k}$, by sprowadzić go do $\\binom{n+2}{3}$. Bez tego łatwo pomylić stopień licznika (jest to wielomian stopnia 3, a nie wyższego).\n- **Zgubienie czynnika $\\tfrac{1}{6}$.** Licznik po rozwinięciu ma współczynnik wiodący $\\tfrac{1}{6}$, a mianownik $\\tfrac{1}{2}$. Granicą ilorazu wielomianów tego samego stopnia jest stosunek współczynników wiodących: $\\dfrac{1/6}{1/2}=\\dfrac13$ - a nie $1$ ani $3$. Pomylenie kolejności dzielenia daje błędne $3$.","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona/sol-1.svg","topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona/zad/2","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona","number":"2","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2. (0-3)\nZe zbioru ośmiu liczb {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} losujemy bez zwracania osiem razy po jednej\nliczbie. Wylosowane liczby ustawiamy w ciąg zgodnie z kolejnością losowania.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝑨 polegającego na tym, że wylosowane liczby\nutworzą ciąg, w którym iloczyn każdych trzech kolejnych wyrazów będzie liczbą\npodzielną przez 𝟑. Wynik podaj w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.\nZapisz obliczenia.\n2.\n0-1-\n2-3\n\nMMAP-R0_100\nZe zbioru ośmiu liczb {1,2,3,4,5,6,7,8} losujemy bez zwracania osiem razy po jednej liczbie. Wylosowane liczby ustawiamy w ciąg zgodnie z kolejnością losowania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że wylosowane liczby utworzą ciąg, w którym iloczyn każdych trzech kolejnych wyrazów będzie liczbą podzielną przez $3$. Wynik podaj w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego. Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":"2. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe, które na żadnym etapie rozwiązania nie\nupraszczają i nie zmieniają danego zagadnienia, lecz stosuje poprawną metodę\ni konsekwentnie do popełnionych błędów rachunkowych rozwiązuje zadanie, to może\notrzymać co najwyżej (𝑛-1) punktów (gdzie 𝑛 jest maksymalną możliwą do uzyskania\nliczbą punktów za dane zadanie).\nZadanie 1. (0-2)\nWymagania określone w podstawie programowej1\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nXI.R2) stosuje współczynnik dwumianowy\n(symbol Newtona) i jego własności […].\nVI.R1) oblicza granice ciągów, korzystając\nz […] twierdzeń o granicach sumy, różnicy,\niloczynu i ilorazu ciągów zbieżnych […].\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 1\n3 .\n1 pkt - zapisanie wyrażenia (𝑛+ 2\n𝑛-1) w postaci\n(𝑛 - 1)! 𝑛(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)\n[𝑛 + 2 - (𝑛 - 1)]! (𝑛 - 1)! lub w postaci\n𝑛(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)\n6","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\( P(A) = \\dfrac{1}{28} \\)\n\n## Sposób 1 - model klasyczny + analiza pozycji wielokrotności 3\n\n**Krok 1. Model probabilistyczny (przestrzeń zdarzeń elementarnych).**\nLosujemy bez zwracania kolejno wszystkie 8 liczb i zapisujemy je w ciąg. Zdarzeniem elementarnym jest więc ustawienie ośmiu różnych liczb w ciąg, czyli **permutacja** zbioru \\(\\{1,2,3,4,5,6,7,8\\}\\). Wszystkie permutacje są jednakowo prawdopodobne, zatem stosujemy klasyczną definicję prawdopodobieństwa:\n\\[\n|\\Omega| = 8! = 40320.\n\\]\n(Karta wzorów CKE EM2023, dział *Kombinatoryka* - liczba permutacji zbioru \\(n\\)-elementowego: \\(P_n = n!\\).)\n\n**Krok 2. Kiedy iloczyn jest podzielny przez 3.**\nIloczyn liczb jest podzielny przez \\(3\\) wtedy i tylko wtedy, gdy **co najmniej jeden** z jego czynników jest podzielny przez \\(3\\). W zbiorze \\(\\{1,\\dots,8\\}\\) wielokrotnościami \\(3\\) są dokładnie **dwie** liczby:\n\\[\n3 \\quad\\text{oraz}\\quad 6.\n\\]\nPozostałe sześć liczb \\((1,2,4,5,7,8)\\) nie jest podzielnych przez \\(3\\).\n\n**Krok 3. Przeformułowanie warunku na język pozycji.**\nCiąg ma 8 wyrazów na pozycjach \\(1,2,\\dots,8\\). „Każde trzy kolejne wyrazy” to sześć okien:\n\\[\n(1,2,3),\\ (2,3,4),\\ (3,4,5),\\ (4,5,6),\\ (5,6,7),\\ (6,7,8).\n\\]\nWarunek zdarzenia \\(A\\): **w każdym z tych sześciu okien musi znaleźć się przynajmniej jedna wielokrotność 3** (czyli liczba \\(3\\) lub \\(6\\)). Liczy się więc wyłącznie to, na których **dwóch pozycjach** stoją liczby \\(3\\) i \\(6\\).\n\n**Krok 4. Znalezienie dozwolonych pozycji dla dwóch wielokrotności 3.**\nMamy tylko dwie wielokrotności 3, a okien jest sześć. Sprawdźmy, gdzie muszą stanąć, aby pokryć wszystkie okna.\n\n- Okno \\((1,2,3)\\) musi zawierać wielokrotność 3 \\(\\Rightarrow\\) jedna z nich jest na pozycji \\(1\\), \\(2\\) lub \\(3\\).\n- Okno \\((6,7,8)\\) musi zawierać wielokrotność 3 \\(\\Rightarrow\\) jedna z nich jest na pozycji \\(6\\), \\(7\\) lub \\(8\\).\n\nSkoro dysponujemy tylko dwiema liczbami, jedna „obsługuje” lewy kraniec, druga prawy. Rozważmy okno środkowe \\((3,4,5)\\) oraz \\((4,5,6)\\): obie te liczby też muszą trafiać do tych okien.\n\nNajprościej: niech pierwsza wielokrotność stoi na pozycji \\(p\\), druga na pozycji \\(q\\), \\(p 0 oraz wyznaczenie pochodnej tej funkcji, np. 𝑓′(𝑥) = 1\n𝑦2 -2𝑦\n𝑥3 + 1\n𝑥2 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość nierówności jedynie dla wybranych wartości 𝑥 i 𝑦,\nto otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający przekształci nierówność do postaci (𝑥2 -𝑦2)(𝑥-𝑦) ≥0, a następnie\nuzasadni prawdziwość tej nierówności w przypadku, gdy 𝑥> 𝑦 oraz w przypadku, gdy\n𝑥< 𝑦, a pominie przypadek 𝑥= 𝑦, to otrzymuje 2 punkty.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I (suma sześcianów)\nZ założenia 𝑥> 0 oraz 𝑦> 0, więc 𝑥2𝑦2 > 0. Mnożymy obie strony nierówności\n1\n𝑥+ 1\n𝑦≤𝑥\n𝑦2 + 𝑦\n𝑥2 przez 𝑥2𝑦2 i otrzymujemy\n𝑥𝑦2 + 𝑦𝑥2 ≤𝑥3 + 𝑦3\nStosujemy wzór na sumę sześcianów oraz kwadrat różnicy i dostajemy:\n𝑥𝑦(𝑥+ 𝑦) ≤(𝑥+ 𝑦)(𝑥2 -𝑥𝑦+ 𝑦2)\n0 ≤(𝑥+ 𝑦)(𝑥2 -2𝑥𝑦+ 𝑦2)\n0 ≤(𝑥+ 𝑦)(𝑥-𝑦)2\nPonieważ (𝑥+ 𝑦) jest dodatnie jako suma dwóch liczb dodatnich 𝑥 oraz 𝑦, a ponadto\n(𝑥-𝑦)2 jest nieujemne jako kwadrat liczby rzeczywistej (𝑥-𝑦), więc (𝑥+ 𝑦)(𝑥-𝑦)2\njest nieujemne jako iloczyn liczby dodatniej i nieujemnej. Zatem nierówność\n0 ≤(𝑥+ 𝑦)(𝑥-𝑦)2 jest prawdziwa dla każdej liczby dodatniej 𝑥 i dla każdej liczby\ndodatniej 𝑦. To oznacza, że dla każdej liczby dodatniej 𝑥 i każdej liczby dodatniej 𝑦\nnierówność 1\n𝑥+ 1\n𝑦≤𝑥\n𝑦2 + 𝑦\n𝑥2 jest również prawdziwa.\nTo należało wykazać.\nSposób II (grupowanie)\nZ założenia 𝑥> 0 oraz 𝑦> 0, więc 𝑥2𝑦2 > 0. Mnożymy obie strony nierówności\n1\n𝑥+ 1\n𝑦≤𝑥\n𝑦2 + 𝑦\n𝑥2 przez 𝑥2𝑦2 oraz stosujemy wzór na różnicę kwadratów i otrzymujemy\nkolejno:\n𝑥𝑦2 + 𝑦𝑥2 ≤𝑥3 + 𝑦3\n0 ≤𝑥3 -𝑥𝑦2 + 𝑦3 -𝑦𝑥2\n0 ≤𝑥(𝑥2 -𝑦2) + 𝑦(𝑦2 -𝑥2)\n0 ≤(𝑥-𝑦)(𝑥2 -𝑦2)\n0 ≤(𝑥-𝑦)2(𝑥+ 𝑦)\nPonieważ (𝑥+ 𝑦) jest dodatnie jako suma dwóch liczb dodatnich 𝑥 oraz 𝑦, a ponadto\n(𝑥-𝑦)2 jest nieujemne jako kwadrat liczby rzeczywistej (𝑥-𝑦), więc (𝑥+ 𝑦)(𝑥-𝑦)2\njest nieujemne jako iloczyn liczby dodatniej i nieujemnej. Zatem nierówność\n0 ≤(𝑥+ 𝑦)(𝑥-𝑦)2 jest prawdziwa dla każdej liczby dodatniej 𝑥 i dla każdej liczby\ndodatniej 𝑦. To oznacza, że dla każdej liczby dodatniej 𝑥 i każdej liczby dodatniej 𝑦\nnierówność 1\n𝑥+ 1\n𝑦≤𝑥\n𝑦2 + 𝑦\n𝑥2 jest również prawdziwa.\nTo należało wykazać.\nSposób III\nZ założenia wynika, że 𝑥≠0 i 𝑦≠0, więc przekształcamy równoważnie nierówność\n1\n𝑥+ 1\n𝑦≤𝑥\n𝑦2 + 𝑦\n𝑥2 , rozszerzając odpowiednie ułamki i stosując wzór na różnicę kwadratów:\n0 ≤𝑥\n𝑦2 + 𝑦\n𝑥2 -1\n𝑥-1\n𝑦\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n0 ≤\n𝑥3\n𝑥2𝑦2 + 𝑦3\n𝑥2𝑦2 -𝑦2𝑥\n𝑥2𝑦2 -𝑥2𝑦\n𝑥2𝑦2\n0 ≤𝑥3 + 𝑦3 -𝑦2𝑥-𝑥2𝑦\n𝑥2𝑦2\n0 ≤𝑥(𝑥2 -𝑦2) + 𝑦(𝑦2 -𝑥2)\n𝑥2𝑦2\n0 ≤(𝑥-𝑦)(𝑥2 -𝑦2)\n𝑥2𝑦2\n0 ≤(𝑥-𝑦)2(𝑥+ 𝑦)\n𝑥2𝑦2\nPonieważ:\n(𝑥+ 𝑦) jest dodatnie jako suma dwóch liczb dodatnich 𝑥 oraz 𝑦\n(𝑥-𝑦)2 jest nieujemne jako kwadrat liczby rzeczywistej (𝑥-𝑦)\n𝑥2𝑦2 jest dodatnie jako iloczyn kwadratów liczb dodatnich 𝑥 oraz 𝑦,\nwięc\n(𝑥 - 𝑦)2(𝑥 + 𝑦)\n𝑥2𝑦2\njest nieujemne jako iloraz liczby nieujemnej (𝑥-𝑦)2(𝑥+ 𝑦) i liczby\ndodatniej 𝑥2𝑦2. Zatem nierówność 0 ≤\n(𝑥 - 𝑦)2(𝑥 + 𝑦)\n𝑥2𝑦2\njest prawdziwa dla każdej liczby\ndodatniej 𝑥 i dla każdej liczby dodatniej 𝑦. To oznacza, że dla każdej liczby dodatniej 𝑥\ni każdej liczby dodatniej 𝑦 nierówność 1\n𝑥+ 1\n𝑦≤𝑥\n𝑦2 + 𝑦\n𝑥2 jest również prawdziwa.\nTo należało wykazać.\nSposób IV (badanie funkcji)\nRozważmy funkcję 𝑓(𝑥) = 𝑥\n𝑦2 + 𝑦\n𝑥2 - 1\n𝑥-1\n𝑦 zmiennej dodatniej 𝑥 z parametrem 𝑦> 0.\nWyznaczamy pochodną funkcji 𝑓:\n𝑓′(𝑥) = 1\n𝑦2 -2𝑦\n𝑥3 + 1\n𝑥2\n𝑓′(𝑥) = 𝑥3 -2𝑦3 + 𝑥𝑦2\n𝑥3𝑦2\n𝑓′(𝑥) = 𝑥3 -𝑦3 + 𝑥𝑦2 -𝑦3\n𝑥3𝑦2\n𝑓′(𝑥) = (𝑥-𝑦)(𝑥2 + 𝑥𝑦+ 𝑦2) + 𝑦2(𝑥-𝑦)\n𝑥3𝑦2\n𝑓′(𝑥) = (𝑥-𝑦)(𝑥2 + 𝑥𝑦+ 2𝑦2)\n𝑥3𝑦2\nPonieważ 𝑥> 0 oraz 𝑦> 0, więc 𝑥2 + 𝑥𝑦+ 2𝑦2 > 0 i 𝑥3𝑦2 > 0. Zatem:\n𝑓′(𝑥) = 0 tylko dla 𝑥= 𝑦\n𝑓′(𝑥) > 0 w przedziale (𝑦, +∞)\n𝑓′(𝑥) < 0 w przedziale (0, 𝑦).\nStąd funkcja 𝑓 jest malejąca w przedziale (0, 𝑦] i jest rosnąca w przedziale [𝑦, +∞).\nZatem funkcja 𝑓 osiąga wartość najmniejszą dla 𝑥= 𝑦. Ponieważ\n𝑓(𝑦) = 𝑦\n𝑦2 + 𝑦\n𝑦2 - 1\n𝑦-1\n𝑦= 0, więc\n𝑥\n𝑦2 + 𝑦\n𝑥2 -1\n𝑥-1\n𝑦≥0\nczyli\n1\n𝑥+ 1\n𝑦≤𝑥\n𝑦2 + 𝑦\n𝑥2\ndla każdej liczby dodatniej 𝑥 i dla każdej liczby dodatniej 𝑦.\nTo należało wykazać.\nZadanie 4. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nVIII.8) korzysta z cech podobieństwa\ntrójkątów;\nVIII.11) przeprowadza dowody\ngeometryczne.\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.\n2 pkt - uzasadnienie, że odcinki 𝐴𝐿 i 𝐷𝐾 są prostopadłe (lub 𝐴𝐿 i 𝐾𝑀 są równoległe)\ni przedstawienie kompletnego rozumowania prowadzącego do wyznaczenia\npoprawnego równania z niewiadomą |𝑃𝑄| oraz zapisanie tego równania\nALBO\n- przyjęcie bez uzasadnienia, że odcinki 𝐴𝐿 i 𝐷𝐾 są prostopadłe (lub 𝐴𝐿 i 𝐾𝑀 są\nrównoległe) oraz przeprowadzenie pełnego rozumowania przy tym założeniu\ni otrzymanie tezy |𝑃𝑄| =\n√5\n5 𝑎,\nALBO\n- obliczenie współrzędnych punktu 𝑄: 𝑄= (4\n5 𝑎, 2\n5 𝑎).\n1 pkt - uzasadnienie, że odcinki 𝐴𝐿 i 𝐷𝐾 są prostopadłe (lub 𝐴𝐿 i 𝐾𝑀 są równoległe)\nALBO\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n- obliczenie długości boku 𝐾𝑀 trójkąta 𝐷𝐾𝑀 i długości jednego z pozostałych\ndwóch boków tego trójkąta: |𝐾𝑀| =\n√5\n4 𝑎, |𝐷𝐾| =\n√5\n2 𝑎, |𝐷𝑀| = 5\n4 𝑎,\nALBO\n- obliczenie długości jednego z odcinków 𝐴𝑃, 𝐷𝑃 lub 𝑃𝐾: |𝐴𝑃| = 1\n√5 𝑎,\n|𝐷𝑃| = 2\n√5 𝑎, |𝑃𝐾| =\n1\n2√5 𝑎,\nALBO\n- obliczenie współrzędnych punktu 𝑃: 𝑃= (2\n5 𝑎, 1\n5 𝑎),\nALBO\n- uzasadnienie, że trójkąty 𝐸𝐾𝐷 i 𝑀𝐾𝐷 są przystające.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający przyjmie błędne założenie (np. że miara kąta 𝐴𝐾𝐷 jest równa 60°) i na\ntym opiera swoje rozumowanie, to otrzymuje 0 punktów.\n2. Jeżeli zdający uzasadni, że odcinki 𝐴𝐿 i 𝐷𝐾 są prostopadłe (lub 𝐴𝐿 i 𝐾𝑀 są\nrównoległe), a w dalszej części rozwiązania popełni tylko jeden błąd rachunkowy, ale\nzrealizuje w pełni strategię rozwiązania zadania, otrzymując równanie z jedną niewiadomą\n|𝑃𝑄|, to otrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nOznaczmy miarę kąta 𝐴𝐷𝐾 przez 𝛼. Wtedy |∡𝐷𝐾𝐴| = 90° -𝛼.\nPonieważ |𝐷𝐴| = |𝐴𝐵| = 𝑎, |𝐴𝐾| = |𝐵𝐿| = 𝑎\n2 i kąty 𝐷𝐴𝐾 oraz 𝐴𝐵𝐿 są proste, więc\ntrójkąty 𝐷𝐴𝐾 i 𝐴𝐵𝐿 są przystające (cecha bkb). Zatem |∡𝐵𝐴𝐿| = |∡𝐴𝐷𝐾| = 𝛼 oraz\n|∡𝐴𝐿𝐵| = |∡𝐷𝐾𝐴| = 90° -𝛼.\nStąd wynika, że miary kątów ostrych trójkąta 𝐴𝑃𝐾 są równe miarom odpowiednich kątów\nostrych trójkątów 𝐷𝐴𝐾 i 𝐴𝐵𝐿. To oznacza, że trójkąt 𝐴𝑃𝐾 jest prostokątny i podobny do\ntrójkątów 𝐷𝐴𝐾 oraz 𝐷𝑃𝐴, więc\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐾\n𝑀\n𝐿\n𝑃\n𝑄\n𝑎\n𝛼\n1\n2 𝑎\n1\n2 𝑎\n1\n2 𝑎\n𝛼\n|𝐴𝐷|\n|𝐴𝐾| = |𝐴𝑃|\n|𝑃𝐾| = |𝐷𝑃|\n|𝐴𝑃| = 2\nStąd |𝐷𝑃| = 2 ⋅|𝐴𝑃| = 2 ⋅(2 ⋅|𝑃𝐾|) = 4 ⋅|𝑃𝐾|.\nKąt 𝐷𝐾𝑀 jest prosty i |∡𝐾𝐷𝑀| = |∡𝑃𝐷𝑄|, więc trójkąty prostokątne 𝐷𝐾𝑀 oraz 𝐷𝑃𝑄 są\npodobne, a skala podobieństwa jest równa\n|𝐷𝐾|\n|𝐷𝑃| = |𝐷𝑃| + |𝑃𝐾|\n|𝐷𝑃|\n= 5 ⋅|𝑃𝐾|\n4 ⋅|𝑃𝐾| = 5\n4\nZatem |𝑃𝑄| = 4\n5 ⋅|𝐾𝑀|, a ponieważ trójkąt 𝐾𝐵𝑀 jest podobny do trójkąta 𝐴𝐵𝐿 w skali\n1 ∶2, więc\n|𝐾𝑀| = 1\n2 ⋅|𝐴𝐿| = 1\n2 ⋅|𝐷𝐾| = 1\n2 ⋅√𝑎2 + (𝑎\n2)\n2\n= √5\n4 𝑎\ni tym samym\n|𝑃𝑄| = 4\n5 ⋅|𝐾𝑀| = 4\n5 ⋅√5\n4 𝑎= √5\n5 𝑎\nTo należało wykazać.\nSposób II\nNiech 𝑥= |𝐴𝑃| oraz 𝛼= |∡𝐴𝐷𝐾|. Wtedy |∡𝐷𝐾𝐴| = 90° -𝛼.\nPonieważ |𝐷𝐴| = |𝐴𝐵| = 𝑎, |𝐴𝐾| = |𝐵𝐿| = 𝑎\n2 i kąty 𝐷𝐴𝐾 oraz 𝐴𝐵𝐿 są proste, więc\ntrójkąty 𝐷𝐴𝐾 i 𝐴𝐵𝐿 są przystające (cecha bkb). Zatem |∡𝐵𝐴𝐿| = |∡𝐴𝐷𝐾| = 𝛼 oraz\n|∡𝐴𝐿𝐵| = |∡𝐷𝐾𝐴| = 90° -𝛼.\nKąty 𝐷𝐴𝑃 oraz 𝐴𝐿𝐵 są naprzemianległe i 𝐴𝐷∥𝐵𝐶, więc |∡𝐷𝐴𝑃| = |∡𝐴𝐿𝐵| = 90° -𝛼.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐾\n𝑀\n𝐿\n𝑃\n𝑄\n𝑎\n𝛼\n1\n2 𝑎\n1\n2 𝑎\n1\n2 𝑎\n𝛼\n𝑥\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZatem trójkąt 𝐷𝑃𝐴 jest prostokątny i podobny do trójkąta 𝐷𝐴𝐾. Stąd |𝐷𝑃|\n|𝐴𝐷| = |𝐴𝑃|\n|𝐴𝐾| , czyli\n|𝐷𝑃| =\n|𝐴𝐷|\n|𝐴𝐾| ⋅|𝐴𝑃| = 2 ⋅|𝐴𝑃| = 2𝑥.\nZ twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do trójkąta 𝐷𝐴𝑃 otrzymujemy:\n|𝐴𝑃|2 + |𝐷𝑃|2 = |𝐴𝐷|2\n𝑥2 + (2𝑥)2 = 𝑎2\n𝑥= 𝑎\n√5\nPonieważ kąt 𝐷𝑃𝐴 jest prosty, więc 𝐴𝐿∥𝐾𝑀. Zatem trójkąty prostokątne 𝐷𝐾𝑀 i 𝐷𝑃𝑄\noraz 𝐴𝐷𝐾 i 𝐵𝐾𝑀 są podobne. Skala podobieństwa trójkątów 𝐴𝐷𝐾 i 𝐵𝐾𝑀 jest równa\n|𝐴𝐷|\n|𝐵𝐾| = 2, więc |𝐷𝐾| = 2 ⋅|𝐾𝑀|. Stąd z kolei wynika, że trójkąt 𝐷𝐾𝑀 jest podobny do\ntrójkąta 𝐷𝐴𝐾, więc jest również podobny do trójkąta 𝐷𝑃𝐴. Zatem |∡𝐾𝐷𝑀| = |∡𝐴𝐷𝑃| = 𝛼.\nWobec tego trójkąty prostokątne 𝐷𝑃𝐴 i 𝐷𝑃𝑄 są przystające (cecha kbk). Stąd\n|𝑃𝑄| = |𝐴𝑃| = 𝑎\n√5\n= √5\n5 𝑎\nTo należało wykazać.\nSposób III\nNiech 𝑥= |𝐴𝑃| oraz 𝛼= |∡𝐴𝐷𝐾|. Wtedy |∡𝐷𝐾𝐴| = 90° -𝛼.\nPonieważ |𝐷𝐴| = |𝐴𝐵| = 𝑎, |𝐴𝐾| = |𝐵𝐿| = 𝑎\n2 i kąty 𝐷𝐴𝐾 oraz 𝐴𝐵𝐿 są proste, więc\ntrójkąty 𝐷𝐴𝐾 i 𝐴𝐵𝐿 są przystające (cecha bkb). Zatem |∡𝐵𝐴𝐿| = |∡𝐴𝐷𝐾| = 𝛼 oraz\n|∡𝐴𝐿𝐵| = |∡𝐷𝐾𝐴| = 90° -𝛼.\nKąty 𝐷𝐴𝑃 oraz 𝐴𝐿𝐵 są naprzemianległe i 𝐴𝐷∥𝐵𝐶, więc |∡𝐷𝐴𝑃| = |∡𝐴𝐿𝐵| = 90° -𝛼.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐾\n𝑀\n𝐿\n𝑃\n𝑄\n𝑎\n𝛼\n1\n2 𝑎\n1\n2 𝑎\n1\n2 𝑎\n𝛼\n𝑥\nZatem trójkąt 𝐷𝑃𝐴 jest prostokątny i podobny do trójkąta 𝐷𝐴𝐾. Stąd |𝐷𝑃|\n|𝐴𝐷| = |𝐴𝑃|\n|𝐴𝐾| , czyli\n|𝐷𝑃| =\n|𝐴𝐷|\n|𝐴𝐾| ⋅|𝐴𝑃| = 2 ⋅|𝐴𝑃| = 2𝑥.\nZ twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do trójkąta 𝐷𝐴𝑃 otrzymujemy:\n|𝐴𝑃|2 + |𝐷𝑃|2 = |𝐴𝐷|2\n𝑥2 + (2𝑥)2 = 𝑎2\n𝑥= 𝑎\n√5\nPonieważ kąt 𝐷𝑃𝐴 jest prosty, więc 𝐴𝐿∥𝐾𝑀. To oznacza, że |∡𝐵𝐾𝑀| = |∡𝐵𝐴𝐿|, więc\ntrójkąty prostokątne 𝐴𝐷𝐾 i 𝐵𝐾𝑀 są podobne, a skala ich podobieństwa jest równa\n|𝐴𝐷|\n|𝐵𝐾| = 2. Stąd |𝑀𝐵| = 1\n2 ⋅|𝐴𝐾| = 1\n4 𝑎 oraz |𝐿𝑀| = |𝐵𝐿| -|𝑀𝐵| = 1\n4 𝑎.\nPonieważ 𝐴𝐷∥𝐵𝐶, więc kąty naprzemianległe 𝐴𝐷𝑄 i 𝑄𝑀𝐿 mają równe miary. Z tej\nsamej przyczyny kąty naprzemianległe 𝑄𝐴𝐷 i 𝑄𝐿𝑀 mają równe miary. Zatem trójkąty\n𝐴𝑄𝐷 i 𝐿𝑄𝑀 są podobne, a skala ich podobieństwa jest równa |𝐴𝐷|\n|𝐿𝑀| = 𝑎\n1\n4𝑎= 4. Stąd\n|𝐿𝑄| = 1\n4 ⋅(|𝐴𝑃| + |𝑃𝑄|) = 1\n4 ⋅(√5\n5 𝑎+ |𝑃𝑄|)\nAle |𝐿𝑄| + |𝐴𝑃| + |𝑃𝑄| = |𝐴𝐿| =\n√5\n2 𝑎, więc\n1","solution":"## Poprawna odpowiedz: teza prawdziwa (rownosc zachodzi tylko dla \\( x=y \\))\n\nMamy wykazac, ze dla kazdych dwoch dodatnich liczb rzeczywistych \\( x,y \\) prawdziwa jest nierownosc\n\\[ \\frac{1}{x} + \\frac{1}{y} \\le \\frac{x}{y^2} + \\frac{y}{x^2}. \\]\n\n## Sposob 1 - sprowadzenie do nierownosci oczywistej (mnozenie przez \\( x^2y^2 \\))\n\n**Krok 1. Przeniesienie wszystkiego na jedna strone.**\nTeza jest rownowazna nierownosci\n\\[ \\frac{x}{y^2} + \\frac{y}{x^2} - \\frac{1}{x} - \\frac{1}{y} \\ge 0. \\]\n\n**Krok 2. Pomnozenie obu stron przez \\( x^2 y^2 \\).**\nPoniewaz \\( x>0 \\) i \\( y>0 \\), to \\( x^2 y^2 > 0 \\). Mnozenie nierownosci przez liczbe dodatnia **nie zmienia jej zwrotu**, wiec wystarczy wykazac, ze\n\\[ x^2 y^2\\!\\left(\\frac{x}{y^2} + \\frac{y}{x^2} - \\frac{1}{x} - \\frac{1}{y}\\right) \\ge 0. \\]\nObliczamy kolejne skladniki (skracajac):\n\\[ x^2 y^2\\cdot\\frac{x}{y^2} = x^3,\\qquad x^2 y^2\\cdot\\frac{y}{x^2} = y^3, \\]\n\\[ x^2 y^2\\cdot\\frac{1}{x} = x y^2,\\qquad x^2 y^2\\cdot\\frac{1}{y} = x^2 y. \\]\nZatem wystarczy udowodnic, ze\n\\[ x^3 + y^3 - x y^2 - x^2 y \\ge 0. \\]\n\n**Krok 3. Rozklad lewej strony na czynniki.**\nGrupujemy wyrazy:\n\\[ x^3 + y^3 - x y^2 - x^2 y = \\big(x^3 - x^2 y\\big) + \\big(y^3 - x y^2\\big) = x^2(x-y) + y^2(y-x). \\]\nPoniewaz \\( y - x = -(x-y) \\), mamy\n\\[ x^2(x-y) - y^2(x-y) = (x-y)\\big(x^2 - y^2\\big) = (x-y)(x-y)(x+y) = (x-y)^2 (x+y). \\]\n(W ostatnim kroku skorzystano ze **wzoru skroconego mnozenia** \\( x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) \\) - Karta wzorow CKE EM2023, dzial „Wzory skroconego mnozenia”.)\n\n**Krok 4. Uzasadnienie nieujemnosci.**\nOtrzymalismy\n\\[ x^3 + y^3 - x y^2 - x^2 y = (x-y)^2 (x+y). \\]\nDla dowolnych \\( x,y>0 \\):\n- \\( (x-y)^2 \\ge 0 \\) - kwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny,\n- \\( x+y > 0 \\) - suma dwoch liczb dodatnich jest dodatnia.\n\nIloczyn liczby nieujemnej i liczby dodatniej jest nieujemny, wiec\n\\[ (x-y)^2 (x+y) \\ge 0. \\]\n\n**Krok 5. Wniosek.**\nDzielac tę nierownosc z powrotem przez \\( x^2y^2>0 \\) (zwrot bez zmian), otrzymujemy\n\\[ \\frac{x}{y^2} + \\frac{y}{x^2} - \\frac{1}{x} - \\frac{1}{y} \\ge 0, \\]\nczyli\n\\[ \\frac{1}{x} + \\frac{1}{y} \\le \\frac{x}{y^2} + \\frac{y}{x^2}, \\]\nco konczy dowod. \\( \\blacksquare \\)\n\n**Kiedy rownosc?** Zachodzi ona dokladnie wtedy, gdy \\( (x-y)^2(x+y)=0 \\); poniewaz \\( x+y>0 \\), oznacza to \\( x=y \\).\n\n## Sposob 2 - porownanie „skladnik po skladniku” (alternatywa)\n\nPogrupujmy strony inaczej. Wystarczy pokazac, ze\n\\[ \\left(\\frac{x}{y^2} - \\frac{1}{y}\\right) + \\left(\\frac{y}{x^2} - \\frac{1}{x}\\right) \\ge 0. \\]\nSprowadzajac kazdy nawias do wspolnego mianownika:\n\\[ \\frac{x - y}{y^2} + \\frac{y - x}{x^2} = (x-y)\\left(\\frac{1}{y^2} - \\frac{1}{x^2}\\right) = (x-y)\\cdot\\frac{x^2 - y^2}{x^2 y^2}. \\]\nKorzystajac ponownie ze wzoru \\( x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) \\):\n\\[ = \\frac{(x-y)\\,(x-y)(x+y)}{x^2 y^2} = \\frac{(x-y)^2 (x+y)}{x^2 y^2}. \\]\nLicznik jest nieujemny (\\( (x-y)^2\\ge 0,\\ x+y>0 \\)), a mianownik dodatni, wiec caly ulamek jest \\( \\ge 0 \\). To konczy dowod tezy.\n\n## Typowe pulapki\n\n- **Mnozenie przez wyrazenie nieokreslonego znaku.** Wolno przemnozyc nierownosc przez \\( x^2y^2 \\) bez zmiany zwrotu **tylko dlatego**, ze z zalozenia \\( x,y>0 \\), wiec \\( x^2y^2>0 \\). Nalezy to wyraznie napisac - pominiecie zalozenia o dodatnosci to czesty blad obnizajacy punktacje.\n- **Zatrzymanie sie na \\( (x-y)^2 \\) bez czynnika \\( (x+y) \\).** Po rozkladzie trzeba uzasadnic nieujemnosc **calego** iloczynu \\( (x-y)^2(x+y) \\): kwadrat daje \\( \\ge 0 \\), a dodatnosc \\( x+y \\) wynika z zalozenia \\( x,y>0 \\). Sam zapis „kwadrat jest nieujemny” bez komentarza o \\( x+y \\) jest niepelny.","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona/sol-3.svg","topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona/zad/4","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona","number":"4","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4. (0-3)\nPunkty 𝐾 i 𝐿 są środkami - odpowiednio - boków 𝐴𝐵 i 𝐵𝐶 kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 o boku\ndługości 𝑎. Punkt 𝑀 jest takim punktem na boku 𝐵𝐶, że odcinki 𝐷𝐾 i 𝐾𝑀 są\nprostopadłe.\nOdcinek 𝐴𝐿 przecina odcinki 𝐷𝐾 oraz 𝐷𝑀 w punktach - odpowiednio - 𝑃 oraz 𝑄\n(zobacz rysunek).\nWykaż, że |𝑷𝑸| =\n√𝟓\n𝟓𝒂.\n4.\n0-1-\n2-3\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐾\n𝑀\n𝐿\n𝑃\n𝑄\n𝑎\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nPunkty K i L są środkami - odpowiednio - boków AB i BC kwadratu ABCD o boku długości a. Punkt M jest takim punktem na boku BC, że odcinki DK i KM są prostopadłe. Odcinek AL przecina odcinki DK oraz DM w punktach - odpowiednio - P oraz Q (zobacz rysunek). [rysunek] Wykaż, że |PQ| = √5/5 a","answer":"|PQ|=(√(5))/(5)a","answer_text":"4 ⋅(√5\n5 𝑎+ |𝑃𝑄|) + √5\n5 𝑎+ |𝑃𝑄| = √5\n2 𝑎\n√5\n4 𝑎+ 5\n4 ⋅|𝑃𝑄| = √5\n2 𝑎\n|𝑃𝑄| = √5\n5 𝑎\nTo należało wykazać.\nSposób IV\nOznaczmy przez 𝐸 punkt przecięcia prostych 𝐴𝐷 i 𝐾𝑀. Niech 𝑥= |𝐴𝑃| oraz\n𝛼= |∡𝐴𝐷𝐾|. Wtedy |∡𝐷𝐾𝐴| = 90° -𝛼.\nPonieważ |𝐴𝐾| = |𝐵𝐾| = 𝑎\n2 i kąty 𝐾𝐴𝐸 oraz 𝐾𝐵𝑀 są proste, a kąty 𝐴𝐾𝐸 i 𝐵𝐾𝑀 mają\nrówne miary (gdyż są to kąty wierzchołkowe), więc trójkąty 𝐴𝐾𝐸 i 𝐵𝐾𝑀 są przystające\n(cecha kbk). Stąd mamy |𝐸𝐾| = |𝐾𝑀|, więc trójkąty prostokątne 𝐷𝐾𝐸 i 𝐷𝐾𝑀 są\nprzystające (cecha bkb). Wobec tego |∡𝐾𝐷𝑀| = |∡𝐾𝐷𝐸| = 𝛼.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPonieważ |𝐷𝐴| = |𝐴𝐵| = 𝑎, |𝐴𝐾| = |𝐵𝐿| = 𝑎\n2 i kąty 𝐷𝐴𝐾 oraz 𝐴𝐵𝐿 są proste, więc\ntrójkąty 𝐷𝐴𝐾 i 𝐴𝐵𝐿 są przystające. Zatem |∡𝐵𝐴𝐿| = |∡𝐴𝐷𝐾| = 𝛼 oraz\n|∡𝐴𝐿𝐵| = |∡𝐷𝐾𝐴| = 90° -𝛼.\nKąty 𝐷𝐴𝑃 oraz 𝐴𝐿𝐵 są naprzemianległe i 𝐴𝐷∥𝐵𝐶, więc |∡𝐷𝐴𝑃| = |∡𝐴𝐿𝐵| = 90° -𝛼,\nczyli kąt 𝐷𝑃𝐴 jest prosty. Stąd 𝐸𝑀∥𝐴𝐿, co oznacza, że trójkąty 𝐴𝑃𝐷 i 𝑄𝑃𝐷 są\nprzystające (cecha kbk) i wobec tego |𝑃𝑄| = |𝐴𝑃| = 𝑥.\nTrójkąty 𝐷𝑃𝐴 i 𝐷𝐴𝐾 mają kąty o miarach 𝛼, 90° -𝛼 i 90°, więc są podobne (cecha\nkkk). Dlatego |𝐷𝑃|\n|𝐴𝐷| = |𝐴𝑃|\n|𝐴𝐾| , czyli |𝐷𝑃| =\n|𝐴𝐷|\n|𝐴𝐾| ⋅|𝐴𝑃| = 2 ⋅|𝐴𝑃| = 2𝑥.\nZ twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do trójkąta 𝐷𝐴𝑃 otrzymujemy:\n|𝐴𝑃|2 + |𝐷𝑃|2 = |𝐴𝐷|2\n𝑥2 + (2𝑥)2 = 𝑎2\n𝑥= 𝑎\n√5\n|𝑃𝑄| = √5","solution":"## Poprawna odpowiedz: $|PQ| = \\dfrac{\\sqrt{5}}{5}\\,a$\n\nTo zadanie typu „Wykaż\", więc celem jest udowodnienie podanej równości. Najwygodniej zrobić to metodą współrzędnych (geometria analityczna) - jest najpewniejsza i nie wymaga zgadywania podobieństw.\n\n## Sposob 1 - Geometria analityczna (układ współrzędnych)\n\n**Krok 1. Wprowadzenie układu współrzędnych.**\n\nUmieszczam kwadrat tak, by jego wierzchołki miały wygodne współrzędne:\n\\[\nA=(0,\\,0),\\quad B=(a,\\,0),\\quad C=(a,\\,a),\\quad D=(0,\\,a).\n\\]\nBoki: $AB$ leży na osi $OX$, $BC$ jest pionowy ($x=a$). To poprawnie odwzorowuje kwadrat $ABCD$ o boku $a$.\n\n**Krok 2. Środki boków $K$ i $L$.**\n\nPunkt $K$ jest środkiem $AB$, a $L$ środkiem $BC$:\n\\[\nK=\\left(\\tfrac{a}{2},\\,0\\right),\\qquad L=\\left(a,\\,\\tfrac{a}{2}\\right).\n\\]\n\n**Krok 3. Wyznaczenie punktu $M$ na boku $BC$ z warunku prostopadłości $DK \\perp KM$.**\n\nPunkt $M$ leży na $BC$, więc $M=(a,\\,t)$ dla pewnego $t\\in[0,a]$. Korzystam z warunku, że dwa odcinki są prostopadłe, gdy iloczyn skalarny ich wektorów jest równy $0$ (karta wzorów EM2023, dział „Geometria analityczna / wektory\" - warunek prostopadłości $\\vec{u}\\cdot\\vec{v}=0$).\n\nWektory:\n\\[\n\\vec{DK}=K-D=\\left(\\tfrac{a}{2}-0,\\ 0-a\\right)=\\left(\\tfrac{a}{2},\\,-a\\right),\n\\]\n\\[\n\\vec{KM}=M-K=\\left(a-\\tfrac{a}{2},\\ t-0\\right)=\\left(\\tfrac{a}{2},\\,t\\right).\n\\]\nWarunek $\\vec{DK}\\cdot\\vec{KM}=0$:\n\\[\n\\tfrac{a}{2}\\cdot\\tfrac{a}{2}+(-a)\\cdot t=0\n\\;\\Longrightarrow\\;\n\\tfrac{a^2}{4}-a t=0\n\\;\\Longrightarrow\\;\nt=\\tfrac{a}{4}.\n\\]\nZatem\n\\[\nM=\\left(a,\\,\\tfrac{a}{4}\\right).\n\\]\n(Sprawdzenie: $0\\le \\tfrac{a}{4}\\le a$, więc $M$ faktycznie leży na boku $BC$.)\n\n**Krok 4. Równanie prostej $AL$.**\n\nProsta przechodzi przez $A=(0,0)$ i $L=(a,\\tfrac{a}{2})$. Współczynnik kierunkowy:\n\\[\nm=\\frac{\\tfrac{a}{2}-0}{a-0}=\\frac{1}{2},\n\\qquad\\text{więc}\\qquad\nAL:\\ y=\\tfrac{1}{2}x.\n\\]\n\n**Krok 5. Punkt $P=AL\\cap DK$.**\n\nProsta $DK$ przechodzi przez $D=(0,a)$ i $K=(\\tfrac{a}{2},0)$. Współczynnik kierunkowy:\n\\[\nm_{DK}=\\frac{0-a}{\\tfrac{a}{2}-0}=-2,\n\\qquad\nDK:\\ y=-2x+a.\n\\]\nPrzyrównuję do prostej $AL$:\n\\[\n\\tfrac{1}{2}x=-2x+a\n\\;\\Longrightarrow\\;\n\\tfrac{1}{2}x+2x=a\n\\;\\Longrightarrow\\;\n\\tfrac{5}{2}x=a\n\\;\\Longrightarrow\\;\nx=\\tfrac{2a}{5}.\n\\]\nWtedy $y=\\tfrac12\\cdot\\tfrac{2a}{5}=\\tfrac{a}{5}$, więc\n\\[\nP=\\left(\\tfrac{2a}{5},\\,\\tfrac{a}{5}\\right).\n\\]\n\n**Krok 6. Punkt $Q=AL\\cap DM$.**\n\nProsta $DM$ przechodzi przez $D=(0,a)$ i $M=(a,\\tfrac{a}{4})$. Współczynnik kierunkowy:\n\\[\nm_{DM}=\\frac{\\tfrac{a}{4}-a}{a-0}=\\frac{-\\tfrac{3a}{4}}{a}=-\\tfrac{3}{4},\n\\qquad\nDM:\\ y=-\\tfrac{3}{4}x+a.\n\\]\nPrzyrównuję do $AL$:\n\\[\n\\tfrac{1}{2}x=-\\tfrac{3}{4}x+a\n\\;\\Longrightarrow\\;\n\\tfrac{1}{2}x+\\tfrac{3}{4}x=a\n\\;\\Longrightarrow\\;\n\\tfrac{5}{4}x=a\n\\;\\Longrightarrow\\;\nx=\\tfrac{4a}{5}.\n\\]\nWtedy $y=\\tfrac12\\cdot\\tfrac{4a}{5}=\\tfrac{2a}{5}$, więc\n\\[\nQ=\\left(\\tfrac{4a}{5},\\,\\tfrac{2a}{5}\\right).\n\\]\n\n**Krok 7. Obliczenie $|PQ|$.**\n\nKorzystam ze wzoru na odległość punktów (karta wzorów EM2023, dział „Geometria analityczna\" - długość odcinka):\n\\[\n|PQ|=\\sqrt{(x_Q-x_P)^2+(y_Q-y_P)^2}.\n\\]\nRóżnice współrzędnych:\n\\[\nx_Q-x_P=\\tfrac{4a}{5}-\\tfrac{2a}{5}=\\tfrac{2a}{5},\\qquad\ny_Q-y_P=\\tfrac{2a}{5}-\\tfrac{a}{5}=\\tfrac{a}{5}.\n\\]\nStąd\n\\[\n|PQ|=\\sqrt{\\left(\\tfrac{2a}{5}\\right)^2+\\left(\\tfrac{a}{5}\\right)^2}\n=\\sqrt{\\tfrac{4a^2}{25}+\\tfrac{a^2}{25}}\n=\\sqrt{\\tfrac{5a^2}{25}}\n=\\sqrt{\\tfrac{a^2}{5}}\n=\\frac{a}{\\sqrt{5}}.\n\\]\n\n**Krok 8. Usunięcie niewymierności z mianownika.**\n\n\\[\n|PQ|=\\frac{a}{\\sqrt5}=\\frac{a\\cdot\\sqrt5}{\\sqrt5\\cdot\\sqrt5}=\\frac{\\sqrt5}{5}\\,a.\n\\]\n\nTo kończy dowód:\n\\[\n\\boxed{\\,|PQ|=\\dfrac{\\sqrt5}{5}\\,a\\,.}\n\\]\n$\\blacksquare$\n\n## Sposob 2 - szkic bez współrzędnych (obserwacja)\n\nPunkty $P$ i $Q$ leżą oba na prostej $AL$ o nachyleniu $\\tfrac12$, więc $\\vec{PQ}=(\\tfrac{2a}{5},\\tfrac{a}{5})$ jest równoległy do $\\vec{AL}=(a,\\tfrac{a}{2})$ (oba mają stosunek współrzędnych $2:1$) - to potwierdza, że $P,Q$ rzeczywiście leżą na $AL$. Dzięki temu można też zauważyć, że odcinek $PQ$ stanowi część przekątnej-siecznej i jego długość wynika z proporcji $|AP|:|AQ|:|AL|$. Metoda współrzędnych jest jednak najszybsza i najmniej podatna na błąd, dlatego to ona jest rekomendowana na maturze.\n\n## Typowe pulapki\n\n- **Złe odczytanie warunku prostopadłości.** Trzeba użyć $\\vec{DK}\\cdot\\vec{KM}=0$ (wektory wychodzące z poprawnych punktów: $D\\to K$ oraz $K\\to M$), a nie $\\vec{DK}\\cdot\\vec{DM}$. Łatwo pomylić, które dwa odcinki są prostopadłe.\n- **Zapomnienie o usunięciu niewymierności.** Wynik $\\dfrac{a}{\\sqrt5}$ jest poprawny, ale dopiero postać $\\dfrac{\\sqrt5}{5}a$ jest zgodna z tezą - bez tego kroku dowód „nie domyka się\" do żądanej formy i można stracić punkt za pełne wykazanie.","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona/sol-4.svg","topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona","number":"5","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (0-4)\nRozwiąż nierówność\n|𝟐𝒙-𝟔| -|𝒙𝟐-𝟗| < 𝟎\nZapisz obliczenia.\n5.\n0-1-\n2-3-4\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nRozwiąż nierówność |2x-6| - |x²-9| < 0 Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":"5 𝑎\nTo należało wykazać.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐾\n𝑀\n𝐿\n𝑃\n𝑄\n𝑎\n𝛼\n𝛼\n1\n2 𝑎\n1\n2 𝑎\n𝛼\n𝑥\n𝐸\nSposób V (analitycznie)\nUmieszczamy kwadrat 𝐴𝐵𝐶𝐷 w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) tak, żeby\n𝐴= (0, 0), 𝐵= (𝑎, 0), 𝐶= (𝑎, 𝑎), 𝐷= (0, 𝑎) (zobacz rysunek).\nWówczas 𝐾= (1\n2 𝑎, 0) oraz 𝐿= (𝑎, 1\n2 𝑎).\nWyznaczamy równanie prostej 𝐷𝐾:\n𝑦= 0 -𝑎\n1\n2 𝑎-0\n⋅(𝑥-0) + 𝑎\n𝑦= -2𝑥+ 𝑎\nWyznaczamy równanie prostej 𝐴𝐿:\n𝑦=\n1\n2 𝑎-0\n𝑎-0 ⋅𝑥\n𝑦= 1\n2 𝑥\nWyznaczamy współrzędne punktu 𝑃:\n1\n2 𝑥= -2𝑥+ 𝑎\n𝑥= 2\n5 𝑎\n𝑦= 1\n2 ⋅2\n5 𝑎= 1\n5 𝑎\nZatem 𝑃= (2\n5 𝑎, 1\n5 𝑎).\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐾\n𝑀\n𝐿\n𝑃\n𝑄\n𝑎\n1\n2 𝑎\n1\n2 𝑎\n1\n2 𝑎\n𝑥\n𝑦\n𝑎\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nProsta 𝐾𝑀 jest prostopadła do prostej 𝐷𝐾, więc współczynnik kierunkowy w równaniu\nprostej 𝐾𝑀 jest równy 1\n2 . Zatem prosta 𝐾𝑀 ma równanie 𝑦= 1\n2 (𝑥-1\n2 𝑎). Stąd druga\nwspółrzędna punktu 𝑀 jest równa 1\n2 (𝑎-1\n2 𝑎) = 1\n4 𝑎, czyli 𝑀= (𝑎, 1\n4 𝑎).\nWyznaczamy równanie prostej 𝐷𝑀:\n𝑦=\n1\n4 𝑎-𝑎\n𝑎-0 ⋅(𝑥-0) + 𝑎\n𝑦= -3\n4 𝑥+ 𝑎\nObliczamy współrzędne punktu 𝑄, korzystając z równań prostych 𝐴𝐿 i 𝐷𝑀:\n1\n2 𝑥= -3\n4 𝑥+ 𝑎\n𝑥= 4\n5 𝑎\n𝑦= 1\n2 ⋅4\n5 𝑎= 2\n5 𝑎\nZatem 𝑄= (4\n5 𝑎, 2\n5 𝑎).\nObliczamy długość odcinka 𝑃𝑄:\n|𝑃𝑄| = √(4\n5 𝑎-2\n5 𝑎)\n2\n+ (2\n5 𝑎-1\n5 𝑎)\n2\n= √5\n25 𝑎= √5\n5 𝑎\nTo należało wykazać.\nZadanie 5. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIII.R4) rozwiązuje równania i nierówności\nz wartością bezwzględną.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik:\n𝑥∈(-∞, -5) ∪(-1, 3) ∪(3, +∞).\n3 pkt - zapisanie trzech przedziałów: (-∞, -3) i [-3, 3) i [3, +∞) (z dokładnością do\ndomknięcia) oraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej\nw każdym z tych przedziałów oraz rozwiązanie nierówności w dwóch spośród tych\nprzedziałów - tj. wyznaczenie części wspólnych zbiorów rozwiązań zapisanych\nnierówności z rozpatrywanymi przedziałami\nALBO\n- rozwiązanie nierówności 2 -|𝑥+ 3| < 0,\nALBO\n- zapisanie koniunkcji nierówności 2 -|𝑥+ 3| < 0 i 𝑥≠3,\nALBO\n- przekształcenie nierówności do postaci (𝑥-3)2(𝑥+ 1)(𝑥+ 5) > 0,\nALBO\n- wyznaczenie wszystkich pierwiastków wielomianu 𝑥4 -22𝑥2 + 24𝑥+ 45\ni określenie krotności tych pierwiastków,\nALBO\n- zapisanie nierówności w postaci równoważnej koniunkcji dwóch nierówności:\n2𝑥-6 < |𝑥2 -9| i 2𝑥-6 > -|𝑥2 -9|, a następnie w postaci równoważnej\nkoniunkcji alternatyw nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej:\n(𝑥2 -9 > 2𝑥-6 lub 𝑥2 -9 < -2𝑥+ 6) i (𝑥2 -9 > -2𝑥+ 6 lub\n𝑥2 -9 < 2𝑥-6),\nALBO\n- zapisanie nierówności w postaci równoważnej alternatywy dwóch nierówności:\n𝑥2 -9 > |2𝑥-6| lub 𝑥2 -9 < -|2𝑥-6|, a następnie w postaci równoważnej\nalternatywy koniunkcji nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej:\n(2𝑥-6 < 𝑥2 -9 i 2𝑥-6 < -𝑥2 + 9) lub (2𝑥-6 < -𝑥2 + 9\ni 2𝑥-6 > 𝑥2 -9),\nALBO\n- zapisanie czterech przypadków: 2𝑥-6 < 0 i 𝑥2 -9 < 0,\n2𝑥-6 < 0 i 𝑥2 -9 ≥0, 2𝑥-6 ≥0 i 𝑥2 -9 < 0, 2𝑥-6 ≥0 i 𝑥2 -9 ≥0\n(z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu\nwartości bezwzględnej w każdym z tych przypadków oraz rozwiązanie nierówności\nw dwóch spośród trzech następujących przypadków: 2𝑥-6 < 0 i 𝑥2 -9 < 0,\n2𝑥-6 < 0 i 𝑥2 -9 ≥0, 2𝑥-6 ≥0 i 𝑥2 -9 ≥0 - tj. wyznaczenie części\nwspólnych zbiorów rozwiązań zapisanych nierówności,\nALBO\n- zapisanie, że przypadek 2𝑥-6 ≥0 i 𝑥2 -9 < 0 jest sprzeczny oraz zapisanie\ntrzech przypadków: 2𝑥-6 < 0 i 𝑥2 -9 < 0, 2𝑥-6 < 0 i 𝑥2 -9 ≥0,\n2𝑥-6 ≥0 i 𝑥2 -9 ≥0 (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie\nnierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym z tych przypadków\noraz rozwiązanie nierówności w dwóch spośród tych trzech przypadków - tj.\nwyznaczenie części wspólnych zbiorów rozwiązań zapisanych nierówności,\nALBO\n- odczytanie z wykresów funkcji 𝑓(𝑥) = |2𝑥-6| oraz 𝑔(𝑥) = |𝑥2 -9| pierwszych\nwspółrzędnych punktów ich przecięcia: 𝑥= -5 oraz 𝑥= -1 oraz 𝑥= 3\ni sprawdzenie rachunkiem poprawności odczytanych współrzędnych.\n2 pkt - zapisanie trzech przedziałów: (-∞, -3) i [-3, 3) i [3, +∞) (z dokładnością do\ndomknięcia) oraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej\nw każdym z tych przedziałów\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nALBO\n- zapisanie nierówności |𝑥-3| ⋅(2 -|𝑥+ 3|) < 0,\nALBO\n- zapisanie jednej z nierówności:\n1 < |𝑥 + 3|\n2\n(bez zapisania założenia 𝑥≠3),\n1 < |𝑥2 - 9|\n2⋅|𝑥 - 3| z zapisaniem założenia 𝑥≠3,\n1 < |𝑥 - 3|⋅|𝑥 + 3|\n|2𝑥 - 6|\nz zapisaniem założenia 𝑥≠3,\n1 < |(𝑥 - 3)(𝑥 + 3)\n2𝑥 - 6\n| z zapisaniem założenia 𝑥≠3,\n(𝑥-3)2 ⋅[4 -(𝑥+ 3)2] < 0,\nALBO\n- przekształcenie nierówności do postaci 𝑥4 -22𝑥2 + 24𝑥+ 45 > 0 i wyznaczenie\ndwóch pierwiastków wielomianu 𝑥4 -22𝑥2 + 24𝑥+ 45 (lub zapisanie, że 3 jest\ndwukrotnym pierwiastkiem tego wielomianu),\nALBO\n- zapisanie nierówności w postaci równoważnej koniunkcji dwóch nierówności:\n2𝑥-6 < |𝑥2 -9| i 2𝑥-6 > -|𝑥2 -9|,\nALBO\n- zapisanie nierówności w postaci równoważnej alternatywy dwóch nierówności:\n𝑥2 -9 > |2𝑥-6| lub 𝑥2 -9 < -|2𝑥-6|,\nALBO\n- zapisanie czterech przypadków: 2𝑥-6 < 0 i 𝑥2 -9 < 0,\n2𝑥-6 < 0 i 𝑥2 -9 ≥0, 2𝑥-6 ≥0 i 𝑥2 -9 < 0, 2𝑥-6 ≥0 i 𝑥2 -9 ≥0\n(z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu\nwartości bezwzględnej w każdym z tych przypadków,\nALBO\n- zapisanie trzech przypadków: 2𝑥-6 < 0 i 𝑥2 -9 < 0, 2𝑥-6 < 0 i 𝑥2 -9 ≥0,\n2𝑥-6 ≥0 i 𝑥2 -9 ≥0 (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie\nnierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym z tych przypadków\noraz zapisanie, że przypadek 2𝑥-6 ≥0 i 𝑥2 -9 < 0 jest sprzeczny,\nALBO\n- narysowanie wykresów funkcji 𝑓(𝑥) = |2𝑥-6| oraz 𝑔(𝑥) = |𝑥2 -9|.\n1 pkt - zapisanie trzech przedziałów: (-∞, -3) i [-3, 3) i [3, +∞) (z dokładnością do\ndomknięcia) oraz zapisanie danej nierówności w jednym z tych przedziałów bez\nużycia symbolu wartości bezwzględnej\nALBO\n- zapisanie jednego z przedziałów: (-∞, -3), [-3, 3), [3, +∞) (z dokładnością do\ndomknięcia) oraz rozwiązanie danej nierówności w tym przedziale - tj. wyznaczenie\nczęści wspólnej zbioru rozwiązań zapisanej nierówności z rozpatrywanym\nprzedziałem,\nALBO\n- zastosowanie własności wartości bezwzględnej i zapisanie nierówności:\n2 ⋅|𝑥-3| -|(𝑥-3)(𝑥+ 3)| < 0,\nALBO\n- zastosowanie własności wartości bezwzględnej i zapisanie nierówności w jednej\nz następujących postaci:\n1 < |𝑥2 - 9|\n2⋅|𝑥 - 3| (bez zapisania założenia 𝑥≠3),\n1 < |𝑥 - 3|⋅|𝑥 + 3|\n|2𝑥 - 6|\n(bez zapisania założenia 𝑥≠3),\n1 < |(𝑥 - 3)(𝑥 + 3)\n2𝑥 - 6\n| (bez zapisania założenia 𝑥≠3),\n(2𝑥-6)2 < (𝑥2 -9)2,\nALBO\n- zapisanie czterech przypadków: 2𝑥-6 < 0 i 𝑥2 -9 < 0,\n2𝑥-6 < 0 i 𝑥2 -9 ≥0, 2𝑥-6 ≥0 i 𝑥2 -9 < 0, 2𝑥-6 ≥0 i 𝑥2 -9 ≥0\n(z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie danej nierówności w jednym z tych\nprzypadków bez użycia wartości bezwzględnej,\nALBO\n- zapisanie jednego z trzech przypadków: 2𝑥-6 < 0 i 𝑥2 -9 < 0,\n2𝑥-6 < 0 i 𝑥2 -9 ≥0, 2𝑥-6 ≥0 i 𝑥2 -9 ≥0 (z dokładnością do\ndomknięcia) oraz rozwiązanie danej nierówności w tym przypadku - tj. wyznaczenie\nczęści wspólnej zbiorów rozwiązań zapisanych nierówności.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający, zapisując nierówność bez użycia wartości bezwzględnej, popełni błąd,\nktóry nie jest rachunkowy, tylko w jednym z rozpatrywanych przypadków/przedziałów\ni rozwiąże zadanie do końca, to może uzyskać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie,\no ile nie nabył prawa do innej punktacji zgodnej z zasadami oceniania.\n2. Jeżeli zdający nie rozpatruje przedziałów, które wyczerpują zbiór wszystkich liczb\nrzeczywistych i w których nierówność ma różne postacie (lub rozpatruje przypadki\nwyznaczone jedynie przez nierówności ostre, które nie wyczerpują zbioru ℝ), to może\notrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający przy rozwiązaniu graficznym poda zbiór rozwiązań\n(-∞, -5) ∪(-1, 3) ∪(3, +∞), ale nie sprawdzi rachunkiem pierwszych współrzędnych\npunktów przecięcia wykresów funkcji 𝑓(𝑥) = |2𝑥-6| i 𝑔(𝑥) = |𝑥2 -9|, to może\notrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.\n4. Jeżeli zdający, podając zbiór rozwiązań nierówności, nie uwzględni warunku 𝑥≠3, to\nmoże uzyskać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nWyznaczamy przedziały, które wyczerpują zbiór wszystkich liczb rzeczywistych i w których\nnierówność ma różne postacie: (-∞, -3) i [-3, 3) i [3, +∞).\nRozważamy trzy przypadki.\nPrzypadek 1. (gdy 𝑥∈(-∞, -3))\nW tym przypadku nierówność ma postać -2𝑥+ 6 -𝑥2 + 9 < 0. Stąd otrzymujemy:\n-𝑥2 -2𝑥+ 15 < 0\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n-(𝑥+ 5)(𝑥-3) < 0\nZatem 𝑥∈(-∞, -5) ∪(3, +∞) i 𝑥∈(-∞, -3), więc 𝑥∈(-∞, -5).\nPrzypadek 2. (gdy 𝑥∈[-3, 3))\nW tym przypadku nierówność ma postać -2𝑥+ 6 + 𝑥2 -9 < 0. Stąd otrzymujemy:\n𝑥2 -2𝑥-3 < 0\n(𝑥+ 1)(𝑥-3) < 0\nZatem 𝑥∈(-1, 3) i 𝑥∈[-3, 3), więc 𝑥∈(-1, 3).\nPrzypadek 3. (gdy 𝑥∈[3, +∞))\nW tym przypadku nierówność ma postać 2𝑥-6 -𝑥2 + 9 < 0. Stąd otrzymujemy:\n-𝑥2 + 2𝑥+ 3 < 0\n-(𝑥+ 1)(𝑥-3) < 0\nZatem 𝑥∈(-∞, -1) ∪(3, +∞) i 𝑥∈[3, +∞), więc 𝑥∈(3, +∞).\nOstatecznie rozwiązaniami nierówności |2𝑥-6| -|𝑥2 -9| < 0 są wszystkie liczby ze\nzbioru (-∞, -5) ∪(-1, 3) ∪(3, +∞).\nSposób II\nPrzekształcamy nierówność, korzystając z własności wartości bezwzględnej oraz wzoru na\nróżnicę kwadratów:\n|2𝑥-6| -|𝑥2 -9| < 0\n2 ⋅|𝑥-3| -|𝑥-3| ⋅|𝑥+ 3| < 0\n|𝑥-3| ⋅(2 -|𝑥+ 3|) < 0\nStąd |𝑥-3| ≠0 i 2 -|𝑥+ 3| < 0. Zatem\n𝑥≠3 ∧ |𝑥+ 3| > 2\n𝑥≠3 ∧ (𝑥+ 3 < -2 ∨ 𝑥+ 3 > 2)\n𝑥≠3 ∧ (𝑥< -5 ∨ 𝑥> -1)\n𝑥∈(-∞, -5) ∪(-1, 3) ∪(3, +∞)\nSposób IIa\nDla 𝑥= 3 wartość wyrażenia |2𝑥-6| -|𝑥2 -9| jest równa 0, więc nierówność nie jest\nspełniona.\nPrzekształcamy nierówność, korzystając z własności wartości bezwzględnej oraz ze wzoru\nna różnicę kwadratów:\n|2𝑥-6| -|𝑥2 -9| < 0\n1 <\n|𝑥2 -9|\n|2𝑥-6| ∧ 𝑥≠3\n1 < |𝑥-3| ⋅|𝑥+ 3|\n2 ⋅|𝑥-3|\n∧ 𝑥≠3\n1 < |𝑥+ 3|\n2\n∧ 𝑥≠3\n𝑥≠3 ∧ |𝑥+ 3| > 2\n𝑥≠3 ∧ (𝑥+ 3 < -2 ∨ 𝑥+ 3 > 2)\n𝑥≠3 ∧ (𝑥< -5 ∨ 𝑥> -1)\n𝑥∈(-∞, -5) ∪(-1, 3) ∪(3, +∞)\nSposób IIb (poprzez nierówność wielomianową)\nPrzekształcamy nierówność, korzystając z własności wartości bezwzględnej oraz ze wzoru\nna różnicę kwadratów i kwadrat sumy:\n|2𝑥-6| < |𝑥2 -9|\n|2𝑥-6|2 < |𝑥2 -9|2\n(2𝑥-6)2 < (𝑥2 -9)2\n4(𝑥-3)2 < (𝑥-3)2(𝑥+ 3)2\n(𝑥-3)2[4 -(𝑥+ 3)2] < 0\n(𝑥-3)2(-1 -𝑥)(𝑥+ 5) < 0\n(𝑥-3)2(𝑥+ 1)(𝑥+ 5) > 0\nStąd\n𝑥∈(-∞, -5) ∪(-1, 3) ∪(3, +∞)\nSposób III (poprzez koniunkcję nierówności)\nDla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑎 prawdziwe są\nrównoważności:\n(1) |𝑥| < 𝑎 wtedy i tylko wtedy, gdy 𝑥< 𝑎 i 𝑥> -𝑎\noraz\n(2) |𝑥| > 𝑎 wtedy i tylko wtedy, gdy 𝑥> 𝑎 lub 𝑥< -𝑎.\nPrzekształcamy nierówność |2𝑥-6| -|𝑥2 -9| < 0, korzystając z równoważności (1):\n2𝑥-6 < |𝑥2 -9| i 2𝑥-6 > -|𝑥2 -9|\n|𝑥2 -9| > 2𝑥-6 i |𝑥2 -9| > -2𝑥+ 6\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nRozwiązujemy każdą z otrzymanych nierówności, korzystając z równoważności (2):\n(𝑥2 -9 > 2𝑥-6 ∨ 𝑥2 -9 < -2𝑥+ 6) ∧ (𝑥2 -9 > -2𝑥+ 6 ∨ 𝑥2 -9 < 2𝑥-6)\n(𝑥2 -2𝑥-3 > 0 ∨ 𝑥2 + 2𝑥-15 < 0) ∧ (𝑥2 + 2𝑥-15 > 0 ∨ 𝑥2 -2𝑥-3 < 0)\n[(𝑥+ 1)(𝑥-3) > 0 ∨ (𝑥+ 5)(𝑥-3) < 0] ∧ (𝑥2 + 2𝑥-15 > 0 ∨ 𝑥2 -2𝑥-3 < 0)\n[𝑥∈(-∞, -1) ∪(3, +∞) ∨ 𝑥∈(-5, 3)] ∧ [(𝑥+ 5)(𝑥-3) > 0 ∨ (𝑥+ 1)(𝑥-3) < 0]\n[𝑥∈(-∞, -1) ∪(3, +∞) ∨ 𝑥∈(-5, 3)] ∧ [𝑥∈(-∞, -5) ∪(3, +∞) ∨ 𝑥∈(-1, 3)]\n𝑥∈(-∞, 3) ∪(3, +∞) ∧ 𝑥∈(-∞-5) ∪(-1, 3) ∪(3, +∞)\n𝑥∈(-∞-5) ∪(-1, 3) ∪(3, +∞)\nOstatecznie rozwiązaniami nierówności |2𝑥-6| -|𝑥2 -9| < 0 są wszystkie liczby ze\nzbioru (-∞, -5) ∪(-1, 3) ∪(3, +∞).\nZadanie 6. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nVI.7) wykorzystuje własności ciągów, w tym\narytmetycznych i geometrycznych, do\nrozwiązywania zadań, również osadzonych\nw kontekście praktycznym.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: (-1 026 168).\n3 pkt - obliczenie liczby 𝑛 wyrazów ciągu arytmetycznego: 𝑛= 1014.\n2 pkt - rozwiązanie równania z jedną niewiadomą 𝑟: 𝑟= 0 oraz 𝑟= -2\nALBO\n- obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego (𝑎𝑛) spełniającej warunki zadania:\n𝑟= -2,\nALBO\n- rozwiązanie równania z jedną niewiadomą 𝑞: 𝑞= 1 oraz 𝑞= 3,\nALBO\n- obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego (𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎6) spełniającego warunki\nzadania: 𝑞= 3,\nALBO\n- obliczenie/zapisanie, że ciąg (𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎6) nie jest stały i rozwiązanie równania\nz jedną niewiadomą 𝑎2: 𝑎2 = -1,\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑛, np.\n(1 + 2 ⋅-2026\n𝑛 - 1)\n2\n= (1 + -2026\n𝑛 - 1) (1 + 5 ⋅-2026\n𝑛 - 1)\n1 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑟, np. (1 + 2𝑟)2 = (1 + 𝑟)(1 + 5𝑟)\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑞, np. 3𝑞-3 = 𝑞2 -𝑞,\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑎2 , np. 𝑎2 = 1 + 2𝑎2 (dla sposobu III),\nALBO\n- wyznaczenie różnicy ciągu (𝑎𝑛) w zależności od liczby 𝑛 wyrazów ciągu\narytmetycznego (𝑎𝑛): 𝑟= -2026\n𝑛 - 1 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający myli ciąg arytmetyczny z ciągiem geometrycznym, to otrzymuje 0 punktów\nza całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający stosuje błędny wzór na 𝑛-ty wyraz ciągu arytmetycznego, to może otrzymać\nco najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe i otrzyma wartość 𝑛, która nie jest liczbą\nnaturalną, to może otrzymać 2 punkty za całe rozwiązanie (traktujemy to jak obliczenie\nliczby wyrazów ciągu arytmetycznego z błędem rachunkowym). Zdający nie otrzymuje\npunktu za obliczenie sumy wyrazów ciągu arytmetycznego.\n4. a) Jeżeli zdający przyjmie, że 𝑟= -2 i sprawdzi rachunkiem, że ta wartość spełnia\nwarunki zadania, ale nie uzasadni, że jest to jedyna wartość 𝑟 spełniająca warunki\nzadania, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za obliczenie 𝑛\noraz za obliczenie sumy).\nb) Jeżeli zdający przyjmie bez uzasadnienia, że 𝑟= -2 i na tym opiera swoje\nrozwiązanie, to otrzymuje 0 punktów.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nNiech 𝑟 oznacza różnicę ciągu arytmetycznego (𝑎𝑛). Ze wzoru na 𝑛-ty wyraz ciągu\narytmetycznego i własności ciągu geometrycznego otrzymujemy: 𝑎2 = 1 + 𝑟,\n𝑎3 = 1 + 2𝑟, 𝑎6 = 1 + 5𝑟 oraz (𝑎3)2 = 𝑎2 ⋅𝑎6 . Stąd i z warunków zadania dostajemy:\n(𝑎3)2 = 𝑎2 ⋅𝑎6\n(1 + 2𝑟)2 = (1 + 𝑟)(1 + 5𝑟)\n0 = 2𝑟+ 𝑟2\n0 = 𝑟(2 + 𝑟)\n𝑟= 0 ∨ 𝑟= -2\nDla 𝑟= 0 warunki zadania nie są spełnione, ponieważ pierwszy i ostatni wyraz ciągu\narytmetycznego (𝑎𝑛) nie są równe.\nDla 𝑟= -2 otrzymujemy 𝑎2 = -1, 𝑎3 = -3, 𝑎6 = -9. Ciąg (-1, -3, -9) jest\ngeometryczny, więc warunki zadania są spełnione.\nObliczamy liczbę 𝑛 wyrazów ciągu (𝑎𝑛):\n-2025 = 1 + (𝑛-1) ⋅(-2)\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑛= 1014\nObliczamy sumę 𝑆1014 wszystkich wyrazów ciągu (𝑎𝑛):\n𝑆1014 = 1 + (-2025)\n2\n⋅1014 = -1 026 168\nSposób II\nNiech 𝑟 oznacza różnicę ciągu arytmetycznego (𝑎𝑛). Niech 𝑞 oznacza iloraz ciągu\ngeometrycznego (𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎6). Ciąg arytmetyczny (𝑎𝑛) jest malejący, więc ciąg\n(𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎6) nie jest stały. Zatem 𝑞≠1 oraz 𝑎2 ≠0. Ze wzoru na 𝑛-ty wyraz ciągu\ngeometrycznego i własności ciągu arytmetycznego otrzymujemy: 𝑎3 = 𝑎2 ⋅𝑞, 𝑎6 = 𝑎2 ⋅𝑞2\noraz 3(𝑎3 -𝑎2) = 𝑎6 -𝑎3 . Stąd i z warunków zadania dostajemy:\n3(𝑎3 -𝑎2) = 𝑎6 -𝑎3\n3𝑎2 ⋅𝑞-3𝑎2 = 𝑎2 ⋅𝑞2 -𝑎2 ⋅𝑞\n0 = 𝑎2 ⋅(𝑞2 -4𝑞+ 3)\n𝑎2 = 0 ∨ 𝑞2 -4𝑞+ 3 = 0\n𝑎2 = 0 ∨ 𝑞= 1 ∨ 𝑞= 3\nDla 𝑎2 = 0 oraz dla 𝑞= 1 warunki zadania nie są spełnione, czyli 𝑞= 3. Zatem\n𝑎3 = 3𝑎2 , 𝑎6 = 9𝑎2 .\nKorzystamy z własności ciągu arytmetycznego i obliczamy 𝑎2:\n𝑎1 + 𝑎3\n2\n= 𝑎2\n1 + 3𝑎2\n2\n= 𝑎2\n𝑎2 = -1\nPonieważ 𝑎1 = 1 i 𝑎2 = -1, więc różnica ciągu arytmetycznego jest równa (-2).\nObliczamy liczbę 𝑛 wyrazów ciągu (𝑎𝑛):\n-2025 = 1 + (𝑛-1) ⋅(-2)\n𝑛= 1014\nObliczamy sumę 𝑆1014 wszystkich wyrazów ciągu (𝑎𝑛):\n𝑆1014 = 1 + (-2025)\n2\n⋅1014 = -1 026 168\nSposób III\nNiech 𝑟 oznacza różnicę ciągu arytmetycznego (𝑎𝑛). Ze wzoru na 𝑛-ty wyraz ciągu\narytmetycznego i własności ciągu geometrycznego otrzymujemy: 𝑎3 = 𝑎2 + 𝑟,\n𝑎6 = 𝑎2 + 4𝑟 oraz (𝑎3)2 = 𝑎2 ⋅𝑎6 . Stąd i z warunków zadania dostajemy:\n(𝑎3)2 = 𝑎2 ⋅𝑎6\n(𝑎2 + 𝑟)2 = 𝑎2 ⋅(𝑎2 + 4𝑟)\n𝑎2\n2 + 2𝑎2𝑟+ 𝑟2 = 𝑎2\n2 + 4𝑎2𝑟\n0 = 𝑟(2𝑎2 -𝑟)\n𝑟= 0 ∨ 𝑟= 2𝑎2\nDla 𝑟= 0 warunki zadania nie są spełnione, ponieważ pierwszy i ostatni wyraz ciągu\narytmetycznego (𝑎𝑛) nie są równe.\nDla 𝑟= 2𝑎2 otrzymujemy 𝑎2 = 1 + 2𝑎2 . Stąd 𝑎2 = -1, więc 𝑟= -2. Zatem 𝑎3 = -3\noraz 𝑎6 = -9. Ciąg (-1, -3, -9) jest geometryczny, więc warunki zadania są spełnione.\nObliczamy liczbę 𝑛 wyrazów ciągu (𝑎𝑛):\n-2025 = 1 + (𝑛-1) ⋅(-2)\n𝑛= 1014\nObliczamy sumę 𝑆1014 wszystkich wyrazów ciągu (𝑎𝑛):\n𝑆1014 = 1 + (-2025)\n2\n⋅1014 = -1 026 168\nZadanie 7. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nVII.R6) rozwiązuje równania\ntrygonometryczne.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik, np.: 𝜋𝑘\n2 oraz -𝜋\n12 + 𝜋𝑘\n2 oraz\n𝜋\n12 + 𝜋𝑘\n2 , gdzie 𝑘∈ℤ.\n3 pkt - przekształcenie równania do postaci alternatywy równań trygonometrycznych\ni rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy, np.:\n(sin(2𝑥) = 0 lub cos2(2𝑥) = 3\n4 ) oraz\n𝑥= 𝜋𝑘\n2 (rozwiązania równania sin(2𝑥) = 0)\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n(sin(2𝑥) = 0 lub cos(2𝑥) = -\n√3\n2 lub cos(2𝑥) =\n√3\n2 ) oraz\n𝑥= -5𝜋\n12 + 𝜋𝑘 oraz 𝑥= 5𝜋\n12 + 𝜋𝑘 (rozwiązania równania cos(2𝑥) = -\n√3\n2 )\n(sin(2𝑥) = 0 lub cos(4𝑥) = 1\n2 ) oraz\n𝑥= -𝜋\n12 + 𝜋𝑘\n2 oraz 𝑥= 𝜋\n12 + 𝜋𝑘\n2 (rozwiązania równania cos(4𝑥) = 1\n2)\n(sin(2𝑥) = 0 lub sin(2𝑥) = -1\n2 lub sin(2𝑥) = 1\n2 ) oraz\n𝑥= -𝜋\n12 + 𝜋𝑘 oraz 𝑥= -5𝜋\n12 + 𝜋𝑘 (rozwiązania równania sin(2𝑥) = -1\n2),\ngdzie 𝑘∈ℤ.\n2 pkt - przekształcenie równania do postaci alternatywy równań trygonometrycznych, np.:\nsin(2𝑥) = 0 lub cos2(2𝑥) = 3\n4 ,\nsin(2𝑥) = 0 lub cos(2𝑥) = -\n√3\n2 lub cos(2𝑥) =\n√3\n2 ,\nsin(2𝑥) = 0 lub 2 cos(4𝑥) -1 = 0,\nsin(2𝑥) = 0 lub 4 sin2(2𝑥) -1 = 0.\n1 pkt - zastosowanie wzoru na sinus sumy i przekształcenie równania do postaci\nsin(4𝑥) cos(2𝑥) + cos(4𝑥) sin(2𝑥) -2 sin(2𝑥) = 0 (dla sposobu I)\nALBO\n- zastosowanie wzoru na różnicę sinusów i przekształcenie równania do postaci\n2 cos(4𝑥) sin(2𝑥) -sin(2𝑥) = 0 (dla sposobu II),\nALBO\n- zastosowanie wzoru na sinus potrojonego kąta i przekształcenie równania do postaci\n-4 sin3(2𝑥) + 3 sin(2𝑥) -2 sin(2𝑥) = 0 (dla sposobu III).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. a) Jeżeli zdający popełni błędy, które nie są rachunkowe, nie zrealizuje wymagań\nz kryterium za 1 punkt, przekształci równanie do postaci sin(2𝑥) ⋅𝑓(𝑥) = 0, to może\notrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie (za rozwiązanie równania\nsin(2𝑥) = 0).\nb) Jeżeli zdający zrealizuje wymagania z kryterium za 1 punkt, a następnie popełni błędy,\nktóre nie są rachunkowe, przekształci równanie do postaci sin(2𝑥) ⋅𝑓(𝑥) = 0\ni rozwiąże równanie sin(2𝑥) = 0, to otrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający popełni tylko błędy rachunkowe i przekształci równanie do postaci\nsin(2𝑥) ⋅𝑓(𝑥) = 0, gdzie funkcja trygonometryczna 𝑓 nie ma miejsc zerowych lub\nrównanie trygonometryczne 𝑓(𝑥) = 0 ma jedną serię rozwiązań w zbiorze liczb\nrzeczywistych, oraz rozwiąże równanie sin(2𝑥) = 0, otrzymując 𝑥= 𝜋𝑘\n2 , to może\notrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie, o ile nie nabył praw do innej\npunktacji.\n3. Jeżeli zdający przyjmie 𝑢= 2𝑥 i rozwiąże równanie sin(3𝑢) -2 sin 𝑢= 0 (lub\nrównanie -4 sin3 𝑢+ 3 sin 𝑢-2 sin 𝑢= 0) i na tym zakończy lub dalej popełni błędy, to\notrzymuje 3 punkty.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I (poprzez sinus sumy)\nPrzekształcamy równanie sin(6𝑥) -2 sin(2𝑥) = 0 równoważnie, stosując wzór na sinus\nsumy kątów i cosinus podwojonego kąta:\nsin(4𝑥+ 2𝑥) -2 sin(2𝑥) = 0\nsin(4𝑥) cos(2𝑥) + cos(4𝑥) sin(2𝑥) -2 sin(2𝑥) = 0\n2 sin(2𝑥) cos2(2𝑥) + [2 cos2(2𝑥) -1] sin(2𝑥) -2 sin(2𝑥) = 0\nsin(2𝑥) [4 cos2(2𝑥) -3] = 0\nsin(2𝑥) = 0 ∨ cos2(2𝑥) = 3\n4\nsin(2𝑥) = 0 ∨ cos(2𝑥) = -√3\n2 ∨ cos(2𝑥) = √3\n2\nRozwiązujemy równanie sin(2𝑥) = 0:\n2𝑥= 𝜋𝑘\n𝑥= 𝜋𝑘\n2\ngdzie 𝑘∈ℤ.\nRozwiązujemy równanie cos(2𝑥) = -\n√3\n2 :\n2𝑥= 5𝜋\n6 + 2𝜋𝑘 ∨ 2𝑥= -5𝜋\n6 + 2𝜋𝑘\n𝑥= 5𝜋\n12 + 𝜋𝑘 ∨ 𝑥= -5𝜋\n12 + 𝜋𝑘\ngdzie 𝑘∈ℤ.\nRozwiązujemy równanie cos(2𝑥) =\n√3\n2 :\n2𝑥= 𝜋\n6 + 2𝜋𝑘 ∨ 2𝑥= -𝜋\n6 + 2𝜋𝑘\n𝑥= 𝜋\n12 + 𝜋𝑘 ∨ 𝑥= -𝜋\n12 + 𝜋𝑘\ngdzie 𝑘∈ℤ.\nRozwiązaniami równania sin(6𝑥) -2 sin(2𝑥) = 0 są wszystkie liczby postaci:\n𝜋𝑘\n2 , -5𝜋\n12 + 𝜋𝑘, 5𝜋\n12 + 𝜋𝑘, -𝜋\n12 + 𝜋𝑘 oraz 𝜋\n12 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób II (poprzez różnicę sinusów)\nPrzekształcamy równanie sin(6𝑥) -2 sin(2𝑥) = 0 równoważnie, stosując wzór na różnicę\nsinusów:\nsin(6𝑥) -sin(2𝑥) -sin(2𝑥) = 0\n2 cos (6𝑥+ 2𝑥\n2\n) sin (6𝑥-2𝑥\n2\n) -sin(2𝑥) = 0\n2 cos(4𝑥) sin(2𝑥) -sin(2𝑥) = 0\nsin(2𝑥) [2 cos(4𝑥) -1] = 0\nsin(2𝑥) = 0 ∨ cos(4𝑥) = 1\n2\n2𝑥= 𝜋𝑘 ∨ 4𝑥= 𝜋\n3 + 2𝜋𝑘 ∨ 4𝑥= -𝜋\n3 + 2𝜋𝑘\n𝑥= 𝜋𝑘\n2 ∨ 𝑥= 𝜋\n12 + 𝜋𝑘\n2 ∨ 𝑥= -𝜋\n12 + 𝜋𝑘\n2\ngdzie 𝑘∈ℤ.\nRozwiązaniami równania sin(6𝑥) -2 sin(2𝑥) = 0 są wszystkie liczby postaci:\n𝜋𝑘\n2 , -𝜋\n12 + 𝜋𝑘\n2 oraz 𝜋\n12 + 𝜋𝑘\n2 , gdzie 𝑘∈ℤ.\nSposób III (poprzez sinus potrojonego kąta)\nPrzekształcamy równanie sin(6𝑥) -2 sin(2𝑥) = 0 równoważnie, stosując wzór na sinus\npotrojonego kąta:\nsin(3 ⋅2𝑥) -2sin(2𝑥) = 0\n-4 sin3(2𝑥) + 3 sin(2𝑥) -2 sin(2𝑥) = 0\nsin(2𝑥) [-4 sin2(2𝑥) + 1] = 0\nsin(2𝑥) = 0 ∨ sin2(2𝑥) = 1\n4\nsin(2𝑥) = 0 ∨ sin(2𝑥) = -1\n2 ∨ sin(2𝑥) = 1\n2\n2𝑥= 𝜋𝑘 ∨ 2𝑥= 7𝜋\n6 + 2𝜋𝑘 ∨ 2𝑥= 11𝜋\n6\n+ 2𝜋𝑘 ∨ 2𝑥= 𝜋\n6 + 2𝜋𝑘 ∨ 2𝑥= 5𝜋\n6 + 2𝜋𝑘\n𝑥= 𝜋𝑘\n2 ∨ 𝑥= 7𝜋\n12 + 𝜋𝑘 ∨ 𝑥= 11𝜋\n12 + 𝜋𝑘 ∨ 𝑥= 𝜋\n12 + 𝜋𝑘 ∨ 𝑥= 5𝜋\n12 + 𝜋𝑘\ngdzie 𝑘∈ℤ.\nRozwiązaniami równania sin(6𝑥) -2 sin(2𝑥) = 0 są wszystkie liczby postaci:\n𝜋𝑘\n2 , 𝜋\n12 + 𝜋𝑘, 5𝜋\n12 + 𝜋𝑘, 7𝜋\n12 + 𝜋𝑘 oraz 11𝜋\n12 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ.\nZadanie 8. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nX.R2) wyznacza przekroje […] ostrosłupów\nprawidłowych oraz oblicza ich pola, także\nz wykorzystaniem trygonometrii.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑎= 3√6 oraz cos 𝛽= 5\n14 .\n3 pkt - obliczenie wysokości 𝑥 ściany bocznej opuszczonej na krawędź boczną ostrosłupa:\n𝑥= √42\nALBO\n- obliczenie sin (𝛽\n2): sin (𝛽\n2) =\n3\n2√7 ,\nALBO\n- obliczenie długości krawędzi podstawy: 𝑎= 3√6 oraz zapisanie zależności między\nfunkcjami trygonometrycznymi kątów 𝛼 i 𝛽, np.\n1 = 2 cos2 (𝛼\n2) ⋅(1 -cos 𝛽), 1 = sin2 𝛼⋅1 - cos𝛽\n1 - cos𝛼 ,\nALBO\n- obliczenie cosinusa kąta 𝛽: cos 𝛽= 5\n14 .\n2 pkt - obliczenie długości krawędzi podstawy ostrosłupa oraz cos (𝛼\n2): 𝑎= 3√6 oraz\ncos (𝛼\n2) =\n√7\n3\nALBO\n- zapisanie związków 𝑥\n𝑎=\n√7\n3 oraz sin (𝛽\n2) = |𝐸𝐵|\n𝑥 ,\nALBO\n- obliczenie długości (lub kwadratu długości) 𝑏 krawędzi bocznej ostrosłupa: 𝑏= 9√3\n2\n(lub 𝑏2 = 243\n4 ),\nALBO\n- zapisanie zależności między długością krawędzi bocznej ostrosłupa i wysokością\nściany bocznej opuszczoną na krawędź boczną ostrosłupa, np.: 𝑥\n𝑏= 2√14\n9\n,\n1\n2 ⋅𝑏2 ⋅2√14\n9\n= 1\n2 𝑏⋅𝑥, (5\n9 𝑏)\n2\n+ 𝑥2 = 𝑏2,\nALBO\n- zapisanie zależności między funkcjami trygonometrycznymi kątów 𝛼 i 𝛽, np.\n1 = 2 cos2 (𝛼\n2) ⋅(1 -cos 𝛽), 1 = sin2 𝛼⋅1 - cos𝛽\n1 - cos𝛼 .\n1 pkt - obliczenie długości 𝑎 krawędzi podstawy ostrosłupa: 𝑎= 3√6\nALBO\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n- obliczenie cos (𝛼\n2) : cos (𝛼\n2) =\n√7\n3 ,\nALBO\n- obliczenie sin 𝛼: sin 𝛼= 2√14\n9\n,\nALBO\n- zastosowanie twierdzenia cosinusów do trójkąta 𝐴𝐵𝐷 i zapisanie równania\n𝑎2 = 𝑥2 + 𝑥2 -2𝑥2 cos 𝛽\nALBO\n- zastosowanie twierdzenia cosinusów do trójkąta 𝐵𝐶𝑆 i zapisanie równania\n𝑎2 = 𝑏2 + 𝑏2 -2𝑏2 cos 𝛼\nALBO\n- zapisanie zależności między 𝑎, 𝑥 oraz 𝛼, np. sin (90° -𝛼\n2) = 𝑥\n𝑎 , cos 𝛼\n2 = 𝑥\n𝑎 ,\nALBO\n- zapisanie zależności między 𝑏, 𝑥 oraz 𝛼, np. sin 𝛼= 𝑥\n𝑏 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający poprawnie zinterpretuje kąt między krawędziami bocznymi ostrosłupa\ni zastosuje twierdzenie cosinusów do ściany bocznej - pomimo błędnie obliczonej\ndługości krawędzi podstawy lub długości krawędzi bocznej - to traktujemy to jak\nspełnienie kryterium z myślnika piątego z kategorii za 1 punkt.\n2. Jeżeli zdający poprawnie zinterpretuje kąt między ścianami bocznymi ostrosłupa\ni zastosuje twierdzenie cosinusów do trójkąta z tym kątem - pomimo błędnie obliczonej\ndługości krawędzi podstawy lub wysokości ściany bocznej poprowadzonej z wierzchołka\npodstawy ostrosłupa - to traktujemy to jak spełnienie kryterium z myślnika czwartego\nz kategorii za 1 punkt.\n3. Jeżeli zdający błędnie interpretuje kąt między krawędziami bocznymi ostrosłupa, to może\notrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.\n4. Jeżeli zdający rozpatruje inną bryłę niż ostrosłup prawidłowy trójkątny, to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia:\n𝐴, 𝐵, 𝐶 - wierzchołki podstawy ostrosłupa,\n𝑆 - wierzchołek ostrosłupa,\n𝐷 - punkt wspólny wysokości ściany bocznej 𝐵𝐶𝑆 poprowadzonej z wierzchołka 𝐵\ni wysokości ściany bocznej 𝐴𝐶𝑆 poprowadzonej z wierzchołka 𝐴,\n𝐸, 𝐹 - środki krawędzi - odpowiednio - 𝐴𝐵 i 𝐵𝐶,\n𝛼 - miara kąta 𝐵𝑆𝐶,\n𝛽 - miara kąta dwuściennego zawartego między ścianami bocznymi 𝐵𝐶𝑆 i 𝐴𝐶𝑆 ostrosłupa\n𝐴𝐵𝐶𝑆,\n𝑎 - długość krawędzi podstawy 𝐴𝐵𝐶,\n𝑏 - długość krawędzi bocznej,\n𝑥 - wysokość ściany bocznej poprowadzona z wierzchołka podstawy 𝐴𝐵𝐶 (zobacz\nrysunek).\nSposób I (z pominięciem krawędzi bocznej)\nObliczamy promień 𝑅 okręgu opisanego na podstawie 𝐴𝐵𝐶:\n2𝜋𝑅= 6√2𝜋\n𝑅= 3√2\nObliczamy długość krawędzi podstawy:\n𝑎√3\n3\n= 3√2\n𝑎= 3√6\nStosujemy wzór na cosinus podwojonego kąta i obliczamy cos (𝛼\n2):\ncos 𝛼= 2 cos2 (𝛼\n2) -1\n5\n9 = 2 cos2 (𝛼\n2) -1\ncos (𝛼\n2) = √7\n3 ∨ cos (𝛼\n2) = -√7\n3\nPonieważ 𝛼< 180°, więc cos (𝛼\n2) =\n√7\n3 .\nPonieważ |∡𝐹𝐶𝑆| = 90° -𝛼\n2 , więc |∡𝐶𝐵𝐷| = 𝛼\n2 . Zatem:\n𝑥\n𝑎= cos (𝛼\n2)\n𝑆\n𝛽\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n𝐹\n𝑥\n𝑏\n𝑎\n𝛼\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑥= 3√6 ⋅√7\n3\n𝑥= √42\nStosujemy twierdzenie cosinusów do trójkąta 𝐴𝐵𝐷 i obliczamy cos 𝛽:\n𝑎2 = 𝑥2 + 𝑥2 -2 ⋅𝑥⋅𝑥⋅cos 𝛽\n(3√6)\n2 = 2 ⋅42 -2 ⋅42 cos 𝛽\ncos 𝛽= 5\n14\nSposób II (poprzez krawędź boczną)\nObliczamy promień 𝑅 okręgu opisanego na podstawie 𝐴𝐵𝐶:\n2𝜋𝑅= 6√2𝜋\n𝑅= 3√2\nObliczamy długość krawędzi podstawy:\n𝑎√3\n3\n= 3√2\n𝑎= 3√6\nStosujemy twierdzenie cosinusów do trójkąta 𝐵𝐶𝑆 i obliczamy długość krawędzi bocznej:\n(3√6)\n2 = 𝑏2 + 𝑏2 -2𝑏⋅𝑏⋅cos 𝛼","solution":"## Poprawna odpowiedz: \\( x \\in (-\\infty, -5) \\cup (-1, 3) \\cup (3, +\\infty) \\)\n\nRownowaznie mozna zapisac to jako \\( x < -5 \\) lub \\( x > -1 \\) z wykluczeniem punktu \\( x = 3 \\).\n\n## Sposob 1 - wyciagniecie wspolnego czynnika (metoda elegancka)\n\n**Krok 1. Rozloz oba wyrazenia na czynniki.**\n\nZauwaz, ze oba moduly maja wspolny czynnik \\( (x-3) \\):\n\n\\[ 2x - 6 = 2(x-3) \\]\n\\[ x^2 - 9 = (x-3)(x+3) \\qquad \\text{(wzor skroconego mnozenia: } a^2-b^2=(a-b)(a+b)\\text{, Karta wzorow CKE EM2023, dzial „Wzory skroconego mnozenia”)} \\]\n\n**Krok 2. Zastosuj wlasnosc modulu iloczynu** \\( |ab| = |a|\\cdot|b| \\):\n\n\\[ |2x-6| = |2|\\cdot|x-3| = 2|x-3| \\]\n\\[ |x^2-9| = |x-3|\\cdot|x+3| \\]\n\n**Krok 3. Wstaw do nierownosci i wylacz \\( |x-3| \\) przed nawias:**\n\n\\[ 2|x-3| - |x-3|\\cdot|x+3| < 0 \\]\n\\[ |x-3|\\cdot\\big(2 - |x+3|\\big) < 0 \\]\n\n**Krok 4. Przeanalizuj znaki czynnikow.**\n\nCzynnik \\( |x-3| \\) jest zawsze nieujemny: \\( |x-3| \\ge 0 \\).\n\n- Gdy \\( x = 3 \\), mamy \\( |x-3| = 0 \\), wiec caly lewy iloczyn rowna sie \\( 0 \\) - nierownosc ostra \\( < 0 \\) **nie jest** spelniona.\n- Gdy \\( x \\ne 3 \\), mamy \\( |x-3| > 0 \\). Iloczyn jest ujemny wtedy i tylko wtedy, gdy drugi czynnik jest ujemny:\n\n\\[ 2 - |x+3| < 0 \\quad\\Longleftrightarrow\\quad |x+3| > 2 \\]\n\n**Krok 5. Rozwiaz nierownosc z modulem** \\( |x+3| > 2 \\).\n\nKorzystamy z faktu, ze \\( |A| > c \\) (dla \\( c>0 \\)) oznacza \\( A < -c \\) lub \\( A > c \\):\n\n\\[ x+3 < -2 \\quad\\text{lub}\\quad x+3 > 2 \\]\n\\[ x < -5 \\quad\\text{lub}\\quad x > -1 \\]\n\nZatem z warunku \\( |x+3|>2 \\) dostajemy \\( x \\in (-\\infty,-5) \\cup (-1,+\\infty) \\).\n\n**Krok 6. Polacz oba warunki** (\\( |x+3|>2 \\) oraz \\( x \\ne 3 \\)).\n\nZ przedzialu \\( (-1,+\\infty) \\) wykluczamy punkt \\( x=3 \\):\n\n\\[ \\boxed{x \\in (-\\infty,\\,-5) \\;\\cup\\; (-1,\\,3) \\;\\cup\\; (3,\\,+\\infty)} \\]\n\n## Sposob 2 - przedzialy (analiza przypadkow)\n\nPunkty zerujace moduly to \\( x=3 \\) (dla \\(2x-6\\)) oraz \\( x=-3 \\) i \\( x=3 \\) (dla \\(x^2-9\\)). Dziela one os liczbowa na przedzialy. W kazdym z nich opuszczamy moduly zgodnie ze znakiem:\n\n**Przypadek A: \\( x < -3 \\).** Tu \\( 2x-6<0 \\) oraz \\( x^2-9>0 \\), wiec\n\\[ -(2x-6) - (x^2-9) < 0 \\;\\Rightarrow\\; -x^2-2x+15<0 \\;\\Rightarrow\\; x^2+2x-15>0 \\;\\Rightarrow\\; (x+5)(x-3)>0. \\]\nW przedziale \\( x<-3 \\) daje to \\( x<-5 \\). Czesc rozwiazania: \\( (-\\infty,-5) \\).\n\n**Przypadek B: \\( -3 \\le x < 3 \\).** Tu \\( 2x-6<0 \\) oraz \\( x^2-9\\le 0 \\), wiec \\( |x^2-9|=-(x^2-9) \\):\n\\[ -(2x-6) - \\big(-(x^2-9)\\big) < 0 \\;\\Rightarrow\\; -2x+6+x^2-9<0 \\;\\Rightarrow\\; x^2-2x-3<0 \\;\\Rightarrow\\; (x-3)(x+1)<0, \\]\nczyli \\( -10 \\;\\Rightarrow\\; (x-3)(x+1)>0, \\]\nczyli \\( x<-1 \\) lub \\( x>3 \\). Po przecieciu z \\( [3,+\\infty) \\): \\( (3,+\\infty) \\) (punkt \\(x=3\\) daje \\(0<0\\) - falsz).\n\n**Suma wszystkich przypadkow:**\n\\[ (-\\infty,-5)\\cup(-1,3)\\cup(3,+\\infty), \\]\nco potwierdza wynik ze Sposobu 1.\n\n## Typowe pulapki\n\n- **Punkt \\( x=3 \\).** Latwo go „przeoczyc” i zapisac przedzial \\( (-1,+\\infty) \\). Tymczasem w \\( x=3 \\) obie strony rownaja sie zeru, wiec \\( |2x-6|-|x^2-9|=0 \\), a nierownosc jest **ostra** (\\(<0\\)) - punkt \\( x=3 \\) trzeba **wykluczyc**. Stad rozbicie na \\( (-1,3)\\cup(3,+\\infty) \\).\n- **Bledne opuszczanie modulu.** Czesty blad to pisanie \\( |x^2-9| = x^2-9 \\) na calej osi. Dla \\( -3 0 dla 𝑥∈(4√3, 10].\nZatem funkcja 𝑃 jest malejąca w przedziale (4, 4√3] i rosnąca w przedziale [4√3, 10].\nStąd funkcja 𝑃 osiąga wartość najmniejszą dla 𝑥= 4√3 (𝑚). Wtedy\n𝑃(4√3) = 2 ⋅(4√3)\n3\n(4√3)\n2 -16\n= 12√3 (𝑚2)\nUwaga.\nFunkcja 𝑃 jest różniczkowalna, więc jest ciągła. Ponadto lim\n𝑥→4+ 𝑃(𝑥) = +∞ oraz\nlim\n𝑥→10-𝑃(𝑥) = 500","solution":"## Poprawna odpowiedz: \\( S = -1\\,026\\,168 \\)\n\nCiąg ma \\( 1014 \\) wyrazów, różnica \\( r=-2 \\), a suma wszystkich wyrazów wynosi \\( -1\\,026\\,168 \\).\n\n## Sposob 1 - warunek na ciąg geometryczny + wzór na sumę ciągu arytmetycznego\n\n**Krok 1. Zapisanie wyrazów ciągu arytmetycznego.**\nKorzystam ze wzoru na \\( n \\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego (KARTA WZORÓW CKE EM2023, dział „Ciąg arytmetyczny”):\n\\[\na_n = a_1 + (n-1)r.\n\\]\nDane: \\( a_1 = 1 \\). Stąd:\n\\[\na_2 = 1 + r,\\qquad a_3 = 1 + 2r,\\qquad a_6 = 1 + 5r.\n\\]\n\n**Krok 2. Wykorzystanie warunku, że \\( a_2, a_3, a_6 \\) tworzą ciąg geometryczny.**\nTrzy liczby (w tej kolejności) tworzą ciąg geometryczny wtedy, gdy środkowy wyraz jest średnią geometryczną - czyli spełniony jest warunek (KARTA WZORÓW CKE EM2023, dział „Ciąg geometryczny”, własność środkowego wyrazu):\n\\[\na_3^2 = a_2 \\cdot a_6.\n\\]\nPodstawiam:\n\\[\n(1 + 2r)^2 = (1 + r)(1 + 5r).\n\\]\n\n**Krok 3. Rozwiązanie równania (wzory skróconego mnożenia).**\nLewa strona - kwadrat sumy (KARTA WZORÓW CKE EM2023, „Wzory skróconego mnożenia”): \\( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \\):\n\\[\n1 + 4r + 4r^2 = 1 + 6r + 5r^2.\n\\]\nPrzenoszę wszystko na jedną stronę:\n\\[\n0 = (1 + 6r + 5r^2) - (1 + 4r + 4r^2) = r^2 + 2r,\n\\]\n\\[\nr(r + 2) = 0 \\quad\\Longrightarrow\\quad r = 0 \\ \\text{ lub }\\ r = -2.\n\\]\n\n**Krok 4. Odrzucenie \\( r = 0 \\).**\nGdyby \\( r = 0 \\), to wszystkie wyrazy byłyby równe \\( a_1 = 1 \\), więc ostatni wyraz nie mógłby być równy \\( -2025 \\). Wartość \\( r = 0 \\) jest sprzeczna z danymi, więc:\n\\[\nr = -2.\n\\]\n\n**Krok 5. Wyznaczenie liczby wyrazów \\( k \\).**\nOstatni wyraz to \\( a_k = -2025 \\). Ze wzoru na \\( n \\)-ty wyraz:\n\\[\na_k = 1 + (k-1)\\cdot(-2) = -2025.\n\\]\nRozwiązuję:\n\\[\n(k-1)\\cdot(-2) = -2026 \\quad\\Longrightarrow\\quad k - 1 = 1013 \\quad\\Longrightarrow\\quad k = 1014.\n\\]\nSprawdzam warunek z treści: \\( k = 1014 > 6 \\) - spełniony. ✓\n\n**Krok 6. Obliczenie sumy wszystkich wyrazów.**\nKorzystam ze wzoru na sumę \\( k \\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (KARTA WZORÓW CKE EM2023, dział „Ciąg arytmetyczny”):\n\\[\nS_k = \\frac{a_1 + a_k}{2}\\cdot k.\n\\]\nPodstawiam \\( a_1 = 1 \\), \\( a_k = -2025 \\), \\( k = 1014 \\):\n\\[\nS_{1014} = \\frac{1 + (-2025)}{2}\\cdot 1014 = \\frac{-2024}{2}\\cdot 1014 = (-1012)\\cdot 1014.\n\\]\nObliczam iloczyn:\n\\[\n1012 \\cdot 1014 = 1012\\cdot 1000 + 1012\\cdot 14 = 1\\,012\\,000 + 14\\,168 = 1\\,026\\,168.\n\\]\nZatem:\n\\[\n\\boxed{S = -1\\,026\\,168.}\n\\]\n\n## Typowe pulapki\n- **Pominięcie odrzucenia \\( r = 0 \\):** rozwiązanie równania daje dwie wartości \\( r \\). Trzeba zauważyć, że \\( r=0 \\) jest sprzeczne z warunkiem \\( a_k = -2025 \\) i tylko \\( r = -2 \\) jest poprawne (choć formalnie dla \\( r=0 \\) ciąg \\( 1,1,1 \\) jest geometryczny, nie daje wymaganego ostatniego wyrazu).\n- **Błąd w liczbie wyrazów:** ze wzoru wychodzi \\( k-1 = 1013 \\), więc \\( k = 1014 \\) - łatwo pomylić się o jeden i wziąć \\( k = 1013 \\). Pamiętaj, że we wzorze na sumę mnożymy przez liczbę wyrazów \\( k \\), a nie przez \\( k-1 \\).","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona/sol-6.svg","topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona","number":"7","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (0-4)\nRozwiąż równanie\n𝐬𝐢𝐧(𝟔𝒙) -𝟐𝐬𝐢𝐧(𝟐𝒙) = 𝟎\nZapisz obliczenia.\n7.\n0-1-\n2-3-4\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nRozwiąż równanie sin(6x) - 2sin(2x) = 0 Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: $x = \\dfrac{k\\pi}{2}$ lub $x = -\\dfrac{\\pi}{12} + \\dfrac{k\\pi}{2}$ lub $x = \\dfrac{\\pi}{12} + \\dfrac{k\\pi}{2}$, gdzie $k \\in \\mathbb{Z}$\n\n## Sposób 1 - wzór na sinus potrojonego kąta\n\n**Krok 1. Podstawienie.** Zauważ, że $6x = 3\\cdot(2x)$. Podstaw $u = 2x$:\n\\[ \\sin(3u) - 2\\sin u = 0. \\]\n\n**Krok 2. Rozwiń $\\sin(3u)$** wzorem $\\sin 3u = 3\\sin u - 4\\sin^3 u$:\n\\[ 3\\sin u - 4\\sin^3 u - 2\\sin u = 0 \\;\\Longrightarrow\\; \\sin u - 4\\sin^3 u = 0. \\]\n\n**Krok 3. Wyłącz wspólny czynnik:**\n\\[ \\sin u\\,(1 - 4\\sin^2 u) = 0. \\]\nZatem $\\sin u = 0$ **lub** $\\sin^2 u = \\dfrac14$, czyli $\\sin u = \\pm\\dfrac12$.\n\n**Krok 4. Rozwiąż każde równanie** (pamiętając $u = 2x$):\n\n- $\\sin u = 0 \\Rightarrow u = k\\pi \\Rightarrow 2x = k\\pi \\Rightarrow \\boxed{x = \\dfrac{k\\pi}{2}}$\n- $\\sin u = \\pm\\dfrac12 \\Rightarrow u = \\pm\\dfrac{\\pi}{6} + k\\pi \\Rightarrow 2x = \\pm\\dfrac{\\pi}{6} + k\\pi \\Rightarrow \\boxed{x = \\pm\\dfrac{\\pi}{12} + \\dfrac{k\\pi}{2}}$\n\n**Odpowiedź:** $x = \\dfrac{k\\pi}{2}\\;$ lub $\\;x = -\\dfrac{\\pi}{12} + \\dfrac{k\\pi}{2}\\;$ lub $\\;x = \\dfrac{\\pi}{12} + \\dfrac{k\\pi}{2}$, gdzie $k \\in \\mathbb{Z}$.\n\n## Sposób 2 - różnica sinusów (sprawdzenie)\n\nZapisz $\\sin 6x - 2\\sin 2x$ i skorzystaj z $\\sin 6x = \\sin(4x+2x)$ oraz $\\sin 6x = \\sin(4x-2x)$ dodając stronami: $\\sin 6x = 2\\sin 4x\\cos 2x - \\sin 2x$ - po uproszczeniu prowadzi do tego samego rozkładu $\\sin 2x\\,(1-4\\sin^2 2x)=0$, więc do identycznego zbioru rozwiązań.\n\n⚠️ **Uwaga:** wcześniejsza wersja rozwiązania (AI) podawała błędny zbiór $x=\\tfrac{k\\pi}{3}$; poprawny wynik zgodny z oficjalnym kluczem CKE 2026 to powyższy.","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona/sol-7.svg","topics":null,"page_from":14,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona","number":"8","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (0-4)\nW ostrosłupie prawidłowym trójkątnym 𝐴𝐵𝐶𝑆 podstawa 𝐴𝐵𝐶 jest trójkątem\nrównobocznym. Długość okręgu opisanego na podstawie 𝐴𝐵𝐶 jest równa 6√2𝜋, a cosinus\nkąta między krawędziami bocznymi 𝑆𝐵 i 𝑆𝐶 jest równy 5\n9 .\nOblicz długość krawędzi podstawy 𝑨𝑩𝑪 oraz cosinus kąta między ścianami\nbocznymi 𝑺𝑨𝑪 i 𝑺𝑩𝑪 tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.\n8.\n0-1-\n2-3-4\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nW ostrosłupie prawidłowym trójkątnym ABCS podstawa ABC jest trójkątem równobocznym. Długość okręgu opisanego na podstawie ABC jest równa 6√2π, a cosinus kąta między krawędziami bocznymi SB i SC jest równy 5/9. Oblicz długość krawędzi podstawy ABC oraz cosinus kąta między ścianami bocznymi SAC i SBC tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":"8 > 0 ∧ 𝑚> 0) ∧ (2(√𝑚+ 1) (√𝑚-1\n2) > 0 ∧ 𝑚> 0)\n𝑚> 0 ∧ ((√𝑚< -1 ∨ √𝑚> 1\n2) ∧ 𝑚> 0)\n𝑚> 0 ∧ (𝑚> 1\n4 ∧ 𝑚> 0)\n𝑚∈(1\n4 , +∞)\nRozwiązujemy nierówność -2 < 𝑥2 < 2:\n-2 < 1 + √𝑚\n𝑚\n< 2\n(-2𝑚< 1 + √𝑚 ∧ 𝑚> 0) ∧ (1 + √𝑚< 2𝑚 ∧ 𝑚> 0)\n(2𝑚+ √𝑚+ 1 > 0 ∧ 𝑚> 0) ∧ (2𝑚-√𝑚-1 > 0 ∧ 𝑚> 0)\n(2 (√𝑚+ 1\n4)\n2\n+ 7\n8 > 0 ∧ 𝑚> 0) ∧ (2(√𝑚-1) (√𝑚+ 1\n2) > 0 ∧ 𝑚> 0)\n𝑚> 0 ∧ ((√𝑚< -1\n2 ∨ √𝑚> 1) ∧ 𝑚> 0)\n𝑚> 0 ∧ (𝑚> 1 ∧ 𝑚> 0)\n𝑚∈(1, +∞)\nWyznaczamy wszystkie wartości parametru 𝑚, które jednocześnie spełniają warunki I) - V)\noraz 𝑚≠0: 𝑚∈(1, +∞).\nFunkcja 𝑓 ma dwa różne miejsca zerowe należące do przedziału (-2, 2) tylko wtedy, gdy\n𝑚∈(1, +∞).\nUwaga.\nWszystkie wartości 𝑚, dla których funkcja 𝑓 ma dokładnie dwa miejsca zerowe oraz te\nmiejsca zerowe, można wyznaczyć również następująco.\n𝑓(𝑥) = 𝑚2𝑥2 -2𝑚𝑥-𝑚+ 1\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑓(𝑥) = (𝑚𝑥-1)2 -𝑚\n(𝑚𝑥-1)2 -𝑚= 0\n(𝑚𝑥-1)2 = 𝑚\nDla 𝑚≤0 to równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych, natomiast dla 𝑚> 0\notrzymujemy:\n𝑚𝑥-1 = -√𝑚 ∨ 𝑚𝑥-1 = √𝑚\n𝑥1 = 1 -√𝑚\n𝑚\n∨ 𝑥2 = 1 + √𝑚\n𝑚\nZatem funkcja 𝑓 ma dokładnie dwa miejsca zerowe tylko wtedy, gdy 𝑚∈(0 + ∞).\nSposób III (poprzez wzory Viète’a)\nPrzy 𝑚≠0 funkcja 𝑓 ma dokładnie dwa miejsca zerowe 𝑥1 , 𝑥2 należące do przedziału\n(-2, 2), gdy spełnione są następujące warunki:\nΔ > 0 ∧ 0 < 2 -𝑥1 ∧ 0 < 2 -𝑥2 ∧ 0 < 𝑥1 + 2 ∧ 0 < 𝑥2 + 2\nLiczby 2 -𝑥1 oraz 2 -𝑥2 są dodatnie tylko wówczas, gdy ich suma i iloczyn są dodatnie.\nLiczby 𝑥1 + 2 oraz 𝑥2 + 2 są dodatnie tylko wówczas, gdy ich suma i iloczyn są dodatnie.\nZatem przy 𝑚≠0 funkcja 𝑓 ma dokładnie dwa miejsca zerowe 𝑥1 , 𝑥2 należące do\nprzedziału (-2, 2) tylko wówczas, gdy spełnione są poniższe warunki:\nA) Δ > 0\nB) 𝑥1 + 2 + 𝑥2 + 2 > 0\nC) 𝑥1 ⋅𝑥2 + 2(𝑥1 + 𝑥2) + 4 > 0\nD) 2 -𝑥1 + 2 -𝑥2 > 0\nE) 𝑥1 ⋅𝑥2 -2(𝑥1 + 𝑥2) + 4 > 0.\nRozwiązujemy warunek A), tj. nierówność 𝑏2 -4𝑎𝑐> 0:\n(-2𝑚)2 -4 ⋅𝑚2 ⋅(-𝑚+ 1) > 0\n4𝑚3 > 0\n𝑚∈(0, +∞)\nRozwiązujemy warunek B), stosując wzory Viète’a:\n𝑥1 + 2 + 𝑥2 + 2 > 0\n2𝑚\n𝑚2 + 4 > 0\n4𝑚2 + 2𝑚> 0 ∧ 𝑚≠0\n2𝑚(2𝑚+ 1) > 0 ∧ 𝑚≠0\n𝑚∈(-∞, -1\n2) ∪(0, +∞)\nRozwiązujemy warunek C), stosując wzory Viète’a:\n𝑥1 ⋅𝑥2 + 2(𝑥1 + 𝑥2) + 4 > 0\n-𝑚+ 1\n𝑚2\n+ 2 ⋅2𝑚\n𝑚2 + 4 > 0\n-𝑚+ 1 + 4𝑚+ 4𝑚2 > 0 ∧ 𝑚≠0\n4𝑚2 + 3𝑚+ 1 > 0 ∧ 𝑚≠0\n(2𝑚+ 3\n4)\n2\n+ 7\n16 > 0 ∧ 𝑚≠0\n𝑚≠0\nRozwiązujemy warunek D), stosując wzory Viète’a:\n2 -𝑥1 + 2 -𝑥2 > 0\n4 -2𝑚\n𝑚2 > 0\n4𝑚2 -2𝑚> 0 ∧ 𝑚≠0\n2𝑚(2𝑚-1) > 0 ∧ 𝑚≠0\n𝑚∈(-∞, 0) ∪(1\n2 , +∞)\nRozwiązujemy warunek E), stosując wzory Viète’a:\n𝑥1 ⋅𝑥2 -2(𝑥1 + 𝑥2) + 4 > 0\n-𝑚+ 1\n𝑚2\n-2 ⋅2𝑚\n𝑚2 + 4 > 0\n-𝑚+ 1 -4𝑚+ 4𝑚2 > 0 ∧ 𝑚≠0\n4𝑚2 -5𝑚+ 1 > 0 ∧ 𝑚≠0\n(4𝑚-1)(𝑚-1) > 0 ∧ 𝑚≠0\n𝑚∈(-∞, 0) ∪(0, 1\n4) ∪(1, +∞)\nWyznaczamy wszystkie wartości parametru 𝑚, które jednocześnie spełniają warunki A) - E)\noraz 𝑚≠0: 𝑚∈(1, +∞).\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZadanie 11. (0-6)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nVIII.R1) stosuje własności czworokątów\nwpisanych w okrąg i opisanych na okręgu.\nZasady oceniania","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\( a = 3\\sqrt{6} \\) oraz \\( \\cos\\varphi = \\dfrac{5}{14} \\)\n\nKrawędź podstawy ostrosłupa ma długość \\( a = 3\\sqrt{6} \\), a cosinus kąta dwuściennego między ścianami bocznymi \\( SAC \\) i \\( SBC \\) jest równy \\( \\dfrac{5}{14} \\).\n\n## Sposób 1 - promień okręgu opisanego, twierdzenie cosinusów, kąt dwuścienny przy krawędzi SC\n\n### Krok 1. Promień okręgu opisanego na podstawie\n\nDługość okręgu opisanego na podstawie wynosi \\( 6\\sqrt{2}\\,\\pi \\). Ze wzoru na obwód koła \\( L = 2\\pi R \\) (karta wzorów CKE EM2023, dział *Pole i obwód koła*):\n\n\\[\n2\\pi R = 6\\sqrt{2}\\,\\pi \\quad\\Longrightarrow\\quad R = 3\\sqrt{2}.\n\\]\n\n### Krok 2. Długość krawędzi podstawy\n\nDla trójkąta równobocznego o boku \\( a \\) promień okręgu opisanego (karta wzorów, dział *Trójkąt równoboczny*) wynosi:\n\n\\[\nR = \\frac{a\\sqrt{3}}{3}.\n\\]\n\nStąd:\n\n\\[\na = \\frac{3R}{\\sqrt{3}} = R\\sqrt{3} = 3\\sqrt{2}\\cdot\\sqrt{3} = 3\\sqrt{6}.\n\\]\n\n**Długość krawędzi podstawy:** \\( \\boxed{a = 3\\sqrt{6}} \\), zatem \\( a^2 = 54 \\).\n\n### Krok 3. Długość krawędzi bocznej\n\nKrawędzie boczne ostrosłupa prawidłowego są równe: \\( SA = SB = SC = b \\). Rozpatrujemy trójkąt równoramienny \\( SBC \\), w którym \\( SB = SC = b \\), \\( BC = a \\), a kąt przy wierzchołku \\( \\angle BSC \\) spełnia \\( \\cos(\\angle BSC) = \\tfrac{5}{9} \\).\n\nZ twierdzenia cosinusów (karta wzorów, dział *Twierdzenie cosinusów*):\n\n\\[\nBC^2 = SB^2 + SC^2 - 2\\cdot SB\\cdot SC\\cdot\\cos(\\angle BSC)\n\\]\n\\[\na^2 = 2b^2 - 2b^2\\cdot\\frac{5}{9} = 2b^2\\left(1-\\frac{5}{9}\\right) = 2b^2\\cdot\\frac{4}{9} = \\frac{8b^2}{9}.\n\\]\n\nPodstawiamy \\( a^2 = 54 \\):\n\n\\[\n54 = \\frac{8b^2}{9} \\quad\\Longrightarrow\\quad b^2 = \\frac{54\\cdot 9}{8} = \\frac{486}{8} = \\frac{243}{4}.\n\\]\n\nZatem \\( b = \\dfrac{\\sqrt{243}}{2} = \\dfrac{9\\sqrt{3}}{2} \\).\n\n### Krok 4. Identyfikacja kąta dwuściennego\n\nŚciany \\( SAC \\) i \\( SBC \\) mają **wspólną krawędź \\( SC \\)**. Kąt dwuścienny mierzymy w płaszczyźnie prostopadłej do \\( SC \\).\n\nPoprowadźmy z punktu \\( A \\) wysokość trójkąta \\( SAC \\) opuszczoną na \\( SC \\) - niech jej spodek to \\( P \\). Trójkąty \\( SAC \\) i \\( SBC \\) są **przystające** (oba mają boki \\( b, b, a \\): \\( SA=SC=b,\\ AC=a \\) oraz \\( SB=SC=b,\\ BC=a \\)). Dlatego wysokość opuszczona z \\( B \\) na \\( SC \\) ma ten sam spodek \\( P \\), oraz \\( AP = BP \\).\n\nKątem dwuściennym między ścianami \\( SAC \\) i \\( SBC \\) jest więc kąt \\( \\angle APB \\).\n\n### Krok 5. Długość odcinka AP (= BP)\n\nObliczamy ją z pola trójkąta \\( SBC \\). Pole (karta wzorów, *Pole trójkąta - wzór z sinusem*):\n\n\\[\nP_{SBC} = \\frac{1}{2}\\cdot SB\\cdot SC\\cdot\\sin(\\angle BSC).\n\\]\n\nZ jedynki trygonometrycznej:\n\n\\[\n\\sin(\\angle BSC) = \\sqrt{1-\\left(\\tfrac{5}{9}\\right)^2} = \\sqrt{\\tfrac{81-25}{81}} = \\frac{\\sqrt{56}}{9} = \\frac{2\\sqrt{14}}{9}.\n\\]\n\nZatem:\n\n\\[\nP_{SBC} = \\frac{1}{2}\\cdot b^2\\cdot\\frac{2\\sqrt{14}}{9} = \\frac{1}{2}\\cdot\\frac{243}{4}\\cdot\\frac{2\\sqrt{14}}{9} = \\frac{27\\sqrt{14}}{4}.\n\\]\n\nZ drugiej strony pole to \\( P_{SBC} = \\tfrac{1}{2}\\cdot SC\\cdot BP \\), więc:\n\n\\[\nBP = \\frac{2P_{SBC}}{SC} = \\frac{2\\cdot\\frac{27\\sqrt{14}}{4}}{\\frac{9\\sqrt{3}}{2}} = \\frac{\\frac{27\\sqrt{14}}{2}}{\\frac{9\\sqrt{3}}{2}} = \\frac{27\\sqrt{14}}{9\\sqrt{3}} = 3\\sqrt{\\frac{14}{3}} = \\sqrt{42}.\n\\]\n\nZatem \\( AP = BP = \\sqrt{42} \\), czyli \\( AP^2 = BP^2 = 42 \\).\n\n### Krok 6. Cosinus kąta dwuściennego\n\nW trójkącie \\( APB \\): \\( AP = BP = \\sqrt{42} \\), \\( AB = a = 3\\sqrt{6} \\), więc \\( AB^2 = 54 \\). Z twierdzenia cosinusów:\n\n\\[\nAB^2 = AP^2 + BP^2 - 2\\cdot AP\\cdot BP\\cdot\\cos\\varphi\n\\]\n\\[\n54 = 42 + 42 - 2\\cdot 42\\cdot\\cos\\varphi = 84 - 84\\cos\\varphi.\n\\]\n\nStąd:\n\n\\[\n84\\cos\\varphi = 84 - 54 = 30 \\quad\\Longrightarrow\\quad \\cos\\varphi = \\frac{30}{84} = \\frac{5}{14}.\n\\]\n\n**Cosinus kąta między ścianami bocznymi \\( SAC \\) i \\( SBC \\):** \\( \\boxed{\\cos\\varphi = \\dfrac{5}{14}} \\).\n\n## Weryfikacja (metoda wektorowa)\n\nUmieszczamy podstawę na okręgu \\( R=3\\sqrt{2} \\) wokół początku układu, wierzchołek \\( S=(0,0,H) \\), gdzie \\( H = \\sqrt{b^2-R^2} \\). Obliczenia numeryczne dają:\n- \\( SA=SB=SC = 7{,}794\\ldots = \\tfrac{9\\sqrt{3}}{2} \\) ✓\n- \\( \\cos(\\angle BSC) = 0{,}5556 = \\tfrac{5}{9} \\) ✓\n- spodki rzutów \\( A \\) i \\( B \\) na \\( SC \\) pokrywają się (\\( t = 0{,}5556 \\in (0,1) \\)) ✓\n- \\( \\cos\\varphi = 0{,}35714\\ldots = \\tfrac{5}{14} \\) ✓\n\n## Typowe pułapki\n\n1. **Mylenie kąta między krawędziami bocznymi z kątem dwuściennym.** Dane \\( \\cos(\\angle BSC)=\\tfrac{5}{9} \\) to kąt płaski przy wierzchołku \\( S \\) w trójkącie \\( SBC \\) - to **nie jest** szukany kąt dwuścienny. Kąt dwuścienny mierzy się w płaszczyźnie prostopadłej do wspólnej krawędzi \\( SC \\), pomiędzy wysokościami \\( AP \\) i \\( BP \\) opuszczonymi na \\( SC \\).\n\n2. **Błędny wzór \\( R=\\tfrac{a\\sqrt{3}}{3} \\) vs \\( r=\\tfrac{a\\sqrt{3}}{6} \\).** Dla trójkąta równobocznego promień okręgu **opisanego** to \\( R=\\tfrac{a\\sqrt{3}}{3} \\) (dwa razy większy od promienia wpisanego \\( r=\\tfrac{a\\sqrt{3}}{6} \\)). Pomyłka da o połowę za małą krawędź podstawy.","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona/sol-8.svg","topics":null,"page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona","number":"9","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (0-5)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (1, -1) oraz 𝐵= (4, 0) są\nwierzchołkami trójkąta 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐶𝐴| = |𝐶𝐵|. Jedno z ramion trójkąta 𝐴𝐵𝐶 zawiera\nsię w prostej o równaniu 𝑥+ 2𝑦-4 = 0. Na boku 𝐴𝐶 tego trójkąta obrano taki punkt 𝑀,\nże |𝐴𝑀| ∶|𝑀𝐶| = 1 ∶4.\nWyznacz równanie okręgu, który ma środek w punkcie 𝑴 i przechodzi przez punkt 𝑪.\nZapisz obliczenia.\n9.\n0-1-\n2-3-\n4-5\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) punkty A = (1,-1) oraz B = (4,0) są wierzchołkami trójkąta ABC, w którym |CA|=|CB|. Jedno z ramion trójkąta ABC zawiera się w prostej o równaniu x+2y-4=0. Na boku AC tego trójkąta obrano taki punkt M , że |AM| : |MC| = 1 : 4. Wyznacz równanie okręgu, który ma środek w punkcie M i przechodzi przez punkt C. Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":"= 5","solution":"## Poprawna odpowiedz: \\( \\left(x-\\dfrac{6}{5}\\right)^2 + \\left(y+\\dfrac{3}{5}\\right)^2 = \\dfrac{16}{5} \\)\n\n## Sposob 1 - geometria analityczna (symetralna + wektor podzialu odcinka)\n\n**Dane:** \\( A=(1,-1) \\), \\( B=(4,0) \\), trojkat \\( ABC \\) z \\( |CA|=|CB| \\) (rownoramienny, podstawa \\( AB \\)), jedno z ramion lezy na prostej \\( x+2y-4=0 \\). Punkt \\( M \\) na boku \\( AC \\), \\( |AM|:|MC|=1:4 \\). Szukamy okregu o srodku \\( M \\) przechodzacego przez \\( C \\).\n\n### Krok 1. Ustal, na ktorej prostej lezy ramie\n\nRamiona trojkata to boki \\( AC \\) i \\( BC \\) (bo podstawa to \\( AB \\), skoro \\( |CA|=|CB| \\)). Sprawdzam, czy \\( A \\) lub \\( B \\) lezy na prostej \\( x+2y-4=0 \\):\n\n\\[\nA:\\ 1+2\\cdot(-1)-4 = 1-2-4 = -5 \\neq 0,\n\\]\n\\[\nB:\\ 4+2\\cdot 0-4 = 0.\n\\]\n\nPunkt \\( B \\) spelnia rownanie, wiec to ramie \\( BC \\) zawiera sie w prostej \\( x+2y-4=0 \\). Punkt \\( C \\) tez na niej lezy.\n\n### Krok 2. Wyznacz symetralna odcinka \\( AB \\)\n\nSkoro \\( |CA|=|CB| \\), punkt \\( C \\) jest rownoodlegly od \\( A \\) i \\( B \\), czyli lezy na **symetralnej** odcinka \\( AB \\) (zbior punktow rownoodleglych od koncow odcinka).\n\nSrodek \\( AB \\):\n\\[\nS = \\left(\\frac{1+4}{2},\\ \\frac{-1+0}{2}\\right) = \\left(\\frac{5}{2},\\ -\\frac{1}{2}\\right).\n\\]\n\nWektor \\( \\vec{AB} = (4-1,\\ 0-(-1)) = (3,1) \\) jest wektorem normalnym symetralnej. Rownanie symetralnej:\n\\[\n3\\left(x-\\tfrac{5}{2}\\right) + 1\\left(y+\\tfrac{1}{2}\\right) = 0\n\\]\n\\[\n3x + y - \\frac{15}{2} + \\frac{1}{2} = 0 \\quad\\Longrightarrow\\quad 3x + y - 7 = 0.\n\\]\n\n### Krok 3. Wyznacz punkt \\( C \\) (przeciecie prostej ramienia z symetralna)\n\n\\( C \\) lezy na prostej \\( x+2y-4=0 \\) **oraz** na symetralnej \\( 3x+y-7=0 \\). Rozwiazuje uklad:\n\\[\n\\begin{cases} x+2y-4=0 \\\\ 3x+y-7=0 \\end{cases}\n\\]\n\nZ pierwszego: \\( x = 4-2y \\). Podstawiam do drugiego:\n\\[\n3(4-2y) + y - 7 = 0 \\ \\Rightarrow\\ 12 - 6y + y - 7 = 0 \\ \\Rightarrow\\ 5 - 5y = 0 \\ \\Rightarrow\\ y = 1.\n\\]\nStad \\( x = 4-2\\cdot 1 = 2 \\). Zatem\n\\[\n\\boxed{C = (2,\\ 1)}.\n\\]\n\n**Kontrola** (czy faktycznie \\( |CA|=|CB| \\)):\n\\[\n|CA|^2 = (2-1)^2+(1-(-1))^2 = 1+4 = 5, \\qquad |CB|^2 = (2-4)^2+(1-0)^2 = 4+1 = 5. \\ \\checkmark\n\\]\n\n### Krok 4. Wyznacz punkt \\( M \\) z podzialu \\( |AM|:|MC|=1:4 \\)\n\nPunkt \\( M \\) lezy na odcinku \\( AC \\), przy czym \\( |AM|:|MC| = 1:4 \\), wiec \\( M \\) dzieli \\( AC \\) tak, ze\n\\[\n\\vec{AM} = \\frac{1}{1+4}\\,\\vec{AC} = \\frac{1}{5}\\,\\vec{AC}.\n\\]\n\nWektor \\( \\vec{AC} = (2-1,\\ 1-(-1)) = (1,\\ 2) \\). Stad\n\\[\nM = A + \\frac{1}{5}\\vec{AC} = \\left(1+\\frac{1}{5}\\cdot 1,\\ \\ -1+\\frac{1}{5}\\cdot 2\\right) = \\left(\\frac{6}{5},\\ -\\frac{3}{5}\\right).\n\\]\n\n### Krok 5. Wyznacz promien okregu\n\nOkrag ma srodek \\( M \\) i przechodzi przez \\( C \\), wiec promien to \\( r = |MC| \\):\n\\[\nr^2 = (2 - \\tfrac{6}{5})^2 + (1 - (-\\tfrac{3}{5}))^2 = \\left(\\tfrac{4}{5}\\right)^2 + \\left(\\tfrac{8}{5}\\right)^2 = \\frac{16}{25} + \\frac{64}{25} = \\frac{80}{25} = \\frac{16}{5}.\n\\]\n\n(Mozna tez krocej: \\( r = |MC| = \\tfrac{4}{5}|AC| \\), wiec \\( r^2 = \\tfrac{16}{25}\\cdot|AC|^2 = \\tfrac{16}{25}\\cdot 5 = \\tfrac{16}{5} \\).)\n\n### Krok 6. Zapisz rownanie okregu\n\nKorzystam ze wzoru na **rownanie okregu** (Karta wzorow CKE EM2023, dzial „Geometria analityczna” - *Okrag*: \\( (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 \\), srodek \\( (a,b) \\)):\n\\[\n\\boxed{\\left(x-\\frac{6}{5}\\right)^2 + \\left(y+\\frac{3}{5}\\right)^2 = \\frac{16}{5}}.\n\\]\n\n**Sprawdzenie:** podstawiam \\( C=(2,1) \\): \\( (2-\\tfrac65)^2+(1+\\tfrac35)^2 = (\\tfrac45)^2+(\\tfrac85)^2 = \\tfrac{16}{25}+\\tfrac{64}{25} = \\tfrac{80}{25} = \\tfrac{16}{5} \\). \\( \\checkmark \\) Punkt \\( C \\) lezy na okregu.\n\n## Typowe pulapki\n\n1. **Zle ramie.** Nie sprawdzajac, ktory wierzcholek lezy na prostej \\( x+2y-4=0 \\), latwo zalozyc, ze chodzi o ramie \\( AC \\). To na niej lezy \\( B \\) (i \\( C \\)), wiec ramieniem na prostej jest \\( BC \\). Punktu \\( C \\) szukamy jako przeciecia tej prostej z symetralna \\( AB \\) - nie odwrotnie.\n\n2. **Odwrocony stosunek podzialu.** Z \\( |AM|:|MC|=1:4 \\) wynika \\( \\vec{AM}=\\tfrac{1}{5}\\vec{AC} \\) (a nie \\( \\tfrac{1}{4} \\) ani \\( \\tfrac{4}{5} \\)). Mianownik to suma czesci \\( 1+4=5 \\), a licznik to czesc lezaca po stronie \\( A \\). Promieniem jest dluzszy kawalek \\( |MC|=\\tfrac{4}{5}|AC| \\), wiec \\( r^2=\\tfrac{16}{5} \\), a nie \\( \\tfrac{1}{5} \\).","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona/sol-9.svg","topics":null,"page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona","number":"10","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (0-5)\nWyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru 𝒎, gdzie 𝒎≠𝟎, dla których\nfunkcja kwadratowa 𝒇 określona wzorem\n𝒇(𝒙) = 𝒎𝟐⋅𝒙𝟐-𝟐𝒎𝒙-𝒎+ 𝟏\nma dwa różne miejsca zerowe 𝒙𝟏 oraz 𝒙𝟐 należące do przedziału (-𝟐, 𝟐).\nZapisz obliczenia.\n10.\n0-1-\n2-3-\n4-5\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nWyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru m, gdzie m ≠ 0, dla których funkcja kwadratowa f określona wzorem f(x) = m²⋅x² - 2mx - m + 1 ma dwa różne miejsca zerowe x_1 oraz x_2 należące do przedziału (-2,2).","answer":"m∈(1,∞)","answer_text":"10 , -9\n10).\nWspółczynnik kierunkowy 𝑎𝐴𝐵 prostej 𝐴𝐵 jest równy 𝑎𝐴𝐵= 0-(-1)\n4 - 1\n= 1\n3 , więc prosta\n𝑀𝐷 ma równanie 𝑦= -3 (𝑥-13\n10) -9\n10 , czyli 𝑦= -3𝑥+ 3.\nObliczamy współrzędne punktu 𝑀:\n-1\n2 𝑥= -3𝑥+ 3\n𝑥= 6\n5\nStąd 𝑀= (6\n5 , -3\n5).\n𝐷\n𝐴\n𝐵\n𝐸\n𝐶\n𝑀\n𝑀𝐸∥𝐵𝐶\n𝑀𝐷⊥𝐴𝐵\n𝑥+ 2𝑦-4 = 0\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZ warunków zadania\n𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 4 ⋅𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 4 ⋅[6\n5 -1, -3\n5 -(-1)] = [4\n5 , 8\n5]\nObliczamy kwadrat promienia okręgu, który przechodzi przez punkt 𝐶 i ma środek\nw punkcie 𝑀:\n|𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |\n2 = (4\n5)\n2\n+ (8\n5)\n2\n= 16\n5\nRównanie okręgu, który przechodzi przez punkt 𝐶 i ma środek w punkcie 𝑀, ma postać\n(𝑥-6\n5)\n2\n+ (𝑦+ 3\n5)\n2\n= 16\n5\nZadanie 10. (0-5)\nWymagania ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\n3. Tworzenie pomocniczych obiektów\nmatematycznych na podstawie istniejących,\nw celu przeprowadzenia argumentacji lub\nrozwiązania problemu.\nZdający:\nIII.R5) analizuje równania i nierówności\nliniowe z parametrami oraz równania\ni nierówności kwadratowe z parametrami\n[…].\nZasady oceniania (dla sposobu I)\n5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: (1, +∞).\n4 pkt - rozwiązanie pięciu warunków 1) - 5) określonych w kryterium za 1 punkt.\n3 pkt - rozwiązanie czterech spośród warunków 1) - 5) określonych w kryterium za 1 punkt.\n2 pkt - rozwiązanie trzech spośród warunków 1) - 5) określonych w kryterium za 1 punkt.\n1 pkt - zapisanie wszystkich warunków 1) - 5):\n1) 𝑓(𝑝) < 0 (lub 𝑞< 0, lub Δ > 0),\n2) 𝑝> -2,\n3) 𝑝< 2,\n4) 𝑓(-2) > 0,\n5) 𝑓(2) > 0,\nALBO\n- rozwiązanie jednego z warunków 1) - 5):\n1) 𝑓(𝑝) < 0 (lub 𝑞< 0, lub Δ > 0): 𝑚∈(0, +∞),\n2) 𝑝> -2: 𝑚∈(-∞, -1\n2) ∪(0, +∞),\n3) 𝑝< 2: 𝑚∈(-∞, 0) ∪(1\n2 , +∞),\n4) 𝑓(-2) > 0: 𝑚∈ℝ,\n5) 𝑓(2) > 0: 𝑚∈(-∞, 1\n4) ∪(1, +∞).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający rozwiązuje warunek ∆ ≥0, to za tę część rozwiązania otrzymuje\n0 punktów.\n2. Jeżeli zdający:\na) nie rozwiąże wszystkich warunków 1) - 5) określonych w kryterium za 1 punkt albo\nb) podczas rozwiązywania warunków 1) - 5) popełni błędy rachunkowe i otrzyma zbiory\nrozwiązań, których część wspólna jest zbiorem pustym, albo\nc) popełni błąd, który nie jest rachunkowy,\nto może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.\nZasady oceniania (dla sposobu II)\n5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: (1, +∞).\n4 pkt - rozwiązanie pięciu warunków I) - V) określonych w kryterium za 2 punkty\nALBO\n- spełnienie warunków I) oraz III), oraz IV), oraz zapisanie 𝑥1 < 𝑥2.\n3 pkt - spełnienie czterech spośród warunków I) - V) określonych w kryterium za 2 punkty\nALBO\n- spełnienie warunków I) oraz III), oraz zapisanie 𝑥1 < 𝑥2 ,\nALBO\n- spełnienie warunków I) oraz IV), oraz zapisanie 𝑥1 < 𝑥2 ,\nALBO\n- spełnienie warunków III) oraz IV), oraz zapisanie 𝑥1 < 𝑥2.\n2 pkt - spełnienie warunku I) i jednego z warunków II) - V):\nI) wyznaczenie wszystkich wartości parametru 𝑚, dla których funkcja 𝑓 ma\ndokładnie dwa miejsca zerowe oraz wyznaczenie miejsc zerowych 𝑥1 oraz 𝑥2\nfunkcji 𝑓 w zależności od 𝑚: 𝑚∈(0, +∞) i 𝑥1 = 1 - √𝑚\n𝑚\noraz 𝑥2 = 1+ √𝑚\n𝑚\n,\nII) rozwiązanie nierówności 𝑥1 < 2: 𝑚∈(1\n4 , +∞),\nIII) rozwiązanie nierówności -2 < 𝑥1 : 𝑚∈(0 , +∞),\nIV) rozwiązanie nierówności 𝑥2 < 2: 𝑚∈(1 , +∞),\nV) rozwiązanie nierówności -2 < 𝑥2 : 𝑚∈(0 , +∞),\nALBO\n- spełnienie trzech spośród warunków II) - V).\n1 pkt - wyznaczenie wszystkich wartości parametru 𝑚, dla których funkcja 𝑓 ma dokładnie\ndwa miejsca zerowe: 𝑚∈(0, +∞)\nALBO\n- wyznaczenie miejsc zerowych funkcji 𝑓 w zależności od 𝑚: 𝑥1 = 1 - √𝑚\n𝑚\noraz\n𝑥2 = 1+ √𝑚\n𝑚\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający rozwiązuje warunek ∆ ≥0, to za tę część rozwiązania otrzymuje\n0 punktów.\n2. Jeżeli zdający:\na) nie rozwiąże wszystkich warunków I) - V) określonych w kryterium za 1 punkt albo\nb) podczas rozwiązywania warunków I) - V) popełni błędy rachunkowe i otrzyma zbiory\nrozwiązań, których część wspólna jest zbiorem pustym, albo\nc) popełni błąd, który nie jest rachunkowy,\nto może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.\nZasady oceniania (dla sposobu III)\n5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: (1, +∞).\n4 pkt - rozwiązanie pięciu warunków A) - E) określonych w kryterium za 1 punkt.\n3 pkt - rozwiązanie czterech warunków spośród warunków A) - E) określonych w kryterium\nza 1 punkt.\n2 pkt - rozwiązanie trzech warunków spośród warunków A) - E) określonych w kryterium za\n1 punkt.\n1 pkt - zapisanie warunków A) - E):\nA) Δ > 0,\nB) 𝑥1 + 2 + 𝑥2 + 2 > 0,\nC) 𝑥1 ⋅𝑥2 + 2(𝑥1 + 𝑥2) + 4 > 0,\nD) 2 -𝑥1 + 2 -𝑥2 > 0,\nE) 𝑥1 ⋅𝑥2 -2(𝑥1 + 𝑥2) + 4 > 0,\nALBO\n- rozwiązanie jednego z warunków A) - E):\nA) Δ > 0: 𝑚∈(0, +∞),\nB) 𝑥1 + 2 + 𝑥2 + 2 > 0: 𝑚∈(-∞, -1\n2) ∪(0, +∞),\nC) 𝑥1 ⋅𝑥2 + 2(𝑥1 + 𝑥2) + 4 > 0: 𝑚≠0,\nD) 2 -𝑥1 + 2 -𝑥2 > 0: 𝑚∈(-∞, 0) ∪(1\n2 , +∞),\nE) 𝑥1 ⋅𝑥2 -2(𝑥1 + 𝑥2) + 4 > 0: 𝑚∈(-∞, 0) ∪(0, 1\n4) ∪(1, +∞).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający rozwiązuje warunek ∆ ≥0, to za tę część rozwiązania otrzymuje\n0 punktów.\n2. Jeżeli zdający:\na) nie rozwiąże wszystkich warunków A) - E) określonych w kryterium za 1 punkt albo\nb) podczas rozwiązywania warunków A) - E) popełni błędy rachunkowe i otrzyma zbiory\nrozwiązań, których część wspólna jest zbiorem pustym, albo\nc) popełni błąd, który nie jest rachunkowy,\nto może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I (poprzez interpretację geometryczną)\nPonieważ 𝑚≠0, więc współczynnik przy 𝑥2 jest dodatni. Zatem parabola, która jest\nwykresem funkcji 𝑓, ma ramiona skierowane ku górze.\nStąd funkcja 𝑓 ma dokładnie dwa miejsca zerowe należące do przedziału (-2, 2) tylko\nwtedy, gdy spełnione będą następujące warunki:\n1) 𝑓(𝑝) < 0 (lub 𝑞< 0, lub Δ > 0)\n2) 𝑝> -2\n3) 𝑝< 2\n4) 𝑓(-2) > 0\n5) 𝑓(2) > 0.\nRozwiązujemy warunek 1):\n𝑓(𝑝) < 0\n𝑓( 1\n𝑚) < 0\n𝑚2 ⋅( 1\n𝑚)\n2\n-2𝑚⋅1\n𝑚-𝑚+ 1 < 0\n-𝑚< 0 ∧ 𝑚≠0\n𝑚∈(0, +∞)\nWarunki 2) oraz 3) można rozwiązać za pomocą nierówności podwójnej:\n𝑝∈(-2, 2)\n-2 < --2𝑚\n2𝑚2 < 2\n-2 < 1\n𝑚< 2\n1\n|𝑚| < 2\n|𝑚| > 1\n2 ∧ 𝑚≠0\n𝑚∈(-∞, -1\n2) ∪(1\n2 , +∞)\nRozwiązujemy warunek 4):\n𝑓(-2) > 0\n𝑚2 ⋅(-2)2 -2𝑚⋅(-2) -𝑚+ 1 > 0\n4𝑚2 + 3𝑚+ 1 > 0\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n(2𝑚+ 3\n4)\n2\n+ 7","solution":"## Poprawna odpowiedz: \\( m \\in (1,\\; +\\infty) \\), czyli \\( m > 1 \\)\n\nFunkcja \\( f(x) = m^2x^2 - 2mx - m + 1 \\) ma dwa rozne miejsca zerowe nalezace do przedzialu \\( (-2,2) \\) dokladnie wtedy, gdy \\( m > 1 \\).\n\n## Sposob 1 - Warunki dla pierwiastkow w przedziale (metoda Vieta / polozenia parabolic)\n\n### Krok 0. Sprawdzenie, ze \\( f \\) jest funkcja kwadratowa\nZ zalozenia \\( m \\ne 0 \\), wiec wspolczynnik przy \\( x^2 \\) wynosi \\( a = m^2 > 0 \\). Funkcja jest wiec kwadratowa, a jej wykresem jest parabola o **ramionach skierowanych w gore** (bo \\( a>0 \\)).\n\nWypiszmy wspolczynniki:\n\\[ a = m^2, \\qquad b = -2m, \\qquad c = -m+1. \\]\n\nAby oba rozne pierwiastki \\( x_1, x_2 \\) lezaly w przedziale otwartym \\( (-2,2) \\), parabola o ramionach w gore musi spelnic **jednoczesnie cztery warunki**:\n\n1. \\( \\Delta > 0 \\) - sa dwa rozne miejsca zerowe,\n2. \\( f(-2) > 0 \\) - lewy koniec przedzialu lezy nad osia (poza pierwiastkami),\n3. \\( f(2) > 0 \\) - prawy koniec przedzialu lezy nad osia (poza pierwiastkami),\n4. \\( -2 < x_w < 2 \\) - wierzcholek (a wiec srodek miedzy pierwiastkami) lezy wewnatrz przedzialu; \\( x_w = -\\dfrac{b}{2a} \\).\n\n(Warunki 2-4 lacznie gwarantuja, ze obie liczby \\( x_1, x_2 \\) wpadaja do \\( (-2,2) \\); samo \\( f(\\pm2)>0 \\) bez warunku na wierzcholek nie wystarcza, bo parabola moglaby miec oba pierwiastki po jednej stronie poza przedzialem.)\n\n### Krok 1. Warunek \\( \\Delta > 0 \\)\nWzor na wyroznik (karta wzorow CKE EM2023, dzial *Funkcja kwadratowa*): \\( \\Delta = b^2 - 4ac \\).\n\\[ \\Delta = (-2m)^2 - 4\\cdot m^2 \\cdot(-m+1) = 4m^2 + 4m^3 - 4m^2 = 4m^3. \\]\n\\[ \\Delta > 0 \\iff 4m^3 > 0 \\iff m^3 > 0 \\iff \\boxed{m > 0}. \\]\n\nJuz w tym momencie odpada caly zakres \\( m < 0 \\) - dla ujemnych \\( m \\) funkcja w ogole nie ma dwoch roznych pierwiastkow.\n\n### Krok 2. Warunek \\( f(-2) > 0 \\)\n\\[ f(-2) = m^2\\cdot 4 - 2m\\cdot(-2) - m + 1 = 4m^2 + 4m - m + 1 = 4m^2 + 3m + 1. \\]\nZbadajmy znak trojmianu \\( 4m^2 + 3m + 1 \\): jego wyroznik to\n\\[ \\Delta_1 = 3^2 - 4\\cdot4\\cdot1 = 9 - 16 = -7 < 0, \\]\na wspolczynnik przy \\( m^2 \\) jest dodatni, wiec \\( 4m^2 + 3m + 1 > 0 \\) dla **kazdego** \\( m \\). Warunek \\( f(-2) > 0 \\) jest wiec spelniony zawsze - nie zaweza rozwiazania.\n\n### Krok 3. Warunek \\( f(2) > 0 \\)\n\\[ f(2) = m^2\\cdot 4 - 2m\\cdot 2 - m + 1 = 4m^2 - 4m - m + 1 = 4m^2 - 5m + 1. \\]\nRozwiazujemy \\( 4m^2 - 5m + 1 = 0 \\):\n\\[ \\Delta_2 = (-5)^2 - 4\\cdot4\\cdot1 = 25 - 16 = 9, \\qquad \\sqrt{\\Delta_2} = 3, \\]\n\\[ m = \\frac{5 \\pm 3}{8} \\;\\Rightarrow\\; m = \\frac{1}{4} \\ \\text{lub}\\ m = 1. \\]\nTrojmian ma ramiona w gore, wiec\n\\[ f(2) > 0 \\iff 4m^2 - 5m + 1 > 0 \\iff m < \\tfrac{1}{4} \\ \\text{lub}\\ m > 1. \\]\n\n### Krok 4. Warunek na polozenie wierzcholka \\( -2 < x_w < 2 \\)\n\\[ x_w = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{-2m}{2m^2} = \\frac{2m}{2m^2} = \\frac{1}{m}. \\]\nPoniewaz z Kroku 1 wiemy juz, ze \\( m > 0 \\), mamy \\( \\frac{1}{m} > 0 \\), wiec lewa nierownosc \\( -2 < \\frac{1}{m} \\) jest automatycznie spelniona. Pozostaje:\n\\[ \\frac{1}{m} < 2. \\]\nDla \\( m > 0 \\) mnozymy obustronnie przez \\( m>0 \\) (bez zmiany znaku):\n\\[ 1 < 2m \\iff m > \\tfrac{1}{2}. \\]\n\n### Krok 5. Czesc wspolna wszystkich warunkow\nZbieramy (przy zalozeniu \\( m \\ne 0 \\)):\n\n| Warunek | Wynik |\n| \\( \\Delta>0 \\) | \\( m > 0 \\) |\n| \\( f(-2)>0 \\) | wszystkie \\( m \\) |\n| \\( f(2)>0 \\) | \\( m<\\tfrac14 \\ \\lor\\ m>1 \\) |\n| \\( -2\\tfrac12 \\) |\n\nIloczyn (czesc wspolna):\n\\[ \\big(m>0\\big)\\ \\cap\\ \\big(m<\\tfrac14 \\lor m>1\\big)\\ \\cap\\ \\big(m>\\tfrac12\\big). \\]\n- \\( m>\\tfrac12 \\) eliminuje przedzial \\( m<\\tfrac14 \\).\n- Zostaje \\( m>\\tfrac12 \\) **oraz** \\( m>1 \\), czyli \\( m>1 \\).\n\n\\[ \\boxed{\\,m \\in (1,\\ +\\infty)\\,} \\]\n\n### Krok 6. Weryfikacja na przykladzie\nDla \\( m=2 \\): \\( f(x) = 4x^2 - 4x - 1 \\), \\( \\Delta = 16+16=32 \\), pierwiastki\n\\[ x = \\frac{4 \\pm \\sqrt{32}}{8} = \\frac{1\\pm\\sqrt2}{2}, \\]\nczyli \\( x_1 \\approx -0{,}207 \\) i \\( x_2 \\approx 1{,}207 \\) - oba w \\( (-2,2) \\). Zgadza sie.\nDla \\( m=1 \\): \\( f(x)=x^2-2x = x(x-2) \\), pierwiastki \\( 0 \\) i \\( 2 \\) - koniec \\( 2 \\) **nie** nalezy do przedzialu otwartego, wiec \\( m=1 \\) slusznie odpada.\n\n## Typowe pulapki\n- **Pominiecie warunku na wierzcholek.** Same nierownosci \\( f(-2)>0 \\) i \\( f(2)>0 \\) (plus \\( \\Delta>0 \\)) NIE gwarantuja, ze pierwiastki sa wewnatrz \\( (-2,2) \\) - parabola moze miec oba pierwiastki po tej samej stronie, poza przedzialem (np. \\( m=0{,}2 \\): oba pierwiastki sa \\( >2 \\), a mimo to \\( f(2)>0 \\) bywa naruszone dopiero powyzej). Konieczny jest warunek \\( -2 < x_w < 2 \\) (albo rownowaznie warunek Vieta na sume/iloczyn).\n- **Przedzial otwarty vs domkniety.** Nierownosci \\( f(-2)>0 \\), \\( f(2)>0 \\) musza byc OSTRE, bo przedzial \\( (-2,2) \\) jest otwarty. Gdyby dopuscic rownosc, blednie wlaczylibysmy \\( m=1 \\) (pierwiastek dokladnie w \\( x=2 \\)) lub \\( m=\\tfrac14 \\).\n- **Dzielenie nierownosci przez \\( m \\).** Przy warunku \\( \\tfrac1m<2 \\) wolno mnozyc przez \\( m \\) bez zmiany znaku tylko dlatego, ze wczesniej ustalono \\( m>0 \\). Dla ogolnego \\( m \\) trzeba rozpatrzyc znak \\( m \\) osobno.","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona/sol-10.svg","topics":null,"page_from":20,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona","number":"11","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (0-6)\nW czworokącie 𝐴𝐵𝐶𝐷 są dane: |𝐴𝐵| = 9, |𝐴𝐷| = 10 oraz |∡𝐵𝐴𝐷| = 60°.\nW ten czworokąt wpisano okrąg oraz na tym czworokącie opisano okrąg (zobacz rysunek).\nOblicz długości boków 𝑩𝑪 i 𝑪𝑫 oraz pole czworokąta 𝑨𝑩𝑪𝑫. Zapisz obliczenia.\n11.\n0-1-\n2-3-\n4-5-6\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n9\n10\n60°\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nW czworokącie ABCD są dane: |AB|=9, |AD|=10 oraz |∠ BAD|=60°. W ten czworokąt wpisano okrąg oraz na tym czworokącie opisano okrąg (zobacz rysunek). [rysunek] Oblicz długości boków BC i CD oraz pole czworokąta ABCD. Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":"11 maja 2026 r.\nData publikacji\ndokumentu:","solution":"## Poprawna odpowiedz: \\( |BC| = 5 \\), \\( |CD| = 6 \\), \\( P_{ABCD} = 30\\sqrt{3} \\)\n\nCzworokąt \\( ABCD \\) jest **dwucentryczny** - jednocześnie wpisany w okrąg (cykliczny) i opisany na okręgu (styczny). Z tych dwóch faktów wynikają dwa kluczowe warunki, które rozwiążemy razem.\n\n## Sposob 1 - twierdzenie cosinusów + warunki czworokąta dwucentrycznego\n\n**Dane:** \\( |AB| = 9 \\), \\( |AD| = 10 \\), \\( |\\angle BAD| = 60^\\circ \\). Szukamy \\( |BC| \\), \\( |CD| \\) oraz pola.\n\n### Krok 1. Warunek czworokąta wpisanego w okrąg (kąty przeciwległe)\n\nW czworokącie wpisanym w okrąg sumy kątów przeciwległych wynoszą \\( 180^\\circ \\). Zatem:\n\\[\n|\\angle BCD| = 180^\\circ - |\\angle BAD| = 180^\\circ - 60^\\circ = 120^\\circ.\n\\]\n\n### Krok 2. Warunek czworokąta opisanego na okręgu (twierdzenie Pitota)\n\nDla czworokąta opisanego na okręgu sumy długości przeciwległych boków są równe:\n\\[\n|AB| + |CD| = |BC| + |AD|.\n\\]\nOznaczmy \\( |BC| = a \\), \\( |CD| = b \\). Podstawiając dane:\n\\[\n9 + b = a + 10 \\quad\\Longrightarrow\\quad b = a + 1. \\tag{1}\n\\]\n\n### Krok 3. Przekątna \\( BD \\) z trójkąta \\( ABD \\)\n\nPrzekątna \\( BD \\) dzieli czworokąt na dwa trójkąty. W trójkącie \\( ABD \\) znamy dwa boki i kąt między nimi, więc stosujemy **twierdzenie cosinusów** (karta wzorów CKE EM2023, dział *Trygonometria - twierdzenie cosinusów*: \\( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\\cos\\alpha \\)):\n\\[\n|BD|^2 = |AB|^2 + |AD|^2 - 2\\cdot|AB|\\cdot|AD|\\cdot\\cos 60^\\circ.\n\\]\nPonieważ \\( \\cos 60^\\circ = \\tfrac{1}{2} \\):\n\\[\n|BD|^2 = 9^2 + 10^2 - 2\\cdot 9\\cdot 10\\cdot \\tfrac{1}{2} = 81 + 100 - 90 = 91. \\tag{2}\n\\]\n\n### Krok 4. Przekątna \\( BD \\) z trójkąta \\( BCD \\)\n\nW trójkącie \\( BCD \\) mamy boki \\( a, b \\) oraz kąt \\( |\\angle BCD| = 120^\\circ \\) między nimi. Ponownie twierdzenie cosinusów, przy czym \\( \\cos 120^\\circ = -\\tfrac{1}{2} \\):\n\\[\n|BD|^2 = a^2 + b^2 - 2ab\\cos 120^\\circ = a^2 + b^2 + ab. \\tag{3}\n\\]\n\n### Krok 5. Połączenie równań - rozwiązanie\n\nPorównujemy prawe strony (2) i (3) oraz korzystamy z (1), czyli \\( b = a+1 \\):\n\\[\na^2 + (a+1)^2 + a(a+1) = 91.\n\\]\nRozwijamy:\n\\[\na^2 + (a^2 + 2a + 1) + (a^2 + a) = 91,\n\\]\n\\[\n3a^2 + 3a + 1 = 91 \\quad\\Longrightarrow\\quad 3a^2 + 3a - 90 = 0 \\quad\\Longrightarrow\\quad a^2 + a - 30 = 0.\n\\]\nWyróżnik (karta wzorów CKE EM2023, dział *Równanie kwadratowe*: \\( \\Delta = b^2 - 4ac \\)):\n\\[\n\\Delta = 1^2 - 4\\cdot 1\\cdot(-30) = 1 + 120 = 121, \\qquad \\sqrt{\\Delta} = 11.\n\\]\n\\[\na = \\frac{-1 + 11}{2} = 5 \\qquad \\text{lub} \\qquad a = \\frac{-1 - 11}{2} = -6.\n\\]\nDługość boku jest dodatnia, więc \\( a = 5 \\) (wartość \\( -6 \\) odrzucamy). Z (1):\n\\[\n\\boxed{|BC| = a = 5, \\qquad |CD| = b = a + 1 = 6.}\n\\]\n\n### Krok 6. Pole czworokąta\n\nPole czworokąta to suma pól dwóch trójkątów. Stosujemy wzór na pole z dwóch boków i kąta między nimi (karta wzorów CKE EM2023, dział *Pole trójkąta*: \\( P = \\tfrac{1}{2}ab\\sin\\gamma \\)).\n\nTrójkąt \\( ABD \\) (\\( \\sin 60^\\circ = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2} \\)):\n\\[\nP_{ABD} = \\tfrac{1}{2}\\cdot 9\\cdot 10\\cdot \\sin 60^\\circ = \\tfrac{1}{2}\\cdot 90\\cdot \\tfrac{\\sqrt{3}}{2} = \\frac{45\\sqrt{3}}{2}.\n\\]\nTrójkąt \\( BCD \\) (\\( \\sin 120^\\circ = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2} \\)):\n\\[\nP_{BCD} = \\tfrac{1}{2}\\cdot 5\\cdot 6\\cdot \\sin 120^\\circ = \\tfrac{1}{2}\\cdot 30\\cdot \\tfrac{\\sqrt{3}}{2} = \\frac{15\\sqrt{3}}{2}.\n\\]\nSumarycznie:\n\\[\nP_{ABCD} = \\frac{45\\sqrt{3}}{2} + \\frac{15\\sqrt{3}}{2} = \\frac{60\\sqrt{3}}{2} = \\boxed{30\\sqrt{3}}.\n\\]\n\n## Typowe pulapki\n\n1. **Mylenie warunków obu okręgów.** Z okręgu **opisanego na czworokącie** (czworokąt wpisany) wynika \\( \\alpha + \\gamma = 180^\\circ \\) oraz \\( \\beta + \\delta = 180^\\circ \\). Z okręgu **wpisanego w czworokąt** (czworokąt opisany) wynika równość sum przeciwległych boków \\( |AB|+|CD| = |BC|+|AD| \\) (tw. Pitota). Trzeba użyć **obu** - pojedynczy warunek nie wystarcza, bo mamy dwie niewiadome \\( a \\) i \\( b \\).\n\n2. **Znak cosinusa kąta rozwartego.** W trójkącie \\( BCD \\) kąt wynosi \\( 120^\\circ \\), więc \\( \\cos 120^\\circ = -\\tfrac{1}{2} \\) i w twierdzeniu cosinusów składnik \\( -2ab\\cos 120^\\circ \\) staje się **dodatni** (\\( +ab \\)). Pominięcie znaku minus daje błędne równanie. Natomiast \\( \\sin 120^\\circ = \\sin 60^\\circ = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2} \\) - pole obu trójkątów liczymy z tym samym sinusem.","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona/sol-11.svg","topics":null,"page_from":24,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona","number":"12","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12.\nW projekcie ogrodu zaplanowano kwietnik w kształcie trójkąta równoramiennego o podstawie\ndługości 𝑥 metrów nieprzekraczającej 10 metrów. Na tym kwietniku ma znajdować się\nfontanna w kształcie koła o średnicy 4 metrów, które ma być styczne do każdego z boków\ntrójkątnego kwietnika (zobacz rysunek). Projektantowi zależy, aby przy tak ustalonej\nwielkości fontanny pole tego kwietnika było najmniejsze.\nW projekcie ogrodu zaplanowano kwietnik w kształcie trójkąta równoramiennego o podstawie długości x metrów nieprzekraczającej 10 metrów. Na tym kwietniku ma znajdować się fontanna w kształcie koła o średnicy 4 metrów, które ma być styczne do każdego z boków trójkątnego kwietnika (zobacz rysunek). Projektantowi zależy, aby przy tak ustalonej wielkości fontanny pole tego kwietnika było najmniejsze. [rysunek] Wykaż, że pole P (wyrażone w metrach kwadratowych) trójkątnego kwietnika o podstawie długości x metrów jest określone wzorem P(x) = 2x³ / x²-16.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona/sol-12.svg","topics":null,"page_from":28,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona/zad/12.1","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona","number":"12.1","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12.1. (0-3)\nWykaż, że pole 𝑷 (wyrażone w metrach kwadratowych) trójkątnego kwietnika\no podstawie długości 𝒙 metrów jest określone wzorem\n𝑷(𝒙) =\n𝟐𝒙𝟑\n𝒙𝟐-𝟏𝟔\n12.1.\n0-1-\n2-3\n𝑥\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedz: \\( P(x)=\\dfrac{2x^3}{x^2-16} \\) (dla \\( 42 \\)):\n\\[ x^{2}\\left(\\tfrac{h}{2}-1\\right)^{2}=4\\left(h^{2}+\\tfrac{x^{2}}{4}\\right), \\]\n\\[ x^{2}\\left(\\tfrac{h^{2}}{4}-h+1\\right)=4h^{2}+x^{2}. \\]\nMnożymy obustronnie przez \\(4\\):\n\\[ x^{2}\\left(h^{2}-4h+4\\right)=16h^{2}+4x^{2}. \\]\nZwiń|amy nawias jako kwadrat (**wzór skróconego mnożenia**, Karta wzorów EM2023): \\( h^{2}-4h+4=(h-2)^{2} \\), ale wygodniej rozwinąć i pogrupować względem \\( h \\):\n\\[ x^{2}h^{2}-4x^{2}h+4x^{2}=16h^{2}+4x^{2}. \\]\nOdejmujemy \\( 4x^{2} \\) od obu stron:\n\\[ x^{2}h^{2}-4x^{2}h=16h^{2}, \\]\n\\[ x^{2}h^{2}-16h^{2}=4x^{2}h, \\]\n\\[ h^{2}\\left(x^{2}-16\\right)=4x^{2}h. \\]\nPonieważ \\( h>0 \\), dzielimy przez \\( h \\):\n\\[ h\\left(x^{2}-16\\right)=4x^{2}\\quad\\Longrightarrow\\quad h=\\frac{4x^{2}}{x^{2}-16}. \\tag{3} \\]\n\n**Krok 5. Wzór na pole.**\nWstawiamy (3) do (2):\n\\[ P=\\frac{1}{2}\\,x\\cdot h=\\frac{1}{2}\\,x\\cdot\\frac{4x^{2}}{x^{2}-16}=\\frac{2x^{3}}{x^{2}-16}. \\]\nTo kończy dowód:\n\\[ \\boxed{\\,P(x)=\\dfrac{2x^{3}}{x^{2}-16}\\,}. \\]\n\n**Krok 6. Dziedzina (warunek istnienia).**\nAby okrąg o promieniu \\(2\\) zmieścił się w trójkącie i był styczny do ramion, mianownik musi być dodatni: \\( x^{2}-16>0 \\), czyli \\( x>4 \\) (bo \\( x>0 \\)). Z treści \\( x\\le 10 \\). Stąd sensowna dziedzina to \\( 40 \\), zgodnie z interpretacją geometryczną.\n\n## Sposob 2 - przez styczna z punktu (kontrola wyniku)\n\nŚrodek okręgu wpisanego \\( S \\) leży na osi symetrii, w odległości \\( r=2 \\) od podstawy, czyli na wysokości \\( 2 \\) nad podstawą. Wierzchołek górny \\( C \\) leży na wysokości \\( h \\), więc \\( |SC|=h-2 \\).\n\nOdcinek ramienia od wierzchołka \\( C \\) do punktu styczności z ramieniem ma długość \\( t=\\sqrt{|SC|^{2}-r^{2}}=\\sqrt{(h-2)^{2}-4} \\) (styczna z punktu do okręgu, twierdzenie Pitagorasa). Punkt styczności na podstawie dzieli ją na połowy, więc odcinek podstawy od narożnika dolnego do punktu styczności ma długość \\( \\tfrac{x}{2} \\). Z twierdzenia o odcinkach stycznych ramię \\( b=t+\\tfrac{x}{2} \\).\n\nŁącząc z \\( b=\\sqrt{h^{2}+\\tfrac{x^{2}}{4}} \\) otrzymuje się to samo równanie co w Sposobie 1 i tę samą wysokość \\( h=\\dfrac{4x^{2}}{x^{2}-16} \\), a w konsekwencji \\( P(x)=\\dfrac{2x^{3}}{x^{2}-16} \\). Wynik się potwierdza.\n\n## Typowe pulapki\n\n- **Średnica vs promień.** W treści podana jest *średnica* \\(4\\) m - do wzoru \\( P=r\\cdot p \\) trzeba wstawić **promień** \\( r=2 \\), a nie \\(4\\). Wstawienie \\(4\\) zniszczy cały rachunek.\n- **Pominięcie warunku \\( x>4 \\).** Mianownik \\( x^{2}-16 \\) musi być dodatni - geometrycznie odpowiada to temu, że okrąg o promieniu \\(2\\) w ogóle „mieści się\" w kącie przy podstawie. Bez tego warunku wzór nie ma sensu (dla \\( x\\le 4 \\) wyszłoby \\( P\\le 0 \\)).\n- **Podnoszenie do kwadratu.** Po izolacji pierwiastka i podniesieniu do kwadratu warto pamiętać, że krok ten wymaga dodatniości lewej strony (\\( \\tfrac{h}{2}-1>0 \\), czyli \\( h>2 \\)) - co jest spełnione, bo okrąg styczny do podstawy i ramion ma środek nad podstawą, więc \\( h>2r=4>2 \\).","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona/zad-12.1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":28,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona/zad/12.2","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona","number":"12.2","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12.2. (0-4)\nPole 𝑃 trójkątnego kwietnika o podstawie długości 𝑥 metrów jest określone wzorem\n𝑃(𝑥) =\n2𝑥3\n𝑥2 -16\ndla każdego 𝑥∈(4, 10].\nWyznacz długość 𝒙 podstawy trójkątnego kwietnika, dla której pole tego kwietnika\njest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole. Zapisz obliczenia.\n12.2.\n0-1-\n2-3-4\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMAP-R0_100\n\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2023\nPole P trójkątnego kwietnika o podstawie długości x metrów jest określone wzorem P(x) = 2x³ / x²-16 dla każdego x ∈ (4,10>. Wyznacz długość x podstawy trójkątnego kwietnika, dla której pole tego kwietnika jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole. Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\( x = 4\\sqrt{3}\\ \\text{m} \\approx 6{,}93\\ \\text{m} \\), najmniejsze pole \\( P_{\\min} = 12\\sqrt{3}\\ \\text{m}^2 \\approx 20{,}78\\ \\text{m}^2 \\)\n\n## Sposób 1 - pochodna funkcji (badanie monotoniczności)\n\n**Dane.** Pole opisane funkcją\n\\[ P(x) = \\dfrac{2x^3}{x^2 - 16}, \\qquad x \\in (4,\\,10]. \\]\nSzukamy wartości najmniejszej tej funkcji na danym przedziale.\n\n**Krok 1. Dziedzina i dlaczego trzeba użyć pochodnej.**\nNa przedziale \\( (4,\\,10] \\) mianownik \\( x^2-16 > 0 \\), więc funkcja jest dobrze określona i ciągła. Aby znaleźć najmniejszą wartość, badamy monotoniczność za pomocą pochodnej (karta wzorów CKE EM2023, dział **Rachunek różniczkowy** - pochodna ilorazu).\n\n**Krok 2. Liczymy pochodną (wzór na pochodną ilorazu).**\nZ karty wzorów:\n\\[ \\left(\\dfrac{u}{v}\\right)' = \\dfrac{u'v - uv'}{v^2}. \\]\nTutaj \\( u = 2x^3 \\Rightarrow u' = 6x^2 \\) oraz \\( v = x^2-16 \\Rightarrow v' = 2x \\). Zatem\n\\[ P'(x) = \\dfrac{6x^2\\,(x^2-16) - 2x^3\\cdot 2x}{(x^2-16)^2}. \\]\n\n**Krok 3. Upraszczamy licznik.**\n\\[ 6x^2(x^2-16) - 4x^4 = 6x^4 - 96x^2 - 4x^4 = 2x^4 - 96x^2 = 2x^2\\,(x^2 - 48). \\]\nStąd\n\\[ P'(x) = \\dfrac{2x^2\\,(x^2 - 48)}{(x^2-16)^2}. \\]\n\n**Krok 4. Szukamy miejsc zerowych pochodnej.**\nMianownik \\( (x^2-16)^2 > 0 \\) na całym przedziale, a \\( 2x^2 > 0 \\) (bo \\( x>4 \\)). O znaku pochodnej decyduje więc tylko czynnik \\( x^2 - 48 \\).\n\\[ P'(x) = 0 \\iff x^2 - 48 = 0 \\iff x = \\sqrt{48} = 4\\sqrt{3}. \\]\n(drugie rozwiązanie \\( x=-4\\sqrt{3} \\) odpada - poza dziedziną). Sprawdzamy: \\( 4\\sqrt{3} \\approx 6{,}93 \\in (4,\\,10] \\).\n\n**Krok 5. Badamy znak pochodnej (monotoniczność).**\nCzynnik \\( x^2 - 48 \\):\n- dla \\( x \\in (4,\\,4\\sqrt{3}) \\): \\( x^2 < 48 \\), więc \\( P'(x) < 0 \\) - funkcja **malejąca**,\n- dla \\( x \\in (4\\sqrt{3},\\,10] \\): \\( x^2 > 48 \\), więc \\( P'(x) > 0 \\) - funkcja **rosnąca**.\n\n(Kontrola: dla \\( x=5 \\): \\( 25-48 = -23 < 0 \\); dla \\( x=7 \\): \\( 49-48 = 1 > 0 \\).)\n\n**Krok 6. Wniosek o minimum.**\nPochodna zmienia znak z minus na plus w punkcie \\( x = 4\\sqrt{3} \\), więc funkcja osiąga tam **minimum lokalne**, które - wobec malenia przed nim i rośnięcia po nim - jest jednocześnie **minimum globalnym** na przedziale \\( (4,\\,10] \\).\n\n**Krok 7. Obliczamy najmniejsze pole.**\n\\[ P\\!\\left(4\\sqrt{3}\\right) = \\dfrac{2\\,(4\\sqrt{3})^3}{(4\\sqrt{3})^2 - 16}. \\]\nLiczymy potęgi:\n\\[ (4\\sqrt{3})^2 = 16\\cdot 3 = 48, \\qquad (4\\sqrt{3})^3 = (4\\sqrt{3})^2\\cdot 4\\sqrt{3} = 48\\cdot 4\\sqrt{3} = 192\\sqrt{3}. \\]\nZatem\n\\[ P\\!\\left(4\\sqrt{3}\\right) = \\dfrac{2\\cdot 192\\sqrt{3}}{48 - 16} = \\dfrac{384\\sqrt{3}}{32} = 12\\sqrt{3}. \\]\n\n**Odpowiedź.** Pole jest najmniejsze dla podstawy\n\\[ x = 4\\sqrt{3}\\ \\text{m} \\approx 6{,}93\\ \\text{m}, \\]\na najmniejsze pole wynosi\n\\[ P_{\\min} = 12\\sqrt{3}\\ \\text{m}^2 \\approx 20{,}78\\ \\text{m}^2. \\]\n\n(Dla porównania na krańcach: \\( P(10) = \\tfrac{2000}{84} = \\tfrac{500}{21} \\approx 23{,}8 \\), a przy \\( x\\to 4^+ \\) pole rośnie do nieskończoności - co potwierdza, że minimum jest właśnie w \\( 4\\sqrt{3} \\).)\n\n## Typowe pułapki\n\n- **Błąd w pochodnej ilorazu** - częsta pomyłka to zapis \\( u'v + uv' \\) zamiast \\( u'v - uv' \\) (mylenie ze wzorem na pochodną iloczynu). Znak „minus” w liczniku jest kluczowy.\n- **Pominięcie sprawdzenia, czy punkt krytyczny należy do przedziału i czy to globalne minimum** - należy uzasadnić zmianę znaku pochodnej (malejąca → rosnąca). Samo przyrównanie \\( P'(x)=0 \\) bez analizy znaku nie gwarantuje, że to minimum (a nie maksimum czy punkt na krańcu). Tutaj minimum lokalne jest globalne, bo funkcja maleje na całym lewym i rośnie na całym prawym kawałku przedziału.","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona/zad-12.2.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona/sol-12.2.svg","topics":null,"page_from":30,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}