{"paper":{"id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","variant":"stara","exam_pdf":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":34,"source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (0-1)\nLiczba √25\n8 ⋅√2 + 2-1 jest równa\nA. 1\nB. 2\nC. 3\nD. 4","answer":"C","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nWymagania określone w podstawie programowej1\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n1.2) oblicza wartości wyrażeń\narytmetycznych […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (0-1)\nKlient wpłacił do banku 10 000 zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie\noszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości 6% od kwoty bieżącego kapitału\nznajdującego się na lokacie - zgodnie z procentem składanym.\nPo dwóch latach oszczędzania łączna wartość doliczonych odsetek na tej lokacie (bez\nuwzględniania podatków) jest równa\nA. 1200 zł\nB. 1236 zł\nC. 1836 zł\nD. 3600 zł","answer":"B","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\nZdający:\n1.9) wykonuje obliczenia procentowe,\noblicza podatki, zysk z lokat (również\nzłożonych na procent składany i na okres\nkrótszy niż rok).\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\n1 Rozporządzenie Ministra Edukacji Narodowej z dnia 27 sierpnia 2012 r. w sprawie podstawy programowej\nwychowania przedszkolnego oraz kształcenia ogólnego w poszczególnych typach szkół (Dz.U. z 2012 r. poz.\n977, z późn. zm., tj. Dz.U. z 2014 r. poz. 803, Dz.U. z 2016 r. poz. 895).\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (0-1)\nLiczba √5√5 jest równa\nA. 5\n1\n4\nB. 5\n1\n2\nC. 5\n3\n4\nD. 5","answer":"C","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n1.3) posługuje się w obliczeniach\npierwiastkami dowolnego stopnia i stosuje\nprawa działań na pierwiastkach;\n1.5) wykorzystuje podstawowe własności\npotęg […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (0-1)\nLiczba log8 4 -log8 32 jest równa\nA. (-2)\nB. (-1)\nC. 1\nD. 2\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100","answer":"B","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n1.6) wykorzystuje definicję logarytmu\ni stosuje w obliczeniach wzory na logarytm\niloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi\no wykładniku naturalnym.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (0-1)\nWartość wyrażenia 𝑥2 + 10𝑥+ 25 dla 𝑥= √2 -5 jest równa\nA. 2\nB. √2\nC. 2 -20√2\nD. 62 -10√2","answer":"A","answer_text":"Zadanie 5. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n2.1) używa wzorów skróconego mnożenia\nna (𝑎± 𝑏)2 oraz 𝑎2 -𝑏2.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (0-1)\nDane jest równanie\n3(𝑥+ 3)(𝑥-𝑚)(2𝑥+ 4) = 0\ngdzie 𝑥 jest niewiadomą, natomiast 𝑚 jest pewną liczbą rzeczywistą.\nSuma wszystkich rozwiązań tego równania jest równa 0.\nLiczba 𝑚 jest równa\nA. (-7)\nB. 2\nC. 5\nD. 7","answer":"C","answer_text":"Zadanie 6. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n3.7) korzysta z własności iloczynu przy\nrozwiązywaniu równań typu\n𝑥(𝑥+ 1)(𝑥-7) = 0.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (0-1)\nRozwiązaniem równania\n𝑥+ 2\n3𝑥-1 = 2\n5\njest liczba\nA. 1\n3\nB. 8\n11\nC. 3\nD. 12\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nInformacja do zadań 8.-10.\nNa rysunku, w układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦), przedstawiono wykres funkcji 𝑓.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 7. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n3.8) rozwiązuje proste równania wymierne,\nprowadzące do równań liniowych […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (0-1)\nWskaż zdanie prawdziwe.\nA. Rozwiązaniem równania 𝑓(𝑥) = 3 jest liczba 1.\nB. Największa wartość funkcji 𝑓 w przedziale 〈2, 3〉 jest równa 3.\nC. Funkcja 𝑓 jest malejąca w przedziale 〈0, 3〉.\nD. Funkcja 𝑓 ma dwa miejsca zerowe.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 8. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\nZdający:\nG8.3) odczytuje z wykresu funkcji: […]\nargumenty dla danej wartości funkcji […].\n4.3) odczytuje z wykresu własności funkcji\n([…] miejsca zerowe, maksymalne\nprzedziały, w których funkcja maleje […];\npunkty, w których funkcja przyjmuje\nw podanym przedziale wartość największą\n[…]).\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (0-1)\nZbiorem wartości funkcji 𝑓 jest przedział\nA. ⟨-4, 5)\nB. (-4, 5⟩\nC. 〈-2, 4〉\nD. (-2, 4)","answer":"C","answer_text":"Zadanie 9. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\nZdający:\n4.3) odczytuje z wykresu własności funkcji\n([…] zbiór wartości […]).\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (0-1)\nZbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja 𝑓 przyjmuje wartości ujemne, jest\nprzedział\nA. ⟨-4, -2)\nB. (-4, -2)\nC. ⟨-4, 0)\nD. ⟨-2, 2)\n1 2 3 4\n-1\n-2\n5\n0\n𝑥\n-5 -4 -3\n1\n2\n3\n4\n𝑦\n5\n-1\n-2\n-3\n-4\n-5\n𝑦= 𝑓(𝑥)\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nInformacja do zadań 11.-12.\nFunkcja liniowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥+ 𝑏, gdzie 𝑎 i 𝑏 są pewnymi\nliczbami rzeczywistymi. W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) przedstawiono fragment wykresu\nfunkcji 𝑓. Każdy z punktów przecięcia wykresu funkcji 𝑓 z osiami układu współrzędnych ma\nobie współrzędne całkowite. Wykres funkcji 𝑓 jest nachylony do osi 𝑂𝑥 układu\nwspółrzędnych pod kątem o mierze 𝛼 (zobacz rysunek).","answer":"A","answer_text":"Zadanie 10. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\nZdający:\n4.3) odczytuje z wykresu własności funkcji\n([…] maksymalne przedziały, w których\nfunkcja […] ma stały znak […]).\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (0-1)\nLiczba 𝑎 oraz liczba 𝑏 we wzorze funkcji 𝑓 spełniają warunki:\nA. 𝑎> 0 oraz 𝑏> 0.\nB. 𝑎> 0 oraz 𝑏< 0.\nC. 𝑎< 0 oraz 𝑏> 0.\nD. 𝑎< 0 oraz 𝑏< 0.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 11. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\nZdający:\n4.7) interpretuje współczynniki występujące\nwe wzorze funkcji liniowej.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (0-1)\nTangens kąta o mierze 𝛼 jest równy\nA. (-3\n2)\nB. (-2\n3)\nC. 2\n3\nD. 3\n2\n1\n2\n3\n4\n𝑦\n5\n-1\n-2\n-3\n-4\n-5\n1 2 3 4\n-1\n-2\n5\n0\n𝑥\n-5 -4 -3\n𝑦= 𝑓(𝑥)\n𝛼\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100","answer":"A","answer_text":"Zadanie 12. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\nZdający:\n4.12) wykorzystuje własności funkcji liniowej\n[…] do interpretacji zagadnień\ngeometrycznych […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (0-1)\nW chwili 𝑡= 0 z poziomu ziemi wyrzucono piłeczkę pionowo do góry.\nPrzyjmijmy, że wysokość ℎ, na której znajduje się piłeczka w danej chwili 𝑡, jest określona\nwzorem\nℎ(𝑡) = -4,9𝑡2 + 14,7𝑡\ngdzie:\nczas 𝑡 jest wyrażony w sekundach (s) i zmienia się od 0 do chwili pierwszego\nuderzenia piłeczki o ziemię\nwysokość ℎ jest wyrażona w metrach i jest liczona względem poziomu ziemi.\nWyrzucona piłeczka po raz pierwszy uderzy w ziemię w chwili\nA. 𝑡= 1,5 s\nB. 𝑡= 2 s\nC. 𝑡= 2,5 s\nD. 𝑡= 3 s","answer":"D","answer_text":"Zadanie 13. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\nZdający:\n4.12) wykorzystuje własności funkcji […]\nkwadratowej do interpretacji zagadnień […]\nfizycznych itp. (także osadzonych\nw kontekście praktycznym).\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (0-1)\nCiąg arytmetyczny (𝑎𝑛) jest określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.\nW tym ciągu 𝑎1 = 1 oraz 𝑎5 = 17.\nDziewiąty wyraz ciągu (𝑎𝑛) jest równy\nA. 29\nB. 33\nC. 34\nD. 37","answer":"B","answer_text":"Zadanie 14. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n5.3) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz […] ciągu\narytmetycznego.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (0-1)\nCiąg geometryczny (𝑎𝑛) jest określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.\nWyrazy trzeci i szósty tego ciągu spełniają warunek 𝑎3 ⋅𝑎6 = 18.\nIloczyn 𝑎2 ⋅𝑎7 jest równy\nA. 9\nB. 14\nC. 18\nD. 36\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100","answer":"C","answer_text":"Zadanie 15. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n5.4) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz […] ciągu\ngeometrycznego.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (0-1)\nDany jest trójkąt prostokątny 𝐴𝐵𝐶, w którym bok 𝐴𝐶 jest przeciwprostokątną oraz\n|𝐵𝐶| = 2 i |𝐴𝐶| = 2√10. Oznaczmy kąt 𝐵𝐶𝐴 przez 𝛾 (zobacz rysunek).\nSinus kąta 𝛾 jest równy\nA. 1\n√10\nB. 1\n3\nC. 3\n√10\nD.\n√10\n√11","answer":"C","answer_text":"Zadanie 16. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n6.1) wykorzystuje definicje i wyznacza\nwartości funkcji sinus […] kątów o miarach\nod 0° do 180°.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (0-1)\nKąt 𝛼 jest ostry i spełnia warunek 3sin𝛼 + 4cos𝛼\n4cos𝛼\n= 6.\nTangens kąta 𝛼 jest równy\nA. 5\n8\nB. 8\n3\nC. 32\n5\nD. 20\n3\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n2\n𝛾\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100","answer":"D","answer_text":"Zadanie 17. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n6.4) stosuje proste zależności między\nfunkcjami trygonometrycznymi […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (0-1)\nPunkty 𝐴, 𝐵, 𝐶 oraz 𝐷 leżą na okręgu o środku w punkcie 𝑂.\nPunkt 𝐵 leży na krótszym łuku 𝐴𝐶.\nKąt 𝐶𝐷𝐴 ma miarę 50°, a kąt 𝐶𝑂𝐵 ma miarę 30° (zobacz rysunek).\nMiara kąta ostrego 𝐵𝑂𝐴 jest równa\nA. 50°\nB. 60°\nC. 70°\nD. 100°","answer":"C","answer_text":"Zadanie 18. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\nZdający:\n7.1) stosuje zależności między kątem\nśrodkowym i kątem wpisanym.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":16,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (0-1)\nW okrąg 𝒪 o promieniu 9√3 wpisano trójkąt równoboczny 𝒯.\nBok trójkąta 𝒯 ma długość\nA. 27\n2\nB. 27√3\n2\nC. 27\nD. 27√3\n𝐷\n𝐴\n𝐶\n𝑂\n50°\n30°\n𝐵\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100","answer":"C","answer_text":"Zadanie 19. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\nZdający:\nG10.21) konstruuje okrąg opisany na\ntrójkącie […];\nG10.22) rozpoznaje wielokąty foremne\ni korzysta z ich podstawowych własności.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":16,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (0-1)\nNa płaszczyźnie dane są cztery proste: 𝑘, 𝑙, 𝑚 oraz 𝑛. Proste 𝑘 oraz 𝑙 są równoległe.\nProsta 𝑚 przecina proste 𝑘 oraz 𝑙 w punktach - odpowiednio - 𝐴 oraz 𝐶.\nProsta 𝑛 przecina proste 𝑘 oraz 𝑙 w punktach - odpowiednio - 𝐷 oraz 𝐵.\nOdcinki 𝐴𝐶 i 𝐵𝐷 przecinają się w punkcie 𝑂.\nPonadto |𝑂𝐴| = 12, |𝑂𝐵| = 6 oraz |𝑂𝐶| = 8 (zobacz rysunek).\nOdcinek 𝑂𝐷 ma długość\nA. 4\nB. 9\nC. 10\nD. 16","answer":"B","answer_text":"Zadanie 20. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\nZdający:\n7.3) rozpoznaje trójkąty podobne\ni wykorzystuje […] cechy podobieństwa\ntrójkątów.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":18,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (0-1)\nW układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dana jest prosta 𝑘 o równaniu 𝑦= -1\n3 𝑥+ 2.\nProsta 𝑙 jest równoległa do prostej 𝑘 i przechodzi przez punkt (2, -2).\nProsta 𝑙 przecina oś 𝑂𝑦 w punkcie\nA. (0, -3)\nB. (0, -1\n2)\nC. (0, -1)\nD. (0, -4\n3)\n𝑂\n𝑘\n𝑙\n𝑚\n𝐴\n𝐶\n𝑛\n𝐵\n𝐷\n12\n6\n8\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100","answer":"D","answer_text":"Zadanie 21. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n8.3) wyznacza równanie prostej, która jest\nrównoległa […] do prostej danej w postaci\nkierunkowej i przechodzi przez dany punkt;\n8.4) oblicza współrzędne punktu przecięcia\ndwóch prostych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":18,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (0-1)\nPole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe 12.\nDługość przekątnej tego sześcianu jest równa\nA. √2\nB. 2\nC. 2√2\nD. √6","answer":"D","answer_text":"Zadanie 22. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\nG11.2) oblicza pole powierzchni […]\ngraniastosłupa prostego […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":20,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (0-1)\nStożek i walec mają równe wysokości. Promień podstawy stożka jest dwa razy większy od\npromienia podstawy walca.\nStosunek objętości stożka do objętości walca jest równy\nA. 1\n12\nB. 1\n6\nC. 2\n3\nD. 4\n3","answer":"D","answer_text":"Zadanie 23. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\nZdający:\nG11.2) oblicza […] objętość […]\nwalca, stożka […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":20,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (0-1)\nWszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym\nwystępują tylko cyfry 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 (np.: 321, 555), jest\nA. 6 ⋅7 ⋅3\nB. 6 ⋅7 ⋅7\nC. 7 ⋅7 ⋅3\nD. 7 ⋅7 ⋅7","answer":"A","answer_text":"Zadanie 24. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n10.2) […] stosuje regułę mnożenia […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":20,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (0-1)\nŚrednia arytmetyczna trzech liczb: 𝑎, 𝑏, 𝑐, jest równa 2.\nŚrednia arytmetyczna czterech liczb: 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, jest równa 5,5.\nŚrednia arytmetyczna siedmiu liczb: 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, jest równa\nA. 3,5\nB. 3,75\nC. 4\nD. 4,25\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100","answer":"C","answer_text":"Zadanie 25. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\nG9.4) wyznacza średnią arytmetyczną […]\nzestawu danych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC\nZADANIA OTWARTE\nUwagi ogólne:\n1. Akceptowane są wszystkie rozwiązania merytorycznie poprawne i spełniające warunki\nzadania.\n2. Jeżeli zdający poprawnie rozwiąże zadanie i otrzyma poprawny wynik, lecz w końcowym\nzapisie przekształca ten wynik i popełnia przy tym błąd, to może uzyskać maksymalną\nliczbę punktów.\n3. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe, które na żadnym etapie rozwiązania nie\nupraszczają i nie zmieniają danego zagadnienia, lecz stosuje poprawną metodę\ni konsekwentnie do popełnionych błędów rachunkowych rozwiązuje zadanie, to może\notrzymać co najwyżej (𝑛-1) punktów (gdzie 𝑛 jest maksymalną możliwą do uzyskania\nliczbą punktów za dane zadanie).","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa","number":"26","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-2)\nRozwiąż nierówność\n3𝑥2 + 4𝑥≥6𝑥+ 8\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 26. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n3.5) rozwiązuje nierówności kwadratowe\nz jedną niewiadomą.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: (-∞, -4\n3] ∪[2, +∞)\nALBO\n- zastosowanie poprawnej metody i przedstawienie zbioru rozwiązań nierówności\nw postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów, np.\n1 pkt - obliczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego 3𝑥2 -2𝑥-8:\n𝑥1 = -4\n3 oraz 𝑥2 = 2.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Odpowiedź zdającego uznajemy za poprawną tylko wtedy, gdy można w sposób\njednoznaczny ustalić, czy przedziały zapisane przez zdającego są otwarte czy domknięte.\n2. Jeżeli zdający, obliczając pierwiastki trójmianu 3𝑥2 -2𝑥-8, popełni błędy (ale otrzyma\ndwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do popełnionych błędów zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego, gdy błędnie obliczony przez\nzdającego wyróżnik Δ jest ujemny, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n4. Jeżeli zdający rozpatruje inny niż podany w zadaniu trójmian kwadratowy, który nie wynika\nz błędu przekształcenia (np. 3𝑥2 + 4𝑥), i w konsekwencji rozpatruje inną nierówność (np.\n3𝑥2 + 4𝑥≥0), to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n5. Jeżeli zdający poda zbiór rozwiązań w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi\nkońcami przedziałów i jednocześnie zapisze niewłaściwy zbiór rozwiązań, np. 𝑥∈[-4\n3, 2]\nlub 𝑥∈(-∞, -4\n3) ∪(2, +∞), to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\n6. Jeżeli zdający podzieli obie strony nierówności przez dwumian 3𝑥+ 4 bez rozpatrywania\nznaku tego dwumianu, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n-4\n3\n2\n𝑥\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nKryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nJeśli zdający spełni kryterium za 1 punkt, a następnie pomyli porządek liczb na osi liczbowej\nprzy zachowaniu poprawnych krańców przedziału, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności\nw postaci (-∞, 2] ∪[-4\n3 , +∞) lub w postaci (+∞, -4\n3] ∪[2, -∞), to otrzymuje\n2 punkty.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nZapisujemy nierówność w postaci 3𝑥2 -2𝑥-8 ≥0 i obliczamy miejsca zerowe funkcji\nkwadratowej 𝑦= 3𝑥2 -2𝑥-8.\nObliczamy wyróżnik trójmianu 3𝑥2 -2𝑥-8:\nΔ = (-2)2 -4 ⋅3 ⋅(-8) = 100\nStąd:\n𝑥1 = -(-2) -√100\n2 ⋅3\n= -4\n3\n𝑥2 = -(-2) + √100\n2 ⋅3\n= 2\nSzkicujemy wykres funkcji kwadratowej 𝑦= 3𝑥2 -2𝑥-8.\nOdczytujemy argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości nieujemne.\nZbiorem rozwiązań nierówności jest (-∞, -4\n3] ∪[2, +∞).\n-4\n3\n2\n𝑥\nSposób II\nPrzekształcamy nierówność równoważnie i stosujemy metodę grupowania wyrazów:\n3𝑥2 + 4𝑥≥6𝑥+ 8\n𝑥(3𝑥+ 4) ≥2(3𝑥+ 4)\n𝑥(3𝑥+ 4) -2(3𝑥+ 4) ≥0\n(3𝑥+ 4)(𝑥-2) ≥0\nObliczamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej 𝑦= (3𝑥+ 4)(𝑥-2):\n(3𝑥+ 4)(𝑥-2) = 0\n3𝑥+ 4 = 0 lub 𝑥-2 = 0\n𝑥= -4\n3 lub 𝑥= 2\nMiejscami zerowymi funkcji 𝑦= (3𝑥+ 4)(𝑥-2) są liczby: 𝑥1 = -4\n3 , 𝑥2 = 2.\nSzkicujemy wykres funkcji kwadratowej 𝑦= (3𝑥+ 4)(𝑥-2).\nOdczytujemy argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości nieujemne.\nZbiorem rozwiązań nierówności jest (-∞, -4\n3] ∪[2, +∞).\nSposób III\nPrzekształcamy nierówność równoważnie i stosujemy metodę grupowania wyrazów:\n3𝑥2 + 4𝑥≥6𝑥+ 8\n𝑥(3𝑥+ 4) ≥2(3𝑥+ 4)\n𝑥(3𝑥+ 4) -2(3𝑥+ 4) ≥0\n(3𝑥+ 4)(𝑥-2) ≥0\n-4\n3\n2\n𝑥\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nDla każdej liczby rzeczywistej 𝑎 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑏 prawdziwa jest\nrównoważność:\n𝑎⋅𝑏≥0 wtedy i tylko wtedy, gdy (𝑎≤0 i 𝑏≤0) lub (𝑎≥0 i 𝑏≥0)\nPrzekształcamy nierówność (3𝑥+ 4)(𝑥-2) ≥0, na podstawie powyższej równoważności:\n(3𝑥+ 4 ≤0 i 𝑥-2 ≤0) lub (3𝑥+ 4 ≥0 i 𝑥-2 ≥0)\n(𝑥≤-4\n3 i 𝑥≤2) lub (𝑥≥-4\n3 i 𝑥≥2)\n𝑥∈(-∞, -4\n3] lub 𝑥∈[2, +∞)\nZatem zbiorem rozwiązań nierówności 3𝑥2 + 4𝑥≥6𝑥+ 8 jest (-∞, -4\n3] ∪[2, +∞).\nSposób IV\nPrzekształcamy nierówność równoważnie:\n3𝑥2 + 4𝑥≥6𝑥+ 8\n𝑥(3𝑥+ 4) ≥2(3𝑥+ 4)\nRozważmy trzy przypadki.\nPrzypadek 1. (gdy 3𝑥+ 4 = 0)\nRozwiązaniem równania 3𝑥+ 4 = 0 jest liczba (-4\n3).\nDla 𝑥= -4\n3 nierówność 𝑥(3𝑥+ 4) ≥2(3𝑥+ 4) jest prawdziwa.\nPrzypadek 2. (gdy 3𝑥+ 4 > 0)\nZbiorem rozwiązań nierówności 3𝑥+ 4 > 0 jest przedział (-4\n3 , +∞).\nDzielimy stronami nierówność 𝑥(3𝑥+ 4) ≥2(3𝑥+ 4) przez dwumian 3𝑥+ 4\ni otrzymujemy 𝑥≥2.\nZatem 𝑥∈(-4\n3 , +∞) i 𝑥∈[2, +∞). Stąd otrzymujemy 𝑥∈[2, +∞).\nPrzypadek 3. (gdy 3𝑥+ 4 < 0)\nZbiorem rozwiązań nierówności 3𝑥+ 4 < 0 jest przedział (-∞, -4\n3).\nDzielimy stronami nierówność 𝑥(3𝑥+ 4) ≥2(3𝑥+ 4) przez dwumian 3𝑥+ 4\ni otrzymujemy 𝑥≤2.\nZatem 𝑥∈(-∞, -4\n3) i 𝑥∈(-∞, 2]. Stąd otrzymujemy 𝑥∈(-∞, -4\n3).\nZatem zbiorem rozwiązań nierówności 3𝑥2 + 4𝑥≥6𝑥+ 8 jest\n{-4\n3} ∪[2, +∞) ∪(-∞, -4\n3), czyli (-∞, -4\n3] ∪[2, +∞).","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (0-2)\nWykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej 𝑎 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑏 prawdziwa\njest nierówność\n𝑎(𝑎-𝑏) ≥𝑏(𝑎-3𝑏)\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 27. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\nZdający:\n2.1) używa wzorów skróconego mnożenia\nna (𝑎± 𝑏)2 oraz 𝑎2 -𝑏2.\nZasady oceniania\n2 pkt - przekształcenie nierówności 𝑎(𝑎-𝑏) ≥𝑏(𝑎-3𝑏) do postaci (𝑎-𝑏)2 + 2𝑏2 ≥0\noraz stwierdzenie, że suma (𝑎-𝑏)2 + 2𝑏2 jest liczbą nieujemną jako suma dwóch\nliczb nieujemnych\nALBO\n- obliczenie wyróżnika trójmianu kwadratowego 𝑎2 -2𝑏𝑎+ 3𝑏2 zmiennej 𝑎 oraz\nuzasadnienie, że jest on niedodatni,\nALBO\n- obliczenie wyróżnika trójmianu kwadratowego 3𝑏2 -2𝑎𝑏+ 𝑎2 zmiennej 𝑏 oraz\nuzasadnienie, że jest on niedodatni.\n1 pkt - przekształcenie nierówności 𝑎(𝑎-𝑏) ≥𝑏(𝑎-3𝑏) do postaci (𝑎-𝑏)2 + 2𝑏2 ≥0\nALBO\n- obliczenie wyróżnika Δ trójmianu kwadratowego 𝑎2 -2𝑏𝑎+ 3𝑏2 zmiennej 𝑎:\nΔ = -8𝑏2,\nALBO\n- obliczenie wyróżnika Δ trójmianu kwadratowego 3𝑏2 -2𝑎𝑏+ 𝑎2 zmiennej 𝑏:\nΔ = -8𝑎2.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeśli zdający sprawdza prawdziwość nierówności tylko dla wybranych wartości 𝑎 i 𝑏, to\notrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzekształcamy nierówność 𝑎(𝑎-𝑏) ≥𝑏(𝑎-3𝑏) w sposób równoważny:\n𝑎2 -𝑎𝑏≥𝑎𝑏-3𝑏2\n𝑎2 -2𝑎𝑏+ 3𝑏2 ≥0\n𝑎2 -2𝑎𝑏+ 𝑏2 + 2𝑏2 ≥0\n(𝑎-𝑏)2 + 2𝑏2 ≥0\nLiczby (𝑎-𝑏)2 oraz 2𝑏2 są nieujemne, zatem suma (𝑎-𝑏)2 + 2𝑏2 jest również liczbą\nnieujemną. To należało wykazać.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób II (trójmian kwadratowy zmiennej 𝑎 z parametrem 𝑏)\nPrzekształcamy równoważnie nierówność 𝑎(𝑎-𝑏) ≥𝑏(𝑎-3𝑏) i otrzymujemy:\n𝑎2 -2𝑏𝑎+ 3𝑏2 ≥0\nWyrażenie 𝑎2 -2𝑏𝑎+ 3𝑏2 traktujemy jako trójmian kwadratowy zmiennej 𝑎.\nObliczamy wyróżnik Δ trójmianu:\nΔ = (-2𝑏)2 -4 ⋅1 ⋅3𝑏2\nΔ = 4𝑏2 -12𝑏2\nΔ = -8𝑏2 ≤0\nObliczony wyróżnik trójmianu kwadratowego jest niedodatni dla każdej liczby rzeczywistej 𝑏.\nZatem funkcja kwadratowa 𝑓(𝑎) = 𝑎2 -2𝑏𝑎+ 3𝑏2 zmiennej 𝑎 ma co najwyżej jedno\nmiejsce zerowe, a ponieważ współczynnik przy drugiej potędze zmiennej jest dodatni, więc\nżaden fragment wykresu funkcji 𝑓 nie leży poniżej osi odciętych. Zatem funkcja 𝑓\nprzyjmuje wartości nieujemne dla każdej liczby rzeczywistej 𝑎.\nOznacza to, że dla każdej liczby rzeczywistej 𝑎 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑏\nnierówność 𝑎2 -2𝑏𝑎+ 3𝑏2 ≥0 jest prawdziwa.\nZatem nierówność 𝑎(𝑎-𝑏) ≥𝑏(𝑎-3𝑏) również jest prawdziwa dla każdej liczby\nrzeczywistej 𝑎 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑏. To należało wykazać.","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":23,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa","number":"28","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (0-2)\nNa przedstawienie w pewnym teatrze sprzedawano bilety według poniższego cennika.\nCENNIK BILETÓW\nRodzaj biletu\nCena w złotych\nNormalny\n35\nUlgowy\n25\nNa to przedstawienie sprzedano łącznie 200 biletów.\nPo opłaceniu kosztów związanych z organizacją przedstawienia w wysokości 25% wpływów\nze sprzedaży biletów organizatorom pozostało 4665 zł.\nOblicz liczbę biletów ulgowych sprzedanych na to przedstawienie.\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 28. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\nG7.7) za pomocą równań lub układów\nrównań opisuje i rozwiązuje zadania\nosadzone w kontekście praktycznym.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 78.\n1 pkt - zapisanie układu dwóch równań z dwiema niewiadomymi pozwalającego obliczyć\nliczbę biletów ulgowych i liczbę biletów normalnych sprzedanych na przedstawienie,\nnp.\n𝑥+ 𝑦= 200 oraz 0,75 ⋅(35𝑥+ 25𝑦) = 4665\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą pozwalającego obliczyć liczbę biletów\nulgowych sprzedanych na przedstawienie, np.\n35(200 -𝑦) + 25𝑦= 4665\n0,75 ,\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą pozwalającego obliczyć liczbę biletów\nnormalnych sprzedanych na przedstawienie, np.\n35𝑥+ 25(200 -𝑥) = 4665\n0,75 ,\nALBO\n- zapisanie różnicy 4665\n0,75 -25 ⋅200 oraz zapisanie różnicy 35 -25,\nALBO\n- zapisanie różnicy 35 ⋅200 -4665\n0,75 oraz zapisanie różnicy 35 -25,\nALBO\n- zapisanie różnicy 4665\n0,75 -(25 ⋅100 + 35 ⋅100) oraz zapisanie różnicy 35 -25.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający sprawdza warunki zadania dla wybranych par liczb 𝑥 oraz 𝑦 i wskaże\nwłaściwą odpowiedź, ale nie uzasadni, że jest to jedyne rozwiązanie zadania, to otrzymuje\n1 punkt za całe rozwiązanie.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nOznaczmy:\n𝑥 - liczba biletów normalnych sprzedanych na przedstawienie,\n𝑦 - liczba biletów ulgowych sprzedanych na przedstawienie.\nPo uwzględnieniu warunków zadania otrzymujemy:\n𝑥+ 𝑦= 200 oraz 0,75 ⋅(35𝑥+ 25𝑦) = 4665\nZ pierwszego z tych równań wyznaczamy 𝑥= 200 -𝑦 i podstawiamy w miejsce 𝑥 do\ndrugiego z równań, w wyniku czego otrzymujemy:\n0,75 ⋅[35(200 -𝑦) + 25𝑦] = 4665 /∶0,75\n35(200 -𝑦) + 25𝑦= 6220\n7000 -35𝑦+ 25𝑦= 6220\n-10𝑦= -780\n𝑦= 78\nNa przedstawienie sprzedano 78 biletów ulgowych.\nSposób II\nPrzychód organizatorów ze sprzedaży biletów jest równy:\n4665\n0,75 = 6220\nGdyby organizatorzy sprzedali wszystkie bilety po 35 złotych, to uzyskaliby przychód\nw wysokości 35 ⋅200 = 7000 złotych, a więc o 7000 -6220 = 780 złotych więcej niż\nw rzeczywistości.\nBilet normalny kosztuje o 10 złotych więcej niż bilet ulgowy.\nZatem organizatorzy sprzedali 780 ∶10 = 78 biletów ulgowych.\nUwaga.\nMetodę zaprezentowaną w sposobie II można wykorzystać również dla dowolnej konfiguracji\nliczby biletów ulgowych i normalnych dających łącznie 200 biletów; np. gdyby organizatorzy\nsprzedali 30 biletów normalnych i 170 biletów ulgowych, to uzyskaliby przychód\nw wysokości 30 ⋅35 + 170 ⋅25 = 5300 złotych, a więc o 6220 -5300 = 920 złotych\nmniej niż w rzeczywistości.\nBilet normalny kosztuje o 10 złotych więcej niż bilet ulgowy.\nZatem organizatorzy w rzeczywistości sprzedali o 920 ∶10 = 92 bilety ulgowe mniej -\na więc sprzedali 170 -92 = 78 biletów ulgowych.","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":24,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (0-2)\nDany jest trójkąt 𝐾𝐿𝑀, w którym |𝐾𝑀| = 𝑎 oraz |𝐿𝑀| = 𝑏.\nDwusieczna kąta 𝐿𝑀𝐾 przecina bok 𝐾𝐿 w punkcie 𝑁 (zobacz rysunek).\nWykaż, że stosunek pola trójkąta 𝐾𝑁𝑀 do pola trójkąta 𝑁𝐿𝑀 jest równy 𝑎\n𝑏 .\n𝑎\n𝑀\n𝑏\n𝐾\n𝐿\n𝑁\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 29. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\nZdający:\n7.4) korzysta z własności funkcji\ntrygonometrycznych w łatwych obliczeniach\ngeometrycznych, w tym ze wzoru na pole\ntrójkąta ostrokątnego o danych dwóch\nbokach i kącie między nimi.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i przeprowadzenie pełnego rozumowania.\n1 pkt - zapisanie pola trójkąta 𝐾𝑁𝑀 w postaci 𝑃𝐾𝑁𝑀= 1\n2 ⋅𝑎⋅|𝑀𝑁| ⋅sin 𝛼 oraz zapisanie\npola trójkąta 𝑁𝐿𝑀 w postaci 𝑃𝑁𝐿𝑀= 1\n2 ⋅𝑏⋅|𝑀𝑁| ⋅sin 𝛼\nALBO\n- uzasadnienie, że wysokości trójkątów 𝐾𝑁𝑀 i 𝑁𝐿𝑀 poprowadzone\nz wierzchołka 𝑁 są równe,\nALBO\n- zapisanie pola trójkąta 𝐾𝑁𝑀 w postaci 𝑃𝐾𝑁𝑀= 1\n2 ⋅|𝐾𝑁| ⋅ℎ oraz zapisanie pola\ntrójkąta 𝑁𝐿𝑀 w postaci 𝑃𝑁𝐿𝑀= 1\n2 ⋅|𝑁𝐿| ⋅ℎ,\nALBO\n- zapisanie związku\n|𝐾𝑁|\n|𝑁𝐿| = 𝑎\n𝑏 ,\nALBO\n- zapisanie związku 𝑃𝐾𝑁𝑀\n𝑃𝑁𝐿𝑀\n|𝐾𝑁|\n|𝑁𝐿| .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. a) Jeżeli zdający zapisze 𝑃𝐾𝑁𝑀\n𝑃𝑁𝐿𝑀\n1\n2𝑎ℎ\n1\n2𝑏ℎ= 𝑎\n𝑏 i w rozwiązaniu nie określa, że ℎ\nreprezentuje wysokości trójkątów 𝐾𝑁𝑀 i 𝑁𝐿𝑀 poprowadzone z wierzchołka 𝑁, to\notrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nb) Jeżeli zdający zapisze 𝑃𝐾𝑁𝑀\n𝑃𝑁𝐿𝑀\n1\n2𝑎ℎ\n1\n2𝑏ℎ= 𝑎\n𝑏 i w rozwiązaniu określa (np. na rysunku), że\nℎ reprezentuje wysokości trójkątów 𝐾𝑁𝑀 i 𝑁𝐿𝑀 poprowadzone z wierzchołka 𝑁,\nale nie uzasadnia równości tych wysokości, to może otrzymać 1 punkt za całe\nrozwiązanie, o ile nie popełnił innych błędów.\n2. Jeżeli zdający przyjmuje konkretną wartość kąta, np. |∡𝐿𝑀𝐾| = 90°, i na tym opiera\nswoje rozumowanie, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzyjmijmy następujące oznaczenie: |∡𝐿𝑀𝐾| = 2𝛼.\nOdcinek 𝑀𝑁 zawiera się w dwusiecznej kąta 𝐿𝑀𝐾, więc |∡𝑁𝑀𝐾| = 𝛼 oraz |∡𝐿𝑀𝑁| = 𝛼.\nStosujemy wzór na pole trójkąta w zależności od długości dwóch boków i sinusa kąta między\ntymi bokami i otrzymujemy:\n𝑃𝐾𝑁𝑀= 1\n2 ⋅𝑎⋅|𝑀𝑁| ⋅sin 𝛼\n𝑃𝑁𝐿𝑀= 1\n2 ⋅𝑏⋅|𝑀𝑁| ⋅sin 𝛼\nZatem:\n𝑃𝐾𝑁𝑀\n𝑃𝑁𝐿𝑀\n1\n2 ⋅𝑎⋅|𝑀𝑁| ⋅sin 𝛼\n1\n2 ⋅𝑏⋅|𝑀𝑁| ⋅sin 𝛼\n= 𝑎\n𝑏\nTo należało wykazać.\nSposób II\nDwusieczna kąta jest zbiorem punktów równoodległych od ramion tego kąta. Punkt 𝑁 leży\nna dwusiecznej kąta 𝐿𝑀𝐾. Oznacza to, że odległości punktu 𝑁 od półprostych 𝑀𝐾 i 𝑀𝐿\nsą równe. Zatem wysokości trójkątów 𝐾𝑁𝑀 i 𝑁𝐿𝑀 poprowadzone z wierzchołka 𝑁 są\nrówne. Oznaczmy tę wysokość przez 𝑑 (zobacz rysunek).\nWtedy:\n𝑃𝐾𝑁𝑀\n𝑃𝑁𝐿𝑀\n1\n2 ⋅𝑎⋅𝑑\n1\n2 ⋅𝑏⋅𝑑\n= 𝑎\n𝑏\nTo należało wykazać.\n𝑎\n𝑀\n𝑏\n𝐾\n𝐿\n𝑁\n𝑑\n𝑑\nSposób III\nTrójkąty 𝐾𝑁𝑀 i 𝑁𝐿𝑀 mają wspólną wysokość ℎ poprowadzoną z wierzchołka 𝑀, więc\nstosunek pól tych trójkątów jest równy:\n𝑃𝐾𝑁𝑀\n𝑃𝑁𝐿𝑀\n1\n2 ⋅|𝐾𝑁| ⋅ℎ\n1\n2 ⋅|𝑁𝐿| ⋅ℎ\n= |𝐾𝑁|\n|𝑁𝐿|\nZ twierdzenia o dwusiecznej zastosowanego w trójkącie 𝐾𝐿𝑀 otrzymujemy:\n|𝐾𝑁|\n|𝑁𝐿| = 𝑎\n𝑏\nZatem:\n𝑃𝐾𝑁𝑀\n𝑃𝑁𝐿𝑀\n|𝐾𝑁|\n|𝑁𝐿| = 𝑎\n𝑏\nTo należało wykazać.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":25,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (0-2)\nDany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym przekątna podstawy ma długość 8√3.\nKrawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30°.\nOblicz objętość tego ostrosłupa.\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n9.2) rozpoznaje w […] ostrosłupach kąt\nmiędzy odcinkami i płaszczyznami […];\n9.6) stosuje trygonometrię do obliczeń\ndługości odcinków, miar kątów, pól\npowierzchni i objętości.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑉= 128.\n1 pkt - obliczenie/zapisanie wysokości ostrosłupa: 𝐻= 4\nALBO\n- wyznaczenie pola podstawy ostrosłupa: 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= (4√6)\n2 (lub 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 1\n2 ⋅(8√3)\n2).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający rozpatruje bryłę inną niż ostrosłup prawidłowy czworokątny, to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzyjmujemy oznaczenia jak na rysunku:\n𝑎 - długość krawędzi podstawy,\n𝐻 - wysokość ostrosłupa,\n𝑂 - spodek wysokości ostrosłupa.\nZauważamy, że 𝑎> 0 i 𝐻> 0.\nPonieważ 𝑂 jest punktem przecięcia\nprzekątnych kwadratu, to |𝑂𝐵| = 4√3.\nW trójkącie prostokątnym 𝑆𝑂𝐵 mamy:\ntg 30° = |𝑆𝑂|\n|𝑂𝐵| = 𝐻\n4√3\nZatem:\n𝐻= 4√3 ⋅tg 30° = 4√3 ⋅√3\n3 = 4\nObliczamy objętość 𝑉 ostrosłupa:\n𝑉= 1\n3 ⋅1\n2 ⋅(8√3)\n2 ⋅4 = 128\n30°\n4ξ3\n𝐻\n𝑎\n𝑆\n𝑂\n𝐷\n𝐵\n𝐴\n𝐶","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":26,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (0-2)\nDane są dwa zbiory cyfr: 𝑋= {1, 3, 5, 7, 9} oraz 𝑌= {0, 2, 4, 6, 8}.\nLosujemy jedną cyfrę ze zbioru 𝑋, a następnie losujemy jedną cyfrę ze zbioru 𝑌.\nNastępnie zapisujemy liczbę dwucyfrową w ten sposób, że cyfra wylosowana ze zbioru 𝑋\njest cyfrą dziesiątek, a cyfra wylosowana ze zbioru 𝑌 jest cyfrą jedności tej liczby\ndwucyfrowej.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 polegającego na tym, że otrzymana w ten sposób\nliczba dwucyfrowa będzie podzielna przez 6.\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 31. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n10.3) oblicza prawdopodobieństwa\nw prostych sytuacjach, stosując klasyczną\ndefinicję prawdopodobieństwa.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑃(𝐴) = 9\n25\n1 pkt - wypisanie wszystkich zdarzeń elementarnych LUB obliczenie/podanie liczby tych\nzdarzeń: |Ω| = 5 ⋅5, LUB sporządzenie tabeli o 25 polach odpowiadających\nzdarzeniom elementarnym, LUB sporządzenie pełnego drzewa stochastycznego\nALBO\n- wypisanie (lub zaznaczenie w tabeli) wszystkich zdarzeń elementarnych\nsprzyjających zdarzeniu 𝐴 i niewypisanie żadnego niewłaściwego,\nALBO\n- podanie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴:\n|𝐴| = 9, o ile nie zostały zliczone błędne pary,\nALBO\n- sporządzenie fragmentu drzewa stochastycznego, który zawiera wszystkie gałęzie\nsprzyjające zdarzeniu 𝐴, oraz zapisanie prawdopodobieństwa na co najmniej\njednym odcinku każdego z etapów doświadczenia,\nALBO\n- podanie prawdopodobieństwa jednoelementowego zdarzenia (elementarnego): 1\n25\n,\nALBO\n- zapisanie tylko 𝑃(𝐴) = 9\n25\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający zapisuje tylko liczby 9 lub 25 i z rozwiązania nie wynika znaczenie tych\nliczb, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑥, 𝑦), gdzie\n𝑥∈{1, 3, 5, 7, 9} oraz 𝑦∈{0, 2, 4, 6, 8}.\nLiczbę wszystkich zdarzeń elementarnych obliczamy z wykorzystaniem reguły mnożenia.\nMoc zbioru Ω jest równa 5 ⋅5 = 25.\nZdarzeniu 𝐴 sprzyjają następujące zdarzenia elementarne:\n(1, 2), (1, 8), (3, 0), (3, 6), (5, 4), (7, 2), (7, 8), (9, 0), (9, 6),\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nwięc moc zbioru 𝐴 jest równa 9.\nZatem prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe 9\n25\nSposób II\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑥, 𝑦), gdzie\n𝑥∈{1, 3, 5, 7, 9} oraz 𝑦∈{0, 2, 4, 6, 8}.\nW tabeli literą 𝒜 zaznaczamy zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu 𝐴.\n0\n2\n4\n6\n8\n1\n𝒜\n𝒜\n3\n𝒜\n𝒜\n5\n𝒜\n7\n𝒜\n𝒜\n9\n𝒜\n𝒜\nWszystkich zdarzeń elementarnych jest 25. Zdarzeń sprzyjających zdarzeniu 𝐴 jest 9.\nZatem prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe 9\n25\n𝑦\n𝑥","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":27,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa","number":"32","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (0-4)\nW układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) wykresem funkcji kwadratowej 𝑓 jest parabola\no wierzchołku w punkcie 𝑊= (3, -2).\nFunkcja kwadratowa 𝑔 jest określona za pomocą funkcji 𝑓 wzorem 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥+ 1).\nJednym z miejsc zerowych funkcji 𝑔 jest liczba 0.\nWyznacz wzór funkcji 𝑓 w postaci ogólnej.\n\nEMAP-P0_100\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 32. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n4.9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na\npodstawie pewnych informacji o tej funkcji\nlub o jej wykresie.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑓(𝑥) = 1\n2 𝑥2 -3𝑥+ 5\n2\n3 pkt - spełnienie jednego z kryteriów za 2 punkty oraz obliczenie wartości jednego ze\nwspółczynników 𝑎, 𝑏 lub 𝑐 funkcji 𝑓: 𝑎= 1\n2 lub 𝑏= -3, lub 𝑐= 5\n2 .\n2 pkt - zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-3)2 -2 oraz zapisanie, że\njednym z miejsc zerowych funkcji 𝑓 jest liczba 1\nALBO\n- zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-1)(𝑥-5) lub\n𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-1)2 -4𝑎(𝑥-1),\nALBO\n- wykorzystanie wzoru funkcji 𝑔 w postaci kanonicznej (lub iloczynowej) i zapisanie\nrównania z jedną niewiadomą 𝑎, np. 0 = 𝑎(0 -2)2 -2, 0 = 𝑎(4 -2)2 -2,\n-2 = 𝑎⋅2 ⋅(2 -4),\nALBO\n- zapisanie układu trzech niezależnych równań z trzema niewiadomymi 𝑎, 𝑏, 𝑐\nprowadzącego do obliczenia wartości współczynników 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐, np.:\n𝑎⋅12 + 𝑏⋅1 + 𝑐= 0 oraz -𝑏\n2𝑎= 3 oraz -(𝑏2 - 4𝑎𝑐)\n4𝑎\n= -2\nlub\n𝑎⋅12 + 𝑏⋅1 + 𝑐= 0 oraz -𝑏\n2𝑎= 3 oraz 𝑎⋅32 + 𝑏⋅3 + 𝑐= -2.\n1 pkt - zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-3)2 -2\nALBO\n- zapisanie, że jednym z miejsc zerowych funkcji 𝑓 jest liczba 1,\nALBO\n- zapisanie, że wierzchołkiem wykresu funkcji 𝑔 jest punkt o współrzędnych (2, -2),\nALBO\n- zapisanie, że drugim miejscem zerowym funkcji 𝑔 jest liczba 4,\nALBO\n- zapisanie układu dwóch niezależnych równań z trzema niewiadomymi 𝑎, 𝑏, 𝑐, np.:\n-𝑏\n2𝑎= 3 oraz -(𝑏2 - 4𝑎𝑐)\n4𝑎\n= -2\nlub\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n-𝑏\n2𝑎= 3 oraz 𝑎⋅32 + 𝑏⋅3 + 𝑐= -2,\nlub\n𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 0 oraz 𝑎⋅32 + 𝑏⋅3 + 𝑐= -2.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający obliczy poprawnie wartości współczynników 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐 we wzorze\nfunkcji 𝑓, to może otrzymać 4 punkty za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający poprawnie obliczy/poda\na) miejsce zerowe funkcji 𝑓, ale zapisze błędne równanie\n0 = 𝑎(1 + 3)2 -2 lub\n0 = 𝑎(5 + 3)2 -2, lub\n0 = 𝑎(1 -3) -2, lub\n0 = 𝑎(5 -3) -2,\nb) miejsca zerowe funkcji 𝑓, ale zapisze błędne równanie\n-2 = 𝑎(3 + 1)(3 + 5) lub\n-2 = 𝑎(3 + 1)(3 -5), lub\n-2 = 𝑎(3 -1)(3 + 5),\na następnie konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to może\notrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający błędnie zidentyfikuje miejsce zerowe funkcji 𝑓 jako (-1) lub 0,\na następnie konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to może\notrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.\n4. Jeżeli zdający poprawnie obliczy/poda\na) współrzędne wierzchołka wykresu funkcji 𝑔, ale zapisze błędne równanie\n0 = 𝑎(0 + 2)2 -2,\nb) współrzędne wierzchołka wykresu funkcji 𝑔 oraz drugie miejsce zerowe tej funkcji,\nale zapisze błędne równanie -2 = 𝑎⋅2 ⋅(2 + 4) lub 4 = 𝑎(0 -2)2 -2,\na następnie konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to może\notrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.\n5. Jeżeli zdający błędnie zidentyfikuje wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji 𝑔,\njako punkt (4, -2) albo (3, -1), albo (3, -3), a następnie konsekwentnie do\npopełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty\nza całe rozwiązanie.\n6. Jeżeli zdający obliczy poprawnie wartość współczynnika 𝑎 we wzorze funkcji 𝑔, lecz do\nwzoru funkcji 𝑓 wstawia inną wartość tego współczynnika, to otrzymuje 2 punkty za całe\nrozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nKorzystamy ze wzoru na postać kanoniczną funkcji kwadratowej i zapisujemy:\n𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-3)2 -2, gdzie 𝑎≠0.\nPonieważ liczba 0 jest jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej 𝑔 określonej\nwzorem 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥+ 1), więc:\n𝑔(0) = 0\nStąd:\n𝑓(0 + 1) = 0\n𝑓(1) = 0\nZatem:\n𝑎(1 -3)2 -2 = 0\n4𝑎-2 = 0\n𝑎= 1\n2\nZapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci kanonicznej:\n𝑓(𝑥) = 1\n2 (𝑥-3)2 -2\nPrzekształcamy wzór funkcji 𝑓 do postaci ogólnej:\n𝑓(𝑥) = 1\n2 (𝑥-3)2 -2 = 1\n2 (𝑥2 -6𝑥+ 9) -2 = 1\n2 𝑥2 -3𝑥+ 5\n2\nSposób II\nPonieważ liczba 0 jest jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej 𝑔 określonej\nwzorem 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥+ 1), więc:\n𝑔(0) = 0\nStąd:\n𝑓(0 + 1) = 0\n𝑓(1) = 0\nTo oznacza, że jednym z miejsc zerowych funkcji 𝑓 jest liczba 1.\nWykres funkcji 𝑓 jest symetryczny względem prostej o równaniu 𝑥= 3, zatem drugim\nmiejscem zerowym funkcji 𝑓 jest liczba 5.\nKorzystamy ze wzoru na postać iloczynową funkcji kwadratowej i zapisujemy:\n𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-1)(𝑥-5), gdzie 𝑎≠0.\nPunkt (3, -2) leży na wykresie funkcji 𝑓, więc:\n𝑓(3) = -2\n𝑎(3 -1)(3 -5) = -2\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n-4𝑎= -2\n𝑎= 1\n2\nZapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci iloczynowej:\n𝑓(𝑥) = 1\n2 (𝑥-1)(𝑥-5)\nPrzekształcamy wzór funkcji 𝑓 do postaci ogólnej:\n𝑓(𝑥) = 1\n2 (𝑥-1)(𝑥-5) = 1\n2 (𝑥2 -6𝑥+ 5) = 1\n2 𝑥2 -3𝑥+ 5\n2\nSposób III\nKorzystamy ze wzoru na postać ogólną funkcji kwadratowej i zapisujemy:\n𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐, gdzie 𝑎≠0.\nOdcięta wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji 𝑓 jest równa 3. Zatem:\n-𝑏\n2𝑎= 3\n𝑏= -6𝑎\nRzędna wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji 𝑓 jest równa (-2). Zatem:\n-∆\n4𝑎= -2\n-(𝑏2 -4𝑎𝑐)\n4𝑎\n= -2\nPodstawiamy do ostatniego równania w miejsce 𝑏 wyrażenie (-6𝑎) i otrzymujemy:\n-((-6𝑎)2 -4𝑎𝑐)\n4𝑎\n= -2\n4𝑎⋅(-9𝑎+ 𝑐)\n4𝑎\n= -2\n-9𝑎+ 𝑐= -2\n𝑐= 9𝑎-2\nPonieważ liczba 0 jest jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej 𝑔 określonej\nwzorem 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥+ 1), więc:\n𝑔(0) = 0\nZatem:\n𝑓(0 + 1) = 0\n𝑓(1) = 0\n𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 0\nStąd i z uzyskanych wcześniej równań obliczamy wartości współczynników 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐:\n𝑎+ (-6𝑎) + (9𝑎-2) = 0\n4𝑎= 2\n𝑎= 1\n2\n𝑏= -6𝑎= -6 ⋅1\n2 = -3\n𝑐= 9𝑎-2 = 9 ⋅1\n2 -2 = 5\n2\nZapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci ogólnej:\n𝑓(𝑥) = 1\n2 𝑥2 -3𝑥+ 5\n2\nSposób IV\nKorzystamy ze wzoru na postać ogólną funkcji kwadratowej i zapisujemy:\n𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐, gdzie 𝑎≠0.\nWykres funkcji 𝑔 powstaje w wyniku przesunięcia wykresu funkcji 𝑓 wzdłuż osi 𝑂𝑥\no 1 jednostkę w lewo. Zatem miejscem zerowym funkcji 𝑓 jest liczba 1.\nWykres funkcji 𝑓 jest symetryczny względem prostej o równaniu 𝑥= 3, więc drugim\nmiejscem zerowym funkcji 𝑓 jest liczba 5. Stąd i z tego, że punkt (3, -2) leży na wykresie\nfunkcji 𝑓, otrzymujemy układ równań:\n{\n𝑓(1) = 0\n𝑓(5) = 0\n𝑓(3) = -2\n{\n𝑎⋅12 + 𝑏⋅1 + 𝑐= 0\n𝑎⋅52 + 𝑏⋅5 + 𝑐= 0\n𝑎⋅32 + 𝑏⋅3 + 𝑐= -2\n{\n𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 0\n25𝑎+ 5𝑏+ 𝑐= 0\n9𝑎+ 3𝑏+ 𝑐= -2\n{\n𝑐= -𝑎-𝑏\n25𝑎+ 5𝑏+ 𝑐= 0\n9𝑎+ 3𝑏+ 𝑐= -2\n{ 25𝑎+ 5𝑏-𝑎-𝑏= 0\n9𝑎+ 3𝑏-𝑎-𝑏= -2\n{ 24𝑎+ 4𝑏= 0 /: 4\n8𝑎+ 2𝑏= -2 /: 2\n{ 6𝑎+ 𝑏= 0\n4𝑎+ 𝑏= -1\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nOdejmując równania stronami, otrzymujemy:\n(6𝑎+ 𝑏) -(4𝑎+ 𝑏) = 0 -(-1)\n2𝑎= 1\n𝑎= 1\n2\nStąd:\n𝑏= -6𝑎= -6 ⋅1\n2 = -3 oraz 𝑐= -𝑎-𝑏= -1\n2 -(-3) = 5\n2\nZapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci ogólnej:\n𝑓(𝑥) = 1\n2 𝑥2 -3𝑥+ 5\n2\nSposób V\nWykres funkcji 𝑔 powstaje w wyniku przesunięcia wykresu funkcji 𝑓 wzdłuż osi 𝑂𝑥\no 1 jednostkę w lewo. Zatem wykresem funkcji 𝑔 jest parabola o wierzchołku w punkcie\n(2, -2).\nKorzystamy ze wzoru na postać kanoniczną funkcji kwadratowej i zapisujemy:\n𝑔(𝑥) = 𝑎(𝑥-2)2 -2, gdzie 𝑎≠0.\nPonieważ liczba 0 jest jednym z miejsc zerowych funkcji 𝑔, więc:\n𝑔(0) = 0\nStąd:\n𝑎(0 -2)2 -2 = 0\n4𝑎= 2\n𝑎= 1\n2\nZapisujemy wzór funkcji 𝑔 w postaci kanonicznej:\n𝑔(𝑥) = 1\n2 (𝑥-2)2 -2\nPonieważ 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥+ 1), więc 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥-1).\nZapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci kanonicznej:\n𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥-1) = 1\n2 (𝑥-1 -2)2 -2 = 1\n2 (𝑥-3)2 -2\nPrzekształcamy wzór funkcji 𝑓 do postaci ogólnej:\n𝑓(𝑥) = 1\n2 (𝑥-3)2 -2 = 1\n2 (𝑥2 -6𝑥+ 9) -2 = 1\n2 𝑥2 -3𝑥+ 5\n2","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":28,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa","number":"33","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (0-4)\nCiąg arytmetyczny (𝑎𝑛) jest określony wzorem 𝑎𝑛= 3𝑛+ 5 dla każdej liczby\nnaturalnej 𝑛≥1. Trzywyrazowy ciąg (𝑎1 , 𝑎9 , 𝑎𝑘) jest geometryczny.\nOblicz 𝑘 oraz sumę 𝑆𝑘 początkowych 𝑘 wyrazów ciągu arytmetycznego (𝑎𝑛).\n\nEMAP-P0_100\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 33. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n5.3) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz i na sumę\n𝑛 początkowych wyrazów ciągu\narytmetycznego;\n5.4) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz […] ciągu\ngeometrycznego.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawne wyniki: 𝑘= 41, 𝑆𝑘= 2788.\n3 pkt - obliczenie 𝑘: 𝑘= 41\nALBO\n- obliczenie sumy 𝑆𝑘: 𝑆𝑘= 2788.\n2 pkt - obliczenie wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego: (8, 32, 128)\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑘, wynikającego z własności ciągu\ngeometrycznego, np. 322 = 8 ⋅(3𝑘+ 5).\n1 pkt - obliczenie wyrazów 𝑎1 oraz 𝑎9: 𝑎1 = 8, 𝑎9 = 32\nALBO\n- wykorzystanie własności ciągu geometrycznego i zapisanie związku między\nwyrazami 𝑎1 , 𝑎9 , 𝑎𝑘 , np. (𝑎9)2 = 𝑎1 ⋅𝑎𝑘 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający rozważa ciąg geometryczny (𝑎1, 𝑎𝑙, 𝑎𝑘), gdzie 𝑙 jest liczbą naturalną\nwiększą od 2 i różną od 9, oraz rozwiąże zadanie konsekwentnie do końca, to może\notrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nKorzystamy ze wzoru na 𝑛-ty wyraz ciągu (𝑎𝑛) i obliczamy wyrazy 𝑎1 oraz 𝑎9:\n𝑎1 = 3 ⋅1 + 5 = 8\n𝑎9 = 3 ⋅9 + 5 = 32\nZatem iloraz trzywyrazowego ciągu geometrycznego (8, 32, 𝑎𝑘) jest równy 32\n8 = 4.\nStąd:\n𝑎𝑘= 32 ⋅4 = 128\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nObliczamy 𝑘:\n𝑎𝑘= 128\n3𝑘+ 5 = 128\n3𝑘= 123\n𝑘= 41\nKorzystamy ze wzoru na sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i obliczamy\nsumę 𝑆41:\n𝑆41 = 𝑎1 + 𝑎41\n2\n⋅41 = 8 + 128\n2\n⋅41 = 2788\nSposób II\nKorzystamy ze wzoru na 𝑛-ty wyraz ciągu (𝑎𝑛) i zapisujemy:\n𝑎1 = 3 ⋅1 + 5 = 8\n𝑎9 = 3 ⋅9 + 5 = 32\n𝑎𝑘= 3𝑘+ 5\nZ warunków zadania wynika, że ciąg (8, 32, 3𝑘+ 5) jest geometryczny.\nZ własności ciągu geometrycznego otrzymujemy:\n322 = 8 ⋅(3𝑘+ 5)\n32 ⋅4 ⋅8 = 8 ⋅(3𝑘+ 5) /∶8\n128 = 3𝑘+ 5\n3𝑘= 123\n𝑘= 41\nKorzystamy ze wzoru na sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i obliczamy\nsumę 𝑆41:\n𝑆41 = 𝑎1 + 𝑎41\n2\n⋅41 = 8 + 128\n2\n⋅41 = 2788","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":30,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa","number":"34","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 34. (0-5)\nW układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (-4, -2) i 𝐵= (-2, 10) są wierzchołkami\ntrójkąta równoramiennego 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|. Wierzchołek 𝐶 leży na osi 𝑂𝑥\nukładu współrzędnych.\nOblicz współrzędne wierzchołka 𝐶 oraz pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶.\n\nEMAP-P0_100\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\n\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2015\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2015\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2015","answer":null,"answer_text":"Zadanie 34. (0-5)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n8.1) wyznacza równanie prostej\nprzechodzącej przez dwa dane punkty\n(w postaci kierunkowej lub ogólnej);\n8.3) wyznacza równanie prostej, która jest\nrównoległa lub prostopadła do prostej danej\nw postaci kierunkowej i przechodzi przez\ndany punkt;\n8.4) oblicza współrzędne punktu przecięcia\ndwóch prostych;\n8.6) oblicza odległość dwóch punktów.\nZasady oceniania\n5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawne wyniki: 𝐶= (21, 0), 𝑃𝐴𝐵𝐶= 148.\n4 pkt - obliczenie współrzędnych punktu 𝐶 oraz obliczenie długości odcinka 𝐴𝐵:\n𝐶= (21, 0) oraz |𝐴𝐵| = 2√37\nALBO\n- obliczenie współrzędnych punktu 𝐶 oraz obliczenie długości odcinka 𝐶𝑀:\n𝐶= (21, 0) oraz |𝐶𝑀| = 4√37,\nALBO\n- obliczenie współrzędnych punktu 𝐶 oraz zapisanie pola trójkąta 𝐴𝐵𝐶 w zależności\nod 𝑥𝐶, np. 𝐶= (21, 0) oraz 𝑃𝐴𝐵𝐶= 1\n2 ⋅|(-2 + 4)(0 + 2) -(10 + 2)(𝑥𝐶+ 4)|,\nALBO\n- obliczenie współrzędnych punktu 𝐶 oraz obliczenie pierwszej współrzędnej 𝑥0\npunktu przecięcia prostej 𝐴𝐵 z osią 𝑂𝑥: 𝐶= (21, 0) oraz 𝑥0 = -11\n3\n3 pkt - obliczenie współrzędnych punktu 𝐶: 𝐶= (21, 0)\nALBO\n- obliczenie długości odcinka 𝐴𝐵: |𝐴𝐵| = 2√37 oraz spełnienie jednego\nz poniższych warunków:\n1) wyznaczenie równania stopnia pierwszego symetralnej odcinka 𝐴𝐵, np.\n𝑦= -1\n6 (𝑥+ 3) + 4\n2) zapisanie równania, w którym niewiadomą jest pierwsza współrzędna\nwierzchołka 𝐶, np.:\n√(𝑥𝐶+ 4)2 + (0 + 2)2 = √(𝑥𝐶+ 2)2 + (0 -10)2\n(-1) ⋅(𝑥𝐶+ 3) + (-6) ⋅(-4) = 0\n1\n2 ⋅2√37 ⋅√𝑥𝐶\n2 + 6𝑥𝐶+ 25 = 1\n2 ⋅|(-2 + 4)(0 + 2) -(10 + 2)(𝑥𝐶+ 4)|\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nALBO\n- zapisanie pola trójkąta 𝐴𝐵𝐶 w zależności od 𝑥𝐶, np.\n𝑃𝐴𝐵𝐶= 1\n2 ⋅|(-2 + 4)(0 + 2) -(10 + 2)(𝑥𝐶+ 4)| oraz spełnienie jednego\nz poniższych warunków:\n1) wyznaczenie równania stopnia pierwszego symetralnej odcinka 𝐴𝐵, np.\n𝑦= -1\n6 (𝑥+ 3) + 4\n2) zapisanie równania, w którym niewiadomą jest pierwsza współrzędna\nwierzchołka 𝐶, np.:\n√(𝑥𝐶+ 4)2 + (0 + 2)2 = √(𝑥𝐶+ 2)2 + (0 -10)2\n(-1) ⋅(𝑥𝐶+ 3) + (-6) ⋅(-4) = 0\n1\n2 ⋅2√37 ⋅√𝑥𝐶\n2 + 6𝑥𝐶+ 25 = 1\n2 ⋅|(-2 + 4)(0 + 2) -(10 + 2)(𝑥𝐶+ 4)|\n2 pkt - wyznaczenie równania stopnia pierwszego symetralnej odcinka 𝐴𝐵, np.\n𝑦= -1\n6 (𝑥+ 3) + 4\nALBO\n- zapisanie równania, w którym niewiadomą jest pierwsza współrzędna wierzchołka 𝐶,\nnp.:\n√(𝑥𝐶+ 4)2 + (0 + 2)2 = √(𝑥𝐶+ 2)2 + (0 -10)2\n(-1) ⋅(𝑥𝐶+ 3) + (-6) ⋅(-4) = 0\n1\n2 ⋅2√37 ⋅√𝑥𝐶\n2 + 6𝑥𝐶+ 25 = 1\n2 ⋅|(-2 + 4)(0 + 2) -(10 + 2)(𝑥𝐶+ 4)|\nALBO\n- obliczenie długości boku 𝐴𝐵: |𝐴𝐵| = 2√37 oraz spełnienie jednego z poniższych\nwarunków:\n1) zapisanie współrzędnych środka 𝑀 odcinka 𝐴𝐵: 𝑀= (-3, 4)\n2) wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej 𝐴𝐵: 𝑎𝐴𝐵= 6 (lub\nzapisanie równania prostej 𝐴𝐵 w postaci ogólnej: 6𝑥-𝑦+ 22 = 0)\n3) zapisanie 𝐶= (𝑥𝐶, 0), gdzie 𝑥𝐶 jest niewiadomą\n4) zapisanie równości |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶| w zależności od współrzędnych punktu\n𝐶= (𝑥𝐶, 𝑦𝐶), np. √(𝑥𝐶+ 4)2 + (𝑦𝐶+ 2)2 = √(𝑥𝐶+ 2)2 + (𝑦𝐶-10)2\nALBO\n- zapisanie pola trójkąta 𝐴𝐵𝐶 w zależności od współrzędnych punktu 𝐶= (𝑥𝐶, 𝑦𝐶),\nnp.: 𝑃𝐴𝐵𝐶= 1\n2 ⋅|(-2 + 4)(𝑦𝐶+ 2) -(10 + 2)(𝑥𝐶+ 4)| oraz spełnienie jednego\nz poniższych warunków:\n1) zapisanie współrzędnych środka 𝑀 odcinka 𝐴𝐵: 𝑀= (-3, 4)\n2) wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej 𝐴𝐵: 𝑎𝐴𝐵= 6 (lub\nzapisanie równania prostej 𝐴𝐵 w postaci ogólnej: 6𝑥-𝑦+ 22 = 0)\n3) zapisanie 𝐶= (𝑥𝐶, 0), gdzie 𝑥𝐶 jest niewiadomą\n4) zapisanie równości |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶| w zależności od współrzędnych punktu\n𝐶= (𝑥𝐶, 𝑦𝐶), np. √(𝑥𝐶+ 4)2 + (𝑦𝐶+ 2)2 = √(𝑥𝐶+ 2)2 + (𝑦𝐶-10)2\n1 pkt - obliczenie długości boku 𝐴𝐵: |𝐴𝐵| = 2√37\nALBO\n- zapisanie pola trójkąta 𝐴𝐵𝐶 w zależności od współrzędnych punktu 𝐶= (𝑥𝐶, 𝑦𝐶),\nnp. 𝑃𝐴𝐵𝐶= 1\n2 ⋅|(-2 + 4)(𝑦𝐶+ 2) -(10 + 2)(𝑥𝐶+ 4)|,\nALBO\n- zapisanie współrzędnych środka 𝑀 odcinka 𝐴𝐵: 𝑀= (-3, 4),\nALBO\n- wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej 𝐴𝐵: 𝑎𝐴𝐵= 6 (lub zapisanie\nrównania prostej 𝐴𝐵 w postaci ogólnej: 6𝑥-𝑦+ 22 = 0),\nALBO\n- zapisanie 𝐶= (𝑥𝐶, 0), gdzie 𝑥𝐶 jest niewiadomą,\nALBO\n- zapisanie równości |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶| w zależności od współrzędnych punktu\n𝐶= (𝑥𝐶, 𝑦𝐶), np. √(𝑥𝐶+ 4)2 + (𝑦𝐶+ 2)2 = √(𝑥𝐶+ 2)2 + (𝑦𝐶-10)2.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający rozważa punkt 𝐶 leżący na osi 𝑂𝑥 i w rozwiązaniu popełnia tylko błędy\nrachunkowe, które nie przekreślają poprawności rozumowania, to za całe rozwiązanie\nmoże otrzymać co najwyżej 4 punkty.\n2. Jeżeli zdający rysuje w układzie współrzędnych symetralną odcinka 𝐴𝐵 i odczytuje\nwspółrzędne punktu 𝐶, i zapisuje 𝐶= (21, 0) oraz sprawdzi rachunkowo, że\n|𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|, to za tę część rozwiązania otrzymuje 3 punkty (jeżeli tego sprawdzenia nie\nwykona, to otrzymuje za tę część rozwiązania 2 punkty, a gdy odczyta błędne\nwspółrzędne punktu 𝐶, to otrzymuje 0 punktów).\n3. Jeżeli zdający nie sporządzi rysunku i zapisze tylko 𝐶= (21, 0), to otrzymuje 0 punktów;\njeżeli zdający nie sporządzi rysunku, lecz zapisze 𝐶= (21, 0) i kontynuuje rozwiązanie,\nto może otrzymać co najwyżej 2 punkty.\n4. Jeżeli jedynym błędem zdającego jest:\na) zastosowanie niepoprawnego wzoru na współczynnik kierunkowy prostej,\nb) zastosowanie niepoprawnego związku między współczynnikami kierunkowymi\nprostych prostopadłych,\nc) zastosowanie niepoprawnego wzoru na współrzędne środka odcinka,\nd) zastosowanie niepoprawnego warunku prostopadłości wektorów,\ne) zastosowanie niepoprawnego wzoru na odległość dwóch punktów w układzie\nwspółrzędnych,\nf) zastosowanie niepoprawnych własności symetralnej,\ng) przyjęcie, że wierzchołek 𝐶 leży poza osią 𝑂𝑥,\ni rozwiązanie zostanie doprowadzone konsekwentnie do końca, to zdający może otrzymać\n3 punkty za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nJeżeli zdający popełni więcej niż jeden z wymienionych błędów a)-g), to otrzymuje\n0 punktów, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.\n5. Jeżeli zdający rozważa dwa różne położenia punktu 𝐶 na osi 𝑂𝑥 i nie odrzuca\nniewłaściwego rozwiązania, to otrzymuje co najwyżej 4 punkty.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nObliczamy współczynnik kierunkowy prostej 𝐴𝐵:\n𝑎𝐴𝐵= 10 + 2\n-2 + 4 = 6\nZatem współczynnik kierunkowy 𝑎𝑘 symetralnej 𝑘 odcinka 𝐴𝐵 jest równy:\n𝑎𝑘= -1\n6\nSymetralna 𝑘 przechodzi przez środek 𝑀 odcinka 𝐴𝐵. Obliczamy współrzędne punktu 𝑀:\n𝑀= (-4 -2\n2\n, -2 + 10\n2\n) = (-3, 4)\nZatem prosta 𝑘 ma równanie postaci:\n𝑦= -1\n6 (𝑥+ 3) + 4\n𝑦= -1\n6 𝑥+ 7\n2\nPunkt 𝐶 jest punktem przecięcia symetralnej 𝑘 z osią 𝑂𝑥, więc współrzędne\npunktu 𝐶= (𝑥𝐶, 𝑦𝐶) spełniają równania:\n𝑦𝐶= -1\n6 𝑥𝐶+ 7\n2 oraz 𝑦𝐶= 0\nStąd otrzymujemy:\n0 = -1\n6 𝑥𝐶+ 7\n2 oraz 𝑦𝐶= 0\n𝑥𝐶= 21 oraz 𝑦𝐶= 0\nZatem 𝐶= (21, 0).\nObliczamy długość podstawy 𝐴𝐵 trójkąta 𝐴𝐵𝐶:\n|𝐴𝐵| = √(-2 + 4)2 + (10 + 2)2 = √22 + 122 = √4 + 144 = √148 = 2√37\nObliczamy wysokość ℎ trójkąta 𝐴𝐵𝐶 poprowadzoną z wierzchołka 𝐶:\nℎ= |𝐶𝑀| = √(-3 -21)2 + (4 -0)2 = √(-24)2 + 42 = √576 + 16 = √592 = 4√37\nObliczamy pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶:\n𝑃𝐴𝐵𝐶= 1\n2 ⋅2√37 ⋅4√37 = 4 ⋅37 = 148\nSposób II\nPonieważ wierzchołek 𝐶 leży na osi 𝑂𝑥, więc jego współrzędne są równe 𝐶= (𝑥𝐶, 0).\nPonieważ |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|, to |𝐴𝐶|2 = |𝐵𝐶|2. Stąd i ze wzoru na odległość między dwoma\npunktami otrzymujemy równanie:\n(𝑥𝐶+ 4)2 + (0 + 2)2 = (𝑥𝐶+ 2)2 + (0 -10)2\n𝑥𝐶\n2 + 8𝑥𝐶+ 16 + 4 = 𝑥𝐶\n2 + 4𝑥𝐶+ 4 + 100\n4𝑥𝐶= 84\n𝑥𝐶= 21\nZatem 𝐶= (21, 0).\nKorzystamy ze wzoru na pole trójkąta o danych współrzędnych trzech wierzchołków\ni obliczamy pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶:\n𝑃𝐴𝐵𝐶= 1\n2 ⋅|(-2 + 4)(0 + 2) -(10 + 2)(21 + 4)| = 1\n2 ⋅|4 -300| = 1\n2 ⋅296 = 148\nSposób III\nPonieważ wierzchołek 𝐶 leży na osi 𝑂𝑥, więc jego współrzędne są równe 𝐶= (𝑥𝐶, 0).\nObliczamy współrzędne środka 𝑀 odcinka 𝐴𝐵:\n𝑀= (-4 -2\n2\n, -2 + 10\n2\n) = (-3, 4)\nObliczamy współrzędne wektorów 𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ oraz 𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ :\n𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [-4 + 3, -2 -4] = [-1, -6]\n𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [𝑥𝐶+ 3, 0 -4] = [𝑥𝐶+ 3, -4]\nWektor 𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ jest prostopadły do wektora 𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , zatem:\n(-1) ⋅(𝑥𝐶+ 3) + (-6) ⋅(-4) = 0\n-𝑥𝐶-3 + 24 = 0\n𝑥𝐶= 21\nZatem 𝐶= (21, 0).\nObliczamy długość podstawy 𝐴𝐵 trójkąta 𝐴𝐵𝐶:\n|𝐴𝐵| = √(-2 + 4)2 + (10 + 2)2 = √22 + 122 = √4 + 144 = √148 = 2√37\nObliczamy wysokość ℎ trójkąta 𝐴𝐵𝐶 poprowadzoną z wierzchołka 𝐶:\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nℎ= |𝐶𝑀| = √(-3 -21)2 + (4 -0)2 = √(-24)2 + 42 = √576 + 16 = √592 = 4√37\nObliczamy pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶:\n𝑃𝐴𝐵𝐶= 1\n2 ⋅2√37 ⋅4√37 = 4 ⋅37 = 148\nSposób IV\nObliczamy długość podstawy 𝐴𝐵 trójkąta 𝐴𝐵𝐶:\n|𝐴𝐵| = √(-2 + 4)2 + (10 + 2)2 = √22 + 122 = √4 + 144 = √148 = 2√37\nObliczamy współrzędne środka 𝑀 podstawy 𝐴𝐵 trójkąta 𝐴𝐵𝐶:\n𝑀= (-4 -2\n2\n, -2 + 10\n2\n) = (-3, 4)\nPonieważ wierzchołek 𝐶 leży na osi 𝑂𝑥, więc jego współrzędne są równe 𝐶= (𝑥𝐶, 0).\nZapisujemy wysokość ℎ trójkąta 𝐴𝐵𝐶 poprowadzoną z wierzchołka 𝐶 w zależności od 𝑥𝐶:\nℎ= |𝐶𝑀| = √(-3 -𝑥𝐶)2 + (4 -0)2 = √𝑥𝐶\n2 + 6𝑥𝐶+ 9 + 16 = √𝑥𝐶\n2 + 6𝑥𝐶+ 25\nZapisujemy pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 w zależności od 𝑥𝐶:\n𝑃𝐴𝐵𝐶= 1\n2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅ℎ= 1\n2 ⋅2√37 ⋅√𝑥𝐶\n2 + 6𝑥𝐶+ 25 = √37 ⋅√𝑥𝐶\n2 + 6𝑥𝐶+ 25\nPole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 możemy też wyrazić w zależności od 𝑥𝐶, korzystając ze wzoru na pole\ntrójkąta o danych współrzędnych trzech wierzchołków:\n𝑃𝐴𝐵𝐶= 1\n2 ⋅|(-2 + 4)(0 + 2) -(10 + 2)(𝑥𝐶+ 4)| = 1\n2 ⋅|4 -12𝑥𝐶-48| = 2 ⋅|3𝑥𝐶+ 11|\nPo przyrównaniu otrzymanych wzorów na pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 dostajemy:\n√37 ⋅√𝑥𝐶\n2 + 6𝑥𝐶+ 25 = 2 ⋅|3𝑥𝐶+ 11|\nObie strony uzyskanego równania są dodatnie. Podnosimy obie strony równania do\nkwadratu i przekształcamy równanie do równania kwadratowego:\n37 ⋅(𝑥𝐶\n2 + 6𝑥𝐶+ 25) = 4 ⋅(3𝑥𝐶+ 11)2\n37 ⋅(𝑥𝐶\n2 + 6𝑥𝐶+ 25) = 4 ⋅(9𝑥𝐶\n2 + 66𝑥𝐶+ 121)\n37𝑥𝐶\n2 + 222𝑥𝐶+ 925 = 36𝑥𝐶\n2 + 264𝑥𝐶+ 484\n𝑥𝐶\n2 -42𝑥𝐶+ 441 = 0\n(𝑥𝐶-21)2 = 0\n𝑥𝐶= 21\nZatem 𝐶= (21, 0).\nObliczamy pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶:\n𝑃𝐴𝐵𝐶= 2 ⋅|3𝑥𝐶+ 11| = 2 ⋅|3 ⋅21 + 11| = 148\nSposób V\nWyznaczamy równanie prostej 𝐴𝐵:\n(𝑦+ 2)(-2 + 4) -(10 + 2)(𝑥+ 4) = 0\n2𝑦+ 4 -12𝑥-48 = 0\n𝑦= 6𝑥+ 22\nZatem współczynnik kierunkowy 𝑎𝑘 symetralnej 𝑘 odcinka 𝐴𝐵 jest równy:\n𝑎𝑘= -1\n6\nSymetralna 𝑘 przechodzi przez środek 𝑀 odcinka 𝐴𝐵. Obliczamy współrzędne punktu 𝑀:\n𝑀= (-4 -2\n2\n, -2 + 10\n2\n) = (-3, 4)\nZatem prosta 𝑘 ma równanie postaci:\n𝑦= -1\n6 (𝑥+ 3) + 4\n𝑦= -1\n6 𝑥+ 7\n2\nPunkt 𝐶 jest punktem przecięcia symetralnej 𝑘 z osią 𝑂𝑥, więc współrzędne\npunktu 𝐶= (𝑥𝐶, 𝑦𝐶) spełniają równania:\n𝑦𝐶= -1\n6 𝑥𝐶+ 7\n2 oraz 𝑦𝐶= 0\nStąd otrzymujemy:\n0 = -1\n6 𝑥𝐶+ 7\n2 oraz 𝑦𝐶= 0\n𝑥𝐶= 21 oraz 𝑦𝐶= 0\nZatem 𝐶= (21, 0).\nOznaczmy przez 𝐷 punkt przecięcia prostej 𝐴𝐵 z osią 𝑂𝑥. Współrzędne\npunktu 𝐷= (𝑥𝐷, 𝑦𝐷) spełniają równania:\n𝑦𝐷= 6𝑥𝐷+ 22 oraz 𝑦𝐷= 0\nStąd otrzymujemy:\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n0 = 6𝑥𝐷+ 22 oraz 𝑦𝐷= 0\n𝑥𝐷= -11\n3 oraz 𝑦𝐷= 0\nZatem 𝐷= (-11\n3 , 0).\nObliczamy długość odcinka 𝐶𝐷:\n|𝐶𝐷| = |21 -(-\n11\n3 )| =\n74\n3\nRozważmy trójkąty 𝐴𝐶𝐷 oraz 𝐷𝐶𝐵.\nWysokość trójkąta 𝐴𝐶𝐷 poprowadzona z wierzchołka 𝐴 na podstawę 𝐶𝐷 jest równa 2.\nObliczamy pole trójkąta 𝐴𝐶𝐷:\n𝑃𝐴𝐶𝐷= 1\n2 ⋅|𝐶𝐷| ⋅2 = |𝐶𝐷| = 74\n3\nWysokość trójkąta 𝐷𝐶𝐵 poprowadzona z wierzchołka 𝐵 na podstawę 𝐶𝐷 jest równa 10.\nObliczamy pole trójkąta 𝐷𝐶𝐵:\n𝑃𝐷𝐶𝐵= 1\n2 ⋅|𝐶𝐷| ⋅10 = 5 ⋅|𝐶𝐷| = 5 ⋅74\n3 = 370\n3\nObliczamy pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶:\n𝑃𝐴𝐵𝐶= 𝑃𝐴𝐶𝐷+ 𝑃𝐷𝐶𝐵= 74\n3 + 370\n3\n= 444\n3\n= 148\nOcena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią\nObowiązują Zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez\nstwierdzonej dyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:\na) ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną\ndyskalkulią (punkty 1.-12.);\nb) dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy\nosób ze stwierdzoną dyskalkulią - egzamin maturalny z matematyki, poziom podstawowy,\ntermin główny 2026.\nI. Ogólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną\ndyskalkulią\n1. Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek wynikających z:\nbłędnego przepisania\nprzestawienia cyfr\nzapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie\nprzestawienia położenia przecinka\nprzestawienia położenia znaku liczby.\n2. W przypadku błędów wynikających ze zmiany znaku liczby należy w każdym zadaniu\noddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza\numiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania\nbadanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.\n3. We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę rozwiązania,\nczęści lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej 1 punkt, zgodnie\nz kryteriami do poszczególnych zadań.\n4. Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub zapisuje\nnawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne rozumowanie lub\nstosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt za rozwiązanie\nzadania.\n5. W przypadku zadania wymagającego wyznaczenia pierwiastków trójmianu\nkwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę\nwyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania\nwartościach liczbowych.\n6. W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający\nmoże otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności\nkwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.\n7. W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej zdający\nmoże otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji kwadratowej,\nistotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.\n8. W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych\nlub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie\ntakiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n9. W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na\npłaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu\nrozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur\ngeometrycznych, lub zapisze zależności pozwalające rozwiązać zadanie.\n10. W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać\nprzynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających\nrozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje prawidłową metodę\nwyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.\n11. W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli\npodaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia\nrozwiązania.\n12. W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub\ngeometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która\nwyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać\n1 punkt.\nII. Dodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób\nze stwierdzoną dyskalkulią\nZadanie 26.\n1 pkt - zastosowanie poprawnej metody obliczenia pierwiastków trójmianu kwadratowego\n3𝑥2 -2𝑥-8, tzn. zastosowanie wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego\ni obliczenie tych pierwiastków,\nALBO\n- konsekwentne (do otrzymanego w wyniku popełnienia błędów o charakterze\ndyskalkulicznym ujemnego lub równego zero wyróżnika) narysowanie paraboli,\nALBO\n- poprawne rozwiązanie nierówności 3𝑥2 + 4𝑥≥0 (tzn. stosuje się punkt 6.\nogólnych zasad oceniania),\nALBO\n- konsekwentne (do wyznaczonych przez siebie pierwiastków oraz do rozpatrywanego\ntrójmianu i nierówności) wyznaczenie zbioru rozwiązań nierówności.\nUwagi:\n1. Nie stosuje się uwag 3., 4. i 5. z zasad oceniania arkusza standardowego.\n2. Akceptowane jest zapisanie pierwiastków trójmianu w postaci 𝑎+ 𝑏√𝑐, gdzie 𝑎, 𝑏, 𝑐 są\nliczbami wymiernymi.\nZadanie 27.\n1 pkt - przekształcenie nierówności 𝑎(𝑎-𝑏) ≥𝑏(𝑎-3𝑏) do postaci 𝑎2 -2𝑎𝑏+ 3𝑏2 ≥0.\nZadanie 28.\n1 pkt - zapisanie równania 0,75 ⋅(35𝑥+ 25𝑦) = 4665\nALBO\n- obliczenie przychodu organizatorów przedstawienia: 6220 zł.\nZadanie 29.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 30.\n1 pkt - zastosowanie definicji funkcji trygonometrycznej lub związków miarowych w trójkącie\no kątach 30°, 60°, 90° i zapisanie równania z jedną niewiadomą (wysokością\nostrosłupa), np.: 𝐻\n4√3 = tg 30°, 𝐻\n4√3 =\n√3\n3 ,\nALBO\n- obliczenie długości krawędzi podstawy ostrosłupa: 𝑎= 4√6.\nZadanie 31.\n1 pkt - zapisanie jedynie liczby 25 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich\nzdarzeń elementarnych).\nUwagi:\n1. W ocenie rozwiązania tego zadania (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi ze\nstandardowych zasad oceniania.\n2. Jeżeli zdający poprawnie wypisze/zaznaczy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające\nzdarzeniu 𝐴, lecz popełni błąd w ich zliczeniu (np. |𝐴| = 8) i konsekwentnie zapisze\nwynik (np. 8\n25), to otrzymuje 2 punkty.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZadanie 32.\n2 pkt - zapisanie miejsc zerowych funkcji 𝑓: 𝑥1 = 1, 𝑥2 = 5,\nALBO\n- zapisanie wzoru funkcji 𝑔 w postaci 𝑔(𝑥) = 𝑎(𝑥-2)2 -2,\nALBO\n- zapisanie wzoru funkcji 𝑔 w postaci 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥(𝑥-4),\nALBO\n- zapisanie, że wierzchołkiem wykresu funkcji 𝑔 jest punkt o współrzędnych (2, -2),\noraz zapisanie, że drugim miejscem zerowym funkcji 𝑔 jest liczba 4.\n1 pkt - zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-𝑝)2 + 𝑞 oraz zapisanie\n𝑝= 3 oraz 𝑞= -2\nALBO\n- zapisanie jednego z równań:\n-𝑏\n2𝑎= 3\n-∆\n4𝑎= -2\n𝑎⋅32 + 𝑏⋅3 + 𝑐= -2\n𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 0\nZadanie 33.\n2 pkt - obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego (𝑎1, 𝑎9, 𝑎𝑘): 𝑞= 4.\nALBO\n- obliczenie wyrazów 𝑎1 oraz 𝑎9: 𝑎1 = 8, 𝑎9 = 32, oraz wykorzystanie własności\nciągu geometrycznego i zapisanie związku między wyrazami 𝑎1\n, 𝑎9\n, 𝑎𝑘\n, np.\n(𝑎9)2 = 𝑎1 ⋅𝑎𝑘 .\n1 pkt - obliczenie wyrazu 𝑎1: 𝑎1 = 8\nALBO\n- obliczenie wyrazu 𝑎9: 𝑎9 = 32.\nZadanie 34.\n1 pkt - zapisanie drugiej współrzędnej punktu 𝐶, np. 𝑦𝐶= 0.","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad-34.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":32,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}