{"paper":{"id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","variant":"stara","exam_pdf":"matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona.pdf","key_pdf":"matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona-odpowiedzi/matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona-odpowiedzi.pdf","question_count":15,"source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/1","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1. (0-1)\nFunkcja kwadratowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 4. W układzie współrzędnych\n(𝑥, 𝑦) styczna do wykresu tej funkcji w punkcie (2, 8) przecina oś 𝑂𝑥 w punkcie\nA. (-1, 0)\nB. (0, 0)\nC. (1, 0)\nD. (2, 0)","answer":"B","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nWymagania określone w podstawie programowej1\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n11.3R) korzysta z geometrycznej i fizycznej\ninterpretacji pochodnej.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/2","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2. (0-1)\nCiąg geometryczny (𝑎𝑛) jest określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1. Iloraz tego ciągu\njest równy 2\n3 , a suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 9\n4 .\nPierwszy wyraz tego ciągu jest równy\nA. 3\n4\nB. 4\n3\nC. 3\n2\nD. 27\n4","answer":"A","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n5.3R) rozpoznaje szeregi geometryczne\nzbieżne i oblicza ich sumy.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/3","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3. (0-1)\nNajmniejszą liczbą naturalną 𝑛 spełniającą nierówność\n|2𝑛-5\n3𝑛+ 2 -2\n3| < 1\n20\njest\nA. 41\nB. 42\nC. 82\nD. 84","answer":"B","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n3.8R) rozwiązuje proste nierówności\nwymierne […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\n1 Rozporządzenie Ministra Edukacji Narodowej z dnia 27 sierpnia 2012 r. w sprawie podstawy programowej\nwychowania przedszkolnego oraz kształcenia ogólnego w poszczególnych typach szkół (Dz.U. 2012 poz. 977).\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nRozwiązanie\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/4","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4. (0-1)\nLiczby 𝑥 oraz 𝑦 są takimi dodatnimi liczbami rzeczywistymi, że 𝑥⋅𝑦≠1 i 𝑦≠1 oraz\nlog 𝑥⋅𝑦𝑥= 2026.\nLiczba log𝑦(𝑥⋅𝑦) jest równa\nA. (-\n1\n2025)\nB. (-2025)\nC.\n1\n2025\nD. 2025\n\nEMAP-R0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-R0_100","answer":"A","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n1.2R) stosuje w obliczeniach wzór na\nlogarytm potęgi oraz wzór na zamianę\npodstawy logarytmu.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA\nZADANIE OTWARTE (KODOWANE)","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"5","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (0-2)\nCiąg (𝑎𝑛) jest określony wzorem rekurencyjnym\n{\n𝑎1 = √2\n𝑎𝑛+1 = 4\n𝑎𝑛\ndla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.\nOblicz dziesiąty wyraz tego ciągu.\nW poniższe kratki wpisz kolejno - od lewej do prawej - pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po\nprzecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-R0_100","answer":"8","answer_text":"Zadanie 5. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n5.1R) wyznacza wyrazy ciągu określonego\nwzorem rekurencyjnym.\nZasady oceniania\n2 pkt - odpowiedź całkowicie poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\n8\n2\n8\nZADANIA OTWARTE (NIEKODOWANE)\nUwagi ogólne:\n1. Akceptowane są wszystkie rozwiązania merytorycznie poprawne i spełniające warunki\nzadania.\n2. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe, które na żadnym etapie rozwiązania nie\nupraszczają i nie zmieniają danego zagadnienia, lecz stosuje poprawną metodę\ni konsekwentnie do popełnionych błędów rachunkowych rozwiązuje zadanie, to może\notrzymać co najwyżej (𝑛-1) punktów (gdzie 𝑛 jest maksymalną możliwą do uzyskania\nliczbą punktów za dane zadanie).","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"6","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (0-3)\nZe zbioru ośmiu liczb {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} losujemy bez zwracania osiem razy po jednej\nliczbie. Wylosowane liczby ustawiamy w ciąg zgodnie z kolejnością losowania.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 polegającego na tym, że wylosowane liczby\nutworzą ciąg, w którym iloczyn każdych trzech kolejnych wyrazów będzie liczbą podzielną\nprzez 3. Wynik podaj w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 6. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n10.3) oblicza prawdopodobieństwa\nw prostych sytuacjach, stosując klasyczną\ndefinicję prawdopodobieństwa.\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 1\n28 .\n2 pkt - wyznaczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych oraz wyznaczenie liczby\nwszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴, np.\n|Ω| = 8! oraz |𝐴| = 2 ⋅6!.\n1 pkt - wyznaczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych, np. |Ω| = 8!\nALBO\n- zapisanie, że trzecim i szóstym wyrazem ciągu, który jest zdarzeniem elementarnym\nsprzyjającym zdarzeniu 𝐴, musi być liczba podzielna przez 3,\nALBO\n- wyznaczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴,\nnp. |𝐴| = 2 ⋅6!.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający zapisze, że trzecim i szóstym wyrazem ciągu, który jest zdarzeniem\nelementarnym sprzyjającym zdarzeniu 𝐴, musi być liczba podzielna przez 3, ale -\nobliczając liczbę zdarzeń sprzyjających zdarzeniu 𝐴 - zapisze |𝐴| = 6! (lub\n|𝐴| = 2 ⋅2 ⋅6!) oraz rozwiąże zadanie konsekwentnie do końca, to może otrzymać\n2 punkty.\n2. Jeżeli zdający zapisze |Ω| = (8\n2) (lub |Ω| = 8 ⋅7) bez stosownego komentarza i na tym\nzakończy, to otrzymuje 0 punktów.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie permutacje zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Jest to\nmodel klasyczny. Niech Ω oznacza zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych. Wówczas\n|Ω| = 8!.\nIloczyn trzech liczb całkowitych jest podzielny przez 3, gdy co najmniej jedna z tych liczb jest\npodzielna przez 3. Wobec tego, aby iloczyn trzech kolejnych wyrazów ciągu był liczbą\npodzielną przez 3, to jeden z tych trzech wyrazów musi być liczbą podzielną przez 3.\nW zbiorze {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} są dokładnie dwie liczby podzielne przez 3: 3 oraz 6.\nNiech ciąg (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4, 𝑎5, 𝑎6, 𝑎7, 𝑎8) będzie zdarzeniem elementarnym, które sprzyja\nzdarzeniu 𝐴. W tym ciągu liczbowym znajdują się dokładnie dwie liczby podzielne przez 3:\n3 oraz 6. Zatem jedna z tych liczb znajduje się wśród wyrazów 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 (gdyż iloczyn\n𝑎1 ⋅𝑎2 ⋅𝑎3 jest podzielny przez 3), a druga z nich znajduje się wśród wyrazów 𝑎6, 𝑎7, 𝑎8\n(gdyż iloczyn 𝑎6 ⋅𝑎7 ⋅𝑎8 jest podzielny przez 3), więc wyrazy 𝑎4 oraz 𝑎5 nie są\npodzielne przez 3. Stąd i z tego, że iloczyny 𝑎3 ⋅𝑎4 ⋅𝑎5 oraz 𝑎4 ⋅𝑎5 ⋅𝑎6 są podzielne\nprzez 3, wynika, że wyrazy 𝑎3 oraz 𝑎6 muszą być podzielne przez 3, tj.\n{𝑎3, 𝑎6} = {3, 6}.\nJeżeli zdarzenie elementarne jest ciągiem, w którym trzecim i szóstym wyrazem są liczby 3\noraz 6, to iloczyn każdych trzech kolejnych wyrazów takiego ciągu jest liczbą podzielną\nprzez 3. Zatem takie zdarzenie elementarne sprzyja zdarzeniu 𝐴.\nDlatego zdarzeniu 𝐴 sprzyjają jedynie zdarzenia elementarne będące ciągami, których\ntrzecim oraz szóstym wyrazem są liczby 3 oraz 6. Liczba wszystkich takich ciągów jest\nrówna |𝐴| = 2 ⋅6!.\nObliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴:\n𝑃(𝐴) = |𝐴|\n|Ω| = 2 ⋅6!\n8!\n= 1\n28","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"7","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (0-3)\nWykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej 𝑥 i dla każdej dodatniej liczby\nrzeczywistej 𝑦 prawdziwa jest nierówność\n1\n𝑥+ 1\n𝑦≤𝑥\n𝑦2 + 𝑦\n𝑥2\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 7. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\nZdający:\n2.1R) używa wzorów skróconego mnożenia\nna (𝑎± 𝑏)3 oraz 𝑎3 ± 𝑏3.\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania, tj.:\nprzekształcenie nierówności 1\n𝑥+ 1\n𝑦≤𝑥\n𝑦2 + 𝑦\n𝑥2 do postaci (𝑥-𝑦)2 ≥0 (lub do\npostaci (𝑥-𝑦)2\n𝑥2𝑦2\n≥0) i zapisanie, że kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest\nnieujemny\nALBO\nprzekształcenie nierówności 1\n𝑥+ 1\n𝑦≤𝑥\n𝑦2 + 𝑦\n𝑥2 do postaci (𝑥+ 𝑦)(𝑥-𝑦)2 ≥0\n(lub do postaci (𝑥 + 𝑦)(𝑥 - 𝑦)2\n𝑥2𝑦2\n≥0) oraz uzasadnienie, że dla liczb dodatnich\n𝑥, 𝑦 nierówność (𝑥+ 𝑦)(𝑥-𝑦)2 ≥0 (lub nierówność (𝑥 + 𝑦)(𝑥 - 𝑦)2\n𝑥2𝑦2\n≥0)\njest prawdziwa,\nALBO\nobliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji 𝑓 oraz uzasadnienie, że funkcja\n𝑓 osiąga wartość najmniejszą dla 𝑥= 𝑦 i obliczenie 𝑓(𝑦).\n2 pkt - przekształcenie nierówności 1\n𝑥+ 1\n𝑦≤𝑥\n𝑦2 + 𝑦\n𝑥2 do postaci 𝑥2 -2𝑥𝑦+ 𝑦2 ≥0 (lub\ndo postaci 𝑥2 - 2𝑥𝑦 + 𝑦2\n𝑥2𝑦2\n≥0)\nALBO\n- przekształcenie nierówności 1\n𝑥+ 1\n𝑦≤𝑥\n𝑦2 + 𝑦\n𝑥2 do postaci (𝑥+ 𝑦)(𝑥-𝑦)2 ≥0 (lub\ndo postaci (𝑥 + 𝑦)(𝑥 - 𝑦)2\n𝑥2𝑦2\n≥0),\nALBO\n- obliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji 𝑓: 𝑥= 𝑦.\n1 pkt - przekształcenie nierówności do postaci 𝑊(𝑥, 𝑦) ≥0 (lub do postaci\n𝑊(𝑥,𝑦)\n𝑥2𝑦2 ≥0), gdzie 𝑊 jest wielomianem zmiennych 𝑥 oraz 𝑦, np.:\n𝑥3 + 𝑦3 -𝑥𝑦2 -𝑥2𝑦≥0, 𝑥3 + 𝑦3 -𝑥𝑦(𝑥+ 𝑦) ≥0, 𝑥3 + 𝑦3 - 𝑥𝑦2 - 𝑥2𝑦\n𝑥2𝑦2\n≥0\nALBO\n- przekształcenie nierówności do postaci (𝑥 + 𝑦)(𝑥2 - 𝑥𝑦 + 𝑦2)\n𝑥2𝑦2\n≥𝑥 + 𝑦\n𝑥𝑦 ,\nALBO\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n- rozważenie funkcji 𝑓(𝑥) = 𝑥\n𝑦2 + 𝑦\n𝑥2 - 1\n𝑥-1\n𝑦 zmiennej dodatniej 𝑥 z parametrem\n𝑦> 0 oraz wyznaczenie pochodnej tej funkcji, np. 𝑓′(𝑥) = 1\n𝑦2 -2𝑦\n𝑥3 + 1\n𝑥2 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość nierówności jedynie dla wybranych wartości 𝑥 i 𝑦,\nto otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający przekształci nierówność do postaci (𝑥2 -𝑦2)(𝑥-𝑦) ≥0, a następnie\nuzasadni prawdziwość tej nierówności w przypadku, gdy 𝑥> 𝑦 oraz w przypadku, gdy\n𝑥< 𝑦, a pominie przypadek 𝑥= 𝑦, to otrzymuje 2 punkty.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I (suma sześcianów)\nZ założenia 𝑥> 0 oraz 𝑦> 0, więc 𝑥2𝑦2 > 0. Mnożymy obie strony nierówności\n1\n𝑥+ 1\n𝑦≤𝑥\n𝑦2 + 𝑦\n𝑥2 przez 𝑥2𝑦2 i otrzymujemy\n𝑥𝑦2 + 𝑦𝑥2 ≤𝑥3 + 𝑦3\nStosujemy wzór na sumę sześcianów oraz kwadrat różnicy i dostajemy:\n𝑥𝑦(𝑥+ 𝑦) ≤(𝑥+ 𝑦)(𝑥2 -𝑥𝑦+ 𝑦2)\n0 ≤(𝑥+ 𝑦)(𝑥2 -2𝑥𝑦+ 𝑦2)\n0 ≤(𝑥+ 𝑦)(𝑥-𝑦)2\nPonieważ (𝑥+ 𝑦) jest dodatnie jako suma dwóch liczb dodatnich 𝑥 oraz 𝑦, a ponadto\n(𝑥-𝑦)2 jest nieujemne jako kwadrat liczby rzeczywistej (𝑥-𝑦), więc (𝑥+ 𝑦)(𝑥-𝑦)2\njest nieujemne jako iloczyn liczby dodatniej i nieujemnej. Zatem nierówność\n0 ≤(𝑥+ 𝑦)(𝑥-𝑦)2 jest prawdziwa dla każdej liczby dodatniej 𝑥 i dla każdej liczby\ndodatniej 𝑦. To oznacza, że dla każdej liczby dodatniej 𝑥 i każdej liczby dodatniej 𝑦\nnierówność 1\n𝑥+ 1\n𝑦≤𝑥\n𝑦2 + 𝑦\n𝑥2 jest również prawdziwa.\nTo należało wykazać.\nSposób II (grupowanie)\nZ założenia 𝑥> 0 oraz 𝑦> 0, więc 𝑥2𝑦2 > 0. Mnożymy obie strony nierówności\n1\n𝑥+ 1\n𝑦≤𝑥\n𝑦2 + 𝑦\n𝑥2 przez 𝑥2𝑦2 oraz stosujemy wzór na różnicę kwadratów i otrzymujemy\nkolejno:\n𝑥𝑦2 + 𝑦𝑥2 ≤𝑥3 + 𝑦3\n0 ≤𝑥3 -𝑥𝑦2 + 𝑦3 -𝑦𝑥2\n0 ≤𝑥(𝑥2 -𝑦2) + 𝑦(𝑦2 -𝑥2)\n0 ≤(𝑥-𝑦)(𝑥2 -𝑦2)\n0 ≤(𝑥-𝑦)2(𝑥+ 𝑦)\nPonieważ (𝑥+ 𝑦) jest dodatnie jako suma dwóch liczb dodatnich 𝑥 oraz 𝑦, a ponadto\n(𝑥-𝑦)2 jest nieujemne jako kwadrat liczby rzeczywistej (𝑥-𝑦), więc (𝑥+ 𝑦)(𝑥-𝑦)2\njest nieujemne jako iloczyn liczby dodatniej i nieujemnej. Zatem nierówność\n0 ≤(𝑥+ 𝑦)(𝑥-𝑦)2 jest prawdziwa dla każdej liczby dodatniej 𝑥 i dla każdej liczby\ndodatniej 𝑦. To oznacza, że dla każdej liczby dodatniej 𝑥 i każdej liczby dodatniej 𝑦\nnierówność 1\n𝑥+ 1\n𝑦≤𝑥\n𝑦2 + 𝑦\n𝑥2 jest również prawdziwa.\nTo należało wykazać.\nSposób III\nZ założenia wynika, że 𝑥≠0 i 𝑦≠0, więc przekształcamy równoważnie nierówność\n1\n𝑥+ 1\n𝑦≤𝑥\n𝑦2 + 𝑦\n𝑥2 , rozszerzając odpowiednie ułamki i stosując wzór na różnicę kwadratów:\n0 ≤𝑥\n𝑦2 + 𝑦\n𝑥2 -1\n𝑥-1\n𝑦\n0 ≤\n𝑥3\n𝑥2𝑦2 + 𝑦3\n𝑥2𝑦2 -𝑦2𝑥\n𝑥2𝑦2 -𝑥2𝑦\n𝑥2𝑦2\n0 ≤𝑥3 + 𝑦3 -𝑦2𝑥-𝑥2𝑦\n𝑥2𝑦2\n0 ≤𝑥(𝑥2 -𝑦2) + 𝑦(𝑦2 -𝑥2)\n𝑥2𝑦2\n0 ≤(𝑥-𝑦)(𝑥2 -𝑦2)\n𝑥2𝑦2\n0 ≤(𝑥-𝑦)2(𝑥+ 𝑦)\n𝑥2𝑦2\nPonieważ:\n(𝑥+ 𝑦) jest dodatnie jako suma dwóch liczb dodatnich 𝑥 oraz 𝑦\n(𝑥-𝑦)2 jest nieujemne jako kwadrat liczby rzeczywistej (𝑥-𝑦)\n𝑥2𝑦2 jest dodatnie jako iloczyn kwadratów liczb dodatnich 𝑥 oraz 𝑦,\nwięc\n(𝑥 - 𝑦)2(𝑥 + 𝑦)\n𝑥2𝑦2\njest nieujemne jako iloraz liczby nieujemnej (𝑥-𝑦)2(𝑥+ 𝑦) i liczby\ndodatniej 𝑥2𝑦2. Zatem nierówność 0 ≤\n(𝑥 - 𝑦)2(𝑥 + 𝑦)\n𝑥2𝑦2\njest prawdziwa dla każdej liczby\ndodatniej 𝑥 i dla każdej liczby dodatniej 𝑦. To oznacza, że dla każdej liczby dodatniej 𝑥\ni każdej liczby dodatniej 𝑦 nierówność 1\n𝑥+ 1\n𝑦≤𝑥\n𝑦2 + 𝑦\n𝑥2 jest również prawdziwa.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nTo należało wykazać.\nSposób IV (badanie funkcji)\nRozważmy funkcję 𝑓(𝑥) = 𝑥\n𝑦2 + 𝑦\n𝑥2 - 1\n𝑥-1\n𝑦 zmiennej dodatniej 𝑥 z parametrem 𝑦> 0.\nWyznaczamy pochodną funkcji 𝑓:\n𝑓′(𝑥) = 1\n𝑦2 -2𝑦\n𝑥3 + 1\n𝑥2\n𝑓′(𝑥) = 𝑥3 -2𝑦3 + 𝑥𝑦2\n𝑥3𝑦2\n𝑓′(𝑥) = 𝑥3 -𝑦3 + 𝑥𝑦2 -𝑦3\n𝑥3𝑦2\n𝑓′(𝑥) = (𝑥-𝑦)(𝑥2 + 𝑥𝑦+ 𝑦2) + 𝑦2(𝑥-𝑦)\n𝑥3𝑦2\n𝑓′(𝑥) = (𝑥-𝑦)(𝑥2 + 𝑥𝑦+ 2𝑦2)\n𝑥3𝑦2\nPonieważ 𝑥> 0 oraz 𝑦> 0, więc 𝑥2 + 𝑥𝑦+ 2𝑦2 > 0 i 𝑥3𝑦2 > 0. Zatem:\n𝑓′(𝑥) = 0 tylko dla 𝑥= 𝑦\n𝑓′(𝑥) > 0 w przedziale (𝑦, +∞)\n𝑓′(𝑥) < 0 w przedziale (0, 𝑦).\nStąd funkcja 𝑓 jest malejąca w przedziale (0, 𝑦] i jest rosnąca w przedziale [𝑦, +∞).\nZatem funkcja 𝑓 osiąga wartość najmniejszą dla 𝑥= 𝑦. Ponieważ\n𝑓(𝑦) = 𝑦\n𝑦2 + 𝑦\n𝑦2 - 1\n𝑦-1\n𝑦= 0, więc\n𝑥\n𝑦2 + 𝑦\n𝑥2 -1\n𝑥-1\n𝑦≥0\nczyli\n1\n𝑥+ 1\n𝑦≤𝑥\n𝑦2 + 𝑦\n𝑥2\ndla każdej liczby dodatniej 𝑥 i dla każdej liczby dodatniej 𝑦.\nTo należało wykazać.","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"8","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (0-3)\nPunkty 𝐾 i 𝐿 są środkami - odpowiednio - boków 𝐴𝐵 i 𝐵𝐶 kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 o boku\ndługości 𝑎. Punkt 𝑀 jest takim punktem na boku 𝐵𝐶, że odcinki 𝐷𝐾 i 𝐾𝑀 są prostopadłe.\nOdcinek 𝐴𝐿 przecina odcinki 𝐷𝐾 oraz 𝐷𝑀 w punktach - odpowiednio - 𝑃 oraz 𝑄\n(zobacz rysunek).\nWykaż, że |𝑃𝑄| =\n√5\n5 𝑎.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐾\n𝑀\n𝐿\n𝑃\n𝑄\n𝑎\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 8. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\nZdający:\n7.4R) rozpoznaje figury podobne\ni jednokładne; wykorzystuje (także\nw kontekstach praktycznych) ich własności.\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.\n2 pkt - uzasadnienie, że odcinki 𝐴𝐿 i 𝐷𝐾 są prostopadłe (lub 𝐴𝐿 i 𝐾𝑀 są równoległe)\ni przedstawienie kompletnego rozumowania prowadzącego do wyznaczenia\npoprawnego równania z niewiadomą |𝑃𝑄| oraz zapisanie tego równania\nALBO\n- przyjęcie bez uzasadnienia, że odcinki 𝐴𝐿 i 𝐷𝐾 są prostopadłe (lub 𝐴𝐿 i 𝐾𝑀 są\nrównoległe) oraz przeprowadzenie pełnego rozumowania przy tym założeniu\ni otrzymanie tezy |𝑃𝑄| =\n√5\n5 𝑎,\nALBO\n- obliczenie współrzędnych punktu 𝑄: 𝑄= (4\n5 𝑎, 2\n5 𝑎).\n1 pkt - uzasadnienie, że odcinki 𝐴𝐿 i 𝐷𝐾 są prostopadłe (lub 𝐴𝐿 i 𝐾𝑀 są równoległe)\nALBO\n- obliczenie długości boku 𝐾𝑀 trójkąta 𝐷𝐾𝑀 i długości jednego z pozostałych\ndwóch boków tego trójkąta: |𝐾𝑀| =\n√5\n4 𝑎, |𝐷𝐾| =\n√5\n2 𝑎, |𝐷𝑀| = 5\n4 𝑎,\nALBO\n- obliczenie długości jednego z odcinków 𝐴𝑃, 𝐷𝑃 lub 𝑃𝐾: |𝐴𝑃| = 1\n√5 𝑎,\n|𝐷𝑃| = 2\n√5 𝑎, |𝑃𝐾| =\n1\n2√5 𝑎,\nALBO\n- obliczenie współrzędnych punktu 𝑃: 𝑃= (2\n5 𝑎, 1\n5 𝑎),\nALBO\n- uzasadnienie, że trójkąty 𝐸𝐾𝐷 i 𝑀𝐾𝐷 są przystające.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający przyjmie błędne założenie (np. że miara kąta 𝐴𝐾𝐷 jest równa 60°) i na\ntym opiera swoje rozumowanie, to otrzymuje 0 punktów.\n2. Jeżeli zdający uzasadni, że odcinki 𝐴𝐿 i 𝐷𝐾 są prostopadłe (lub 𝐴𝐿 i 𝐾𝑀 są\nrównoległe), a w dalszej części rozwiązania popełni tylko jeden błąd rachunkowy, ale\nzrealizuje w pełni strategię rozwiązania zadania, otrzymując równanie z jedną niewiadomą\n|𝑃𝑄|, to otrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nOznaczmy miarę kąta 𝐴𝐷𝐾 przez 𝛼. Wtedy |∡𝐷𝐾𝐴| = 90° -𝛼.\nPonieważ |𝐷𝐴| = |𝐴𝐵| = 𝑎, |𝐴𝐾| = |𝐵𝐿| = 𝑎\n2 i kąty 𝐷𝐴𝐾 oraz 𝐴𝐵𝐿 są proste, więc\ntrójkąty 𝐷𝐴𝐾 i 𝐴𝐵𝐿 są przystające (cecha bkb). Zatem |∡𝐵𝐴𝐿| = |∡𝐴𝐷𝐾| = 𝛼 oraz\n|∡𝐴𝐿𝐵| = |∡𝐷𝐾𝐴| = 90° -𝛼.\nStąd wynika, że miary kątów ostrych trójkąta 𝐴𝑃𝐾 są równe miarom odpowiednich kątów\nostrych trójkątów 𝐷𝐴𝐾 i 𝐴𝐵𝐿. To oznacza, że trójkąt 𝐴𝑃𝐾 jest prostokątny i podobny do\ntrójkątów 𝐷𝐴𝐾 oraz 𝐷𝑃𝐴, więc\n|𝐴𝐷|\n|𝐴𝐾| =\n|𝐴𝑃|\n|𝑃𝐾| =\n|𝐷𝑃|\n|𝐴𝑃| = 2\nStąd |𝐷𝑃| = 2 ⋅|𝐴𝑃| = 2 ⋅(2 ⋅|𝑃𝐾|) = 4 ⋅|𝑃𝐾|.\nKąt 𝐷𝐾𝑀 jest prosty i |∡𝐾𝐷𝑀| = |∡𝑃𝐷𝑄|, więc trójkąty prostokątne 𝐷𝐾𝑀 oraz 𝐷𝑃𝑄 są\npodobne, a skala podobieństwa jest równa\n|𝐷𝐾|\n|𝐷𝑃| = |𝐷𝑃| + |𝑃𝐾|\n|𝐷𝑃|\n= 5 ⋅|𝑃𝐾|\n4 ⋅|𝑃𝐾| = 5\n4\nZatem |𝑃𝑄| = 4\n5 ⋅|𝐾𝑀|, a ponieważ trójkąt 𝐾𝐵𝑀 jest podobny do trójkąta 𝐴𝐵𝐿 w skali\n1 ∶2, więc\n|𝐾𝑀| = 1\n2 ⋅|𝐴𝐿| = 1\n2 ⋅|𝐷𝐾| = 1\n2 ⋅√𝑎2 + (𝑎\n2)\n2\n= √5\n4 𝑎\ni tym samym\n|𝑃𝑄| = 4\n5 ⋅|𝐾𝑀| = 4\n5 ⋅√5\n4 𝑎= √5\n5 𝑎\nTo należało wykazać.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐾\n𝑀\n𝐿\n𝑃\n𝑄\n𝑎\n𝛼\n1\n2 𝑎\n1\n2 𝑎\n1\n2 𝑎\n𝛼\nSposób II\nNiech 𝑥= |𝐴𝑃| oraz 𝛼= |∡𝐴𝐷𝐾|. Wtedy |∡𝐷𝐾𝐴| = 90° -𝛼.\nPonieważ |𝐷𝐴| = |𝐴𝐵| = 𝑎, |𝐴𝐾| = |𝐵𝐿| = 𝑎\n2 i kąty 𝐷𝐴𝐾 oraz 𝐴𝐵𝐿 są proste, więc\ntrójkąty 𝐷𝐴𝐾 i 𝐴𝐵𝐿 są przystające (cecha bkb). Zatem |∡𝐵𝐴𝐿| = |∡𝐴𝐷𝐾| = 𝛼 oraz\n|∡𝐴𝐿𝐵| = |∡𝐷𝐾𝐴| = 90° -𝛼.\nKąty 𝐷𝐴𝑃 oraz 𝐴𝐿𝐵 są naprzemianległe i 𝐴𝐷∥𝐵𝐶, więc |∡𝐷𝐴𝑃| = |∡𝐴𝐿𝐵| = 90° -𝛼.\nZatem trójkąt 𝐷𝑃𝐴 jest prostokątny i podobny do trójkąta 𝐷𝐴𝐾. Stąd |𝐷𝑃|\n|𝐴𝐷| = |𝐴𝑃|\n|𝐴𝐾| , czyli\n|𝐷𝑃| =\n|𝐴𝐷|\n|𝐴𝐾| ⋅|𝐴𝑃| = 2 ⋅|𝐴𝑃| = 2𝑥.\nZ twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do trójkąta 𝐷𝐴𝑃 otrzymujemy:\n|𝐴𝑃|2 + |𝐷𝑃|2 = |𝐴𝐷|2\n𝑥2 + (2𝑥)2 = 𝑎2\n𝑥= 𝑎\n√5\nPonieważ kąt 𝐷𝑃𝐴 jest prosty, więc 𝐴𝐿∥𝐾𝑀. Zatem trójkąty prostokątne 𝐷𝐾𝑀 i 𝐷𝑃𝑄\noraz 𝐴𝐷𝐾 i 𝐵𝐾𝑀 są podobne. Skala podobieństwa trójkątów 𝐴𝐷𝐾 i 𝐵𝐾𝑀 jest równa\n|𝐴𝐷|\n|𝐵𝐾| = 2, więc |𝐷𝐾| = 2 ⋅|𝐾𝑀|. Stąd z kolei wynika, że trójkąt 𝐷𝐾𝑀 jest podobny do\ntrójkąta 𝐷𝐴𝐾, więc jest również podobny do trójkąta 𝐷𝑃𝐴. Zatem |∡𝐾𝐷𝑀| = |∡𝐴𝐷𝑃| = 𝛼.\nWobec tego trójkąty prostokątne 𝐷𝑃𝐴 i 𝐷𝑃𝑄 są przystające (cecha kbk). Stąd\n|𝑃𝑄| = |𝐴𝑃| = 𝑎\n√5\n= √5\n5 𝑎\nTo należało wykazać.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐾\n𝑀\n𝐿\n𝑃\n𝑄\n𝑎\n𝛼\n1\n2 𝑎\n1\n2 𝑎\n1\n2 𝑎\n𝛼\n𝑥\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób III\nNiech 𝑥= |𝐴𝑃| oraz 𝛼= |∡𝐴𝐷𝐾|. Wtedy |∡𝐷𝐾𝐴| = 90° -𝛼.\nPonieważ |𝐷𝐴| = |𝐴𝐵| = 𝑎, |𝐴𝐾| = |𝐵𝐿| = 𝑎\n2 i kąty 𝐷𝐴𝐾 oraz 𝐴𝐵𝐿 są proste, więc\ntrójkąty 𝐷𝐴𝐾 i 𝐴𝐵𝐿 są przystające (cecha bkb). Zatem |∡𝐵𝐴𝐿| = |∡𝐴𝐷𝐾| = 𝛼 oraz\n|∡𝐴𝐿𝐵| = |∡𝐷𝐾𝐴| = 90° -𝛼.\nKąty 𝐷𝐴𝑃 oraz 𝐴𝐿𝐵 są naprzemianległe i 𝐴𝐷∥𝐵𝐶, więc |∡𝐷𝐴𝑃| = |∡𝐴𝐿𝐵| = 90° -𝛼.\nZatem trójkąt 𝐷𝑃𝐴 jest prostokątny i podobny do trójkąta 𝐷𝐴𝐾. Stąd |𝐷𝑃|\n|𝐴𝐷| = |𝐴𝑃|\n|𝐴𝐾| , czyli\n|𝐷𝑃| =\n|𝐴𝐷|\n|𝐴𝐾| ⋅|𝐴𝑃| = 2 ⋅|𝐴𝑃| = 2𝑥.\nZ twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do trójkąta 𝐷𝐴𝑃 otrzymujemy:\n|𝐴𝑃|2 + |𝐷𝑃|2 = |𝐴𝐷|2\n𝑥2 + (2𝑥)2 = 𝑎2\n𝑥= 𝑎\n√5\nPonieważ kąt 𝐷𝑃𝐴 jest prosty, więc 𝐴𝐿∥𝐾𝑀. To oznacza, że |∡𝐵𝐾𝑀| = |∡𝐵𝐴𝐿|, więc\ntrójkąty prostokątne 𝐴𝐷𝐾 i 𝐵𝐾𝑀 są podobne, a skala ich podobieństwa jest równa\n|𝐴𝐷|\n|𝐵𝐾| = 2. Stąd |𝑀𝐵| = 1\n2 ⋅|𝐴𝐾| = 1\n4 𝑎 oraz |𝐿𝑀| = |𝐵𝐿| -|𝑀𝐵| = 1\n4 𝑎.\nPonieważ 𝐴𝐷∥𝐵𝐶, więc kąty naprzemianległe 𝐴𝐷𝑄 i 𝑄𝑀𝐿 mają równe miary. Z tej\nsamej przyczyny kąty naprzemianległe 𝑄𝐴𝐷 i 𝑄𝐿𝑀 mają równe miary. Zatem trójkąty\n𝐴𝑄𝐷 i 𝐿𝑄𝑀 są podobne, a skala ich podobieństwa jest równa |𝐴𝐷|\n|𝐿𝑀| = 𝑎\n1\n4𝑎= 4. Stąd\n|𝐿𝑄| = 1\n4 ⋅(|𝐴𝑃| + |𝑃𝑄|) = 1\n4 ⋅(√5\n5 𝑎+ |𝑃𝑄|)\nAle |𝐿𝑄| + |𝐴𝑃| + |𝑃𝑄| = |𝐴𝐿| =\n√5\n2 𝑎, więc\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐾\n𝑀\n𝐿\n𝑃\n𝑄\n𝑎\n𝛼\n1\n2 𝑎\n1\n2 𝑎\n1\n2 𝑎\n𝛼\n𝑥\n1\n4 ⋅(√5\n5 𝑎+ |𝑃𝑄|) + √5\n5 𝑎+ |𝑃𝑄| = √5\n2 𝑎\n√5\n4 𝑎+ 5\n4 ⋅|𝑃𝑄| = √5\n2 𝑎\n|𝑃𝑄| = √5\n5 𝑎\nTo należało wykazać.\nSposób IV\nOznaczmy przez 𝐸 punkt przecięcia prostych 𝐴𝐷 i 𝐾𝑀. Niech 𝑥= |𝐴𝑃| oraz\n𝛼= |∡𝐴𝐷𝐾|. Wtedy |∡𝐷𝐾𝐴| = 90° -𝛼.\nPonieważ |𝐴𝐾| = |𝐵𝐾| = 𝑎\n2 i kąty 𝐾𝐴𝐸 oraz 𝐾𝐵𝑀 są proste, a kąty 𝐴𝐾𝐸 i 𝐵𝐾𝑀 mają\nrówne miary (gdyż są to kąty wierzchołkowe), więc trójkąty 𝐴𝐾𝐸 i 𝐵𝐾𝑀 są przystające\n(cecha kbk). Stąd mamy |𝐸𝐾| = |𝐾𝑀|, więc trójkąty prostokątne 𝐷𝐾𝐸 i 𝐷𝐾𝑀 są\nprzystające (cecha bkb). Wobec tego |∡𝐾𝐷𝑀| = |∡𝐾𝐷𝐸| = 𝛼.\nPonieważ |𝐷𝐴| = |𝐴𝐵| = 𝑎, |𝐴𝐾| = |𝐵𝐿| = 𝑎\n2 i kąty 𝐷𝐴𝐾 oraz 𝐴𝐵𝐿 są proste, więc\ntrójkąty 𝐷𝐴𝐾 i 𝐴𝐵𝐿 są przystające. Zatem |∡𝐵𝐴𝐿| = |∡𝐴𝐷𝐾| = 𝛼 oraz\n|∡𝐴𝐿𝐵| = |∡𝐷𝐾𝐴| = 90° -𝛼.\nKąty 𝐷𝐴𝑃 oraz 𝐴𝐿𝐵 są naprzemianległe i 𝐴𝐷∥𝐵𝐶, więc |∡𝐷𝐴𝑃| = |∡𝐴𝐿𝐵| = 90° -𝛼,\nczyli kąt 𝐷𝑃𝐴 jest prosty. Stąd 𝐸𝑀∥𝐴𝐿, co oznacza, że trójkąty 𝐴𝑃𝐷 i 𝑄𝑃𝐷 są\nprzystające (cecha kbk) i wobec tego |𝑃𝑄| = |𝐴𝑃| = 𝑥.\nTrójkąty 𝐷𝑃𝐴 i 𝐷𝐴𝐾 mają kąty o miarach 𝛼, 90° -𝛼 i 90°, więc są podobne (cecha\nkkk). Dlatego |𝐷𝑃|\n|𝐴𝐷| = |𝐴𝑃|\n|𝐴𝐾| , czyli |𝐷𝑃| =\n|𝐴𝐷|\n|𝐴𝐾| ⋅|𝐴𝑃| = 2 ⋅|𝐴𝑃| = 2𝑥.\nZ twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do trójkąta 𝐷𝐴𝑃 otrzymujemy:\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐾\n𝑀\n𝐿\n𝑃\n𝑄\n𝑎\n𝛼\n𝛼\n1\n2 𝑎\n1\n2 𝑎\n𝛼\n𝑥\n𝐸\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n|𝐴𝑃|2 + |𝐷𝑃|2 = |𝐴𝐷|2\n𝑥2 + (2𝑥)2 = 𝑎2\n𝑥= 𝑎\n√5\n|𝑃𝑄| = √5\n5 𝑎\nTo należało wykazać.\nSposób V (analitycznie)\nUmieszczamy kwadrat 𝐴𝐵𝐶𝐷 w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) tak, żeby\n𝐴= (0, 0), 𝐵= (𝑎, 0), 𝐶= (𝑎, 𝑎), 𝐷= (0, 𝑎) (zobacz rysunek).\nWówczas 𝐾= (1\n2 𝑎, 0) oraz 𝐿= (𝑎, 1\n2 𝑎).\nWyznaczamy równanie prostej 𝐷𝐾:\n𝑦= 0 -𝑎\n1\n2 𝑎-0\n⋅(𝑥-0) + 𝑎\n𝑦= -2𝑥+ 𝑎\nWyznaczamy równanie prostej 𝐴𝐿:\n𝑦=\n1\n2 𝑎-0\n𝑎-0 ⋅𝑥\n𝑦= 1\n2 𝑥\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐾\n𝑀\n𝐿\n𝑃\n𝑄\n𝑎\n1\n2 𝑎\n1\n2 𝑎\n1\n2 𝑎\n𝑥\n𝑦\n𝑎\nWyznaczamy współrzędne punktu 𝑃:\n1\n2 𝑥= -2𝑥+ 𝑎\n𝑥= 2\n5 𝑎\n𝑦= 1\n2 ⋅2\n5 𝑎= 1\n5 𝑎\nZatem 𝑃= (2\n5 𝑎, 1\n5 𝑎).\nProsta 𝐾𝑀 jest prostopadła do prostej 𝐷𝐾, więc współczynnik kierunkowy w równaniu\nprostej 𝐾𝑀 jest równy 1\n2 . Zatem prosta 𝐾𝑀 ma równanie 𝑦= 1\n2 (𝑥-1\n2 𝑎). Stąd druga\nwspółrzędna punktu 𝑀 jest równa 1\n2 (𝑎-1\n2 𝑎) = 1\n4 𝑎, czyli 𝑀= (𝑎, 1\n4 𝑎).\nWyznaczamy równanie prostej 𝐷𝑀:\n𝑦=\n1\n4 𝑎-𝑎\n𝑎-0 ⋅(𝑥-0) + 𝑎\n𝑦= -3\n4 𝑥+ 𝑎\nObliczamy współrzędne punktu 𝑄, korzystając z równań prostych 𝐴𝐿 i 𝐷𝑀:\n1\n2 𝑥= -3\n4 𝑥+ 𝑎\n𝑥= 4\n5 𝑎\n𝑦= 1\n2 ⋅4\n5 𝑎= 2\n5 𝑎\nZatem 𝑄= (4\n5 𝑎, 2\n5 𝑎).\nObliczamy długość odcinka 𝑃𝑄:\n|𝑃𝑄| = √(4\n5 𝑎-2\n5 𝑎)\n2\n+ (2\n5 𝑎-1\n5 𝑎)\n2\n= √5\n25 𝑎= √5\n5 𝑎\nTo należało wykazać.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"9","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (0-4)\nDany jest ciąg arytmetyczny (𝑎𝑛) o skończonej liczbie wyrazów. Liczba wyrazów tego ciągu\njest większa od 6. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy 1, a ostatni wyraz tego ciągu jest\nrówny (-2025). Drugi, trzeci i szósty wyraz tego ciągu tworzą - w podanej kolejności - ciąg\ngeometryczny.\nOblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu (𝑎𝑛).\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n5.3) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz i na sumę\n𝑛 początkowych wyrazów ciągu\narytmetycznego;\n5.4) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz i na sumę\n𝑛 początkowych wyrazów ciągu\ngeometrycznego.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: (-1 026 168).\n3 pkt - obliczenie liczby 𝑛 wyrazów ciągu arytmetycznego: 𝑛= 1014.\n2 pkt - rozwiązanie równania z jedną niewiadomą 𝑟: 𝑟= 0 oraz 𝑟= -2\nALBO\n- obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego (𝑎𝑛) spełniającej warunki zadania:\n𝑟= -2,\nALBO\n- rozwiązanie równania z jedną niewiadomą 𝑞: 𝑞= 1 oraz 𝑞= 3,\nALBO\n- obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego (𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎6) spełniającego warunki\nzadania: 𝑞= 3,\nALBO\n- obliczenie/zapisanie, że ciąg (𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎6) nie jest stały i rozwiązanie równania\nz jedną niewiadomą 𝑎2: 𝑎2 = -1,\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑛, np.\n(1 + 2 ⋅-2026\n𝑛 - 1)\n2\n= (1 + -2026\n𝑛 - 1) (1 + 5 ⋅-2026\n𝑛 - 1)\n1 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑟, np. (1 + 2𝑟)2 = (1 + 𝑟)(1 + 5𝑟)\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑞, np. 3𝑞-3 = 𝑞2 -𝑞,\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑎2 , np. 𝑎2 = 1 + 2𝑎2 (dla sposobu III),\nALBO\n- wyznaczenie różnicy ciągu (𝑎𝑛) w zależności od liczby 𝑛 wyrazów ciągu\narytmetycznego (𝑎𝑛): 𝑟= -2026\n𝑛 - 1 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający myli ciąg arytmetyczny z ciągiem geometrycznym, to otrzymuje 0 punktów\nza całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający stosuje błędny wzór na 𝑛-ty wyraz ciągu arytmetycznego, to może otrzymać\nco najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe i otrzyma wartość 𝑛, która nie jest liczbą\nnaturalną, to może otrzymać 2 punkty za całe rozwiązanie (traktujemy to jak obliczenie\nliczby wyrazów ciągu arytmetycznego z błędem rachunkowym). Zdający nie otrzymuje\npunktu za obliczenie sumy wyrazów ciągu arytmetycznego.\n4. a) Jeżeli zdający przyjmie, że 𝑟= -2 i sprawdzi rachunkiem, że ta wartość spełnia\nwarunki zadania, ale nie uzasadni, że jest to jedyna wartość 𝑟 spełniająca warunki\nzadania, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za obliczenie 𝑛\noraz za obliczenie sumy).\nb) Jeżeli zdający przyjmie bez uzasadnienia, że 𝑟= -2 i na tym opiera swoje\nrozwiązanie, to otrzymuje 0 punktów.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nNiech 𝑟 oznacza różnicę ciągu arytmetycznego (𝑎𝑛). Ze wzoru na 𝑛-ty wyraz ciągu\narytmetycznego i własności ciągu geometrycznego otrzymujemy: 𝑎2 = 1 + 𝑟,\n𝑎3 = 1 + 2𝑟, 𝑎6 = 1 + 5𝑟 oraz (𝑎3)2 = 𝑎2 ⋅𝑎6 . Stąd i z warunków zadania dostajemy:\n(𝑎3)2 = 𝑎2 ⋅𝑎6\n(1 + 2𝑟)2 = (1 + 𝑟)(1 + 5𝑟)\n0 = 2𝑟+ 𝑟2\n0 = 𝑟(2 + 𝑟)\n𝑟= 0 ∨ 𝑟= -2\nDla 𝑟= 0 warunki zadania nie są spełnione, ponieważ pierwszy i ostatni wyraz ciągu\narytmetycznego (𝑎𝑛) nie są równe.\nDla 𝑟= -2 otrzymujemy 𝑎2 = -1, 𝑎3 = -3, 𝑎6 = -9. Ciąg (-1, -3, -9) jest\ngeometryczny, więc warunki zadania są spełnione.\nObliczamy liczbę 𝑛 wyrazów ciągu (𝑎𝑛):\n-2025 = 1 + (𝑛-1) ⋅(-2)\n𝑛= 1014\nObliczamy sumę 𝑆1014 wszystkich wyrazów ciągu (𝑎𝑛):\n𝑆1014 = 1 + (-2025)\n2\n⋅1014 = -1 026 168\nSposób II\nNiech 𝑟 oznacza różnicę ciągu arytmetycznego (𝑎𝑛). Niech 𝑞 oznacza iloraz ciągu\ngeometrycznego (𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎6). Ciąg arytmetyczny (𝑎𝑛) jest malejący, więc ciąg\n(𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎6) nie jest stały. Zatem 𝑞≠1 oraz 𝑎2 ≠0. Ze wzoru na 𝑛-ty wyraz ciągu\ngeometrycznego i własności ciągu arytmetycznego otrzymujemy: 𝑎3 = 𝑎2 ⋅𝑞, 𝑎6 = 𝑎2 ⋅𝑞2\noraz 3(𝑎3 -𝑎2) = 𝑎6 -𝑎3 . Stąd i z warunków zadania dostajemy:\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n3(𝑎3 -𝑎2) = 𝑎6 -𝑎3\n3𝑎2 ⋅𝑞-3𝑎2 = 𝑎2 ⋅𝑞2 -𝑎2 ⋅𝑞\n0 = 𝑎2 ⋅(𝑞2 -4𝑞+ 3)\n𝑎2 = 0 ∨ 𝑞2 -4𝑞+ 3 = 0\n𝑎2 = 0 ∨ 𝑞= 1 ∨ 𝑞= 3\nDla 𝑎2 = 0 oraz dla 𝑞= 1 warunki zadania nie są spełnione, czyli 𝑞= 3. Zatem\n𝑎3 = 3𝑎2 , 𝑎6 = 9𝑎2 .\nKorzystamy z własności ciągu arytmetycznego i obliczamy 𝑎2:\n𝑎1 + 𝑎3\n2\n= 𝑎2\n1 + 3𝑎2\n2\n= 𝑎2\n𝑎2 = -1\nPonieważ 𝑎1 = 1 i 𝑎2 = -1, więc różnica ciągu arytmetycznego jest równa (-2).\nObliczamy liczbę 𝑛 wyrazów ciągu (𝑎𝑛):\n-2025 = 1 + (𝑛-1) ⋅(-2)\n𝑛= 1014\nObliczamy sumę 𝑆1014 wszystkich wyrazów ciągu (𝑎𝑛):\n𝑆1014 = 1 + (-2025)\n2\n⋅1014 = -1 026 168\nSposób III\nNiech 𝑟 oznacza różnicę ciągu arytmetycznego (𝑎𝑛). Ze wzoru na 𝑛-ty wyraz ciągu\narytmetycznego i własności ciągu geometrycznego otrzymujemy: 𝑎3 = 𝑎2 + 𝑟,\n𝑎6 = 𝑎2 + 4𝑟 oraz (𝑎3)2 = 𝑎2 ⋅𝑎6 . Stąd i z warunków zadania dostajemy:\n(𝑎3)2 = 𝑎2 ⋅𝑎6\n(𝑎2 + 𝑟)2 = 𝑎2 ⋅(𝑎2 + 4𝑟)\n𝑎2\n2 + 2𝑎2𝑟+ 𝑟2 = 𝑎2\n2 + 4𝑎2𝑟\n0 = 𝑟(2𝑎2 -𝑟)\n𝑟= 0 ∨ 𝑟= 2𝑎2\nDla 𝑟= 0 warunki zadania nie są spełnione, ponieważ pierwszy i ostatni wyraz ciągu\narytmetycznego (𝑎𝑛) nie są równe.\nDla 𝑟= 2𝑎2 otrzymujemy 𝑎2 = 1 + 2𝑎2 . Stąd 𝑎2 = -1, więc 𝑟= -2. Zatem 𝑎3 = -3\noraz 𝑎6 = -9. Ciąg (-1, -3, -9) jest geometryczny, więc warunki zadania są spełnione.\nObliczamy liczbę 𝑛 wyrazów ciągu (𝑎𝑛):\n-2025 = 1 + (𝑛-1) ⋅(-2)\n𝑛= 1014\nObliczamy sumę 𝑆1014 wszystkich wyrazów ciągu (𝑎𝑛):\n𝑆1014 = 1 + (-2025)\n2\n⋅1014 = -1 026 168\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"10","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (0-4)\nRozwiąż równanie\nsin(6𝑥) -2 sin(2𝑥) = 0\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 10. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n6.6R) rozwiązuje równania i nierówności\ntrygonometryczne […].\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik, np.: 𝜋𝑘\n2 oraz -𝜋\n12 + 𝜋𝑘\n2 oraz\n𝜋\n12 + 𝜋𝑘\n2 , gdzie 𝑘∈ℤ.\n3 pkt - przekształcenie równania do postaci alternatywy równań trygonometrycznych\ni rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy, np.:\n(sin(2𝑥) = 0 lub cos2(2𝑥) = 3\n4 ) oraz\n𝑥= 𝜋𝑘\n2 (rozwiązania równania sin(2𝑥) = 0)\n(sin(2𝑥) = 0 lub cos(2𝑥) = -\n√3\n2 lub cos(2𝑥) =\n√3\n2 ) oraz\n𝑥= -5𝜋\n12 + 𝜋𝑘 oraz 𝑥= 5𝜋\n12 + 𝜋𝑘 (rozwiązania równania cos(2𝑥) = -\n√3\n2 )\n(sin(2𝑥) = 0 lub cos(4𝑥) = 1\n2 ) oraz\n𝑥= -𝜋\n12 + 𝜋𝑘\n2 oraz 𝑥= 𝜋\n12 + 𝜋𝑘\n2 (rozwiązania równania cos(4𝑥) = 1\n2)\n(sin(2𝑥) = 0 lub sin(2𝑥) = -1\n2 lub sin(2𝑥) = 1\n2 ) oraz\n𝑥= -𝜋\n12 + 𝜋𝑘 oraz 𝑥= -5𝜋\n12 + 𝜋𝑘 (rozwiązania równania sin(2𝑥) = -1\n2),\ngdzie 𝑘∈ℤ.\n2 pkt - przekształcenie równania do postaci alternatywy równań trygonometrycznych, np.:\nsin(2𝑥) = 0 lub cos2(2𝑥) = 3\n4 ,\nsin(2𝑥) = 0 lub cos(2𝑥) = -\n√3\n2 lub cos(2𝑥) =\n√3\n2 ,\nsin(2𝑥) = 0 lub 2 cos(4𝑥) -1 = 0,\nsin(2𝑥) = 0 lub 4 sin2(2𝑥) -1 = 0.\n1 pkt - zastosowanie wzoru na sinus sumy i przekształcenie równania do postaci\nsin(4𝑥) cos(2𝑥) + cos(4𝑥) sin(2𝑥) -2 sin(2𝑥) = 0 (dla sposobu I)\nALBO\n- zastosowanie wzoru na różnicę sinusów i przekształcenie równania do postaci\n2 cos(4𝑥) sin(2𝑥) -sin(2𝑥) = 0 (dla sposobu II),\nALBO\n- zastosowanie wzoru na sinus potrojonego kąta i przekształcenie równania do postaci\n-4 sin3(2𝑥) + 3 sin(2𝑥) -2 sin(2𝑥) = 0 (dla sposobu III).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. a) Jeżeli zdający popełni błędy, które nie są rachunkowe, nie zrealizuje wymagań\nz kryterium za 1 punkt, przekształci równanie do postaci sin(2𝑥) ⋅𝑓(𝑥) = 0, to może\notrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie (za rozwiązanie równania\nsin(2𝑥) = 0).\nb) Jeżeli zdający zrealizuje wymagania z kryterium za 1 punkt, a następnie popełni błędy,\nktóre nie są rachunkowe, przekształci równanie do postaci sin(2𝑥) ⋅𝑓(𝑥) = 0\ni rozwiąże równanie sin(2𝑥) = 0, to otrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający popełni tylko błędy rachunkowe i przekształci równanie do postaci\nsin(2𝑥) ⋅𝑓(𝑥) = 0, gdzie funkcja trygonometryczna 𝑓 nie ma miejsc zerowych lub\nrównanie trygonometryczne 𝑓(𝑥) = 0 ma jedną serię rozwiązań w zbiorze liczb\nrzeczywistych, oraz rozwiąże równanie sin(2𝑥) = 0, otrzymując 𝑥= 𝜋𝑘\n2 , to może\notrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie, o ile nie nabył praw do innej\npunktacji.\n3. Jeżeli zdający przyjmie 𝑢= 2𝑥 i rozwiąże równanie sin(3𝑢) -2 sin 𝑢= 0 (lub\nrównanie -4 sin3 𝑢+ 3 sin 𝑢-2 sin 𝑢= 0) i na tym zakończy lub dalej popełni błędy, to\notrzymuje 3 punkty.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I (poprzez sinus sumy)\nPrzekształcamy równanie sin(6𝑥) -2 sin(2𝑥) = 0 równoważnie, stosując wzór na sinus\nsumy kątów i cosinus podwojonego kąta:\nsin(4𝑥+ 2𝑥) -2 sin(2𝑥) = 0\nsin(4𝑥) cos(2𝑥) + cos(4𝑥) sin(2𝑥) -2 sin(2𝑥) = 0\n2 sin(2𝑥) cos2(2𝑥) + [2 cos2(2𝑥) -1] sin(2𝑥) -2 sin(2𝑥) = 0\nsin(2𝑥) [4 cos2(2𝑥) -3] = 0\nsin(2𝑥) = 0 ∨ cos2(2𝑥) = 3\n4\nsin(2𝑥) = 0 ∨ cos(2𝑥) = -√3\n2 ∨ cos(2𝑥) = √3\n2\nRozwiązujemy równanie sin(2𝑥) = 0:\n2𝑥= 𝜋𝑘\n𝑥= 𝜋𝑘\n2\ngdzie 𝑘∈ℤ.\nRozwiązujemy równanie cos(2𝑥) = -\n√3\n2 :\n2𝑥= 5𝜋\n6 + 2𝜋𝑘 ∨ 2𝑥= -5𝜋\n6 + 2𝜋𝑘\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑥= 5𝜋\n12 + 𝜋𝑘 ∨ 𝑥= -5𝜋\n12 + 𝜋𝑘\ngdzie 𝑘∈ℤ.\nRozwiązujemy równanie cos(2𝑥) =\n√3\n2 :\n2𝑥= 𝜋\n6 + 2𝜋𝑘 ∨ 2𝑥= -𝜋\n6 + 2𝜋𝑘\n𝑥= 𝜋\n12 + 𝜋𝑘 ∨ 𝑥= -𝜋\n12 + 𝜋𝑘\ngdzie 𝑘∈ℤ.\nRozwiązaniami równania sin(6𝑥) -2 sin(2𝑥) = 0 są wszystkie liczby postaci:\n𝜋𝑘\n2 , -5𝜋\n12 + 𝜋𝑘, 5𝜋\n12 + 𝜋𝑘, -𝜋\n12 + 𝜋𝑘 oraz 𝜋\n12 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ.\nSposób II (poprzez różnicę sinusów)\nPrzekształcamy równanie sin(6𝑥) -2 sin(2𝑥) = 0 równoważnie, stosując wzór na różnicę\nsinusów:\nsin(6𝑥) -sin(2𝑥) -sin(2𝑥) = 0\n2 cos (6𝑥+ 2𝑥\n2\n) sin (6𝑥-2𝑥\n2\n) -sin(2𝑥) = 0\n2 cos(4𝑥) sin(2𝑥) -sin(2𝑥) = 0\nsin(2𝑥) [2 cos(4𝑥) -1] = 0\nsin(2𝑥) = 0 ∨ cos(4𝑥) = 1\n2\n2𝑥= 𝜋𝑘 ∨ 4𝑥= 𝜋\n3 + 2𝜋𝑘 ∨ 4𝑥= -𝜋\n3 + 2𝜋𝑘\n𝑥= 𝜋𝑘\n2 ∨ 𝑥= 𝜋\n12 + 𝜋𝑘\n2 ∨ 𝑥= -𝜋\n12 + 𝜋𝑘\n2\ngdzie 𝑘∈ℤ.\nRozwiązaniami równania sin(6𝑥) -2 sin(2𝑥) = 0 są wszystkie liczby postaci:\n𝜋𝑘\n2 , -𝜋\n12 + 𝜋𝑘\n2 oraz 𝜋\n12 + 𝜋𝑘\n2 , gdzie 𝑘∈ℤ.\nSposób III (poprzez sinus potrojonego kąta)\nPrzekształcamy równanie sin(6𝑥) -2 sin(2𝑥) = 0 równoważnie, stosując wzór na sinus\npotrojonego kąta:\nsin(3 ⋅2𝑥) -2sin(2𝑥) = 0\n-4 sin3(2𝑥) + 3 sin(2𝑥) -2 sin(2𝑥) = 0\nsin(2𝑥) [-4 sin2(2𝑥) + 1] = 0\nsin(2𝑥) = 0 ∨ sin2(2𝑥) = 1\n4\nsin(2𝑥) = 0 ∨ sin(2𝑥) = -1\n2 ∨ sin(2𝑥) = 1\n2\n2𝑥= 𝜋𝑘 ∨ 2𝑥= 7𝜋\n6 + 2𝜋𝑘 ∨ 2𝑥= 11𝜋\n6\n+ 2𝜋𝑘 ∨ 2𝑥= 𝜋\n6 + 2𝜋𝑘 ∨ 2𝑥= 5𝜋\n6 + 2𝜋𝑘\n𝑥= 𝜋𝑘\n2 ∨ 𝑥= 7𝜋\n12 + 𝜋𝑘 ∨ 𝑥= 11𝜋\n12 + 𝜋𝑘 ∨ 𝑥= 𝜋\n12 + 𝜋𝑘 ∨ 𝑥= 5𝜋\n12 + 𝜋𝑘\ngdzie 𝑘∈ℤ.\nRozwiązaniami równania sin(6𝑥) -2 sin(2𝑥) = 0 są wszystkie liczby postaci:\n𝜋𝑘\n2 , 𝜋\n12 + 𝜋𝑘, 5𝜋\n12 + 𝜋𝑘, 7𝜋\n12 + 𝜋𝑘 oraz 11𝜋\n12 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"11","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (0-4)\nW ostrosłupie prawidłowym trójkątnym 𝐴𝐵𝐶𝑆 podstawa 𝐴𝐵𝐶 jest trójkątem\nrównobocznym. Długość okręgu opisanego na podstawie 𝐴𝐵𝐶 jest równa 6√2𝜋, a cosinus\nkąta między krawędziami bocznymi 𝑆𝐵 i 𝑆𝐶 jest równy 5\n9 .\nOblicz długość krawędzi podstawy 𝐴𝐵𝐶 oraz cosinus kąta między ścianami bocznymi 𝑆𝐴𝐶\ni 𝑆𝐵𝐶 tego ostrosłupa.\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 11. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n9.4) rozpoznaje w graniastosłupach\ni ostrosłupach kąty między ścianami;\n9.6) stosuje trygonometrię do obliczeń\ndługości odcinków, miar kątów […].\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑎= 3√6 oraz cos 𝛽= 5\n14 .\n3 pkt - obliczenie wysokości 𝑥 ściany bocznej opuszczonej na krawędź boczną ostrosłupa:\n𝑥= √42\nALBO\n- obliczenie sin (𝛽\n2): sin (𝛽\n2) =\n3\n2√7 ,\nALBO\n- obliczenie długości krawędzi podstawy: 𝑎= 3√6 oraz zapisanie zależności między\nfunkcjami trygonometrycznymi kątów 𝛼 i 𝛽, np.\n1 = 2 cos2 (𝛼\n2) ⋅(1 -cos 𝛽), 1 = sin2 𝛼⋅1 - cos𝛽\n1 - cos𝛼 ,\nALBO\n- obliczenie cosinusa kąta 𝛽: cos 𝛽= 5\n14 .\n2 pkt - obliczenie długości krawędzi podstawy ostrosłupa oraz cos (𝛼\n2): 𝑎= 3√6 oraz\ncos (𝛼\n2) =\n√7\n3\nALBO\n- zapisanie związków 𝑥\n𝑎=\n√7\n3 oraz sin (𝛽\n2) = |𝐸𝐵|\n𝑥 ,\nALBO\n- obliczenie długości (lub kwadratu długości) 𝑏 krawędzi bocznej ostrosłupa: 𝑏= 9√3\n2\n(lub 𝑏2 = 243\n4 ),\nALBO\n- zapisanie zależności między długością krawędzi bocznej ostrosłupa i wysokością\nściany bocznej opuszczoną na krawędź boczną ostrosłupa, np.: 𝑥\n𝑏= 2√14\n9\n,\n1\n2 ⋅𝑏2 ⋅2√14\n9\n= 1\n2 𝑏⋅𝑥, (5\n9 𝑏)\n2\n+ 𝑥2 = 𝑏2,\nALBO\n- zapisanie zależności między funkcjami trygonometrycznymi kątów 𝛼 i 𝛽, np.\n1 = 2 cos2 (𝛼\n2) ⋅(1 -cos 𝛽), 1 = sin2 𝛼⋅1 - cos𝛽\n1 - cos𝛼 .\n1 pkt - obliczenie długości 𝑎 krawędzi podstawy ostrosłupa: 𝑎= 3√6\nALBO\n- obliczenie cos (𝛼\n2) : cos (𝛼\n2) =\n√7\n3 ,\nALBO\n- obliczenie sin 𝛼: sin 𝛼= 2√14\n9\n,\nALBO\n- zastosowanie twierdzenia cosinusów do trójkąta 𝐴𝐵𝐷 i zapisanie równania\n𝑎2 = 𝑥2 + 𝑥2 -2𝑥2 cos 𝛽\nALBO\n- zastosowanie twierdzenia cosinusów do trójkąta 𝐵𝐶𝑆 i zapisanie równania\n𝑎2 = 𝑏2 + 𝑏2 -2𝑏2 cos 𝛼\nALBO\n- zapisanie zależności między 𝑎, 𝑥 oraz 𝛼, np. sin (90° -𝛼\n2) = 𝑥\n𝑎 , cos 𝛼\n2 = 𝑥\n𝑎 ,\nALBO\n- zapisanie zależności między 𝑏, 𝑥 oraz 𝛼, np. sin 𝛼= 𝑥\n𝑏 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający poprawnie zinterpretuje kąt między krawędziami bocznymi ostrosłupa\ni zastosuje twierdzenie cosinusów do ściany bocznej - pomimo błędnie obliczonej\ndługości krawędzi podstawy lub długości krawędzi bocznej - to traktujemy to jak\nspełnienie kryterium z myślnika piątego z kategorii za 1 punkt.\n2. Jeżeli zdający poprawnie zinterpretuje kąt między ścianami bocznymi ostrosłupa\ni zastosuje twierdzenie cosinusów do trójkąta z tym kątem - pomimo błędnie obliczonej\ndługości krawędzi podstawy lub wysokości ściany bocznej poprowadzonej z wierzchołka\npodstawy ostrosłupa - to traktujemy to jak spełnienie kryterium z myślnika czwartego\nz kategorii za 1 punkt.\n3. Jeżeli zdający błędnie interpretuje kąt między krawędziami bocznymi ostrosłupa, to może\notrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.\n4. Jeżeli zdający rozpatruje inną bryłę niż ostrosłup prawidłowy trójkątny, to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia:\n𝐴, 𝐵, 𝐶 - wierzchołki podstawy ostrosłupa,\n𝑆 - wierzchołek ostrosłupa,\n𝐷 - punkt wspólny wysokości ściany bocznej 𝐵𝐶𝑆 poprowadzonej z wierzchołka 𝐵\ni wysokości ściany bocznej 𝐴𝐶𝑆 poprowadzonej z wierzchołka 𝐴,\n𝐸, 𝐹 - środki krawędzi - odpowiednio - 𝐴𝐵 i 𝐵𝐶,\n𝛼 - miara kąta 𝐵𝑆𝐶,\n𝛽 - miara kąta dwuściennego zawartego między ścianami bocznymi 𝐵𝐶𝑆 i 𝐴𝐶𝑆 ostrosłupa\n𝐴𝐵𝐶𝑆,\n𝑎 - długość krawędzi podstawy 𝐴𝐵𝐶,\n𝑏 - długość krawędzi bocznej,\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑥 - wysokość ściany bocznej poprowadzona z wierzchołka podstawy 𝐴𝐵𝐶 (zobacz\nrysunek).\nSposób I (z pominięciem krawędzi bocznej)\nObliczamy promień 𝑅 okręgu opisanego na podstawie 𝐴𝐵𝐶:\n2𝜋𝑅= 6√2𝜋\n𝑅= 3√2\nObliczamy długość krawędzi podstawy:\n𝑎√3\n3\n= 3√2\n𝑎= 3√6\nStosujemy wzór na cosinus podwojonego kąta i obliczamy cos (𝛼\n2):\ncos 𝛼= 2 cos2 (𝛼\n2) -1\n5\n9 = 2 cos2 (𝛼\n2) -1\ncos (𝛼\n2) = √7\n3 ∨ cos (𝛼\n2) = -√7\n3\nPonieważ 𝛼< 180°, więc cos (𝛼\n2) =\n√7\n3 .\nPonieważ |∡𝐹𝐶𝑆| = 90° -𝛼\n2 , więc |∡𝐶𝐵𝐷| = 𝛼\n2 . Zatem:\n𝑥\n𝑎= cos (𝛼\n2)\n𝑆\n𝛽\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n𝐹\n𝑥\n𝑏\n𝑎\n𝛼\n𝑥= 3√6 ⋅√7\n3\n𝑥= √42\nStosujemy twierdzenie cosinusów do trójkąta 𝐴𝐵𝐷 i obliczamy cos 𝛽:\n𝑎2 = 𝑥2 + 𝑥2 -2 ⋅𝑥⋅𝑥⋅cos 𝛽\n(3√6)\n2 = 2 ⋅42 -2 ⋅42 cos 𝛽\ncos 𝛽= 5\n14\nSposób II (poprzez krawędź boczną)\nObliczamy promień 𝑅 okręgu opisanego na podstawie 𝐴𝐵𝐶:\n2𝜋𝑅= 6√2𝜋\n𝑅= 3√2\nObliczamy długość krawędzi podstawy:\n𝑎√3\n3\n= 3√2\n𝑎= 3√6\nStosujemy twierdzenie cosinusów do trójkąta 𝐵𝐶𝑆 i obliczamy długość krawędzi bocznej:\n(3√6)\n2 = 𝑏2 + 𝑏2 -2𝑏⋅𝑏⋅cos 𝛼\n54 = 2𝑏2 -2𝑏2 ⋅5\n9\n𝑏= 9√3\n2\nKorzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝐵𝐹𝑆 i obliczamy wysokość 𝑆𝐹 ściany\nbocznej 𝐵𝐶𝑆:\n|𝑆𝐹| = √𝑏2 -(𝑎\n2)\n2\n|𝑆𝐹| = √(9√3\n2 )\n2\n-(3√6\n2 )\n2\n= 3√21\n2\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nKorzystamy z podobieństwa trójkątów 𝐶𝐷𝐵 oraz 𝐵𝐹𝑆 i obliczamy długość 𝐵𝐷:\n𝑥\n𝑎=\n|𝑆𝐹|\n𝑏\n𝑥= 𝑎⋅|𝑆𝐹|\n𝑏\n𝑥= 3√6 ⋅\n3√21\n2\n9√3\n2\n= √42\nStosujemy twierdzenie cosinusów do trójkąta 𝐴𝐵𝐷 i obliczamy cos 𝛽:\n𝑎2 = 𝑥2 + 𝑥2 -2 ⋅𝑥⋅𝑥⋅cos 𝛽\n(3√6)\n2 = 2 ⋅42 -2 ⋅42 cos 𝛽\ncos 𝛽= 5\n14\nSposób III (poprzez sin (𝛽\n2))\nObliczamy promień 𝑅 okręgu opisanego na podstawie 𝐴𝐵𝐶:\n2𝜋𝑅= 6√2𝜋\n𝑅= 3√2\nObliczamy długość krawędzi podstawy:\n𝑎√3\n3\n= 3√2\n𝑎= 3√6\nStosujemy wzór na cosinus podwojonego kąta i obliczamy cos (𝛼\n2):\ncos 𝛼= 2 cos2 (𝛼\n2) -1\n5\n9 = 2 cos2 (𝛼\n2) -1\ncos (𝛼\n2) = √7\n3 ∨ cos (𝛼\n2) = -√7\n3\nPonieważ 𝛼< 180°, więc cos (𝛼\n2) =\n√7\n3 .\nPonieważ |∡𝐹𝐶𝑆| = 90° -𝛼\n2 , więc |∡𝐶𝐵𝐷| = 𝛼\n2 i 𝑥\n𝑎= cos (𝛼\n2). Stąd i ze związku\n|𝐸𝐵|\n𝑥\n= sin (𝛽\n2) otrzymujemy:\n|𝐸𝐵|\n𝑎\n= cos (𝛼\n2) ⋅sin (𝛽\n2)\n1\n2 = √7\n3 ⋅sin (𝛽\n2)\nsin (𝛽\n2) =\n3\n2√7\nObliczamy cos 𝛽:\ncos 𝛽= 1 -2 sin2 (𝛽\n2)\ncos 𝛽= 1 -2 ⋅( 3\n2√7\n)\n2\ncos 𝛽= 5\n14\nSposób IV\nStosujemy twierdzenie cosinusów do trójkąta 𝐵𝐷𝐴 i otrzymujemy:\n𝑎2 = 𝑥2 + 𝑥2 -2𝑥⋅𝑥⋅cos 𝛽\n𝑎2 = 2𝑥2(1 -cos 𝛽)\nZ trójkąta prostokątnego 𝐵𝐷𝑆 otrzymujemy 𝑥\n𝑏= sin 𝛼, więc 𝑥= 𝑏⋅sin 𝛼 i dlatego\n𝑎2 = 2𝑏2 ⋅sin2 𝛼⋅(1 -cos 𝛽)\nStosujemy twierdzenie cosinusów do trójkąta 𝐵𝐶𝑆 i otrzymujemy:\n𝑎2 = 𝑏2 + 𝑏2 -2𝑏⋅𝑏⋅cos 𝛼\n𝑎2 = 2𝑏2(1 -cos 𝛼)\nStąd i z zależności 𝑎2 = 2𝑏2 ⋅sin2 𝛼⋅(1 -cos 𝛽) otrzymujemy:\n2𝑏2 ⋅sin2 𝛼⋅(1 -cos 𝛽) = 2𝑏2(1 -cos 𝛼)\n1 -cos 𝛽= 1 -cos 𝛼\nsin2 𝛼\n1 -cos 𝛽= 1 -cos 𝛼\n1 -cos2 𝛼\n1 -cos 𝛽=\n1\n1 + cos 𝛼\ncos 𝛽=\ncos 𝛼\n1 + cos 𝛼\nZasady oceniania rozwiązań zadań\ncos 𝛽=\n5\n9\n1 +\n5\n9\n= 5\n14\nObliczamy promień 𝑅 okręgu opisanego na podstawie 𝐴𝐵𝐶:\n2𝜋𝑅= 6√2𝜋\n𝑅= 3√2\nObliczamy długość krawędzi podstawy:\n𝑎√3\n3\n= 3√2\n𝑎= 3√6","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"12","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12. (0-5)\nW układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (1, -1) oraz 𝐵= (4, 0) są wierzchołkami\ntrójkąta 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐶𝐴| = |𝐶𝐵|. Jedno z ramion trójkąta 𝐴𝐵𝐶 zawiera się w prostej\no równaniu 𝑥+ 2𝑦-4 = 0. Na boku 𝐴𝐶 tego trójkąta obrano taki punkt 𝑀, że\n|𝐴𝑀| ∶|𝑀𝐶| = 1 ∶4.\nWyznacz równanie okręgu, który ma środek w punkcie 𝑀 i przechodzi przez punkt 𝐶.\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12. (0-5)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n8.3) wyznacza równanie prostej, która jest\nrównoległa lub prostopadła do prostej danej\nw postaci kierunkowej i przechodzi przez\ndany punkt.\n8.7R) oblicza współrzędne oraz długość\nwektora; dodaje i odejmuje wektory oraz\nmnoży je przez liczbę. Interpretuje\ngeometrycznie działania na wektorach.\nZasady oceniania (dla sposobu I)\n5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: (𝑥-6\n5)\n2\n+ (𝑦+ 3\n5)\n2\n= 16\n5 .\n4 pkt - obliczenie współrzędnych punktów 𝐶 oraz 𝑀: 𝐶= (2, 1) oraz 𝑀= (6\n5 , -3\n5)\nALBO\n- obliczenie współrzędnych punktu 𝐶 oraz długości odcinka 𝑀𝐶: 𝐶= (2, 1)\noraz |𝑀𝐶| = 4\n√5 .\n3 pkt - obliczenie współrzędnych punktu 𝐶: 𝐶= (2, 1)\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą (pierwszą lub drugą współrzędną punktu 𝐶),\noraz wyznaczenie współrzędnych punktu 𝑀 w zależności od współrzędnych\npunktów 𝐴 oraz 𝐶, np. 6𝑥𝐶+ 2 ⋅(-1\n2 𝑥𝐶+ 2) -14 = 0 oraz\n𝑥𝑀= 1\n5 (𝑥𝐶-𝑥𝐴) + 𝑥𝐴 oraz 𝑦𝑀= 1\n5 (𝑦𝐶-𝑦𝐴) + 𝑦𝐴 .\n2 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą (pierwszą lub drugą współrzędną punktu 𝐶),\nnp. 6𝑥𝐶+ 2 ⋅(-1\n2 𝑥𝐶+ 2) -14 = 0, 6(4 -2𝑦𝐶) + 2𝑦𝐶-14 = 0\nALBO\n- wyznaczenie równania stopnia pierwszego symetralnej boku 𝐴𝐵 trójkąta oraz\nwyznaczenie współrzędnych punktu 𝑀 w zależności od współrzędnych punktów 𝐴\noraz 𝐶, np.\n6𝑥+ 2𝑦-14 = 0 oraz 𝑥𝑀= 1\n5 (𝑥𝐶-𝑥𝐴) + 𝑥𝐴 oraz 𝑦𝑀= 1\n5 (𝑦𝐶-𝑦𝐴) + 𝑦𝐴 .\n1 pkt - wyznaczenie równania stopnia pierwszego symetralnej boku 𝐴𝐵 trójkąta, np.\n6𝑥+ 2𝑦-14 = 0\nALBO\n- zapisanie współrzędnych punktu 𝐶 w zależności od jednej zmiennej, np.\n𝐶= (𝑥𝐶 , -1\n2 𝑥𝐶+ 2),\nALBO\n- wyznaczenie współrzędnych punktu 𝑀 w zależności od współrzędnych punktów 𝐴\noraz 𝐶, np. 𝑥𝑀= 1\n5 (𝑥𝐶-𝑥𝐴) + 𝑥𝐴 oraz 𝑦𝑀= 1\n5 (𝑦𝐶-𝑦𝐴) + 𝑦𝐴 .\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający zapisze współrzędne punktu 𝐶= (2, 1) oraz uzasadni (np. rachunkowo),\nże ten punkt spełnia warunki zadania, to za tę część rozwiązania otrzymuje 3 punkty.\nJeżeli zdający takiego uzasadnienia nie zapisze, to za tę część rozwiązania otrzymuje\n0 punktów.\n2. a) Jeżeli zdający przyjmuje |𝐴𝑀| ∶|𝑀𝐶| = 4 ∶1, to może otrzymać co najwyżej 4 punkty\nza całe rozwiązanie.\nb) Jeżeli zdający przyjmuje stosunek |𝐴𝑀| ∶|𝑀𝐶| inny niż 1 ∶4 lub 4 ∶1, to może\notrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający przyjmie bez uzasadnienia, że prosta 𝐴𝐶 jest prostopadła do prostej 𝐵𝐶,\nto może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za zapisanie\nwspółrzędnych punktu 𝐶 w zależności od jednej zmiennej lub wyznaczenie/obliczenie\nwspółrzędnych punktu 𝑀 w zależności od współrzędnych punktów 𝐴 oraz 𝐶, oraz\n1 punkt za konsekwentne rozwiązanie zadania do końca).\nZasady oceniania (dla sposobu II)\n5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: (𝑥-6\n5)\n2\n+ (𝑦+ 3\n5)\n2\n= 16\n5 .\n4 pkt - obliczenie współrzędnych punktu 𝑀 oraz współrzędnych wektora 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (lub\nwspółrzędnych wektora 𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ): 𝑀= (6\n5 , -3\n5) oraz 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [1\n5 , 2\n5] (lub\n𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [4\n5 , 8\n5]).\n3 pkt - obliczenie współrzędnych punktu 𝐷 oraz wyznaczenie równania prostej 𝑀𝐸:\n𝐷= (13\n10 , -9\n10) oraz np. 𝑦= -1\n2 (𝑥-8\n5) -4\n5\nALBO\n- obliczenie współrzędnych punktu 𝐸 oraz wyznaczenie równania prostej 𝑀𝐷:\n𝐸= (8\n5 , -4\n5) oraz np. 𝑦= -3 (𝑥-13\n10) -9\n10 .\n2 pkt - obliczenie współrzędnych punktów 𝐷 oraz 𝐸: 𝐷= (13\n10 , -9\n10) oraz\n𝐸= (8\n5 , -4\n5)\nALBO\n- wyznaczenie równania prostej 𝑀𝐷, np. 𝑦= -3 (𝑥-13\n10) -9\n10 ,\nALBO\n- wyznaczenie równania prostej 𝑀𝐸, np. 𝑦= -1\n2 (𝑥-8\n5) -4\n5 .\n1 pkt - obliczenie współrzędnych punktu 𝐷: 𝐷= (13\n10 , -9\n10)\nALBO\n- obliczenie współrzędnych punktu 𝐸: 𝐸= (8\n5 , -4\n5).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nZauważmy, że punkt 𝐴 nie leży na prostej 𝑥+ 2𝑦-4 = 0, natomiast punkt 𝐵 leży na tej\nprostej. Zatem w tej prostej zawiera się ramię 𝐵𝐶 trójkąta 𝐴𝐵𝐶.\nNiech 𝐶= (𝑥𝐶 , 𝑦𝐶). Wówczas 𝑦𝐶= -1\n2 𝑥𝐶+ 2. Ponieważ |𝐶𝐴| = |𝐶𝐵|, więc\n|𝐶𝐴|2 = |𝐶𝐵|2\n(1 -𝑥𝐶)2 + (-1 -𝑦𝐶)2 = (4 -𝑥𝐶)2 + (0 -𝑦𝐶)2\n1 -2𝑥𝐶+ 𝑥𝐶\n2 + 1 + 2𝑦𝐶+ 𝑦𝐶\n2 = 16 -8𝑥𝐶+ 𝑥𝐶\n2 + 𝑦𝐶\n2\n6𝑥𝐶+ 2𝑦𝐶-14 = 0\n6𝑥𝐶+ 2 ⋅(-1\n2 𝑥𝐶+ 2) -14 = 0\n𝑥𝐶= 2\nZatem 𝐶= (2, 1).\nNiech 𝑀= (𝑥𝑀 , 𝑦𝑀). Z warunków zadania wynika, że 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 1\n5 ⋅𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ . Obliczamy\nwspółrzędne punktu 𝑀:\n[𝑥𝑀-1, 𝑦𝑀-(-1)] = 1\n5 ⋅[2 -1,1 -(-1)]\n𝑥𝑀-1 = 1\n5 ∧ 𝑦𝑀+ 1 = 2\n5\nZatem 𝑀= (6\n5 , -3\n5).\n1\n2\n3\n4\n-1\n-2\n5\n0\n𝑥\n-5\n-4\n-3\n1\n2\n3\n4\n𝑦\n5\n-1\n-2\n-3\n-4\n-5\n𝑥+ 2𝑦-4 = 0\n𝐴\n𝐵\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nObliczamy kwadrat promienia okręgu, który przechodzi przez punkt 𝐶 i ma środek\nw punkcie 𝑀:\n|𝑀𝐶|2 = (2 -6\n5)\n2\n+ (1 + 3\n5)\n2\n= 80\n25 = 16\n5\nRównanie okręgu, który przechodzi przez punkt 𝐶 i ma środek w punkcie 𝑀, ma postać\n(𝑥-6\n5)\n2\n+ (𝑦+ 3\n5)\n2\n= 16\n5\nSposób II\nNiech 𝐷= (𝑥𝐷 , 𝑦𝐷) będzie punktem przecięcia prostej 𝐴𝐵 z prostą, która jest prostopadła\ndo 𝐴𝐵 i przechodzi przez punkt 𝑀.\nNiech 𝐸= (𝑥𝐸 , 𝑦𝐸) będzie punktem przecięcia prostej 𝐴𝐵 z prostą, która jest równoległa\ndo 𝐵𝐶 i przechodzi przez punkt 𝑀.\nZauważmy, że punkt 𝐴 nie leży na prostej 𝑥+ 2𝑦-4 = 0, natomiast punkt 𝐵 leży na tej\nprostej. Zatem w tej prostej zawiera się ramię 𝐵𝐶 trójkąta 𝐴𝐵𝐶.\nZ warunków zadania oraz twierdzenia Talesa otrzymujemy:\n𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ = 1\n5 ⋅𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗\n[𝑥𝐸-1, 𝑦𝐸-(-1)] = 1\n5 ⋅[4 -1,0 -(-1)]\n𝑥𝐸-1 = 3\n5 ∧ 𝑦𝐸+ 1 = 1\n5\nStąd 𝐸= (8\n5 , -4\n5).\nZatem prosta 𝑀𝐸 ma równanie 𝑦= -1\n2 (𝑥-8\n5) -4\n5 , czyli 𝑦= -1\n2 𝑥.\n𝐷\n𝐴\n𝐵\n𝐸\n𝐶\n𝑀\n𝑀𝐸∥𝐵𝐶\n𝑀𝐷⊥𝐴𝐵\n𝑥+ 2𝑦-4 = 0\nPonieważ 𝑀𝐸∥𝐵𝐶, więc trójkąt 𝐴𝑀𝐸 jest równoramienny i |𝐴𝑀| = |𝑀𝐸|. Stąd prosta\n𝑀𝐷 jest symetralną odcinka 𝐴𝐸. Zatem punkt 𝐷 dzieli odcinek 𝐴𝐵 w stosunku 1 ∶9\n(licząc od punktu 𝐴). Obliczamy współrzędne punktu 𝐷:\n𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = 1\n10 ⋅𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗\n[𝑥𝐷-1, 𝑦𝐷-(-1)] = 1\n10 ⋅[4 -1,0 -(-1)]\n𝑥𝐷-1 = 3\n10 ∧ 𝑦𝐷+ 1 = 1\n10\nStąd 𝐷= (13\n10 , -9\n10).\nWspółczynnik kierunkowy 𝑎𝐴𝐵 prostej 𝐴𝐵 jest równy 𝑎𝐴𝐵= 0-(-1)\n4 - 1\n= 1\n3 , więc prosta\n𝑀𝐷 ma równanie 𝑦= -3 (𝑥-13\n10) -9\n10 , czyli 𝑦= -3𝑥+ 3.\nObliczamy współrzędne punktu 𝑀:\n-1\n2 𝑥= -3𝑥+ 3\n𝑥= 6\n5\nStąd 𝑀= (6\n5 , -3\n5).\nZ warunków zadania\n𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 4 ⋅𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 4 ⋅[6\n5 -1, -3\n5 -(-1)] = [4\n5 , 8\n5]\nObliczamy kwadrat promienia okręgu, który przechodzi przez punkt 𝐶 i ma środek\nw punkcie 𝑀:\n|𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |\n2 = (4\n5)\n2\n+ (8\n5)\n2\n= 16\n5\nRównanie okręgu, który przechodzi przez punkt 𝐶 i ma środek w punkcie 𝑀, ma postać\n(𝑥-6\n5)\n2\n+ (𝑦+ 3\n5)\n2\n= 16\n5\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/13","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"13","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13. (0-5)\nWyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru 𝑚, gdzie 𝑚≠0, dla których funkcja\nkwadratowa 𝑓 określona wzorem\n𝑓(𝑥) = 𝑚2 ⋅𝑥2 -2𝑚𝑥-𝑚+ 1\nma dwa różne miejsca zerowe 𝑥1 oraz 𝑥2 należące do przedziału (-2, 2).\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 13. (0-5)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n3.2R) rozwiązuje równania i nierówności\nliniowe i kwadratowe z parametrem.\n4.12) wykorzystuje własności funkcji\nkwadratowej liniowej i kwadratowej do\ninterpretacji zagadnień geometrycznych\n[…].\nZasady oceniania (dla sposobu I)\n5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: (1, +∞).\n4 pkt - rozwiązanie pięciu warunków 1) - 5) określonych w kryterium za 1 punkt.\n3 pkt - rozwiązanie czterech spośród warunków 1) - 5) określonych w kryterium za 1 punkt.\n2 pkt - rozwiązanie trzech spośród warunków 1) - 5) określonych w kryterium za 1 punkt.\n1 pkt - zapisanie wszystkich warunków 1) - 5):\n1) 𝑓(𝑝) < 0 (lub 𝑞< 0, lub Δ > 0),\n2) 𝑝> -2,\n3) 𝑝< 2,\n4) 𝑓(-2) > 0,\n5) 𝑓(2) > 0,\nALBO\n- rozwiązanie jednego z warunków 1) - 5):\n1) 𝑓(𝑝) < 0 (lub 𝑞< 0, lub Δ > 0): 𝑚∈(0, +∞),\n2) 𝑝> -2: 𝑚∈(-∞, -1\n2) ∪(0, +∞),\n3) 𝑝< 2: 𝑚∈(-∞, 0) ∪(1\n2 , +∞),\n4) 𝑓(-2) > 0: 𝑚∈ℝ,\n5) 𝑓(2) > 0: 𝑚∈(-∞, 1\n4) ∪(1, +∞).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający rozwiązuje warunek ∆ ≥0, to za tę część rozwiązania otrzymuje\n0 punktów.\n2. Jeżeli zdający:\na) nie rozwiąże wszystkich warunków 1) - 5) określonych w kryterium za 1 punkt albo\nb) podczas rozwiązywania warunków 1) - 5) popełni błędy rachunkowe i otrzyma zbiory\nrozwiązań, których część wspólna jest zbiorem pustym, albo\nc) popełni błąd, który nie jest rachunkowy,\nto może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.\nZasady oceniania (dla sposobu II)\n5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: (1, +∞).\n4 pkt - rozwiązanie pięciu warunków I) - V) określonych w kryterium za 2 punkty\nALBO\n- spełnienie warunków I) oraz III), oraz IV), oraz zapisanie 𝑥1 < 𝑥2.\n3 pkt - spełnienie czterech spośród warunków I) - V) określonych w kryterium za 2 punkty\nALBO\n- spełnienie warunków I) oraz III), oraz zapisanie 𝑥1 < 𝑥2 ,\nALBO\n- spełnienie warunków I) oraz IV), oraz zapisanie 𝑥1 < 𝑥2 ,\nALBO\n- spełnienie warunków III) oraz IV), oraz zapisanie 𝑥1 < 𝑥2.\n2 pkt - spełnienie warunku I) i jednego z warunków II) - V):\nI) wyznaczenie wszystkich wartości parametru 𝑚, dla których funkcja 𝑓 ma\ndokładnie dwa miejsca zerowe oraz wyznaczenie miejsc zerowych 𝑥1 oraz 𝑥2\nfunkcji 𝑓 w zależności od 𝑚: 𝑚∈(0, +∞) i 𝑥1 = 1 - √𝑚\n𝑚\noraz 𝑥2 = 1+ √𝑚\n𝑚\n,\nII) rozwiązanie nierówności 𝑥1 < 2: 𝑚∈(1\n4 , +∞),\nIII) rozwiązanie nierówności -2 < 𝑥1 : 𝑚∈(0 , +∞),\nIV) rozwiązanie nierówności 𝑥2 < 2: 𝑚∈(1 , +∞),\nV) rozwiązanie nierówności -2 < 𝑥2 : 𝑚∈(0 , +∞),\nALBO\n- spełnienie trzech spośród warunków II) - V).\n1 pkt - wyznaczenie wszystkich wartości parametru 𝑚, dla których funkcja 𝑓 ma dokładnie\ndwa miejsca zerowe: 𝑚∈(0, +∞)\nALBO\n- wyznaczenie miejsc zerowych funkcji 𝑓 w zależności od 𝑚: 𝑥1 = 1 - √𝑚\n𝑚\noraz\n𝑥2 = 1+ √𝑚\n𝑚\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający rozwiązuje warunek ∆ ≥0, to za tę część rozwiązania otrzymuje\n0 punktów.\n2. Jeżeli zdający:\na) nie rozwiąże wszystkich warunków I) - V) określonych w kryterium za 1 punkt albo\nb) podczas rozwiązywania warunków I) - V) popełni błędy rachunkowe i otrzyma zbiory\nrozwiązań, których część wspólna jest zbiorem pustym, albo\nc) popełni błąd, który nie jest rachunkowy,\nto może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZasady oceniania (dla sposobu III)\n5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: (1, +∞).\n4 pkt - rozwiązanie pięciu warunków A) - E) określonych w kryterium za 1 punkt.\n3 pkt - rozwiązanie czterech warunków spośród warunków A) - E) określonych w kryterium\nza 1 punkt.\n2 pkt - rozwiązanie trzech warunków spośród warunków A) - E) określonych w kryterium za\n1 punkt.\n1 pkt - zapisanie warunków A) - E):\nA) Δ > 0,\nB) 𝑥1 + 2 + 𝑥2 + 2 > 0,\nC) 𝑥1 ⋅𝑥2 + 2(𝑥1 + 𝑥2) + 4 > 0,\nD) 2 -𝑥1 + 2 -𝑥2 > 0,\nE) 𝑥1 ⋅𝑥2 -2(𝑥1 + 𝑥2) + 4 > 0,\nALBO\n- rozwiązanie jednego z warunków A) - E):\nA) Δ > 0: 𝑚∈(0, +∞),\nB) 𝑥1 + 2 + 𝑥2 + 2 > 0: 𝑚∈(-∞, -1\n2) ∪(0, +∞),\nC) 𝑥1 ⋅𝑥2 + 2(𝑥1 + 𝑥2) + 4 > 0: 𝑚≠0,\nD) 2 -𝑥1 + 2 -𝑥2 > 0: 𝑚∈(-∞, 0) ∪(1\n2 , +∞),\nE) 𝑥1 ⋅𝑥2 -2(𝑥1 + 𝑥2) + 4 > 0: 𝑚∈(-∞, 0) ∪(0, 1\n4) ∪(1, +∞).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający rozwiązuje warunek ∆ ≥0, to za tę część rozwiązania otrzymuje\n0 punktów.\n2. Jeżeli zdający:\na) nie rozwiąże wszystkich warunków A) - E) określonych w kryterium za 1 punkt albo\nb) podczas rozwiązywania warunków A) - E) popełni błędy rachunkowe i otrzyma zbiory\nrozwiązań, których część wspólna jest zbiorem pustym, albo\nc) popełni błąd, który nie jest rachunkowy,\nto może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I (poprzez interpretację geometryczną)\nPonieważ 𝑚≠0, więc współczynnik przy 𝑥2 jest dodatni. Zatem parabola, która jest\nwykresem funkcji 𝑓, ma ramiona skierowane ku górze.\nStąd funkcja 𝑓 ma dokładnie dwa miejsca zerowe należące do przedziału (-2, 2) tylko\nwtedy, gdy spełnione będą następujące warunki:\n1) 𝑓(𝑝) < 0 (lub 𝑞< 0, lub Δ > 0)\n2) 𝑝> -2\n3) 𝑝< 2\n4) 𝑓(-2) > 0\n5) 𝑓(2) > 0.\nRozwiązujemy warunek 1):\n𝑓(𝑝) < 0\n𝑓( 1\n𝑚) < 0\n𝑚2 ⋅( 1\n𝑚)\n2\n-2𝑚⋅1\n𝑚-𝑚+ 1 < 0\n-𝑚< 0 ∧ 𝑚≠0\n𝑚∈(0, +∞)\nWarunki 2) oraz 3) można rozwiązać za pomocą nierówności podwójnej:\n𝑝∈(-2, 2)\n-2 < --2𝑚\n2𝑚2 < 2\n-2 < 1\n𝑚< 2\n1\n|𝑚| < 2\n|𝑚| > 1\n2 ∧ 𝑚≠0\n𝑚∈(-∞, -1\n2) ∪(1\n2 , +∞)\nRozwiązujemy warunek 4):\n𝑓(-2) > 0\n𝑚2 ⋅(-2)2 -2𝑚⋅(-2) -𝑚+ 1 > 0\n4𝑚2 + 3𝑚+ 1 > 0\n(2𝑚+ 3\n4)\n2\n+ 7\n16 > 0\n𝑚∈ℝ\nRozwiązujemy warunek 5):\n𝑓(2) > 0\n𝑚2 ⋅22 -2𝑚⋅2 -𝑚+ 1 > 0\n4𝑚2 -5𝑚+ 1 > 0\n4(𝑚-1) (𝑚-1\n4) > 0\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑚∈(-∞, 1\n4) ∪(1, +∞)\nWyznaczamy wszystkie wartości parametru 𝑚, które jednocześnie spełniają warunki 1) - 5)\noraz 𝑚≠0: 𝑚∈(1, +∞).\nFunkcja 𝑓 ma dwa różne miejsca zerowe należące do przedziału (-2, 2) tylko wtedy, gdy\n𝑚∈(1, +∞).\nSposób II (poprzez wyznaczenie miejsc zerowych)\nPrzy 𝑚≠0 funkcja 𝑓 ma dokładnie dwa miejsca zerowe 𝑥1 , 𝑥2 należące do przedziału\n(-2, 2), gdy spełnione są następujące warunki:\nI) Δ > 0\nII) 𝑥1 < 2\nIII) -2 < 𝑥1\nIV) 𝑥2 < 2\nV) -2 < 𝑥2 .\nRozwiązujemy nierówność 𝑏2 -4𝑎𝑐> 0:\n(-2𝑚)2 -4 ⋅𝑚2 ⋅(-𝑚+ 1) > 0\n4𝑚3 > 0\n𝑚∈(0, +∞)\nWtedy miejsca zerowe są równe:\n𝑥1 = 2𝑚-2𝑚⋅√𝑚\n2𝑚2\n= 1 -√𝑚\n𝑚\noraz\n𝑥2 = 2𝑚+ 2𝑚⋅√𝑚\n2𝑚2\n= 1 + √𝑚\n𝑚\nRozwiązujemy nierówność -2 < 𝑥1 < 2:\n-2 < 1 -√𝑚\n𝑚\n< 2\n(-2𝑚< 1 -√𝑚 ∧ 𝑚> 0) ∧ (1 -√𝑚< 2𝑚 ∧ 𝑚> 0)\n(2𝑚-√𝑚+ 1 > 0 ∧ 𝑚> 0) ∧ (2𝑚+ √𝑚-1 > 0 ∧ 𝑚> 0)\n(2 (√𝑚-1\n4)\n2\n+ 7\n8 > 0 ∧ 𝑚> 0) ∧ (2(√𝑚+ 1) (√𝑚-1\n2) > 0 ∧ 𝑚> 0)\n𝑚> 0 ∧ ((√𝑚< -1 ∨ √𝑚> 1\n2) ∧ 𝑚> 0)\n𝑚> 0 ∧ (𝑚> 1\n4 ∧ 𝑚> 0)\n𝑚∈(1\n4 , +∞)\nRozwiązujemy nierówność -2 < 𝑥2 < 2:\n-2 < 1 + √𝑚\n𝑚\n< 2\n(-2𝑚< 1 + √𝑚 ∧ 𝑚> 0) ∧ (1 + √𝑚< 2𝑚 ∧ 𝑚> 0)\n(2𝑚+ √𝑚+ 1 > 0 ∧ 𝑚> 0) ∧ (2𝑚-√𝑚-1 > 0 ∧ 𝑚> 0)\n(2 (√𝑚+ 1\n4)\n2\n+ 7\n8 > 0 ∧ 𝑚> 0) ∧ (2(√𝑚-1) (√𝑚+ 1\n2) > 0 ∧ 𝑚> 0)\n𝑚> 0 ∧ ((√𝑚< -1\n2 ∨ √𝑚> 1) ∧ 𝑚> 0)\n𝑚> 0 ∧ (𝑚> 1 ∧ 𝑚> 0)\n𝑚∈(1, +∞)\nWyznaczamy wszystkie wartości parametru 𝑚, które jednocześnie spełniają warunki I) - V)\noraz 𝑚≠0: 𝑚∈(1, +∞).\nFunkcja 𝑓 ma dwa różne miejsca zerowe należące do przedziału (-2, 2) tylko wtedy, gdy\n𝑚∈(1, +∞).\nUwaga.\nWszystkie wartości 𝑚, dla których funkcja 𝑓 ma dokładnie dwa miejsca zerowe oraz te\nmiejsca zerowe, można wyznaczyć również następująco.\n𝑓(𝑥) = 𝑚2𝑥2 -2𝑚𝑥-𝑚+ 1\n𝑓(𝑥) = (𝑚𝑥-1)2 -𝑚\n(𝑚𝑥-1)2 -𝑚= 0\n(𝑚𝑥-1)2 = 𝑚\nDla 𝑚≤0 to równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych, natomiast dla 𝑚> 0\notrzymujemy:\n𝑚𝑥-1 = -√𝑚 ∨ 𝑚𝑥-1 = √𝑚\n𝑥1 = 1 -√𝑚\n𝑚\n∨ 𝑥2 = 1 + √𝑚\n𝑚\nZatem funkcja 𝑓 ma dokładnie dwa miejsca zerowe tylko wtedy, gdy 𝑚∈(0 + ∞).\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób III (poprzez wzory Viète’a)\nPrzy 𝑚≠0 funkcja 𝑓 ma dokładnie dwa miejsca zerowe 𝑥1 , 𝑥2 należące do przedziału\n(-2, 2), gdy spełnione są następujące warunki:\nΔ > 0 ∧ 0 < 2 -𝑥1 ∧ 0 < 2 -𝑥2 ∧ 0 < 𝑥1 + 2 ∧ 0 < 𝑥2 + 2\nLiczby 2 -𝑥1 oraz 2 -𝑥2 są dodatnie tylko wówczas, gdy ich suma i iloczyn są dodatnie.\nLiczby 𝑥1 + 2 oraz 𝑥2 + 2 są dodatnie tylko wówczas, gdy ich suma i iloczyn są dodatnie.\nZatem przy 𝑚≠0 funkcja 𝑓 ma dokładnie dwa miejsca zerowe 𝑥1 , 𝑥2 należące do\nprzedziału (-2, 2) tylko wówczas, gdy spełnione są poniższe warunki:\nA) Δ > 0\nB) 𝑥1 + 2 + 𝑥2 + 2 > 0\nC) 𝑥1 ⋅𝑥2 + 2(𝑥1 + 𝑥2) + 4 > 0\nD) 2 -𝑥1 + 2 -𝑥2 > 0\nE) 𝑥1 ⋅𝑥2 -2(𝑥1 + 𝑥2) + 4 > 0.\nRozwiązujemy warunek A), tj. nierówność 𝑏2 -4𝑎𝑐> 0:\n(-2𝑚)2 -4 ⋅𝑚2 ⋅(-𝑚+ 1) > 0\n4𝑚3 > 0\n𝑚∈(0, +∞)\nRozwiązujemy warunek B), stosując wzory Viète’a:\n𝑥1 + 2 + 𝑥2 + 2 > 0\n2𝑚\n𝑚2 + 4 > 0\n4𝑚2 + 2𝑚> 0 ∧ 𝑚≠0\n2𝑚(2𝑚+ 1) > 0 ∧ 𝑚≠0\n𝑚∈(-∞, -1\n2) ∪(0, +∞)\nRozwiązujemy warunek C), stosując wzory Viète’a:\n𝑥1 ⋅𝑥2 + 2(𝑥1 + 𝑥2) + 4 > 0\n-𝑚+ 1\n𝑚2\n+ 2 ⋅2𝑚\n𝑚2 + 4 > 0\n-𝑚+ 1 + 4𝑚+ 4𝑚2 > 0 ∧ 𝑚≠0\n4𝑚2 + 3𝑚+ 1 > 0 ∧ 𝑚≠0\n(2𝑚+ 3\n4)\n2\n+ 7\n16 > 0 ∧ 𝑚≠0\n𝑚≠0\nRozwiązujemy warunek D), stosując wzory Viète’a:\n2 -𝑥1 + 2 -𝑥2 > 0\n4 -2𝑚\n𝑚2 > 0\n4𝑚2 -2𝑚> 0 ∧ 𝑚≠0\n2𝑚(2𝑚-1) > 0 ∧ 𝑚≠0\n𝑚∈(-∞, 0) ∪(1\n2 , +∞)\nRozwiązujemy warunek E), stosując wzory Viète’a:\n𝑥1 ⋅𝑥2 -2(𝑥1 + 𝑥2) + 4 > 0\n-𝑚+ 1\n𝑚2\n-2 ⋅2𝑚\n𝑚2 + 4 > 0\n-𝑚+ 1 -4𝑚+ 4𝑚2 > 0 ∧ 𝑚≠0\n4𝑚2 -5𝑚+ 1 > 0 ∧ 𝑚≠0\n(4𝑚-1)(𝑚-1) > 0 ∧ 𝑚≠0\n𝑚∈(-∞, 0) ∪(0, 1\n4) ∪(1, +∞)\nWyznaczamy wszystkie wartości parametru 𝑚, które jednocześnie spełniają warunki A) - E)\noraz 𝑚≠0: 𝑚∈(1, +∞).\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/14","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"14","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 14. (0-6)\nW czworokącie 𝐴𝐵𝐶𝐷 są dane: |𝐴𝐵| = 9, |𝐴𝐷| = 10 oraz |∡𝐵𝐴𝐷| = 60°. W ten\nczworokąt wpisano okrąg oraz na tym czworokącie opisano okrąg (zobacz rysunek).\nOblicz długości boków 𝐵𝐶 i 𝐶𝐷 oraz pole czworokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n9\n10\n60°\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 14. (0-6)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n7.1R) stosuje twierdzenia charakteryzujące\nczworokąty wpisane w okrąg i czworokąty\nopisane na okręgu.\nZasady oceniania\n6 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: |𝐵𝐶| = 5 i |𝐶𝐷| = 6 oraz\n𝑃= 30√3.\n5 pkt - obliczenie długości boków 𝐵𝐶 oraz 𝐶𝐷: |𝐵𝐶| = 5 oraz |𝐶𝐷| = 6.\n4 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą (długością boku 𝐵𝐶 lub długością boku\n𝐶𝐷), np.\n91 = |𝐵𝐶|2 + (|𝐵𝐶| + 1)2 -2 ⋅|𝐵𝐶| ⋅(|𝐵𝐶| + 1) ⋅cos 120°,\n91 = (|𝐵𝐶| + 1 + 1\n2 ⋅|𝐵𝐶|)\n2\n+ (√3\n2 ⋅|𝐵𝐶|)\n2\nALBO\n- zapisanie układu równań z dwiema niewiadomymi (długościami boków 𝐵𝐶 i 𝐶𝐷),\nnp. {\n9 + |𝐶𝐷| = 10 + |𝐵𝐶|\n(√91)\n2 = |𝐵𝐶|2 + |𝐶𝐷|2 -2 ⋅|𝐵𝐶| ⋅|𝐶𝐷| ⋅cos 120°\n3 pkt - spełnienie wszystkich warunków 1) - 3) określonych w kryterium za 1 punkt\nALBO\n- spełnienie warunków 1) i 2) określonych w kryterium za 1 punkt oraz zastosowanie\ntwierdzenia cosinusów do trójkąta 𝐵𝐶𝐷 i zapisanie równania\n|𝐵𝐷|2 = |𝐵𝐶|2 + |𝐶𝐷|2 -2 ⋅|𝐵𝐶| ⋅|𝐶𝐷| ⋅cos|∡𝐵𝐶𝐷|,\nALBO\n- spełnienie warunków 2) i 3) określonych w kryterium za 1 punkt oraz zastosowanie\ntwierdzenia cosinusów do trójkąta 𝐵𝐶𝐷 i zapisanie równania\n|𝐵𝐷|2 = |𝐵𝐶|2 + |𝐶𝐷|2 -2 ⋅|𝐵𝐶| ⋅|𝐶𝐷| ⋅cos|∡𝐵𝐶𝐷|.\n2 pkt - spełnienie dwóch spośród warunków 1) - 3) określonych w kryterium za 1 punkt.\n1 pkt - spełnienie jednego z warunków 1) - 3):\n1) zastosowanie twierdzenia o czworokącie opisanym na okręgu i zapisanie\nzależności między długością boku 𝐵𝐶 a długością boku 𝐶𝐷 czworokąta, np.\n9 + |𝐶𝐷| = 10 + |𝐵𝐶|,\n2) zapisanie jednego z dwóch równań: |𝐵𝐷|2 = 92 + 102 -2 ⋅9 ⋅10 ⋅cos 60° lub\n|𝐵𝐷|2 = (\n√3\n2 ⋅10)\n2\n+ (9 -5)2,\n3) zastosowanie twierdzenia o czworokącie wpisanym w okrąg i obliczenie miary kąta\n𝐵𝐶𝐷: 120°.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli jedynym błędem zdającego jest:\na) błędne zastosowanie twierdzenia cosinusów albo\nb) błędne zastosowanie wzoru redukcyjnego, albo\nc) błędne zastosowanie twierdzenia o czworokącie opisanym na okręgu (tj. zapisanie\nzwiązku 9 ⋅|𝐶𝐷| = 10 ⋅|𝐵𝐶| lub 10 + |𝐶𝐷| = 9 + |𝐵𝐶|), albo\nd) błędne zastosowanie własności miarowych trójkąta prostokątnego o kątach ostrych\n30° i 60°, albo\ne) błędna interpretacja obliczonej długości jednego z dwóch szukanych boków\nczworokąta,\nale zdający realizuje poprawnie strategię rozwiązania zadania, to może otrzymać co\nnajwyżej 4 punkty za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.\nJeżeli zdający popełni dodatkowo błędy rachunkowe, to może otrzymać co najwyżej\n3 punkty za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia: 𝑥= |𝐵𝐶|, 𝑦= |𝐶𝐷|, 𝑑= |𝐵𝐷| (zobacz rysunek).\nNa czworokącie 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest opisany okrąg, więc 60° + |∡𝐵𝐶𝐷| = 180°, czyli\n|∡𝐵𝐶𝐷| = 120°.\nW czworokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest wpisany okrąg, więc 9 + 𝑦= 10 + 𝑥, czyli 𝑦= 𝑥+ 1.\nStosujemy twierdzenie cosinusów do trójkąta 𝐴𝐵𝐷 i otrzymujemy\n𝑑2 = 92 + 102 -2 ⋅9 ⋅10 ⋅cos 60°\nStosujemy twierdzenie cosinusów do trójkąta 𝐵𝐶𝐷 i otrzymujemy:\n𝑑2 = 𝑥2 + 𝑦2 -2 ⋅𝑥⋅𝑦⋅cos 120°\n𝑑2 = 𝑥2 + (𝑥+ 1)2 + 2𝑥(𝑥+ 1) ⋅1\n2\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n9\n10\n60°\n𝑥\n𝑦\n𝑑\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZatem:\n92 + 102 -2 ⋅9 ⋅10 ⋅cos 60° = 𝑥2 + (𝑥+ 1)2 + 2𝑥(𝑥+ 1) ⋅1\n2\n0 = 3𝑥2 + 3𝑥-90\n0 = 𝑥2 + 𝑥-30\n𝑥= 5 ∨ 𝑥= -6 ∉(0, +∞)\nStąd |𝐵𝐶| = 5 i |𝐶𝐷| = |𝐵𝐶| + 1 = 6.\nPole czworokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest sumą pól trójkątów 𝐴𝐵𝐷 i 𝐵𝐶𝐷.\nObliczamy pole 𝑃 czworokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷:\n𝑃= 1\n2 ⋅9 ⋅10 ⋅sin 60° + 1\n2 ⋅5 ⋅6 ⋅sin 120° = 45 ⋅√3\n2 + 15 ⋅√3\n2 = 30√3","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":24,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/15","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"15","points":7,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 15. (0-7)\nW projekcie ogrodu zaplanowano kwietnik w kształcie trójkąta równoramiennego o podstawie\ndługości 𝑥 metrów nieprzekraczającej 10 metrów. Na tym kwietniku ma znajdować się\nfontanna w kształcie koła o średnicy 4 metrów, które ma być styczne do każdego z boków\ntrójkątnego kwietnika (zobacz rysunek). Projektantowi zależy, aby przy tak ustalonej\nwielkości fontanny pole tego kwietnika było najmniejsze.\na) Wykaż, że pole 𝑃 (wyrażone w metrach kwadratowych) trójkątnego kwietnika\no podstawie długości 𝑥 metrów jest określone wzorem\n𝑃(𝑥) =\n2𝑥3\n𝑥2 -16\nb) Pole 𝑃 trójkątnego kwietnika o podstawie długości 𝑥 metrów jest określone wzorem\n𝑃(𝑥) =\n2𝑥3\n𝑥2 -16\ndla każdego 𝑥∈(4, 10⟩.\nWyznacz długość 𝑥 podstawy trójkątnego kwietnika, dla której pole tego kwietnika jest\nnajmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.\n𝑥\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-R0_100\n\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2015\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2015\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2015","answer":null,"answer_text":"Zadanie 15. (0-7)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n11.6R) stosuje pochodne do rozwiązywania\nzagadnień optymalizacyjnych.\nZasady oceniania\nCzęść a)\n3 pkt - poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.\n2 pkt - spełnienie kryterium zapisanego w pierwszym myślniku w kategorii za 1 punkt oraz\nzapisanie układu co najwyżej trzech równań niezależnych, umożliwiającego\nwyznaczenie ℎ w zależności od 𝑥\nALBO\n- wyznaczenie tg(2𝛼) w zależności od 𝑥, np. tg(2𝛼) =\n4𝑟𝑥\n𝑥2 - 4𝑟2 (dla sposobu II),\nALBO\n- wyznaczenie zależności między 𝑃 oraz 𝑥, np. 𝑃2 = 𝑃\n𝑟(𝑃\n𝑟-𝑥) ⋅1\n4 𝑥2\n(dla sposobu III).\n1 pkt - zapisanie związku między ℎ i 𝑥 oraz jedną z wielkości: długością 𝑏 ramienia, lub\ndługością odcinka 𝐶𝐸, lub długością odcinka 𝐶𝑆, np.:\n𝑏2 = (1\n2 𝑥)\n2\n+ ℎ2 , 𝑟\nℎ -𝑟=\n1\n2𝑥\n𝑏 , 1\n2 𝑥ℎ= 𝑟⋅(1\n2 𝑥+ 𝑏),\nALBO\n- zapisanie związku tg 𝛼= 𝑟\n1\n2 𝑥\n(dla sposobu II),\nALBO\n- zapisanie związku 𝑃= (𝑏+ 𝑥\n2) ⋅𝑟 lub\n𝑃= √(𝑏+ 1\n2 𝑥) (𝑏+ 1\n2 𝑥-𝑏) (𝑏+ 1\n2 𝑥-𝑏) (𝑏+ 1\n2 𝑥-𝑥) (dla sposobu III),\nALBO\n- zapisanie związków 𝑃= 1\n2 𝑏2 sin(2𝛽) oraz sin 𝛽=\n𝑟\nℎ - 𝑟 ,\nALBO\n- zapisanie długości boków trójkąta 𝐴𝐷𝐶 (lub trójkąta 𝐶𝐸𝑆) w zależności od 𝑥 i ℎ\n(dla sposobu IV),\nALBO\n- zapisanie długości przyprostokątnych trójkątów 𝐴𝐷𝐶 oraz 𝐶𝐸𝑆 w zależności od 𝑥\ni ℎ (dla sposobu IV).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nKategorie za 1 punkt oraz za 2 punkty oceniamy w sytuacji, gdy zdający posługuje się\nsymbolem 𝑟 albo przyjmie 𝑟= 2 lub 𝑟= 4. Natomiast jeżeli zdający przyjmie promień\ninny niż 2 lub 4, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nCzęść b)\n4 pkt - uzasadnienie, że funkcja 𝑃 przyjmuje wartość najmniejszą dla 𝑥= 4√3 (𝑚), oraz\nobliczenie pola trójkątnego klombu o takiej podstawie: 𝑃(4√3) = 12√3 (𝑚2).\n3 pkt - uzasadnienie (np. poprzez badanie monotoniczności funkcji), że funkcja 𝑃 przyjmuje\nwartość najmniejszą dla 𝑥= 4√3.\n2 pkt - obliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji 𝑃: 𝑥= 4√3.\n1 pkt - wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑃, np. 𝑃′(𝑥) = 6𝑥2 ⋅ (𝑥2 - 16)-2𝑥3 ⋅ 2𝑥\n(𝑥2-16)\n2\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający wyznacza pochodną ilorazu jako iloraz pochodnych, to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. a) Jeżeli z rozwiązania wynika, że zdający poprawnie stosuje wzór na pochodną ilorazu\nfunkcji oraz zdający poprawnie wyznacza pochodne funkcji 2𝑥3 oraz 𝑥2 -16 i dalej\npopełnia błędy, otrzymując pochodną w postaci 6𝑥2 ⋅ (𝑥2 - 16)-2𝑥3 ⋅ 2𝑥\n(𝑥2-16)\nlub\n𝐵(𝑥)\n(𝑥2-16)\n2, gdzie 𝐵 jest wielomianem stopnia czwartego, który w przedziale (4, 10]\nma dokładnie jeden pierwiastek, i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może\notrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (za miejsce zerowe pochodnej, za\nuzasadnienie istnienia najmniejszej wartości funkcji, za obliczenie najmniejszej wartości\nfunkcji 𝑃).\nb) Jeżeli z rozwiązania nie wynika, że zdający poprawnie stosuje wzór na pochodną\nilorazu funkcji lub zdający błędnie wyznacza pochodną funkcji 2𝑥3 lub 𝑥2 -16 i dalej\npopełnia błędy, otrzymując pochodną w postaci 6𝑥2 ⋅ (𝑥2 - 16)-2𝑥3 ⋅ 2𝑥\n(𝑥2-16)\nlub\n𝐵(𝑥)\n(𝑥2-16)\n2 , gdzie 𝐵 jest wielomianem stopnia czwartego, który w przedziale (4, 10]\nma dokładnie jeden pierwiastek, i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może\notrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za uzasadnienie istnienia\nnajmniejszej wartości funkcji i za obliczenie najmniejszej wartości funkcji 𝑃).\n3. Za poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja osiąga wartość najmniejszą dla\nwyznaczonej wartości 𝑥, przy której pochodna się zeruje, można uznać sytuację, gdy\nzdający bada znak pochodnej\nORAZ:\n- opisuje (słownie lub graficznie - np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji 𝑃\nLUB\n- zapisuje, że dla wyznaczonej wartości 𝑥 funkcja 𝑃 ma minimum lokalne i jest to\njednocześnie jej najmniejsza wartość,\nLUB\n- zapisuje, że dla wyznaczonej wartości 𝑥 funkcja 𝑃 ma minimum lokalne i jest to\njedyne ekstremum tej funkcji.\nBadanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres\nfunkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak, i zaznaczając na rysunku (np.\nznakami „+” i „-”) znak pochodnej.\n4. Jeżeli zdający przedstawi niepełne uzasadnienie, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty\nza całe rozwiązanie (nie otrzymuje punktu za uzasadnienie istnienia najmniejszej\nwartości).\n5. Jeżeli zdający, uzasadniając najmniejszą wartość funkcji, rozpatruje funkcję w ℝ lub\nℝ+ , lub w (4, +∞), lub w (0, 10], to może uzyskać co najwyżej 3 punkty za całe\nrozwiązanie.\n6. Jeżeli zdający nie uzasadnia istnienia najmniejszej wartości funkcji, to może uzyskać co\nnajwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za pochodną i 1 punkt za miejsce zerowe\npochodnej).\nPrzykładowe pełne rozwiązania\na)\nSposób I\nRozważmy trójkąt równoramienny 𝐴𝐵𝐶 o podstawie 𝐴𝐵 długości 𝑥 i wysokości 𝐶𝐷,\nw który jest wpisany okrąg o promieniu 𝑟= 2. Niech 𝑆 będzie środkiem tego okręgu,\nnatomiast 𝐸 - punktem styczności tego okręgu z ramieniem 𝐴𝐶. Oznaczmy ℎ= |𝐶𝐷| oraz\n𝑏= |𝐴𝐶| (zobacz rysunek).\nKorzystamy z podobieństwa trójkątów 𝐶𝐸𝑆 i 𝐶𝐷𝐴, otrzymując:\n|𝑆𝐸|\n|𝐶𝑆| =\n|𝐴𝐷|\n|𝐴𝐶|\n2\nℎ-2 =\n1\n2 𝑥\n𝑏\n𝑏= 1\n4 𝑥(ℎ-2)\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n𝑆\n2\nℎ-2\n2\n𝑏\n𝑏\n1\n2 𝑥\n1\n2 𝑥\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nStąd i z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do trójkąta 𝐴𝐷𝐶 dostajemy:\n𝑏2 = (1\n2 𝑥)\n2\n+ ℎ2\n(1\n4 𝑥ℎ-1\n2 𝑥)\n2\n= (1\n2 𝑥)\n2\n+ ℎ2\n1\n16 𝑥2ℎ2 -1\n4 𝑥2ℎ+ 1\n4 𝑥2 = 1\n4 𝑥2 + ℎ2\n1\n16 𝑥2ℎ-1\n4 𝑥2 = ℎ\nℎ( 1\n16 𝑥2 -1) = 1\n4 𝑥2\nℎ(𝑥2 -16) = 4𝑥2\nℎ=\n4𝑥2\n𝑥2 -16\nWyznaczamy pole 𝑃 trójkąta 𝐴𝐵𝐶:\n𝑃= 1\n2 𝑥ℎ= 1\n2 𝑥⋅\n4𝑥2\n𝑥2 -16 =\n2𝑥3\n𝑥2 -16\nTo należało wykazać.\nSposób II\nRozważmy trójkąt równoramienny 𝐴𝐵𝐶 o podstawie 𝐴𝐵 długości 𝑥 i wysokości 𝐶𝐷,\nw który jest wpisany okrąg o promieniu 𝑟= 2. Niech 𝑆 będzie środkiem tego okręgu.\nOznaczmy ℎ= |𝐶𝐷| oraz 𝛼 = |∡𝑆𝐵𝐷| (zobacz rysunek).\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝑆\n2\nℎ-2\n1\n2 𝑥\n1\n2 𝑥\n𝛼\nZ trójkąta prostokątnego 𝐵𝑆𝐷 otrzymujemy tg 𝛼= 2\n1\n2 𝑥= 4\n𝑥 .\nStąd i ze wzoru na tangens podwojonego kąta otrzymujemy\ntg(2𝛼) =\n2 tg 𝛼\n1 -tg2 𝛼=\n2 ⋅\n4\n𝑥\n1 -(\n4\n𝑥)\n2 =\n8𝑥\n𝑥2 -16\nPunkt 𝑆 jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt 𝐴𝐵𝐶, więc prosta 𝑆𝐵 jest dwusieczną\nkąta 𝐶𝐵𝐷. Zatem ℎ\n1\n2 𝑥= tg(2𝛼), czyli\nℎ= 1\n2 𝑥⋅tg(2𝛼) =\n4𝑥2\n𝑥2 -16\nWyznaczamy pole 𝑃 trójkąta 𝐴𝐵𝐶:\n𝑃= 1\n2 𝑥ℎ= 1\n2 𝑥⋅\n4𝑥2\n𝑥2 -16 =\n2𝑥3\n𝑥2 -16\nTo należało wykazać.\nSposób III\nRozważmy trójkąt równoramienny 𝐴𝐵𝐶 o podstawie 𝐴𝐵 długości 𝑥 i wysokości 𝐶𝐷,\nw który jest wpisany okrąg o promieniu 𝑟= 2. Oznaczmy 𝑏= |𝐴𝐶| i niech 𝑝 będzie\npołową obwodu tego trójkąta.\nWówczas 𝑝= 𝑏 + 𝑏 + 𝑥\n2\n= 𝑏+ 1\n2 𝑥. Stąd i ze wzoru 𝑃= 𝑝⋅𝑟 otrzymujemy:\n𝑃= (𝑏+ 1\n2 𝑥) ⋅2\n𝑏= 𝑃-𝑥\n2\nKorzystamy ze wzoru Herona i otrzymujemy:\n𝑃= √𝑝(𝑝-𝑏)(𝑝-𝑏)(𝑝-𝑥)\n𝑃= √(𝑏+ 1\n2 𝑥) (𝑏+ 1\n2 𝑥-𝑏) (𝑏+ 1\n2 𝑥-𝑏) (𝑏+ 1\n2 𝑥-𝑥)\n𝑃2 = (𝑏+ 1\n2 𝑥) (𝑏-1\n2 𝑥) ⋅1\n4 𝑥2\nStąd i ze związku 𝑏= 𝑃 - 𝑥\n2\nwyznaczamy pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶:\n𝑃2 = (𝑃-𝑥\n2\n+ 1\n2 𝑥) (𝑃-𝑥\n2\n-1\n2 𝑥) ⋅1\n4 𝑥2\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑃2 = 1\n2 𝑃⋅(1\n2 𝑃-𝑥) ⋅1\n4 𝑥2\n𝑃= 1\n2 (1\n2 𝑃-𝑥) ⋅1\n4 𝑥2\n𝑃= 1\n16 𝑃𝑥2 -1\n8 𝑥3\n16𝑃= 𝑃𝑥2 -2𝑥3\n2𝑥3 = 𝑃𝑥2 -16𝑃\n2𝑥3\n𝑥2 -16 = 𝑃\nTo należało wykazać.\nSposób IV\nRozważmy trójkąt równoramienny 𝐴𝐵𝐶 o podstawie 𝐴𝐵 długości 𝑥 i wysokości 𝐶𝐷,\nw który jest wpisany okrąg o promieniu 𝑟= 2. Niech 𝑆 będzie środkiem tego okręgu,\nnatomiast 𝐸 - punktem styczności tego okręgu z ramieniem 𝐴𝐶. Oznaczmy ℎ= |𝐶𝐷| oraz\n𝛽= |∡𝑆𝐶𝐸| (zobacz rysunek).\nKąty w trójkątach 𝐴𝐷𝐶 oraz 𝑆𝐸𝐶 mają miary 90°, 𝛽 oraz 90° -𝛽, więc te trójkąty są\npodobne na podstawie cechy kkk podobieństwa trójkątów. Trójkąt 𝐴𝐷𝐶 jest podobny do\ntrójkąta 𝑆𝐸𝐶 w skali 𝑘=\n1\n2𝑥\n2 = 1\n4 𝑥. Zatem |𝐴𝐶| = 𝑘⋅|𝐶𝑆| = 1\n4 𝑥⋅(ℎ-2) (zobacz\nrysunek).\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n𝑆\n2\nℎ-2\n2\n1\n2 𝑥\n1\n2 𝑥\n𝛽\nStosujemy do trójkąta 𝐴𝐷𝐶 twierdzenie Pitagorasa i otrzymujemy:\n[1\n4 𝑥⋅(ℎ-2)]\n2\n= (1\n2 𝑥)\n2\n+ ℎ2\n(1\n4 𝑥ℎ-1\n2 𝑥)\n2\n= (1\n2 𝑥)\n2\n+ ℎ2\n1\n16 𝑥2ℎ2 -1\n4 𝑥2ℎ+ 1\n4 𝑥2 = 1\n4 𝑥2 + ℎ2\n1\n16 𝑥2ℎ-1\n4 𝑥2 = ℎ\nℎ( 1\n16 𝑥2 -1) = 1\n4 𝑥2\nℎ(𝑥2 -16) = 4𝑥2\nℎ=\n4𝑥2\n𝑥2 -16\nWyznaczamy pole 𝑃 trójkąta 𝐴𝐵𝐶:\n𝑃= 1\n2 𝑥ℎ= 1\n2 𝑥⋅\n4𝑥2\n𝑥2 -16 =\n2𝑥3\n𝑥2 -16\nTo należało wykazać.\nb)\nObliczamy argument, dla którego funkcja 𝑃 określona wzorem 𝑃(𝑥) =\n2𝑥3\n𝑥2-16\ndla 𝑥∈(4, 10] osiąga wartość najmniejszą.\nWyznaczamy pochodną funkcji 𝑃: 𝑃′(𝑥) = 6𝑥2⋅(𝑥2-16)-2𝑥3⋅2𝑥\n(𝑥2-16)\n2\n= 2𝑥2(𝑥2-48)\n(𝑥2-16)\n2\ndla 𝑥∈(4, 10].\nObliczamy miejsca zerowe pochodnej funkcji 𝑃:\n𝑃′(𝑥) = 0\n𝛽\n𝐶\n𝐷\n𝐴\n1\n2 𝑥\nℎ\n1\n4 𝑥⋅(ℎ-2)\n𝑆\n𝐶\n𝐸\n𝛽\nℎ-2\n2\n𝑘= 1\n4 𝑥\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n2𝑥2(𝑥2 -48)\n(𝑥2 -16)2\n= 0\n2𝑥2(𝑥2 -48) = 0\n𝑥= 0 ∉(4, 10] ∨ 𝑥= -4√3 ∉(4, 10] ∨ 𝑥= 4√3 ∈(4, 10]\nBadamy znak pochodnej:\n𝑃′(𝑥) < 0\n2𝑥2(𝑥2 -48)\n(𝑥2 -16)2\n< 0 ∧ 𝑥∈(4, 10]\n𝑥2(𝑥2 -48) < 0 ∧ 𝑥∈(4, 10]\n𝑥2 < 48 ∧ 𝑥∈(4, 10]\n𝑥∈(4, 4√3)\nwięc 𝑃′(𝑥) < 0 dla 𝑥∈(4, 4√3) oraz 𝑃′(𝑥) > 0 dla 𝑥∈(4√3, 10].\nZatem funkcja 𝑃 jest malejąca w przedziale (4, 4√3] i rosnąca w przedziale [4√3, 10].\nStąd funkcja 𝑃 osiąga wartość najmniejszą dla 𝑥= 4√3 (𝑚). Wtedy\n𝑃(4√3) = 2 ⋅(4√3)\n3\n(4√3)\n2 -16\n= 12√3 (𝑚2)\nUwaga.\nFunkcja 𝑃 jest różniczkowalna, więc jest ciągła. Ponadto lim\n𝑥→4+ 𝑃(𝑥) = +∞ oraz\nlim\n𝑥→10-𝑃(𝑥) = 500\n21 , więc uwzględniając wartość funkcji 𝑃 w punkcie stacjonarnym\n𝑥= 4√3 równą 𝑃(4√3) = 12√3, można sformułować wniosek, że funkcja 𝑃 osiąga\nwartość najmniejszą równą 12√3 dla argumentu 𝑥= 4√3.","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":28,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}