{"paper":{"id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa","subject":"matematyka","category":"probna","year":2026,"month":"marzec","level":"podstawowa","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":37,"source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},"questions":[{"id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2026,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (0-1)\nLiczby 𝑥 oraz 𝑦 są całkowite i dodatnie.\nW wyniku dzielenia liczby 𝑥 przez liczbę 𝑦 otrzymano iloraz 20 i resztę 26.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba 𝑥\n𝑦 jest równa\nA. 26 + 20\n𝑥\nB. 26 + 20\n𝑦\nC. 20 + 26\n𝑥\nD. 20 + 26\n𝑦\nLiczby x oraz y są całkowite i dodatnie. W wyniku dzielenia liczby x przez liczbę y otrzymano iloraz 20 i resztę 26. Liczba x/y jest równa A. 26 + 20/x B. 26 + 20/y C. 20 + 26/x D. 20 + 26/y","answer":"D","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nWymagania określone w podstawie programowej1\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nI.1) wykonuje działania (dodawanie,\nodejmowanie, mnożenie, dzielenie,\npotęgowanie, pierwiastkowanie,\nlogarytmowanie) w zbiorze liczb\nrzeczywistych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD\n1 Rozporządzenie Ministra Edukacji z dnia 28 czerwca 2024 r. zmieniające rozporządzenie w sprawie podstawy\nprogramowej kształcenia ogólnego dla liceum ogólnokształcącego, technikum oraz branżowej szkoły II stopnia\n(Dz.U. z 2024 r. poz. 1019).\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Z treści zadania wiemy, że przy dzieleniu liczby x przez liczbę y otrzymano iloraz 20 i resztę 26 .\n\nZapisujemy to w postaci:\n\nx=20y+26\n\nDzielimy obie strony przez y :\n\n(x)/(y)=(20y+26)/(y)\n\n(x)/(y)=20+(26)/(y)\n\nOdpowiedź: D. 20+(26)/(y)","image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/sol-1.svg","topics":"Pozostałe, liczby_naturalne","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2026,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba\n√50\n3\n⋅ √-15\n3\n√2\n3\n⋅ √3\n3\njest równa\nA. 5\nB. (-5)\nC. 5√5\n3\nD. (-5√5\n3\n)\n\nMMAP-P0_100\nLiczba ∛50 ⋅ ∛-15 / ∛2 ⋅ ∛3 jest równa A. 5 B. (-5) C. 5∛5 D. -5∛5","answer":"B","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach\nrzeczywistych, także przy użyciu\nkalkulatora, stosowanie praw działań\nmatematycznych przy przekształcaniu\nwyrażeń algebraicznych oraz\nwykorzystywanie tych umiejętności przy\nrozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nZdający:\nI.3) stosuje własności pierwiastków\ndowolnego stopnia, w tym pierwiastków\nstopnia nieparzystego z liczb ujemnych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"Obliczamy wartość wyrażenia:\n\nfrac √[3](50)·√[3](-15) √[3](2)·√[3](3)\n\nKorzystamy z własności pierwiastków sześciennych:\n\n√[3](a)·√[3](b)=√[3](ab)\n\nŁączymy pierwiastki w liczniku:\n\n√[3](50)·√[3](-15)\n√[3](50·(-15))\n\nObliczamy iloczyn pod pierwiastkiem:\n\n50·(-15)=-750\n\nŁączymy pierwiastki w mianowniku:\n\n√[3](2)·√[3](3)=√[3](6)\n\nWyrażenie ma więc postać:\n\nfrac √[3](-750) √[3](6)\n\nKorzystamy z własności:\n\nfrac √[3](a) √[3](b) =√[3]((a)/(b))\n\nOtrzymujemy:\n\n√[3]((-750)/(6))\n\nDzielimy:\n\n(-750)/(6)=-125\n\nZatem:\n\n√[3](-125)=-5\n\nOdpowiedź: B. (-5)","image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/sol-2.svg","topics":"Liczby rzeczywiste, algebra","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2026,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba 310 ⋅ 920\n2715\njest równa\nA. 1\nB. 35\nC. 315\nD. 345\nLiczba 3^10 ⋅ 9^20 / 27^15 jest równa A. 1 B. 3^5 C. 3^15 D. 3^45","answer":"B","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach\nrzeczywistych, także przy użyciu\nkalkulatora, stosowanie praw działań\nmatematycznych przy przekształcaniu\nwyrażeń algebraicznych oraz\nwykorzystywanie tych umiejętności przy\nrozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nZdający:\nI.4) stosuje […] prawa działań na potęgach\n[…].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\nPróbny egzamin maturalny z matematyki na poziomie podstawowym - marzec 2026 r.","solution":"Obliczamy wartość wyrażenia:\n\nfrac 3^10·9^20 27^15\n\nSprowadzamy wszystkie liczby do potęg liczby 3 :\n\n9=3^2, 27=3^3\n\nZatem:\n\n9^20=(3^2)^20=3^40\n\noraz:\n\n27^15=(3^3)^15=3^45\n\nPodstawiamy do wyrażenia:\n\nfrac 3^10·9^20 27^15\nfrac 3^10·3^40 3^45\n\nW liczniku mnożymy potęgi o tej samej podstawie, więc dodajemy wykładniki:\n\n3^10·3^40=3^50\n\nOtrzymujemy:\n\nfrac 3^50 3^45\n\nPrzy dzieleniu potęg o tej samej podstawie odejmujemy wykładniki:\n\nfrac 3^50 3^45 =3^50-45=3^5\n\nOdpowiedź: B. 3^5","image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/sol-3.svg","topics":"Liczby rzeczywiste, algebra","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2026,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba log8 √2\n5\njest równa\nA. 1\n15\nB. (-15)\nC. 3\n5\nD. 5\n3\n\nMMAP-P0_100\nLiczba logorytm o podstawie 8 z pierwiasteka 5 stopnia z 2 jest równa A. 1/15 B. (-15) C. 3/5 D. 5/3","answer":"A","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nI.1) wykonuje działania ([…]\nlogarytmowanie) w zbiorze liczb\nrzeczywistych;\nI.9) stosuje związek logarytmowania\nz potęgowaniem, posługuje się wzorami na\nlogarytm iloczynu, logarytm ilorazu\ni logarytm potęgi.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"Obliczamy wartość logarytmu:\n\nlog_8√[5](2)\n\nNajpierw zapisujemy pierwiastek jako potęgę:\n\n√[5](2)=2^(1)/(5)\n\nPodstawę logarytmu zapisujemy jako potęgę liczby 2 :\n\n8=2^3\n\nMamy więc:\n\nlog_8√[5](2)\nlog_2^32^(1)/(5)\n\nSzukamy takiej liczby x , że:\n\n(2^3)^x=2^(1)/(5)\n\nUpraszczamy lewą stronę:\n\n2^3x=2^(1)/(5)\n\nPodstawy są takie same, więc porównujemy wykładniki:\n\n3x=(1)/(5)\n\nDzielimy przez 3 :\n\nx=(1)/(5)·(1)/(3)=(1)/(15)\n\nOdpowiedź: A. (1)/(15)","image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/sol-4.svg","topics":"Logarytmy","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa","number":"5","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2026,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (0-2)\nWykaż, że liczba 𝟐𝟓𝟎𝟏𝟒-𝟐𝟒𝟗𝟗𝟒 jest podzielna przez 𝟏𝟎 𝟎𝟎𝟎.\n5.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\nWykaż, że liczba 2501^4 - 2499^4 jest podzielna przez 10000.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 5. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nI.2) przeprowadza proste dowody dotyczące\npodzielności liczb całkowitych i reszt\nz dzielenia […].\nII.1) stosuje wzory skróconego mnożenia\nna: […] 𝑎2 -𝑏2.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.\n1 pkt - przekształcenie wyrażenia 25014 -24994 do postaci\n(25012 -24992)(25012 + 24992).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nKorzystamy z własności działań na potęgach oraz ze wzoru na różnicę kwadratów\ni otrzymujemy:\n25014 -24994 = (25012)2 -(24992)2 = (25012 -24992)(25012 + 24992) =\n= (2501 -2499)(2501 + 2499)(25012 + 24992) =\n= 2 ⋅5000 ⋅(25012 + 24992) = 10000 ⋅(25012 + 24992)\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nLiczba 25012 + 24992 jest liczbą całkowitą, zatem liczba 25014 -24994 jest podzielna\nprzez 10 000.","solution":"Korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów dwukrotnie:\n\n2501^4-2499^4=(2501^2-2499^2)(2501^2+2499^2)\n\nRozkładamy pierwszy nawias:\n\n2501^2-2499^2=(2501-2499)(2501+2499)\n\n=2·5000=10000\n\nZatem:\n\n2501^4-2499^4=10000(2501^2+2499^2)\n\nLiczba 2501^2+2499^2 jest liczbą całkowitą, więc całe wyrażenie jest iloczynem liczby 10000 i liczby całkowitej.\n\nWykazano, że liczba 2501^4-2499^4 jest podzielna przez 10000 .","image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/sol-5.svg","topics":"Dowody algebraiczne, algebra","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2026,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nDla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 różnej od (-10) oraz różnej od 0 wartość wyrażenia\n𝑥2 + 20𝑥 + 100\n𝑥3\n⋅\n𝑥2\n𝑥 + 10 jest równa wartości wyrażenia\nA. 20𝑥+ 10\nB. 1\n𝑥\nC. 𝑥 + 10\n𝑥\nD. 𝑥2 + 30\n𝑥\nDla każdej liczby rzeczywistej x różnej od (-10) oraz różnej od 0 wartość wyrażenia x² + 20x + 100 / x^3 ⋅ x² / x + 10 jest równa wartości wyrażenia A. 20x+10 B. 1/x C. x+10/x D. x²+30/x","answer":"C","answer_text":"Zadanie 6. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nII.4) mnoży […] wyrażenia wymierne.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"Upraszczamy wyrażenie:\n\n(x^2+20x+100)/(x^3)·(x^2)/(x+10)\n\nRozpoznajemy wzór skróconego mnożenia:\n\nx^2+20x+100=(x+10)^2\n\nPodstawiamy i skracamy:\n\n((x+10)^2)/(x^3)·(x^2)/(x+10)\n(x+10)/(x)\n\nOdpowiedź: C. (x+10)/(x)","image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/sol-6.svg","topics":"Funkcja wymierna, algebra","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2026,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nRównanie 2𝑥(𝑥2 -3)(𝑥2 + 2𝑥+ 3) = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie\nA. jedno rozwiązanie.\nB. dwa rozwiązania.\nC. trzy rozwiązania.\nD. pięć rozwiązań.\n\nMMAP-P0_100\nRównanie 2x(x^2-3)(x^2+2x+3) = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie A. jedno rozwiązanie. B. dwa rozwiązania. C. trzy rozwiązania. D. pięć rozwiązań.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 7. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIII.5) rozwiązuje równania wielomianowe\npostaci 𝑊(𝑥) = 0 dla wielomianów\ndoprowadzonych do postaci iloczynowej.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC\nPróbny egzamin maturalny z matematyki na poziomie podstawowym - marzec 2026 r.","solution":"Równanie ma postać:\n\n2x(x^2-3)(x^2+2x+3)=0\n\nIloczyn jest równy zero, gdy co najmniej jeden czynnik jest równy zero.\n\n2x=0 ⇒ x=0\n\nx^2-3=0\n\nx=√(3) lub x=-√(3)\n\nDla trzeciego czynnika:\n\nx^2+2x+3=0\n\nΔ=2^2-4·1·3=4-12=-8\n\nPonieważ Δ<0 , to ten czynnik nie daje rozwiązań rzeczywistych.\n\nOdpowiedź: C. trzy rozwiązania.","image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/sol-7.svg","topics":"Wielomiany, rownania_i_nierownosci","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa","number":"8","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2026,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (0-2)\nRozwiąż nierówność\n(𝒙-𝟑)(𝒙+ 𝟓) > 𝟗\nZapisz obliczenia.\n8.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\nRozwiąż nierówność (x-3)(x+5) > 9","answer":"(-∞,-6)∪(4,∞)","answer_text":"Zadanie 8. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIII.4) rozwiązuje […] nierówności\nkwadratowe.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: (-∞, -6) ∪ (4, +∞)\nALBO\n- zastosowanie poprawnej metody i przedstawienie zbioru rozwiązań nierówności\nw postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów, np.\n1 pkt - obliczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego 𝑥2 + 2𝑥-24:\n𝑥1 = -6 oraz 𝑥2 = 4.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Odpowiedź zdającego uznajemy za poprawną tylko wtedy, gdy można w sposób\njednoznaczny ustalić, czy przedziały zapisane przez zdającego są otwarte czy domknięte.\n2. Jeżeli zdający, obliczając pierwiastki trójmianu 𝑥2 + 2𝑥-24, popełni błędy (ale otrzyma\ndwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do popełnionych błędów zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego, w przypadku gdy błędnie\nobliczony przez zdającego wyróżnik Δ jest ujemny, to otrzymuje 0 punktów za całe\nrozwiązanie.\n4. Jeżeli zdający rozpatruje trójmian kwadratowy inny niż podany w zadaniu, który nie wynika\nz błędu przekształcenia (np. 𝑥2 + 2𝑥-15), i w konsekwencji rozpatruje inną nierówność\n(np. 𝑥2 + 2𝑥-15 > 0), to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n5. Jeżeli zdający poda zbiór rozwiązań w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi\nkońcami przedziałów i jednocześnie zapisze niewłaściwy zbiór rozwiązań (np. 𝑥∈(-6, 4)\nlub 𝑥∈(-∞-6] ∪[4, +∞)), to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\nKryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nJeśli zdający spełni kryterium za 1 punkt, a następnie pomyli porządek liczb na osi liczbowej\nprzy zachowaniu poprawnych krańców przedziału, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności\nw postaci (-∞, 4) ∪(-6, +∞) lub w postaci (+∞, -6) ∪(4, -∞), to otrzymuje 2 punkty.\n-6\n4\n𝑥\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nZapisujemy nierówność w postaci 𝑥2 + 2𝑥-24 > 0 i obliczamy miejsca zerowe funkcji\n𝑦= 𝑥2 + 2𝑥-24.\nObliczamy wyróżnik trójmianu 𝑥2 + 2𝑥-24:\nΔ = 22 -4 ⋅1 ⋅(-24) = 100\nStąd\n𝑥1 = -2 -√100\n2 ⋅1\n= -6\n𝑥2 = -2 + √100\n2 ⋅1\n= 4\nSzkicujemy wykres funkcji 𝑦= 𝑥2 + 2𝑥-24.\nOdczytujemy argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie.\nZbiorem rozwiązań nierówności jest (-∞, -6) ∪(4, +∞).\n-6\n4\n𝑥\nPróbny egzamin maturalny z matematyki na poziomie podstawowym - marzec 2026 r.","solution":"Rozwiązujemy nierówność:\n\n(x-3)(x+5)>9\n\nRozwijamy lewą stronę i przenosimy wszystko na jedną stronę:\n\nx^2+2x-15>9\n\nx^2+2x-24>0\n\nWyznaczamy miejsca zerowe trójmianu:\n\nx^2+2x-24=0\n\nΔ=2^2-4·1·(-24)=4+96=100\n\n√(Δ)=10\n\nx_1=(-2-10)/(2)=-6\n\nx_2=(-2+10)/(2)=4\n\nParabola ma ramiona skierowane do góry, więc nierówność x^2+2x-24>0 jest spełniona na zewnątrz przedziału między miejscami zerowymi.\n\nRysunek pomocniczy przygotowany w GeoGebrze:\n\nx∈(-∞,-6)∪(4,∞)\n\nOdpowiedź: (-∞,-6)∪(4,∞)","image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/sol-8.svg","topics":"Nierówności kwadratowe, rownania_i_nierownosci","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"true_false","subject":"matematyka","category":"probna","year":2026,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (0-1)\nRozwiązaniem układu równań { 20𝑥+ 20𝑦= 1\n26𝑥-26𝑦= 1 jest para liczb: 𝑥= 𝑥0 , 𝑦= 𝑦0 .\nOceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest\nprawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.\nSuma 𝑥0 + 𝑦0 jest liczbą dodatnią.\nP\nF\nIloczyn 𝑥0 ⋅𝑦0 jest liczbą dodatnią.\nP\nF\nRozwiązaniem układu równań {20x + 20y = 1; 26x - 26y = 1 jest para liczb: x=x_0, y=y_0. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Suma x_0 + y_0 jest liczbą dodatnią. | P | F | Iloczyn x_0 ⋅ y_0 jest liczbą dodatnią. | P | F |","answer":"PP","answer_text":"Zadanie 9. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIV.1) rozwiązuje układy równań liniowych\nz dwiema niewiadomymi […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nPP","solution":"Rozwiązujemy układ równań:\n\n20x+20y=1\n\n26x-26y=1\n\nDzielimy pierwsze równanie przez 20 , a drugie przez 26 :\n\nx+y=(1)/(20)\n\nx-y=(1)/(26)\n\nZ pierwszego równania od razu mamy:\n\nx_0+y_0=(1)/(20)>0\n\nPierwsze zdanie: prawda.\n\nObliczamy wartości x_0 i y_0 :\n\n2x=(1)/(20)+(1)/(26)\n\n2x=(46)/(520)=(23)/(260)\n\nx=(23)/(520)\n\ny=(1)/(20)-(23)/(520)\n(26)/(520)-(23)/(520)\n(3)/(520)\n\nObie liczby są dodatnie, więc ich iloczyn jest dodatni.\n\nDrugie zdanie: prawda.\n\nOdpowiedź: P, P","image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/sol-9.svg","topics":"Układy równań, uklady_rownan","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"true_false","subject":"matematyka","category":"probna","year":2026,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (0-1)\nFunkcja liniowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = (𝑘+ 2)𝑥+ (𝑘-3), gdzie 𝑘 jest liczbą\nrzeczywistą.\nOceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest\nprawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.\nFunkcja 𝑓 jest malejąca dla każdej liczby 𝑘 należącej do przedziału (-∞, 2).\nP\nF\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) wykres funkcji 𝑓 przechodzi\nprzez punkt (0, 1) dla 𝑘= 4.\nP\nF\n\nMMAP-P0_100\nFunkcja liniowa f jest określona wzorem f(x)=(k+2)x+(k-3), gdzie g jest liczbą rzeczywistą. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Funkcja f jest malejąca dla każdej liczby k należącej do przedziału (-∞,2). | P | F | W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) wykres funkcji f przechodzi przez punkt (0,1) dla k=4. | P | F |","answer":"FP","answer_text":"Zadanie 10. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nV.5) interpretuje współczynniki występujące\nwe wzorze funkcji liniowej.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nFP\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Funkcja liniowa jest określona wzorem:\n\nf(x)=(k+2)x+(k-3)\n\nFunkcja liniowa jest malejąca, gdy jej współczynnik kierunkowy jest ujemny:\n\nk+2<0\n\nk<-2\n\nNie dla każdego k∈(-∞,2) funkcja jest malejąca, bo na przykład dla k=0 mamy k+2=2>0 .\n\nPierwsze zdanie: fałsz.\n\nSprawdzamy drugie zdanie dla k=4 :\n\nf(x)=(4+2)x+(4-3)\n\nf(x)=6x+1\n\nDla x=0 :\n\nf(0)=1\n\nZatem wykres przechodzi przez punkt (0,1) .\n\nDrugie zdanie: prawda.\n\nOdpowiedź: F, P","image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/sol-10.svg","topics":"Funkcja liniowa, funkcje","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa","number":"11","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2026,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11.\nFunkcja 𝑓 jest określona następująco:\n𝑓(𝑥) = {\n𝑥+ 5\ndla 𝑥∈[-4, -2)\n𝑥+ 3\ndla 𝑥∈[-2, 1]\n-2𝑥+ 5\ndla 𝑥∈(1, 3]\nWykres funkcji 𝑦= 𝑓(𝑥) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦)\nna rysunku poniżej.\nFunkcja f jest określona następująco: f(x) = {x+5 dla x∈<-4,-2); x+3 dla x∈<-2,1>; -2x+5 dla x∈(1,3>. Wykres funkcji y=f(x) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) na rysunku poniżej. [rysunek] Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. 1. Największa wartość funkcji f jest równa ............ . 2. Równanie f(x)=√5 ma ............ rozwiązania.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/sol-11.svg","topics":null,"page_from":10,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/11.1","paper_id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa","number":"11.1","points":1,"ptype":"true_false","subject":"matematyka","category":"probna","year":2026,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11.1. (0-1)\nOceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest\nprawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.\nFunkcja 𝑓 jest rosnąca w przedziale [-4, -2].\nP\nF\nFunkcja 𝑓 jest malejąca w przedziale [1, 3].\nP\nF\n1 2 3 4\n-1\n-2\n5\n0\n𝑥\n-5 -4 -3\n1\n2\n3\n4\n𝑦\n5\n-1\n-2\n-3\n-4\n-5\n𝑦= 𝑓(𝑥)\n\nMMAP-P0_100\nFunkcja f jest określona następująco: f(x) = {x+5 dla x∈<-4,-2); x+3 dla x∈<-2,1>; -2x+5 dla x∈(1,3>. Wykres funkcji y=f(x) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) na rysunku poniżej. [rysunek] Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Funkcja f jest rosnąca w przedziale <-4,-2>. | P | F | Funkcja f jest malejąca w przedziale <1,3>. | P | F |","answer":"FP","answer_text":"Zadanie 11.1. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nV.4) odczytuje z wykresu funkcji: […]\nprzedziały monotoniczności […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nFP","solution":"Analizujemy wykres i wzór funkcji.\n\nNa przedziale [-4,-2) funkcja jest opisana wzorem:\n\nf(x)=x+5\n\nTa część wykresu rośnie, ale punkt x=-2 należy już do drugiego wzoru. Mamy:\n\nf(-2)=-2+3=1\n\nNa końcu przedziału następuje więc „skok” w dół, dlatego funkcja nie jest rosnąca w całym przedziale [-4,-2] .\n\nPierwsze zdanie: fałsz.\n\nNa przedziale [1,3] funkcja zaczyna się od wartości:\n\nf(1)=1+3=4\n\nDla x∈(1,3] mamy:\n\nf(x)=-2x+5\n\nTa funkcja jest malejąca, a wartości spadają od 4 do -1 .\n\nDrugie zdanie: prawda.\n\nOdpowiedź: F, P","image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad-11.1.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/sol-11.1.svg","topics":"Funkcje","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/11.2","paper_id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa","number":"11.2","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2026,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11.2. (0-2)\nUzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania\nbyły prawdziwe.\n1. Największa wartość funkcji 𝑓 jest równa\n2. Równanie 𝑓(𝑥) = √5 ma rozwiązania.\nFunkcja f jest określona następująco: f(x) = {x+5 dla x∈<-4,-2); x+3 dla x∈<-2,1>; -2x+5 dla x∈(1,3>. Wykres funkcji y=f(x) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) na rysunku poniżej. [rysunek] Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. 1. Największa wartość funkcji f jest równa ............ . 2. Równanie f(x)=√5 ma ............ rozwiązania.","answer":"1) 4 , 2) 3","answer_text":"Zadanie 11.2. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nV.3) odczytuje i interpretuje wartości funkcji\nokreślonych za pomocą […] wykresów,\nwzorów […];\nV.4) odczytuje z wykresu funkcji: […]\nnajwiększe i najmniejsze wartości funkcji\n[…].\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawne uzupełnienie dwóch zdań.\n1 pkt - poprawne uzupełnienie jednego zdania.\n0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nRozwiązanie\n1. Największa wartość funkcji 𝑓 jest równa 4.\n2. Równanie 𝑓(𝑥) = √5 ma 3 rozwiązania.\nPróbny egzamin maturalny z matematyki na poziomie podstawowym - marzec 2026 r.","solution":"Największą wartość funkcji odczytujemy z wykresu.\n\nmax f(x)=4\n\nWartość 4 funkcja przyjmuje dla x=1 .\n\nTeraz analizujemy równanie:\n\nf(x)=√(5)\n\nLiczba √(5) leży między 2 i 3 , ponieważ:\n\n2<√(5)<3\n\nPozioma prosta y=√(5) przecina wykres funkcji w trzech miejscach: na pierwszym, drugim i trzecim odcinku wykresu.\n\nOdpowiedź: 1) 4 , 2) 3","image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad-11.2.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/sol-11.2.svg","topics":"Funkcje","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/11.3","paper_id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa","number":"11.3","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2026,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11.3. (0-2)\nUzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby\nzdania były prawdziwe.\n1. Dziedziną funkcji 𝑓 jest przedział\n2. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 𝑓(𝑥) < 1 jest przedział\n11.2.\n0-1-2\n11.3.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100","answer":"1) [-4,3] , 2) (2,3]","answer_text":"Zadanie 11.3. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nV.4) odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę,\n[…] przedziały, w których funkcja przyjmuje\nwartości większe (nie mniejsze) lub\nmniejsze (nie większe) od danej liczby […].\nI.6) posługuje się pojęciem przedziału\nliczbowego […].\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawne uzupełnienie dwóch zdań.\n1 pkt - poprawne uzupełnienie jednego zdania.\n0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nUwaga:\nOdpowiedź zdającego uznajemy za poprawną tylko wtedy, gdy można w sposób\njednoznaczny ustalić, czy zapisany przez zdającego przedział jest otwarty czy domknięty.\nKryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nJeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej przy zachowaniu poprawnych krańców\nprzedziału, np. zapisze, że dziedziną funkcji 𝑓 jest przedział [3, -4], to otrzymuje 1 punkt\nza tak uzupełnione zdanie.\nRozwiązanie\n1. Dziedziną funkcji 𝑓 jest przedział [-4, 3].\n2. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 𝑓(𝑥) < 1 jest przedział (2, 3].\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Dziedzinę odczytujemy z przedziałów podanych w definicji funkcji:\n\n[-4,-2)∪[-2,1]∪(1,3]=[-4,3]\n\nZatem:\n\nD_f=[-4,3]\n\nRozwiązujemy nierówność:\n\nf(x)<1\n\nNa pierwszych dwóch częściach wykresu funkcja nie przyjmuje wartości mniejszych od 1 .\n\nDla trzeciego wzoru:\n\n-2x+5<1\n\n-2x<-4\n\nx>2\n\nUwzględniamy przedział, w którym obowiązuje ten wzór:\n\nx∈(1,3]\n\nOstatecznie:\n\nx∈(2,3]\n\nOdpowiedź: 1) [-4,3] , 2) (2,3]","image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad-11.3.webp","solution_image":null,"topics":"Funkcje","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa","number":"12","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2026,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (0-3)\nFunkcja kwadratowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = -16𝑥2 + 40𝑥+ 11.\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) wykresem funkcji 𝑓 jest parabola\no wierzchołku w punkcie 𝐶. Ta parabola przecina oś 𝑂𝑥 w punktach 𝐴 oraz 𝐵.\nOblicz pole trójkąta 𝑨𝑩𝑪. Zapisz obliczenia.\n12.\n0-1-\n2-3\n\nMMAP-P0_100\nFunkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x)=-16x² + 40x + 11. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) wykresem funkcji f jest parabola o wierzchołku w punkcie C. Ta parabola przecina oś Ox w punktach A oraz B. Oblicz pole trójkąta ABC. Zapisz obliczenia.","answer":"54","answer_text":"Zadanie 12. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nV.7) szkicuje wykres funkcji kwadratowej\nzadanej wzorem;\nV.11) wykorzystuje własności funkcji […]\nkwadratowej do interpretacji zagadnień\ngeometrycznych […].\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑃𝐴𝐵𝐶= 54.\n2 pkt - obliczenie rzędnej punktu 𝐶 oraz obliczenie miejsc zerowych funkcji 𝑓: 𝑞= 36,\n𝑥1 = 11\n4 , 𝑥2 = -1\n4\n1 pkt - obliczenie rzędnej punktu 𝐶: 𝑞= 36\nALBO\n- obliczenie miejsc zerowych funkcji 𝑓: 𝑥1 = 11\n4 , 𝑥2 = -1\n4\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nZauważmy, że trójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest równoramienny. Podstawą tego trójkąta jest odcinek 𝐴𝐵,\nnatomiast wysokością jest odcinek, którego długość jest równa rzędnej punktu 𝐶.\nObliczamy wyróżnik trójmianu -16𝑥2 + 40𝑥+ 11:\nΔ = 402 -4 ⋅(-16) ⋅11 = 1600 + 704 = 2304\nObliczamy miejsca zerowe funkcji 𝑓:\n𝑥1 = -40 -√2304\n2 ⋅(-16)\n= -88\n-32 = 11\n4\n𝑥2 = -40 + √2304\n2 ⋅(-16)\n8\n-32 = -1\n4\nObliczamy długość podstawy 𝐴𝐵 trójkąta 𝐴𝐵𝐶:\n|𝐴𝐵| = 11\n4 -(-1\n4) = 12\n4 = 3\nKorzystamy ze wzoru na drugą współrzędną wierzchołka paraboli i obliczamy rzędną punktu\n𝐶= (𝑝, 𝑞):\n𝑞= -2304\n4 ⋅(-16) = -2304\n-64\n= 36\nPróbny egzamin maturalny z matematyki na poziomie podstawowym - marzec 2026 r.\nObliczamy pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶:\n𝑃𝐴𝐵𝐶= 1\n2 ⋅3 ⋅36 = 54","solution":"Funkcja kwadratowa jest określona wzorem:\n\nf(x)=-16x^2+40x+11\n\nObliczamy współrzędną x wierzchołka:\n\nx_C=(-b)/(2a)\n\nx_C=(-40)/(2·(-16))=(40)/(32)=(5)/(4)\n\nObliczamy współrzędną y wierzchołka:\n\ny_C=f ((5)/(4) )\n\ny_C=-16·(25)/(16)+40·(5)/(4)+11\n\ny_C=-25+50+11=36\n\nWysokość trójkąta ABC jest więc równa 36 .\n\nObliczamy miejsca zerowe funkcji:\n\n-16x^2+40x+11=0\n\nΔ=40^2-4·(-16)·11=1600+704=2304\n\n√(Δ)=48\n\nx_1=(-40-48)/(-32)=(88)/(32)=(11)/(4)\n\nx_2=(-40+48)/(-32)=-(8)/(32)=-(1)/(4)\n\nDługość podstawy AB :\n\n|AB|=(11)/(4)- (-(1)/(4) )=(12)/(4)=3\n\nPole trójkąta:\n\nP=(1)/(2)·3·36=54\n\nOdpowiedź: 54","image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/sol-12.svg","topics":"Funkcja kwadratowa, funkcje","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2026,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (0-1)\nWielkości 𝑥 oraz 𝑦 zestawione w tabeli poniżej są odwrotnie proporcjonalne.\n𝑥\n18\n24\n𝑦\n9\n𝑎\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba 𝑎 jest równa\nA. 3\nB. 6,75\nC. 12\nD. 15\n\nMMAP-P0_100\nWielkości x oraz y zestawione w tabeli poniżej są odwrotnie proporcjonalne. | x | 18 | 24 | y | 9 | a | Liczba a jest równa A. 3 B. 6,75 C. 12 D. 15","answer":"B","answer_text":"Zadanie 13. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nV.13) posługuje się funkcją 𝑓(𝑥) = 𝑎\n𝑥 ,\nw tym jej wykresem, do opisu i interpretacji\nzagadnień związanych z wielkościami\nodwrotnie proporcjonalnymi […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"Wielkości x i y są odwrotnie proporcjonalne, więc iloczyn x· y jest stały.\n\n18·9=24· a\n\nObliczamy:\n\n162=24a\n\na=(162)/(24)\n\na=6 , 75\n\nOdpowiedź: B. 6 , 75","image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/sol-13.svg","topics":"Pozostałe, funkcje","page_from":13,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa","number":"14","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2026,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (0-3)\nCiąg (𝑎𝑛) jest określony wzorem 𝑎𝑛= 3𝑛 + 9\n𝑛 + 1 dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.\nWyznacz wszystkie wartości 𝒙, dla których trzywyrazowy ciąg\n(𝒂𝟓\n, 𝟐𝒙𝟐\n, 𝟑𝒙𝟐+ 𝟓)\njest arytmetyczny. Zapisz obliczenia.\n14.\n0-1-\n2-3\n\nMMAP-P0_100\nCiąg (a_n) jest określony wzorem a_n = 3n+9/n+1 dla każdej liczby naturalnej n≥1. Wyznacz wszystkie wartości x, dla których trzywyrazowy ciąg (a_5, 2x^2, 3x^2+5) jest arytmetyczny. Zapisz obliczenia.","answer":"x=-3 lub x=3","answer_text":"Zadanie 14. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nVI.1) oblicza wyrazy ciągu określonego\nwzorem ogólnym;\nVI.7) wykorzystuje własności ciągów […]\narytmetycznych […] do rozwiązywania\nzadań […].\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑥= -3 oraz 𝑥= 3.\n2 pkt - zapisanie równania z niewiadomą 𝑥, np.:\n4 + 3𝑥2 + 5\n2\n= 2𝑥2\n2𝑥2 -4 = 3𝑥2 + 5 -2𝑥2\nALBO\n- zapisanie układu dwóch niezależnych równań z niewiadomymi 𝑥 oraz 𝑟, np.\n2𝑥2 = 4 + 𝑟 oraz 3𝑥2 + 5 = 4 + 2𝑟.\n1 pkt - obliczenie piątego wyrazu ciągu (𝑎𝑛): 𝑎5 = 4,\nALBO\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n- zapisanie równania z dwiema niewiadomymi 𝑥 oraz 𝑎5, np.:\n𝑎5 + 3𝑥2 + 5\n2\n= 2𝑥2\n2𝑥2 -𝑎5 = 3𝑥2 + 5 -2𝑥2\nALBO\n- zapisanie układu dwóch niezależnych równań z niewiadomymi 𝑥, 𝑟 oraz 𝑎5 , np.\n2𝑥2 = 𝑎5 + 𝑟 oraz 3𝑥2 + 5 = 𝑎5 + 2𝑟.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nObliczamy piąty wyraz ciągu (𝑎𝑛):\n𝑎5 = 3 ⋅5 + 9\n5 + 1\n= 24\n6 = 4\nZ warunków zadania wynika, że liczby 4, 2𝑥2, 3𝑥2 + 5 są kolejnymi wyrazami ciągu\narytmetycznego. Z własności ciągu arytmetycznego otrzymujemy:\n4 + 3𝑥2 + 5\n2\n= 2𝑥2\n3𝑥2 + 9 = 4𝑥2\n𝑥2 = 9\nZatem 𝑥= -3 lub 𝑥= 3.\nSposób II\nObliczamy piąty wyraz ciągu (𝑎𝑛):\n𝑎5 = 3 ⋅5 + 9\n5 + 1\n= 24\n6 = 4\nZ warunków zadania wynika, że liczby 4, 2𝑥2, 3𝑥2 + 5 są kolejnymi wyrazami ciągu\narytmetycznego. Z własności ciągu arytmetycznego otrzymujemy:\n{ 2𝑥2 = 4 + 𝑟\n3𝑥2 + 5 = 4 + 2𝑟\ngdzie 𝑟 jest różnicą ciągu arytmetycznego.\nZ pierwszego z tych równań wyznaczamy 𝑟= 2𝑥2 -4 i podstawiamy w miejsce 𝑟 do\ndrugiego z równań. Stąd otrzymujemy:\n3𝑥2 + 5 = 4 + 2(2𝑥2 -4)\n3𝑥2 + 5 = 4 + 4𝑥2 -8\n𝑥2 = 9\nZatem 𝑥= -3 lub 𝑥= 3.\nPróbny egzamin maturalny z matematyki na poziomie podstawowym - marzec 2026 r.","solution":"Najpierw obliczamy wyraz a_5 :\n\na_n=(3n+9)/(n+1)\n\na_5=(3·5+9)/(5+1)\n\na_5=(24)/(6)=4\n\nCiąg:\n\n(a_5, 2x^2, 3x^2+5)\n\nma więc postać:\n\n(4, 2x^2, 3x^2+5)\n\nTrzywyrazowy ciąg jest arytmetyczny, gdy podwojony środkowy wyraz jest równy sumie wyrazów skrajnych:\n\n2·2x^2=4+(3x^2+5)\n\nRozwiązujemy równanie:\n\n4x^2=3x^2+9\n\nx^2=9\n\nx=-3 lub x=3\n\nOdpowiedź: x=-3 lub x=3","image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/sol-14.svg","topics":"Ciąg arytmetyczny, ciagi","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2026,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (0-1)\nCiąg (𝑎𝑛) jest określony następująco:\n{ 𝑎1 = 5\n𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛+ 2 dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nSuma stu początkowych kolejnych wyrazów ciągu (𝑎𝑛) jest równa\nA. 203\nB. 205\nC. 10 400\nD. 10 500\nCiąg (a_n) jest określony następująco: {a_1=5; a_{n+1}=a_n + 2; dla każdej liczby naturalnej n≥1. Suma stu początkowych kolejnych wyrazów ciągu (a_n) jest równa A. 203 B. 205 C. 10400 D. 10500","answer":"C","answer_text":"Zadanie 15. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVI.4) sprawdza, czy dany ciąg jest\narytmetyczny […];\nVI.7) wykorzystuje własności ciągów […]\narytmetycznych […] do rozwiązywania\nzadań […];\nVI.5) stosuje wzór […] na sumę\n𝑛 początkowych wyrazów ciągu\narytmetycznego.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"Z definicji ciągu:\n\na_1=5\n\na_n+1=a_n+2\n\nwynika, że jest to ciąg arytmetyczny o różnicy:\n\nr=2\n\nObliczamy setny wyraz:\n\na_100=a_1+99r\n\na_100=5+99·2=203\n\nSuma stu początkowych wyrazów:\n\nS_100=frac 100(a_1+a_100) 2\n\nS_100=(100(5+203))/(2)\n\nS_100=50·208=10400\n\nOdpowiedź: C. 10400","image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/sol-15.svg","topics":"Ciąg arytmetyczny, ciagi","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2026,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (0-1)\nCiąg geometryczny (𝑎𝑛), określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1, jest malejący.\nWyrazy tego ciągu spełniają warunek 𝑎6 = 25 ⋅𝑎8 .\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nIloraz ciągu (𝑎𝑛) jest równy\nA. 1\n5\nB. (-1\n5)\nC. 5\nD. (-5)\n\nMMAP-P0_100\nCiąg geometryczny (a_n), określony dla każdej liczby naturalnej n≥1, jest malejący. Wyrazy tego ciągu spełniają warunek a_6 = 25⋅ a_8. Iloraz ciągu (a_n) jest równy A. 1/5 B. (-1/5) C. 5 D. (-5)","answer":"A","answer_text":"Zadanie 16. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVI.6) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz […] ciągu\ngeometrycznego.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Dla ciągu geometrycznego zachodzi:\n\na_8=a_6· q^2\n\nZ treści zadania:\n\na_6=25a_8\n\nPodstawiamy a_8=a_6q^2 :\n\na_6=25a_6q^2\n\nDzielimy przez a_6 :\n\n1=25q^2\n\nq^2=(1)/(25)\n\nq=(1)/(5) lub q=-(1)/(5)\n\nCiąg jest malejący, więc iloraz nie może być ujemny, bo wtedy wyrazy zmieniałyby znaki. Wybieramy:\n\nq=(1)/(5)\n\nOdpowiedź: A. (1)/(5)","image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/sol-16.svg","topics":"Ciąg geometryczny, ciagi","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa","number":"17","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2026,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (0-2)\nKąt o mierze 𝛼 jest rozwarty oraz sin 𝛼= 1\n√3\nOblicz wartość wyrażenia 𝟑𝐬𝐢𝐧𝜶\n𝐭𝐠𝜶\n. Zapisz obliczenia.\n17.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\nKąt o mierze α jest rozwarty oraz sinα = 1/√3. Oblicz wartość wyrażenia 3 sinα / tgα. Zapisz obliczenia.","answer":"-√(6)","answer_text":"Zadanie 17. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVII.2) korzysta z wzorów\nsin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1, tg 𝛼= sin𝛼\ncos𝛼 .\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: (-√6).\n1 pkt - obliczenie cosinusa kąta o mierze 𝛼: cos 𝛼= -\n√6\n3\nALBO\n- obliczenie tangensa kąta o mierze 𝛼: tg 𝛼= -\n√2\n2\nALBO\n- przekształcenie wyrażenia 3sin𝛼\ntg𝛼 do postaci 3 cos 𝛼.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nKorzystamy z jedynki trygonometrycznej i obliczamy cos 𝛼:\n( 1\n√3\n)\n2\n+ cos2 𝛼= 1\n1\n3 + cos2 𝛼= 1\ncos2 𝛼= 2\n3\nPonieważ kąt o mierze 𝛼 jest rozwarty, to cos 𝛼< 0. Zatem\ncos 𝛼= -√2\n3 = -√2\n√3\n⋅√3\n√3\n= -√6\n3\nKorzystamy ze związku między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta i obliczamy\nwartość wyrażenia 3sin𝛼\ntg𝛼 :\n3 sin 𝛼\ntg 𝛼\n= 3 sin 𝛼⋅1\ntg 𝛼= 3 sin 𝛼⋅cos 𝛼\nsin 𝛼= 3 cos 𝛼= 3 ⋅(-√6\n3 ) = -√6\nPróbny egzamin maturalny z matematyki na poziomie podstawowym - marzec 2026 r.","solution":"Kąt α jest rozwarty, więc:\n\ncosα<0\n\nKorzystamy z jedynki trygonometrycznej:\n\nsin^2α+cos^2α=1\n\n(frac 1 √(3) )^2+cos^2α=1\n\n(1)/(3)+cos^2α=1\n\ncos^2α=(2)/(3)\n\nPonieważ kąt jest rozwarty, wybieramy wartość ujemną:\n\ncosα=-√((2)/(3))\n\nObliczamy tangens:\n\ntgα=(sinα)/(cosα)\nfrac frac 1 √(3) -√((2)/(3))\n-frac 1 √(2)\n\nObliczamy wartość wyrażenia:\n\n(3sinα)/(tgα)\nfrac 3·frac 1 √(3) -frac 1 √(2)\n\n=-frac 3√(2) √(3)\n\n=-√(6)\n\nOdpowiedź: -√(6)","image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/sol-17.svg","topics":"Trygonometria","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2026,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (0-1)\nDany jest trójkąt prostokątny 𝐴𝐵𝐶, w którym bok 𝐵𝐶 jest przeciwprostokątną oraz |𝐴𝐶| = 6.\nTangens kąta 𝐵𝐶𝐴 jest równy 3\n2\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nOdcinek 𝐴𝐵 ma długość\nA. 3\nB. 4\nC. 9\nD. √117\nDany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym bok BC jest przeciwprostokątną oraz |AC|=6. Tangens kąta BCA jest równy 3/2. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Odcinek AB ma długość A. 3 B. 4 C. 9 D. √117","answer":"C","answer_text":"Zadanie 18. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVII.4) oblicza kąty trójkąta prostokątnego\ni długości jego boków przy odpowiednich\ndanych (rozwiązuje trójkąty prostokątne,\nw tym z wykorzystaniem funkcji\ntrygonometrycznych).\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"W trójkącie prostokątnym ABC przeciwprostokątną jest bok BC , więc przy kącie BCA przyprostokątnymi są AC i AB .\n\nZ definicji tangensa:\n\ntg∠ BCA=(AB)/(AC)\n\nPodstawiamy dane:\n\n(3)/(2)=(AB)/(6)\n\nObliczamy AB :\n\nAB=6·(3)/(2)=9\n\nOdpowiedź: C. 9","image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/sol-18.svg","topics":"Trygonometria, planimetria","page_from":17,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2026,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nW każdym trójkącie środek okręgu wpisanego w ten trójkąt leży w punkcie przecięcia się\nA. dwusiecznych kątów tego trójkąta.\nB. symetralnych boków tego trójkąta.\nC. środkowych tego trójkąta.\nD. wysokości tego trójkąta.\n\nMMAP-P0_100\nW każdym trójkącie środek okręgu wpisanego w ten trójkąt leży w punkcie przecięcia się A. dwusiecznych kątów tego trójkąta. B. symetralnych boków tego trójkąta. C. środkowych tego trójkąta. D. wysokości tego trójkąta.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 19. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nVIII.10) wskazuje podstawowe punkty\nszczególne w trójkącie: środek okręgu\nwpisanego w trójkąt […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Środek okręgu wpisanego w trójkąt to punkt równoodległy od wszystkich boków trójkąta.\n\nTaki punkt leży w przecięciu dwusiecznych kątów trójkąta.\n\nOdpowiedź: A. dwusiecznych kątów tego trójkąta.","image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/sol-19.svg","topics":"Planimetria","page_from":17,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2026,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (0-1)\nPunkty 𝐴, 𝐵, 𝐶 oraz 𝐷 leżą na okręgu o środku w punkcie 𝑂. Punkt 𝐾 jest punktem\nprzecięcia cięciwy 𝐴𝐶 i średnicy 𝐵𝐷. Kąt 𝐶𝑂𝐵 jest prosty, a kąt 𝐴𝐾𝐷 ma miarę 78°\n(zobacz rysunek).\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nMiara kąta ostrego 𝐵𝐷𝐴 jest równa\nA. 45°\nB. 51°\nC. 57°\nD. 78°\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝑂\n𝐾\n78°\n\nMMAP-P0_100\nPunkty A, B, C oraz D leżą na okręgu o środku w punkcie O. Punkt K jest punktem przecięcia cięciwy AC i średnicy BD. Kąt COB jest prosty, a kąt AKD ma miarę 78° (zobacz rysunek). [rysunek] Miara kąta ostrego BDA jest równa A. 45° B. 51° C. 57° D. 78°","answer":"C","answer_text":"Zadanie 20. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nVIII.5) stosuje własności kątów wpisanych\ni środkowych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"Kąt COB jest kątem środkowym i ma miarę 90^° , więc łuk CB ma miarę:\n\noverset frown CB =90^°\n\nKąt AKD jest kątem utworzonym przez przecinające się cięciwy. Jego miara jest równa połowie sumy miar odpowiednich łuków:\n\n78^°=(1)/(2) (overset frown AD +overset frown CB )\n\nPodstawiamy:\n\n78^°=(1)/(2) (overset frown AD +90^° )\n\n156^°=overset frown AD +90^°\n\noverset frown AD =66^°\n\nPonieważ BD jest średnicą, łuk BAD ma miarę 180^° . Zatem:\n\noverset frown BA =180^°-66^°=114^°\n\nKąt BDA jest kątem wpisanym opartym na łuku BA , więc:\n\n|∠ BDA|=(1)/(2)·114^°=57^°\n\nOdpowiedź: C. 57^°","image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/sol-20.svg","topics":"Kąty w okręgu, planimetria","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa","number":"21","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2026,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (0-3)\nDany jest trapez równoramienny 𝐴𝐵𝐶𝐷 o podstawach 𝐴𝐵 i 𝐶𝐷, w którym |𝐴𝐵| = 2 ⋅|𝐶𝐷|.\nPrzekątna 𝐴𝐶 tego trapezu jest zawarta w dwusiecznej kąta 𝐷𝐴𝐵.\nWykaż, że w tym trapezie miara kąta 𝑫𝑨𝑩 jest równa 𝟔𝟎°.\n21.\n0-1-\n2-3\n\nMMAP-P0_100\nDany jest trapez równoramienny ABC o podstawach AB i CD, w którym |AB| = 2⋅|CD|. Przekątna AC tego trapezu jest zawarta w dwusiecznej kąta DAB. Wykaż, że w tym trapezie miara kąta DAB jest równa 60°.","answer":"Uzasadnienie.","answer_text":"Zadanie 21. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nVIII.11) przeprowadza dowody\ngeometryczne.\nZasady oceniania\n3 pkt - przeprowadzenie pełnego rozumowania.\n2 pkt - wyznaczenie długości dwóch boków trójkąta 𝐸𝐵𝐶 w zależności od jednej zmiennej\n(dla sposobu I)\nALBO\n- zapisanie, że |𝐶𝐹| = 𝑎 (dla sposobu II),\nALBO\n- zapisanie, że |𝐴𝑀| = 2𝑎 (dla sposobu III),\nALBO\n- zapisanie układu równań\n|𝐴𝐶|2 = (2𝑎)2 + 𝑎2 -2 ⋅2𝑎⋅𝑎⋅cos 2𝛼\noraz\n|𝐴𝐶|2 = 𝑎2 + 𝑎2 -2 ⋅𝑎⋅𝑎⋅cos(180° -2𝛼) (dla sposobu IV).\n1 pkt - zapisanie, że trójkąt 𝐴𝐶𝐷 jest równoramienny.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPróbny egzamin maturalny z matematyki na poziomie podstawowym - marzec 2026 r.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia:\n|𝐶𝐷| = 𝑎 (zatem |𝐴𝐵| = 2𝑎)\n|∡𝐷𝐴𝐵| = |∡𝐴𝐵𝐶| = 2𝛼.\nPonieważ przekątna 𝐴𝐶 zawiera się w dwusiecznej kąta 𝐷𝐴𝐵, to |∡𝐷𝐴𝐶| = |∡𝐶𝐴𝐵| = 𝛼.\nKąty 𝐶𝐴𝐵 i 𝐴𝐶𝐷 są naprzemianległe oraz 𝐴𝐵||𝐶𝐷, zatem |∡𝐴𝐶𝐷| = 𝛼.\nOznacza to, że trójkąt 𝐴𝐶𝐷 jest równoramienny oraz |𝐴𝐷| = |𝐶𝐷| = 𝑎.\nZatem również |𝐵𝐶| = 𝑎.\nNiech 𝐸 będzie spodkiem wysokości trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 poprowadzonej z wierzchołka 𝐶\n(zobacz rysunek). Z własności trapezu równoramiennego obliczamy długość odcinka 𝐸𝐵:\n|𝐸𝐵| =\n|𝐴𝐵| -|𝐶𝐷|\n2\n= 2𝑎-𝑎\n2\n= 1\n2 𝑎\nW trójkącie prostokątnym 𝐸𝐵𝐶 mamy\ncos 2𝛼= |𝐸𝐵|\n|𝐵𝐶| =\n1\n2 𝑎\n𝑎= 1\n2\nZatem kąt ostry 𝐷𝐴𝐵 ma miarę równą 60°. To należało wykazać.\nSposób II\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia:\n|𝐶𝐷| = 𝑎 (zatem |𝐴𝐵| = 2𝑎)\n|∡𝐷𝐴𝐵| = |∡𝐴𝐵𝐶| = 2𝛼.\nPonieważ przekątna 𝐴𝐶 zawiera się w dwusiecznej kąta 𝐷𝐴𝐵, to |∡𝐷𝐴𝐶| = |∡𝐶𝐴𝐵| = 𝛼.\nKąty 𝐶𝐴𝐵 i 𝐴𝐶𝐷 są naprzemianległe oraz 𝐴𝐵||𝐶𝐷, zatem |∡𝐴𝐶𝐷| = 𝛼.\nOznacza to, że trójkąt 𝐴𝐶𝐷 jest równoramienny oraz |𝐴𝐷| = |𝐶𝐷| = 𝑎.\nZatem również |𝐵𝐶| = 𝑎.\n𝑎\n𝛼\n𝑎\n𝑎\n𝐷\n𝐶\n𝛼\n2𝑎\n𝐵\n𝐴\n𝛼\n2𝛼\n1\n2 𝑎\n𝐸\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nNiech 𝐹 będzie takim punktem leżącym na podstawie 𝐴𝐵, że odcinek 𝐹𝐶 jest równoległy\ndo boku 𝐴𝐷. Wtedy |𝐹𝐶| = |𝐴𝐷| = 𝑎 oraz |𝐴𝐹| = |𝐶𝐷| = 𝑎 oraz |𝐹𝐵| = 2𝑎-𝑎= 𝑎\n(zobacz rysunek).\nZatem trójkąt 𝐹𝐵𝐶 jest równoboczny. Stąd wynika, że miara kąta ostrego 𝐷𝐴𝐵 jest\nrówna 60°. To należało wykazać.\nSposób III\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia:\n|𝐶𝐷| = 𝑎 (zatem |𝐴𝐵| = 2𝑎)\n|∡𝐷𝐴𝐵| = |∡𝐴𝐵𝐶| = 2𝛼.\nPonieważ przekątna 𝐴𝐶 zawiera się w dwusiecznej kąta 𝐷𝐴𝐵, to |∡𝐷𝐴𝐶| = |∡𝐶𝐴𝐵| = 𝛼.\nKąty 𝐶𝐴𝐵 i 𝐴𝐶𝐷 są naprzemianległe oraz 𝐴𝐵||𝐶𝐷, zatem |∡𝐴𝐶𝐷| = 𝛼.\nOznacza to, że trójkąt 𝐴𝐶𝐷 jest równoramienny oraz |𝐴𝐷| = |𝐶𝐷| = 𝑎.\nZatem również |𝐵𝐶| = 𝑎.\nRamiona trapezu przedłużamy do przecięcia w punkcie 𝑀 (zobacz rysunek).\n𝑎\n𝛼\n𝑎\n𝑎\n𝐷\n𝐶\n𝛼\n𝑎\n𝐵\n𝐴\n𝛼\n2𝛼\n𝑎\n𝐹\n𝑎\n𝑎\n𝛼\n𝑎\n𝑎\n𝐷\n𝐶\n𝛼\n𝐵\n𝐴\n𝛼\n2𝛼\n2𝑎\n𝑀\nPróbny egzamin maturalny z matematyki na poziomie podstawowym - marzec 2026 r.\nTrójkąt 𝐴𝐵𝑀 jest podobny do trójkąta 𝐷𝐶𝑀 (na podstawie cechy kąt-kąt-kąt) w skali 2.\nZatem\n|𝐷𝑀| ⋅2 = 𝑎+ |𝐷𝑀|\nStąd\n|𝐷𝑀| = 𝑎\nZatem trójkąt 𝐴𝐵𝑀 jest równoboczny (ponieważ |𝐴𝑀| = |𝐵𝑀| = |𝐴𝐵| = 2𝑎).\nStąd miara kąta ostrego 𝐷𝐴𝐵 jest równa 60°. To należało wykazać.\nSposób IV\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia:\n|𝐶𝐷| = 𝑎 (zatem |𝐴𝐵| = 2𝑎)\n|∡𝐷𝐴𝐵| = |∡𝐴𝐵𝐶| = 2𝛼 (zatem |∡𝐶𝐷𝐴| = 180° -2𝛼).\nPonieważ przekątna 𝐴𝐶 zawiera się w dwusiecznej kąta 𝐷𝐴𝐵, to |∡𝐷𝐴𝐶| = |∡𝐶𝐴𝐵| = 𝛼.\nKąty 𝐶𝐴𝐵 i 𝐴𝐶𝐷 są naprzemianległe oraz 𝐴𝐵||𝐶𝐷, zatem |∡𝐴𝐶𝐷| = 𝛼.\nOznacza to, że trójkąt 𝐴𝐶𝐷 jest równoramienny oraz |𝐴𝐷| = |𝐶𝐷| = 𝑎.\nZatem również |𝐵𝐶| = 𝑎.\nStosujemy twierdzenie cosinusów w trójkącie 𝐴𝐵𝐶:\n|𝐴𝐶|2 = (2𝑎)2 + 𝑎2 -2 ⋅2𝑎⋅𝑎⋅cos 2𝛼\n|𝐴𝐶|2 = 5𝑎2 -4𝑎2 ⋅cos 2𝛼\nStosujemy twierdzenie cosinusów w trójkącie 𝐴𝐶𝐷:\n|𝐴𝐶|2 = 𝑎2 + 𝑎2 -2 ⋅𝑎⋅𝑎⋅cos(180° -2𝛼)\n|𝐴𝐶|2 = 2𝑎2 -2𝑎2 ⋅cos(180° -2𝛼)\nPonieważ cos(180° -2𝛼) = -cos 2𝛼, to\n|𝐴𝐶|2 = 2𝑎2 + 2𝑎2 ⋅cos 2𝛼\n𝑎\n𝛼\n𝑎\n𝑎\n𝐷\n𝐶\n𝛼\n2𝑎\n𝐵\n𝐴\n𝛼\n2𝛼\n180° -2𝛼\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZ uzyskanych równań otrzymujemy:\n5𝑎2 -4𝑎2 ⋅cos 2𝛼= 2𝑎2 + 2𝑎2 ⋅cos 2𝛼\n6𝑎2 ⋅cos 2𝛼= 3𝑎2\ncos 2𝛼= 3𝑎2\n6𝑎2 = 1\n2\nZatem kąt ostry 𝐷𝐴𝐵 ma miarę równą 60°. To należało wykazać.","solution":"Oznaczmy:\n\n|CD|=a\n\nZ treści zadania:\n\n|AB|=2a\n\nTrapez jest równoramienny, więc krótsza podstawa CD jest położona symetrycznie względem dłuższej podstawy AB . Oznacza to, że poziome przesunięcie ramienia AD względem punktu A jest równe:\n\n(|AB|-|CD|)/(2)=(2a-a)/(2)=(a)/(2)\n\nNiech h oznacza wysokość trapezu. Wtedy wektor ramienia AD ma składowe:\n\n((a)/(2),h )\n\nPrzekątna AC jest dwusieczną kąta DAB . Kierunek dwusiecznej kąta utworzonego przez odcinki AB i AD prowadzi do wniosku, że długość ramienia AD jest równa długości krótszej podstawy CD , czyli:\n\n|AD|=a\n\nW trójkącie prostokątnym utworzonym przez wysokość trapezu mamy więc:\n\n((a)/(2) )^2+h^2=a^2\n\nh^2=a^2-(a^2)/(4)\n\nh^2=(3a^2)/(4)\n\nh=frac a√(3) 2\n\nObliczamy tangens kąta DAB :\n\ntg∠ DAB=\nfrac h (a)/(2)\nfrac frac a√(3) 2 (a)/(2)\n√(3)\n\nSkoro tg∠ DAB=√(3) , to:\n\n|∠ DAB|=60^°\n\nWykazano, że miara kąta DAB jest równa 60^° .","image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/sol-21.svg","topics":"Dowody geometryczne, dowody_geometryczne","page_from":19,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2026,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (0-1)\nSześciokąt foremny wpisano w koło o promieniu 1 (zobacz rysunek).\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nPole zacieniowanej figury jest równe\nA. 𝜋-\n√3\n4\nB. 𝜋-3√3\n2\nC. 𝜋 - √3\n4\nD. 𝜋 - 3√3\n2\n\nMMAP-P0_100\nSześciokąt foremny wpisano w koło o promieniu 1 (zobacz rysunek). [rysunek] Pole zacieniowanej figury jest równe A. π - √3/4 B. π - 3√3/2 C. π-√3 / 4 D. π-3√3 / 2","answer":"B","answer_text":"Zadanie 22. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nVIII.3) rozpoznaje wielokąty foremne\ni korzysta z ich podstawowych własności.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"Zacieniowana figura to część koła znajdująca się poza sześciokątem foremnym.\n\nPromień koła jest równy 1 , więc pole koła wynosi:\n\nP_k=π·1^2=π\n\nSześciokąt foremny wpisany w koło o promieniu 1 składa się z sześciu trójkątów równobocznych o boku 1 .\n\nP_6=6·frac √(3) 4\n\nP_6=frac 3√(3) 2\n\nPole zacieniowanej figury:\n\nP=π-frac 3√(3) 2\n\nOdpowiedź: B. π-frac 3√(3) 2","image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/sol-22.svg","topics":"Planimetria","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2026,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (0-1)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) proste 𝑘 oraz 𝑙 są określone równaniami\n𝑘: (𝑚-1)𝑥+ 3𝑦+ 5 = 0\n𝑙: 6𝑥+ 𝑦+ 7 = 0\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nProste 𝑘 oraz 𝑙 są równoległe, gdy liczba 𝑚 jest równa\nA. 6\nB. 7\nC. 18\nD. 19\n\nMMAP-P0_100\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) proste k oraz l są określone równaniami k:(m-1)x + 3y + 5 = 0; 6x + y + 7 = 0. Proste k oraz l są równoległe, gdy liczba m jest równa A. 6 B. 7 C. 18 D. 19","answer":"D","answer_text":"Zadanie 23. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIX.2) posługuje się równaniami prostych na\npłaszczyźnie, w postaci […] ogólnej, w tym\nwyznacza równanie prostej o zadanych\nwłasnościach (takich, jak np. […]\nrównoległość do innej prostej).\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD\nPróbny egzamin maturalny z matematyki na poziomie podstawowym - marzec 2026 r.","solution":"Proste są równoległe, gdy mają takie same współczynniki kierunkowe.\n\nPrzekształcamy równanie prostej k :\n\n(m-1)x+3y+5=0\n\n3y=-(m-1)x-5\n\ny=-(m-1)/(3)x-(5)/(3)\n\nWspółczynnik kierunkowy prostej k jest równy:\n\na_k=-(m-1)/(3)\n\nPrzekształcamy równanie prostej l :\n\n6x+y+7=0\n\ny=-6x-7\n\nWspółczynnik kierunkowy prostej l jest równy:\n\na_l=-6\n\nPorównujemy współczynniki:\n\n-(m-1)/(3)=-6\n\nm-1=18\n\nm=19\n\nOdpowiedź: D. 19","image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/sol-23.svg","topics":"Funkcja liniowa, analityczna","page_from":21,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa","number":"24","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2026,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (0-4)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (-3, 0) oraz 𝐶= (5, 6) są\nkońcami przekątnej kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷.\nKwadrat 𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′ jest obrazem kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 w symetrii osiowej względem osi 𝑂𝑦.\nWyznacz równanie okręgu opisanego na kwadracie 𝑨′𝑩′𝑪′𝑫′. Zapisz obliczenia.\n24.\n0-1-\n2-3-4\n\nMMAP-P0_100\n\nMMAP-P0_100\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) punkty A=(-3,0) oraz C=(5,6) są końcami przekątnej kwadratu ABCD. Kwadrat A'B'C'D' jest obrazem kwadratu ABCD w symetrii osiowej względem osi Oy. Wyznacz równanie okręgu opisanego na kwadracie A'B'C'D'. Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 24. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nIX.3) oblicza odległość dwóch punktów\nw układzie współrzędnych;\nIX.4) posługuje się równaniem okręgu\n(𝑥-𝑎)2 + (𝑦-𝑏)2 = 𝑟2;\nIX.5) wyznacza obrazy okręgów\ni wielokątów w symetriach osiowych\nwzględem osi układu współrzędnych […].\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: (𝑥+ 1)2 + (𝑦-3)2 = 25.\n3 pkt - obliczenie długości promienia (lub kwadratu długości promienia) oraz\nwspółrzędnych środka okręgu opisanego na kwadracie 𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′:\n𝑟= 5 (lub 𝑟2 = 25), 𝑆′ = (-1, 3)\nALBO\n- wyznaczenie równania okręgu opisanego na kwadracie 𝐴𝐵𝐶𝐷:\n(𝑥-1)2 + (𝑦-3)2 = 25.\n2 pkt - obliczenie współrzędnych punktów 𝐴′ oraz 𝐶′ oraz długości promienia (lub\nkwadratu długości promienia) okręgu opisanego na kwadracie 𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′:\n𝐴′ = (3, 0), 𝐶′ = (-5, 6), 𝑟= 5 (lub 𝑟2 = 25)\n- obliczenie współrzędnych środka okręgu opisanego na kwadracie 𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′:\n𝑆′ = (-1, 3),\nALBO\n- obliczenie długości promienia (lub kwadratu długości promienia) oraz\nwspółrzędnych środka okręgu opisanego na kwadracie 𝐴𝐵𝐶𝐷:\n𝑟= 5 (lub 𝑟2 = 25), 𝑆= (1, 3).\n1 pkt - obliczenie współrzędnych punktów 𝐴′ oraz 𝐶′: 𝐴′ = (3, 0), 𝐶′ = (-5, 6)\nALBO\n- obliczenie długości promienia (lub kwadratu długości promienia) okręgu opisanego na\nkwadracie 𝐴𝐵𝐶𝐷: 𝑟= 5 (lub 𝑟2 = 25),\nALBO\n- obliczenie współrzędnych środka okręgu opisanego na kwadracie 𝐴𝐵𝐶𝐷: 𝑆= (1, 3).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPunkty 𝐴 oraz 𝐶 przekształcamy przez symetrię osiową względem osi 𝑂𝑦 i otrzymujemy\nwspółrzędne punktów 𝐴′ oraz 𝐶′, które są końcami przekątnej kwadratu 𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′:\n𝐴′ = (3, 0) oraz 𝐶′ = (-5, 6)\nOdcinek 𝐴′𝐶′ jest średnicą okręgu 𝒪′ opisanego na kwadracie 𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′.\nObliczamy długość 𝑟 promienia okręgu 𝒪′:\n𝑟= 1\n2 ⋅|𝐴′𝐶′| = 1\n2 ⋅√(-5 -3)2 + (6 -0)2 = 1\n2 ⋅√64 + 36 = 1\n2 ⋅10 = 5\nObliczamy współrzędne środka 𝑆′ odcinka 𝐴′𝐶′:\n𝑆′ = (3 -5\n2\n, 0 + 6\n2\n) = (-1, 3)\nZapisujemy równanie okręgu 𝒪′:\n(𝑥+ 1)2 + (𝑦-3)2 = 25\nSposób II\nOdcinek 𝐴𝐶 jest średnicą okręgu 𝒪 opisanego na kwadracie 𝐴𝐵𝐶𝐷.\nObliczamy długość 𝑟 promienia okręgu 𝒪:\n𝑟= 1\n2 ⋅|𝐴𝐶| = 1\n2 ⋅√(5 + 3)2 + (6 -0)2 = 1\n2 ⋅√64 + 36 = 1\n2 ⋅10 = 5\nObliczamy współrzędne środka 𝑆 odcinka 𝐴𝐶:\n𝑆= (-3 + 5\n2\n, 0 + 6\n2\n) = (1, 3)\nZapisujemy równanie okręgu 𝒪:\n(𝑥-1)2 + (𝑦-3)2 = 25\nOkrąg 𝒪′ opisany na kwadracie 𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′ jest obrazem okręgu 𝒪 w symetrii osiowej\nwzględem osi 𝑂𝑦. Ta symetria przekształca każdy punkt 𝑃= (𝑥, 𝑦) leżący na okręgu 𝒪\nna punkt 𝑃′ = (-𝑥, 𝑦) leżący na okręgu 𝒪′. Zatem okrąg 𝒪′ jest określony równaniem:\n(-𝑥-1)2 + (𝑦-3)2 = 25\nStąd\n(𝑥+ 1)2 + (𝑦-3)2 = 25\nPróbny egzamin maturalny z matematyki na poziomie podstawowym - marzec 2026 r.","solution":"Dane są końce przekątnej kwadratu:\n\nA=(-3,0), C=(5,6)\n\nŚrodek okręgu opisanego na kwadracie ABCD jest środkiem przekątnej AC :\n\nS= ((-3+5)/(2),(0+6)/(2) )\n\nS=(1,3)\n\nPromień okręgu jest równy połowie długości przekątnej AC .\n\n|AC|=√((5-(-3))^2+(6-0)^2)\n\n|AC|=√(8^2+6^2)\n\n|AC|=√(64+36)=10\n\nr=(10)/(2)=5\n\nPo odbiciu kwadratu względem osi OY środek okręgu S=(1,3) przechodzi na punkt:\n\nS'=(-1,3)\n\nPromień nie zmienia się, więc:\n\nr=5\n\nRysunek pomocniczy przygotowany w GeoGebrze:\n\nRównanie okręgu:\n\n(x+1)^2+(y-3)^2=25\n\nOdpowiedź: (x+1)^2+(y-3)^2=25","image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/sol-24.svg","topics":"Geometria analityczna, Równanie okręgu, analityczna","page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2026,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (0-1)\nDany jest sześcian 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 (zobacz rysunek). Pole trójkąta 𝐴𝐶𝐻 jest równe 4√3.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nDługość krawędzi tego sześcianu jest równa\nA. 2\nB. 2√2\nC. 4\nD. 4√2\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐹\n𝐻\n𝐺\n𝐸\n\nMMAP-P0_100\nDany jest sześcian ABCDEFGH (zobacz rysunek). Pole trójkąta ACH jest równe 4√3. [rysunek] Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Długość krawędzi tego sześcianu jest równa A. 2 B. 2√2 C. 4 D. 4√2","answer":"B","answer_text":"Zadanie 25. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nX.3) rozpoznaje w graniastosłupach […]\nkąty między odcinkami […].\nVIII.3) rozpoznaje wielokąty foremne\ni korzysta z ich podstawowych własności.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"Niech a oznacza długość krawędzi sześcianu.\n\nOdcinki AC , CH oraz AH są przekątnymi odpowiednich ścian sześcianu, więc każdy z nich ma długość:\n\na√(2)\n\nTrójkąt ACH jest więc równoboczny o boku a√(2) .\n\nPole trójkąta równobocznego o boku a√(2) wynosi:\n\nP=frac (a√(2))^2√(3) 4\n\nP=frac 2a^2√(3) 4\n\nP=frac a^2√(3) 2\n\nZ treści zadania:\n\nfrac a^2√(3) 2 =4√(3)\n\nDzielimy przez √(3) :\n\n(a^2)/(2)=4\n\na^2=8\n\na=2√(2)\n\nOdpowiedź: B. 2√(2)","image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/sol-25.svg","topics":"Graniastosłupy i ostrosłupy, stereometria","page_from":24,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa","number":"26","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2026,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-2)\nDany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość 12.\nŚciana boczna tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze 30°.\nOblicz objętość tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.\n26.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\nDany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość 12. Ściana boczna tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze 30°. Oblicz objętość tego ostrosłupa.","answer":"96√(3)","answer_text":"Zadanie 26. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nX.3) rozpoznaje w […] ostrosłupach […]\nkąty między ścianami […];\nX.5) oblicza objętości […] ostrosłupów […]\nrównież z wykorzystaniem trygonometrii.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑉= 96√3 .\n1 pkt - obliczenie/zapisanie wysokości ostrosłupa: 𝐻= 2√3 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nKąt między ścianą boczną a płaszczyzną podstawy w ostrosłupie prawidłowym\nczworokątnym jest kątem między wysokością ściany bocznej poprowadzonej z wierzchołka\nostrosłupa do krawędzi podstawy a odcinkiem łączącym spodek wysokości ostrosłupa ze\nśrodkiem tej samej krawędzi podstawy.\nPrzyjmujemy oznaczenia jak na rysunku:\n𝐻 - wysokość ostrosłupa,\n𝑂 - spodek wysokość ostrosłupa,\n𝐸 - środek krawędzi 𝐴𝐵.\nZauważamy, że 𝐻> 0.\nPonieważ 𝑂 jest punktem przecięcia\nprzekątnych kwadratu, to |𝑂𝐸| = 6.\n30°\n6\n𝐻\n12\n𝑆\n𝐸\n𝑂\n𝐷\n𝐵\n𝐴\n𝐶\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nW trójkącie prostokątnym 𝑆𝑂𝐸 mamy\ntg 30° = |𝑆𝑂|\n|𝑂𝐸| = 𝐻\n6\nZatem\n𝐻= 6 ⋅tg 30° = 6 ⋅√3\n3 = 2√3\nObliczamy objętość 𝑉 ostrosłupa:\n𝑉= 1\n3 ⋅122 ⋅2√3 = 96√3","solution":"Podstawą ostrosłupa jest kwadrat o boku 12 , więc pole podstawy wynosi:\n\nP_p=12^2=144\n\nW ostrosłupie prawidłowym czworokątnym środek podstawy leży w środku kwadratu.\n\nOdległość środka podstawy od środka boku podstawy wynosi:\n\n(12)/(2)=6\n\nKąt między ścianą boczną a podstawą ma miarę 30^° . W odpowiednim przekroju otrzymujemy trójkąt prostokątny, w którym:\n\ntg30^°=(h)/(6)\n\nObliczamy wysokość ostrosłupa:\n\nfrac √(3) 3 =(h)/(6)\n\nh=2√(3)\n\nObjętość ostrosłupa:\n\nV=(1)/(3)P_p h\n\nV=(1)/(3)·144·2√(3)\n\nV=96√(3)\n\nOdpowiedź: 96√(3)","image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/sol-26.svg","topics":"Graniastosłupy i ostrosłupy, stereometria","page_from":25,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa","number":"27","points":1,"ptype":"true_false","subject":"matematyka","category":"probna","year":2026,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (0-1)\nPole powierzchni całkowitej walca 𝒞1 jest równe 12𝜋, a objętość tego walca jest równa 4𝜋.\nWalec 𝒞2 jest podobny do walca 𝒞1 w skali 𝑘= 2.\nOceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest\nprawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.\nPole powierzchni całkowitej walca 𝒞2 jest równe 48𝜋.\nP\nF\nObjętość walca 𝒞2 jest równa 32𝜋.\nP\nF\n\nMMAP-P0_100\nPole powierzchni całkowitej walca C_1 jest równe 12π, a objętość tego walca jest równa 4π. Walec C_2 jest podobny do walca C_1 w skali k=2. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Pole powierzchni całkowitej walca C_2 jest równe 48π. | P | F | Objętość walca C_2 jest równa 32π. | P | F |","answer":"PP","answer_text":"Zadanie 27. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVIII.9) wykorzystuje zależności […] między\npolami figur podobnych.\nX.6) wykorzystuje zależność między\nobjętościami brył podobnych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nPP\nPróbny egzamin maturalny z matematyki na poziomie podstawowym - marzec 2026 r.","solution":"Walec C_2 jest podobny do walca C_1 w skali:\n\nk=2\n\nPola powierzchni figur podobnych zmieniają się w skali k^2 :\n\nk^2=2^2=4\n\nZatem pole powierzchni całkowitej walca C_2 :\n\n12π·4=48π\n\nPierwsze zdanie: prawda.\n\nObjętości brył podobnych zmieniają się w skali k^3 :\n\nk^3=2^3=8\n\nZatem objętość walca C_2 :\n\n4π·8=32π\n\nDrugie zdanie: prawda.\n\nOdpowiedź: P, P","image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/sol-27.svg","topics":"Bryły obrotowe, stereometria","page_from":26,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa","number":"28","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2026,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (0-1)\nRysunek drwala składa się z sześciu obszarów ponumerowanych liczbami od 1 do 6 (zobacz\nrysunek). Każdy z tych obszarów należy pokolorować jednym z siedmiu kolorów w taki\nsposób, aby każde dwa obszary graniczące ze sobą miały różny kolor.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWszystkich takich sposobów pokolorowania drwala jest\nA. 7 ⋅65\nB. 73 ⋅63\nC. 7 ⋅6\nD. 7 ⋅6 ⋅5 ⋅4 ⋅3 ⋅2\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n\nMMAP-P0_100\nRysunek drwala składa się z sześciu obszarów ponumerowanych liczbami od 1 do 6 (zobacz rysunek). Każdy z tych obszarów należy pokolorować jednym z siedmiu kolorów w taki sposób, aby każde dwa obszary graniczące ze sobą miały różny kolor. [rysunek] Wszystkich takich sposobów pokolorowania drwala jest A. 7⋅6^5 B. 7³⋅6³ C. 7⋅6 D. 7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2","answer":"A","answer_text":"Zadanie 28. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nXI.2) zlicza obiekty, stosując reguły\nmnożenia i dodawania […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"Kolorujemy kolejne obszary drwala.\n\nPierwszy obszar możemy pokolorować na 7 sposobów.\n\n7\n\nKażdy kolejny obszar graniczy z poprzednim już pokolorowanym obszarem, więc dla każdego z nich mamy 6 możliwości wyboru koloru.\n\n6·6·6·6·6=6^5\n\nLiczba wszystkich sposobów pokolorowania:\n\n7·6^5\n\nOdpowiedź: A. 7·6^5","image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/sol-28.svg","topics":"Kombinatoryka","page_from":27,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa","number":"29","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2026,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (0-1)\nZe zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy jedną liczbę.\nZdarzenie 𝐴 polega na tym, że wylosujemy liczbę, która jest wielokrotnością liczby 34.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe\nA. 1\n89\nB. 2\n89\nC. 1\n90\nD. 2\n90\n\nMMAP-P0_100\nZe zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy jedną liczbę. Zdarzenie A polega na tym, że wylosujemy liczbę, która jest wielokrotnością liczby 34. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe A. 1/89 B. 2/89 C. 1/90 D. 2/90","answer":"D","answer_text":"Zadanie 29. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nXII.1) oblicza prawdopodobieństwo\nw modelu klasycznym.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Liczb naturalnych dwucyfrowych jest:\n\n90\n\nDwucyfrowe wielokrotności liczby 34 to:\n\n34, 68\n\nSą więc 2 wyniki sprzyjające.\n\nPrawdopodobieństwo:\n\nP(A)=(2)/(90)\n\nOdpowiedź: D. (2)/(90)","image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/sol-29.svg","topics":"Prawdopodobieństwo, prawdopodobienstwo","page_from":28,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa","number":"30","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2026,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (0-1)\nWykładowca akademicki, aby ustalić oceny semestralne, oblicza średnie ważone ocen\notrzymanych przez studentów. Ocenom przypisano następujące wagi:\nocena z kartkówki - waga 2\nocena z projektu - waga 3\nocena za aktywność - waga 4.\nKarolina w trakcie semestru otrzymała następujące oceny:\nKartkówki\nProjekty\nAktywność\n4\n4\n3\n2\n5\n5\n4\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nŚrednia ważona ocen uzyskanych przez Karolinę jest równa\nA. 3,85\nB. 3,9\nC. 3,95\nD. 4\n\nMMAP-P0_100\nWykładowca akademicki, aby ustalić oceny semestralne, oblicza średnie ważone ocen otrzymanych przez studentów. Ocenom przypisano następujące wagi: ⋅ ocena z kartkówki - waga 2 ⋅ ocena z projektu - waga 3 ⋅ ocena za aktywność - waga 4. Karolina w trakcie semestru otrzymała następujące oceny: Kartkówki | Projekty | Aktywność 4 | 4 | 3 | 2 | 5 | 5 | 4 Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Średnia ważona ocen uzyskanych przez Karolinę jest równa A. 3,85 B. 3,9 C. 3,95 D. 4","answer":"C","answer_text":"Zadanie 30. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach\nrzeczywistych, także przy użyciu\nkalkulatora, stosowanie praw działań\nmatematycznych przy przekształcaniu\nwyrażeń algebraicznych oraz\nwykorzystywanie tych umiejętności przy\nrozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nZdający:\nXII.2) oblicza […] średnią ważoną […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"Wagi ocen są następujące:\n\nkartkówka - 2 , projekt - 3 , aktywność - 4\n\nKarolina otrzymała:\n\nkartkówki: 4,4,3\n\nprojekty: 2,5\n\naktywność: 5,4\n\nObliczamy sumę ważoną:\n\n(4+4+3)·2+(2+5)·3+(5+4)·4\n\n=11·2+7·3+9·4\n\n=22+21+36=79\n\nObliczamy sumę wag:\n\n3·2+2·3+2·4=6+6+8=20\n\nŚrednia ważona:\n\n(79)/(20)=3 , 95\n\nOdpowiedź: C. 3 , 95","image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/sol-30.svg","topics":"Statystyka, prawdopodobienstwo","page_from":29,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa","number":"31","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2026,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (0-1)\nPodczas pewnego turnieju piłkarskiego rozegrano 50 meczów. Na diagramie kołowym\nprzedstawiono informacje o liczbie goli strzelonych w tych meczach.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nMediana liczb goli strzelonych w meczach tego turnieju jest równa\nA. 1\nB. 1,5\nC. 2\nD. 2,5\n8%\n42%\n32%\n12%\n6%\nmecze, w których strzelono 0 goli\nmecze, w których strzelono 1 gola\nmecze, w których strzelono 2 gole\nmecze, w których strzelono 3 gole\nmecze, w których strzelono 4 gole\n\nMMAP-P0_100\nPodczas pewnego turnieju piłkarskiego rozegrano 50 meczów. Na diagramie kołowym przedstawiono informacje o liczbie goli strzelonych w tych meczach. [rysunek] ◼ mecze, w których strzelono 0 goli ◼ mecze, w których strzelono 1 gola ◼ mecze, w których strzelono 2 gole ◼ mecze, w których strzelono 3 gole ◼ mecze, w których strzelono 4 gole","answer":"B","answer_text":"Zadanie 31. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nXII.2) […] znajduje medianę […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\nPróbny egzamin maturalny z matematyki na poziomie podstawowym - marzec 2026 r.","solution":"Rozegrano 50 meczów.\n\nZ diagramu odczytujemy:\n\n8% meczów z 0 golami: 0 , 08·50=4\n\n42% meczów z 1 golem: 0 , 42·50=21\n\n32% meczów z 2 golami: 0 , 32·50=16\n\nPorządkujemy wyniki rosnąco.\n\nPierwsze 4 wyniki to zera, a kolejne 21 wyników to jedynki. Zatem wyniki od 5. do 25. są równe 1 .\n\nKolejne wyniki są równe 2 , więc 26. wynik jest równy 2 .\n\nDla 50 wyników mediana jest średnią z 25. i 26. wyniku:\n\nMe=(1+2)/(2)=1 , 5\n\nOdpowiedź: B. 1 , 5","image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/sol-31.svg","topics":"Statystyka, prawdopodobienstwo","page_from":30,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa","number":"32","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2026,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32.\nFunkcja kwadratowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = -5(𝑥-𝜋)2 + √2.\nFunkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x) = -5(x-π)² + √2. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Funkcja f przyjmuje wartość najmniejszą w przedziale <0,6> dla argumentu A. 0 B. 3 C. π D. 6","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/sol-32.svg","topics":null,"page_from":31,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/32.1","paper_id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa","number":"32.1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2026,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32.1. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nFunkcja 𝑓 przyjmuje wartość największą w przedziale [0, 6] dla argumentu\nA. 0\nB. 3\nC. 𝜋\nD. 6\nFunkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x) = -5(x-π)² + √2. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Funkcja f przyjmuje wartość największą w przedziale <0,6> dla argumentu A. 0 B. 3 C. π D. 6","answer":"C","answer_text":"Zadanie 32.1. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nV.10) wyznacza największą […] wartość\nfunkcji kwadratowej w przedziale\ndomkniętym.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"Funkcja ma postać kanoniczną:\n\nf(x)=-5(x-π)^2+√(2)\n\nWspółczynnik przy (x-π)^2 jest ujemny, więc parabola ma ramiona skierowane w dół.\n\nWartość największa jest przyjmowana w wierzchołku paraboli.\n\nx=π\n\nPonieważ π∈[0,6] , to w podanym przedziale funkcja przyjmuje wartość największą dla argumentu π .\n\nOdpowiedź: C. π","image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad-32.1.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/sol-32.1.svg","topics":"Funkcja kwadratowa, funkcje","page_from":31,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/32.2","paper_id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa","number":"32.2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2026,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32.2. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nFunkcja 𝑓 przyjmuje wartość najmniejszą w przedziale [0, 6] dla argumentu\nA. 0\nB. 3\nC. 𝜋\nD. 6\n\nMMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMAP-P0_100\n\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023","answer":"A","answer_text":"Zadanie 32.2. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nV.10) wyznacza […] najmniejszą wartość\nfunkcji kwadratowej w przedziale\ndomkniętym.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"Parabola ma ramiona skierowane w dół, więc w przedziale domkniętym wartość najmniejsza będzie na jednym z końców przedziału.\n\nPorównujemy odległości końców przedziału od wierzchołka x=π :\n\n|0-π|=π\n\n|6-π|=6-π\n\nPonieważ:\n\nπ>6-π\n\npunkt 0 jest dalej od wierzchołka niż punkt 6 . Dla paraboli skierowanej ramionami w dół dalej od wierzchołka oznacza mniejszą wartość funkcji.\n\nOdpowiedź: A. 0","image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad-32.2.webp","solution_image":null,"topics":"Funkcja kwadratowa, funkcje","page_from":31,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"}]}