{"paper":{"id":"matematyka-2026-styczen-egzamin-osmoklasisty-probny","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2026,"month":"styczen","level":null,"variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2026-styczen-egzamin-osmoklasisty-probny/matematyka-2026-styczen-egzamin-osmoklasisty-probny.pdf","key_pdf":"matematyka-2026-styczen-egzamin-osmoklasisty-probny-odpowiedzi/matematyka-2026-styczen-egzamin-osmoklasisty-probny-odpowiedzi.pdf","question_count":20,"source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · styczeń 2026","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},"questions":[{"id":"matematyka-2026-styczen-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/1","paper_id":"matematyka-2026-styczen-egzamin-osmoklasisty-probny","number":"1","points":1,"ptype":"true_false","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2026,"month":"styczen","level":null,"text":"Zadanie 1. (0-1)\nNa diagramie przedstawiono zysk pewnej firmy w kolejnych kwartałach 2024 roku.\nOceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F -\njeśli jest fałszywe.\nZysk tej firmy w I kwartale stanowi 1\n6 zysku z całego roku 2024.\nP\nF\nZysk tej firmy w drugim półroczu 2024 roku był o 350 tysięcy złotych\nwiększy niż jej zysk w pierwszym półroczu 2024 roku.\nP\nF","answer":"F, P","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nPodstawa programowa1\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Odczytywanie i interpretowanie danych\nprzedstawionych w różnej formie oraz ich\nprzetwarzanie.\nKLASY VII i VIII\nXIII. Odczytywanie danych i elementy\nstatystyki opisowej. Uczeń:\n1) interpretuje dane przedstawione za pomocą\n[…] diagramów słupkowych […].\nKLASY IV-VI\nIV. Ułamki zwykłe i dziesiętne. Uczeń:\n1) opisuje cześć danej całości za pomocą\nułamka.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna lub niepełna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nFP","solution":"Z diagramu odczytujemy zyski: 300, 450, 600, 500 tys. zł.\n\n300+450+600+500=1850\n\n(1)/(6) całorocznego zysku to (1850)/(6)≈308 , 3 , a nie 300 , więc pierwsze zdanie jest fałszywe.\n\n(600+500)-(300+450)=1100-750=350\n\nDrugie zdanie jest prawdziwe.\n\nOdpowiedź: F, P","image":"img/matematyka-2026-styczen-egzamin-osmoklasisty-probny/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":"Diagramy","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · styczeń 2026","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2026-styczen-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/2","paper_id":"matematyka-2026-styczen-egzamin-osmoklasisty-probny","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2026,"month":"styczen","level":null,"text":"Zadanie 2. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWartość wyrażenia 43 -82 ∶24 jest równa\nA. 0\nB. 10\nC. 56\nD. 60","answer":"D","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\n1. Wykonywanie nieskomplikowanych\nobliczeń w pamięci lub pisemnie oraz\nwykorzystanie tych umiejętności\nw sytuacjach praktycznych.\nKLASY IV-VI\nII. Działania na liczbach naturalnych. Uczeń:\n8) oblicza kwadraty i sześciany liczb\nnaturalnych;\n9) stosuje reguły dotyczące kolejności\nwykonywania działań.\nKLASY VII i VIII\nI. Potęgi o podstawach wymiernych. Uczeń:\n2) […] dzieli potęgi o wykładnikach\ncałkowitych dodatnich.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD\n1 Rozporządzenie Ministra Edukacji z dnia 28 czerwca 2024 r. zmieniające rozporządzenie w sprawie podstawy\nprogramowej wychowania przedszkolnego oraz podstawy programowej kształcenia ogólnego dla szkoły\npodstawowej, w tym dla uczniów z niepełnosprawnością intelektualną w stopniu umiarkowanym lub znacznym,\nkształcenia ogólnego dla branżowej szkoły I stopnia, kształcenia ogólnego dla szkoły specjalnej\nprzysposabiającej do pracy oraz kształcenia ogólnego dla szkoły policealnej (Dz.U. 2024, poz. 996).\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"4^3-8^2:2^4=64-64:16=64-4=60\n\nOdpowiedź: D","image":"img/matematyka-2026-styczen-egzamin-osmoklasisty-probny/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":"Potęgi","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · styczeń 2026","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2026-styczen-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/3","paper_id":"matematyka-2026-styczen-egzamin-osmoklasisty-probny","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2026,"month":"styczen","level":null,"text":"Zadanie 3. (0-1)\nDane jest wyrażenie\n(0,75 ⋅8 + 8 ⋅1\n2) ∶(-2)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWartość tego wyrażenia jest równa\nA. -5\nB. -3,5\nC. 3,5\nD. 5\nPRZENIEŚ ROZWIĄZANIA ZADAŃ NA KARTĘ ODPOWIEDZI!\n0\n100\n200\n300\n400\n500\n600\n700\nI kwartał\nII kwartał\nIII kwartał\nIV kwartał\nZysk w tys. zł\nRok 2024\nOMAP-100-2602\nBrudnopis (nie podlega ocenie)\nOMAP-100-2602","answer":"A","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\n1. Wykonywanie nieskomplikowanych\nobliczeń w pamięci lub pisemnie oraz\nwykorzystanie tych umiejętności\nw sytuacjach praktycznych.\nKLASY IV-VI\nV. Działania na ułamkach zwykłych\ni dziesiętnych. Uczeń:\n7) oblicza wartości wyrażeń arytmetycznych,\nwymagających stosowania działań\narytmetycznych na liczbach całkowitych lub na\nliczbach zapisanych za pomocą ułamków\nzwykłych, liczb mieszanych i ułamków\ndziesiętnych, także wymiernych ujemnych,\nz uwzględnieniem reguł dotyczących\nkolejności wykonywania działań […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"0 , 75· 8=6\n\n8·(1)/(2)=4\n\n(6+4):(-2)=10:(-2)=-5\n\nOdpowiedź: A","image":"img/matematyka-2026-styczen-egzamin-osmoklasisty-probny/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":"Działania na liczbach","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · styczeń 2026","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2026-styczen-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/4","paper_id":"matematyka-2026-styczen-egzamin-osmoklasisty-probny","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2026,"month":"styczen","level":null,"text":"Zadanie 4. (0-1)\nUczniowie trzech klas: 8A, 8B i 8C, zebrali łącznie 132,9 kg makulatury. Uczniowie klas 8A\ni 8B zebrali łącznie 90,6 kg makulatury, a uczniowie klas 8B i 8C zebrali łącznie 86,8 kg\nmakulatury.\nIle kilogramów makulatury zebrali uczniowie klasy 8B? Wybierz właściwą odpowiedź\nspośród podanych.\nA. 43,4\nB. 44,3\nC. 44,5\nD. 47,2","answer":"C","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\n1. Wykonywanie nieskomplikowanych\nobliczeń w pamięci lub pisemnie oraz\nwykorzystanie tych umiejętności\nw sytuacjach praktycznych.\nKLASY IV-VI\nV. Działania na ułamkach zwykłych\ni dziesiętnych. Uczeń:\n2) dodaje, odejmuje, mnoży i dzieli ułamki\ndziesiętne […].\nXIV. Zadania tekstowe. Uczeń:\n5) do rozwiązywania zadań osadzonych\nw kontekście praktycznym stosuje poznaną\nwiedzę z zakresu arytmetyki i geometrii oraz\nnabyte umiejętności rachunkowe, a także\nwłasne poprawne metody.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC\nPróbny egzamin ósmoklasisty z matematyki - styczeń 2026 r.","solution":"Dodajemy masę zebraną przez klasy 8A+8B i 8B+8C . Klasa 8B jest wtedy policzona dwa razy.\n\n90 , 6+86 , 8-132 , 9=44 , 5\n\nOdpowiedź: C","image":"img/matematyka-2026-styczen-egzamin-osmoklasisty-probny/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":"Równania","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · styczeń 2026","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2026-styczen-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/5","paper_id":"matematyka-2026-styczen-egzamin-osmoklasisty-probny","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2026,"month":"styczen","level":null,"text":"Zadanie 5. (0-1)\nUzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz\nodpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.\nRówność 3𝑎-4 = 𝑎+ 2 jest spełniona dla liczby 𝑎 równej .\nA. 3\nB. 1\nWyrażenie (3𝑎-4) -(𝑎+ 2) jest równe .\nC. 2𝑎-2\nD. 2𝑎-6","answer":"A, D","answer_text":"Zadanie 5. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n3. Używanie języka matematycznego do\nopisu rozumowania i uzyskanych\nwyników.\nKLASY VII i VIII\nIII. Tworzenie wyrażeń algebraicznych z jedną\ni wieloma zmiennymi. Uczeń:\n2) oblicza wartości liczbowe wyrażeń\nalgebraicznych.\nIV. Przekształcanie wyrażeń algebraicznych.\nSumy algebraiczne i działania na nich. Uczeń:\n2) dodaje i odejmuje sumy algebraiczne,\nredukując wyrazy podobne.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna lub niepełna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nAD","solution":"3a-4=a+2⇒2a=6⇒ a=3\n\n(3a-4)-(a+2)=3a-4-a-2=2a-6\n\nOdpowiedź: A, D","image":"img/matematyka-2026-styczen-egzamin-osmoklasisty-probny/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":"Wyrażenia algebraiczne","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · styczeń 2026","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2026-styczen-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/6","paper_id":"matematyka-2026-styczen-egzamin-osmoklasisty-probny","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2026,"month":"styczen","level":null,"text":"Zadanie 6. (0-1)\nAleks kupił jeden komplet słuchawek bezprzewodowych, dwie jednakowe ładowarki i dwa\njednakowe dyski USB. Jeden dysk USB był 2 razy tańszy od ładowarki, a komplet\nsłuchawek bezprzewodowych był 4 razy droższy od jednej ładowarki.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nJeżeli przez 𝑥 oznaczymy cenę jednej ładowarki, to wartość zakupów Aleksa opiszemy\nwyrażeniem\nA. 10,5𝑥\nB. 7𝑥\nC. 6,5𝑥\nD. 6𝑥","answer":"B","answer_text":"Zadanie 6. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie modelu matematycznego\ndo prostej sytuacji oraz budowanie go\nw różnych kontekstach, także\nw kontekście praktycznym.\nKLASY VII i VIII\nIII. Tworzenie wyrażeń algebraicznych z jedną\ni wieloma zmiennymi. Uczeń:\n3) zapisuje zależności przedstawione\nw zadaniach w postaci wyrażeń\nalgebraicznych jednej lub kilku zmiennych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Słuchawki kosztują 4x , dwie ładowarki 2x , a dwa dyski po (x)/(2) , czyli razem x .\n\n4x+2x+x=7x\n\nOdpowiedź: B","image":"img/matematyka-2026-styczen-egzamin-osmoklasisty-probny/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":"Wyrażenia algebraiczne","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · styczeń 2026","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2026-styczen-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/7","paper_id":"matematyka-2026-styczen-egzamin-osmoklasisty-probny","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2026,"month":"styczen","level":null,"text":"Zadanie 7. (0-1)\nDane są trzy liczby: 𝑥= 5,27 ⋅10-3, 𝑦= 0,0023, 𝑧= 1400 ⋅10-5.\nUporządkowano te liczby w kolejności od najmniejszej do największej.\nKtóry zapis przedstawia poprawny sposób uporządkowania liczb 𝒙, 𝒚, 𝒛 ?\nWybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nA. 𝑥< 𝑦< 𝑧\nB. 𝑦< 𝑥< 𝑧\nC. 𝑧< 𝑦< 𝑥\nD. 𝑥< 𝑧< 𝑦\nPRZENIEŚ ROZWIĄZANIA ZADAŃ NA KARTĘ ODPOWIEDZI!\nA\nB\nC\nD\nOMAP-100-2602\nBrudnopis (nie podlega ocenie)\nOMAP-100-2602","answer":"B","answer_text":"Zadanie 7. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Używanie prostych, dobrze znanych\nobiektów matematycznych,\ninterpretowanie pojęć matematycznych\ni operowanie obiektami matematycznymi.\nKLASY IV-VI\nIV. Ułamki zwykłe i dziesiętne. Uczeń:\n12) porównuje ułamki (zwykłe i dziesiętne).\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"x=0 , 00527, y=0 , 0023, z=0 , 014\n\nZatem 0 , 0023<0 , 00527<0 , 014 .\n\nOdpowiedź: B","image":"img/matematyka-2026-styczen-egzamin-osmoklasisty-probny/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":"Potęgi","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · styczeń 2026","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2026-styczen-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/8","paper_id":"matematyka-2026-styczen-egzamin-osmoklasisty-probny","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2026,"month":"styczen","level":null,"text":"Zadanie 8. (0-1)\nNa osi liczbowej zaznaczono punkty 𝐾, 𝐿 i 𝑀. Odcinek 𝐾𝑀 jest podzielony na 10 równych\nczęści (zobacz rysunek).\nZ liczb, które są współrzędnymi punktów 𝐾, 𝐿 i 𝑀, utworzono sumy:\nI. 𝐾+ 𝐿+ 𝑀\nII. 𝐾+ 𝐿\nIII. 𝐾+ 𝑀\nIV. 𝐿+ 𝑀\nKtóra z utworzonych sum jest liczbą podzielną przez 𝟗? Wybierz właściwą odpowiedź\nspośród podanych.\nA. I\nB. II\nC. III\nD. IV","answer":"D","answer_text":"Zadanie 8. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Odczytywanie i interpretowanie danych\nprzedstawionych w różnej formie oraz ich\nprzetwarzanie.\nKLASY VII i VIII\nX. Oś liczbowa. Układ współrzędnych na\npłaszczyźnie. Uczeń:\n6) dla danych punktów kratowych A i B\nznajduje inne punkty kratowe należące do\nprostej AB.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD\nPróbny egzamin ósmoklasisty z matematyki - styczeń 2026 r.","solution":"Między oznaczeniami 6 i 21 jest 5 równych odcinków, więc jeden odcinek odpowiada liczbie:\n\n(21-6):5=3\n\nStąd:\n\nK=-3, L=9, M=27\n\nSprawdzamy wszystkie cztery przypadki:\n\nI. K+L+M=-3+9+27=33\n\nII. K+L=-3+9=6\n\nIII. K+M=-3+27=24\n\nIV. L+M=9+27=36\n\nTylko liczba 36 jest podzielna przez 9 .\n\nOdpowiedź: D","image":"img/matematyka-2026-styczen-egzamin-osmoklasisty-probny/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":"Oś liczbowa","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · styczeń 2026","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2026-styczen-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/9","paper_id":"matematyka-2026-styczen-egzamin-osmoklasisty-probny","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2026,"month":"styczen","level":null,"text":"Zadanie 9. (0-1)\nTrójkąty 𝐴𝐵𝐶 i 𝐴𝐵𝐷 są równoramienne. Miara kąta między ramionami trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest\nrówna 80°, a miara kąta między ramionami trójkąta 𝐴𝐵𝐷 jest równa 40°. Punkt 𝑆 jest\npunktem przecięcia odcinków 𝐴𝐶 i 𝐵𝐷 (zobacz rysunek).\nUzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz\nodpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.\nKąt 𝐴𝑆𝐵 jest .\nA. ostry\nB. prosty\nMiara kąta 𝐷𝐴𝐶 jest równa .\nC. 20°\nD. 40°\nPRZENIEŚ ROZWIĄZANIA ZADAŃ NA KARTĘ ODPOWIEDZI!\n80°\n40°\n𝐴\n𝐷\n𝐶\n𝑆\n𝐵\nA\nB\nC\nD\n𝐾\n𝐿\n𝑀\n6\n21\nOMAP-100-2602\nBrudnopis (nie podlega ocenie)\nOMAP-100-2602","answer":"B, C","answer_text":"Zadanie 9. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Używanie prostych, dobrze znanych\nobiektów matematycznych,\ninterpretowanie pojęć matematycznych\ni operowanie obiektami matematycznymi.\nKLASY VII i VIII\nVIII. Własności figur geometrycznych na\npłaszczyźnie. Uczeń:\n6) wykonuje proste obliczenia geometryczne,\nwykorzystując sumę kątów wewnętrznych\ntrójkąta i własności trójkątów\nrównoramiennych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna lub niepełna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nBC","solution":"W trójkącie ABC kąty przy podstawie mają po:\n\n(180^°-80^°)/(2)=50^°\n\nW trójkącie ABD kąt między ramionami jest przy B , więc kąty przy podstawie mają po:\n\n(180^°-40^°)/(2)=70^°\n\nStąd ∠ DAC=70^°-50^°=20^° . Proste AC i BD tworzą kąt prosty, więc ∠ ASB=90^° .\n\nOdpowiedź: B, C","image":"img/matematyka-2026-styczen-egzamin-osmoklasisty-probny/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":"Własności kątów","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · styczeń 2026","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2026-styczen-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/10","paper_id":"matematyka-2026-styczen-egzamin-osmoklasisty-probny","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2026,"month":"styczen","level":null,"text":"Zadanie 10. (0-1)\nNa tablicy zapisano osiem liczb całkowitych dodatnich, których średnia arytmetyczna jest\nrówna 9.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nPo dopisaniu do tych ośmiu liczb dodatkowej liczby równej 9 średnia arytmetyczna\nA. wzrośnie o 1.\nB. zmaleje o 1.\nC. się nie zmieni.\nD. wzrośnie o 9.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 10. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Używanie prostych, dobrze znanych\nobiektów matematycznych,\ninterpretowanie pojęć matematycznych\ni operowanie obiektami matematycznymi.\nKLASY VII i VIII\nXIII. Odczytywanie danych i elementy\nstatystyki opisowej. Uczeń:\n3) oblicza średnią arytmetyczną kilku liczb.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Suma ośmiu liczb wynosi 8·9=72 . Po dopisaniu liczby 9 :\n\n(72+9)/(9)=(81)/(9)=9\n\nOdpowiedź: C","image":"img/matematyka-2026-styczen-egzamin-osmoklasisty-probny/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":"Statystyka","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · styczeń 2026","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2026-styczen-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/11","paper_id":"matematyka-2026-styczen-egzamin-osmoklasisty-probny","number":"11","points":1,"ptype":"true_false","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2026,"month":"styczen","level":null,"text":"Zadanie 11. (0-1)\nDany jest prostokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷 o bokach długości 4 cm i 9 cm. Ten prostokąt narysowano\nw skali 2 : 1 i otrzymano prostokąt 𝐸𝐹𝐺𝐻.\nOceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F -\njeśli jest fałszywe.\nObwód prostokąta 𝐸𝐹𝐺𝐻 jest dwukrotnie większy od obwodu\nprostokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷.\nP\nF\nPole prostokąta 𝐸𝐹𝐺𝐻 jest równe 144 cm2.\nP\nF","answer":"P, P","answer_text":"Zadanie 11. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Używanie prostych, dobrze znanych\nobiektów matematycznych,\ninterpretowanie pojęć matematycznych\ni operowanie obiektami matematycznymi.\nKLASY IV-VI\nXII. Obliczenia praktyczne. Uczeń:\n8) oblicza […] długość odcinka w skali, gdy\ndana jest jego rzeczywista długość.\nXI. Obliczenia w geometrii. Uczeń:\n3) oblicza pola: […] prostokąta […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna lub niepełna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nPP","solution":"Skala 2:1 podwaja długości boków, więc obwód także jest dwa razy większy.\n\n8·18=144 cm^2\n\nOdpowiedź: P, P","image":"img/matematyka-2026-styczen-egzamin-osmoklasisty-probny/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":"Pola i obwody, Skala","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · styczeń 2026","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2026-styczen-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/12","paper_id":"matematyka-2026-styczen-egzamin-osmoklasisty-probny","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2026,"month":"styczen","level":null,"text":"Zadanie 12. (0-1)\nZ kart w kształcie trójkąta równobocznego o boku długości 2 cm układano figury w sposób\nprzedstawiony na rysunku.\nIle takich trójkątów należy ułożyć, aby otrzymać trapez o obwodzie równym 𝟒𝟐 𝐜𝐦?\nWybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nA. 7\nB. 11\nC. 19\nD. 21\nPRZENIEŚ ROZWIĄZANIA ZADAŃ NA KARTĘ ODPOWIEDZI!\nOMAP-100-2602\nBrudnopis (nie podlega ocenie)\nOMAP-100-2602\nInformacja do zadań 13.-14.\nAdam zbudował dwa prostopadłościany. Pierwszy prostopadłościan ma wymiary 5, 6, 10.\nDrugi prostopadłościan ma wymiary 6, 6, 10.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 12. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n2. Dostrzeganie regularności,\npodobieństw oraz analogii i formułowanie\nwniosków na ich podstawie.\nKLASY IV-VI\nXI. Obliczenia w geometrii. Uczeń:\n2) oblicza obwód wielokąta o danych\ndługościach boków.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC\nPróbny egzamin ósmoklasisty z matematyki - styczeń 2026 r.","solution":"Pierwszy trójkąt ma obwód 6 cm. Każdy kolejny trójkąt ma jeden bok wspólny z poprzednią figurą, dlatego zwiększa obwód o 2 cm.\n\n6+2(n-1)=42\n\n2n+4=42⇒ n=19\n\nOdpowiedź: C","image":"img/matematyka-2026-styczen-egzamin-osmoklasisty-probny/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":"Wyrażenia algebraiczne","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · styczeń 2026","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2026-styczen-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/13","paper_id":"matematyka-2026-styczen-egzamin-osmoklasisty-probny","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2026,"month":"styczen","level":null,"text":"Zadanie 13. (0-1)\nUzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz\nodpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.\nObjętość pierwszego prostopadłościanu jest równa .\nA. 300\nB. 600\nRóżnica objętości tych prostopadłościanów jest równa .\nC. 60\nD. 120","answer":"A, C","answer_text":"Zadanie 13. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Używanie prostych, dobrze znanych\nobiektów matematycznych,\ninterpretowanie pojęć matematycznych\ni operowanie obiektami matematycznymi.\nKLASY VII i VIII\nXI. Geometria przestrzenna. Uczeń:\n2) oblicza objętości […] graniastosłupów\nprostych […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna lub niepełna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nAC","solution":"V_1=5·6·10=300\n\nV_2=6·6·10=360, V_2-V_1=60\n\nOdpowiedź: A, C","image":"img/matematyka-2026-styczen-egzamin-osmoklasisty-probny/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":"Stereometria","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · styczeń 2026","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2026-styczen-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/14","paper_id":"matematyka-2026-styczen-egzamin-osmoklasisty-probny","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2026,"month":"styczen","level":null,"text":"Zadanie 14. (0-1)\nAdam ustawił te prostopadłościany jeden na drugim tak, że powstał większy\nprostopadłościan.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nPole powierzchni całkowitej otrzymanego prostopadłościanu jest równe\nA. 412\nB. 472\nC. 532\nD. 592\nPRZENIEŚ ROZWIĄZANIA ZADAŃ NA KARTĘ ODPOWIEDZI!\nA\nB\nC\nD\nOMAP-100-2602\nBrudnopis (nie podlega ocenie)\nOMAP-100-2602","answer":"B","answer_text":"Zadanie 14. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n3. Stosowanie strategii wynikającej\nz treści zadania, tworzenie strategii\nrozwiązania problemu, również\nw rozwiązaniach wieloetapowych oraz\nw takich, które wymagają umiejętności\nłączenia wiedzy z różnych działów\nmatematyki.\nKLASY VII i VIII\nXI. Geometria przestrzenna. Uczeń:\n2) oblicza […] pola powierzchni\ngraniastosłupów prostych […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZADANIA OTWARTE\nUwagi ogólne\nAkceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne, spełniające warunki\nzadania.\nZa rozwiązanie zadania na danym etapie uczeń może otrzymać punkty tylko wtedy, gdy\nprzedstawia poprawne sposoby rozwiązania na wszystkich wcześniejszych etapach.\nJeżeli na dowolnym etapie rozwiązania zadania uczeń popełnia jeden lub więcej błędów\nrachunkowych (albo błąd przepisania wartości poprawnie zidentyfikowanej danej albo\nwartości z wcześniejszych etapów rozwiązania), ale stosuje poprawne sposoby\nrozwiązania i konsekwentnie doprowadza rozwiązanie zadania do końca, to ocenę\nrozwiązania obniża się o 1 punkt.\nJeżeli na pewnym etapie rozwiązania zadania uczeń podaje kilka sprzecznych rozwiązań\ni nie wskazuje, które z nich należy uznać za poprawne, to może uzyskać punkty tylko za\nwcześniejsze poprawne etapy rozwiązania.\nJeżeli na pewnym etapie rozwiązania zadania uczeń podaje kilka sprzecznych rozwiązań\ni wskazuje, które z nich należy uznać za poprawne, to zapisów w innych rozwiązaniach\nnie bierze się pod uwagę w ocenianiu.\nJeżeli w zadaniach 15-20 uczeń podaje tylko poprawny końcowy wynik, to otrzymuje\n0 punktów.\nW pracy ucznia uprawnionego do dostosowanych zasad oceniania dopuszcza się:\n1. lustrzane zapisywanie cyfr i liter (np. 6-9)\n2. gubienie liter, cyfr, nawiasów\n3. problemy z zapisywaniem przecinków w liczbach dziesiętnych\n4. błędy w zapisie działań pisemnych (dopuszczalne drobne błędy rachunkowe,\nwynikające np. z graficznego podobieństwa cyfr)\n5. luki w zapisie obliczeń - obliczenia pamięciowe\n6. uproszczony zapis równania i przekształcenie go w pamięci; brak opisu\nniewiadomych\n7. niekończenie wyrazów\n8. problemy z zapisywaniem jednostek (np.℃ - OC)\n9. błędy w przepisywaniu\n10. chaotyczny zapis operacji matematycznych\n11. mylenie indeksów górnych i dolnych (np. 𝑥2 - 𝑥2, 𝑚2 - 𝑚2).\nUczeń uprawniony do korzystania z kalkulatora może otrzymać punkty za rozwiązanie\nzadania na danym etapie tylko wtedy, gdy przedstawi poprawne sposoby rozwiązania.\nJeżeli uczeń uprawniony do korzystania z kalkulatora zapisze poprawny sposób\nrozwiązania zadania, ale w wyniku końcowym zapisze błędną wartość liczbową,\nto traktujemy to jako błąd rachunkowy.\nPróbny egzamin ósmoklasisty z matematyki - styczeń 2026 r.","solution":"Prostopadłościany ustawiono na jednakowych podstawach 6×10 , więc powstała bryła o wymiarach 6, 10, 11 .\n\nP_c=2(6·10+6·11+10·11)\n\nP_c=2(60+66+110)=472\n\nOdpowiedź: B","image":"img/matematyka-2026-styczen-egzamin-osmoklasisty-probny/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":"Stereometria","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · styczeń 2026","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2026-styczen-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/15","paper_id":"matematyka-2026-styczen-egzamin-osmoklasisty-probny","number":"15","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2026,"month":"styczen","level":null,"text":"Zadanie 15. (0-2)","answer":"Między 4 i 5","answer_text":"Zadanie 15. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Używanie prostych, dobrze znanych\nobiektów matematycznych,\ninterpretowanie pojęć matematycznych\ni operowanie obiektami matematycznymi.\nKLASY VII i VIII\nII. Pierwiastki. Uczeń:\n3) porównuje wartość wyrażenia\narytmetycznego zawierającego pierwiastki\nz daną liczbą wymierną oraz znajduje liczby\nwymierne większe lub mniejsze od takiej\nwartości […];\n5) mnoży i dzieli pierwiastki tego samego\nstopnia.\nZasady oceniania\n2 punkty - pełne rozwiązanie\npoprawny sposób wyznaczenia dwóch kolejnych liczb naturalnych, między którymi znajduje\nsię wartość podanego wyrażenia arytmetycznego, prawidłowe obliczenia oraz prawidłowy\nwynik liczbowy (4 oraz 5).\n1 punkt\npoprawny sposób obliczenia liczby 𝑎.\n0 punktów\nrozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe rozwiązania ocenione na 2 punkty\nI sposób\nObliczymy wartość liczby 𝑎.\n𝑎= 2√3 ⋅√10\n√6\n= 2√3 ⋅√2 ⋅√5\n√2 ⋅√3\n= 2√5 = √20\nSzukamy dwóch kolejnych liczb naturalnych, takich że jedna jest mniejsza od √20, a druga\njest większa od √20.\n√16 < √20 < √25\n√16 = 4\n√25 = 5\nOdpowiedź: Liczba 𝑎 znajduje się na osi liczbowej między liczbami 4 oraz 5.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nII sposób\nObliczymy wartość liczby 𝑎.\n𝑎= 2√3 ⋅√10\n√6\n= 2√3 ⋅10\n√6\n= 2√30\n√6\n= 2√5\nSzacujemy wartość liczby √5.\n(2,2)2 = 4,84\n(2,3)2 = 5,29\nstąd 2,2 < √5 < 2,3\nWnioskujemy, że:\n4,4 < 2√5 < 4,6\nZatem szukane dwie kolejne liczby naturalne to 4 i 5.\nOdpowiedź: Liczba 𝑎 znajduje się na osi liczbowej między liczbami 4 oraz 5.","solution":"a=frac 2√(3)·√(10) √(6) =frac 2√(30) √(6) =2√(5)\n\nPonieważ 4<2√(5)<5 (bo 16<20<25 ), liczba a leży między 4 i 5 .\n\nOdpowiedź: 4<a<5","image":"img/matematyka-2026-styczen-egzamin-osmoklasisty-probny/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":"Pierwiastki","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · styczeń 2026","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2026-styczen-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/16","paper_id":"matematyka-2026-styczen-egzamin-osmoklasisty-probny","number":"16","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2026,"month":"styczen","level":null,"text":"Zadanie 16. (0-3)","answer":"28 osób","answer_text":"Zadanie 16. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n3. Stosowanie strategii wynikającej\nz treści zadania, tworzenie strategii\nrozwiązania problemu, również\nw rozwiązaniach wieloetapowych oraz\nw takich, które wymagają umiejętności\nłączenia wiedzy z różnych działów\nmatematyki.\nKLASY IV-VI\nXIV. Zadania tekstowe. Uczeń:\n5) do rozwiązywania zadań osadzonych\nw kontekście praktycznym stosuje poznaną\nwiedzę z zakresu arytmetyki i geometrii oraz\nnabyte umiejętności rachunkowe, a także\nwłasne poprawne metody.\nZasady oceniania\n3 punkty - pełne rozwiązanie\n• poprawny sposób obliczenia liczby osób w drużynie harcerskiej, prawidłowe obliczenia\noraz prawidłowy wynik liczbowy (28 osób)\nLUB\n• zastosowanie metody prób i błędów - sprawdzenie warunków zadania dla co najmniej\ndwóch liczb zespołów 4-osobowych z uwzględnieniem liczby zespołów równej 7,\nprawidłowe obliczenia oraz prawidłowy wynik liczbowy (28 osób).\n2 punkty\n• zapisanie poprawnego równania prowadzącego do obliczenia liczby zespołów\n4-osobowych lub 5-osobowych, np.\n4𝑥= 5 ⋅(𝑥-2) + 3 lub 4(𝑥+ 2) = 5 ⋅𝑥+ 3 (lub zapisy równoważne)\nLUB\n• zapisanie poprawnego równania prowadzącego do obliczenia liczby harcerzy w drużynie,\nnp.\nPróbny egzamin ósmoklasisty z matematyki - styczeń 2026 r.\n𝑥\n4 = 𝑥-3\n5\n+ 2 (lub zapisy równoważne),\nLUB\n• zastosowanie metody prób i błędów - sprawdzenie warunków zadania dla co najmniej\ndwóch różnych liczb zespołów 4-osobowych z uwzględnieniem liczby zespołów równej 7.\n1 punkt\n• zapisanie poprawnych wyrażeń algebraicznych jednej zmiennej opisujących liczbę osób\nw zespołach 4-osobowych oraz liczbę osób w zespołach 5-osobowych, np.\n4𝑥 oraz 5(𝑥-2) + 3 (lub zapisy równoważne)\nLUB\n• zapisanie poprawnych wyrażeń algebraicznych jednej zmiennej opisujących liczbę\nzespołów 4-osobowych i 5-osobowych, np.\n𝑥\n4 oraz 𝑥-3\n5 (lub zapisy równoważne),\nLUB\n• zastosowanie metody prób i błędów - sprawdzenie warunków zadania dla co najmniej\ndwóch różnych liczb zespołów 4-osobowych bez uwzględnienia liczby zespołów równej 7.\n0 punktów\nrozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.\nUwaga\nJeżeli uczeń sprawdza wszystkie warunki zadania tylko dla 7 zespołów 4-osobowych lub\n28 osób w drużynie i nie popełni błędów rachunkowych, to otrzymuje 1 punkt.\nPrzykładowe rozwiązania ocenione na 3 punkty\nI sposób\nGdy drużyna dzieli się na zespoły po 4 osoby, to powstaje 𝑥 zespołów.\nLiczbę osób w drużynie zapiszemy więc jako 4𝑥.\nGdyby drużyna liczyła o 3 osoby mniej czyli (4𝑥-3), to można ją dzielić na (𝑥-2)\nzespołów po 5 osób.\nZapiszemy równanie uwzględniające powyższe warunki:\n4𝑥-3 = 5(𝑥-2)\n4𝑥= 5 ⋅(𝑥-2) + 3\n4𝑥= 5𝑥-10 + 3\n7 = 5𝑥-4𝑥\n𝑥= 7\nSkoro jest 7 zespołów po 4 osoby, to w drużynie jest 7 ⋅4 = 28 osób.\nOdpowiedź: W tej drużynie harcerskiej jest 28 osób.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nII sposób\nOznaczymy przez 𝑥 liczbę osób w drużynie.\nLiczba zespołów 4-osobowych jest równa 𝑥\n4, a liczba zespołów 5-osobowych jest równa\n𝑥-3\n5 .\nLiczba zespołów 5-osobowych jest o 2 mniejsza od liczby zespołów 4-osobowych, możemy\nzatem zapisać równanie:\n𝑥\n4 = 𝑥-3\n5\n+ 2\n5𝑥= 4𝑥+ 28\n𝑥= 28\nOdpowiedź: W tej drużynie harcerskiej jest 28 osób.\nIII sposób\nMetoda prób i błędów:\nLiczba\nzespołów\n4-osobowych\nLiczba osób\nw zespołach\n4-osobowych\nLiczba\nzespołów\n5-osobowych\n(o 2 mniej)\nLiczba osób\nw zespołach\n5-osobowych\nWniosek\n5\n5 ⋅4 = 20\n3\n3 · 5 = 15\n20 -15 ≠3\n6\n6 ⋅4 = 24\n4\n4 · 5 = 20\n24 -20 ≠3\n8\n8 ⋅4 = 32\n6\n6 · 5 = 30\n32 -30 ≠3\n𝟕\n𝟕⋅𝟒= 𝟐𝟖\n𝟓\n𝟓· 𝟓= 𝟐𝟓\n𝟐𝟖-𝟐𝟓= 𝟑\nOdpowiedź: W tej drużynie harcerskiej jest 28 osób.\nPróbny egzamin ósmoklasisty z matematyki - styczeń 2026 r.","solution":"Niech x oznacza liczbę harcerzy. Liczba zespołów 4-osobowych to (x)/(4) , a zespołów 5-osobowych po odejściu trzech osób - (x-3)/(5) .\n\n(x-3)/(5)=(x)/(4)-2\n\n4x-12=5x-40⇒ x=28\n\nSprawdzenie: 28:4=7 , a 25:5=5 , czyli o 2 zespoły mniej.\n\nOdpowiedź: 28 osób","image":"img/matematyka-2026-styczen-egzamin-osmoklasisty-probny/zad-16.webp","solution_image":null,"topics":"Równania","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · styczeń 2026","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2026-styczen-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/17","paper_id":"matematyka-2026-styczen-egzamin-osmoklasisty-probny","number":"17","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2026,"month":"styczen","level":null,"text":"Zadanie 17. (0-3)","answer":"64 km/h","answer_text":"Zadanie 17. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Używanie prostych, dobrze znanych\nobiektów matematycznych,\ninterpretowanie pojęć matematycznych\ni operowanie obiektami matematycznymi.\nKLASY IV-VI\nXII. Obliczenia praktyczne. Uczeń:\n9) w sytuacji praktycznej oblicza: […]\nprędkość przy danej drodze i czasie […] oraz\nstosuje jednostki prędkości km/h i m/s.\nKLASY VII i VIII\nXIII. Odczytywanie danych i elementy\nstatystyki opisowej. Uczeń:\n1) interpretuje dane przedstawione za pomocą\n[…] wykresów, w tym także wykresów\nw układzie współrzędnych.\nZasady oceniania\n3 punkty - pełne rozwiązanie\npoprawny sposób obliczenia prędkości, z jaką kierowca pokonał drugi odcinek drogi,\nprawidłowe obliczenia oraz prawidłowy wynik liczbowy (64 km\nh ).\n2 punkty\n• poprawny sposób obliczenia prędkości, z jaką kierowca pokonał drugi odcinek drogi, czyli\nzastosowanie poprawnego związku między prędkością, drogą i czasem, np. zapisanie\nv = 200 -120\n180 -105 km\nmin (lub zapisy równoważne)\nLUB\n• poprawny sposób obliczenia długości drugiego odcinka drogi oraz poprawny sposób\nwyrażenia czasu przejazdu drugiego odcinka drogi jako część godziny, np. zapisanie\n(200 -120) km oraz (180 -105)\n60\nh (lub zapisy równoważne).\n1 punkt\n• poprawny sposób obliczenia długości drugiego odcinka drogi oraz poprawny sposób\nobliczenia czasu przejazdu tego odcinka drogi\nLUB\n• ustalenie, np. odczytanie z wykresu długości drugiego odcinka drogi i czasu przejazdu\ntego odcinka drogi (80 km i 75 minut).\n0 punktów\nrozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.\nUwaga\nBłąd przy zamianie jednostek traktuje się jako błąd rachunkowy.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe rozwiązania ocenione na 3 punkty\nI sposób\nObliczymy długość drugiego odcinka drogi:\n𝑠= 200 -120 = 80 (km)\nObliczymy czas przejazdu drugiego odcinka drogi:\n𝑡= 180 -105 = 75 (min)\nObliczymy prędkość, z którą kierowca pokonał drugi odcinek drogi.\nSkorzystamy ze wzoru na prędkość:\nv = 𝑠\n𝑡, gdzie:\nv -prędkość\n𝑠= 80 km -droga\n𝑡= 75 minut = 75 ∙1\n60 h = 5\n4 h -czas\nv = 80 km\n5\n4 h\n= 80 ⋅4\n5 km\nh = 64 km\nh\nOdpowiedź: Kierowca pokonał II odcinek drogi z prędkością 64 km\nh .\nII sposób\nObliczymy długość drugiego odcinka drogi:\n200 -120 = 80 (km)\nObliczymy czas przejazdu drugiego odcinka drogi:\n180 -105 = 75 (min)\nObliczymy, ile kilometrów kierowca przejechałby w ciągu 1 godziny (60 min), gdyby jechał\nz tą samą, stałą prędkością.\n80 km w 75 min\n𝑥 km w 60 min\n𝑥 = 80 km ∙60 min\n75 min\n𝑥 = 64 km\nOdpowiedź: Kierowca pokonał II odcinek drogi z prędkością 64 km\nh .\nPróbny egzamin ósmoklasisty z matematyki - styczeń 2026 r.\nIII sposób\nDługość drugiego odcinka drogi: 80 (km)\nCzas przejazdu drugiego odcinka drogi: 75 (min)\n80 km w 75 min\n16 km w 15 min\n64 km w 60 min\n60 min = 1 h\nOdpowiedź: Kierowca pokonał II odcinek drogi z prędkością 64 km\nh .","solution":"Drugi odcinek rozpoczął się po postoju w 105 minucie przy drodze 120 km, a zakończył w 180 minucie przy drodze 200 km.\n\nΔ s=200-120=80 km\n\nΔ t=180-105=75 min=1 , 25 h\n\nv=frac 80 1 , 25 =64 km/h\n\nOdpowiedź: 64 km/h","image":"img/matematyka-2026-styczen-egzamin-osmoklasisty-probny/zad-17.webp","solution_image":null,"topics":"Droga, prędkość, czas","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · styczeń 2026","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2026-styczen-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/18","paper_id":"matematyka-2026-styczen-egzamin-osmoklasisty-probny","number":"18","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2026,"month":"styczen","level":null,"text":"Zadanie 18. (0-2)","answer":"414 cm^2","answer_text":"Zadanie 18. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Używanie prostych, dobrze znanych\nobiektów matematycznych,\ninterpretowanie pojęć matematycznych\ni operowanie obiektami matematycznymi.\nKLASY IV-VI\nX. Bryły. Uczeń:\n5) wykorzystuje podane zależności między\ndługościami krawędzi graniastosłupa do\nwyznaczania długości poszczególnych\nkrawędzi.\nKLASY VII i VIII\nXI. Geometria przestrzenna. Uczeń:\n2) oblicza […] pola powierzchni\ngraniastosłupów prostych, prawidłowych […].\nZasady oceniania\n2 punkty - pełne rozwiązanie\npoprawny sposób obliczenia pola powierzchni całkowitej graniastosłupa, prawidłowe\nobliczenia oraz prawidłowy wynik liczbowy (414 cm2).\n1 punkt\npoprawny sposób obliczenia długości krawędzi podstawy graniastosłupa.\n0 punktów\nrozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe rozwiązanie ocenione na 2 punkty\nObjętość graniastosłupa: 𝑉= 567 cm3.\nWysokość graniastosłupa: 𝐻= 7 cm.\nGraniastosłup prawidłowy czworokątny ma w podstawie kwadrat.\nOznaczymy długość krawędzi podstawy (długość boku kwadratu) jako 𝑎.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nObliczymy długość krawędzi podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego.\nSkorzystamy ze wzoru na objętość graniastosłupa:\n𝑉= 𝑎2 ⋅𝐻\n𝑎2 = 𝑉∶𝐻\n𝑎2 = 567 ∶7\n𝑎2 = 81\n𝑎= 9 (cm)\nObliczymy pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa:\n𝑃𝑐= 9 ⋅7 ⋅4 + 81 ⋅2 = 414 (cm2)\nOdpowiedź: Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa jest równe 414 cm2.","solution":"Pole kwadratowej podstawy:\n\nP_p=(567)/(7)=81 cm^2\n\nBok podstawy ma długość 9 cm. Pole powierzchni całkowitej:\n\nP_c=2·81+4·9·7=162+252=414 cm^2\n\nOdpowiedź: 414 cm^2","image":"img/matematyka-2026-styczen-egzamin-osmoklasisty-probny/zad-18.webp","solution_image":null,"topics":"Stereometria","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · styczeń 2026","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2026-styczen-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/19","paper_id":"matematyka-2026-styczen-egzamin-osmoklasisty-probny","number":"19","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2026,"month":"styczen","level":null,"text":"Zadanie 19. (0-3)","answer":"9 , 6 cm","answer_text":"Zadanie 19. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie modelu matematycznego\ndo prostej sytuacji oraz budowanie go\nw różnych kontekstach, także\nw kontekście praktycznym.\nKLASY IV-VI\nIX. Wielokąty koła i okręgi. Uczeń:\n5) zna najważniejsze własności […] rombu\n[…].\nKLASY VII i VIII\nVIII. Własności figur geometrycznych na\npłaszczyźnie. Uczeń:\n7) zna i stosuje w sytuacjach praktycznych\ntwierdzenie Pitagorasa (bez twierdzenia\nodwrotnego).\nIX. Wielokąty. Uczeń:\n2) stosuje wzory na pole […] rombu […].\nZasady oceniania\n3 punkty - pełne rozwiązanie\npoprawny sposób obliczenia wysokości rombu poprowadzonej z wierzchołka 𝐷 na bok 𝐴𝐵,\nprawidłowe obliczenia oraz prawidłowy wynik liczbowy (9,6 cm).\n2 punkty\npoprawny sposób obliczenia pola rombu.\n1 punkt\n• poprawny sposób obliczenia połowy długości przekątnej 𝐴𝐶\nLUB\n• ustalenie, np. zapisanie na rysunku połowy długości przekątnej 𝐴𝐶 (8 cm).\n0 punktów\nrozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.\nPróbny egzamin ósmoklasisty z matematyki - styczeń 2026 r.\nPrzykładowe rozwiązania ocenione na 3 punkty\nI sposób\nZaznaczymy na rysunku przekątną 𝐴𝐶 i oznaczymy połowę długości tej przekątnej jako 𝑥.\nSkorzystamy z twierdzenia Pitagorasa, aby obliczyć 𝑥:\n62 + 𝑥2 = 102\n𝑥2 = 64\n𝑥= √64\n𝑥= 8 (cm)\nPołowa długości przekątnej 𝐴𝐶 jest równa 8 cm, zatem przekątna 𝐴𝐶 ma długość 16 cm.\nObliczymy pole rombu 𝐴𝐵𝐶𝐷. Skorzystamy ze wzoru z przekątnymi rombu:\n𝑃= |𝐵𝐷| ⋅|𝐴𝐶|\n2\n𝑃= 12 ⋅16\n2\n= 96 (cm2)\nObliczymy wysokość rombu 𝐴𝐵𝐶𝐷. Skorzystamy ze wzoru na pole z uwzględnieniem\nwysokości rombu:\n𝑃= 𝑎⋅ℎ\nℎ= 𝑃\n𝑎\nℎ= 96\n10 = 9,6 (cm)\nOdpowiedź: Wysokość rombu 𝐴𝐵𝐶𝐷 poprowadzona z wierzchołka 𝐷 na bok 𝐴𝐵 jest\nrówna 9,6 cm.\nII sposób\nPrzekątna 𝐵𝐷 dzieli romb 𝐴𝐵𝐶𝐷 na dwa trójkąty przystające 𝐴𝐵𝐷 i 𝐵𝐶𝐷.\nZauważymy, że połowa długości przekątnej 𝐴𝐶 rombu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest wysokością opuszczoną\nna bok 𝐵𝐷 trójkąta 𝐴𝐵𝐷 i trójkąta 𝐵𝐶𝐷.\nObliczymy wysokość trójkąta 𝐴𝐵𝐷 (połowę długości przekątnej 𝐴𝐶). Skorzystamy\nz twierdzenia Pitagorasa:\n𝐴\n𝐶\n𝐵\n𝐷\n10 cm\n𝑥\n𝐴\n𝐶\n𝐵\n𝐷\n10 cm\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n62 + (1\n2 |𝐴𝐶|)\n2\n= 102\n(1\n2 |𝐴𝐶|)\n2\n= 64\n1\n2 |𝐴𝐶| = √64\n1\n2 |𝐴𝐶| = 8\nObliczymy pole trójkąta 𝐴𝐵𝐷:\n𝑃𝐴𝐵𝐷= 1\n2 ⋅1\n2 |𝐴𝐶| ⋅|𝐵𝐷|\n𝑃𝐴𝐵𝐷= 1\n2 ⋅8 ⋅12 = 48 (cm2)\nObliczymy pole rombu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jako sumę pól trójkątów 𝐴𝐵𝐷 i 𝐵𝐶𝐷:\n𝑃𝐴𝐵𝐷= 𝑃𝐵𝐶𝐷\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 𝑃𝐴𝐵𝐷⋅2 = 48 ⋅2 = 96 (cm2)\nObliczymy wysokość rombu 𝐴𝐵𝐶𝐷. Skorzystamy ze wzoru na pole rombu z uwzględnieniem\nwysokości:\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 𝑎⋅ℎ\nℎ= 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷\n𝑎\nℎ= 96\n10 = 9,6 (cm)\nOdpowiedź: Wysokość rombu 𝐴𝐵𝐶𝐷 poprowadzona z wierzchołka 𝐷 na bok 𝐴𝐵 jest\nrówna 9,6 cm.","solution":"Przekątne rombu są prostopadłe i dzielą się na połowy. Połowa przekątnej BD ma 6 cm.\n\nZ twierdzenia Pitagorasa:\n\n((AC)/(2) )^2+6^2=10^2\n\n((AC)/(2) )^2=64\n\n(AC)/(2)=8, AC=16\n\nPole rombu:\n\nP=(12·16)/(2)=96 cm^2\n\nZ drugiej strony P=10h , więc:\n\n10h=96, h=9 , 6 cm\n\nOdpowiedź: 9 , 6 cm","image":"img/matematyka-2026-styczen-egzamin-osmoklasisty-probny/zad-19.webp","solution_image":null,"topics":"Planimetria","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · styczeń 2026","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2026-styczen-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/20","paper_id":"matematyka-2026-styczen-egzamin-osmoklasisty-probny","number":"20","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2026,"month":"styczen","level":null,"text":"Zadanie 20. (0-3)\nZADANIE 15. ZNAJDUJE SIĘ NA KARCIE ROZWIĄZAŃ ZADAŃ OTWARTYCH.\nWYKONAJ TO ZADANIE W WYZNACZONYM MIEJSCU NA KARCIE ROZWIĄZAŃ ZADAŃ\nOTWARTYCH.\nZADANIE 16. ZNAJDUJE SIĘ NA KARCIE ROZWIĄZAŃ ZADAŃ OTWARTYCH.\nWYKONAJ TO ZADANIE W WYZNACZONYM MIEJSCU NA KARCIE ROZWIĄZAŃ ZADAŃ\nOTWARTYCH.\nZADANIE 18. ZNAJDUJE SIĘ NA KARCIE ROZWIĄZAŃ ZADAŃ OTWARTYCH.\nWYKONAJ TO ZADANIE W WYZNACZONYM MIEJSCU NA KARCIE ROZWIĄZAŃ ZADAŃ\nOTWARTYCH.\nZADANIE 19. ZNAJDUJE SIĘ NA KARCIE ROZWIĄZAŃ ZADAŃ OTWARTYCH.\nWYKONAJ TO ZADANIE W WYZNACZONYM MIEJSCU NA KARCIE ROZWIĄZAŃ ZADAŃ\nOTWARTYCH.\nZADANIE 20. ZNAJDUJE SIĘ NA KARCIE ROZWIĄZAŃ ZADAŃ OTWARTYCH.\nWYKONAJ TO ZADANIE W WYZNACZONYM MIEJSCU NA KARCIE ROZWIĄZAŃ ZADAŃ\nOTWARTYCH.\nZADANIE 17. ZNAJDUJE SIĘ NA KARCIE ROZWIĄZAŃ ZADAŃ OTWARTYCH.\nWYKONAJ TO ZADANIE W WYZNACZONYM MIEJSCU NA KARCIE ROZWIĄZAŃ ZADAŃ\nOTWARTYCH.\nOMAP-100-2602\nBrudnopis (nie podlega ocenie)\nOMAP-100-2602\nKARTA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ OTWARTYCH 15-20\nOMA 100\n6 2\nP-\n-2 0\nWYPEŁNIA UCZEŃ\nMiejsce na naklejkę.\nSprawdź, czy kod na naklejce to\nJeżeli tak - przyklej naklejkę.\nJeżeli nie - zgłoś to nauczycielowi.\nO-100\nKOD UCZNIA\nPESEL\nMATEMATYKA\nOMAP-100-2602\nZadanie 15. (0-2)\nDana jest liczba\n𝑎= 2√3 ⋅√10\n√6\nWyznacz dwie kolejne liczby całkowite dodatnie, między którymi na osi liczbowej znajduje\nsię liczba 𝒂. Zapisz obliczenia.\nOMAP-100-2602\nKOD UCZNIA\nPESEL\nMiejsce na naklejkę.\nSprawdź, czy kod na naklejce to\nJeżeli tak - przyklej naklejkę.\nJeżeli nie - zgłoś to nauczycielowi.\nO-100\nWYPEŁNIA UCZEŃ\nZadanie 16. (0-3)\nDrużynę harcerską można podzielić na 4-osobowe zespoły. Gdyby ta drużyna liczyła\no 3 osoby mniej, to wtedy harcerzy można by podzielić na zespoły 5-osobowe.\nLiczba zespołów 5-osobowych byłaby o 2 mniejsza od liczby zespołów 4-osobowych.\nOblicz, ile osób jest w tej drużynie harcerskiej. Zapisz obliczenia.\nOMAP-100-2602\nZadanie 17. (0-3)\nKierowca pokonał drogę podzieloną na trzy odcinki (I, II, III). Po przejechaniu każdego odcinka\ndrogi zatrzymywał się na postój. Na wykresie przedstawiono zależność przebytej przez\nkierowcę drogi od czasu.\nkm\nh , kierowca pokonał II odcinek drogi.\nOblicz, z jaką prędkością, wyrażoną w\nZapisz obliczenia.\nI\nII\nIII\n0\n40\n80\n120\n160\n200\n240\n280\n0\n15\n30\n45\n60\n75\n90 105 120 135 150 165 180 195 210 225 240 255\ndroga, km\nczas, min\nOMAP-100-2602\nWYPEŁNIA UCZEŃ\nKOD UCZNIA\nPESEL\nMiejsce na naklejkę.\nSprawdź, czy kod na naklejce to\nJeżeli tak - przyklej naklejkę.\nJeżeli nie - zgłoś to nauczycielowi.\nO-100\nZadanie 18. (0-2)\nGraniastosłup prawidłowy czworokątny o objętości 567 cm3 ma wysokość równą 7 cm.\nOblicz, ile 𝐜𝐦𝟐 ma pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa. Zapisz obliczenia.\nOMAP-100-2602\nZadanie 19. (0-3)\nW rombie 𝐴𝐵𝐶𝐷 poprowadzono przekątną 𝐵𝐷 oraz wysokość opuszczoną z wierzchołka 𝐷\nna bok 𝐴𝐵 (zobacz rysunek). Długość boku tego rombu jest równa 10 cm, a długość\nprzekątnej 𝐵𝐷 jest równa 12 cm.\nOblicz wysokość rombu 𝑨𝑩𝑪𝑫 poprowadzoną z wierzchołka 𝑫 na bok 𝑨𝑩.\nZapisz obliczenia.\n𝐴\n𝐶\n𝐵\n𝐷\nOMAP-100-2602\nWYPEŁNIA UCZEŃ\nMiejsce na naklejkę.\nSprawdź, czy kod na naklejce to\nJeżeli tak - przyklej naklejkę.\nJeżeli nie - zgłoś to nauczycielowi.\nO-100\nKOD UCZNIA\nPESEL\nZadanie 20. (0-3)\nDany jest czworokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷. Przekątna 𝐵𝐷 o długości √18 dzieli ten czworokąt na dwa\ntrójkąty prostokątne równoramienne w sposób pokazany na rysunku.\nOblicz obwód czworokąta 𝑨𝑩𝑪𝑫. Zapisz obliczenia.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\nOMAP-100-2602\nBrudnopis (nie podlega ocenie)","answer":"12+3√(2)","answer_text":"Zadanie 20. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie modelu matematycznego\ndo prostej sytuacji oraz budowanie go\nw różnych kontekstach, także\nw kontekście praktycznym.\nKLASY VII i VIII\nVIII. Własności figur geometrycznych na\npłaszczyźnie. Uczeń:\n7) zna i stosuje w sytuacjach praktycznych\ntwierdzenie Pitagorasa (bez twierdzenia\nodwrotnego).\nKLASY IV-VI\nXI. Obliczenia w geometrii. Uczeń:\n2) oblicza obwód wielokąta o danych\ndługościach boków.\nPróbny egzamin ósmoklasisty z matematyki - styczeń 2026 r.\nZasady oceniania\n3 punkty - pełne rozwiązanie\npoprawny sposób obliczenia obwodu czworokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷, prawidłowe obliczenia oraz\nprawidłowy wynik liczbowy (12 + √18) lub (12 + 3√2).\n2 punkty\n• poprawny sposób obliczenia długości odcinka 𝐴𝐵 oraz długości odcinka 𝐵𝐶\nLUB\n• ustalenie (np. zapisanie na rysunku) długości odcinka 𝐴𝐵 oraz poprawny sposób\nobliczenia długości odcinka 𝐵𝐶,\nLUB\n• ustalenie (np. zapisanie na rysunku) długości odcinka 𝐵𝐶 oraz poprawny sposób\nobliczenia długości odcinka 𝐴𝐵.\n1 punkt\n• poprawny sposób obliczenia długości odcinka 𝐴𝐵 lub długości odcinka 𝐴𝐷\nLUB\n• ustalenie (np. zapisanie na rysunku) długości odcinka 𝐴𝐵 lub długości odcinka 𝐴𝐷,\nLUB\n• poprawny sposób obliczenia długości odcinka 𝐵𝐶,\nLUB\n• ustalenie (np. zapisanie na rysunku) długości odcinka 𝐵𝐶.\n0 punktów\nrozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe rozwiązania ocenione na 3 punkty\nI sposób\nCzworokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷 można podzielić na trzy trójkąty przystające prostokątne równoramienne\no długości przeciwprostokątnej równej √18.\nOznaczymy długość odcinka 𝐴𝐵 jako 𝑎.\nZapiszemy równanie, skorzystamy ze wzoru na długość\nprzekątnej kwadratu i obliczymy 𝑎:\n𝑎√2 = √18\n𝑎= √9\n𝑎= 3\nObliczymy obwód czworokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷:\n4𝑎+ √18 = 4 ⋅3 + √18 = 12 + √18\nOdpowiedź: Obwód czworokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równy (12 + √18).\n𝑎\n𝑎\n𝑎\n𝑎\n𝑎\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\nξ18\nξ18\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nII sposób\nObliczymy długość przeciwprostokątnej 𝐵𝐶 trójkąta prostokątnego równoramiennego 𝐷𝐵𝐶.\nSkorzystamy z twierdzenia Pitagorasa. Zapiszemy i rozwiążemy równanie:\n(√18)\n2 + (√18)\n2 = |𝐵𝐶|2\n18 + 18 = |𝐵𝐶|2\n36 = |𝐵𝐶|2\n|𝐵𝐶| = 6\nZauważymy, że |𝐴𝐵| = |𝐴𝐷|.\nObliczymy długości przyprostokątnych 𝐴𝐵 i 𝐴𝐷 trójkąta 𝐴𝐵𝐷.\nSkorzystamy z twierdzenia Pitagorasa, zapiszemy równanie:\n|𝐴𝐵|2 + |𝐴𝐷|2 = (√18)2\n2|𝐴𝐵|2 = 18\n|𝐴𝐵|2 = 9\n|𝐴𝐵| = |𝐴𝐷| = 3\nObliczymy obwód czworokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷:\n3 + 3 + 6 + √18 = 12 + √18\nOdpowiedź: Obwód czworokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równy (12 + √18).\nIII sposób\nOznaczymy długość odcinka 𝐴𝐵 jako 𝑎. Ułożymy równanie na podstawie wzoru na długość\nprzekątnej kwadratu i obliczymy długość boku 𝑎 małego zielonego kwadratu:\n𝑎√2 = √18\n𝑎= √9\n𝑎= 3\nOznaczymy długość odcinka 𝐵𝐶 jako 𝑑. Ułożymy\nrównanie na podstawie wzoru na długość przekątnej\nkwadratu i obliczymy długość przekątnej 𝑑 dużego\nkwadratu:\n𝑑= √18 ⋅√2\n𝑑= √36\n𝑑= 6\nObliczymy obwód czworokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷:\n3 + 3 + 6 + √18 = 12 + √9 ⋅2 = 12 + 3√2\nOdpowiedź: Obwód czworokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równy (12 + 3√2).\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\nξ18\nξ18\n𝑎\n𝑎\n𝑑\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\nξ18\nξ18","solution":"W trójkącie ADB odcinek BD=√(18)=3√(2) jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego równoramiennego. Jego przyprostokątne mają więc po 3 :\n\nAD=AB=3\n\nW trójkącie DCB odcinki DB i DC są równymi przyprostokątnymi, zatem DC=3√(2) , a przeciwprostokątna:\n\nBC=3√(2)·√(2)=6\n\nObwód=3+3+3√(2)+6=12+3√(2)\n\nOdpowiedź: 12+3√(2)","image":"img/matematyka-2026-styczen-egzamin-osmoklasisty-probny/zad-20.webp","solution_image":null,"topics":"Pola i obwody","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · styczeń 2026","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"}]}