{"paper":{"id":"maturazai-matematyka-mma-p1d1p-021","subject":"matematyka","category":"matura","year":2002,"month":"maj","level":"podstawowa","variant":null,"exam_pdf":null,"key_pdf":null,"question_count":10,"source_label":"Matematyka · Matura · maj 2002 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"maturazai-matematyka-mma-p1d1p-021/zad/1","paper_id":"maturazai-matematyka-mma-p1d1p-021","number":"1","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2002,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Powierzchnia prostokątnej działki budowlanej równa się \\(1540\\) m\\(^{2}\\). Oblicz wymiary tej działki wiedząc, że różnią się one o \\(9\\) m.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: wymiary działki to \\(35\\text{ m}\\) oraz \\(44\\text{ m}\\)\n\n## Sposób 1 - równanie kwadratowe (podstawienie)\n\nNiech krótszy bok działki wynosi \\(x\\) metrów. Skoro boki różnią się o \\(9\\text{ m}\\), dłuższy bok wynosi \\(x + 9\\) metrów.\n\nPole prostokąta to iloczyn boków, więc:\n\\[x(x + 9) = 1540\\]\n\\[x^2 + 9x = 1540\\]\n\\[x^2 + 9x - 1540 = 0\\]\n\nWyznaczamy deltę:\n\\[\\Delta = 9^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-1540) = 81 + 6160 = 6241\\]\n\\[\\sqrt{\\Delta} = \\sqrt{6241} = 79\\]\n\nMiejsca zerowe:\n\\[x_1 = \\frac{-9 - 79}{2} = \\frac{-88}{2} = -44 \\quad \\text{(odrzucamy - długość nie może być ujemna)}\\]\n\\[x_2 = \\frac{-9 + 79}{2} = \\frac{70}{2} = 35\\]\n\n**Zatem krótszy bok to \\(35\\text{ m}\\), a dłuższy \\(35 + 9 = 44\\text{ m}\\).**\n\nSprawdzenie: \\(35 \\cdot 44 = 1540\\) ✓, \\(44 - 35 = 9\\) ✓\n\n## Sposób 2 - układ równań z sumą i różnicą\n\nOznaczamy oba boki jako \\(a\\) i \\(b\\). Zapisujemy układ:\n\\[\\begin{cases} a \\cdot b = 1540 \\\\ a - b = 9 \\end{cases}\\]\n\nZ drugiego równania: \\(a = b + 9\\). Podstawiamy do pierwszego:\n\\[(b+9) \\cdot b = 1540\\]\n\nTo ten sam punkt co w Sposobie 1 - dalej identycznie.\n\n**Alternatywnie - sprytny trick przez sumę i różnicę:**\n\nWiemy, że \\(a - b = 9\\). Szukamy \\(a + b\\), bo:\n\\[(a+b)^2 = (a-b)^2 + 4ab = 81 + 4 \\cdot 1540 = 81 + 6160 = 6241\\]\n\\[a + b = \\sqrt{6241} = 79\\]\n\nTeraz mamy prosty układ:\n\\[\\begin{cases} a + b = 79 \\\\ a - b = 9 \\end{cases}\\]\n\nDodajemy równania: \\(2a = 88\\), skąd \\(a = 44\\).\n\nOdejmujemy: \\(2b = 70\\), skąd \\(b = 35\\).\n\n**Wymiary działki: \\(35\\text{ m}\\) i \\(44\\text{ m}\\).**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik i wzór na miejsca zerowe:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 do rozwiązania równania \\(x^2 + 9x - 1540 = 0\\).\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - w Sposobie 2 (trick):\n\\[(a+b)^2 = (a-b)^2 + 4ab\\]\n(wynika z \\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\) i \\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\))\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Równanie kwadratowe daje dwa rozwiązania: \\(x = 35\\) i \\(x = -44\\). Ujemne odrzucamy, bo długość boku musi być dodatnia - nie zapomnij o tym kroku!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić się przy obliczaniu \\(\\sqrt{6241}\\). Warto sprawdzić: \\(79^2 = (80-1)^2 = 6400 - 160 + 1 = 6241\\) ✓. Na egzaminie możesz to liczyć wolno i spokojnie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie pyta o **wymiary** (oba boki) - nie wystarczy napisać tylko \\(x = 35\\). Pamiętaj obliczyć też drugi bok: \\(35 + 9 = 44\\text{ m}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź:** wymiary działki to \\(35\\text{ m}\\) oraz \\(44\\text{ m}\\).\n\n### Sposób 1 - Równanie kwadratowe (zmienna = krótszy bok)\nOznaczenia:\n- \\(x\\) - długość krótszego boku działki (w metrach, \\(x > 0\\)),\n- \\(x + 9\\) - długość dłuższego boku.\n\nZ warunku zadania (pole prostokąta):\n\\[x\\cdot(x+9) = 1540\\]\n\\[x^{2} + 9x - 1540 = 0.\\]\n\nObliczamy wyróżnik:\n\\[\\Delta = 9^{2} + 4\\cdot 1540 = 81 + 6160 = 6241, \\quad \\sqrt{\\Delta} = 79.\\]\n\n\\[x_1 = \\dfrac{-9 - 79}{2} = -44, \\quad x_2 = \\dfrac{-9 + 79}{2} = 35.\\]\n\nPonieważ \\(x > 0\\), odrzucamy \\(x_1 = -44\\). Stąd \\(x = 35\\), a \\(x + 9 = 44\\).\n\n**Sprawdzenie:** \\(35 \\cdot 44 = 1540\\) ✓; różnica \\(44 - 35 = 9\\) ✓.\n\n### Sposób 2 - Układ równań\nNiech \\(a\\) i \\(b\\) - długości boków, \\(a > b > 0\\). Układ:\n\\[\\begin{cases} a\\cdot b = 1540 \\\\ a - b = 9 \\end{cases}\\]\n\nZ drugiego równania: \\(a = b + 9\\). Podstawiamy do pierwszego:\n\\[(b+9)\\cdot b = 1540 \\Rightarrow b^{2} + 9b - 1540 = 0.\\]\n\nDalej jak w sposobie 1 - \\(b = 35\\), \\(a = 44\\).\n\n### Sposób 3 - Rozkład na czynniki (zgadywanie)\nSzukamy pary liczb o iloczynie \\(1540\\) i różnicy \\(9\\):\n\\[1540 = 2^{2}\\cdot 5\\cdot 7\\cdot 11.\\]\nRozpatrujemy pary dzielników: \\(35 \\cdot 44 = 1540\\) i \\(44 - 35 = 9\\) ✓.\n\n### Wniosek dydaktyczny\nPrzy rozwiązywaniu równań kwadratowych opisujących długości zawsze sprawdzamy założenie \\(x > 0\\) - ujemne rozwiązanie nie ma sensu geometrycznego.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2002 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"maturazai-matematyka-mma-p1d1p-021/zad/2","paper_id":"maturazai-matematyka-mma-p1d1p-021","number":"2","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2002,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Na wspólne konto państwa Kowalskich wpływają pieniądze z ich dwóch pensji miesięcznych, razem jest to kwota \\(3200\\) złotych. Na początku każdego miesiąca małżonkowie dzielą całość tej kwoty. Na diagramie kołowym przedstawiono strukturę planowanych, przez państwa Kowalskich, miesięcznych wydatków. Korzystając z tych danych: a) Oblicz, ile procent danej kwoty stanowią miesięczne wydatki państwa Kowalskich na wyżywienie. b) Oblicz, ile pieniędzy wydają państwo Kowalscy w ciągu miesiąca łącznie, na gaz i energię oraz czynsz.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n**a)** Wyżywienie stanowi \\(56{,}5\\%\\) miesięcznej kwoty.\n**b)** Na gaz i energię oraz czynsz łącznie: \\(\\mathbf{848}\\) **zł**.\n\n## Sposób 1 - obliczenia procentowe krok po kroku\n\n### Część a) - procent na wyżywienie\n\n**Krok 1: Zamień czynsz (w złotówkach) na procenty.**\n\nCzynsz wynosi \\(400\\) zł, a całość kwoty to \\(3200\\) zł:\n\\[\\text{czynsz \\%} = \\frac{400}{3200} \\cdot 100\\% = \\frac{1}{8} \\cdot 100\\% = 12{,}5\\%\\]\n\n**Krok 2: Zsumuj wszystkie znane wydatki procentowe.**\n\\[5\\% + 12\\% + 14\\% + 12{,}5\\% = 43{,}5\\%\\]\n\n**Krok 3: Wyżywienie to reszta do 100%.**\n\\[\\text{wyżywienie} = 100\\% - 43{,}5\\% = \\mathbf{56{,}5\\%}\\]\n\n### Część b) - łączna kwota na gaz, energię i czynsz\n\n**Krok 1: Oblicz kwotę na gaz i energię (14% z 3200 zł).**\n\\[0{,}14 \\cdot 3200 = 448 \\text{ zł}\\]\n\n**Krok 2: Dodaj czynsz.**\n\\[448 + 400 = \\mathbf{848 \\text{ zł}}\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez proporcję\n\n**Sprawdzenie części a):**\n\nJeśli wyżywienie to \\(56{,}5\\%\\), to kwota na wyżywienie wynosi:\n\\[0{,}565 \\cdot 3200 = 1808 \\text{ zł}\\]\n\nSprawdźmy, czy wszystkie wydatki sumują się do \\(3200\\) zł:\n\n| Kategoria | Procent | Kwota |\n| Wyżywienie | \\(56{,}5\\%\\) | \\(1808\\) zł |\n| Ubrania | \\(12\\%\\) | \\(384\\) zł |\n| Gaz i energia | \\(14\\%\\) | \\(448\\) zł |\n| Czynsz | \\(12{,}5\\%\\) | \\(400\\) zł |\n| Inne | \\(5\\%\\) | \\(160\\) zł |\n| **Suma** | **\\(100\\%\\)** | **\\(3200\\) zł** ✓ |\n\nWynik się zgadza - weryfikacja potwierdza poprawność.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą podstawowe działania procentowe (definicja procentu jako \\(\\frac{część}{całość} \\cdot 100\\%\\)) oraz prosta arytmetyka. Karty wzorów CKE nie ma potrzeby otwierać.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Czynsz jest podany w złotówkach, nie w procentach - trzeba go **najpierw przeliczyć na procenty** przed odejmowaniem od 100%. Bardzo częsty błąd to pominięcie tego kroku i odjęcie samego \\(400\\) od \\(100\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W części b) pytanie dotyczy **łącznie** gazu i czynszu. Uczniowie czasem obliczają tylko jedną pozycję (zazwyczaj gaz i energię jako \\(14\\%\\)) i zapominają dodać czynsz, który był podany wprost w złotówkach.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(14\\%\\) z \\(3200\\) zł łatwo o błąd dziesiętny - pamiętaj, że \\(14\\% = 0{,}14\\), a nie \\(1{,}4\\).\n\n**Poprawna odpowiedź:** a) \\(56{,}5\\%\\); b) \\(848\\) zł.\n\n### Sposób 1 - Krok po kroku z procentów\n**Krok 1. Procent kwoty przeznaczonej na czynsz.**\nCzynsz wynosi \\(400\\) zł z \\(3200\\) zł:\n\\[\\dfrac{400}{3200}\\cdot 100\\% = \\dfrac{1}{8}\\cdot 100\\% = 12{,}5\\%.\\]\n\n**Krok 2. Procent na wyżywienie.**\nSuma wszystkich kategorii musi dać \\(100\\%\\):\n\\[\\text{wyżywienie} = 100\\% - (5\\% + 12\\% + 14\\% + 12{,}5\\%) = 100\\% - 43{,}5\\% = 56{,}5\\%.\\]\n\n**Krok 3. Kwota na gaz i energię.**\n\\[14\\%\\text{ z }3200 = 0{,}14\\cdot 3200 = 448\\text{ zł}.\\]\n\n**Krok 4. Łącznie gaz + energia + czynsz:**\n\\[448 + 400 = 848\\text{ zł}.\\]\n\n### Sposób 2 - Przez sumę procentów\nŁączny procent na gaz, energię i czynsz:\n\\[14\\% + 12{,}5\\% = 26{,}5\\%.\\]\n\\[26{,}5\\%\\text{ z }3200 = 0{,}265\\cdot 3200 = 848\\text{ zł}.\\] ✓\n\n### Weryfikacja\n\\[\\text{inne}(5\\%) + \\text{ubrania}(12\\%) + \\text{gaz}(14\\%) + \\text{czynsz}(12{,}5\\%) + \\text{wyżywienie}(56{,}5\\%) = 100\\%.\\]\n\nW złotych:\n\\[160 + 384 + 448 + 400 + 1808 = 3200\\text{ zł} ✓.\\]\n\n### Komentarz dydaktyczny\nPrzy diagramach kołowych z mieszaną notacją (procenty + kwota) zawsze warto zamienić wszystkie dane na jedną jednostkę (procenty lub złote) - łatwiej sprawdzić spójność.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2002 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"maturazai-matematyka-mma-p1d1p-021/zad/3","paper_id":"maturazai-matematyka-mma-p1d1p-021","number":"3","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2002,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Upraszczając pierwiastek kwadratowy z liczby \\(27+10\\sqrt{2}\\), zapiszemy ją w postaci kwadratu sumy dwóch liczb. Postępujemy następująco: \\[\\sqrt{27+10\\sqrt{2}} = \\sqrt{25+10\\sqrt{2}+2} = \\sqrt{(5)^{2}+2\\cdot 5\\cdot \\sqrt{2}+(\\sqrt{2})^{2}} = \\sqrt{(5+\\sqrt{2})^{2}} = 5+\\sqrt{2}\\] Przeanalizuj ten przykład, a następnie, stosując analogiczne postępowanie, uprość \\(\\sqrt{11+6\\sqrt{2}}\\).","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(3 + \\sqrt{2}\\)\n\n## Sposób 1 - Rozpoznanie kwadratu sumy (analogicznie do przykładu)\n\n**Kluczowe pytanie:** Czy możemy napisać \\(11 + 6\\sqrt{2}\\) jako \\(a^2 + 2ab + b^2\\) dla jakichś liczb \\(a\\) i \\(b\\)?\n\nZe wzoru skróconego mnożenia wiemy, że:\n\\[(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\]\n\n**Szukamy \\(a\\) i \\(b\\) takich, że:**\n\\[a^2 + 2ab + b^2 = 11 + 6\\sqrt{2}\\]\n\n**Obserwacja:** Składnik \\(6\\sqrt{2}\\) to część \"środkowa\" \\(2ab\\). Spróbujmy \\(b = \\sqrt{2}\\) (bo pod pierwiastkiem jest \\(\\sqrt{2}\\)):\n\n\\[2ab = 6\\sqrt{2} \\implies 2a \\cdot \\sqrt{2} = 6\\sqrt{2} \\implies a = 3\\]\n\n**Sprawdzenie:** \\(a^2 + b^2 = 9 + 2 = 11\\) ✓ - zgadza się z wyrazem wolnym!\n\n**Przepisujemy i upraszczamy:**\n\\[\\sqrt{11 + 6\\sqrt{2}} = \\sqrt{9 + 6\\sqrt{2} + 2}\\]\n\\[= \\sqrt{3^2 + 2 \\cdot 3 \\cdot \\sqrt{2} + (\\sqrt{2})^2}\\]\n\\[= \\sqrt{(3 + \\sqrt{2})^2}\\]\n\\[= 3 + \\sqrt{2}\\]\n\n(ostatni krok: \\(\\sqrt{x^2} = |x|\\), ale \\(3 + \\sqrt{2} > 0\\), więc \\(|3 + \\sqrt{2}| = 3 + \\sqrt{2}\\))\n\n**Wynik: \\(\\sqrt{11 + 6\\sqrt{2}} = 3 + \\sqrt{2}\\)**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podniesienie do kwadratu\n\nZamiast szukać - **sprawdzamy**, czy wynik jest poprawny.\n\nJeśli \\(\\sqrt{11 + 6\\sqrt{2}} = 3 + \\sqrt{2}\\), to po podniesieniu obu stron do kwadratu powinniśmy dostać \\(11 + 6\\sqrt{2}\\).\n\n\\[(3 + \\sqrt{2})^2 = 3^2 + 2 \\cdot 3 \\cdot \\sqrt{2} + (\\sqrt{2})^2\\]\n\\[= 9 + 6\\sqrt{2} + 2\\]\n\\[= 11 + 6\\sqrt{2} \\checkmark\\]\n\nWynik się zgadza. Ponieważ \\(3 + \\sqrt{2} > 0\\), mamy pewność, że to jest dokładnie ta nieujemna wartość, której szukamy.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - wzór na kwadrat sumy:\n\\[(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\]\nUżyliśmy go w obie strony: raz rozkładając \\(11 + 6\\sqrt{2}\\) na pełny kwadrat, a raz weryfikując wynik.\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - własność:\n\\[\\sqrt{a^2} = |a|\\]\nUżyta w ostatnim kroku, gdy wyciągaliśmy wyrażenie spod pierwiastka. Ponieważ \\(a = 3 + \\sqrt{2} > 0\\), wartość bezwzględna znika.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt{A + B} \\neq \\sqrt{A} + \\sqrt{B}\\) - to bardzo częsty błąd! Nie można \"rozdzielić\" pierwiastka po dodawaniu. Dlatego właśnie szukamy kwadratu sumy zamiast liczyć \\(\\sqrt{11} + \\sqrt{6\\sqrt{2}}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy szukaniu \\(a\\) i \\(b\\) nie ma jednej \"mechanicznej\" procedury - trzeba spojrzeć na składnik z \\(\\sqrt{2}\\) i **domyślić się** podziału. Klucz: część niewymierna (tu \\(6\\sqrt{2}\\)) musi być dokładnie \"środkowym wyrazem\" \\(2ab\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Na końcu korzystamy z \\(\\sqrt{x^2} = |x|\\), a nie \\(\\sqrt{x^2} = x\\). W tym zadaniu wynik jest dodatni, ale w ogólności zawsze warto sprawdzić znak!\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(\\sqrt{11 + 6\\sqrt{2}} = 3 + \\sqrt{2}\\).\n\n### Sposób 1 - Analogicznie do podanego wzoru\nChcemy zapisać wyrażenie pod pierwiastkiem w postaci \\((a + b\\sqrt{2})^{2}\\), gdzie \\(a, b\\) - liczby całkowite.\n\nZauważamy, że \\(11 = 9 + 2\\), więc:\n\\[\\sqrt{11 + 6\\sqrt{2}} = \\sqrt{9 + 6\\sqrt{2} + 2}.\\]\n\nDalej rozpoznajemy wzór skróconego mnożenia \\((a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}\\), biorąc \\(a = 3\\) oraz \\(b = \\sqrt{2}\\):\n\\[9 + 6\\sqrt{2} + 2 = 3^{2} + 2\\cdot 3\\cdot\\sqrt{2} + (\\sqrt{2})^{2} = (3 + \\sqrt{2})^{2}.\\]\n\nZatem:\n\\[\\sqrt{11 + 6\\sqrt{2}} = \\sqrt{(3 + \\sqrt{2})^{2}} = \\big|3 + \\sqrt{2}\\big| = 3 + \\sqrt{2}\\]\n(ponieważ \\(3 + \\sqrt{2} > 0\\)).\n\n### Sposób 2 - Metoda nieoznaczonych współczynników\nZakładamy, że \\(\\sqrt{11 + 6\\sqrt{2}} = a + b\\sqrt{2}\\) dla pewnych \\(a, b \\in \\mathbb{R}\\), \\(a + b\\sqrt{2} > 0\\). Podnosimy do kwadratu:\n\\[11 + 6\\sqrt{2} = a^{2} + 2b^{2} + 2ab\\sqrt{2}.\\]\n\nPorównujemy części wymierną i niewymierną:\n\\[\\begin{cases} a^{2} + 2b^{2} = 11 \\\\ 2ab = 6 \\end{cases}\\]\n\nZ drugiego równania \\(ab = 3\\), więc \\(b = \\dfrac{3}{a}\\). Podstawiamy:\n\\[a^{2} + 2\\cdot\\dfrac{9}{a^{2}} = 11 \\quad |\\cdot a^{2}\\]\n\\[a^{4} - 11a^{2} + 18 = 0.\\]\n\nPodstawienie \\(t = a^{2} \\ge 0\\): \\(t^{2} - 11t + 18 = 0\\); \\(\\Delta = 121 - 72 = 49\\); \\(t = \\dfrac{11 \\pm 7}{2}\\), czyli \\(t = 9\\) lub \\(t = 2\\).\n\nDla \\(a^{2} = 9\\): \\(a = 3\\), \\(b = 1\\) → \\(a + b\\sqrt{2} = 3 + \\sqrt{2}\\).\nDla \\(a^{2} = 2\\): \\(a = \\sqrt{2}\\), \\(b = \\dfrac{3}{\\sqrt{2}} = \\dfrac{3\\sqrt{2}}{2}\\) → \\(\\sqrt{2} + 3 = 3 + \\sqrt{2}\\) (to samo).\n\n### Weryfikacja\n\\[(3 + \\sqrt{2})^{2} = 9 + 6\\sqrt{2} + 2 = 11 + 6\\sqrt{2}\\] ✓\n\n### Komentarz dydaktyczny\nRozkładanie \\(\\sqrt{a + b\\sqrt{c}}\\) do postaci \\(x + y\\sqrt{c}\\) jest możliwe, gdy \\(\\sqrt{a^{2} - b^{2}c}\\) jest liczbą wymierną. Tutaj: \\(\\sqrt{11^{2} - 6^{2}\\cdot 2} = \\sqrt{121 - 72} = \\sqrt{49} = 7 \\in \\mathbb{Q}\\) ✓.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2002 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"maturazai-matematyka-mma-p1d1p-021/zad/4","paper_id":"maturazai-matematyka-mma-p1d1p-021","number":"4","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2002,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Równanie postaci \\(C=\\frac{5}{9}\\cdot F - \\frac{160}{9}\\), ustala zależność między temperaturą, wyrażoną w stopniach Celsjusza \\((C)\\) oraz Fahrenheita \\((F)\\). a) Oblicz, ile stopni w skali Fahrenheita, ma wrząca w temperaturze \\(100^{\\circ}C\\) woda. b) Wyznacz taką temperaturę, przy której liczba stopni w skali Celsjusza jest równa liczbie stopni w skali Fahrenheita.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n**a)** Woda wrząca w \\(100°\\text{C}\\) ma temperaturę \\(F = 212°\\text{F}\\)\n\n**b)** Temperatura, przy której obie skale wskazują tę samą wartość liczbową: \\(C = F = -40°\\)\n\n## Sposób 1 - podstawienie i rozwiązanie równania\n\n### Część a)\n\nMamy wzór:\n\\[C = \\frac{5}{9} \\cdot F - \\frac{160}{9}\\]\n\nPodstawiamy \\(C = 100\\) i szukamy \\(F\\):\n\\[100 = \\frac{5}{9} \\cdot F - \\frac{160}{9}\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(9\\), żeby pozbyć się mianowników:\n\\[900 = 5F - 160\\]\n\nPrzenosimy \\(-160\\) na lewą stronę:\n\\[900 + 160 = 5F\\]\n\\[1060 = 5F\\]\n\nDzielimy obie strony przez \\(5\\):\n\\[F = \\frac{1060}{5} = 212\\]\n\n**Woda wrząca ma temperaturę \\(212°\\text{F}\\).**\n\n### Część b)\n\nSzukamy temperatury, przy której liczba stopni Celsjusza **równa się** liczbie stopni Fahrenheita, czyli \\(C = F\\).\n\nPodstawiamy \\(F = C\\) do wzoru:\n\\[C = \\frac{5}{9} \\cdot C - \\frac{160}{9}\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(9\\):\n\\[9C = 5C - 160\\]\n\nPrzenosimy \\(5C\\) na lewą stronę:\n\\[9C - 5C = -160\\]\n\\[4C = -160\\]\n\\[C = -40\\]\n\nPonieważ przyjęliśmy \\(F = C\\), mamy \\(F = -40\\).\n\n**W temperaturze \\(-40°\\) obie skale wskazują tę samą wartość liczbową.**\n\n## Sposób 2 - wyznaczenie wzoru odwrotnego (F w zależności od C)\n\n### Część a) - wzór odwrotny\n\nPrzekształcamy wzór \\(C = \\frac{5}{9} \\cdot F - \\frac{160}{9}\\), żeby wyrazić \\(F\\) przez \\(C\\):\n\n\\[C + \\frac{160}{9} = \\frac{5}{9} \\cdot F\\]\n\\[F = \\frac{9}{5} \\cdot C + \\frac{160}{5}\\]\n\\[F = \\frac{9}{5} \\cdot C + 32\\]\n\nTo klasyczny wzór znany z fizyki. Podstawiamy \\(C = 100\\):\n\n\\[F = \\frac{9}{5} \\cdot 100 + 32 = 180 + 32 = 212\\]\n\n**Wynik taki sam: \\(F = 212°\\text{F}\\).** ✓\n\n### Część b) - weryfikacja graficzna (intuicja)\n\nRównanie \\(C = F\\) to prosta \\(y = x\\) na płaszczyźnie \\((F, C)\\).\n\nWzór \\(C = \\frac{5}{9}F - \\frac{160}{9}\\) to prosta o nachyleniu \\(\\frac{5}{9}\\) i wyrazie wolnym \\(-\\frac{160}{9} \\approx -17{,}8\\).\n\nSzukamy przecięcia tych dwóch prostych. Ich przecięcie to punkt \\((-40, -40)\\), co zgadza się z Częścią b) Sposobu 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą podstawowe działania algebraiczne (mnożenie przez mianownik, przenoszenie wyrazów).\n\nMożemy jednak wskazać, że zadanie opiera się na:\n- **Rozwiązywaniu równania liniowego** jednej niewiadomej (działania jak przy prostej \\(y = ax + b\\) z Działu 11, s. 22)\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W części a) łatwo zapomnieć pomnożyć **obie** strony równania przez \\(9\\). Jeśli pomnożysz tylko prawą stronę - popełnisz błąd i otrzymasz złą wartość \\(F\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W części b) kluczowe jest poprawne ustawienie warunku: \\(C = F\\). Uczniowie często mylnie piszą \\(C = -F\\) lub próbują przyrównać coś innego. Warunek brzmi dosłownie: **ta sama liczba w obu skalach**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik \\(-40°\\) jest ujemny - to poprawna odpowiedź, nie błąd! Intuicja podpowiada, że takie przecięcie skal musi być w niskich temperaturach (skala Fahrenheita rośnie wolniej niż Celsjusza), więc wynik ujemny ma pełny sens fizyczny.\n\n**Poprawna odpowiedź:** a) \\(F = 212^{\\circ}\\mathrm{F}\\); b) \\(C = F = -40^{\\circ}\\).\n\n### Sposób 1 - Bezpośrednie podstawienie\n**a) Podstawienie \\(C = 100\\):**\n\\[100 = \\dfrac{5}{9}\\cdot F - \\dfrac{160}{9} \\quad |\\cdot 9\\]\n\\[900 = 5F - 160\\]\n\\[5F = 1060\\]\n\\[F = 212.\\]\n\nStąd woda wrze przy \\(F = 212^{\\circ}\\mathrm{F}\\).\n\n**b) Warunek \\(C = F\\).**\nPodstawiamy \\(C = F\\) do równania:\n\\[F = \\dfrac{5}{9}\\cdot F - \\dfrac{160}{9} \\quad |\\cdot 9\\]\n\\[9F = 5F - 160\\]\n\\[4F = -160\\]\n\\[F = -40.\\]\n\nZatem \\(C = F = -40^{\\circ}\\).\n\n### Sposób 2 - Wyznaczenie \\(F\\) z równania (odwrócenie funkcji)\nZ równania \\(C = \\dfrac{5}{9}F - \\dfrac{160}{9}\\) wyznaczamy \\(F\\):\n\\[9C = 5F - 160 \\Rightarrow 5F = 9C + 160 \\Rightarrow F = \\dfrac{9}{5}C + 32.\\]\n\n**a)** \\(F(100) = \\dfrac{9}{5}\\cdot 100 + 32 = 180 + 32 = 212\\) ✓\n\n**b)** \\(F = C\\) daje \\(C = \\dfrac{9}{5}C + 32\\), czyli \\(-\\dfrac{4}{5}C = 32\\) → \\(C = -40\\) ✓\n\n### Weryfikacja\nDla \\(F = -40\\):\n\\[C = \\dfrac{5}{9}\\cdot(-40) - \\dfrac{160}{9} = \\dfrac{-200 - 160}{9} = \\dfrac{-360}{9} = -40\\] ✓\n\n### Komentarz dydaktyczny\nSkale Celsjusza i Fahrenheita pokrywają się tylko w jednym punkcie, \\(-40^{\\circ}\\), co jest znanym faktem fizycznym. Wzór \\(F = \\dfrac{9}{5}C + 32\\) warto znać - jest standardem w konwersji temperatur.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2002 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"maturazai-matematyka-mma-p1d1p-021/zad/5","paper_id":"maturazai-matematyka-mma-p1d1p-021","number":"5","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2002,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Dany jest trójkąt, którego dwa boki mają długości \\(8\\text{ cm}\\) i \\(12\\text{ cm}\\), kąt zawarty między tymi bokami ma miarę \\(120^{\\circ}\\). Oblicz długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(R = \\dfrac{4\\sqrt{57}}{3}\\text{ cm}\\)\n\n## Sposób 1 - Twierdzenie cosinusów + twierdzenie sinusów\n\n**Krok 1: Wyznaczamy brakujący bok trójkąta.**\n\nOznaczmy boki: \\(a = 8\\text{ cm}\\), \\(b = 12\\text{ cm}\\), kąt między nimi \\(\\gamma = 120°\\). Szukamy boku \\(c\\) (naprzeciwko kąta \\(\\gamma\\)).\n\nZe **twierdzenia cosinusów**:\n\\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\\cos\\gamma\\]\n\\[c^2 = 8^2 + 12^2 - 2 \\cdot 8 \\cdot 12 \\cdot \\cos 120°\\]\n\nPamiętamy: \\(\\cos 120° = -\\frac{1}{2}\\), więc:\n\\[c^2 = 64 + 144 - 192 \\cdot \\left(-\\frac{1}{2}\\right) = 208 + 96 = 304\\]\n\\[c = \\sqrt{304} = \\sqrt{16 \\cdot 19} = 4\\sqrt{19}\\text{ cm}\\]\n\n**Krok 2: Wyznaczamy promień okręgu opisanego.**\n\nZe **twierdzenia sinusów**:\n\\[\\frac{c}{\\sin\\gamma} = 2R\\]\n\nPamiętamy: \\(\\sin 120° = \\sin(180° - 60°) = \\sin 60° = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\), więc:\n\\[2R = \\frac{c}{\\sin\\gamma} = \\frac{4\\sqrt{19}}{\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}} = \\frac{4\\sqrt{19} \\cdot 2}{\\sqrt{3}} = \\frac{8\\sqrt{19}}{\\sqrt{3}}\\]\n\nWyłudzamy mianownik:\n\\[2R = \\frac{8\\sqrt{19} \\cdot \\sqrt{3}}{3} = \\frac{8\\sqrt{57}}{3}\\]\n\n**Zatem:**\n\\[\\boxed{R = \\frac{4\\sqrt{57}}{3}\\text{ cm}}\\]\n\n## Sposób 2 - Pole trójkąta + wzór \\(R = \\dfrac{abc}{4P}\\)\n\n**Krok 1: Obliczamy pole trójkąta.**\n\nZe wzoru na pole przez dwa boki i kąt między nimi:\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot b \\cdot \\sin\\gamma = \\frac{1}{2} \\cdot 8 \\cdot 12 \\cdot \\sin 120° = 48 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 24\\sqrt{3}\\text{ cm}^2\\]\n\n**Krok 2: Używamy wzoru na promień okręgu opisanego.**\n\nZ planimetrii (karta CKE): \\(P = \\dfrac{abc}{4R}\\), stąd \\(R = \\dfrac{abc}{4P}\\).\n\nMamy: \\(a = 8\\), \\(b = 12\\), \\(c = 4\\sqrt{19}\\) (z kroku 1 Sposobu 1), \\(P = 24\\sqrt{3}\\):\n\\[R = \\frac{8 \\cdot 12 \\cdot 4\\sqrt{19}}{4 \\cdot 24\\sqrt{3}} = \\frac{384\\sqrt{19}}{96\\sqrt{3}} = \\frac{4\\sqrt{19}}{\\sqrt{3}} = \\frac{4\\sqrt{19} \\cdot \\sqrt{3}}{3} = \\frac{4\\sqrt{57}}{3}\\text{ cm}\\]\n\nOba sposoby dają ten sam wynik - **potwierdzenie poprawności**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - twierdzenie cosinusów:\n\\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\\cos\\gamma\\]\nUżyte w Sposobie 1 do wyznaczenia trzeciego boku trójkąta.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 16)** - twierdzenie sinusów i promień okręgu opisanego:\n\\[\\frac{a}{\\sin\\alpha} = \\frac{b}{\\sin\\beta} = \\frac{c}{\\sin\\gamma} = 2R\\]\nKluczowy wzór w Sposobie 1 - bezpośrednio dał nam \\(R\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 16)** - pole trójkąta przez dwa boki i kąt:\n\\[P = \\frac{1}{2}ab\\sin\\gamma\\]\nUżyte w Sposobie 2 do obliczenia pola.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 16)** - wzór na promień okręgu opisanego przez pole:\n\\[P = \\frac{abc}{4R} \\implies R = \\frac{abc}{4P}\\]\nKluczowy wzór w Sposobie 2.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 14)** - wzór redukcyjny:\n\\[\\sin(180° - \\alpha) = \\sin\\alpha\\]\nUżyty przy uproszczeniu \\(\\sin 120° = \\sin 60° = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\cos 120° = -\\frac{1}{2}\\), **nie** \\(+\\frac{1}{2}\\)! Kąt rozwarty ma ujemny cosinus. Pomylenie znaku zmienia \\(+96\\) na \\(-96\\) i daje błędny wynik \\(c^2 = 112\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy upraszczaniu \\(\\sqrt{304}\\) pamiętaj rozłożyć: \\(304 = 16 \\cdot 19\\), więc \\(\\sqrt{304} = 4\\sqrt{19}\\). Nie zostawiaj \\(\\sqrt{304}\\) bez uproszczenia - wynikowy \\(R\\) się nie uprości.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wyłudzaniu mianownika: \\(\\dfrac{\\sqrt{19}}{\\sqrt{3}} = \\dfrac{\\sqrt{19} \\cdot \\sqrt{3}}{3} = \\dfrac{\\sqrt{57}}{3}\\). Błąd pojawia się gdy uczeń pisze \\(\\sqrt{19/3}\\) zamiast \\(\\dfrac{\\sqrt{57}}{3}\\) - formalnie równoważne, ale niepoprawna forma z kartą wzorów.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(R = \\dfrac{4\\sqrt{57}}{3}\\text{ cm}\\).\n\n### Sposób 1 - Twierdzenie cosinusów + twierdzenie sinusów\n**Krok 1. Długość trzeciego boku (tw. cosinusów).**\nOznaczenia: boki trójkąta \\(b = 8\\), \\(c = 12\\), kąt między nimi \\(\\alpha = 120^{\\circ}\\), trzeci bok \\(a\\) leży naprzeciw kąta \\(\\alpha\\). Wtedy:\n\\[a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc\\cos\\alpha.\\]\n\\[\\cos 120^{\\circ} = -\\dfrac{1}{2},\\]\nwięc:\n\\[a^{2} = 8^{2} + 12^{2} - 2\\cdot 8\\cdot 12\\cdot\\left(-\\dfrac{1}{2}\\right) = 64 + 144 + 96 = 304.\\]\n\\[a = \\sqrt{304} = \\sqrt{16\\cdot 19} = 4\\sqrt{19}\\text{ cm}.\\]\n\n**Krok 2. Promień okręgu opisanego (tw. sinusów).**\nDla boku \\(a\\) naprzeciw kąta \\(\\alpha = 120^{\\circ}\\):\n\\[\\dfrac{a}{\\sin\\alpha} = 2R.\\]\n\\[\\sin 120^{\\circ} = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}.\\]\n\\[2R = \\dfrac{4\\sqrt{19}}{\\tfrac{\\sqrt{3}}{2}} = \\dfrac{4\\sqrt{19}\\cdot 2}{\\sqrt{3}} = \\dfrac{8\\sqrt{19}}{\\sqrt{3}}.\\]\n\\[R = \\dfrac{4\\sqrt{19}}{\\sqrt{3}} = \\dfrac{4\\sqrt{19}\\cdot\\sqrt{3}}{3} = \\dfrac{4\\sqrt{57}}{3}\\text{ cm}.\\]\n\n### Sposób 2 - Wzór na pole + wzór \\(R = \\dfrac{abc}{4P}\\)\n**Pole trójkąta:**\n\\[P = \\dfrac{1}{2}bc\\sin\\alpha = \\dfrac{1}{2}\\cdot 8\\cdot 12\\cdot\\dfrac{\\sqrt{3}}{2} = 24\\sqrt{3}\\text{ cm}^{2}.\\]\n\n**Promień okręgu opisanego:**\n\\[R = \\dfrac{abc}{4P} = \\dfrac{8\\cdot 12\\cdot 4\\sqrt{19}}{4\\cdot 24\\sqrt{3}} = \\dfrac{384\\sqrt{19}}{96\\sqrt{3}} = \\dfrac{4\\sqrt{19}}{\\sqrt{3}} = \\dfrac{4\\sqrt{57}}{3}\\text{ cm}.\\]\n\n### Weryfikacja numeryczna\n\\[\\sqrt{57} \\approx 7{,}55,\\quad R \\approx \\dfrac{4\\cdot 7{,}55}{3} \\approx 10{,}07\\text{ cm}.\\]\nSprawdzenie przez twierdzenie sinusów: \\(\\dfrac{a}{\\sin\\alpha} = \\dfrac{4\\sqrt{19}}{\\sqrt{3}/2} \\approx \\dfrac{17{,}44}{0{,}866} \\approx 20{,}13 = 2R\\) ✓.\n\n### Komentarz dydaktyczny\nKąt rozwarty (tu \\(120^{\\circ}\\)) oznacza, że trójkąt jest rozwartokątny - środek okręgu opisanego leży **na zewnątrz** trójkąta. Promień okręgu opisanego zawsze wyznaczamy z twierdzenia sinusów po znalezieniu boku naprzeciw znanego kąta.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2002 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"maturazai-matematyka-mma-p1d1p-021/zad/6","paper_id":"maturazai-matematyka-mma-p1d1p-021","number":"6","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2002,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Do pewnego przepisu z książki kucharskiej należy przygotować \\(0{,}25\\) litra płynu. Mamy do wyboru trzy szklanki w kształcie walca, o wewnętrznych wymiarach: pierwsza - o średnicy \\(6\\text{ cm}\\) i wysokości \\(10\\text{ cm}\\), druga - o średnicy \\(5{,}8\\text{ cm}\\) i wysokości \\(9{,}5\\text{ cm}\\) oraz trzecia - o średnicy \\(6\\text{ cm}\\) i wysokości \\(9\\text{ cm}\\). Której szklanki objętość jest najbliższa \\(0{,}25\\) litra? Odpowiedź uzasadnij.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: Druga szklanka (średnica 5,8 cm, wysokość 9,5 cm)\n\nJej objętość wynosi \\(V_2 \\approx 250{,}9 \\text{ cm}^3\\), co jest najbliższe \\(250 \\text{ cm}^3 = 0{,}25 \\text{ l}\\).\n\n## Sposób 1 - Obliczenie objętości każdej szklanki i porównanie różnic\n\n**Kluczowy fakt:** \\(0{,}25 \\text{ l} = 250 \\text{ cm}^3\\). Szukamy, która szklanka ma objętość najbliższą \\(250 \\text{ cm}^3\\).\n\nWzór na objętość walca:\n\\[V = \\pi r^2 h\\]\n\ngdzie \\(r\\) to **promień** (połowa średnicy), \\(h\\) to wysokość.\n\n**Szklanka 1:** średnica \\(6 \\text{ cm}\\), więc \\(r_1 = 3 \\text{ cm}\\), \\(h_1 = 10 \\text{ cm}\\)\n\\[V_1 = \\pi \\cdot 3^2 \\cdot 10 = 90\\pi \\approx 282{,}74 \\text{ cm}^3\\]\n\nRóżnica od \\(250 \\text{ cm}^3\\):\n\\[|V_1 - 250| \\approx |282{,}74 - 250| = 32{,}74 \\text{ cm}^3\\]\n\n**Szklanka 2:** średnica \\(5{,}8 \\text{ cm}\\), więc \\(r_2 = 2{,}9 \\text{ cm}\\), \\(h_2 = 9{,}5 \\text{ cm}\\)\n\\[V_2 = \\pi \\cdot (2{,}9)^2 \\cdot 9{,}5 = \\pi \\cdot 8{,}41 \\cdot 9{,}5 = 79{,}895\\pi \\approx 250{,}93 \\text{ cm}^3\\]\n\nRóżnica od \\(250 \\text{ cm}^3\\):\n\\[|V_2 - 250| \\approx |250{,}93 - 250| = 0{,}93 \\text{ cm}^3\\]\n\n**Szklanka 3:** średnica \\(6 \\text{ cm}\\), więc \\(r_3 = 3 \\text{ cm}\\), \\(h_3 = 9 \\text{ cm}\\)\n\\[V_3 = \\pi \\cdot 3^2 \\cdot 9 = 81\\pi \\approx 254{,}47 \\text{ cm}^3\\]\n\nRóżnica od \\(250 \\text{ cm}^3\\):\n\\[|V_3 - 250| \\approx |254{,}47 - 250| = 4{,}47 \\text{ cm}^3\\]\n\n**Zestawienie różnic:**\n\n| Szklanka | Objętość | Różnica od 250 cm³ |\n| 1 | \\(\\approx 282{,}74 \\text{ cm}^3\\) | \\(\\approx 32{,}74 \\text{ cm}^3\\) |\n| **2** | \\(\\mathbf{\\approx 250{,}93 \\text{ cm}^3}\\) | \\(\\mathbf{\\approx 0{,}93 \\text{ cm}^3}\\) |\n| 3 | \\(\\approx 254{,}47 \\text{ cm}^3\\) | \\(\\approx 4{,}47 \\text{ cm}^3\\) |\n\n**Wniosek:** Szklanka 2 ma objętość najbliższą \\(250 \\text{ cm}^3\\), ponieważ jej różnica od szukanej wartości wynosi niecały \\(1 \\text{ cm}^3\\).\n\n## Sposób 2 - Porównanie bez kalkulatora (szacowanie przez \\(\\pi \\approx 3{,}14\\))\n\nZamiast liczyć dokładne wartości, można obliczyć \\(\\pi r^2 h\\) z przybliżeniem \\(\\pi \\approx 3{,}14\\) i zaokrąglać sprytnie.\n\n**Szklanka 1:**\n\\[V_1 = 3{,}14 \\cdot 9 \\cdot 10 = 3{,}14 \\cdot 90 = 282{,}6 \\text{ cm}^3\\]\n\nWyraźnie za dużo - różnica od 250 wynosi około \\(32{,}6 \\text{ cm}^3\\). **Odrzucamy.**\n\n**Szklanka 3:**\n\\[V_3 = 3{,}14 \\cdot 9 \\cdot 9 = 3{,}14 \\cdot 81 = 254{,}34 \\text{ cm}^3\\]\n\nRóżnica od 250 wynosi około \\(4{,}3 \\text{ cm}^3\\).\n\n**Szklanka 2:**\n\\[(2{,}9)^2 = 8{,}41\\]\n\\[V_2 = 3{,}14 \\cdot 8{,}41 \\cdot 9{,}5 = 3{,}14 \\cdot 79{,}895 \\approx 3{,}14 \\cdot 79{,}9 \\approx 250{,}9 \\text{ cm}^3\\]\n\nRóżnica od 250 wynosi niecały \\(1 \\text{ cm}^3\\).\n\n**Wniosek jest identyczny:** szklanka 2 wygrywa.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - objętość walca:\n\\[V = \\pi r^2 h\\]\n\nWzór ten stosujemy do obliczenia objętości każdej ze szklanek (walce o promieniu \\(r\\) i wysokości \\(h\\)). Pamiętamy, że \\(r = \\frac{d}{2}\\), gdzie \\(d\\) to **średnica** - ten krok jest kluczowy i najczęściej pomijany!\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie podaje **średnice**, a wzór wymaga **promieni**. Użycie średnicy zamiast promienia daje objętość czterokrotnie zawyżoną!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(0{,}25 \\text{ l} = 250 \\text{ cm}^3\\) - koniecznie przeliczyć litry na centymetry sześcienne przed porównaniem (1 l = 1000 cm³).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wystarczy powiedzieć, która szklanka ma „mniej więcej 250 cm³\" - trzeba **porównać bezwzględne różnice** od wartości 250 i wskazać tę najmniejszą. To jest serce uzasadnienia w tym zadaniu.\n\n**Poprawna odpowiedź:** druga szklanka (\\(V_2 \\approx 250{,}9\\text{ cm}^{3}\\)) jest najbliższa \\(0{,}25\\text{ l} = 250\\text{ cm}^{3}\\).\n\n### Sposób 1 - Porównanie objętości walców\n**Zamiana jednostek:**\n\\[0{,}25\\text{ l} = 250\\text{ cm}^{3}.\\]\n\n**Wzór na objętość walca:** \\(V = \\pi r^{2} h\\), gdzie \\(r = \\dfrac{d}{2}\\).\n\n**Szklanka 1** (\\(d = 6\\text{ cm}\\), \\(h = 10\\text{ cm}\\)):\n\\[r_1 = 3\\text{ cm},\\quad V_1 = \\pi\\cdot 3^{2}\\cdot 10 = 90\\pi \\approx 282{,}6\\text{ cm}^{3}.\\]\n\n**Szklanka 2** (\\(d = 5{,}8\\text{ cm}\\), \\(h = 9{,}5\\text{ cm}\\)):\n\\[r_2 = 2{,}9\\text{ cm},\\quad V_2 = \\pi\\cdot (2{,}9)^{2}\\cdot 9{,}5 = \\pi\\cdot 8{,}41\\cdot 9{,}5 = 79{,}895\\pi \\approx 250{,}9\\text{ cm}^{3}.\\]\n\n**Szklanka 3** (\\(d = 6\\text{ cm}\\), \\(h = 9\\text{ cm}\\)):\n\\[r_3 = 3\\text{ cm},\\quad V_3 = \\pi\\cdot 3^{2}\\cdot 9 = 81\\pi \\approx 254{,}3\\text{ cm}^{3}.\\]\n\n### Sposób 2 - Obliczenie różnic od \\(250\\text{ cm}^{3}\\)\n\\[|V_1 - 250| \\approx 32{,}6\\text{ cm}^{3},\\]\n\\[|V_2 - 250| \\approx 0{,}9\\text{ cm}^{3},\\]\n\\[|V_3 - 250| \\approx 4{,}3\\text{ cm}^{3}.\\]\n\nNajmniejsza różnica (\\(0{,}9\\text{ cm}^{3}\\)) dotyczy szklanki drugiej.\n\n### Wniosek\nDo przygotowania \\(0{,}25\\) litra płynu najlepiej nadaje się **szklanka druga** (o średnicy \\(5{,}8\\text{ cm}\\) i wysokości \\(9{,}5\\text{ cm}\\)).\n\n### Komentarz dydaktyczny\nObjętość walca rośnie kwadratowo z promieniem i liniowo z wysokością - niewielka zmiana średnicy (tu: z \\(6\\) do \\(5{,}8\\text{ cm}\\)) daje zauważalną zmianę objętości (\\(\\approx 31\\text{ cm}^{3}\\)). Przy \\(\\pi\\) warto używać \\(\\pi \\approx 3{,}1416\\) lub pełnej dokładności kalkulatora.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2002 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"maturazai-matematyka-mma-p1d1p-021/zad/7","paper_id":"maturazai-matematyka-mma-p1d1p-021","number":"7","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2002,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Funkcja \\(f: R \\to R\\) jest określona wzorem: \\(f(x)=x^{2}-6x+12\\). a) Rozwiąż nierówność \\(f(x)-19>0\\). b) Uzasadnij, że obrazem wykresu funkcji \\(f\\), w symetrii względem prostej o równaniu \\(x=6\\), nie jest parabola, określona równaniem \\(y=(x-9)^{2}+6\\).","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n**a)** \\(x \\in (-\\infty, -1) \\cup (7, +\\infty)\\)\n\n**b)** Wierzchołek wykresu \\(f\\) to \\(W = (3, 3)\\). Jego obraz w symetrii osiowej względem \\(x = 6\\) to \\(W' = (9, 3)\\). Tymczasem wierzchołek paraboli \\(y = (x-9)^2 + 6\\) to \\(W_1 = (9, 6)\\). Ponieważ \\(W' \\neq W_1\\), parabole są różne.\n\n## Sposób 1 - rozwiązanie przez wyróżnik (część a)\n\n**Przekształcamy nierówność:**\n\n\\[f(x) - 19 > 0 \\implies x^2 - 6x + 12 - 19 > 0 \\implies x^2 - 6x - 7 > 0\\]\n\n**Szukamy miejsc zerowych trójmianu \\(x^2 - 6x - 7\\):**\n\n\\[\\Delta = (-6)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-7) = 36 + 28 = 64\\]\n\n\\[x_1 = \\frac{6 - \\sqrt{64}}{2} = \\frac{6 - 8}{2} = -1, \\qquad x_2 = \\frac{6 + 8}{2} = \\frac{14}{2} = 7\\]\n\n**Postać iloczynowa:** \\(x^2 - 6x - 7 = (x + 1)(x - 7)\\)\n\nParabola otwiera się **w górę** (współczynnik \\(a = 1 > 0\\)), więc trójmian jest dodatni **na zewnątrz** pierwiastków:\n\n\\[\\boxed{x \\in (-\\infty,\\, -1) \\cup (7,\\, +\\infty)}\\]\n\n## Sposób 2 - rozkład na czynniki \"na skróty\" (część a)\n\nZamiast liczyć wyróżnik, możemy spróbować rozłożyć \\(x^2 - 6x - 7\\) od razu.\n\nSzukamy liczb, których **suma** to \\(-6\\), a **iloczyn** to \\(-7\\):\n\n\\[-6 = (-7) + 1, \\qquad (-7) \\cdot 1 = -7 \\checkmark\\]\n\nZatem:\n\\[x^2 - 6x - 7 = (x - 7)(x + 1) > 0\\]\n\nIloczyn jest dodatni, gdy oba czynniki mają **ten sam znak**:\n\n| Przedział | \\(x + 1\\) | \\(x - 7\\) | Iloczyn |\n| \\(x < -1\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) ✓ |\n| \\(-1 < x < 7\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) ✗ |\n| \\(x > 7\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) ✓ |\n\nWynik: \\(x \\in (-\\infty, -1) \\cup (7, +\\infty)\\) - zgodny z Metodą 1.\n\n## Sposób 1 - argument wierzchołka (część b)\n\n**Wyznaczamy wierzchołek \\(W\\) paraboli \\(f\\).**\n\nFunkcja \\(f(x) = x^2 - 6x + 12\\), więc \\(a = 1\\), \\(b = -6\\), \\(c = 12\\).\n\n\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{-6}{2} = 3\\]\n\n\\[q = f(3) = 9 - 18 + 12 = 3\\]\n\nWierzchołek: \\(W = (3,\\, 3)\\).\n\n**Wyznaczamy obraz \\(W' \\) w symetrii osiowej względem prostej \\(x = 6\\).**\n\nSymetria względem \\(x = 6\\) odbija punkt \\((x, y)\\) na \\((12 - x,\\, y)\\), bo:\n\n\\[x' = 2 \\cdot 6 - x = 12 - x\\]\n\nDla \\(W = (3, 3)\\):\n\\[W' = (12 - 3,\\; 3) = (9,\\; 3)\\]\n\n**Sprawdzamy wierzchołek danej paraboli \\(y = (x-9)^2 + 6\\).**\n\nParabola jest w postaci kanonicznej - odczytujemy wprost:\n\n\\[W_1 = (9,\\; 6)\\]\n\n**Wniosek:**\n\n\\[W' = (9,\\; 3) \\neq (9,\\; 6) = W_1\\]\n\nOdbicie wykresu \\(f\\) ma wierzchołek w \\((9, 3)\\), a dana parabola ma wierzchołek w \\((9, 6)\\). **Ponieważ wierzchołki są różne, parabole są różne.** \\(\\square\\)\n\n## Sposób 2 - sprawdzenie konkretnego punktu (część b)\n\nWyznaczamy obraz **innego** punktu wykresu \\(f\\) i sprawdzamy, czy leży na \\(y = (x-9)^2 + 6\\).\n\nWeźmy \\(x = 6\\) (punkt leży na osi symetrii \\(x = 6\\), więc odbija się na siebie):\n\n\\[f(6) = 36 - 36 + 12 = 12 \\implies \\text{punkt } (6, 12) \\text{ leży na wykresie } f\\]\n\nObraz \\((6, 12)\\) w symetrii względem \\(x = 6\\):\n\n\\[x' = 12 - 6 = 6, \\quad y' = 12 \\implies (6,\\, 12)\\]\n\n(punkt na osi symetrii pozostaje na miejscu - to poprawne).\n\nSprawdzamy, czy \\((6, 12)\\) leży na \\(y = (x-9)^2 + 6\\):\n\n\\[(6 - 9)^2 + 6 = 9 + 6 = 15 \\neq 12\\]\n\nPunkt \\((6, 12)\\) **nie leży** na \\(y = (x-9)^2 + 6\\), choć powinien, gdyby ta parabola była obrazem \\(f\\). Sprzeczność dowodzi, że obrazem **nie jest** podana parabola. \\(\\square\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)**\n\n- Wyróżnik:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]\nUżyty w Sposobie 1 (część a) do wyznaczenia pierwiastków \\(x_1, x_2\\).\n\n- Miejsca zerowe:\n\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\n\n- Wierzchołek paraboli:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\qquad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]\nUżyty w części b) do wyznaczenia \\(W = (3, 3)\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy nierówności \\(f(x) - 19 > 0\\) uczniowie często zapominają odjąć 19 **przed** szukaniem pierwiastków i liczą \\(\\Delta\\) dla oryginalnej funkcji \\(f\\) - to błąd. Zawsze najpierw upraszczamy nierówność do postaci \\([\\text{trójmian}] > 0\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy symetrii osiowej względem \\(x = k\\) wzór na obraz to \\(x' = 2k - x\\), **nie** \\(x' = x + k\\) ani \\(x' = k - x\\). Tu \\(k = 6\\), więc \\(x' = 12 - x\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W zadaniu b) celem jest **uzasadnienie**, że parabole są różne - wystarczy znaleźć **jeden** punkt (np. wierzchołek), który się nie zgadza. Nie trzeba porównywać całych wzorów. Pokazanie \\(W' \\neq W_1\\) jest w pełni wystarczające!\n\n**Poprawna odpowiedź:** a) \\(x \\in (-\\infty, -1) \\cup (7, \\infty)\\); b) obrazem wierzchołka \\(W = (3, 3)\\) w symetrii względem prostej \\(x = 6\\) jest \\(W' = (9, 3)\\); parabola \\(y = (x-9)^{2} + 6\\) ma wierzchołek \\(W_1 = (9, 6)\\), więc \\(W' \\neq W_1\\) - parabole są różne.\n\n### Sposób 1 - Część a: rozwiązanie nierówności\nZapisujemy nierówność \\(f(x) - 19 > 0\\):\n\\[x^{2} - 6x + 12 - 19 > 0\\]\n\\[x^{2} - 6x - 7 > 0.\\]\n\n**Wyróżnik i pierwiastki:**\n\\[\\Delta = 36 + 28 = 64, \\quad \\sqrt{\\Delta} = 8.\\]\n\\[x_1 = \\dfrac{6-8}{2} = -1, \\quad x_2 = \\dfrac{6+8}{2} = 7.\\]\n\nTrójmian \\(x^{2} - 6x - 7\\) ma ramiona w górę (\\(a = 1 > 0\\)), więc przyjmuje wartości dodatnie poza przedziałem \\([-1, 7]\\):\n\\[x \\in (-\\infty, -1) \\cup (7, \\infty).\\]\n\n### Sposób 2 - Część b: porównanie wierzchołków\n**Wierzchołek funkcji \\(f\\):**\n\\[W_f = \\left(-\\dfrac{b}{2a},\\, f\\left(-\\dfrac{b}{2a}\\right)\\right) = \\left(3,\\, f(3)\\right).\\]\n\\[f(3) = 9 - 18 + 12 = 3 \\Rightarrow W_f = (3, 3).\\]\n\n**Obraz \\(W_f\\) w symetrii względem prostej \\(x = 6\\).**\nSymetria osiowa względem prostej pionowej \\(x = 6\\) zmienia tylko pierwszą współrzędną:\n\\[(x, y) \\mapsto (12 - x, y).\\]\nZatem:\n\\[W_f' = (12 - 3,\\, 3) = (9, 3).\\]\n\n**Wierzchołek paraboli \\(y = (x-9)^{2} + 6\\):**\nPostać kanoniczna: \\(W_1 = (9, 6)\\).\n\n**Porównanie:**\n\\[W_f' = (9, 3) \\neq (9, 6) = W_1.\\]\n\nObrazy wierzchołków się różnią, a każda parabola ma dokładnie jeden wierzchołek. Gdyby parabola \\(y = (x-9)^{2} + 6\\) była obrazem \\(f\\) w podanej symetrii, to wierzchołek obrazu musiałby być wierzchołkiem tej paraboli. Ponieważ tak nie jest - **obrazem \\(f\\) w tej symetrii nie jest parabola** \\(y = (x-9)^{2} + 6\\).\n\n### Sposób 3 - Część b: wyznaczenie faktycznego obrazu \\(f\\) w symetrii\nNiech \\((x, y)\\) leży na wykresie obrazu; wtedy punkt \\((12 - x, y)\\) leży na wykresie \\(f\\):\n\\[y = f(12 - x) = (12 - x)^{2} - 6(12 - x) + 12.\\]\n\\[y = 144 - 24x + x^{2} - 72 + 6x + 12 = x^{2} - 18x + 84.\\]\n\nPostać kanoniczna:\n\\[x^{2} - 18x + 84 = (x - 9)^{2} - 81 + 84 = (x - 9)^{2} + 3.\\]\n\nFaktyczny obraz: \\(y = (x - 9)^{2} + 3\\), a zadana parabola to \\(y = (x - 9)^{2} + 6\\) - są to różne parabole (przesunięte pionowo o \\(3\\)).\n\n### Komentarz dydaktyczny\nSymetria osiowa zachowuje kształt paraboli oraz odległości - zmienia tylko kierunek poziomy. Najszybszy sposób odrzucenia hipotezy \"to ta sama parabola\": porównać wierzchołki.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2002 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"maturazai-matematyka-mma-p1d1p-021/zad/8","paper_id":"maturazai-matematyka-mma-p1d1p-021","number":"8","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2002,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Spośród wszystkich wierzchołków sześcianu wybieramy jednocześnie trzy wierzchołki. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy wierzchołki trójkąta równobocznego.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(P(A) = \\dfrac{1}{7}\\)\n\n## Sposób 1 - Dwa wpisane czworościany foremne\n\n**Przestrzeń zdarzeń - ile trójek wierzchołków możemy wybrać?**\n\nSześcian ma 8 wierzchołków. Wybieramy jednocześnie 3 z nich, bez zwracania uwagi na kolejność:\n\n\\[|\\Omega| = \\binom{8}{3} = \\frac{8 \\cdot 7 \\cdot 6}{3!} = \\frac{336}{6} = 56\\]\n\n**Możliwe odległości między wierzchołkami sześcianu** (dla sześcianu o boku 1):\n\n| Typ odcinka | Długość | Przykład |\n| Krawędź | \\(1\\) | |\n| Przekątna ściany | \\(\\sqrt{2}\\) | |\n| Przekątna przestrzenna | \\(\\sqrt{3}\\) | |\n\nW trójkącie równobocznym wszystkie boki muszą być równe - czyli muszą być tej samej kategorii.\n\n**Czy możliwy trójkąt równoboczny o boku 1?**\nWierzchołki sześcianu tworzą graf dwudzielny (można je pokolorować na biało-czarno tak, by każda krawędź łączyła dwa różne kolory). Dwudzielny graf nie zawiera żadnych cykli nieparzystych, a więc **nie ma trójkątów złożonych z samych krawędzi**. Odrzucamy.\n\n**Czy możliwy trójkąt równoboczny o boku \\(\\sqrt{3}\\)?**\nKażdy wierzchołek ma dokładnie jeden wierzchołek odległy o \\(\\sqrt{3}\\) (przeciwległy koniec przekątnej przestrzennej). Spośród trzech wybranych wierzchołków co najwyżej jedna para może być w odległości \\(\\sqrt{3}\\) - trójkąt równoboczny niemożliwy. Odrzucamy.\n\n**Trójkąt równoboczny o boku \\(\\sqrt{2}\\) - kolorowanie wierzchołków:**\n\nPokolorujmy wierzchołki sześcianu według parzystości sumy współrzędnych:\n\n- **Czarne** (suma parzysta): \\((0,0,0),\\; (1,1,0),\\; (1,0,1),\\; (0,1,1)\\)\n- **Białe** (suma nieparzysta): \\((1,0,0),\\; (0,1,0),\\; (0,0,1),\\; (1,1,1)\\)\n\nSprawdzamy odległości między parami czarnych wierzchołków:\n\n\\[d\\bigl((0,0,0),\\,(1,1,0)\\bigr) = \\sqrt{1+1+0} = \\sqrt{2}\\]\n\\[d\\bigl((0,0,0),\\,(1,0,1)\\bigr) = \\sqrt{1+0+1} = \\sqrt{2}\\]\n\\[d\\bigl((0,0,0),\\,(0,1,1)\\bigr) = \\sqrt{0+1+1} = \\sqrt{2}\\]\n\\[d\\bigl((1,1,0),\\,(1,0,1)\\bigr) = \\sqrt{0+1+1} = \\sqrt{2}\\]\n\\[d\\bigl((1,1,0),\\,(0,1,1)\\bigr) = \\sqrt{1+0+1} = \\sqrt{2}\\]\n\\[d\\bigl((1,0,1),\\,(0,1,1)\\bigr) = \\sqrt{1+1+0} = \\sqrt{2}\\]\n\n**Wszystkie 4 czarne wierzchołki są parami w odległości \\(\\sqrt{2}\\)** - tworzą foremny czworościan (tetraedr) wpisany w sześcian! Analogicznie 4 białe wierzchołki tworzą drugi foremny czworościan.\n\nKażde 3 wierzchołki z jednego czworościanu tworzą trójkąt równoboczny. Liczba takich trójek:\n\n\\[\\text{z czarnych: } \\binom{4}{3} = 4, \\qquad \\text{z białych: } \\binom{4}{3} = 4\\]\n\n\\[|A| = 4 + 4 = 8\\]\n\n**Prawdopodobieństwo:**\n\n\\[\\boxed{P(A) = \\frac{8}{56} = \\frac{1}{7}}\\]\n\n## Sposób 2 - Zliczanie przez ustalony wierzchołek\n\nUstalmy wierzchołek \\(A = (0,0,0)\\). Podzielmy pozostałe 7 wierzchołków według odległości od \\(A\\):\n\n- **Sąsiedzi krawędziowi** (odl. \\(1\\)): \\(B=(1,0,0)\\), \\(D=(0,1,0)\\), \\(E=(0,0,1)\\)\n- **Sąsiedzi po przekątnej ściany** (odl. \\(\\sqrt{2}\\)): \\(C=(1,1,0)\\), \\(F=(1,0,1)\\), \\(H=(0,1,1)\\)\n- **Wierzchołek przeciwległy** (odl. \\(\\sqrt{3}\\)): \\(G=(1,1,1)\\)\n\nSzukamy trójkątów równobocznych przechodzących przez \\(A\\):\n\n- **Bok 1:** Drugi i trzeci wierzchołek spośród \\(\\{B,D,E\\}\\). Ale \\(d(B,D)=d(B,E)=d(D,E)=\\sqrt{2}\\neq 1\\). **Brak.**\n\n- **Bok \\(\\sqrt{2}\\):** Drugi i trzeci wierzchołek spośród \\(\\{C,F,H\\}\\). Sprawdzamy:\n\\[d(C,F)=\\sqrt{(1-1)^2+(1-0)^2+(0-1)^2}=\\sqrt{2}\\;\\checkmark\\]\n\\[d(C,H)=\\sqrt{1+0+1}=\\sqrt{2}\\;\\checkmark\\]\n\\[d(F,H)=\\sqrt{1+1+0}=\\sqrt{2}\\;\\checkmark\\]\n\nKażda para z \\(\\{C,F,H\\}\\) jest w odległości \\(\\sqrt{2}\\). Trójkąty przez \\(A\\): \\(\\{A,C,F\\}\\), \\(\\{A,C,H\\}\\), \\(\\{A,F,H\\}\\) - czyli **3 trójkąty**.\n\n- **Bok \\(\\sqrt{3}\\):** Jedynym kandydatem jest \\(G\\), ale tylko jeden wierzchołek w odl. \\(\\sqrt{3}\\) - za mało. **Brak.**\n\nPrzez każdy wierzchołek przechodzą dokładnie **3 trójkąty równoboczne** (z symetrii sześcianu argument jest identyczny dla każdego wierzchołka).\n\nZliczamy wszystkie trójkąty, korygując o wielokrotne liczenie (każdy trójkąt ma 3 wierzchołki):\n\n\\[|A| = \\frac{8 \\cdot 3}{3} = 8\\]\n\n\\[P(A) = \\frac{8}{56} = \\frac{1}{7}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 13 (Kombinatoryka, s. 28)** - kombinacje:\n\\[\\binom{n}{k} = \\frac{n!}{k!(n-k)!}\\]\nUżyliśmy do obliczenia liczby wszystkich trójek wierzchołków: \\(\\binom{8}{3} = 56\\) oraz liczby trójek w tetraedrze: \\(\\binom{4}{3} = 4\\).\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\nBezpośrednio zastosowane w ostatnim kroku.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd - policzenie tylko **jednego** tetraedru wpisanego w sześcian i otrzymanie \\(P = \\frac{4}{56} = \\frac{1}{14}\\). Pamiętaj: w sześcian można wpisać **dwa** foremne czworościany (z czarnych i białych wierzchołków), razem dają 8 trójkątów równobocznych.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Błędne przekonanie, że wierzchołki połączone krawędziami mogą tworzyć trójkąt równoboczny. Sześcian jest grafem **dwudzielnym** - nie ma żadnych trójkątów złożonych z krawędzi (długości 1).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pomylenie kombinacji z permutacjami w mianowniku. Wybieramy trzy wierzchołki **jednocześnie** (kolejność nie ma znaczenia!), więc \\(|\\Omega| = \\binom{8}{3} = 56\\), a nie \\(8 \\cdot 7 \\cdot 6 = 336\\).\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(P(A) = \\dfrac{1}{7}\\).\n\n### Sposób 1 - Klasyczna definicja prawdopodobieństwa\n**Liczba zdarzeń elementarnych.**\nSześcian ma \\(8\\) wierzchołków; wybieramy jednocześnie \\(3\\) (kolejność nie ma znaczenia):\n\\[|\\Omega| = \\binom{8}{3} = \\dfrac{8\\cdot 7\\cdot 6}{3\\cdot 2\\cdot 1} = 56.\\]\n\n**Liczba zdarzeń sprzyjających (trójkąty równoboczne).**\nKrawędź sześcianu \\(= a\\); odległości między wierzchołkami to:\n- krawędź: \\(a\\),\n- przekątna ściany: \\(a\\sqrt{2}\\),\n- przekątna sześcianu: \\(a\\sqrt{3}\\).\n\nTrójkąt równoboczny z wierzchołków sześcianu musi mieć wszystkie boki tej samej długości. Jedyna możliwość to boki długości \\(a\\sqrt{2}\\) - przekątne ścian. Takie trójkąty powstają przez wybranie trzech wierzchołków, z których każde dwa łączy przekątna ściany.\n\n**Zliczanie trójkątów równobocznych:**\nKażdy wierzchołek sześcianu \\(W\\) sąsiaduje (przez przekątne ścian) z trzema wierzchołkami leżącymi na tych ścianach, na których kończy się \\(W\\). Trójkąt równoboczny to \\(W\\) wraz z trzema wierzchołkami przeciwnymi na przekątnych ścian - ale w praktyce jest jeden trójkąt równoboczny z boku \\(a\\sqrt{2}\\) \"odciętego\" od każdego wierzchołka.\n\nDokładne zliczenie: na przekątnej sześcianu (głównej) leżą 2 wierzchołki; dla każdej z 4 głównych przekątnych powstają 2 trójkąty równoboczne (po jednym z każdym końcem przekątnej jako wierzchołkiem), w sumie \\(4\\cdot 2 = 8\\) trójkątów.\n\nAlternatywnie: sześcian o wierzchołkach \\(\\{0,1\\}^{3}\\). Trójki wierzchołków o parzystej liczbie „1\" dają jeden trójkąt równoboczny (np. \\((1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)\\) z bokami \\(\\sqrt{2}\\)); analogicznie dla parzystej liczby „0\". Takich trójek jest \\(\\binom{4}{3} + \\binom{4}{3} = 4 + 4 = 8\\).\n\nZatem \\(|A| = 8\\).\n\n**Prawdopodobieństwo:**\n\\[P(A) = \\dfrac{|A|}{|\\Omega|} = \\dfrac{8}{56} = \\dfrac{1}{7}.\\]\n\n### Sposób 2 - Konkretne wskazanie 8 trójkątów\nNumerujemy wierzchołki sześcianu o boku \\(a\\): \\(A_1 = (0,0,0), A_2 = (a,0,0), A_3 = (a,a,0), A_4 = (0,a,0), A_5 = (0,0,a), A_6 = (a,0,a), A_7 = (a,a,a), A_8 = (0,a,a)\\).\n\nTrójkąty równoboczne o boku \\(a\\sqrt{2}\\) z wierzchołkami sześcianu:\n1. \\(A_2, A_4, A_5\\) (wokół \\(A_1\\))\n2. \\(A_1, A_3, A_6\\) (wokół \\(A_2\\))\n3. \\(A_2, A_4, A_7\\) (wokół \\(A_3\\))\n4. \\(A_1, A_3, A_8\\) (wokół \\(A_4\\))\n5. \\(A_1, A_6, A_8\\) (wokół \\(A_5\\))\n6. \\(A_2, A_5, A_7\\) (wokół \\(A_6\\))\n7. \\(A_3, A_6, A_8\\) (wokół \\(A_7\\))\n8. \\(A_4, A_5, A_7\\) (wokół \\(A_8\\))\n\nŁącznie \\(8\\) trójkątów równobocznych; \\(P(A) = \\dfrac{8}{56} = \\dfrac{1}{7}\\) ✓.\n\n### Komentarz dydaktyczny\nMożliwe są także trójki wierzchołków tworzące trójkąty prostokątne (z bokami \\(a, a, a\\sqrt{2}\\)) oraz trójkąty typu \\((a, a\\sqrt{2}, a\\sqrt{3})\\) - ale te nie są równoboczne. Symetria sześcianu (\\(48\\) izometrii) znacznie ułatwia zliczanie tego typu zdarzeń.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2002 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"maturazai-matematyka-mma-p1d1p-021/zad/9","paper_id":"maturazai-matematyka-mma-p1d1p-021","number":"9","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2002,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Wykaż, że w trójkącie prostokątnym suma kwadratów sinusów miar wszystkich jego kątów wewnętrznych równa się \\(2\\).","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: dowód\n\nTo zadanie otwarte - należy **wykazać** (udowodnić), że suma kwadratów sinusów wszystkich kątów wewnętrznych trójkąta prostokątnego wynosi 2.\n\n## Sposób 1 - wzory redukcyjne i jedynka trygonometryczna\n\n**Oznaczenia:** niech trójkąt prostokątny ma kąty \\(\\alpha\\), \\(\\beta\\) i kąt prosty \\(90°\\), przy czym kąt prosty jest jednym z kątów wewnętrznych.\n\n**Krok 1.** Z sumy kątów trójkąta:\n\\[\\alpha + \\beta + 90° = 180°\\]\n\\[\\alpha + \\beta = 90°\\]\n\\[\\beta = 90° - \\alpha\\]\n\n**Krok 2.** Zastosujemy wzór redukcyjny do \\(\\sin\\beta\\):\n\\[\\sin\\beta = \\sin(90° - \\alpha) = \\cos\\alpha\\]\n\n**Krok 3.** Wartość sinusa kąta prostego:\n\\[\\sin 90° = 1\\]\n\n**Krok 4.** Teraz obliczamy sumę kwadratów sinusów wszystkich trzech kątów:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\sin^2\\beta + \\sin^2 90° = \\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha + 1^2\\]\n\n**Krok 5.** Stosujemy jedynkę trygonometryczną \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\):\n\\[= 1 + 1 = \\mathbf{2}\\]\n\n**Co należało wykazać.** \\(\\square\\)\n\n## Sposób 2 - definicja sinusa przez boki trójkąta\n\nTo podejście geometryczne - wyrażamy sinusy wprost przez długości boków.\n\n**Oznaczenia:** niech \\(a, b\\) to przyprostokątne, \\(c\\) - przeciwprostokątna.\n\n- Kąt naprzeciwko boku \\(a\\) to \\(\\alpha\\), kąt naprzeciwko boku \\(b\\) to \\(\\beta\\)\n- Kąt prosty jest naprzeciwko \\(c\\)\n\n**Krok 1.** Z definicji sinusa w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{a}{c}, \\quad \\sin\\beta = \\frac{b}{c}, \\quad \\sin 90° = 1\\]\n\n**Krok 2.** Sumujemy kwadraty:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\sin^2\\beta + \\sin^2 90° = \\frac{a^2}{c^2} + \\frac{b^2}{c^2} + 1 = \\frac{a^2 + b^2}{c^2} + 1\\]\n\n**Krok 3.** Z twierdzenia Pitagorasa: \\(a^2 + b^2 = c^2\\), więc:\n\\[\\frac{a^2 + b^2}{c^2} = \\frac{c^2}{c^2} = 1\\]\n\n**Krok 4.** Zatem:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\sin^2\\beta + \\sin^2 90° = 1 + 1 = \\mathbf{2}\\]\n\n**Co należało wykazać.** \\(\\square\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14):**\n\n- **Jedynka trygonometryczna:**\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\nUżyta w Sposobie 1 - kluczowy krok, dzięki któremu suma \\(\\sin^2\\alpha + \\sin^2\\beta\\) redukuje się do 1.\n\n- **Wzór redukcyjny:**\n\\[\\sin(90° - \\alpha) = \\cos\\alpha\\]\nUżyty w Sposobie 1 - pozwala zastąpić \\(\\sin\\beta\\) przez \\(\\cos\\alpha\\), co umożliwia zastosowanie jedynki.\n\n- **Wartość \\(\\sin 90° = 1\\)** - z tablicy wartości funkcji trygonometrycznych (s. 11).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15):**\n\n- **Twierdzenie Pitagorasa:** \\(a^2 + b^2 = c^2\\)\nUżyte w Sposobie 2 - pozwala uprościć ułamek \\(\\frac{a^2 + b^2}{c^2}\\) do 1.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że kąt prosty \\(90°\\) **też jest kątem wewnętrznym trójkąta** i jego sinus też trzeba uwzględnić. Uczniowie często piszą tylko \\(\\sin^2\\alpha + \\sin^2\\beta\\) i próbują dowieść, że to równa się 2 - co jest błędem.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór redukcyjny \\(\\sin(90° - \\alpha) = \\cos\\alpha\\) to nie \"oczywistość\" - należy go jawnie przywołać w dowodzie. Bez tego krok przejścia od \\(\\sin\\beta\\) do \\(\\cos\\alpha\\) nie jest uzasadniony.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 2 definicja \\(\\sin\\alpha = \\frac{a}{c}\\) działa **tylko w trójkącie prostokątnym** - jest to szczegółowy przypadek ogólnej definicji. Warto to zaznaczyć, bo takie ograniczenie jest zgodne z treścią zadania.\n\n**Teza:** W trójkącie prostokątnym \\(\\sin^{2}\\alpha + \\sin^{2}\\beta + \\sin^{2}\\gamma = 2\\).\n\n### Sposób 1 - Jedynka trygonometryczna\nNiech kąty trójkąta prostokątnego mają miary \\(\\alpha\\), \\(\\beta\\), \\(\\gamma\\), przy czym \\(\\gamma = 90^{\\circ}\\). Wtedy:\n\\[\\alpha + \\beta + \\gamma = 180^{\\circ} \\Rightarrow \\alpha + \\beta = 90^{\\circ} \\Rightarrow \\beta = 90^{\\circ} - \\alpha.\\]\n\nSuma kwadratów sinusów:\n\\[\\sin^{2}\\alpha + \\sin^{2}\\beta + \\sin^{2}\\gamma = \\sin^{2}\\alpha + \\sin^{2}(90^{\\circ} - \\alpha) + \\sin^{2}90^{\\circ}.\\]\n\nKorzystamy z tożsamości redukcyjnej:\n\\[\\sin(90^{\\circ} - \\alpha) = \\cos\\alpha \\quad\\Rightarrow\\quad \\sin^{2}(90^{\\circ} - \\alpha) = \\cos^{2}\\alpha.\\]\n\nRównież \\(\\sin 90^{\\circ} = 1\\), czyli \\(\\sin^{2}90^{\\circ} = 1\\).\n\nStąd:\n\\[\\sin^{2}\\alpha + \\cos^{2}\\alpha + 1.\\]\n\nZ jedynki trygonometrycznej \\(\\sin^{2}\\alpha + \\cos^{2}\\alpha = 1\\), więc:\n\\[\\sin^{2}\\alpha + \\sin^{2}\\beta + \\sin^{2}\\gamma = 1 + 1 = 2. \\quad \\blacksquare\\]\n\n### Sposób 2 - Z twierdzenia sinusów\nW trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej \\(c\\) i przyprostokątnych \\(a\\), \\(b\\):\n- \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{a}{c}\\), \\(\\sin\\beta = \\dfrac{b}{c}\\), \\(\\sin\\gamma = \\sin 90^{\\circ} = 1\\).\n\n**Suma kwadratów:**\n\\[\\sin^{2}\\alpha + \\sin^{2}\\beta + \\sin^{2}\\gamma = \\dfrac{a^{2}}{c^{2}} + \\dfrac{b^{2}}{c^{2}} + 1 = \\dfrac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}} + 1.\\]\n\nZ twierdzenia Pitagorasa \\(a^{2} + b^{2} = c^{2}\\):\n\\[= \\dfrac{c^{2}}{c^{2}} + 1 = 1 + 1 = 2. \\quad \\blacksquare\\]\n\n### Sposób 3 - Wzór ogólny\nDla dowolnego trójkąta \\(\\sin^{2}\\alpha + \\sin^{2}\\beta + \\sin^{2}\\gamma = 2 + 2\\cos\\alpha\\cos\\beta\\cos\\gamma\\). Dla \\(\\gamma = 90^{\\circ}\\): \\(\\cos\\gamma = 0\\), więc suma \\(= 2\\).\n\n### Komentarz dydaktyczny\nMetoda Pitagorasa jest najbardziej bezpośrednia - wiąże fakt geometryczny (prostokątny trójkąt) z trygonometrycznym. Tożsamość \\(\\sin(90^{\\circ} - \\alpha) = \\cos\\alpha\\) to kluczowy wzór redukcyjny warto go zapamiętać.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2002 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"maturazai-matematyka-mma-p1d1p-021/zad/10","paper_id":"maturazai-matematyka-mma-p1d1p-021","number":"10","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2002,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Wszystkie liczby naturalne dwucyfrowe, podzielne przez \\(6\\) są kolejnymi wyrazami pewnego ciągu rosnącego. a) Zapisz wzór ogólny na \\(n\\)-ty wyraz tego ciągu arytmetycznego. b) Oblicz, ile wyrazów ma ten ciąg. c) Oblicz sumę piętnastu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź:\n**a)** \\(a_n = 6n + 6\\) &nbsp;|&nbsp; **b)** ciąg ma **15 wyrazów** &nbsp;|&nbsp; **c)** \\(S_{15} = 810\\)\n\n## Sposób 1 - bezpośrednie zastosowanie wzorów ciągu arytmetycznego\n\n**Krok 1 - Znajdź pierwszy i ostatni wyraz.**\n\nSzukamy dwucyfrowych liczb naturalnych podzielnych przez \\(6\\).\n\n- Najmniejsza dwucyfrowa podzielna przez \\(6\\): \\(\\quad 6 \\cdot 2 = 12\\), więc \\(a_1 = 12\\)\n- Największa dwucyfrowa podzielna przez \\(6\\): \\(\\quad 6 \\cdot 16 = 96\\), bo \\(6 \\cdot 17 = 102\\) - już trzycyfrowa, więc ostatni wyraz to \\(96\\)\n\nRóżnica kolejnych wyrazów: \\(18 - 12 = 24 - 18 = 6\\), zatem różnica ciągu \\(r = 6\\).\n\n**a) Wzór ogólny:**\n\n\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r = 12 + (n-1) \\cdot 6 = 12 + 6n - 6\\]\n\n\\[\\boxed{a_n = 6n + 6}\\]\n\nSprawdzenie: \\(a_1 = 6 \\cdot 1 + 6 = 12\\) ✓, &nbsp; \\(a_2 = 6 \\cdot 2 + 6 = 18\\) ✓\n\n**b) Liczba wyrazów:**\n\nOstatni wyraz ciągu to \\(96\\). Wyznaczamy \\(n\\):\n\n\\[6n + 6 = 96\\]\n\\[6n = 90\\]\n\\[n = 15\\]\n\n**Ciąg ma 15 wyrazów.**\n\n**c) Suma 15 wyrazów:**\n\n\\[S_{15} = \\frac{a_1 + a_{15}}{2} \\cdot 15 = \\frac{12 + 96}{2} \\cdot 15 = \\frac{108}{2} \\cdot 15 = 54 \\cdot 15\\]\n\n\\[\\boxed{S_{15} = 810}\\]\n\n## Sposób 2 - ciąg jako wielokrotności 6\n\nLiczby dwucyfrowe podzielne przez \\(6\\) to:\n\n\\[6 \\cdot 2, \\quad 6 \\cdot 3, \\quad 6 \\cdot 4, \\quad \\ldots, \\quad 6 \\cdot 16\\]\n\nMnożniki tworzą ciąg \\(2, 3, 4, \\ldots, 16\\) - jest ich \\(16 - 2 + 1 = 15\\). Stąd od razu: **15 wyrazów** ✓\n\nWzór ogólny: \\(n\\)-ty wyraz to \\(6 \\cdot (n+1)\\), czyli:\n\n\\[a_n = 6(n+1) = 6n + 6\\] ✓\n\nSuma pierwszych 15 wyrazów (mnożniki od 2 do 16):\n\n\\[S_{15} = 6 \\cdot (2 + 3 + 4 + \\ldots + 16) = 6 \\cdot \\sum_{k=2}^{16} k = 6 \\cdot \\left(\\frac{16 \\cdot 17}{2} - 1\\right) = 6 \\cdot (136 - 1) = 6 \\cdot 135 = 810\\] ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)**\n\nWzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\nUżyliśmy w punkcie **a)** do zbudowania wzoru ogólnego.\n\nWzór na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu arytmetycznego:\n\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]\nUżyliśmy w punkcie **c)** do obliczenia \\(S_{15}\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd - przyjęcie \\(a_1 = 6\\) zamiast \\(a_1 = 12\\). Liczba \\(6\\) jest jednocyfrowa, więc **nie należy** do tego ciągu!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wyznaczaniu ostatniego wyrazu łatwo pomylić się o jeden krok - warto sprawdzić: \\(6 \\cdot 16 = 96\\) (OK, dwucyfrowa), \\(6 \\cdot 17 = 102\\) (trzycyfrowa - za duża).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W punkcie c) pytanie dotyczy **piętnastu początkowych wyrazów** - czyli \\(S_{15}\\). Ponieważ cały ciąg ma dokładnie 15 wyrazów, jest to suma **wszystkich** wyrazów. Nie myl \\(S_{15}\\) z \\(S_{15}\\) licząc od innego miejsca!\n\n**Poprawna odpowiedź:** a) \\(a_n = 6n + 6\\) dla \\(n = 1, 2, \\ldots, 15\\); b) \\(15\\) wyrazów; c) \\(S_{15} = 810\\).\n\n### Sposób 1 - Standardowe wzory ciągu arytmetycznego\n**a) Wzór ogólny.**\nLiczby dwucyfrowe to liczby z przedziału \\([10, 99]\\). Najmniejsza liczba dwucyfrowa podzielna przez \\(6\\): \\(12\\) (bo \\(10 : 6\\) nie jest całkowite, \\(12 : 6 = 2\\)). Stąd \\(a_1 = 12\\).\n\nKażda kolejna liczba podzielna przez \\(6\\) różni się od poprzedniej o \\(6\\), więc różnica ciągu \\(r = 6\\).\n\nWzór ogólny ciągu arytmetycznego: \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\):\n\\[a_n = 12 + (n-1)\\cdot 6 = 12 + 6n - 6 = 6n + 6.\\]\n\n**b) Liczba wyrazów.**\nNajwiększa liczba dwucyfrowa podzielna przez \\(6\\): sprawdzamy \\(99 : 6 = 16{,}5\\), więc największa całkowita wielokrotność \\(6\\) w \\([10, 99]\\) to \\(6\\cdot 16 = 96\\).\n\nZ równania \\(a_n = 96\\):\n\\[6n + 6 = 96 \\Rightarrow 6n = 90 \\Rightarrow n = 15.\\]\n\nCiąg ma \\(15\\) wyrazów.\n\n**c) Suma \\(15\\) początkowych wyrazów.**\nWzór na sumę \\(n\\) początkowych wyrazów:\n\\[S_n = \\dfrac{a_1 + a_n}{2}\\cdot n.\\]\n\\[S_{15} = \\dfrac{12 + 96}{2}\\cdot 15 = \\dfrac{108}{2}\\cdot 15 = 54\\cdot 15 = 810.\\]\n\n### Sposób 2 - Suma wyciągnięciem wspólnego czynnika\nCiąg \\(12, 18, 24, \\ldots, 96\\) można zapisać jako \\(6\\cdot\\{2, 3, 4, \\ldots, 16\\}\\):\n\\[S_{15} = 6\\cdot(2 + 3 + \\ldots + 16) = 6\\cdot\\dfrac{(2+16)\\cdot 15}{2} = 6\\cdot 135 = 810.\\]\n\n### Sposób 3 - Przez sumę pierwszych \\(N\\) liczb naturalnych\n\\[2 + 3 + \\ldots + 16 = \\sum_{k=1}^{16}k - 1 = \\dfrac{16\\cdot 17}{2} - 1 = 136 - 1 = 135.\\]\n\\[S_{15} = 6\\cdot 135 = 810\\] ✓\n\n### Weryfikacja\nSprawdzenie wzoru: \\(a_1 = 6\\cdot 1 + 6 = 12\\) ✓; \\(a_{15} = 6\\cdot 15 + 6 = 96\\) ✓.\nCiąg pełny: \\(12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96\\) - \\(15\\) wyrazów ✓.\n\n### Komentarz dydaktyczny\nPrzy wyszukiwaniu \"najmniejszej / największej liczby podzielnej przez \\(k\\) w przedziale\" zawsze pomaga dzielenie z resztą: dla \\(10 : 6 = 1 r 4\\), najbliższa wielokrotność \\(6\\) powyżej \\(10\\) to \\(10 + (6 - 4) = 12\\). Dla \\(99 : 6 = 16 r 3\\), największa wielokrotność \\(6\\) nie większa niż \\(99\\) to \\(99 - 3 = 96\\).","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2002 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}