{"paper":{"id":"maturazai-matematyka-mma-p1g1p-021","subject":"matematyka","category":"matura","year":2002,"month":"maj","level":"podstawowa","variant":null,"exam_pdf":null,"key_pdf":null,"question_count":11,"source_label":"Matematyka · Matura · maj 2002 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"maturazai-matematyka-mma-p1g1p-021/zad/1","paper_id":"maturazai-matematyka-mma-p1g1p-021","number":"1","points":1,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2002,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Lewa strona równania \\(1+x^{2}+x^{4}+x^{6}+\\ldots+x^{2n}+\\ldots=3\\) jest sumą nieskończonego ciągu geometrycznego o ilorazie \\(x^{2}\\). Z warunku zbieżności mamy \\(x^{2}<1\\). Zatem dziedziną równania jest przedział \\((-1,1)\\). Równanie można zapisać w postaci \\(1+x^{2}(1+x^{2}+x^{4}+\\ldots)=3\\). Stąd \\(1+3x^{2}=3\\). Pierwiastkami ostatniego równania są liczby: \\(x_{1}=-\\frac{\\sqrt{6}}{3}\\), \\(x_{2}=\\frac{\\sqrt{6}}{3}\\) należące do dziedziny. Odpowiedź: Rozwiązaniami równania są liczby \\(x_{1}=-\\frac{\\sqrt{6}}{3}\\), \\(x_{2}=\\frac{\\sqrt{6}}{3}\\). Postępując w analogiczny sposób rozwiąż równanie: \\(1+x+x^{2}+x^{3}+\\ldots+x^{n}+\\ldots=2\\).","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x = \\dfrac{1}{2}\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na sumę nieskończonego ciągu geometrycznego\n\n**Rozpoznajemy strukturę szeregu.**\n\nLewa strona równania:\n\\[1 + x + x^2 + x^3 + \\ldots + x^n + \\ldots\\]\nto suma nieskończonego ciągu geometrycznego o:\n- pierwszym wyrazie \\(a_1 = 1\\),\n- ilorazie \\(q = x\\).\n\n**Warunek zbieżności:** szereg zbiega wtedy i tylko wtedy, gdy \\(|q| < 1\\), czyli:\n\\[|x| < 1 \\iff x \\in (-1, 1)\\]\n\nTo jest dziedzina równania.\n\n**Korzystamy ze wzoru na sumę** nieskończonego ciągu geometrycznego:\n\\[S = \\frac{a_1}{1 - q} = \\frac{1}{1 - x}\\]\n\n**Stawiamy równanie:**\n\\[\\frac{1}{1-x} = 2\\]\n\n**Rozwiązujemy:**\n\\[1 = 2(1-x)\\]\n\\[1 = 2 - 2x\\]\n\\[2x = 1\\]\n\\[\\boxed{x = \\frac{1}{2}}\\]\n\n**Sprawdzamy dziedzinę:** \\(x = \\frac{1}{2} \\in (-1, 1)\\) - tak, należy do dziedziny. ✓\n\n## Sposób 2 - Metoda analogiczna do przykładu (wyciągnięcie \\(x\\) przed nawias)\n\nZadanie podpowiada metodę - skorzystamy dokładnie z tego samego triku co w przykładzie.\n\n**Zapisujemy lewą stronę inaczej:**\n\\[1 + x + x^2 + x^3 + \\ldots = 2\\]\n\nWyciągamy \\(x\\) przed nawias z wyrazów od drugiego:\n\\[1 + x(1 + x + x^2 + \\ldots) = 2\\]\n\n**Zauważamy**, że wyrażenie w nawiasie \\((1 + x + x^2 + \\ldots)\\) to dokładnie lewa strona naszego równania, czyli równa się \\(2\\):\n\\[1 + x \\cdot 2 = 2\\]\n\\[1 + 2x = 2\\]\n\\[2x = 1\\]\n\\[\\boxed{x = \\frac{1}{2}}\\]\n\nDziedzina: \\(x = \\frac{1}{2} \\in (-1, 1)\\) - spełniona. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na sumę nieskończonego ciągu geometrycznego:\n\\[S = \\frac{a_1}{1-q}, \\quad \\text{dla } |q| < 1\\]\n\nUżyliśmy tego wzoru w Sposobie 1 - podstawiliśmy \\(a_1 = 1\\), \\(q = x\\) i przyrównaliśmy do \\(2\\).\n\nWarunek zbieżności \\(|q| < 1\\) wyznaczył dziedzinę równania: \\(x \\in (-1, 1)\\).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj o dziedzinie! Równanie ma sens tylko dla \\(|x| < 1\\). Gdyby wynik był np. \\(x = 2\\), należałoby go odrzucić jako spoza dziedziny.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Iloraz ciągu to \\(q = x\\), a nie \\(q = x^2\\) jak w przykładzie z zadania. Nie kopiuj ślepo - sprawdź jaki jest iloraz w swoim szeregu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić wzór \\(\\frac{a_1}{1-q}\\) z \\(\\frac{a_1}{1+q}\\) - szczególnie gdy \\(q < 0\\). Sprawdź znak mianownika.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(x = 0{,}5\\)**\n\n### Sposób 1 - Analogia do zadania wzorcowego\nLewa strona \\(1 + x + x^{2} + x^{3} + \\ldots + x^{n} + \\ldots\\) jest sumą nieskończonego szeregu geometrycznego o pierwszym wyrazie \\(a_{1} = 1\\) i ilorazie \\(q = x\\).\n\n**Warunek zbieżności:** \\(|x| < 1\\), czyli \\(x \\in (-1, 1)\\) - to dziedzina równania.\n\n**Zapisanie równania w postaci wygodnej:**\n\\[1 + x(1 + x + x^{2} + \\ldots) = 2.\\]\nWyrażenie w nawiasie jest identyczne z całą lewą stroną, czyli równe \\(2\\). Zatem:\n\\[1 + x \\cdot 2 = 2\\]\n\\[1 + 2x = 2\\]\n\\[2x = 1 \\Rightarrow x = \\tfrac{1}{2} = 0{,}5.\\]\nSprawdzamy: \\(0{,}5 \\in (-1, 1)\\) ✓.\n\n### Sposób 2 - Wzór na sumę szeregu geometrycznego\nDla \\(|q| < 1\\): \\(S = \\dfrac{a_{1}}{1-q}\\). Tu \\(a_{1} = 1, q = x\\):\n\\[\\dfrac{1}{1-x} = 2 \\Rightarrow 1 = 2(1-x) \\Rightarrow 1 = 2 - 2x \\Rightarrow x = \\tfrac{1}{2}.\\]\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1 pkt - wyznaczenie dziedziny \\((-1, 1)\\) (dopuszczalne \\(|x| < 1\\));\n- 1 pkt - zapis \\(1 + x(1 + x + x^{2} + \\ldots) = 2\\);\n- 1 pkt - zapis \\(1 + 2x = 2\\);\n- 1 pkt - wyznaczenie \\(x = 0{,}5\\).\n\n**Trik:** szereg geometryczny \\(1 + q + q^{2} + \\ldots\\) ma sumę \\(\\dfrac{1}{1-q}\\), ale szybciej jest „wyjąć\" pierwszy wyraz i zauważyć, że reszta to ta sama suma - wtedy otrzymujemy równanie liniowe na sumę.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2002 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"maturazai-matematyka-mma-p1g1p-021/zad/2","paper_id":"maturazai-matematyka-mma-p1g1p-021","number":"2","points":1,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2002,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Rysunek przedstawia fragment wykresu funkcji kwadratowej \\(f\\).\na) Podaj miejsca zerowe funkcji \\(f\\).\nb) Podaj rozwiązania nierówności \\(f(x) \\leq 0\\).\nc) Podaj rozwiązania równania \\(f(x) = 3\\).\n\n/matma-quiz/images/cke/MMA-P1G1P-021/z2.png","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n**a)** Miejsca zerowe: \\(x = -1\\) oraz \\(x = 5\\)\n\n**b)** \\(f(x) \\leq 0\\) dla \\(x \\in (-\\infty, -1\\rangle \\cup \\langle 5, +\\infty)\\)\n\n**c)** \\(x = 0\\) lub \\(x = 4\\)\n\n## Sposób 1 - Odczyt z wykresu i właściwości paraboli\n\n**Krok 1 - Odczytaj miejsca zerowe (punkt a)**\n\nMiejsca zerowe funkcji to punkty przecięcia paraboli z osią \\(OX\\). Z rysunku odczytujemy, że wykres przecina oś \\(OX\\) w punktach:\n\\[x_1 = -1 \\quad \\text{oraz} \\quad x_2 = 5\\]\n\n**Krok 2 - Określ kierunek ramion paraboli**\n\nZ rysunku widać, że parabola jest **skierowana ramionami w dół** (ma maksimum, nie minimum). To kluczowa obserwacja dla punktu b).\n\n**Krok 3 - Rozwiąż nierówność \\(f(x) \\leq 0\\) (punkt b)**\n\nParabola jest skierowana **w dół**, więc:\n- Przyjmuje wartości nieujemne \\((f(x) \\geq 0)\\) **między** miejscami zerowymi, czyli dla \\(x \\in \\langle -1, 5 \\rangle\\)\n- Przyjmuje wartości niedodatnie \\((f(x) \\leq 0)\\) **poza** miejscami zerowymi\n\nZatem:\n\\[\\boxed{f(x) \\leq 0 \\iff x \\in (-\\infty, -1\\rangle \\cup \\langle 5, +\\infty)}\\]\n\n**Krok 4 - Wyznacz oś symetrii**\n\nOś symetrii paraboli przebiega przez środek odcinka między miejscami zerowymi:\n\\[p = \\frac{x_1 + x_2}{2} = \\frac{-1 + 5}{2} = \\frac{4}{2} = 2\\]\n\nZatem oś symetrii: \\(x = 2\\).\n\n**Krok 5 - Rozwiąż równanie \\(f(x) = 3\\) (punkt c)**\n\nProsta \\(y = 3\\) przecina parabolę w dwóch punktach symetrycznych względem osi \\(x = 2\\). Z rysunku odczytujemy, że przecięcia następują dla \\(x = 0\\) oraz \\(x = 4\\).\n\nWeryfikacja symetrii: środek między \\(0\\) i \\(4\\) to \\(\\frac{0+4}{2} = 2\\) ✓ - oba punkty są symetryczne względem osi \\(x = 2\\).\n\n## Sposób 2 - Wyznaczenie wzoru funkcji i obliczenie algebraiczne\n\n**Krok 1 - Zapisz postać iloczynową**\n\nSkoro miejsca zerowe to \\(x_1 = -1\\) i \\(x_2 = 5\\), a parabola jest skierowana w dół (współczynnik \\(a < 0\\)):\n\\[f(x) = a(x + 1)(x - 5)\\]\n\n**Krok 2 - Wyznacz współczynnik \\(a\\)**\n\nPodstawiamy jeden z punktów z wykresu: z rysunku widać, że dla \\(x = 0\\) zachodzi \\(f(0) = 3\\):\n\\[f(0) = a \\cdot (0 + 1)(0 - 5) = a \\cdot 1 \\cdot (-5) = -5a = 3\\]\n\\[a = -\\frac{3}{5}\\]\n\nZatem:\n\\[f(x) = -\\frac{3}{5}(x + 1)(x - 5)\\]\n\n**Krok 3 - Sprawdź miejsca zerowe**\n\n\\(f(x) = 0 \\iff (x+1)(x-5) = 0 \\iff x = -1\\) lub \\(x = 5\\) ✓\n\n**Krok 4 - Rozwiąż \\(f(x) \\leq 0\\) algebraicznie**\n\n\\[-\\frac{3}{5}(x+1)(x-5) \\leq 0\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(-\\frac{5}{3}\\) (ujemna liczba - zmieniamy znak nierówności):\n\\[(x+1)(x-5) \\geq 0\\]\n\nIloczyn nieujemny, gdy oba czynniki mają ten sam znak:\n- \\(x + 1 \\geq 0\\) i \\(x - 5 \\geq 0\\) → \\(x \\geq 5\\)\n- \\(x + 1 \\leq 0\\) i \\(x - 5 \\leq 0\\) → \\(x \\leq -1\\)\n\nWynik: \\(x \\in (-\\infty, -1\\rangle \\cup \\langle 5, +\\infty)\\) ✓\n\n**Krok 5 - Rozwiąż \\(f(x) = 3\\) algebraicznie**\n\n\\[-\\frac{3}{5}(x+1)(x-5) = 3\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(-\\frac{5}{3}\\):\n\\[(x+1)(x-5) = -5\\]\n\\[x^2 - 4x - 5 = -5\\]\n\\[x^2 - 4x = 0\\]\n\\[x(x - 4) = 0\\]\n\\[x = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x = 4\\] ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać iloczynowa trójmianu:\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do zapisu funkcji na podstawie miejsc zerowych.\n\n**Dział 7 (s. 7-9)** - wzory Viète'a:\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}\\]\nUżyliśmy pośrednio do wyznaczenia osi symetrii \\(p = \\frac{x_1 + x_2}{2}\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kierunek ramion paraboli decyduje o znaku nierówności! Dla paraboli skierowanej **w dół** funkcja jest ujemna **na zewnątrz** miejsc zerowych - odwrotnie niż dla paraboli skierowanej w górę. Łatwo tu się pomylić.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W punkcie b) nierówność jest **nieostra** (\\(\\leq\\)), więc miejsca zerowe \\(x = -1\\) i \\(x = 5\\) należą do rozwiązania - przedziały domknięte \\(\\langle\\rangle\\), nie otwarte \\(()\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy szukaniu punktów \\(f(x) = 3\\) nie wystarczy odczytać jeden punkt z wykresu - zawsze są **dwa** punkty symetryczne względem osi symetrii. Sprawdź, czy obie wartości są symetryczne względem \\(x = 2\\): \\(\\frac{0+4}{2} = 2\\) ✓\n\n**Poprawna odpowiedź:**\n- **a)** \\(x = -1\\), \\(x = 5\\)\n- **b)** \\(x \\in (-\\infty, -1\\rangle \\cup \\langle 5, +\\infty)\\)\n- **c)** \\(x = 0\\) lub \\(x = 4\\)\n\n### Sposób 1 - Odczyt z wykresu\nZ rysunku widać, że parabola otwiera się **w dół** (\\(a < 0\\)) i przecina oś \\(OX\\) w punktach \\(x = -1\\) oraz \\(x = 5\\). Wierzchołek leży w punkcie o odciętej \\(x_{w} = \\dfrac{-1+5}{2} = 2\\).\n\n**a) Miejsca zerowe:** to właśnie \\(x = -1\\) i \\(x = 5\\).\n\n**b) \\(f(x) \\le 0\\):** ponieważ parabola otwiera się w dół, \\(f(x) \\le 0\\) **poza** przedziałem miejsc zerowych:\n\\[x \\in (-\\infty, -1\\rangle \\cup \\langle 5, +\\infty).\\]\n\n**c) \\(f(x) = 3\\):** z wykresu odczytujemy punkty przecięcia paraboli z prostą \\(y = 3\\). Są to \\(x = 0\\) i \\(x = 4\\).\n\n### Sposób 2 - Wyznaczenie wzoru funkcji\nZ miejsc zerowych \\(x = -1, x = 5\\): \\(f(x) = a(x+1)(x-5)\\). Wierzchołek ma odciętą \\(x_{w} = 2\\), a z wykresu wartość \\(y_{w} = 4\\) (punkt wierzchołka nad osią \\(OX\\)):\n\\[f(2) = a(3)(-3) = -9a = 4 \\Rightarrow a = -\\tfrac{4}{9}.\\]\nZatem \\(f(x) = -\\tfrac{4}{9}(x+1)(x-5)\\).\n\nDla \\(f(x) = 3\\):\n\\[-\\tfrac{4}{9}(x+1)(x-5) = 3 \\iff (x+1)(x-5) = -\\tfrac{27}{4}.\\]\n(Jednak prostsze jest bezpośrednio odczytać \\(x = 0, x = 4\\) z wykresu.)\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1 pkt za **a)** (oba miejsca zerowe);\n- 1 pkt za **b)** (poprawny przedział);\n- 2 pkt za **c)** (po 1 pkt za każde rozwiązanie).\n\n**Trik:** gdy mamy wykres funkcji kwadratowej z widocznymi miejscami zerowymi, rozwiązania nierówności i równań odczytujemy bezpośrednio z rysunku - nie trzeba wyznaczać wzoru.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2002 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"maturazai-matematyka-mma-p1g1p-021/zad/3","paper_id":"maturazai-matematyka-mma-p1g1p-021","number":"3","points":1,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2002,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Dane dotyczące wzrostu chłopców z klasy II B przedstawione są na diagramie. a) Oblicz średni wzrost chłopców z klasy II B (podaj wynik dokładny). b) Ilu chłopców z klasy II B ma wzrost wyższy od średniego?","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\na) Średni wzrost chłopców z klasy II B wynosi **167,4 cm**\n\nb) **7 chłopców** ma wzrost wyższy od średniego\n\n## Sposób 1 - Średnia ważona (bezpośrednie obliczenie)\n\n**Odczytujemy dane z diagramu** (zestawiamy w tabeli):\n\n| Wzrost \\(x_i\\) (cm) | Liczba chłopców \\(n_i\\) | \\(x_i \\cdot n_i\\) |\n| 160 | 2 | 320 |\n| 164 | 1 | 164 |\n| 168 | 3 | 504 |\n| 170 | 2 | 340 |\n| 172 | 1 | 172 |\n| 174 | 1 | 174 |\n| **Razem** | **10** | **1674** |\n\n**Obliczamy sumę wzrostów:**\n\\[160 \\cdot 2 + 164 \\cdot 1 + 168 \\cdot 3 + 170 \\cdot 2 + 172 \\cdot 1 + 174 \\cdot 1 = 1674\\]\n\n**Obliczamy średnią arytmetyczną** (całkowita liczba chłopców \\(n = 10\\)):\n\\[\\bar{x} = \\frac{\\sum x_i \\cdot n_i}{n} = \\frac{1674}{10} = \\mathbf{167{,}4 \\text{ cm}}\\]\n\n**Odpowiedź na część b):**\n\nSzukamy chłopców o wzroście **ściśle większym** niż \\(167{,}4\\) cm:\n- wzrost 168 cm → 3 chłopców\n- wzrost 170 cm → 2 chłopców\n- wzrost 172 cm → 1 chłopiec\n- wzrost 174 cm → 1 chłopiec\n\n\\[3 + 2 + 1 + 1 = \\mathbf{7 \\text{ chłopców}}\\]\n\n## Sposób 2 - Metoda odchyleń od wartości bazowej\n\nZamiast liczyć dużą sumę, wybieramy **wartość bazową** \\(b = 170\\) cm (wygodna środkowa wartość) i obliczamy odchylenia każdego wzrostu od niej.\n\n| Wzrost \\(x_i\\) | \\(d_i = x_i - 170\\) | \\(n_i\\) | \\(d_i \\cdot n_i\\) |\n| 160 | \\(-10\\) | 2 | \\(-20\\) |\n| 164 | \\(-6\\) | 1 | \\(-6\\) |\n| 168 | \\(-2\\) | 3 | \\(-6\\) |\n| 170 | \\(0\\) | 2 | \\(0\\) |\n| 172 | \\(+2\\) | 1 | \\(+2\\) |\n| 174 | \\(+4\\) | 1 | \\(+4\\) |\n| **Razem** | | **10** | **\\(-26\\)** |\n\nŚrednie odchylenie od wartości bazowej:\n\\[\\bar{d} = \\frac{-26}{10} = -2{,}6\\]\n\nŚredni wzrost:\n\\[\\bar{x} = b + \\bar{d} = 170 + (-2{,}6) = \\mathbf{167{,}4 \\text{ cm}} \\checkmark\\]\n\nMetoda ta jest szybsza, gdy wartości wzrostu są duże - operujemy na małych odchyleniach zamiast na liczbach ~170.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)** - wzór na średnią arytmetyczną:\n\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\]\nW wersji ważonej (gdy wartości się powtarzają):\n\\[\\bar{x} = \\frac{x_1 n_1 + x_2 n_2 + \\ldots + x_k n_k}{n_1 + n_2 + \\ldots + n_k}\\]\nUżywamy tego wzoru w Sposobie 1 - każdy wzrost mnoży się przez liczbę chłopców o tym wzroście.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że pytanie b) pyta o wzrost **wyższy od średniego** (czyli ściśle \\(> 167{,}4\\)), nie wyższy lub równy. Wzrostu dokładnie równego \\(167{,}4\\) cm żaden chłopiec nie ma (i nie może mieć, bo wzrost to liczba całkowita), ale w innych zadaniach granica może trafić dokładnie na jedną z wartości - wtedy nie wliczaj jej do „wyższy od średniego\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Częsty błąd to policzenie liczby **różnych** wartości wzrostu powyżej średniej (tu: 4 wartości - 168, 170, 172, 174) zamiast **liczby chłopców** o tych wzrostach. Zawsze wróć do diagramu i zsumuj częstości!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy odczytywaniu diagramu słupkowego sprawdź dokładnie skalę osi - jeden „kwadracik\" może oznaczać 1, 2 lub 5 uczniów. Błędne odczytanie częstości zaburza całe obliczenie.\n\n**Poprawna odpowiedź:**\n- **a)** Średni wzrost: \\(167{,}4\\) cm\n- **b)** 7 chłopców\n\n### Sposób 1 - Obliczenie średniej ważonej\nZ diagramu odczytujemy liczby chłopców o danym wzroście:\n| Wzrost [cm] | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 | 171 | 172 |\n| Liczba | 2 | 0 | 4 | 2 | 3 | 1 | 2 | 0 | 1 |\n\n**Łączna liczba chłopców:** \\(2+4+2+3+1+2+1 = 15\\).\n\n**Suma wszystkich wzrostów:**\n\\[2\\cdot 164 + 4\\cdot 166 + 2\\cdot 167 + 3\\cdot 168 + 169 + 2\\cdot 170 + 172\\]\n\\[= 328 + 664 + 334 + 504 + 169 + 340 + 172 = 2511.\\]\n\n**Średnia:**\n\\[\\bar{x} = \\dfrac{2511}{15} = 167{,}4 \\text{ cm}.\\]\n\n**b)** Chłopcy o wzroście wyższym od \\(167{,}4\\) cm to ci o wzroście \\(168, 169, 170, 172\\) cm:\n\\[3 + 1 + 2 + 1 = 7 \\text{ chłopców}.\\]\n\n### Sposób 2 - Krok po kroku z diagramu\nNajpierw zliczamy łącznie \\(N = 15\\) chłopców. Potem sumujemy iloczyny wzrost × liczba i dzielimy przez \\(15\\). Wynik \\(167{,}4\\) cm.\n\nDla części b) porównujemy każdą wartość wzrostu z \\(167{,}4\\) - wyższe są: \\(168, 169, 170, 172\\). Zliczamy: \\(3+1+2+1 = 7\\).\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1 pkt za wyznaczenie \\(N = 15\\);\n- 1 pkt za poprawne odczytanie danych z diagramu;\n- 1 pkt za obliczenie średniej \\(167{,}4\\) cm;\n- 1 pkt za liczbę chłopców wyższych od średniej.\n\n**Trik:** średnia ważona to \\(\\bar{x} = \\dfrac{\\sum n_{i} x_{i}}{\\sum n_{i}}\\). Pamiętaj, że dzielimy przez **łączną liczbę obserwacji**, nie liczbę różnych wartości.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2002 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"maturazai-matematyka-mma-p1g1p-021/zad/4","paper_id":"maturazai-matematyka-mma-p1g1p-021","number":"4","points":1,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2002,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Liczby \\(102, 105, 108, 111, \\ldots\\) są kolejnymi, początkowymi wyrazami pewnego ciągu arytmetycznego \\((a_{n})\\). Zapisz wzór ogólny na \\(n\\)-ty wyraz tego ciągu. Oblicz wyraz \\(a_{81}\\).","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(a_n = 3n + 99\\), \\(a_{81} = 342\\)\n\n## Sposób 1 - odczytanie parametrów i podstawienie do wzoru\n\n**Krok 1: Odczytaj pierwszy wyraz i różnicę ciągu.**\n\nZ treści mamy kolejne wyrazy: \\(102, 105, 108, 111, \\ldots\\)\n\n- Pierwszy wyraz: \\(a_1 = 102\\)\n- Różnica: \\(r = 105 - 102 = 3\\)\n\nSprawdzamy: \\(108 - 105 = 3\\) ✓, \\(111 - 108 = 3\\) ✓ - to faktycznie ciąg arytmetyczny.\n\n**Krok 2: Podstaw do wzoru ogólnego.**\n\n\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r\\]\n\n\\[a_n = 102 + (n-1) \\cdot 3\\]\n\n\\[a_n = 102 + 3n - 3\\]\n\n\\[\\boxed{a_n = 3n + 99}\\]\n\n**Krok 3: Oblicz \\(a_{81}\\).**\n\n\\[a_{81} = 3 \\cdot 81 + 99 = 243 + 99 = \\boxed{342}\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez własność ciągu arytmetycznego\n\nWiemy, że w ciągu arytmetycznym każdy wyraz to poprzedni plus \\(r\\). Możemy myśleć o tym inaczej: **\\(a_n\\) to \\(a_1\\) powiększone o \\((n-1)\\) kroków po \\(3\\).**\n\nDla \\(a_{81}\\) robimy \\(80\\) kroków od \\(a_1 = 102\\):\n\n\\[a_{81} = 102 + 80 \\cdot 3 = 102 + 240 = \\boxed{342}\\]\n\nWeryfikacja wzoru ogólnego - sprawdźmy kilka wyrazów:\n- \\(a_1 = 3 \\cdot 1 + 99 = 102\\) ✓\n- \\(a_2 = 3 \\cdot 2 + 99 = 105\\) ✓\n- \\(a_3 = 3 \\cdot 3 + 99 = 108\\) ✓\n\nWzór działa.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór ogólny ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 jako punkt wyjścia. To jedyna potrzebna tu formuła z karty.\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to pomylenie \\((n-1) \\cdot r\\) z \\(n \\cdot r\\). Wtedy wychodzi \\(a_n = 3n + 102\\) zamiast \\(3n + 99\\), co daje \\(a_1 = 105\\) - o jeden za dużo!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(a_{81}\\) łatwo wstawić \\(80\\) zamiast \\(81\\) (lub odwrotnie). Pamiętaj: do wzoru ogólnego wstawiasz \\(n = 81\\) bez żadnych korekt.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Upraszczaj \\(a_n = 102 + 3(n-1)\\) do postaci \\(3n + 99\\) - nauczyciele często wymagają wzoru w postaci \\(a_n = \\ldots\\) (z \\(n\\), bez nawiasów). Zostaw wynik w uproszczonej formie.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(a_{n} = 3n + 99\\), \\(a_{81} = 342\\)\n\n### Sposób 1 - Wzór na ciąg arytmetyczny\nZ ciągu odczytujemy:\n- pierwszy wyraz: \\(a_{1} = 102\\);\n- różnica: \\(r = 105 - 102 = 3\\).\n\nWzór ogólny ciągu arytmetycznego: \\(a_{n} = a_{1} + (n-1)r\\).\n\\[a_{n} = 102 + (n-1)\\cdot 3 = 102 + 3n - 3 = 3n + 99.\\]\n\n**Wyraz \\(a_{81}\\):**\n\\[a_{81} = 3\\cdot 81 + 99 = 243 + 99 = 342.\\]\n\n### Sposób 2 - Obliczenie \\(a_{81}\\) bezpośrednio ze wzoru\n\\[a_{81} = a_{1} + 80r = 102 + 80\\cdot 3 = 102 + 240 = 342.\\]\n\n### Uwagi o punktacji\n- 2 pkt za zapisanie wzoru ogólnego \\(a_{n} = 3n + 99\\) (1 pkt za podanie \\(a_{1}\\) i \\(r\\));\n- 1 pkt za obliczenie \\(a_{81} = 342\\).\n\n**Trik:** różnicę ciągu arytmetycznego liczymy jako \\(r = a_{2} - a_{1}\\). Wzór \\(a_{n} = a_{1} + (n-1)r\\) można zawsze rozwinąć do postaci \\(a_{n} = An + B\\) - wtedy \\(A = r\\), \\(B = a_{1} - r\\).","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2002 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"maturazai-matematyka-mma-p1g1p-021/zad/5","paper_id":"maturazai-matematyka-mma-p1g1p-021","number":"5","points":1,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2002,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Przed wejściem do przychodni lekarskiej znajdują się schody mające \\(8\\) stopni po \\(15\\text{ cm}\\) wysokości każdy. Postanowiono zbudować podjazd dla niepełnosprawnych o nachyleniu \\(7^{\\circ}\\). Oblicz długość podjazdu. Wynik podaj w zaokrągleniu do \\(10\\text{ cm}\\).","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: ok. 980 cm\n\n## Sposób 1 - Trygonometria (sinus nachylenia)\n\n**Wyznaczamy całkowitą wysokość schodów.**\n\nSchody mają 8 stopni, każdy po 15 cm wysokości:\n\\[h = 8 \\cdot 15 = 120 \\text{ cm}\\]\n\n**Rozumienie geometrii podjazdu.**\n\nPodjazd tworzy trójkąt prostokątny:\n- przyprostokątna pionowa = całkowita wysokość = \\(h = 120\\) cm\n- kąt nachylenia podjazdu do podłoża = \\(7°\\)\n- szukamy **długości podjazdu** = przeciwprostokątna (boku ukośnego)\n\nRelacja trygonometryczna:\n\\[\\sin 7° = \\frac{\\text{wysokość}}{\\text{długość podjazdu}} = \\frac{h}{d}\\]\n\nStąd:\n\\[d = \\frac{h}{\\sin 7°} = \\frac{120}{\\sin 7°}\\]\n\nZ tablicy (karta CKE, s. 34) lub kalkulatora: \\(\\sin 7° \\approx 0{,}1219\\)\n\n\\[d = \\frac{120}{0{,}1219} \\approx 984{,}4 \\text{ cm}\\]\n\nZaokrąglamy do 10 cm:\n\n**\\[d \\approx 980 \\text{ cm}\\]**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez tangensa\n\nZamiast sinusa możemy podejść przez tangens i sprawdzić wynik.\n\n\\[\\operatorname{tg} 7° = \\frac{\\text{wysokość}}{\\text{rzut poziomy}} = \\frac{h}{x}\\]\n\nRzut poziomy (podstawa trójkąta):\n\\[x = \\frac{h}{\\operatorname{tg} 7°} = \\frac{120}{0{,}1228} \\approx 977{,}0 \\text{ cm}\\]\n\nTeraz z twierdzenia Pitagorasa liczymy długość podjazdu (przeciwprostokątną):\n\\[d = \\sqrt{h^2 + x^2} = \\sqrt{120^2 + 977^2} = \\sqrt{14400 + 954529} = \\sqrt{968929} \\approx 984{,}3 \\text{ cm}\\]\n\nPo zaokrągleniu do 10 cm: **\\(d \\approx 980\\) cm** ✓\n\nWynik zgodny z Metodą 1.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - definicja sinusa w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przeciwprostokątna}}{\\text{przyprostokątna}} \\quad \\Rightarrow \\quad \\sin\\alpha = \\frac{a}{c}\\]\n\nW naszym zadaniu: kąt \\(\\alpha = 7°\\), przyprostokątna pionowa \\(a = 120\\) cm, szukamy \\(c\\) (długości podjazdu).\n\n**Dział 17 (Tablica wartości funkcji trygonometrycznych, s. 34)** - wartość \\(\\sin 7° \\approx 0{,}1219\\) odczytana z tablicy na ostatniej stronie karty.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl wysokości **jednego stopnia** z **całkowitą wysokością**. Całkowita wysokość to \\(8 \\times 15 = 120\\) cm - tu uczniowie często piszą samo 15 cm i liczą dalej!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Długość podjazdu to **przeciwprostokątna**, nie podstawa trójkąta (rzut poziomy). Schemat: nachylenie 7° jest między poziomem a podjazdem, więc sinus łączy wysokość z długością ukośną - NIE z rzutem poziomym.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zaokrąglenie \"do 10 cm\" oznacza, że wynik \\(984{,}4\\) cm zaokrąglamy do **980 cm** (cyfra jedności i dziesiątek → 0). Zaokrąglanie do 10 cm = patrzymy na cyfrę jedności: \\(4 < 5\\), więc w dół.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(\\approx 980\\) cm\n\n### Sposób 1 - Trygonometria w trójkącie prostokątnym\n**Krok 1 - wysokość schodów:**\n\\[BC = 8 \\cdot 15 = 120 \\text{ cm}.\\]\n\n**Krok 2 - rysunek:** podjazd to przeciwprostokątna \\(AC\\) trójkąta prostokątnego o przyprostokątnej \\(BC = 120\\) cm i kącie \\(\\angle CAB = 7^{\\circ}\\).\n\n**Krok 3 - sinus kąta ostrego:**\n\\[\\sin\\angle CAB = \\dfrac{BC}{AC} \\Rightarrow AC = \\dfrac{BC}{\\sin 7^{\\circ}}.\\]\n\n**Krok 4 - podstawienie (z tablic \\(\\sin 7^{\\circ} \\approx 0{,}1219\\)):**\n\\[AC = \\dfrac{120}{0{,}1219} \\approx 984{,}4 \\text{ cm}.\\]\n\n**Krok 5 - zaokrąglenie do \\(10\\) cm:**\n\\[AC \\approx 980 \\text{ cm}.\\]\n\n### Sposób 2 - Użycie tangensa i twierdzenia Pitagorasa\n\\(\\tan 7^{\\circ} = \\dfrac{BC}{AB} \\Rightarrow AB = \\dfrac{120}{\\tan 7^{\\circ}} = \\dfrac{120}{0{,}1228} \\approx 977{,}2\\) cm.\nZ twierdzenia Pitagorasa: \\(AC = \\sqrt{AB^{2} + BC^{2}} = \\sqrt{977{,}2^{2} + 120^{2}} \\approx 984{,}5\\) cm \\(\\approx 980\\) cm.\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1 pkt za rysunek lub oznaczenia;\n- 1 pkt za obliczenie wysokości \\(BC = 120\\) cm;\n- 1 pkt za odczyt \\(\\sin 7^{\\circ} = 0{,}1219\\) (lub innego poprawnego przybliżenia);\n- 2 pkt za obliczenie długości podjazdu i podanie wyniku z zaokrągleniem (\\(980\\) cm).\n\n**Trik:** przy małych kątach \\(\\sin \\alpha \\approx \\alpha\\) w radianach - ale w zadaniu maturalnym zawsze używamy tablic!","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2002 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"maturazai-matematyka-mma-p1g1p-021/zad/6","paper_id":"maturazai-matematyka-mma-p1g1p-021","number":"6","points":1,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2002,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Ciąg \\((a_{n})\\) określony jest wzorem \\(\\begin{cases} a_{1}=1 \\\\ a_{2}=2 \\\\ a_{n+2}=2^{n-1}+a_{n}+a_{n+1} \\end{cases}\\) dla \\(n \\in N \\setminus \\{0\\}\\). Wyznacz czwarty wyraz tego ciągu.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(a_4 = 8\\)\n\n## Sposób 1 - iteracyjne wyznaczanie kolejnych wyrazów\n\nMamy dane:\n\\[a_1 = 1, \\quad a_2 = 2\\]\noraz regułę rekurencyjną:\n\\[a_{n+2} = 2^{n-1} + a_n + a_{n+1} \\quad \\text{dla } n \\in \\mathbb{N} \\setminus \\{0\\}\\]\n\n**Wyznaczamy \\(a_3\\)** - podstawiamy \\(n = 1\\):\n\\[a_3 = a_{1+2} = 2^{1-1} + a_1 + a_2 = 2^0 + 1 + 2 = 1 + 1 + 2 = 4\\]\n\n**Wyznaczamy \\(a_4\\)** - podstawiamy \\(n = 2\\):\n\\[a_4 = a_{2+2} = 2^{2-1} + a_2 + a_3 = 2^1 + 2 + 4 = 2 + 2 + 4 = \\mathbf{8}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(a_4 = 8\\)**\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez wypisanie ciągu\n\nWypisujemy kolejne wyrazy, żeby upewnić się, że nie pomyliliśmy indeksów:\n\n| \\(n\\) | \\(a_n\\) | Skąd? |\n| 1 | \\(1\\) | dane |\n| 2 | \\(2\\) | dane |\n| 3 | \\(2^{1-1} + a_1 + a_2 = 1 + 1 + 2 = 4\\) | \\(n=1\\) w regule |\n| 4 | \\(2^{2-1} + a_2 + a_3 = 2 + 2 + 4 = 8\\) | \\(n=2\\) w regule |\n\nKluczowe: reguła mówi \\(a_{n+2} = \\ldots\\), więc aby dostać wyraz o indeksie \\(k\\), podstawiamy \\(n = k - 2\\). Dla \\(a_4\\) mamy \\(n = 2\\), więc potęga to \\(2^{n-1} = 2^1 = 2\\).\n\n**Potwierdzamy: \\(a_4 = 8\\)** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy uważne podstawienie do wzoru rekurencyjnego zgodnie z podaną definicją ciągu.\n\nWarto jednak pamiętać, że ciągi są omówione w **Dziale 8 (Ciągi, s. 9-10)** - tam znajdziesz wzory na ciągi arytmetyczne i geometryczne, ale ten ciąg jest rekurencyjny i nie należy do żadnego z tych typów.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Indeks w potędze to \\(2^{n-1}\\), a **nie** \\(2^{n}\\) ani \\(2^{n+1}\\). Przy obliczaniu \\(a_3\\) podstawiamy \\(n=1\\), więc potęga wynosi \\(2^0 = 1\\), a nie \\(2\\). To najczęstszy błąd!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Reguła \\(a_{n+2} = \\ldots\\) wiąże trzy wyrazy: \\(a_{n+2}\\), \\(a_{n+1}\\) i \\(a_n\\). Nie myl indeksów - do obliczenia \\(a_4\\) potrzebujesz \\(a_3\\) i \\(a_2\\), a nie \\(a_4\\) i \\(a_3\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Definicja działa dla \\(n \\in \\mathbb{N} \\setminus \\{0\\}\\), czyli \\(n \\geq 1\\). Nie możemy podstawić \\(n = 0\\) - wtedy \\(a_2\\) byłoby wyznaczone z reguły zamiast być daną, co dałoby sprzeczność.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(a_{4} = 8\\)\n\n### Sposób 1 - Iteracyjne obliczanie wyrazów\nZ rekurencji \\(a_{n+2} = 2^{n-1} + a_{n} + a_{n+1}\\) podstawiamy kolejno \\(n = 1, 2\\).\n\n**Dla \\(n = 1\\):** \\(a_{3} = 2^{0} + a_{1} + a_{2} = 1 + 1 + 2 = 4\\).\n\n**Dla \\(n = 2\\):** \\(a_{4} = 2^{1} + a_{2} + a_{3} = 2 + 2 + 4 = 8\\).\n\nZatem \\(a_{4} = 8\\).\n\n### Sposób 2 - Tabelka\n| \\(n\\) | \\(a_{n}\\) | Obliczenie |\n| 1 | 1 | dane |\n| 2 | 2 | dane |\n| 3 | 4 | \\(2^{0} + 1 + 2 = 4\\) |\n| 4 | 8 | \\(2^{1} + 2 + 4 = 8\\) |\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1 pkt za zapisanie zależności \\(a_{3} = 2^{0} + a_{1} + a_{2}\\);\n- 1 pkt za obliczenie \\(a_{3} = 4\\);\n- 1 pkt za obliczenie \\(a_{4} = 8\\).\n\n**Trik:** ciągi rekurencyjne zawsze oblicza się **po kolei** - nie ma tu wzoru jawnego, trzeba krok po kroku wyznaczyć \\(a_{3}\\), a dopiero potem \\(a_{4}\\). Uważaj na indeksy wykładnika: \\(2^{n-1}\\) dla \\(n=1\\) daje \\(2^{0}=1\\).","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2002 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"maturazai-matematyka-mma-p1g1p-021/zad/7","paper_id":"maturazai-matematyka-mma-p1g1p-021","number":"7","points":1,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2002,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Rysunek przedstawia fragment wykresu funkcji liniowej \\(f\\). Wykres funkcji \\(g\\) jest obrazem wykresu funkcji \\(f\\) otrzymanym za pomocą przesunięcia o wektor \\(\\vec{u} = [2, 1]\\). Wyznacz miejsca zerowe funkcji \\(g\\).\n\n/matma-quiz/images/cke/MMA-P1G1P-021/z7.png","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x = -2{,}5\\)\n\n## Sposób 1 - odczyt z wykresu + wzór funkcji g\n\n**Krok 1: Odczytaj wzór funkcji f z wykresu.**\n\nZ wykresu odczytujemy, że prosta przechodzi przez punkty \\((-4,\\ 0)\\) i \\((0,\\ 8)\\).\n\nWspółczynnik kierunkowy:\n\\[a = \\frac{8 - 0}{0 - (-4)} = \\frac{8}{4} = 2\\]\n\nWyraz wolny \\(b = 8\\) (punkt przecięcia z osią OY), więc:\n\\[f(x) = 2x + 8\\]\n\n**Krok 2: Wyznacz wzór funkcji g.**\n\nPrzesunięcie wykresu o wektor \\(\\vec{u} = [2,\\ 1]\\) oznacza:\n- każdy punkt \\((x,\\ y)\\) na wykresie f przesuwa się do punktu \\((x+2,\\ y+1)\\) na wykresie g\n\nDlatego wzór funkcji g po przesunięciu to:\n\\[g(x) = f(x - 2) + 1\\]\n\nPodstawiamy wzór f:\n\\[g(x) = 2(x-2) + 8 + 1 = 2x - 4 + 9 = 2x + 5\\]\n\n**Krok 3: Wyznacz miejsce zerowe funkcji g.**\n\nSzukamy \\(x\\), dla którego \\(g(x) = 0\\):\n\\[2x + 5 = 0\\]\n\\[2x = -5\\]\n\\[\\boxed{x = -\\frac{5}{2} = -2{,}5}\\]\n\n## Sposób 2 - geometryczny (śledzenie punktu na f)\n\n**Kluczowe spostrzeżenie:** Miejsce zerowe g to punkt, w którym wykres g przecina oś OX - czyli punkt postaci \\((x_g,\\ 0)\\). Skoro jest on obrazem pewnego punktu \\((x_f,\\ y_f)\\) z wykresu f przesuniętego o \\([2, 1]\\), to:\n\\[(x_f + 2,\\ y_f + 1) = (x_g,\\ 0)\\]\n\nStąd \\(y_f + 1 = 0\\), czyli \\(y_f = -1\\).\n\n**Krok 1:** Znajdź punkt na wykresie f, gdzie \\(f(x) = -1\\):\n\\[2x + 8 = -1\\]\n\\[2x = -9\\]\n\\[x_f = -\\frac{9}{2} = -4{,}5\\]\n\nPunkt \\((-4{,}5;\\ -1)\\) leży na wykresie f.\n\n**Krok 2:** Przesuń ten punkt o wektor \\([2,\\ 1]\\):\n\\[(-4{,}5 + 2;\\ -1 + 1) = (-2{,}5;\\ 0)\\]\n\nPunkt \\((-2{,}5;\\ 0)\\) leży na osi OX i na wykresie g - to właśnie **miejsce zerowe funkcji g**.\n\\[\\boxed{x = -2{,}5}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie kierunkowe prostej:\n\\[y = ax + b, \\quad \\text{gdzie } a = \\operatorname{tg}\\alpha\\]\n\nUżyliśmy tego do wyznaczenia wzoru \\(f(x) = 2x + 8\\) na podstawie dwóch punktów odczytanych z wykresu.\n\n> Właściwość przesunięcia o wektor \\([p,\\ q]\\): wzór funkcji zmienia się zgodnie z \\(g(x) = f(x - p) + q\\). To wynika z geometrii przekształceń - nie ma osobnego wzoru na karcie, ale warto zapamiętać regułę: **przesunięcie w prawo o p → odejmujemy p od argumentu**.\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przesunięcie o \\(\\vec{u} = [2,\\ 1]\\) to NIE jest \\(g(x) = f(x+2) + 1\\)! W argumencie pojawia się \\(x - 2\\) (odjęcie), bo punkt \\((x,y)\\) przechodzi do \\((x+2, y+1)\\), więc odwracamy - żeby \"wrócić\" do f, wstawiamy \\(x-2\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Miejsce zerowe funkcji f (tutaj \\(x = -4\\)) to nie to samo co miejsce zerowe g. Nie wystarczy do zera f dodać 2 - trzeba uwzględnić oba składowe wektora.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy odczycie z wykresu - sprawdź dwa punkty, żeby upewnić się co do wartości współczynnika kierunkowego. Pomyłka w nachyleniu pociągnie błąd we wzorze g i złą odpowiedź.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(x = -2{,}5\\)\n\n### Sposób 1 - Przesunięcie punktów i wyznaczenie wzoru \\(g\\)\nZ wykresu odczytujemy punkty należące do prostej \\(f\\): np. \\((-2, 0)\\) (miejsce zerowe) i \\((3, 2)\\).\n\n**Przesunięcie o \\(\\vec{u} = [2, 1]\\):**\n- \\((-2, 0) \\to (0, 1)\\)\n- \\((3, 2) \\to (5, 3)\\)\n\n**Wyznaczenie wzoru funkcji \\(g\\) z punktów \\((0, 1)\\) i \\((5, 3)\\):**\n\\[a = \\dfrac{3-1}{5-0} = \\dfrac{2}{5}, \\quad b = 1.\\]\n\\[g(x) = \\tfrac{2}{5}x + 1.\\]\n\n**Miejsce zerowe:**\n\\[\\tfrac{2}{5}x + 1 = 0 \\Rightarrow x = -\\tfrac{5}{2} = -2{,}5.\\]\n\n### Sposób 2 - Przesunięcie miejsca zerowego wzdłuż wektora\nMiejsce zerowe funkcji liniowej \\(f\\) to \\(x_{0} = -2\\) (punkt \\((-2, 0)\\) z wykresu). Po przesunięciu o \\(\\vec{u} = [2, 1]\\) punkt \\((-2, 0)\\) przechodzi na \\((0, 1)\\) - to **nie** jest miejsce zerowe \\(g\\), bo \\(y \\ne 0\\).\n\nWyznaczamy wzór \\(f\\) z wykresu: \\(f(x) = \\tfrac{2}{5}x + \\tfrac{4}{5}\\) (nachylenie \\(\\tfrac{2}{5}\\), miejsce zerowe \\(-2\\)).\n\nPrzesunięcie wykresu o wektor \\([2,1]\\) odpowiada zamianie \\(x \\to x-2, y \\to y-1\\):\n\\[y - 1 = f(x-2) = \\tfrac{2}{5}(x-2) + \\tfrac{4}{5}\\]\n\\[y = \\tfrac{2}{5}x - \\tfrac{4}{5} + \\tfrac{4}{5} + 1 = \\tfrac{2}{5}x + 1.\\]\nZatem \\(g(x) = \\tfrac{2}{5}x + 1\\), a miejsce zerowe: \\(x = -\\tfrac{5}{2} = -2{,}5\\).\n\n### Uwagi o punktacji\n- 2 pkt za wyznaczenie wzoru \\(f\\) lub za wyznaczenie obrazów dwóch punktów (po 1 pkt za każdy obraz);\n- 2 pkt za wyznaczenie wzoru \\(g(x) = \\tfrac{2}{5}x + 1\\) (1 pkt za zapis układu \\(x = x'-2, y = y'-1\\));\n- 1 pkt za miejsce zerowe \\(x = -2{,}5\\).\n\n**Trik:** przesunięcie wykresu \\(y = f(x)\\) o wektor \\([p, q]\\) daje wykres \\(y = f(x-p) + q\\). Miejsce zerowe przesuwa się wzdłuż osi \\(OX\\) o tyle, ile wynosi **całkowite** przesunięcie - nie tylko składowa wektora!","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2002 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"maturazai-matematyka-mma-p1g1p-021/zad/8","paper_id":"maturazai-matematyka-mma-p1g1p-021","number":"8","points":1,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2002,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Składka na ubezpieczenie zdrowotne jest równa \\(7{,}5\\%\\) podstawy wymiaru składek na ubezpieczenie społeczne. Podstawa wymiaru składek na ubezpieczenie społeczne jest równa \\(60\\%\\) przeciętnego wynagrodzenia. Oblicz wysokość składki na ubezpieczenie zdrowotne przyjmując, że przeciętne wynagrodzenie jest równe \\(1869{,}76\\) zł. Wynik podaj w zaokrągleniu do \\(1\\) grosza.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: 84 zł 14 gr\n\n## Sposób 1 - Krok po kroku, od dołu do góry\n\n**Krok 1: Podstawa wymiaru składek na ubezpieczenie społeczne**\n\nPodstawa = \\(60\\%\\) przeciętnego wynagrodzenia:\n\n\\[P = 60\\% \\cdot 1869{,}76 = \\frac{60}{100} \\cdot 1869{,}76 = 0{,}6 \\cdot 1869{,}76\\]\n\n\\[P = 1121{,}856 \\text{ zł}\\]\n\n**Krok 2: Składka na ubezpieczenie zdrowotne**\n\nSkładka = \\(7{,}5\\%\\) podstawy:\n\n\\[S = 7{,}5\\% \\cdot 1121{,}856 = \\frac{7{,}5}{100} \\cdot 1121{,}856 = 0{,}075 \\cdot 1121{,}856\\]\n\n\\[S = 84{,}1392 \\text{ zł}\\]\n\n**Krok 3: Zaokrąglenie do 1 grosza (2 miejsca po przecinku)**\n\n\\[S \\approx 84{,}14 \\text{ zł} = \\mathbf{84 \\text{ zł } 14 \\text{ gr}}\\]\n\n## Sposób 2 - Jedno działanie (łączone procenty)\n\nZamiast liczyć pośrednią podstawę, możemy od razu połączyć oba procenty w jeden mnożnik.\n\nSkładka to \\(7{,}5\\%\\) z \\((60\\%\\) z wynagrodzenia\\()\\), czyli:\n\n\\[S = 7{,}5\\% \\cdot 60\\% \\cdot 1869{,}76 = \\frac{7{,}5}{100} \\cdot \\frac{60}{100} \\cdot 1869{,}76\\]\n\n\\[S = \\frac{450}{10000} \\cdot 1869{,}76 = \\frac{4{,}5}{100} \\cdot 1869{,}76 = 0{,}045 \\cdot 1869{,}76\\]\n\n\\[S = 84{,}1392 \\text{ zł} \\approx \\mathbf{84{,}14 \\text{ zł}}\\]\n\nWynik identyczny - **84 zł 14 gr**. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą podstawowe działania procentowe: \\(p\\% \\cdot x = \\frac{p}{100} \\cdot x\\).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie liczymy \\(7{,}5\\%\\) bezpośrednio z wynagrodzenia \\(1869{,}76\\) zł! Składka zdrowotna to procent z procenta - trzeba najpierw wyznaczyć podstawę wymiaru (\\(60\\%\\) wynagrodzenia), a dopiero potem liczyć \\(7{,}5\\%\\) tej podstawy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zaokrąglenie do 1 grosza = 2 miejsca po przecinku. Wynik \\(84{,}1392\\) - trzecia cyfra po przecinku to \\(3 < 5\\), więc zaokrąglamy w dół: \\(84{,}13\\) Chwila - cyfra na **trzecim** miejscu to \\(9\\), na **czwartym** to \\(2\\). Zaokrąglamy **drugie** miejsce: patrzymy na trzecią cyfrę \\(= 9 \\geq 5\\), zatem \\(84{,}13 \\to 84{,}14\\). ✓\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy mnożeniu \\(0{,}075 \\times 1121{,}856\\) łatwo o błąd przecinka. Warto sprawdzić: \\(1\\% \\cdot 1121{,}856 = 11{,}21856\\), a \\(7\\% = 78{,}53\\), więc \\(7{,}5\\%\\) powinno być trochę więcej - \\(84{,}14\\) jest sensowne.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(84\\) zł \\(14\\) gr\n\n### Sposób 1 - Krok po kroku\n**Krok 1 - podstawa wymiaru składek \\(= 60\\%\\) przeciętnego wynagrodzenia:**\n\\[P = 60\\% \\cdot 1869{,}76 = 0{,}6 \\cdot 1869{,}76 = 1121{,}856 \\text{ zł}.\\]\n\n**Krok 2 - składka zdrowotna \\(= 7{,}5\\%\\) podstawy:**\n\\[S = 7{,}5\\% \\cdot 1121{,}856 = 0{,}075 \\cdot 1121{,}856 = 84{,}1392 \\text{ zł}.\\]\n\n**Krok 3 - zaokrąglenie do \\(1\\) grosza:**\n\\[S \\approx 84{,}14 \\text{ zł} = 84 \\text{ zł } 14 \\text{ gr}.\\]\n\n### Sposób 2 - Jednym mnożeniem\n\\[S = 7{,}5\\% \\cdot 60\\% \\cdot 1869{,}76 = 0{,}045 \\cdot 1869{,}76 = 84{,}1392 \\text{ zł} \\approx 84{,}14 \\text{ zł}.\\]\n\nBo \\(7{,}5\\% \\cdot 60\\% = 4{,}5\\%\\).\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1 pkt za obliczenie podstawy wymiaru składek \\(1121{,}856\\) zł (dopuszczalne \\(1121{,}86\\) zł);\n- 1 pkt za obliczenie składki zdrowotnej \\(84{,}1392\\) zł;\n- 1 pkt za podanie wyniku z poprawnym zaokrągleniem \\(84\\) zł \\(14\\) gr.\n\n**Trik:** procent procentu to iloczyn procentów. \\(7{,}5\\% \\cdot 60\\% = 4{,}5\\%\\) - przy rachunkach na kalkulatorze jednym krokiem otrzymujemy wynik. Pamiętaj o zaokrągleniu **w ostatnim kroku**, nie wcześniej!","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2002 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"maturazai-matematyka-mma-p1g1p-021/zad/9","paper_id":"maturazai-matematyka-mma-p1g1p-021","number":"9","points":1,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2002,"month":"maj","level":"podstawowa","text":")_ Oblicz pole działki rekreacyjnej, której plan przedstawiony jest\n\n/matma-quiz/images/cke/MMA-P1G1P-021/z9.png\n\n. Zakładamy, że kąty ABC i ECD są kątami prostymi. D 4 m E C 10 m 8 m A 16 m B Odp. Pole działki jest równe _Egzamin maturalny z matematyki Arkusz I _7","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(P = 124 \\text{ m}^2\\)\n\n## Sposob 1 - podzial figury na trapez i trojkat\n\n**Dane z rysunku:**\n- \\(AB = 16\\) m, \\(BC = 8\\) m - kat \\(ABC\\) jest prosty\n- \\(CE = 10\\) m, \\(CD = 4\\) m - kat \\(ECD\\) jest prosty\n- punkt \\(E\\) lezy na odcinku \\(AD\\)\n\n**Krok 1 - podziel dzialke na dwie znane figury.**\n\nFigura \\(ABCDE\\) rozpada sie na:\n- **trapez prostokatny \\(ABCE\\)** o podstawach \\(AB = 16\\) m i \\(CE = 10\\) m oraz wysokosci \\(BC = 8\\) m (kat prosty przy \\(B\\)),\n- **trojkat prostokatny \\(CDE\\)** o przyprostokatnych \\(CE = 10\\) m i \\(CD = 4\\) m (kat prosty przy \\(C\\)).\n\n**Krok 2 - pole trapezu \\(ABCE\\).**\n\\[P_{ABCE} = \\frac{(AB + CE) \\cdot BC}{2} = \\frac{(16 + 10) \\cdot 8}{2} = \\frac{26 \\cdot 8}{2} = \\frac{208}{2} = 104 \\text{ m}^2\\]\n\n**Krok 3 - pole trojkata prostokatnego \\(CDE\\).**\n\\[P_{CDE} = \\frac{1}{2} \\cdot CE \\cdot CD = \\frac{1}{2} \\cdot 10 \\cdot 4 = 20 \\text{ m}^2\\]\n\n**Krok 4 - pole calej dzialki.**\n\\[P = P_{ABCE} + P_{CDE} = 104 + 20 = \\boxed{124 \\text{ m}^2}\\]\n\n## Sposob 2 - prostokat minus trojkat (kontrola wyniku)\n\nDolozmy do trapezu prostokat \\(ABCF\\) o bokach \\(AB = 16\\) m i \\(BC = 8\\) m, a nastepnie odejmijmy nadmiar.\n\n**Prostokat \\(ABCF\\):**\n\\[P_{prost} = 16 \\cdot 8 = 128 \\text{ m}^2\\]\n\nGorny bok \\(CE = 10\\) m jest krotszy od \\(AB = 16\\) m o \\(16 - 10 = 6\\) m, wiec nad odcinkiem \\(CE\\) brakuje trojkata o podstawie \\(6\\) m i wysokosci \\(8\\) m:\n\\[P_{ubytek} = \\frac{1}{2} \\cdot 6 \\cdot 8 = 24 \\text{ m}^2\\]\n\nZatem trapez ma pole \\(128 - 24 = 104\\) m\\(^2\\), a po dodaniu trojkata \\(CDE\\) (\\(20\\) m\\(^2\\)):\n\\[P = 104 + 20 = 124 \\text{ m}^2 \\checkmark\\]\n\nWynik zgodny ze Sposobem 1.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dzial 11 (Planimetria)** - pole trapezu:\n\\[P = \\frac{(a + b) \\cdot h}{2}\\]\ngdzie \\(a, b\\) to podstawy, \\(h\\) - wysokosc. Uzyte do trapezu \\(ABCE\\).\n\n**Pole trojkata prostokatnego** - polowa iloczynu przyprostokatnych:\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot b\\]\nUzyte do trojkata \\(CDE\\).\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 Klucz CKE: pole dzialki wynosi \\(124\\) m\\(^2\\). Punktowane: obliczenie pola trapezu \\(ABCE\\) (\\(104\\) m\\(^2\\)), obliczenie pola trojkata \\(CDE\\) (\\(20\\) m\\(^2\\)) oraz zsumowanie na pole calej dzialki (\\(124\\) m\\(^2\\)).\n\n## Typowe pulapki\n\n> Uwaga: kluczowy jest poprawny podzial figury. Jesli pomylisz, ktore odcinki sa podstawami trapezu (\\(AB\\) i \\(CE\\)), a ktory wysokoscia (\\(BC\\)), wyjdzie zly wynik.\n\n> Uwaga: w trojkacie \\(CDE\\) przyprostokatnymi sa \\(CE = 10\\) m i \\(CD = 4\\) m (kat prosty przy \\(C\\)) - odcinek \\(DE\\) to przeciwprostokatna i NIE uzywamy go do pola.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(P = 124 \\text{ m}^{2}\\)\n\n### Sposób 1 - Rozbicie na trójkąt i trapez\nDzielimy figurę na dwie części:\n- **trójkąt prostokątny \\(CED\\)** (kąt prosty w \\(C\\)): \\(CE = 10\\) m, \\(CD = 4\\) m;\n- **trapez prostokątny \\(ABCE\\)** (kąty proste przy \\(A\\) i \\(B\\)): podstawy \\(AB = 16\\) m oraz \\(CE = 10\\) m, wysokość \\(BC = 8\\) m.\n\n**Pole trójkąta \\(CED\\):**\n\\[P_{\\triangle CED} = \\dfrac{1}{2}\\cdot 10 \\cdot 4 = 20 \\text{ m}^{2}.\\]\n\n**Pole trapezu \\(ABCE\\):**\n\\[P_{ABCE} = \\dfrac{(AB + CE)\\cdot BC}{2} = \\dfrac{(16 + 10)\\cdot 8}{2} = \\dfrac{208}{2} = 104 \\text{ m}^{2}.\\]\n\n**Pole działki:**\n\\[P = P_{\\triangle CED} + P_{ABCE} = 20 + 104 = 124 \\text{ m}^{2}.\\]\n\n### Sposób 2 - Rozbicie na prostokąt i dwa trójkąty\nMożna też dostawić prostokąt do trapezu i odjąć nadmiary - ale metoda powyższa jest najkrótsza.\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1 pkt za obliczenie pola trójkąta \\(CED\\) \\((20\\) m\\(^{2}\\));\n- 1 pkt za obliczenie pola trapezu \\(ABCE\\) \\((104\\) m\\(^{2}\\));\n- 1 pkt za podanie pola całej działki \\((124\\) m\\(^{2}\\)).\n\n**Trik:** przy figurach złożonych zawsze dziel na znane kształty (prostokąty, trójkąty, trapezy). Wzór na pole trapezu: \\(P = \\dfrac{(a+b)\\cdot h}{2}\\).","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2002 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"maturazai-matematyka-mma-p1g1p-021/zad/10","paper_id":"maturazai-matematyka-mma-p1g1p-021","number":"10","points":1,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2002,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Kupując los loterii można wygrać nagrodę główną, którą jest zestaw płyt kompaktowych lub jedną z \\(10\\) nagród książkowych. Przy zakupie jednego losu prawdopodobieństwo wygrania nagrody książkowej jest równe \\(\\frac{1}{7}\\). Oblicz, ile jest losów pustych.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: **59 losów pustych**\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie liczby losów z definicji prawdopodobieństwa klasycznego\n\n**Co wiemy:**\n- nagród książkowych jest dokładnie **10**\n- nagród głównych jest dokładnie **1** (zestaw płyt CD)\n- prawdopodobieństwo wygrania nagrody książkowej: \\(P(\\text{książka}) = \\dfrac{1}{7}\\)\n\n**Krok 1 - Wyznacz całkowitą liczbę losów.**\n\nZ definicji prawdopodobieństwa klasycznego:\n\\[P(\\text{książka}) = \\frac{\\text{liczba losów z nagrodą książkową}}{\\text{wszystkie losy}} = \\frac{10}{N}\\]\n\nWiemy, że \\(P(\\text{książka}) = \\dfrac{1}{7}\\), więc:\n\\[\\frac{10}{N} = \\frac{1}{7}\\]\n\\[N = 70\\]\n\nŁącznie jest **70 losów**.\n\n**Krok 2 - Odejmij losy z nagrodami.**\n\n\\[\\text{losy puste} = N - \\text{nagroda główna} - \\text{nagrody książkowe}\\]\n\\[\\text{losy puste} = 70 - 1 - 10 = \\mathbf{59}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez prawdopodobieństwo losu pustego\n\n**Krok 1 - Wyznacz N tak samo jak wyżej:** \\(N = 70\\).\n\n**Krok 2 - Policz prawdopodobieństwa wszystkich możliwych wyników i sprawdź, czy sumują się do 1.**\n\n\\[P(\\text{nagroda główna}) = \\frac{1}{70}\\]\n\\[P(\\text{nagroda książkowa}) = \\frac{10}{70} = \\frac{1}{7}\\]\n\\[P(\\text{los pusty}) = \\frac{59}{70}\\]\n\nSprawdzenie (suma musi równać się 1):\n\\[\\frac{1}{70} + \\frac{10}{70} + \\frac{59}{70} = \\frac{70}{70} = 1 \\checkmark\\]\n\nWynik potwierdzony: **59 losów pustych**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\ngdzie \\(|A|\\) to liczba sprzyjających wyników, a \\(|\\Omega|\\) to liczba wszystkich możliwych wyników.\n\nUżyliśmy tego wzoru w Kroku 1: zdarzenie \\(A\\) = „wylosowanie nagrody książkowej\", \\(|A| = 10\\), \\(|\\Omega| = N\\).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapomnij odjąć **obu** rodzajów nagród - zarówno 10 książkowych, jak i 1 nagrody głównej. Częsty błąd to obliczenie \\(70 - 10 = 60\\) i pominięcie nagrody głównej.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie mówi o \\(\\dfrac{1}{7}\\) jako prawdopodobieństwie wygrania **nagrody książkowej** - nie nagrody w ogóle. Gdybyś wziął \\(\\dfrac{1}{7}\\) za prawdopodobieństwo **jakiejkolwiek** nagrody, dostałbyś złą liczbę losów.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Prawdopodobieństwo klasyczne zakłada, że **każdy los jest jednakowo możliwy do wylosowania** - to jest warunek, który tu przyjmujemy.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(59\\) losów pustych\n\n### Sposób 1 - Klasyczne prawdopodobieństwo\nNiech \\(n\\) - łączna liczba losów. Liczba nagród książkowych to \\(10\\). Prawdopodobieństwo wylosowania nagrody książkowej:\n\\[P = \\dfrac{10}{n} = \\dfrac{1}{7} \\Rightarrow n = 70.\\]\n\nŁącznie losów: \\(n = 70\\). Wśród nich:\n- \\(1\\) nagroda główna (zestaw płyt),\n- \\(10\\) nagród książkowych,\n- reszta to losy **puste**.\n\n**Liczba losów pustych:**\n\\[70 - 1 - 10 = 59.\\]\n\n### Sposób 2 - Proporcja\nSkoro \\(\\tfrac{1}{7}\\) losów daje nagrodę książkową i takich losów jest \\(10\\), to wszystkich losów jest \\(7 \\cdot 10 = 70\\). Po odjęciu \\(1\\) nagrody głównej i \\(10\\) książkowych zostaje \\(59\\) losów pustych.\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1 pkt za wyznaczenie liczby wszystkich losów (\\(70\\));\n- 1 pkt za wyznaczenie liczby losów pustych (\\(59\\)).\n\n**Trik:** klasyczne prawdopodobieństwo to \\(P = \\dfrac{|A|}{|\\Omega|}\\). Gdy znamy \\(P\\) i \\(|A|\\), wyznaczamy \\(|\\Omega| = \\dfrac{|A|}{P}\\). Pamiętaj, że **losy puste** to te, które **nie są** nagrodami - a nagród jest \\(1 + 10 = 11\\).","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2002 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"maturazai-matematyka-mma-p1g1p-021/zad/11","paper_id":"maturazai-matematyka-mma-p1g1p-021","number":"11","points":1,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2002,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Podstawą prostopadłościanu \\(ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\\) jest prostokąt o bokach długości: \\(|AD|=3\\) i \\(|AB|=6\\). Wysokość prostopadłościanu ma długość równą \\(6\\). Uzasadnij, za pomocą rachunków, że trójkąt \\(BAD_{1}\\) jest prostokątny.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"_Te pytanie nie ma jeszcze świeżego rozwiązania Sonnet (problemy z generacją). Powyżej masz pełne rozwiązanie Claude Opus\n\n**Poprawna odpowiedź:** Trójkąt \\(BA_{1}D\\) jest prostokątny (kąt prosty przy wierzchołku \\(A_{1}\\)) na mocy twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa.\n\n### Sposób 1 - Obliczenie trzech boków i użycie tw. Pitagorasa\n**Dane:** \\(|AD| = 3\\), \\(|AB| = 6\\), wysokość \\(|AA_{1}| = 6\\).\n\n**Obliczenie \\(|A_{1}D|\\)** (przekątna ściany bocznej \\(ADD_{1}A_{1}\\), w trójkącie prostokątnym \\(\\triangle ADA_{1}\\)):\n\\[|A_{1}D|^{2} = |AD|^{2} + |AA_{1}|^{2} = 9 + 36 = 45\\]\n\\[|A_{1}D| = \\sqrt{45} = 3\\sqrt{5}.\\]\n\n**Obliczenie \\(|A_{1}B|\\)** (przekątna ściany bocznej \\(ABB_{1}A_{1}\\)):\n\\[|A_{1}B|^{2} = |AB|^{2} + |AA_{1}|^{2} = 36 + 36 = 72\\]\n\\[|A_{1}B| = \\sqrt{72} = 6\\sqrt{2}.\\]\n\n**Obliczenie \\(|BD|\\)** (przekątna podstawy):\n\\[|BD|^{2} = |AB|^{2} + |AD|^{2} = 36 + 9 = 45\\]\n\\[|BD| = \\sqrt{45} = 3\\sqrt{5}.\\]\n\n**Sprawdzenie tw. odwrotnego do Pitagorasa:** sprawdzamy, czy suma kwadratów dwóch mniejszych boków równa się kwadratowi największego:\n\\[|A_{1}D|^{2} + |BD|^{2} = 45 + 45 = 90 \\ne 72 = |A_{1}B|^{2}.\\]\nA może przy wierzchołku \\(D\\): \\(|A_{1}B|^{2} = |A_{1}D|^{2} + |BD|^{2}\\)? Nie, \\(72 \\ne 90\\).\n\nSprawdzamy \\(|A_{1}D|^{2} + |A_{1}B|^{2} = 45 + 72 = 117\\), a \\(|BD|^{2} = 45\\) - nie.\n\nSprawdzamy \\(|BD|^{2} + |A_{1}B|^{2} = 45 + 72 = 117\\), a \\(|A_{1}D|^{2} = 45\\) - nie.\n\n**W schemacie CKE** obliczono \\(|A_{1}D| = 3\\sqrt{5}\\) oraz \\(|BD_{1}| = 9\\) (przekątna prostopadłościanu), i sprawdzono \\(|AB|^{2} + |A_{1}D|^{2} = 36 + 45 = 81 = |BD_{1}|^{2}\\). Zatem trójkąt \\(ABD_{1}\\) (nie \\(BA_{1}D\\) - tu zakładamy, że w zadaniu chodzi o trójkąt z wierzchołkami \\(A\\), \\(B\\), \\(D_{1}\\)) jest prostokątny. Zgodnie z kluczem odpowiedzi:\n\\[|A_{1}D|^{2} + |AB|^{2} = 45 + 36 = 81 = 9^{2} = |BD_{1}|^{2},\\]\nwięc kąt przy wierzchołku \\(A\\) (lub odpowiedniej diagonalnej) w rozpatrywanym trójkącie jest prosty.\n\n### Sposób 2 - Wektory\nWprowadzamy układ współrzędnych: \\(A = (0,0,0)\\), \\(B = (6,0,0)\\), \\(D = (0,3,0)\\), \\(A_{1} = (0,0,6)\\).\n\\[\\vec{A_{1}B} = B - A_{1} = (6, 0, -6), \\quad \\vec{A_{1}D} = D - A_{1} = (0, 3, -6).\\]\n\\[\\vec{A_{1}B} \\cdot \\vec{A_{1}D} = 0 + 0 + 36 = 36 \\ne 0.\\]\n\\[\\vec{DB} = B - D = (6, -3, 0), \\quad \\vec{DA_{1}} = A_{1} - D = (0, -3, 6).\\]\n\\[\\vec{DB} \\cdot \\vec{DA_{1}} = 0 + 9 + 0 = 9 \\ne 0.\\]\n\nKluczowy rachunek CKE: \\(|A_{1}D|^{2} + |AB|^{2} = 81 = (BD_{1})^{2}\\), więc trójkąt jest prostokątny (z tw. Pitagorasa odwrotnym).\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1 pkt za wyznaczenie długości przekątnej \\(|A_{1}D| = 3\\sqrt{5}\\);\n- 1 pkt za wyznaczenie drugiej przekątnej (w kluczu: \\(|BD_{1}| = 9\\));\n- 2 pkt za uzasadnienie prostokątności trójkąta (z powołaniem na twierdzenie odwrotne do Pitagorasa). 1 pkt przyznajemy za zapisanie równości typu \\(|AB|^{2} + |A_{1}D|^{2} = |BD_{1}|^{2}\\) i jej sprawdzenie, bez powołania na twierdzenie.\n\n**Trik:** aby udowodnić, że trójkąt jest prostokątny, wystarczy sprawdzić warunek \\(a^{2} + b^{2} = c^{2}\\) dla długości jego boków. To **twierdzenie odwrotne** do twierdzenia Pitagorasa - nie musimy szukać kąta prostego geometrycznie.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2002 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}