{"paper":{"id":"site-2681","subject":"matematyka","category":"zbiory","year":0,"month":null,"level":"podstawowa","variant":null,"exam_pdf":null,"key_pdf":null,"question_count":15,"source_label":"Matematyka · Zbiory zadań (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Zbiory zadań"},"questions":[{"id":"site-2681/zad/3052","paper_id":"site-2681","number":"3052","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"zbiory","year":0,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Dany jest trapez ABCD o podstawach AB i CD. Przekątne tego trapezu przecinają się w punkcie S. Wykaż, |SA|/|SD| = |SB|/|SC|.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/site/2681/zad-3052.svg","solution_image":"img/site/2681/rozw-3052.svg","topics":null,"page_from":null,"source":"site","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Zbiory zadań (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Zbiory zadań"},{"id":"site-2681/zad/3208","paper_id":"site-2681","number":"3208","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"zbiory","year":0,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Punkt E leży na ramieniu BC trapezu ABCD, w którym AB jest równoległy do CD. Udowodnij, że miara kąta AED jest równa sumie miar kątów BAE i CDE.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/site/2681/zad-3208.svg","solution_image":"img/site/2681/rozw-3208.svg","topics":null,"page_from":null,"source":"site","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Zbiory zadań (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Zbiory zadań"},{"id":"site-2681/zad/3209","paper_id":"site-2681","number":"3209","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"zbiory","year":0,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Punkt M leży wewnątrz prostokąta ABCD (zob. rysunek). Udowodnij, że |AM|^2 + |CM|^2 = |BM|^2 + |DM|^2.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/site/2681/zad-3209.svg","solution_image":"img/site/2681/rozw-3209.svg","topics":null,"page_from":null,"source":"site","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Zbiory zadań (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Zbiory zadań"},{"id":"site-2681/zad/3210","paper_id":"site-2681","number":"3210","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"zbiory","year":0,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Czworokąt ABCD i APQR są kwadratami (patrz rysunek). Udowodnij, że |BP|=|DR|.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/site/2681/zad-3210.svg","solution_image":"img/site/2681/rozw-3210.svg","topics":null,"page_from":null,"source":"site","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Zbiory zadań (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Zbiory zadań"},{"id":"site-2681/zad/3211","paper_id":"site-2681","number":"3211","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"zbiory","year":0,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Na boku BC trójkąta ABC wybrano punkt D tak, by |kąt CAD| = |kąt ABC|. Odcinek AE jest dwusieczną kąta DAB. Udowodnij, że |AC|=|CE|.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/site/2681/zad-3211.svg","solution_image":"img/site/2681/rozw-3211.svg","topics":null,"page_from":null,"source":"site","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Zbiory zadań (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Zbiory zadań"},{"id":"site-2681/zad/3212","paper_id":"site-2681","number":"3212","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"zbiory","year":0,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Punkt D leży na boku BC trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AC|=|BC|. Odcinek AD dzieli trójkąt ABC na dwa trójkąty równoramienne w taki sposób, że |AD|=|CD| oraz |AB|=|BD| (patrz rysunek). Udowodnij, że |kąt ADC| = 5|kąt ACD|.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/site/2681/zad-3212.svg","solution_image":"img/site/2681/rozw-3212.svg","topics":null,"page_from":null,"source":"site","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Zbiory zadań (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Zbiory zadań"},{"id":"site-2681/zad/3213","paper_id":"site-2681","number":"3213","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"zbiory","year":0,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Dane są dwa półokręgi o wspólnym środku O i średnicach odpowiednio AB i CD (punkty A, B, C, D i O są współliniowe). Punkt P leży na wewnętrznym półokręgu, punkt R leży na zewnętrznym półokręgu, punkty O, P i R są współliniowe. Udowodnij, że |kąt APB| + |kąt CRD| = 180 stopni.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/site/2681/zad-3213.svg","solution_image":"img/site/2681/rozw-3213.svg","topics":null,"page_from":null,"source":"site","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Zbiory zadań (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Zbiory zadań"},{"id":"site-2681/zad/3305","paper_id":"site-2681","number":"3305","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"zbiory","year":0,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Trójkąt ABC przedstawiony na poniższym rysunku jest równoboczny, a punkty B, C, N są współliniowe. Na boku AC wybrano punkt M tak, że |AM|=|CN|. Wykaż, że |BM|=|MN|.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/site/2681/zad-3305.svg","solution_image":"img/site/2681/rozw-3305.svg","topics":null,"page_from":null,"source":"site","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Zbiory zadań (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Zbiory zadań"},{"id":"site-2681/zad/4313","paper_id":"site-2681","number":"4313","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"zbiory","year":0,"month":null,"level":"podstawowa","text":"W trapezie ABCD (AB||CD) przekątne AC i BD przecinają się w punkcie O takim, że |AO|:|OC|=5:1. Pole trójkąta AOD jest równe 10. Uzasadnij, że pole trapezu ABCD jest równe 72.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/site/2681/zad-4313.svg","solution_image":"img/site/2681/rozw-4313.svg","topics":null,"page_from":null,"source":"site","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Zbiory zadań (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Zbiory zadań"},{"id":"site-2681/zad/5329","paper_id":"site-2681","number":"5329","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"zbiory","year":0,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Trójkąt ABC jest równoboczny. Punkt E leży na wysokości CD tego trójkąta oraz |CE| = 3/4 |CD|. Punkt F leży na boku BC i odcinek EF jest prostopadły do BC (zobacz rysunek). Wykaż, że |CF| = 9/16 |CB|.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/site/2681/zad-5329.svg","solution_image":"img/site/2681/rozw-5329.svg","topics":null,"page_from":null,"source":"site","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Zbiory zadań (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Zbiory zadań"},{"id":"site-2681/zad/5494","paper_id":"site-2681","number":"5494","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"zbiory","year":0,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Rozwiązanie zadania. Dany jest trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne mają długości a i b. Punkt O leży na przeciwprostokątnej tego trójkąta i jest środkiem okręgu stycznego do przyprostokątnych tego trójkąta (zobacz rysunek). Wykaż, że promień r tego okręgu jest równy ab/a+b.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/site/2681/zad-5494.svg","solution_image":"img/site/2681/rozw-5494.svg","topics":null,"page_from":null,"source":"site","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Zbiory zadań (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Zbiory zadań"},{"id":"site-2681/zad/5788","paper_id":"site-2681","number":"5788","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"zbiory","year":0,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Rozwiązanie zadania. Dwa okręgi o promieniach r=2 i R=6 są styczne zewnętrznie i są styczne do wspólnej prostej k. Wykaż, że prosta l przechodząca przez środki S i P tych okręgów przecina prostą k pod kątem α=30° (zobacz rysunek).","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/site/2681/zad-5788.svg","solution_image":"img/site/2681/rozw-5788.svg","topics":null,"page_from":null,"source":"site","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Zbiory zadań (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Zbiory zadań"},{"id":"site-2681/zad/6736","paper_id":"site-2681","number":"6736","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"zbiory","year":0,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Na podstawie twierdzenia Pitagorasa można udowodnić bardziej ogólną własność niż ta, o której mówi samo to twierdzenie. Rozważmy trójkąt prostokątny ABC o kącie prostym przy wierzchołku A. Niech każdy z boków tego trójkąta: CA, AB, BC będzie podstawą trójkątów podobnych, odpowiednio: CAW_1, ABW_2, CBW_3. Trójkąty te mają odpowiadające sobie kąty o równych miarach, odpowiednio przy wierzchołkach: W_1, W_2, W_3. [rysunek] Pola trójkątów: CAW_1, ABW_2, CBW_3 oznaczymy odpowiednio jako P_1, P_2, P_3. Udowodnij, że: P_3 = P_1 + P_2","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/site/2681/zad-6736.svg","solution_image":"img/site/2681/rozw-6736.svg","topics":null,"page_from":null,"source":"site","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Zbiory zadań (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Zbiory zadań"},{"id":"site-2681/zad/6904","paper_id":"site-2681","number":"6904","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"zbiory","year":0,"month":null,"level":"podstawowa","text":"W trójkącie równobocznym o boku długości a poprowadzono dwa odcinki równoległe do jednego z jego boków. Długości tych odcinków są równe b i c, przy czym c<b<a (zobacz rysunek). Odcinki podzieliły trójkąt równoboczny na trzy figury: dwa trapezy i trójkąt. [rysunek] Wykaż, że stosunek pola trapezu o podstawach b i c do pola trapezu o podstawach a i b jest równy b^2-c^2/a^2-b^2.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/site/2681/zad-6904.svg","solution_image":"img/site/2681/rozw-6904.svg","topics":null,"page_from":null,"source":"site","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Zbiory zadań (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Zbiory zadań"},{"id":"site-2681/zad/7261","paper_id":"site-2681","number":"7261","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"zbiory","year":0,"month":null,"level":"podstawowa","text":"W pierścieniu kołowym cięciwa zewnętrznego okręgu ma długość 10 i jest styczna do wewnętrznego okręgu (zobacz rysunek). [rysunek] Wykaż, że pole tego pierścienia można wyrazić wzorem, w którym nie występują promienie wyznaczających go okręgów.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/site/2681/zad-7261.svg","solution_image":"img/site/2681/rozw-7261.svg","topics":null,"page_from":null,"source":"site","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Zbiory zadań (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Zbiory zadań"}]}