{"paper":{"id":"site-4942","subject":"matematyka","category":"zbiory","year":0,"month":null,"level":"rozszerzona","variant":null,"exam_pdf":null,"key_pdf":null,"question_count":4,"source_label":"Matematyka · Zbiory zadań (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Zbiory zadań"},"questions":[{"id":"site-4942/zad/5343","paper_id":"site-4942","number":"5343","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"zbiory","year":0,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Dany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym |AC|=|BC|=6, a punkt D jest środkiem podstawy AB. Okrąg o środku D jest styczny do prostej AC w punkcie M. Punkt K leży na boku AC, punkt L leży na boku BC, odcinek KL jest styczny do rozważanego okręgu oraz KC = LC = 2 (zobacz rysunek). Wykaż, że |AM|/|MC| = 4/5.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/site/4942/zad-5343.svg","solution_image":"img/site/4942/rozw-5343.svg","topics":null,"page_from":null,"source":"site","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Zbiory zadań (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Zbiory zadań"},{"id":"site-4942/zad/5507","paper_id":"site-4942","number":"5507","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"zbiory","year":0,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Rozwiązanie zadania. Na przeciwprostokątnej AB trójkąta prostokątnego ABC zbudowano kwadrat ABDE (zobacz rysunek). Stosunek pola trójkąta do pola kwadratu jest równy k. Wykaż, że suma tangensów kątów ostrych tego trójkąta jest równa 1/2k.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/site/4942/zad-5507.svg","solution_image":"img/site/4942/rozw-5507.svg","topics":null,"page_from":null,"source":"site","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Zbiory zadań (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Zbiory zadań"},{"id":"site-4942/zad/6688","paper_id":"site-4942","number":"6688","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"zbiory","year":0,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Dany jest trapez równoramienny ABCD o obwodzie l i podstawach AB oraz CD takich, że |AB|>|CD|. Trapez jest opisany na okręgu i wpisany w okrąg, a przekątna AC trapezu ma długość d (zobacz rysunek). [rysunek] Wykaż, że promień R okręgu opisanego na trapezie ABCD jest równy d⋅l/2√(16d^2-l^2).","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/site/4942/zad-6688.svg","solution_image":"img/site/4942/rozw-6688.svg","topics":null,"page_from":null,"source":"site","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Zbiory zadań (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Zbiory zadań"},{"id":"site-4942/zad/6832","paper_id":"site-4942","number":"6832","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"zbiory","year":0,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"W trójkącie ABC poprowadzono dwusieczne kątów przecinające boki BC, AC i AB tego trójkąta w punktach - odpowiednio - K, L oraz M. Punkt P jest punktem przecięcia tych dwusiecznych. Na czworokątach CLPK oraz BKPM można opisać okrąg. Udowodnij, że trójkąt ABC jest równoboczny.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/site/4942/zad-6832.svg","solution_image":"img/site/4942/rozw-6832.svg","topics":null,"page_from":null,"source":"site","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Zbiory zadań (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Zbiory zadań"}]}