{"paper":{"id":"site-4948","subject":"matematyka","category":"zbiory","year":0,"month":null,"level":"rozszerzona","variant":null,"exam_pdf":null,"key_pdf":null,"question_count":5,"source_label":"Matematyka · Zbiory zadań (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Zbiory zadań"},"questions":[{"id":"site-4948/zad/5351","paper_id":"site-4948","number":"5351","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"zbiory","year":0,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Należy zaprojektować wymiary prostokątnego ekranu smartfona, tak aby odległości tego ekranu od krótszych brzegów smartfona były równe 0,5 cm każda, a odległości tego ekranu od dłuższych brzegów smartfona były równe 0,3 cm każda (zobacz rysunek - ekran zaznaczono kolorem szarym). Sam ekran ma mieć powierzchnię 60 cm^2. Wyznacz takie wymiary ekranu smartfona, przy których powierzchnia ekranu wraz z obramowaniem jest najmniejsza.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/site/4948/zad-5351.svg","solution_image":"img/site/4948/rozw-5351.svg","topics":null,"page_from":null,"source":"site","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Zbiory zadań (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Zbiory zadań"},{"id":"site-4948/zad/5514","paper_id":"site-4948","number":"5514","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"zbiory","year":0,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Rozwiązanie zadania. Rozpatrujemy wszystkie trójkąty ABC, których wierzchołki A i B leżą na wykresie funkcji f określonej wzorem f(x) = 9/x^4 dla x≠0. Punkt C ma współrzędne (0,-1/3), a punkty A i B są położone symetrycznie względem osi Oy (zobacz rysunek). Oblicz współrzędne wierzchołków A i B, dla których pole trójkąta ABC jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/site/4948/zad-5514.svg","solution_image":"img/site/4948/rozw-5514.svg","topics":null,"page_from":null,"source":"site","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Zbiory zadań (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Zbiory zadań"},{"id":"site-4948/zad/6686","paper_id":"site-4948","number":"6686","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"zbiory","year":0,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Na obrzeżach miasta znajduje się jezioro, na którym postanowiono stworzyć tor regatowy. Na podstawie dostępnych map wymodelowano w pewnej skali kształt linii brzegowej jeziora w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) za pomocą fragmentów wykresów funkcji f oraz g (zobacz rysunek). Funkcje f oraz g są określone wzorami f(x)=x² oraz g(x)=-1/2(x-1/2)^2+4. Początek toru postanowiono zlokalizować na brzegu jeziora w miejscu, któremu odpowiada w układzie współrzędnych punkt P=(-1,1). [rysunek] Koniec toru regatowego należy umieścić na linii brzegowej. Oblicz współrzędne punktu K, w którym należy zlokalizować koniec toru, aby długość toru (tj. odległość końca K toru od początku P) była możliwie największa. Oblicz długość najdłuższego toru. Wskazówka. Przy rozwiązywaniu zadania możesz skorzystać z tego, że odległość dowolnego punktu R leżącego na wykresie funkcji g od punktu P wyraża się wzorem |PR| = √(1/4x^4 - 1/2x³ - 13/8x² + 39/8x + 593/64) gdzie x jest pierwszą współrzędną punktu R.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/site/4948/zad-6686.svg","solution_image":"img/site/4948/rozw-6686.svg","topics":null,"page_from":null,"source":"site","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Zbiory zadań (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Zbiory zadań"},{"id":"site-4948/zad/6833","paper_id":"site-4948","number":"6833","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"zbiory","year":0,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Olejarnia wytwarza olej ekologiczny. Aby produkcja była opłacalna, dzienna wielkość produkcji musi wynosić co najmniej 480 litrów i nie może przekroczyć 530 litrów (ze względu na ograniczone moce produkcyjne). Przy poziomie produkcji (480+x) litrów dziennie przeciętny koszt K (w złotych) wytworzenia jednego litra oleju jest równy K(x) = 22x² - 621,5x + 23430 / 480+x, gdzie x∈<0,50>. Oblicz, ile litrów oleju dziennie powinna wytworzyć olejarnia, aby przeciętny koszt produkcji jednego litra oleju był najmniejszy (z zachowaniem opłacalności produkcji). Oblicz ten najmniejszy przeciętny koszt.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/site/4948/zad-6833.svg","solution_image":"img/site/4948/rozw-6833.svg","topics":null,"page_from":null,"source":"site","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Zbiory zadań (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Zbiory zadań"},{"id":"site-4948/zad/7233","paper_id":"site-4948","number":"7233","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"zbiory","year":0,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Dany jest prostokątny arkusz kartonu o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe naroża (zobacz rysunek). [rysunek] Następnie zagięto karton wzdłuż linii przerywanych, tworząc w ten sposób prostopadłościenne pudełko (bez przykrywki). Oblicz długość boku każdego z wyciętych kwadratowych naroży, dla której objętość otrzymanego pudełka jest największa. Oblicz tę maksymalną objętość.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/site/4948/zad-7233.svg","solution_image":"img/site/4948/rozw-7233.svg","topics":null,"page_from":null,"source":"site","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Zbiory zadań (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Zbiory zadań"}]}