{"id":"fizyka-2015-maj-matura-rozszerzona/zad/11.1","paper_id":"fizyka-2015-maj-matura-rozszerzona","number":"11.1","points":5,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11.1. (0-5)\na) Narysuj wykres zależności F(r).\nb) Górny magnes zbliżono do dolnego na odległość 2,5 cm (mierzoną między ich\nśrodkami - rysunek obok).\nOszacuj, korzystając z wykresu, pracę wykonaną przeciw sile F przy zbliżaniu\nmagnesów, jeśli początkowo ich środki były odległe o 5 cm.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n10.2.\n10.3.\n11.1.\nMaks. liczba pkt\n2\n1\n5\nUzyskana liczba pkt\n2,5 cm\nMFA_1R\nInformacja do zadań 11.2.-11.3.\nW następnym doświadczeniu wykonano serię pomiarów czasu spadania jednego\nmagnesu z wysokości 40 cm w pionowo ustawionych rurkach wykonanych z różnych\nmateriałów (rysunek obok).","answer":null,"answer_text":"Zadanie 11.1a. (0-3)\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tabel […].\n12.2. Zdający samodzielnie wykonuje\npoprawne wykresy […].\nPoprawna odpowiedź\nWykres jest zamieszczony poniżej.\nSchemat punktowania\n3 p. - opisanie osi, dobranie skali jednostek, zaznaczenie 5 punktów na wykresie zgodnie\nz danymi i narysowanie gładkiej krzywej.\n2 p. - opisanie osi, dobranie skali jednostek, zaznaczenie 4 punktów na wykresie zgodnie\nz danymi i narysowanie krzywej.\nlub\n- opisanie osi, dobranie skali jednostek i zaznaczenie 5 punktów na wykresie zgodnie\nz danymi.\n1 p. - opisanie osi i dobranie skali jednostek.\n0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nUwaga: dobranie skali jednostek oznacza, że przynajmniej 1/4 długości każdej z osi musi być\nwykorzystana.\nr, cm\n0 1 2 3 4 5\nF, mN\n150\n100\n50\n0\nZadanie 11.1b. (0-2)\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie informacji\nzapisanych w postaci […] wykresów.\n3.1. Zdający oblicza pracę siły na danej\ndrodze.\n12.7. Zdający szacuje wartość\nspodziewanego wyniku obliczeń […].\nPoprawna odpowiedź\nSzacujemy pracę jako pole powierzchni pod narysowanym wykresem, np. metodą zliczania\nkratek, a gdy nie cała kratka mieści się pod krzywą - oceniając w przybliżeniu ich ułamki (1/2\nlub 3/4). Jedna kratka 10 mN × 0,2 cm odpowiada pracy o wartości 0,02 mJ. Liczba takich\nkratek pod krzywą wynosi ok. 53, czyli praca wynosi w przybliżeniu 1,1 mJ.\nSchemat punktowania\n2 p. - poprawna metoda oszacowania pracy jako pola pod wykresem, wynik w zakresie od\n0,9 mJ do 1,5 mJ.\n1 p. - poprawna metoda oszacowania pracy.\n0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n**a)** Wykres F(r) - gładka, malejąca krzywa przez wszystkie 5 punktów pomiarowych z tabeli (r = 5,0; 4,0; 3,4; 2,9; 2,5 cm; F = 10; 23; 43; 83; 163 mN), osie opisane z jednostkami, dobrana skala.\n\n**b)** Praca wykonana przeciw sile F przy zbliżaniu magnesów z \\(r_1 = 5\\) cm do \\(r_2 = 2{,}5\\) cm to **pole pod wykresem** \\(F(r)\\) na tym przedziale:\n\n\\[W \\approx 1{,}1 \\text{ mJ} \\quad \\text{(przedział akceptacji CKE: } 0{,}9 \\text{ - } 1{,}5 \\text{ mJ)}\\]\n\n## Sposób 1 - Całkowanie graficzne (pole pod wykresem) na rzeczywistych danych\n\n### Podstawa fizyczna\n\nPraca siły zmiennej to pole pod wykresem \\(F(r)\\):\n\\[W = \\int_{r_2}^{r_1} F(r)\\, dr = \\int_{2{,}5\\,\\text{cm}}^{5\\,\\text{cm}} F(r)\\, dr\\]\n\nZbliżamy magnesy wbrew sile odpychania, więc praca przeciw sile jest **dodatnia** i równa polu pod krzywą między \\(r = 2{,}5\\) cm a \\(r = 5\\) cm.\n\n### Krok 1 - wykres F(r)\n\nNanosimy wszystkie punkty z tabeli i prowadzimy przez nie **gładką** malejącą krzywą:\n\n| \\(r\\) [cm] | 5,0 | 4,0 | 3,4 | 2,9 | 2,5 |\n|:----------:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|\n| \\(F\\) [mN] | 10 | 23 | 43 | 83 | 163 |\n\nOsie: oś X: \\(r\\) [cm], oś Y: \\(F\\) [mN]; skala dobrana tak, by wykres zajął co najmniej 1/4 długości każdej osi.\n\n### Krok 2 - pole pod krzywą metodą trapezów (na danych z tabeli)\n\nDla każdego odcinka \\([r_i, r_{i+1}]\\): \\(\\Delta W_i = \\dfrac{F_i + F_{i+1}}{2}\\cdot|r_{i+1}-r_i|\\):\n\n| Przedział [cm] | Średnie F [mN] | Δr [cm] | ΔW [mN·cm] |\n|:--------------:|:--------------:|:-------:|:----------:|\n| 2,5 → 2,9 | (163+83)/2 = 123 | 0,4 | 49,2 |\n| 2,9 → 3,4 | (83+43)/2 = 63 | 0,5 | 31,5 |\n| 3,4 → 4,0 | (43+23)/2 = 33 | 0,6 | 19,8 |\n| 4,0 → 5,0 | (23+10)/2 = 16,5 | 1,0 | 16,5 |\n\n\\[W \\approx (49{,}2 + 31{,}5 + 19{,}8 + 16{,}5)\\,\\text{mN·cm} \\approx 117\\,\\text{mN·cm}\\]\n\n### Krok 3 - przeliczenie jednostek\n\n\\[W = 117\\,\\text{mN·cm} = 117 \\times 10^{-3}\\,\\text{N} \\times 10^{-2}\\,\\text{m} = 117 \\times 10^{-5}\\,\\text{J} \\approx 1{,}2\\,\\text{mJ}\\]\n\nWynik mieści się w przedziale akceptacji CKE **0,9-1,5 mJ**. (Metoda zliczania kratek z wykresu daje ok. 53 kratek po 0,02 mJ ≈ 1,1 mJ.)\n\n## Sposób 2 - Metoda zliczania kratek (zgodna z kluczem CKE)\n\nKlucz CKE szacuje pracę jako pole pod wykresem metodą zliczania kratek. Przyjmując kratkę o boku 10 mN × 0,2 cm:\n\\[1\\text{ kratka} = 10\\,\\text{mN} \\times 0{,}2\\,\\text{cm} = 10\\times10^{-3}\\,\\text{N} \\times 0{,}2\\times10^{-2}\\,\\text{m} = 0{,}02\\,\\text{mJ}\\]\n\nLiczba kratek pod krzywą między \\(r = 2{,}5\\) cm a \\(r = 5\\) cm wynosi ok. **53**, więc:\n\\[W \\approx 53 \\times 0{,}02\\,\\text{mJ} \\approx 1{,}1\\,\\text{mJ}\\]\n\nKratki niepełne szacujemy w przybliżeniu (1/2 lub 3/4 kratki). Wynik zgodny z metodą trapezów. ✓\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> 📋 **Oficjalny klucz CKE - zadanie 11.1a (wykres, 0-3 pkt):**\n> - **3 pkt** - opisanie osi, dobranie skali jednostek, zaznaczenie 5 punktow zgodnie z danymi i narysowanie gladkiej krzywej.\n> - **2 pkt** - opisanie osi, dobranie skali, zaznaczenie 4 punktow zgodnie z danymi i narysowanie krzywej LUB opisanie osi, dobranie skali i zaznaczenie 5 punktow zgodnie z danymi.\n> - **1 pkt** - opisanie osi i dobranie skali jednostek.\n> - **0 pkt** - brak spelnienia powyzszych kryteriow.\n> - Uwaga: dobranie skali oznacza, ze przynajmniej 1/4 dlugosci kazdej z osi musi byc wykorzystana.\n>\n> 📋 **Oficjalny klucz CKE - zadanie 11.1b (praca, 0-2 pkt):**\n> - Poprawna odpowiedz: prace szacujemy jako pole pod wykresem (np. metoda zliczania kratek). Jedna kratka 10 mN x 0,2 cm odpowiada pracy 0,02 mJ; liczba kratek pod krzywa to ok. 53, czyli praca w przyblizeniu 1,1 mJ.\n> - **2 pkt** - poprawna metoda oszacowania pracy jako pola pod wykresem, wynik w zakresie od 0,9 mJ do 1,5 mJ.\n> - **1 pkt** - poprawna metoda oszacowania pracy.\n> - **0 pkt** - brak spelnienia powyzszych kryteriow.\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - Fizyka (mechanika i energia):**\n> - Praca siły zmiennej = pole pod wykresem \\(F(r)\\).\n> - Jednostki: 1 J = 1 N·m; przelicz mN → N (\\(\\times 10^{-3}\\)) i cm → m (\\(\\times 10^{-2}\\)).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga 1:** Korzystaj z RZECZYWISTYCH danych tabeli (F rośnie do 163 mN przy r = 2,5 cm) - to one decydują o polu pod wykresem i wyniku ~1,1 mJ.\n\n> ⚠️ **Uwaga 2:** Gładka krzywa, nie łamana - F(r) jest funkcją ciągłą; CKE wymaga gładkiej krzywej dla pełnych 3 pkt w części a).\n\n> ⚠️ **Uwaga 3:** Przelicz jednostki: pole w [mN·cm] mnożymy przez \\(10^{-5}\\), aby otrzymać dżule. Pominięcie tego daje wynik ~1000× za duży.\n\n> ⚠️ **Uwaga 4:** Wynik akceptowany przez CKE to przedział 0,9-1,5 mJ - nie pojedyncza liczba, bo to oszacowanie graficzne.","image":"img/fizyka-2015-maj-matura-rozszerzona/zad-11.1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 11.1. (0-5)
a) Narysuj wykres zależności F(r).
b) Górny magnes zbliżono do dolnego na odległość 2,5 cm (mierzoną między ich
środkami - rysunek obok).
Oszacuj, korzystając z wykresu, pracę wykonaną przeciw sile F przy zbliżaniu
magnesów, jeśli początkowo ich środki były odległe o 5 cm.
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
10.2.
10.3.
11.1.
Maks. liczba pkt
2
1
5
Uzyskana liczba pkt
2,5 cm
MFA_1R
Informacja do zadań 11.2.-11.3.
W następnym doświadczeniu wykonano serię pomiarów czasu spadania jednego
magnesu z wysokości 40 cm w pionowo ustawionych rurkach wykonanych z różnych
materiałów (rysunek obok).

","answer_text_html":"

Zadanie 11.1a. (0-3)
III. Wykorzystanie i przetwarzanie
informacji zapisanych w postaci tabel […].
12.2. Zdający samodzielnie wykonuje
poprawne wykresy […].
Poprawna odpowiedź
Wykres jest zamieszczony poniżej.
Schemat punktowania
3 p. - opisanie osi, dobranie skali jednostek, zaznaczenie 5 punktów na wykresie zgodnie
z danymi i narysowanie gładkiej krzywej.
2 p. - opisanie osi, dobranie skali jednostek, zaznaczenie 4 punktów na wykresie zgodnie
z danymi i narysowanie krzywej.
lub

\n\n

z danymi.
1 p. - opisanie osi i dobranie skali jednostek.
0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.
Uwaga: dobranie skali jednostek oznacza, że przynajmniej 1/4 długości każdej z osi musi być
wykorzystana.
r, cm
0 1 2 3 4 5
F, mN
150
100
50
0
Zadanie 11.1b. (0-2)
III. Wykorzystanie i przetwarzanie informacji
zapisanych w postaci […] wykresów.
3.1. Zdający oblicza pracę siły na danej
drodze.
12.7. Zdający szacuje wartość
spodziewanego wyniku obliczeń […].
Poprawna odpowiedź
Szacujemy pracę jako pole powierzchni pod narysowanym wykresem, np. metodą zliczania
kratek, a gdy nie cała kratka mieści się pod krzywą - oceniając w przybliżeniu ich ułamki (1/2
lub 3/4). Jedna kratka 10 mN × 0,2 cm odpowiada pracy o wartości 0,02 mJ. Liczba takich
kratek pod krzywą wynosi ok. 53, czyli praca wynosi w przybliżeniu 1,1 mJ.
Schemat punktowania
2 p. - poprawna metoda oszacowania pracy jako pola pod wykresem, wynik w zakresie od
0,9 mJ do 1,5 mJ.
1 p. - poprawna metoda oszacowania pracy.
0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n

a) Wykres F(r) - gładka, malejąca krzywa przez wszystkie 5 punktów pomiarowych z tabeli (r = 5,0; 4,0; 3,4; 2,9; 2,5 cm; F = 10; 23; 43; 83; 163 mN), osie opisane z jednostkami, dobrana skala.

\n

b) Praca wykonana przeciw sile F przy zbliżaniu magnesów z r1=5 cm do r2=2,5 cm to pole pod wykresem F(r) na tym przedziale:

\n
W≈1,1 mJ(przedział akceptacji CKE: 0,9 - 1,5 mJ)
\n

Sposób 1 - Całkowanie graficzne (pole pod wykresem) na rzeczywistych danych

\n
Podstawa fizyczna
\n

Praca siły zmiennej to pole pod wykresem F(r):

\n
W=∫r2r1F(r)dr=∫2,5cm5cmF(r)dr
\n

Zbliżamy magnesy wbrew sile odpychania, więc praca przeciw sile jest dodatnia i równa polu pod krzywą między r=2,5 cm a r=5 cm.

\n
Krok 1 - wykres F(r)
\n

Nanosimy wszystkie punkty z tabeli i prowadzimy przez nie gładką malejącą krzywą:

\n
r [cm]5,04,03,42,92,5
F [mN]10234383163
\n

Osie: oś X: r [cm], oś Y: F [mN]; skala dobrana tak, by wykres zajął co najmniej 1/4 długości każdej osi.

\n
Krok 2 - pole pod krzywą metodą trapezów (na danych z tabeli)
\n

Dla każdego odcinka [ri,ri+1]: ΔWi=Fi+Fi+12·|ri+1−ri|:

\n
Przedział [cm]Średnie F [mN]Δr [cm]ΔW [mN·cm]
2,5 → 2,9(163+83)/2 = 1230,449,2
2,9 → 3,4(83+43)/2 = 630,531,5
3,4 → 4,0(43+23)/2 = 330,619,8
4,0 → 5,0(23+10)/2 = 16,51,016,5
\n
W≈(49,2+31,5+19,8+16,5)mN·cm≈117mN·cm
\n
Krok 3 - przeliczenie jednostek
\n
W=117mN·cm=117×10−3N×10−2m=117×10−5J≈1,2mJ
\n

Wynik mieści się w przedziale akceptacji CKE 0,9-1,5 mJ. (Metoda zliczania kratek z wykresu daje ok. 53 kratek po 0,02 mJ ≈ 1,1 mJ.)

\n

Sposób 2 - Metoda zliczania kratek (zgodna z kluczem CKE)

\n

Klucz CKE szacuje pracę jako pole pod wykresem metodą zliczania kratek. Przyjmując kratkę o boku 10 mN × 0,2 cm:

\n
1 kratka=10mN×0,2cm=10×10−3N×0,2×10−2m=0,02mJ
\n

Liczba kratek pod krzywą między r=2,5 cm a r=5 cm wynosi ok. 53, więc:

\n
W≈53×0,02mJ≈1,1mJ
\n

Kratki niepełne szacujemy w przybliżeniu (1/2 lub 3/4 kratki). Wynik zgodny z metodą trapezów. ✓

\n

Schemat oceniania CKE

\n
📋 Oficjalny klucz CKE - zadanie 11.1a (wykres, 0-3 pkt):
- 3 pkt - opisanie osi, dobranie skali jednostek, zaznaczenie 5 punktow zgodnie z danymi i narysowanie gladkiej krzywej.
- 2 pkt - opisanie osi, dobranie skali, zaznaczenie 4 punktow zgodnie z danymi i narysowanie krzywej LUB opisanie osi, dobranie skali i zaznaczenie 5 punktow zgodnie z danymi.
- 1 pkt - opisanie osi i dobranie skali jednostek.
- 0 pkt - brak spelnienia powyzszych kryteriow.
- Uwaga: dobranie skali oznacza, ze przynajmniej 1/4 dlugosci kazdej z osi musi byc wykorzystana.

📋 Oficjalny klucz CKE - zadanie 11.1b (praca, 0-2 pkt):
- Poprawna odpowiedz: prace szacujemy jako pole pod wykresem (np. metoda zliczania kratek). Jedna kratka 10 mN x 0,2 cm odpowiada pracy 0,02 mJ; liczba kratek pod krzywa to ok. 53, czyli praca w przyblizeniu 1,1 mJ.
- 2 pkt - poprawna metoda oszacowania pracy jako pola pod wykresem, wynik w zakresie od 0,9 mJ do 1,5 mJ.
- 1 pkt - poprawna metoda oszacowania pracy.
- 0 pkt - brak spelnienia powyzszych kryteriow.
\n

Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć

\n
📖 Karta wzorów CKE - Fizyka (mechanika i energia):
- Praca siły zmiennej = pole pod wykresem F(r).
- Jednostki: 1 J = 1 N·m; przelicz mN → N (×10−3) i cm → m (×10−2).
\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga 1: Korzystaj z RZECZYWISTYCH danych tabeli (F rośnie do 163 mN przy r = 2,5 cm) - to one decydują o polu pod wykresem i wyniku ~1,1 mJ.
\n
⚠️ Uwaga 2: Gładka krzywa, nie łamana - F(r) jest funkcją ciągłą; CKE wymaga gładkiej krzywej dla pełnych 3 pkt w części a).
\n
⚠️ Uwaga 3: Przelicz jednostki: pole w [mN·cm] mnożymy przez 10−5, aby otrzymać dżule. Pominięcie tego daje wynik ~1000× za duży.
\n
⚠️ Uwaga 4: Wynik akceptowany przez CKE to przedział 0,9-1,5 mJ - nie pojedyncza liczba, bo to oszacowanie graficzne.
"}]}