{"id":"fizyka-2015-maj-matura-rozszerzona/zad/13","paper_id":"fizyka-2015-maj-matura-rozszerzona","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"fizyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13. (0-1)\nLaser, siatkę dyfrakcyjną oraz ekran umieszczono\nw\nustalonych\nwzajemnych\nodległościach\n(rysunek obok). Po włączeniu lasera na ekranie\nzaobserwowano świecące punkty.\nZaznacz właściwe uzupełnienie poniższego\nzdania\nwybrane\nspośród\nA-C\noraz\nuzasadnienie wybrane spośród 1-3.\nPo całkowitym zanurzeniu siatki oraz ekranu w wodzie i oświetleniu siatki\nświatłem tego samego lasera odległość pomiędzy kolejnymi punktami na\nekranie\nA. wzrosła,\nponieważ\ndługość fali\n1. wzrosła.\nB. nie zmieniła się,\n2. nie zmieniła się.\nC. zmalała,\n3. zmalała.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 13. (0-1)\nI. Znajomość i umiejętność wykorzystania\npojęć i praw fizyki do wyjaśniania procesów\ni zjawisk w przyrodzie.\n10.4. Zdający wyznacza długość fali\nświetlnej przy użyciu siatki dyfrakcyjnej.\nPoprawna odpowiedź\nC - 3\nSchemat punktowania\n1 p. - zaznaczenie obu poprawnych odpowiedzi.\n0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n**C - 3**\n\n**Uzupełnienie C:** odległość pomiędzy kolejnymi punktami na ekranie **zmalała**.\n**Uzasadnienie 3:** ponieważ długość fali (w wodzie) **zmalała** (jest mniejsza niż w powietrzu).\n\nKlucz CKE: **C - 3**.\n\n## Sposób 1 - Równanie siatki dyfrakcyjnej krok po kroku\n\nPodstawowe równanie siatki dyfrakcyjnej:\n\n\\[\nd \\sin\\theta_m = m\\lambda\n\\]\n\ngdzie \\(d\\) - stała siatki (odległość między szczelinami), \\(m\\) - rząd dyfrakcji, \\(\\lambda\\) - długość fali **w ośrodku**, w którym rozchodzi się światło.\n\n**Krok 1 - Co się zmienia w wodzie?**\n\nLaser emituje światło o określonej **częstotliwości** \\(f\\). Częstotliwość **nie zmienia się** przy przejściu do innego ośrodka.\n\nZmienia się natomiast prędkość fali:\n\\[\nv_{woda} = \\frac{c}{n} \\approx \\frac{c}{1{,}33}\n\\]\n\nA skoro \\(v = f \\cdot \\lambda\\), to zmienia się długość fali:\n\n\\[\n\\lambda_{woda} = \\frac{\\lambda_{pow}}{n} \\approx \\frac{\\lambda_{pow}}{1{,}33}\n\\]\n\n**Długość fali w wodzie jest mniejsza niż w powietrzu.**\n\n**Krok 2 - Jaki jest kąt dyfrakcji w wodzie?**\n\n\\[\n\\sin\\theta_m^{(woda)} = \\frac{m\\lambda_{woda}}{d} = \\frac{m\\lambda_{pow}}{n \\cdot d} < \\frac{m\\lambda_{pow}}{d} = \\sin\\theta_m^{(pow)}\n\\]\n\nKąt \\(\\theta_m\\) **maleje** - prążki dyfrakcyjne leżą bliżej środka.\n\n**Krok 3 - Odległość między punktami na ekranie**\n\nDla ekranu w odległości \\(L\\) od siatki, odległość \\(m\\)-tego rzędu od centrum:\n\n\\[\nx_m = L \\tan\\theta_m\n\\]\n\nPrzy małych kątach \\(\\tan\\theta_m \\approx \\sin\\theta_m\\), więc:\n\n\\[\nx_m \\approx \\frac{mL\\lambda}{d}\n\\]\n\nOdległość między **kolejnymi** punktami:\n\n\\[\n\\Delta x = \\frac{L\\lambda}{d}\n\\]\n\nPonieważ \\(\\lambda_{woda} < \\lambda_{pow}\\):\n\n\\[\n\\boxed{\\Delta x_{woda} < \\Delta x_{pow}}\n\\]\n\n**Odległość między kolejnymi punktami zmniejszy się.**\n\n## Sposób 2 - Rozumowanie przez analogię z barwami\n\nKrótsze długości fali → mniejszy kąt ugięcia. To samo doświadczamy obserwując dyfrakcję białego światła: fiolet (\\(\\lambda \\approx 400\\ \\text{nm}\\)) ugina się mniej niż czerwień (\\(\\lambda \\approx 700\\ \\text{nm}\\)), dlatego na ekranie fiolet leży bliżej centrum.\n\nWoda działa dokładnie tak samo jak \"skrócenie długości fali lasera\":\n\n\\[\n\\lambda_{pow} \\xrightarrow{\\text{zanurzenie w wodzie}} \\lambda_{woda} = \\frac{\\lambda_{pow}}{n} \\approx 0{,}75\\,\\lambda_{pow}\n\\]\n\nTo tak, jakbyśmy użyli lasera emitującego krótszą falę - prążki przesuwają się **bliżej centrum** → odległości między punktami **maleją**.\n\n## Sposób 3 - Analiza wymiarowa i proporcje\n\nOdległość między kolejnymi punktami:\n\n\\[\n\\Delta x = \\frac{L\\lambda}{d}\n\\]\n\n| Wielkość | W powietrzu | W wodzie |\n| \\(L\\) (odl. ekran-siatka) | \\(L\\) | \\(L\\) (niezmienione, ekran też w wodzie) |\n| \\(\\lambda\\) | \\(\\lambda_0\\) | \\(\\lambda_0 / n\\) |\n| \\(d\\) (stała siatki) | \\(d\\) | \\(d\\) (niezmienione) |\n| \\(\\Delta x\\) | \\(\\dfrac{L\\lambda_0}{d}\\) | \\(\\dfrac{L\\lambda_0}{nd}\\) |\n\nStosunek:\n\n\\[\n\\frac{\\Delta x_{woda}}{\\Delta x_{pow}} = \\frac{1}{n} \\approx \\frac{1}{1{,}33} \\approx 0{,}75\n\\]\n\nOdległości **zmniejszają się do ok. 75%** wartości w powietrzu.\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> 📋 **Oficjalny klucz CKE (zadanie 13, 0-1 pkt):**\n> - Poprawna odpowiedz: **C - 3** (odleglosc miedzy punktami zmalala, poniewaz dlugosc fali w wodzie zmalala).\n> - **1 pkt** - zaznaczenie obu poprawnych odpowiedzi.\n> - **0 pkt** - brak spelnienia powyzszego kryterium.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja Fizyka, Optyka falowa:**\n>\n> Równanie siatki dyfrakcyjnej:\n> \\[d \\sin\\theta = m\\lambda \\quad (m = 0, \\pm1, \\pm2, \\ldots)\\]\n>\n> Związek prędkości, częstotliwości i długości fali:\n> \\[v = f\\lambda \\implies \\lambda = \\frac{v}{f}\\]\n>\n> Współczynnik załamania:\n> \\[n = \\frac{c}{v} \\implies v_{woda} = \\frac{c}{n}\\]\n>\n> **Użyliśmy:** równanie siatki (Sposób 1) + \\(v = f\\lambda\\) do wykazania, że \\(\\lambda\\) maleje w wodzie.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Wariant | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **Nie zmieni się** | Uczeń myli się, że \"laser się nie zmienił\", więc nic się nie zmienia - zapomina, że to długość fali **w ośrodku** decyduje o dyfrakcji, a nie emitowana przez laser |\n| **Zwiększy się** | Uczeń błędnie wnioskuje: \"woda spowalnia światło → coś 'rośnie'\" - ale myli kierunek: mniejsza prędkość → mniejsza długość fali (nie większa) → mniejszy kąt ugięcia |\n| **Uzasadnienie przez częstotliwość** | \"Częstotliwość w wodzie jest mniejsza\" - **BŁĄD**: częstotliwość jest zachowana przy przejściu między ośrodkami; zmienia się tylko prędkość i długość fali |\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd - myślenie o prędkości zamiast o długości fali. Równanie siatki zawiera \\(\\lambda\\) (długość fali w ośrodku), nie prędkość. To \\(\\lambda\\) maleje w wodzie, i to powoduje mniejszy kąt ugięcia.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pułapka \"ekran w powietrzu\" - gdyby **tylko siatka** była zanurzona a ekran w powietrzu, sytuacja byłaby inna (po wyjściu z wody fala wraca do \\(\\lambda_{pow}\\)). W zadaniu **oba** (siatka **i** ekran) są zanurzone - prawidłowy układ, i nasza analiza jest poprawna.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić \\(n_{wody} \\approx 1{,}33\\) z \\(n_{szkła} \\approx 1{,}5\\)! Dla wody \\(\\lambda_{woda} \\approx 0{,}75\\,\\lambda_{pow}\\), więc prążki przesuwają się do centrum, ale siatka nadal daje wyraźny wzór.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pilnuj etykiet odpowiedzi: odległość ZMALAŁA → uzupełnienie **C**; długość fali ZMALAŁA → uzasadnienie **3**. Stąd para C-3.","image":"img/fizyka-2015-maj-matura-rozszerzona/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 13. (0-1)
Laser, siatkę dyfrakcyjną oraz ekran umieszczono
w
ustalonych
wzajemnych
odległościach
(rysunek obok). Po włączeniu lasera na ekranie
zaobserwowano świecące punkty.
Zaznacz właściwe uzupełnienie poniższego
zdania
wybrane
spośród
A-C
oraz
uzasadnienie wybrane spośród 1-3.
Po całkowitym zanurzeniu siatki oraz ekranu w wodzie i oświetleniu siatki
światłem tego samego lasera odległość pomiędzy kolejnymi punktami na
ekranie
A. wzrosła,
ponieważ
długość fali

\n
  1. wzrosła.
\n

B. nie zmieniła się,

\n
  1. nie zmieniła się.
\n

C. zmalała,

\n
  1. zmalała.
","answer_text_html":"

Zadanie 13. (0-1)
I. Znajomość i umiejętność wykorzystania
pojęć i praw fizyki do wyjaśniania procesów
i zjawisk w przyrodzie.
10.4. Zdający wyznacza długość fali
świetlnej przy użyciu siatki dyfrakcyjnej.
Poprawna odpowiedź
C - 3
Schemat punktowania
1 p. - zaznaczenie obu poprawnych odpowiedzi.
0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n

C - 3

\n

Uzupełnienie C: odległość pomiędzy kolejnymi punktami na ekranie zmalała.
Uzasadnienie 3: ponieważ długość fali (w wodzie) zmalała (jest mniejsza niż w powietrzu).

\n

Klucz CKE: C - 3.

\n

Sposób 1 - Równanie siatki dyfrakcyjnej krok po kroku

\n

Podstawowe równanie siatki dyfrakcyjnej:

\n
dsinθm=mλ
\n

gdzie d - stała siatki (odległość między szczelinami), m - rząd dyfrakcji, λ - długość fali w ośrodku, w którym rozchodzi się światło.

\n

Krok 1 - Co się zmienia w wodzie?

\n

Laser emituje światło o określonej częstotliwości f. Częstotliwość nie zmienia się przy przejściu do innego ośrodka.

\n

Zmienia się natomiast prędkość fali:

\n
vwoda=cn≈c1,33
\n

A skoro v=f·λ, to zmienia się długość fali:

\n
λwoda=λpown≈λpow1,33
\n

Długość fali w wodzie jest mniejsza niż w powietrzu.

\n

Krok 2 - Jaki jest kąt dyfrakcji w wodzie?

\n
sinθm(woda)=mλwodad=mλpown·d<mλpowd=sinθm(pow)
\n

Kąt θm maleje - prążki dyfrakcyjne leżą bliżej środka.

\n

Krok 3 - Odległość między punktami na ekranie

\n

Dla ekranu w odległości L od siatki, odległość m-tego rzędu od centrum:

\n
xm=Ltanθm
\n

Przy małych kątach tanθm≈sinθm, więc:

\n
xm≈mLλd
\n

Odległość między kolejnymi punktami:

\n
Δx=Lλd
\n

Ponieważ λwoda<λpow:

\n
Δxwoda<Δxpow
\n

Odległość między kolejnymi punktami zmniejszy się.

\n

Sposób 2 - Rozumowanie przez analogię z barwami

\n

Krótsze długości fali → mniejszy kąt ugięcia. To samo doświadczamy obserwując dyfrakcję białego światła: fiolet (λ≈400 nm) ugina się mniej niż czerwień (λ≈700 nm), dlatego na ekranie fiolet leży bliżej centrum.

\n

Woda działa dokładnie tak samo jak "skrócenie długości fali lasera":

\n
λpow→zanurzenie w wodzieλwoda=λpown≈0,75λpow
\n

To tak, jakbyśmy użyli lasera emitującego krótszą falę - prążki przesuwają się bliżej centrum → odległości między punktami maleją.

\n

Sposób 3 - Analiza wymiarowa i proporcje

\n

Odległość między kolejnymi punktami:

\n
Δx=Lλd
\n

| Wielkość | W powietrzu | W wodzie |
| L (odl. ekran-siatka) | L | L (niezmienione, ekran też w wodzie) |
| λ | λ0 | λ0/n |
| d (stała siatki) | d | d (niezmienione) |
| Δx | Lλ0d | Lλ0nd |

\n

Stosunek:

\n
ΔxwodaΔxpow=1n≈11,33≈0,75
\n

Odległości zmniejszają się do ok. 75% wartości w powietrzu.

\n

Schemat oceniania CKE

\n
📋 Oficjalny klucz CKE (zadanie 13, 0-1 pkt):
- Poprawna odpowiedz: C - 3 (odleglosc miedzy punktami zmalala, poniewaz dlugosc fali w wodzie zmalala).
- 1 pkt - zaznaczenie obu poprawnych odpowiedzi.
- 0 pkt - brak spelnienia powyzszego kryterium.
\n

Wzory z karty CKE

\n
📖 Karta wzorów CKE - sekcja Fizyka, Optyka falowa:

Równanie siatki dyfrakcyjnej:
dsinθ=mλ(m=0,±1,±2,…)

Związek prędkości, częstotliwości i długości fali:
v=fλ⟹λ=vf

Współczynnik załamania:
n=cv⟹vwoda=cn

Użyliśmy: równanie siatki (Sposób 1) + v=fλ do wykazania, że λ maleje w wodzie.
\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Wariant | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| Nie zmieni się | Uczeń myli się, że "laser się nie zmienił", więc nic się nie zmienia - zapomina, że to długość fali w ośrodku decyduje o dyfrakcji, a nie emitowana przez laser |
| Zwiększy się | Uczeń błędnie wnioskuje: "woda spowalnia światło → coś 'rośnie'" - ale myli kierunek: mniejsza prędkość → mniejsza długość fali (nie większa) → mniejszy kąt ugięcia |
| Uzasadnienie przez częstotliwość | "Częstotliwość w wodzie jest mniejsza" - BŁĄD: częstotliwość jest zachowana przy przejściu między ośrodkami; zmienia się tylko prędkość i długość fali |

\n

Typowe pułapki

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd - myślenie o prędkości zamiast o długości fali. Równanie siatki zawiera λ (długość fali w ośrodku), nie prędkość. To λ maleje w wodzie, i to powoduje mniejszy kąt ugięcia.
\n
⚠️ Uwaga: Pułapka "ekran w powietrzu" - gdyby tylko siatka była zanurzona a ekran w powietrzu, sytuacja byłaby inna (po wyjściu z wody fala wraca do λpow). W zadaniu oba (siatka i ekran) są zanurzone - prawidłowy układ, i nasza analiza jest poprawna.
\n
⚠️ Uwaga: Nie mylić nwody≈1,33 z nszkła≈1,5! Dla wody λwoda≈0,75λpow, więc prążki przesuwają się do centrum, ale siatka nadal daje wyraźny wzór.
\n
⚠️ Uwaga: Pilnuj etykiet odpowiedzi: odległość ZMALAŁA → uzupełnienie C; długość fali ZMALAŁA → uzasadnienie 3. Stąd para C-3.
"}]}