{"id":"fizyka-2015-maj-matura-rozszerzona/zad/14.1","paper_id":"fizyka-2015-maj-matura-rozszerzona","number":"14.1","points":1,"ptype":"closed","subject":"fizyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 14.1. (0-1)\nZaznacz właściwe dokończenie poniższego zdania.\nPo upływie 2 lat moc grzewcza źródła, w którym zastosowano polon\n210Po , zmaleje\ni wyniesie\nA. powyżej 1/5 mocy początkowej.\nB. około 1/10 mocy początkowej.\nC. około 1/25 mocy początkowej.\nD. poniżej 1/30 mocy początkowej.\nobliczenia","answer":"D","answer_text":"Zadanie 14.1. (0-1)\nI. Znajomość i umiejętność wykorzystania\npojęć i praw fizyki do wyjaśniania procesów\ni zjawisk w przyrodzie.\n3.4 (P). Zdający opisuje rozpad izotopu\npromieniotwórczego, posługując się\npojęciem czasu połowicznego rozpadu […].\n12.7. Zdający szacuje wartość\nspodziewanego wyniku obliczeń […].\nPoprawna odpowiedź\nD\nSchemat punktowania\n1 p. - zaznaczenie poprawnej odpowiedzi.\n0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n**D. poniżej 1/30 mocy początkowej.**\n\nPo 2 latach moc maleje do \\(P \\approx 3{,}7\\,\\text{W}\\), czyli do \\(\\approx 1/38\\) mocy początkowej (140 W) - a więc **poniżej 1/30** → odpowiedź **D**.\n\n## Sposób 1 - Prawo rozpadu promieniotwórczego (wykładniczy zanik)\n\nMoc grzewcza jest proporcjonalna do aktywności źródła, która maleje zgodnie z prawem:\n\n\\[P(t) = P_0 \\cdot \\left(\\frac{1}{2}\\right)^{\\!\\frac{t}{T_{1/2}}}\\]\n\n**Dane:**\n- \\(P_0 = 140\\,\\text{W}\\)\n- \\(T_{1/2} = 139\\,\\text{dni}\\)\n- \\(t = 2\\,\\text{lata} = 2 \\times 365\\,\\text{dni} = 730\\,\\text{dni}\\)\n\n**Krok 1 - liczba okresów połowicznego zaniku:**\n\n\\[n = \\frac{t}{T_{1/2}} = \\frac{730\\,\\text{dni}}{139\\,\\text{dni}} \\approx 5{,}25\\]\n\nPo każdym pełnym \\(T_{1/2}\\) aktywność maleje o połowę. Tutaj mija \\(\\approx 5{,}25\\) takich okresów.\n\n**Krok 2 - obliczenie mocy:**\n\n\\[P = 140\\,\\text{W} \\cdot \\left(\\frac{1}{2}\\right)^{5{,}25}\\]\n\nRozbijamy wykładnik:\n\\[\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{5{,}25} = \\left(\\frac{1}{2}\\right)^5 \\cdot \\left(\\frac{1}{2}\\right)^{0{,}25} = \\frac{1}{32} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt[4]{2}} = \\frac{1}{32} \\cdot \\frac{1}{1{,}189} \\approx \\frac{1}{38{,}05} \\approx 0{,}0263\\]\n\n\\[\\boxed{P \\approx 140\\,\\text{W} \\times 0{,}0263 \\approx 3{,}68\\,\\text{W}}\\]\n\n## Sposób 2 - Szacowanie przez \"ile razy 2 lata > \\(T_{1/2}\\)\"\n\nIntuicja: ile razy \\(T_{1/2} = 139\\) dni mieści się w 2 latach?\n\n\\[n = \\frac{730}{139} \\approx 5{,}25\\]\n\nGdyby minęło dokładnie **5 okresów**:\n\\[\\frac{140}{2^5} = \\frac{140}{32} = 4{,}375\\,\\text{W}\\]\n\nGdyby minęło dokładnie **6 okresów**:\n\\[\\frac{140}{2^6} = \\frac{140}{64} = 2{,}19\\,\\text{W}\\]\n\nPonieważ \\(n = 5{,}25\\) - wynik jest **między** \\(4{,}4\\,\\text{W}\\) a \\(2{,}2\\,\\text{W}\\), bliżej wartości dla 5 okresów:\n\n\\[P \\approx 3{,}7\\,\\text{W}\\]\n\nTo szybkie ograniczenie przedziałowe - **bez kalkulatora** można oszacować rząd wielkości na ~3-4 W.\n\n## Sposób 3 - Podejście przez funkcję wykładniczą \\(e^{-\\lambda t}\\)\n\nStała rozpadu:\n\n\\[\\lambda = \\frac{\\ln 2}{T_{1/2}} = \\frac{0{,}6931}{139\\,\\text{dni}} \\approx 4{,}99 \\times 10^{-3}\\,\\text{dni}^{-1}\\]\n\n\\[P(t) = P_0 \\cdot e^{-\\lambda t} = 140\\,\\text{W} \\cdot e^{-4{,}99 \\times 10^{-3} \\cdot 730}\\]\n\n\\[= 140\\,\\text{W} \\cdot e^{-3{,}642} = 140\\,\\text{W} \\cdot 0{,}0263 \\approx 3{,}68\\,\\text{W}\\]\n\nZgodność z Sposobem 1 - oba zapisy są matematycznie tożsame (\\(e^{-\\lambda t} = (1/2)^{t/T_{1/2}}\\)).\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> 📋 **Oficjalny klucz CKE (zadanie 14.1, 0-1 pkt):**\n> - Poprawna odpowiedz: **D**.\n> - **1 pkt** - zaznaczenie poprawnej odpowiedzi.\n> - **0 pkt** - brak spelnienia powyzszego kryterium.\n>\n> Po 2 latach (730 dni / 139 dni ≈ 5,25 okresu polowicznego) moc maleje (1/2)^5,25 ≈ 1/38 razy, czyli ponizej 1/30 mocy poczatkowej.\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (str. 16-20):**\n>\n> **Prawo zaniku promieniotwórczego:**\n> \\[N(t) = N_0 \\cdot \\left(\\frac{1}{2}\\right)^{t/T_{1/2}} \\quad \\Leftrightarrow \\quad N(t) = N_0 \\cdot e^{-\\lambda t}\\]\n>\n> **Aktywność** \\(A \\propto N\\), więc moc grzewcza \\(P \\propto A \\propto N\\) - wszystkie trzy maleją identycznie.\n>\n> **Stała zaniku:**\n> \\[\\lambda = \\frac{\\ln 2}{T_{1/2}}\\]\n>\n> Użyliśmy w każdym z trzech sposobów - raz jako \\((1/2)^n\\), raz jako \\(e^{-\\lambda t}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Wariant | Dlaczego źle |\n| **A** (powyżej 1/5) | 1/5 = 0,2; po 2 latach stosunek to ~0,026 - znacznie mniej niż 1/5. Odpowiada to zaledwie ~2,3 okresu połowicznego, a minęło ~5,25. |\n| **B** (około 1/10) | 1/10 = 0,1; to odpowiada ~3,3 okresu połowicznego, a minęło ~5,25. Za dużo. |\n| **C** (około 1/25) | 1/25 = 0,04; to odpowiada ~4,64 okresu. Bliżej, ale wciąż za dużo - rzeczywiste 5,25 okresu daje ~1/38. |\n| **D** (poniżej 1/30) | 1/38 < 1/30 - zgadza się. Poprawna odpowiedź. |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przelicz lata na dni! \\(t = 2 \\times 365 = 730\\,\\text{dni}\\), nie zostawiaj \"2 lat\" w równaniu gdy \\(T_{1/2}\\) jest w dniach - jednostki muszą być zgodne.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Moc jest proporcjonalna do aktywności, a aktywność - do liczby jąder. Wszystkie trzy wielkości maleją z tym samym wykładnikiem \\((1/2)^{t/T_{1/2}}\\). Nie trzeba osobno liczyć aktywności.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(n = 5{,}25\\) to **nie** jest liczba całkowita - nie zaokrąglaj! Użyj \\((1/2)^{5{,}25}\\) wprost lub rozpisz \\((1/2)^5 \\cdot (1/2)^{0{,}25}\\) jak w Sposobie 1.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(2^{0{,}25} = \\sqrt[4]{2} \\approx 1{,}189\\) - warto zapamiętać (albo liczyć \\(e^{0{,}25 \\cdot \\ln 2} = e^{0{,}173} \\approx 1{,}189\\)).","image":"img/fizyka-2015-maj-matura-rozszerzona/zad-14.1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 14.1. (0-1)
Zaznacz właściwe dokończenie poniższego zdania.
Po upływie 2 lat moc grzewcza źródła, w którym zastosowano polon
210Po , zmaleje
i wyniesie
A. powyżej 1/5 mocy początkowej.
B. około 1/10 mocy początkowej.
C. około 1/25 mocy początkowej.
D. poniżej 1/30 mocy początkowej.
obliczenia

","answer_text_html":"

Zadanie 14.1. (0-1)
I. Znajomość i umiejętność wykorzystania
pojęć i praw fizyki do wyjaśniania procesów
i zjawisk w przyrodzie.
3.4 (P). Zdający opisuje rozpad izotopu
promieniotwórczego, posługując się
pojęciem czasu połowicznego rozpadu […].
12.7. Zdający szacuje wartość
spodziewanego wyniku obliczeń […].
Poprawna odpowiedź
D
Schemat punktowania
1 p. - zaznaczenie poprawnej odpowiedzi.
0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n

D. poniżej 1/30 mocy początkowej.

\n

Po 2 latach moc maleje do P≈3,7W, czyli do ≈1/38 mocy początkowej (140 W) - a więc poniżej 1/30 → odpowiedź D.

\n

Sposób 1 - Prawo rozpadu promieniotwórczego (wykładniczy zanik)

\n

Moc grzewcza jest proporcjonalna do aktywności źródła, która maleje zgodnie z prawem:

\n
P(t)=P0·(12)tT1/2
\n

Dane:

\n\n

Krok 1 - liczba okresów połowicznego zaniku:

\n
n=tT1/2=730dni139dni≈5,25
\n

Po każdym pełnym T1/2 aktywność maleje o połowę. Tutaj mija ≈5,25 takich okresów.

\n

Krok 2 - obliczenie mocy:

\n
P=140W·(12)5,25
\n

Rozbijamy wykładnik:

\n
(12)5,25=(12)5·(12)0,25=132·124=132·11,189≈138,05≈0,0263
\n
P≈140W×0,0263≈3,68W
\n

Sposób 2 - Szacowanie przez "ile razy 2 lata > T1/2"

\n

Intuicja: ile razy T1/2=139 dni mieści się w 2 latach?

\n
n=730139≈5,25
\n

Gdyby minęło dokładnie 5 okresów:

\n
14025=14032=4,375W
\n

Gdyby minęło dokładnie 6 okresów:

\n
14026=14064=2,19W
\n

Ponieważ n=5,25 - wynik jest między 4,4W a 2,2W, bliżej wartości dla 5 okresów:

\n
P≈3,7W
\n

To szybkie ograniczenie przedziałowe - bez kalkulatora można oszacować rząd wielkości na ~3-4 W.

\n

Sposób 3 - Podejście przez funkcję wykładniczą e−λt

\n

Stała rozpadu:

\n
λ=ln2T1/2=0,6931139dni≈4,99×10−3dni−1
\n
P(t)=P0·e−λt=140W·e−4,99×10−3·730
\n
=140W·e−3,642=140W·0,0263≈3,68W
\n

Zgodność z Sposobem 1 - oba zapisy są matematycznie tożsame (e−λt=(1/2)t/T1/2).

\n

Schemat oceniania CKE

\n
📋 Oficjalny klucz CKE (zadanie 14.1, 0-1 pkt):
- Poprawna odpowiedz: D.
- 1 pkt - zaznaczenie poprawnej odpowiedzi.
- 0 pkt - brak spelnienia powyzszego kryterium.

Po 2 latach (730 dni / 139 dni ≈ 5,25 okresu polowicznego) moc maleje (1/2)^5,25 ≈ 1/38 razy, czyli ponizej 1/30 mocy poczatkowej.
\n

Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć

\n
📖 Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (str. 16-20):

Prawo zaniku promieniotwórczego:
N(t)=N0·(12)t/T1/2⇔N(t)=N0·e−λt

Aktywność A∝N, więc moc grzewcza P∝A∝N - wszystkie trzy maleją identycznie.

Stała zaniku:
λ=ln2T1/2

Użyliśmy w każdym z trzech sposobów - raz jako (1/2)n, raz jako e−λt.
\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Wariant | Dlaczego źle |
| A (powyżej 1/5) | 1/5 = 0,2; po 2 latach stosunek to ~0,026 - znacznie mniej niż 1/5. Odpowiada to zaledwie ~2,3 okresu połowicznego, a minęło ~5,25. |
| B (około 1/10) | 1/10 = 0,1; to odpowiada ~3,3 okresu połowicznego, a minęło ~5,25. Za dużo. |
| C (około 1/25) | 1/25 = 0,04; to odpowiada ~4,64 okresu. Bliżej, ale wciąż za dużo - rzeczywiste 5,25 okresu daje ~1/38. |
| D (poniżej 1/30) | 1/38 < 1/30 - zgadza się. Poprawna odpowiedź. |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Przelicz lata na dni! t=2×365=730dni, nie zostawiaj "2 lat" w równaniu gdy T1/2 jest w dniach - jednostki muszą być zgodne.
\n
⚠️ Uwaga: Moc jest proporcjonalna do aktywności, a aktywność - do liczby jąder. Wszystkie trzy wielkości maleją z tym samym wykładnikiem (1/2)t/T1/2. Nie trzeba osobno liczyć aktywności.
\n
⚠️ Uwaga: n=5,25 to nie jest liczba całkowita - nie zaokrąglaj! Użyj (1/2)5,25 wprost lub rozpisz (1/2)5·(1/2)0,25 jak w Sposobie 1.
\n
⚠️ Uwaga: 20,25=24≈1,189 - warto zapamiętać (albo liczyć e0,25·ln2=e0,173≈1,189).
"}]}