{"id":"fizyka-2015-maj-matura-rozszerzona/zad/3.1","paper_id":"fizyka-2015-maj-matura-rozszerzona","number":"3.1","points":1,"ptype":"true_false","subject":"fizyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3.1. (0-1)\nOceń prawdziwość poniższych zdań. Zaznacz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F - jeśli\nzdanie jest fałszywe.\n1. Podczas powolnego podnoszenia słupa siła naciągu liny w części A\nma inną wartość niż siła naciągu liny w części B.\nP\nF\n2. W początkowej fazie podnoszenia słupa kąt β między liną\na poziomem maleje.\nP\nF\n3.\nPrzy niezmiennej wysokości podpory i niezmiennym położeniu\nobrotowej podstawy siła naciągu liny konieczna do uniesienia słupa\nz pozycji poziomej zależy od wysokości (długości) słupa.\nP\nF\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n1.1.\n1.2.\n1.3.\n1.4.\n2.\n3.1.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\n1\n1\nUzyskana liczba pkt\npodnoszony słup\ntraktor\nlina\npodpora\nα\nobrotowa podstawa\nkrążek\nA\nB\nβ\nMFA_1R","answer":"F","answer_text":"Zadanie 3.1. (0-1)\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu […]\ni rysunków.\n1.13. Zdający składa i rozkłada siły działające\nwzdłuż prostych nierównoległych.\nPoprawna odpowiedź\n1 - F, 2 - P, 3 - P.\n1 p. - zaznaczenie trzech poprawnych odpowiedzi.\n0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n| Stwierdzenie | Ocena |\n| 1. Siła naciągu w części A ≠ siła naciągu w części B | **F** |\n| 2. W początkowej fazie kąt β maleje | **P** |\n| 3. Siła naciągu konieczna do uniesienia zależy od długości słupa | **P** |\n\n## Sposób 1 - Analiza fizyczna każdego stwierdzenia osobno\n\n### Stwierdzenie 1 - FAŁSZ: Zasada nieważkiego, bezwładnościowego krążka\n\nZadanie precyzuje: **krążek obraca się bez tarcia**. Bezwładnościowy, bezwładny (lekki) krążek bez tarcia spełnia warunek:\n\n> Siła naciągu liny jest **taka sama po obu stronach krążka.**\n\nFormalny argument: Tor elementu liny w pobliżu krążka jest zakrzywiony. Dla równowagi elementu krążka w kącie φ:\n\n\\[T_A \\cdot R\\, d\\varphi = T_B \\cdot R\\, d\\varphi \\implies T_A = T_B\\]\n\ngdyż tarcie = 0 i masa krążka jest pominięta. Stwierdzenie 1 mówi, że wartości są **różne** → **FAŁSZ**.\n\n### Stwierdzenie 2 - PRAWDA: Geometria układu traktora\n\nWprowadzam układ współrzędnych (rysunek poniżej):\n\nKrążek (x_s, H_s) - STAŁY\nczęść A część B (kąt β z poziomem)\nWierzchołek Traktor\nsłupa na ziemi\n\n**Obrót słupa:** wierzchołek porusza się po łuku koła o promieniu \\(L\\) (długość słupa) od pozycji \\((L, 0)\\) w górę. Długość odcinka A (wierzchołek → krążek) jest początkowo duża (wierzchołek daleko od krążka), a wraz z podnoszeniem słupa **maleje** (wierzchołek przybliża się do krążka).\n\nLina jest nierozciągliwa → całkowita długość stała:\n\\[l_A + l_B = \\text{const}\\]\n\nSkoro \\(l_A\\) maleje → \\(l_B\\) **rośnie** → traktor oddala się od podpory.\n\nKąt β to kąt między odcinkiem B (od krążka do traktora) a poziomem:\n\\[\\beta = \\arctan\\!\\left(\\frac{H_s}{x_{\\text{traktor}}}\\right)\\]\n\nWraz z rosnącym \\(x_{\\text{traktor}}\\) (traktor się oddala): \\(\\beta\\) **maleje**. Dotyczy to w szczególności **początkowej fazy** (małe kąty podniesienia słupa). Stwierdzenie 2 → **PRAWDA**.\n\n### Stwierdzenie 3 - PRAWDA: Momentowa analiza równowagi słupa w pozycji poziomej\n\nUstawiam oś obrotu w zakotwiczonej podstawie. Dla quasi-statycznego podnoszenia (powolnie):\n\n\\[\\sum M_{\\text{podstawa}} = 0\\]\n\nSiły działające:\n- Siła grawitacji \\(mg\\) - przyłożona w środku ciężkości, w odległości \\(\\tfrac{L}{2}\\) od podstawy\n- Naciąg liny \\(T\\) - przyłożony w wierzchołku, w odległości \\(L\\) od podstawy, pod kątem \\(\\alpha\\) do osi słupa\n\nRównanie momentów (słup poziomy, moment ramię siły prostopadłej do słupa):\n\n\\[\\boxed{T \\cdot \\sin(\\alpha) \\cdot L = mg \\cdot \\frac{L}{2}}\\]\n\n\\[T = \\frac{mg}{2\\sin\\alpha}\\]\n\n**Zależność od \\(L\\):** Kąt \\(\\alpha\\) - kąt między liną (część A) a słupem - zależy od geometrii:\n\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{H_s}{\\sqrt{(L - x_s)^2 + H_s^2}}\\]\n\ngdzie \\(H_s\\), \\(x_s\\) to **stałe** (niezmieniona wysokość i pozycja podpory). Przy rosnącym \\(L\\) maleje \\(\\sin\\alpha\\), czyli:\n\n\\[T = \\frac{mg}{2} \\cdot \\frac{\\sqrt{(L-x_s)^2 + H_s^2}}{H_s}\\]\n\n**Dwa efekty zależności od \\(L\\):**\n1. \\(m = \\rho L\\) dla jednorodnego słupa - dłuższy słup jest cięższy\n2. \\(\\sin\\alpha\\) maleje wraz z \\(L\\) - dłuższy słup ma linę pod mniejszym kątem → trzeba większej siły\n\nObydwa efekty **wzmacniają** zależność od \\(L\\). Stwierdzenie 3 → **PRAWDA**.\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja eliminacyjna (dla stwierdzenia 3)\n\nWyobraźmy sobie dwa warianty:\n\n| Cecha | Słup krótki (5 m) | Słup długi (20 m) |\n| Masa | mała | duża |\n| Kąt α liny z poziomem słupa | duży (lina stroma) | mały (lina prawie pozioma) |\n| Moment sił grawitacji | mały | duży |\n| Ramię siły naciągu | małe (sin α mały, **i** L małe) | → zależy od proporcji |\n\nNawet przy **tej samej masie** - wyobraźmy słupy o tej samej masie lecz różnej długości:\n\n\\[T = \\frac{mg \\cdot \\sqrt{(L-x_s)^2+H_s^2}}{2 H_s}\\]\n\nDla \\(x_s = 0\\), \\(H_s = 5\\,\\text{m}\\), \\(m = 100\\,\\text{kg}\\):\n- \\(L = 10\\,\\text{m}\\): \\(T = \\frac{100 \\cdot 10 \\cdot \\sqrt{100+25}}{2 \\cdot 5} \\approx \\frac{1000 \\cdot 11{,}2}{10} \\approx 1120\\,\\text{N}\\)\n- \\(L = 20\\,\\text{m}\\): \\(T = \\frac{100 \\cdot 10 \\cdot \\sqrt{400+25}}{10} \\approx \\frac{1000 \\cdot 20{,}6}{10} \\approx 2060\\,\\text{N}\\)\n\nSiła naciągu **wyraźnie różna** → stwierdzenie 3 = **PRAWDA**. ✓\n\n## Sposób 3 - Geometryczna intuicja dla stwierdzenia 2 (trajektoria traktora)\n\nGdy słup jest poziomy: wierzchołek jest w największej odległości poziomej od krążka → odcinek A jest najdłuższy → odcinek B jest najkrótszy → traktor jest **najbliżej** podpory → kąt β jest **największy**.\n\nPrzy każdym kroku podnoszenia: wierzchołek podąża łukiem, skraca odcinek A → traktor musi ustąpić dalej → β maleje. W szczególności: od pierwszego centymetra podnoszenia, β już maleje. **Dotyczy to dokładnie „początkowej fazy\"** opisanej w stwierdzeniu 2. ✓\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> 📋 **Oficjalny klucz CKE (zadanie 3.1, 0-1 pkt):**\n> - Poprawna odpowiedz: **1 - F, 2 - P, 3 - P**.\n> - **1 pkt** - zaznaczenie trzech poprawnych odpowiedzi.\n> - **0 pkt** - brak spelnienia powyzszego kryterium.\n\n## Wzory z karty CKE - czego masz użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA, str. 16-20:**\n> Warunki równowagi bryły sztywnej: suma momentów sił względem dowolnego punktu = 0.\n> \\(\\sum M = 0\\) (dla powolnego, quasi-statycznego unoszenia)\n>\n> Własność krążka bez tarcia: \\(T_1 = T_2\\) - bezpośrednio wynika z braku tarcia i małej masy krążka.\n>\n> Moment siły: \\(M = F \\cdot d_\\perp = F \\cdot r \\cdot \\sin\\theta\\), gdzie \\(d_\\perp\\) to ramię siły.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Stwierdzenie | Błędna odpowiedź | Typowy błąd rozumowania |\n| 1 (krążek) | P (zamiast F) | Uczeń myli krążek ruchomy (blok z osią ruchomą, dający przewagę 2:1) z krążkiem stałym (tutaj!). Stały krążek bez tarcia **tylko zmienia kierunek siły**, nie jej wartość. |\n| 2 (kąt β) | F (zamiast P) | Uczeń myśli, że traktor zbliża się do podpory (skoro słup wychodzi z pozycji poziomej, „coś musi wchodzić\"), a nie odsuwa. Intuicja odwrotna - traktor musi ciągnąć = oddalać się. |\n| 3 (długość słupa) | F (zamiast P) | Uczeń „upraszcza\" równanie momentów do \\(T \\sin\\alpha \\cdot L = mg \\cdot L/2\\) i „skraca \\(L\\)\", zapominając że: (a) \\(\\sin\\alpha\\) zależy od \\(L\\), (b) masa \\(m\\) słupa też zależy od \\(L\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Krążek bez tarcia ≠ wielokrążek z przewagą mechaniczną. Krążek stały **nie zmienia wartości siły** - tylko jej kierunek. Myląc to, uczeń błędnie zaznacza P w stwierdzeniu 1.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W stwierdzeniu 3 można błędnie „skrócić \\(L\\)\" z równania momentów - ale to jest błąd, bo \\(\\sin\\alpha\\) jest **funkcją \\(L\\)** (geometria układu zmienia się wraz z długością słupa). Skrócenie \\(L\\) byłoby uprawnione tylko gdyby kąt α był stały - a nie jest.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Stwierdzenie 3 pyta o podnoszenie z pozycji **poziomej** - to upraszcza obliczenia (ramię siły ciężkości = \\(L/2\\), ramię prostopadłe do słupa wprost z sin α). Nie mylić z sytuacją dla dowolnego kąta nachylenia!","image":"img/fizyka-2015-maj-matura-rozszerzona/zad-3.1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":3,"source":"ocr","answer_source":"maturazai","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 3.1. (0-1)
Oceń prawdziwość poniższych zdań. Zaznacz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F - jeśli
zdanie jest fałszywe.

\n
  1. Podczas powolnego podnoszenia słupa siła naciągu liny w części A
\n

ma inną wartość niż siła naciągu liny w części B.
P
F

\n
  1. W początkowej fazie podnoszenia słupa kąt β między liną
\n

a poziomem maleje.
P
F
3.
Przy niezmiennej wysokości podpory i niezmiennym położeniu
obrotowej podstawy siła naciągu liny konieczna do uniesienia słupa
z pozycji poziomej zależy od wysokości (długości) słupa.
P
F
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
2.
3.1.
Maks. liczba pkt
1
1
1
1
1
1
Uzyskana liczba pkt
podnoszony słup
traktor
lina
podpora
α
obrotowa podstawa
krążek
A
B
β
MFA_1R

","answer_text_html":"

Zadanie 3.1. (0-1)
III. Wykorzystanie i przetwarzanie
informacji zapisanych w postaci tekstu […]
i rysunków.
1.13. Zdający składa i rozkłada siły działające
wzdłuż prostych nierównoległych.
Poprawna odpowiedź
1 - F, 2 - P, 3 - P.
1 p. - zaznaczenie trzech poprawnych odpowiedzi.
0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n

| Stwierdzenie | Ocena |
| 1. Siła naciągu w części A ≠ siła naciągu w części B | F |
| 2. W początkowej fazie kąt β maleje | P |
| 3. Siła naciągu konieczna do uniesienia zależy od długości słupa | P |

\n

Sposób 1 - Analiza fizyczna każdego stwierdzenia osobno

\n
Stwierdzenie 1 - FAŁSZ: Zasada nieważkiego, bezwładnościowego krążka
\n

Zadanie precyzuje: krążek obraca się bez tarcia. Bezwładnościowy, bezwładny (lekki) krążek bez tarcia spełnia warunek:

\n
Siła naciągu liny jest taka sama po obu stronach krążka.
\n

Formalny argument: Tor elementu liny w pobliżu krążka jest zakrzywiony. Dla równowagi elementu krążka w kącie φ:

\n
TA·Rdφ=TB·Rdφ⟹TA=TB
\n

gdyż tarcie = 0 i masa krążka jest pominięta. Stwierdzenie 1 mówi, że wartości są różne → FAŁSZ.

\n
Stwierdzenie 2 - PRAWDA: Geometria układu traktora
\n

Wprowadzam układ współrzędnych (rysunek poniżej):

\n

Krążek (x_s, H_s) - STAŁY
część A część B (kąt β z poziomem)
Wierzchołek Traktor
słupa na ziemi

\n

Obrót słupa: wierzchołek porusza się po łuku koła o promieniu L (długość słupa) od pozycji (L,0) w górę. Długość odcinka A (wierzchołek → krążek) jest początkowo duża (wierzchołek daleko od krążka), a wraz z podnoszeniem słupa maleje (wierzchołek przybliża się do krążka).

\n

Lina jest nierozciągliwa → całkowita długość stała:

\n
lA+lB=const
\n

Skoro lA maleje → lB rośnie → traktor oddala się od podpory.

\n

Kąt β to kąt między odcinkiem B (od krążka do traktora) a poziomem:

\n
β=arctan(Hsxtraktor)
\n

Wraz z rosnącym xtraktor (traktor się oddala): β maleje. Dotyczy to w szczególności początkowej fazy (małe kąty podniesienia słupa). Stwierdzenie 2 → PRAWDA.

\n
Stwierdzenie 3 - PRAWDA: Momentowa analiza równowagi słupa w pozycji poziomej
\n

Ustawiam oś obrotu w zakotwiczonej podstawie. Dla quasi-statycznego podnoszenia (powolnie):

\n
∑Mpodstawa=0
\n

Siły działające:

\n\n

Równanie momentów (słup poziomy, moment ramię siły prostopadłej do słupa):

\n
T·sin(α)·L=mg·L2
\n
T=mg2sinα
\n

Zależność od L: Kąt α - kąt między liną (część A) a słupem - zależy od geometrii:

\n
sinα=Hs(L−xs)2+Hs2
\n

gdzie Hs, xs to stałe (niezmieniona wysokość i pozycja podpory). Przy rosnącym L maleje sinα, czyli:

\n
T=mg2·(L−xs)2+Hs2Hs
\n

Dwa efekty zależności od L:

\n
  1. m=ρL dla jednorodnego słupa - dłuższy słup jest cięższy
  2. sinα maleje wraz z L - dłuższy słup ma linę pod mniejszym kątem → trzeba większej siły
\n

Obydwa efekty wzmacniają zależność od L. Stwierdzenie 3 → PRAWDA.

\n

Sposób 2 - Weryfikacja eliminacyjna (dla stwierdzenia 3)

\n

Wyobraźmy sobie dwa warianty:

\n

| Cecha | Słup krótki (5 m) | Słup długi (20 m) |
| Masa | mała | duża |
| Kąt α liny z poziomem słupa | duży (lina stroma) | mały (lina prawie pozioma) |
| Moment sił grawitacji | mały | duży |
| Ramię siły naciągu | małe (sin α mały, i L małe) | → zależy od proporcji |

\n

Nawet przy tej samej masie - wyobraźmy słupy o tej samej masie lecz różnej długości:

\n
T=mg·(L−xs)2+Hs22Hs
\n

Dla xs=0, Hs=5m, m=100kg:

\n\n

Siła naciągu wyraźnie różna → stwierdzenie 3 = PRAWDA. ✓

\n

Sposób 3 - Geometryczna intuicja dla stwierdzenia 2 (trajektoria traktora)

\n

Gdy słup jest poziomy: wierzchołek jest w największej odległości poziomej od krążka → odcinek A jest najdłuższy → odcinek B jest najkrótszy → traktor jest najbliżej podpory → kąt β jest największy.

\n

Przy każdym kroku podnoszenia: wierzchołek podąża łukiem, skraca odcinek A → traktor musi ustąpić dalej → β maleje. W szczególności: od pierwszego centymetra podnoszenia, β już maleje. Dotyczy to dokładnie „początkowej fazy" opisanej w stwierdzeniu 2. ✓

\n

Schemat oceniania CKE

\n
📋 Oficjalny klucz CKE (zadanie 3.1, 0-1 pkt):
- Poprawna odpowiedz: 1 - F, 2 - P, 3 - P.
- 1 pkt - zaznaczenie trzech poprawnych odpowiedzi.
- 0 pkt - brak spelnienia powyzszego kryterium.
\n

Wzory z karty CKE - czego masz użyć

\n
📖 Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA, str. 16-20:
Warunki równowagi bryły sztywnej: suma momentów sił względem dowolnego punktu = 0.
∑M=0 (dla powolnego, quasi-statycznego unoszenia)

Własność krążka bez tarcia: T1=T2 - bezpośrednio wynika z braku tarcia i małej masy krążka.

Moment siły: M=F·d⟂=F·r·sinθ, gdzie d⟂ to ramię siły.
\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Stwierdzenie | Błędna odpowiedź | Typowy błąd rozumowania |
| 1 (krążek) | P (zamiast F) | Uczeń myli krążek ruchomy (blok z osią ruchomą, dający przewagę 2:1) z krążkiem stałym (tutaj!). Stały krążek bez tarcia tylko zmienia kierunek siły, nie jej wartość. |
| 2 (kąt β) | F (zamiast P) | Uczeń myśli, że traktor zbliża się do podpory (skoro słup wychodzi z pozycji poziomej, „coś musi wchodzić"), a nie odsuwa. Intuicja odwrotna - traktor musi ciągnąć = oddalać się. |
| 3 (długość słupa) | F (zamiast P) | Uczeń „upraszcza" równanie momentów do Tsinα·L=mg·L/2 i „skraca L", zapominając że: (a) sinα zależy od L, (b) masa m słupa też zależy od L. |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Krążek bez tarcia ≠ wielokrążek z przewagą mechaniczną. Krążek stały nie zmienia wartości siły - tylko jej kierunek. Myląc to, uczeń błędnie zaznacza P w stwierdzeniu 1.
\n
⚠️ Uwaga: W stwierdzeniu 3 można błędnie „skrócić L" z równania momentów - ale to jest błąd, bo sinα jest funkcją L (geometria układu zmienia się wraz z długością słupa). Skrócenie L byłoby uprawnione tylko gdyby kąt α był stały - a nie jest.
\n
⚠️ Uwaga: Stwierdzenie 3 pyta o podnoszenie z pozycji poziomej - to upraszcza obliczenia (ramię siły ciężkości = L/2, ramię prostopadłe do słupa wprost z sin α). Nie mylić z sytuacją dla dowolnego kąta nachylenia!
"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

1 – F, 2 – P, 3 – P.

"}]}