{"id":"fizyka-2015-maj-matura-rozszerzona/zad/3.2","paper_id":"fizyka-2015-maj-matura-rozszerzona","number":"3.2","points":4,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3.2. (0-4)\nMasa słupa wynosi 2000 kg, a kąt α jest równy 15°. Przyjmujemy, że środek masy słupa\nznajduje się w połowie jego długości.\nOblicz minimalną wartość siły naciągu liny konieczną do uniesienia leżącego słupa.\nMFA_1R","answer":null,"answer_text":"Zadanie 3.2. (0-4)\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\n2.4. Zdający analizuje równowagę brył\nsztywnych […].\nPoprawna odpowiedź\nMoment MP siły ciężkości działającej na słup musi się równoważyć z momentem MN siły\nnaciągu liny NሬሬԦ. Oba momenty zapisujemy względem osi przechodzącej przez obrotową\npodstawę słupa.\nMP = mg\nl\n2 = MN = Nl sin α\nStąd po przekształceniu otrzymujemy\nN =\nm g\n2 sin α =\n2000 kg · 9,81 m/s2\n2 · 0,2588\n= 37,9 kN\nSchemat punktowania\n4 p. - napisanie poprawnych wzorów na MP oraz na MN, przyrównanie tych wyrażeń\ni poprawne obliczenie wartości siły naciągu N.\n3 p. - napisanie poprawnych wzorów na MP oraz na MN, przyrównanie tych wyrażeń\ni przekształcenie wzoru w celu obliczenia wartości siły naciągu N.\n2 p. - napisanie poprawnych wzorów na MP oraz na MN.\n1 p. - przyrównanie dwóch momentów sił zapisanych jako iloczyny sił i długości.\nlub\n- napisanie poprawnego wzoru na MP.\nlub\n- napisanie poprawnego wzoru na MN.\n0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n\\[N = \\frac{mg}{2\\sin\\alpha} = \\frac{2000 \\cdot 9{,}81}{2 \\cdot \\sin 15°} = \\frac{19620}{2 \\cdot 0{,}2588} \\approx \\mathbf{37{,}9 \\text{ kN}}\\]\n\n## Sposób 1 - Równanie momentów sił względem osi obrotu (obrotowa podstawa słupa)\n\n**Schemat sytuacji (zgodny z kluczem CKE):**\n\nSłup **leży poziomo** na ziemi i ma być dopiero uniesiony. Oś obrotu to zakotwiczona w ziemi **obrotowa podstawa** słupa. Lina przyczepiona jest do wierzchołka leżącego słupa (na odległości \\(l\\) od podstawy) i biegnie do podpory z krążkiem. Kąt \\(\\alpha\\) to kąt między liną (część A) a leżącym słupem.\n\n**Krok 1 - siły działające na słup:**\n- Ciężar \\(mg\\) skierowany pionowo w dół, przyłożony w środku masy w odległości \\(\\frac{l}{2}\\) od podstawy.\n- Siła naciągu liny \\(N\\) przyłożona w wierzchołku słupa (odległość \\(l\\) od podstawy), pod kątem \\(\\alpha\\) do słupa.\n\n**Krok 2 - moment siły ciężkości:**\n\nDla słupa leżącego poziomo ramię siły ciężkości (pionowej) względem podstawy to po prostu pozioma odległość środka masy:\n\\[M_P = mg \\cdot \\frac{l}{2}\\]\n\n**Krok 3 - moment siły naciągu:**\n\nSkładowa siły \\(N\\) prostopadła do słupa to \\(N\\sin\\alpha\\), przyłożona na ramieniu \\(l\\):\n\\[M_N = N \\cdot l \\cdot \\sin\\alpha\\]\n\n**Krok 4 - warunek równowagi momentów** (na granicy uniesienia):\n\\[M_P = M_N\\]\n\\[mg \\cdot \\frac{l}{2} = N \\cdot l \\cdot \\sin\\alpha\\]\n\nDługość słupa \\(l\\) skraca się obustronnie:\n\\[\\boxed{N = \\frac{mg}{2\\sin\\alpha}}\\]\n\n**Krok 5 - podstawiamy liczby:**\n\\[N = \\frac{2000 \\cdot 9{,}81}{2 \\cdot \\sin 15°} = \\frac{19620}{2 \\cdot 0{,}2588} = \\frac{19620}{0{,}5176} \\approx 37\\,900 \\text{ N} \\approx \\mathbf{37{,}9 \\text{ kN}}\\]\n\n## Sposób 2 - Interpretacja geometryczna ramienia siły naciągu\n\nMomenty obu sił liczymy względem osi przechodzącej przez obrotową podstawę słupa. Lina działa na końcu słupa pod kątem \\(\\alpha\\) do jego osi - efektywne (prostopadłe) ramię tej siły to rzut na kierunek prostopadły do słupa, czyli czynnik \\(\\sin\\alpha\\).\n\nDla minimalnej siły koniecznej do **rozpoczęcia** unoszenia z położenia poziomego mamy równowagę:\n\\[N\\, l \\sin\\alpha = mg \\frac{l}{2}\\]\n\nco po przekształceniu daje \\(N = \\dfrac{mg}{2\\sin\\alpha}\\). Im mniejszy kąt \\(\\alpha\\) (lina bardziej wzdłuż słupa), tym większa potrzebna siła - dlatego w pierwszej fazie unoszenia naciąg jest największy.\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> 📋 **Oficjalny klucz CKE (zadanie 3.2, 0-4 pkt):**\n>\n> Poprawna odpowiedz: Moment M_P sily ciezkosci dzialajacej na slup musi sie rownowazyc z momentem M_N sily naciagu liny N. Oba momenty zapisujemy wzgledem osi przechodzacej przez obrotowa podstawe slupa: M_P = mg(l/2) = M_N = N l sin α. Stad N = mg/(2 sin α) = 37,9 kN.\n>\n> - **4 pkt** - napisanie poprawnych wzorow na M_P oraz na M_N, przyrownanie tych wyrazen i poprawne obliczenie wartosci sily naciagu N.\n> - **3 pkt** - napisanie poprawnych wzorow na M_P oraz na M_N, przyrownanie tych wyrazen i przeksztalcenie wzoru w celu obliczenia wartosci sily naciagu N.\n> - **2 pkt** - napisanie poprawnych wzorow na M_P oraz na M_N.\n> - **1 pkt** - przyrownanie dwoch momentow sil zapisanych jako iloczyny sil i dlugosci LUB napisanie poprawnego wzoru na M_P LUB napisanie poprawnego wzoru na M_N.\n> - **0 pkt** - brak spelnienia powyzszych kryteriow.\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - Fizyka (mechanika, statyka):**\n>\n> **Moment siły:** \\(M = F \\cdot r \\cdot \\sin\\theta\\), gdzie \\(r\\) - odległość punktu przyłożenia od osi, \\(\\theta\\) - kąt między siłą a ramieniem.\n>\n> **Warunek równowagi momentów:** \\(\\sum M_i = 0\\) (dla powolnego, quasi-statycznego unoszenia).\n>\n> \\(\\sin 15° \\approx 0{,}2588\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Pułapka 1 - błędna geometria (cos zamiast sin):** Słup w tym zadaniu **leży poziomo**, a \\(\\alpha\\) to kąt między liną a słupem. Ramię ciężaru = \\(l/2\\), ramię naciągu = \\(l\\sin\\alpha\\). Stąd \\(N = \\frac{mg}{2\\sin\\alpha}\\). Błędem jest potraktowanie \\(\\alpha\\) jako nachylenia słupa do poziomu i użycie \\(\\cos\\alpha\\).\n\n> ⚠️ **Pułapka 2 - pominięcie składowej prostopadłej naciągu:** Tylko składowa \\(N\\sin\\alpha\\) (prostopadła do słupa) daje moment obrotowy. Składowa wzdłuż słupa nie unosi go.\n\n> ⚠️ **Pułapka 3 - oś obrotu:** Momenty liczymy względem zakotwiczonej obrotowej podstawy słupa, bo tam słup się obraca i reakcja podpory nie daje momentu.\n\n> ⚠️ **Pułapka 4 - długość słupa:** \\(l\\) występuje po obu stronach równania momentów i się skraca - wynik nie zależy od długości słupa, tylko od masy i kąta \\(\\alpha\\).","image":"img/fizyka-2015-maj-matura-rozszerzona/zad-3.2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 3.2. (0-4)
Masa słupa wynosi 2000 kg, a kąt α jest równy 15°. Przyjmujemy, że środek masy słupa
znajduje się w połowie jego długości.
Oblicz minimalną wartość siły naciągu liny konieczną do uniesienia leżącego słupa.
MFA_1R

","answer_text_html":"

Zadanie 3.2. (0-4)
IV. Budowa prostych modeli fizycznych
i matematycznych do opisu zjawisk.
2.4. Zdający analizuje równowagę brył
sztywnych […].
Poprawna odpowiedź
Moment MP siły ciężkości działającej na słup musi się równoważyć z momentem MN siły
naciągu liny NሬሬԦ. Oba momenty zapisujemy względem osi przechodzącej przez obrotową
podstawę słupa.
MP = mg
l
2 = MN = Nl sin α
Stąd po przekształceniu otrzymujemy
N =
m g
2 sin α =
2000 kg · 9,81 m/s2
2 · 0,2588
= 37,9 kN
Schemat punktowania
4 p. - napisanie poprawnych wzorów na MP oraz na MN, przyrównanie tych wyrażeń
i poprawne obliczenie wartości siły naciągu N.
3 p. - napisanie poprawnych wzorów na MP oraz na MN, przyrównanie tych wyrażeń
i przekształcenie wzoru w celu obliczenia wartości siły naciągu N.
2 p. - napisanie poprawnych wzorów na MP oraz na MN.
1 p. - przyrównanie dwóch momentów sił zapisanych jako iloczyny sił i długości.
lub

\n\n

lub

\n\n

0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n
N=mg2sinα=2000·9,812·sin15°=196202·0,2588≈37,9 kN
\n

Sposób 1 - Równanie momentów sił względem osi obrotu (obrotowa podstawa słupa)

\n

Schemat sytuacji (zgodny z kluczem CKE):

\n

Słup leży poziomo na ziemi i ma być dopiero uniesiony. Oś obrotu to zakotwiczona w ziemi obrotowa podstawa słupa. Lina przyczepiona jest do wierzchołka leżącego słupa (na odległości l od podstawy) i biegnie do podpory z krążkiem. Kąt α to kąt między liną (część A) a leżącym słupem.

\n

Krok 1 - siły działające na słup:

\n\n

Krok 2 - moment siły ciężkości:

\n

Dla słupa leżącego poziomo ramię siły ciężkości (pionowej) względem podstawy to po prostu pozioma odległość środka masy:

\n
MP=mg·l2
\n

Krok 3 - moment siły naciągu:

\n

Składowa siły N prostopadła do słupa to Nsinα, przyłożona na ramieniu l:

\n
MN=N·l·sinα
\n

Krok 4 - warunek równowagi momentów (na granicy uniesienia):

\n
MP=MN
\n
mg·l2=N·l·sinα
\n

Długość słupa l skraca się obustronnie:

\n
N=mg2sinα
\n

Krok 5 - podstawiamy liczby:

\n
N=2000·9,812·sin15°=196202·0,2588=196200,5176≈37900 N≈37,9 kN
\n

Sposób 2 - Interpretacja geometryczna ramienia siły naciągu

\n

Momenty obu sił liczymy względem osi przechodzącej przez obrotową podstawę słupa. Lina działa na końcu słupa pod kątem α do jego osi - efektywne (prostopadłe) ramię tej siły to rzut na kierunek prostopadły do słupa, czyli czynnik sinα.

\n

Dla minimalnej siły koniecznej do rozpoczęcia unoszenia z położenia poziomego mamy równowagę:

\n
Nlsinα=mgl2
\n

co po przekształceniu daje N=mg2sinα. Im mniejszy kąt α (lina bardziej wzdłuż słupa), tym większa potrzebna siła - dlatego w pierwszej fazie unoszenia naciąg jest największy.

\n

Schemat oceniania CKE

\n
📋 Oficjalny klucz CKE (zadanie 3.2, 0-4 pkt):

Poprawna odpowiedz: Moment M_P sily ciezkosci dzialajacej na slup musi sie rownowazyc z momentem M_N sily naciagu liny N. Oba momenty zapisujemy wzgledem osi przechodzacej przez obrotowa podstawe slupa: M_P = mg(l/2) = M_N = N l sin α. Stad N = mg/(2 sin α) = 37,9 kN.

- 4 pkt - napisanie poprawnych wzorow na M_P oraz na M_N, przyrownanie tych wyrazen i poprawne obliczenie wartosci sily naciagu N.
- 3 pkt - napisanie poprawnych wzorow na M_P oraz na M_N, przyrownanie tych wyrazen i przeksztalcenie wzoru w celu obliczenia wartosci sily naciagu N.
- 2 pkt - napisanie poprawnych wzorow na M_P oraz na M_N.
- 1 pkt - przyrownanie dwoch momentow sil zapisanych jako iloczyny sil i dlugosci LUB napisanie poprawnego wzoru na M_P LUB napisanie poprawnego wzoru na M_N.
- 0 pkt - brak spelnienia powyzszych kryteriow.
\n

Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć

\n
📖 Karta wzorów CKE - Fizyka (mechanika, statyka):

Moment siły: M=F·r·sinθ, gdzie r - odległość punktu przyłożenia od osi, θ - kąt między siłą a ramieniem.

Warunek równowagi momentów: ∑Mi=0 (dla powolnego, quasi-statycznego unoszenia).

sin15°≈0,2588.
\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Pułapka 1 - błędna geometria (cos zamiast sin): Słup w tym zadaniu leży poziomo, a α to kąt między liną a słupem. Ramię ciężaru = l/2, ramię naciągu = lsinα. Stąd N=mg2sinα. Błędem jest potraktowanie α jako nachylenia słupa do poziomu i użycie cosα.
\n
⚠️ Pułapka 2 - pominięcie składowej prostopadłej naciągu: Tylko składowa Nsinα (prostopadła do słupa) daje moment obrotowy. Składowa wzdłuż słupa nie unosi go.
\n
⚠️ Pułapka 3 - oś obrotu: Momenty liczymy względem zakotwiczonej obrotowej podstawy słupa, bo tam słup się obraca i reakcja podpory nie daje momentu.
\n
⚠️ Pułapka 4 - długość słupa: l występuje po obu stronach równania momentów i się skraca - wynik nie zależy od długości słupa, tylko od masy i kąta α.
"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

N=37,9 kN

"}]}