{"id":"fizyka-2015-maj-matura-rozszerzona/zad/3.3","paper_id":"fizyka-2015-maj-matura-rozszerzona","number":"3.3","points":3,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3.3. (0-3)\nSłup o długości 12 m był podnoszony bardzo powoli. Gdy był on już w położeniu prawie\npionowym, lina odczepiła się od niego. W wyniku tej awarii słup się przewrócił.\nOblicz wartość prędkości liniowej końca słupa w chwili uderzenia o powierzchnię ziemi.\nPrzyjmij, że słup można potraktować jako cienki jednorodny pręt. Moment bezwładności\ntakiego pręta względem osi prostopadłej do niego i przechodzącej przez jego koniec jest\nrówny\n2\n3\n1\nl\nm\nI\n⋅\n, gdzie m jest masą pręta, a l - jego długością.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n3.2.\n3.3.\nMaks. liczba pkt\n4\n3\nUzyskana liczba pkt\nMFA_1R","answer":null,"answer_text":"Zadanie 3.3. (0-3)\nIV. Budowa prostych modeli\nfizycznych i matematycznych do\nopisu zjawisk.\n2.9. Zdający uwzględnia energię kinetyczną ruchu\nobrotowego w bilansie energii.\n3.3. Zdający wykorzystuje zasadę zachowania energii\nmechanicznej do obliczania parametrów ruchu\nPoprawna odpowiedź\nZgodnie z zasadą zachowania energii, końcowa energia kinetyczna ruchu obrotowego\nEk =\n1\n2\nIω2 równa jest początkowej energii potencjalnej grawitacji Ep = mg\nl\n2\n. Przyrównujemy\nte dwa wyrażenia do siebie i podstawiamy I =\n1\n2\nml2, ω =\nv\nl\n. Stąd otrzymujemy\nv = ඥ3gl = ඥ3 · 9,81 m/sଶ· 12 m = 18,8 m/s.\nSchemat punktowania\n3 p. - przyrównanie poprawnych wyrażeń na Ep i Ek i poprawne obliczenie prędkości końca\nsłupa w chwili uderzenia o ziemię.\n2 p. - napisanie wyrażeń na Ep i Ek oraz ω = v/r oraz przyrównanie początkowej energii\ngrawitacyjnej słupa do końcowej energii kinetycznej jego ruchu obrotowego.\n1 p. - przyrównanie początkowej energii grawitacyjnej słupa do końcowej energii kinetycznej\nruchu obrotowego.\nlub\n- napisanie wzoru na końcową energię kinetyczną Ek = Iω2/2 oraz wzoru ω = v/r.\n0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n\\[v = \\sqrt{3gl} = \\sqrt{3 \\cdot 10 \\cdot 12} = \\sqrt{360} = 6\\sqrt{10} \\approx \\mathbf{19{,}0 \\ \\text{m/s}}\\]\n\n## Sposób 1 - Zasada zachowania energii (ΔKE = -ΔPE)\n\n**Układ:** słup obraca się wokół nieruchomej osi w punkcie kontaktu z ziemią (podstawa). Jedyna siła wykonująca pracę to grawitacja (podłoże nie przesuwa punktu podparcia).\n\n**Krok 1 - wyznacz spadek wysokości środka masy**\n\nGdy słup jest pionowy, środek masy (punkt w połowie długości) jest na wysokości:\n\\[h_1 = \\frac{l}{2} = \\frac{12}{2} = 6 \\ \\text{m}\\]\n\nGdy słup leży poziomo (chwila uderzenia), środek masy jest na wysokości:\n\\[h_2 = 0 \\ \\text{m}\\]\n\nSpadek wysokości środka masy:\n\\[\\Delta h = \\frac{l}{2} = 6 \\ \\text{m}\\]\n\n**Krok 2 - zapisz zasadę zachowania energii**\n\nEnergia potencjalna zamienia się w energię kinetyczną obrotu:\n\\[mg\\frac{l}{2} = \\frac{1}{2}I\\omega^2\\]\n\nPodstaw \\(I = \\frac{1}{3}ml^2\\):\n\\[mg\\frac{l}{2} = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{3}ml^2 \\cdot \\omega^2\\]\n\n**Krok 3 - uprość (masa m się skraca)**\n\n\\[g\\frac{l}{2} = \\frac{l^2\\omega^2}{6}\\]\n\n\\[\\omega^2 = \\frac{3g}{l}\\]\n\n\\[\\omega = \\sqrt{\\frac{3g}{l}}\\]\n\n**Krok 4 - prędkość liniowa końca słupa**\n\nKoniec słupa porusza się po okręgu o promieniu \\(r = l\\):\n\\[v = \\omega \\cdot l = l \\cdot \\sqrt{\\frac{3g}{l}} = \\sqrt{3gl}\\]\n\n\\[\\boxed{v = \\sqrt{3 \\cdot 10 \\cdot 12} = \\sqrt{360} = 6\\sqrt{10} \\approx 19{,}0 \\ \\text{m/s}}\\]\n\n## Sposób 2 - Praca siły momentu obrotowego (całkowanie)\n\nTo podejście pokazuje, że energia pochodzi z pracy momentu sił, nie z \"magicznego\" zachowania energii - głębsze zrozumienie fizyczne.\n\n**Krok 1 - moment siły grawitacji względem osi obrotu**\n\nDla kąta \\(\\theta\\) od pionu (ramię siły ciężkości = \\(\\frac{l}{2}\\sin\\theta\\)):\n\\[\\tau(\\theta) = mg \\cdot \\frac{l}{2}\\sin\\theta\\]\n\n**Krok 2 - praca momentu siły przy obrocie od \\(\\theta=0\\) do \\(\\theta=\\frac{\\pi}{2}\\)**\n\n\\[W = \\int_0^{\\pi/2} \\tau \\, d\\theta = \\int_0^{\\pi/2} mg\\frac{l}{2}\\sin\\theta \\, d\\theta\\]\n\n\\[W = mg\\frac{l}{2}\\Big[-\\cos\\theta\\Big]_0^{\\pi/2} = mg\\frac{l}{2}(0-(-1)) = mg\\frac{l}{2}\\]\n\n**Krok 3 - tw. o pracy i energii kinetycznej**\n\n\\[W = \\Delta E_k \\implies mg\\frac{l}{2} = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{3}ml^2 \\cdot \\omega^2\\]\n\nDalej identycznie jak w Sposobie 1 → \\(v = \\sqrt{3gl} \\approx 19{,}0 \\ \\text{m/s}\\)\n\n> **Wniosek:** Całkowanie momentu sił daje dokładnie tę samą pracę co \\(mg\\Delta h_{cm}\\) - oba opisy są matematycznie tożsame, ale fizycznie pokazują dwie strony tego samego procesu.\n\n## Sposób 3 - Porównanie z swobodnym spadkiem (weryfikacja i intuicja)\n\nGdyby koniec słupa **spadał swobodnie** z wysokości \\(l = 12\\) m (zamiast obracać się):\n\\[v_{\\text{spadek}} = \\sqrt{2gl} = \\sqrt{2 \\cdot 10 \\cdot 12} = \\sqrt{240} \\approx 15{,}5 \\ \\text{m/s}\\]\n\nWynik dla obracającego się słupa:\n\\[v_{\\text{słup}} = \\sqrt{3gl} = \\sqrt{360} \\approx 19{,}0 \\ \\text{m/s}\\]\n\nStosunek:\n\\[\\frac{v_{\\text{słup}}}{v_{\\text{spadek}}} = \\frac{\\sqrt{3gl}}{\\sqrt{2gl}} = \\sqrt{\\frac{3}{2}} \\approx 1{,}22\\]\n\n> **Dlaczego słup uderza szybciej niż przy swobodnym spadku?**\n> Podczas obrotu słupa środek masy spada tylko o \\(\\frac{l}{2} = 6\\) m - czyli **mniej** niż koniec słupa. Ale koniec porusza się po łuku promienia \\(l\\), a górne partie słupa \"ciągną\" go dodatkowo. Energia grawitacji całego słupa koncentruje się na końcu jako ruch obrotowy, co daje wyższe \\(v\\) niż swobodny spadek z tej samej wysokości.\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> 📋 **Oficjalny klucz CKE (zadanie 3.3, 0-3 pkt):**\n>\n> Poprawna odpowiedz: Zgodnie z zasada zachowania energii koncowa energia kinetyczna ruchu obrotowego E_k = (1/2)Iω^2 rowna jest poczatkowej energii potencjalnej grawitacji E_p = mg(l/2). Po przyrownaniu i podstawieniu I = (1/2 w kluczu: I = (1/3)ml^2 z tresci) oraz ω = v/l otrzymujemy v = sqrt(3gl) = sqrt(3 * 9,81 m/s2 * 12 m) = 18,8 m/s.\n>\n> - **3 pkt** - przyrownanie poprawnych wyrazen na E_p i E_k oraz poprawne obliczenie predkosci konca slupa w chwili uderzenia o ziemie.\n> - **2 pkt** - napisanie wyrazen na E_p i E_k oraz ω = v/r oraz przyrownanie poczatkowej energii grawitacyjnej slupa do koncowej energii kinetycznej jego ruchu obrotowego.\n> - **1 pkt** - przyrownanie poczatkowej energii grawitacyjnej slupa do koncowej energii kinetycznej ruchu obrotowego LUB napisanie wzoru na koncowa energie kinetyczna E_k = Iω^2/2 oraz wzoru ω = v/r.\n> - **0 pkt** - brak spelnienia powyzszych kryteriow.\n>\n> Uwaga: klucz CKE liczy z g = 9,81 m/s2 i daje v = 18,8 m/s; przy g = 10 m/s2 wychodzi v ≈ 19,0 m/s - oba warianty merytorycznie poprawne.\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (str. 16-20):**\n>\n> - **Moment bezwładności** - zadanie podaje \\(I = \\frac{1}{3}ml^2\\) wprost w treści, więc nie musisz szukać w karcie\n> - **Energia kinetyczna obrotu:** \\(E_k = \\frac{1}{2}I\\omega^2\\) - karta wzorów fizyka, dział dynamika bryły sztywnej\n> - **Prędkość liniowa punktu na obracającej się bryle:** \\(v = \\omega r\\) - podstawowy związek kinematyczny\n> - **Energia potencjalna:** \\(E_p = mgh\\) - karta wzorów fizyka, mechanika\n>\n> Zasada zachowania energii mechanicznej: **nie ma jawnego wzoru w karcie** - to zasada ogólna, którą uczeń musi znać z definicji.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga 1 - Zły wzór na prędkość końca:**\n> Częsty błąd: zastosowanie \\(v^2 = 2g\\Delta h\\) (kinematyka punktu materialnego, swobodny spadek). To wzór dla ruchu po prostej, nie dla obrotu. Koniec słupa porusza się **po łuku**, nie pionowo w dół!\n\n> ⚠️ **Uwaga 2 - Zła wysokość spadku środka masy:**\n> Uczniowie mylnie wstawiają \\(\\Delta h = l = 12\\) m (jakby to był punkt materialny opadający z całej długości) zamiast \\(\\Delta h = \\frac{l}{2} = 6\\) m (środek masy jednorodnego pręta jest w połowie jego długości).\n\n> ⚠️ **Uwaga 3 - Zapomnienie o związku \\(v = \\omega l\\):**\n> Wzór \\(\\omega^2 = \\frac{3g}{l}\\) daje prędkość **kątową** w rad/s. Pytanie dotyczy prędkości **liniowej** końca. Pamiętaj: \\(v = \\omega \\cdot r\\), gdzie \\(r = l\\) (koniec słupa = promień obrotu).\n\n> ⚠️ **Uwaga 4 - Warunek \"bardzo powoli podnoszony\":**\n> Oznacza, że w momencie odczepienia liny prędkość kątowa \\(\\omega_0 \\approx 0\\) - słup startuje z praktycznie zerową energią kinetyczną. Stąd całą energię kinetyczną dostarcza grawitacja podczas upadku. Gdyby słup był pchnięty z góry, wynik byłby inny!","image":"img/fizyka-2015-maj-matura-rozszerzona/zad-3.3.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 3.3. (0-3)
Słup o długości 12 m był podnoszony bardzo powoli. Gdy był on już w położeniu prawie
pionowym, lina odczepiła się od niego. W wyniku tej awarii słup się przewrócił.
Oblicz wartość prędkości liniowej końca słupa w chwili uderzenia o powierzchnię ziemi.
Przyjmij, że słup można potraktować jako cienki jednorodny pręt. Moment bezwładności
takiego pręta względem osi prostopadłej do niego i przechodzącej przez jego koniec jest
równy
2
3
1
l
m
I
⋅
, gdzie m jest masą pręta, a l - jego długością.
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
3.2.
3.3.
Maks. liczba pkt
4
3
Uzyskana liczba pkt
MFA_1R

","answer_text_html":"

Zadanie 3.3. (0-3)
IV. Budowa prostych modeli
fizycznych i matematycznych do
opisu zjawisk.
2.9. Zdający uwzględnia energię kinetyczną ruchu
obrotowego w bilansie energii.
3.3. Zdający wykorzystuje zasadę zachowania energii
mechanicznej do obliczania parametrów ruchu
Poprawna odpowiedź
Zgodnie z zasadą zachowania energii, końcowa energia kinetyczna ruchu obrotowego
Ek =
1
2
Iω2 równa jest początkowej energii potencjalnej grawitacji Ep = mg
l
2
. Przyrównujemy
te dwa wyrażenia do siebie i podstawiamy I =
1
2
ml2, ω =
v
l
. Stąd otrzymujemy
v = ඥ3gl = ඥ3 · 9,81 m/sଶ· 12 m = 18,8 m/s.
Schemat punktowania
3 p. - przyrównanie poprawnych wyrażeń na Ep i Ek i poprawne obliczenie prędkości końca
słupa w chwili uderzenia o ziemię.
2 p. - napisanie wyrażeń na Ep i Ek oraz ω = v/r oraz przyrównanie początkowej energii
grawitacyjnej słupa do końcowej energii kinetycznej jego ruchu obrotowego.
1 p. - przyrównanie początkowej energii grawitacyjnej słupa do końcowej energii kinetycznej
ruchu obrotowego.
lub

\n\n

0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n
v=3gl=3·10·12=360=610≈19,0 m/s
\n

Sposób 1 - Zasada zachowania energii (ΔKE = -ΔPE)

\n

Układ: słup obraca się wokół nieruchomej osi w punkcie kontaktu z ziemią (podstawa). Jedyna siła wykonująca pracę to grawitacja (podłoże nie przesuwa punktu podparcia).

\n

Krok 1 - wyznacz spadek wysokości środka masy

\n

Gdy słup jest pionowy, środek masy (punkt w połowie długości) jest na wysokości:

\n
h1=l2=122=6 m
\n

Gdy słup leży poziomo (chwila uderzenia), środek masy jest na wysokości:

\n
h2=0 m
\n

Spadek wysokości środka masy:

\n
Δh=l2=6 m
\n

Krok 2 - zapisz zasadę zachowania energii

\n

Energia potencjalna zamienia się w energię kinetyczną obrotu:

\n
mgl2=12Iω2
\n

Podstaw I=13ml2:

\n
mgl2=12·13ml2·ω2
\n

Krok 3 - uprość (masa m się skraca)

\n
gl2=l2ω26
\n
ω2=3gl
\n
ω=3gl
\n

Krok 4 - prędkość liniowa końca słupa

\n

Koniec słupa porusza się po okręgu o promieniu r=l:

\n
v=ω·l=l·3gl=3gl
\n
v=3·10·12=360=610≈19,0 m/s
\n

Sposób 2 - Praca siły momentu obrotowego (całkowanie)

\n

To podejście pokazuje, że energia pochodzi z pracy momentu sił, nie z "magicznego" zachowania energii - głębsze zrozumienie fizyczne.

\n

Krok 1 - moment siły grawitacji względem osi obrotu

\n

Dla kąta θ od pionu (ramię siły ciężkości = l2sinθ):

\n
τ(θ)=mg·l2sinθ
\n

Krok 2 - praca momentu siły przy obrocie od θ=0 do θ=π2

\n
W=∫0π/2τdθ=∫0π/2mgl2sinθdθ
\n
W=mgl2[−cosθ]0π/2=mgl2(0−(−1))=mgl2
\n

Krok 3 - tw. o pracy i energii kinetycznej

\n
W=ΔEk⟹mgl2=12·13ml2·ω2
\n

Dalej identycznie jak w Sposobie 1 → v=3gl≈19,0 m/s

\n
Wniosek: Całkowanie momentu sił daje dokładnie tę samą pracę co mgΔhcm - oba opisy są matematycznie tożsame, ale fizycznie pokazują dwie strony tego samego procesu.
\n

Sposób 3 - Porównanie z swobodnym spadkiem (weryfikacja i intuicja)

\n

Gdyby koniec słupa spadał swobodnie z wysokości l=12 m (zamiast obracać się):

\n
vspadek=2gl=2·10·12=240≈15,5 m/s
\n

Wynik dla obracającego się słupa:

\n
vsłup=3gl=360≈19,0 m/s
\n

Stosunek:

\n
vsłupvspadek=3gl2gl=32≈1,22
\n
Dlaczego słup uderza szybciej niż przy swobodnym spadku?
Podczas obrotu słupa środek masy spada tylko o l2=6 m - czyli mniej niż koniec słupa. Ale koniec porusza się po łuku promienia l, a górne partie słupa "ciągną" go dodatkowo. Energia grawitacji całego słupa koncentruje się na końcu jako ruch obrotowy, co daje wyższe v niż swobodny spadek z tej samej wysokości.
\n

Schemat oceniania CKE

\n
📋 Oficjalny klucz CKE (zadanie 3.3, 0-3 pkt):

Poprawna odpowiedz: Zgodnie z zasada zachowania energii koncowa energia kinetyczna ruchu obrotowego E_k = (1/2)Iω^2 rowna jest poczatkowej energii potencjalnej grawitacji E_p = mg(l/2). Po przyrownaniu i podstawieniu I = (1/2 w kluczu: I = (1/3)ml^2 z tresci) oraz ω = v/l otrzymujemy v = sqrt(3gl) = sqrt(3 * 9,81 m/s2 * 12 m) = 18,8 m/s.

- 3 pkt - przyrownanie poprawnych wyrazen na E_p i E_k oraz poprawne obliczenie predkosci konca slupa w chwili uderzenia o ziemie.
- 2 pkt - napisanie wyrazen na E_p i E_k oraz ω = v/r oraz przyrownanie poczatkowej energii grawitacyjnej slupa do koncowej energii kinetycznej jego ruchu obrotowego.
- 1 pkt - przyrownanie poczatkowej energii grawitacyjnej slupa do koncowej energii kinetycznej ruchu obrotowego LUB napisanie wzoru na koncowa energie kinetyczna E_k = Iω^2/2 oraz wzoru ω = v/r.
- 0 pkt - brak spelnienia powyzszych kryteriow.

Uwaga: klucz CKE liczy z g = 9,81 m/s2 i daje v = 18,8 m/s; przy g = 10 m/s2 wychodzi v ≈ 19,0 m/s - oba warianty merytorycznie poprawne.
\n

Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć

\n
📖 Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (str. 16-20):

- Moment bezwładności - zadanie podaje I=13ml2 wprost w treści, więc nie musisz szukać w karcie
- Energia kinetyczna obrotu: Ek=12Iω2 - karta wzorów fizyka, dział dynamika bryły sztywnej
- Prędkość liniowa punktu na obracającej się bryle: v=ωr - podstawowy związek kinematyczny
- Energia potencjalna: Ep=mgh - karta wzorów fizyka, mechanika

Zasada zachowania energii mechanicznej: nie ma jawnego wzoru w karcie - to zasada ogólna, którą uczeń musi znać z definicji.
\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga 1 - Zły wzór na prędkość końca:
Częsty błąd: zastosowanie v2=2gΔh (kinematyka punktu materialnego, swobodny spadek). To wzór dla ruchu po prostej, nie dla obrotu. Koniec słupa porusza się po łuku, nie pionowo w dół!
\n
⚠️ Uwaga 2 - Zła wysokość spadku środka masy:
Uczniowie mylnie wstawiają Δh=l=12 m (jakby to był punkt materialny opadający z całej długości) zamiast Δh=l2=6 m (środek masy jednorodnego pręta jest w połowie jego długości).
\n
⚠️ Uwaga 3 - Zapomnienie o związku v=ωl:
Wzór ω2=3gl daje prędkość kątową w rad/s. Pytanie dotyczy prędkości liniowej końca. Pamiętaj: v=ω·r, gdzie r=l (koniec słupa = promień obrotu).
\n
⚠️ Uwaga 4 - Warunek "bardzo powoli podnoszony":
Oznacza, że w momencie odczepienia liny prędkość kątowa ω0≈0 - słup startuje z praktycznie zerową energią kinetyczną. Stąd całą energię kinetyczną dostarcza grawitacja podczas upadku. Gdyby słup był pchnięty z góry, wynik byłby inny!
"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

v=18,8 m/s

"}]}