{"id":"fizyka-2015-maj-matura-rozszerzona/zad/4.2","paper_id":"fizyka-2015-maj-matura-rozszerzona","number":"4.2","points":1,"ptype":"true_false","subject":"fizyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4.2. (0-1)\nOceń prawdziwość poniższych zdań. Zaznacz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F - jeśli\nzdanie jest fałszywe.\n1. Energia kinetyczna wózka jest odwrotnie proporcjonalna do wychylenia x\nwózka z położenia równowagi.\nP\nF\n2. Energia potencjalna układu przy maksymalnym wychyleniu jest równa\nenergii kinetycznej wózka przy przechodzeniu przez położenie równowagi.\nP\nF\n3. Energia całkowita układu jest zawsze równa maksymalnej energii\nkinetycznej wózka.\nP\nF","answer":"F","answer_text":"Zadanie 4.2. (0-1)\nI. Znajomość i umiejętność wykorzystania\npojęć i praw fizyki do wyjaśniania\nprocesów i zjawisk w przyrodzie.\n6.7. Zdający stosuje zasadę zachowania energii\nw ruchu drgającym, opisuje przemiany energii\nkinetycznej i potencjalnej w tym ruchu.\nPoprawna odpowiedź\n1 - F, 2 - P, 3 - P.\nSchemat punktowania\n1 p. - zaznaczenie trzech poprawnych odpowiedzi.\n0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n| Zdanie | Ocena |\n| 1. Energia kinetyczna odwrotnie proporcjonalna do wychylenia x | **F** |\n| 2. \\(E_p^{max} = E_k^{(x=0)}\\) | **P** |\n| 3. \\(E_{całk} = E_k^{max}\\) | **P** |\n\n## Sposób 1 - Analiza z wzorów energetycznych ruchu harmonicznego\n\nUkład: wózek na sprężynie o stałej \\(k\\), masa \\(m\\), amplituda \\(A\\), wychylenie \\(x\\).\n\n**Wzory fundamentalne SHM:**\n\n\\[E_p(x) = \\frac{1}{2}kx^2\\]\n\n\\[E_k(x) = \\frac{1}{2}mv^2 = \\frac{1}{2}m\\omega^2(A^2 - x^2) = \\frac{1}{2}k(A^2 - x^2)\\]\n\n\\[E_{całk} = E_k + E_p = \\frac{1}{2}kA^2 = \\text{const}\\]\n\n**Zdanie 1 - FAŁSZ:**\n\n\\[E_k(x) = \\frac{1}{2}k(A^2 - x^2)\\]\n\nOdwrotnie proporcjonalna oznaczałaby \\(E_k \\propto \\frac{1}{x}\\), co jest absurdem - przy \\(x = 0\\) (równowaga) energia kinetyczna byłaby nieskończona. W rzeczywistości \\(E_k\\) **maleje kwadratowo** ze wzrostem \\(|x|\\) (różnica kwadratów), a nie jest odwrotnie proporcjonalna.\n\n**Zdanie 2 - PRAWDA:**\n\nPrzy maksymalnym wychyleniu \\(x = A\\):\n\\[E_p^{max} = \\frac{1}{2}kA^2, \\quad E_k = 0\\]\n\nPrzy przechodzeniu przez równowagę \\(x = 0\\):\n\\[E_k^{max} = \\frac{1}{2}kA^2, \\quad E_p = 0\\]\n\nZ zasady zachowania energii:\n\\[E_p(A) = \\frac{1}{2}kA^2 = E_k(0) \\quad \\checkmark\\]\n\n**Zdanie 3 - PRAWDA:**\n\nEnergia całkowita układu:\n\\[E_{całk} = \\frac{1}{2}kA^2\\]\n\nMaksymalna energia kinetyczna (w chwili przejścia przez \\(x = 0\\)):\n\\[E_k^{max} = \\frac{1}{2}mv_{max}^2 = \\frac{1}{2}kA^2\\]\n\nZatem: \\(E_{całk} = E_k^{max}\\) - zawsze. \\(\\checkmark\\)\n\n## Sposób 2 - Argument energetyczny przez zasadę zachowania energii\n\nW każdej chwili: \\(E_{całk} = E_k + E_p = \\text{const}\\)\n\n**Zdanie 1 - FAŁSZ przez analizę graniczną:**\n\n- Gdy \\(x \\to 0\\): \\(E_k \\to E_{całk}\\) (maksimum, skończona wartość)\n- Gdy \\(x \\to A\\): \\(E_k \\to 0\\)\n\nGdyby \\(E_k \\propto \\frac{1}{x}\\), to przy \\(x \\to 0\\) energia kinetyczna → \\(\\infty\\). To fizycznie niemożliwe (układ ma skończoną energię całkowitą). **Funkcja \\(E_k(x) = \\frac{1}{2}k(A^2-x^2)\\) jest parabolą \"odwróconą\" z maksimum w \\(x=0\\), a nie hiperbolą \\(\\sim 1/x\\).**\n\n**Zdanie 2 - PRAWDA przez \"przepływ energii\":**\n\nCała energia oscylatora \"przeskakuje\" między formą kinetyczną a potencjalną:\n- W \\(x = A\\): **wszystko w \\(E_p\\)**, nic w \\(E_k\\)\n- W \\(x = 0\\): **wszystko w \\(E_k\\)**, nic w \\(E_p\\)\n\nPonieważ energia nie ucieka (brak tarcia), ilość energii się nie zmienia - \\(E_p^{max} = E_k^{max}\\). \\(\\checkmark\\)\n\n**Zdanie 3 - PRAWDA przez definicję:**\n\n\\(E_{całk}\\) to energia, którą układ MA przez cały czas. Maksimum \\(E_k\\) to moment, gdy cała \\(E_{całk}\\) jest w postaci kinetycznej (bo \\(E_p = 0\\) przy \\(x = 0\\)). Więc \\(E_{całk} = E_k^{max}\\) z definicji. \\(\\checkmark\\)\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> 📋 **Oficjalny klucz CKE (zadanie 4.2, 0-1 pkt):**\n> - Poprawna odpowiedz: **1 - F, 2 - P, 3 - P**.\n> - **1 pkt** - zaznaczenie trzech poprawnych odpowiedzi.\n> - **0 pkt** - brak spelnienia powyzszego kryterium.\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja Fizyka (drgania i fale):**\n> - Energia potencjalna sprężyny: \\(E_p = \\frac{1}{2}kx^2\\)\n> - Prędkość w ruchu harmonicznym: \\(v = \\omega\\sqrt{A^2 - x^2}\\)\n> - Energia kinetyczna: \\(E_k = \\frac{1}{2}mv^2\\)\n> - Zasada zachowania energii mechanicznej: \\(E_k + E_p = \\text{const}\\)\n>\n> Wzory te pozwalają natychmiast zaprzeczyć zdaniu 1 (brak postaci \\(\\sim 1/x\\)) i potwierdzić zdania 2 i 3.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\nZadanie P/F - analizujemy błędne oceny poszczególnych zdań:\n\n| Zdanie | Błędna ocena | Typowy błąd prowadzący do niej |\n| 1 | P (zamiast F) | Uczeń myli \"maleje wraz ze wzrostem x\" z \"jest odwrotnie proporcjonalna do x\" - to dwa różne pojęcia matematyczne |\n| 1 | P | Uczeń zna słowo \"odwrotnie\" ale nie sprawdza wzoru - myśli że skoro maleje to odwrotna proporcjonalność |\n| 2 | F (zamiast P) | Uczeń myśli, że \\(E_p \\neq E_k\\) bo \"są innego rodzaju\" - pomija zasadę zachowania energii |\n| 3 | F (zamiast P) | Uczeń myli energię całkowitą z energią całkowitą \"w danej chwili\" - nie dostrzega, że gdy \\(E_p = 0\\), to \\(E_{całk} = E_k = E_k^{max}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \"Odwrotnie proporcjonalna\" to ŚCIŚLE matematyczne pojęcie: \\(y \\propto \\frac{1}{x}\\). Nie wystarczy że funkcja maleje - musi maleć dokładnie jak \\(\\frac{1}{x}\\). \\(E_k(x) = \\frac{1}{2}k(A^2-x^2)\\) to parabola, nie hiperbola!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zdanie 2 jest prawdziwe TYLKO bez tarcia. Na maturze zawsze zakładamy ruch harmoniczny nietkniętym układem (brak strat energii). Gdyby było tarcie - \\(E_p^{max} > E_k^{max}\\) przy każdym cyklu (energia ucieka w ciepło).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W zdaniu 3 słowo \"zawsze\" może zmylić - ale jest prawdziwe, bo energia całkowita jest stałą ruchu, a jej maksimum kinetyczne osiągane przy \\(x=0\\) wynosi dokładnie \\(E_{całk}\\). \"Zawsze\" dotyczy faktu że ta równość jest stała (nie zmienia się z czasem), nie chwilowych wartości \\(E_k\\).","image":"img/fizyka-2015-maj-matura-rozszerzona/zad-4.2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"maturazai","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 4.2. (0-1)
Oceń prawdziwość poniższych zdań. Zaznacz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F - jeśli
zdanie jest fałszywe.

\n
  1. Energia kinetyczna wózka jest odwrotnie proporcjonalna do wychylenia x
\n

wózka z położenia równowagi.
P
F

\n
  1. Energia potencjalna układu przy maksymalnym wychyleniu jest równa
\n

energii kinetycznej wózka przy przechodzeniu przez położenie równowagi.
P
F

\n
  1. Energia całkowita układu jest zawsze równa maksymalnej energii
\n

kinetycznej wózka.
P
F

","answer_text_html":"

Zadanie 4.2. (0-1)
I. Znajomość i umiejętność wykorzystania
pojęć i praw fizyki do wyjaśniania
procesów i zjawisk w przyrodzie.
6.7. Zdający stosuje zasadę zachowania energii
w ruchu drgającym, opisuje przemiany energii
kinetycznej i potencjalnej w tym ruchu.
Poprawna odpowiedź
1 - F, 2 - P, 3 - P.
Schemat punktowania
1 p. - zaznaczenie trzech poprawnych odpowiedzi.
0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n

| Zdanie | Ocena |
| 1. Energia kinetyczna odwrotnie proporcjonalna do wychylenia x | F |
| 2. Epmax=Ek(x=0) | P |
| 3. Ecałk=Ekmax | P |

\n

Sposób 1 - Analiza z wzorów energetycznych ruchu harmonicznego

\n

Układ: wózek na sprężynie o stałej k, masa m, amplituda A, wychylenie x.

\n

Wzory fundamentalne SHM:

\n
Ep(x)=12kx2
\n
Ek(x)=12mv2=12mω2(A2−x2)=12k(A2−x2)
\n
Ecałk=Ek+Ep=12kA2=const
\n

Zdanie 1 - FAŁSZ:

\n
Ek(x)=12k(A2−x2)
\n

Odwrotnie proporcjonalna oznaczałaby Ek∝1x, co jest absurdem - przy x=0 (równowaga) energia kinetyczna byłaby nieskończona. W rzeczywistości Ek maleje kwadratowo ze wzrostem |x| (różnica kwadratów), a nie jest odwrotnie proporcjonalna.

\n

Zdanie 2 - PRAWDA:

\n

Przy maksymalnym wychyleniu x=A:

\n
Epmax=12kA2,Ek=0
\n

Przy przechodzeniu przez równowagę x=0:

\n
Ekmax=12kA2,Ep=0
\n

Z zasady zachowania energii:

\n
Ep(A)=12kA2=Ek(0)✓
\n

Zdanie 3 - PRAWDA:

\n

Energia całkowita układu:

\n
Ecałk=12kA2
\n

Maksymalna energia kinetyczna (w chwili przejścia przez x=0):

\n
Ekmax=12mvmax2=12kA2
\n

Zatem: Ecałk=Ekmax - zawsze. ✓

\n

Sposób 2 - Argument energetyczny przez zasadę zachowania energii

\n

W każdej chwili: Ecałk=Ek+Ep=const

\n

Zdanie 1 - FAŁSZ przez analizę graniczną:

\n\n

Gdyby Ek∝1x, to przy x→0 energia kinetyczna → ∞. To fizycznie niemożliwe (układ ma skończoną energię całkowitą). Funkcja Ek(x)=12k(A2−x2) jest parabolą "odwróconą" z maksimum w x=0, a nie hiperbolą ~1/x.

\n

Zdanie 2 - PRAWDA przez "przepływ energii":

\n

Cała energia oscylatora "przeskakuje" między formą kinetyczną a potencjalną:

\n\n

Ponieważ energia nie ucieka (brak tarcia), ilość energii się nie zmienia - Epmax=Ekmax. ✓

\n

Zdanie 3 - PRAWDA przez definicję:

\n

Ecałk to energia, którą układ MA przez cały czas. Maksimum Ek to moment, gdy cała Ecałk jest w postaci kinetycznej (bo Ep=0 przy x=0). Więc Ecałk=Ekmax z definicji. ✓

\n

Schemat oceniania CKE

\n
📋 Oficjalny klucz CKE (zadanie 4.2, 0-1 pkt):
- Poprawna odpowiedz: 1 - F, 2 - P, 3 - P.
- 1 pkt - zaznaczenie trzech poprawnych odpowiedzi.
- 0 pkt - brak spelnienia powyzszego kryterium.
\n

Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć

\n
📖 Karta wzorów CKE - sekcja Fizyka (drgania i fale):
- Energia potencjalna sprężyny: Ep=12kx2
- Prędkość w ruchu harmonicznym: v=ωA2−x2
- Energia kinetyczna: Ek=12mv2
- Zasada zachowania energii mechanicznej: Ek+Ep=const

Wzory te pozwalają natychmiast zaprzeczyć zdaniu 1 (brak postaci ~1/x) i potwierdzić zdania 2 i 3.
\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

Zadanie P/F - analizujemy błędne oceny poszczególnych zdań:

\n

| Zdanie | Błędna ocena | Typowy błąd prowadzący do niej |
| 1 | P (zamiast F) | Uczeń myli "maleje wraz ze wzrostem x" z "jest odwrotnie proporcjonalna do x" - to dwa różne pojęcia matematyczne |
| 1 | P | Uczeń zna słowo "odwrotnie" ale nie sprawdza wzoru - myśli że skoro maleje to odwrotna proporcjonalność |
| 2 | F (zamiast P) | Uczeń myśli, że Ep≠Ek bo "są innego rodzaju" - pomija zasadę zachowania energii |
| 3 | F (zamiast P) | Uczeń myli energię całkowitą z energią całkowitą "w danej chwili" - nie dostrzega, że gdy Ep=0, to Ecałk=Ek=Ekmax |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: "Odwrotnie proporcjonalna" to ŚCIŚLE matematyczne pojęcie: y∝1x. Nie wystarczy że funkcja maleje - musi maleć dokładnie jak 1x. Ek(x)=12k(A2−x2) to parabola, nie hiperbola!
\n
⚠️ Uwaga: Zdanie 2 jest prawdziwe TYLKO bez tarcia. Na maturze zawsze zakładamy ruch harmoniczny nietkniętym układem (brak strat energii). Gdyby było tarcie - Epmax>Ekmax przy każdym cyklu (energia ucieka w ciepło).
\n
⚠️ Uwaga: W zdaniu 3 słowo "zawsze" może zmylić - ale jest prawdziwe, bo energia całkowita jest stałą ruchu, a jej maksimum kinetyczne osiągane przy x=0 wynosi dokładnie Ecałk. "Zawsze" dotyczy faktu że ta równość jest stała (nie zmienia się z czasem), nie chwilowych wartości Ek.
"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

1 – F, 2 – P, 3 – P.

"}]}