{"id":"fizyka-2015-maj-matura-rozszerzona/zad/4.4","paper_id":"fizyka-2015-maj-matura-rozszerzona","number":"4.4","points":3,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4.4. (0-3)\nOblicz okres drgań wózka.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 4.4. (0-3)\nIV. Budowa prostych modeli\nfizycznych i matematycznych\ndo opisu zjawisk.\n6.7. Zdający stosuje zasadę zachowania energii w ruchu\ndrgającym […].\n6.3. Zdający oblicza okres drgań ciężarka na sprężynie […].\nPrzykłady poprawnej odpowiedzi\n• Całkowita energia układu wynosi wg wykresu E = 4 mJ i jest równa maksymalnej energii\nsprężystości\n1\n2 kA2, gdzie amplituda A wynosi 4 cm. Stąd wyznaczamy stałą sprężystości\nsprężyny k\nk =\n2E\nA2 .\nPo podstawieniu k do wzoru T = 2πට\n௠\n௞ otrzymujemy\nT = πAට\nଶ௠\nா = 3,14 · 0,04 m · ට\n2 · 0,2 kg\n4·10-3 J = 1,26 s.\n• Całkowita energia układu wynosi wg wykresu E = 4 mJ i jest równa maksymalnej energii\nkinetycznej\n1\n2\nmvmax\n2 =\n1\n2\nm(Aω)2 =\n1\n2\nmቀA·\n2π\nT ቁ\n2\n. Stąd dochodzimy do wzoru T = πAට\nଶ௠\nா\njak wyżej.\nSchemat punktowania\n3 p. - poprawne przekształcenia wzorów i poprawny wynik.\n2 p. - przekształcenia doprowadzające do poprawnego wzoru na okres lub równoważne\nprzekształcenia na wartościach liczbowych.\n1 p. - napisanie wzorów vmax = Aω i ω = 2π/T.\nlub\n- napisanie wzorów E = mvmax\n2/2 i vmax = Aω.\nlub\n- napisanie wzorów E = kA2/2 i T = 2πට\n௠\n௞.\n0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n\\[T = \\pi A\\sqrt{\\frac{2m}{E}} = 3{,}14 \\cdot 0{,}04\\ \\text{m} \\cdot \\sqrt{\\frac{2 \\cdot 0{,}2\\ \\text{kg}}{4\\cdot10^{-3}\\ \\text{J}}} = \\mathbf{1{,}26\\ \\text{s}}\\]\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie stałej sprężystości z energii, potem okres (metoda z klucza CKE)\n\n**Dane z wykresu i zadania:** całkowita energia układu \\(E = 4\\ \\text{mJ} = 4\\cdot10^{-3}\\ \\text{J}\\), amplituda \\(A = 4\\ \\text{cm} = 0{,}04\\ \\text{m}\\), masa \\(m = 0{,}2\\ \\text{kg}\\).\n\n**Krok 1 - wyznaczamy stałą sprężystości \\(k\\):** całkowita energia jest równa maksymalnej energii sprężystości \\(\\frac{1}{2}kA^2\\):\n\\[E = \\frac{1}{2}kA^2 \\quad\\Rightarrow\\quad k = \\frac{2E}{A^2}\\]\n\n**Krok 2 - wstawiamy \\(k\\) do wzoru na okres \\(T = 2\\pi\\sqrt{m/k}\\):**\n\\[T = 2\\pi\\sqrt{\\frac{m}{k}} = 2\\pi\\sqrt{\\frac{m A^2}{2E}} = \\pi A\\sqrt{\\frac{2m}{E}}\\]\n\n**Krok 3 - podstawiamy liczby:**\n\\[T = 3{,}14 \\cdot 0{,}04 \\cdot \\sqrt{\\frac{2 \\cdot 0{,}2}{4\\cdot10^{-3}}} = 3{,}14 \\cdot 0{,}04 \\cdot \\sqrt{100} = 3{,}14 \\cdot 0{,}04 \\cdot 10 \\approx \\mathbf{1{,}26\\ \\text{s}}\\]\n\n> Można też najpierw policzyć \\(k = \\frac{2 \\cdot 4\\cdot10^{-3}}{(0{,}04)^2} = 5\\ \\text{N/m}\\), a potem \\(T = 2\\pi\\sqrt{0{,}2/5} = 2\\pi\\sqrt{0{,}04} = 2\\pi \\cdot 0{,}2 \\approx 1{,}26\\ \\text{s}\\) - ten sam wynik.\n\n## Sposób 2 - Przez maksymalną energię kinetyczną i v_max = Aω\n\nCałkowita energia układu (\\(E = 4\\ \\text{mJ}\\)) jest równa maksymalnej energii kinetycznej \\(\\frac{1}{2}mv_{max}^2 = \\frac{1}{2}m(A\\omega)^2\\):\n\n\\[E = \\frac{1}{2}m\\left(A\\cdot\\frac{2\\pi}{T}\\right)^2\\]\n\nPrzekształcając względem \\(T\\):\n\\[T = \\pi A\\sqrt{\\frac{2m}{E}} = 1{,}26\\ \\text{s}\\]\n\nidentycznie jak w Sposobie 1.\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> 📋 **Oficjalny klucz CKE (zadanie 4.4, 0-3 pkt):**\n>\n> Przyklady poprawnej odpowiedzi:\n> - Calkowita energia ukladu wynosi wg wykresu E = 4 mJ i jest rowna maksymalnej energii sprezystosci (1/2)kA^2, gdzie amplituda A = 4 cm. Stad k = 2E/A^2. Po podstawieniu k do wzoru T = 2π sqrt(m/k) otrzymujemy T = πA sqrt(2m/E) = 3,14 * 0,04 m * sqrt(2*0,2 kg / 4*10^-3 J) = 1,26 s.\n> - Alternatywnie: E = 4 mJ rowna jest maksymalnej energii kinetycznej (1/2)m v_max^2 = (1/2)m(Aω)^2 = (1/2)m(A*2π/T)^2, skad ten sam wzor T = πA sqrt(2m/E).\n>\n> - **3 pkt** - poprawne przeksztalcenia wzorow i poprawny wynik.\n> - **2 pkt** - przeksztalcenia doprowadzajace do poprawnego wzoru na okres lub rownowazne przeksztalcenia na wartosciach liczbowych.\n> - **1 pkt** - napisanie wzorow v_max = Aω i ω = 2π/T LUB E = m v_max^2/2 i v_max = Aω LUB E = kA^2/2 i T = 2π sqrt(m/k).\n> - **0 pkt** - brak spelnienia powyzszych kryteriow.\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (Drgania i fale):**\n>\n> \\[T = 2\\pi\\sqrt{\\frac{m}{k}}\\] - okres drgań układu masa-sprężyna\n>\n> \\[E = \\frac{1}{2}kA^2 = \\frac{1}{2}mv_{max}^2\\] - energia drgań (pozwala wyznaczyć \\(k\\) z odczytanej energii)\n>\n> \\[v_{max} = A\\omega,\\quad \\omega = \\frac{2\\pi}{T}\\] - droga alternatywna.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga 1:** Stałej \\(k\\) nie ma podanej wprost - trzeba ją **wyznaczyć z wykresu energii**: \\(k = 2E/A^2 = 5\\ \\text{N/m}\\). To kluczowy krok tego zadania.\n\n> ⚠️ **Uwaga 2:** Przelicz jednostki: \\(A = 4\\ \\text{cm} = 0{,}04\\ \\text{m}\\), \\(E = 4\\ \\text{mJ} = 4\\cdot10^{-3}\\ \\text{J}\\), \\(m = 200\\ \\text{g} = 0{,}2\\ \\text{kg}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga 3:** Pomylenie wzoru na sprężynę \\(T = 2\\pi\\sqrt{m/k}\\) ze wzorem na wahadło \\(T = 2\\pi\\sqrt{L/g}\\) to najczęstszy błąd.\n\n> ⚠️ **Uwaga 4:** Okres nie zależy od amplitudy bezpośrednio - ale tutaj amplituda służy do wyznaczenia \\(k\\) z energii, więc jest potrzebna w rachunku.","image":"img/fizyka-2015-maj-matura-rozszerzona/zad-4.4.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 4.4. (0-3)
Oblicz okres drgań wózka.

","answer_text_html":"

Zadanie 4.4. (0-3)
IV. Budowa prostych modeli
fizycznych i matematycznych
do opisu zjawisk.
6.7. Zdający stosuje zasadę zachowania energii w ruchu
drgającym […].
6.3. Zdający oblicza okres drgań ciężarka na sprężynie […].
Przykłady poprawnej odpowiedzi
• Całkowita energia układu wynosi wg wykresu E = 4 mJ i jest równa maksymalnej energii
sprężystości
1
2 kA2, gdzie amplituda A wynosi 4 cm. Stąd wyznaczamy stałą sprężystości
sprężyny k
k =
2E
A2 .
Po podstawieniu k do wzoru T = 2πට
௠
௞ otrzymujemy
T = πAට
ଶ௠
ா = 3,14 · 0,04 m · ට
2 · 0,2 kg
4·10-3 J = 1,26 s.
• Całkowita energia układu wynosi wg wykresu E = 4 mJ i jest równa maksymalnej energii
kinetycznej
1
2
mvmax
2 =
1
2
m(Aω)2 =
1
2
mቀA·
2π
T ቁ
2
. Stąd dochodzimy do wzoru T = πAට
ଶ௠
ா
jak wyżej.
Schemat punktowania
3 p. - poprawne przekształcenia wzorów i poprawny wynik.
2 p. - przekształcenia doprowadzające do poprawnego wzoru na okres lub równoważne
przekształcenia na wartościach liczbowych.
1 p. - napisanie wzorów vmax = Aω i ω = 2π/T.
lub

\n\n

2/2 i vmax = Aω.
lub

\n\n

௠
௞.
0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n
T=πA2mE=3,14·0,04 m·2·0,2 kg4·10−3 J=1,26 s
\n

Sposób 1 - Wyznaczenie stałej sprężystości z energii, potem okres (metoda z klucza CKE)

\n

Dane z wykresu i zadania: całkowita energia układu E=4 mJ=4·10−3 J, amplituda A=4 cm=0,04 m, masa m=0,2 kg.

\n

Krok 1 - wyznaczamy stałą sprężystości k: całkowita energia jest równa maksymalnej energii sprężystości 12kA2:

\n
E=12kA2⇒k=2EA2
\n

Krok 2 - wstawiamy k do wzoru na okres T=2πm/k:

\n
T=2πmk=2πmA22E=πA2mE
\n

Krok 3 - podstawiamy liczby:

\n
T=3,14·0,04·2·0,24·10−3=3,14·0,04·100=3,14·0,04·10≈1,26 s
\n
Można też najpierw policzyć k=2·4·10−3(0,04)2=5 N/m, a potem T=2π0,2/5=2π0,04=2π·0,2≈1,26 s - ten sam wynik.
\n

Sposób 2 - Przez maksymalną energię kinetyczną i v_max = Aω

\n

Całkowita energia układu (E=4 mJ) jest równa maksymalnej energii kinetycznej 12mvmax2=12m(Aω)2:

\n
E=12m(A·2πT)2
\n

Przekształcając względem T:

\n
T=πA2mE=1,26 s
\n

identycznie jak w Sposobie 1.

\n

Schemat oceniania CKE

\n
📋 Oficjalny klucz CKE (zadanie 4.4, 0-3 pkt):

Przyklady poprawnej odpowiedzi:
- Calkowita energia ukladu wynosi wg wykresu E = 4 mJ i jest rowna maksymalnej energii sprezystosci (1/2)kA^2, gdzie amplituda A = 4 cm. Stad k = 2E/A^2. Po podstawieniu k do wzoru T = 2π sqrt(m/k) otrzymujemy T = πA sqrt(2m/E) = 3,14 * 0,04 m * sqrt(20,2 kg / 410^-3 J) = 1,26 s.
- Alternatywnie: E = 4 mJ rowna jest maksymalnej energii kinetycznej (1/2)m v_max^2 = (1/2)m(Aω)^2 = (1/2)m(A*2π/T)^2, skad ten sam wzor T = πA sqrt(2m/E).

- 3 pkt - poprawne przeksztalcenia wzorow i poprawny wynik.
- 2 pkt - przeksztalcenia doprowadzajace do poprawnego wzoru na okres lub rownowazne przeksztalcenia na wartosciach liczbowych.
- 1 pkt - napisanie wzorow v_max = Aω i ω = 2π/T LUB E = m v_max^2/2 i v_max = Aω LUB E = kA^2/2 i T = 2π sqrt(m/k).
- 0 pkt - brak spelnienia powyzszych kryteriow.
\n

Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć

\n
📖 Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (Drgania i fale):

T=2πmk - okres drgań układu masa-sprężyna

E=12kA2=12mvmax2 - energia drgań (pozwala wyznaczyć k z odczytanej energii)

vmax=Aω,ω=2πT - droga alternatywna.
\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga 1: Stałej k nie ma podanej wprost - trzeba ją wyznaczyć z wykresu energii: k=2E/A2=5 N/m. To kluczowy krok tego zadania.
\n
⚠️ Uwaga 2: Przelicz jednostki: A=4 cm=0,04 m, E=4 mJ=4·10−3 J, m=200 g=0,2 kg.
\n
⚠️ Uwaga 3: Pomylenie wzoru na sprężynę T=2πm/k ze wzorem na wahadło T=2πL/g to najczęstszy błąd.
\n
⚠️ Uwaga 4: Okres nie zależy od amplitudy bezpośrednio - ale tutaj amplituda służy do wyznaczenia k z energii, więc jest potrzebna w rachunku.
"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

T=1,26 s

"}]}