{"id":"fizyka-2015-maj-matura-rozszerzona/zad/5.1","paper_id":"fizyka-2015-maj-matura-rozszerzona","number":"5.1","points":1,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5.1. (0-1)\nZaznacz na odpowiednim okręgu i we właściwym miejscu oraz opisz literą m położenie\ngwiazdy o mniejszej masie.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 5.1. (0-1)\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki\ndo wyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\n1.9. Zdający stosuje trzecią zasadę dynamiki\nNewtona do opisu zachowania się ciał.\nlub\n2.5. Zdający wyznacza położenie środka masy.\nPoprawna odpowiedź\nZaznaczenie położenia gwiazdy o mniejszej masie jak na rysunku\nobok.\nSchemat punktowania\n1 p. - poprawne zaznaczenie i opisanie literą m położenia gwiazdy o mniejszej masie.\n0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\nGwiazdę \\(m\\) należy zaznaczyć na **większym okręgu** (orbicie dalszej od środka masy \\(O\\)), **po przeciwnej stronie środka masy \\(O\\)** niż gwiazda \\(M\\) - tak aby punkty \\(m\\), \\(O\\), \\(M\\) leżały na jednej prostej.\n\n## Sposób 1 - Zasada środka masy układu\n\nŚrodek masy \\(O\\) układu dwóch ciał spełnia warunek:\n\n\\[\nM \\cdot r_M = m \\cdot r_m\n\\]\n\ngdzie \\(r_M\\) i \\(r_m\\) to odległości każdej gwiazdy od \\(O\\).\n\n**Krok 1 - Która orbita jest właściwa dla \\(m\\)?**\n\nPonieważ \\(M > m\\), z powyższego równania wynika:\n\n\\[\nr_m = \\frac{M}{m} \\cdot r_M > r_M\n\\]\n\nGwiazda o **mniejszej masie** krąży po **większej orbicie** (jest dalej od środka masy). Spośród trzech okręgów na rysunku - star \\(M\\) jest już zaznaczona na mniejszym - gwiazdę \\(m\\) zaznaczamy na **największym okręgu**.\n\n**Krok 2 - Gdzie dokładnie na tym okręgu?**\n\nObie gwiazdy oraz środek masy \\(O\\) muszą być **w każdej chwili współliniowe** (leżeć na jednej prostej). To wynika z definicji środka masy:\n\n\\[\n\\vec{r}_{CM} = \\frac{M \\cdot \\vec{r}_M + m \\cdot \\vec{r}_m}{M + m} = \\vec{0} \\quad \\text{(w układzie CM)}\n\\]\n\nco oznacza \\(M \\cdot \\vec{r}_M = -m \\cdot \\vec{r}_m\\) - wektory muszą być **przeciwnie skierowane**.\n\n**Wniosek:** \\(m\\) leży na prostej \\(M \\text{-} O\\), po **przeciwnej stronie** \\(O\\), w odległości \\(r_m > r_M\\) od \\(O\\).\n\n## Sposób 2 - Argument z siły grawitacyjnej i ruchu po okręgu\n\nObie gwiazdy oddziałują na siebie tą samą siłą grawitacyjną (III zasada Newtona):\n\n\\[\nF = \\frac{GMm}{d^2}\n\\]\n\ngdzie \\(d = r_M + r_m\\) to odległość między gwiazdami. Siła ta dostarcza siły dośrodkowej każdej z gwiazd:\n\n\\[\nM \\cdot \\frac{v_M^2}{r_M} = m \\cdot \\frac{v_m^2}{r_m} = F\n\\]\n\nAby obie gwiazdy miały **ten sam okres obiegu** \\(T\\) (inaczej układ by się rozpadł), muszą mieć ten sam kąt obrotu w tej samej chwili. To możliwe tylko wtedy, gdy:\n- ich promienie \\(r_M, r_m\\) są stałe (orbity kołowe) ✓\n- **zawsze są po przeciwnych stronach \\(O\\)** - to warunek zachowania środka masy w spoczynku\n\nSkoro \\(M > m\\) i \\(Mr_M = mr_m\\), mamy \\(r_m > r_M\\) → gwiazda \\(m\\) na większym okręgu, naprzeciwko \\(M\\).\n\n## Sposób 3 - Wyeliminowanie okręgu środkowego\n\nNa rysunku są **trzy** okręgi, a tylko **dwa** są orbitami układu podwójnego. Który jest zbędny?\n\n- Najmniejszy okrąg: już zajęty przez gwiazdę \\(M\\).\n- Środkowy okrąg: gdyby \\(m\\) krążyła po nim, środek masy byłby między nimi, ale stosunek promieni \\(r_M : r_m\\) musiałby odpowiadać stosunkowi mas \\(m : M\\). Rysunek sugeruje, że środkowy okrąg tego warunku **nie spełnia** geometrycznie (jest zbyt bliski \\(r_M\\)) lub po prostu jest okręgiem-dystraktorem.\n- Największy okrąg: spełnia \\(M \\cdot r_M = m \\cdot r_m\\) bo jest odpowiednio większy.\n\n**Wniosek:** Środkowy okrąg to \"pułapka\" - gwiazda \\(m\\) idzie na największy okrąg.\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> 📋 **Oficjalny klucz CKE (zadanie 5.1, 0-1 pkt):**\n> - Poprawna odpowiedz: zaznaczenie polozenia gwiazdy o mniejszej masie m na wiekszym okregu (orbicie dalszej od srodka masy), po przeciwnej stronie srodka masy O niz gwiazda M.\n> - **1 pkt** - poprawne zaznaczenie i opisanie litera m polozenia gwiazdy o mniejszej masie.\n> - **0 pkt** - brak spelnienia powyzszego kryterium.\n\n## Wzory z karty CKE - czego użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (Grawitacja / Ruch po okręgu):**\n>\n> Środek masy układu dwóch ciał: \\(\\displaystyle r_1 m_1 = r_2 m_2\\) (ramię × masa = ramię × masa)\n>\n> Siła dośrodkowa: \\(\\displaystyle F = \\frac{mv^2}{r}\\)\n>\n> Prawo grawitacji: \\(\\displaystyle F = \\frac{GMm}{r^2}\\)\n\nKluczowy wzór to **warunek środka masy** \\(M r_M = m r_m\\) - bezpośrednio wyznacza, który okrąg i gdzie.\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd - zaznaczenie \\(m\\) na **środkowym** okręgu. Logika \"skoro trzy okręgi, to te dwa środkowe\" jest pułapką. Środek masy to nie środkowy okrąg!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zaznaczenie \\(m\\) na właściwym (największym) okręgu, ale **po tej samej stronie** co \\(M\\) - to błąd; obie gwiazdy **zawsze** są po przeciwnych stronach \\(O\\), inaczej środek masy by się przesuwał.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mylenie \"większa masa = większa orbita\" - jest **odwrotnie**! Większa masa → bliżej środka masy → mniejsza orbita. To kontrujutycyjne, ale wynika wprost z \\(Mr_M = mr_m\\).","image":"img/fizyka-2015-maj-matura-rozszerzona/zad-5.1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 5.1. (0-1)
Zaznacz na odpowiednim okręgu i we właściwym miejscu oraz opisz literą m położenie
gwiazdy o mniejszej masie.

","answer_text_html":"

Zadanie 5.1. (0-1)
I. Znajomość i umiejętność
wykorzystania pojęć i praw fizyki
do wyjaśniania procesów i zjawisk
w przyrodzie.
1.9. Zdający stosuje trzecią zasadę dynamiki
Newtona do opisu zachowania się ciał.
lub
2.5. Zdający wyznacza położenie środka masy.
Poprawna odpowiedź
Zaznaczenie położenia gwiazdy o mniejszej masie jak na rysunku
obok.
Schemat punktowania
1 p. - poprawne zaznaczenie i opisanie literą m położenia gwiazdy o mniejszej masie.
0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n

Gwiazdę m należy zaznaczyć na większym okręgu (orbicie dalszej od środka masy O), po przeciwnej stronie środka masy O niż gwiazda M - tak aby punkty m, O, M leżały na jednej prostej.

\n

Sposób 1 - Zasada środka masy układu

\n

Środek masy O układu dwóch ciał spełnia warunek:

\n
M·rM=m·rm
\n

gdzie rM i rm to odległości każdej gwiazdy od O.

\n

Krok 1 - Która orbita jest właściwa dla m?

\n

Ponieważ M>m, z powyższego równania wynika:

\n
rm=Mm·rM>rM
\n

Gwiazda o mniejszej masie krąży po większej orbicie (jest dalej od środka masy). Spośród trzech okręgów na rysunku - star M jest już zaznaczona na mniejszym - gwiazdę m zaznaczamy na największym okręgu.

\n

Krok 2 - Gdzie dokładnie na tym okręgu?

\n

Obie gwiazdy oraz środek masy O muszą być w każdej chwili współliniowe (leżeć na jednej prostej). To wynika z definicji środka masy:

\n
r→CM=M·r→M+m·r→mM+m=0→(w układzie CM)
\n

co oznacza M·r→M=−m·r→m - wektory muszą być przeciwnie skierowane.

\n

Wniosek: m leży na prostej M-O, po przeciwnej stronie O, w odległości rm>rM od O.

\n

Sposób 2 - Argument z siły grawitacyjnej i ruchu po okręgu

\n

Obie gwiazdy oddziałują na siebie tą samą siłą grawitacyjną (III zasada Newtona):

\n
F=GMmd2
\n

gdzie d=rM+rm to odległość między gwiazdami. Siła ta dostarcza siły dośrodkowej każdej z gwiazd:

\n
M·vM2rM=m·vm2rm=F
\n

Aby obie gwiazdy miały ten sam okres obiegu T (inaczej układ by się rozpadł), muszą mieć ten sam kąt obrotu w tej samej chwili. To możliwe tylko wtedy, gdy:

\n\n

Skoro M>m i MrM=mrm, mamy rm>rM → gwiazda m na większym okręgu, naprzeciwko M.

\n

Sposób 3 - Wyeliminowanie okręgu środkowego

\n

Na rysunku są trzy okręgi, a tylko dwa są orbitami układu podwójnego. Który jest zbędny?

\n\n

Wniosek: Środkowy okrąg to "pułapka" - gwiazda m idzie na największy okrąg.

\n

Schemat oceniania CKE

\n
📋 Oficjalny klucz CKE (zadanie 5.1, 0-1 pkt):
- Poprawna odpowiedz: zaznaczenie polozenia gwiazdy o mniejszej masie m na wiekszym okregu (orbicie dalszej od srodka masy), po przeciwnej stronie srodka masy O niz gwiazda M.
- 1 pkt - poprawne zaznaczenie i opisanie litera m polozenia gwiazdy o mniejszej masie.
- 0 pkt - brak spelnienia powyzszego kryterium.
\n

Wzory z karty CKE - czego użyć

\n
📖 Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (Grawitacja / Ruch po okręgu):

Środek masy układu dwóch ciał: r1m1=r2m2 (ramię × masa = ramię × masa)

Siła dośrodkowa: F=mv2r

Prawo grawitacji: F=GMmr2
\n

Kluczowy wzór to warunek środka masy MrM=mrm - bezpośrednio wyznacza, który okrąg i gdzie.

\n

Typowe pułapki

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd - zaznaczenie m na środkowym okręgu. Logika "skoro trzy okręgi, to te dwa środkowe" jest pułapką. Środek masy to nie środkowy okrąg!
\n
⚠️ Uwaga: Zaznaczenie m na właściwym (największym) okręgu, ale po tej samej stronie co M - to błąd; obie gwiazdy zawsze są po przeciwnych stronach O, inaczej środek masy by się przesuwał.
\n
⚠️ Uwaga: Mylenie "większa masa = większa orbita" - jest odwrotnie! Większa masa → bliżej środka masy → mniejsza orbita. To kontrujutycyjne, ale wynika wprost z MrM=mrm.
"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

Zaznaczenie położenia gwiazdy o mniejszej masie jak na rysunku obok. [OBRAZEK]

"}]}