{"id":"fizyka-2015-maj-matura-rozszerzona/zad/5.2","paper_id":"fizyka-2015-maj-matura-rozszerzona","number":"5.2","points":2,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5.2. (0-2)\nDana jest odległość d między gwiazdami. Odległość środka masy układu od gwiazdy o masie\nM oznaczamy jako x. Rozmiary gwiazd należy pominąć.\nWyprowadź wzór wyrażający zależność x od d, M i m.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 5.1. 5.2.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n2\n3\n1\n2\nUzyskana liczba pkt\nM\n•O\nMFA_1R","answer":null,"answer_text":"Zadanie 5.2. (0-2)\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\n2.5. Zdający wyznacza położenie środka masy.\nPrzykłady poprawnej odpowiedzi\n• Położenie środka masy układu dwóch punktów materialnych jest dane wzorem\nx =\nm1x1 + m2x2\nm1 + m2 .\nPoczątek osi x wybieramy w gwieździe o masie M i podstawiamy m1 = M, m2 = m, x1 = 0\ni x2 = d. Otrzymujemy\nx =\nmd\nm+M\n• Gdy środek masy układu dwóch punktów materialnych jest w początku osi x, spełnione\njest równanie m1x1 = m2x2 (gdzie odległości x1 i x2 uznajemy za dodatnie). W naszym\nprzypadku Mx = m(d - x), skąd wynika wzór na x jak wyżej.\nSchemat punktowania\n2 p. - wyprowadzenie poprawnego wzoru na x.\n1 p. - napisanie poprawnego wzoru pozwalającego wyznaczyć położenie środka masy układu\ndwóch punktów materialnych.\n0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n\\[\n\\boxed{x = \\frac{m \\cdot d}{M + m}}\n\\]\n\n## Sposób 1 - Definicja środka masy (wzór bezpośredni)\n\n**Układ współrzędnych:** Umieszczamy gwiazdę o masie \\(M\\) w początku układu (\\(x_M = 0\\)), a gwiazdę o masie \\(m\\) w punkcie \\(x_m = d\\).\n\nŚrodek masy układu dwóch punktów materialnych:\n\n\\[\nx_{\\text{cm}} = \\frac{M \\cdot x_M + m \\cdot x_m}{M + m} = \\frac{M \\cdot 0 + m \\cdot d}{M + m}\n\\]\n\nPonieważ gwiazda \\(M\\) jest w początku układu, odległość środka masy od gwiazdy \\(M\\) to właśnie \\(x_{\\text{cm}}\\):\n\n\\[\nx = \\frac{m \\cdot d}{M + m}\n\\]\n\n## Sposób 2 - Warunek równowagi momentów (definicja środka masy przez momenty)\n\nŚrodek masy to punkt, w którym **momenty statyczne** obu mas względem tego punktu równoważą się:\n\n\\[\nM \\cdot x = m \\cdot (d - x)\n\\]\n\nPrawa strona: \\(m\\) jest w odległości \\((d - x)\\) od środka masy.\n\nRozwijamy:\n\n\\[\nMx = md - mx\n\\]\n\n\\[\nMx + mx = md\n\\]\n\n\\[\nx(M + m) = md\n\\]\n\n\\[\nx = \\frac{m \\cdot d}{M + m}\n\\]\n\n## Sposób 3 - Weryfikacja symetrii: sprawdzenie odległości drugiej gwiazdy\n\nZe wzoru na \\(x\\) wyznaczamy odległość środka masy od gwiazdy \\(m\\):\n\n\\[\nd - x = d - \\frac{md}{M+m} = \\frac{d(M+m) - md}{M+m} = \\frac{Md}{M+m}\n\\]\n\nSprawdzamy warunek równowagi:\n\n\\[\nM \\cdot x \\stackrel{?}{=} m \\cdot (d - x)\n\\]\n\n\\[\nM \\cdot \\frac{md}{M+m} = m \\cdot \\frac{Md}{M+m} \\quad \\checkmark\n\\]\n\nObie strony równe - wyprowadzenie poprawne. Wynik konsekwentnie symetryczny: **cięższa gwiazda jest bliżej środka masy** (dla \\(M > m\\) mamy \\(x < \\frac{d}{2}\\)).\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> 📋 **Oficjalny klucz CKE (zadanie 5.2, 0-2 pkt):**\n>\n> Przyklady poprawnej odpowiedzi:\n> - Polozenie srodka masy ukladu dwoch punktow materialnych: x = (m1 x1 + m2 x2)/(m1 + m2). Poczatek osi x w gwiezdzie M, podstawiamy m1 = M, m2 = m, x1 = 0, x2 = d. Otrzymujemy x = md/(m+M).\n> - Gdy srodek masy jest w poczatku osi x: m1 x1 = m2 x2, czyli Mx = m(d - x), skad wynika ten sam wzor.\n>\n> - **2 pkt** - wyprowadzenie poprawnego wzoru na x.\n> - **1 pkt** - napisanie poprawnego wzoru pozwalajacego wyznaczyc polozenie srodka masy ukladu dwoch punktow materialnych.\n> - **0 pkt** - brak spelnienia powyzszych kryteriow.\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\nW tym zadaniu nie korzystamy z karty wzorów - definicja środka masy to podstawa mechaniki klasycznej wymagana z pamięci.\n\nDla przypomnienia wzór ogólny (który powinieneś znać):\n\n\\[\nx_{\\text{cm}} = \\frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}\n\\]\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Częsty błąd to zapisanie \\(x = \\frac{M \\cdot d}{M + m}\\) - zamiana miejscami \\(M\\) i \\(m\\). Pamiętaj: **środek masy jest bliżej cięższej gwiazdy**, więc \\(x\\) (odległość od \\(M\\)) musi być **mniejsze** gdy \\(M > m\\), co potwierdza poprawny wzór z \\(m\\) w liczniku.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Niektórzy uczniowie mylą \\(x\\) z pozycją środka masy \\(x_{\\text{cm}}\\) w dowolnym układzie - tu \\(x\\) to **odległość**, więc musi być dodatnie i mniejsze od \\(d\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy Sposobie 1 kluczowe jest **wybranie układu współrzędnych** i jawne wskazanie, że gwiazda \\(M\\) leży w początku. Bez tego wyprowadzenie jest niepełne i grozi utratą punktu za \"brak uzasadnienia\".","image":"img/fizyka-2015-maj-matura-rozszerzona/zad-5.2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 5.2. (0-2)
Dana jest odległość d między gwiazdami. Odległość środka masy układu od gwiazdy o masie
M oznaczamy jako x. Rozmiary gwiazd należy pominąć.
Wyprowadź wzór wyrażający zależność x od d, M i m.
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 5.1. 5.2.
Maks. liczba pkt
1
1
2
3
1
2
Uzyskana liczba pkt
M
•O
MFA_1R

","answer_text_html":"

Zadanie 5.2. (0-2)
IV. Budowa prostych modeli fizycznych
i matematycznych do opisu zjawisk.
2.5. Zdający wyznacza położenie środka masy.
Przykłady poprawnej odpowiedzi
• Położenie środka masy układu dwóch punktów materialnych jest dane wzorem
x =
m1x1 + m2x2
m1 + m2 .
Początek osi x wybieramy w gwieździe o masie M i podstawiamy m1 = M, m2 = m, x1 = 0
i x2 = d. Otrzymujemy
x =
md
m+M
• Gdy środek masy układu dwóch punktów materialnych jest w początku osi x, spełnione
jest równanie m1x1 = m2x2 (gdzie odległości x1 i x2 uznajemy za dodatnie). W naszym
przypadku Mx = m(d - x), skąd wynika wzór na x jak wyżej.
Schemat punktowania
2 p. - wyprowadzenie poprawnego wzoru na x.
1 p. - napisanie poprawnego wzoru pozwalającego wyznaczyć położenie środka masy układu
dwóch punktów materialnych.
0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n
x=m·dM+m
\n

Sposób 1 - Definicja środka masy (wzór bezpośredni)

\n

Układ współrzędnych: Umieszczamy gwiazdę o masie M w początku układu (xM=0), a gwiazdę o masie m w punkcie xm=d.

\n

Środek masy układu dwóch punktów materialnych:

\n
xcm=M·xM+m·xmM+m=M·0+m·dM+m
\n

Ponieważ gwiazda M jest w początku układu, odległość środka masy od gwiazdy M to właśnie xcm:

\n
x=m·dM+m
\n

Sposób 2 - Warunek równowagi momentów (definicja środka masy przez momenty)

\n

Środek masy to punkt, w którym momenty statyczne obu mas względem tego punktu równoważą się:

\n
M·x=m·(d−x)
\n

Prawa strona: m jest w odległości (d−x) od środka masy.

\n

Rozwijamy:

\n
Mx=md−mx
\n
Mx+mx=md
\n
x(M+m)=md
\n
x=m·dM+m
\n

Sposób 3 - Weryfikacja symetrii: sprawdzenie odległości drugiej gwiazdy

\n

Ze wzoru na x wyznaczamy odległość środka masy od gwiazdy m:

\n
d−x=d−mdM+m=d(M+m)−mdM+m=MdM+m
\n

Sprawdzamy warunek równowagi:

\n
M·x=?m·(d−x)
\n
M·mdM+m=m·MdM+m✓
\n

Obie strony równe - wyprowadzenie poprawne. Wynik konsekwentnie symetryczny: cięższa gwiazda jest bliżej środka masy (dla M>m mamy x<d2).

\n

Schemat oceniania CKE

\n
📋 Oficjalny klucz CKE (zadanie 5.2, 0-2 pkt):

Przyklady poprawnej odpowiedzi:
- Polozenie srodka masy ukladu dwoch punktow materialnych: x = (m1 x1 + m2 x2)/(m1 + m2). Poczatek osi x w gwiezdzie M, podstawiamy m1 = M, m2 = m, x1 = 0, x2 = d. Otrzymujemy x = md/(m+M).
- Gdy srodek masy jest w poczatku osi x: m1 x1 = m2 x2, czyli Mx = m(d - x), skad wynika ten sam wzor.

- 2 pkt - wyprowadzenie poprawnego wzoru na x.
- 1 pkt - napisanie poprawnego wzoru pozwalajacego wyznaczyc polozenie srodka masy ukladu dwoch punktow materialnych.
- 0 pkt - brak spelnienia powyzszych kryteriow.
\n

Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć

\n

W tym zadaniu nie korzystamy z karty wzorów - definicja środka masy to podstawa mechaniki klasycznej wymagana z pamięci.

\n

Dla przypomnienia wzór ogólny (który powinieneś znać):

\n
xcm=m1x1+m2x2m1+m2
\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Częsty błąd to zapisanie x=M·dM+m - zamiana miejscami M i m. Pamiętaj: środek masy jest bliżej cięższej gwiazdy, więc x (odległość od M) musi być mniejsze gdy M>m, co potwierdza poprawny wzór z m w liczniku.
\n
⚠️ Uwaga: Niektórzy uczniowie mylą x z pozycją środka masy xcm w dowolnym układzie - tu x to odległość, więc musi być dodatnie i mniejsze od d.
\n
⚠️ Uwaga: Przy Sposobie 1 kluczowe jest wybranie układu współrzędnych i jawne wskazanie, że gwiazda M leży w początku. Bez tego wyprowadzenie jest niepełne i grozi utratą punktu za "brak uzasadnienia".
"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

x=mdm+M

"}]}