{"id":"fizyka-2015-maj-matura-rozszerzona/zad/5.3","paper_id":"fizyka-2015-maj-matura-rozszerzona","number":"5.3","points":2,"ptype":"true_false","subject":"fizyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5.3. (0-2)\nOceń prawdziwość poniższych zdań. Zaznacz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F - jeśli\nzdanie jest fałszywe.\n1. Siły dośrodkowe FM oraz Fm działające na gwiazdy o masach M oraz m\nmają jednakowe wartości (FM = Fm).\nP\nF\n2. Prędkości liniowe obu gwiazd względem środka masy układu mają tę samą\nwartość (vM = vm).\nP\nF\n3. Częstotliwości, z jakimi gwiazdy obiegają swoje orbity, są równe (fM = fm).\nP\nF","answer":"F","answer_text":"Zadanie 5.3. (0-2)\nI. Znajomość i umiejętność wykorzystania\npojęć i praw fizyki do wyjaśniania\nprocesów i zjawisk w przyrodzie.\n1.9. Zdający stosuje trzecią zasadę dynamiki\nNewtona do opisu zachowania się ciał.\n1.14. Zdający opisuje wektory prędkości\n[w ruchu jednostajnym po okręgu].\nPoprawna odpowiedź\n1 - P, 2 - F, 3 - P\nSchemat punktowania\n2 p. - zaznaczenie trzech poprawnych odpowiedzi.\n1 p. - zaznaczenie dwóch poprawnych odpowiedzi.\n0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nm","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n| Zdanie | Ocena |\n| 1. \\(F_M = F_m\\) | **P** |\n| 2. \\(v_M = v_m\\) | **F** |\n| 3. \\(f_M = f_m\\) | **P** |\n\n## Sposób 1 - III zasada dynamiki Newtona + kinematyka układu dwóch gwiazd\n\n### Kontekst układu\n\nDwie gwiazdy o masach \\(M\\) i \\(m\\) krążą wokół **wspólnego środka masy** (barycentrum). Każda gwiazda porusza się po kołowej orbicie o promieniu odpowiednio \\(R_M\\) i \\(R_m\\), z tym samym okresem \\(T\\) (bo konfiguracja musi być sztywna - gwiazdy zawsze naprzeciwko siebie względem barycentrum).\n\nZ definicji środka masy:\n\\[\nM \\cdot R_M = m \\cdot R_m \\implies \\frac{R_M}{R_m} = \\frac{m}{M}\n\\]\n\nJeśli \\(M > m\\), to \\(R_M < R_m\\) - masywniejsza gwiazda krąży bliżej barycentrum.\n\n### Zdanie 1: \\(F_M = F_m\\) - **PRAWDA**\n\nSiłą dośrodkową dla każdej gwiazdy jest **grawitacja wzajemna**. Z **III zasady dynamiki Newtona**: siła, jaką masa \\(M\\) działa na masę \\(m\\), jest równa co do wartości sile, jaką masa \\(m\\) działa na masę \\(M\\):\n\n\\[\nF = G\\frac{Mm}{r^2}\n\\]\n\ngdzie \\(r = R_M + R_m\\) to odległość między gwiazdami. **Obie gwiazdy odczuwają tę samą siłę grawitacji** - jest to para sił akcja-reakcja.\n\n\\[\n\\boxed{F_M = F_m = G\\frac{Mm}{r^2}} \\implies \\textbf{P}\n\\]\n\n### Zdanie 2: \\(v_M = v_m\\) - **FAŁSZ**\n\nObie gwiazdy mają **ten sam okres** \\(T\\), ale **różne promienie orbit**. Prędkość liniowa:\n\n\\[\nv = \\frac{2\\pi R}{T}\n\\]\n\nSkoro \\(R_M \\neq R_m\\) (gdy \\(M \\neq m\\)), to:\n\n\\[\nv_M = \\frac{2\\pi R_M}{T}, \\qquad v_m = \\frac{2\\pi R_m}{T}\n\\]\n\n\\[\n\\frac{v_M}{v_m} = \\frac{R_M}{R_m} = \\frac{m}{M} \\neq 1\n\\]\n\n**Masywniejsza gwiazda ma mniejszy promień orbity i mniejszą prędkość liniową.**\n\n\\[\nv_M \\neq v_m \\implies \\textbf{F}\n\\]\n\n### Zdanie 3: \\(f_M = f_m\\) - **PRAWDA**\n\nUkład musi zachować konfigurację - obie gwiazdy muszą zawsze znajdować się **po przeciwnych stronach barycentrum** w tej samej linii. Gdyby miały różne okresy (różne częstotliwości), ta konfiguracja by się rozpadła. Zatem:\n\n\\[\nT_M = T_m = T \\implies f_M = f_m = \\frac{1}{T}\n\\]\n\n\\[\n\\boxed{f_M = f_m} \\implies \\textbf{P}\n\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez równania ruchu po okręgu\n\nDla każdej gwiazdy siła dośrodkowa = grawitacja:\n\n\\[\nF_M: \\quad G\\frac{Mm}{r^2} = M \\cdot \\omega^2 R_M\n\\]\n\\[\nF_m: \\quad G\\frac{Mm}{r^2} = m \\cdot \\omega^2 R_m\n\\]\n\n**Lewa strona obu równań jest taka sama** → \\(F_M = F_m\\) ✓ (zdanie 1 **P**)\n\nZ prawych stron wynika:\n\\[\nM \\cdot \\omega^2 R_M = m \\cdot \\omega^2 R_m \\implies M \\cdot R_M = m \\cdot R_m\n\\]\n- to właśnie definicja środka masy ✓ (spójność układu).\n\nObydwa równania zawierają **to samo \\(\\omega\\)** - układ kręci się jako całość z jedną prędkością kątową:\n\\[\n\\omega_M = \\omega_m \\implies f_M = f_m = \\frac{\\omega}{2\\pi} \\quad \\textbf{P}\n\\]\n\nPrędkości liniowe:\n\\[\nv_M = \\omega R_M, \\quad v_m = \\omega R_m\n\\]\nPonieważ \\(R_M \\neq R_m\\) (bo \\(M \\neq m\\)), mamy \\(v_M \\neq v_m\\) → **F**\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> 📋 **Oficjalny klucz CKE (zadanie 5.3, 0-2 pkt):**\n> - Poprawna odpowiedz: **1 - P, 2 - F, 3 - P**.\n> - **2 pkt** - zaznaczenie trzech poprawnych odpowiedzi.\n> - **1 pkt** - zaznaczenie dwoch poprawnych odpowiedzi.\n> - **0 pkt** - brak spelnienia powyzszych kryteriow.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - fizyka:**\n> - **Prawo powszechnego ciążenia:** \\(F = G\\frac{m_1 m_2}{r^2}\\) - użyte w zdaniu 1 i Sposobie 2\n> - **Ruch po okręgu:** \\(v = \\omega R\\), \\(f = \\frac{\\omega}{2\\pi}\\), \\(F_d = m\\omega^2 R\\) - użyte w zdaniach 2 i 3\n> - **III zasada Newtona** nie jest wzorem w karcie, ale jest fundamentem zdania 1 (siły tworzą parę akcja-reakcja)\n\n## Dlaczego inne kombinacje są błędne\n\n| Typowy błąd ucznia | Prowadzi do | Dlaczego błędnie |\n| „Masywniejsza gwiazda odczuwa większą siłę\" | \\(F_M > F_m\\) → daje P, **F**, P | Mylenie masy z siłą - III zasada Newtona mówi wprost: siły akcja-reakcja są RÓWNE |\n| „Skoro siły równe, to i prędkości równe\" | P, **P**, P | Siła = masa × przyspieszenie dośrodkowe; mniejsza masa, mniejsza siła nie powoduje tej samej prędkości - bo różne promienie orbit |\n| „Skoro prędkości różne, to i okresy różne\" | P, F, **F** | Myląca intuicja z ruchem samochodów na drodze; tu gwiazdy są **sprzężone** - muszą zachować wzajemne położenie |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Pułapka 1 - III zasada Newtona:** Wiele osób intuicyjnie sądzi, że masywniejsza gwiazda „przyciąga mocniej\" lub „odczuwa mocniejszą siłę\". To błąd - grawitacja to para akcja-reakcja o JEDNAKOWYCH wartościach, niezależnie od mas.\n\n> ⚠️ **Pułapka 2 - prędkość liniowa vs kątowa:** \\(\\omega_M = \\omega_m\\) (taka sama prędkość kątowa), ale \\(v_M \\neq v_m\\) (różna prędkość liniowa). Uczeń często myli te pojęcia i błędnie ocenia zdanie 2 jako P.\n\n> ⚠️ **Pułapka 3 - „układ dwóch gwiazd ≠ dwie niezależne orbity\":** Obie gwiazdy tworzą jeden układ - ich okresy muszą być identyczne, bo inaczej gwiazdy nie utrzymałyby wzajemnego ułożenia względem barycentrum (odlatywałyby od wspólnego środka masy).","image":"img/fizyka-2015-maj-matura-rozszerzona/zad-5.3.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"maturazai","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 5.3. (0-2)
Oceń prawdziwość poniższych zdań. Zaznacz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F - jeśli
zdanie jest fałszywe.

\n
  1. Siły dośrodkowe FM oraz Fm działające na gwiazdy o masach M oraz m
\n

mają jednakowe wartości (FM = Fm).
P
F

\n
  1. Prędkości liniowe obu gwiazd względem środka masy układu mają tę samą
\n

wartość (vM = vm).
P
F

\n
  1. Częstotliwości, z jakimi gwiazdy obiegają swoje orbity, są równe (fM = fm).
\n

P
F

","answer_text_html":"

Zadanie 5.3. (0-2)
I. Znajomość i umiejętność wykorzystania
pojęć i praw fizyki do wyjaśniania
procesów i zjawisk w przyrodzie.
1.9. Zdający stosuje trzecią zasadę dynamiki
Newtona do opisu zachowania się ciał.
1.14. Zdający opisuje wektory prędkości
[w ruchu jednostajnym po okręgu].
Poprawna odpowiedź
1 - P, 2 - F, 3 - P
Schemat punktowania
2 p. - zaznaczenie trzech poprawnych odpowiedzi.
1 p. - zaznaczenie dwóch poprawnych odpowiedzi.
0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.
m

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n

| Zdanie | Ocena |
| 1. FM=Fm | P |
| 2. vM=vm | F |
| 3. fM=fm | P |

\n

Sposób 1 - III zasada dynamiki Newtona + kinematyka układu dwóch gwiazd

\n
Kontekst układu
\n

Dwie gwiazdy o masach M i m krążą wokół wspólnego środka masy (barycentrum). Każda gwiazda porusza się po kołowej orbicie o promieniu odpowiednio RM i Rm, z tym samym okresem T (bo konfiguracja musi być sztywna - gwiazdy zawsze naprzeciwko siebie względem barycentrum).

\n

Z definicji środka masy:

\n
M·RM=m·Rm⟹RMRm=mM
\n

Jeśli M>m, to RM<Rm - masywniejsza gwiazda krąży bliżej barycentrum.

\n
Zdanie 1: FM=Fm - PRAWDA
\n

Siłą dośrodkową dla każdej gwiazdy jest grawitacja wzajemna. Z III zasady dynamiki Newtona: siła, jaką masa M działa na masę m, jest równa co do wartości sile, jaką masa m działa na masę M:

\n
F=GMmr2
\n

gdzie r=RM+Rm to odległość między gwiazdami. Obie gwiazdy odczuwają tę samą siłę grawitacji - jest to para sił akcja-reakcja.

\n
FM=Fm=GMmr2⟹P
\n
Zdanie 2: vM=vm - FAŁSZ
\n

Obie gwiazdy mają ten sam okres T, ale różne promienie orbit. Prędkość liniowa:

\n
v=2πRT
\n

Skoro RM≠Rm (gdy M≠m), to:

\n
vM=2πRMT,vm=2πRmT
\n
vMvm=RMRm=mM≠1
\n

Masywniejsza gwiazda ma mniejszy promień orbity i mniejszą prędkość liniową.

\n
vM≠vm⟹F
\n
Zdanie 3: fM=fm - PRAWDA
\n

Układ musi zachować konfigurację - obie gwiazdy muszą zawsze znajdować się po przeciwnych stronach barycentrum w tej samej linii. Gdyby miały różne okresy (różne częstotliwości), ta konfiguracja by się rozpadła. Zatem:

\n
TM=Tm=T⟹fM=fm=1T
\n
fM=fm⟹P
\n

Sposób 2 - weryfikacja przez równania ruchu po okręgu

\n

Dla każdej gwiazdy siła dośrodkowa = grawitacja:

\n
FM:GMmr2=M·ω2RM
\n
Fm:GMmr2=m·ω2Rm
\n

Lewa strona obu równań jest taka sama → FM=Fm ✓ (zdanie 1 P)

\n

Z prawych stron wynika:

\n
M·ω2RM=m·ω2Rm⟹M·RM=m·Rm
\n\n

Obydwa równania zawierają to samo ω - układ kręci się jako całość z jedną prędkością kątową:

\n
ωM=ωm⟹fM=fm=ω2πP
\n

Prędkości liniowe:

\n
vM=ωRM,vm=ωRm
\n

Ponieważ RM≠Rm (bo M≠m), mamy vM≠vm → F

\n

Schemat oceniania CKE

\n
📋 Oficjalny klucz CKE (zadanie 5.3, 0-2 pkt):
- Poprawna odpowiedz: 1 - P, 2 - F, 3 - P.
- 2 pkt - zaznaczenie trzech poprawnych odpowiedzi.
- 1 pkt - zaznaczenie dwoch poprawnych odpowiedzi.
- 0 pkt - brak spelnienia powyzszych kryteriow.
\n

Wzory z karty CKE

\n
📖 Karta wzorów CKE - fizyka:
- Prawo powszechnego ciążenia: F=Gm1m2r2 - użyte w zdaniu 1 i Sposobie 2
- Ruch po okręgu: v=ωR, f=ω2π, Fd=mω2R - użyte w zdaniach 2 i 3
- III zasada Newtona nie jest wzorem w karcie, ale jest fundamentem zdania 1 (siły tworzą parę akcja-reakcja)
\n

Dlaczego inne kombinacje są błędne

\n

| Typowy błąd ucznia | Prowadzi do | Dlaczego błędnie |
| „Masywniejsza gwiazda odczuwa większą siłę" | FM>Fm → daje P, F, P | Mylenie masy z siłą - III zasada Newtona mówi wprost: siły akcja-reakcja są RÓWNE |
| „Skoro siły równe, to i prędkości równe" | P, P, P | Siła = masa × przyspieszenie dośrodkowe; mniejsza masa, mniejsza siła nie powoduje tej samej prędkości - bo różne promienie orbit |
| „Skoro prędkości różne, to i okresy różne" | P, F, F | Myląca intuicja z ruchem samochodów na drodze; tu gwiazdy są sprzężone - muszą zachować wzajemne położenie |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Pułapka 1 - III zasada Newtona: Wiele osób intuicyjnie sądzi, że masywniejsza gwiazda „przyciąga mocniej" lub „odczuwa mocniejszą siłę". To błąd - grawitacja to para akcja-reakcja o JEDNAKOWYCH wartościach, niezależnie od mas.
\n
⚠️ Pułapka 2 - prędkość liniowa vs kątowa: ωM=ωm (taka sama prędkość kątowa), ale vM≠vm (różna prędkość liniowa). Uczeń często myli te pojęcia i błędnie ocenia zdanie 2 jako P.
\n
⚠️ Pułapka 3 - „układ dwóch gwiazd ≠ dwie niezależne orbity": Obie gwiazdy tworzą jeden układ - ich okresy muszą być identyczne, bo inaczej gwiazdy nie utrzymałyby wzajemnego ułożenia względem barycentrum (odlatywałyby od wspólnego środka masy).
"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

1 – P, 2 – F, 3 – P

"}]}