{"id":"fizyka-2015-maj-matura-rozszerzona/zad/9","paper_id":"fizyka-2015-maj-matura-rozszerzona","number":"9","points":2,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2015,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (0-2)\nZ prostokątnych płytek aluminiowych i kartek papieru (będącego dobrym izolatorem)\nzbudowano dwa kondensatory płaskie. Kondensator A składa się z dwóch płytek (okładek)\no wymiarach 14 cm na 20 cm każda, przedzielonych czterema kartkami, a kondensator B\nz dwóch płytek o wymiarach 7 cm na 10 cm, przedzielonych\njedną kartką. Kartki stykają się tak, że pomiędzy nimi nie ma\npowietrza.\nOblicz wartość stosunku pojemności CA i CB tych kondensatorów.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9. (0-2)\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\n7.9. Zdający oblicza pojemność kondensatora\npłaskiego, znając jego cechy geometryczne.\nPoprawna odpowiedź\nZarówno powierzchnia okładek, jak i odległość między nimi są dla kondensatora A\nczterokrotnie większe od analogicznych wielkości dla kondensatora B. Na podstawie wzoru\nC = ε0\nௌ\nௗ\nstwierdzamy, że pojemności obu kondensatorów są jednakowe, czyli ich stosunek wynosi 1.\nSchemat punktowania\n2 p. - zastosowanie poprawnego wzoru na pojemność kondensatora płaskiego, uwzględnienie\nobu relacji SA = 4SB, dA = 4dB oraz poprawna odpowiedź.\n1 p. - zastosowanie poprawnego wzoru na pojemność kondensatora płaskiego i uwzględnienie\njednej z relacji SA = 4SB, dA = 4dB.\n0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n\\[\\boxed{\\frac{C_A}{C_B} = 1}\\]\n\nOba kondensatory mają **identyczną pojemność** - czterokrotnie większa powierzchnia płytek kondensatora A jest dokładnie skompensowana czterokrotnie grubszą warstwą dielektryka.\n\n## Sposób 1 - Wzór na pojemność kondensatora płaskiego, rachunkowy\n\nWzór na pojemność kondensatora płaskiego z dielektrykiem:\n\n\\[C = \\varepsilon_0 \\varepsilon_r \\frac{S}{d}\\]\n\ngdzie \\(S\\) - pole powierzchni okładek, \\(d\\) - odległość między okładkami (grubość dielektryka), \\(\\varepsilon_r\\) - przenikalność względna dielektryka.\n\nOznaczmy grubość jednej kartki papieru jako \\(d_0\\). Obie kartki są tego samego rodzaju papieru, więc \\(\\varepsilon_r\\) jest identyczne dla obu kondensatorów.\n\n**Kondensator A:**\n\n\\[S_A = 0{,}14\\ \\text{m} \\times 0{,}20\\ \\text{m} = 0{,}028\\ \\text{m}^2\\]\n\\[d_A = 4d_0 \\quad \\text{(cztery kartki)}\\]\n\\[C_A = \\varepsilon_0 \\varepsilon_r \\frac{0{,}028}{4d_0} = \\varepsilon_0 \\varepsilon_r \\frac{0{,}007}{d_0}\\]\n\n**Kondensator B:**\n\n\\[S_B = 0{,}07\\ \\text{m} \\times 0{,}10\\ \\text{m} = 0{,}007\\ \\text{m}^2\\]\n\\[d_B = d_0 \\quad \\text{(jedna kartka)}\\]\n\\[C_B = \\varepsilon_0 \\varepsilon_r \\frac{0{,}007}{d_0}\\]\n\n**Stosunek pojemności:**\n\n\\[\\frac{C_A}{C_B} = \\frac{\\varepsilon_0 \\varepsilon_r \\dfrac{0{,}007}{d_0}}{\\varepsilon_0 \\varepsilon_r \\dfrac{0{,}007}{d_0}} = \\boxed{1}\\]\n\n## Sposób 2 - Analiza proporcji bez liczenia, argumentacja strukturalna\n\nZauważmy, że kondensator A i kondensator B różnią się **dwoma parametrami jednocześnie**:\n\n| Parametr | Kondensator A | Kondensator B | Stosunek A/B |\n| Długość boków płytki | \\(14\\ \\text{cm} \\times 20\\ \\text{cm}\\) | \\(7\\ \\text{cm} \\times 10\\ \\text{cm}\\) | każdy bok × 2 |\n| Pole \\(S\\) | \\(280\\ \\text{cm}^2\\) | \\(70\\ \\text{cm}^2\\) | **×4** |\n| Liczba kartek (grubość \\(d\\)) | 4 | 1 | **×4** |\n\nZ wzoru \\(C = \\varepsilon_0 \\varepsilon_r \\dfrac{S}{d}\\) pojemność rośnie wraz z \\(S\\) i maleje wraz z \\(d\\).\n\n- \\(S_A = 4 S_B\\) → chciałoby zwiększyć \\(C_A\\) czterokrotnie\n- \\(d_A = 4 d_B\\) → chciałoby zmniejszyć \\(C_A\\) czterokrotnie\n\n**Oba efekty dokładnie się znoszą:**\n\n\\[\\frac{C_A}{C_B} = \\frac{4 S_B}{4 d_B} \\cdot \\frac{d_B}{S_B} = \\frac{4}{4} = 1\\]\n\nTo klasyczny przykład **kompensacji geometrycznej** - budując \"większy\" kondensator z grubszym dielektrykiem, można dostać tę samą pojemność.\n\n## Sposób 3 - Sprawdzenie liczbowe stosunków\n\nDla pewności rozpiszmy oba czynniki osobno jako iloraz A/B:\n\n\\[\\frac{C_A}{C_B} = \\frac{S_A}{S_B}\\cdot\\frac{d_B}{d_A}\\]\n\n- Stosunek pól: \\(\\dfrac{S_A}{S_B} = \\dfrac{14\\cdot 20}{7\\cdot 10} = \\dfrac{280}{70} = 4\\)\n- Stosunek grubości dielektryka (liczby kartek): \\(\\dfrac{d_B}{d_A} = \\dfrac{1\\,d_0}{4\\,d_0} = \\dfrac{1}{4}\\)\n\nStąd:\n\\[\\frac{C_A}{C_B} = 4 \\cdot \\frac{1}{4} = 1\\]\n\nWynik potwierdza Sposób 1 i 2 - czterokrotny wzrost powierzchni jest dokładnie zniesiony przez czterokrotny wzrost grubości dielektryka.\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> 📋 **Oficjalny klucz CKE (zadanie 9, 0-2 pkt):**\n>\n> Poprawna odpowiedz: zarowno powierzchnia okladek, jak i odleglosc miedzy nimi sa dla kondensatora A czterokrotnie wieksze od analogicznych wielkosci dla kondensatora B. Na podstawie wzoru C = ε0 S/d stwierdzamy, ze pojemnosci obu kondensatorow sa jednakowe, czyli ich stosunek wynosi 1.\n>\n> - **2 pkt** - zastosowanie poprawnego wzoru na pojemnosc kondensatora plaskiego, uwzglednienie obu relacji S_A = 4 S_B, d_A = 4 d_B oraz poprawna odpowiedz.\n> - **1 pkt** - zastosowanie poprawnego wzoru na pojemnosc kondensatora plaskiego i uwzglednienie jednej z relacji S_A = 4 S_B, d_A = 4 d_B.\n> - **0 pkt** - brak spelnienia powyzszych kryteriow.\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (Elektromagnetyzm):**\n>\n> Kondensator płaski z dielektrykiem:\n> \\[C = \\varepsilon_0 \\varepsilon_r \\frac{S}{d}\\]\n> gdzie \\(\\varepsilon_0 = 8{,}85 \\times 10^{-12}\\ \\text{F/m}\\), \\(\\varepsilon_r\\) - przenikalność względna materiału.\n>\n> W tym zadaniu \\(\\varepsilon_0\\) i \\(\\varepsilon_r\\) **nie muszą być znane liczbowo** - wynikają z ilorazu i skracają się, bo obie kondensatory mają ten sam dielektryk (papier).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd - uczeń widzi \"A jest większy, więc \\(C_A > C_B\\)\" i nie sprawdza grubości dielektryka. Tymczasem \\(d\\) jest w **mianowniku** wzoru i czterokrotnie grubszy dielektryk redukuje pojemność tak samo, jak czterokrotnie większa powierzchnia ją zwiększa.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno pominąć informacji \"cztery kartki\" dla A i \"jedna kartka\" dla B - to **kluczowe dane** decydujące o odpowiedzi. Na maturze uczeń musi uważnie czytać, co jest przedzielone ilu kartkami.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Grubości kartek \\(d_0\\) **nie trzeba znać** - wystarczy potraktować ją jako symbol. Skraca się przy obliczaniu stosunku \\(C_A/C_B\\). Próba \"szacowania\" grubości kartki (np. 0,1 mm) jest zbędna i ryzykowna.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Papier jest **dobrym izolatorem**, ale jego przenikalność \\(\\varepsilon_r\\) różni się od 1 (powietrza). Jednak skoro oba kondensatory używają **tego samego** papieru, \\(\\varepsilon_r\\) skraca się w stosunku - nie ma znaczenia, czy znamy jego wartość.","image":"img/fizyka-2015-maj-matura-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":9,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2015 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 9. (0-2)
Z prostokątnych płytek aluminiowych i kartek papieru (będącego dobrym izolatorem)
zbudowano dwa kondensatory płaskie. Kondensator A składa się z dwóch płytek (okładek)
o wymiarach 14 cm na 20 cm każda, przedzielonych czterema kartkami, a kondensator B
z dwóch płytek o wymiarach 7 cm na 10 cm, przedzielonych
jedną kartką. Kartki stykają się tak, że pomiędzy nimi nie ma
powietrza.
Oblicz wartość stosunku pojemności CA i CB tych kondensatorów.

","answer_text_html":"

Zadanie 9. (0-2)
IV. Budowa prostych modeli fizycznych
i matematycznych do opisu zjawisk.
7.9. Zdający oblicza pojemność kondensatora
płaskiego, znając jego cechy geometryczne.
Poprawna odpowiedź
Zarówno powierzchnia okładek, jak i odległość między nimi są dla kondensatora A
czterokrotnie większe od analogicznych wielkości dla kondensatora B. Na podstawie wzoru
C = ε0
ௌ
ௗ
stwierdzamy, że pojemności obu kondensatorów są jednakowe, czyli ich stosunek wynosi 1.
Schemat punktowania
2 p. - zastosowanie poprawnego wzoru na pojemność kondensatora płaskiego, uwzględnienie
obu relacji SA = 4SB, dA = 4dB oraz poprawna odpowiedź.
1 p. - zastosowanie poprawnego wzoru na pojemność kondensatora płaskiego i uwzględnienie
jednej z relacji SA = 4SB, dA = 4dB.
0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n
CACB=1
\n

Oba kondensatory mają identyczną pojemność - czterokrotnie większa powierzchnia płytek kondensatora A jest dokładnie skompensowana czterokrotnie grubszą warstwą dielektryka.

\n

Sposób 1 - Wzór na pojemność kondensatora płaskiego, rachunkowy

\n

Wzór na pojemność kondensatora płaskiego z dielektrykiem:

\n
C=ε0εrSd
\n

gdzie S - pole powierzchni okładek, d - odległość między okładkami (grubość dielektryka), εr - przenikalność względna dielektryka.

\n

Oznaczmy grubość jednej kartki papieru jako d0. Obie kartki są tego samego rodzaju papieru, więc εr jest identyczne dla obu kondensatorów.

\n

Kondensator A:

\n
SA=0,14 m×0,20 m=0,028 m2
\n
dA=4d0(cztery kartki)
\n
CA=ε0εr0,0284d0=ε0εr0,007d0
\n

Kondensator B:

\n
SB=0,07 m×0,10 m=0,007 m2
\n
dB=d0(jedna kartka)
\n
CB=ε0εr0,007d0
\n

Stosunek pojemności:

\n
CACB=ε0εr0,007d0ε0εr0,007d0=1
\n

Sposób 2 - Analiza proporcji bez liczenia, argumentacja strukturalna

\n

Zauważmy, że kondensator A i kondensator B różnią się dwoma parametrami jednocześnie:

\n

| Parametr | Kondensator A | Kondensator B | Stosunek A/B |
| Długość boków płytki | 14 cm×20 cm | 7 cm×10 cm | każdy bok × 2 |
| Pole S | 280 cm2 | 70 cm2 | ×4 |
| Liczba kartek (grubość d) | 4 | 1 | ×4 |

\n

Z wzoru C=ε0εrSd pojemność rośnie wraz z S i maleje wraz z d.

\n\n

Oba efekty dokładnie się znoszą:

\n
CACB=4SB4dB·dBSB=44=1
\n

To klasyczny przykład kompensacji geometrycznej - budując "większy" kondensator z grubszym dielektrykiem, można dostać tę samą pojemność.

\n

Sposób 3 - Sprawdzenie liczbowe stosunków

\n

Dla pewności rozpiszmy oba czynniki osobno jako iloraz A/B:

\n
CACB=SASB·dBdA
\n\n

Stąd:

\n
CACB=4·14=1
\n

Wynik potwierdza Sposób 1 i 2 - czterokrotny wzrost powierzchni jest dokładnie zniesiony przez czterokrotny wzrost grubości dielektryka.

\n

Schemat oceniania CKE

\n
📋 Oficjalny klucz CKE (zadanie 9, 0-2 pkt):

Poprawna odpowiedz: zarowno powierzchnia okladek, jak i odleglosc miedzy nimi sa dla kondensatora A czterokrotnie wieksze od analogicznych wielkosci dla kondensatora B. Na podstawie wzoru C = ε0 S/d stwierdzamy, ze pojemnosci obu kondensatorow sa jednakowe, czyli ich stosunek wynosi 1.

- 2 pkt - zastosowanie poprawnego wzoru na pojemnosc kondensatora plaskiego, uwzglednienie obu relacji S_A = 4 S_B, d_A = 4 d_B oraz poprawna odpowiedz.
- 1 pkt - zastosowanie poprawnego wzoru na pojemnosc kondensatora plaskiego i uwzglednienie jednej z relacji S_A = 4 S_B, d_A = 4 d_B.
- 0 pkt - brak spelnienia powyzszych kryteriow.
\n

Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć

\n
📖 Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (Elektromagnetyzm):

Kondensator płaski z dielektrykiem:
C=ε0εrSd
gdzie ε0=8,85×10−12 F/m, εr - przenikalność względna materiału.

W tym zadaniu ε0 i εr nie muszą być znane liczbowo - wynikają z ilorazu i skracają się, bo obie kondensatory mają ten sam dielektryk (papier).
\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd - uczeń widzi "A jest większy, więc CA>CB" i nie sprawdza grubości dielektryka. Tymczasem d jest w mianowniku wzoru i czterokrotnie grubszy dielektryk redukuje pojemność tak samo, jak czterokrotnie większa powierzchnia ją zwiększa.
\n
⚠️ Uwaga: Nie wolno pominąć informacji "cztery kartki" dla A i "jedna kartka" dla B - to kluczowe dane decydujące o odpowiedzi. Na maturze uczeń musi uważnie czytać, co jest przedzielone ilu kartkami.
\n
⚠️ Uwaga: Grubości kartek d0 nie trzeba znać - wystarczy potraktować ją jako symbol. Skraca się przy obliczaniu stosunku CA/CB. Próba "szacowania" grubości kartki (np. 0,1 mm) jest zbędna i ryzykowna.
\n
⚠️ Uwaga: Papier jest dobrym izolatorem, ale jego przenikalność εr różni się od 1 (powietrza). Jednak skoro oba kondensatory używają tego samego papieru, εr skraca się w stosunku - nie ma znaczenia, czy znamy jego wartość.
"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

stosunek wynosi 1

"}]}