{"id":"fizyka-2016-maj-matura-rozszerzona/zad/1.1","paper_id":"fizyka-2016-maj-matura-rozszerzona","number":"1.1","points":5,"ptype":"closed","subject":"fizyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1.1. (0-5)\na) Wykonaj wykres zależności x(t) i zaznacz na wykresie niepewności x. Pomiary czasu\nprzyjmij za dokładne.\nb) Na podstawie wykresu ustal czas odbicia (z dokładnością do 0,02 s) i położenie wózka\nw tej chwili (z dokładnością do 5 cm).\nMFA_1R","answer":"a","answer_text":"Zadanie 1.1. (0-5)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nGdy wymaganie dotyczy III etapu\nedukacyjnego, dopisano (III etap).\nGdy wymaganie dotyczy materiału gimnazjum,\ndopisano (G), a gdy zakresu podstawowego IV\netapu, dopisano (P).\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tabel\n[…].\n12.2. Zdający samodzielnie wykonuje poprawne\nwykresy […].\n12.4. Zdający interpoluje, ocenia orientacyjnie\nwartość pośrednią […], także za pomocą wykresu.\nSchemat punktowania\na)\n3 p. - poprawne opisanie i wyskalowanie osi, poprawne naniesienie punktów wraz\nz niepewnościami, narysowanie prostych zgodnych z punktami.\n2 p. - poprawne opisanie i wyskalowanie osi, poprawne naniesienie punktów wraz\nz niepewnościami.\n1 p. - poprawne opisanie i wyskalowanie osi, poprawne naniesienie punktów\nlub\n- poprawne opisanie i wyskalowanie osi, błędne naniesienie jednego punktu (tylko\njednego), poprawne naniesienie niepewności.\n0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów (m.in. zamiana osi wykresu).\nb)\n2 p. - odczytanie z wykresu i napisanie poprawnej wartości czasu odbicia oraz położenia\nwózka.\n1 p. - odczytanie z wykresu i napisanie poprawnej wartości czasu odbicia\nlub\n- odczytanie z wykresu i napisanie poprawnej wartości położenia wózka.\nPoprawna odpowiedź\na) Narysowanie wykresu - zob. poniżej.\nb) Odczytanie z wykresu i napisanie poprawnej wartości czasu odbicia (od 0,40 s do 0,46 s)\noraz położenia wózka (od 125 do 140 cm).\n140\n120\n100\n80\n60\n40\n20\n0\nx, cm\nt, s\n0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0.9","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n**Czas odbicia:** \\(t_{\\text{odb}} \\approx 0{,}43 \\text{ s}\\) (akceptowany zakres: ok. \\(0{,}41 \\div 0{,}46\\) s)\n\n**Położenie wózka w chwili odbicia:** \\(x_{\\text{odb}} \\approx 130 \\text{ cm}\\) (akceptowany zakres: ok. \\(125 \\div 140\\) cm)\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie graficzne: przecięcie dwóch prostych\n\n### Krok 1 - Przygotowanie wykresu x(t)\n\nNanoszę punkty pomiarowe na układ osi. **Oś x** (czas) w sekundach, **oś y** (położenie) w cm. Każdy punkt ma **niepewność pomiarową \\(\\pm 5\\) cm** zaznaczoną jako pionowy odcinek błędu:\n\nx [cm]\n140 |\n130 | × ← punkt przecięcia (odbicie)\n120 | •----×-------\n110 | |\n100 | / •\n90 | /\n80 | / •\n70 | •\n60 | •\n40 | •\n20 |\n15 |•\n+----+----+----+----+----+----+----+----+----→ t [s]\n0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8\n\nSłupki błędów (±5 cm) zaznaczam pionowo na każdym punkcie. Czas jest dokładny - brak słupków poziomych.\n\n### Krok 2 - Analiza ruchu: dwie fazy jednostajne\n\nTor powietrzny → **brak tarcia** → wózek porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym zarówno przed, jak i po odbiciu. Na wykresie obie fazy to **proste linie** (liniowe zależności x(t)).\n\n**Przed odbiciem** (punkty \\(t = 0 \\div 0{,}4\\) s):\n\n| Przedział | \\(\\Delta x\\) (cm) | \\(\\Delta t\\) (s) | \\(v\\) (cm/s) |\n| 0 → 0,1 | 25 | 0,1 | 250 |\n| 0,1 → 0,2 | 30 | 0,1 | 300 |\n| 0,2 → 0,3 | 25 | 0,1 | 250 |\n| 0,3 → 0,4 | 30 | 0,1 | 300 |\n\nOdchylenia mieszczą się w granicach niepewności pomiarowej (±5 cm → różnica prędkości ≈ ±50 cm/s). Wyznaczam prostą najlepszego dopasowania metodą najmniejszych kwadratów lub graficznie przez środek rozrzutu:\n\n\\[\nv_1 = \\frac{x_{0{,}4} - x_0}{0{,}4 - 0} = \\frac{125 - 15}{0{,}4} = \\frac{110}{0{,}4} = 275 \\text{ cm/s}\n\\]\n\nRównanie prostej **przed** odbiciem:\n\n\\[\n\\boxed{x_{\\text{przed}}(t) = 14 + 275\\,t} \\quad \\text{[cm]}\n\\]\n\n*(współrzędna: regresja liniowa przez 5 punktów daje \\(b \\approx 14\\) cm, co jest spójne z \\(x_0 = 15\\) cm w granicach błędu)*\n\n**Po odbiciu** (punkty \\(t = 0{,}5 \\div 0{,}8\\) s):\n\n| Przedział | \\(\\Delta x\\) (cm) | \\(\\Delta t\\) (s) | \\(v\\) (cm/s) |\n| 0,5 → 0,6 | -20 | 0,1 | -200 |\n| 0,6 → 0,7 | -20 | 0,1 | -200 |\n| 0,7 → 0,8 | -20 | 0,1 | -200 |\n\nPrędkość po odbiciu jest **idealnie stała**: \\(v_2 = -200\\) cm/s. Równanie prostej **po** odbiciu:\n\n\\[\n\\boxed{x_{\\text{po}}(t) = 220 - 200\\,t} \\quad \\text{[cm]}\n\\]\n\n*(weryfikacja: \\(t=0{,}5 \\Rightarrow 220-100=120\\) ✓, \\(t=0{,}6 \\Rightarrow 100\\) ✓, \\(t=0{,}8 \\Rightarrow 60\\) ✓)*\n\n### Krok 3 - Wyznaczenie punktu przecięcia = chwila odbicia\n\nPrzecięcie obu prostych na wykresie (graficznie) lub algebraicznie:\n\n\\[\n14 + 275\\,t_{\\text{odb}} = 220 - 200\\,t_{\\text{odb}}\n\\]\n\n\\[\n475\\,t_{\\text{odb}} = 206\n\\]\n\n\\[\n\\boxed{t_{\\text{odb}} = \\frac{206}{475} \\approx 0{,}434 \\text{ s} \\approx 0{,}43 \\text{ s}}\n\\]\n\nPołożenie:\n\n\\[\nx_{\\text{odb}} = 14 + 275 \\cdot 0{,}434 \\approx 14 + 119 = 133 \\text{ cm} \\approx \\boxed{130 \\text{ cm}}\n\\]\n\n*(zaokrąglenie do 5 cm zgodnie z dokładnością pomiarową)*\n\n## Sposób 2 - Fizyczne rozumowanie: zasada zachowania pędu i symetria\n\nNa torze bez tarcia prędkość wózka **nie zmienia wartości bezwzględnej** podczas odbicia od nieruchomej, masywnej przeszkody (odbicie sprężyste od ściany). Zmienia się tylko **znak** (kierunek ruchu). To oznacza:\n\n\\[\n|v_1| \\neq |v_2| \\text{ (nie muszą być równe, bo problem nie mówi o idealnym odbiciu)}\n\\]\n\n**Jednak kluczowy wniosek**: między dwoma sąsiednimi punktami pomiarowymi \\(t = 0{,}4\\) s i \\(t = 0{,}5\\) s zachodzi **skok w charakterze ruchu** - wcześniej x rośnie (\\(\\Delta x = +30\\) cm), potem maleje (\\(\\Delta x = -20\\) cm). Odbicie **musiało nastąpić między tymi chwilami**.\n\nZakładając, że w każdym przedziale \\([t_i, t_{i+1}]\\) ruch jest jednostajny:\n- Przed odbiciem, wózek w chwili \\(t = 0{,}4\\) s jest przy \\(x = 125\\) cm i porusza się z \\(v_1 = +275\\) cm/s\n- Po odbiciu, wózek wraca z \\(v_2 = -200\\) cm/s\n\nNiech odbicie nastąpi w chwili \\(\\tau\\) (gdzie \\(0{,}4 < \\tau < 0{,}5\\) s). Korzystam z warunków ciągłości:\n\n\\[\nx(\\tau) = 125 + 275(\\tau - 0{,}4) \\quad \\text{(z lewej)}\n\\]\n\\[\nx(\\tau) = 120 - 200(\\tau - 0{,}5) \\quad \\text{(z prawej)}\n\\]\n\nPrzyrównuję:\n\\[\n125 + 275\\tau - 110 = 120 - 200\\tau + 100\n\\]\n\\[\n15 + 275\\tau = 220 - 200\\tau\n\\]\n\\[\n475\\tau = 205 \\Rightarrow \\tau \\approx 0{,}432 \\text{ s}\n\\]\n\n**Wynik spójny z metodą graficzną** ✓\n\n> Drobna różnica (0,432 vs 0,434 s) wynika z tego, że metoda graficzna używała regresji przez 5 punktów, a tu korzystam tylko z punktów sąsiednich. Obie wartości mieszczą się w zakresie dokładności 0,02 s.\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> 📋 **Zasady oceniania CKE (zadanie 1.1, 0-5 pkt):**\n>\n> **Część a) - wykres:**\n> - **3 pkt** - poprawne opisanie i wyskalowanie osi, poprawne naniesienie punktów wraz z niepewnościami, narysowanie prostych zgodnych z punktami\n> - **2 pkt** - poprawne opisanie i wyskalowanie osi, poprawne naniesienie punktów wraz z niepewnościami\n> - **1 pkt** - poprawne opisanie i wyskalowanie osi, poprawne naniesienie punktów; LUB poprawne osie, błędne naniesienie jednego (tylko jednego) punktu, poprawne naniesienie niepewności\n> - **0 pkt** - brak spełnienia powyższych kryteriów (m.in. zamiana osi wykresu)\n>\n> **Część b) - odczyt z wykresu:**\n> - **2 pkt** - odczytanie z wykresu i napisanie poprawnej wartości czasu odbicia oraz położenia wózka\n> - **1 pkt** - odczytanie z wykresu i napisanie poprawnej wartości czasu odbicia LUB położenia wózka\n>\n> **Poprawna odpowiedź CKE:**\n> b) Odczytanie z wykresu i napisanie poprawnej wartości czasu odbicia (od 0,40 s do 0,46 s) oraz położenia wózka (od 125 do 140 cm).\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja Fizyka (str. 16-20):**\n> Dla tego zadania wystarczy znajomość **kinematyki ruchu jednostajnego**:\n> \\[x = x_0 + v \\cdot t\\]\n> To wzór podstawowy, który jest na karcie (równania ruchu prostoliniowego).\n>\n> Nie potrzebujemy wzorów zaawansowanych - zadanie to analiza danych doświadczalnych.\n>\n> ⚡ Główne narzędzie to **umiejętność rysowania wykresu i odczytu z wykresu** - nie kalkulator.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Brak słupków błędu = utrata punktu**: treść **wprost mówi** \"zaznacz niepewności x\". To obowiązkowy element wykresu. Uczeń często rysuje sam wykres i zapomina o ±5 cm - zero punktów za wykres!\n\n> ⚠️ **Mylenie \"brak tarcia\" z \"stała prędkość przez cały czas\"**: wózek ma stałą prędkość TYLKO w każdej z dwóch faz osobno. Rysowanie jednej prostej przez wszystkie 9 punktów to błąd - taka linia nie ma sensu fizycznego (odbicie!).\n\n> ⚠️ **Odczytanie czasu odbicia jako t = 0,4 s lub t = 0,5 s**: to błąd! Odbicie nastąpiło **między** tymi pomiarami. Wyznaczamy je przez przecięcie dwóch prostych - nie z danych tabelarycznych bezpośrednio.\n\n> ⚠️ **Jednostki**: x w **centymetrach** (dane w tabeli), czas w **sekundach**. Prędkość wychodzi w cm/s - to poprawne, nie trzeba zamieniać na m/s, jeśli konsekwentnie utrzymujemy jednostki.","image":"img/fizyka-2016-maj-matura-rozszerzona/zad-1.1.webp","solution_image":null,"topics":"Kinematyka","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 1.1. (0-5)
a) Wykonaj wykres zależności x(t) i zaznacz na wykresie niepewności x. Pomiary czasu
przyjmij za dokładne.
b) Na podstawie wykresu ustal czas odbicia (z dokładnością do 0,02 s) i położenie wózka
w tej chwili (z dokładnością do 5 cm).
MFA_1R

","answer_text_html":"

Zadanie 1.1. (0-5)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
Gdy wymaganie dotyczy III etapu
edukacyjnego, dopisano (III etap).
Gdy wymaganie dotyczy materiału gimnazjum,
dopisano (G), a gdy zakresu podstawowego IV
etapu, dopisano (P).
III. Wykorzystanie i przetwarzanie
informacji zapisanych w postaci tabel
[…].
12.2. Zdający samodzielnie wykonuje poprawne
wykresy […].
12.4. Zdający interpoluje, ocenia orientacyjnie
wartość pośrednią […], także za pomocą wykresu.
Schemat punktowania
a)
3 p. - poprawne opisanie i wyskalowanie osi, poprawne naniesienie punktów wraz
z niepewnościami, narysowanie prostych zgodnych z punktami.
2 p. - poprawne opisanie i wyskalowanie osi, poprawne naniesienie punktów wraz
z niepewnościami.
1 p. - poprawne opisanie i wyskalowanie osi, poprawne naniesienie punktów
lub

\n\n

jednego), poprawne naniesienie niepewności.
0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów (m.in. zamiana osi wykresu).
b)
2 p. - odczytanie z wykresu i napisanie poprawnej wartości czasu odbicia oraz położenia
wózka.
1 p. - odczytanie z wykresu i napisanie poprawnej wartości czasu odbicia
lub

\n\n

Poprawna odpowiedź
a) Narysowanie wykresu - zob. poniżej.
b) Odczytanie z wykresu i napisanie poprawnej wartości czasu odbicia (od 0,40 s do 0,46 s)
oraz położenia wózka (od 125 do 140 cm).
140
120
100
80
60
40
20
0
x, cm
t, s
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0.9

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n

Czas odbicia: todb≈0,43 s (akceptowany zakres: ok. 0,41÷0,46 s)

\n

Położenie wózka w chwili odbicia: xodb≈130 cm (akceptowany zakres: ok. 125÷140 cm)

\n

Sposób 1 - Wyznaczenie graficzne: przecięcie dwóch prostych

\n
Krok 1 - Przygotowanie wykresu x(t)
\n

Nanoszę punkty pomiarowe na układ osi. Oś x (czas) w sekundach, oś y (położenie) w cm. Każdy punkt ma niepewność pomiarową ±5 cm zaznaczoną jako pionowy odcinek błędu:

\n

x [cm]
140 |
130 | × ← punkt przecięcia (odbicie)
120 | •----×-------
110 | |
100 | / •
90 | /
80 | / •
70 | •
60 | •
40 | •
20 |
15 |•
+----+----+----+----+----+----+----+----+----→ t [s]
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

\n

Słupki błędów (±5 cm) zaznaczam pionowo na każdym punkcie. Czas jest dokładny - brak słupków poziomych.

\n
Krok 2 - Analiza ruchu: dwie fazy jednostajne
\n

Tor powietrzny → brak tarcia → wózek porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym zarówno przed, jak i po odbiciu. Na wykresie obie fazy to proste linie (liniowe zależności x(t)).

\n

Przed odbiciem (punkty t=0÷0,4 s):

\n

| Przedział | Δx (cm) | Δt (s) | v (cm/s) |
| 0 → 0,1 | 25 | 0,1 | 250 |
| 0,1 → 0,2 | 30 | 0,1 | 300 |
| 0,2 → 0,3 | 25 | 0,1 | 250 |
| 0,3 → 0,4 | 30 | 0,1 | 300 |

\n

Odchylenia mieszczą się w granicach niepewności pomiarowej (±5 cm → różnica prędkości ≈ ±50 cm/s). Wyznaczam prostą najlepszego dopasowania metodą najmniejszych kwadratów lub graficznie przez środek rozrzutu:

\n
v1=x0,4−x00,4−0=125−150,4=1100,4=275 cm/s
\n

Równanie prostej przed odbiciem:

\n
xprzed(t)=14+275t[cm]
\n

(współrzędna: regresja liniowa przez 5 punktów daje b≈14 cm, co jest spójne z x0=15 cm w granicach błędu)

\n

Po odbiciu (punkty t=0,5÷0,8 s):

\n

| Przedział | Δx (cm) | Δt (s) | v (cm/s) |
| 0,5 → 0,6 | -20 | 0,1 | -200 |
| 0,6 → 0,7 | -20 | 0,1 | -200 |
| 0,7 → 0,8 | -20 | 0,1 | -200 |

\n

Prędkość po odbiciu jest idealnie stała: v2=−200 cm/s. Równanie prostej po odbiciu:

\n
xpo(t)=220−200t[cm]
\n

(weryfikacja: t=0,5⇒220−100=120 ✓, t=0,6⇒100 ✓, t=0,8⇒60 ✓)

\n
Krok 3 - Wyznaczenie punktu przecięcia = chwila odbicia
\n

Przecięcie obu prostych na wykresie (graficznie) lub algebraicznie:

\n
14+275todb=220−200todb
\n
475todb=206
\n
todb=206475≈0,434 s≈0,43 s
\n

Położenie:

\n
xodb=14+275·0,434≈14+119=133 cm≈130 cm
\n

(zaokrąglenie do 5 cm zgodnie z dokładnością pomiarową)

\n

Sposób 2 - Fizyczne rozumowanie: zasada zachowania pędu i symetria

\n

Na torze bez tarcia prędkość wózka nie zmienia wartości bezwzględnej podczas odbicia od nieruchomej, masywnej przeszkody (odbicie sprężyste od ściany). Zmienia się tylko znak (kierunek ruchu). To oznacza:

\n
|v1|≠|v2| (nie muszą być równe, bo problem nie mówi o idealnym odbiciu)
\n

Jednak kluczowy wniosek: między dwoma sąsiednimi punktami pomiarowymi t=0,4 s i t=0,5 s zachodzi skok w charakterze ruchu - wcześniej x rośnie (Δx=+30 cm), potem maleje (Δx=−20 cm). Odbicie musiało nastąpić między tymi chwilami.

\n

Zakładając, że w każdym przedziale [ti,ti+1] ruch jest jednostajny:

\n\n

Niech odbicie nastąpi w chwili τ (gdzie 0,4<τ<0,5 s). Korzystam z warunków ciągłości:

\n
x(τ)=125+275(τ−0,4)(z lewej)
\n
x(τ)=120−200(τ−0,5)(z prawej)
\n

Przyrównuję:

\n
125+275τ−110=120−200τ+100
\n
15+275τ=220−200τ
\n
475τ=205⇒τ≈0,432 s
\n

Wynik spójny z metodą graficzną ✓

\n
Drobna różnica (0,432 vs 0,434 s) wynika z tego, że metoda graficzna używała regresji przez 5 punktów, a tu korzystam tylko z punktów sąsiednich. Obie wartości mieszczą się w zakresie dokładności 0,02 s.
\n

Schemat oceniania CKE

\n
📋 Zasady oceniania CKE (zadanie 1.1, 0-5 pkt):

Część a) - wykres:
- 3 pkt - poprawne opisanie i wyskalowanie osi, poprawne naniesienie punktów wraz z niepewnościami, narysowanie prostych zgodnych z punktami
- 2 pkt - poprawne opisanie i wyskalowanie osi, poprawne naniesienie punktów wraz z niepewnościami
- 1 pkt - poprawne opisanie i wyskalowanie osi, poprawne naniesienie punktów; LUB poprawne osie, błędne naniesienie jednego (tylko jednego) punktu, poprawne naniesienie niepewności
- 0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów (m.in. zamiana osi wykresu)

Część b) - odczyt z wykresu:
- 2 pkt - odczytanie z wykresu i napisanie poprawnej wartości czasu odbicia oraz położenia wózka
- 1 pkt - odczytanie z wykresu i napisanie poprawnej wartości czasu odbicia LUB położenia wózka

Poprawna odpowiedź CKE:
b) Odczytanie z wykresu i napisanie poprawnej wartości czasu odbicia (od 0,40 s do 0,46 s) oraz położenia wózka (od 125 do 140 cm).
\n

Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć

\n
📖 Karta wzorów CKE - sekcja Fizyka (str. 16-20):
Dla tego zadania wystarczy znajomość kinematyki ruchu jednostajnego:
x=x0+v·t
To wzór podstawowy, który jest na karcie (równania ruchu prostoliniowego).

Nie potrzebujemy wzorów zaawansowanych - zadanie to analiza danych doświadczalnych.

⚡ Główne narzędzie to umiejętność rysowania wykresu i odczytu z wykresu - nie kalkulator.
\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Brak słupków błędu = utrata punktu: treść wprost mówi "zaznacz niepewności x". To obowiązkowy element wykresu. Uczeń często rysuje sam wykres i zapomina o ±5 cm - zero punktów za wykres!
\n
⚠️ Mylenie "brak tarcia" z "stała prędkość przez cały czas": wózek ma stałą prędkość TYLKO w każdej z dwóch faz osobno. Rysowanie jednej prostej przez wszystkie 9 punktów to błąd - taka linia nie ma sensu fizycznego (odbicie!).
\n
⚠️ Odczytanie czasu odbicia jako t = 0,4 s lub t = 0,5 s: to błąd! Odbicie nastąpiło między tymi pomiarami. Wyznaczamy je przez przecięcie dwóch prostych - nie z danych tabelarycznych bezpośrednio.
\n
⚠️ Jednostki: x w centymetrach (dane w tabeli), czas w sekundach. Prędkość wychodzi w cm/s - to poprawne, nie trzeba zamieniać na m/s, jeśli konsekwentnie utrzymujemy jednostki.
"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

a) [OBRAZEK]
b) Czas odbicia: od 0,40 s do 0,46 s, położenie wózka: od 125 do 140 cm.

"}]}