{"id":"fizyka-2016-maj-matura-rozszerzona/zad/10.1","paper_id":"fizyka-2016-maj-matura-rozszerzona","number":"10.1","points":2,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10.1. (0-2)\nStosując metodę dodawania wektorów, skonstruuj na rysunku powyżej wektor natężenia\npola E\n\nw punkcie A leżącym na symetralnej dipola w odległości 0,5 d od jego osi.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 10.1. (0-2)\nIV. Budowa prostych modeli\nfizycznych i matematycznych\ndo opisu zjawisk.\n1.1. Zdający […] wykonuje działania na wektorach.\n7.2. Zdający posługuje się pojęciem natężenia pola\nelektrostatycznego.\nSchemat punktowania\n2 p. - poprawna konstrukcja wektora EሬԦ.\n1 p. - narysowanie poprawnego wektora EሬԦ, brak poprawnej konstrukcji\nlub\n- przeciwne zwroty wszystkich wektorów, kierunki i konstrukcja poprawne.\n0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPoprawna odpowiedź\nKonstrukcja wektora natężenia pola jak na rysunku obok.","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\nWektor \\(\\vec{E}\\) w punkcie A jest skierowany **poziomo, w kierunku od +q do -q** (przeciwnie do wektora \\(\\vec{p}\\)), a jego długość na rysunku wynika z dodania wektorów \\(\\vec{E}_{+}\\) i \\(\\vec{E}_{-}\\) metodą równoległoboku.\n\n## Sposób 1 - Analiza geometryczna + składowe wektorów\n\n### Krok 1: Ustal geometrię układu\n\nPrzyjmij układ współrzędnych z centrum B w początku:\n\n| Punkt | Współrzędne |\n| ładunek \\(+q\\) | \\((-\\tfrac{d}{2},\\ 0)\\) |\n| ładunek \\(-q\\) | \\((+\\tfrac{d}{2},\\ 0)\\) |\n| punkt A | \\((0,\\ +\\tfrac{d}{2})\\) |\n\nOdległość od każdego ładunku do A:\n\\[\nr = \\sqrt{\\left(\\frac{d}{2}\\right)^2 + \\left(\\frac{d}{2}\\right)^2} = \\frac{d}{\\sqrt{2}} = \\frac{d\\sqrt{2}}{2}\n\\]\n\nObie odległości są **równe** - to kluczowy fakt.\n\n### Krok 2: Kierunki składowych pól\n\n**Pole \\(\\vec{E}_{+}\\) od ładunku \\(+q\\):**\n- Pole od ładunku dodatniego kieruje się **od** ładunku → w kierunku od \\((-\\tfrac{d}{2}, 0)\\) do \\((0, \\tfrac{d}{2})\\)\n- Wektor \\((+\\tfrac{d}{2},\\ +\\tfrac{d}{2})\\) → skierowany **w prawo i w górę**, pod kątem **45°** od poziomej\n\n**Pole \\(\\vec{E}_{-}\\) od ładunku \\(-q\\):**\n- Pole od ładunku ujemnego kieruje się **ku** ładunkowi → w kierunku od \\((0, \\tfrac{d}{2})\\) do \\((+\\tfrac{d}{2}, 0)\\)\n- Wektor \\((+\\tfrac{d}{2},\\ -\\tfrac{d}{2})\\) → skierowany **w prawo i w dół**, pod kątem **-45°** od poziomej\n\n### Krok 3: Dodawanie metodą równoległoboku\n\nPonieważ \\(|\\vec{E}_{+}| = |\\vec{E}_{-}|\\) (ta sama odległość, ten sam ładunek), oba wektory mają **tę samą długość**. Rysujemy je z punktu A:\n\n↗ E₊ (prawo-górny, 45°)\nA ●\n↘ E₋ (prawo-dolny, 45°)\n\nRównoległobok zbudowany na \\(\\vec{E}_{+}\\) i \\(\\vec{E}_{-}\\) jest **rombem**. Przekątna wyrażona jako wypadkowa:\n\n\\[\nE_x = E_0\\cos 45° + E_0\\cos 45° = \\frac{2E_0}{\\sqrt{2}} = E_0\\sqrt{2}\n\\]\n\\[\nE_y = E_0\\sin 45° - E_0\\sin 45° = 0\n\\]\n\n**Wypadkowa \\(\\vec{E}\\) jest pozioma, skierowana w prawo** (od \\(+q\\) ku \\(-q\\), przeciwnie do \\(\\vec{p}\\)).\n\n### Krok 4: Jak narysować na rysunku\n\n1. Z punktu A poprowadź wektor \\(\\vec{E}_{+}\\): ukośnie w prawo-górę (45°), długość proporcjonalna do \\(E_0\\)\n2. Z punktu A poprowadź wektor \\(\\vec{E}_{-}\\): ukośnie w prawo-dół (45°), ta sama długość\n3. Domknij równoległobok (romb): z końców \\(\\vec{E}_{+}\\) i \\(\\vec{E}_{-}\\) poprowadź linie równoległe do \\(\\vec{E}_{-}\\) i \\(\\vec{E}_{+}\\)\n4. Przekątna rombu - od A do punktu przecięcia - to \\(\\vec{E}\\), poziomy, w prawo\n\nWartość wypadkowego pola:\n\\[\n\\boxed{E = E_0\\sqrt{2} = \\frac{2\\sqrt{2}\\,kq}{d^2}}\n\\]\n\ngdzie \\(E_0 = k\\dfrac{q}{r^2} = k\\dfrac{q}{(d/\\sqrt{2})^2} = \\dfrac{2kq}{d^2}\\).\n\n## Sposób 2 - Argument symetrii (eliminacja składowej prostopadłej)\n\n**Myśl symetrią** - bez rysowania równoległoboku:\n\nPunkt A leży na **symetralnej** dipola. Dipol jest symetryczny względem tej prostej.\n\n- Składowa \\(E_y\\) (pionowa) od \\(+q\\): skierowana **w górę** (od B ku A)\n- Składowa \\(E_y\\) (pionowa) od \\(-q\\): skierowana **w dół** (od A ku B)\n- Są równe co do wartości → **znoszą się dokładnie**\n\n- Składowa \\(E_x\\) (pozioma) od \\(+q\\): skierowana **w prawo** (w stronę -q)\n- Składowa \\(E_x\\) (pozioma) od \\(-q\\): też **w prawo** (w stronę -q, bo przyciąga)\n- Są równe → **dodają się**\n\n**Wniosek z symetrii:** W każdym punkcie symetralnej dipola pole wypadkowe jest poziome i skierowane od \\(+q\\) do \\(-q\\) (antyparalelnie do \\(\\vec{p}\\)). Nie musisz nawet liczyć - symetria daje kierunek pewnie i szybko.\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> 📋 **Zasady oceniania CKE (zadanie 10.1, 0-2 pkt):**\n> - **2 pkt** - poprawna konstrukcja wektora \\(\\vec{E}\\)\n> - **1 pkt** - narysowanie poprawnego wektora \\(\\vec{E}\\), brak poprawnej konstrukcji; LUB przeciwne zwroty wszystkich wektorów, kierunki i konstrukcja poprawne\n> - **0 pkt** - brak spełnienia powyższych kryteriów\n>\n> **Poprawna odpowiedź CKE:** Konstrukcja wektora natężenia pola (metodą równoległoboku z wektorów składowych \\(\\vec{E}_+\\) i \\(\\vec{E}_-\\)); wektor wypadkowy \\(\\vec{E}\\) jest równoległy do osi dipola.\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE str. 16 - Elektrostatyka:**\n> \\[E = k\\frac{q}{r^2}, \\quad k = \\frac{1}{4\\pi\\varepsilon_0}\\]\n> Użyliśmy do obliczenia wartości \\(E_0\\) i weryfikacji, że \\(|\\vec{E}_{+}| = |\\vec{E}_{-}|\\).\n>\n> Zasada superpozycji (str. 16): natężenie wypadkowe = **wektorowa suma** pól składowych - dokładnie jak opisuje treść zadania.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd - wektor \\(\\vec{E}_{-}\\) skierowany **od** ładunku -q (jak dla ładunku dodatniego). Pamiętaj: linie pola **wbiegają** w ładunek ujemny, więc \\(\\vec{E}\\) wskazuje **ku** -q.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Drugi częsty błąd - nierówna długość \\(\\vec{E}_{+}\\) i \\(\\vec{E}_{-}\\) na rysunku. Obie odległości \\(r\\) są identyczne (symetria!), więc oba wektory muszą być **dokładnie równej długości**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Niektórzy uczniowie rysują wypadkową pionowo (w górę lub w dół). To błąd - pionowe składowe znoszą się (symetria), wypadkowa jest **pozioma**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kierunek wypadkowej - **od +q do -q**, czyli **przeciwnie do \\(\\vec{p}\\)**. Na symetralnej dipola \\(\\vec{E}\\) jest zawsze antyparalelny do momentu dipolowego - zapamiętaj jako regułę.","image":"img/fizyka-2016-maj-matura-rozszerzona/zad-10.1.webp","solution_image":null,"topics":"Pole elektryczne","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 10.1. (0-2)
Stosując metodę dodawania wektorów, skonstruuj na rysunku powyżej wektor natężenia
pola E

w punkcie A leżącym na symetralnej dipola w odległości 0,5 d od jego osi.

","answer_text_html":"

Zadanie 10.1. (0-2)
IV. Budowa prostych modeli
fizycznych i matematycznych
do opisu zjawisk.
1.1. Zdający […] wykonuje działania na wektorach.
7.2. Zdający posługuje się pojęciem natężenia pola
elektrostatycznego.
Schemat punktowania
2 p. - poprawna konstrukcja wektora EሬԦ.
1 p. - narysowanie poprawnego wektora EሬԦ, brak poprawnej konstrukcji
lub

\n\n

0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.
Poprawna odpowiedź
Konstrukcja wektora natężenia pola jak na rysunku obok.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n

Wektor E→ w punkcie A jest skierowany poziomo, w kierunku od +q do -q (przeciwnie do wektora p→), a jego długość na rysunku wynika z dodania wektorów E→+ i E→− metodą równoległoboku.

\n

Sposób 1 - Analiza geometryczna + składowe wektorów

\n
Krok 1: Ustal geometrię układu
\n

Przyjmij układ współrzędnych z centrum B w początku:

\n

| Punkt | Współrzędne |
| ładunek +q | (−d2, 0) |
| ładunek −q | (+d2, 0) |
| punkt A | (0, +d2) |

\n

Odległość od każdego ładunku do A:

\n
r=(d2)2+(d2)2=d2=d22
\n

Obie odległości są równe - to kluczowy fakt.

\n
Krok 2: Kierunki składowych pól
\n

Pole E→+ od ładunku +q:

\n\n

Pole E→− od ładunku −q:

\n\n
Krok 3: Dodawanie metodą równoległoboku
\n

Ponieważ |E→+|=|E→−| (ta sama odległość, ten sam ładunek), oba wektory mają tę samą długość. Rysujemy je z punktu A:

\n

↗ E₊ (prawo-górny, 45°)
A ●
↘ E₋ (prawo-dolny, 45°)

\n

Równoległobok zbudowany na E→+ i E→− jest rombem. Przekątna wyrażona jako wypadkowa:

\n
Ex=E0cos45°+E0cos45°=2E02=E02
\n
Ey=E0sin45°−E0sin45°=0
\n

Wypadkowa E→ jest pozioma, skierowana w prawo (od +q ku −q, przeciwnie do p→).

\n
Krok 4: Jak narysować na rysunku
\n
  1. Z punktu A poprowadź wektor E→+: ukośnie w prawo-górę (45°), długość proporcjonalna do E0
  2. Z punktu A poprowadź wektor E→−: ukośnie w prawo-dół (45°), ta sama długość
  3. Domknij równoległobok (romb): z końców E→+ i E→− poprowadź linie równoległe do E→− i E→+
  4. Przekątna rombu - od A do punktu przecięcia - to E→, poziomy, w prawo
\n

Wartość wypadkowego pola:

\n
E=E02=22kqd2
\n

gdzie E0=kqr2=kq(d/2)2=2kqd2.

\n

Sposób 2 - Argument symetrii (eliminacja składowej prostopadłej)

\n

Myśl symetrią - bez rysowania równoległoboku:

\n

Punkt A leży na symetralnej dipola. Dipol jest symetryczny względem tej prostej.

\n\n\n

Wniosek z symetrii: W każdym punkcie symetralnej dipola pole wypadkowe jest poziome i skierowane od +q do −q (antyparalelnie do p→). Nie musisz nawet liczyć - symetria daje kierunek pewnie i szybko.

\n

Schemat oceniania CKE

\n
📋 Zasady oceniania CKE (zadanie 10.1, 0-2 pkt):
- 2 pkt - poprawna konstrukcja wektora E→
- 1 pkt - narysowanie poprawnego wektora E→, brak poprawnej konstrukcji; LUB przeciwne zwroty wszystkich wektorów, kierunki i konstrukcja poprawne
- 0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów

Poprawna odpowiedź CKE: Konstrukcja wektora natężenia pola (metodą równoległoboku z wektorów składowych E→+ i E→−); wektor wypadkowy E→ jest równoległy do osi dipola.
\n

Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć

\n
📖 Karta wzorów CKE str. 16 - Elektrostatyka:
E=kqr2,k=14πε0
Użyliśmy do obliczenia wartości E0 i weryfikacji, że |E→+|=|E→−|.

Zasada superpozycji (str. 16): natężenie wypadkowe = wektorowa suma pól składowych - dokładnie jak opisuje treść zadania.
\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd - wektor E→− skierowany od ładunku -q (jak dla ładunku dodatniego). Pamiętaj: linie pola wbiegają w ładunek ujemny, więc E→ wskazuje ku -q.
\n
⚠️ Uwaga: Drugi częsty błąd - nierówna długość E→+ i E→− na rysunku. Obie odległości r są identyczne (symetria!), więc oba wektory muszą być dokładnie równej długości.
\n
⚠️ Uwaga: Niektórzy uczniowie rysują wypadkową pionowo (w górę lub w dół). To błąd - pionowe składowe znoszą się (symetria), wypadkowa jest pozioma.
\n
⚠️ Uwaga: Kierunek wypadkowej - od +q do -q, czyli przeciwnie do p→. Na symetralnej dipola E→ jest zawsze antyparalelny do momentu dipolowego - zapamiętaj jako regułę.
"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

[OBRAZEK]

"}]}