{"id":"fizyka-2016-maj-matura-rozszerzona/zad/14.2","paper_id":"fizyka-2016-maj-matura-rozszerzona","number":"14.2","points":4,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 14.2. (0-4)\nUkład elektryczny, którego schemat przedstawiono w treści zadania, został wykorzystany do\npomiaru temperatury wody w instalacji centralnego ogrzewania.\nOblicz opór termistora, przy którym woltomierz wskaże napięcie 3 V. Napisz, ile wynosiła\nwtedy temperatura wody w instalacji centralnego ogrzewania.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 14.2. (0-4)\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie informacji\nzapisanych w postaci […] wykresów i schematów.\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\n8.4. Zdający stosuje prawa Kirchhoffa\ndo analizy obwodów elektrycznych.\n8.5. Zdający oblicza opór zastępczy\n[…].\nSchemat punktowania\n4 p. - poprawne obliczenie oporu termistora oraz napisanie poprawnej temperatury wody.\n3 p. - poprawne obliczenie oporu termistora\nlub\n- poprawna metoda obliczenia oporu termistora, błąd rachunkowy, odczytanie z wykresu\ntemperatury zgodnej z otrzymaną wartością oporu.\n2 p. - poprawna metoda wyznaczenia wartości natężenia prądu płynącego przez opornik oraz\npoprawna metoda wyznaczenia wartości napięcia na termistorze\nlub\n- poprawne zastosowanie prawa Ohma do całego obwodu (opór zastępczy) oraz\npoprawne zastosowanie prawa Ohma do jednego z oporników.\n1 p. - poprawna metoda wyznaczenia wartości natężenia prądu płynącego przez opornik\nlub\n- poprawna metoda wyznaczenia wartości napięcia na termistorze\nlub\n- poprawne zastosowanie prawa Ohma do całego obwodu (opór zastępczy).\n0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPrzykłady poprawnej odpowiedzi\n• Natężenie prądu płynącego przez opornik wynosi\n3\n6 10 A\nR\nR\nU\nI\nR\n⋅\n, a napięcie na\ntermistorze\n12\n3\n9 V\nt\nC\nR\nU\nU\nU\n. Termistor i opornik R są połączone szeregowo,\nczyli przez oba elementy płynie prąd o takim samym natężeniu. Stosując prawo Ohma,\nP\nP\nC\nobliczamy opór termistora\n3\n9\n1500\n6 10\nt\nt\nt\nU\nR\nI\nΩ\n⋅\ni odczytujemy z wykresu wartość\ntemperatury odpowiadającej temu oporowi T = 55 °C.\n• Natężenie prądu w obwodzie wyznaczamy z zależności:\nI =\nUC\nR + Rt =\n12 V\n500 Ω + Rt.\nIloczyn I·R jest napięciem wskazywanym przez woltomierz. Z równania\n12 V\n500 Ω + Rt · 500 Ω = 3 V\nobliczamy opór termistora Rt, a następnie odczytujemy z wykresu temperaturę T.","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n\\[R_t = 1500\\ \\Omega\\]\n\nTemperatura wody: **55°C** (odczyt z wykresu \\(R_t(T)\\) termistora przy \\(R_t = 1500\\ \\Omega\\))\n\n## Sposób 1 - Prawo Ohma + II prawo Kirchhoffa\n\n**Dane z schematu (zadanie 14):**\n- Napięcie źródła: \\(U_C = 12\\ \\text{V}\\)\n- Opornik stały: \\(R = 500\\ \\Omega\\)\n- Woltomierz (o bardzo dużym oporze) mierzy napięcie **na oporniku R**: \\(U_R = 3\\ \\text{V}\\)\n\n**Krok 1 - natężenie prądu w obwodzie szeregowym:**\n\nPrąd płynący przez opornik R (a więc i przez termistor - połączenie szeregowe):\n\n\\[\nI_R = \\frac{U_R}{R} = \\frac{3\\ \\text{V}}{500\\ \\Omega} = 6 \\times 10^{-3}\\ \\text{A}\n\\]\n\n**Krok 2 - napięcie na termistorze (II prawo Kirchhoffa):**\n\n\\[\nU_t = U_C - U_R = 12\\ \\text{V} - 3\\ \\text{V} = 9\\ \\text{V}\n\\]\n\n**Krok 3 - opór termistora (prawo Ohma):**\n\nTermistor i opornik R są połączone szeregowo, więc przez oba płynie prąd o tym samym natężeniu:\n\n\\[\nR_t = \\frac{U_t}{I_R} = \\frac{9\\ \\text{V}}{6 \\times 10^{-3}\\ \\text{A}} = \\boxed{1500\\ \\Omega}\n\\]\n\n**Krok 4 - temperatura (odczyt z wykresu):**\n\nZ charakterystyki \\(R_t(T)\\) z zadania: dla \\(R_t = 1500\\ \\Omega\\) temperatura wynosi:\n\n\\[\n\\boxed{T = 55°\\text{C}}\n\\]\n\n## Sposób 2 - Przez opór zastępczy całego obwodu\n\nNatężenie prądu w obwodzie wyznaczamy z zależności:\n\n\\[\nI = \\frac{U_C}{R + R_t} = \\frac{12\\ \\text{V}}{500\\ \\Omega + R_t}\n\\]\n\nIloczyn \\(I \\cdot R\\) jest napięciem wskazywanym przez woltomierz:\n\n\\[\n\\frac{12\\ \\text{V}}{500\\ \\Omega + R_t} \\cdot 500\\ \\Omega = 3\\ \\text{V}\n\\]\n\nRozwiązujemy względem \\(R_t\\):\n\n\\[\n12 \\cdot 500 = 3 \\cdot (500 + R_t) \\implies 6000 = 1500 + 3R_t \\implies R_t = 1500\\ \\Omega\n\\]\n\nNastępnie odczytujemy z wykresu temperaturę \\(T = 55°\\text{C}\\). ✓\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> 📋 **Zasady oceniania CKE (zadanie 14.2, 0-4 pkt):**\n> - **4 pkt** - poprawne obliczenie oporu termistora oraz napisanie poprawnej temperatury wody\n> - **3 pkt** - poprawne obliczenie oporu termistora; LUB poprawna metoda obliczenia oporu termistora, błąd rachunkowy, odczytanie z wykresu temperatury zgodnej z otrzymaną wartością oporu\n> - **2 pkt** - poprawna metoda wyznaczenia wartości natężenia prądu płynącego przez opornik oraz poprawna metoda wyznaczenia wartości napięcia na termistorze; LUB poprawne zastosowanie prawa Ohma do całego obwodu (opór zastępczy) oraz poprawne zastosowanie prawa Ohma do jednego z oporników\n> - **1 pkt** - poprawna metoda wyznaczenia wartości natężenia prądu płynącego przez opornik; LUB poprawna metoda wyznaczenia wartości napięcia na termistorze; LUB poprawne zastosowanie prawa Ohma do całego obwodu (opór zastępczy)\n> - **0 pkt** - brak spełnienia powyższych kryteriów\n>\n> **Poprawna odpowiedź CKE:** Natężenie prądu płynącego przez opornik wynosi \\(I_R = \\frac{U_R}{R} = 6 \\times 10^{-3}\\) A, a napięcie na termistorze \\(U_t = U_C - U_R = 12 - 3 = 9\\) V. Termistor i opornik R są połączone szeregowo, czyli przez oba elementy płynie prąd o takim samym natężeniu. Stosując prawo Ohma, obliczamy opór termistora \\(R_t = \\frac{U_t}{I_t} = \\frac{9}{6 \\times 10^{-3}} = 1500\\ \\Omega\\) i odczytujemy z wykresu wartość temperatury odpowiadającej temu oporowi \\(T = 55°\\text{C}\\).\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (Elektryczność):**\n>\n> **Prawo Ohma:** \\(U = IR, \\quad I = \\dfrac{U}{R}\\)\n>\n> **II prawo Kirchhoffa:** \\(\\varepsilon = U_1 + U_2 + \\ldots\\)\n>\n> **Rezystory w szeregu:** \\(R_{zast} = R + R_t\\)\n>\n> Wykres \\(R_t(T)\\) jest podany w treści zadania - to on daje temperaturę.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga 1:** Napięcie źródła to **12 V**, a opornik **R = 500 Ω** - dane z zadania 14. Woltomierz (równolegle do R) wskazuje napięcie na **oporniku R**, więc napięcie na termistorze to \\(U_t = 12 - 3 = 9\\) V.\n\n> ⚠️ **Uwaga 2:** Termistor i opornik są **szeregowe** - przez oba płynie ten sam prąd \\(I = U_R/R = 6\\) mA. To pozwala obliczyć \\(R_t = U_t/I = 1500\\ \\Omega\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga 3:** Temperaturę odczytaj **z wykresu zadania**: dla \\(R_t = 1500\\ \\Omega\\) → \\(T = 55°\\text{C}\\). Termistor to NTC, więc wyższa temperatura = niższy opór.\n\n> ⚠️ **Uwaga 4:** Woltomierz idealny ma \\(R_V \\to \\infty\\) - nie pobiera prądu i nie zaburza pomiaru. W obliczeniach oporu zastępczego go pomijamy.","image":"img/fizyka-2016-maj-matura-rozszerzona/zad-14.2.webp","solution_image":null,"topics":"Prąd elektryczny","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 14.2. (0-4)
Układ elektryczny, którego schemat przedstawiono w treści zadania, został wykorzystany do
pomiaru temperatury wody w instalacji centralnego ogrzewania.
Oblicz opór termistora, przy którym woltomierz wskaże napięcie 3 V. Napisz, ile wynosiła
wtedy temperatura wody w instalacji centralnego ogrzewania.

","answer_text_html":"

Zadanie 14.2. (0-4)
III. Wykorzystanie i przetwarzanie informacji
zapisanych w postaci […] wykresów i schematów.
IV. Budowa prostych modeli fizycznych
i matematycznych do opisu zjawisk.
8.4. Zdający stosuje prawa Kirchhoffa
do analizy obwodów elektrycznych.
8.5. Zdający oblicza opór zastępczy
[…].
Schemat punktowania
4 p. - poprawne obliczenie oporu termistora oraz napisanie poprawnej temperatury wody.
3 p. - poprawne obliczenie oporu termistora
lub

\n\n

temperatury zgodnej z otrzymaną wartością oporu.
2 p. - poprawna metoda wyznaczenia wartości natężenia prądu płynącego przez opornik oraz
poprawna metoda wyznaczenia wartości napięcia na termistorze
lub

\n\n

poprawne zastosowanie prawa Ohma do jednego z oporników.
1 p. - poprawna metoda wyznaczenia wartości natężenia prądu płynącego przez opornik
lub

\n\n

lub

\n\n

0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.
Przykłady poprawnej odpowiedzi
• Natężenie prądu płynącego przez opornik wynosi
3
6 10 A
R
R
U
I
R
⋅
, a napięcie na
termistorze
12
3
9 V
t
C
R
U
U
U
. Termistor i opornik R są połączone szeregowo,
czyli przez oba elementy płynie prąd o takim samym natężeniu. Stosując prawo Ohma,
P
P
C
obliczamy opór termistora
3
9
1500
6 10
t
t
t
U
R
I
Ω
⋅
i odczytujemy z wykresu wartość
temperatury odpowiadającej temu oporowi T = 55 °C.
• Natężenie prądu w obwodzie wyznaczamy z zależności:
I =
UC
R + Rt =
12 V
500 Ω + Rt.
Iloczyn I·R jest napięciem wskazywanym przez woltomierz. Z równania
12 V
500 Ω + Rt · 500 Ω = 3 V
obliczamy opór termistora Rt, a następnie odczytujemy z wykresu temperaturę T.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n
Rt=1500 Ω
\n

Temperatura wody: 55°C (odczyt z wykresu Rt(T) termistora przy Rt=1500 Ω)

\n

Sposób 1 - Prawo Ohma + II prawo Kirchhoffa

\n

Dane z schematu (zadanie 14):

\n\n

Krok 1 - natężenie prądu w obwodzie szeregowym:

\n

Prąd płynący przez opornik R (a więc i przez termistor - połączenie szeregowe):

\n
IR=URR=3 V500 Ω=6×10−3 A
\n

Krok 2 - napięcie na termistorze (II prawo Kirchhoffa):

\n
Ut=UC−UR=12 V−3 V=9 V
\n

Krok 3 - opór termistora (prawo Ohma):

\n

Termistor i opornik R są połączone szeregowo, więc przez oba płynie prąd o tym samym natężeniu:

\n
Rt=UtIR=9 V6×10−3 A=1500 Ω
\n

Krok 4 - temperatura (odczyt z wykresu):

\n

Z charakterystyki Rt(T) z zadania: dla Rt=1500 Ω temperatura wynosi:

\n
T=55°C
\n

Sposób 2 - Przez opór zastępczy całego obwodu

\n

Natężenie prądu w obwodzie wyznaczamy z zależności:

\n
I=UCR+Rt=12 V500 Ω+Rt
\n

Iloczyn I·R jest napięciem wskazywanym przez woltomierz:

\n
12 V500 Ω+Rt·500 Ω=3 V
\n

Rozwiązujemy względem Rt:

\n
12·500=3·(500+Rt)⟹6000=1500+3Rt⟹Rt=1500 Ω
\n

Następnie odczytujemy z wykresu temperaturę T=55°C. ✓

\n

Schemat oceniania CKE

\n
📋 Zasady oceniania CKE (zadanie 14.2, 0-4 pkt):
- 4 pkt - poprawne obliczenie oporu termistora oraz napisanie poprawnej temperatury wody
- 3 pkt - poprawne obliczenie oporu termistora; LUB poprawna metoda obliczenia oporu termistora, błąd rachunkowy, odczytanie z wykresu temperatury zgodnej z otrzymaną wartością oporu
- 2 pkt - poprawna metoda wyznaczenia wartości natężenia prądu płynącego przez opornik oraz poprawna metoda wyznaczenia wartości napięcia na termistorze; LUB poprawne zastosowanie prawa Ohma do całego obwodu (opór zastępczy) oraz poprawne zastosowanie prawa Ohma do jednego z oporników
- 1 pkt - poprawna metoda wyznaczenia wartości natężenia prądu płynącego przez opornik; LUB poprawna metoda wyznaczenia wartości napięcia na termistorze; LUB poprawne zastosowanie prawa Ohma do całego obwodu (opór zastępczy)
- 0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów

Poprawna odpowiedź CKE: Natężenie prądu płynącego przez opornik wynosi IR=URR=6×10−3 A, a napięcie na termistorze Ut=UC−UR=12−3=9 V. Termistor i opornik R są połączone szeregowo, czyli przez oba elementy płynie prąd o takim samym natężeniu. Stosując prawo Ohma, obliczamy opór termistora Rt=UtIt=96×10−3=1500 Ω i odczytujemy z wykresu wartość temperatury odpowiadającej temu oporowi T=55°C.
\n

Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć

\n
📖 Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (Elektryczność):

Prawo Ohma: U=IR,I=UR

II prawo Kirchhoffa: ε=U1+U2+…

Rezystory w szeregu: Rzast=R+Rt

Wykres Rt(T) jest podany w treści zadania - to on daje temperaturę.
\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga 1: Napięcie źródła to 12 V, a opornik R = 500 Ω - dane z zadania 14. Woltomierz (równolegle do R) wskazuje napięcie na oporniku R, więc napięcie na termistorze to Ut=12−3=9 V.
\n
⚠️ Uwaga 2: Termistor i opornik są szeregowe - przez oba płynie ten sam prąd I=UR/R=6 mA. To pozwala obliczyć Rt=Ut/I=1500 Ω.
\n
⚠️ Uwaga 3: Temperaturę odczytaj z wykresu zadania: dla Rt=1500 Ω → T=55°C. Termistor to NTC, więc wyższa temperatura = niższy opór.
\n
⚠️ Uwaga 4: Woltomierz idealny ma RV→∞ - nie pobiera prądu i nie zaburza pomiaru. W obliczeniach oporu zastępczego go pomijamy.
"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

T=55 ∘C

"}]}