{"id":"fizyka-2016-maj-matura-rozszerzona/zad/15.1","paper_id":"fizyka-2016-maj-matura-rozszerzona","number":"15.1","points":3,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 15.1. (0-3)\nOszacuj wartość prędkości, jaką należy nadać obiektowi znajdującemu się w odległości\njednej jednostki astronomicznej (1 j.a. ≈ 150 mln km) od Słońca, aby mógł on trwale\nopuścić Układ Słoneczny.\ntor sondy\nkolejne położenia planety\nMFA_1R","answer":null,"answer_text":"Zadanie 15.1. (0-3)\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie informacji\nzapisanych w postaci tekstu […].\n4.6. Zdający wyjaśnia pojęcie pierwszej\ni drugiej prędkości kosmicznej; oblicza ich\nwartości dla różnych ciał niebieskich.\nSchemat punktowania\n3 p. - poprawna metoda obliczenia prędkości ucieczki i poprawny wynik.\n2 p. - zastosowanie wzoru vuc = ට2GMS\nr\n, w którym poprawnie podstawiono masę Słońca oraz\nodległość r\nlub\n- zastosowanie wzoru vII = ට2GM\nr do II prędkości kosmicznej oraz do ucieczki\nprzedstawionej w zadaniu, wyprowadzenie wzoru vuc = vII ට\nMS\nMZ\nRZ\nRorb\nlub\n- stwierdzenie, że vuc = √2 · v = √2 ·\n2πr\nT , gdzie v jest prędkością Ziemi na orbicie,\npoprawne podstawienie okresu obiegu Ziemi wokół Słońca T i promienia orbity Ziemi r.\n1 p. - zapisanie wzoru vuc = ට2GMS\nr\nlub\n- stwierdzenie, że vuc = √2 · v = √2 ·\n2πr், gdzie v jest prędkością Ziemi na orbicie.\n0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPrzykłady poprawnej odpowiedzi\n• Prędkość ucieczki vuc można obliczyć ze wzoru na II prędkość kosmiczną, podstawiając\nmasę Słońca wg tekstu zamiast masy Ziemi oraz odległość równą jednostce\nastronomicznej zamiast promienia Ziemi. Zatem\nvuc = ට2GMS\nr\n≈ ට2 · 6,67·10-11 Nm2kg-2 · 336000 · 5,98·1024 kg\n150·109 m\n= 42 km/s.\n• Stosujemy wzór vII = ට2GM\nr dwukrotnie - do II prędkości kosmicznej (ucieczki\nz powierzchni Ziemi) oraz do prędkości ucieczki opisanej w zadaniu. Stąd\nwyprowadzamy związek vuc = vII ට\nMS\nMZ\nRZ\nRorb. Po podstawieniu II prędkości kosmicznej,\nmasy Ziemi i promienia Ziemi z tablic oraz masy Słońca obliczamy vuc ≈ 42 km/s.\n• Prędkość ucieczki jest równa vuc = √2 · v = √2 ·\n2πr\nT , gdzie v jest prędkością Ziemi na\norbicie (związek ten jest analogiczny do związku między I a II prędkością kosmiczną).\nDo tej zależności podstawiamy okres obiegu Ziemi wokół Słońca T = 1 rok ≈ 3,15·107 s\ni promień orbity Ziemi r ≈ 150·109 m, otrzymując vuc ≈ 42 km/s.","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\nPrędkość ucieczki z Układu Słonecznego dla obiektu w odległości 1 j.a. od Słońca:\n\n\\[\\boxed{v \\approx 42 \\text{ km/s}}\\]\n\n## Sposób 1 - Zasada zachowania energii (wyprowadzenie wzoru na prędkość ucieczki)\n\n**Warunek ucieczki:** obiekt \"trwale opuszcza\" Układ Słoneczny, gdy jego całkowita energia mechaniczna jest **nieujemna** (przynajmniej zerowa - nie wraca). Na granicy:\n\n\\[E_{kin} + E_{pot} = 0\\]\n\n\\[\\frac{1}{2}mv^2 + \\left(-\\frac{GM_\\odot m}{r}\\right) = 0\\]\n\n\\[\\frac{1}{2}mv^2 = \\frac{GM_\\odot m}{r}\\]\n\nStąd wzór na prędkość ucieczki:\n\n\\[v_{ucieczki} = \\sqrt{\\frac{2GM_\\odot}{r}}\\]\n\n**Dane:**\n\n| Wielkość | Wartość | Skąd |\n| \\(G\\) | \\(6{,}67 \\times 10^{-11}\\ \\text{N·m}^2/\\text{kg}^2\\) | karta wzorów / stałe |\n| \\(M_\\odot\\) | \\(336\\,000 \\times M_Z = 336\\,000 \\times 6 \\times 10^{24}\\ \\text{kg} \\approx 2 \\times 10^{30}\\ \\text{kg}\\) | treść zadania + karta |\n| \\(r\\) | \\(1\\ \\text{j.a.} = 1{,}5 \\times 10^{11}\\ \\text{m}\\) | treść zadania |\n\n**Obliczenia:**\n\n\\[v = \\sqrt{\\frac{2 \\times 6{,}67 \\times 10^{-11} \\times 2 \\times 10^{30}}{1{,}5 \\times 10^{11}}}\\]\n\nLicznik:\n\\[2 \\times 6{,}67 \\times 10^{-11} \\times 2 \\times 10^{30} = 26{,}7 \\times 10^{19} = 2{,}67 \\times 10^{20}\\ \\text{J·m/kg}\\]\n\nIloraz:\n\\[\\frac{2{,}67 \\times 10^{20}}{1{,}5 \\times 10^{11}} = 1{,}78 \\times 10^{9}\\ \\text{m}^2/\\text{s}^2\\]\n\n\\[v = \\sqrt{1{,}78 \\times 10^{9}} \\approx 4{,}2 \\times 10^{4}\\ \\text{m/s}\\]\n\n\\[\\boxed{v \\approx 42\\ \\text{km/s}}\\]\n\n## Sposób 2 - Prędkość Ziemi na orbicie + związek z prędkością ucieczki (elegancka metoda)\n\n**Kluczowa obserwacja:** Prędkość kołowa na orbicie i prędkość ucieczki z tego samego punktu są ze sobą związane.\n\nDla ruchu kołowego Ziemi wokół Słońca:\n\n\\[\\frac{GM_\\odot m}{r^2} = \\frac{mv_{orb}^2}{r} \\implies v_{orb} = \\sqrt{\\frac{GM_\\odot}{r}}\\]\n\nPorównując ze wzorem na prędkość ucieczki:\n\n\\[v_{ucieczki} = \\sqrt{\\frac{2GM_\\odot}{r}} = \\sqrt{2} \\cdot \\sqrt{\\frac{GM_\\odot}{r}} = \\sqrt{2} \\cdot v_{orb}\\]\n\n**Prędkość orbitalną Ziemi** wyliczamy z okresu obiegu (\\(T = 1\\ \\text{rok} \\approx 3{,}15 \\times 10^7\\ \\text{s}\\)):\n\n\\[v_{orb} = \\frac{2\\pi r}{T} = \\frac{2\\pi \\times 1{,}5 \\times 10^{11}}{3{,}15 \\times 10^7} \\approx \\frac{9{,}42 \\times 10^{11}}{3{,}15 \\times 10^7} \\approx 3 \\times 10^4\\ \\text{m/s} = 30\\ \\text{km/s}\\]\n\nZatem:\n\n\\[v_{ucieczki} = \\sqrt{2} \\times 30\\ \\text{km/s} \\approx 1{,}414 \\times 30 \\approx 42{,}4\\ \\text{km/s}\\]\n\n\\[\\boxed{v \\approx 42\\ \\text{km/s}}\\]\n\n> **Wniosek pedagogiczny:** Ten sposób jest elegantszy i **nie wymaga znajomości masy Słońca** - wystarczy znać czas obiegu Ziemi i 1 j.a. Relacja \\(v_{ucieczki} = \\sqrt{2} \\cdot v_{orb}\\) jest warta zapamiętania!\n\n## Sposób 3 - Weryfikacja przez dane fizyczne (metoda kontrolna)\n\nZ treści zadania: masa Słońca jest **336 000 razy większa** niż masa Ziemi. Prędkość ucieczki z powierzchni Ziemi to ok. 11,2 km/s przy promieniu Ziemi \\(R_Z \\approx 6{,}4 \\times 10^6\\ \\text{m}\\).\n\nSprawdzamy proporcję:\n\n\\[\\frac{v_{ucieczki,\\odot}}{v_{ucieczki,Z}} = \\sqrt{\\frac{M_\\odot / r}{M_Z / R_Z}} = \\sqrt{\\frac{336\\,000 \\times 6{,}4 \\times 10^6}{1{,}5 \\times 10^{11}}}\\]\n\n\\[= \\sqrt{\\frac{2{,}15 \\times 10^{12}}{1{,}5 \\times 10^{11}}} = \\sqrt{14{,}3} \\approx 3{,}79\\]\n\n\\[v_{ucieczki,\\odot} \\approx 3{,}79 \\times 11{,}2\\ \\text{km/s} \\approx 42{,}5\\ \\text{km/s}\\ ✓\\]\n\nWynik zgodny z poprzednimi metodami - **wewnętrzna weryfikacja zaliczona**.\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> 📋 **Zasady oceniania CKE (zadanie 15.1, 0-3 pkt):**\n> - **3 pkt** - poprawna metoda obliczenia prędkości ucieczki i poprawny wynik\n> - **2 pkt** - zastosowanie wzoru \\(v_{uc} = \\sqrt{\\frac{2GM_S}{r}}\\), w którym poprawnie podstawiono masę Słońca oraz odległość \\(r\\); LUB zastosowanie wzoru \\(v_{II} = \\sqrt{\\frac{2GM}{r}}\\) do II prędkości kosmicznej oraz do ucieczki, wyprowadzenie wzoru \\(v_{uc} = v_{II}\\sqrt{\\frac{M_S}{M_Z}\\frac{R_Z}{R_{orb}}}\\); LUB stwierdzenie, że \\(v_{uc} = \\sqrt{2} \\cdot v = \\sqrt{2} \\cdot \\frac{2\\pi r}{T}\\), poprawne podstawienie okresu obiegu Ziemi wokół Słońca \\(T\\) i promienia orbity Ziemi \\(r\\)\n> - **1 pkt** - zapisanie wzoru \\(v_{uc} = \\sqrt{\\frac{2GM_S}{r}}\\); LUB stwierdzenie, że \\(v_{uc} = \\sqrt{2} \\cdot v = \\sqrt{2} \\cdot \\frac{2\\pi r}{T}\\), gdzie \\(v\\) jest prędkością Ziemi na orbicie\n> - **0 pkt** - brak spełnienia powyższych kryteriów\n>\n> **Poprawna odpowiedź CKE:** Prędkość ucieczki \\(v_{uc}\\) można obliczyć ze wzoru na II prędkość kosmiczną, podstawiając masę Słońca zamiast masy Ziemi oraz odległość równą jednostce astronomicznej zamiast promienia Ziemi: \\(v_{uc} = \\sqrt{\\frac{2GM_S}{r}} \\approx \\sqrt{\\frac{2 \\cdot 6{,}67 \\times 10^{-11} \\cdot 336000 \\cdot 5{,}98 \\times 10^{24}}{150 \\times 10^9}} = 42\\) km/s.\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - Fizyka, sekcja Grawitacja:**\n>\n> - **Energia potencjalna grawitacji:** \\(E_p = -G\\dfrac{m_1 m_2}{r}\\)\n> - **Prawo powszechnego ciążenia:** \\(F = G\\dfrac{m_1 m_2}{r^2}\\)\n> - **Stała grawitacji:** \\(G = 6{,}67 \\times 10^{-11}\\ \\text{N·m}^2/\\text{kg}^2\\)\n> - **Masa Ziemi:** \\(M_Z \\approx 5{,}97 \\times 10^{24}\\ \\text{kg} \\approx 6 \\times 10^{24}\\ \\text{kg}\\)\n>\n> Wzoru na \\(v_{ucieczki}\\) **nie ma wprost** na karcie - należy go **wyprowadzić** z zasady zachowania energii (Sposób 1) lub ze związku \\(v_{ucieczki} = \\sqrt{2}\\,v_{orb}\\) (Sposób 2).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Prędkość ucieczki zależy od **odległości od centrum** - pytanie dotyczy odległości **1 j.a. od Słońca**, nie od powierzchni Słońca (to byłoby ok. 617 km/s). Podstawić \\(r = 1{,}5 \\times 10^{11}\\ \\text{m}\\), nie promień Słońca!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Energia potencjalna w punkcie startowym jest **ujemna** (\\(E_p = -GMm/r\\)). Wielu uczniów zapisuje \\(+GMm/r\\) i dostaje równanie z błędnym znakiem. Warunek brzegowy to \\(E_k + E_p = 0\\), stąd \\(\\frac{1}{2}mv^2 = \\frac{GMm}{r}\\) (po przeniesieniu z minusem).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Słońce ma masę **podaną pośrednio** (336 000 × masa Ziemi) - to celowy element zadania. Trzeba wyliczyć \\(M_\\odot\\) samodzielnie, a masę Ziemi wziąć z karty wzorów lub pamięci (\\(6 \\times 10^{24}\\ \\text{kg}\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie mówi \"oszacuj\" - CKE **nie wymaga** dokładnego wyniku. Wynik rzędu **40-45 km/s** z poprawnym tokiem rozumowania zdobywa pełne 3 punkty. Nie trać czasu na zbędną precyzję.","image":"img/fizyka-2016-maj-matura-rozszerzona/zad-15.1.webp","solution_image":null,"topics":"Grawitacja i astronomia","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 15.1. (0-3)
Oszacuj wartość prędkości, jaką należy nadać obiektowi znajdującemu się w odległości
jednej jednostki astronomicznej (1 j.a. ≈ 150 mln km) od Słońca, aby mógł on trwale
opuścić Układ Słoneczny.
tor sondy
kolejne położenia planety
MFA_1R

","answer_text_html":"

Zadanie 15.1. (0-3)
III. Wykorzystanie i przetwarzanie informacji
zapisanych w postaci tekstu […].
4.6. Zdający wyjaśnia pojęcie pierwszej
i drugiej prędkości kosmicznej; oblicza ich
wartości dla różnych ciał niebieskich.
Schemat punktowania
3 p. - poprawna metoda obliczenia prędkości ucieczki i poprawny wynik.
2 p. - zastosowanie wzoru vuc = ට2GMS
r
, w którym poprawnie podstawiono masę Słońca oraz
odległość r
lub

\n\n

r do II prędkości kosmicznej oraz do ucieczki
przedstawionej w zadaniu, wyprowadzenie wzoru vuc = vII ට
MS
MZ
RZ
Rorb
lub

\n\n

2πr
T , gdzie v jest prędkością Ziemi na orbicie,
poprawne podstawienie okresu obiegu Ziemi wokół Słońca T i promienia orbity Ziemi r.
1 p. - zapisanie wzoru vuc = ට2GMS
r
lub

\n\n

2πr், gdzie v jest prędkością Ziemi na orbicie.
0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.
Przykłady poprawnej odpowiedzi
• Prędkość ucieczki vuc można obliczyć ze wzoru na II prędkość kosmiczną, podstawiając
masę Słońca wg tekstu zamiast masy Ziemi oraz odległość równą jednostce
astronomicznej zamiast promienia Ziemi. Zatem
vuc = ට2GMS
r
≈ ට2 · 6,67·10-11 Nm2kg-2 · 336000 · 5,98·1024 kg
150·109 m
= 42 km/s.
• Stosujemy wzór vII = ට2GM
r dwukrotnie - do II prędkości kosmicznej (ucieczki
z powierzchni Ziemi) oraz do prędkości ucieczki opisanej w zadaniu. Stąd
wyprowadzamy związek vuc = vII ට
MS
MZ
RZ
Rorb. Po podstawieniu II prędkości kosmicznej,
masy Ziemi i promienia Ziemi z tablic oraz masy Słońca obliczamy vuc ≈ 42 km/s.
• Prędkość ucieczki jest równa vuc = √2 · v = √2 ·
2πr
T , gdzie v jest prędkością Ziemi na
orbicie (związek ten jest analogiczny do związku między I a II prędkością kosmiczną).
Do tej zależności podstawiamy okres obiegu Ziemi wokół Słońca T = 1 rok ≈ 3,15·107 s
i promień orbity Ziemi r ≈ 150·109 m, otrzymując vuc ≈ 42 km/s.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n

Prędkość ucieczki z Układu Słonecznego dla obiektu w odległości 1 j.a. od Słońca:

\n
v≈42 km/s
\n

Sposób 1 - Zasada zachowania energii (wyprowadzenie wzoru na prędkość ucieczki)

\n

Warunek ucieczki: obiekt "trwale opuszcza" Układ Słoneczny, gdy jego całkowita energia mechaniczna jest nieujemna (przynajmniej zerowa - nie wraca). Na granicy:

\n
Ekin+Epot=0
\n
12mv2+(−GM⊙mr)=0
\n
12mv2=GM⊙mr
\n

Stąd wzór na prędkość ucieczki:

\n
vucieczki=2GM⊙r
\n

Dane:

\n

| Wielkość | Wartość | Skąd |
| G | 6,67×10−11 N·m2/kg2 | karta wzorów / stałe |
| M⊙ | 336000×MZ=336000×6×1024 kg≈2×1030 kg | treść zadania + karta |
| r | 1 j.a.=1,5×1011 m | treść zadania |

\n

Obliczenia:

\n
v=2×6,67×10−11×2×10301,5×1011
\n

Licznik:

\n
2×6,67×10−11×2×1030=26,7×1019=2,67×1020 J·m/kg
\n

Iloraz:

\n
2,67×10201,5×1011=1,78×109 m2/s2
\n
v=1,78×109≈4,2×104 m/s
\n
v≈42 km/s
\n

Sposób 2 - Prędkość Ziemi na orbicie + związek z prędkością ucieczki (elegancka metoda)

\n

Kluczowa obserwacja: Prędkość kołowa na orbicie i prędkość ucieczki z tego samego punktu są ze sobą związane.

\n

Dla ruchu kołowego Ziemi wokół Słońca:

\n
GM⊙mr2=mvorb2r⟹vorb=GM⊙r
\n

Porównując ze wzorem na prędkość ucieczki:

\n
vucieczki=2GM⊙r=2·GM⊙r=2·vorb
\n

Prędkość orbitalną Ziemi wyliczamy z okresu obiegu (T=1 rok≈3,15×107 s):

\n
vorb=2πrT=2π×1,5×10113,15×107≈9,42×10113,15×107≈3×104 m/s=30 km/s
\n

Zatem:

\n
vucieczki=2×30 km/s≈1,414×30≈42,4 km/s
\n
v≈42 km/s
\n
Wniosek pedagogiczny: Ten sposób jest elegantszy i nie wymaga znajomości masy Słońca - wystarczy znać czas obiegu Ziemi i 1 j.a. Relacja vucieczki=2·vorb jest warta zapamiętania!
\n

Sposób 3 - Weryfikacja przez dane fizyczne (metoda kontrolna)

\n

Z treści zadania: masa Słońca jest 336 000 razy większa niż masa Ziemi. Prędkość ucieczki z powierzchni Ziemi to ok. 11,2 km/s przy promieniu Ziemi RZ≈6,4×106 m.

\n

Sprawdzamy proporcję:

\n
vucieczki,⊙vucieczki,Z=M⊙/rMZ/RZ=336000×6,4×1061,5×1011
\n
=2,15×10121,5×1011=14,3≈3,79
\n
vucieczki,⊙≈3,79×11,2 km/s≈42,5 km/s ✓
\n

Wynik zgodny z poprzednimi metodami - wewnętrzna weryfikacja zaliczona.

\n

Schemat oceniania CKE

\n
📋 Zasady oceniania CKE (zadanie 15.1, 0-3 pkt):
- 3 pkt - poprawna metoda obliczenia prędkości ucieczki i poprawny wynik
- 2 pkt - zastosowanie wzoru vuc=2GMSr, w którym poprawnie podstawiono masę Słońca oraz odległość r; LUB zastosowanie wzoru vII=2GMr do II prędkości kosmicznej oraz do ucieczki, wyprowadzenie wzoru vuc=vIIMSMZRZRorb; LUB stwierdzenie, że vuc=2·v=2·2πrT, poprawne podstawienie okresu obiegu Ziemi wokół Słońca T i promienia orbity Ziemi r
- 1 pkt - zapisanie wzoru vuc=2GMSr; LUB stwierdzenie, że vuc=2·v=2·2πrT, gdzie v jest prędkością Ziemi na orbicie
- 0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów

Poprawna odpowiedź CKE: Prędkość ucieczki vuc można obliczyć ze wzoru na II prędkość kosmiczną, podstawiając masę Słońca zamiast masy Ziemi oraz odległość równą jednostce astronomicznej zamiast promienia Ziemi: vuc=2GMSr≈2·6,67×10−11·336000·5,98×1024150×109=42 km/s.
\n

Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć

\n
📖 Karta wzorów CKE - Fizyka, sekcja Grawitacja:

- Energia potencjalna grawitacji: Ep=−Gm1m2r
- Prawo powszechnego ciążenia: F=Gm1m2r2
- Stała grawitacji: G=6,67×10−11 N·m2/kg2
- Masa Ziemi: MZ≈5,97×1024 kg≈6×1024 kg

Wzoru na vucieczki nie ma wprost na karcie - należy go wyprowadzić z zasady zachowania energii (Sposób 1) lub ze związku vucieczki=2vorb (Sposób 2).
\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Prędkość ucieczki zależy od odległości od centrum - pytanie dotyczy odległości 1 j.a. od Słońca, nie od powierzchni Słońca (to byłoby ok. 617 km/s). Podstawić r=1,5×1011 m, nie promień Słońca!
\n
⚠️ Uwaga: Energia potencjalna w punkcie startowym jest ujemna (Ep=−GMm/r). Wielu uczniów zapisuje +GMm/r i dostaje równanie z błędnym znakiem. Warunek brzegowy to Ek+Ep=0, stąd 12mv2=GMmr (po przeniesieniu z minusem).
\n
⚠️ Uwaga: Słońce ma masę podaną pośrednio (336 000 × masa Ziemi) - to celowy element zadania. Trzeba wyliczyć M⊙ samodzielnie, a masę Ziemi wziąć z karty wzorów lub pamięci (6×1024 kg).
\n
⚠️ Uwaga: Zadanie mówi "oszacuj" - CKE nie wymaga dokładnego wyniku. Wynik rzędu 40-45 km/s z poprawnym tokiem rozumowania zdobywa pełne 3 punkty. Nie trać czasu na zbędną precyzję.
"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

vuc≈42 km/s

"}]}