{"id":"fizyka-2016-maj-matura-rozszerzona/zad/3.1","paper_id":"fizyka-2016-maj-matura-rozszerzona","number":"3.1","points":1,"ptype":"closed","subject":"fizyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3.1. (0-1)\nZaznacz właściwe dokończenie zdania wybrane spośród A i B oraz jego poprawne\nuzasadnienie wybrane spośród 1.-3.\nCzas toczenia się kulki K2 do punktu X jest\nA. krótszy niż czas\ntoczenia się\nkulki K1,\nponieważ\n1. kulka K2 przebyła dłuższą drogę niż kulka K1.\n2. obie kulki staczały się z tej samej wysokości.\nB. taki sam jak\n3. kulka K2 miała początkowo większe przyspieszenie niż kulka K1.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 3.1. (0-1)\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\n1.8. Zdający wyjaśnia ruch ciał na podstawie\ndrugiej zasady dynamiki Newtona.\nSchemat punktowania\n1 p. - zaznaczenie poprawnej odpowiedzi.\n0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.\nPoprawna odpowiedź\nA 3","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n**A 3** - czas toczenia się kulki K2 do punktu X jest **krótszy** niż czas toczenia się kulki K1, ponieważ **kulka K2 miała początkowo większe przyspieszenie niż kulka K1** (stromsza pochylnia → większy składnik \\(g\\sin\\theta\\), a do tego krótsza droga).\n\n## Sposób 1 - Analiza kinematyczna: przyspieszenie i długość drogi\n\n**Krok 1: Przyspieszenie toczenia bez poślizgu**\n\nDla kulki toczącej się bez poślizgu po pochylni o kącie \\(\\theta\\):\n\n\\[\na = \\frac{g \\sin\\theta}{1 + \\frac{I}{mR^2}} = \\frac{g \\sin\\theta}{1 + 0{,}4} = \\frac{g \\sin\\theta}{1{,}4}\n\\]\n\nPochylnia 2 jest **bardziej stroma** (\\(\\theta_2 > \\theta_1\\)) → **większe przyspieszenie** \\(a_2 > a_1\\).\n\n**Krok 2: Długość drogi po pochylni**\n\nObie kulki startują z tej samej wysokości \\(h = 0{,}2\\) m. Długość pochylni:\n\n\\[\nL = \\frac{h}{\\sin\\theta}\n\\]\n\nPochylnia 2 jest **krótsza** (\\(\\theta_2 > \\theta_1\\) → \\(\\sin\\theta_2 > \\sin\\theta_1\\) → \\(L_2 < L_1\\)).\n\n**Krok 3: Czas przejazdu**\n\nZakładając ruch jednostajnie przyspieszony (start z \\(v_0 = 0\\)):\n\n\\[\nL = \\tfrac{1}{2}\\,a\\,t^2 \\implies t = \\sqrt{\\frac{2L}{a}}\n\\]\n\nPodstawiamy:\n\n\\[\nt = \\sqrt{\\frac{2 \\cdot \\dfrac{h}{\\sin\\theta}}{\\dfrac{g\\sin\\theta}{1{,}4}}} = \\sqrt{\\frac{2{,}8\\,h}{g \\sin^2\\theta}}\n\\]\n\nWyraźnie widać: **\\(t \\propto \\dfrac{1}{\\sin\\theta}\\)**.\n\nPonieważ \\(\\theta_2 > \\theta_1\\), mamy \\(\\sin\\theta_2 > \\sin\\theta_1\\), więc:\n\n\\[\n\\boxed{t_2 < t_1}\n\\]\n\n**K2 dociera do punktu X w krótszym czasie.**\n\n**Fizyczna intuicja:** Na K2 działają OBA sprzyjające efekty jednocześnie - krótsza droga AND większe przyspieszenie. Oba czynniki skracają czas.\n\n## Sposób 2 - Eliminacja: weryfikacja uzasadnień (analiza wariantów logicznych)\n\n**Sprawdzamy każde możliwe uzasadnienie:**\n\n| Kandydujące uzasadnienie | Weryfikacja |\n| „K2 jedzie krótszą drogą\" | ✅ prawda, ale **niepełne** - samo to nie wystarczy bez odniesienia do prędkości/przyspieszenia |\n| „K2 ma większe przyspieszenie i przebywa krótszą drogę\" | ✅ **kompletne i poprawne** - oba czynniki razem jednoznacznie uzasadniają krótszy czas |\n| „Przyspieszenia obu kulek są równe\" | ❌ fałsz - \\(a \\propto \\sin\\theta\\), a kąty są różne |\n\n**Dlaczego uzasadnienie „tylko krótsza droga\" może być niewystarczające?**\nWyobraź sobie ekstremalny kontrprzykład: K2 miałaby 10× krótszą drogę, ale 100× mniejsze przyspieszenie → mimo krótszej drogi jechałaby dłużej. Dlatego kluczowe jest wskazanie **obu efektów łącznie**: \\(L_2 < L_1\\) **oraz** \\(a_2 > a_1\\).\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> 📋 **Zasady oceniania CKE (zadanie 3.1, 0-1 pkt):**\n> - **1 pkt** - zaznaczenie poprawnej odpowiedzi\n> - **0 pkt** - brak spełnienia powyższego kryterium\n>\n> **Poprawna odpowiedź CKE:** A 3 (czas K2 jest krótszy, ponieważ kulka K2 miała początkowo większe przyspieszenie niż kulka K1).\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA, mechanika:**\n>\n> - **Moment bezwładności kuli:** \\(I = \\tfrac{2}{5}mR^2 = 0{,}4\\,mR^2\\) - podane w treści zadania jako wskazówka\n> - **Energia kinetyczna toczenia:** \\(E_k = \\tfrac{1}{2}mv^2 + \\tfrac{1}{2}I\\omega^2\\) - podane w wskazówkach\n> - **Kinematyka:** \\(v = at\\), \\(s = \\tfrac{1}{2}at^2\\) - standardowe wzory\n>\n> Wzory te wystarczają do wyprowadzenia \\(t \\propto 1/\\sin\\theta\\). Karta wzorów **nie jest konieczna** do udzielenia odpowiedzi w tym 1-punktowym zadaniu - wystarczy jakościowe rozumowanie z kroku 1 i 2.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Wariant | Typowy błąd ucznia |\n| **B** (czas dłuższy) | Uczeń skupia się wyłącznie na tym, że K2 jest na „trudniejszej\" (stromszej) trasie i błędnie sądzi, że to wydłuża czas; ignoruje fakt, że krótsza droga + większe przyspieszenie oba skracają czas |\n| **A + uzasad. „równe przyspieszenia\"** | Uczeń wie, że odpowiedź A, ale myli wzór: sądzi, że \\(a = g\\sin\\theta / 1{,}4\\) jest stałe dla każdej kuli niezależnie od \\(\\theta\\) (zapomina, że \\(\\sin\\theta\\) zależy od stromości) |\n| **A + uzasad. „tylko krótsza droga\"** | Niepełne uzasadnienie - poprawne tylko dla tej konfiguracji, ale nie pokazuje pełnego rozumowania; CKE może nie uznać jako pełnoprawnego uzasadnienia |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Fakt, że obie kulki docierają do X z **tą samą prędkością** (ta sama wysokość → ta sama energia kinetyczna → ta samo \\(v\\)) **NIE oznacza**, że czas jest taki sam! Drogi są różne, więc czasy są różne.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić „pomijamy straty energii\" z „pomijamy różnice w ruchu\" - brak strat energii dotyczy treści zadania 3.2 (prędkość w X), a NIE pytania o czas.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(t \\propto 1/\\sin\\theta\\) zakłada start z \\(v_0 = 0\\) i stałe przyspiyszenie na całej pochylni (co jest spełnione, gdy pochylnia ma stały kąt). Nie stosować dla krzywoliniowych tras.","image":"img/fizyka-2016-maj-matura-rozszerzona/zad-3.1.webp","solution_image":null,"topics":"Bryła Sztywna","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 3.1. (0-1)
Zaznacz właściwe dokończenie zdania wybrane spośród A i B oraz jego poprawne
uzasadnienie wybrane spośród 1.-3.
Czas toczenia się kulki K2 do punktu X jest
A. krótszy niż czas
toczenia się
kulki K1,
ponieważ

\n
  1. kulka K2 przebyła dłuższą drogę niż kulka K1.
  2. obie kulki staczały się z tej samej wysokości.
\n

B. taki sam jak

\n
  1. kulka K2 miała początkowo większe przyspieszenie niż kulka K1.
","answer_text_html":"

Zadanie 3.1. (0-1)
IV. Budowa prostych modeli fizycznych
i matematycznych do opisu zjawisk.
1.8. Zdający wyjaśnia ruch ciał na podstawie
drugiej zasady dynamiki Newtona.
Schemat punktowania
1 p. - zaznaczenie poprawnej odpowiedzi.
0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.
Poprawna odpowiedź
A 3

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n

A 3 - czas toczenia się kulki K2 do punktu X jest krótszy niż czas toczenia się kulki K1, ponieważ kulka K2 miała początkowo większe przyspieszenie niż kulka K1 (stromsza pochylnia → większy składnik gsinθ, a do tego krótsza droga).

\n

Sposób 1 - Analiza kinematyczna: przyspieszenie i długość drogi

\n

Krok 1: Przyspieszenie toczenia bez poślizgu

\n

Dla kulki toczącej się bez poślizgu po pochylni o kącie θ:

\n
a=gsinθ1+ImR2=gsinθ1+0,4=gsinθ1,4
\n

Pochylnia 2 jest bardziej stroma (θ2>θ1) → większe przyspieszenie a2>a1.

\n

Krok 2: Długość drogi po pochylni

\n

Obie kulki startują z tej samej wysokości h=0,2 m. Długość pochylni:

\n
L=hsinθ
\n

Pochylnia 2 jest krótsza (θ2>θ1 → sinθ2>sinθ1 → L2<L1).

\n

Krok 3: Czas przejazdu

\n

Zakładając ruch jednostajnie przyspieszony (start z v0=0):

\n
L=12at2⟹t=2La
\n

Podstawiamy:

\n
t=2·hsinθgsinθ1,4=2,8hgsin2θ
\n

Wyraźnie widać: t∝1sinθ.

\n

Ponieważ θ2>θ1, mamy sinθ2>sinθ1, więc:

\n
t2<t1
\n

K2 dociera do punktu X w krótszym czasie.

\n

Fizyczna intuicja: Na K2 działają OBA sprzyjające efekty jednocześnie - krótsza droga AND większe przyspieszenie. Oba czynniki skracają czas.

\n

Sposób 2 - Eliminacja: weryfikacja uzasadnień (analiza wariantów logicznych)

\n

Sprawdzamy każde możliwe uzasadnienie:

\n

| Kandydujące uzasadnienie | Weryfikacja |
| „K2 jedzie krótszą drogą" | ✅ prawda, ale niepełne - samo to nie wystarczy bez odniesienia do prędkości/przyspieszenia |
| „K2 ma większe przyspieszenie i przebywa krótszą drogę" | ✅ kompletne i poprawne - oba czynniki razem jednoznacznie uzasadniają krótszy czas |
| „Przyspieszenia obu kulek są równe" | ❌ fałsz - a∝sinθ, a kąty są różne |

\n

Dlaczego uzasadnienie „tylko krótsza droga" może być niewystarczające?
Wyobraź sobie ekstremalny kontrprzykład: K2 miałaby 10× krótszą drogę, ale 100× mniejsze przyspieszenie → mimo krótszej drogi jechałaby dłużej. Dlatego kluczowe jest wskazanie obu efektów łącznie: L2<L1 oraz a2>a1.

\n

Schemat oceniania CKE

\n
📋 Zasady oceniania CKE (zadanie 3.1, 0-1 pkt):
- 1 pkt - zaznaczenie poprawnej odpowiedzi
- 0 pkt - brak spełnienia powyższego kryterium

Poprawna odpowiedź CKE: A 3 (czas K2 jest krótszy, ponieważ kulka K2 miała początkowo większe przyspieszenie niż kulka K1).
\n

Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć

\n
📖 Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA, mechanika:

- Moment bezwładności kuli: I=25mR2=0,4mR2 - podane w treści zadania jako wskazówka
- Energia kinetyczna toczenia: Ek=12mv2+12Iω2 - podane w wskazówkach
- Kinematyka: v=at, s=12at2 - standardowe wzory

Wzory te wystarczają do wyprowadzenia t∝1/sinθ. Karta wzorów nie jest konieczna do udzielenia odpowiedzi w tym 1-punktowym zadaniu - wystarczy jakościowe rozumowanie z kroku 1 i 2.
\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Wariant | Typowy błąd ucznia |
| B (czas dłuższy) | Uczeń skupia się wyłącznie na tym, że K2 jest na „trudniejszej" (stromszej) trasie i błędnie sądzi, że to wydłuża czas; ignoruje fakt, że krótsza droga + większe przyspieszenie oba skracają czas |
| A + uzasad. „równe przyspieszenia" | Uczeń wie, że odpowiedź A, ale myli wzór: sądzi, że a=gsinθ/1,4 jest stałe dla każdej kuli niezależnie od θ (zapomina, że sinθ zależy od stromości) |
| A + uzasad. „tylko krótsza droga" | Niepełne uzasadnienie - poprawne tylko dla tej konfiguracji, ale nie pokazuje pełnego rozumowania; CKE może nie uznać jako pełnoprawnego uzasadnienia |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Fakt, że obie kulki docierają do X z tą samą prędkością (ta sama wysokość → ta sama energia kinetyczna → ta samo v) NIE oznacza, że czas jest taki sam! Drogi są różne, więc czasy są różne.
\n
⚠️ Uwaga: Nie mylić „pomijamy straty energii" z „pomijamy różnice w ruchu" - brak strat energii dotyczy treści zadania 3.2 (prędkość w X), a NIE pytania o czas.
\n
⚠️ Uwaga: Wzór t∝1/sinθ zakłada start z v0=0 i stałe przyspiyszenie na całej pochylni (co jest spełnione, gdy pochylnia ma stały kąt). Nie stosować dla krzywoliniowych tras.
"}]}