{"id":"fizyka-2016-maj-matura-rozszerzona/zad/3.3","paper_id":"fizyka-2016-maj-matura-rozszerzona","number":"3.3","points":2,"ptype":"closed","subject":"fizyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3.3. (0-2)\nOblicz wartość prędkości kulki K1 w punkcie X.\nA. mniejsza niż prędkość\nkulki K1,\nponieważ\n1. kulka K2 przebyła dłuższą drogę niż kulka K1.\nB. taka sama jak\n2. obie kulki staczały się z tej samej wysokości.\nC. większa niż\n3. kulka K2 miała początkowo większe przyspieszenie niż kulka K1.\n1\n2\nX\n0,2 m\nMFA_1R","answer":null,"answer_text":"Zadanie 3.3. (0-2)\nIV. Budowa prostych modeli\nfizycznych i matematycznych do\nopisu zjawisk.\n2.9. Zdający uwzględnia energię kinetyczną ruchu\nobrotowego w bilansie energii.\n3.3. Zdający wykorzystuje zasadę zachowania energii\nmechanicznej do obliczania parametrów ruchu.\nSchemat punktowania\n2 p. - poprawna metoda rozwiązania i poprawny wynik.\n1 p. - zastosowanie zasady zachowania energii w postaci mgh =\n1\n2\nmv2 +\n1\n2\nIω2.\n0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPoprawna odpowiedź\nObowiązuje zasada zachowania energii w postaci mgh =\n1\n2\nmv2 +\n1\n2\nIω2. Po podstawieniu\nI =\n2\n5\nmR2 i ω = v/R obliczamy wartość prędkości kulki\nv = ට\n10\n7 g h = 1,67 m/s.","solution":"Teraz mam pełny kontekst. Kluczowa informacja z `parent_informacja`:\n\n> *\"Jednorodna kulka K1 zaczyna **toczyć się bez poślizgu** z wysokości 0,2 m po pochylni 1, a **druga taka sama kulka K2** - z tej samej wysokości po pochylni 2 [ ] Moment bezwładności jednorodnej kuli: \\(I = 0{,}4 \\cdot m \\cdot R^2\\). Energia kinetyczna toczącej się kulki jest sumą energii ruchu postępowego i obrotowego.\"*\n\n**Obie kulki toczą się bez poślizgu** - to kluczowe do zadania 3.3.\n\n## Poprawna odpowiedź\n\n\\[\nv_{K1} = \\sqrt{\\frac{10gh}{7}} = \\sqrt{\\frac{10 \\cdot 9{,}81 \\cdot 0{,}2}{7}} \\approx \\boxed{1{,}67 \\ \\mathrm{m/s}}\n\\]\n\n(zgodnie z kluczem CKE; dla \\(g = 10\\ \\mathrm{m/s^2}\\) wychodzi \\(\\sqrt{20/7} \\approx 1{,}69\\ \\mathrm{m/s}\\) - także akceptowane)\n\n## Sposób 1 - Zasada zachowania energii mechanicznej (toczenie bez poślizgu)\n\n**Krok 1: Bilans energii - start (punkt górny) vs. punkt X (dół)**\n\nNa starcie kulka spoczywa na wysokości \\(h = 0{,}2\\) m:\n\\[\nE_{pocz} = mgh\n\\]\n\nW punkcie X kulka toczy się bez poślizgu - ma **dwa składniki** energii kinetycznej:\n\\[\nE_{X} = \\underbrace{\\frac{1}{2}mv^2}_{\\text{postępowa}} + \\underbrace{\\frac{1}{2}I\\omega^2}_{\\text{obrotowa}}\n\\]\n\n**Krok 2: Podstawiamy moment bezwładności i warunek toczenia**\n\nZ treści zadania: \\(I = 0{,}4 \\cdot mR^2 = \\dfrac{2}{5}mR^2\\)\n\nWarunek toczenia bez poślizgu: \\(\\omega = \\dfrac{v}{R}\\)\n\nStąd:\n\\[\n\\frac{1}{2}I\\omega^2 = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{2}{5}mR^2 \\cdot \\frac{v^2}{R^2} = \\frac{1}{5}mv^2\n\\]\n\n**Krok 3: Łączymy oba człony energii kinetycznej**\n\n\\[\nE_X = \\frac{1}{2}mv^2 + \\frac{1}{5}mv^2 = \\frac{5}{10}mv^2 + \\frac{2}{10}mv^2 = \\frac{7}{10}mv^2\n\\]\n\n**Krok 4: Zasada zachowania energii (brak strat - toczenie bez poślizgu)**\n\n\\[\nmgh = \\frac{7}{10}mv^2\n\\]\n\nMasa \\(m\\) skraca się:\n\n\\[\ngh = \\frac{7}{10}v^2 \\implies v^2 = \\frac{10gh}{7}\n\\]\n\n**Krok 5: Podstawiamy liczby** (\\(g = 10 \\ \\mathrm{m/s^2}\\), \\(h = 0{,}2 \\ \\mathrm{m}\\)):\n\n\\[\nv^2 = \\frac{10 \\cdot 10 \\cdot 0{,}2}{7} = \\frac{20}{7} \\approx 2{,}857 \\ \\mathrm{m^2/s^2}\n\\]\n\n\\[\n\\boxed{v_{K1} = \\sqrt{\\frac{20}{7}} \\approx 1{,}69 \\ \\mathrm{m/s}}\n\\]\n\n## Sposób 2 - Kinematyczny: przyspieszenie na pochylni + wzór na prędkość końcową\n\n**Krok 1: Przyspiyszenie kulki toczącej się bez poślizgu**\n\nNa pochylni o kącie \\(\\theta\\) równanie ruchu dla toczenia bez poślizgu:\n\\[\na = \\frac{g\\sin\\theta}{1 + \\dfrac{I}{mR^2}} = \\frac{g\\sin\\theta}{1 + 0{,}4} = \\frac{g\\sin\\theta}{1{,}4}\n\\]\n\n**Krok 2: Długość pochylni**\n\nGeometria: pochylnia ma długość \\(L = \\dfrac{h}{\\sin\\theta}\\).\n\n**Krok 3: Prędkość końcowa (ruch jednostajnie przyspieszony, start z \\(v_0 = 0\\))**\n\n\\[\nv^2 = 2aL = 2 \\cdot \\frac{g\\sin\\theta}{1{,}4} \\cdot \\frac{h}{\\sin\\theta}\n\\]\n\nZauważamy, że **\\(\\sin\\theta\\) skraca się** - wynik jest niezależny od kąta nachylenia:\n\n\\[\nv^2 = \\frac{2gh}{1{,}4} = \\frac{2gh}{\\frac{7}{5}} = \\frac{10gh}{7}\n\\]\n\n\\[\nv = \\sqrt{\\frac{10 \\cdot 10 \\cdot 0{,}2}{7}} = \\sqrt{\\frac{20}{7}} \\approx \\boxed{1{,}69 \\ \\mathrm{m/s}}\n\\]\n\n**Fizyczna obserwacja:** Prędkość w X nie zależy od kąta pochylni - dlatego K1 i K2 mają identyczną prędkość w punkcie X (choć różny czas dojazdu - o tym zadanie 3.1).\n\n## Sposób 3 - Bezpośrednie porównanie z kulką ślizgającą się (weryfikacja)\n\nDla porównania: **gdyby** K1 ślizgała się (bez obrotu), cała energia byłaby postępowa:\n\\[\nmgh = \\frac{1}{2}mv_{ślizg}^2 \\implies v_{ślizg} = \\sqrt{2gh} = \\sqrt{2 \\cdot 10 \\cdot 0{,}2} = \\sqrt{4} = 2{,}0 \\ \\mathrm{m/s}\n\\]\n\nKulka tocząca się jest wolniejsza postępowo, bo część energii trafia na obroty:\n\\[\nv_{tocz} = \\sqrt{\\frac{10gh}{7}} = \\sqrt{\\frac{20}{7}} \\approx 1{,}69 \\ \\mathrm{m/s} < 2{,}0 \\ \\mathrm{m/s} \\checkmark\n\\]\n\nStosunek prędkości:\n\\[\n\\frac{v_{tocz}}{v_{ślizg}} = \\sqrt{\\frac{10/7}{2}} = \\sqrt{\\frac{5}{7}} \\approx 0{,}845\n\\]\n\nKulka tocząca się osiąga ~84,5% prędkości kulki ślizgającej się - rozsądna wartość (20% energii \"zjedzone\" przez obroty).\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> 📋 **Zasady oceniania CKE (zadanie 3.3, 0-2 pkt):**\n> - **2 pkt** - poprawna metoda rozwiązania i poprawny wynik\n> - **1 pkt** - zastosowanie zasady zachowania energii w postaci \\(mgh = \\frac{1}{2}mv^2 + \\frac{1}{2}I\\omega^2\\)\n> - **0 pkt** - brak spełnienia powyższych kryteriów\n>\n> **Poprawna odpowiedź CKE:** Obowiązuje zasada zachowania energii w postaci \\(mgh = \\frac{1}{2}mv^2 + \\frac{1}{2}I\\omega^2\\). Po podstawieniu \\(I = \\frac{2}{5}mR^2\\) i \\(\\omega = v/R\\) obliczamy wartość prędkości kulki \\(v = \\sqrt{\\frac{10}{7}gh} = 1{,}67\\ \\mathrm{m/s}\\).\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (str. 16-20):**\n>\n> - **Zasada zachowania energii:** \\(E_{mech} = \\text{const}\\) dla układu bez sił tarcia ślizgowego (toczenie bez poślizgu - tarcie statyczne nie wykonuje pracy)\n> - **Energia kinetyczna postępowa:** \\(E_{k,post} = \\dfrac{1}{2}mv^2\\)\n> - **Energia kinetyczna obrotowa:** \\(E_{k,obr} = \\dfrac{1}{2}I\\omega^2\\)\n> - **Warunek toczenia bez poślizgu:** \\(v = \\omega R\\)\n>\n> Moment bezwładności \\(I = 0{,}4\\,mR^2\\) podany jest **wprost w treści zadania** jako wskazówka - nie trzeba go szukać na karcie.\n>\n> Łącząc powyższe: \\(mgh = \\dfrac{7}{10}mv^2\\) → \\(v = \\sqrt{\\dfrac{10gh}{7}}\\).\n\n## Częste błędne odpowiedzi\n\n| Błędna odpowiedź | Dlaczego uczeń tak liczy | Dlaczego źle |\n| \\(v = 2{,}0 \\ \\mathrm{m/s}\\) | Używa \\(mgh = \\frac{1}{2}mv^2\\), bo \"toczenie to też ruch\" | Pomija energię kinetyczną **obrotu** - kula obraca się i część energii idzie na \\(\\frac{1}{2}I\\omega^2\\) |\n| \\(v = \\sqrt{10gh/5} \\approx 2{,}0 \\ \\mathrm{m/s}\\) | Stosuje wzór dla walca (\\(I = \\frac{1}{2}mR^2\\)) zamiast kuli | Kula jednorodna: \\(I = \\frac{2}{5}mR^2\\), nie \\(\\frac{1}{2}mR^2\\) |\n| \\(v = \\sqrt{gh} \\approx 1{,}41 \\ \\mathrm{m/s}\\) | Zamiast \\(\\frac{10}{7}gh\\) wpisuje \\(gh\\) (błąd algebraiczny w redukcji ułamków) | \\(\\frac{2}{1{,}4} = \\frac{10}{7} \\approx 1{,}43\\), nie \\(1\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \"Toczenie bez poślizgu = bez tarcia\" - **FAŁSZ**. Tarcie statyczne działa, ale nie wykonuje pracy (punkt styku ma chwilową prędkość zero). Energia mechaniczna jest zachowana!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie pomijaj \\(\\frac{1}{2}I\\omega^2\\) - to najczęstszy błąd w zadaniach o toczeniu. Przy kuli zabiera **2/7 ≈ 29%** całej energii na obroty.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik zależy **tylko od wysokości \\(h\\)** - nie od kąta pochylni, długości trasy ani masy kulki. Dlatego identyczna kulka K2 (ze stromszej pochylni) osiąga **dokładnie tę samą prędkość** w punkcie X co K1.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(I = 0{,}4\\,mR^2\\) dotyczy **pełnej jednorodnej kuli** (bryła lita). Dla pustej sfery: \\(I = \\frac{2}{3}mR^2\\) - wolniejsza postępowo. Na maturze zawsze sprawdź, czy zadanie mówi \"kulka jednorodna\" (lita).","image":"img/fizyka-2016-maj-matura-rozszerzona/zad-3.3.webp","solution_image":null,"topics":"Bryła Sztywna","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 3.3. (0-2)
Oblicz wartość prędkości kulki K1 w punkcie X.
A. mniejsza niż prędkość
kulki K1,
ponieważ

\n
  1. kulka K2 przebyła dłuższą drogę niż kulka K1.
\n

B. taka sama jak

\n
  1. obie kulki staczały się z tej samej wysokości.
\n

C. większa niż

\n
  1. kulka K2 miała początkowo większe przyspieszenie niż kulka K1.
\n

1
2
X
0,2 m
MFA_1R

","answer_text_html":"

Zadanie 3.3. (0-2)
IV. Budowa prostych modeli
fizycznych i matematycznych do
opisu zjawisk.
2.9. Zdający uwzględnia energię kinetyczną ruchu
obrotowego w bilansie energii.
3.3. Zdający wykorzystuje zasadę zachowania energii
mechanicznej do obliczania parametrów ruchu.
Schemat punktowania
2 p. - poprawna metoda rozwiązania i poprawny wynik.
1 p. - zastosowanie zasady zachowania energii w postaci mgh =
1
2
mv2 +
1
2
Iω2.
0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.
Poprawna odpowiedź
Obowiązuje zasada zachowania energii w postaci mgh =
1
2
mv2 +
1
2
Iω2. Po podstawieniu
I =
2
5
mR2 i ω = v/R obliczamy wartość prędkości kulki
v = ට
10
7 g h = 1,67 m/s.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Teraz mam pełny kontekst. Kluczowa informacja z parent_informacja:

\n
"Jednorodna kulka K1 zaczyna toczyć się bez poślizgu z wysokości 0,2 m po pochylni 1, a druga taka sama kulka K2 - z tej samej wysokości po pochylni 2 [ ] Moment bezwładności jednorodnej kuli: I=0,4·m·R2. Energia kinetyczna toczącej się kulki jest sumą energii ruchu postępowego i obrotowego."
\n

Obie kulki toczą się bez poślizgu - to kluczowe do zadania 3.3.

\n

Poprawna odpowiedź

\n
vK1=10gh7=10·9,81·0,27≈1,67 m/s
\n

(zgodnie z kluczem CKE; dla g=10 m/s2 wychodzi 20/7≈1,69 m/s - także akceptowane)

\n

Sposób 1 - Zasada zachowania energii mechanicznej (toczenie bez poślizgu)

\n

Krok 1: Bilans energii - start (punkt górny) vs. punkt X (dół)

\n

Na starcie kulka spoczywa na wysokości h=0,2 m:

\n
Epocz=mgh
\n

W punkcie X kulka toczy się bez poślizgu - ma dwa składniki energii kinetycznej:

\n
EX=12mv2⏟postępowa+12Iω2⏟obrotowa
\n

Krok 2: Podstawiamy moment bezwładności i warunek toczenia

\n

Z treści zadania: I=0,4·mR2=25mR2

\n

Warunek toczenia bez poślizgu: ω=vR

\n

Stąd:

\n
12Iω2=12·25mR2·v2R2=15mv2
\n

Krok 3: Łączymy oba człony energii kinetycznej

\n
EX=12mv2+15mv2=510mv2+210mv2=710mv2
\n

Krok 4: Zasada zachowania energii (brak strat - toczenie bez poślizgu)

\n
mgh=710mv2
\n

Masa m skraca się:

\n
gh=710v2⟹v2=10gh7
\n

Krok 5: Podstawiamy liczby (g=10 m/s2, h=0,2 m):

\n
v2=10·10·0,27=207≈2,857 m2/s2
\n
vK1=207≈1,69 m/s
\n

Sposób 2 - Kinematyczny: przyspieszenie na pochylni + wzór na prędkość końcową

\n

Krok 1: Przyspiyszenie kulki toczącej się bez poślizgu

\n

Na pochylni o kącie θ równanie ruchu dla toczenia bez poślizgu:

\n
a=gsinθ1+ImR2=gsinθ1+0,4=gsinθ1,4
\n

Krok 2: Długość pochylni

\n

Geometria: pochylnia ma długość L=hsinθ.

\n

Krok 3: Prędkość końcowa (ruch jednostajnie przyspieszony, start z v0=0)

\n
v2=2aL=2·gsinθ1,4·hsinθ
\n

Zauważamy, że sinθ skraca się - wynik jest niezależny od kąta nachylenia:

\n
v2=2gh1,4=2gh75=10gh7
\n
v=10·10·0,27=207≈1,69 m/s
\n

Fizyczna obserwacja: Prędkość w X nie zależy od kąta pochylni - dlatego K1 i K2 mają identyczną prędkość w punkcie X (choć różny czas dojazdu - o tym zadanie 3.1).

\n

Sposób 3 - Bezpośrednie porównanie z kulką ślizgającą się (weryfikacja)

\n

Dla porównania: gdyby K1 ślizgała się (bez obrotu), cała energia byłaby postępowa:

\n
mgh=12mvślizg2⟹vślizg=2gh=2·10·0,2=4=2,0 m/s
\n

Kulka tocząca się jest wolniejsza postępowo, bo część energii trafia na obroty:

\n
vtocz=10gh7=207≈1,69 m/s<2,0 m/s✓
\n

Stosunek prędkości:

\n
vtoczvślizg=10/72=57≈0,845
\n

Kulka tocząca się osiąga ~84,5% prędkości kulki ślizgającej się - rozsądna wartość (20% energii "zjedzone" przez obroty).

\n

Schemat oceniania CKE

\n
📋 Zasady oceniania CKE (zadanie 3.3, 0-2 pkt):
- 2 pkt - poprawna metoda rozwiązania i poprawny wynik
- 1 pkt - zastosowanie zasady zachowania energii w postaci mgh=12mv2+12Iω2
- 0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów

Poprawna odpowiedź CKE: Obowiązuje zasada zachowania energii w postaci mgh=12mv2+12Iω2. Po podstawieniu I=25mR2 i ω=v/R obliczamy wartość prędkości kulki v=107gh=1,67 m/s.
\n

Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć

\n
📖 Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (str. 16-20):

- Zasada zachowania energii: Emech=const dla układu bez sił tarcia ślizgowego (toczenie bez poślizgu - tarcie statyczne nie wykonuje pracy)
- Energia kinetyczna postępowa: Ek,post=12mv2
- Energia kinetyczna obrotowa: Ek,obr=12Iω2
- Warunek toczenia bez poślizgu: v=ωR

Moment bezwładności I=0,4mR2 podany jest wprost w treści zadania jako wskazówka - nie trzeba go szukać na karcie.

Łącząc powyższe: mgh=710mv2 → v=10gh7.
\n

Częste błędne odpowiedzi

\n

| Błędna odpowiedź | Dlaczego uczeń tak liczy | Dlaczego źle |
| v=2,0 m/s | Używa mgh=12mv2, bo "toczenie to też ruch" | Pomija energię kinetyczną obrotu - kula obraca się i część energii idzie na 12Iω2 |
| v=10gh/5≈2,0 m/s | Stosuje wzór dla walca (I=12mR2) zamiast kuli | Kula jednorodna: I=25mR2, nie 12mR2 |
| v=gh≈1,41 m/s | Zamiast 107gh wpisuje gh (błąd algebraiczny w redukcji ułamków) | 21,4=107≈1,43, nie 1 |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: "Toczenie bez poślizgu = bez tarcia" - FAŁSZ. Tarcie statyczne działa, ale nie wykonuje pracy (punkt styku ma chwilową prędkość zero). Energia mechaniczna jest zachowana!
\n
⚠️ Uwaga: Nie pomijaj 12Iω2 - to najczęstszy błąd w zadaniach o toczeniu. Przy kuli zabiera 2/7 ≈ 29% całej energii na obroty.
\n
⚠️ Uwaga: Wynik zależy tylko od wysokości h - nie od kąta pochylni, długości trasy ani masy kulki. Dlatego identyczna kulka K2 (ze stromszej pochylni) osiąga dokładnie tę samą prędkość w punkcie X co K1.
\n
⚠️ Uwaga: I=0,4mR2 dotyczy pełnej jednorodnej kuli (bryła lita). Dla pustej sfery: I=23mR2 - wolniejsza postępowo. Na maturze zawsze sprawdź, czy zadanie mówi "kulka jednorodna" (lita).
"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

v=1,67 m/s

"}]}