{"id":"fizyka-2016-maj-matura-rozszerzona/zad/4.2","paper_id":"fizyka-2016-maj-matura-rozszerzona","number":"4.2","points":4,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4.2. (0-4)\nAby zapewnić bezpieczeństwo w czasie podróży, należy ładunek rozmieścić równomiernie,\na 25% całkowitej objętości pni powinno wystawać ponad powierzchnię wody po maksymalnym\nobciążeniu tratwy. Oblicz maksymalną masę ładunku, jaki można umieścić na tej tratwie, pod\nwarunkiem zachowania zasad bezpieczeństwa.\nDo obliczeń przyjmij: gęstość wody 1000\nkg\nm3 , gęstość drewna 600\nkg\nm3 .\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n3.1.\n3.2.\n3.3.\n4.1. 4.2.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n2\n2\n4\nUzyskana liczba pkt\nrys. 1\nQ\n→\ntratwa\nrys. 2\nładunek\nMFA_1R","answer":null,"answer_text":"Zadanie 4.2. (0-4)\nIV. Budowa prostych modeli\nfizycznych i matematycznych do\nopisu zjawisk.\n1.1. Zdający […] wykonuje działania na wektorach.\n3.3 (G). Zdający posługuje się pojęciem gęstości.\n3.9 (G). Zdający wyjaśnia pływanie ciał na podstawie\nprawa Archimedesa.\nSchemat punktowania\n4 p. - poprawna metoda rozwiązania i poprawny wynik.\n3 p. - poprawna metoda rozwiązania, tzn. wyprowadzenie wzoru mł = 10·S·L·(0,75ρw - ρt)\nlub przekształcenia równoważne.\n2 p. - napisanie warunku równoważenia się siły wyporu i siły grawitacji w postaci\nρw·g·Vz = (mt + mł)g lub równoważnej oraz napisanie wyrażenia Vz = 0,75V lub\nrównoważnego\nlub\n- napisanie warunku równoważenia się siły wyporu i siły grawitacji w postaci\nρw·g·Vz = (mt + mł) g lub równoważnej oraz napisanie wyrażenia mt = ρt·V lub\nrównoważnego.\n1 p. - napisanie warunku równoważenia się siły wyporu i siły grawitacji.\n0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPoprawna odpowiedź\nZ warunku równoważenia się siły wyporu i siły grawitacji wynika, że ρw·g·Vz = (mt + mł)g.\nPodstawiamy Vz = 0,75V = 0,75·10·S·L i mt = ρt·V = ρt·10·S·L i obliczamy\nmł = 10·S·L·(0,75ρw - ρt) = 210 kg.","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n\\[m_{\\text{ład}} = (\\rho_w \\cdot 0{,}75 - \\rho_d) \\cdot V_{\\text{pni}} = 10 \\cdot S \\cdot L \\cdot (0{,}75\\rho_w - \\rho_d)\\]\n\nObjętość pni: \\(V = 10 \\cdot S \\cdot L = 10 \\cdot 0{,}07\\,\\text{m}^2 \\cdot 2\\,\\text{m} = 1{,}4\\,\\text{m}^3\\).\n\nPodstawiając dane: \\(m_{\\text{ład}} = (1000 \\cdot 0{,}75 - 600) \\cdot 1{,}4 = 150 \\cdot 1{,}4 = \\boxed{210\\,\\text{kg}}\\)\n\n## Sposób 1 - Równanie równowagi sił (zasada Archimedesa)\n\n### Krok 1 - Zidentyfikuj siły działające na tratwę przy maksymalnym załadowaniu\n\nTratwa unosi się w równowadze, gdy:\n\n\\[F_{\\text{wyp}} = W_{\\text{drewna}} + W_{\\text{ładunku}}\\]\n\nczyli siła wyporu równa się ciężarowi drewna plus ciężarowi ładunku.\n\n### Krok 2 - Wyraź objętość zanurzoną\n\nWarunek bezpieczeństwa: **25% objętości pni wystaje nad wodę**, zatem:\n\n\\[V_{\\text{zanurzenia}} = 0{,}75 \\cdot V_{\\text{pni}}\\]\n\n### Krok 3 - Napisz siłę wyporu\n\nSiła wyporu (prawo Archimedesa) działa na objętość zanurzoną:\n\n\\[F_{\\text{wyp}} = \\rho_w \\cdot V_{\\text{zan}} \\cdot g = \\rho_w \\cdot 0{,}75 \\cdot V \\cdot g\\]\n\n### Krok 4 - Napisz równanie równowagi\n\n\\[\\rho_w \\cdot 0{,}75 \\cdot V \\cdot g = \\rho_d \\cdot V \\cdot g + m_{\\text{ład}} \\cdot g\\]\n\nDzielimy obustronnie przez \\(g\\):\n\n\\[\\rho_w \\cdot 0{,}75 \\cdot V = \\rho_d \\cdot V + m_{\\text{ład}}\\]\n\n### Krok 5 - Wyznacz masę ładunku\n\n\\[m_{\\text{ład}} = \\rho_w \\cdot 0{,}75 \\cdot V - \\rho_d \\cdot V = \\big(\\rho_w \\cdot 0{,}75 - \\rho_d\\big) \\cdot V\\]\n\n\\[m_{\\text{ład}} = (1000 \\cdot 0{,}75 - 600) \\cdot V = (750 - 600) \\cdot V = 150\\,V\\]\n\n### Krok 6 - Podstaw objętość pni\n\nObjętość 10 pni walcowych (\\(S = 700\\,\\text{cm}^2 = 0{,}07\\,\\text{m}^2\\), \\(L = 2\\,\\text{m}\\)):\n\n\\[V_{\\text{pni}} = 10 \\cdot S \\cdot L = 10 \\cdot 0{,}07 \\cdot 2 = 1{,}4\\,\\text{m}^3\\]\n\n\\[\\boxed{m_{\\text{ład}} = 150 \\cdot 1{,}4 = 210\\,\\text{kg}}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez masy: co woda \"uniesie\" minus masa drewna\n\n**Intuicja:** woda może unieść masę odpowiadającą masie wypartej wody. Drewno waży już swoje - ładunek dostaje tylko \"nadwyżkę nośności\".\n\n### Krok 1 - Maksymalna nośność (masa wypartej wody przy 75% zanurzenia)\n\n\\[m_{\\text{wyp. wody}} = \\rho_w \\cdot V_{\\text{zan}} = 1000 \\cdot 0{,}75 \\cdot V = 750 \\cdot V\\,[\\text{kg}]\\]\n\n### Krok 2 - Masa samego drewna\n\n\\[m_{\\text{drewna}} = \\rho_d \\cdot V = 600 \\cdot V\\,[\\text{kg}]\\]\n\n### Krok 3 - Ładunek = nośność minus własna masa\n\n\\[m_{\\text{ład}} = m_{\\text{wyp. wody}} - m_{\\text{drewna}} = 750V - 600V = 150V\\]\n\n\\[\\boxed{m_{\\text{ład}} = 150 \\cdot 1{,}4 = 210\\,\\text{kg}}\\]\n\n> Ten sposób pokazuje fizyczną istotę: **tratwa niesie to, na ile jej drewno jest \"lżejsze od wody\"** (600 vs 750 kg/m³ efektywne) plus zysk z gęstości.\n\n## Sposób 3 - Przez gęstość względną i ułamek zanurzenia\n\nDla ciała pływającego bez ładunku ułamek zanurzenia = \\(\\dfrac{\\rho_d}{\\rho_w} = \\dfrac{600}{1000} = 0{,}60\\) (60% zanurzone).\n\nPrzy ładunku chcemy **75% zanurzone**. Różnica 15% objętości to \"dodatkowa nośność\" na ładunek:\n\n\\[\\Delta V_{\\text{zan}} = (0{,}75 - 0{,}60) \\cdot V = 0{,}15 \\cdot V\\]\n\nMasa ładunku odpowiadająca tej dodatkowej zanurzonej objętości wody:\n\n\\[m_{\\text{ład}} = \\rho_w \\cdot \\Delta V_{\\text{zan}} = 1000 \\cdot 0{,}15 \\cdot V = 150\\,V\\]\n\n\\[\\boxed{m_{\\text{ład}} = 150 \\cdot 1{,}4 = 210\\,\\text{kg}}\\]\n\n> Ten sposób jest najszybszy na egzaminie: obliczasz **o ile bardziej tratwa jest zanurzona z ładunkiem niż bez** i przeliczasz tę objętość na masę wody = masa ładunku.\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> 📋 **Zasady oceniania CKE (zadanie 4.2, 0-4 pkt):**\n> - **4 pkt** - poprawna metoda rozwiązania i poprawny wynik\n> - **3 pkt** - poprawna metoda rozwiązania, tzn. wyprowadzenie wzoru \\(m_t = 10 \\cdot S \\cdot L \\cdot (0{,}75\\rho_w - \\rho_t)\\) lub przekształcenia równoważne\n> - **2 pkt** - napisanie warunku równoważenia się siły wyporu i siły grawitacji w postaci \\(\\rho_w \\cdot g \\cdot V_z = (m_t + m_l)g\\) (lub równoważnej) oraz napisanie wyrażenia \\(V_z = 0{,}75 V\\) (lub \\(m_t = \\rho_t \\cdot V\\)) lub równoważnego\n> - **1 pkt** - napisanie warunku równoważenia się siły wyporu i siły grawitacji\n> - **0 pkt** - brak spełnienia powyższych kryteriów\n>\n> **Poprawna odpowiedź CKE:** Z warunku równoważenia się siły wyporu i siły grawitacji wynika, że \\(\\rho_w \\cdot g \\cdot V_z = (m_t + m_l)g\\). Podstawiamy \\(V_z = 0{,}75 V = 0{,}75 \\cdot 10 \\cdot S \\cdot L\\) i \\(m_t = \\rho_t \\cdot V = \\rho_t \\cdot 10 \\cdot S \\cdot L\\) i obliczamy \\(m_l = 10 \\cdot S \\cdot L \\cdot (0{,}75\\rho_w - \\rho_t) = 210\\) kg.\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - Fizyka, sekcja \"Mechanika płynów\":**\n>\n> **Prawo Archimedesa:** \\(F = \\rho \\cdot g \\cdot V\\) - siła wyporu równa ciężarowi wypartego płynu.\n>\n> Warunek pływania: \\(\\rho_{\\text{ciała}} < \\rho_{\\text{cieczy}}\\) - spełniony (\\(600 < 1000\\)).\n>\n> Gęstość: \\(\\rho = \\dfrac{m}{V}\\)\n>\n> Użycie: Sposób 1 i 2 bezpośrednio korzystają z prawa Archimedesa. Sposób 3 korzysta z warunku pływania i ułamka zanurzenia.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Pułapka 1 - \"25% wystaje = 25% zanurzone\":** Uczeń pisze \\(V_{\\text{zan}} = 0{,}25 \\cdot V\\) zamiast \\(0{,}75 \\cdot V\\). To odwrócenie! 25% **ponad** wodą = 75% **pod** wodą.\n\n> ⚠️ **Pułapka 2 - Zapomniana masa drewna:** Uczeń liczy \\(m_{\\text{ład}} = \\rho_w \\cdot 0{,}75 \\cdot V\\) (całą nośność), zapominając odjąć masę samego drewna \\(\\rho_d \\cdot V\\). Wynik wychodzi wtedy ~2355 kg - fizycznie niemożliwy przy tej gęstości drewna.\n\n> ⚠️ **Pułapka 3 - Błędne obliczenie objętości pni:** Objętość 10 walców to \\(V = 10 \\cdot S \\cdot L = 10 \\cdot 0{,}07 \\cdot 2 = 1{,}4\\,\\text{m}^3\\). Uwaga: pole podstawy \\(S = 700\\,\\text{cm}^2\\) trzeba zamienić na \\(0{,}07\\,\\text{m}^2\\) - błąd zamiany jednostek to najczęstsza przyczyna złego wyniku.\n\n> ⚠️ **Pułapka 4 - Pominięcie \\(g\\) w równaniu:** Jeśli zapomnisz że \\(W = m \\cdot g\\) i \\(F_{\\text{wyp}} = \\rho \\cdot V \\cdot g\\), \\(g\\) się skraca - więc błąd ten zwykle nie zmienia wyniku, ale formalne równanie musi zawierać \\(g\\) dla pełnych punktów.","image":"img/fizyka-2016-maj-matura-rozszerzona/zad-4.2.webp","solution_image":null,"topics":"Hydrostatyka","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 4.2. (0-4)
Aby zapewnić bezpieczeństwo w czasie podróży, należy ładunek rozmieścić równomiernie,
a 25% całkowitej objętości pni powinno wystawać ponad powierzchnię wody po maksymalnym
obciążeniu tratwy. Oblicz maksymalną masę ładunku, jaki można umieścić na tej tratwie, pod
warunkiem zachowania zasad bezpieczeństwa.
Do obliczeń przyjmij: gęstość wody 1000
kg
m3 , gęstość drewna 600
kg
m3 .
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
3.1.
3.2.
3.3.
4.1. 4.2.
Maks. liczba pkt
1
1
2
2
4
Uzyskana liczba pkt
rys. 1
Q
→
tratwa
rys. 2
ładunek
MFA_1R

","answer_text_html":"

Zadanie 4.2. (0-4)
IV. Budowa prostych modeli
fizycznych i matematycznych do
opisu zjawisk.
1.1. Zdający […] wykonuje działania na wektorach.
3.3 (G). Zdający posługuje się pojęciem gęstości.
3.9 (G). Zdający wyjaśnia pływanie ciał na podstawie
prawa Archimedesa.
Schemat punktowania
4 p. - poprawna metoda rozwiązania i poprawny wynik.
3 p. - poprawna metoda rozwiązania, tzn. wyprowadzenie wzoru mł = 10·S·L·(0,75ρw - ρt)
lub przekształcenia równoważne.
2 p. - napisanie warunku równoważenia się siły wyporu i siły grawitacji w postaci
ρw·g·Vz = (mt + mł)g lub równoważnej oraz napisanie wyrażenia Vz = 0,75V lub
równoważnego
lub

\n\n

ρw·g·Vz = (mt + mł) g lub równoważnej oraz napisanie wyrażenia mt = ρt·V lub
równoważnego.
1 p. - napisanie warunku równoważenia się siły wyporu i siły grawitacji.
0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.
Poprawna odpowiedź
Z warunku równoważenia się siły wyporu i siły grawitacji wynika, że ρw·g·Vz = (mt + mł)g.
Podstawiamy Vz = 0,75V = 0,75·10·S·L i mt = ρt·V = ρt·10·S·L i obliczamy
mł = 10·S·L·(0,75ρw - ρt) = 210 kg.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n
mład=(ρw·0,75−ρd)·Vpni=10·S·L·(0,75ρw−ρd)
\n

Objętość pni: V=10·S·L=10·0,07m2·2m=1,4m3.

\n

Podstawiając dane: mład=(1000·0,75−600)·1,4=150·1,4=210kg

\n

Sposób 1 - Równanie równowagi sił (zasada Archimedesa)

\n
Krok 1 - Zidentyfikuj siły działające na tratwę przy maksymalnym załadowaniu
\n

Tratwa unosi się w równowadze, gdy:

\n
Fwyp=Wdrewna+Władunku
\n

czyli siła wyporu równa się ciężarowi drewna plus ciężarowi ładunku.

\n
Krok 2 - Wyraź objętość zanurzoną
\n

Warunek bezpieczeństwa: 25% objętości pni wystaje nad wodę, zatem:

\n
Vzanurzenia=0,75·Vpni
\n
Krok 3 - Napisz siłę wyporu
\n

Siła wyporu (prawo Archimedesa) działa na objętość zanurzoną:

\n
Fwyp=ρw·Vzan·g=ρw·0,75·V·g
\n
Krok 4 - Napisz równanie równowagi
\n
ρw·0,75·V·g=ρd·V·g+mład·g
\n

Dzielimy obustronnie przez g:

\n
ρw·0,75·V=ρd·V+mład
\n
Krok 5 - Wyznacz masę ładunku
\n
mład=ρw·0,75·V−ρd·V=(ρw·0,75−ρd)·V
\n
mład=(1000·0,75−600)·V=(750−600)·V=150V
\n
Krok 6 - Podstaw objętość pni
\n

Objętość 10 pni walcowych (S=700cm2=0,07m2, L=2m):

\n
Vpni=10·S·L=10·0,07·2=1,4m3
\n
mład=150·1,4=210kg
\n

Sposób 2 - Przez masy: co woda "uniesie" minus masa drewna

\n

Intuicja: woda może unieść masę odpowiadającą masie wypartej wody. Drewno waży już swoje - ładunek dostaje tylko "nadwyżkę nośności".

\n
Krok 1 - Maksymalna nośność (masa wypartej wody przy 75% zanurzenia)
\n
mwyp. wody=ρw·Vzan=1000·0,75·V=750·V[kg]
\n
Krok 2 - Masa samego drewna
\n
mdrewna=ρd·V=600·V[kg]
\n
Krok 3 - Ładunek = nośność minus własna masa
\n
mład=mwyp. wody−mdrewna=750V−600V=150V
\n
mład=150·1,4=210kg
\n
Ten sposób pokazuje fizyczną istotę: tratwa niesie to, na ile jej drewno jest "lżejsze od wody" (600 vs 750 kg/m³ efektywne) plus zysk z gęstości.
\n

Sposób 3 - Przez gęstość względną i ułamek zanurzenia

\n

Dla ciała pływającego bez ładunku ułamek zanurzenia = ρdρw=6001000=0,60 (60% zanurzone).

\n

Przy ładunku chcemy 75% zanurzone. Różnica 15% objętości to "dodatkowa nośność" na ładunek:

\n
ΔVzan=(0,75−0,60)·V=0,15·V
\n

Masa ładunku odpowiadająca tej dodatkowej zanurzonej objętości wody:

\n
mład=ρw·ΔVzan=1000·0,15·V=150V
\n
mład=150·1,4=210kg
\n
Ten sposób jest najszybszy na egzaminie: obliczasz o ile bardziej tratwa jest zanurzona z ładunkiem niż bez i przeliczasz tę objętość na masę wody = masa ładunku.
\n

Schemat oceniania CKE

\n
📋 Zasady oceniania CKE (zadanie 4.2, 0-4 pkt):
- 4 pkt - poprawna metoda rozwiązania i poprawny wynik
- 3 pkt - poprawna metoda rozwiązania, tzn. wyprowadzenie wzoru mt=10·S·L·(0,75ρw−ρt) lub przekształcenia równoważne
- 2 pkt - napisanie warunku równoważenia się siły wyporu i siły grawitacji w postaci ρw·g·Vz=(mt+ml)g (lub równoważnej) oraz napisanie wyrażenia Vz=0,75V (lub mt=ρt·V) lub równoważnego
- 1 pkt - napisanie warunku równoważenia się siły wyporu i siły grawitacji
- 0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów

Poprawna odpowiedź CKE: Z warunku równoważenia się siły wyporu i siły grawitacji wynika, że ρw·g·Vz=(mt+ml)g. Podstawiamy Vz=0,75V=0,75·10·S·L i mt=ρt·V=ρt·10·S·L i obliczamy ml=10·S·L·(0,75ρw−ρt)=210 kg.
\n

Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć

\n
📖 Karta wzorów CKE - Fizyka, sekcja "Mechanika płynów":

Prawo Archimedesa: F=ρ·g·V - siła wyporu równa ciężarowi wypartego płynu.

Warunek pływania: ρciała<ρcieczy - spełniony (600<1000).

Gęstość: ρ=mV

Użycie: Sposób 1 i 2 bezpośrednio korzystają z prawa Archimedesa. Sposób 3 korzysta z warunku pływania i ułamka zanurzenia.
\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Pułapka 1 - "25% wystaje = 25% zanurzone": Uczeń pisze Vzan=0,25·V zamiast 0,75·V. To odwrócenie! 25% ponad wodą = 75% pod wodą.
\n
⚠️ Pułapka 2 - Zapomniana masa drewna: Uczeń liczy mład=ρw·0,75·V (całą nośność), zapominając odjąć masę samego drewna ρd·V. Wynik wychodzi wtedy ~2355 kg - fizycznie niemożliwy przy tej gęstości drewna.
\n
⚠️ Pułapka 3 - Błędne obliczenie objętości pni: Objętość 10 walców to V=10·S·L=10·0,07·2=1,4m3. Uwaga: pole podstawy S=700cm2 trzeba zamienić na 0,07m2 - błąd zamiany jednostek to najczęstsza przyczyna złego wyniku.
\n
⚠️ Pułapka 4 - Pominięcie g w równaniu: Jeśli zapomnisz że W=m·g i Fwyp=ρ·V·g, g się skraca - więc błąd ten zwykle nie zmienia wyniku, ale formalne równanie musi zawierać g dla pełnych punktów.
"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

mł=210 kg

"}]}