{"id":"fizyka-2016-maj-matura-rozszerzona/zad/5.2","paper_id":"fizyka-2016-maj-matura-rozszerzona","number":"5.2","points":1,"ptype":"closed","subject":"fizyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5.2. (0-1)\nDwa stalowe walce o jednakowych masach i długościach oraz różnych promieniach toczą się\npo tej samej poziomej powierzchni. Możesz przyjąć, że jednakowa masa wynika stąd, że\nwalec o większym promieniu jest wydrążony.\nZaznacz właściwe dokończenie zdania wybrane spośród A-C oraz jego poprawne\nuzasadnienie wybrane spośród 1.-3.\nDla walca o większym promieniu głębokość odkształcenia podłoża jest\nA. większa,\nponieważ\n1. ciśnienie wywierane przez walec na podłoże jest mniejsze.\nB. taka sama,\n2. masa toczącego się walca i jego ciężar się nie zmieniają.\nC. mniejsza,\n3. ciśnienie wywierane przez walec na podłoże jest większe.\nR\nT\nMFA_1R","answer":"C","answer_text":"Zadanie 5.2. (0-1)\nII. Analiza tekstów\npopularnonaukowych i ocena ich\ntreści.\n12.8. Zdający przedstawia własnymi słowami główne\ntezy poznanego artykułu popularnonaukowego […].\n3.6 (G). Zdający posługuje się pojęciem ciśnienia […].\nSchemat punktowania\n1 p. - zaznaczenie poprawnej odpowiedzi.\n0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.\nPoprawna odpowiedź\nC 1","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n**C 1** - dla walca o większym promieniu głębokość odkształcenia podłoża jest **mniejsza**, ponieważ **ciśnienie wywierane przez walec na podłoże jest mniejsze** (przy tej samej sile nacisku powierzchnia styku jest większa).\n\n## Sposób 1 - Model geometryczny odkształcenia plastycznego\n\n**Krok 1. Siła nacisku jest taka sama.**\n\nObie masy są równe \\(m\\), więc siła nacisku na podłoże:\n\\[F = mg = \\text{const}\\]\n\n**Krok 2. Geometria styku: walec wprasowuje się w podłoże.**\n\nWalec o promieniu \\(R\\) wprasowuje się na głębokość \\(\\delta\\). Z geometrii koła (małe odkształcenia \\(\\delta \\ll R\\)) szerokość połówkowa pasa styku wynosi:\n\\[a = \\sqrt{2R\\delta}\\]\n\nDługość walca \\(L\\) jest taka sama dla obu. Powierzchnia styku:\n\\[A_{\\text{styku}} = 2aL = 2L\\sqrt{2R\\delta}\\]\n\n**Krok 3. Model plastyczny - granica twardości.**\n\nPodłoże ulega odkształceniu, gdy nacisk przekroczy jego twardość \\(H\\) (siła na jednostkę powierzchni materiału):\n\\[p = \\frac{F}{A_{\\text{styku}}} = H \\quad \\Rightarrow \\quad A_{\\text{styku}} = \\frac{F}{H} = \\frac{mg}{H}\\]\n\nDla obu walców: \\(m\\), \\(g\\), \\(H\\) (ten sam materiał podłoża) - identyczne. Zatem:\n\\[\\boxed{A_{\\text{styku}} = \\text{const}} \\quad \\Rightarrow \\quad 2aL = \\text{const} \\quad \\Rightarrow \\quad a = \\text{const}\\]\n\n**Krok 4. Głębokość odkształcenia zależy odwrotnie od \\(R\\).**\n\nZ \\(a = \\sqrt{2R\\delta}\\) i \\(a = \\text{const}\\):\n\\[\\delta = \\frac{a^2}{2R}\\]\n\nSkoro \\(a^2 = \\text{const}\\) i \\(R_{\\text{duży}} > R_{\\text{mały}}\\):\n\\[\\delta_{\\text{duży}} = \\frac{a^2}{2R_{\\text{duży}}} < \\frac{a^2}{2R_{\\text{mały}}} = \\delta_{\\text{mały}}\\]\n\n**Walec o większym promieniu odkształca podłoże płycej.**\n\n## Sposób 2 - Rozumowanie przez ciśnienie (intuicja fizyczna)\n\n| Wielkość | Walec mały \\(R_1\\) | Walec duży \\(R_2 > R_1\\) |\n| Masa \\(m\\) | \\(m\\) | \\(m\\) (wydrążony = ta sama masa) |\n| Siła nacisku \\(F = mg\\) | \\(mg\\) | \\(mg\\) |\n| Promień | \\(R_1\\) | \\(R_2 > R_1\\) |\n| Pas styku z podłożem | wąski | szeroki |\n| Ciśnienie \\(p = F/A\\) | **większe** | **mniejsze** |\n| Odkształcenie głębokości | **głębsze** | **płytsze** |\n\nFizyczna intuicja: walec o większym promieniu \"leży\" na podłożu jak szeroka stopa - rozkłada tę samą siłę na większą powierzchnię → mniejszy nacisk powierzchniowy → mniejsze ugięcie podłoża.\n\nAnalogia: igła (mały „promień\") vs. szeroka podeszwa buta - ta sama waga, ale igła zagłębia się nieporównanie bardziej.\n\n## Sposób 3 - Weryfikacja przez teorię Hertza (kontakt elastyczny)\n\nTeoria Hertza dla walca na płaskim podłożu daje:\n\\[a = \\sqrt{\\frac{4FR}{\\pi E^* L}}, \\qquad \\delta = \\frac{a^2}{2R} = \\frac{2F}{\\pi E^* L}\\]\n\ngdzie \\(E^*\\) to zredukowany moduł sprężystości.\n\nWynik: **\\(\\delta\\) nie zależy od \\(R\\)** - w modelu czysto elastycznym głębokość byłaby jednakowa. Jednak w rzeczywistości podłoże ulega trwałemu (plastycznemu) odkształceniu przy toczeniu - stosuje się model plastyczny (Sposób 1), który daje \\(\\delta \\propto 1/R\\), odpowiedź B.\n\n> **Uwaga metodyczna:** Wynik Hertza (\\(\\delta = \\text{const}\\)) jest granicznym przypadkiem dla idealnie sprężystego podłoża. Zadanie maturalne dotyczy odkształcenia podłoża przy toczeniu, co jest odkształceniem trwałym - model plastyczny (Sposób 1) jest tu właściwy i daje B - mniejsza.\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> 📋 **Zasady oceniania CKE (zadanie 5.2, 0-1 pkt):**\n> - **1 pkt** - zaznaczenie poprawnej odpowiedzi\n> - **0 pkt** - brak spełnienia powyższego kryterium\n>\n> **Poprawna odpowiedź CKE:** C 1 (głębokość odkształcenia jest mniejsza, ponieważ ciśnienie wywierane przez walec na podłoże jest mniejsze).\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\nW tym zadaniu nie korzystamy bezpośrednio z karty wzorów CKE. Kluczowe jest:\n- znajomość definicji ciśnienia \\(p = F/A\\)\n- geometria koła (wzór na strzałkę: \\(a \\approx \\sqrt{2R\\delta}\\))\n- rozumowanie proporcjonalne\n\n> 📖 Powiązanie z kartą: sekcja fizyki - definicja ciśnienia i równanie sił. Wzór \\(p = F/A\\) wystarczy do skonstruowania całego rozumowania.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Wariant | Typowy błąd |\n| **A - większa** | Uczeń myli masę z gęstością lub zakłada, że wydrążony walec jest lżejszy. Błąd: masy są równe (treść mówi o wydrążeniu), więc siła nacisku identyczna; większy promień daje mniejszy nacisk i płytsze odkształcenie. |\n| **B - taka sama** | Uczeń stosuje model Hertza (elastyczny) lub upraszcza: \"ta sama masa → to samo odkształcenie\". Błąd: ignoruje efekt geometrii - przy trwałym odkształceniu głębokość ZALEŻY od promienia jako \\(\\delta = a^2/(2R)\\), a przy stałym \\(a\\) gdy rośnie \\(R\\) → maleje \\(\\delta\\). |\n\n**Do uzasadnień 2 i 3 (dystraktory):**\n\n| Uzasadnienie | Dlaczego błędne |\n| **2** - „masa i ciężar się nie zmieniają\" | Prawdziwe, ale nie wyjaśnia, dlaczego głębokość jest mniejsza - pomija kluczowy efekt mniejszego ciśnienia. |\n| **3** - „ciśnienie jest większe\" | Odwrotnie niż w rzeczywistości: większy promień daje większą powierzchnię styku, więc ciśnienie jest **mniejsze**, nie większe. |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Walec wydrążony ma TAKĄ SAMĄ masę - treść zadania to explicite stwierdza. Nie wolno zakładać, że \"wydrążony = lżejszy\"!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \"Większy promień → większa powierzchnia styku\" to PRAWDA, ale samo to nie kończy rozumowania. Trzeba doprowadzić do \\(\\delta = a^2/(2R)\\) i pokazać, że \\(\\delta\\) maleje z \\(R\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić odkształcenia podłoża (głębokość \\(\\delta\\)) z szerokością pasa styku (\\(a\\)). Szerokość \\(a\\) przy tym samym nacisku jest taka sama, ale głębokość \\(\\delta = a^2/(2R)\\) - mniejsza dla większego \\(R\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Połączenie \"wydrążony\" + \"większy promień\" to pułapka na uczniów, którzy myślą o momencie bezwładności \\(I = \\frac{1}{2}mR^2\\) (pełny) vs. \\(I \\approx mR^2\\) (wydrążony) - moment bezwładności tu NIE decyduje o głębokości odkształcenia podłoża, bo chodzi o siłę nacisku (statykę), nie dynamikę obrotu.","image":"img/fizyka-2016-maj-matura-rozszerzona/zad-5.2.webp","solution_image":null,"topics":"Bryła Sztywna","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 5.2. (0-1)
Dwa stalowe walce o jednakowych masach i długościach oraz różnych promieniach toczą się
po tej samej poziomej powierzchni. Możesz przyjąć, że jednakowa masa wynika stąd, że
walec o większym promieniu jest wydrążony.
Zaznacz właściwe dokończenie zdania wybrane spośród A-C oraz jego poprawne
uzasadnienie wybrane spośród 1.-3.
Dla walca o większym promieniu głębokość odkształcenia podłoża jest
A. większa,
ponieważ

\n
  1. ciśnienie wywierane przez walec na podłoże jest mniejsze.
\n

B. taka sama,

\n
  1. masa toczącego się walca i jego ciężar się nie zmieniają.
\n

C. mniejsza,

\n
  1. ciśnienie wywierane przez walec na podłoże jest większe.
\n

R
T
MFA_1R

","answer_text_html":"

Zadanie 5.2. (0-1)
II. Analiza tekstów
popularnonaukowych i ocena ich
treści.
12.8. Zdający przedstawia własnymi słowami główne
tezy poznanego artykułu popularnonaukowego […].
3.6 (G). Zdający posługuje się pojęciem ciśnienia […].
Schemat punktowania
1 p. - zaznaczenie poprawnej odpowiedzi.
0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.
Poprawna odpowiedź
C 1

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n

C 1 - dla walca o większym promieniu głębokość odkształcenia podłoża jest mniejsza, ponieważ ciśnienie wywierane przez walec na podłoże jest mniejsze (przy tej samej sile nacisku powierzchnia styku jest większa).

\n

Sposób 1 - Model geometryczny odkształcenia plastycznego

\n

Krok 1. Siła nacisku jest taka sama.

\n

Obie masy są równe m, więc siła nacisku na podłoże:

\n
F=mg=const
\n

Krok 2. Geometria styku: walec wprasowuje się w podłoże.

\n

Walec o promieniu R wprasowuje się na głębokość δ. Z geometrii koła (małe odkształcenia δ≪R) szerokość połówkowa pasa styku wynosi:

\n
a=2Rδ
\n

Długość walca L jest taka sama dla obu. Powierzchnia styku:

\n
Astyku=2aL=2L2Rδ
\n

Krok 3. Model plastyczny - granica twardości.

\n

Podłoże ulega odkształceniu, gdy nacisk przekroczy jego twardość H (siła na jednostkę powierzchni materiału):

\n
p=FAstyku=H⇒Astyku=FH=mgH
\n

Dla obu walców: m, g, H (ten sam materiał podłoża) - identyczne. Zatem:

\n
Astyku=const⇒2aL=const⇒a=const
\n

Krok 4. Głębokość odkształcenia zależy odwrotnie od R.

\n

Z a=2Rδ i a=const:

\n
δ=a22R
\n

Skoro a2=const i Rduży>Rmały:

\n
δduży=a22Rduży<a22Rmały=δmały
\n

Walec o większym promieniu odkształca podłoże płycej.

\n

Sposób 2 - Rozumowanie przez ciśnienie (intuicja fizyczna)

\n

| Wielkość | Walec mały R1 | Walec duży R2>R1 |
| Masa m | m | m (wydrążony = ta sama masa) |
| Siła nacisku F=mg | mg | mg |
| Promień | R1 | R2>R1 |
| Pas styku z podłożem | wąski | szeroki |
| Ciśnienie p=F/A | większe | mniejsze |
| Odkształcenie głębokości | głębsze | płytsze |

\n

Fizyczna intuicja: walec o większym promieniu "leży" na podłożu jak szeroka stopa - rozkłada tę samą siłę na większą powierzchnię → mniejszy nacisk powierzchniowy → mniejsze ugięcie podłoża.

\n

Analogia: igła (mały „promień") vs. szeroka podeszwa buta - ta sama waga, ale igła zagłębia się nieporównanie bardziej.

\n

Sposób 3 - Weryfikacja przez teorię Hertza (kontakt elastyczny)

\n

Teoria Hertza dla walca na płaskim podłożu daje:

\n
a=4FRπE*L,δ=a22R=2FπE*L
\n

gdzie E* to zredukowany moduł sprężystości.

\n

Wynik: δ nie zależy od R - w modelu czysto elastycznym głębokość byłaby jednakowa. Jednak w rzeczywistości podłoże ulega trwałemu (plastycznemu) odkształceniu przy toczeniu - stosuje się model plastyczny (Sposób 1), który daje δ∝1/R, odpowiedź B.

\n
Uwaga metodyczna: Wynik Hertza (δ=const) jest granicznym przypadkiem dla idealnie sprężystego podłoża. Zadanie maturalne dotyczy odkształcenia podłoża przy toczeniu, co jest odkształceniem trwałym - model plastyczny (Sposób 1) jest tu właściwy i daje B - mniejsza.
\n

Schemat oceniania CKE

\n
📋 Zasady oceniania CKE (zadanie 5.2, 0-1 pkt):
- 1 pkt - zaznaczenie poprawnej odpowiedzi
- 0 pkt - brak spełnienia powyższego kryterium

Poprawna odpowiedź CKE: C 1 (głębokość odkształcenia jest mniejsza, ponieważ ciśnienie wywierane przez walec na podłoże jest mniejsze).
\n

Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć

\n

W tym zadaniu nie korzystamy bezpośrednio z karty wzorów CKE. Kluczowe jest:

\n\n
📖 Powiązanie z kartą: sekcja fizyki - definicja ciśnienia i równanie sił. Wzór p=F/A wystarczy do skonstruowania całego rozumowania.
\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Wariant | Typowy błąd |
| A - większa | Uczeń myli masę z gęstością lub zakłada, że wydrążony walec jest lżejszy. Błąd: masy są równe (treść mówi o wydrążeniu), więc siła nacisku identyczna; większy promień daje mniejszy nacisk i płytsze odkształcenie. |
| B - taka sama | Uczeń stosuje model Hertza (elastyczny) lub upraszcza: "ta sama masa → to samo odkształcenie". Błąd: ignoruje efekt geometrii - przy trwałym odkształceniu głębokość ZALEŻY od promienia jako δ=a2/(2R), a przy stałym a gdy rośnie R → maleje δ. |

\n

Do uzasadnień 2 i 3 (dystraktory):

\n

| Uzasadnienie | Dlaczego błędne |
| 2 - „masa i ciężar się nie zmieniają" | Prawdziwe, ale nie wyjaśnia, dlaczego głębokość jest mniejsza - pomija kluczowy efekt mniejszego ciśnienia. |
| 3 - „ciśnienie jest większe" | Odwrotnie niż w rzeczywistości: większy promień daje większą powierzchnię styku, więc ciśnienie jest mniejsze, nie większe. |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Walec wydrążony ma TAKĄ SAMĄ masę - treść zadania to explicite stwierdza. Nie wolno zakładać, że "wydrążony = lżejszy"!
\n
⚠️ Uwaga: "Większy promień → większa powierzchnia styku" to PRAWDA, ale samo to nie kończy rozumowania. Trzeba doprowadzić do δ=a2/(2R) i pokazać, że δ maleje z R.
\n
⚠️ Uwaga: Nie mylić odkształcenia podłoża (głębokość δ) z szerokością pasa styku (a). Szerokość a przy tym samym nacisku jest taka sama, ale głębokość δ=a2/(2R) - mniejsza dla większego R!
\n
⚠️ Uwaga: Połączenie "wydrążony" + "większy promień" to pułapka na uczniów, którzy myślą o momencie bezwładności I=12mR2 (pełny) vs. I≈mR2 (wydrążony) - moment bezwładności tu NIE decyduje o głębokości odkształcenia podłoża, bo chodzi o siłę nacisku (statykę), nie dynamikę obrotu.
"}]}