{"id":"fizyka-2016-maj-matura-rozszerzona/zad/8.2","paper_id":"fizyka-2016-maj-matura-rozszerzona","number":"8.2","points":1,"ptype":"closed","subject":"fizyka","category":"matura","year":2016,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8.2. (0-1)\nW trakcie wykonywania doświadczenia wraz z upływem czasu powoli zmniejszała się ilość\npiasku w naczyniu (patrz rysunek poniżej).\nZaznacz właściwe dokończenie zdania wybrane spośród A-C oraz jego poprawne\nuzasadnienie wybrane spośród 1.-3.\nZ powodu zmniejszania się ilości piasku w naczyniu okres drgań wahadła\nA. maleje,\nponieważ\n1. obniża się środek masy wahadła.\nB. się nie zmienia,\n2. okres nie zależy od masy wahadła.\nC. rośnie,\n3. maleje amplituda drgań wahadła.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 8.2. (0-1)\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci\ntekstu […] i rysunków.\n6.1. Zdający analizuje ruch pod wpływem sił\nsprężystych (harmonicznych) […].\nSchemat punktowania\n1 p. - zaznaczenie poprawnej odpowiedzi.\n0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.\nPoprawna odpowiedź\nC 1","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n**C 1** - Okres drgań wahadła **rośnie**, ponieważ **obniża się środek masy wahadła** (środek masy oddala się od osi obrotu, więc efektywna długość wahadła rośnie).\n\n## Sposób 1 - Analiza ruchu środka masy w stożkowym naczyniu\n\n**Kluczowy wzór na okres wahadła fizycznego:**\n\n\\[T = 2\\pi\\sqrt{\\frac{L_\\text{eff}}{g}}\\]\n\ngdzie \\(L_\\text{eff}\\) to odległość od punktu zawieszenia do środka masy układu.\n\n**Geometria naczynia:**\n\nNaczynie to stożek z **otworem u dołu** (wierzchołek stożka skierowany w dół). Piasek wysypuje się przez ten otwór. Szeroka podstawa stożka jest u góry - tam zamocowany jest punkt zawieszenia wahadła.\n\nOznaczmy:\n- \\(H\\) - pełna wysokość stożka (od podstawy u góry do wierzchołka u dołu)\n- \\(h\\) - aktualny poziom piasku liczony od **wierzchołka** (dołu)\n- \\(r\\) - odległość środka masy piasku od **punktu zawieszenia** (góry)\n\n**Wyprowadzenie położenia środka masy:**\n\nDla stożka z wierzchołkiem u dołu, piasek wypełnia go od wierzchołka do wysokości \\(h\\). Element objętości na wysokości \\(z\\) od wierzchołka:\n\n\\[dV = \\pi \\left(\\frac{R \\cdot z}{H}\\right)^2 dz\\]\n\nŚrodek masy piasku od wierzchołka:\n\n\\[\\bar{z} = \\frac{\\int_0^h z \\cdot z^2\\, dz}{\\int_0^h z^2\\, dz} = \\frac{h^4/4}{h^3/3} = \\frac{3h}{4}\\]\n\nOdległość środka masy piasku od **punktu zawieszenia** (góry):\n\n\\[L_\\text{eff}(h) = H - \\frac{3h}{4}\\]\n\n**Zmiana podczas wysypywania piasku:**\n\nGdy piasek wypływa, poziom \\(h\\) **maleje** (\\(h \\searrow 0\\)):\n\n\\[L_\\text{eff}(h) = H - \\frac{3h}{4} \\quad \\xrightarrow{h \\searrow 0} \\quad H\\]\n\n\\(L_\\text{eff}\\) **rośnie** - środek masy oddala się od punktu zawieszenia.\n\nZatem:\n\n\\[\\boxed{T = 2\\pi\\sqrt{\\frac{L_\\text{eff}}{g}} \\quad \\nearrow \\quad \\text{okres rośnie}}\\]\n\n**Graniczne przypadki - sprawdzenie:**\n\n| Stan naczynia | Poziom piasku \\(h\\) | \\(L_\\text{eff} = H - \\tfrac{3h}{4}\\) | Okres \\(T\\) |\n| Pełne | \\(h = H\\) | \\(H - \\tfrac{3H}{4} = \\tfrac{H}{4}\\) | najmniejszy |\n| Półpuste | \\(h = H/2\\) | \\(H - \\tfrac{3H}{8} = \\tfrac{5H}{8}\\) | większy |\n| Puste (sam pojemnik) | \\(h = 0\\) | \\(\\approx H\\) | największy |\n\nŚrodek masy wędruje z \\(\\tfrac{H}{4}\\) od góry (stan pełny) do prawie \\(H\\) od góry (prawie puste) - **coraz niżej, coraz dalej od osi obrotu**.\n\n## Sposób 2 - Intuicja geometryczna: gdzie jest środek masy stożka?\n\n**Fakt geometryczny:** Środek masy bryły stożkowej leży w \\(\\tfrac{3}{4}\\) wysokości od wierzchołka (\\(\\tfrac{1}{4}\\) od podstawy).\n\nKiedy stożek jest **pełny**:\n- piasek wypełnia cały stożek\n- środek masy piasku = \\(\\tfrac{3}{4}H\\) od wierzchołka (dołu) = **\\(\\tfrac{1}{4}H\\) od podstawy (góry)**\n- jest blisko punktu zawieszenia → wahadło \"krótkie\" → mały \\(T\\)\n\nKiedy zostaje mało piasku (mały stożek przy wierzchołku):\n- piasek jest skupiony przy **wierzchołku (dole)**\n- środek masy piasku jest blisko **dołu naczynia**\n- jest daleko od punktu zawieszenia → wahadło \"długie\" → duży \\(T\\)\n\n> **Kluczowy wniosek:** Wysypujący się piasek \"odprowadza\" masę z górnej (szerokiej) do dolnej (wąskiej) części stożka - środek masy całego układu wędruje w dół.\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> 📋 **Zasady oceniania CKE (zadanie 8.2, 0-1 pkt):**\n> - **1 pkt** - zaznaczenie poprawnej odpowiedzi\n> - **0 pkt** - brak spełnienia powyższego kryterium\n>\n> **Poprawna odpowiedź CKE:** C 1 (okres drgań rośnie, ponieważ obniża się środek masy wahadła).\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja Fizyka (str. 16-17): Ruch drgający / Wahadło:**\n>\n> \\[T = 2\\pi\\sqrt{\\frac{L}{g}}\\]\n>\n> Wzór na okres drgań wahadła matematycznego - dla wahadła fizycznego analogicznie, gdzie \\(L\\) zastępujemy odległością od osi obrotu do środka masy.\n> Użyliśmy w obu Sposobach: jak \\(L_\\text{eff}\\) rośnie → \\(T\\) rośnie proporcjonalnie do \\(\\sqrt{L_\\text{eff}}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Kombinacja | Błędne rozumowanie |\n| **A** (*maleje*) | Uczeń sądzi, że ubytek piasku skraca wahadło. Błąd: środek masy obniża się (oddala od osi), więc efektywna długość rośnie, a nie maleje. |\n| **B** (*się nie zmienia*) | Uczeń zakłada, że to proste wahadło matematyczne ze stałą długością sznurka - pomija zmianę rozkładu masy w stożkowym naczyniu. |\n| **uzas. 2** (*okres nie zależy od masy*) | Prawdziwe stwierdzenie, ale nie wyjaśnia zmiany okresu - okres zmienia się przez przesunięcie środka masy, nie przez ubytek masy. |\n| **uzas. 3** (*maleje amplituda*) | Amplituda nie wpływa na okres wahadła (dla małych kątów) - to dystraktor bez związku z odpowiedzią. |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Pułapka 1 - masa a okres:** Wzór \\(T = 2\\pi\\sqrt{L/g}\\) NIE zawiera masy! Zmniejszanie się masy piasku samo w sobie NIE zmienia okresu - liczy się tylko \\(L_\\text{eff}\\) (środek masy).\n\n> ⚠️ **Pułapka 2 - kierunek ruchu środka masy:** Uczniowie intuicyjnie sądzą, że \"ubywa masy z dołu, więc środek masy idzie w górę\". Ale właśnie tam (w wąskiej, dolnej części stożka) jest MNIEJ masy w przeliczeniu na jednostkę wysokości - środek masy pełnego stożka jest w 1/4 wysokości od góry (niemal na górze!). Gdy górna część się opróżnia, środek masy siłą rzeczy schodzi w dół.\n\n> ⚠️ **Pułapka 3 - stożek vs walec:** W walcowym naczyniu środek masy byłby zawsze dokładnie w połowie wysokości słupa piasku - bez zmiany. To właśnie **stożkowy** kształt powoduje, że środek masy nie zmienia się proporcjonalnie liniowo z ilością piasku!","image":"img/fizyka-2016-maj-matura-rozszerzona/zad-8.2.webp","solution_image":null,"topics":"Ruch harmoniczny","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2016 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 8.2. (0-1)
W trakcie wykonywania doświadczenia wraz z upływem czasu powoli zmniejszała się ilość
piasku w naczyniu (patrz rysunek poniżej).
Zaznacz właściwe dokończenie zdania wybrane spośród A-C oraz jego poprawne
uzasadnienie wybrane spośród 1.-3.
Z powodu zmniejszania się ilości piasku w naczyniu okres drgań wahadła
A. maleje,
ponieważ

\n
  1. obniża się środek masy wahadła.
\n

B. się nie zmienia,

\n
  1. okres nie zależy od masy wahadła.
\n

C. rośnie,

\n
  1. maleje amplituda drgań wahadła.
","answer_text_html":"

Zadanie 8.2. (0-1)
III. Wykorzystanie i przetwarzanie
informacji zapisanych w postaci
tekstu […] i rysunków.
6.1. Zdający analizuje ruch pod wpływem sił
sprężystych (harmonicznych) […].
Schemat punktowania
1 p. - zaznaczenie poprawnej odpowiedzi.
0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.
Poprawna odpowiedź
C 1

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n

C 1 - Okres drgań wahadła rośnie, ponieważ obniża się środek masy wahadła (środek masy oddala się od osi obrotu, więc efektywna długość wahadła rośnie).

\n

Sposób 1 - Analiza ruchu środka masy w stożkowym naczyniu

\n

Kluczowy wzór na okres wahadła fizycznego:

\n
T=2πLeffg
\n

gdzie Leff to odległość od punktu zawieszenia do środka masy układu.

\n

Geometria naczynia:

\n

Naczynie to stożek z otworem u dołu (wierzchołek stożka skierowany w dół). Piasek wysypuje się przez ten otwór. Szeroka podstawa stożka jest u góry - tam zamocowany jest punkt zawieszenia wahadła.

\n

Oznaczmy:

\n\n

Wyprowadzenie położenia środka masy:

\n

Dla stożka z wierzchołkiem u dołu, piasek wypełnia go od wierzchołka do wysokości h. Element objętości na wysokości z od wierzchołka:

\n
dV=π(R·zH)2dz
\n

Środek masy piasku od wierzchołka:

\n
z¯=∫0hz·z2dz∫0hz2dz=h4/4h3/3=3h4
\n

Odległość środka masy piasku od punktu zawieszenia (góry):

\n
Leff(h)=H−3h4
\n

Zmiana podczas wysypywania piasku:

\n

Gdy piasek wypływa, poziom h maleje (h↘0):

\n
Leff(h)=H−3h4→h↘0H
\n

Leff rośnie - środek masy oddala się od punktu zawieszenia.

\n

Zatem:

\n
T=2πLeffg↗okres rośnie
\n

Graniczne przypadki - sprawdzenie:

\n

| Stan naczynia | Poziom piasku h | Leff=H−3h4 | Okres T |
| Pełne | h=H | H−3H4=H4 | najmniejszy |
| Półpuste | h=H/2 | H−3H8=5H8 | większy |
| Puste (sam pojemnik) | h=0 | ≈H | największy |

\n

Środek masy wędruje z H4 od góry (stan pełny) do prawie H od góry (prawie puste) - coraz niżej, coraz dalej od osi obrotu.

\n

Sposób 2 - Intuicja geometryczna: gdzie jest środek masy stożka?

\n

Fakt geometryczny: Środek masy bryły stożkowej leży w 34 wysokości od wierzchołka (14 od podstawy).

\n

Kiedy stożek jest pełny:

\n\n

Kiedy zostaje mało piasku (mały stożek przy wierzchołku):

\n\n
Kluczowy wniosek: Wysypujący się piasek "odprowadza" masę z górnej (szerokiej) do dolnej (wąskiej) części stożka - środek masy całego układu wędruje w dół.
\n

Schemat oceniania CKE

\n
📋 Zasady oceniania CKE (zadanie 8.2, 0-1 pkt):
- 1 pkt - zaznaczenie poprawnej odpowiedzi
- 0 pkt - brak spełnienia powyższego kryterium

Poprawna odpowiedź CKE: C 1 (okres drgań rośnie, ponieważ obniża się środek masy wahadła).
\n

Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć

\n
📖 Karta wzorów CKE - sekcja Fizyka (str. 16-17): Ruch drgający / Wahadło:

T=2πLg

Wzór na okres drgań wahadła matematycznego - dla wahadła fizycznego analogicznie, gdzie L zastępujemy odległością od osi obrotu do środka masy.
Użyliśmy w obu Sposobach: jak Leff rośnie → T rośnie proporcjonalnie do Leff.
\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Kombinacja | Błędne rozumowanie |
| A (maleje) | Uczeń sądzi, że ubytek piasku skraca wahadło. Błąd: środek masy obniża się (oddala od osi), więc efektywna długość rośnie, a nie maleje. |
| B (się nie zmienia) | Uczeń zakłada, że to proste wahadło matematyczne ze stałą długością sznurka - pomija zmianę rozkładu masy w stożkowym naczyniu. |
| uzas. 2 (okres nie zależy od masy) | Prawdziwe stwierdzenie, ale nie wyjaśnia zmiany okresu - okres zmienia się przez przesunięcie środka masy, nie przez ubytek masy. |
| uzas. 3 (maleje amplituda) | Amplituda nie wpływa na okres wahadła (dla małych kątów) - to dystraktor bez związku z odpowiedzią. |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Pułapka 1 - masa a okres: Wzór T=2πL/g NIE zawiera masy! Zmniejszanie się masy piasku samo w sobie NIE zmienia okresu - liczy się tylko Leff (środek masy).
\n
⚠️ Pułapka 2 - kierunek ruchu środka masy: Uczniowie intuicyjnie sądzą, że "ubywa masy z dołu, więc środek masy idzie w górę". Ale właśnie tam (w wąskiej, dolnej części stożka) jest MNIEJ masy w przeliczeniu na jednostkę wysokości - środek masy pełnego stożka jest w 1/4 wysokości od góry (niemal na górze!). Gdy górna część się opróżnia, środek masy siłą rzeczy schodzi w dół.
\n
⚠️ Pułapka 3 - stożek vs walec: W walcowym naczyniu środek masy byłby zawsze dokładnie w połowie wysokości słupa piasku - bez zmiany. To właśnie stożkowy kształt powoduje, że środek masy nie zmienia się proporcjonalnie liniowo z ilością piasku!
"}]}