{"id":"fizyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad/1.3","paper_id":"fizyka-2017-maj-matura-rozszerzona","number":"1.3","points":3,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1.3. (0-3)\nW kolejnej próbie samochód, jadący z prędkością początkową 60\nkm\nh , rozpoczął hamowanie\nz opóźnieniem takim samym jak poprzednio i po przejechaniu 12 m uderzył w przeszkodę.\nOblicz, z jaką prędkością samochód uderzył w przeszkodę.\nMFA_1R","answer":null,"answer_text":"Zadanie 1.3. (0-3)\nWymagania ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Budowa prostych modeli\nfizycznych i matematycznych do opisu\nzjawisk.\n1.4) Zdający wykorzystuje związki pomiędzy\npołożeniem, prędkością i przyśpieszeniem\nw ruchu […] jednostajnie zmiennym\ndo obliczania parametrów ruchu.\nSchemat punktowania\n3 p. - prawidłowa metoda rozwiązania i prawidłowy wynik liczbowy z jednostką.\n2 p. - prawidłowa metoda prowadząca do wyznaczenia prędkości końcowej oraz uzyskanie\nprawidłowego wzoru na tę prędkość końcową pozwalającego na bezpośrednie\nuzyskanie wyniku z danych.\n1 p. - prawidłowa metoda prowadząca do wyznaczenia prędkości końcowej (zapisanie\nniezbędnych równań).\n0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPrzykładowe rozwiązanie\nWykorzystujemy wzór z wyeliminowanym czasem, wyprowadzony z równań ruchu\njednostajnie opóźnionego prostoliniowego:\nݏ= ݒ଴ݐ-ܽ\nݐଶ\n2 oraz ݒ௞= ݒ଴-ܽݐ → ݏ= ݒ଴∙ݒ଴-ݒ௞ܽ-(ݒ଴-ݒ௞)ଶ\n2ܽ\n= ݒ଴\nଶ- ݒ௞\nଶ\n2\nStosujemy wyprowadzony wzór łącznie z identyfikacją prędkości początkowej oraz końcowej\ndla przypadku drugiej próby hamowania:\nݒ଴ଶ\nଶ- ݒ௞ଶ\nଶ= 2ܽݏ oraz ݒ௞ଶ- szukana prędkość końcowa, ݒ଴ଶ= 60 km\nh\nPonieważ hamowanie w próbie opisanej w zadaniu 1.3. odbywa się na tej samej drodze\ni z tym samym opóźnieniem, co w próbie hamowania opisanej w zadaniu 1.1., to\nwyprowadzony wzór można zastosować dla pierwszej próby hamowania:\nݒ଴ଵ\nଶ- 0ଶ= 2ܽݏ oraz ݒ଴ଵ= 50 km\nh\nPrawe strony dwóch ostatnich równań (równe 2ܽݏ) są te same, zatem:\nݒ଴ଶ\nଶ- ݒ௞ଶ\nଶ= ݒ଴ଵ\nଶ- 0ଶ → ݒ௞ଶ= ටݒ଴ଶ\nଶ- ݒ଴ଵ\nଶ= 33,2 km\nh = 9,22 m\ns\nSamochód uderzy w przeszkodę z prędkością o wartości około 9,2\n୫\nୱ.","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\nPrędkość uderzenia w przeszkodę: **\\(v \\approx 9{,}3\\ \\text{m/s} \\approx 33\\ \\text{km/h}\\)**\n\n*(Obliczenia poniżej zakładają \\(a = 8\\ \\text{m/s}^2\\) z poprzedniego podzadania - podstaw swój wynik!)*\n\n## Sposób 1 - Równanie Torricellego (wzór kinematyczny bez czasu)\n\n**Dane:**\n\n| Wielkość | Wartość |\n| Prędkość początkowa \\(v_0\\) | \\(60\\ \\text{km/h} = \\dfrac{60}{3{,}6}\\ \\text{m/s} = \\dfrac{50}{3}\\ \\text{m/s} \\approx 16{,}67\\ \\text{m/s}\\) |\n| Opóźnienie \\(a\\) | \\(8\\ \\text{m/s}^2\\) *(z poprzedniego podzadania)* |\n| Droga hamowania \\(s\\) | \\(12\\ \\text{m}\\) |\n| Szukamy | \\(v = ?\\) |\n\n**Wzór:** Dla ruchu jednostajnie opóźnionego:\n\\[v^2 = v_0^2 - 2as\\]\n\n**Obliczenia:**\n\\[v^2 = \\left(\\frac{50}{3}\\right)^2 - 2 \\cdot 8 \\cdot 12 = \\frac{2500}{9} - 192 = \\frac{2500}{9} - \\frac{1728}{9} = \\frac{772}{9}\\ \\frac{\\text{m}^2}{\\text{s}^2}\\]\n\n\\[v = \\sqrt{\\frac{772}{9}} = \\frac{\\sqrt{772}}{3} \\approx \\frac{27{,}78}{3} \\approx \\boxed{9{,}26\\ \\text{m/s}}\\]\n\n**Przeliczenie:**\n\\[v \\approx 9{,}26 \\times 3{,}6 \\approx 33{,}3\\ \\text{km/h}\\]\n\n**Dlaczego wzór \\(v^2 = v_0^2 - 2as\\):** To wynik eliminacji czasu z dwóch podstawowych równań ruchu \\((v = v_0 - at)\\) i \\((s = v_0 t - \\frac{1}{2}at^2)\\). Gdy nie znamy czasu - jest to najkrótsza droga do odpowiedzi.\n\n## Sposób 2 - Zasada zachowania energii (metoda pracy i energii)\n\n**Myślenie energetyczne:** Siła hamowania \\(F = ma\\) wykonuje ujemną pracę na drodze \\(s = 12\\ \\text{m}\\), redukując energię kinetyczną samochodu.\n\n\\[W_{\\text{ham}} = \\Delta E_k\\]\n\\[F \\cdot s = \\frac{1}{2}mv_0^2 - \\frac{1}{2}mv^2\\]\n\\[m \\cdot a \\cdot s = \\frac{1}{2}m\\left(v_0^2 - v^2\\right)\\]\n\nMasa samochodu \\(m\\) skraca się z obu stron:\n\\[2as = v_0^2 - v^2 \\quad \\Longrightarrow \\quad v^2 = v_0^2 - 2as\\]\n\nPodstawiając:\n\\[v^2 = \\frac{2500}{9} - 2 \\cdot 8 \\cdot 12 = \\frac{772}{9}\\]\n\\[v \\approx 9{,}26\\ \\text{m/s}\\]\n\n**Wniosek: Oba sposoby prowadzą do identycznego wzoru** - co jest pięknym potwierdzeniem spójności mechaniki. Sposób energetyczny jest szybki i nie wymaga zapamiętywania wzoru Torricellego - wywodzi się z fundamentalnej zasady.\n\n## Sposób 3 - Przez czas (dwa równania kinematyczne krok po kroku)\n\nDłuższa droga, ale pokazuje jak \"ugryźć\" problem bez wzoru Torricellego:\n\n**Krok 1: Wyznacz czas z \\(s = v_0 t - \\frac{1}{2}at^2\\):**\n\\[12 = \\frac{50}{3}\\,t - \\frac{1}{2} \\cdot 8 \\cdot t^2\\]\n\\[4t^2 - \\frac{50}{3}\\,t + 12 = 0 \\quad \\big|\\times \\frac{1}{4}\\big]\\]\n\\[t^2 - \\frac{25}{6}\\,t + 3 = 0\\]\n\nWyróżnik:\n\\[\\Delta = \\left(\\frac{25}{6}\\right)^2 - 4 \\cdot 3 = \\frac{625}{36} - \\frac{432}{36} = \\frac{193}{36}\\]\n\\[t = \\frac{\\dfrac{25}{6} \\pm \\dfrac{\\sqrt{193}}{6}}{2} = \\frac{25 \\pm \\sqrt{193}}{12}\\]\n\nDwa rozwiązania - wybieramy mniejsze (samochód uderza zanim się zatrzyma):\n\\[t_1 = \\frac{25 - \\sqrt{193}}{12} \\approx \\frac{25 - 13{,}89}{12} \\approx \\frac{11{,}11}{12} \\approx 0{,}926\\ \\text{s}\\ \\checkmark\\]\n\\[t_2 \\approx 3{,}24\\ \\text{s}\\ \\times \\text{(niefizyczny - samochód zawróciłby)}\\]\n\n**Krok 2: Oblicz prędkość z \\(v = v_0 - at\\):**\n\\[v = \\frac{50}{3} - 8 \\cdot 0{,}926 \\approx 16{,}67 - 7{,}41 \\approx 9{,}26\\ \\text{m/s}\\ \\checkmark\\]\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 1.3, max 3 pkt):**\n>\n> - **1 pkt** - uczeń prawidłowo zastosował wzór/metodę łączącą \\(v_0\\), \\(a\\), \\(s\\), \\(v\\) (np. zapisał \\(v^2 = v_0^2 - 2as\\) lub równoważny bilans energii)\n> - **1 pkt** - uczeń prawidłowo podstawił dane (w tym poprawna zamiana jednostek: \\(60\\ \\text{km/h} \\to \\text{m/s}\\)) i opóźnienie z poprzedniej części\n> - **1 pkt** - uczeń uzyskał poprawny wynik liczbowy z jednostką: \\(v \\approx 9{,}3\\ \\text{m/s}\\) (lub równoważnie \\(\\approx 33\\ \\text{km/h}\\))\n>\n> - **Akceptowane warianty:** Wynik może być wyrażony w m/s lub km/h; dopuszcza się zaokrąglenia zgodne z zasadami fizyki (2-3 cyfry znaczące).\n> - **Uwagi (orientacyjne):** ❌ Nie uznaje się odpowiedzi bez jednostki. ❌ Jeśli uczeń użył błędnego opóźnienia z poprzedniej części - sprawdzający może zastosować \"follow through\" (1 pkt za metodę, 0 za wynik).\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA, kinematyka:**\n> Wzór Torricellego:\n> \\[v^2 = v_0^2 - 2as\\]\n> Zasada zachowania energii / praca siły:\n> \\[W = \\Delta E_k = \\frac{1}{2}mv^2 - \\frac{1}{2}mv_0^2\\]\n>\n> **Zamiana jednostek:** \\(1\\ \\text{km/h} = \\dfrac{1}{3{,}6}\\ \\text{m/s}\\) - warto zapamiętać!\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zamiana jednostek! \\(60\\ \\text{km/h} \\neq 60\\ \\text{m/s}\\). Zawsze przeliczaj: \\(60\\ \\text{km/h} = \\frac{60}{3{,}6} = \\frac{50}{3} \\approx 16{,}67\\ \\text{m/s}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(v^2 = v_0^2 - 2as\\) daje \\(v^2\\), nie \\(v\\) - nie zapomnij spierwiastkować!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź, czy wynik jest mniejszy od \\(v_0 = 16{,}67\\ \\text{m/s}\\) - samochód **musi** uderzyć wolniej niż jechał. Jeśli wychodzi szybciej, masz błąd znaku przy \\(2as\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jeśli \\(v^2\\) wychodzi ujemne - samochód zatrzymałby się przed przeszkodą, więc zadanie byłoby niefizyczne. Tu \\(v^2 = \\frac{772}{9} > 0\\), co oznacza, że samochód rzeczywiście nie zdążył stanąć - poprawna interpretacja!","image":"img/fizyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad-1.3.webp","solution_image":null,"topics":"Kinematyka","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2017 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 1.3. (0-3)
W kolejnej próbie samochód, jadący z prędkością początkową 60
km
h , rozpoczął hamowanie
z opóźnieniem takim samym jak poprzednio i po przejechaniu 12 m uderzył w przeszkodę.
Oblicz, z jaką prędkością samochód uderzył w przeszkodę.
MFA_1R

","answer_text_html":"

Zadanie 1.3. (0-3)
Wymagania ogólne
Wymaganie szczegółowe
IV. Budowa prostych modeli
fizycznych i matematycznych do opisu
zjawisk.
1.4) Zdający wykorzystuje związki pomiędzy
położeniem, prędkością i przyśpieszeniem
w ruchu […] jednostajnie zmiennym
do obliczania parametrów ruchu.
Schemat punktowania
3 p. - prawidłowa metoda rozwiązania i prawidłowy wynik liczbowy z jednostką.
2 p. - prawidłowa metoda prowadząca do wyznaczenia prędkości końcowej oraz uzyskanie
prawidłowego wzoru na tę prędkość końcową pozwalającego na bezpośrednie
uzyskanie wyniku z danych.
1 p. - prawidłowa metoda prowadząca do wyznaczenia prędkości końcowej (zapisanie
niezbędnych równań).
0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.
Przykładowe rozwiązanie
Wykorzystujemy wzór z wyeliminowanym czasem, wyprowadzony z równań ruchu
jednostajnie opóźnionego prostoliniowego:
ݏ= ݒ଴ݐ-ܽ
ݐଶ
2 oraz ݒ௞= ݒ଴-ܽݐ → ݏ= ݒ଴∙ݒ଴-ݒ௞ܽ-(ݒ଴-ݒ௞)ଶ
2ܽ
= ݒ଴
ଶ- ݒ௞
ଶ
2
Stosujemy wyprowadzony wzór łącznie z identyfikacją prędkości początkowej oraz końcowej
dla przypadku drugiej próby hamowania:
ݒ଴ଶ
ଶ- ݒ௞ଶ
ଶ= 2ܽݏ oraz ݒ௞ଶ- szukana prędkość końcowa, ݒ଴ଶ= 60 km
h
Ponieważ hamowanie w próbie opisanej w zadaniu 1.3. odbywa się na tej samej drodze
i z tym samym opóźnieniem, co w próbie hamowania opisanej w zadaniu 1.1., to
wyprowadzony wzór można zastosować dla pierwszej próby hamowania:
ݒ଴ଵ
ଶ- 0ଶ= 2ܽݏ oraz ݒ଴ଵ= 50 km
h
Prawe strony dwóch ostatnich równań (równe 2ܽݏ) są te same, zatem:
ݒ଴ଶ
ଶ- ݒ௞ଶ
ଶ= ݒ଴ଵ
ଶ- 0ଶ → ݒ௞ଶ= ටݒ଴ଶ
ଶ- ݒ଴ଵ
ଶ= 33,2 km
h = 9,22 m
s
Samochód uderzy w przeszkodę z prędkością o wartości około 9,2
୫
ୱ.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n

Prędkość uderzenia w przeszkodę: v≈9,3 m/s≈33 km/h

\n

(Obliczenia poniżej zakładają a=8 m/s2 z poprzedniego podzadania - podstaw swój wynik!)

\n

Sposób 1 - Równanie Torricellego (wzór kinematyczny bez czasu)

\n

Dane:

\n

| Wielkość | Wartość |
| Prędkość początkowa v0 | 60 km/h=603,6 m/s=503 m/s≈16,67 m/s |
| Opóźnienie a | 8 m/s2 (z poprzedniego podzadania) |
| Droga hamowania s | 12 m |
| Szukamy | v=? |

\n

Wzór: Dla ruchu jednostajnie opóźnionego:

\n
v2=v02−2as
\n

Obliczenia:

\n
v2=(503)2−2·8·12=25009−192=25009−17289=7729 m2s2
\n
v=7729=7723≈27,783≈9,26 m/s
\n

Przeliczenie:

\n
v≈9,26×3,6≈33,3 km/h
\n

Dlaczego wzór v2=v02−2as: To wynik eliminacji czasu z dwóch podstawowych równań ruchu (v=v0−at) i (s=v0t−12at2). Gdy nie znamy czasu - jest to najkrótsza droga do odpowiedzi.

\n

Sposób 2 - Zasada zachowania energii (metoda pracy i energii)

\n

Myślenie energetyczne: Siła hamowania F=ma wykonuje ujemną pracę na drodze s=12 m, redukując energię kinetyczną samochodu.

\n
Wham=ΔEk
\n
F·s=12mv02−12mv2
\n
m·a·s=12m(v02−v2)
\n

Masa samochodu m skraca się z obu stron:

\n
2as=v02−v2⟹v2=v02−2as
\n

Podstawiając:

\n
v2=25009−2·8·12=7729
\n
v≈9,26 m/s
\n

Wniosek: Oba sposoby prowadzą do identycznego wzoru - co jest pięknym potwierdzeniem spójności mechaniki. Sposób energetyczny jest szybki i nie wymaga zapamiętywania wzoru Torricellego - wywodzi się z fundamentalnej zasady.

\n

Sposób 3 - Przez czas (dwa równania kinematyczne krok po kroku)

\n

Dłuższa droga, ale pokazuje jak "ugryźć" problem bez wzoru Torricellego:

\n

Krok 1: Wyznacz czas z s=v0t−12at2:

\n
12=503t−12·8·t2
\n
4t2−503t+12=0|×14]
\n
t2−256t+3=0
\n

Wyróżnik:

\n
Δ=(256)2−4·3=62536−43236=19336
\n
t=256±19362=25±19312
\n

Dwa rozwiązania - wybieramy mniejsze (samochód uderza zanim się zatrzyma):

\n
t1=25−19312≈25−13,8912≈11,1112≈0,926 s ✓
\n
t2≈3,24 s ×(niefizyczny - samochód zawróciłby)
\n

Krok 2: Oblicz prędkość z v=v0−at:

\n
v=503−8·0,926≈16,67−7,41≈9,26 m/s ✓
\n

Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)

\n
📋 Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 1.3, max 3 pkt):

- 1 pkt - uczeń prawidłowo zastosował wzór/metodę łączącą v0, a, s, v (np. zapisał v2=v02−2as lub równoważny bilans energii)
- 1 pkt - uczeń prawidłowo podstawił dane (w tym poprawna zamiana jednostek: 60 km/h→m/s) i opóźnienie z poprzedniej części
- 1 pkt - uczeń uzyskał poprawny wynik liczbowy z jednostką: v≈9,3 m/s (lub równoważnie ≈33 km/h)

- Akceptowane warianty: Wynik może być wyrażony w m/s lub km/h; dopuszcza się zaokrąglenia zgodne z zasadami fizyki (2-3 cyfry znaczące).
- Uwagi (orientacyjne): ❌ Nie uznaje się odpowiedzi bez jednostki. ❌ Jeśli uczeń użył błędnego opóźnienia z poprzedniej części - sprawdzający może zastosować "follow through" (1 pkt za metodę, 0 za wynik).
\n

Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć

\n
📖 Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA, kinematyka:
Wzór Torricellego:
v2=v02−2as
Zasada zachowania energii / praca siły:
W=ΔEk=12mv2−12mv02

Zamiana jednostek: 1 km/h=13,6 m/s - warto zapamiętać!
\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Zamiana jednostek! 60 km/h≠60 m/s. Zawsze przeliczaj: 60 km/h=603,6=503≈16,67 m/s.
\n
⚠️ Uwaga: Wzór v2=v02−2as daje v2, nie v - nie zapomnij spierwiastkować!
\n
⚠️ Uwaga: Sprawdź, czy wynik jest mniejszy od v0=16,67 m/s - samochód musi uderzyć wolniej niż jechał. Jeśli wychodzi szybciej, masz błąd znaku przy 2as.
\n
⚠️ Uwaga: Jeśli v2 wychodzi ujemne - samochód zatrzymałby się przed przeszkodą, więc zadanie byłoby niefizyczne. Tu v2=7729>0, co oznacza, że samochód rzeczywiście nie zdążył stanąć - poprawna interpretacja!
"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

vk2≈9,2 ms

"}]}