{"id":"fizyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad/13","paper_id":"fizyka-2017-maj-matura-rozszerzona","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"fizyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13. (0-1)\nNa poniższych rysunkach kropką zaznaczono trzy różne osie prostopadłe do płaszczyzny\nrysunku, wokół których może się obracać spinacz biurowy.\nZaznacz rysunek, na którym spinacz ma największy moment bezwładności względem\ndanej osi.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n11.1. 11.2. 12.1. 12.2.\n13.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\n2\n1\n1\nUzyskana liczba pkt\nA.\nB.\nC.\nMFA_1R","answer":"C","answer_text":"Zadanie 13. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Budowa prostych modeli\nfizycznych i matematycznych do opisu\nzjawisk.\n2.2) Zdający rozróżnia pojęcia: masa i moment\nbezwładności.\nSchemat punktowania\n1 p. - zaznaczenie poprawnej odpowiedzi.\n0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.\nPoprawna odpowiedź\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n**Rysunek C** - spinacz ma największy moment bezwładności względem osi przechodzącej przez koniec krótszej części (przeciwleglej do najcięższego, dłuższego końca spinacza).\n\n## Sposób 1 - Definicja momentu bezwładności i rozkład masy\n\nMoment bezwładności bryły względem danej osi:\n\n\\[\nI = \\sum_i m_i r_i^2\n\\]\n\nKluczowe: masa wchodzi z wagą **kwadratową** odległości \\(r_i^2\\). Im dalej masa od osi - tym drastycznie większy wkład.\n\nSpinacz biurowy modelujemy jako drut zgięty w kształt asymetryczny: **dłuższa zewnętrzna pętla** (więcej drutu = większa masa) jest skupiona po jednej stronie, a **krótsza wewnętrzna pętla** (mniej drutu = mniejsza masa) - po drugiej. Najwięcej masy znajduje się przy dłuższym końcu.\n\nMaksymalny moment bezwładności uzyskamy, gdy oś jest **jak najdalej od najcięższej części** - wtedy duża masa dłuższej pętli ma maksymalną odległość \\(r\\), a jej wkład \\(m r^2\\) jest największy.\n\n| Oś | Położenie osi | Odległość najcięższej (dłuższej) części od osi |\n| **A** | koniec dłuższego końca | mała - najcięższa część jest tuż przy osi |\n| **B** | środek spinacza | pośrednia - masa po obu stronach |\n| **C** | koniec krótszej części | **największa** - cała dłuższa, ciężka część jest po przeciwnej stronie, najdalej od osi |\n\n**Wniosek:** Oś C maksymalizuje \\(\\sum m_i r_i^2\\), bo najcięższy element (dłuższa pętla) jest od niej najdalej.\n\n## Sposób 2 - Twierdzenie Steinera (oś równoległa)\n\nTwierdzenie Steinera (oś równoległa):\n\n\\[\nI = I_{CM} + m d^2\n\\]\n\ngdzie \\(d\\) to odległość osi od środka masy spinacza.\n\n- Środek masy spinacza leży wewnątrz bryły, **przesunięty ku dłuższej (cięższej) części** (bo ma więcej materiału).\n- Oś **B** (przez środek) jest najbliżej CM → \\(d_B\\) najmniejsze → \\(I_B\\) najmniejsze.\n- Oś **A** (koniec dłuższego końca) leży po tej samej stronie co CM (CM jest przesunięty ku dłuższej części) → \\(d_A\\) jest stosunkowo małe.\n- Oś **C** (koniec krótszej części) jest po **przeciwnej** stronie niż CM → \\(d_C\\) jest **największe**.\n\n\\[\nd_C > d_A > d_B \\implies I_C > I_A > I_B\n\\]\n\n**Wniosek:** Oś C daje największy moment bezwładności.\n\n## Sposób 3 - Analogia z jednorodnym prętem\n\nJednorodny pręt długości \\(L\\):\n\n\\[\nI_{koniec} = \\frac{1}{3}mL^2 \\qquad I_{środek} = \\frac{1}{12}mL^2\n\\]\n\nStosunek: \\(I_{koniec}/I_{środek} = 4\\) - oś przy końcu daje **4 razy większy** moment niż oś przez środek!\n\nDla asymetrycznego spinacza maksimum nie wypada przy obu końcach jednakowo - decyduje, **gdzie jest skupiona masa**. Ponieważ najwięcej masy jest przy dłuższym końcu, oś po **przeciwnej** stronie (koniec krótszej części, czyli C) zapewnia tej masie największe ramię \\(r\\), a więc maksymalny wkład \\(m r^2\\).\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> 📋 **Schemat oceniania CKE (zadanie 13, max 1 pkt):**\n> - **1 pkt** - zaznaczenie poprawnej odpowiedzi: rysunek **C**\n> - **0 pkt** - brak spełnienia powyższego kryterium (zaznaczono A lub B, lub więcej niż jeden rysunek)\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja Fizyka, Mechanika:**\n>\n> Moment bezwładności: \\(I = \\sum m_i r_i^2\\)\n>\n> Twierdzenie Steinera: \\(I = I_0 + md^2\\)\n>\n> Oba wzory dostępne na karcie - w zadaniu egzaminacyjnym masz prawo z nich korzystać. Wystarczy **pamiętać co oznacza \\(r_i^2\\)** - kwadrat odległości każdego kawałka masy od osi.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Wariant | Typowy błąd |\n| **A** | Uczeń zakłada, że oś przy dłuższym końcu daje największy moment, bo ten koniec jest cięższy. Błąd: jeśli oś jest przy najcięższej części, to ta masa jest **blisko osi** (małe \\(r\\)), więc jej wkład \\(m r^2\\) jest mały. Cięższa masa powinna być jak najdalej od osi. |\n| **B** | Uczeń myli „środek geometryczny\" z „maksymalną równomiernością rozkładu\" i sądzi, że środkowa oś = największy moment. W rzeczywistości środkowa oś minimalizuje \\(I\\) (twierdzenie Steinera: \\(d=0\\) oznacza \\(I_{min}\\)). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd - intuicja „środek = symetria = maksimum\". Dla momentu bezwładności jest **odwrotnie**: środek to **minimum**!\n>\n> ⚠️ **Uwaga:** Efekt \\(r^2\\) jest drastyczny - podwojenie odległości masy od osi daje **czterokrotnie** większy wkład. Dlatego masa blisko osi prawie „nie liczy się\".\n>\n> ⚠️ **Uwaga:** Asymetria spinacza jest kluczowa - najcięższa (dłuższa) część powinna być jak **najdalej** od osi. Dlatego oś przy końcu **krótszej** części (C), po przeciwnej stronie niż skupiona masa, daje największy moment bezwładności.\n>\n> ⚠️ **Uwaga:** Twierdzenie Steinera \\(I = I_{CM} + md^2\\) działa tylko dla osi **równoległych** - tu wszystkie trzy osie są prostopadłe do płaszczyzny rysunku, więc są równoległe względem siebie. Twierdzenie stosuje się poprawnie.","image":"img/fizyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":"Bryła Sztywna","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2017 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 13. (0-1)<br>Na poniższych rysunkach kropką zaznaczono trzy różne osie prostopadłe do płaszczyzny<br>rysunku, wokół których może się obracać spinacz biurowy.<br>Zaznacz rysunek, na którym spinacz ma największy moment bezwładności względem<br>danej osi.<br>Wypełnia<br>egzaminator<br>Nr zadania<br>11.1. 11.2. 12.1. 12.2.<br>13.<br>Maks. liczba pkt<br>2<br>2<br>2<br>1<br>1<br>Uzyskana liczba pkt<br>A.<br>B.<br>C.<br>MFA_1R</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 13. (0-1)<br>Wymagania ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>IV. Budowa prostych modeli<br>fizycznych i matematycznych do opisu<br>zjawisk.<br>2.2) Zdający rozróżnia pojęcia: masa i moment<br>bezwładności.<br>Schemat punktowania<br>1 p. - zaznaczenie poprawnej odpowiedzi.<br>0 p. - brak spełnienia powyższego kryterium.<br>Poprawna odpowiedź<br>C</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź</h4>\n<p><strong>Rysunek C</strong> - spinacz ma największy moment bezwładności względem osi przechodzącej przez koniec krótszej części (przeciwleglej do najcięższego, dłuższego końca spinacza).</p>\n<h4>Sposób 1 - Definicja momentu bezwładności i rozkład masy</h4>\n<p>Moment bezwładności bryły względem danej osi:</p>\n<div class=\"math-block\"><math xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" display=\"block\"><mrow><mi>I</mi><mo>&#x0003D;</mo><munder><mo>&#x02211;</mo><mi>i</mi></munder><msub><mi>m</mi><mi>i</mi></msub><msubsup><mi>r</mi><mi>i</mi><mn>2</mn></msubsup></mrow></math></div>\n<p>Kluczowe: masa wchodzi z wagą <strong>kwadratową</strong> odległości <math xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" display=\"inline\"><mrow><msubsup><mi>r</mi><mi>i</mi><mn>2</mn></msubsup></mrow></math>. Im dalej masa od osi - tym drastycznie większy wkład.</p>\n<p>Spinacz biurowy modelujemy jako drut zgięty w kształt asymetryczny: <strong>dłuższa zewnętrzna pętla</strong> (więcej drutu = większa masa) jest skupiona po jednej stronie, a <strong>krótsza wewnętrzna pętla</strong> (mniej drutu = mniejsza masa) - po drugiej. Najwięcej masy znajduje się przy dłuższym końcu.</p>\n<p>Maksymalny moment bezwładności uzyskamy, gdy oś jest <strong>jak najdalej od najcięższej części</strong> - wtedy duża masa dłuższej pętli ma maksymalną odległość <math xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" display=\"inline\"><mrow><mi>r</mi></mrow></math>, a jej wkład <math xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" display=\"inline\"><mrow><mi>m</mi><msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup></mrow></math> jest największy.</p>\n<p>| Oś | Położenie osi | Odległość najcięższej (dłuższej) części od osi |<br>| <strong>A</strong> | koniec dłuższego końca | mała - najcięższa część jest tuż przy osi |<br>| <strong>B</strong> | środek spinacza | pośrednia - masa po obu stronach |<br>| <strong>C</strong> | koniec krótszej części | <strong>największa</strong> - cała dłuższa, ciężka część jest po przeciwnej stronie, najdalej od osi |</p>\n<p><strong>Wniosek:</strong> Oś C maksymalizuje <math xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" display=\"inline\"><mrow><mo>&#x02211;</mo><msub><mi>m</mi><mi>i</mi></msub><msubsup><mi>r</mi><mi>i</mi><mn>2</mn></msubsup></mrow></math>, bo najcięższy element (dłuższa pętla) jest od niej najdalej.</p>\n<h4>Sposób 2 - Twierdzenie Steinera (oś równoległa)</h4>\n<p>Twierdzenie Steinera (oś równoległa):</p>\n<div class=\"math-block\"><math xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" display=\"block\"><mrow><mi>I</mi><mo>&#x0003D;</mo><msub><mi>I</mi><mrow><mi>C</mi><mi>M</mi></mrow></msub><mo>&#x0002B;</mo><mi>m</mi><msup><mi>d</mi><mn>2</mn></msup></mrow></math></div>\n<p>gdzie <math xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" display=\"inline\"><mrow><mi>d</mi></mrow></math> to odległość osi od środka masy spinacza.</p>\n<ul><li>Środek masy spinacza leży wewnątrz bryły, <strong>przesunięty ku dłuższej (cięższej) części</strong> (bo ma więcej materiału).</li><li>Oś <strong>B</strong> (przez środek) jest najbliżej CM → <math xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" display=\"inline\"><mrow><msub><mi>d</mi><mi>B</mi></msub></mrow></math> najmniejsze → <math xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" display=\"inline\"><mrow><msub><mi>I</mi><mi>B</mi></msub></mrow></math> najmniejsze.</li><li>Oś <strong>A</strong> (koniec dłuższego końca) leży po tej samej stronie co CM (CM jest przesunięty ku dłuższej części) → <math xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" display=\"inline\"><mrow><msub><mi>d</mi><mi>A</mi></msub></mrow></math> jest stosunkowo małe.</li><li>Oś <strong>C</strong> (koniec krótszej części) jest po <strong>przeciwnej</strong> stronie niż CM → <math xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" display=\"inline\"><mrow><msub><mi>d</mi><mi>C</mi></msub></mrow></math> jest <strong>największe</strong>.</li></ul>\n<div class=\"math-block\"><math xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" display=\"block\"><mrow><msub><mi>d</mi><mi>C</mi></msub><mo>&#x0003E;</mo><msub><mi>d</mi><mi>A</mi></msub><mo>&#x0003E;</mo><msub><mi>d</mi><mi>B</mi></msub><mi>&#x027F9;</mi><msub><mi>I</mi><mi>C</mi></msub><mo>&#x0003E;</mo><msub><mi>I</mi><mi>A</mi></msub><mo>&#x0003E;</mo><msub><mi>I</mi><mi>B</mi></msub></mrow></math></div>\n<p><strong>Wniosek:</strong> Oś C daje największy moment bezwładności.</p>\n<h4>Sposób 3 - Analogia z jednorodnym prętem</h4>\n<p>Jednorodny pręt długości <math xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" display=\"inline\"><mrow><mi>L</mi></mrow></math>:</p>\n<div class=\"math-block\"><math xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" display=\"block\"><mrow><msub><mi>I</mi><mrow><mi>k</mi><mi>o</mi><mi>n</mi><mi>i</mi><mi>e</mi><mi>c</mi></mrow></msub><mo>&#x0003D;</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></mfrac><mi>m</mi><msup><mi>L</mi><mn>2</mn></msup><mspace width=\"2em\" /><msub><mi>I</mi><mrow><mi>ś</mi><mi>r</mi><mi>o</mi><mi>d</mi><mi>e</mi><mi>k</mi></mrow></msub><mo>&#x0003D;</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>12</mn></mrow></mfrac><mi>m</mi><msup><mi>L</mi><mn>2</mn></msup></mrow></math></div>\n<p>Stosunek: <math xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" display=\"inline\"><mrow><msub><mi>I</mi><mrow><mi>k</mi><mi>o</mi><mi>n</mi><mi>i</mi><mi>e</mi><mi>c</mi></mrow></msub><mo>&#x0002F;</mo><msub><mi>I</mi><mrow><mi>ś</mi><mi>r</mi><mi>o</mi><mi>d</mi><mi>e</mi><mi>k</mi></mrow></msub><mo>&#x0003D;</mo><mn>4</mn></mrow></math> - oś przy końcu daje <strong>4 razy większy</strong> moment niż oś przez środek!</p>\n<p>Dla asymetrycznego spinacza maksimum nie wypada przy obu końcach jednakowo - decyduje, <strong>gdzie jest skupiona masa</strong>. Ponieważ najwięcej masy jest przy dłuższym końcu, oś po <strong>przeciwnej</strong> stronie (koniec krótszej części, czyli C) zapewnia tej masie największe ramię <math xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" display=\"inline\"><mrow><mi>r</mi></mrow></math>, a więc maksymalny wkład <math xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" display=\"inline\"><mrow><mi>m</mi><msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup></mrow></math>.</p>\n<h4>Schemat oceniania CKE</h4>\n<blockquote>📋 <strong>Schemat oceniania CKE (zadanie 13, max 1 pkt):</strong><br>- <strong>1 pkt</strong> - zaznaczenie poprawnej odpowiedzi: rysunek <strong>C</strong><br>- <strong>0 pkt</strong> - brak spełnienia powyższego kryterium (zaznaczono A lub B, lub więcej niż jeden rysunek)</blockquote>\n<h4>Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć</h4>\n<blockquote>📖 <strong>Karta wzorów CKE - sekcja Fizyka, Mechanika:</strong><br><br>Moment bezwładności: <math xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" display=\"inline\"><mrow><mi>I</mi><mo>&#x0003D;</mo><mo>&#x02211;</mo><msub><mi>m</mi><mi>i</mi></msub><msubsup><mi>r</mi><mi>i</mi><mn>2</mn></msubsup></mrow></math><br><br>Twierdzenie Steinera: <math xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" display=\"inline\"><mrow><mi>I</mi><mo>&#x0003D;</mo><msub><mi>I</mi><mn>0</mn></msub><mo>&#x0002B;</mo><mi>m</mi><msup><mi>d</mi><mn>2</mn></msup></mrow></math><br><br>Oba wzory dostępne na karcie - w zadaniu egzaminacyjnym masz prawo z nich korzystać. Wystarczy <strong>pamiętać co oznacza <math xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" display=\"inline\"><mrow><msubsup><mi>r</mi><mi>i</mi><mn>2</mn></msubsup></mrow></math></strong> - kwadrat odległości każdego kawałka masy od osi.</blockquote>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Wariant | Typowy błąd |<br>| <strong>A</strong> | Uczeń zakłada, że oś przy dłuższym końcu daje największy moment, bo ten koniec jest cięższy. Błąd: jeśli oś jest przy najcięższej części, to ta masa jest <strong>blisko osi</strong> (małe <math xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" display=\"inline\"><mrow><mi>r</mi></mrow></math>), więc jej wkład <math xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" display=\"inline\"><mrow><mi>m</mi><msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup></mrow></math> jest mały. Cięższa masa powinna być jak najdalej od osi. |<br>| <strong>B</strong> | Uczeń myli „środek geometryczny&quot; z „maksymalną równomiernością rozkładu&quot; i sądzi, że środkowa oś = największy moment. W rzeczywistości środkowa oś minimalizuje <math xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" display=\"inline\"><mrow><mi>I</mi></mrow></math> (twierdzenie Steinera: <math xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" display=\"inline\"><mrow><mi>d</mi><mo>&#x0003D;</mo><mn>0</mn></mrow></math> oznacza <math xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" display=\"inline\"><mrow><msub><mi>I</mi><mrow><mi>m</mi><mi>i</mi><mi>n</mi></mrow></msub></mrow></math>). |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Najczęstszy błąd - intuicja „środek = symetria = maksimum&quot;. Dla momentu bezwładności jest <strong>odwrotnie</strong>: środek to <strong>minimum</strong>!<br><br>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Efekt <math xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" display=\"inline\"><mrow><msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup></mrow></math> jest drastyczny - podwojenie odległości masy od osi daje <strong>czterokrotnie</strong> większy wkład. Dlatego masa blisko osi prawie „nie liczy się&quot;.<br><br>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Asymetria spinacza jest kluczowa - najcięższa (dłuższa) część powinna być jak <strong>najdalej</strong> od osi. Dlatego oś przy końcu <strong>krótszej</strong> części (C), po przeciwnej stronie niż skupiona masa, daje największy moment bezwładności.<br><br>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Twierdzenie Steinera <math xmlns=\"http://www.w3.org/1998/Math/MathML\" display=\"inline\"><mrow><mi>I</mi><mo>&#x0003D;</mo><msub><mi>I</mi><mrow><mi>C</mi><mi>M</mi></mrow></msub><mo>&#x0002B;</mo><mi>m</mi><msup><mi>d</mi><mn>2</mn></msup></mrow></math> działa tylko dla osi <strong>równoległych</strong> - tu wszystkie trzy osie są prostopadłe do płaszczyzny rysunku, więc są równoległe względem siebie. Twierdzenie stosuje się poprawnie.</blockquote>"}]}