{"id":"fizyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad/14.2","paper_id":"fizyka-2017-maj-matura-rozszerzona","number":"14.2","points":2,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2017,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 14.2. (0-2)\nOszacuj wynikającą z pomiarów wartość składowej poziomej indukcji ziemskiego pola\nmagnetycznego.\nN\nS\nMFA_1R","answer":null,"answer_text":"Zadanie 14.2. (0-2)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nV. Planowanie i wykonywanie prostych\ndoświadczeń i analiza ich wyników.\nIV. Budowa prostych modeli\nfizycznych i matematycznych do opisu\nzjawisk.\n9.2) Zdający oblicza wektor indukcji\nmagnetycznej wytworzonej przez przewodniki\nz prądem ([…] pętla, zwojnica).\n12.7) Zdający szacuje wartość spodziewanego\nwyniku obliczeń, krytycznie analizuje\nrealność otrzymanego wyniku.\nSchemat punktowania\n2 p. - prawidłowa metoda szacowania i prawidłowy wynik liczbowy z jednostką.\n1 p. - prawidłowa metoda szacowania z wykorzystaniem wzoru na wartość indukcji\nmagnetycznej wewnątrz idealnej zwojnicy\nlub\n- prawidłowa metoda szacowania z wykorzystaniem wzoru na wartość indukcji\nmagnetycznej w środku pojedynczej pętli, łącznie z identyfikacją liczby pętli.\n0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nN\nS\nPrzykładowe rozwiązania\nSposób1\nWartość indukcji pola magnetycznego wewnątrz zwojnicy (ܤ௪௘௪) użytej przez uczniów\nmożna szacować ze wzoru na wartość indukcji pola magnetycznego wewnątrz długiej i gęsto\nnawiniętej zwojnicy:\nܤ௪௘௪= ߤ଴ܰܫ\nܮ\n12,57 ∙10ି଻N\nA2 ∙100 ∙13 ∙10ିଷ A\n0,05 m\n= 3,27 ∙10ିହ T ≈33 μT\nSposób 2\nWartość indukcji pola magnetycznego wewnątrz zwojnicy użytej przez uczniów można\nszacować ze wzoru na wartość indukcji pola magnetycznego w środku pętli kołowej (ܤ௣),\ntraktując zwojnicę jak 100 pętli kołowych i stosując zasadę superpozycji pól od każdej pętli.\nJeżeli przez N oznaczymy liczbę pętli, to:\nܤ௪௘௪=\nܤ௣=\nߤ଴ܫ\n2ݎ= 100 ∙\n12,57 ∙10ି଻N\nA2 ∙13 ∙10ିଷA\n0,1 m\n= 1,63 ∙10ିହ T ≈16 μT","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n**Pozioma składowa indukcji ziemskiego pola magnetycznego:**\n\nKorzystając ze wzoru na pole solenoidalne:\n\n\\[B_h \\approx \\mu_0 n I = \\mu_0 \\frac{N}{L} I \\approx 3{,}3 \\times 10^{-5}\\ \\text{T} \\approx 33\\ \\mu\\text{T}\\]\n\n(z poprawką na skończoną długość zwojnicy: \\(\\approx 14{,}6\\ \\mu\\text{T} \\approx 15\\ \\mu\\text{T}\\))\n\n## Sposób 1 - Wzór na pole solenoidalne (nieskończony solenoid, standardowe „oszacowanie\")\n\n**Fizyczny sens układu:** zwojnica z prądem tworzy pole \\(B_\\text{zwoj}\\) wewnątrz, które dokładnie znosi poziomą składową pola Ziemi \\(B_h\\). Igiełka jest w stanie indeterminate - bo wypadkowe pole = 0. Zatem:\n\\[B_h = B_\\text{zwoj}\\]\n\n**Dane:**\n- \\(L = 5\\ \\text{cm} = 0{,}05\\ \\text{m}\\)\n- \\(d = 10\\ \\text{cm} \\Rightarrow R = 0{,}05\\ \\text{m}\\)\n- \\(N = 100\\)\n- \\(I = 13\\ \\text{mA} = 0{,}013\\ \\text{A}\\)\n\n**Gęstość zwojów:**\n\\[n = \\frac{N}{L} = \\frac{100}{0{,}05} = 2000\\ \\text{m}^{-1}\\]\n\n**Pole solenoidalne (model nieskończonego solenoidu):**\n\\[B_h = \\mu_0 n I = 4\\pi \\times 10^{-7} \\times 2000 \\times 0{,}013\\]\n\\[B_h = 4\\pi \\times 10^{-7} \\times 26 \\approx 3{,}27 \\times 10^{-5}\\ \\text{T} \\approx \\boxed{33\\ \\mu\\text{T}}\\]\n\n**Dlaczego słowo „oszacuj\" jest tu kluczowe:** zwojnica o \\(L = d/2\\) to zdecydowanie NIE jest długi solenoid - model nieskończony przeszacowuje pole. CKE akceptuje ten wynik jako oszacowanie.\n\n## Sposób 2 - Poprawka na skończoną długość zwojnicy (model dokładniejszy)\n\nDla solenoidu o skończonej długości \\(L\\) i promieniu \\(R\\), pole **w centrum** osi wynosi:\n\n\\[B = \\mu_0 n I \\cdot \\frac{L/2}{\\sqrt{(L/2)^2 + R^2}}\\]\n\nPodstawiamy \\(L/2 = 0{,}025\\ \\text{m}\\), \\(R = 0{,}05\\ \\text{m}\\):\n\n\\[\\sqrt{(0{,}025)^2 + (0{,}05)^2} = \\sqrt{6{,}25 \\times 10^{-4} + 25 \\times 10^{-4}} = \\sqrt{31{,}25 \\times 10^{-4}} \\approx 0{,}0559\\ \\text{m}\\]\n\nWspółczynnik korekcyjny:\n\\[k = \\frac{0{,}025}{0{,}0559} = 0{,}447 = \\frac{1}{\\sqrt{5}}\\]\n\n**Pole z poprawką:**\n\\[B_h = 3{,}27 \\times 10^{-5} \\times 0{,}447 \\approx 1{,}46 \\times 10^{-5}\\ \\text{T} \\approx \\boxed{15\\ \\mu\\text{T}}\\]\n\n**Interpretacja geometryczna:** zwojnica jest tak samo szeroka jak długa (\\(L = R\\)), przez co siły magnetyczne z boków „uciekają\" na boki - pole w centrum jest mniej więcej o połowę mniejsze niż sugerowałby wzór na solenoid nieskończony.\n\n**Wartość rzeczywista** poziomej składowej pola Ziemi w Polsce: \\(\\approx 18{-}20\\ \\mu\\text{T}\\). Wynik z poprawką (\\(15\\ \\mu\\text{T}\\)) jest bliższy rzeczywistości niż wynik bez poprawki (\\(33\\ \\mu\\text{T}\\)).\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 14.2, max 2 pkt):**\n>\n> - **2 pkt** - uczeń zastosował wzór na indukcję pola solenoidalnego \\(B = \\mu_0 n I\\) oraz poprawnie wyznaczył wartość zbliżoną do wynikającej z danych (akceptowalny zakres wyników: kilkanaście-kilkadziesiąt \\(\\mu\\text{T}\\), rzędu \\(10^{-5}\\ \\text{T}\\))\n> - **1 pkt** - uczeń zapisał poprawną metodę (wzór), ale popełnił błąd obliczeniowy lub przeliczeniowy jednostek (np. mA → A), albo wynik bez uzasadnienia wzorem\n> - **0 pkt** - brak metody lub zastosowanie niewłaściwego wzoru\n>\n> **Akceptowane warianty:** wynik podany w \\(\\mu\\text{T}\\) lub \\(\\text{T}\\); poprawna notacja naukowa; wynik z poprawką na skończoną długość solenoidu (oba podejścia akceptowane w „oszacowaniu\")\n>\n> **Uwagi (orientacyjne):** ✅ Słowo *oszacuj* dopuszcza stosowanie uproszczonego wzoru \\(B = \\mu_0 n I\\) bez poprawek na geometrię; ❌ Nie uznaje się odpowiedzi podanych bez wzoru, bez wartości liczbowej, lub z niepoprawnym odczytaniem danych (np. użycie promienia zamiast długości).\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA, Elektromagnetyzm:**\n>\n> **Indukcja magnetyczna solenoidu (nieskończonego):**\n> \\[B = \\mu_0 n I\\]\n> gdzie \\(n = N/L\\) - liczba zwojów na metr.\n>\n> **Przenikalność magnetyczna próżni:**\n> \\[\\mu_0 = 4\\pi \\times 10^{-7}\\ \\frac{\\text{T} \\cdot \\text{m}}{\\text{A}} \\approx 1{,}257 \\times 10^{-6}\\ \\frac{\\text{T} \\cdot \\text{m}}{\\text{A}}\\]\n>\n> Użyliśmy w Sposobie 1 (wzór podstawowy) i Sposobie 2 (wzór z korektą geometryczną - nie ma go wprost na karcie, ale wynika z całkowania po zwojach solenoidu skończonego).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mylenie średnicy (\\(d = 10\\ \\text{cm}\\)) z promieniem (\\(R = 5\\ \\text{cm}\\)) - średnica nie wchodzi do wzoru \\(B = \\mu_0 n I\\) bezpośrednio, ale jest potrzebna w Sposobie 2.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przeliczanie \\(I = 13\\ \\text{mA}\\) - częsty błąd to zostawienie 13 zamiast 0,013 A, co daje wynik 1000× za duży.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mylenie roli \\(L\\) - do wzoru \\(n = N/L\\) wchodzi **długość zwojnicy** (5 cm), nie jej średnica. Uczniowie często mylą te dwie wielkości, bo \\\"zwojnica 5 cm × 10 cm\\\" brzmi podobnie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Słowo **„oszacuj\"** to sygnał od CKE, że dokładny wzór z poprawkami nie jest wymagany - wystarczy wzór na nieskończony solenoid. Pisząc \\\"B ≈ 33 μT\\\" z dopiskiem, że jest to oszacowanie, można zdobyć pełne punkty.","image":"img/fizyka-2017-maj-matura-rozszerzona/zad-14.2.webp","solution_image":null,"topics":"Pole magnetyczne","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2017 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 14.2. (0-2)
Oszacuj wynikającą z pomiarów wartość składowej poziomej indukcji ziemskiego pola
magnetycznego.
N
S
MFA_1R

","answer_text_html":"

Zadanie 14.2. (0-2)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
V. Planowanie i wykonywanie prostych
doświadczeń i analiza ich wyników.
IV. Budowa prostych modeli
fizycznych i matematycznych do opisu
zjawisk.
9.2) Zdający oblicza wektor indukcji
magnetycznej wytworzonej przez przewodniki
z prądem ([…] pętla, zwojnica).
12.7) Zdający szacuje wartość spodziewanego
wyniku obliczeń, krytycznie analizuje
realność otrzymanego wyniku.
Schemat punktowania
2 p. - prawidłowa metoda szacowania i prawidłowy wynik liczbowy z jednostką.
1 p. - prawidłowa metoda szacowania z wykorzystaniem wzoru na wartość indukcji
magnetycznej wewnątrz idealnej zwojnicy
lub

\n\n

magnetycznej w środku pojedynczej pętli, łącznie z identyfikacją liczby pętli.
0 p. - brak spełnienia powyższych kryteriów.
N
S
Przykładowe rozwiązania
Sposób1
Wartość indukcji pola magnetycznego wewnątrz zwojnicy (ܤ௪௘௪) użytej przez uczniów
można szacować ze wzoru na wartość indukcji pola magnetycznego wewnątrz długiej i gęsto
nawiniętej zwojnicy:
ܤ௪௘௪= ߤ଴ܰܫ
ܮ
12,57 ∙10ି଻N
A2 ∙100 ∙13 ∙10ିଷ A
0,05 m
= 3,27 ∙10ିହ T ≈33 μT
Sposób 2
Wartość indukcji pola magnetycznego wewnątrz zwojnicy użytej przez uczniów można
szacować ze wzoru na wartość indukcji pola magnetycznego w środku pętli kołowej (ܤ௣),
traktując zwojnicę jak 100 pętli kołowych i stosując zasadę superpozycji pól od każdej pętli.
Jeżeli przez N oznaczymy liczbę pętli, to:
ܤ௪௘௪=
ܤ௣=
ߤ଴ܫ
2ݎ= 100 ∙
12,57 ∙10ି଻N
A2 ∙13 ∙10ିଷA
0,1 m
= 1,63 ∙10ିହ T ≈16 μT

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n

Pozioma składowa indukcji ziemskiego pola magnetycznego:

\n

Korzystając ze wzoru na pole solenoidalne:

\n
Bh≈μ0nI=μ0NLI≈3,3×10−5 T≈33 μT
\n

(z poprawką na skończoną długość zwojnicy: ≈14,6 μT≈15 μT)

\n

Sposób 1 - Wzór na pole solenoidalne (nieskończony solenoid, standardowe „oszacowanie")

\n

Fizyczny sens układu: zwojnica z prądem tworzy pole Bzwoj wewnątrz, które dokładnie znosi poziomą składową pola Ziemi Bh. Igiełka jest w stanie indeterminate - bo wypadkowe pole = 0. Zatem:

\n
Bh=Bzwoj
\n

Dane:

\n\n

Gęstość zwojów:

\n
n=NL=1000,05=2000 m−1
\n

Pole solenoidalne (model nieskończonego solenoidu):

\n
Bh=μ0nI=4π×10−7×2000×0,013
\n
Bh=4π×10−7×26≈3,27×10−5 T≈33 μT
\n

Dlaczego słowo „oszacuj" jest tu kluczowe: zwojnica o L=d/2 to zdecydowanie NIE jest długi solenoid - model nieskończony przeszacowuje pole. CKE akceptuje ten wynik jako oszacowanie.

\n

Sposób 2 - Poprawka na skończoną długość zwojnicy (model dokładniejszy)

\n

Dla solenoidu o skończonej długości L i promieniu R, pole w centrum osi wynosi:

\n
B=μ0nI·L/2(L/2)2+R2
\n

Podstawiamy L/2=0,025 m, R=0,05 m:

\n
(0,025)2+(0,05)2=6,25×10−4+25×10−4=31,25×10−4≈0,0559 m
\n

Współczynnik korekcyjny:

\n
k=0,0250,0559=0,447=15
\n

Pole z poprawką:

\n
Bh=3,27×10−5×0,447≈1,46×10−5 T≈15 μT
\n

Interpretacja geometryczna: zwojnica jest tak samo szeroka jak długa (L=R), przez co siły magnetyczne z boków „uciekają" na boki - pole w centrum jest mniej więcej o połowę mniejsze niż sugerowałby wzór na solenoid nieskończony.

\n

Wartość rzeczywista poziomej składowej pola Ziemi w Polsce: ≈18−20 μT. Wynik z poprawką (15 μT) jest bliższy rzeczywistości niż wynik bez poprawki (33 μT).

\n

Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)

\n
📋 Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 14.2, max 2 pkt):

- 2 pkt - uczeń zastosował wzór na indukcję pola solenoidalnego B=μ0nI oraz poprawnie wyznaczył wartość zbliżoną do wynikającej z danych (akceptowalny zakres wyników: kilkanaście-kilkadziesiąt μT, rzędu 10−5 T)
- 1 pkt - uczeń zapisał poprawną metodę (wzór), ale popełnił błąd obliczeniowy lub przeliczeniowy jednostek (np. mA → A), albo wynik bez uzasadnienia wzorem
- 0 pkt - brak metody lub zastosowanie niewłaściwego wzoru

Akceptowane warianty: wynik podany w μT lub T; poprawna notacja naukowa; wynik z poprawką na skończoną długość solenoidu (oba podejścia akceptowane w „oszacowaniu")

Uwagi (orientacyjne): ✅ Słowo oszacuj dopuszcza stosowanie uproszczonego wzoru B=μ0nI bez poprawek na geometrię; ❌ Nie uznaje się odpowiedzi podanych bez wzoru, bez wartości liczbowej, lub z niepoprawnym odczytaniem danych (np. użycie promienia zamiast długości).
\n

Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć

\n
📖 Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA, Elektromagnetyzm:

Indukcja magnetyczna solenoidu (nieskończonego):
B=μ0nI
gdzie n=N/L - liczba zwojów na metr.

Przenikalność magnetyczna próżni:
μ0=4π×10−7 T·mA≈1,257×10−6 T·mA

Użyliśmy w Sposobie 1 (wzór podstawowy) i Sposobie 2 (wzór z korektą geometryczną - nie ma go wprost na karcie, ale wynika z całkowania po zwojach solenoidu skończonego).
\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Mylenie średnicy (d=10 cm) z promieniem (R=5 cm) - średnica nie wchodzi do wzoru B=μ0nI bezpośrednio, ale jest potrzebna w Sposobie 2.
\n
⚠️ Uwaga: Przeliczanie I=13 mA - częsty błąd to zostawienie 13 zamiast 0,013 A, co daje wynik 1000× za duży.
\n
⚠️ Uwaga: Mylenie roli L - do wzoru n=N/L wchodzi długość zwojnicy (5 cm), nie jej średnica. Uczniowie często mylą te dwie wielkości, bo \\"zwojnica 5 cm × 10 cm\\" brzmi podobnie.
\n
⚠️ Uwaga: Słowo „oszacuj" to sygnał od CKE, że dokładny wzór z poprawkami nie jest wymagany - wystarczy wzór na nieskończony solenoid. Pisząc \\"B ≈ 33 μT\\" z dopiskiem, że jest to oszacowanie, można zdobyć pełne punkty.
"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

Bwew≈33 μT lub Bwew≈16 μT

"}]}